Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis

Jurnal Konvergensi Vol. 5, No. 1, April, 2015

Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis La Ode Aliza Idrus, Aris Thobirin1) , Program Studi Matematika Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta Email: [email protected]

1)

Abstrak Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui batas atas dan batas bawah terbaik pada ketidaksamaan Wallis. Ketidaksamaan Wallis diperoleh dari hasil formula Wallis. Dari hasil formula Wallis kemudian digunakan untuk menentukan batas atas dan batas bawah pada ketidaksamaan Wallis serta sekaligus membuktikannya sebagai batasan terbaik dari ketidaksamaan tersebut. Metode Penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari literatur-literatur yang terkait dengan proses penentuan dan pembuktian batas atas dan batas bawah terbaik pada ketidaksamaan Wallis. Sumber penelitian berupa buku, jurnal, serta sumber-sumber lain yang mendukung penelitian ini. Ketidaksamaan Wallis pada penulisan ini dapat ditentukan dengan membentuk formula Wallis lebih dahulu. Formula Wallis yang telah dibentuk kemudian digunakan untuk menentukan batas atas dan batas bawah pada ketidaksamaan Wallis. Selanjutnya untuk membuktikan batas atas dan batas bawah tersebut sebagai batasan terbaik, ketidaksamaan Wallis dapat diubah ke bentuk fungsi gamma untuk mempermudah pembuktian. Fungsi gamma yang dihasilkan berupa barisan monoton yang terbatas. Dan oleh karena barisan monoton yang terbatas, sehingga menentukan batas atas dan batas bawah dari fungsi gamma tersebut dapat ditentukan. Selanjutnya fungsi gamma diubah kembali ke bentuk awal yaitu ke bentuk ketidaksamaan Wallis. Hasil batas atas dan batas bawah yang diperoleh dari fungsi gamma yaitu dapat mengetahui batas atas dan batas bawah terbaik pada ketidaksamaan Wallis. Kata kunci : Faktorial Rangkap, Teorema Binomial, Barisan Monoton, Fungsi Gamma, Formula Wallis, Ketidaksamaan Wallis.

1. Pendahuluan Kalimat matematika merupakan kalimat yang mendukung pengertian matematis,diantaranya terdiri dari kalimat pernyataan, kalimat tertutup, kalimat terbuka,kesamaan, persamaan, ketidaksamaan, dan pertidaksamaan. Kalimat pernyataanadalah kalimat yang hanya mengandung nilai benar atau salah. Contoh kalimatpernyataan yaitu 𝑠𝑖𝑛 90° = 1 merupakan kalimat yang memiliki nilai benar, dan semua bilangan prima itu ganjil adalah kalimat yang memiliki nilai salah. Selain itu, kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang memiliki nilai benar atau nilai salah yang ditentukan oleh variabel. Contoh kalimat terbuka yaitu 𝑥 + 2 = 9, ∀𝑥 ∈ 𝑅 . Kalimat ini akan bernilai benar, jika𝑥bernilai 7. Akan tetapi jika𝑥bukan bernilai 7, maka kalimat tersebut akan bernilai salah. Ada pun kalimat tertutup adalah Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis La Ode Aliza Idrus

