DR.
P Á V Ó
I M R E
M T A Matematikai L o g i k a i és A u t o m a t a e l m é l e t i T a n s z é k i K u t a t ó Csoportja, Szeged
Hálózat érzékenység meghatározása topológiai formulával ETO
Ismeretes, hogy á r a m k ö r ö k tolerancia s z á m í t á s á n á l igen fontos szerepet t ö l t be a hálózatfüggvény érzé kenysége [2, 3]. Legyen a vizsgált hálózatjellemző (hálózatfüggvény) f{x , x , . . . , X J V ) , ahol x szimboli zálja az z'-edik á r a m k ö r i elem valamilyen p a r a m é t e r é t (ez lehet impedancia, admittancia, á t t é t e l , erősítés stb.), ahol í = l , 2, . . . , N. A k k o r definíció szerint a hálózatjellemző x,- p a r a m é t e r szerinti (abszolút) érzé kenysége: 1
t
2
„ _9/(#i) x , . . . , x ) 2
N
...
ahol N az á r a m k ö r i p a r a m é t e r e k száma a vizsgált hálózatban. Az (1) formulával definiált érzékenység m e g h a t á rozására t ö b b módszer ismeretes. Érzékenység meg h a t á r o z á s t ö r t é n h e t i k a definíció a l a p j á n t ö r t é n ő közvetlen számolással; hálózatelméleti tételek felhasz nálásával közvetve is s z á m í t h a t ó ; illetve méréssel is m e g h a t á r o z h a t ó . A többféle eljárás kialakulása is bizonyítja, hogy az érzékenység meghatározása mind elméleti, mind gyakorlati szempontból a h á l ó z a t számítás egyik fontos feladata [2]. H á l ó z a t s z á m í t á s o k r a az u t ó b b i évtizedekben elter jedt a gráfelmélet eszközeinek, módszereinek fel használása [ 9 ] . Ilyen felhasználás a topológiai for m u l á k felfedezése során v á l t lehetségessé. Topológiai formula az érzékenység számításához is felírható [3], így elvileg a gráfelmélet az érzékenység meg h a t á r o z á s á r a is felhasználható. Mégpedig, ha p l . a hálózatjellemző egy k é t k a p u hálózat transzfer fe szültség függvénye, ú g y valamelyik, a kapcsolásban szereplő á r a m k ö r i elem impedanciája szerinti érzé kenység előállítható k é t transzfer feszültség függ v é n y s z o r z a t a k é n t [10]. Márpedig transzfer feszültség függvény felírására szerkeszthető topológiai formula [9]. E topológiai formulában szereplő hálózatgráf részgráfok előállíthatók [4, 6], előállításukhoz digi tális számológép jól felhasználható [7, 8 ] . Az érzékenységnek ezen az ú t o n való előállítása azonban körülményes. Ennek oka t ö b b e k k ö z ö t t abban rejlik, hogy a hálózathoz rendelt gráf a kétféle B e é r k e z e t t : 1971. X . 5.
537.311.33:621.374.4:621.382.2.011.4
feszültségátviteli függvény esetében kissé eltérő. Ugyanis az egyik feszültségátviteli függvény képzé sénél a szóban forgó h á l ó z a t topológiáját kissé „ á t kell a l a k í t a n i " , mégpedig a bemeneti pontokat rövidre zárni, a kiszemelt á r a m k ö r i elemnél pedig a h á l ó z a t o t „felszakítani". N y i l v á n a rövidre zárás és a felszakí t á s az eredeti kapcsolástól eltérő topológiájú m ó d o s í t o t t kapcsolást eredményez. Számolás során az egyik hálózatgráfról á t kell t é r n i a m á s i k r a . Ez az á t t é r é s pedig megnehezíti a szükséges részgráfok képzését. E cikkben az érzékenység gráfelméleti ú t o n t ö r t é n ő m e g h a t á r o z á s á n a k egy m á s i k lehetőségét m u t a t j u k be. Mégpedig az érzékenység m e g h a t á r o z á s á h o z elő ször levezetünk egy új topológiai formulát. E leveze téshez felhasználjuk Bode bilineáris t é t e l é t [1], és Kirchhoff 4. t é t e l é t [9]. A levezetett topológiai for mula alkalmazása megkívánja (az egyetlen) h á l ó z a t gráf fáinak, és bizonyos t í p u s ú 2-fáinak, 3-fáinak ge n e r á l á s á t . Megmutatjuk, hogy a szóban forgó rész gráfok Ore egy tételén [5] alapuló M a generálási módszerrel [6] e g y ö n t e t ű e n előállíthatók. K ü l ö n f i gyelmet szentelünk a topológiai formulában szereplő 3-fa részgráfok generálásának, és egy digitális szá mológépre is h a s z n á l h a t ó algoritmust állítunk össze. Végül egyszerű példán bemutatjuk az érzékenysége cikkben ismertetett előállítását.
