Die moeilijke decibellen toch.
PA0 FWN.
Inleiding. Ondanks dat in Electron al vaak een artikel aan decibellen is geweid, en PA0 LQ in het verleden al eens een buitengewoon handige tabel publiceerde waar de achterliggende waarden van dB’s zo op af te lezen zijn, blijkt het toch moeilijk om zonder hulp van deze tabellen of een rekenmachientje de juiste antwoorden te vinden. De hier beschreven methode is bedoelt om met potlood en papier met dB’s te kunnen rekenen. Rekenen met decibellen is toch altijd weer lastig. Maar, met het opvolgen van een paar rekenregels voor logaritmen, het hanteren van een paar handigheidjes, en het weglaten van moeilijke wiskundige termen, valt het best wel mee. Decibellen worden gebruikt om aan te geven hoeveel een VERMOGEN dus het aantal Watts’ meer of juist minder wordt door een bewerking. We hebben een wisselspanning welke in een weerstand een bepaald vermogen genereert. Dit is de begin waarde. Het vermogen kunnen we groter maken door met een versterker dit begin signaal (b.v. uit een oscillator of microfoon) te versterken. Deze versterker kan een behoorlijk grote versterkingsfactor hebben 30-40-60dB en meer. Om hier mede te kunnen rekenen moeten we een paar rekenregels aanleren.
Hoe moeten we de decibel beschouwen? De naam decibel zegt eigenlijk al genoeg. Een decimeter is 1/10e (0,1) meter en er gaan 10 decimeters in 1 meter. Zo gaan er ook 10 decibellen in 1 Bel. 12decimeter =1meter+2decimeter =1,2meter. 12dB is 1Bel+2deciBel =1,2Bel.
Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij dB’s horen? Het zijn altijd logaritmen van 10. Waarom? Omdat op deze manier hele grote getallen met veel nullen en veel cijfers achter de komma heel klein geschreven kunnen worden. Logaritmen van 10 schrijft men zo. 100 ; 101 ; 102 ; enz....103 is de 3e macht van 10. 3 is de exponent van de logaritme en 10 het grondtal. Spreek uit, tien tot de macht nul; tien tot de macht een. Tien tot de macht twee spreek je uit als tien kwadraat. Alle volgende als tien tot de derde—vierde enz.
Hoe reken je met logaritmen? Vermenigvuldigen doet men door het bij elkaar optellen van de exponenten. Om te delen, de exponenten van elkaar aftrekken. Machtsverheffen door de exponent met de gevraagde macht te vermenigvuldigen. Worteltrekken door de exponent door de gevraagde macht te delen. 1
Dit alles mag echter alleen als het grondtal van de logaritme gelijk blijft. Het grondtal (bij dB’s 10) verandert nooit. Machtsverheffen doet men door een getal ( hier het getal 10, maar dat kan ieder getal zijn) 2 of meermalen met zichzelf te vermenigvuldigen. De exponent geeft aan hoe vaak dit moet gebeuren. 102 =10X10=100 . 105 =10X10X10X10X10=100.000. Voorbeeld: Vermenigvuldigen, 102X103=105. De exponenten bij elkaar optellen. Voorbeeld: Delen: 107/105=102 De exponenten van elkaar aftrekken. Voorbeeld: Machtsverheffen, de exponent van grondtal 10 vermenigvuldigen met de gevraagde macht. Voorbeeld; (103)2 =106. De 2e macht van 103 =106. De exponent boven het getal 10 tussen de haakjes vermenigvuldigen met de exponent buiten de haakjes. Bij worteltrekken, de exponent onder het wortelteken delen door de exponent voor het wortelteken. Bij een vierkantswortel wordt de 2 voor het wortelteken niet geschreven maar staat er eigenlijk wel. * ( 2√10 = 101/2 = 100,5 ). Voorbeeld; √106 = 6/2= 103. Alle andere exponenten voor het wortelteken worden wel geschreven. Dus de 3e machtswortel enz. wel. 3√106= 6/3 = 102. Bij het getal onder het wortelteken wordt b.v. de exponent 1 nooit geschreven maar staat er eigenlijk wiskundig gezien wel degelijk. 101=10. Daarom wordt de exponent 1 niet geschreven. Hier boven bij * ziet u echter dat u wel degelijk met die 1 als exponent te maken heeft. De exponent 1 is hier onder het wortelteken niet geschreven, maar voor de berekening is hij wel degelijk nodig.