25


suatu kalimat yang hanya mempunyai nilai benar saja atau nilai salah saja. Contoh kalimat tertutup yaitu bilangan 8 habis dibagi 3 merupakan pernyataan yang bernilai salah, 4𝑥 + 3 = −1 untuk 𝑥 = −1merupakan pernyataan yang bernilai benar, dan lain sebagainya. Selain itu, kasus persamaan tidak jarang dijumpai dalam permasalahanmatematika terutama di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA) dan denganmudah diperoleh penyelesaiannya. Hal yang hampir sama penting denganpersamaan adalah menyelesaikan pertidaksamaan. Pertidaksamaan adalah suatukalimat terbuka yang menggunakan variabel dan belum diketahui nilainya.Pertidaksamaan pada umumnya dihubungkan dengan salah satu tanda hubungberikut di kedua ruasnya yaitu ">" untuk menyatakan lebih dari, "≥" untukmenyatakan lebih dari atau sama dengan, "< " untuk menyatakan kurang dari,dan " ≤" untuk menyatakan kurang dari atau sama dengan. Contoh pertidaksamaan yaitu9𝑥 − 7𝑖 > 3(3𝑥 − 7𝑢), 𝑥 + 5 ≥ 8, dan lain-lain. Ada punsuatu pernyataan yang bernilai benar dan memuat salah satu tanda >, ≥, < atau ≤disebut ketidaksamaan. Ketidaksamaan yang akan dibahas pada bab ini adalah Ketidaksamaan Wallis. Ketidaksamaan Wallis merupakan ketidaksamaan yang diperoleh dari hasil formula Wallis. Formula Wallis adalah formula yang digunakan untuk dan menentukan nilai integral tentu ketika dihadapkan pada permasalahan fungsi trigonometri yang berpangkat 𝑛, untuk 𝑛adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 1. Dari formula Wallis yang telah dibentuk, kemudian digunakan untuk menentukan batas atas dan batas bawah serta sekaligus membuktikannya sebagai batasan terbaik dari ketidaksamaan Wallis tersebut.

2. Tinjauan Pustaka 2.1 Ketidaksamaan (Hardy, G., Littlewood J.E., &Polya, G. 1999) Ketidaksamaan adalah suatu pernyataan yang sudah jelas kepastiannya, yaitu baik pasti benar maupun pasti salah dan dihubungkan dengan salah satu tanda hubung berikut di kedua ruasnya, yaitu ">" untuk menyatakan lebih dari, " ≥" untuk menyatakan lebih dari atau sama dengan, " < " untuk menyatakan kurang dari, dan " ≤" untuk menyatakan kurang dari atau sama dengan.

2.2 Intergal Integral adalah suatu bentuk operasi balikan (invers) dari pendiferensialan ataudiferensiasi. Diferensiasi merupakan suatu proses dalam menemukan turunan.Kebalikan dari turunan disebut antiturunan. Integral dapat digunakan untukmerujuk pada antiturunan, yaitu suatu fungsi 𝐹yang turunannya adalah fungsi𝑓.Suatu fungsi yang menghasilkan fungsi baru pada kasus ini disebut integral taktentu atau antiderivatif. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti atau masihmengandung variabel. Akan tetapi, jika fungsi 𝑓merupakan fungsi kontinu yangterdefinisi pada sebuah interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka disebut integral tentu. Hasil akhir dari integral ini berupa nilai tertentu dan tidak lagi mengandung variabel. Mendefinisikan integral tentu dapat digunakan teorema dasar kalkulus. Selain teorema dasar kalkulus, sifat-sifat aljabar dari integral tak tentu berperan penting 26

Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis La Ode Aliza Idrus


dalam menentukan penyelesaian dari integral tentu. Dan untuk mempermudah menyelesaikan permasalahan integral tak tentu dan integral tentu, terlebih dahulu dibutuhkan tekhnik pengintegralan. Teknik pengintegralan yang dimaksud adalah pengintegralan parsial. Menurut Purcell, J. E., &Varberg, D (1987), Integral parsial adalah suatu teknik yang mengubah integral perkalian fungsi ke bentuk lebih sederhana. Misalkan 𝑑𝑢 = 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥dan 𝑑𝑣 = 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥maka bentuk persamaan intergral parsial dapat dituliskan: 1. Pengintegralan parsial terhadap integral tak tentu ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 2. Pengintegralan parsial terhadap integral tentu 𝑏

𝑏

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = [𝑢 𝑣]𝑏𝑎 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝑎

𝑎

Menurut Stromberg, R. K (1981), Integral tak tentu (antiderivatif) adalah suatu bentuk operasi pengintegralan terhadap suatu fungsi yang menghasilkan fungsi baru. Fungsi baru yang dimaksud belum memiliki nilai pasti, sebab masih mengandung variabel. Oleh karena itu, integral ini dinamakan integral tak tentu. Integral tak tentu dapat dituliskan dalam notasi : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Secara umum definisi integral tak tentu adalah: Jika 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) atau jika

𝑑 [𝐹(𝑥)] 𝑑𝑥

= 𝑓(𝑥), maka ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶.

