Hullámoptika A fizikai vagy hullámoptika körében azokat a fényjelenségeket tárgyaljuk, amelyek csak a fényhullám természetével értelmezhetők. Ilyen például a fény interferenciája, elhajlása, polarizációja, de a fény színe is. Ennek megfelelően a fény, mint periodikus hullámot fogjuk vizsgálni, amelyben egy vagy több fizikai mennyiség időben és térben periódikusan változik. A változó mennyiségek az E elektromos és a H mágneses térerősség az elektromágneses fényelmélet szerint. A fény, mint hullám A hullámoptikába tartozó jelenségek nagy részének azonban, elegendő feltételeznünk, hogy egy fényre jellemző U mennyiségre alkalmazhatók az általános hullámtan törvényei és fogalmai. Ezért az elvileg legegyszerűbb fény hullám homogén, izotrop és átlátszó közegben x irányba terjedve, az alábbi egyenlettel írható le:
Ahol A: a fényhullám amplitúdója c’: terjedési sebesség, ahol c a vákuumbeli fénysebesség, n a közeg törésmutatója λ’ : hullámhossz α: fázis állandó U: Hullámfüggvény A fenti egyenlet csak vákuumban igaz, ezért vizsgáljunk meg néhány dolgot. Először is homogén, izotrop közegre igaz: vákuumban: c = λ ν A közeg vákuumra vonatkoztatott törésmutatója: Igaz továbbá, hogy lamda’=lamda/n. Így a közegben felírható hullámfüggvény:
Ahol nx az optikai út, vagy fény út, k = ω / c a hullámszám A szinusz függvény helyett, természetesen teljesen jó a koszinusz függvény is. Sok számítás módnál igen, hasznos felhasználni, az alábbi összefüggést: ei φ =cos(fi)+i sin(fi) Így a hullámfüggvény az alábbi egyenlet szerint írható fel: U=A e j ((ωt - nx / c) + α) = A ej(2π ( νt – nx / λ ) + α) = A e j (ωt - nkx + α) Két vagy több fényhullám találkozásakor vagy együtt haladásakor olyan hullám jön létre, amelynek hullámfüggvénye az egyes hullámfüggvények összege.
U(r,t)=A U1(r,t) + B U2(r,t), illetve E = E1 + E2 és H = H1 + H2 A fényhullám intenzitását, az alábbi egyenlet írja le:
Vagyis I(r,t) = |U(r)|2 Mértékegysége: Az U(r,t) hullámfüggvény természetesen kielégíti a hullám egyenletet. Írjuk fel U-t a következő alakban: U(r,t)=A(r) ei φ(r) ei2π νt Ekkor igaz lesz rá a hullám egyenlet Deriváljuk le U-t a t szerint kétszer, ekkor a következő egyenlet lesz igaz rá:
Írjuk be az eredményt a hullám egyenletbe: Alakítsuk tovább az eredményt
∆ U(r)eiωt + k2 U(r)e iωt = 0 ∆ U(r) + k2 U(r) = 0
∆ U(r) = - k2 U(r) Ezt a Helmhotz – egyenletnek nevezzük U legyen most gömbhullám, ekkor az alábbi alakban írható
Ekkor a Helmoltz – egyenlet így néz ki: (Δ + k)2U(r)=0 Vezessük le a Helmholz –egyenletet paraxiális esetben is. Röviden a paraxiális közelítés abból áll, hogy a fénysugár a tárgyasztal síkjával kis szöget zár be, és a tárgyasztaltól mért távolság is kicsi. Ekkor egy optika rendszer egy adott mátrixszal írható le.
