By : Hanung N. Prasetyo

theory

STATISTIKA DESKRIPTIF

By : Hanung N. Prasetyo

TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

UKURAN PEMUSATAN Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data. Yang termasuk ukuran pemusatan : 1. Rata-rata hitung 2. Median 3. Modus 4. Rata-rata ukur 5. Rata-rata harmonis


1. RATA-RATA HITUNG Rumus umumnya : Jumlah semua nilai data Rata - rata hitung = Banyaknya nilai data

1.

Untuk data yang tidak mengulang X1 + X 2 + ... + X n ΣX = X= n n

2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi tertentu X=

f1X1 + f 2 X 2 + ... + f n X n ΣfX = f1 + f 2 + ... + f n Σf


RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

Frekuensi

fX

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

45 112 164 432 804 1840 558

Σf = 60

ΣfX = 3955

ΣfX 3955 X= = = 65,92 Σf 60 TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

RATA-RATA HITUNG (lanjutan) 2. Dengan Memakai Kode (U) Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

U

Frekuensi

fU

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 4 4 8 12 23 6

-9 -8 -4 0 12 46 18

Σf = 60

ΣfU = 55

 ΣfU   55  X = X0 + c   = 54 + 13   = 65,92  Σf   60  TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

2. MEDIAN Untuk data berkelompok formulanya adalah: n   -F  Med = L 0 + c  2  f      L 0 = batas bawah kelas median F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median f = frekuensi kelas median TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

MEDIAN (lanjutan) Contoh : Interval Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

Letak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 6173, sehingga : L0 = 60,5 F = 19 f = 12

 60  - 19    = 72,42 Med = 60,5 + 13  2  12     


3. MODUS Untuk data berkelompok  b1   Mod = L 0 + c   b1 + b 2  L 0 = batas bawah kelas modus b1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus b 2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

MODUS (lanjutan) Contoh : Interval Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

Data yang paling sering muncul adalah pada interval 74-86, sehingga : L0 = 73,5 b1 = 23-12 = 11 b2 = 23-6 =17  11  Mod = 73,5 + 13   = 78,61  11 + 17 


HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) 2) 3)

Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri. Jika Mod<Med
Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat hubungan : Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)

(

X - Mod = 3 X − Med


)

UKURAN LETAK(FRAKTIL) KUARTIL, DESIL, PERSENTIL 1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar. Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas. Q1 Artinya : 25 % data jatuh di bawah Q1 Q2 Artinya : 50 % data jatuh di bawah Q2


KUARTIL (lanjutan) Untuk data tidak berkelompok Q i = nilai ke -

i(n + 1) , i = 1,2,3 4

Untuk data berkelompok  in   -F  , i = 1,2,3 Qi = L 0 + c 4  f     

L0 = batas bawah kelas kuartil F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi f = frekuensi kelas kuartil Qi


KUARTIL (lanjutan) Contoh : Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

Q1 membagi data menjadi 25 % Q2 membagi data menjadi 50 % Q3 membagi data menjadi 75 % Sehingga : Q1 terletak pada 48-60 Q2 terletak pada 61-73 Q3 terletak pada 74-86


KUARTIL (lanjutan) Untuk Q1, maka :

 1.60  - 11    = 54 Q1 = 47,5 + 13 4 8      

Untuk Q2, maka :

 2.60  - 19    = 72,42 Q 2 = 60,5 + 13 4  12     

Untuk Q3, maka :

 3.60  - 31    = 81,41 Q3 = 73,5 + 13 4  23     


2. Desil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar. Untuk data tidak berkelompok i(n + 1) D i = nilai ke , i = 1,2,3,...,9 10

Untuk data berkelompok  in   -F Di = L 0 + c 10  , i = 1,2,3,...,9  f     

L0 = batas bawah kelas desil Di F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di f = frekuensi kelas desil Di


Contoh : Interval Kelas

Nilai Tengah (X)

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

D3 membagi data 30% D7 membagi data 70% Sehingga : D3 berada pada 48-60 D7 berada pada 74-86

 3.60  11    = 58,875 D3 = 47,5 + 13 10 8      

  7.60 - 31    = 79,72 D 7 = 73,5 + 13 10  23     


3. Persentil Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.

Untuk data tidak berkelompok i(n + 1) Pi = nilai ke , i = 1,2,3,...,99 100

Untuk data berkelompok  in  F   Pi = L 0 + c 100  , i = 1,2,3,...,99  f     


UKURAN PENYIMPANGAN(DISPERSI) HOMOGEN DAN HETEROGEN DATA Perhatikan daftar angka berikut ini: I. 50,50,50,50,50 II. 30,40,50,60,70 III. 20,30,50,70,80 Ketiga kelompok data mempunyai rata rata-rata hitung yang sama sama,, yaitu :

X = 50

Bagaimana pendapatmu?


DISPERSI DATA Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Jenisnya : - Jangkauan (Range) - Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) - Variansi (Variance) - Standar Deviasi (Standart Deviation)

1. JANGKAUAN Menyatakan selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dalam data R = nilai maksimum – nilai minimum


2. SIMPANGAN RATA-RATA Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai ratarata dibagi dibagi dengan banyaknya data.

Data tidak berkelompok :

Data berkelompok :

SR =

SR =


ΣX-X n

Σf X - X Σf

SIMPANGAN RATA-RATA (lanjutan) Contoh perhitungan SR untuk data berkelompok: Interval Kelas

X

f

X-X

f X-X

9-21 2222-34 3535-47 4848-60 6161-73 7474-86 8787-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

50,92 37,92 24,92 11,92 1,08 14,08 27,08

152,76 151,68 99,68 95,36 12,96 323,84 162,48

Σf = 60

998,76 SR = = 16,646 60 TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

998,76

3. VARIANSI Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.


(

)

2 Σ X X n Σ X - (ΣX ) 2 2 S = atau S = n -1 n (n - 1) 2

2

Data berkelompok :

(

)

2 Σ Σ f X X n fX - (ΣfX ) S2 = atau S2 = Σf - 1 n (n - 1) n = Σf 2


2

4. STANDAR DEVIASI Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku.


(

Σ X-X S= n -1

)

2

nΣX - (ΣX ) atau S = n (n - 1) 2

2

Data berkelompok : S=

(

Σf X - X Σf - 1

)

2

atau S =

nΣfX2 - (ΣfX )2 n (n - 1)

n = Σf TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

STANDAR DEVIASI (lanjutan) Contoh : Interval Kelas

X

f

(X - X )

f X-X

9-21 2222-34 3535-47 4848-60 6161-73 7474-86 8787-99

15 28 41 54 67 80 93

3 4 4 8 12 23 6

2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33

7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98

2

Σf = 60

26124,76 S = = 442,79 60 - 1 S = 442,79 = 21,04 2


(

26124,76

)

2

KEMIRINGAN DISTRIBUSI DATA Derajat atau ukuran dari ketidak simetrian suatu distribusi data. Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur kemiringan distribusi data yaitu formula: 1. Pearson menggunakan format ukuran gejala pusat 2. Momen menggunakan format ukuran dispersi 3. Bowley menggunakan format ukuran letak


DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai rata-rata.

KEMENCENGAN

Curve A : Skewed Right

Curve B : Skewed Left

Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata. Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

1. RUMUS PEARSON

(

X - Mod 3 X - Med atau α = α= S S α = derajat kemiringan Pearson

)

Bila : 1. α = 0, maka distribusi datanya simetri 2. α < 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. α > 0, maka distribusi datanya miring ke kanan


2. RUMUS MOMEN Data tidak berkelompok

Data berkelompok

(

Σ X-X α3 = nS3

)

3

(

Σf X - X α3 = ΣfS3

)

3

1. Jika α 3 = 0, maka distribusi datanya simetri 2. Jika α 3 < 0, maka distribusi datanya miring kiri 3. Jika α 3 > 0, maka distribusi datanya miring kanan TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

3. RUMUS BOWLEY

Q3 + Q1 - Q 2 α= Q 3 - Q1 1. Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri 2. Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan 3. Jika Q2 = Q3 maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri


KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (KURTOSIS) Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Ada 3 jenis : 1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncaknya normal 3. Platikurtis, puncak rendah


KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA (lanjutan) Data tidak berkelompok

(

Σ X-X α4 = nS4

Data berkelompok

(

)

4

Σf X - X α4 = nS4 α 4 = 3, Mesokurtis

α 4 > 3, Leptokurtis α 4 < 3, Platikurtis TELKOM POLITECHNIC/HANUNG NP

)

4

By : Hanung N. Prasetyo

Recommend Documents