I. Bevezetés, alapfogalmak

I. Bevezetés, alapfogalmak A villamos töltés A villamos töltés az anyag egyik alapvető tulajdonsága, amit előjeles skalár töltésmennyiség jellemez. A töltés jele Q, SI mértékegysége Coulomb1 tiszteletére: [Q]=C=coulomb=As. 1 C töltés 6,25⋅1018 darab elektron együttes töltésének felel meg, 1 C = e ⋅ 6,25 ⋅ 1018 , 1 ahol e = = 1,6 ⋅ 10 −19 C – az elektron töltése. 18 6,25 ⋅ 10 A nyugalomban lévő villamos töltés sztatikus villamos teret, a mozgó töltés (változó) villamos teret és mágneses teret hoz létre. A töltés térbeli elhelyezkedése, eloszlása, kiterjedése (és megfelelő matematikai leírása) lehet: - pontszerű (dimenzió nélküli), jellemzője a Q (C) töltésmennyiség, - vonalszerű (egy dimenziós), jellemzője az egységnyi hosszra jutó töltésmennyiség [q]=C/m, - felületi (kétdimenziós), jellemzője az egységnyi felületre jutó töltésmennyiség [σ]=C/m2, - térfogati (háromdimenziós), jellemzője az egységnyi térfogatra jutó töltésmennyiség [ρ]=C/m3. A töltés jelenlétét hatásai (pl. erőhatás) és a mozgása által keltett jelenségek alapján ismerjük fel. A villamos tér A villamos tér a villamos töltés következménye, hatása, tehát a töltés jelenlétére utal. Az elektrosztatika a nyugalomban lévő villamos töltések (sztatikus) villamos terének jelenségeivel és törvényszerűségeivel foglalkozik. A sztatikus villamos teret két vektormennyiség jellemzi: - a D villamos (dielektromos) eltolás, - az E villamos térerősség. A töltésmegmaradás törvénye: villamosan zárt rendszerben a töltések algebrai eredője a lejátszódó fizikai folyamatoktól függetlenül állandó. Ennek az a magyarázata, hogy egy-egy töltéspár azonos nagyságú és ellentétes előjelű töltése egyszerre keletkezik és egyszerre szűnik meg pl. polarizácóval, töltésmegosztással, vagy töltés-szétválasztással (pl. időben változó mágneses tér hatására). A villamos áram: a töltések (töltéshordozók) rendezett áramlása. Villamos vezetők: olyan anyagok, amelyekben a nagy számban jelen lévő szabad töltések áramlása rendeltetésszerűen létrejön. Legfontosabb villamos jellemzőjük a fajlagos ellenállás. Villamos szigetelők: olyan anyagok, melyekben a töltések áramlása a szabad töltések hiánya miatt rendeltetésszerűen nem jön létre. Amennyiben mégis létrejön, az a szigetelőképesség megszűnését, letörését (átütés), az anyag vezetővé válását jelenti. Legfontosabb villamos jellemzőjük az átütési szilárdság, a vezetővé válást előidéző legkisebb villamos térerősség. 1

De Coulomb, Charles-Augustin (1736-1806) francia fizikus

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

Szorzótényezők az SI rendszerben Az egyes mértékegységek szorzótényezőit előtagokkal (prefixek) jelzik, az SI rendszer az alábbi jelöléseket használja, melyek közül a 3-al osztható kitevők alkalmazását javasolja. Szorzó 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Név deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

Jelölés

Szorzó

d c m µ n p f a z y

101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Név deka hecto kilo mega giga tera peta exa zetta yotta

Jelölés da h k M G T P E Z Y

Vastagon szedve az elektrotechnikában leggyakrabban előforduló szorzótényezők.

2

II. Elektrosztatika

II. Elektrosztatika A nyugalomban lévő villamos töltések környezetének, terének, jelenségeinek törvényszerűségei. 1. Coulomb törvénye (1781) A töltésekkel kifejezett erőtörvény, két pontszerű töltés között vákuumban fellépő erő nagyságát fejezi ki. Pontszerű töltésekről a gyakorlatban akkor beszélünk, ha a méretekre, elrendezésre az ábra szerint r << a feltétel teljesül, vagyis az egyes töltések kiterjedése elhanyagolható a közöttük lévő távolsághoz képest.

F r

+Q1

a0

+Q2

F

a

1 Q1Q2   9 Vm −12 As  1  Vm ε = k 9 10 = ⋅ ≈ , ⋅ 8 86 10 F = k a = N = = k 0 9 0   4π 9 ⋅ 10 Vm As  a2 4πε 0  As    F – a fellépő erő nagysága, Q1 és Q2 – a vizsgált pontszerű töltések, a – a töltések közötti távolság, ε0 – a vákuum (és a levegő) dielektromos állandója, permittivitása, a0 – a két pontszerű töltést összekötő egyenes irányába mutató egységvektor. A képlet alapján kapott erőhatás lehet taszító, ha Q1 és Q2 előjele azonos (mint az ábrán) vagy vonzó, ha ellentétes. VAs  Vm  Q1 (As) ⋅ Q2 (As) = N. Az erő villamos mértékegysége a fentiekből: F = k   2 2 m a m  As  Példa A fenti törvény szerint két, egymástól 1 m távolságra lévő 1-1 C nagyságú pontszerű töltésre vákuumban F=9⋅109 N erő hat, 1-1 mC esetén ez az erő F=9 kN, 1-1 µC esetén pedig F=9 mN.

