Hoofdstuk 4 - Integreren

Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 2

Hoofdstuk 4 - Integreren Voorkennis: Oppervlakten bladzijde 98 V-1a b

c

BC 52 32 16 4 Oppervlakte ABC 3r2 4 6 . Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek ADB dus AC AB waaruit volgt dat BC BD 5 3 dus BD 3r 4 2 2 . 5 5 4 BD 2 AD AB 2 BD2 32 2 25 1 45

CD AC AD 5 1 45 3 15 V-2a

Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke zijden.

b

CD BC 2 DB 2 16 4 12 4 3 2 3 y 3, 46

c

Oppervlakte *ABC 4 r 2 3 4 3 y 6, 93 . 2

V-3a b

cos DCB CD dus CD 6 cos 25n y 5, 44 . BC DB 6 sin 25n dus AB 12 sin 25n . Oppervlakte *ABC 12 sin 25n r 6 cos 25n 36 sin 25n cos 25n y 13, 79 . 2

V-4

Oppervlakte *OAB

V-5

Eerste vierhoek: oppervlakte ABCD 4 r 8 8r2 6 56 . Tweede vierhoek: hoogte 7 sin 40n dus oppervlakte ABCD 10 7 sin 40n 70 sin 40n y 45, 00 .

2r4 2

22r1 3 .

bladzijde 99 V-6a

De hoogte van zo’n driehoek is 6 sin 45n 3 2 y 12, 73 .

b

Dus de oppervlakte van zo’n driehoek is 6 r 3 2 9 2 . 2 Eén zo’n driehoek heeft als hoogte 6 sin 30n 3 .

c

De totale oppervlakte van de 12 driehoeken is 12 r 6 r 3 108 . 2 De oppervlakte nadert naar de oppervlakte van de cirkel dus P 6 2 y 113, 10 .

V-7a b c d e

x 2 y2 52 dus y 25 x 2 Totale oppervlakte 2 2 4 2 2 24 2 5 26 4 24 y 45, 59 . Totale oppervlakte 2 0 2 2 4 2 24 16 2 24 y 25, 80 . Het gemiddelde is 21 3 24 y 35, 70 . Totale oppervlakte rode rechthoekjes 2 1 3 2 1 4 2 1 21 2 1 24 2 1 5 24 2 21 2 24 y 42, 96 . Totale oppervlakte groene rechthoekjes 2 1 3 2 1 4 2 1 21 2 1 24 14 2 21 2 24 y 32, 96 . Het gemiddelde is 19 2 21 2 24 y 37, 96 .

© Noordhoff Uitgevers bv

c 69

Hoofdstuk 4 - Integreren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 2

f

Oppervlakte halve cirkel 12 P 52 12 12 P y 39, 27. De benadering is te verbeteren door meer rechthoekjes te nemen.

4.1 Oppervlakten benaderen bladzijde 100 1a b

Oppervlakte groene vierhoek 4 r 1 4 r 2 8 . 2 Je kunt de oppervlakte benaderen door het aantal hokjes te tellen. De oppervlakte zal naar schatting 11 14 zijn.

2

Ondersom 12 1 2 4 8 15 12 . Bovensom 1 2 4 8 16 31 . 15 1 31 Het gemiddelde is 2 23 14 . 2

3a

12 x 2 x 12 0 x 2 2 x 24 0 x 6 x 4 0 x 6 0 of x 4 0 x 6 of x 4 y 14 12 10 8 6 4 2 x –7 –6 –5 –4 –3 –2

b

c

–1 O –2

1

2

3

4

Bovensom f 0 f 1 f 2 f 3 12 10 12 8 4 12 35 . Ondersom f 1 f 2 f 3 f 4 10 12 8 4 12 0 23 . Een benadering voor de oppervlakte is 352 23 29 . Bovensom

1 2

Ondersom

1 2

f 0 f .... f 3 12 11, 375 ..... 2, 375 32, 25 . f f 1 .... f 4 11, 375 10, 5 ..... 0 26, 25 . 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

Een benadering voor de oppervlakte is

32, 25 26, 25 29, 25 . 2

bladzijde 101 4a b

De grafiek vertoont afnemende stijging waardoor je bij de ondersom meer tekort komt dan er bij de bovensom bijkomt. De ondersom is 2 h 1 2 h 3 2 h 5 2 h 7 y 15, 23 .

De bovensom is 2 h 3 2 h 5 2 h 7 2 h 9 y 19, 23 . De oppervlakte is bij benadering

c 70

15, 23 19, 23 y 17, 23 . 2 © Noordhoff Uitgevers bv


5a

y 4

3

2

1

x O

1

2

3

4

5

£ f x $x f f 1 f 2 f 3 11 4

b

6a b

1 2

1 2

1 2

De middens van de intervallen zijn te schrijven als 1, 5 k met k achtereenvolgens 0, 1, 2, 3 en 4. Verder is de breedte van elke rechthoek 1. log 1 12 log 2 12 log 3 12 log 4 12 log 5 12 y 2, 51 . 8

7

1 2

k

k 1

£3 k 0

1 2

k 3

1 2

3 1 12 3 2 12 3 3 12 3 4 12 3 5 12 3 6 21 3 7 12 3 8 12 y 54, 16. .

4.2 Integralen bladzijde 102 8ab

9

10a b

Hoe kleiner het deelinterval des te kleiner de afwijking met de grafiek des te nauwkeuriger de oppervlakte benaderd wordt. Dit geldt voor zowel de ondersom als de bovensom. Casio: RUN-OPTN-CALC- ¯ dx -1: ( x 2 1), 1, 1) -EXE TI: y1 1 / ( x 2 1) -GRAPH-CALC- ¯ f x dx 1, 1 - ENTER geeft 1,57 als oppervlakte.

8,67 3,10

c d

1 14

bladzijde 103 1

11a

2 ¯ 3x dx 1 ;

3

2 2 ¯ 3x dx 26 en ¯ 3x dx 27 .

De oppervlakte onder de grafiek van f x 3 x 2 op interval §© 0, 1¶¸ plus de oppervlakte onder de grafiek op interval §©1, 3¶¸ is samen de oppervlakte onder de grafiek op interval §© 0, 3¶¸ . 0

b

3

1

0


c 71


12a b

2

2

0

0

¯ x xdx y 2, 26 ; ¯ 3x xdx y 6, 79 . De functiewaarde is steeds drie keer zo groot waardoor de oppervlakte ook drie keer zo groot is. 3

13a

¯ 2 xdx 8 ; 1

b

14a

3

3

1

1

2 2 ¯ x dx 8, 67 en ¯ (2 x x )dx 16, 67 .

3

3

3

1

1

1

2 2 ¯ 2 xdx ¯ x dx ¯ 2 x x dx .

