2013. 11.19.
Háromszögek ismétlés
Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és
összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-, tompa-, derékszögű háromszögek) Háromszögek csoportosítása oldalak szerint (egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszögek) Háromszög nevezetes vonalai, pontjai (magasság, szögfelezők, oldalfelező merőlegesek, súlyvonal ) Háromszög területe, kerülete PITAGORASZ TÉTEL
Háromszögek ismétlés
Két háromszög hasonló, akkor szögei páronként
megegyeznek. Hasonló háromszögek oldalainak aránya megegyezik Hasonló háromszögek jelölése: ABC Δ ~A’B’C’Δ Példa.:
• Mivel hasonló derékszögű háromszögek ezért:
3:5=x:10 • Amiből pedig következik, hogy x=6 • Számoljuk ki mennyi a befogó egy hasonló háromszögben, ha az átfogó 7, 4, 16cm, illetve az átfogót ha az egyik befogó 2, 5, 18 cm. Számoljuk ki a háromszögek összes oldalát.
A trigonometria fejlődésének, kialakulásának mozgató rugója a
csillagászat (és persze a közlekedés, a hajózás) volt.
Minél nagyobb szöget zár be a vontatókötél a hajó útvonalával, annál rosszabb a lónak. Ha a ló közvetlenül a hajó előtt húzhatná azt, akkor világos, hogy a befektetettenergia 100%-a arra megy, amire kell. Ha viszont a szerencsétlen ló vontatókötele valamilyen okból kifolyólag derékszöget zár be a hajó szándékolt útvonalával, akkor esélye sincs, hogy a vontatandó irányba húzza.
Állunk egy hatalmas hegy előtt és tudni szeretnénk, megvan-e 100 méter. Tegyük fel meg tudjuk mérni, hogy milyen szöget zár be a tekintetünk a földdel, mikor a hegy tetejére nézünk, pl. egy ún. teodolit segítségével. (Egy ilyen szerkezet elfér egy ember hóna alatt és égen-földön bármit meg lehet vele mérni – pusztán az által, hogy megméri a szögeket, s a dolgok tőle való távolságát). Ha még azt is tudjuk hány km az út meredeken felfelé, abból már ki lehet számolni, hogy milyen magas a hegy. Ebben a példában és az előzőben is a hosszúság és a szög közötti összefüggésből kellene kiindulni. A trigonometria (szögfüggvények) ennek a matematikáját teremti meg.
Derékszögű háromszögek szögfüggvényei Jelölések:
Az egyik hegyes (α)szög megadásával
hasonló háromszögeket kapunk. Ezekben a háromszögekben
az oldalak aránya megegyezik: a:c=a’:c’=a”:c” illetve a:b=a’:b’=a”:b” és b:c=b’:c’=b”:c” Az is látszik, hogy adott c oldal esetén az ezek az arányok
az α szög nagyságától függenek. A hasonló derékszögű háromszögek oldalainak arányával való számolás annyira fontos, hogy az egyes arányok önálló elnevezést is kaptak. Ezek lettek a szögfüggvények.
Szinusz, koszinusz,tangens, kotangens Egy derékszögű háromszögben az α hegyesszög
szinuszának(sinα) nevezzük az α hegyesszöggel szemközti befogónak(a) és az átfogónak(c) az arányát. Vagyis
sinα megmutatja hányszorosa a szöggel szemközti befogó az átfogónak.
az α hegyesszög koszinuszának(cosα) nevezzük az α
hegyesszög melletti befogónak(b) és az átfogónak(c) az arányát. Vagyis cosα megmutatja hányszorosa a szög melletti befogó az átfogónak. az α hegyesszög tangensének(tgα) nevezzük az α hegyesszöggel szemközti befogónak(a) és az α hegyesszög melletti befogónak(b) az arányát. Vagyis tgα megmutatja hányszorosa a szöggel szemközti befogó a szög melletti befogónak.
az α hegyesszög kotangensének(ctgα) nevezzük az α
hegyesszög melletti befogónak és az α hegyesszöggel szemközti befogónak az arányát.