( )

A térjellemzők bevezetése a töltések közötti erőhatásokkal Coulomb törvényét úgy is értelmezhetjük, hogy egy Q1 jelű pontszerű töltés a környezetében a tér különleges állapotát hozza létre. Ha ebbe a környezetbe egy Q2 nagyságú pontszerű töltés bekerül, akkor arra erő hat. Az erő nagysága függ az anyagi közegtől. Azt az anyagi közeget, amelyben a villamos tér hat, az ε dielektromos állandóval jellemzik: ε = ε 0 ε r. εr - anyagtól függő, azonos fizikai viszonyok között változatlan értékűnek tekintett dimenzió nélküli állandó, a vákuumhoz viszonyított dielektromos tulajdonságok egyik jellemzője. Vákuumra és levegőre εr= 1. Általában 1 ≤ εr ≤ 10, de metilalkoholra εr= 30, vízre εr= 70.

A Q2 töltésre ható F2 erő tetszőleges anyagú környezetben, az erő képletének átrendezésével: Q Q 1 Q1Q2 F2 = a0 = 1 2 2 a0 , 2 4πε 0ε r a 4πa ε 0ε r 3

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

itt a0 - a tér (Q2 helyzete által jellemzett) vizsgált pontját és a Q1-el meghatározott pontot öszszekötő egyenesre illeszkedő egységvektor. A Q1 töltés hatására kialakuló villamos tér egyik jellemzője a D1 villamos (dielektromos) eltolás, vektormennyiség, iránya megegyezik a (+) töltésre ható erő irányával. A pontszerű Q1 Q1 a0 , anyagtól, közegtől független, SI mértékegytöltés terének egy adott pontjában D1 = 4π a 2 C As sége [D ] = 2 = 2 , rendszerint erővonalakkal szemléltetik. m m Példa Egy 1 C nagyságú töltéstől 1 m távolságra az eltolás értéke: D = esetén D = 79,5

µC m2

1 mC = 79,5 2 , 1 mC töltés 4π m

.

A kiindulási elrendezés szerint a Q2 töltésre ható erő kifejezhető a D1 eltolásvektorral is: D F2 = 1 Q2 .

ε 0ε r

Adott D1 eltolásnál a villamos tér másik jellemzője – az E1 villamos térerősség – a vizsgált D Q1 a , SI mértékteret kitöltő anyagtól függ. A tér egy adott pontjában E1 = 1 = ε 0ε r 4π a 2ε 0ε r 0 V egysége [E ] = , rendszerint erővonalakkal szemléltetik. m Azonos D eltolás (azonos Q töltés) esetén a nagyobb permittivitású anyagban kisebb a villamos térerősség, vagyis a szigetelőanyagok közül a levegőben (és vákuumban) a legnagyobb. Az E1 térerősséggel kifejezve a Q2 töltésre ható F2 fizikai erőt: F2 = E1Q2 , a térerősség tehát megegyezik az egységnyi (+) töltésre ható erővel (térerősség = a tér által kifejtett erő). A térerősség vektort (és az erővonalakat) úgy ábrázolják, hogy a pozitív töltés felől a negatív felé mutat (mert ez felel meg a pozitív töltésre ható erő irányának), az erővonalak így mindig pozitív töltésen kezdődnek és negatívon végződnek:

+Q1

-Q2

E

nyelő

forrás

Példa Egy 1 C nagyságú töltéstől 1 m távolságra levegőben a villamos térerősség 1 V kV D V kV E= = = 9 ⋅ 10 9 = 9 ⋅ 10 4 , míg 1 mC esetén E = 9 ⋅ 10 6 = 90 . ε 0 4πε 0 m cm m cm kV . εr permittivitású közegben a térerősség a fentiek εr-ed része, εr=10-nél 9⋅103, illetve 9 cm

4

II. Elektrosztatika A szigetelő anyagok sztatikus villamos ellenálló képességét (villamos szilárdságát) az elviselt legnagyobb villamos térerővel (Esz átütési szilárdság) jellemzik. Esz-nél nagyobb térerősség értéknél az anyag elveszíti szigetelőképességét. Az átütési szilárdságot rendszerint a gyakorkV kV V egységben adják meg, 1 = 105 . latban elterjedt cm m cm Példa Mekkora az a pontszerű töltés, amelytől 1 m távolságra a levegő nem veszíti el szigetelőkékV   pességét  E sz < 21,1 ? cm   A töltés és a térerősség közötti összefüggés alapján 4π 21,1 ⋅ 10 5 = Q < E sz = 2 ,34 ⋅ 10 − 4 C = 0,234 mC . 4π 9 ⋅ 10 9 9 ⋅ 10 9 Néhány anyag jellemző permittivitás és átütési szilárdság értéke:  kV  Esz  Anyag Anyag  εr  cm  levegő 1 21,1 olaj porcelán 5 200 gumi bakelit 4 150 csillám plexi 3 40 PVC celluloid 4 300 keménypapír lágygumi 2,5 250 prespán