U legyen gömbhullám: U(r) = A(r)e-ikz A(r) lassan változik a z tengely irányában, ekkor igaz rá az alábbi közelítés (k = ω / c)
Ekkor igaz lesz az alábbi egyenlet:
Ahol
Most pedig deriváljunk kétszer:
Ezek után megadható a paraxiális Helmholtz egyenlet:
Huygens – Fresnel elv Elhajlás résen és rácson Ha a fény útjába változtatható szélességű rést helyezünk, és a rést szűkítjük, először ugyanazt tapasztaljuk, mint a mechanikai hullámok esetén. Az 1. ábrán látható, hogy a rés előbb egy keskeny nyalábot vág ki a fénynyalábból (a) , majd a hullám előbb kisebb, majd egyre nagyobb mértékben behajlik abba a térbe is, ahol eredetileg árnyéknak kellene lenni, a kép kiszélesedik A rés szélességének további csökkentésekor a réssel szemközt elhelyezett ernyőn interferenciaképet is kapunk. (b - d). Mivel a látható fény hullámhossza igen kicsiny, az elhajlás és az azt követő interferencia is csak nagyon keskeny résen való áthaladás után észlelhető. Ha a rést szűkítjük, az elhajláskép egyre szélesebbé válik. Az e) kép az interferenciakép intenzitás-eloszlását mutatja Hogyan magyarázható ez az interferencia? A Huygens-Fresnel elv értelmében a rés minden pontjából a fény elemi gömbhullámai indulnak ki, amelyek a hullámtérben, például az ernyő síkjában interferálnak egymással. Ha az ernyőn valahol sötét foltot kapunk, az azt jelenti, hogy az oda érkező hullámok mindegyikéhez volt egy olyan hullám is, amely az adott hullámot kioltotta. Ahol erősítést látunk, a fényfolt helyére érkező hullámok erősítik egymást, illetve, ha bizonyos hullámokra kioltás lép is fel, mindig marad olyan, az adott irányba tartó hullám, amelyikkel ellentétes fázisban érkező ("kioltó") hullám nem lépett át a résen. Mivel az ernyő réssel szemközti pontjába érkező fénysugarak közötti úthossz-különbség nulla, ebben a pontban biztosan erősítést tapasztalunk (nulladrendű erősítés). Ha fehér fényt ejtettünk is a résre, a kép közepére minden hullámhossz egyformán ér, tehát fehér fényfoltot kapunk. Az elsőrendű erősítések iránya azonban már a fénysugarak úthosszkülönbségétől, vagyis a hullámhossztól is függ.
Koherencia hossz A víz-, a hang-, és a rádióhullámok esetén interferencia létrehozható két egyforma hullámforrással, ezzel ellentétben sohasem tapasztalták, hogy két fényforrás hullámai interferálnának egymással. Ennek az a magyarázata, hogy a fényforrás gerjesztett atomjaiban az egyes „spontán fénykibocsátási aktusok” egymástól teljesen függetlenek, és igen rövid időtartamúak (delta t=10-8 – 10-9 s), ezért egy atom egy elemi aktus során csak véges hullámvonulatot bocsát ki, amelynek hosszúságát koherencia hossznak hívjuk. Ha tehát pl. A és B pontokból kiinduló a1 és b1 hullámvonulatok a P pontban találkoznak, a fáziskülönbségtől függően erősítés vagy gyengítés jöhet létre ugyan, de ez csak körülbelül 109 s-ig tart. A további egymást rendszertelenül követő és gyorsan követő hullá,vonultatok (a2, b2), (a3,b3), stb. – a fáziskülönbség rendszertelenül, és oly gyorsan változik, hogy viszonylag hosszú megfigyelési idő alatt (>0,1 s) állandó fáziskülönbségről nem lehet szó. Következés képpen az A és B pontokból kiinduló fény hullámok nem koherensek. Ezért az interferencia egyik feltétele az, hogy csak koherens fényhullámok tudnak interferálni. Két hullám koherens, ha: A két hullámforrás helyzete egymáshoz képest nem változik A két hullámforrás frekvenciája azonos A rezgés „huzamosabb” ideig tart. Monokromatikus fény Nézzük az alábbi hullámfüggvényt: U(r,t)=A(r)cos(2πνt+φ(r)) Egy fény, akkor monokromatikus a, ha ν frekvencia állandó, vagyis egy színű. Itt érdemes néhány szót ejteni a lézerekről. Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, azaz fénysugárzás kényszerített emisszió útján) működése röviden azon alapszik, hogy atomi részecskék belső energiájának gerjesztett állapotait alapállapotba kényszerítik. A gerjesztett atom alapállapotba visszatérésekor kibocsátott foton egy következő atomban is fénykibocsátást indukál, ami viszont további hasonló folyamatot idéz elő. Ez lavinaszerűen folytatódik, az anyag lézer impulzust bocsát ki. Az atomok, molekulák, és ionok E belső energiája csak diszkrét értékeket vehet fel. Közönséges esetben az energiaszintek a Boltzmann – eloszlásnak megfelelően vannak betöltve: Az E0 lehetséges legkisebb energia az alapállapot, ami a legvalószínűbb. Az atomot érő sugárzás csak akkor abszorbeálódik, ha energiája az atom két belső energiaszintjének ΔE energiakülönbségével egyenlő, vagyis: hυ = ΔE Az atom ekkor gerjesztett állapotba kerül. A gerjesztés rövid időn belül ismét leadja a felvett energiát. Az energia – kibocsátás legtöbbször spontán történik, de egy ΔE energiájú kvantum is kiválthatja: ez az indukált emisszió. Egyidejűleg két azonos energiájú kvantum lép ki, ezért a sugárzás erősítése figyelhető meg. Ha sugárzás erősítése látható, akkor IR – vagy UV – lézerről beszélünk. A mézernél a sugárzás erősítése a mikrohullámú tartományban történik. MASER = Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation
A lézerek tulajdonképpen fényerősítőként is tekinthetők. A lézerfény legfontosabb tulajdonságai: 1. Monokromatikus: Egy (vagy nagyon kevés) diszkrét hullámhosszúságú fényt tartalmaz. A kibocsátott fény spektrum vonalai nagyon keskenyek. 2. Koherens: A kibocsátott hullámok azonos fázisban rezegnek. A koherencia hossz legtöbbször egyenlő az impulzus hosszal, azaz több km. 3. Párhuzamos 4. Széttartása = λ / d ahol d a kristály átmérője. Például egy d=1 cm átmérőjű rubinlézer a Holdon körülbelül 40km átmérőjű kört világít meg. Rubinlézer: A rubin olyan Al2O3 kristály, amelyben néhány Al3+ ion rácsbeli helyét Cr3+ ionok foglalják el. A kristály körül elhelyezett xenon – lámpa olyan fényt bocsát ki amely a Cr3+ ionok E1= 2,2 eV energiájú állapotába gerjeszti. Ez körülbelül 10-9 másodperc alatt a gerjesztett állapot az alapállapotba tér vissza. Az 1,8 eV energiakülönbségnek megfelelő hullámhosszú fényt bocsát ki ami, 0,6943 μm (rubinvörös). Hélium – Neon lézer: Anyaga egy gáz keverék 15% He és 85% Ne. A gázzal töltött csőre adott nagyfeszültségű gázkisülést idéz elő és a héliumatom E = 20,61 eV energiájú állapotát gerjeszti. A hélium gerjesztési energiáját ütközések során a neonnak adja át, amely λ = 0,623 μm hullámhosszúságú lézerfényt bocsát ki, de más hullámhosszak is lehetségesek. II. rész A fény interferenciája, fény elhajlás A hullámok interferenciájának létrejöttekor a zavartalan szuperpozíció elve érvényesül. Ezért vegyünk két fényhullámot és vizsgáljuk meg a szuperpozíciójukat: U(r) = U1(r) + U2(r) Ekkor az intenzitás így néz ki: I(r) = |U(r)|2 = |U1(r)|2 + |U2(r)|2 + U1*(r)U2(r) + U1(r)U2*(r) Ez az interferencia Írjuk fel az intenzitás másképpen:
Az interferencia természetesen nem csak 2 hullám között jöhet létre hanem tetszőlegesen sok között. A következőkben megvizsgáljuk két hullám és végtelen sok hullám interferenciáját.