10 0, 1 x 2 q 0 als x 2 a 100 dus 10 a x a 10 . Domein §© 10, 10 ¶¸ .

b

y 4

3

2

1

–10 –8

–6

–4

–2

2

O

4

6

8

x 10

10

c

¯

10 0, 1 x 2 dx y 49, 67

10 0

15a

¯ x 2

2

2 0

b

16a b

¯ 4 x

2

dx ¯ x 2 dx 2 23 2 23 5 13 2

0

2

0

dx

¯ x 2

2

2

2P

2P

0

P

¯ sin xdx 0 ;

2

dx 5 13 2 23 2 23

¯ sin xdx 2

Omdat van 0 tot π de oppervlakte boven de x-as net zo groot is als de oppervlakte van π tot 2π onder de x-as, heffen deze elkaar op. De oppervlakte van π tot 2π is 2 maar omdat het onder de x-as ligt geeft de rekenmachine het antwoord –2.

4.3 Hoofdstelling bladzijde 104 17a

c 72

A 2

2 r1 2

1 ; B3 3

3r1 12 2

5 14 ; C 4 4 r 1 23

4 r1 13 2

9 13



b

c d e 18a

b

c

x 12 x 1 2 4x 2 g x 1 x 1 x x x 1 x2 x 2 g ( x) 12 x 1 B x 1 x 4 2 2 1 3 h x x xx x 3 13 x 3 h( x) 3 13 x C x x h x 3 x 13 x 2 16 x 2 2 2 2 3 x 16 x . f x 12 x ; g x 1 12 x ; h x 3 13 x A' x f x B ' x g x ; C ' x h x

f ( x) 12 x A x

F a h is de oppervlakte onder de grafiek van f van 0 tot a+h. F a is de oppervlakte onder de grafiek van f van 0 tot a. Trek je deze van elkaar af dan houd je dus de oppervlakte onder de grafiek van f van a tot a+h over. De bedoelde oppervlakte is groter dan een rechthoek met breedte h en hoogte f a en kleiner dan een rechthoek met breedte h en hoogte f a h . F a h F a nadert naar F ' a als h nadert naar 0 en daarom geldt F ' a f a . h

bladzijde 105 19a

3

b

3

¯

1 2

21a b

G x

¯ f x dx §© x

3

3 16

x 4 49 x 3

2

3 x 2 3 x ¶¸ 27 27 9 1 3 3 56 ; 3

1

3

1

c

d

¯ f x dx §©¨ x 1 ¶¸·

b

L x

K x 5x

c

F1 ' x 3 x 2 6 x 3 en F2 ' x 3 x 1 3 x 2 2 x 1 3 x 2 6 x 3 . F2 x x 3 3 x 2 3 x 1 en F1 x x 3 3 x 2 3 x dus F2 x F1 x 1 .

3

22a

x 5 1 12 x 2

1 6

1

d

F x 43 x 4 12 x 2

3

c

0

x 2 dx F 3 F 1 16 33 16 13 4 13 .

1

b

1

0

3

20a

¯ f x dx ¯ f x dx ¯ f x dx F 3 F 1 . 1

c

F ' a f a 12 a 2 dus F a 16 a 3 en F 0 0 .

3

64 8 56 .

1

De constante valt door de bewerking F2 3 F2 1 weg.

2 x 3 2 2 x 3 f x 4 x 12 x 9 2 x 3 f x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 x 6 x 9 x 4 h x 8 dus C 8 x 6 x 9 x C is een primitieve functie van f voor elke C.

g ' x h' x g x kx

2

1 2

2

2

1 6 4 3

2

4 3

3

3

2

1 2

1 2

1 2

.

2


c 73


4.4 Primitiveren bladzijde 106 23a b c

24a b

25 26a b c d

g x x dus G x x C 1 C x h x 2 x dus H x x C x x C F x x2 C

2

1 2

G x

1 10

; K x

1 1 23

12

x 3 53 x

1 23

g x 2 x 3 x dus G x x x C x 1 x h x x x x dus H x x c x x C k x x 2 x dus K x x 2 x x C x F x 53 x 5 x 4 C

4

2

1 2

2

2 3

2 12

¯ x

2 7

3

3

1

2

1 2

¯

4 3 x3

§©

2 3 x2

4 2

3 dx §© 23 x 3 3 x ¶¸

4

3 x2

1

1

1 2

2

¯

3 12

C

3

2 3

2x 1 C x

2

5 x dx §© 14 x 4 2 12 x 2 ¶¸ 64 40 4 10 30

3

¯ 2x

4

3

3

1 3 12

2

2

d

2

2

c

x ; H x 12 x 10

4 3

Voor a 1 geldt F x 10 x 0 C en dat bestaat niet.

2

b

1 12

2 1 12

F ' x 8 18 x 8 1 x 7 f x

4

27a

1

4

dx ¯ 1

4 3

2

2

5 13 6 5 13 6 1 13

x 3 3 x 2 dx §© 23 x 2 3 x 1 ¶¸

4 1

¶¸ 482 43 23 3 2 87 4 3 x 1

4

4

1 11 11 21 3 x x 2 x dx ¯ 3 x 2 2 x 2 dx §¨ 231 x 2 121 x 2 ¶· ¸1 © 2 2 1

§©1 15 x 2 x 1 13 x x ¶¸ 38 25 10 23 1 15 1 13 46 158 1 4

bladzijde 107 25

28a

¯ 0

b 29a b c

c 74

25

25 11 x dx §¨ 111 x 2 ¶· §© 23 x x ¶¸ 83 13 0 © 2 ¸0

c

2 3

1 12

1 12

p 18 geeft p 27 dus p 27

¤ ³ ¥ 11 ´ ¥¦ 1 ´µ 2

9

A p §© 23 x x ¶¸ 23 p p 0 p

g x 8 x 3 dus G x 2 x 4 C

k x x 2 dus K x x 2 H x 12 x 1 C 4

1 5

3

1 10

2

C

1 C 10( x 2)2 © Noordhoff Uitgevers bv


30a

Ze moet rekening houden met de kettingregel.

3 7 a 3x 4 G ' x g x als 7 a 1 dus a G x 3x 4 C

b

G ' x 2 12 a 3 x 4

c

1 2

d

31a

1 12

1 7 12

f x 4x 2

3

2

F ' x 2 a x 2

3

2 a 4 dus a 2

2

3

C g x x 7 1 Kies G x a x 7 . 2 G ' x 5a x 7 2 a F x 2 x 2

2

C

1 2

x7

5

1 2

4

1 2

2 12 a 1 dus a

1 2 12

1 2

1 2

4

2 5

x 7 C h x 2 2 x 3 1 Kies H x a 2 x 3 2 H ' x 4 a 2 x 3 2 8 a 2 x 3 Gx

c

2

2

x2

4

1 2

3

2 15

2 12

2 15

1 Kies F x a x 2

b

1 12

1 2

2 5

5

1 2

5

4

5

8 a 2 dus a

3

d

1 4

2 x 3 C C k x 3x 5 1 Kies K x a 3 x 5 2 K ' x 1 a 3 x 5 3 4 a 3 x 5 H x

4

1 4

5

1

4 2 x3

4

1 2

1 12

1 2

1 2

4 12 a 1 dus a

3

1 4 12

1 12

C

3x 5

K x 32a

2 9

1 2

2 9 2 9

3x 5

3x 5 C

px px 0 px px px p2 x 2 p2 x 2 px 0 px px 1 0 px 0 of px 1 0 x 0 of px 1 x 0 of x 1 p 1 1