 kV  Esz    cm  2,2 80-160 2,8 80 6 700 3,1-3,5 10-50 5,4 200-300 2 80-120

εr

2. Az elektrosztatika Gauss2 tétele Egy tetszőleges, pontszerű +Q1 töltést körülvevő koncentrikus r sugarú gömbre képezve a D dielektromos eltolás vektor felületi integrálját, a gömbbe zárt töltés nagyságát kapjuk. Pontszerű töltésnél a koncentrikus gömb felületi normálisa sugárirányú, az eltolás vektorral Q1 Q párhuzamos, így ∫ D dA = ∫ 1 2 r0 dA = 4π r 2 = Q1 , 2 4 π 4 π r r A A itt r0 - a töltéstől a felület aktuális pontjába mutató egységvektor, a skalár szorzat algebrai szorzattal számítható. A vizsgált felületen kívül elhelyezkedő töltéseknek nincs hatásuk az integrálra. Ez a tétel tetszőleges alakú zárt felületre, tetszőleges számú és eloszlású töltésre is igaz. Elosztott (térfogati) töltések esetén általános alakja: ∫ DdA = ∫ ρdV , A

V

ahol ρ az egységnyi térfogatban lévő töltésmennyiség [ρ ] =

2

C As + 3. 3 m m

Gauss, Johann Carl Friedrich (1777-1855) német matematikus, fizikus, csillagász

5

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

D

r

Q1

r0

dA

Gauss tétele összefüggést ad az álló (nyugvó) töltések és az általuk létrehozott villamos tér eltolása között. A térrész anyagától és alakjától függetlenül adja meg a D dielektromos eltolás vektor felületi integrálját a közbezárt töltések ismeretében, viszont semmit nem mond D térbeli eloszlásáról. Ezért a gyakorlatban hatékonyan csak olyan esetekben alkalmazhatjuk, amikor a tér eloszlása ismert, pl. pontszerű, vonalszerű, vagy homogén töltés terének feltételezésekor. 3. A potenciál A potenciálos (konzervatív) tér egyes pontjait potenciális energiájuk jellemzi (pl. gravitációs tér, villamos tér). A potenciál fogalmát most (+) töltés terében mozgatott (+) töltés példáján vizsgáljuk. Ha a villamos tér egy adott a pontból Q nagyságú töltést szállít b pontba, akkor a tér által végzett munkát az erő és az irányában történt elmozdulás (skalár) szorzatának integrálja adja: b

b

a

a

Wab = ∫ F dl = Q ∫ E dl .

E1 Q

a

dl

E2 E3 dl

b

E5 b

E4

W Egységnyi töltésre ez az érték wab = ab = ∫ E dl . Q a Az elmozdulásnak csak a térerősség irányú vetülete számít (lévén szó skalár szorzatról), a végzett munka független a megtett úttól, csak a kezdeti és a végpont helyzetétől (potenciális energiájától) függ. Ezt a potenciális energia különbséget potenciál különbségnek nevezik. Zárt görbe (út) mentén az integrál zérust ad ∫ E dl = 0 , mivel a kezdeti és a végpont megegyezik, a

potenciálkülönbség zérus.

6

II. Elektrosztatika A potenciál tehát a villamos tér pontjaihoz rendelt jellemző skalár mennyiség. Vonatkoztatási értéke (0 potenciál) a végtelen távoli pont, ami megegyezik a föld potenciáljával (a gravitációs térnél is van ilyen vonatkoztatási érték!). A gyakorlatban a vonatkoztatási pont véges távolságra van. Fém, vagy más vezető felületen a töltések úgy helyezkednek el, hogy rájuk ne hasson erő, hogy ne legyen áramlás (elektrosztatikáról van szó). Ezért a térerősség a vezető anyag felülete mentén állandó, így rajta nincs potenciál különbség. A tér egy tetszőleges a pontjának Ua potenciálja (potenciális energiája) azzal a munkával egyezik meg, amelyet az erőtér végez egységnyi pozitív töltésnek az adott pontból a végtelenbe szállításával. ∞

U a = ∫ E dl , a potenciál SI mértékegysége Volta3 tiszteletére a [U]=V=volt. a

∞

Hasonlóképpen a b pont potenciálja: U b = ∫ E dl b

A két pont (a és b) potenciáljának különbsége (potenciál különbség) a feszültség. ∞

∞

b

a

b

a

U ab = U a − U b = ∫ E dl − ∫ E dl = ∫ E dl = wab

[Uab]=V.

A villamos tér által egy tetszőleges Q nagyságú töltés szállítása során végzett munka kifejezhető a feszültséggel is: b

b

a

a

Wab = ∫ F dl = Q ∫ E dl = Q(U a − U b ) = QU ab .

A potenciál definíciójából következik a térerősség másik meghatározása: az E térerősség vektor egy tetszőleges pontban irány és nagyság szerint egyenlő a legnagyobb potenciáleséssel: E = − gradU .