Topológiai í o r m u l a az érzékenységhez A következőkben mind a vizsgált á r a m k ö r ö k ele meire, mind a tekintett hálózatfüggvényekre meg szorításokat t e s z ü n k . Mégpedig a k é t k a p u h á l ó z a t b a n csak ellenállás, i n d u k t i v i t á s és k a p a c i t á s forduljon elő, a hálózatfüggvény p a r a m é t e r e i a d m i t t a n c i á k legyenek, a h á l ó z a tjellemző pedig a Z =Z (Y , Y , . . . , Y ) transzfer impedancia függvény, ahol Y j , Y , . . . , Y az á r a m k ö r i elemek admittancia p a r a m é t e r e i . Feladatul t ű z z ü k k i az T
2
T
1
N
2
N
_dZ
T
v
* 6y: _
( x = l , 2, . . ., N)
(2)
érzékenység m e g h a t á r o z á s á t .
129
H Í R A D Á S T E C H N I K A
A meghatározáshoz számozzuk meg a kapcsolás csomópontjait az 1, 2, . . . , n természetes számokkal. Jussanak az á r a m k ö r bemeneti pontjaira a b és b , a kimeneti pontokra a k és k , végül a tekintett x-edik á r a m k ö r i elem kapcsaira pedig az x és x természetes számok. A k é t k a p u hálózat rajzát az x á r a m k ö r i elem kiemelésével és a gerjesztési feltétel feltüntetésével e g y ü t t az 1. á b r á n l á t h a t j u k . t
±
rj " KI ——
SZ.
ben Y előfordul, majd e szorzatokból emeljük k i e közös tényezőt. x
22y
2
+ 3 r
. y (5)
2
Kirchhoff 4. tétele szerint a transzfer impedancia függvényre felírható a következő topológiai formula [8]: T
É V F . 5.
2
x
Z
X X I I I .
2(± n 2( n
Y,j)
(3)
Yu)
ahol F a hálózatgráf egy tetszőleges fája, F' pedig olyan 2-fája, amely mind a bemeneti, mind a kime neti pontokat szétválasztja (azaz külön-külön kom ponenseiben tartalmazza), (;', / ) a gráf í-edik és /-edik pontja közötti él, Y -pedig az (z, / ) élnek meg felelő á r a m k ö r i elem a d m i t t a n c i á j a (éladmittancia) a kapcsolásban. A produktum képzés a k i v á l a s z t o t t X
2
íy
ahol T, Í " , T és TXL)XÍ szimbólumok az Y admittanciától nem függő szorzatösszegeket jelentik (álta l á b a n a többi á r a m k ö r i a d m i t t a n c i á k b ó l felépülő k i fejezések). 2
X
3
2
x
Az (5) jobb oldalát a (3) jobb oldalával össze vetve, k ö n n y e n m e g a d h a t ó k az (5)-ben szereplő szorzatösszeg tagjainak gráf-megfelelői, illetve olyan részgráf halmazok, amelyek elemei, i l l . élei szerint is képezhetők a megfelelő szorzatösszegek úgy, aho gyan (3) alkalmazásánál azt m á r említettük. Mivel (4)-ben minden egyes tag fa, i l l . 2-fa éladmittancia szorzat, t o v á b b á megfigyelve, hogy tagjai n — 1, T " és T tagjai n— 2, valamint T ' tagjai pedig olyan n — 3 tényezős szorzatok, amelyek megfelelő (4) kifejezésbeli tagokból éppen az Y tényező t ö r lésével állottak elő, látjuk, hogy a megfelelő rész gráfok rendre fák, 2-fák és 3-fák. Felhasználva a szorzatösszegek és a hozzájuk t a r t o z ó részgráfok jelölésére alkalmazott konvenciót, a szorzatösszegek nek megfelelő részgráfhalmazok a következő for m u l á k k a l írhatók le: 2
2
3
XitX2
x
iT:{iF}
= {iF
| (x
T:{ F}
= { F'
| (x
x )^F},
v
(6a)
2
ÓX, ki
RLC
2
2
2
f':{ F'}
s
\Hm-PiJ] 7.