Két sugaras interferencia kx = k sin Θ kz = k cos Θ A két fény hullámot így írhatjuk fel:
Ekkor az amplitúdót így írhatjuk fel I = 2I0(1 + cos kΘx ) Írjuk fel U-t kis fényhullámok összegeként U = U1 + U2 +… + Um Um = I0 ei(m-1)φ Ekkor az intenzitás: I = |U|2 U= hU =
(h0 + h1 + h2 + … + hM-1 ) (h1 + h2 + … + hM )
Vonjuk ki a felső egyenletből az alsó egyenletet. (1 - h)U =
(1-hM)
Ekkor az intenzitás, az alábbi egyenlet szerint néz ki:
Csökkenő amplitúdójú, végtelen sok hullám interferenciája, rögzített φ esetén Az intenzitás levezetését kezdjük hasonlóan, két sugaras interferenciához hasonlóan. Először írjuk fel az U-t végtelen sok hullám összegeként U = U1 + U2 + … + Um + … Ezt követően Um és U legyen a következő: Um = U=
rm-1 ei(m-1)φ ( 1 + h + h2 + … ) =
(1-h)-1
I –re igaz lesz az alábbi összefüggés:
Vizsgáljuk meg a nevezőt, és alakítsuk át. Használjuk ki, hogy ei φ =cos(fi)+i sin(fi) és használjunk fel néhány trigonometria összefüggést. |1 - reiφ|2 = |1 – rcos φ – irsin φ |2 = (1 - rcos φ)2 + (rsin φ) 2 = 1 -2r cos φ + r2 cos2 φ + r2 sin2 φ = 1 + r2 – 2rcos φ = 1 + r2 – 2r + 4r sin2 (φ/2) Használjuk ki az alábbi trigonometriai összefüggést is: cos φ = cos 2(φ/2) = cos2 (φ/2) – sin2 (φ/2) = 1 – 2 sin2 (φ/2) Ezek alapján felírható, hogy:
Ami a végtelen sok hullám intenzitása Amplitúdó áteresztés: Vizsgáljuk még meg, hogy hogyan változik az amplitúdó nagysága, ha egy közegben mozog a hullám a z – tengely mentén z1 pontból a z2 pontba. Ez esetben az amplitúdó áteresztési függvény a következő.
d vastagságú homogén közegben a következő a függvény: t(x,y) = e-ik(0)nd Vizsgáljuk meg a vékony lencse amplitúdó áteresztési függvényét
Ekkor a függvény a következő képen fog kinézni ha 2f = R / n-1 helyettesítést alkalmazzuk
Fényelhajlás Az elhajlási jelenségeknek kétféle vizsgálata szokásos. Az egyik a Fraunhofer – féle közelítés. Ekkor a párhuzamos nyalábok interferenciáját tekintjük. Fraunhofer – féle elhajlás eredményeképpen kialakuló intenzitás eloszlás megfigyelhető, ha az ernyő és a rés közé gyűjtőlencsét helyezünk úgy, hogy annak fókusz síkja éppen az ernyőre essen. Ugyan is az Abbé - féle leképezés elmélet szerint a lencse a párhuzamos sugarakat egy pontba gyűjti a fókusz síkban, a résfelületről különböző irányba induló nyalábokat különböző pontokba. Ha
azonban az ernyőt végtelen távolinak tekintjük, akkor az ernyőn kialakuló intenzitás – eloszlás a lencse közbeiktatása nélkül is a Fraunhofer – képet adja. A Fraunhofer – kép matematikailag a Fourer – transzformációnak felel meg. Essen párhuzamos fénynyaláb egy átlátszatlan lemezre, arra merőlegesen, amelyen egy keskeny rés van 2. ábrának megfelelően. A fény hullámtermészete miatt a lemez után elhelyezett ernyőn a geometriai árnyék határán kívül is lesz fény. A párhuzamos nyalábok úthossz különbsége egyszerűen meghatározható a kinagyított ábra segítségével: Δr = z sin α A r irányba haladó fényhullám komplex amplitúdója az r függvényében így néz ki: A = A0ei (2π/λ) r Ahol a A0 a kezdeti amplitúdó, λ a fény hullámhossza. Legyen a koordináta rendszerünk középpontja a rés középpontja, z tengelye a rés felülettel legyen párhuzamos. A referencia hullám menjen át a rés középpontján, és a fázisa legyen 0. Ekkor a rés pontjaiból α szögben kiinduló hullámok fázis különbsége a referencia hullámhoz képest: Δ φ = (2π/λ) Δ r = (2π/λ) sin α = β z Az eredő hullám (a nyalábok eredőjének )amplitúdóját úgy kapjuk meg, hogy a komplex amplitúdókat összegezzük, azaz a rés két széle között integrálunk:
Ahol a bevezetett jelölés ε = β (a / 2) = (πa / λ) sin α Ekkor az intenzitás: Látható, hogy maximális intenzitás érték: A0a2. A többi csúcs amplitúdója is a2 – tel arányos. A csúcsok alatti terület a szélesség és a magasság szorzatával a – val arányos, ami megfelel annak az elvárásnak, hogy a szélesebb résen több energia jut át. Elhajlás kettős résen Ha a a résszélesség és d a rések távolsága, akkor a rések azonos pontjaiból induló nyalábok között létrejövő δ fáziskülönbség: δ = (2π/λ) d sin α Két rés esetén az eredő amplitúdó úgy számolható ki, hogy az egyes résekről kiinduló összegnyalábokat a fenti fáziskülönbséggel összegezzük: A2rés = A1rés(1 + eiδ) = A1rés eiδ/2 (e-iδ/2 + eiδ/2) = A1rés eiδ/2 2cos(δ/2) Ekkor az intenzitás, ahol felhasználtuk, hogy | eiδ/2 |2= 1:
Látható, hogy a főmaximum intenzitása ez egy-rés intenzitás négyszerese Fresnel-közelítés A továbbiakban a félteret eltakaró él esetén számoljuk ki a 3. ábrán P – vel jelölt pontban az intenzitás értékét. Helyezzük koordinátarendszerünket az élre, az F fényforrást a P ponttal összekötő egyenes mentén úgy, hogy mutasson a z tengely az élre és az FP egyenesre merőleges irányba. Az r+r’ és az a+b úton haladó fényhullámok fázisainak különbségét számoljuk ki. Az r hossza a és z függvényében
A sorfejtéssel kiszámolt érték csak kis z értékeire igaz, azonban belátható, hogy ettől nagyobb távolságara haladó hullámok járulékai elhanyagolhatók. Az r’- re is igaz, hogy:
Az a+b úton haladó hullámhoz képest az r+r’ úton haladó hullám útkülönbsége:
A két hullám fázis különbsége:
ν2 Ahol ν egy általános változó, aminek segítségével egyszerűen felírhatók a Fresnel–elhajlással kapcsolatos kifejezések. A P pontban az amplitúdó értékét úgy kapjuk meg, hogy az összes P pontba jutó hullám amplitúdóját összeadjuk és megkapjuk a Fresnel – integrálokat.
Az egyszerűség kedvéért legyen ez a két változó Aab A gömbhullámok amplitúdója függ a távolságtól. Szigorúan véve az amplitúdó minden P pontban találkozó irányra más és más. Azonban azokra a hullámokra, amelyeknek lényeges járuléka van az interferencia kép kialakításában, az amplitúdók állandónak tekinthetők, ezért kiemelhetők az integrál elé. A Fresnel – integrálok általános alakja
A Fresnel – integrálokat nem lehet analitikusan kiszámolni, értéküket numerikus integrálással kapjuk. Egy adott feladat esetén a w integrálási határ a ν változó egy meghatározott értéke. A Fresnel – integrálok értéke néhány w értéknél: C(0) = S(0) = w , és C(∞) = S(∞) = ½ A C(w) és S(w) integrálokban szereplő függvények szimmetrikusak, ezért az integrálokra igaz, hogy C(-w) = -C(w) és S(-w) = -S(w) . Ezen összefüggések segítségével kiszámítható, hogy mekkora lenne a P pontban az intenzitás értéke az él nélkül. Ha félteret nem takarja el semmi, akkor a Fresnel – integrálokkal megegyező kifejezést kapunk, csak az integrálás (- ∞ , + ∞ ) határok között kell elvégeznünk, hiszen z-vel együtt w is ezen határok között változik. Figyelembe véve, hogy az első tag integrálja:
A második tagban az S(w)-t tartalmazó integrál értéke (–∞ , +∞) határok között szintén 1. Tehát A0(P) = Aab(1 + i). Az intenzitás értéke a P pontban: I0(P) = |A0(P)|2 = A0*(P)A0(P) = Aab2(1 – i)(1 + i) = 2 Aab2 Ezek után meghatározható, hogy a félteret eltakaró él esetén mekkora lesz a P pontban az intenzitás. I(P) = Aab2 (½ – i½)(½ + i½) = ½ Aab2 = ¼ I0(P) Látható most már, hogy a féltér élének geometriai vetületén az intenzitás negyedrésze annak, mint amekkora intenzitást a félteret eltakaró él nélkül mérünk. Vizsgáljuk meg most egy tetszőleges P’ pontban az elhajlást. Ilyenkor a koordináta-tengely kezdőpontját az FP’ egyenes és az él síkjának metszéspontjába helyezzük, ahogy az a 4. ábrán is látható. A Fresnel integrálokat most (–w, ∞) határok között kell venni.