+Q E

grad U

A térerősség vektor a kisebb potenciálú pontok felé irányul (a gravitációs térhez hasonlóan), ezért a negatív előjel. A tér azonos potenciálú pontjai ekvipotenciális (nívó) felületet alkotnak. Az ekvipotenciális felület a tér minden pontjában merőleges az E térerősség vektorra, e felület normálisának iránya megegyezik a térvektor irányával. (A fém – villamos vezető – felülete nívófelület, az előzőek szerint ekvipotenciális, így belőle az erővonalak mindig merőlegesen lépnek ki.) 4. A villamos tér képe, erővonalak A villamos teret térerősség (és eltolás) erővonalakkal szemléltetik, az erővonalak követik a térerősség vektor irányát, az erővonal érintője minden pontban térerősség (eltolás) vektor irányú. Az erővonalak sűrűsége – az egységnyi felületen áthaladó erővonalak száma – arányos a térerősség (eltolás) nagyságával. Gauss tétele értelmében az eltolási vonalak forrásai és nyelői a villamos töltések, ennek megfelelően az erővonalak pozitív töltéseken erednek és negatívokon végződnek.

3

Volta, Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio (1745-1827) itáliai fizikus

7

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

Pontszerű töltés tere Homogén és izotróp anyagban egy magában álló pontszerű +Q pozitív töltés eltolási és térerősség vonalai sugárirányú egyenesek, az ekvipotenciális (nívó) felületek pedig koncentrikus gömbfelületek. A töltéstől ra távolságra fekvő a pontokra: Q Q Da = r Ea = r0 , - itt r0 az a pontra mutató sugárirányú egységvektor. 2 0 2 4πra 4πra ε 0 ε Tetszőleges Q töltés terében, a töltéstől ra távolságra fekvő pontoknak a végtelen távoli pontra (nulla potenciál) vonatkozó potenciálja: ∞ ∞ ∞ Q Q [U a ] = V U a = ∫ E dr = ∫ Edr = ∫ dr = 2 4π ra ε 0 ε r ra ra ra 4π r ε 0 ε r

E D ra

Q Példa

1 C pontszerű töltéstől 1 m távolságra a potenciál levegőben U =

1 4π 9 ⋅ 10 9 = 9 ⋅ 10 9 V , 4π

1 mC esetén U = 9 ⋅ 103 V , εr permittivitású közegben a potenciál az előzőek εr-ed része.

Végtelen hosszú vonalszerű töltés tere Egy +q egységnyi hosszra jutó töltéssel jellemzett vonalszerű pozitív töltés D és E vektorai a töltés vonalára merőleges síkokban a vonal vetületéből kiinduló sugarak irányába mutatnak. D

q

ra

8

II. Elektrosztatika Az ekvipotenciális felületek koncentrikus hengerek. A töltéstől ra távolságra fekvő a pontokra Gauss törvénye szerint: q q q=Da2πra, amiből D a = r0 E a = r0 , 2πra 2πra ε 0 ε itt r0 a vizsgált pontból a töltés vonalára bocsátott merőleges irányába mutató egységvektor. Végtelen hosszú vonalszerű töltés esetén a potenciál csak véges távolságra lévő vonatkoztatási felületnél értelmezhető (pl. koncentrikus hengernél): rb r q q U ab = ∫ dr = ln b . 2πrε πrε ra ra Végtelen kiterjedésű sík tere Egy +σ felületi töltéssűrűségű sík tetszőleges A felületű részére alkalmazzuk Gauss tételét. Az A felülettel párhuzamosan felvett hasáb esetén – mivel a zárt felület normálisa kifelé mutat és párhuzamos az eltolás vektorral – a vektorok skaláris szorzata algebrai szorzattá egyszerűsödik:

E

D

A

+σ

dA

σ

∫ DdA = D2 A = σA , amiből D = 2 . A

A térerősség E=

D

ε 0ε r

=

σ . 2ε 0ε r

Mivel a lemez végtelen kiterjedésű, a tér homogén, izotrop közegben a D eltolás és az E térerősség nagysága független a felvett hasáb normális irányú méretétől (a síktól való távolságtól). A potenciál ebben az esetben is csak véges távolságra lévő vonatkoztatási felületnél értelmezhető (pl. párhuzamos síkok között):

σ σ (b − a ) = E (b − a ) . dr = 2ε 2ε a

b

U ab = ∫

9

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

D E

d

σ

Két ellenkező előjelű töltéssel ellátott végtelen síkfelület tere a két sík terének szuperpozíciója: a két sík között homogén, rajtuk kívül a két tér egymást lerontja. A lemezek között D = σ , a lemezeken kívül D = 0 . D

+σ

-σ A

5. A kapacitás fogalma Az egymástól δ távolságra, párhuzamosan elhelyezett véges A felületű, ellenkező előjelű +Q és -Q eredő töltéssel ellátott síkok közötti tér akkor tekinthető homogénnek, ha δ <
-Q

ε0

+Q

b

A A

b

δ

a

a

Q . A A végtelen kiterjedésű sík vizsgálatánál kapott eredmények alapján a lemezek között a tér eltolása

A felületi töltéssűrűség a két lemezen: σ =

10

II. Elektrosztatika

Q . A Ha a két elektród közötti teret εr relatív permittivitású homogén anyag tölti ki, a térerősség: D Q E= = . ε 0 ε r Aε 0 ε r Q δ Q A = , ahol C = = ε 0ε r az A két felület közötti potenciál különbség: U = Eδ = Q Aε 0ε r C δ U elrendezés kapacitása. A kapacitás, a töltésmennyiség és a feszültség közötti arányossági tényező, az elrendezés geometriájától (a tér eloszlásától) és a teret kitöltő anyag dielektromos állandójától függ. Azonos geometriai méretek mellett a kapacitás a relatív dielektromos állandóval arányos. A kapacitás azt mutatja, hogy adott geometriai elrendezésnél a térben mekkora töltést lehet tárolni, felhalmozni egységnyi feszültség hatására. SI mértékegysége Faraday4 tiszteletére a As m 2 As [C ] = F = farad = = . Vm m V D =σ =