2.3 Fungsi Gamma (Kingman, J.F.C. 1961) Fungsi gamma adalah suatu fungsi yang bernilai real dengan satu peubah yangdidefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu : ∞

Γ(𝑛) = ∫ 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑛 > 0 0

Fungsi gamma dapat diartikan sebagai perluasan dari fungsi faktorial untuk semuabilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak negatif yaitu 0, −1, −2, −3, … Sifat-sifat fungsi Gamma: 1. Γ(1) = 1 2. Γ(𝑛 + 1) = 𝑛Γ(𝑛) 3. Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!

2.4 Faktorial (Lipschutz, S., & Lipson Lars, M. 2000) Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam 𝑛1 cara yang berbeda dan mengikutikejadian pertama, maka suatu kejadian kedua dapat terjadi dalam 𝑛2 cara yangberbeda. Dan mengikuti kejadian kedua yaitu suatu kejadian ketiga dapat terjadidalam 𝑛3 cara yang Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis La Ode Aliza Idrus

27


berbeda, dan seterusnya. Maka banyaknya cara agar kejadian-kejadiantersebut dapat terjadi dalam urutannya dapat dinyatakan sebagai berikut : 𝑛1 𝑛2 𝑛3 … 𝑛1 𝑛2 𝑛3 …didefinisikan sebagai 𝑛 faktorial dan dinotasikan 𝑛!. sehingga dapat disimpulkan: 𝑛! = 1 2 3 … (𝑛 − 3)(𝑛 − 2)(𝑛 − 1)𝑛 Dengan kata lain, 𝑛!adalah hasil kali bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai 𝑛. Faktorial dapat didefinisikan secara rekursif dengan cara : 𝑛(𝑛 − 1)! 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 1 𝑛! = { 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 0 Didasarkan pada sifat fungsi gamma diperoleh: Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)! Atau Γ(𝑛 + 1) = n(𝑛 − 1)! = 𝑛!

2.5 Kombinasi (Lipschutz, S., & Lipson Lars, M. 2000)

Diberikan sebuah himpunan 𝑛objek, sebuah kombinasi dari 𝑛objek diambil 𝑘secara berturut-turut adalah suatu pemilihan 𝑘objek yang urutannya tidakberpengaruh. Dengan kata lain, kombinasi𝑘dari himpunan 𝑛objek adalah suatusubset dari 𝑘elemen. Banyaknya himpunan bagian 𝑘elemen dari sebuah himpunan dengan𝑛elemen dinyatakan sebagai : 𝑛 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑎𝑡𝑎𝑢 ( ) 𝑘 ≤ 𝑛 𝑘 Banyak kombinasi 𝑘 dari 𝑛 unsur yang berbeda adalah: 𝑛! 𝐶(𝑛, 𝑘) = (𝑛 − 𝑘)! 𝑘! 𝑛 Dalam kasus khusus jika 𝑛 = 𝑘, maka ( ) = 1. 𝑛

2.6 Koefisien Binomial (Johnsonbaugh, R. 1997) Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasilpenjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya(𝑎 + 𝑏)𝑛 .Suatu binomial (𝑎 + 𝑏)𝑛 yang dijabarkan dalam bentuk penjumlahan akanmembangkitkan koefisienkoefisien yang merupakan bilangan kombinasi.Teorema yang digunakan untuk menurunkan formula yang diperoleh daripenjabaran (𝑎 + 𝑏)𝑛 dengan menggunakan kombinasi adalah Teorema Binomial. Teorema binomial adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembanganeksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Jika 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan real, dan 𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka: 𝑛

𝑛 (𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏𝑘 𝑘 𝑛

𝑘=0

2.7 Himpunan Menurut Stoll, Robert. R. (1979), himpunan adalah kumpulan elemen atau unsur yang dapat didefinisikan denganjelas. Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital dan anggota himpunan di atasi dengan tanda kurung kurawal, yaitu {…}.

