Hasonlóság
kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika
POKG 2015.
Hasonló háromszögek oldalaránya
0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki a hiányzó (betűvel jelölt) oldalakat! a.)
b.) b
x
c
16 7
4
25
3
7
5
y 24
c.)
d.)
7
6
19
7
f
19 t 12
s
8
e
12
e.)
f.)
g
h
q
7
6
8
8 7
m
p 6 A párhuzamos szelők tétele 1.
1.H
2.
2.H
3.
3.H
Egy háromszög oldalai 4; 5; 6 egység hosszúak. Kössük össze a két hosszabbik oldal közös csúcsához közelebb eső negyedelőpontjait. a.) Bizonyítsuk be, hogy ez a szakasz párhuzamos a háromszög egyik oldalával! b.) Határozzuk meg ennek a szakasznak a hosszát! c.) Határozzuk meg a háromszögből lemetszett trapéz területét! Egy háromszög oldalai 7; 8; 9 egység hosszúak. Kössük össze a két rövidebbik oldal közös csúcsához közelebb eső harmadolópontjait. a.) Bizonyítsuk be, hogy ez a szakasz párhuzamos a háromszög egyik oldalával! b.) Határozzuk meg ennek a szakasznak a hosszát! c.) Számítsuk ki a háromszögből lemetszett trapéz területét! Egy háromszög oldalai 10; 12; 15 cm hosszúak. Kössük össze a két rövidebb oldal megfelelő ötödölőpontjait úgy, hogy az összekötő szakaszoknak páronként ne legyen közös pontjuk! a.) Bizonyítsuk be, hogy ezek a szakaszok párhuzamosak! b.) Számítsuk ki a négy összekötő szakasz hosszát! c.) Mekkora területű idomokra vágják szét a háromszöget ezek a szakaszok? Egy háromszög oldalai 14; 15; 17 cm hosszúak. Kössük össze a két hosszabbik oldal megfelelő hetedelőpontjait úgy, hogy az összekötő szakaszoknak páronként ne legyen közös pontjuk! a.) Bizonyítsuk be, hogy ezek a szakaszok párhuzamosak! b.) Számítsuk ki a hat összekötő szakasz hosszát! c.) Mekkora területű idomokra vágják szét a háromszöget ezek a szakaszok? Egy trapéz párhuzamos oldalai 5 és 9 cm hosszúak, a trapéz magassága 4 cm. Az egyik berajzolt magasság negyedelőpontjain át húzzunk párhuzamosokat a trapéz alapjaival. a.) Mekkora a trapéz szárainak meghosszabbításával keletkező háromszögnek az 5 cm-es alaphoz tartozó magassága? b.) Határozzuk meg a párhuzamosoknak a trapéz belsejébe eső darabjait! c.) Milyen arányban osztják ezek az egyenesek a trapéz szárait? d.) Mekkora területű részekre osztják ezek az egyenesek a trapézt? Egy trapéz párhuzamos oldalai 6 és 11 cm hosszúak, a trapéz magassága 7,5 cm. Az egyik berajzolt magasság ötödölőpontjain át húzzunk párhuzamosokat a trapéz alapjaival.
4. 4.H
5.
5.H
6.
6.H
7.
7.H
a.) Mekkora a trapéz szárainak meghosszabbításával keletkező háromszögnek az 5 cm-es alaphoz tartozó magassága? b.) Határozzuk meg a párhuzamosoknak a trapéz belsejébe eső darabjait! c.) Milyen arányban osztják ezek az egyenesek a trapéz szárait? d.) Mekkora területű részekre osztják ezek az egyenesek a trapézt? Egy szabályos háromszög oldala 5 cm. Az egyik oldaltól 1 cm-re felvett párhuzamos egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Határozzuk meg a két rész területét! a.) Egy szabályos háromszög oldala 5 cm. Az egyik oldaltól √3 cm-re felvett párhuzamos egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Határozzuk meg a két rész területét! b.) Egy szabályos háromszög oldala 8 cm. Az egyik oldaltól 2 cm-re felvett egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre osztja. Mekkora a négyszög kerülete és területe? Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 36 cm; alapja 10 cm. A háromszöget az alapjától 4 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. a.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írt és beírt körének sugarát! b.) Határozzuk meg a négyszög kerületét és területét! A.) Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 42 cm; szára 17 cm. A háromszöget az alapjától 5 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. a.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írt és beírt körének sugarát! b.) Határozzuk meg a négyszög kerületét és területét! B.) Egy egyenlő szárú háromszög szára 11 cm-rel hosszabb az alapjánál, kerülete 64 cm. A háromszöget az alapjától 8 cm távolságban futó egyenessel egy kisebb háromszögre és egy négyszögre vágjuk. Számítsuk ki a négyszög átlóinak hosszát! Egy háromszög oldalai: 10; 17; 21 cm. A leghosszabb oldaltól 2 cm távolságban húzott párhuzamos a háromszöget két részre vágja. a.) Mekkora hosszúságú részekre osztja ez a szakasz a másik két oldalt? b.) Mekkora a keletkező háromszög és négyszög területének aránya? Egy háromszög oldalai: 17; 39; 44 cm. A leghosszabb oldaltól 5 cm távolságban húzott párhuzamos a háromszöget két részre vágja. a.) Mekkora hosszúságú részekre osztja ez a szakasz a másik két oldalt? b.) Mekkora a keletkező háromszög és négyszög területének aránya? Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 7 cm-re felveszünk egy pontot, majd ezen át párhuzamost húzunk a másik befogóval. Ez az egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre bontja. a.) Határozzuk meg a négyszög oldalait! b.) Határozzuk meg a kisebb háromszög köré írható körének sugarát! Egy derékszögű háromszög befogói 7 cm és 24 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 9 cm-re felveszünk egy pontot, majd ezen át párhuzamost húzunk a másik befogóval. Ez az egyenes a háromszöget egy kisebb háromszögre és egy négyszögre bontja. a.) Határozzuk meg a négyszög oldalait! b.) Határozzuk meg a kisebb háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonalát! Hasonlóság – aránypáros feladatok
11. 11.H
12. 12.H
13. 13.H
14.