Példa A=1 m2, δ=1 m, εr=1 (levegő) mellett C=8,86 pF, δ=1 mm esetén C=8,86 nF. εr relatív permittivitású dielektikumban a kapacitás értéke ezen értékek εr-szerese. 6. A kondenzátor Egymástól szigetelőanyaggal (dielektrikummal) elválasztott fém vezető felületeket (fegyverzeteket, elektródokat) tartalmazó, villamos töltés tárolására szolgáló eszköz, alkatrész. Legegyszerűbb formája a síkkondenzátor (síksűrítő). (Az akkumulátorban a töltést kémiai energia alakjában, nem elektrosztatikusan tárolják. Az akkumulátor „kapacitása” tulajdonképpen a tárolt (átalakított) töltésmennyiséget mutatja, mértékegysége sem azonos a kondenzátor kapacitásáéval: 1 Aó=1 Ah=3600 As=3600 C) 7. A kondenzátor árama A fegyverzetek töltésének két statikus állapot közötti ∆QC változása (feltöltés vagy kisütés) töltés áramlással (iC árammal) és ∆UC feszültségváltozással jár. A ∆QC töltés változás, az iC áram és ∆UC feszültségváltozás közötti kapcsolat a Q=CU összefüggés alapján: ∆QC (t ) ∆U C (t ) = iC (t ) = C . ∆t ∆t A fegyverzetekhez csatlakozó vezetékek vezetési árama a kondenzátor dielektrikumán keresztül eltolási áramként folyik tovább. 8. A kondenzátor energiája A kondenzátor fegyverzeteinek töltéshordozókkal való ellátása (feltöltése) folyamán egy (időben állandónak feltételezett) iC töltőáram ∆t idő alatt ∆QC=iC∆t-vel növeli a kondenzátorban tárolt töltés mennyiségét. Ezáltal a kondenzátor időben változő uC(t) feszültsége ∆UC-vel ∆QC 1 nő, ∆U C = = iC ∆t . C C A ∆QC töltés elektródra szállítása során munkát kell végezni, leküzdve a fellépő taszító erőt: ∆WC = ∆QC ∫ Edl =∆QC uC (t ) = uC (t )C∆U C . 4

Faraday, Michael (1791-1867) angol fizikus

11

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

Egy kondenzátor feszültségének 0 → UC értékűre növelése során a tárolt töltést 0 → QC-re kell növelni. Mivel mechanikai mozgás nincs, ha a veszteségeket elhanyagoljuk, a teljes végzett munka a kondenzátorban halmozódik fel. QC UC U2 Q U 1 QC2 . WC = ∫ uC dQC = C ∫ uC duC = C C = C C = C 2 2 2 0 0 A kondenzátor – és ezzel a villamos tér – energiája felírható a villamos térjellemzőkkel is. QC=AD → dQC=AdD UC=Eδ ADEδ DE WC = =V , 2 2 itt V=Aδ - a dielektrikum térfogata. Az egységnyi térfogatban felhalmozott energia: DE E 2 1 D2 =ε = . wC = 2 2 ε 2 Az energia az elemi munkavégzés összefüggésből is számítható: WC = ∫ U C dQC = ∫ EδAdD = Aδ ∫ EdD = V ∫ EdD . Q QC WC dQC

UC

uC

A térfogategységben tárolt energia általános esetben: 1 1 1 D2 w = ∫ E dD = ∫ E ε 0ε r dE = ε 0ε r E 2 = E D = . 2 2 2 ε 0ε r Ez utóbbi összefüggések a nem homogén tér egyes pontjaiban is érvényesek. 9. Erőhatások a síkkondenzátorban A különnemű töltések egymásrahatása miatt a fegyverzetek között vonzóerő lép fel. (Pozitív előjelűnek a pozitív töltés erőterében pozitív töltésre ható – taszító – erőt tekintik, ezért a kondenzátorban az erőhatás előjele negatív.) Legyen a két felület és a két töltéssűrűség is azonos A, illetve σ nagyságú. Az egyik lemez dA felületelemére a másik lemez homogén E erőtere vonzóerőt fejt ki, melynek nagysága: ∆F = − E∆Q , ahol ∆Q=σ∆A.