28



Contoh himpunan adalahartinya himpunan 𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑}mempunyai anggota 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑑atau dengankata lain dapat dikatakan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑𝑎𝑛 𝑑merupakan anggota himpunan𝐴. Menurut Thobirin, A., & Herawan, T (2009), batas atas dan baras bawah suatu himpunan didefinisikan dengan diberikan himpunan 𝑆 ⊂ 𝑅, a. Bilangan 𝑢 ∈ 𝑅 disebut batas atas (upper bound) 𝑆, jika 𝑠 ≤ 𝑢, ∀𝑠 ∈ 𝑆. b. Bilangan 𝑤 ∈ 𝑅 disebut batas bawah (lower bound) 𝑆, jika 𝑤 ≤ 𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆.

2.8 Barisan Monoton (Thobirin, A., & Herawan, T. 2009) Diberikan (𝑥𝑛 ) adalah barisan bilangan real. Barisan (𝑥𝑛 ) dikatakan monoton naik jika: 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+1 ≤ ⋯ ∀𝑛 𝜖ℕ. Barisan dikatakan monoton turun jika: 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ 𝑥3 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑛 ≥ 𝑥𝑛+1 ≥ ⋯ ∀𝑛 𝜖ℕ. Barisan (𝑥𝑛 ) dikatakan monoton jika (𝑥𝑛 ) monoton naik atau (𝑥𝑛 ) monoton turun. Selanjutnya barisan (𝑥𝑛 ) dikatakan monoton naik tegas jika: 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛+1 ∀𝑛 𝜖ℕ dan barisan (𝑥𝑛 ) dikatakan monoton turun tegas jika: 𝑥𝑛 > 𝑥𝑛+1 ∀𝑛 𝜖ℕ. (Teorema Kekonvegenan Monoton). Barisan bilangan real yang monoyon akan konvergen, jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Lebih lanjut, a. Jika (𝑥𝑛 ) barisan monoton naik terbatas ke atas, maka: lim(𝑥𝑛 ) = sup{𝑥𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}. b. Jika (𝑦𝑛 ) barisan monoton turunterbatas ke bawahatas, maka: lim(𝑦𝑛 ) = inf{𝑦𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}.

2.9 Faktorial Rangkap (Arfken, G.1985) Faktorial rangkap adalah jumlah yang ditetapkan untuk semua bilangan bulat𝑛yang lebih dari atau sama dengan −1, dan dilambangkan dengan dua tanda seru (!!). Faktorial rangkap diimplementasikan dalam matematika sebagai𝑛‼. Faktorial rangkap dapat didefinisikan: 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 5 3 1, 𝑛 > 0, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑛‼ = { 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 6 4 2 𝑛 > 0, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 1 , 𝑛 = −1, 𝑑𝑎𝑛 0 Dan 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 5 3 1, 𝑛 > 0, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 (𝑛 − 1)‼ = { 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 6 4 2 𝑛 > 0, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 1 ,𝑛 = 0

2.10

Ketidaksamaan Wallis

Ketidaksamaan Wallis berbentuk: 1 2√𝑛

<

√2 √(2𝑛+1)𝜋

< 𝑃𝑛 <

2 √((4𝑛+1))𝜋

<

1 √3𝑛+1

<

1 √2𝑛+1

<


1 dengan𝑃𝑛 √2𝑛

=

(2𝑛1 )‼ , ∀𝑛 ∈ (2𝑛)‼

ℕ

29


3. Hasil dan Pembahasan Integral Wallis diperkenalkan oleh John Wallis seorangmatematikawan Inggris. Beliau mengemukakan bahwa : 𝜋 2