¯ p

b

1 2

0

1

p

1

1 1 1 p 11 px px dx ¯ p 2 x 2 px dx §¨ p 2 23 x 2 p 12 x 2 ¶· © ¸0 0

p 2 23 p

1 12

p 12 p 2 23 p 1 12 p 1 16 p 1 10 geeft p 1 60 dus p

1 60


c 75


4.5 Integraal en oppervlakte bladzijde 108

¯ 0, 3x 4

33a

3

0

b

4

1, 2 x 2 0, 6 x 2, 4 dx §© 0, 075 x 4 0, 4 x 3 0, 3 x 2 2, 4 x ¶¸ 20 45 0

De oppervlakte kan natuurlijk niet negatief zijn. De oppervlakte is 20 45 . y

34a 5

4

3

2

1

x –1

1

O

2

3

4

–1

b

3

c

x2 4 x 6 x2 4 x 2 x2 8 x 6 0 x2 4 x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 of x 3 f 1 3 en f 3 3 dus de snijpunten zijn 1, 3 en 3, 3

¯ f x dx §©

x 3 2 x 2 6 x ¶¸ 9 18 18 13 2 6 4 23 3

1 3

1

1

3

¯ g x dx §©

1 3

1

x 3 2 x 2 ¶¸ 9 18 13 2 7 13 3

1

g x f x is steeds de afstand van f tot g dus de oppervlakte van het gearceerde gebied is 7 13 4 23 2 23

bladzijde 109

¯ x 2

35a

3

1

b

¯ 2x 2

3

1

2 x 2 4 x dx §© 12 x 4 23 x 3 2 x 2 ¶¸

2

1

8 5 13 8 12 23 2 4 12 Het deel onder de x-as wordt op deze manier als een negatieve waarde weergegeven. 0

c

4 x x 3 2 x 2 dx

¯

1

2

f x g x dx ¯ g x f x dx 0

0

2

§© 12 x 4 23 x 3 2 x 2 ¶¸ §© 12 x 4 23 x 3 2 x 2 ¶¸ 65 5 13 6 16

1 0

c 76



36a b

f 1 g 1 2 en f 2 g 2 1 Tussen x 1 en x 2 ligt de grafiek van g hoger dan de grafiek van f dus de 2

³ ¤¤ ³ gevraagde integraal is ¯ ¥ ¥ 2 42 ´ 3 x 5 ´ dx . ¦ µ µ ¦ x 1 2

c

¤¤

2x 4

2

¯ f x dx §©¨ x 2 1 4

2

4

2

4

0

0

¶ 4 ¸· 2

Het eerste deel van de oppervlakte is de oppervlakte begrensd door de grafieken van f en g tussen de grenzen x 0 en x 2 . Het tweede deel van de oppervlakte is die van een driehoek begrensd door de lijnen x 2 , y 64 en y 8 4 x . De oppervlakte is dus: 2

¯ 0

14

f x g x dx ¯ 64 8 4 x dx §¨ 14 x 2 © 2

2x 4

2

2

14 8 x ¶· §© 56 x 2 x 2 ¶¸ 2 ¸0

40 4 392 104 324 Alleen op het interval §© 0, 2 ¶¸ wordt het gebied ingesloten door de grafieken van f en g, kortom het zijn verschillende integralen over verschillende gebieden en dat kun je niet integreren over één gebied.

¯ 0 f x dx ¯ x 1 dx §© x x ¶¸ 1 Dus moet gelden ¯ x 1 dx . § x x ¶ a a 1 © ¸ a a 0 a a 1 0 a 0 of a 1 0 a 0 of a 1

38

1 2

4 8 x ¶· §¨ 2 x 2 8 x 14 x 2 ¶· 8 4 4 8 4 4 8 ¸ 4 © ¸ 2

2

d

0

c

Eerst de snijpunten berekenen 3 2 x 2 4 x 2 x 2 4 of x 2 0 x 2 2 of x 2 2 of x 2 0 x 4 of x 0 of x 2 0

2 De totale oppervlakte van de twee vlakdelen is ¯ f x g x dx ¯ g x f x dx §¨ 14 x 2 ©

b

2

4 ³ 3 x 5 ³ dx § 2 x 4 1 1 x 2 5 x ¶ 4 2 6 10 2 4 1 1 5 ´µ 2 2 2´ ·¸ ¨© µ x 1

¯ ¥¦ ¥¦ 2 x 1

37a

1

2

1 3

1

3

0

2

3

1 3

a

1

1 3

0

00

2 3

2 3

1

1 3

3

1 3

2 3

3 of a 3 a is positief dus als a 3 hebben de twee gebieden dezelfde oppervlakte. 1 3

39a

3

1 3

2

2

1 3

Kies bijvoorbeeld f x x 2 4 x en g x x 2 4 x . y 4

f

3

g

2 1 x –3

–2

–1 O –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–2 –3 –4 –5


c 77


b

Kies bijvoorbeeld f x

1 2

x 2

3

en g x 2 x 4 .

y 4 3 2

g

1

f x

–3

–2

1

–1 O –1

2

3

4

5

6

7

8

9

–2 –3 –4 –5

4.6 Gemengde opdrachten bladzijde 110 5

40a

¯ 9, 8tdt §© 4, 9t

2

c

11

d

¯ 7, 5t 86, 5 dt §© 3, 75t 5

e

41a

Na 5 seconden is haar snelheid v 5 49 m/s. 6 seconden later is haar snelheid 4 m/s dus na het openen van de parachute neemt de valsnelheid af met 496 4 7, 5 m/s2. v t 7, 5t b 5, 49 49 7, 5 r 5 b dus b 86, 5 v t 7, 5t 86, 5 voor 5 a t a 11 0

b

5

¶ 122, 5 m ¸0

2

11

86, 5t ¶¸ 497, 75 338, 75 159 m 5

De laatste 70 seconden legt ze nog 70 r 4 280 m af. Ze sprong dus van een hoogte van 122, 5 159 280 561, 5 m uit het vliegtuig. Eerst moet je de snijpunten met de x-as weten:

x2 x 0 x x 1 0 x 0 of x 1

¯ x 1

Dan

2

0

¯ x b

b

0

c

c 78

2

1

x dx §© 13 x 3 12 x 2 ¶¸ 13 12 0

1 6

b

x dx §© 13 x 3 12 bx 2 ¶¸ 13 b3 12 b3 61 b3 36 geeft b3 216 dus 0

b 3 216 6 De raaklijn in 0, 0 heeft helling f ' 0 b . De raaklijn in 0, 0 is dus van de vorm y bx . De x-coördinaat van punt C is 12 b en de bijbehorende y-coördinaat is dan y b 12 b 12 b2 . De oppervlakte van *ABC is 12 AB hoogte 12 b 12 b2 14 b3 . De oppervlakte onder de parabool is 16 b3 (zie opdracht b). De oppervlakte van de twee gebieden verhouden zich dan als 16 b3 tot 1 3 b 16 b3 121 b3 dus als 2 staat tot 1. 4



d

De driehoek is gelijkzijdig als AC BC AB b . Volgens de stelling van Pythagoras moet gelden: 2 12 b 2 12 b2 AC 2 b2 1 2 b 14 b4 b2 4

