HÁZI FELADAT – megoldási segédlet Relatív kinematika Két autó. 1. rész
1. Határozzuk meg, hogy milyennek észleli az A autóban ül megfigyel a B autó sebességét és gyorsulását abban a pillanatban, amikor az ábrán vázolt helyzetbe érnek. 1. lépés: a vonatkoztatási rendszerek és a koordinátarendszerek felvétele Jelölések: VR1: álló vonatkoztatási rendszer (1-es jel merev test) VR2: mozgó vonatkoztatási rendszer (2-es jel merev test) KR1: az álló vonatkoztatási rendszerhez mint merev testhez kötött koordinátarendszer KR2: a mozgó vonatkoztatási rendszerhez mint merev testhez kötött koordinátarendszer VR1: a nyugvónak és merevnek tekintett környezet. A hozzá kötött KR1: {O; x, y, z} térfix
VR2: az A jel autó, mint merev test. A hozzá kötött KR2: {Ω ; ξ ,η , ζ } Abban a pillanatban, amikor az autók az ábrán megadott helyzetben vannak, a két KR egymással fedésben van úgy, hogy az origók és a mozgás síkjára mer leges tengelyek tartósan fedésben vannak ( O = Ω és ζ = z ), a mozgás síkjában lév tengelyek pedig pillanatnyilag fedésben vannak ( x = ξ és y = η ). vA = 18 [ km/h ] = 5 [ m/s ] a A t = 2 m/s
a At
y, η
2
vB = 36 [ km/h ] = 10 [ m/s ]
ε 21
aB = 3 m/s 2
v szállító
vA A
B
a An a szállító
5
ω 21
aB vB
3
x, ξ
3 4 O, Ω 2. lépés: a mozgó vonatkoztatási rendszer mint merev test mozgásállapotának meghatározása az álló vonatkoztatási rendszerhez képest, az adott pillanatban: VR2-t úgy képzeljük el, mint egy végtelen nagyra1 kiterjesztett tárcsát, amely az O-n átmen tengely körül forog. Ezen a tárcsán az A autó nyugalomban van. Ez azt jelenti, hogy a képzeletbeli tárcsa és az A autó egy merev testet alkot. Ismert az autó A pontjának - és ezzel a tárcsa A-val jelölt pontjának sebessége és tangenciális gyorsulása az adott pillanatban. Így a merev testekre vonatkozó
v A = v Ω + ω 21 × r ΩΑ
és a A = a Ω + ε 21 × r ΩΑ − ω 221 ⋅ r ΩΑ összefüggésekb l
Sebességállapot2: v Ω = vΟ = 0
ω 21 =
vA
5 k = k =1k , 5 OA
1
Tulajdonképpen "elegend en nagyra" is elég. Legalább akkora kell legyen, hogy az A autó rajta legyen, egyébként érdektelen a mérete és az alakja. 2 Az OA távolság azért 5 [m], mert a 3 és 4 egység befogójú derékszög háromszög oldalai pythagoraszi számhármast alkotnak.
1
Gyorsulásállapot: a Ω = aΟ = 0,
ω 21 = 1 k
rad s
,
ε 21 =
a At 5
k = 0, 4 k
rad s
2
3. lépés: a megfigyelt test mozgásállapotának leírása az álló koordinátarendszerben, az adott pillanatban
A B jel autó haladó mozgást végez a VR1-ben, nem forog, tehát szögsebessége és szöggyorsulása is nulla. Sebességállapot: ω = 0, v B = 10 j
m
Gyorsulásállapot: ε = 0, a B = 3 j
m
s s
2
adott adott
4. lépés: kapcsolat a B pont sebességének (és gyorsulásának) az álló és a mozgó vonatkoztatási rendszerben felírt alakjai között 3:
v B = β B + v szállító a B = α B + a szállító + a Coriolis
Ezekben az egyenletekben β B és α B az ismeretlenek, vagyis a B pontnak a mozgó VR-ból megfigyelt sebessége és gyorsulása. A szállító sebesség és a szállító gyorsulás, valamint a Coriolis gyorsulás sem ismert, de kiszámítható. A szállító sebesség a mozgó VR azon pontjának sebessége az álló VR-ból megfigyelve, amelyik a vizsgált pillanatban a megfigyelt ponttal fedésben van. Jelen példában a végtelen nagy méret re kiterjesztett, az O-n átmen z tengely körül forgó képzeletbeli tárcsának a B-vel éppen fedésben lév pontjának sebessége: (valamint a szállító gyorsulás analóg értelmezésével): v szállító = v Ω + ω 21 × ρ Ω B v szállító
0 7 −3 = 0 × 3 = 7 1 0 0
a szállító = a Ω + ε 21 × ρ Ω B − ω 221 ρ Ω B m s
a szállító
0 7 7 −8, 2 = 0 × 3 − 3 = −0, 2 0, 4 0 0 0
m s2
3