Az első és a második integrál értéke:
Tehát a P’ pontban az intenzitás értéke: I(P’) = Aab2 [ (C(w) + ½)2 + (S(w) + ½)2] Elhajlás vékony szálon Fraunhofer közelítés A vékony szál éppen ott takarja el a fényt ahol a rés átengedi, és fordítva. A szál a résnek a komplementer alakzata. A Babinet – elv szerint egy alakzat és a komplementere által elhajlított fény intenzitás eloszlása a távoli ernyőn ugyanolyan függvénnyel írható le, kivéve a tárgy ernyőre vetített geometriai képének helyét, ahol különbözik az elhajlási kép. Az elv szerint az ernyőn kialakuló elhajlási kép a rés és a vékony szál esetében azonos, kivéve a rés és a szál mögötti területeket. A szálon létrejövő elhajlás tehát ugyanúgy kezelhető, mint a rés esetén, a minimum helyeiből a szál vastagsága az: a = λL / M képletből meghatározható. Fresnel közelítés Az elhajlási kép leírása bonyolultabb, mint a Fraunhofer közelítés esetén. Ennek az az oka, hogy a véges távolságok miatt a pontszerű fényforrás keltette fényt gömbhullámokkal kell leírni, és a féltér egészéből eredő hullámok járulékait integrálni (összegezni). III. rész A fény polarizációja A fény transzverzális elektromágneses fényhullám, az E elektromos térerősség és a H mágneses térerősség a terjedés irányára merőlegesen rezeg. Nézzük meg röviden, hogy mit jelent ez. Írjuk fel E –t és H –t az r függvényében E(r) = E0 e-ikr
|k| = nk0
H(r) = H0 e-ikr Maxwell IV. egyenlete a következő: x H = iωD, ahol D = ε0 E + P = ε0E (1 + χ ), de most P = 0, ezért ha beírjuk H –t az egyenletbe a következőt kapjuk: x H = -ik x H0 e-ikr = -iωε0 E0 e-ikr Így a transzverz elektromágneses hullám a követező, képen írható le: k x H0 = -ωε E0 k x E0 = ωμ0H0 Mivel a fényhatás elsősorban az E elektromos térerősséggel van kapcsolatban, elsősorban ennek viselkedését követjük nyomon. Természetes fényben (pl. izzólámpa, Nap) a fényvektorok szabálytalan. Viszont polarizált fényben a rezgés egy kitűntetett irányban történik, de a terjedés irányára merőlegesen. Vizsgáljuk a polarizációt monokróm, z irányú síkhullámon:
ε(z, t) = Re [A e-iω(t-z/c)] A-t bontsuk fel komponenseire A = Ax x + Ay y, ahol Ax = ax e iφx és Ay = ay eiφy Bontsuk fel ε –t is a komponenseire: εx = ax cos [ 2πν(t – z/c) + φx] és εy = ay cos [ 2πν(t – z/c) + φy] – Elliptikus polarizáció φx és φy viszonyától függően több fajta polarizáció létezik Lineáris: E egy adott irányba, a polarizációs rezeg φ = φx + φy = 0, π és εy = ± (ay / ax) εx Cirkuláris: E iránya a terjedés iránya körül forog, csúcsa a terjedés irányára merőlegesen kört ír le. ax = ay , φ = ± π /2 , jobbos illetve balos polarizáció εx = a0 cos [ 2πν(t – z/c) + φx] és εy = ± a0 cos [ 2πν(t – z/c) + φy] Elliptikus: E iránya a terjedés iránya körül forog, csúcsa a terjedés irányára merőlegesen ellipszist ír le. Polarizációs fok: A polarizált fényerősség aránya teljes fényerősséghez képest. Számértéke 0 (természetes fény) és 1 (teljesen polarizált fény) közé esik. Polarizált fény előállítása a természetes fény visszaverődésével, szórásával és törésével lehetséges. Gyengén visszaverő felületről történő visszaverődés a beesési síkra merőleges, lineáris, részleges polarizációt eredményez. Tehát E a visszaverő felülettel párhuzamosan rezeg. Brewster – törvény: tg αp = n , ahol αp a polarizációs szög, n a közeg törésmutatója. Ugyanis ha αp polarizációs szög alatt az f törőfelületre, egy