Az előzőekben láttuk, hogy egyetlen síkelektród homogén terében D = Ezzel 12

σ 2

, amivel E =

σ . 2ε

II. Elektrosztatika

∆F = −

σ σ2 ∆Q = − ∆A . A teljes felületre ható erőt az elemi erők felületi integrálja adja: 2ε 2ε σ2 Q2 F = ∫ dF = − dA = − ha σ = állandó. 2ε ∫A 2 Aε A

Az erő nagysága látszólag (!) független a lemezek távolságától, de nagyobb távolság esetén ugyanakkora töltés felhalmozása – a kisebb kapacitás miatt – nagyobb feszültségen történik, vagyis ugyanakkora E térerőhöz nagyobb U feszültség (nagyobb energiafelhalmozás) szükséges. Az erőhatás számítása a virtuális elmozdulás elve alapján is ezt az eredményt adja. A fegyverzetek közötti x távolság ∆x megváltozása ∆w mechanikai munkavégzéssel jár az F erő hatására. Tételezzük fel, hogy a fegyverzetre ható F erő hatására az elektródok közötti eredeti x távolság ∆x-el csökken (vonzó erő), így a ∆w mechanikai munkavégzés miatt a tárolt energia csökken. +σ -σ

∆x

x

∆wmechanikai = − ∆wvillamos = F∆x A síkkondenzátorban tárolt energia 1 QC2 1 2 x W= = QC . 2 C 2 εA Amennyiben QC=állandó, az erő Q2 ∂W = − C , az elektrosztatikus erőhatás összefüggése alapján kapott eredménnyel F= ∂x 2 Aε egyezően (a végzett munka hatására a tárolt energia csökken, ezért a negatív előjel). 10. A kondenzátorok soros kapcsolása a síkkondenzátor példáján.

U

U1 Q

A

U2

Q1

Q2

C1

C2

ε C

δ

δ1

13

δ2

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

A bal oldali ábra szerinti elrendezés kapacitása: C = ε

A

δ

.

A homogénnek tekintett tér egy ekvipotenciális felületére gondolatban fémlapot helyezve „kettévágjuk” a kondenzátort, amivel sem a kapacitása, sem a töltése nem változik: A A C =ε =ε . δ1 + δ 2 δ 1 δ1 + δ 2 δ1 δ 2 1 1 Ennek reciprokát felírva: . = = + = + εA ε A ε A C1 C 2 C Az összefüggés a kondenzátorokra általában érvényes, ε1≠ε2, A1≠A2 és δ1≠δ2 esetre is igaz: δ δ 1 1 1 = 1 + 2 = + . C ε 1 A1 ε 2 A2 C1 C 2 Q Q1 Q2 Mivel az eredő U feszültség változatlan, U=U1+U2, → = + → Q=Q1=Q2. C C1 C 2 Soros kapcsolású kondenzátorok töltése tehát megegyezik, feszültségük összeadódik, az eredő kapacitás reciproka az egyes kapacitások reciprokának összege. n számú soros kapacitásra n n 1 1 =∑ U e = ∑U i Qe=Q1=…=Qn. C e i =1 C i i =1 11. A kondenzátorok párhuzamos kapcsolása a síkkondenzátor példáján.

U A1

Q1

C1

C1

A2

Q2

δ A fegyverzetek kettéosztásával sem a kapacitás, sem a töltés nem változik: A + A2 A A A C =ε =ε 1 = ε 1 + ε 2 = C1 + C2

δ

δ

δ

δ

Az összefüggés a kondenzátorokra általában érvényes, ε1≠ε2, A1≠A2 és δ1≠δ2 esetre is igaz: A A C = ε 1 1 + ε 2 2 = C1 + C 2 .

δ1

δ2

Q Q1 Q2 = + → Q=Q1+Q2. U U U Párhuzamos kapcsolású kondenzátorok töltése különbözik, az eredő töltés az egyes töltések összege, az eredő kapacitás az egyes kapacitások összege. n számú párhuzamos kapacitásra Mivel az U feszültség a két kondenzátoron megegyezik, →

14

II. Elektrosztatika n

n

Ce = ∑ Ci

Qe = ∑ Qi

Ue=U1=…=Un.

i =1

i =1

12. Az elekterosztatika töréstörvényei Különböző dielektromos tulajdonságú anyagok határfelületén a D eltolási és az E térerősség vektor iránya megváltozik. Pl. rétegezett szigetelőanyagokban – amiket azért használnak, mert a vékony rétegek inkább homogének, mint a vastagok, mechanikai tulajdonságaik jobbak stb. Tételezzük fel, hogy mindkét anyag izotrop és a tér mindkét anyagban homogén.

a) Az eltolás vektor viselkedése határrétegnél

ε1

ε2 α2

D2t

D2

dA

D1n

α1

D2n D1t

D1

Az eltolás vektorok normális és tangenciális komponense az ábra szerint: D1n=D1cosα1, D1t=D1sinα1, D2n=D2cosα2, D2t=D2sinα2. A határréteg egy dA elemi felülete köré kialakított zárt felületre alkalmazva Gauss tételét: − D1n dA + D2 n dA = 0 , mivel ebben a térrészben nincsenek valóságos töltések (a töltésmegosztásból következően jelenlévő töltések kiegyenlítik egymást), így D cos α 2 . D1n=D2n, vagy D1cosα1= D2cosα2, → 1 = D2 cos α1 A villamos eltolásvektor normális összetevői tehát változatlanul haladnak át a határrétegen. A D1t és D2t tangenciális komponensekkel képzett szorzatok a Gauss-féle integrálból kiejtik egymást. Következmény α=0° esetén (keresztirányú rétegezés): Legyen egy síkkondenzátorban két réteg dielektrikum az ábra szerint.

