Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 43 – 49 ISSN : 2303–2910 c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DAN KUBUS DASAR WIWI ULMAYANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
[email protected]
Abstract. Given a topological space X. Then define an algebra object H∗ (X) which is called the homology group of X. H∗ (X) is the collection the kth homology group of X which is denoted by Hk (X). An elementary cube Q is a finite product of elementary intervals I = [l, l + 1] or I = [l, l], for some l ∈ Z. In this paper, it is proved that all elementary cubes are acyclic, which means that Hk (Q) is isomorphic to Z if k = 0, and Hk (Q) is isomorphic to 0 if k > 0. Kata Kunci: Topological space, acyclic, isomorphic
1. Pendahuluan Misalkan diberikan ruang topologi X. Selanjutnya didefinisikan suatu objek aljabar H∗ (X) yang disebut dengan homologi dari X, dimana secara topologi H∗ (X) adalah sebuah invarian, artinya jika X dan Y adalah homeomorfik maka H∗ (X) dan H∗ (Y) adalah isomorfik, X ≈ Y ⇒ H∗ (X) ∼ = H∗ (Y ), dimana H∗ (X) merupakan koleksi dari grup homologi ke-k dari X yang dinotasikan dengan Hk (X). Misalkan diberikan suatu ruang topologi G ⊂ Rn , yang mana dapat disederhanakan menjadi suatu graf. Kemudian graf tersebut diobservasi dan direpresentasikan secara kombinatorik dan dari kombinatorik ini diperoleh suatu objek aljabar H∗ (G) yang disebut homologi dari G. Pada tulisan ini, penulis akan fokus pada homologi kubik dimana ruang topologi dapat direpresentasikan sebagai sebuah kubik. Sebuah kubus dasar Q adalah suatu hasil kali hingga dari interval-interval dasar I = [l, l + 1] atau I = [l, l] untuk suatu l ∈ Z. Jadi, Q = I1 × I2 × · · · × In ⊂ Rn . Himpunan kubik merupakan suatu kelas khusus dari ruang topologi. Berdasarkan definisi, sebuah himpunan kubik X disebut asiklik jika Z, jika k = 0 Hk (X) ∼ = 0, selainnya untuk k ≥ 0 dan k ∈ Z. Makalah ini bertujuan untuk mengkaji hubungan antara himpunan kubik asiklik dan kubus dasar. 43
44
Wiwi Ulmayani
2. Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar Berikut akan diberikan definisi tentang himpunan kubik asiklik. Definisi 2.1. [5] Suatu himpunan kubik X dikatakan asiklik jika Z, jika k = 0 Hk (X) ∼ = 0, selainnya untuk k ≥ 0 dan k ∈ Z. Misalkan Q = I1 ×I2 ×· · ·×Id sebuah kubus dasar. Untuk suatu i ∈ {1, 2, · · · , d} misalkan Ii (Q) nondegenerate, dengan Ii (Q) = [li , li + 1], untuk suatu li ∈ Z. Pilih k > 0. Keluarga face berdimensi k dari Q dapat diuraikan sebagai berikut Kk (Q) = Kk ([l], i) ∪ Kk ([l, l + 1], i) ∪ Kk ([l + 1], i), dimana Kk (∆, i) := {P ∈ Kk (Q)|Ii (P ) = ∆}, dengan ∆ := [l], [l, l + 1], [l + 1]. Berikut adalah contoh keluarga face berdimensi k = 2. Contoh 2.2. Misalkan Q = [p, p + 1] × [l, l + 1] × [q]. Maka K1 (Q) = {[p, p+1]×[l]×[q], [p]×[l, l+1]×[q], [p+1]×[l, l+1]×[q], [p, p+1]×[l+1]×[q]} dan K2 (Q) = {[p, p + 1] × [l, l + 1] × q}, sehingga diperoleh K1 ([l], 2) = {[p, p + 1] × [l] × [q]}, K1 ([l, l + 1], 2) = {[p] × [l, l + 1] × [q], [p + 1] × [l, l + 1] × [q]} K1 ([l + 1], 2) = {[p, p + 1] × [l + 1] × [q]}
(2.1)
dan K2 ([l], 2) = ∅, K2 ([l, l + 1], 2) = {[p, p + 1] × [l, l + 1] × [q]} K2 ([l + 1], 2) = ∅.