Waar zitten nu die dB’s? De voor het aanduiden van het aantal dB ‘s gebruikte getallen, zijn de exponenten van de machten van 10. Voorbeeld: 100 is 0dB. Als je 100 uitrekent dan komt er het getal 1 uit. Weet u het nog? 2/2=1. A/A=1.Dus 103/103=(delen is exponenten van elkaar aftrekken) 103/103=103-3 = 100 = 1.
Verhoudingen. De decibel is de verhouding tussen de vermogens, voor een bewerking en na een bewerking en is altijd in Watt. 0dB is 1X (maal) de beginwaarde van het vermogen in Watt. 101 is 10dB. Dit is 10 maal de beginwaarde. ( beginwaarde; Het vermogen voor de bewerking plaats vind) 2
102 is 10X10= 100 maal de beginwaard. 103 is 10X10X10 = 1000 maal de begin waarde enz. Het zal u opvallen dat het schrijven van deze getallen in logaritmische vorm minder ruimte inneemt dan het schrijven van de getallen welke zij vertegenwoordigen. Immers 104 is minder schrijfwerk dan 10X10X10X10. En levert ook minder kans op schrijffouten op.
Rekenen met decibellen. 103 is 30dB = 3Bel. Bij 103,0 is het getal voor de komma (dus links van de komma) het aantal” Bellen”, en na de komma (dus Rechts van de komma) het aantal decibellen. Zo is 30dB dus 3Bel, en 33dB = 3Bel+3dB of 30dB+3dB wat op het zelfde neerkomt.. 3B=1000 en 3dB ≈ 2. 33dB =1000X2=2000 X de waarde waar je mee begint. Voorbeeld: Een zender stuurtrapje geeft een vermogen van 0,2 Watt en de versterker er na versterkt 20dB. Dan komt er 0,2 X 102 = 0,2X100 is 20Watt uit de versterker want 102 =10X10=100X de begin waarde en die is hier 0,2 Watt. Het versterken de bewerking.
Logaritmen waarbij de exponent kleiner is dan 1. Nu vind je tussen 100 en 101 ook nog een heleboel waarden. Dit zijn simpel gezegd de “enkelvoudige” decibellen. Het getal van de exponent begint immers met 0, met een getal rechts van de komma. Het rekenen hiermee is ook simpel. De volgende waarde moet je onthouden . Uit je hoofd leren, mee naar bed nemen, onder je pet stoppen enz. 1dB=1,25892X. 2dB is het kwadraat van 1dB. 3dB de derde macht van 1dB enz. Dus 2dB =(100,1)2= 100,2 = 1,258922 = 1,25892X1,25892=1,58488X. Deze getallen aanduiden in logaritmen is veel minder werk ( ook rekenwerk) dan het aangeven van deze waarde in gewone getallen. Achter de waarde van 2dB zit dus een hele berekening. 4dB is het kwadraat van 2dB . Kwadrateren is een getal 1X met zichzelf vermenigvuldigen. 4dB=1,584882=2,51184X. De waarden zijn hier afgerond maar met een rekenmachientje gaat dit veel nauwkeuriger. (De nauwkeurigheid is afhankelijk van het doel van de berekening ) Heeft u dat rekenwondertje niet bij de hand dan kun je op de hier getoonde manier met papier en potlood toch een heel eind komen en daar is deze methode voor bedoeld. Steeds een X maalteken er achter. We weten immers nog niet wat het begin signaal 3
is. Als het om signalen uit een ontvangst antenne gaat, dan kunnen er zeer grote verschillen in signaalsterkte voorkomen. Voor dB’s als 11dB of 32dB enz. gewoon de komma verplaatsen. 11dB is 1dB met de komma één plaats naar rechts verschoven en wordt dus 12,5892X. Voor 32dB gewoon de waarde van 2dB en de komma 3plaatsen naar rechts 32dB = 1584,88X. (een beetje afgerond). De dB geeft de verhouding tussen het vermogen voor en na bewerking.
Er bestaat ook een dBm. Hier is het beginsignaal vast gelegd. 0dBm is 1mW over 600Ω. Dit is internationaal zo afgesproken. Zo kunnen we wel een vermogen in Watts, in dB’s uitdrukken, omdat je altijd uitgaat van 0dBm= 1mWatt. 1miliWatt= 0,001Watt.=10-3 Watt. Voorbeeld. 32dBm. Eerst 2dB met de komma 3 plaatsen naar rechts = 1584,893X. Omdat de beginwaarde 1mW = 0,001 Watt is, moet 32dB met 0,001 vermenigvuldigd worden. 1584,893X1mW (0,001W) = 1,584893 Watt. De komma gaat nu dus weer 3 plaatsen naar links. 1mWatt is 0dB=10-3 Watt. 32dBm=103.2, en 103,2X10-3= 100,2 Watt. Voor een vermogen van 52dBm geld, dat van de exponent 5,2, het getal 3 (is exponent van 10-3 watt is 0dBm) wordt afgetrokken. Blijft over 102,2 = 158,5 Watt. 105,2 X 10-3 = 102,2. Dus 2dB met de komma 2 plaatsen naar rechts.
