i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas

4

D E R E T

Konsep deret merupakan konsep matematika yang cukup populer dan aplikatif khusunya dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevant diterapkan untuk menganalisisnya. Namun demikian, sebelum membahas lebih jauh tentang konsep deret, terlebih dahulu akan dibahas tentang konsep notasi sigma. Notasi sigma merupakan sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma ditulis dengan lambang “ Ʃ ”. lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata “sum” yang artinya jumlah. Secara umum, sigma didefenisikan sebagai berikut: n

U1  U 2  U 3  ...  U n  U i

(4.1)

i 1

n

U i 1

i

dibaca penjumlahan suku Ui, untuk i = 1 sampai dengan i = n.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. Contoh 1 Tuliskan bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 ke dalam bentuk notasi sigma. Penyelesaian U1 = 1 = 2(1) – 1 U2 = 3 = 2(2) – 1 U3 = 5 = 2(3) – 1 U4 = 7 = 2(4) – 1

1 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com

U5 = 11 = 2(5) – 1 5

sehingga, notasi sigma dari bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 adalah

 2i  1.

■

i 1

Contoh 2 Tuliskan bentuk 1 

2 3 4 5 6 ke dalam bentuk notasi sigma.     3 5 7 9 11

Penyelesaian

1 1 U1  1   1 2 1  1

U4 

4 4  7 2  4  1

U2 

2 2  3 2  2  1

U5 

5 5  9 2  5  1

U3 

3 3  5 2  3  1

U6 

6 6  11 2  6   1

sehingga, notasi sigma dari bentuk 1 

2 3 4 5 6 adalah     3 5 7 9 11

6

i

 2(i)  1 .

■

i 1

4.1.Deret Hitung (Deret Aritmetika) Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda dinotasikan dengan b, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1

(4.2)

Misalnya: deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9, memiliki beda 2, b = 2. Misalkan suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum dari deret hitung adalah sebagai berikut: a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

(4.3)

4.1.1. Suku ke-n dari Deret Hitung (Un) Besarnya nilai suku ke-n (Un) dari sebuah deret hitung dapat diketahui dengan menggunakan rumus berikut:


Un = a + (n – 1)b

(4.4)

Contoh 3 Tentukan suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Penyelesaian: Diketahui U1 = a = 1; U2 = 3. Jadi b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2. Dengan menggunakan rumus Un, perhatikan bahwa: U2 = 1 + (2 – 1) x 2 = 3 U3 = 1 + (3 – 1) x 2 = 5 U4 = 1 + (4 – 1) x 2 = 7 U5 = 1 + (5 – 1) x 2 = 9 Dari sini, maka dengan mudah dapat diketahui suku ke-10 dari deret hitung tersebut, yaitu: U10 = 1 + (10 – 1) x 2 = 1 + 18 = 19. Jadi, suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9 adalah 19.

■

4.1.2. Jumlah n Suku Pertama (Sn) Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, mulai dari suku pertama sampai dengan suku ke-n dari deret yang dimaksud. n

Sn  U i  U1  U 2  U 3  ...  U n i 1

Untuk n = 4, maka jumlah 4 suku pertama adalah 4

S4  U i  U1  U 2  U 3  U 4 i 1


S5  U i  U1  U 2  U 3  U 4  U 5 i 1


S6  U i  U1  U 2  U 3  U 4  U 5  U 6 i 1


(4.5)

Dengan menggunakan bentuk umum Un = a + (n – 1)b, makas masing-masing S4, S5, dan S6, dapat ditulis kembali menjadi: S4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b S5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b S6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)= 6a + 15b Dengan memperhatikan pola dari masing-masing S4, S5, dan S6, maka bentuknya dapat ditulis kembali menjadi: S4  4a  6b  4a 

4  4  1 b 2

S5  5a  10b  5a 

5  5  1 b 2

S6  6a  15b  6a 

6  6  1 b 2

Sehingga secara umum dapat ditulis menjadi Sn  na 

n n  n  1 b   2a   n  1 b  2 2

(4.6)

Persamaan (4.6) masih bisa disederhanakan menjadi:

n  2a   n  1 b  2 n   a  a   n  1 b  2 n  a  Un  2

Sn 

Sehingga, jumlah n suku pertama dari deret hitung adalah Sn 

n  a  U n  atau 2

(4.7)

Sn 

n  2a   n  1 b  2

(4.8)

Contoh 4 Jumlah 10 suku pertama pada contoh 1 sebesar S10 

10  a  U10   5 1  19   5(20)  100 2


■

Catatan: Perhatikan bahwa contoh 2 cuman menhasilkan jumlah 10 suku pertama dari deret hitung sebagaimana yang terlihat pada contoh 1. Cara ini tidak memperlihatkan secara jelas berapa nilai dari masing-masing suku pertama sampai dengan suku kesepuluh. Untuk mengetahui berapa besar suku ke-6 sampai dengan suku ke-10, maka kita bisa menggunakan rumus sebagaiamana yang diperlihatkan pada contoh 1. 4.2. Deret Ukur (Deret Geometri) Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Perbandingan tersebut disebut dengan rasio yang dilambangkan dengan “ r ”. r

Un U n 1

(4.9)

Jika suku pertama dimisalkan dengan a, maka bentuk umum deret ukur adalah: a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1

(4.10)

4.2.1. Suku ke-n dari Deret Ukur Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku dan r sebagai rasio, maka suku ke-n dari deret ukur adalah: Un = arn-1

(4.11)

4.2.2. Jumlah n Suku Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n. n

Sn  U i  U1  U 2  U 3  ...  U n i 1

Untuk Un = arn-1, maka


(4.12)

Sn  a  ar  ar 2  ...  ar n  2  ar n 1 Jika kedua ruas dikalikan dengan r maka diperoleh:

rSn  ar  ar 2  ar 3  ...  ar n 1  ar n Sehingga,

Sn  rSn  a  ar n

Sn 1  p   a 1  r n  Dari sini, maka jumlah n suku pertama deret ukur adalah:

Sn  Sn 

a 1  r n 

1  r 

a  r n  1

 r  1

, untuk r < 1, dan

(4.13)

, untuk r > 1.

(4.14)

Contoh 5 Diketahui sebuah deret berikut: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 Tentukan suku ke 8, kemudian tentukan berapa jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut. Penyelesaian Diketahui: U1 = a = 5; U2 = 10; U3 = 10; U4 = 10; U5 = 10. Sehingga r

Un U 10  2  2 U n 1 U1 5

Untuk n = 8, a = 5, dan r = 2, maka U8 = (5)(2)8-1 = 5 x 27 = 5 x 128 = 640. Jadi, suku ke-8 dari deret tersebut adalah 640. Selanjutnya, karena r = 2 > 1, maka jumlah 8 suku pertama dari deret yang dimaksud adalah:

S8 

5  28  1

 2  1

 5(256  1)  1275


Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 1275.

■

4.3. Penerapan Ekonomi Dibidang bisnis dan ekonomi, prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevant diterapkan untuk menganalisanya. 4.3.1. Model Perkembangan Usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel yang dimaksud. Berpola seperti deret hitung maksudnya adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. Kasus 1 Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan pertambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, a. Berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5? b. Berapa buah genteng yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? Penyelesaian: Dari kasus tersebut, diketahui a = 3.000; b = 500; dan n = 5. a. Genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 adalah U5 = 3.000 + (5 – 1)500 = 3.000 + 2.000 = 5.000 Jadi, genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 sebanyak 5.000 buah genteng b. Banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 adalah:


S5 

5 5 5  3.000  U5    3.000  5.000   (8.000)  20.000 2 2 2

Jadi, banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 sebanyak 20.000 buah genteng.

■

Kasus 2 Besarnya penerimaan “PT. Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya adalah 720 juta rupiah pada tahun kelima dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung tentukanlah: a. Berapa perkembangan penerimaannya per tahun? b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama? c. Pada tahun keberapakah penerimaannya bisa mencapai 460 juta rupiah? Penyelesaian: a. Misalkan, besarnya penerimaan PT cemerlang pada tahun ke-n = Un. Sehingga, U5 = 720 (dalam juta rupiah), dan U7 = 980. (dalam juta rupiah). Sehingga: U5 = a + 4b →

720 = a + 4b

U7 = a + 6b →

980 = a + 6b

Untuk U7 – U5, maka diperoleh 2b = 260, sehingga nilai b = 130. Jadi, perkembangan penerimaan PT Cemerlang per tahun sebesar 130 juta rupiah. b. Untuk U5 = 720, dan b = 130, maka U5 = a + 4b

→

a = U5 – 4b = 720 – 4(130) = 720 – 520 = 200.

Jadi, penerimaan PT cemerlang pada tahun pertama sebesar 200 juta rupiah. c. Misalkan penerimaan pada tahun ke-n sebesar 460 juta rupiah, sehingga: Un = a + (n – 1)b ⇔ 460 = 200 + (n – 1)(130) ⇔ 460 = 200 + 130n – 130


⇔ 460 = 70 + 130n ⇔ 130n = 460 – 70 = 390 ⇔ n = 3. Jadi, penerimaan PT Cemerlang akan mencapai 460 juta rupiah pada tahun ke-3.

■

4.3.2. Model Bunga Majemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpanpinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimasa datang. Jumlah akumulatif dimasa datang setelah n-tahun (Fn) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut: Fn = P(1 + i)n

(4.15)

atau P

1

1  i 

dengan

n

(4.16)

Fn

Fn = Nilai masa datang tahun ke-n P = Nilai di masa sekarang i = tingkat bunga per tahun n = jumlah tahun

Persamaan (4.15) mengandung anggapan yang tersirat bahwa bunga yang diperhitungkan dibayarkan satu kali dalam setahun. Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali (misalnya m kali) dalam setahun, maka jumlah di masa datang menjadi: i   Fn  P 1    m

dengan

mn

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

atau


(4.17)

P

1 i   1    m

mn

(4.18)

Fn

i   Perhatikan bahwa, bentuk (1 + i) pada Persamaan (4.15) dan 1   pada  m

Persamaan (4.17) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang. Sedangkan bentuk

pada Persamaan (4.16) dan bentuk

1 i   1    m

mn

1

1  i 

n

pada Persaman (4.18) disebut

“faktor diskonto” (discount factori) yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah di masa datang. Kasus 3 Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% per tahun. a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan? Penyelesaian: Diketahui: P = 5.000.000; n = 3 tahun; dan i = 2% = 0,02. a. Fn = P(1 + i)n F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3 = 5.000.000. (1,061208) = 5.306.040. Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun, nasabah tadi secara keseluruhan harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,b. Bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester, maka m = 2.


i   Fn  P 1    m

mn

 0,02  F3  5.000.000 1   2    5.000.000 1,01

2 x3

6

 5.000.000 1,06152   5.307.600 Jadi, jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar, yaitu Rp. 5.307.600,-

■

Kasus 4 Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp.532.400,- dalam tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini? Penyelesaian: Diketahui: F = 532.400; n = 3; dan i = 10% = 0,1. P P

1

1  i 

n

F

1

1  0,1

3

x 532.400  400.000

Jadi, besarnya tabungan mahasiswa tersebut saat ini adalah Rp. 400.00,-

■

4.3.3. Model Pertumbuhan Penduduk Model deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Jumlah penduduk dunia mengikuti pola deret ukur, yang secara matematiknya dirumuskan sebagai berikut: P1 = P1Rt-1

(4.19)

dengan R=1+r P1 = jumlah penduduk pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t


(4.20)

r = persentase pertumbuhan per tahun t = indeks waktu (tahun) Kasus 5 Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, dengan tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. a. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. b. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian? Penyelesaian Diketahui: P1 = 1 juta; r = 4% = 0,04; R = 1,04. a. P tahun 2006 berarti t = 16 P16 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943. Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa. b. Perhatikan bahwa perhitungan dimulai dari 2006 sehingga pada bagian ini P1 = P16 = 1.800.943; r = 2,5% = 0,025; R = 1,025. Sehingga: P11 = 1.800.943 (1,025)10 = 2.305.359 Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian terhitung dari tahun 2006 sebesar 2.305.359 jiwa.

■

Soal-Soal Latihan 1. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + .... 2. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. 3. Carilah jumlah dari: a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif yang pertama. 4. Carilah suku ke-27 dari setiap deret hitung berikut: a. 3 + 7 + 11 + ... b. -8 + (-4) + 0 + 4 + ... 5. Suku ke-6 sebuah deret hitung adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. supaya suku ke-n sama dengan 0, maka berapakah nilai n?


6. Carilah jumlah dari 6 suku pertama pada setiap deret ukur berikut: a. 3 + 9 + 27 + 81 + ... b. 16 + 8 + 4 + 2 + ... 7. Carilah enam suku pertama dari deret ukur berikut: a. a = 2; r = 1/3 b. a = 6; r = -2 8. suku ke-5 dan suku ke-8 suatu deret ukur berturut-turut adalah 48 dan 384. Tentukan suku ke-4 dari deret tersebut. 9. Jika (k + 1) + (k – 1) + (k – 5) membentuk deret ukur, maka tentukanlah nilai k tersebut. 10. Jika Tuan X mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000,- dengan tingkat bunga yang berlaku 12 persen per tahun, berapakah nilai total deposito Tuan X pada akhir tahun ketiga? 11. Seorang mahasiswa ingin menabung uangnya Rp.1.500.000,- di Bank dengan tingkat suku bunga yang berlaku 15% per tahun. berapakah nilai uangnya dimasa datang setelah 10 tahun kemudian jika bunganya dihitung: a. Semesteran b. Kuartalan c. Bulanan d. Harian 12. Seorang ibu ingin merencanakan uang tabungannya di Bank pada tahun ketiga akan berjumlah Rp.30.000.000,-. Tingkat bunga yang berlaku 15% per tahun. Berapakah jumlah uang tabungan ibu tersebut saat ini?


i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas

Recommend Documents