Ezek az egyenletek nem függenek a KR megválasztásától. Számoláshoz konkrét KR-ben felírt egyenletekre van szükség, amik már KR függ ek. Ezért valamely vektoregyenlet csak úgy írható fel koordinátás alakban, ha minden benne szerepl vektormennyiség ugyanabban a KR-ben van felírva. Mivel a fenti egyenletekben különböz VR-ekb l megfigyelt mennyiségek szerepelnek, (latin és görög bet vel vannak megkülönböztetve egymástól), ügyelni kell arra, hogy az egy egyenletben szerepl összes vektor koordinátái ugyanabban a KR-ben legyenek felírva. Ezért vagy eleve a vizsgált pillanatban fedésben lév KR-eket veszünk fel, (jelen esetben ezt tettük: így választottuk meg a KR-eket), vagy koordinátatranszformációt kell végrehajtani. Ez utóbbi nem kerülhet meg, ha a mozgásnak nem csak egy adott id pillanatára vonatkozik a kérdés, hanem egy id intervallumra.
2
v B = β B + v szállító
β B = v B + ( −v szállító )
Grafikusan:
0 βx −3 10 = β y + 7 0 0 0
→
3 βB = 3 0
m s
3
−v szállító
7
vB
A Coriolis gyorsulás: 0
−6
3
a Coriolis = 2 ⋅ ω 21 × β B = 2 ⋅ 0 × 3 = 6 1 0 0
3
βB
m s2
a B = α B + a szállító + a Coriolis
0 αBx −8, 2 −6 3 = α B y + −0, 2 + 6 0 0 0 0
Grafikusan:
→
14, 2 α B = −2,8 0
m s2
α B = a B + ( − a szállító ) + ( − a Coriolis )
3
0,2
− a szállító aB
− a Coriolis
2,8
α 8,2
6
B
6
3
2. Határozzuk meg, hogy milyen szögsebességgel és szöggyorsulással látja forogni az A autóban ül megfigyel a B autót, ugyanebben a pillanatban.
Kapcsolat egy merev test szögsebességének egy mozgó, (VR2), és egy álló (VR1) vonatkoztatási rendszerb l megfigyelt szögsebességei között:
ω 1 = ω 2 + ω 21 ahol
ω 1 a megfigyelt test szögsebessége az 1-es jel (VR1) vonatkoztatási rendszerhez képest ω 2 a megfigyelt test szögsebessége a 2-es jel (VR2) vonatkoztatási rendszerhez képest ω 21 a VR2-nek, a mozgó vonatkoztatási rendszernek mint merev testnek a szögsebessége az álló vonatkoztatási rendszerhez, VR1-hez képest.
Alkalmazva a példában: A B jel merev test haladó mozgást végez, vagyis nem forog a környezethez képest, vagyis az álló VR1 vonatkoztatási rendszerhez képest, ezért ω 1 = 0 . 0 Így a B autónak az A autóhoz képesti szögsebessége: ω 2 = −ω 21 = 0 −1
rad . s
Hasonlóan, a szöggyorsulások kapcsolatára vonatkozó összefüggésb l a B autónak az A autóhoz képesti szöggyorsulása ε 2 = −ε 21 , ugyanis: Az általános összefüggés:
ε 1 = ε 2 + ω 21 × ω 2 + ε 21
Alkalmazva a példában:
ε 1 = 0 mert a B autó nem forog a környezethez képest (haladó mozgást végez) az ω 21 × ω 2 tag síkbeli mozgásnál mindig nulla, mert mindkét szögsebességvektor mer leges a mozgás síkjára
ebb l 0 = ε 2 + ε 21 →
0 ε 2 = −ε 21 = 0 −0, 4
rad s2
4
3. Ismételjük meg a feladat megoldását, más koordinátarendszer választással. Most is az A jel autóból figyeljük a B jel autó mozgását. A megoldás lépései is ugyanazok, a különbség az, hogy a mozgó koordinátarendszert másképp vesszük fel: 1. lépés: a vonatkoztatási rendszerek és a koordinátarendszerek felvétele Jelölések: VR1: álló vonatkoztatási rendszer (1-es jel merev test) VR2: mozgó vonatkoztatási rendszer (2-es jel merev test) KR1: az álló vonatkoztatási rendszerhez mint merev testhez kötött koordinátarendszer KR2: a mozgó vonatkoztatási rendszerhez mint merev testhez kötött koordinátarendszer VR1: a nyugvónak és merevnek tekintett környezet. A hozzá kötött KR1: {O; x, y, z} térfix
VR2: az A jel autó, mint merev test. A hozzá kötött KR2: {Ω ; ξ ,η , ζ } A mozgó koordinátarendszer origóját az A autó középpontjában rögzítjük, a mozgás síkjában fekv tengelyeit pedig az autó oldalára mer legesen, illetve az autó haladási irányában. A ζ tengely párhuzamos a térfix z tengellyel, és az A autóval együtt mozog, önmagával párhuzamosan.