ε1

E2

E1

D1

ε1

ε2

=

ε2 E2

E1

D2

D1

15

=

D2

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

E1n ε 2 = . E2n ε 1 Ha feltételezzük, hogy az eltolás és a térerősség vektor a fegyverzetekre merőleges irányú, E ε csak normális komponens van jelen (D1=D1n, D2=D2n, E1=E1n, E2=E2n) akkor 1 = 2 . E2 ε 1 Vagyis a térerősség mindig a kisebb permittivitású közegben nagyobb értékű. Tekintettel arra, hogy a levegő permittivitása a legkisebb, a dielektrikum rossz illeszkedése esetén a kondenzátor fegyverzeténél lévő levegőrétegben igen nagy térerősség alakulhat ki, ami akár átütéshez is vezethet. Mivel D1n=D2n → ε1E1n=ε2E2n, vagy másképpen

b) A térerősség vektor viselkedése határrétegnél A térerősség vektorok normális és tangenciális komponense az ábra szerint: E1n=E1cosα1, E1t=E1sinα1, E2n=E2cosα2, E2t=E2sinα2. Lévén szó potenciálos térről, az E térerősség vektor zárt görbére vett integrálja nullát ad. A normális E1n és E2n komponensekkel képzett szorzatok kiejtik egymást, így E sin α 2 E1tdl- E2tdl=0 → E1t=E2t. E1sinα1= E2sinα2, 1 = . E 2 sin α1 A térerősség vektor tangenciális összetevői tehát a határfelület két oldalán egyenlőek.

ε1

ε2 E2

α2

E2t

dl

E1n E1t

E1

E2n

α1

Következmények α=90° esetén (hosszirányú rétegezés): 1. Legyen egy síkkondenzátorban két réteg dielektrikum az ábra szerint.

ε1

D1

E1

D2

ε2

E2=E1

Az előző egyenletből E1sinα1= E2sinα2 ε1E1cosα1= ε2E 2cosα2 16

II. Elektrosztatika

tgα1

ε1

=

tgα 2

ε2

→

tgα1 ε 1 = . tgα 2 ε 2

Mivel a levegő permittivitása általában (sokkal) kisebb, mint a szigetelő anyagoké, ezért az eltolás és a térerősség erővonalak szigetelőből levegőbe közel merőlegesen lépnek ki (ha például ε1 >>1). 2. A síkkondenzátor szélén a dielektrikumban és a levegőben ugyanakkora a térerősség az ábra szerint. Példa. kV kV , a levegőé E sz ,levegő = 21 . Vagyis, ha a A porcelán átütési szilárdsága E sz , porcelán = 200 cm cm kV   porcelánt villamosan csak 20-50 %-os mértékben használjuk ki  E = 40 − 100  , a környecm   ző levegőben akkor is átütés (átívelés) jön létre. Ezért a levegőben létrejövő térerősséget szigetelőknél az ún. kúszóút megnövelésével csökkentik.

ε0 ε1

Dp

Dlev

Ep

Elev

Levegő-szigetelő határ (hosszirányú rétegezés)

Térerősség csökkentés a levegőben bordás kialakítással (kúszóút növeléssel)

17

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

Műgyantából készült gyűjtősín támszigetelők

Összeállította: Kádár István 2014. szeptember

18

Termikus hatás következtében sérült porcelán szigetelőlánc

II. Elektrosztatika

13. Ellenőrző kérdések 1. Mit fejez ki a töltésmegmaradás törvénye? 2. Melyek a villamos teret leíró vektormennyiségek? 3. Miről szól Coulomb erőtörvénye? 4. Milyen irányú erő lép fel azonos és ellentétes előjelű pontszerű villamos töltések között, mi ezen erő mértékegysége? 5. Melyik a villamos teret az anyagi közegtől függetlenül jellemző vektormennyiség, mi a mértékegysége? 6. Melyik a villamos tér anyagi közegtől függő jellemző vektormennyisége, mi a mértékegysége? 7. Egy pozitív és egy negatív pontszerű töltés esetén milyen irányba mutat a térerősség vektor? 8. Mi a villamos átütési szilárdság, mi a gyakorlatban használt mértékegysége? 9. Mit állapít meg az elektrosztatika Gauss tétele? 10. Mi a villamos tér potenciálja, mi a mértékegysége, hol van a vonatkoztatási értéke? 11. Melyek a leggyakrabban alkalmazott töltéseloszlás modellek? 12. Milyen irányúak a villamos tér erővonalai, mit fejez ki sűrűsége? 13. Milyen erővonalképe van egy magában álló pontszerű pozitív töltés terének? 14. Milyen erővonalképe van egy vonalszerű pozitív töltés terének? 15. Milyen erővonalképe van egy végtelen kiterjedésű töltött sík terének? 16. Milyen erővonalképe van két végtelen kiterjedésű sík töltés terének? 17. Milyen a síkkondenzátor felépítése? 18. Mi a villamos kapacitás, mi a mértékegysége? 19. Hogyan határozható meg egy síkkondenzátor kapacitása? 20. Hogyan határozható meg a kondenzátor energiája? 21. Mitől függ a feltöltött kondenzátor fegyverzeteire ható erő nagysága? 22. Hogyan számítható a sorosan és a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása, töltése és energiája? 23. Hogyan alakulnak a villamos térjellemzők kereszt- és a hossz-irányban rétegezett szigetelőanyagban?