43 b2 14 b4 0 1 2 b 3 b2 0 4 b 0 of b 3 of b 3 Als b 3 is *ABC gelijkzijdig.

bladzijde 111 42a

1 dus f ' 4 x g x x b 4, 6 geeft 6 r 4 b dus b 3 g x x 3 F x 2x 2x x ¯ g x f x dx §© x 3x 2 x x ¶¸ 6 12 16 2 f ' x 1 12 x

1 2

12

3 4

3 4 3 4

b

3 4

1 12

4

c

3 8

4

2

0

0

c

In één uur ontstaat een cilinder van 3600 r 2 7200 meter hoogte. De inhoud van deze cilinder P r 2 hoogte P 0, 012 2 7200 3, 257 m3 =3257 liter. Er stroomt 3257 liter water per uur door deze buis. Per seconde ontstaat een cilinder van 2 meter hoogte en straal R. De inhoud van deze cilinder is P R 2 2 2 P R 2 m3 2000 PR 2 liter. De stroomsnelheid is 2000 R 2 liter/s. Heel dicht bij de wand geldt r 2 y R 2 dus v y 0 . De snelheid is dus bijna nul.

d

2P

e

Door dit met 3600 te vermenigvuldigen krijg je inderdaad de 3257 liter uit opdracht a. 2 v k R 2 r 2 met v 2 , R 0, 012 en r 0 dus 2 k 0, 012 2 geeft k 0 ,012 2

43a

b

0 ,012

¯ 0

R

2 rdr 2 P §© r 2 ¶¸

0 ,012 0

2 P 0, 012 2 m3/s

2 2 P ¯ k R 2 r 2 rdr 2 P 0 ,012 2 0

4P 0 ,012 2 R

f

5, 184 10

9

¯ 0, 012

0 ,012

0

2

r r 3 dr

4P 0 ,012 2

0 ,012

§ 12 0, 012 2 r 2 14 r 4 ¶ © ¸0

4

y 4, 524 10 m3/sec y 0, 45 liter per seconde R

R

2 P ¯ k R 2 r 2 rdr 2 Pk ¯ rR 2 r 3 dr 2 Pk §© 12 r 2 R 2 14 r 4 ¶¸ 12 PkR 4 c R 4 dus 0

0

0

evenredig met de vierde macht van de straal van de buis.

ICT Oppervlakten benaderen bladzijde 112 I-1a

Je kunt de oppervlakte splitsen in een rechthoek van 3 bij 1 en een driehoek met basis 3 en hoogte 1 12 . De oppervlakte wordt dan 3 r 1 12 r 3 r 1 12 5 14 .


c 79


b

c I-2a b c

I-3

Als je de stapgrootte 1 kiest krijg je als oppervlakte 6. Deze oppervlakte is te groot omdat elke rechthoek boven de lijn uitkomt. Met de methode Rechts krijg je 4,5 en dat is te weinig. Wat er bij methode Links teveel is, kom je bij methode Rechts tekort. Met de methode Links is de oppervlakte 15,5. Met de methode Rechts is de oppervlakte 31. Bij een stapgrootte van 0,5 krijg je bij methode Links 18,71016 en bij methode Rechts 26,46016. Een benadering voor de oppervlakte is dan 18 ,710162 26 ,46016 y 22, 59 . Met stapgrootte 1 krijg je met methode Links 29,306 en met methode Rechts 32,46828. Het gemiddelde is 30,88714. Dit is natuurlijk de beste benadering omdat bij methode Links elke rechthoek te klein is en bij methode Rechts is elke rechthoek te groot.

bladzijde 113 I-4a b I-5a b

Kies bijvoorbeeld 100 stappen. De oppervlakte is dan ongeveer 10,7. De oppervlakte is ongeveer 10,67. De oppervlakte op het interval §© 0, 6 ¶¸ is ongeveer 10. Op elk interval wordt een willekeurige hoogte gekozen. De benadering wordt beter naarmate je de stapgrootte kleiner neemt. 2

I-6

¯x

1

I-7

2

1 dx y 1, 89 . Neem voor de stapgrootte bijvoorbeeld 0,001. 1

Kijk bijvoorbeeld naar opdracht I-4a. 4

Als je daar

¯ f x dx

uitrekent komt er een negatief getal uit en dat kan dus nooit de

0

oppervlakte zijn. 3

I-8a

2 ¯ x dx y 8, 7 ; 1

3

2 ¯ x dx 9 ; 0

4

¯ x dx 21 2

1

Deze stellen allemaal een oppervlakte voor.

¯

3

b

9 x 2 dx 9, 3 ;

1

¯ 3

0

9 x 2 dx 18 ;

¯ 9 x 4

1

2

dx 6

De laatste stelt geen oppervlakte voor omdat op interval §© 3, 4 ¶¸ de grafiek van f x 9 x 2 onder de x-as ligt.

ICT Rekenen met integralen bladzijde 114 2P

I-9a

¯ sin xdx 0 0

c 80



b

De exacte uitkomst is 0 omdat de oppervlakte van het gedeelte onder de x-as exact gelijk is aan de oppervlakte van het gedeelte boven de x-as. 5

I-10

8

8

¯ 1, 5 x dx ¯ 1, 5 x dx ¯ 1, 5 x dx omdat op interval 2

2

0

2

5

§© 0, 8 ¶¸ de grafiek van

0

f x 1, 5 x 2 geheel boven de x-as ligt. 2

I-11a

2

¯ x xdx y 2, 26 en

¯ 3x

b

3

I-12a

¯ 2 xdx 8 ; 1

b

¯ x 2

2

2

¯ 4 x 2

b

0

¯

3

2 ¯ x dx y 8, 7 ; 1

¯ 2x x 3

1

2

dx y 16, 7

2

2

dx ¯ x 2 dx y 2, 67 2, 67 y 5, 33 2

0

x 2 dx y 2, 67 2

4

I-14

0

De som van de oppervlakte onder de afzonderlijke grafieken is gelijk aan de oppervlakte onder de somfunctie omdat alle functiewaarden op interval §©1, 3¶¸ positief zijn. 2

I-13a

x dx y 6, 79

De functiewaarden van f x 3 x x zijn drie keer zo groot als die van g x x x en daarom is ook de oppervlakte drie keer zo groot. 0

p

¯ x

x 2 4 x dx y 10, 67

0

2

4

4 x dx moet 10,67 zijn.

Door proberen is te vinden dat p 6 .

bladzijde 115 2

I-15a

5

¯ f x dx 2 r 2 4 ; 0

b

-

c

F x 2x

0

8

¯ f x dx a r 2 2a 0

2

I-16a

¯ f x dx 5 r 2 10 ;

¯ f x dx 12 r 2 r 2 2 ; 0

b

-

c

F x 12 x 2

5

¯ f x dx 12 r 5 r 5 12 12 ; 0

a

¯ f x dx

1 2

r a r a 12 a 2

0

a

I-17a

¯ x 2 dx 0

a

b

a

a

¯ x 2 dx ¯ xdx ¯ 2dx 0

0

1 2

a2 2a

0


c 81


a

I-18a

a

2 ¯ x dx

¯ x dx 2

b

0

I-19

1 3

a3

0

De oppervlakte op het interval §©1, 4 ¶¸ is gelijk aan de oppervlakte op het interval §© 0, 4 ¶¸ min de oppervlakte op het interval §© 0, 1¶¸ . Er geldt vervolgens dat F 4 is de oppervlakte op het interval §© 0, 4 ¶¸ en F 1 is de oppervlakte op het interval §© 0, 1¶¸ .

