STATISTICS WEEK 4 Hanung N. Prasetyo
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Pendahuluan: Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan)
perubah
acak
tersebut.
Sering
kita
menjumpai,
pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama. Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama. Dalam
banyak
praktek
yang
sering
kita
jumpai,
hanya
memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskret. POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Kompetensi: Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: 1.
Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi probabilitas disket secara benar.
2.
Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan distribusi Binomial dan distribusi Poisson
3.
Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Daftar Isi Materi: •
Pendahuluan
•
Distribusi Binomial
•
Distribusi Poisson
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Distribusi kemungkinan binomial atau singkatnya distribusi binomial adalah salah satu distribusi peluang teoritis dengan variabel random diskret. Distribusi binomial kadang-kadang juga disebut distribusi bernoulli(penemunya bernama james bernoulli) Apabila probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan disebut probabilitas” sukses” dan diberi simbol p(baca;pkecil), sedang probabilitas tidak timbul gejala yang kita harapkan disebut probabilitas “Gagal” dan diberi simbol q atau 1 – p, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan sebanyak X kali dalam n kejadian (artinya X kali akan sukses dan n – X kali akan gagal) dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
P( X ;n )
n X n− X = p q X
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Pengantar Distribusi Binomial Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil
yang dapat dikelompokan menjadi 2-
kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli.
Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan
berikut: 1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang 2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal 3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Contoh 1 Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3. Tabel 1 Hasil
X
TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC
0 1 1 1 2 2 2 3
C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena barang diambil secara acak, dan misalkan dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka P(TCT) = P(T)P(C)P(T) = ( 3 )( 1 )( 3 ) = 9 4 4 4
64
Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan jalan ang sama.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
tabel 2 Distribusi probabilitas X x
0
f(x)
27 64
1
2
3
27 64
9 64
1 64
Percobaan Binomial Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. P(X = 2) = f( 2) = b( 2; 3, 1 ) = 9 4
64
Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini n dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah x n (bebas) maka probabilitasnya adalah p x qn− x x Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah n x n− x b(x;n,p) = p q x
;x = 0,1, 2,....,n POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 1 : n=3 dan 3 b(x; 3, 1 ) = p x q3− x 4 x
p=1
4
;x = 0,1, 2, 3
Contoh 2 Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas 2 4 3 2 1 3 3 27 4 ! b( 2; 4, ) = ( ) ( ) = = 4 2! 2! 42 128 2 4 4
Catatan:
n
∑ b(x;n,p) = 1
x =0
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Contoh Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c). tepat 5 orang yg sembuh Jawab: Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diket : p = 0.4 n = 15 a). P(X ≥ 10) = 1 − P(X < 10) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 9)] =1−
9
∑ b(x;15; 0.4)
← lihat tabel
x =0
=1 − 0.9662 = 0.0338
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338 POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
b)
P(3 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) − P(X ≤ 2) =
8
2
x =0
x =0
∑ b(x;15, 0.4) − ∑ b(x;15, 0.4) ← lihat tabel
= 0.9050 − 0.0271 = 0.8779
Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779 c) P(X = 5) = b(5;15; 0.4) = P(X ≤ 5) − P(X ≤ 4) =
5
4
x =0
x =0
∑ b(x;15, 0.4) − ∑ b(x;15, 0.4) ← lihat tabel
= 0.4032 - 0.2173 = 0.1859
Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Tabel 3 Cara menggunakan tabel binomial n
r
p 0.0 1
15
.......
0.4
.........
1 2
0.027 1
: : : 8
0.905 0
9
0.966 2
9 8 : b(x;15; 0.4) = 0.9662 ; b(x;15; 0.4) = 0.9050 Untuk n=15, p=0.4 → : x =0 x =0 15 2
∑
∑
∑ b(x;15; 0.4) = 0.0271
x =0
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Cara lain mencari nilai distribusi Binomial: dengan cara menggunakan minitab , langkahnya : buka Calc, probability Distribution ,pilih binom atau gunakan software R , langkahnya sbb(R commander): > pbinom(9,15,0.4) [1] 0.9661667 > pbinom(8,15,0.4) [1] 0.9049526 > pbinom(2,15,0.4) [1] 0.027114 > pbinom(5,15,0.4) [1] 0.4032156 > pbinom(4,15,0.4) [1] 0.2172777
Teorema Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi sbb:
µ = np
dan
σ 2 = npq POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Contoh 3 Tentukan mean dan variansi dari contoh 2
Jawab: Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4 Diperoleh: µ = (15)(0.4) = 6 Dan σ 2 = (15)(0.4)(0.6) = 3.6
σ = 1.897
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Karakteristik distribusi Binomial: 1. Grafiknya diskontinu(terputus-putus) 2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n 3. Bentuknya simetris bila p = q atau p≠ q asal n besar Ciri-ciri percobaan bernoulli : 1. Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni : sukses atau gagal 2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p 3. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas) 4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Distribusi Poissson Distribusi Poisson disebut juga sebagai distribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribusi of rare event) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variabel random diskrit. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n(banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan probabilitas suksesnya kecil. Poisson distribusi bisa digunakan untuk menyebutkan benda acak berikut : banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruang angkasa; jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik; jumlah salah sambung ke nomor teleponmu; distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson. POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Model data yang sering mengikuti pola Distribusi Poisson adalah kematian bayi, banyaknya salah cetak di suatu buku, dan probabilitas banyaknya pelanggan tiba Distribusi ini ditemukan oleh Ahli matematik Perancis Siméon Poisson di tahun 1837, dan penggunaannya pertama adalah menguraikan banyaknya kematian kuda bagi Angkatan perang Prusia pada waktu itu. POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Pengantar Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut “distribusi poisson”. Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut: 1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang) waktu tertentu independen dengan daerah lainya. 2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang. 3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang sempit diabaikan. Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan dengan p(x, λ t) , dimana λ t adalah rata-rata hasil POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t, dinyatakan:
e−λ t ( λ t)x p(x, λ t) = ;x = 0,1, 2,..... x!