ábra
részgráf élei, az összegképzés pedig a megfelelő típusú részgráfok szerint t ö r t é n i k (V az univerzális kvantor jele). A 2-fa éladmittanica szorzat előjele akkor pozitív, ha a k i v á l a s z t o t t F' 2-fa a b és a k pontokat tartalmazza közös k o m p o n e n s é b e n ; ellen kező esetben a szorzat előjele negatív. A későbbi á t t e k i n t h e t ő s é g k e d v é é r t megállapodunk a következő egyszerűsítő jelölésben: a (3) számlálójá ban szereplő szorzatösszeget T ' - v e l , míg a nevezőjét r - v e l jelöljük. Á l t a l á b a n az ilyen t í p u s ú szorzat összegeket e cikkben T betűvel jelöljük, míg a T betű „díszítése" utalni fog a szorzatösszeg számításá hoz felhasznált részgráf-típusra, és a megfelelő rész gráfokat ugyanolyan díszítésű „F" betűvel szimboli záljuk. 2
x
±
x )§ F'}, z
= {*F | F ® (x
s
(6c)
2
v
3
x ) = F'}.
(6rf)
2
ít
2
A definíciós formuláknál a © jel az elemidegen unió jele. Megjegyezzük, hogy az (5)-ben előforduló szorzatösszegek ( e g y ü t t h a t ó kifejezések) jelölésénél m á r eleve olyan szimbólumokat v á l a s z t o t t u n k , ame lyek a definíciós formulákban lehetővé teszik a jelö léskonvenció b e t a r t á s á t . P é l d a k é p p e n bemutatjuk, hogy a (6c) formula m i k é n t értelmezhető: a T szor zatösszegnek megfelelő { F} 2-fa halmaz elemei pontosan azok a F' 2-fák, amelyekben nem szerepel az (ar x ) gráféi. E z u t á n az (5) m i n d k é t oldalának Y szerinti par ciális differenciálásával n y e r j ü k : 2
2
2
15
2
x
2
1
E megállapodás értelmében (3) így í r h a t ó :
2y
130
JT'.?T+*T .
=
dYl'
Y )- r ,x,( r + r • y ) 2
XIIXJ
2
x
Xl
CT +
/
3
x
'T^^.YJ
2
majd némi á t a l a k í t á s u t á n innen nyerjük az érzé kenységre a következő topológiai f o r m u l á t : 1 /
(4)
Bode bilineáris tétele szerint (4) jobb oldala az Y admittancia bilineáris kifejezése [3]. R e n d e z z ü k á t (4) számlálóját és nevezőjét úgy, hogy g y ű j t s ü k külön azokat az admittancia szorzatokat, amelyek x
Sy
T'
2
(7)
A (7) topológiai formulában szereplő szorzatöszszegeknek megfelelő részgráfok a hálózat fái, 2-fái és 3-fái. Vegyük észre, hogy (7) előállításában szereplő { F} (a hálózatgráf összes fái) és { F'} (a hálózatX
2
£>R. P Á V Ó I . : H Á L Ó Z A T É R Z É K E N Y S É G
gráf olyan összes 2-fái, amelyek a bemeneti és a kimeneti pontokat egyidőben szétválasztják) részgráf halmazok m á r (4)-ben is szerepet j á t s z o t t a k , és e részgráfok módszeres generálása megoldottnak te k i n t h e t ő [8]. T o v á b b á a (7)-ben előforduló T szorzatösszegnek megfelelő { F } 2-fa halmaz elemei pontosan azok a 2-fák, amelyek az x és az x pontokat külön komponenseikben t a r t a l m a z z á k , így előállításuk szintén megoldott [6], sőt á l t a l á b a n egyszerűbb probléma, mint a F' t í p u s ú 2-fák gene rálása. Üj p r o b l é m á t vet fel a F' t í p u s ú 3-fák gene rálása. A következő részben meg fogjuk m u t a t n i , hogy e 3-fák generálása az eddig használt ciklusvizsgálatos módszerrel [6] elegánsan m e g o l d h a t ó . Végül megjegyezzük, hogy a (7) topológiai for m u l á b a n szereplő szorzatok előjele következik a (3) formulánál m á r ismertetett előjel-konvencióból. Ne vezetesen a T' szorzatösszeg egy t a g j á n a k előjele megegyezik a F'®(x x ) = F' 2-fának megfelelő éladmittancia-szorzat (3) formulabeli előjelével [7]. 2
XiiXi
2
Xi>Xt
x
2
2
3
MEÖHATÁROZÁSA