19

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

14. Példák, feladatok A vákuum dielektromos állandója (permittivitása) ε 0 =

10 −9 As As = 8,84 ⋅ 10 −12 . Vm 9 ⋅ 4π Vm

1. Az ábrán látható kapacitív osztó C1 kondenzátorának kapacitása C1=101 nF, C2=10 µF. A V voltmérő 10 V feszültséget mutat. Mekkora a teljes kapacitásláncra jutó U feszültség? {U=1000 V}

C1 U C2

V

2. Egy A lemezfelületű, d dielektrikum vastagságú C1 síkkondenzátort t=5 s ideig I=8 µA állandó árammal feltöltünk U=100 V feszültségre. A tápforrásról leválasztva párhuzamosan összekötjük egy olyan töltetlen C2 síkkondenzátorral, amelynek lemezfelülete 2A, dielektrikum vastagsága pedig d/2. Mekkora a C1 kondenzátor kapacitása, tárolt töltése és energiája a tápforrásról való leválasztáskor? Mekkora a C2 kondenzátor kapacitása? A C1 és C2 párhuzamos összekapcsolása után kialakuló állandósult állapotban mekkora lesz az egyes kondenzátorok feszültsége, tárolt töltése és energiája? Mekkora a veszteségi energia? {C1=0,4 µF, Q1=40 µC, W1=2 mWs, C2=1,6 µF || U1= U2=20 V, Q1=8 µC, Q2=32 µC, W1=0,08 mWs, W2=0,32 mWs, ∆W=1,6 mWs, } 3. Egy U feszültségre kapcsolt síkkondenzátor két fegyverzete között d=5 mm vastag porcelán szigetelő anyag van (εr=5). Hogyan változik meg a kondenzátor eredő kapacitása, ha a porcelán és az egyik fegyverzet közé 1 mm levegőréteg (εr=1) kerül? Hogyan oszlik meg a feszültség a porcelán és a levegőréteg között? Hogyan változik a térerősség a porcelánban a légrés nélküli értékhez képest? Mekkora a levegőréteg térerőssége a porcelánéhoz képest? {Ce= Cp/2, Up= Ulev= U/2, Ep2= Ep1/2, Elev= 5Ep2} 4. Az ábrán látható elrendezésben U=100 V, C1=5 µF, C2=2 µF és C3=3 µF. Számítsa ki az eredő kapacitást, az egyes kondenzátorok feszültségét, a bennük tárolt töltést és energiát. {Ce=2,5 µF, U1= U2= U3=50 V, Q1=250, µC, Q2=100 µC, Q3=150 µC, W1=6,25 mWs, W2=2,5 mWs, W3=3,75 mWs}

C2 C1 C3 U

20

II. Elektrosztatika

5. Egy síkkondenzátort t=10 s ideig áramgenerátorról töltünk I=10 µA állandó árammal. Ha a fegyverzetek között levegő van, akkor a feltöltött állapotban mérhető feszültség Ulev=100 V, ha szigetelő anyag, akkor Uszig= 20 V. Mekkora a két esetben a kondenzátor kapacitása és a benne tárolt energia? Mekkora a szigetelő anyag εr relatív dielektromos állandója? {Clev=1 µF, Cszig=5 µF, Wlev=5 mWs, Wszig=1 mWs, εr= 5} 6. Az ábrán látható elrendezésben U=100 V, C2=2 µF és C3=3 µF. A C1 kondenzátor dielektrikuma d1=12,5 mm vastagságú porcelán (εr=5), az egyik elektródnál d2=0,1 mm levegőréteg van. A korong alakú fegyverzetek sugara r=6 cm. Számítsa ki a C1 kondenzátor kapacitását, az eredő kapacitást, az egyes kondenzátorok feszültségét és a bennük tárolt töltést. {C1=0,3846 µF, Ce=0,357 µF, U1=92,82 V, U2= U2=7,14 V, Q1=35,7 µC, Q2=14,28 µC, Q3=21,42 µC} 7. Az a) ábrán látható elrendezésben a korong alakú fegyverzetek átmérője D=12 cm, a csillám dielektrikum (εr=6) vastagsága d1=4 mm. Mekkora az így kapott síkkondenzátor kapacitása? Hogyan változik az eredő kapacitás, ha a b) ábra szerint a csillám mellé egy d2=1 mm vastagságú plexi lapot (εr=3) helyezünk? {C1=150 pF, Ce=100 pF}

C2 C1 C3 d1

d2 U

A

d1 a)

A

d1

d2

b)

8. Az ábrán látható elrended Ø 12 cm zésben U=150 V, C1=3 nF C3=5 nF. A C2 kondenzátor dielektrikuma d=1 mm vasC2 tagságú üveg (εr= 10). A korong alakú fegyverzetek átmérője 12 cm. Számítsa ki C1 a C2 kondenzátor kapacitáC3 sát, az eredő kapacitást, az egyes kondenzátorok feszültségét, a bennük tárolt töltést és energiát. Mekkora U térerősség veszi igénybe a C2 kondenzátor dielektrikumát? {C1=1 nF, Ce=1 nF, U1=100V, U2=U3=50 V, Q1=300 nC, Q2=50 nC, Q3=250 nC, W1=15 µWs, W2=1,25 µWs, W3=6,25 µWs, E2=5⋅104 V/m}

21