Szinusz, koszinusz,tangens, kotangens Képlettel:
Számítás Számológéppel Vannak ilyen gombok a számológépen. Például ha egy
derékszögű háromszögben egy α szög 56,31 fok akkor: Erre ráütve a tan/tg függvényt: tg (56,31˚) = 1,500 kapjuk. Definíció szerint tgα megmutatja hányszorosa az 56,31˚-os szöggel szemközti befogó(a) a szög melletti befogónak (b).
Számításaink szerint tehát, a szemközti befogó(a)
másfélszer akkora, mint a szög melletti befogó.(b) Számítsuk ki számológéppel/függvénytáblázattal a következő hegyes szögek szögfüggvényeit: 16˚, 70˚, 85˚, 30˚
Szögfüggvény alkalmazása I. (háromszög oldalainak hossza a hegyesszög ismeretében) Az előző példában, egy derékszögű háromszögben az α szög
56,31 fok. Továbbá tudjuk, hogy ebben az ABC háromszögben az α szög melletti oldal b = 4 cm. Számológép segítségével kiszámoltuk, hogy tg (56,31˚) = 1,500 azaz a szemközti befogó(a) másfélszer akkora, mint a szög melletti befogó.(b) Így már, a szögfüggvények segítségével, a háromszög minden további oldalát meg tudjuk határozni.
a= 6cm , c =7,21
Szögfüggvény alkalmazása II. (háromszög szögeinek számítása) Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza 3, és 4cm.
Számítsuk ki a háromszög szögeit. Legyen a = 3cm, b= 4cm A két befogó arányát felírva: ¾ = 0,75= tgα Számológépen „2nd” funkció, és a „tan” gombokkal lehet a háromszög hegyesszögét kiszámítani. α = 36,87˚ amiből már a másik hegyesszög számítható
β = 53,13˚ Számítsuk ki a hegyesszögek nagyságát, ha sin α =0,42, cos α =0,75, tg α =1,25, cos α =0,309
Példa A szögfüggvények ismeretében számoljuk ki mekkora lehet
az a hegy amelynek csúcsához egy 1 km hosszú, 18˚-os egyenes emelkedő vezet a hegy lábától. A vázlat alapján az út hossza c=1km=1000m, α = 18˚, a hegy magassága a = ? sin18 ˚ = a/1000 sin18 ˚ = 0,309 = a/1000 309m = a
Feladatok
4-k-4. (2005. május 3 pont) Egy derékszögű háromszög egyik befogójának
hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5°. Mekkora a másik befogó? Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja!
4-k-5. (2005. október 3 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója
4,7 cm hosszú, az egyik hegyesszöge 52,5°. Hány cm hosszú a szög melletti befogó? Készítsen vázlatot az adatok feltüntetésével! Válaszát számítással indokolja, és egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!
Feladatok
4-k-15. (2008. október 2 pont) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm hosszú. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? (Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!)
4-k-6. (2006. május 2 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója 3
cm, egyik szöge 42º. Hány cm hosszú a 42º-os szöggel szemközti befogó? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Feladatok
4-k-17. (2009. október 2 pont) Egy torony árnyéka a vízszintes
talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal? A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!
4-k-19. (2010. május 3 pont) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5
cm, a szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei? A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!
Feladatok
4-k-20. (2010. május 2 pont) Egy derékszögű háromszög átfogója
17 cm, egyik befogója 15 cm hosszú. Hány cm hosszú a háromszög harmadik oldala?
4-k-21. (2010. május 4 pont) Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz)
egyik alapjának hossza 7 cm, ezen az alapon fekvő szögei 60°osak. A trapéz szárai 4 cm-esek. Számítsa ki a másik alap hosszát! Számítását részletezze!