h a t ó a t e k i n t e t t 3-fának megfelelő éledmíttancia szorzat „ ö r ö k l ö t t előjele". Á l t a l á b a n azonban (8) jobb oldala tartalmaz nem F' t í p u s ú 3-fát is. Ez az eset pontosan 2 alkalommal fordulhat e l ő : 1. a nyert 3-fa nem választja szét az CC-^ CS 9.Z ÍCg pontokat, vagy 2. e pontokat szétválasztja ugyan, dé az (x x ) él h o z z á s z á m í t á s á v a l nyert 2-fa nem választja szét a k és k (kimeneti) pontokat. Ilyen feltételeknek megfelelő 3-fákat t a l á l u n k a 3a és a 3b á b r á k o n . Ezek az á b r á k is a 3-fákat a megfelelő irányítással m u t a t j á k . Ez u t ó b b i á b r á k a t megfigyelve egyszerű eljárás a d ó d i k arra, hogy (8) elemei közül az összes F' t í p u s ú 3-fákat kiválogassuk. Ez az eljárás fel használja a ciklusvizsgálatot. 3
v
x
2
2
3
3
3
2
v
2
Az érzékenység formulájában szereplő 3-fák generálása Az előállítandó 3-fák h a l m a z á t a (6d) formula de finiálja. Részletesen F' olyan 3-fa, amely egyrészt nem tartalmazza az (x x ) gráfélet, másrész e gráf élet is hozzászámolva olyan 2-fát n y e r ü n k , amely mind a bemeneti, mind a kimeneti pontokat külön komponensében tartalmazza. T o v á b b á az is egysze rűen b e l á t h a t ó , hogy a { F'} halmaz minden eleme egyértelműen előállítható alkalmas F' 2-fából az (x x ) gráféi törlésével. A t o v á b b i a k b a n felhasználjuk a k-ía generálás ciklusvizsgálat alkalmazásával t ö r t é n ő módszerét. (E módszer leírása m e g t a l á l h a t ó v á z l a t o s a n a [8], részletesen a [6] irodalomban.) A F' 3-fa előállítását e módszerrel úgy fogjuk tenni, hogy először a ( -F'} halmaznál egy bővebb halmazt állítunk elő, s ennek elemei közül válogatjuk k i a F' t í p u s ú 3-fákat. T e k i n t s ü n k egy F ' C { i ' } típusú 3-fát. A k k o r mindig létezik pontosan egy olyan F' 2-fa, amely ből az (x x ) élet törölve előáll a tekintett 3-fa. A kiszemelt él törlésével F' valamelyik komponense „szétesik" k é t fa komponensre. Következésképpen vagy x vagy x a tekintett 3-fa olyan komponensé ben van, amelyben sem b sem b nem fordul elő. í g y a *F'£?Fblib,iX3 és a F'e{ F , , J relációk közül pontosan az egyik teljesül. Mindenesetre érvényes : { F'}Q{ F }U{ F , }. (8) 3
v
2
3
2
v
2
3
3
\Hm-pi f\ 2.
ábra
3
3
3
7
2
ls
2
2
v
2
v
2
3
3
bi
3
3
6 í
x
3
bíibuX
iiib iX
A (8) jobb oldalának elemeit a szokásos m ó d o n rendre előállíthatjuk. Mégpedig a G hálózatgráf fi(G) adjacencia m á t r i x á b ó l [6] képezni kell az összes olyan M és M egyszerűsítette ket, amelyek »(rWi i ,i ))=%,i , illetve v(fJ.-\M ))= F . A megfelelő (r operátor nélküli) i r á n y í t o t t 3-fákban az élek i r á n y í t á s a a b b és x illetve a b b és x pontok felé t ö r t é n i k . A viszo nyokat a 2a és a 2b á b r á k o n illusztráljuk, mégpedig olyan 3-fákon, amelyek egyben F' t í p u s ú a k is. Az á b r á k o n f e l t ü n t e t t ü k a kimeneti pontok egy-egy lehetséges elrendezését is. Ezek megfigyelésével lát bíibi>Xl
6 i > f t l ; X ! !
! l
!
!
!
v
3
biibziXi
bl>bltXa
v
v
v
2
2
2
3
A) 3.
\MZ4-PI
3\
ábra
131
H Í R A D Á S T E C H N I K A
X X I I I .
ÉVF.
5.
SZ.
M i n t ismeretes, egy /c-fán v é g r e h a j t o t t ciklusvizs g á l a t a megfelelő i r á n y í t o t t A-fa egy részének bejárá sával ekvivalens, mégpedig a definiált i r á n y í t á s sze r i n t . E b b ő l következik, hogy a (8) jobb oldalán szereplő 3-fák esetén b á r m e l y p o n t b ó l i n d í t o t t ciklus vizsgálat vagy valamelyik bemeneti p o n t n á l , vagy a^-nél (111. x -nél) szakad meg. Annak a feltételnek ellenőrzése t e h á t , hogy a tekintett 3-fa 3.Z CCj^ G S $2 pontokat szétválasztja-e, ú g y t ö r t é n h e t , hogy p l . a 2a á b r á n l á t h a t ó esetben ciklusvizsgálatot i n d í t u n k p o n t b ó l . H a é vizsgálat az x ponton szakad meg, ú g y a t e k i n t e t t 3-fa nem választja szét az x és x pontokat, ellenkező esetben igen. H a s o n l ó k é p pen j á r h a t u n k el a 2b á b r á n l á t h a t ó esetben is.