(2.2)
Misalkan z ∈ Zk (Q) yang memiliki sifat bahwa |z| tidak memuat kubus dasar dengan komponen [l + 1]. Maka |z| tidak memuat kubus dasar dengan komponen [l, l + 1]. Lema berikut digunakan untuk membuktikan Teorema 2.4. Lema 2.3. [5] Asumsikan Q ∈ Kd dan i ∈ {1, 2, · · · , d}. Jika z merupakan siklik ke-k pada Q sedemikian sehingga hz, Pbi = 0 untuk setiap P ∈ Kk ([l + 1], i), maka hz, Pbi = 0 untuk setiap P ∈ Kk ([l, l + 1], i). Bukti. Karena z merupakan rantai pada Q, maka X z= hz, PbiPb. P ∈Kk (Q)
Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar
45
Oleh karena itu, untuk sebarang R ∈ Kk−1 (Q), berlaku b = h∂( h∂z, Ri
X
b hz, PbiPb), Ri
P ∈Kk (Q)
X
=h
b hz, Pbi∂ Pb, Ri
P ∈Kk (Q)
X
=
b hz, Pbih∂ Pb, Ri.
P ∈Kk (Q)
Karena z siklik, maka untuk sebarang R ∈ Kk−1 (Q) berlaku 0
=
X
b = h∂z, Ri
P ∈Kk ([l],i)
X
X
b + hz, Pbih∂ Pb, Ri
b + hz, Pbih∂ Pb, Ri
P ∈Kk ([l,l+1],i)
b hz, Pbih∂ Pb, Ri
P ∈Kk ([l+1],i)
Karena hz, Pbi = 0 untuk setiap P ∈ Kk ([l + 1], i), maka b = 0 = h∂z, Ri
X
X
b + hz, Pbih∂ Pb, Ri
P ∈Kk ([l],i)
b hz, Pbih∂ Pb, Ri
(2.3)
P ∈Kk ([l,l+1],i)
Misalkan P0 ∈ Kk ([l, l + 1], i), dan misalkan R0 kubus dasar yang didefinisikan sebagai Ij (R0 ) =
[l + 1], jika j = i Ij (P0 ), selainnya.
(2.4)
Maka, R0 bukan face dari P untuk P ∈ Kk ([l], i), karena Ii (P ) = [l] sedangkan P b pada ruas kanan (2.3) tidak Ii (R0 ) = [l + 1]. Akibatnya P ∈Kk ([l],i) hz, Pbih∂ Pb, Ri muncul untuk R = R0 . Namun, R0 adalah face dari P untuk P ∈ Kk ([l, l + 1], i) jika dan hanya jika P = P0 . Ini berarti bahwa persamaan (2.4) direduksi R = R0 c0 ih∂ P c0 , R b0 i. menjadi 0 = hz, P Perhatikan bahwa R0 = I1 × I2 × · · · × Ii × · · · × Id = I1 × I2 × · · · × [l + 1] × · · · × Id \ c R0 = I1 × I2 × · · · × [l + 1] × · · · × Id = Ib1 Ib2 · · · [l\ + 1] · · · Ibd d b = [l\ + 1] Ib1 Ib2 · · · Id i−1 Ii+1 · · · Id d b = [l\ + 1] Ib1 Ib2 · · · Id i−1 Ii+1 · · · Id {z } | c0 J
= [l\ + 1] Jb0
46
Wiwi Ulmayani
dan P0 = I1 × I2 × · · · × Ii × · · · × Id = I1 × I2 × · · · × [l, l + 1] × · · · × Id c0 = I1 × I2 × · · · ×\ P [l, l + 1] × · · · × Id = Ib1 Ib2 · · · [l,\ l + 1] · · · Ibd d b = [l,\ l + 1] Ib1 Ib2 · · · Id i−1 Ii+1 · · · Id d b = [l,\ l + 1] Ib1 Ib2 · · · Id i−1 Ii+1 · · · Id . {z } | {z } | Ib0
c0 J
Sehingga, 0