ω körfrekvenciájú olyan lineárisan poláros fénynyaláb esik be, amelynek Eα hullámvektora a beesési síkban rezeg, akkor a βp törőszög alatt megtört nyaláb hatására a közegnek (amibe hatol a hullám) elsősorban a felületi molekuláiban az elektronok a beesési síkban a a βp irányára merőleges rezgésbe jönnek. Mivel a visszavert nyalábot mindig ezek az f törőfelületen gerjesztett elektromos dipóloszcillátorok bocsátják ki, ezért zérus energiaáramlás – sűrűséget, vagyis a J fényintenzitást pontosan a θ = π / 2 irányban várhatunk. Jones vektor és mátrix Legyen az x és y irányú síkhullámok az alábbi függvények szerint Ax = ax eiφ(x) Ay= ay eiφ(y) ekkor a Jones vektor a következő képen néz ki: J =( Ax , Ay ) és az intenzitás I = (|Ax|2 + |Ay|2 ) / 2ζ , ahol ζ = √μ0 / ε
Ekkor az x irányú lineáris polarizáció vektora J = (1 , 0) Θ szögű lineáris polarizáció vektora : J = (cos θ, sin θ ) Cirkuláris polarizáció : ( 1 , ±i ) / √2 Ekkor J1 = T J0 , ahol T a Jones mátrix:
Hullámkésleltető: Ahol pl: Γ = π / 2 45 fokos (1, 1) / √2 ahol, 45o = π / 4 Polarizációs forgató:
Optikai aktivitás: Egy anyag optikailag aktív, ha a lineárisan polarizált fény rezgési síkját elforgatja, azaz a polarizációs szöget megváltoztatja. Ha a fényforrás irányába nézünk és az anyag a rezgési síkot az óramutató járásával megegyező irányba forgatja el, akkor jobbra vagy + forgatásról van szó, ellenkező esetben balra vagy – forgatásról van szó. D és ε közötti összefüggések: D = ε E + ε0ξiωB = εE + ε0ξ (
xE)
( Ax, Ay ) = Aj (1, i) + An (1, -i) és θ = ρz és ρ = π (n1-n2) / λ0 Forgató erő n+ jobbra n- balra cirkuláris fény. Kettős törés Ha egy közegben a fény terjedési sebessége függ a terjedés irányától, akkor a közeget optikailag anizotropnak nevezzük; a közeg kettős törő. Példa: Mészpát, kvarc, turmalin. Kettőstörő közegekben a természetes fény két lineárisan polarizált komponensre válik, amelyek polarizációs iránya egymásra merőleges. A rendes, azaz ordinárius a Snellius – törvényt n0 törésmutatóval követi. A rendellenes vagy extraordinárius sugár törésmutatója: na0 Egy anyag negatívan kettős törő, ha: n0 > na0 Pozitívan kettős törő, ha: n0 < na0 Egyszerűen törő, ha: n0 = na0 n1 = n2 = n0 ordinárius n3 = ne extraordinárius Biaxiális n1, n2, n3 különböző és ε0 E = ζ D
z : terjedés, x: polarizációs irány D1 = ε1E1 z: terjedés és tetszőleges irány :
e-ikr e iωt E, H Valamint: k x H = -ωD k x E = ωμ0H S= ½ E x H* Ekkor: D0 ┴ k E0 ┴ H0 ┴ k S ┴ E0 D0 ┴ H0 S ┴ H0 Így megállapítható, hogy D0, E0, k, S egy síkban van. Dikroizmus akkor áll fenn, ha a kettőstörő anyagban az oridnárius és az extraordinárius sugár abszorpciós együtthatója 0. IV. rész: A Fabry – Perot interferométer Optikai rezonátorként egy Fabry – Perot interferométer sík- vagy méginkább konfokálisan homorú tükrei közé zárt henger alakú üreg szolgál, ahogy az a 5. ábrán látható. T1 teljes T2 pedig az előbbivel – szükség esetén flexibilis csatlakozások segítségével – párhuzamosra állítható félig áteresztő(ρ2 ≈ 1 – τ2 ) tükröt jelent. Az általuk közrezárt (Nf + Nj + Nk) lézerközegbe az E f szintre töltéshez szükséges energiát a C cső falán keresztül juttatjuk típusonként más és más elv szerint. Az optikai rezonátor helyes méretezésének azonban feltételei vannak. Ha ugyanis a cső T2 végén egyetlen atomnak j(s)k emissziója folytán υjk hullám indul J0 erősséggel T1 