η vA = 18 [ km/h ] = 5 [ m/s ]
vA A=Ω
vB = 36 [ km/h ] = 10 [ m/s ] aB = 3 m/s 2
aB vB
a At
y
a A t = 2 m/s 2
ξ
B
a An
5
ω 21
3
ε 21
x O
4
3
2. lépés: a mozgó vonatkoztatási rendszer mint merev test mozgásállapotának meghatározása az álló vonatkoztatási rendszerhez képest, az adott pillanatban:
VR2 merev test, ismert az A = Ω pontjának a sebessége. Ennek a sebességnek a koordinátái a KR2ben egyszer en felírhatók: 0 vΩ = v A = 5 0 ξ ,η ,ζ Ismert az A = Ω pont gyorsulása is, igaz, nem közvetlenül, de meg lehet határozni a rendelkezésre álló adatokból: adott a sebesség, adott a tangenciális gyorsulás és ismert a pálya görbületi sugara. Az A pont normális gyorsulásának iránya: A-ból O felé mutat, nagysága pedig: a An =
m v A2 52 = =5 2 s OA 5 5
Ezzel az A = Ω pont gyorsulásvektora, a KR2 koordinátarendszerben felírva: −5
0
−5
a Ω = a A = a At + a An = 2 + 0 = 2
0
0
0
ξ ,η ,ζ
A VR2 mint merev test szögsebességének és szöggyorsulásának meghatározása a VR1 álló környezethez képest: Ugyanúgy kell eljárni, mint az 1.-es pontban, vagyis gondolatban ki kell terjeszteni az A autó tartományát úgy, hogy legyen olyan pontja, amelyik az O ponttal fedésben van. Az így megkonstruált VR2 merev test a térfix O ponton átmen , x-y síkra mer leges z tengely körül forog, ezért az O ponttal fedésben lév pontjának nulla a sebessége és a gyorsulása. Ezzel ismert a VR2 merev test két pontjának a sebessége és a gyorsulása, amib l a szögsebesség és a szöggyorsulás a v A = vΟ + ω 21 × r ΟΑ és a A = aΟ + ε 21 × r ΟΑ − ω 221 ⋅ r ΟΑ összefüggésekb l meghatározható. Ezek a z = ζ tengelybe esnek, így alakjuk ugyanaz a KR1-ben felírva, mint a KR2-ben: 0
0
ω 21 = 0
= 0
1
1
x, y , z
0 rad
ε 21 =
s
=
0 0, 4
ξ ,η ,ζ
0 rad
0 0, 4
x, y,z
s2 ξ ,η ,ζ
Rendelkezésre állnak a mozgó VR-nek mint merev testnek a mozgásállapotát megadó vektorok: Sebességállapot: v A = v Ω , ω 21 Gyorsulásállapot: a A = a Ω , ε 21 , ω 21
Ezekre a 4.lépésben lesz szükség, a B pont két, egymáshoz képest mozgó VR-b l megfigyelt sebességei (és gyorsulásai) közötti kapcsolat felírásához. Mivel azok az egyenletek mindkét VR-b l megfigyelt vektormennyiségeket tartalmaznak, numerikus számításokhoz csak úgy lehet ket használni, ha a bennük szerepl vektorok koordinátái ugyanarra a koordinátarendszerre vonatkoznak. Legyen ez a koordinátarendszer a KR1, és transzformáljuk az A = Ω pont sebességét és gyorsulását a KR1-be. Segédábrák a transzformációs mátrix felírásához: y
η
4 = 0,8 5 3 sin ϕ = = 0, 6 5 cos ϕ =
3
ϕ
ξ
j eη
5
4
eξ
ϕ
x
i
cos ϕ
− sin ϕ
0
T KR 2→ KR1 = sin ϕ 0
cos ϕ 0
0 = 0, 6 1 0
0,8 −0, 6 0 0,8 0
0 1
Ezzel: 0,8 −0, 6 0
v A = v Ω = T KR 2→ KR1 ⋅ [ v A ] KR 2 = 0, 6
0
0,8 0
0
−3
0 ⋅ 5 = 4 1 0 0