Waar komt de dB vandaan? dBm wordt altijd uitgedrukt als vermogen gemeten over een weerstand. Omdat de decibellen afkomstig zijn uit de oude telefoon techniek is deze weerstand standaard 600Ω. De draden van het oude telefoonnet hadden een karakteristieke impedantie van 600Ω. Veel microfoons hebben ook een impedantie van 600Ω. Aan een ontvanger en/of zender worden vrijwel altijd kabels gebruikt van 50Ω. Hier is 0dBm 1mW over 50Ω. Omdat de eenheid Bel onhandig groot is worden deze getallen in decibellen geschreven.
Voor het berekenen van een vermogen altijd de effectieve spanning gebruiken. P=U2/R. P=U x I. P=I2xR. U in effectieve waarde Ueff.=1/2√2 X Ut. of 1/2√2 X( Utt /2) voor sinus vormige spanningen.
4
Een beetje rekenen. Voorbeeld: Een antenne versterker versterkt 15dB. Versterkt dus, 5dB met de komma 1 plaats naar rechts =31,62277 X het ingangsvermogen. Natuurlijk rond je dit af op 31,6 maal. 5dB = 100,5 =(100,1)5 =1,258925 =31,62277. Reken voor je zelf ook maar eens mee. 5dB is 1dB 5Xmet zichzelf vermenigvuldigd.
Soms zijn signalen te sterk. Nu de verzwakkers. Soms is een signaal te sterk om aan b.v. een meetinstrument aan te bieden. Het signaal moet dan verzwakt worden. Het is natuurlijk wel nuttig te weten hoeveel het signaal verzwakt is. Dit kunnen we dan incalculeren in onze verdere berekeningen. Stel dat we een verzwakker hebben van 3dB. Het beginsignaal, dus het oorspronkelijk signaal voor de verzwakken wordt in de verzwakker 3dB = 1,995 X verzwakt. Dus hou je over, het begin signaal gedeeld door 1,995. 3dB wordt in de praktijk afgerond op 2. (Pas op dat je dit niet te vaak doet. De afwijking wordt dan te groot). Het signaal wordt dus gedeeld door 2. Voorbeeld; 30 Watt door een verzwakker van 3dB geeft 30 / 2 = 15 Watt. Bij verzwakkers worden de dB soms door een min- teken vooraf gegaan. Met een verzwakker van -15dB wordt het vermogen gedeeld door 31,6227 enz. Pas op. Alleen de dB’s van een – teken voorzien en niet de exponent van het grondtal. Dan komt er n.l. iets heel anders te staan. 10-15 = 0,000000000000001.
Let op warmte ontwikkeling in verzwakkers. Houd er wel rekening mee dat het “verdwenen” signaal in de verzwakker in warmte wordt omgevormd. In het bovenstaande voorbeeld moet de verzwakker 30Watt - 15Watt = 15 Watt op kunnen nemen. In warmte om kunnen zetten. Te kleine weerstanden branden uit. U moet u er van bewust zijn of u een te groot vermogen uit een zender gaat verzwakken, of een te sterk ontvangen antenne signaal gaat verzwakken. In het 1e geval moet de verzwakker vermogen in warmte kunnen omzetten en afvoeren en in het 2e geval hoeft dit vaak niet. Nog even oefenen? 5dBm = (100,1)5 =100,5 = 3,16228 X 0,001 = 0,00316228W of 3,16228mW. Wordt afgerond op 3,16mW of 3,2mW. Net hoe nauwkeurig u deze waarde nodig heeft. 33dBm = 103,3X10-3 =100,3 =2Watt (1,1995W). De positieve 3 voor de komma in het exponent van het getal 10 voor het vermenigvuldigteken, wordt opgeheven door de negatieve exponent van het getal 10 achter het vermenigvuldig teken. De een is + en de ander is -. Dit wordt een 0 en 100 = 1. Er is dus een versterking van 30dB 5
nodig om van 0dBm=1mW 1Watt te maken. Blijft over de waarde van 3dB en dat is 2. Er staat dus 1X2=2Watt.