14.H
Egy háromszög oldalai 3 cm; 5 cm és 7 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a leghosszabb oldal 31,5 cm. Határozzuk meg a háromszög másik két oldalának hosszát! a.) Egy háromszög oldalai 4 cm; 5 cm; 7 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a legrövidebb oldal 42 cm. Határozzuk meg a háromszög másik két oldalának hosszát! b.) Egy háromszög oldalai 5 cm, 8 cm, 9 cm. Egy hozzá hasonló háromszögben a leghosszabb oldal 40,5 cm. Mekkora a háromszög másik két oldala? Egy ház tervrajzán egy 5 m hosszú szoba 3 cm. A szoba 3,8 méteres szélességének a tervrajzon hány cm felel meg? a.) Egy gyárkémény árnyéka 26 m, ugyanakkor a merőlegesen földbe szúrt 80 cm magas karónak az árnyéka 18 cm. Milyen magas a gyárkémény? b.) Egy szoba méretarányos alaprajzán egy 50 cm széles asztal 7,5 cm széles. Mekkorának látszik az alaprajzon az asztal 85 cm-es hosszúsága? Egy térkép méretaránya 1:500. A térképen felvett háromszög oldalai 6; 8; 10 cm-esek. a.) Mekkorák ezek az oldalak a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen ill. a valóságban? A.) Egy térkép méretaránya 1:300. A térképen felvett háromszög oldalai 7; 24; 25 cm-esek. a.) Mekkora a háromszög kerülete a térképen ill. a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen ill. a valóságban? c.) Mekkora a háromszög köré írható körének területe a térképen ill. a valóságban? d.) Mekkora a háromszög leghosszabb oldalához tartozó magasság a valóságban? B.) Egy térkép méretaránya 1:20 000. A térképen felvett derékszögű háromszög befogói 4 cm és 7,5 cm. a.) Mekkora a háromszög átfogója a valóságban? b.) Mekkora a háromszög területe a térképen illetve a valóságban? Hányszorosa a térképi területnek a valóságos terület? c.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara a térképen ill. a valóságban? Egy szabályos ötszög alakú terület az 1:150 méretarányú térképen 2 cm2. a.) Mekkora ez a terület a valóságban? b.) Mekkora az ötszög oldala a térképen? c.) Mekkora az ötszög átlója a valóságban? Egy szabályos kilencszög alakú terület az 1:100 méretarányú térképen 4 cm2.
15. 15.H
16.
16.H
17. 17.H
18.