(1616

−1703)

𝜋 2

∫ sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑎𝑛 ∫ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 0

0

Diselesaikan dengan menggunakan formula reduksi. Formula reduksi dapat diturunkan dengan menggunakan salah satu metode umum integral, yaitu integral parsial. Formula reduksi yang telah dibentuk dapat digunakan sebagai acuan untuk membentuk formula Wallis. Formula reduksi pada Integral Wallis dapat diuraikan tentang fungsi sinus, fungsi cosinus, serta fungsi gabungan sinus dan cosinus. Formula Wallis adalah formula yang digunakan untuk menentukan nilai integral 𝜋 tentu dengan batasan nol (0) sampai terhadap fungsi sin𝑛 (𝑥) , cos 𝑛 (𝑥) dan 2 cos𝑚 (𝑥) sin𝑛 (𝑥) terhadap bilangan bulat positif 𝑚dan 𝑛. Bentuk formula Wallis terhadap fungsi sinus dan cosinus dapat dituliskan: 𝜋 2

𝜋 2

𝑃𝑛 = ∫ sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 0

0

(𝑛 − 1) 𝑃𝑛−2 , 𝑛 ≥ 2 𝑛

Oleh karena 0 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 maka batas bawah: sin 𝑥 = 0 → 𝑥 = sin−1 (0) = 0, batas 𝜋 𝜋 atas sin 𝑥 = 1 → 𝑥 = sin−1(1) = 2 untuk 𝑥 = [0, 2 ]. Diketahui 𝑃1 = 1, maka bentuk formula Wallis fungsi 𝑃𝑛 untuk 𝑛 bilangan ganjil adalah: (𝑛 − 1)(𝑛 − 3)(𝑛 − 5) … 6 4 2 (𝑛 − 1)‼ 𝑃𝑛 = = , 𝑛 > 2, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙. (𝑛)‼ 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 7 5 3 𝜋 Diketahui 𝑃0 = , mka bentuk formula Wallis fungsi 𝑃𝑛 untuk 𝑛 bilangan genap 2 adalah: (𝑛 − 1)(𝑛 − 3)(𝑛 − 5) … 5 3 1 𝜋 𝜋 (𝑛 − 1)‼ 𝑃𝑛 = = , 𝑛 ≥ 2, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑛(𝑛 − 2)(𝑛 − 4) … 6 4 2 2 2 (𝑛)‼ Jadi dapat disimpulkan bahwa bentuk formula Wallis fungsi 𝑃𝑛 adalah : (𝑛 − 1)‼ 𝑛 > 2, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 (𝑛)‼ ∫ sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 (𝑛 − 1)‼ 𝑛 ≥ 2, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 0 0 {2 (𝑛)‼ 𝜋 2

𝜋 2

Oleh karena 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, maka 𝑛 terdiri dari bilangan 2 dan kelipatannnya, yaitu 2,4,6,8, …. Dan oleh karena bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, maka untuk setiap 𝑛genap berlaku formula2𝑛, untuk setiap 𝑛bilangan asli, diperoleh : 𝑃𝑛 =

30

(2𝑛 − 1)‼ ,𝑛 ≥ 1 (2𝑛)‼



Formula Wallis pada kemudian digunakan untuk menentukan batas atas dan batas bawah pada ketidaksamaan Wallis sampai membuktikannya sebagai batasan terbaik dari ketidaksamaan Wallis tersebut.

4.1 Batas Atas dan Batas Bawah pada Ketidaksamaan Walliis 1 2√𝑛

Ketidaksamaan Wallis berbentuk: 1 √2𝑛+1

<

ℕ.

