II.
Hipotézisvizsgálat
Lényege: A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, majd az állításunk helyességét vizsgáljuk. A hipotézisvizsgálat eszköze: a statisztikai próba Menete: 1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H0: Nullhipotézis; H1: Alternatív hipotézis;
Pl.: H0:
=m0 (= 40kg)
H1:
m0 vagy <m0 vagy m0<
2. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása Pl.:
x m0 z n
3. Elfogadási tartomány meghatározása H1: m0
a) kétoldali kritikus tartomány
2
2
1
K z 2
z K E 1 2 E: [z ; z ] 2
1
2
b) baloldali kritikus tartomány
K
1
z
E E: [z ;[
H1: <m0
c) jobboldali kritikus tartomány
1 z1 E E: ] ; z1 ] 4. Döntés
H1: m0<
K
A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák: Valóság Döntés
H0 –t elfogadjuk
H1 –et elfogadjuk
H0 igaz
Helyes döntés
Elsőfajú hiba (α=5%)
H1 igaz
Másodfajú hiba (β)
Helyes döntés
Egymintás próba várható értékre •Egymintás z-próba A babkávét csomagoló automaták töltik zacskókba. Az előírás szerinti átlagos töltési tömeg 250 g, a szórás 7 g. A csomagolási tömeg ellenőrzésére vett 100 elemű mintában az átlagos töltési tömeg 252 g volt. Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a csomagolás megfelel az előírásnak! Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H0: = H1:
kétoldali kritikus tartomány
2. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása m0 x z0 σ n
3. Elfogadási tartomány meghatározása
95%
2,5%
250 E
K
2
2,5%
252
K
2
1-α
K z 2
z
E
1
E : [z ; z 2
E: [z ; z ] [ z0,025 ; z0,975 ] 1 2
2,86 K
2
4. Döntés H0-t elvetjük, H1-t elfogadjuk.
1
2
]
2
Egymintás t-próba Egy bizonyos típusú személygépkocsi átlagos fogyasztása a gyártó vállalat szerint 8,5 liter/100 km. Egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztott 30 gépkocsi átlagos fogyasztása 9,1 liter/100 km volt, melytől az egyes gépkocsik fogyasztása átlagosan 2,2 liter/100 km-rel tért el. Döntse el, hogy megfelelő-e az autók fogyasztása! (=0,05) Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H0: = H1:
jobboldali kritikus tartomány
2. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása
x m0 t 0 s n
3. Elfogadási tartomány meghatározása
95%
5%
12 E
12,08
K
1-α
0,80
E
K t1(szf )
E : ; t1(szf )
E: ; t1(szf ) 4. Döntés H0-t elfogadjuk
• Egymintás próba sokasági arányra Egy javítószolgálat jelentéseiből ismeretes, hogy a jelenleg gyártott színes TV-k 10 %-a szorul garanciális javításra. Egy új típusból 250 darabos kísérleti sorozatot gyártottak, ezek közül 23 darabot kellett a garanciális időszakban javítani. Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a hipotézist, hogy jobb-e az új TV! Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H0: P = H1: P
baloldali kritikus tartomány
2. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása P0 p z0 P0 Q0 n
3. Elfogadási tartomány meghatározása zα= - z1-α Z0,05= -1,64
5% K
95% 9,2 10 E
1-α
K
-0,42 z
E
E : z ;
E: [z ;[ 4. Döntés H0-t elfogadjuk.
α
Z1-α
Kétmintás statisztikai próbák •Kétmintás t-próba Egy két műszakban dolgozó vállalatnál műszakonként 60, illetve 40 véletlenszerűen kiválasztott dolgozó teljesítményét mérték meg. Az I. műszakból mintába került dolgozók átlagos teljesítménye 23 db volt, 3 db szórással. A II. műszakban az átlagteljesítmény 25db, ettől az egyes dolgozók teljesítménye átlagosan 2,5 db-bal tért el. ( A szórások közt nincs szignifikáns eltérés.) Állapítsa meg van-e szignifikáns különbség a két műszakban dolgozók átlagos teljesítménye között! (=0,05)
Megoldás: n1 60
x1 23
s1 3
n2 40
x2 25
s2 2,5
1. H0: 1-2= H1: 1-2≠ 2.
kétoldali kritikus tartomány
x1 x 2 0 t0 1 1 sd n1 n 2 sd
3.
4.
( szf ) (szf) E: t ; t1 2 2 H0-t elvetjük, H1-et elfogadjuk.
Többmintás statisztikai próbák: •Varianciaanalízis Különböző vizsganapokon írt dolgozatok közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottak 5-5 dolgozatot. (A szórások közt nincs szignifikáns különbség.) Vizsgasor Pontszámok A 65, 55, 84, 80, 50 B 60, 84, 90, 80, 82 C 40, 49, 60, 70, 62 D 38, 50, 70, 55, 60 Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a vizsgasorok összességükben azonos nehézségűek voltak-e!
A B C D
Pontszámok 65, 55, 84, 80, 50 60, 84, 90, 80, 82 40, 49, 60, 70, 62 38, 50, 70, 55, 60
x1
s1
x2 x3
s2 s3
x4
s4
x 1.
H0: μ1= μ2=μ3=μ4 H1: létezik i, melyre ≠ SK 2. F M 1 SB nM Helyes H0 esetén F0 az 1-nél egy „kicsit” lehet nagyobb.
SK M 1 F0 SB nM SK= SB=
3.
F-eloszlás sűrűségfüggvénye
1-α
E
szf1 ) F((szf 2 )1
(M -1) (n - M) 1-
E: [0; F
4.
K
]
H0-t elvetjük, H1-et elfogadjuk.