Kiinduló adótok: _M(B); b,,b ,k,:^, ,. t
f
~1 [
Xl
2
1
í
2
De ciklusvizsgálattal az is e l d ö n t h e t ő , hogy az (x x ) gráféi h o z z á s z á m í t á s á v a l előállott 2-fa a kimeneti pontokat szétválasztja-e. E v é g b ő l az él hozzászámítását „pótoljuk" feltétellel (azaz az x és x s z i m b ó l u m o k a t azonosnak t e k i n t j ü k , vagy m á s k é p p e n az x és x pontokat a kapcsolásban „ r ö vidre z á r j u k " ) . Ilyen megállapodás u t á n i n d í t s u n k ciklusvizsgálatot m i n d k é t kimeneti p o n t b ó l . H a e ciklusvizsgálatoknál a s z a k a d á s u g y a n a n n á l a be meneti p o n t n á l k ö v e t k e z e t t be, ú g y a tekintett 3-fa nem F' t í p u s ú , ellenkező esetben igen. Ilyen feltétel melletti ciklusvizsgálat lefolytatásához t e k i n t s ü k a 4. á b r á t , ahol f e l t ü n t e t t ü k az x =x megállapodást is. J ó l l á t h a t ó , hogy most a k -ből i n d í t o t t ciklusvizs gálat i r á n y b a n a 2> -nél szakad meg (míg a kfből i n d í t o t t ciklusvizsgálat szakadási helye a í> ). A k -ből i n d í t o t t ciklusvizsgálat kimenetele a t a l á l t F ' fa „ ö r ö k l ö t t " pozitív előjelét is mutatja. Végeredményben n é h á n y alkalmasan i n d í t o t t cik lusvizsgálat segítségével (8) jobb oldalából rendre k i v á l o g a t h a t ó az összes F' t í p u s ú 3-fa, s közben a megfelelő éladmittancia szorzat előjele is megálla p í t á s t nyer. Az 5. á b r á n l á t h a t ó a F' típusú 3-fák előállítására szolgáló algoritmus összefoglalása, egy programkészí tés alapjául is szolgálható logikai v á z l a t formájában. Ezen a logikai v á z l a t o n téglalappal szemléltetjük az aritmetikai funkciók elvégzésének megfelelő részle teket, míg az egyéb p a r a l e l o g r a m m á k a logikai dön tések helyét szimbolizálják, a nyílfolyam pedig az algoritmus v é g r e h a j t á s á n a k i r á n y á t . „ I g e n " logikai döntés esetén a nyílfolyam a paralelogramma legalsó csúcsából folytatódik, „ n e m " logikai döntés esetén pedig valemelyik szélső csúcsból. Gépi program k é szítésére számítva megjelöltük az algoritmus kezdő részét vastag nyíllal, majd az algoritmus végét jelző stop jelet is b e í r t u k . K ü l ö n b e n a logikai séma legfelső téglalapja szemlélteti a kiinduló adatokat, amelyek v
Ciklus vizsgálat x -böl
Ciklus vizsgálat x - bői 1
z
2
1
2
x
2
3
1
2
2
2
x
2
5.