1 . √2𝑛

<

√2 √(2𝑛+1)𝜋

< 𝑃𝑛 <

2 √((4𝑛+1))𝜋

𝑃𝑛 merupakan formula Wallis yang dapat dituliskan: 𝑃𝑛 =

Ketidaksamaan Wallis √2

√2 √(2𝑛+1)𝜋

√2

√2 √(2𝑛 + 1)𝜋

< 𝑃𝑛 <

< 𝑃𝑛

2 1

2

√2 √2

<

< 𝑃𝑛 <

2√(𝑛 + ) 𝜋 1 √𝜋 (𝑛

1 + 2)

<

<

(2𝑛−1)‼ , ∀𝑛 ∈ (2𝑛)‼

dapat diubah menjadi: 2

√2

√((4𝑛 + 1))𝜋 √2 2√2 1

√2√4 (𝑛 + 4) 𝜋 2√2

< 𝑃𝑛 <

1 2

1 √3𝑛+1

√((4𝑛+1))𝜋

√2√2 (𝑛 + 2) 𝜋 2

<

1 4

2√2√(𝑛 + ) 𝜋

(2𝑛 − 1)‼ < (2𝑛)‼

1 √𝜋 (𝑛 +

1 ) 4

,𝑛 ≥ 1

Diasumsikan bahwa batas atas dan batas bawah dari 𝑃𝑛 adalah 1

batas atas terkecil dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} danbatas bawah dari 𝑄𝑛 adalah

1 1

batas

√𝜋(𝑛+2)

1 √𝜋(𝑛+ ) 4

bawah terbesar dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}.

4.2 Pembentukan Batas Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis Faktorial rangkap dapat dituliskan: (2𝑛)‼ = 2𝑛 𝑛!, Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!. Faktorial rangkap dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi gamma (Arfken, G. 1985) yaitu: 1

Γ (𝑛 + 2) =

(2𝑛−1)‼ 2𝑛

√𝜋.

Dari 2 persamaan tersebut menghasilkan: 1 Γ (𝑛 + ) 2𝑛 = (2𝑛 − 1)‼ √𝜋 2 (2𝑛 − 1)‼ =

1 2

Γ (𝑛 + ) 2𝑛 √𝑛

1

Γ (𝑛 + ) 2 1 2 = Γ (𝑛 + ) = 2 √𝑛 √𝜋 2𝑛


𝑛

31


Dan (2𝑛)‼ = 2𝑛 𝑛!dan (2𝑛)‼ = 2𝑛 Γ(n + 1) = Γ(n + 1)2n . Substitusikan: (2𝑛)‼ 2𝑛 Γ(n + 1) Γ(n + 1)√𝜋 √𝜋 = 2𝑛 = 2𝑛 Γ(n + 1) = 1 1 1 (2𝑛 − 1)‼ Γ (𝑛 + ) Γ (𝑛 + ) 2𝑛 Γ (𝑛 + ) √𝜋

2

2

2

Dan persamaan 1

<

1 2

√𝜋 (𝑛 + )

(2𝑛 − 1)‼ < (2𝑛)‼

1 1 4

√𝜋 (𝑛 + )

(2𝑛 − 1)‼ Γ(n + 1)√𝜋 = 1 (2𝑛)‼ Γ (𝑛 + ) 2

Kembali disubstitusikan: 1 Γ(n + 1)√𝜋 1 < √𝜋√(𝑛 + ) √𝜋√(𝑛 + ) < 1 4 2 Γ (𝑛 + ) 2

2

1 Γ(n + 1) 1 <[ − 𝑛 < ] 1 4 2 Γ (𝑛 + ) 2

1

1

Sehingga ketidaksamaan Wallis yang telah disederhanakan menjadi 4 < (𝑄𝑛 ) < 2. Kemudian pada ketidaksamaan akan diubah kembali menjadi bentuk (𝑃𝑛 ) semula agar diperoleh hubungan antara (𝑃𝑛 ) dan (𝑄𝑛 ) adalah: 1 √𝜋(1 + 𝑄1 ) Untuk 𝑛 = 1, maka (2(1)−1)‼ (2(1))‼

(2𝑛−1)‼ (2𝑛)‼

1 2

(2(1)−1)‼ (2(1))‼

1

= 2. Jadi diperoleh:

1

1 √𝜋(1+𝑄1 )

=

= 2 adalah benar.