felé, akkor az általa láncszerűen indukált emissziók következtében koherensen felerősödött hullám verődik vissza T1-en, és ez eléri a T2-t, ahol a J intenzitása elvben: J = J0 exp(-2KυL) ahol is Kυ = (hυjk Bkj (Nk – Nj ) )/ (π2 c Δυjk) abszorpciós koefficiens szerepét tölti be. Populáció inverzió esetén Kυ < 0, vagyis ekkor nem elnyelés hanem erősítés következik be. Itt L=T1T2 a lézercső hossza. Minthogy azonban a kiküszöbölhetetlen veszteséges is vannak, ezért valójában: J = J0/ r Ahol tényleges erősítés esetén 0 ≤ r ≤ 1. E két egyenletből a lézercső öngerjesztésének feltétele: r exp(-2KυL) > 1 Amiből következik, hogy: 2KυL < ln r Ha ezt behelyettesítjük a Kυ = (hυjk Bkj (Nk – Nj ) )/ (π2 c Δυjk) egyenletbe, és onnan kifejezzük (Nj- Nk)-t, egyszersmind következtethetünk arra, hogy adott veszteség mellett legalább mekkora populációinverzióra van szükség a rezonátor működéséhez. E rezonátornak, amely a benne szembe haladó fényhullámok interferenciája folytán álló fényhullámokkal
töltődik fel, a húr felhangjaihoz hasonlóan sokféle rezgési módusa van. Ezek közül egyszerűbbek a tengely mentiek amelyeket a : mλ = 2Ln egyenlet szab meg, ahol L-nek nagy, a λ vákuumhullámhossznak kis értéke miatt az m szükségképpen igen nagy egész szám. Nem bizonyos azonban, hogy adott L, λ és n esetén ezt az egyenletet pontosan egész szám (m) elégíti ki. Az indukált emisszió következtében a keletkező υ0 frekvenciájú véges Δυ0 félértékszélességű (öngerjesztő) fénynek mégis van az m sorszámmal jellemezhető olyan frekvencia – összetevője, amelyre az üregben soksugarú interferencia útján rezonancia következik be, és ennek frekvenciája az előbbi egyenelt alapján υm = mc / 2nL Ezért a rezonátor m–edik és a szomszédos (m+1)–edik sajátfrekvenciájának távolsága: δυm,m+1 = c / 2nL A rezonancia pedig érthető módon bekövetkezik a gerjesztő vonalprofil haranggörbéje alá férő valamennyi rezgési módusra, azonban az üreg természetesen υ 0 maximumhelyhez a legközelebbi υ m módusában töltődik fel a legnagyobb Wm fényenergiára feltéve, hogy közben az utánpótlás teljesítménye meghaladja a veszteségeket). Ha pedig υ m frekvencián kisugárzott lézerteljesítmény P m, akkor a fő módus vonalszélességére – amely a természetes vonalszélességnél kisebb, így szintén nem mérhető – megbízható becslést a következő összefüggés ad: Δυm = Pm / 2πWm Belátható, hogy a pumpáló teljesítmény fokozatos növelésével a lézeroszcilláció beindulásaként először υm frekvenciájú rezgés lép ki, a vm+k (k = ±1, ±2 , …) frekvenicák csak később jelennek meg. Az lézeroszcilláció jóságát az alábbi dimenzió nélküli egyenlet adja meg: Q ≡ 2π υ0 Wm / Pm Összefoglalásképpen megállapíthatjuk, hogy a lézert két párhuzamos tükör között olyan optikai közeg alkotja amelyben elektro – vagy fotolumineszencia idézhető elő, magát a spontán kibocsátott lumineszenciafényt pedig tükrök nélkül is viszonylag éles színképvonal jellemzi.
Melléklet 1. ábra: Elhajlás résen és rácson
2. ábra: Fény elhajlás
3. ábra : Fényelhajlás
x = d(P, P’)
4. ábra: Fényelhajlás
5. ábra: Fabry – Perot interferométer
Felhasznált irodalom 1. Budó – Mátrai: Kísérleti Fizika III. ; Nemzeti Tankkönyvkiadó Budapest 1977, 1999 2. Hans Breuer: SH atlasz Fizika ; Springer Hungarica Kiadó Kft., 1993 3. Mérések a klassszikus fizika laboratóriumban, szerkesztette: Havancsák Károly ; ELTE Eötvös Kiadó Budapest, 2003