3
S
3
az egyszerűsítettek képzéséhez, és a 3-fa generálás hoz szükségesek. Megjegyezzük, hogy hasonló eljárást lehetne szer keszteni a F i ,xt 0 = 1> 2) 3-fákból ^kiindulva is. Most minden k o r á b b i eljárás értelemszerűen m ó d o sítandó. A vázolt algoritmus alapján készített számológépi program rendelkezik azzal a kedvező tulajdonsággal, hogy a feladat megoldásához szükséges memória k a p a c i t á s bizonyos értelemben minimális. Ugyanis az eljárás során kapott F' 3-fákat kell csak tárolni a t o v á b b i számításokhoz, egyéb t í p u s ú 3-fák az éladmittancia-helyettesítés szempontjából nem jönnek számításba. Végül v e g y ü k észre azt a jelentős k ö r ü l m é n y t is, hogy a vázolt algoritmus t á r g y a l t széttagolása csupán didaktikai szempontból volt szükséges. Ugyanis a ciklusvizsgálatos 3-fa generálás módszere m á r a „3-fa" döntés meghozásához is teljes ciklusvizsgálatot igényel. Ez azt jelenti, hogy az algoritmus 4. á b r á n l á t h a t ó logikai séma második logikai döntéséhez a k i v á l a s z t o t t részgráf minden egyes pontjából kellett ciklusvizsgálatot indítani. H a gondoskodunk arról, hogy a teljes ciklusvizsgálat során az algoritmus által fontos ciklusvizsgálat-kimenetéleket is megfigyeljük, úgy az algoritmus-vázlat t ö b b i része elhagyható. Ez azt jelenti, hogy a gépi program n a g y m é r t é k b e n összevonható, azaz a F t í p u s ú 3-fák előállítása t u l a j d o n k é p p e n nem k í v á n új módszert. E megfi gyelés is mutatja, hogy a teljes ciklusvizsgálat a megfelelő típusú részgráfok kiválasztásának milyen „erős m ó d s z e r e " . 3
kl} Í!
S
3
+ f 3
\Hm-Pt4\
4. ábra
132
ábra
f
D R .
P A V Ő
I.: H Á L Ó Z A T É R Z É K E N Y S É G
M E G H A T Á R O Z Á S A
L •\U(s)
7. ábra
6. ábra
Hasonlóképpen (9) első és harmadik sorát nullázva előállíthatók a F 2-fák is :
Példa
2
li3
Az ismertetett eljárást most felhasználjuk egy k o n k r é t k é t k a p u - h á l ó z a t Z transzfer impedancia függvény egyik érzékenységének m e g h a t á r o z á s á r a . Tekintsük a 6. á b r á n l á t h a t ó kapcsolást. E kap csolás az irodalomból ismert másodfokú, konstans bemeneti ellenállású váltószűrő [2]. Meghatározzuk az „aluláteresztő r é s z " transzfer impedancia hálózat jellemző ( 1 . és 3. pontok k ö z ö t t elhelyezkedő) induk tivitás szerinti érzékenységét. A 7. á b r á n a kapcsolás átrajzolását találjuk. Ez utóbbi á b r á b ó l k ö n n y e n leolvasható a hálózatgráf. Az á b r á n l á t h a t ó a gerjesztési feltétel is, valamint az é l a d m i t t a n c i á k a t is felírtuk m i n d j á r t operátoros alakban (s a komplex frekvencia). A hálózatgráf [6] szerinti generáló m á t r i x a : T
KG)=
l o 0 1 V 1
0 0 2 2
4 \ 4 0 0
(9)
2
(10)
A k i s z á m í t o t t fákat a 8. á b r á n külön is feltüntet tük. A generáló m á t r i x b ó l a F' t í p u s ú 2-fák is előállít h a t ó k . Most a (9) első és második sorát kell „nulláz n i " . Az e r e d m é n y : (0011)
és
(0012),
(12)
lj2}3
l i 2 ) 1
F':
(0001)
S
és
(0002),
(13)
és a t a l á l t 3-fák k é p é t a 11. á b r a mutatja. E 3-fák előjele ugyancsak pozitív. A 9. és a 11, á b r á k összevetéséből is k ö n n y e n meg g y ő z ő d h e t ü n k arról, hogy a F' 3-fák v a l ó b a n a megfelelő F' 2-fákból á l l o t t a k elő az ( 1 , 3) él t ö r lésével. E z é r t a 11. á b r a a 9. á b r a a l a p j á n közvetlenül is megrajzolható lett volna. A 7. á b r a figyelembevételével kiszámítjuk a (7) topológiai f o r m u l á b a n szereplő szorzatösszegeket. Mégpedig (10) felhasználásával: 3
2
! r = ( l / L + C + GH2C/L s
s
+ G / L . + GC ), S
(14)
(11) -ből: 2
r=l/L .(C +l/L +G), s
s
(15)
s
(12) -ből »r
l i 3
= ( l / L + G)-(2C + G) + C (C +G), 4
S
S
S
(16)
végül (13)-ből 3r' = C + l / L + G
(ll)
a 9. á b r á n szemléltetve. Mindkét fa „előjele" pozitív.
(0301), (0302) és (0401),
3
2
*F':
:
l i 3
az e r e d m é n y a 10. á b r á n . Végül a F' 3-fák generálásához elegendő az adjacencia m á t r i x n a k p u s z t á n az M (1,2,3)-egyszerűsítettjeit tekinteni (ugyanis az M egyszerű sítetteknek nincs értelmük, illetve 2-fához v e z e t n é nek), így most (9)-nek első 3 sorát kell „ n u l l á z n i " . Számolás útján a d ó d i k :
A (9)-bőI az első sor kiszemelésével előállíthatók a hálózatgráf fái. Számolással n y e r j ü k : *-F\ (0311), (0312), (0411) és (0412).