c0 = ∂ Ib0 Jb0 + (−1)dimI Ib0 ∂ Jb0 ∂P = ∂ [l,\ l + 1] Jb0 + (−1)[l,\ l + 1] ∂ Jb0 b Jb0 + (−1)[l,\ = ([l\ + 1] − [l]) l + 1] ∂ Jb0 b Jb0 + (−1)[l,\ = [l\ + 1] Jb0 − [l] l + 1] ∂ Jb0 . c0 , R b0 i = Karena h∂ P 6 0, diperoleh hz, Pb0 i = 0. Teorema berikut merupakan hasil kajian utama dalam makalah ini. Teorema 2.4. [5] Setiap kubus dasar adalah asiklik. Bukti. Misalkan Q adalah kubus dasar. Karena Q connected, maka menurut [5], H0 (Q) ∼ = Z. Sehingga cukup ditunjukkan bahwa Hk (Q) = 0 untuk k > 0, yang ekivalen dengan menunjukkan bahwa setiap siklik ke-k pada Q adalah batas (boundary). Dalam hal ini akan ditunjukkan dengan induksi pada n := dim Q. • Untuk n = 0. Jika n = 0, maka Zk (Q) = Ck (Q) = 0 = Bk (Q) yang menunjukkan bahwa Hk (Q) = 0. • Untuk n > 0. Asumsikan bahwa Hk (Q) = 0, untuk semua kubus dasar dengan dimensi yang lebih kecil dari n. Karena n > 0, pilih sebarang i sedemikian sehingga Ii (Q) nondegenerate. Untuk setiap P ∈ Kk ([l + 1], i), misalkan P ∗ kubus dasar yang diberikan oleh [l, l + 1], jika j = i Ij (P ∗ ) := Ij (P ), selainnya. Maka P adalah face dari P ∗ . Misalkan z sebuah siklik ke-k pada Q. Definisikan X c∗ , PbiP c∗ , c := hz, Pbih∂ P P ∈Kk ([l+1],i) 0
z := z − ∂c.
Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar
47
Untuk setiap P0 ∈ Kk ([l + 1], i), berlaku X c0 i = h∂( c∗ , PbiP c∗ ), P c0 i h∂c, P hz, Pbih∂ P P ∈Kk ([l+1],i)
X
=h
c∗ , Pbi∂ P c∗ , P c0 i hz, Pbih∂ P
P ∈Kk ([l+1]
X
=
c∗ , Pbih∂ P c∗ , P c0 i. hz, Pbih∂ P
P ∈Kk ([l+1]
c∗ , P c0 i = Karena Ii (P ∗ ) = [l, l + 1] dan Ii (P0 ) = [l + 1], akibatnya h∂ P 6 0 jika c0 i = hz, P c0 i dan hz 0 , P c0 i = 0. dan hanya jika P = P0 . Oleh karena itu,h∂c, P 0 0 0 Berdasarkan Lema 2.3, |z | ⊂ Q , dimana Q merupakan kubus berdimensi n − 1 yang didefinisikan sebagai 0 [l], jika j = i Ij (Q ) := Ij (Q), selainnya. 0
0
Dari induksi, diperoleh z = ∂c . Ini menunjukkan bahwa z = ∂c + z
0 0
= ∂c + ∂c
0
= ∂(c + c ), dengan z adalah batas. Kebalikan dari Teorema 2.4 tidak berlaku, karena setiap himpunan kubik yang asiklik belum tentu merupakan kubus dasar. Contoh 2.5. Misal himpunan kubik 0
Γ = [1, 3] × [2]. Definisikan Q1 = [1, 2] × [2] dan Q2 = [2, 3] × [2]. Himpunan-himpunan dari kubus dasar Q1 dan Q2 adalah K0 (Q1 ) = [1] × [2], [2] × [2] K0 (Q2 ) = [2] × [2], [3] × [2] K1 (Q1 ) = [1, 2] × [2] K1 (Q2 ) = [2, 3] × [2] Maka basis untuk himpunan rantai-rantai dari Q1 dan Q2 adalah \ \ b 0 (Q1 ) = {[1] K × [2], [2] × [2]} c [2], c [2] c [2]}, c = {[1] \ \ b 0 (Q2 ) = {[2] K × [2], [3] × [2]} c c c c = {[2] [2], [3] [2]}.