m s x, y , z
6
0,8 −0, 6 0
a A = a Ω = T KR 2→ KR1 ⋅ [ a A ] KR 2 = 0, 6
0
−5
−5, 2
0 ⋅ 2 = −1, 4 1 0 0
0,8 0
m s2 x, y , z
3. lépés: a megfigyelt test mozgásállapotának leírása az álló koordinátarendszerben, az adott pillanatban
A B jel autó haladó mozgást végez a VR1-ben, nem forog, tehát szögsebessége és szöggyorsulása is nulla. 0 m Sebességállapot: ω = 0, v B = 10 adott s 0 x, y , z 0
Gyorsulásállapot: ε = 0, a B = 3 0
m s2
adott
x, y,z
4. lépés: kapcsolat a B pont sebességének (és gyorsulásának) az álló és a mozgó vonatkoztatási rendszerben felírt alakjai között:
v B = β B + v szállító a B = α B + a szállító + a Coriolis
Ezekben az egyenletekben β B és α B az ismeretlenek, vagyis a B pontnak a mozgó VR-ból megfigyelt sebessége és gyorsulása. A szállító sebesség és a szállító gyorsulás, valamint a Coriolis gyorsulás sem ismert, de a rendelkezésre álló adatokból, a definíció alapján kiszámíthatók: A szállító sebesség a mozgó VR (mint merev test) azon pontjának sebessége (az álló VR-ból megfigyelve), amelyikkel a vizsgált pillanatban a megfigyelt pont éppen fedésben van. v szállító = v Ω + ω 21 × ρ Ω B v szállító
Ezzel:
−3 0 3 −3 = 4 + 0 × 0 = 7 0 1 0 0
m s x, y , z
v B = β B + v szállító
β Bx 0 −3 10 = β B y + 7 0 0 0
→
3 βB = 3 0
m s x, y , z
7
A szállító gyorsulás a mozgó VR (mint merev test) azon pontjának gyorsulása (az álló VR-ból megfigyelve), amelyikkel a megfigyelt pont a vizsgált pillanatban fedésben van. a szállító = a Ω + ε 21 × ρ Ω B − ω 221 ρ Ω B a szállító
−5, 2 −8, 2 0 3 3 = −1, 4 + 0 × 0 − 1⋅ 0 = −0, 2 0 0, 4 0 0 0
m s2 x, y , z
A Coriolis gyorsulás: 0
3
−6
m s2
a Coriolis = 2 ⋅ ω 21 × β B = 2 ⋅ 0 × 3 = 6 1 0 0 Ezzel:
a B = α B + a szállító + a Coriolis
α B = a B − a szállító − a Coriolis 0 −8, 2 −6 14, 2 α B = 3 − −0, 2 − 6 = −2,8 0 0 0 0
m s2 x, y , z
A szögsebesség és szöggyorsulás számítása minden részletében megegyezik az el bbiekben ismertetettel.
A feladat fizikai megfogalmazása ugyanaz, mint az 1.-es pontban. A számítási segédeszköz különböz : másmilyen koordinátarendszert kötöttünk a mozgó vonatkoztatási rendszerhez. Ez nem befolyásolja a végeredményt. Ugyanazokat a kinematikai mennyiségeket kaptuk, mint az el bb, vagyis az autó mozgása ugyanolyannak látszik egy adott mozgásállapotú másik autóból nézve, akárhogyan választottunk koordinátarendszert. Hogy milyennek észleli egy mozgó megfigyel az autó mozgását, az függ annak a vonatkoztatási rendszernek a mozgásállapotától, amelyiken a megfigyel ül, de nem függ a hozzá rögzített koordinátarendszer megválasztásától. A koordinátarendszer MATEMATIKAI SEGÉDKONSTRUKCIÓ, a vonatkoztatási rendszer pedig egy FIZIKAILAG MEGHATÁROZOTT objektum.
8