I-20

f(x)

F(x)

2

2x

x

1 2

x2

x2

1 3

x3

1 2

x+2

x2 2x

Er geldt F ' x f x .

I-21

F x x 3 ; G x 14 x 4 ; k x x 2 dus K x x 1 1 x

I-22

F ' x 6 x 5 f x want de afgeleide van een constante is 0.

Test jezelf bladzijde 118 T-1a

b c d

Ondersom 2 f 0 f 2 f 4 f 6 f 8 . 2 1 4, 6 7, 4 9, 4 10, 6 66 Bovensom 2 f 2 f 4 f 6 f 8 f 10 . 2 4, 6 7, 4 9, 4 10, 6 11 86 Ondersom f 0 f 1 ..... f 9 71, 5 . Bovensom f 1 f 2 ..... f 10 81, 5 . Het verschil tussen bovensom en ondersom wordt kleiner omdat de breedte van de intervallen kleiner is. Het midden van het eerste interval ligt bij 0,1 en het midden van het volgende interval ligt steeds 0,2 verder dus 0, 1 0, 2 k 1 0, 1 0, 2 k 0, 2 0, 2 k 0, 1 0, 1 2 k 1 .

50

e

£ k 1

101 0, 1 2 k 1

2

2 0, 1 2 k 1 1 0, 2

0, 2 f 0, 1 f 0, 3 ..... f 9, 7 f 9, 9 0, 2 r 383, 35 76, 67

c 82



4

T-2a

¯ 6

4 11 x 2 x dx §¨ 161 x 2 x 2 ¶· §© 4 x x x 2 ¶¸ 32 16 4 1 13 1 ¸1 © 2

1

4

y 5

4

3

2

1

x O

1

3

2

1

b

1

4

5

1

1 § 1 8¶ ¤ 2 8 ³

2

1

3

2 ¯ 3 ¥¦ x 3 x 2 ´µ dx ¯3 2 x 8 x dx §© x 8 x ¶¸ 3 ¨© x 2 x ·¸ 3 1 8 19 83 6 29

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x –5

–4

–3

–2

–1

1

O

bladzijde 119 0

T-3a

¯

2 2

b

¯ 0

T-4a b c d

2

x 2 dx ¯

x 2 x dx y 1, 886 1, 448 y 3, 33

0

2

x 2 x dx ¯ x 2 0

1 2

x dx § 23 x 2 ©¨

1 12

2

12 x 2 ¶ ¸· 0

2 3

11

11

4 2 2 23 2 2 3 13 1 13 2

f x x 3 x 2 x dus F x x x 4 x x x x x 4 f x 2 x x dus F x x x x 1 6x f x x 2 x 3 x dus F x x x x 1 2 3 x 3x 4x

F x 13 x 2 x 3 15 x 4 1 12

2

2

12

2 12

1 3

4

3

1 2 12

2 3

5

3

2 12

1 6

1

3 12

3 3 12

2

2 3

1 2

2

6 7

3

x

3

2 3

3

2 5

2

3 4

4

2

4


c 83


0

T-5

A

a

B ¯ 3 x 4 dx § 2 x 4 ¨© 0 2 a 4

a 4

1 12

1 12

0

¶ 16 ·¸ 4

¶ 2 a4 ·¸ 0

§ ¯ 4 3 x 4dx ¨© 2 x 4

1 12

1 12

a

1 12

16

16 16

16 2

a 4 16 3 2

a 16 3 4 y 2, 35

¯ 4

T-6

0

T-7a

1 8

4

11 x 2 2 4 x 4 dx §¨ 241 x 3 2 x 141 x 2 4 x ¶· 2 23 8 21 13 16 5 13 © ¸0 2

8x 6 2 x3 x2

x2 8 x 6 2 x3 6 x3 6 x2 0 6 x2 x 1 0 x 0 of x 1 ( x 0 vervalt). Dus het snijpunt is het punt (1, 2).

4

b

4

§© 6x

3 x2

11 ¶ 64 163 6 3 1 16 ¸1 4

a

c

4

4 ¤ 8x 6 2 ³

2

3

2

2

3

1

2 ¯1 ¥¦ x 3 x 2 ´µ dx ¯1 8 x 6 x 2 x dx ¯1 6 x 6 x dx §© 6 x 3x ¶¸1

Er geldt dan

a

8x 6 2 ¯1 x 3 dx 2 ¯1 x 2 dx

a

a

§ 8 3¶ § 2¶ ¨© x x 2 ·¸ 2 ¨© x ·¸ 1 1

¤ 8 3³ ¤ 2 ³ ¥¦ 2 ´µ 8 3 2 ¥¦ 2 ´µ a a a

3 4 1 0 (alles met a 2 vermenigvuldigen) a2 a a2 4a 3 0 a 1 a 3 0

a 1 of a 3 dus a 3

c 84



Blok 2 - Vaardigheden bladzijde 122 1a b c d e f 2a b c d 3a b c

9 x 2 q 0 geeft x 2 a 9 dus 3 a x a 3 . Dus Df §© 3, 3¶¸ x 2 1 q 0 geeft x 2 q 1 dus x a 1 of x q 1 . Dus Df j, 1¶¸ §©1 , l x 2 5 0 geeft x 2 5 . Dus x kan elke waarde aannemen. Df [ x 2 4 x 5 q 0 geeft x 5 x 1 q 0 dus x a 1 of x q 5 . Df j, 1¶¸ §© 5 , l 6 x 2 0 geeft x 2 6 dus 6 x 6 . Df 6 , 6 x 4 2 x 3 q 0 geeft x 3 x 2 q 0 dus x a 0 of x q 2 . Df j, 0 ¸¶ §© 2 , l

x 2 2 x 10 q 0 voor elke waarde van x . Df [ en Bf §© 3, l Df [ en Bf 0, 13 ¶¸ 1 2x q 0 geeft 2x a 1 dus x 0 of x q 2 . Df j, 0 §© 2, l en Bf §© 0, 1 1, l x q 0 en 2 x 0 dus x q 0 en x 2 . Df §© 0 , 2 en Bf §© 0, l Dh §©1, l De uitkomst van 2 x 1 is altijd groter of gelijk aan nul dus het bereik van h is §©1 , l . Het randpunt is 1, 1 .

bladzijde 123 4a b

c

d e

f

5a b c 6a b

x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 of x 2 x 1 voldoet niet dus de oplossing is x 2 x2 x 4 x 2 x 2 8 x 16 x 2 9 x 14 0 x 2 x 7 0 x 2 of x 7 x 2 voldoet niet dus de oplossing is x 7 3 x x 2 3 x x 2 9 x x2 4 x 4 x2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x 1 of x 4

3 x x 3 x 2 x 9 x 4 x 2 4 x 2 9 x 0 x 4 x 9 0 x 0 of x 2 1 4 2

3 x 2 2 x 3 x 2 x 2 9 x 2 x 2 4 x 4 x 2 13 x 14 0 x 14 x 1 0 x 14 of x 1 x 14 voldoet niet dus de oplossing is x 1

5 2 9 5 4 9 9 2 x 4 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4

Nee, f x g x alleen voor x 0 . Nee, f x g x alleen voor x 0 . Ja, f x g x want 4 x 3 4 x 3 2 x 3

1 2

x 2 x4

11

2x 2 2x x

domein [ want x 2 1 0 voor elke waarde van x x 2 0 als x 2


c 85

Blok 2 - Vaardigheden Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 2

c

y 2

1

x –2 O

–10 –8 –6 –4

2

4

6

8

10

–1

y 1 en y 1 zijn de horizontale asymptoten d

x 2 5 5 x2 1 x 2 5 x2 1 x2 4 x 4 x2 1 4 x 2 4 x 1 0 x 2 x 14 0 2 x 12 0 x 12 Het maximum van de functie ligt bij x 12 dus f x q 5 voor x 12 . De lijn y 5 gaat door de top van de grafiek.

e

bladzijde 124 7a

3 2

3 2

2 2

3 2 2

3 2

2 1 12 2

d

2

b

6 3

6 3

3 3

6 3 3

6 3

32 3

e

1875 625 3 25 3

f

2048 1024 2 32 2

c

8a

b

9a

2 3

3

3 4

2 3

4

4

16 81

9

16 9

1 97

6 x 6 1 3 2x x 2x x x 1 2

x 2 x x x x

1 2

2 2

2

2 2

2 12 2 1 12 2

c

x 3 2 x x 3 2 x 2 3x 2 x x x x x x x x x

d

x 1 2 x 2x 2 x1 x x1

x2 4 x 2 0 x 4 8 of x 4 8 2 2

b

4o 8 4o 4 2 4o2 2 4 o 2 2 2o 2 2 2 2 2 2

c

6 45 6 9 5 6 3 5 2 5 3 3 3 3

d

8 112 8 16 7 8 4 7 2 1 7 3 3 12 12 12 12

10a

c 86

x2 4 x 2 x2 4 x2 4 x 4 4x 8 x2

b

2 x 2x 4x 2x x0



c

x x 3x x2 x 9 x2 x3 9 x2 0 x2 x 9 0 x 0 of x 9 2 2 x 3 x2 2 x x3 2 x2

e

d

f

4x x

x 4

4x x

x2 x x x mits x q 0 dus x q 0 4 2x x 4 x

2 x4 2 x2 4 x 4 4 x 4 mits x 0 dus x 0

x 4

4x mits x 0

dus x 0

bladzijde 125 11a

dus f ' x 6 x f ' 4 6 16 4 f x 4x

1 12

2 12

6 x2 x

3 16

b

4

x x x x 4 x 2 4 x 2 of x 2 x x x 2 voldoet niet dus x 2

1 g ' x dus g' 2 1 2 x 2 2 g 2 2 dus S 2, 2

c

y

1 2 2

2 y d

x b 2, 2

1 2 2

1 2 2

2 b dus b 2

1 2

2

2 2

1 2

2

x 12 2

f ' 4 326 y 326 x b 4, 1 2

1 2

326 r 4 b dus b 1 14

Dus y 326 x 1 14 is inderdaad de lijn die de grafiek van f raakt in A. y

12a

10 8 6 4 2 x –5

b

c d

–4

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

x 4 4 x 2 x 2 4 x 4 4 x 2 x 4 8 x 2 16 4 x 2 16 x 2 4 dus geen oplossingen De grafieken van f en g hebben geen snijpunten. x 2 2 x 4 4 x 2 12 x 2 1 12 x 4 4 x 2 x 4 3 x 2 2 14 x 4 4 x 2 2 14 x 2 x 1 12 of x 1 12 Uit de grafiek volgt 1 12 , 1 12 .


c 87


13a b c

d

e f 14a

3 2 2x 4

2 x 4 1 12 2 x 4 2 14 2 x 1 43 x 87

x 2 2 x x 2 x 2 2 x x 2 4 x 4 2 x 4 x 2

2 x 3 3 x 2 x 9 x 4 4 x x2 x2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x x 1 of x 4 2 x x x x 2 x x2 4 x 4 x2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x 1 of x 4 x 1 voldoet niet dus x 4 is de oplossing 6 x 4 6 x 16 x 10 x 100 1 1 1 11 11 x x 11 x 2 11 x 11 2 2 11 3 3 11

g ' x 2 x

1 x

dus g' 4 8 12 7 12

y 7 12 x b 4, 12

12 30 b geeft b 18 dus y 7 12 x 18 b

h' x 1 dus h' 9 3 x 1 y 9 x b 9, 1

1 9

1 1 b geeft b 0 dus y 19 x c

f ' x

3 dus f ' 1 1 1 2 2 x y 1 12 x b 1, 5

5 1 12 b geeft b 3 12 dus y 1 12 x 3 12 d

r ' x

1 2 6 dus r' 1 4 1 2 2 x x x2 x3 y 4 12 x b 1, 2

2 4 12 b geeft b 6 12 dus y 4 12 x 6 12 15a

2 x 3 x 0 3 x 2x 9 x 4 x2 4 x2 9 x 0 x 4x 9 0 x 0 of x 2 14 0, 0 en 2 14 , 0 Eerst de vergelijking oplossen.

2 x 3 x 2 3 x 2 2 x 9 x 4 8 x 4 x2 4 x 2 17 x 4 0 x 2 4 14 x 1 0 x 4 x 14 0 x 4 of x 14 ( x 14 voldoet niet) Uit de plot volgt §© 0 , 4 .

b

c 88

c d

f ' x 2 3 2 x

2 3 0 2 x 3 2 2 x 4 x 3 16 x 9 x 169

f 169 1 18 In punt

9 16

, 1 18 is de helling nul



Blok 2 - Verdieping Lineaire benaderingen bladzijde 126 1a b c

2a

Naarmate je verder inzoomt gaat de grafiek steeds meer op een rechte lijn lijken. f ' 1 2 r 1 3 5 y 5 x b 1, 5 5 5 b geeft b 0 dus y 5 x

f ' x 3 x 2 4 x dus f ' 3 27 12 15

y 15 x b 3, f 3 3, 9

g ' x 1

9 45 b geeft b 36 dus y 15 x 36 3a b c 4a b c

3 dus g' 3 1 1 1 1 2 2 2 3x y 1 12 x b 3, g 3 3, 6

b

6 4 12 b geeft b 1 12 dus y 1 12 x 1 12

De helling is 2 en de lijn gaat door (3, 5). De helling in P p, q is f ' p . De lijn y q f ' p ( x p) gaat door (p, q) en heeft helling f '( p) . f ( p) q , dus y q f ' p ( x p) is dezelfde lijn als y f ( p) f ' p ( x p) .

f ' x 3 x 2 2 dus f ' 0 2 y f p f ' p x p wordt dan y 3 2 x 0 3 2 x f ' 1 5 dus y 0 5 x 1 5 x 5 f ' x x 2 dus f ' 2 0 en f 2 3 dus y 3 is de gevraagde raaklijn.

bladzijde 127 5a

b c d e

f ' x 13 x

1 dus f ' 1 1 3 3 x2 De lineaire benadering in 1, 1 is y 1 13 x 1 23 13 x .

23

f 1, 006

3

f 1, 006 23 13 1, 006 1, 002 1, 006 y 1, 001996013 1, 002 3 1, 006 De afwijking is r 100% y 0, 0004% . 3 1, 006 f 1, 6 is volgens de lineaire benadering 23 13 1, 6 1, 2

f 1, 6

3

3

1, 6

1, 2 3 1, 6 r 100% y 2, 60% . 3 1, 6 Deze afwijking wordt groter naarmate de afwijking tot punt 1, 1 groter is. De afwijking is

6

f ' x 17 x16 y f 2 f ' 2 x 2 217 17 216 x 2 1114112 x 2097152 is de raaklijn in het punt met x 2 De eerstegraads benadering van 2, 0117 is 1114112 2, 01 2097152 142213, 12 .

142213, 12 2, 0117 r 100% y 0, 32% . 2, 0117 De eerstegraads benadering van 2, 00317 is 1114112 2, 003 2097152 134414, 336 . De afwijking is


c 89

Blok 2 - Verdieping Lineaire benaderingen Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel 2

134414, 336 2, 00317 r 100% y 0, 03% . 2, 00317 De eerstegraads benadering van 1, 9817 is 1114112 1, 98 2097152 108789, 76 . De afwijking is

De afwijking is

7a

f: y 4 4 x 2 4 x 4 g: y 3 23 x 2 23 x 1 23 s: y 3 4 4 23 x 2 4 23 x 2 13 p: y 4 3 14 23 x 2 14 23 x 17 13

8a

108789, 76 1, 9817 r 100% y 1, 54% . 1, 9817

b c

4x 4 x 1 4 x 2 4 x 4 x 1 2 x 4 x 6 2 3

2 3

2 3

2 3

2 3 2 2 3

1 3

2 3

w 14 23 x 17 13

y x is de linearisering van sin x in 0, 0 . Verder geldt t x tan x sin x en cos x cos 0 1 dus t x tan x y sin x sin x voor x y 0 . 1 De afwijking tussen de benaderde waarde op y x en de werkelijke waarde op

b

y sin x is dus x sin x en is procentueel gezien gelijk aan x sin x r 100% . sin x Voor een afwijking van 5% geldt dus x sin x 0, 05 x sin x 0, 05 sin x sin x x 1, 05 sin x . Voer op je rekenmachine in: Y 1 X en Y 2 1, 05 * SIN ( X ) en je vind met CALC/ INTERSECT de oplossing x y 0, 5384 (zet je rekenmachine op radialen!) Wegens de puntsymmetrie van sin x wordt het interval §© 0, 5384; 0, 5384 ¶¸ waar de afwijking maximaal 5% is. De afwijking tussen de benaderde waarde op y x en de werkelijke waarde op y sin x is tan x x en is procentueel gezien gelijk aan tan x x r 100% . Voor tan x tan x

x een afwijking van 5% geldt dus 0, 05 tan x x 0, 05 tan x tan x x 0, 95 tan x . Met de rekenmachine vind je met CALC/INTERSECT de oplossing x y 0, 3854 . Wegens de puntsymmetrie van tan x wordt het interval §© 0, 3854; 0, 3854 ¶¸ waar de afwijking maximaal 5% is.

bladzijde 128 9a

y 6

3

x –2

–1

O

1

2

3

–3

–6

–9

c 90



b c d e

y f 2 137 f ' 2 137 x 2 137 y 7, 1775 x 16, 8270 . Voor x3 geldt 7, 1775 x3 16, 8270 0 dus x3 y 2, 3444 . De eerstegraads benadering voor f door het punt met xn is y f xn f ' xn x xn . Voor het snijpunt xn1 met de x-as geldt 0 f xn f ' xn xn 1 xn 0 f xn f ' xn xn 1 f ' xn xn f ' xn xn1 f ' xn xn f xn

xn 1

11a

f ' x x f x f ' x x f ' x f ' x n

n

n

n

n

b

10a

33 13 x2 33 0 geeft x2 13 2 137 f x1 x2 x1 3 136 2 137 f ' x1 De eerstegraads benadering voor f door het punt met x 2 137 is

f

y f 3 f ' 3 x 3 6 13 x 3 13 x 33 want f 3 6 en f ' 3 13

n

n

waaruit volgt x f ' x f xn

n

n1

xn

f xn

f ' xn

Uit de grafiek blijkt dat het nulpunt tussen –2 en –1 ligt. Neem dus x1 2 . f ( 2) Dan geldt: x2 2 2 9 1, 5 en dus f '( 2) 18 f ( 1, 5)

1, 875 x3 1, 5 1, 5 1, 326 en vervolgens f '( 1, 5) 10, 75 f ( 1, 326)

0, 196 x4 1, 326 1, 326 1, 303 f '( 1, 326) 8, 579 Het nulpunt is dan bij benadering x y 1, 3 . f (1) Voor het andere nulpunt start je met x1 1 x2 1 1 0 1 . Het derde f '(1)

3 nulpunt is dan x 1 De snijpunten van de raaklijnen met de x-as in combinatie met het stijgen of dalen van de grafiek leidt tot een bepaald nulpunt.

f x 0, 2 x 3 x ; f ' x 0, 2 13 x 3 Zet in cel B5 de uitdrukking 0, 2 * A5 A5 1 / 3 en in cel C5 de uitdrukking 0, 2 1 / 3 * A5 2 / 3 . Selecteer B5 en C5 en kopieer met de vulgreep de inhoud naar de onderste cellen van kolom B en C. Voor x1 3 krijg je door 3 in C2 in te vullen. De tabel wordt dan:

x 3 24,18864 12,03916 11,19023 11,18034 11,18034 11,18034 11,18034 11,18034 11,18034

f(x) –0,84225 1,945692 0,115916 0,001318 1,94E–07 4,44E–15 0 0 0 0

2

f'(x) 0,03975 0,160146 0,136543 0,133373 0,133333 0,133333 0,133333 0,133333 0,133333 0,133333


c 91


b

Een plot van f staat hieronder. y 0,8 0,6 0,4 0,2 0

2

4

6

8

10

12

14

x 16

–0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1

c

d

In de eerste kolom van de tabel lees je af dat het rechter nulpunt hoort bij x y 11, 18034 . Het linker nulpunt x 0 kun je met Newton-Raphson niet vinden want in de buurt van x 0 snijdt de raaklijn van f de negatieve x-as die buiten het domein van f valt (f is voor x 0 niet gedefinieerd). Ergens tijdens de herhaalde berekeningen geeft Excel dus een fout. Als de raaklijn voorbij het minimum ligt snijdt deze de x-as voor x 0 en wordt uiteindelijk het rechter nulpunt gevonden bij de herhaalde berekeningen. Voor deze x-waarde moet dus gelden f ' x 0 . Oplossing: f ' x 0 ;