F
s
s
(17)
adódik.
8. ábra
133
H Í R A D Á S T E C H N I K A
É V F . 5.
SZ.
v á l a s z t o t t határfrekvencia esetén L = 2C és G=\. Mint az irodalomból ismert [2], most a váltószűrő konstans bemeneti ellenállása éppen egységnyi. T o v á b b á a frekvencia egység választása folytán L=Y2 és C=l/f2. A p a r a m é t e r é r t é k e k e t (14)-be helyettesítve némi á t a l a k í t á s u t á n a d ó d i k :
r : 4
3
X X I I I .
T=±.(s*+Y2s+l).
(19)
1
(15)-ből; 2
0.
r
=
ábra
Í
(
s
2
+
}A2s+
(20)
1 ) )
t o v á b b á (16)-ból: 2
T , = ^ (s + 3/2s + 4s + 3
x
4
3
3
3
Y 2),
végül (17)-ből:
-4
T' = 4=-(s + f2s + \).
3
2
(22)
Y2s
2
2
2
(0401)
(0301) (0302) 10.
(21)
\H12
«\
(19), (20), (21) és (22) felhasználásával, figyelembe véve a (7) formulát, összeállíthatjuk a k o n k r é t kap csolás hálózatjellemző érzékenységét. Ismét némi algebrai á t a l a k í t á s u t á n n y e r j ü k :
ábra
s (Y2s + 3S + / 2 ) 3
"^1,3 —
2
(s + / 2 s + l ) 2
3
(23)
'
A (23) számlálóját és nevezőjét szorzattá alakítva t ü s t é n t látszik, hogy S -nak h á r o m különböző valós zérushelye van, amelyek rendre 0 (háromszoros zérushely), — l/j/2" és — Y2; t o v á b b á egy (három szoros) konjugált komplex pólusa a —Í/Y2±l/Y2j. Az érzékenység függvény pólus-zérus elrendezését a 12. á b r á n t ü n t e t t ü k fel. A pólusok és zérusok ismeretében Bode diagramok felhasználásával megszerkeszthetők S co-tartománybeli k a r a k t e r i s z t i k á i . Például az a(co)=201 n \ S _1 a m p l i t ú d ó - k a r a k t e r i s z t i k a megrajzolásához hozzuk (23)-at Bode alakra: lj3
3
4
li3
11.
ábra
x
(14), (15), (16) és (17) figyelembevételével, felhasz nálva (7)-et, némi algebrai á t a l a k í t á s u t á n az érzé kenységre a következő képletet n y e r j ü k : ^1,3 —
s
s
S
i a
1 +
= Y2-
1/1/2J
(24)
1 G/L +GC
2C/L +
S
S
Í/L .((l/L + G)(2C + G) + C -(C + G)) (Í/L +C + G).(2C/L+G/L + GC f' s
3
S
S
s
S
S
(18)
A (24)-hez t a r t o z ó elemi k a r a k t e r i s z t i k á k megraj zolása u t á n a 13. á b r á n f e l t ü n t e t t ü k az érzékenység
s
A (18) képlet felhasználásakor p l . tolerancia szá m í t á s á n á l G, C és L helyére névleges é r t é k e k Íran dók. J ó l l á t h a t ó , hogy S a komplex frekvencia racionális törtfüggvénye, s—jm helyettesítés u t á n képezhető (18) abszolút é r t é k e és fázisa, azaz az érzékenység a m p l i t ú d ó és fáziskarakterisztikája meg h a t á r o z h a t ó . A d o t t frekvencia t a r t o m á n y b a n pedig vizsgálható az érzékenység abszolút értékének maxi muma, amely pl. a legrosszabb esetre való tervezésnél [2] szükséges. Végül m e g h a t á r o z z u k az érzékenységet egy k o n k r é t numerikus esetben is. Megadjuk a v á l t ó s z ű r ő para m é t e r e i t relatív egységekben. Legyen egységnek 1)3
134
3
3-szoros pólushelyek\^\ 3-szoros zérushely \H12.U-Pt 12\
12.
ábra
D R .