18.H
19. 19.H
20.H
a.) Mekkora ez a terület a valóságban? b.) Mekkora a kilencszög oldala a valóságban? c.) Mekkora a kilencszög leghosszabb átlója a térképen és a valóságban? d.) Mekkora a kilencszög köré írható körének sugara a térképen ill. a valóságban? e.) Mekkora a kilencszög oldalának középponti szöge a térképen ill. a valóságban? f.) Mekkora a kilencszög beírt körének sugara a térképen ill. a valóságban? Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 72 cm, alaphoz tartozó magassága 24 cm. Egy hozzá hasonló háromszög szárához tartozó magassága 67,2 cm. Mekkora az utóbbi háromszögnek a szárához tartozó súlyvonala? a.) Egy egyenlő szárú háromszög szárának és alapjának különbsége 6 cm, az alaphoz tartozó magasság 12 cm. Egy hozzá hasonló háromszög beírt körének sugara 10 cm. Mekkora ez utóbbi háromszögben a szárhoz tartozó súlyvonal? b.) Egy egyenlő szárú háromszög szárának és alapjának összege 160 cm, az alaphoz tartozó magassága 40 cm. Egy hozzá hasonló háromszög körülírt körének a sugara 25 cm. Határozzuk meg az utóbbi háromszögben a beírt kör területét! Egy derékszögű háromszög befogói AC = 10 cm és BC = 24 cm. A hosszabbik befogón a derékszögű csúcstól 4,5 cm-re felveszünk egy P pontot. P pontnak az AB átfogóra eső merőleges vetületét jelölje Q. a.) Határozzuk meg a PQ szakasz hosszát! b.) Mekkora a PQAC négyszög kerülete és területe? c.) Mekkora a BPQ háromszögbe írható kör sugara? Egy derékszögű háromszög befogói AC = 16 cm és BC = 30 cm. Az átfogón az A csúcstól 11,5 cm-re felveszünk egy E pontot. Az E pontban az átfogóra állított merőleges a háromszög kerületét még egy pontban, F-ben metszi. a.) A háromszög melyik oldalára esik az F pont? b.) Határozzuk meg az EF távolságot! c.) Mekkora az ACFE négyszög kerülete és területe? d.) Mekkora az EFB háromszögbe írható körnek a sugara? Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 cm hosszúak. Húzzuk meg a háromszög köré írható körének az oldalakkal párhuzamos és a megfelelő oldalhoz közelebbi érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét! a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, a szárai 5 cm-esek. Húzzuk meg a háromszög köré írható körének az oldalakkal párhuzamos és a megfelelő oldalhoz közelebb futó érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét és területét! b.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 15 cm hosszúak. Húzzuk meg a háromszög köré írt körének az oldalakkal párhuzamos és az megfelelő oldalhoz közelebb futó érintőit. Ezek egy újabb háromszöget határoznak meg. Határozzuk meg ennek a háromszögnek a kerületét és területét! Egy egyenlő szárú háromszög két oldala 18 cm és 41 cm. a.) Mekkora a harmadik oldala? b.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara? c.) Mekkorák a háromszög szögei? d.) Húzzuk meg a beírt körnek az oldalakkal párhuzamos érintőit! Ezek az eredeti háromszögből három kisebb háromszöget vágnak le. Mekkora ezen háromszögeknek a területe? e.) Határozzuk meg a kicsi háromszögek körülírt köreinek sugarát! Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 14 cm, kerülete 24 cm. a.) Mekkora a háromszög beírt körének sugara? b.) Mekkorák a háromszög szögei? c.) Húzzuk meg a beírt körnek az oldalakkal párhuzamos érintőit! Ezek az eredeti háromszögből három kisebb háromszöget vágnak le. Mekkora ezen háromszögeknek a kerülete és területe? d.) Határozzuk meg a levágott háromszögek körülírt köreinek sugarát! Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szárai 9 cm-esek. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a szárakat az alap végpontjaiban érinti? a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, a szárakat az alap két végpontjában érintő kör sugara 5 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? b.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 16 cm, a szára 17 cm. Számítsuk ki a köré írt és a beírt kör sugarát a hasonlóságban tanultak segítségével! Egy háromszög oldalai 6; 7; 9 cm-esek. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete 187 cm. Mekkorák ennek a háromszögnek az oldalai? 51 cm; 59,5 cm; 76,5 cm . Tizedikes szerkesztési feladatok – hasonlóság
21. 21.H 22. 22.H 23. 23.H
Adott a rajzlapon az a és a b szakasz, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg az ab, az 1/a, illetve az a/b szakaszokat! Adott a rajzlapon az x és az y szakasz, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg a 2xy, az 1/x, a 2/y, az x/y, a az y/x, illetve az x2 szakaszokat. Adott egy háromszög három magasságvonalának hossza. Szerkesszük meg a háromszöget! a.) Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük a magasságainak arányát és a beírt kör sugarát! b.) Egy háromszög magasságainak aránya 4:5:8, a körülírt kör sugara 8 cm. Szerkesszük meg a háromszöget! Adott háromszögbe szerkesszünk szabályos háromszöget úgy, hogy egy-egy csúcsa a háromszög egy-egy oldalegyenesén legyen, és az egyik oldala az adott háromszög c oldalával legyen párhuzamos! a.) Adott háromszögbe szerkesszünk félkört úgy, hogy annak átmérője legyen a b oldallal párhuzamos, és a félkör érintse a b oldalt! b.) Szerkesszünk adott háromszögbe négyzetet úgy, hogy egy-egy csúcsa a b és a c oldalra, a másik kettő pedig az a oldalegyenesre illeszkedjék! c.) Szerkesszünk adott háromszögbe rombuszt úgy, hogy egyik szöge a háromszög α szögével közös legyen, a