dimana: e=2,71828 dan λ t menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu. Misalkan
µ = λ t , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18
diberikan pada tabel Poisson.
Contoh 1 Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu melayani.
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Jawab: Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari X = {1, 2, 3, . . . . . , 15} Maka P(X > 15) = 1 − P(X ≤ 15) = 1 −
15
∑ p(x;10) ← tabel
x =0
= 1 − 0.9513 = 0.0487
Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Contoh 2 : Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100 ribu pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas ikaln tersebut 0,00002 Ditanyakan : a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut. b. Berapa kemungkinannya bahwa yang akan membalas iklan tersebut hanya seorang c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas Jawab : Diketahui n = 100.000
p = 0,00002
a. Berapa orang diharapkan akan membalas : misal u (rata-rata yang diharapkan) = n . p = 100.000 (0,00002) = 2
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
b. Kemungkinan bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang berarti X=1 Maka
21.e −2 2(0,13534) = P(1) = 1! 1! P(1) = 0,27068 ≈ 27,07%
c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = 0
20.e −2 1(0,13534) P (0) = = = 0,13534 ≈ 13,53% 0! 1
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Contoh 3: Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. Dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitas a. Tiga orang akan mati b. Yang mati tidak lebih dari satu orang c. Lebih dari 2 orang yang mati Jawab : Diketahui n = 2000 p = 0,001 µ = n.p = 2000 X 0,001 = 2
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
a. Tiga orang akan mati
23.e −2 8(0,13534) = P (3) = 3! 3.2.1 1,08272 = = 0,18045 ≈ 18,04% 6 b. Yang mati tidak lebih dari satu orang
c. Coba hitung sendiri!
P (0) + P (1) 2 0.e − 2 P ( 0) = = 0,13534 1! 21.e − 2 0,27068 P (1) = = = 0,27068 1 1! jadi P (0) + P (1) = 0,13534 + 0,27068 = 0,40602 ≈ 40,6% POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Teorema Distribusi poisson p(x, λ t) mempunyai rata-rata dan variansi 2 sbb µ = λ t dan σ = λ t
Contoh 4 Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu. Jawab: dari tabel poisson dengan x = 6; µ = λ t = 4 diperoleh 6 5 e−4 ( 4)6
p(6; 4) =
6!
=
∑ p(x; 4) − ∑ p(x; 4) = 0,8893 − 0, 7851 = 0,1042
x =0
x =0
dari µ = λ t = 4 dan σ 2 = 4 diperoleh µ + 2σ = 8 dan µ − 2σ = 0 Jadi, selang yang ditanyakan adalah dari 0 sampai 8 POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Tabel 4 Cara menggunakan tabel Poisson
µ
r 0. 1
.......
4.0
......... Meggunakan R:
0 1
> ppois(6,4)
: : :
[1] 0.889326 > ppois(5,4) [1] 0.7851304
5
0,785 1
6
0,889 3
: : 16 n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh: Untuk
→
6
∑ p(x; 4) = 0.8893
x =0
5
∑ p(x; 4) = 0.7851
x =0
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Teorema Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas b(x,n,p). Jika n→ ∞ , p → 0 dan µ = np tetap sama maka b(x,n,p) → p(x, µ )
Contoh 3 Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung? Jawab: n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan
µ = (8000)(0, 001) = 8
diperoleh menggunakan tabel: POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
28
P(X < 7) =
6
6
x =0
x =0
∑ b(x;8000, 0.001) = ∑ p(x;8) = 0, 3134
Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya > pbinom(6,8000,0.001) [1] 0.3132521 > ppois(6,8) [1] 0.3133743
Diperoleh: 6
∑ b(x;8000, 0.001) = 0.3132521
Dan
x =0 6
∑ p(x;8) = 0.3133743
x =0
POLYTECHNIC TELKOM/HANUNG NP
Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jika memenuhi kriteria sebagai berikut: 1. Jumlah kejadian yang muncul dalam satu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap kejadian yang muncul pada interval waktu atau daerah tertentu lainnya yang disjoin. 2. Probabilitas munculnya lebih dari satu kejadian dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut adalah sangat kecil dan dapat diabaikan.
TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP