HANDOUT ADVANCED MATHEMATICAL THINKING AND HABITS OF MIND
Oleh Utari Sumarmo Disajikan pada Perkuliahan Isyu Global dalam Pendidikan Matematika Oktober 2014
1
Advanced Mathematical Thinking (AMT) Secara umum , terdapat tiga level verivikasi dalam berpikir matematik (Mason, dalam Tall, (Ed), 1991) yaitu: meyakinkan diri sendiri (convice yourself), meyakinkan teman (convice a friend), dan meyakinkan lawan (convice an enemy).
Advanced Mathematical Thinking (MT) Istilah yang berelasi High Order Mathematical Thinking (HOMT) versus Low Order Mathematical Thinking (LOMT) Advanced Mathematical Thinking (AMT) versus Elementary Mathematical Thinking (EMT) Dalam HOMT kadang-kadang termuat AMT yaitu proses kognitif yang tidak sederhana, tetapi tidak sebaliknya
Istilah lain HOMT: High level mathematical thinking (HLMT), High order cognitive skill (HOCS); Proses metacognitif, Berpikir terstruktur, dinamik, generik, ilmiah, closedloop, dan kontinum; berpikir kritis, kreatif, dan konstruktif Istilah lain LOMT: Low level mathematical thinking (LLMT), low level cognitive skill (HLCS); procedural process , mechanical process, algorithmic or rutine process
Advanced Mthemtical Thinking Transisi dari EMT ke AMT adalah: Dari proses melukiskan ke mendefinisikan, dari ke dari meyakinkan ke membuktikan secara logik. Transisi dari LOMT ke HOMT adalah: Dari proses sederhana yang algoritmik atau prosedural ke proses menyadari tindakan yang dilaksanakan atau dari pencapaian pengetahuan hafalan ke pengetahuan yang bermakna.
Beberapa proses AMT di antaranya adalah: proses representasi, proses abstraksi, hubungan representasi dan abstraksi, kreativitas matematis (mathematical creativity), dan bukti matematis (mathematical proof). Dreyfus (Tall, Ed. 1991) AMT :a) proses representasi, pengalihan dari representasi ke translasi; b) proses generalisasi, sintesis, dan abstraksi; dan c) hubungan antara representasi dan abstraksi. Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas matematik meliputi: a) tahap-tahap perkembangan kreativitas matematik, dan b) definisi tentatif, unsur-unsur, karakteristik, motif, hasil, dan kekeliruan dalam kreativitas matematik.
Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi: a) penekanan bukti formal, b) pandangan terhadap matematika, c) faktor-faktor dalam bukti yang diterima, dan penalaran yang hati-hati. Konsep matematika direpresentasikan melalui contoh (instance), contoh khusus (spesimen), dan gambaran (image) dari konsep matematika tadi. Representasi simbol (symbolic representation) atau representasi mental (mental representation). 7
Contoh Representasi simbolik Representasi simbolik konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu X, garis x = a dan x = b adalah: b
a
f ( x)dx
Contoh representasi mental terlukis ketika: Individu merumuskan, mendefinisikan, mengilustrasikan atau memberi contoh atau noncontoh suatu konsep matematika. Representasi mental dari konsep fungsi, dapat berbentuk grafik, formula aljabar, diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan tabel nilai (Multiple representation) 8
Representasi dan pemodelan Pada pemodelan situasi yang disajikan dapat bersifat phisik dan modelnya bersifat matematik; Pada proses representasi, objeknya adalah struktur matematik dan modelnya adalah struktur mental.
Tiga proses yang termuat dalam abstraksi adalah: menggeneralisasi, mensintesa, dan mengabstrasi
9
Contoh generalisasi: Dengan menggunakan definisi turunan yaitu: f’(x) = l i m h
0
f (xh)f (x) h
Untuk f(x) = x diperoleh f’(x) = 1 Untuk f(x) = x2 diperoleh f’(x) = 2 x dan seterusnya Melalui analogi maka untuk f(x) = xn akan diperoleh f’(x) = n xn – 1 Proses mensintesa adalah proses mengkombinasikan atau menyusun bagian-bagian sedemikian shg membentuk suatu keseluruhan, kesatuan atau entitas yg berkaitan
Proses mengabstraksi memuat proses generalisasi dan sintesa yang mendalam dan kompleks, bersifat konstruktif, membangun struktur mental dari struktur matematik, misalnya sifat-sifat dan relasi antar objek matematik. Representasi matematik meliputi: memberikan contoh (specimen, example) dan non-contoh, gambaran atau ilustrasi (image); menerjemahkan pernyataan atau masalah matematik ke dalam bentuk lainnya (switching representation atau translating); membuat model matematik dari objek atau proses matematik. 11
Kreativitas matematik (mathematical creativity) Ervynck (Tall, Ed. 1991): 3 tahap Kreativitas matematik : Tahap 0: tahap teknis awal (belum kreatif) Tahap 1: Kegiatan algoritmik (belum kreatif) Tahap 2: Kreatif, konseptual, konstruktif kegiatan. Tahap inilah yang sesungguhnya bersifat kreatif, non-algoritimik, dan kompleks, bersifat divergen, memuat pilihan misalnya memilih konsep tertentu yang akan didefinisikan, dijelaskan atau dibuktikan. 12
Ervynck (Tall, Ed. 1991) kreativitas dalam AMT memuat memformulasi suatu definisi yang bermutu (fluency); memformulasi idea dasar suatu konteks ke dalam konteks matematik (flexibility), mengkreasi objek-objek matematik yang baru dan menemukan hubungan timbalbalik antar objek-objek itu (originality), menyelesaikan masalah atau mengembangkan struktur berpikir, menjabarkan logico-deductive yang asing, dan menyesuaikan konsep yang digenerasi dan diintegrasikan menjadi konsep matematik inti yang penting (elaboration). 13
Ervynck (Tall, Ed. 1991) Beberapa langkah dalam kegiatan kreativitas matematik adalah: a) memahami matematika secara mendalam, b) melakukan intuisi terhadap struktur matematika, c) berimajinasi dan berinspirasi, d) mengubah hasil yang diperoleh ke dalam bentuk struktur deduktif formal.
14
Puccio dan Murdock (Costa, ed., 2001) berpikir kreatif memuat aspek keterampilan kognitif, afektif, dan metakognitif. Keterampilan kognitif tersebut antara lain: a) elaborasi: mengidentifikasi masalah, peluang, data relevan/tdk relevan, memeriksa dan menilai hubungan antara pilihan dan alternatif, memperluas, memperbaharui rencana/ idea ; b) fluency: mmenghasilkan banyak idea c) Flexibility: menyusun pertanyaan/idea yang baik dan berbeda, d) originality: menghasilkan produk atau idea yang baru, mengubah pola pikir dan kebiasaan lama dan menyusun hubungan baru . 15
Sedang dalam aspek kemampuan metakognitif,: merancang strategi, menetapkan tujuan dan keputusan, memprediksi berdasarkan data yang tidak lengkap, memahami kekreatifan dan sesuatu yang tidak dipahami orang lain, mendiagnosa informasi yang tidak lengkap, membuat pertimbangan multipel, mengatur emosi, dan memajukan elaborasi solusi masalah dan rencana.
16
Silver (1997) dan Sriraman (2004): kreativitas matematik sebagai kemampuan pemecahan masalah dan berfikir matematik secara deduktif dan logik. Krutetskii (Sriraman, 2004) : kreativitas sebagai kemampuan mengabstraksi suatu generalisasi konten matematika. Briggs dan Davis (2008) menyarankan paradigma baru tentang kreativitas matematik sebagai berikut: matematika tidak selalu menyajikan produk baru, karena menghasilkan solusi dari suatu masalah baru juga merupakan 17 produk kreatif bagi seseorang.
Balka (Mann, 2005) berpikir kreatif matematis adalah berpikir konvergen dan berpikir divergen, yang meliputi: a) Fluency : memformulasi hipotesis matematika b) Elaboration: menentukan pola-pola yang ada dalam situasi masalah matematis; mengidentifikasi informasi yang hilang dari masalah yang diberikan; kemampuan merinci masalah umum ke dalam sub-sub masalah yang lebih spesifik; c) Originality: memecahkan kebuntuan pikiran dengan mengajukan solusi-solusi baru dari masalah matematis, mengemukakan ide-ide matematika yang tidak biasa dan dapat mengevaluasi konsekuensi-konsekuensi yang ditimbulkannya. 18
Contoh Butir tes berfikir kreatif matematik untuk mahasiswa (Nurlaelah, 2009) Berikan sebuah contoh grup G dan sub-grup asli H sehingga G isomorphik dengan H. Kemudian tunjukkan bahwa jawabanmu memenuhi persyaratan yang diperlukan. Kemampuan melaksanakan pembuktian matematik meliputi kemampuan membaca bukti dan kemampuan mengkonstruksi bukti.
19
Ditinjau dari tujuannya, empat jenis membaca (Moesono, 2002, dalam Sumarmo, 2004) sbb: Literal reading: membaca untuk memperoleh informasi untuk pemahaman lebih lanjut. Interpretatif reading :membaca untuk menarik kesimpulan dari isi teks baik yang tersurat maupun yang tersirat. Critical reading: membaca untuk mengevaluasi isi teks, membandingkan gagasan yang terdapat dalam teks, dan membuat kesimpulan hasil bandingannya. Creative reading: membaca untuk mampu menyusun gagasan baru, pandangan baru, pendekatan baru berdasarkan imajinasi terhadap isi teks yang dibaca.
Ditinjau caranya, membaca dapat diklasifikasikan dalam membaca cepat (efisien), membaca pemahaman (memindai), dan membaca ekstensif. Ada dua jenis membaca cepat yaitu membaca skimming, dan membaca scanning (Moesono, 2002, dalam Sumarmo, 2004).
21
Contoh Butir Tes Membaca Bukti (Kusnandi, 2009) Bacalah argumen berikut dengan teliti. Misalkan a dan b adalah bilangan bulat sehingga ppb (a, b) = 1, maka ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3” Bukti pernyataan di atas adalah sebagai berikut: Misalkan ppb (2a + b, a + 2b) = d, jadi berdasarkan definisi ppb maka d | (2a + b) dan d |(a +2b). Ekspresi ini menghasilkan d | 3a dan d | 3b. Kemudian berdasarkan definisi alternatif ditemukan bahwa d | ppb (3a, 3b) atau d | 3 ppb (a, b). Tetapi ppb (a, b) = 1, jadi d | 3. Karena d > 0 maka nilai d adalah 1 atau 3. Jadi, ppb (2a + b, a + 2b) = 1 atau 3. Dengan menggunakan argumen yang serupa, selesaikanlah soal ini. Jika a dan b adalah bilangan asli sehingga ppb (a, b) = 1, tentukan nilai ppb (2a + 3b, 3a + 2b) 22
Mengkonstruksi bukti adalah menyusun suatu bukti pernyataan matematik berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema, serta menuliskannya dalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian langsung atau tak langsung). Kemampuan ini meliputi: mengidentifikasi premis beserta implikasinya dan kondisi yang mendukung; mengorganisasikan dan memanipulasi fakta untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan; membuat koneksi antara fakta dengan unsur dari konklusi yang hendak dibuktikan. 23
Hanna (Tall, Ed. 1991) bukti matematis meliputi: a) penekanan bukti formal, b) pandangan terhadap matematika, c) faktor-faktor dalam bukti yang diterima, dan penalaran yang hati-hati. Tall (1991) mengajukan konsep bukti generik sebagai cara untuk meningkatkan pemahaman membaca bukti suatu pernyataan. Leron (Tall, 1991) menawarkan bukti terstruktur dengan menggabungkan metode penyajian formal dan informal ke dalam suatu pembuktian, yang bukan bertujuan untuk meyakinkan, tetapi untuk membantu pembaca dalam meningkatkan pemahamannya terhadap gagasan di belakang bukti itu. 24
Reiss dan Renkl (2002) mengajukan konsep contoh-jawab huristik dengan langkahlangkah huristik: 1) mengeksplorasi situasi masalah, 2) membuat konjektur, 3) mengumpulkan informasi untuk memeriksa konjektur, (4) membuktikan konjektur, (5) memeriksa kembali. Uhlig (2003): pembuktian dengan serangkaian deduksi Definition-LemmaProof-Theorema-Proof-Corollary, melalui serangkaian pertanyaan eksploratif: What happens if ? Why does it happen ? How do different cases occur ? What is true here ? yang disingkat dengan nama WWHW.
25
Krummheuer (dalam Hoyles & Kuhemann, 2003) untuk menganalisis argumentasi, So
Because of
Conclusion
Data Since Warrant
On account of Backing Gambar1
Skematik untuk Menganalisis Argumentasi
26
Contoh Butir tes menyusun bukti matematik (Maya, 2011) Misalkan R adalah Ring komutatif dengan elemen satuan, dan misalkan I adalah Ideal dari R. Buktikan R/I adalah Integral Domain jika dan hanya jika I adalah Ideal Prima
27
Contoh Butir tes menyusun bukti matematik (Kusnandi, 2010) Observe this statement carefully. Suppose a, b, c, d, n1 and n2 are whole numbers If ab cd (mod n1) and b d (mod n2) then a c (mod n) in which n = gcd (n1, n2) with n and b are relatively prime”. (note: gcd is the greatest common divisor). Write all premises of the statement above and its implication. Write the conclusion of the statement and then by using definition and or theorem that you know for determining a condition in oder to find the conclusion. 28
16 Indikator Kebiasaan Belajar (HOM) 1) Bertahan atau pantang menyerah; 2) Mengatur kata hati; 3) Mendengarkan pendapat orang lain dengan rasa empati; 4) Berpikir luwes, reflektif, rasa percaya diri, terbuka dan mampu mengubah pandangannya ketika memperoleh informasi tambahan; 5) Berpikir metakognitif yang berarti berfikir apa yang sedang difikirkan; 6) Berusaha bekerja teliti dan tepat; 7) Bertanya dan mengajukan masalah secara efektif; 29
Indikator Kebiasaan Belajar (HOM) 8) Memanfaatkan pengalaman lama dalam membentuk pengetahuan baru; 9) Berfikir dan berkomunikasi secara jelas dan tepat; 10) Memanfaatkan indera dalam mengumpulkan dan mengolah data; 11) Mencipta, berkayal, dan berinovasi; 12) Bersemangat dalam merespons; 13) Berani bertanggung jawab dan menghadapi resiko; 14) Humoris; 15) Berpikir saling bergantungan; dan 16) Belajar berkelanjutan. 30
Contoh Butir Skala Kebiasaan Berpikir (HOM) No. 1. 2.
Kegiatan, perasaan dan Ss pendapat Mencoba cara lain ketika gagal menyelesaikan mas. (+) Memandang sifat humoris dlm belajar mat. merugikan(-)
3.
Berpendapat berkhayal dlm bel mat. membuang waktu (-)
4.
Sabar mendengarkan uraian matematika yang sulit (+)
5.
Merasa nyaman berdiskusi di lingkungan teman baru (+)
6.
Menolak perbedaan pendapat ketika diskusi mat. (-)
Sr
Kd
Jr
Js
Contoh Butir Skala Kebiasaan Berpikir (HOM) No.
Kegiatan, perasaan dan pendapat
1. Frustasi ketika menghadapi
kegagalan menyelesaikan masalah matematik (-) 2. Memandang kritikan sbg hambatan untuk maju (-) 3. Memandang belajar berfikir matematik adalah tugas anak usia sekolah (-) 4. Sabar mendengarkan uraian
matematika yang sulit (+) 5. Merasa nyaman berdiskusi di lingkungan teman yang pandai matematika (+)
Ss
Sr
Kd
Jr
Js