24. 24.H
másik három csúcs pedig a háromszög egy-egy oldalegyenesére essen! Szerkesszünk trapézt, ha adott a két alapja, valamint az a két szög, amit az egyik alap zár be az átlókkal! a.) Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alap és a szár különbsége, valamint a szárak közötti szög! b.) Szerkesszünk háromszöget, ha adott két szöge és a kerülete! c.) Szerkesszünk háromszöget, ha adott két szöge és a beírt körének sugara! Hasonlóság – befogótételes feladatok
31. 31.H
32. 32.H
33. 33.H
34. 34.H
35. 35.H
36. 36.H
37. 37.H 38. 38.H
Egy derékszögű háromszög befogói 13 cm és 84 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! a.) Egy derékszögű háromszög befogói 15 cm és 112 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! b.) Egy derékszögű háromszög befogói 4 és 5 cm hosszúak. Határozzuk meg a befogótétel segítségével, hogy mekkora részekre osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság! Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 6 cm és 7 cm hosszú szeletekre osztja. Határozzuk meg a háromszög befogóit! a.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 2 és 8 cm hosszú szeletekre osztja. Határozzuk meg a háromszög befogóit! √20 és √80 cm hosszúak, közelítő értékük: 4,472 cm és 8,944 cm . b.) Egy derékszögű háromszög átfogóját a hozzá tartozó magasság 9 és 16 cm hosszú szeletekre osztja. Mekkora a háromszög kerülete és területe? K = 60 cm; T = 150 cm2 . Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, a másik befogónak az átfogóra eső (merőleges) vetülete 1,8 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 24 cm, a másik befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 1,96 cm. Határozzuk meg a háromszög oldalait! 7 cm; 24 cm; 25 cm . b.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója √7 egység, a másik befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete 6 egység. Mekkora a háromszög köré írható körének sugara? 3,5 egység . c.) Egy derékszögű háromszögben az egyik befogó 6 cm, ennek vetülete az átfogón 4 cm. Mekkora a másik befogó? √45 cm ≈ 6,708 cm . Egy 31,5 cm sugarú kör AB húrjának az A-ból induló átmérőjére eső merőleges vetülete 7 cm. Milyen hosszú a húr? Mekkora szöget zár be az A-ból induló átmérővel? a.) Egy kör AB húrjának a B-ből induló 20 cm hosszú átmérőjére eső merőleges vetülete 5 cm. Mekkora a húr és mekkora középponti szög tartozik hozzá? b.) Mekkora annak a körnek a sugara, amelyben egy 28 cm hosszú húrnak a húr egyik végpontjából induló átmérőjére eső merőleges vetülete 7 cm hosszú? c.) Egy kör kerülete 18π egység. Mekkora a kör 12 cm hosszú húrjának az egyik végpontjából induló átmérőre eső merőleges vetülete? Egy deltoid két oldala 9 és 12 dm hosszú. A deltoid két szemközti szöge derékszög. Milyen arányban osztják egymást a deltoid átlói? a.) Egy deltoid két szemközti szöge derékszög. A deltoid oldalai 4 cm és 7 cm hosszúak. Milyen arányban osztják egymást az átlók? b.) Egy deltoid egyik átlója a másikat 2:7 arányban osztja. A rövidebbik oldal 4 cm hosszú. A deltoid két szemközti szögének összege 180º. Mekkora a hosszabbik oldal és a hosszabbik átló? Egy kör sugara 8 egység, középpontja az O pont. A körtől 9 cm távolságban felvett P pontból érintőket húzunk a körhöz. Mekkora szeletekre osztja a PO szakaszt az érintési pontokat összekötő húr? a.) Egy kör O középpontjától 20 cm távolságra felvett P pontból a körhöz 16 cm hosszú érintőszakaszok húzhatók. Mekkora hosszúságú részekre osztja a PO szakaszt az érintési pontokat összekötő húr? b.) Egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenként 20 cm hosszú. Az érintési pontok által meghatározott szakasz a kör középpontjától 9 cm távolságban halad. Határozzuk meg a kör sugarát! (BEADANDÓ!) c.) Egy kör 30 cm hosszú húrja a középponttól 8 cm távolságban halad. A húr végpontjaiban a körhöz húzott érintők a körtől mekkora távolságban metszik egymást? Derékszögű háromszög egyik befogója a másiknak háromszorosa. Milyen arányban osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság talppontja? Derékszögű háromszög egyik befogója a másiknak a.) ötszöröse; b.) n-szerese; c.) p/q-szorosa. Hogyan aránylanak egymáshoz az átfogónak a rábocsátott magasságvonal által levágott szeletei? Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3:4. A befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek különbsége 5,6 cm. Mekkora az átfogó? a.) Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3:2. Az átfogónak a hozzá tartozó magasságvonal által levágott szeletei közül az egyik 2 cm-rel nagyobb a másiknál. Határozzuk meg az átfogó hosszát! b.) Egy derékszögű háromszögben a befogók aránya 3:√7, az átfogónak a hozzá tartozó magasság talppontja által levágott szeletei közül az egyik 8 cm-rel hosszabb a másiknál. Mekkora a háromszög területe? Hasonlóság – magasságtételes feladatok
41. 41.H
42.
Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága az átfogót 5 és 20 cm hosszú részekre osztja. Határozzuk meg ezt a magasságot! a.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága az átfogót 3 és 4 cm hosszú részekre osztja. Határozzuk meg ezt a magasságot! b.) Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága a 30 cm hosszú átfogót 1:2 arányú részekre osztja. Mekkora a háromszög legrövidebb magassága? Szerkesszük meg egy 4 cm és egy 5 cm hosszú szakasz mértani közepét!
42.H 43. 43.H 44. 44.H
45. 45.H
46. 46.H
47. 47.H
48. 48.H
49. 49.H
a.) Szerkesszük meg egy 3 cm és egy 8 cm hosszú szakasz mértani közepét! b.) Keressünk olyan egész számpárokat, amelyeknek a mértani közepe is egész! Szerkesszük meg egy adott szakasz négyzetgyökét! (A szakasz hossza legyen 3 cm, az egységszakasz 2 cm!) a.) Adott egy 3 cm hosszú szakasz. Szerkesszük meg a négyzetgyökét, ha az egységszakasz hossza 1 cm ill. 4 cm! b.) Egy szakasz hossza 6 cm, a négyzetgyöke 4 cm hosszú. Szerkesszük meg az egységszakaszt! Adott két távolság összege és mértani középarányosuk. Szerkesszük meg a távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a távolságösszeg 10 cm, a mértani középarányos pedig 4 cm. a.) Adott két távolság számtani és mértani középarányosa. Szerkesszük meg az eredeti távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a számtani közép 7 cm, a mértani középarányos pedig 6 cm! b.) Adott két távolság szorzata és összege, valamint az egységszakasz. Szerkesszük meg az eredeti távolságokat! Végezzük el a szerkesztést, ha a szorzat 12 cm, az összeg 7 cm, az egységszakasz pedig 1 cm! c.) Két távolság mértani középarányosa és az egyik távolság ismeretében szerkesszük meg a másik távolságot! A szerkesztést végezzük el, ha a mértani középarányos 5 cm, az egyik távolság 7 cm hosszú! Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 4 cm. Határozzuk meg a háromszög kerületét! a.) Egy derékszögű háromszög átfogója 30 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 9 cm. Határozzuk meg a háromszög leghosszabb magasságát! b.) Egy derékszögű háromszög köré írt körének sugara 10 cm-rel kisebb az átfogónál, és 4 cm-rel hosszabb a háromszög legrövidebb magasságánál. Mekkorák a háromszög szögei? Egy O középpontú körhöz egy külső P pontból két érintőt húzunk. Az érintési pontok által meghatározott 8 cm hosszú szakasz a PO szakaszt két részre osztja. Az egyik rész hossza 2 cm. Milyen távol van a P pont a körvonaltól? Egy O középpontú körhöz egy külső P pontból két érintőt húzunk. Az érintési pontok által meghatározott szakasz a PO szakaszt egy 4 cm és egy 25 cm hosszú szakaszra osztja. a.) Mekkora az érintési pontokat összekötő húr? b.) Mekkora az érintőszakasz hossza? c.) Mekkora a kör sugara? d.) Mekkora a húr által határolt kisebbik körszelet magassága? e.) Milyen távol van P a körvonaltól? f.) Milyen távol van PO körvonalra eső pontja az érintési pontoktól? Egy téglalap átlója 26 cm hosszú. Ettől az átlótól az egyik csúcs 12 cm-re van. Határozzuk meg a téglalap kerületét! a.) Egy téglalap átlója 24,4 cm hosszú. Ettől az átlótól az egyik csúcs 12 cm-re van. Mekkora szöget zárnak be a téglalap oldalai a vizsgált átlóval? b.) Egy téglalap átlóját az egyik csúcs őrá eső merőleges vetülete 13,5 cm és 24 cm hosszú részekre osztja. Mekkorák a téglalap oldalai? Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átlót a másik átló egy 27 és egy 48 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! a.) Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átlót a másik átló egy 25 cm és egy 144 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! b.) Egy derékszögű trapéz átlói merőlegesen metszik egymást. A rövidebbik átló a másik átlót egy 25 cm és egy 144 cm hosszú darabra vágja. Határozzuk meg a trapéz oldalait és szögeit! Egy egyenlő szárú háromszögben az alap felezőpontját levetítjük az egyik szárra. Ez a pont a szárat egy 3 és egy 12 cm hosszú szakaszra bontja. Határozzuk meg az egyenlő szárú háromszög területét! a.) Egy egyenlő szárú háromszög szárát a hozzá tartozó magasság egy 4 és egy 10 cm hosszú részre bontja. Mekkora részekre bontaná ugyanezt a szárat az alap felezőpontjának a reá eső merőleges vetülete? Ezen ismeret alapján határozzuk meg a szárhoz, majd az alaphoz tartozó magasságot! b.) Egy egyenlő szárú háromszög szárához tartozó magassága 10 cm. Az alap felezőpontjának a szárra eső vetülete a szárat 1:4 arányú részekre osztja. Mekkora az alaphoz tartozó magasság? c.) Egy egyenlő szárú háromszög szárához tartozó magasságának talppontját levetítjük az alapra. Ez a pont az alapot egy 2 cm és egy 8 cm hosszú szakaszra osztja. Mekkora a háromszög kerülete és területe? Hasonlóság – szögfelező tételes feladatok
51. 51.H
52. 52.H 53. 53.H
Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 egység hosszúak. Határozzuk meg, hogy a szögfelezők mekkora részekre osztják a háromszög oldalait! a.) Egy derékszögű háromszög befogói 5 és 12 egység hosszúak. Határozzuk meg, hogy a szögfelezők mekkora részekre osztják a háromszög oldalait! átfogót: 3,824 és 9,176; befogókat: 2,4 és 2,6; ill. 3,333 és 8,667 . b.) Egy derékszögű háromszög átfogója 2, illetve 4 cm-rel hosszabb, mint a befogók. Határozzuk meg, hogy mekkora részekre osztja a derékszög felezője a szemközti oldalt! c.*) Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek oldalai is, valamint a szögfelezők által lemetszett szeletek is mind egész számmal mérhetők? Ha nincs, bizonyítsuk be, ha van, adjuk meg egy ilyennek az oldalait! Egy derékszögű háromszög befogói 6 és 8 cm hosszúak. Milyen hosszú a 6 cm-es oldallal szemközti szög felezőjének a háromszögbe eső szakasza? a.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 15 cm hosszúak. Milyen hosszú a háromszögnek a legrövidebb oldallal szemközti szögfelezője? b.) Mekkora az a.) feladatban szereplő háromszög másik két szögfelezője? Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 78 és 187,2 egység hosszú részekre osztja. Mekkorák a befogók? a.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 4 és 5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a befogók? 5,622 cm; 7,028 cm b.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 2 és 1,5 cm hosszú szakaszokra osztja.
54. 54.H
55. 55.H 56. 56.H 57. 57.H
58. 58.H 59. 59.H
60. 60.H 61. 61.H
Mekkora szakaszokra osztja az átfogót a hozzá tartozó magasság? c.) Egy derékszögű háromszög derékszögéből induló szögfelezője az átfogót 5:12 arányban osztja. A háromszög köré írt körének sugara 45,5 cm. Mekkora a háromszög beírt körének sugara? (BE) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 1,5 és 2,5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai? a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 6 és 6,5 cm hosszú szakaszokra osztja. Mekkorák a háromszög oldalai? b.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 10,5 és 37,5 cm hosszú részekre osztja. Mekkora részekre osztja a másik hegyesszög szögfelezője a másik befogót? c.) Egy derékszögű háromszög egyik befogóját a szemközti szög felezője 9 és 10 cm hosszú részekre osztja. Mekkora a háromszög kerülete? Egy derékszögű háromszög befogói 7 és 24 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögfelezői? a.) Egy derékszögű háromszög befogói 10 és 24 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögfelezői? b.) Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 10 cm, körülírt körének sugara 25 cm. Mekkora a háromszög három szögfelezője? Egy derékszögű háromszög befogói 8 cm és 15 cm. Határozzuk meg az átfogónak a hozzá tartozó magassággal, súlyvonallal és szögfelezővel alkotott metszéspontjainak (P,Q és R pontok) távolságát! Egy derékszögű háromszög befogói 30 cm és 40 cm. Határozzuk meg az átfogónak a hozzá tartozó magassággal, súlyvonallal és szögfelezővel alkotott metszéspontjainak távolságát! Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, szára 9 cm. Határozzuk meg, hogy mekkora részekre osztja valamelyik szárat a vele szemközti szög felezője! a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, a hozzá tartozó magasság 3 cm. Mekkora részekre osztja a szárat a szemközti szög felezője? b.) Egy egyenlő szárú háromszög egyik szárát a szemközti szög felezője 4 cm és 6 cm hosszú részekre osztja. Mekkora lehet a háromszög alapja? Egy egyenlő szárú háromszög alapja 7 cm, szára 13 cm. Határozzuk meg a háromszög szögfelezőinek az oldalakkal alkotott metszéspontjai által kijelölt háromszög területét! Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, szára 9 cm. Mekkora a háromszög szögfelezőinek az oldalakkal alkotott metszéspontjai által kijelölt háromszög területe? Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szára 13 cm. Milyen hosszúak az alapon fekvő szögek felezői? a.) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 14 cm, az alaphoz tartozó magasság 24 cm. Milyen hosszúak az alapon fekvő szögek felezői? b.) Egy egyenlő szárú háromszög egyik oldalát a szemközti szög felezője egy 20 cm és egy 30 cm hosszú szakaszra osztja. Milyen hosszú lehet ez a szögfelező? Egy egyenlő szárú háromszög egyik szögfelezője a háromszöget egy 660 és egy 792 cm2 területű háromszögre bontja. Határozzuk meg a háromszög kerületét, ha tudjuk, hogy mérőszáma egész! Egy egyenlő szárú háromszög egyik szögfelezője a háromszöget egy 673,2 és egy 633,6 egység területű háromszögre bontja. Határozzuk meg a háromszög oldalait! Egy háromszög oldalai 5 cm; 6 cm, 7 cm. Határozzuk meg, hogy mekkora szakaszokra osztják az oldalakat a szemközti szögek felezői! a.) Egy háromszög oldalai 7, 8, 9 cm-esek. Határozzuk meg, hogy mekkora szakaszokra osztják az oldalakat a szemközti szögek felezői! b.) Egy háromszög egyik oldala 8 cm-es, a rajta fekvő egyik szög felezője a szemközti oldalt egy 3 cm és egy 4 cm hosszú szakaszra vágja szét. Mekkora lehet a harmadik oldal? Hasonlóság – paraméteres és bizonyítási feladatok
Az alapfeladatokat órán megbeszéljük. A házi feladat mindig az illető bizonyítások szép kidolgozása (beadásra mindegyik) illetve a kapcsolódó (általában a bizonyított tételt felhasználó, vagy hasonló elven bizonyítható) feladatok megoldása. A megoldásban az alaptételre szabad hivatkozni, azt újra nem kell bizonyítani. 71. 71.H 72. 72.H
73. 73.H
74.
Bizonyítsuk be, hogy a háromszög középvonalai párhuzamosak a megfelelő oldalakkal és fele akkorák! a.) Egy háromszög középvonalai 8, 9 és 12 cm-esek. Mekkorák az oldalak? b.) Egy háromszög két középvonala 8 és 13 cm, az egyik oldal 20 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? c.) Egy háromszög két középvonala 7 és 11 cm. Milyen határok között változhat a háromszög kerülete? Bizonyítsuk be, hogy a négyszög szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok mindig parallelogrammát határoznak meg! a.) Egy konvex négyszög átlói 8 és 15 cm hosszúak. Mekkora a szomszédos oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok alkotta négyszög kerülete? Legfeljebb mekkora lehet ennek a négyszögnek a területe? b.) Bizonyítsuk be, hogy a húrtrapéz szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok mindig rombuszt határoznak meg! c.) Bizonyítsuk be, hogy a deltoid szomszédos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszok alkotta négyszög átlói felezik egymást és egyenlő hosszúak! Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlói a párhuzamos oldalak arányában osztják egymást! a.) Egy trapéz rövidebbik alapja 6 cm, az átlók metszéspontja a 10 cm-es átlót 2:3 arányban osztja. Mekkora a hosszabbik alap, illetve mekkora részekre osztja az átlók metszéspontja a 7 cm-es átlót? b.) Egy trapéz alapjai 7 és 13 cm-esek, átlóinak hossza 18 és 25 cm. Mekkora hosszúságú részekre vágják egymást az átlók? Ismétlő kérdés: határozzuk meg a trapéz szögeit és területét! c.) Egy derékszögű trapéz magassága 8 cm, rövidebbik alapja 6 cm, a rövidebbik átlóból a másik által lemetszett szakaszok egyike 50/7 cm. Mekkora részekre osztja rövidebbik átló a hosszabbikat? Egy derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk négyzeteket. Kössük össze az átfogó két végpontját a szemközti négyzet legtávolabbi csúcsával. Igazoljuk, hogy ez a két összekötő egyenes a befogókból egyenlő darabokat metsz
74.H
75. 75.H
76. 76.H
77. 77.H
le a derékszög csúcsa mellett. a.) Egy derékszögű háromszög befogói 8 és 13 cm hosszúak. A befogók fölé kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átfogó két végpontját a szemközti négyzet legtávolabbi csúcsával. Mekkora részekre osztja ez a két egyenes a háromszög befogóit? b.) Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogói fölé kifelé négyzeteket szerkesztünk. Az átfogó két végpontját összekötjük a szemközti négyzet távolabbi csúcsával. Ez a két nyílt szakasz a háromszög kerületét két részre osztja. A rövidebbik rész 13 cm hosszú. Mekkora a hosszabbik rész? c.) Egy szakaszt osszunk két részre, majd mindkét rész fölé mint oldal fölé azonos irányban szerkesszünk négyzetet. Kössük össze a szakasz két végpontját a tőle távolabbi négyzet legtávolabbi csúcsával. Igazoljuk, hogy ez a két összekötő vonal a közös oldalon metszi egymást! Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakaszát az átlók metszéspontja éppen felezi! a.) Egy trapéz párhuzamos oldalai 6 cm és 10 cm. Határozzuk meg az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső darabját! b.) Egy trapéz párhuzamos oldalai a és c. Határozzuk meg az átlók metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső darabját! c.) Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak metszéspontján át az alapokkal párhuzamosan húzott egyenesnek a trapézba eső szakasza egyenlő az alapok harmonikus közepével! d.) Adott két szakasz. Szerkesszük meg a harmonikus közepüket! e.) Bizonyítsuk be mértani úton, hogy két különböző hosszúságú szakasz harmonikus közepe mindig kisebb a számtani közepüknél! Igazoljuk, hogy ha egy trapéz belsejében akárhol húzunk is a párhuzamos oldalakkal párhuzamos egyenest, ennek az egyenesnek az a két darabja, mely az átló és az oldal között van, egyenlő! a.) Egy trapéz párhuzamos oldalai 10 és 15 cm. A nem párhuzamos oldalakat öt egyenlő részre osztjuk. A hosszabbik oldalhoz legközelebbi ötödölő pontokat összekötő szakaszból mekkora szeletet fog közre a két átló? b.) Mutassuk meg, hogy a 76. feladatban közölt állításnak egyszerű következménye a 75. feladat állítása. c.) Hosszabbítsuk meg egy trapéz nem párhuzamos oldalait, míg metszik egymást. Ezen a metszésponton át húzzunk a párhuzamos oldalakkal párhuzamos egyenest. Mutassuk ki, hogy ennek az egyenesnek az a két szelete, amely az oldalegyenesek metszéspontja és az átlóegyenesek közé esik, egyenlő! Félkörbe másik félkört rajzolunk, melynek átmérője az elsőnek OAsugara. Az ezen felvett P pontból OA-ra merőlegest állítunk, mely a kisebb félkört K-ban, a nagyobbat L-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy AL2 = 2AK2! a.) Egy rombusz egyik csúcsán keresztül húzzunk a rombuszon kívül haladó e egyenest. A csúccsal szemközti oldalak meghosszabbításából az e egyenes p ill. q hosszúságú szakaszokat metsz ki. Bizonyítsuk be, hogy a rombusz oldala mértani közepe a p és q szakaszoknak. b.) Egy r sugarú körben adott egy h hosszúságú húr. A húr egyik végpontjában húzzunk érintőt, a húr másik végpontjának az érintőtől való távolságát jelöljük m-mel. Bizonyítsuk be, hogy a húr mértani közepe az átmérőnek és az utóbbi m szakasznak! c.) Igazoljuk, hogy a kör AB húrja az A-ból induló átmérő és erre az átmérőre eső vetületének mértani közepe!
A dolgozatban (sajnos) általában valamelyik H feladattal kell majd megbirkózni. Ilyenkor a megoldáshoz hozzátartozik az alaptétel bizonyítása is (ha azt felhasználjuk a megoldás során), mivel az nem a törzsanyagban (ill. a felelés kérdései között) szerepel. Jó munkát! A felelés kérdései 81. A párhuzamos szelők tétele és megfordítása 82. A párhuzamos szelőszakaszok tétele 83. A középpontos λ-szoros nagyítás elvégzése 84. Hasonlósági leképezések meghatározása, példák 85. Két alakzat hasonlóságának feltétele 86. Háromszögek hasonlóságának négy alapesete 87. Négyszögek, sokszögek hasonlóságának feltételei 88. Szakasz felosztása 3, 5, 7, 9, stb. egyenlő részre; szakasz felosztása m:n arányban 89. A befogótétel 90. A magasságtétel 91. A szögfelező tétel 92. Szakasz reciprokának, négyzetgyökének, négyzetének megszerkesztése az egységszakasz ismeretében 93. Két szakasz szorzatának, hányadosának, mértani ill. harmonikus közepének megszerkesztése az egységszakasz ismeretében 94. Thálész tétele 95. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség algebrai és geometriai bizonyítása 96. A háromszög nevezetes vonalai (szakaszfelező merőlegesek, szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak) és pontjai (O, Q, M, S) 97. A négyszögek osztályozása oldalaik párhuzamossága ill. egyenlősége; átlóik szép tulajdonságai alapján 98. A középvonal tétel háromszögben ill. trapézban 99. A nevezetes szögek szögfüggvényei (0°; 30°; 45°; 60°; 90°) Jó felkészülést!