3

2

2 f ' x 0, 2 13 x 3 ; x 3 3 0, 2 0, 6 ; x 0, 6 2 y 2, 151657 dus voor x 2, 151657 vind je het rechter nulpunt.

bladzijde 129 12a

b

c 92

De uitzettingscoëfficiënt is de relatieve (lengte)verandering per graad Celcius. Voor $lengte koper geldt dus $T 16, 5 r 10 6 waarin $lengte de lengteverandering is als lengte gevolg van de uitzetting. Bij $T 20 10 10 °C geldt dus voor de lengte: $lengte $lengte $T 16, 5 r 10 6 ; 10 16, 5 r 10 6 lengte 10 cm $lengte 10 10 16, 5 r 10 6 16, 5 r 10 4 cm, dus wordt de afmeting voor de lengte 10 16, 5 r 10 4 10, 00165 cm. Voor de breedte geldt: $breedte 1 10 16, 5 r 10 6 16, 5 r 10 5 cm dus wordt de afmeting voor de breedte 1 16, 5 r 10 5 1, 000165 cm. Voor de hoogte geldt: $hoogte 0, 5 10 16, 5 r 10 6 82, 5 r 10 6 cm dus wordt de afmeting voor de hoogte 0, 5 82, 5 r 10 6 0, 5000825 De factor voor de lengtevermeerdering bij een temperatuurstijging van 10 °C is lengte $lengte lengte $lengte 1 $T 16, 5 10 6 1 10 16, 5 10 6 1, 000165 . lengte lengte lengte Het volume wordt met deze factor voor lengte, breedte en hoogte: V lengte 1, 00165 r breedte 1, 000165 r hoogte 1, 000165 lengte breedte hoogte r 1, 0001653 10 1 0, 5 r 1, 0001653 5 r 1, 0001653 y 5, 0024754 cm3.



c

Voor de spoorstaaf geldt: lengte = 10 m en $T 35 15 20 °C . Met de factor volgens opdracht b geeft dat: lengte bij 35 n C 1 *T 12 r 10 6 lengte bij 15 n C 1 20 12 r 10 6 10 10, 0024 meter Het volume van 150 dm3 wordt met de factor volgens opdracht b: 3 volume bij 35 n C volume bij 15 n C 1 $T 12 r 10 6 3 150 1 20 12 r 10 6 y 150, 108 dm3 Het volume van het koperen staafje is l b h 10 1 0, 5 5 cm3. V is het nieuwe volume bij het temperatuursverschil g met 10 n C . De lengteverandering is volgens opdracht b bij het temperatuursverschil g met 10 °C gelijk aan de factor 1 g 16, 5 10 6 . Voor het volume V geldt dan V l 1 g 16, 5 10 6 r b 1 g 16, 5 10 6 r h 1 g 16, 5 10 6 l b h 1 g 16, 5 10 6 3 5 1 g 16, 5 10 6 3 Je moet hier een lineaire benadering vinden voor V g 5 1 g 16, 5 10 6 rond het punt met g 0 . Met deze benadering ga je de waarde voor g 10 benaderen (want dat is het temperatuursverschil bij opdracht b tussen 10 °C en 20 °C ). Met de regel y f p f ' p x p krijg je voor het lineariseren rond het punt g 0 : V V 0 V ' 0 g 0 . Met V ' g 5 3 1 g 16, 5 10 6 16, 5 10 6 5 3 16, 5 10 6 1 g 16, 5 10 6 5 3 16, 5 10 6 1 g 16, 5 10 6 wordt dat V 5 5 3 16, 5 10 6 g 5 1 3 16, 5 10 6 g . Merk op dat de factor voor de volumevermeerdering dus 1 3 uitzettingscoëfficiënt g wordt bij deze benadering. De benaderde waarde voor opdracht a wordt hiermee dus voor g 10 : 5 1 3 16, 5 10 6 10 5, 002475 cm3 (exact). Er is nauwelijks verschil tussen de antwoorden bij b en e want de onbenaderde func3 tie V g 5 1 g 16, 5 10 6 verloopt tussen g 0 en g 10 bijna lineair. Een lineaire benadering hiervoor geeft dus heel weinig verschil (maar is eenvoudiger om mee te rekenen).

d

e

2

f

13a

b

c

1 1 1 1 1 , dus R s Rs R1 R2 470 100

1 y 82, 456 7 1 100

1 470

1 1 1 R2 R1 R1 R2 , dus R R1 R2 s R1 R2 Rs R1 R2 R1 R2 R2 R1 R1 R2 Voor Rs stel je een lineaire benadering op rond het punt met R1 470 7 en R2 100 7 . Voor de lineaire benadering van Rs afhankelijk van R1 hou je hier R2 constant op R 100

1 100 7 . De formule voor Rs wordt dan Rs R1 1 100 R1 R1 100 en de R 100 1 100 2 afgeleide Rs ' R1 . 2 R1 100 Met de regel y x f p f ' p x p krijg je voor het lineariseren rond het punt

met R1 470 7 :

Rs R1 Rs 470 Rs ' R1 470 47000 570

1

100 R1 470 ; 570 2 2

Als R1 met 10% toeneemt wordt de weerstand 1, 1 470 517 7 en

Rs 517 47000 570

1

100 517 470 y 83, 9027 7 in de benadering. 570 2 2


c 93


De niet-benaderde waarde van Rs is 100 517 517 100

1

y 83, 7925 7 .

De procentuele afwijking die Rs dus krijgt door de benadering is

d

83, 9027 83, 7925 r 100% y 0, 13% . 83, 7925 Voor de lineaire benadering van Rs afhankelijk van R2 hou je hier R1 constant op 470 R2

1 4707 . De formule voor Rs wordt dan Rs R2 en de 470 R2 470 R2 470 R2 2 470 . afgeleide Rs ' R2 2 470 R2

Met de regel

y x f p f ' p x p krijg je voor het lineariseren rond het punt

met R2 100 7 :

Rs R2 Rs 100 Rs ' R2 100 47000 570

1

470 570 2 R2 100 ; 2

Als R2 met 5% toeneemt wordt de weerstand 1, 05 100 105 7 en

Rs 105 47000 570

1

470 105 100 y 85, 8556 7 in de benadering. 570 2 2

De niet-benaderde waarde van Rs is 470 105 105 470

1

y 85, 8261 7 .

De procentuele afwijking die Rs dus krijgt door de benadering is

e

85, 8556 85, 8261 r 100% y 0, 034% . 85, 8261 Als de veranderingen beide plaatsvinden kun je een optelling maken voor de verandering voor Rs : De verandering in Rs door de verandering van R1 is

Rs ' R1 $R1

100 2

470 100

2

0, 10 470 y 1, 4466 7 .

De verandering in Rs door de verandering van R2 is

Rs ' R2 $R2

470 2

470 100

2

0, 05 100 y 3, 3995 7 .

Samen dus 1, 4466 3, 3995 4, 8461 7 . De nieuwe waarde van Rs wordt dan 82, 456 4, 8461 y 87, 30 7 . 1 y 87, 275 7 . 1 105 De afwijking door de lineaire benadering is hier dus verwaarloosbaar klein. De niet-benaderde waarde is Rs

c 94

1 517


Hoofdstuk 4 - Integreren

Recommend Documents