Untuk 𝑛 = 𝑘, jika

(2𝑘−1)‼ , ∀𝑛 ∈ ℕ adalah (2𝑘)‼ (2𝑛−1)‼ = (2𝑛)‼ , ∀𝑛 ∈ ℕ. √𝜋(𝑛+𝑄𝑛 )

1

√𝜋(1+𝑄𝑘 ) 1

untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. Sehingga

Selanjutnya oleh karena, 1

menjadi:

=

=

1 √𝜋(𝑛+𝑄𝑛 )

=

(2𝑛−1)‼ diperoleh (2𝑛)‼

benar maka berlaku juga

1

𝑄𝑛 = 𝜋(𝑃

𝑛)

2

− 𝑛 dan𝑃𝑛 =

. Sehingga dari ketidaksamaan diperoleh:

√𝜋(𝑛+𝑄𝑛 )

𝑄𝑛 =

32

1 (2𝑛−1)‼ 2 ) (2𝑛)‼

−𝑛

𝜋(



Oleh karena

1 1 √𝜋(𝑛+ ) 4

batas atas terkecil dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}, maka:

terbalik dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} dan oleh karena ℕ}, maka:

1 1 2

√𝜋(𝑛+ )

1 1 2

√𝜋(𝑛+ )

1 1 4

batas atas

√𝜋(𝑛+ )

batas bawah terbesar dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈

batas bawah terbalik dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}.

Sehingga dengan demikian, penentuan sera pembuktian batas atas dan batas bawah yang merupakan batas terbaik pada ketidaksamaan Wallis telah tercapai.

4. Kesimpulan Di dalam ketidaksamaan Wallis, formula Wallis memiliki 2 kegunaan, yaitu : 1. Formula Wallis yang telah dibentuk dapat digunakan untuk menentukan 𝜋 nilaiintegral tentu dengan batasan nol (0) sampai 2 terhadap fungsi sin𝑛 (𝑥), cos 𝑛 (𝑥), dan cos𝑚 (𝑥). sin𝑛 (𝑥)terhadap bilangan bulat positif atau bilanganasli 𝑚dan𝑛, ketika dihadapkan pada permasalahan fungsi trigonometri yangberpangkat𝑛, untuk 𝑛adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 1. Formula Wallis yang digunakan untuk menentukan nilai integral tentu adalah : (𝑛 − 1)‼ 𝑛 > 2, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 (𝑛)‼ 𝑃𝑛 = 𝜋 (𝑛 − 1)‼ 𝑛 ≥ 2, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 {2 (𝑛)‼ 2. Formula Wallis yang telah dibentuk juga digunakan untuk menentukan batasatas dan batas bawah serta sekaligus membuktikannya sebagai batasan terbaik dari ketidaksamaan Wallis tersebut. Ketidaksamaan Wallis berbentuk : 1 2√𝑛

<

√2 √(2𝑛 + 1)𝜋

Dengan 𝑃𝑛 =

< 𝑃𝑛 <

(2𝑛−1)‼ , ∀𝑛 ∈ (2𝑛)‼

{𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} dan

1 1 2

√𝜋(𝑛+ )

2 √(4𝑛 + 1)𝜋

ℕ diperoleh

<

1 √3𝑛 + 1 1 1 4

<

1 √2𝑛 + 1

<

1 √2𝑛

batas atas terbaik dari

√𝜋(𝑛+ )

batas bawah terbaik dari {𝑃𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ}.