Kleiner dan 1dB. Het kan nog nauwkeuriger. Tussen 100,01 en 100,1 zitten nog veel meer getallen verborgen. Hier hoeven we vaak niets mee te doen. Maar voor als het toch nodig is. 100,01=1,0233. Ook weer uit je hoofd leren. De volgende waarden zijn ook hier weer machten van. 100,04 is dus ( 100,01)4 =1,02334=1,0965 1,4dB= 1dB+0,4dB= 1,25892X 1,0965 = 1,38046X (een beetje afgerond). Dit schrijf je als 1,38X. Voorbeeld; Een versterker van 1,4 dB zal een vermogen van b.v. 100Watt 1,38 maal versterken =100X1,38 = 138Watt.
Samenvatting. Alle enkelvoudige decibellen zijn altijd kleiner dan 10. Alle decibellen groter dan 10 kunnen met een eenvoudige truck berekend worden. Machten van101; 102; 103; 104 enz. komen altijd uit op 10; 100; 1000; 10000. Enz. Vermenigvuldigen is dan ook simpel de komma naar rechts verplaatsen. Decibellen mogen we optellen maar de versterkings of verzwakkings factoren moeten altijd vermenigvuldigd of gedeeld worden. Voorbeeld; Een versterker van b.v. 24,8dB kun je ontleden tot een 3 tal versterkers.(theoretisch dan). 1 van 20dB; 1van 4dB en 1 van 0,8 dB. 20dB = 100X; 4 dB=2,51X en 0,8 dB =1,2X De decibellen kun je optellen. De versterkings factoren met elkaar vermenigvuldigen. 100X2,51=251. (De komma 2 plaatsen naar rechts). 251X1,2=301,2. Deze versterker versterkt dus 301,2X
1dB = 100,1 = 1,25892. Maar hoe reken je dat uit? Het berekenen van het ware getal in de logaritme is niet zo eenvoudig. Het gaat hier om worteltrekken met grote exponenten of machtsverheffen met hele kleine exponenten. We hebben in het verleden vast wel geleerd, hoe je met een soort staartdeling kan worteltrekken. Bij een vierkantswortel gaat dat prima. Dit is echter iets gecompliceerder. Kijk maar. 1dB = 10√10. 1dB is de tiende machtswortel uit het getal 10. Denk er aan dat het “machtsteken”, de exponent boven de 10 onder het wortel teken eigenlijk een 1 is. * 10√101 = 101/10 =100,1.=1,25892 Weet u het nog? Worteltrekken doet men door de exponenten door elkaar te delen. . 2dB =10√102 =102/10 = 100,2 . 6
We moeten dus zoeken naar een getal dat 10 X met zichzelf vermenigvuldigd het getal 10 oplevert. Moeten we nu heel veel gaan vermenigvuldigen? Dat hoeft niet. Voorbeeld: n X n=n2 (n2)2 = n4 Nu nog een keer met n vermenigvuldigen en vervolgens kwadrateren n4Xn1 =n5. (n5)2 = n10. Met 5 vermenigvuldigingen zijn we er al. Als voorbeeld nemen we het getal dat achter 1dB schuilgaat. Dit getal staat bij het* (sterretje) hier boven. Het zoeken van de10e machtswortel door machtsverheffen gaat zo. Als je het getal 1 10X met zichzelf vermenigvuldigd blijft het gewoon 1. Dit is te klein. Proberen met 2 geeft 22=4. 42=16. Dit is nu al te groot. 210=1024.Veel te groot dus. We proberen het met 1,2. 1,22=1,44. 1,442=2,0736. Nu nog met een maal met 1,2 =2,48832. Dit getal kwadrateren geeft 6,191736. Is te klein. Nu proberen met 1,3 (zelf ook even mee rekenen) geeft 1,310=13,78585. Dit is te veel. De juiste zit er tussen in dus 1,25 proberen 1,252=1,5625. 1,56252=2,44141. 2,44141X1,25=3,0517578. Dit kwadrateren geeft 9,3132257. Nog te klein maar 1,26 is weer te groot. Probeer maar eens. 1,2610=10,0856862. Het getal 1,2589210 is uiteindelijk 9,99957. Dit is hier nauwkeurig genoeg. Ben je zo ver dan hoef je alleen nog maar het getal dat achter 1dB schuilgaat te kwadrateren om het getal dat achter 2dB schuilgaat te vinden, en het getal dat achter 1dB schuilgaat 3X met zichzelf te vermenigvuldigen om 3dB te vinden enz. Veel succes
PA0 FWN Bronnen. Meerdere artikelen in Electron. Electronisch vademecum.1968 http://www.wiskunst.nl/wiskunde%5Cwiskunde7.htm Wikipedia
7