48
Wiwi Ulmayani
b 1 (Q1 ) = {[1,\ K 2] × [2]} d c = {[1, 2] [2]}, b 1 (Q2 ) = {[2,\ K 3] × [2]} d c = {[2, 3] [2]}. 0
Untuk menghitung operator batas dari Γ , perlu dihitung batas dari anggotaanggota basisnya. d d d c = ∂ [1, d c + (−1)dim [1,2] c ∂([1, 2] [2]) 2] [2] [1, 2] ∂ [2] c − [1]) c [2] c + (−1)1 [1, d = ([2] 2] 0
c [2] c − [1] c [2]) c +0 = ([2] c [2] c − [1] c [2] c = [2] c [2]) c + [2] c [2]. c = −[1] d d d3] [2]) c = ∂ [2, d c + (−1)dim [2,3] c ∂([2, 3] [2] [2, 3] ∂ [2] c − [2]) c [2] c + (−1)1 [2, d = ([3] 3] 0
c [2] c − [2] c [2]) c +0 = ([3] c [2] c − [2] c [2] c = [3] c [2]) c + [3] c [2]. c = −[2] Selanjutnya tentukan basis dari Q1 dan Q2 d2] [2]) c = −[1] c [2]) c + [2] c [2] c ∂([1, c [2]) c + 1([2] c [2]). c = −1([1] d3] [2]) c = −[2] c [2]) c + [3] c [2] c ∂([2, c [2]) c + 1([3] c [2]), c = −1([2] 0
sehingga basis dari Γ dapat ditulis dalam bentuk matriks −1 ∂1 = . 1 0
Untuk memperoleh Z1 (Γ ), akan dicari ker ∂1 , dengan menyelesaikan persamaan −1 0 . α1 = 1 0
−α1 α1
=
0 , 0 0
yang memberikan α1 = −α1 = 0. Sehingga diperoleh α1 = 0. Karena Z1 (Γ ) = 0, 0 B1 (Γ ) = 0 akibatnya 0 H1 (Γ ) ∼ = 0.
Himpunan Kubik Asiklik dan Kubus Dasar
49
Untuk k = 0, b Q(R) =
1, R = [1] × [2] 0, selainnya.
(2.5)
\ c([1] × [2]) = α[1] × [2]([1] × [2]) = α, dimana α ∈ Z. Lebih khusus, Z0 (X) ∼ = C0 (X) = Z. Oleh karena itu, H0 (X) ∼ Z. = 3. Kesimpulan Misalkan X adalah himpunan kubik. Selanjutnya misalkan Q ⊂ X adalah kubus dasar. Setiap kubus dasar Q adalah asiklik, yang berarti bahwa Z, jika k = 0 ∼ Hk (Q) = 0, selainnya. Namun tidak semua himpunan kubik yang asiklik adalah kubus dasar. 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Nova Noliza Bakar, M.Si, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Prof. Dr. I Made Arnawa dan Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Bartle, R.G. dan D.R. Sherbert. 2000.Introduction To Real Analysis, 3rd ed., USA: Copyright Act [2] Herstein, I. N. 1999. Topics in Algebra. 2nd ed. John Wiley and Sons, New York [3] Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York [4] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2000. Algebraic Topology : A Computational Approach. New York [5] Kaczynski. T, K. Mischaikow, M. Mrozek. 2004. Computational Homology. Springer-Verlag. New York [6] Min Yan. 2010. Topology. Hongkong University of Science and Technology. Hongkong