33


Daftar Pustaka [1] Arfken, G. 1985. Mathematical Methods for Physicists (3𝑟𝑑 ed.). Orlando, Florida: Academic Press. [2] Chen, P.C. 2005. Proof of the Best Bounds in Wallis Inequality. General Mathematics, 13(2), 117-120. [3] Chen, P.C., & Qi, Feng. 2005. Best Upper and Lower Bound in Wallis Inequality. J. Indones. Math. Soc. (MIHMI), 11(2), 137-141. [4] Dictionary of Mathematic(2nd ed). 1966. New York: McGraw-Hill. [5] Hardy, G., Littlewood J.E., & Pólya, G. 1999. Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press. [6] Hobson, J.A. Integration 10: Further Reduction Formulae. Diakses 3 Januari 2014, dari http://www.uea.ac.uk/jtm/12/Lec12p10.pdf [7] Johnsonbaugh, R. 1997. Discrete Mathematics (4𝑡ℎ ed. ). Prentice-Hall. Diakses 11 Juni 2014, dari http://antoniuscp.files.wordpress.com/2013/02/4-koefisien_binomial.pdf [8] Kazarinoff, D.N. 1956. On Wallis Inequality. Edinburgh. Math. Soc. Notes, (40), 19-21. [9] Kazarinoff, D.N., Holt, Rhinehart, & Winston. 1961. Analytic Inequalities. New York: The University of Michigan. [10] Kingman, J.F.C. 1961. A Convexity Property of Positive Matrices. Quart. J. Math. Oxford (2), 12, 283284. [11] Lipschutz, S., & Lipson Lars, M. 2000. Seri Penyelesaian Soal Schaum: Matematika Diskrit 2 (edisi 1) , Terj. Solved Problems in Discrete Mathematics(1st ed), Tim Editor Penerbit Salemba Teknika (Pen.).Jakarta: Salemba Teknika. [12] Luke, Y.L. 1972. Inequalities for the Gamma Function and its logarithmic Derivative. Math. Balkanica (N.S.), 2, 118-123. [13] Purcell, J.E., & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis (edisi 7), Terj. Calculus with Analytic Geometry(5th ed), I. Nyoman Susila, Bana K., & Rawuh (Pen.). Jakarta: Erlangga. [14] Sondow, Jonathan.,& Weisstein, E.W. 1994. Wallis Formula. From MathWorld- A Wolfram Web Resource. New York. Ditemukenali 13 Juni 2013, dari http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html [15] Stevanovic, R.M. 2003. Inequalities for Wallis Products. Mathematica Moravica, 7, 67-72. [16] Stoll, Robert. R. 1979. Set Theory and Logic. New York: Dover Publications. Diakses 29 November 2014, dari http://id.wikipedia.org/w/ index.php?title=Himpunan_(matematika)&oldid=8276454 [17] Stromberg, R. K. 1981. Introduction to Classical Real Analysis. Wadsworth. Diakses 2 Juni 2014, dari http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_tak_tentu&oldid=68032 19 [18] Thobirin, A., & Herawan, T. 2009. Analisis Real 1 (1st . ed. ).Yogyakarta: FMIPA Universitas Ahmad Dahlan. 34



[19] Wardiman, Abidin, Z.M (Ed.), & DP. Endah (Ed.). 2002. Hitung Integral: Teori, Soal, dan Penyelesaian (edisi 6). Yogyakarta: PT Hanindita Graha Widya. [20] Weisstein, E.W. Wallis Cosine Formula. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. New York. Ditemukenali 16 Juni 2013, dari http://mathworld.wolfram.com/WallisCosineFormula.html [21] Zhao, Y.Q., & Wu, Q.B. 2006. Wallis Inequality with a Parameter. China: Department of Mathematics Taizhou & Zhejiang University.


35

Batas Atas dan Batas Bawah Terbaik pada Ketidaksamaan Wallis

Recommend Documents