P Á V Ó
60dB/D
I.: I I Á L Ó Z A T É R Z É K E N Y S É G
0 dBlD
3
^
20
/
/ \
'
Az érzékenység (7) topológiai formulájából is l á t h a t ó , de fizikailag is nyilvánvaló, hogy S értéke nem függ a kiszemelt x-edik á r a m k ö r i elem kapcsai nak számozásától (azaz indexcserével szemben a formulában szereplő k-iák invariánsak). M i n t ahogyan a dolgozatban bemutatott példánál is látszik, az egyes elemérzékenységek külön-külön frekvenciafüggőek. Ugyanakkor ismeretes [ l l j - b ő l , hogy a relatív érzékenységek összege i n v a r i á n s . E k ö r ü l m é n y lehetőséget n y ú j t t o v á b b i elemérzékenység nek ez i n v a r i á n s összegből t ö r t é n ő m e g h a t á r o z á s á r a . T o v á b b á az egyes elemérzékenységek (abszolút) maximumukat á l t a l á b a n különböző frekvenciákon veszik fel. A k o r á b b a n vázolt számológépi program kiegészíthető olyan részlettel, amely lehetővé teszi, hogy a program lefuttatása közben e frekvencia értékek is k i a d ó d j a n a k . Yx
li
4/e\
formulát, amelynek levezetéséhez felhasználtuk (4)et is. Vegyük észre, hogy (26) a toleranciának egy topoló giai formulája. Készíthető olyan számológépi program is, amellyel a hálózatjellemző tolerancia függvényét (26) felhasználásával nyerjük. Maga a hálózatgráf, mint ahogyan arra m á r az érzékenység m e g h a t á r o zásánál is utaltunk, a számítás során nem változik meg, így b i z t o s í t o t t az eljárás során szereplő k-ía. halmazok elemeinek e g y ö n t e t ű generálása.
20dB/D
1/
M E G H A T Á R O Z Á S A
1 / / 1 / / 1 / / 1 // I / / 1 //
\l20
dB/D
\Hm-pn3\
13.
ábra
amplitúdó-karakterisztika t ö r t v o n a l a s közelítését. Innen l á t h a t ó , hogy a(co) m a x i m u m á t az egységnek v á l a s z t o t t határfrekvencián veszi fel. Tolerancia számításnál a legrosszabb esetre való tervezésnél t e h á t S abszolút értéke a határfrekvencián számí tandó. 1>3
A (7) topológiai formula speciális esetben kétpólus impedancia érzékenységét is megadja a kapcsolási elemek a d m i t t a n c i á j a szerint. Most az 1. á b r a jelölé seivel = és b = k . E t é n y k ö v e t k e z m é n y e , hogy a topológiai formulában szereplő T ' szorzatösszeg minden tagja most pozitív. Jelen esetben a F' 2-fák képzése is egyszerűsödik; nevezetesen ezek helyett k é p e z h e t ő k p l . a F 2-fák. E lehetőség feleslegessé teszi minden 2-fánál azokat a ciklusvizs g á l a t o k a t , amelyek a kimeneti pontok e l v á l a s z t o t t ságát ellenőrzik. H a s o n l ó k é p p e n egyszerűsödik a F' 3-fák előállítása is; i t t sincs szükség a kimeneti p o n t o k b ó l i n d í t o t t ciklusvizsgálatokra, valamint az előjel megállapítására. A z e m l í t e t t k ö r ü l m é n y e k egyszerűbb program készítését teszik lehetővé. 2
2
2
2
2
biibi
Néhány megjegyzés E dolgozatban az érzékenység m e g h a t á r o z á s á n a k egy topológiai formulával való számítási lehetőségét l á t t u k . A (7) topológiai formulából azonban m á s t is kiolvashatunk. H a e formulát megfigyeljük, látjuk, hogy adott kapcsolás esetén az a d m i t t a n c i á k szerinti érzékenység számításánál felhasznált k-ia típusok közül csupán a F' és a F változhatik, miközben másik elemparaméter u t á n i érzékenység i r á n t érdek lődünk. A hálózatjellemző toleranciájára t e h á t í r h a t juk: 3
2
XiiXi
N
I
/
27"
(25)
=Z TT[ *~ >
AZT
3T
2T
1
ahol A Y az x-edik á r a m k ö r i elem admittancia tole ranciája, T a T szorzatösszeg rövid jele, vala mint az előbbinél és a T' szorzatösszegnél az x index figyelmeztet arra, hogy ezek a kifejezések az x-edik hálózatelemtől függenek (ill. azzal változnak), a kapcsolásban szereplő á r a m k ö r i elemek száma pedig N. X 2
2
X
Xi)Xí
3
X
A (25) formulát m á s alakban is felírhatjuk. Az összegzést felbontva, és az állandó tényezőket k i emelve nyerjük a
i r ; . z í y* -Z Z T -A Y
A T=~ Z
3
2
T
1
%=\
X
x=X
X
(26)
3
Gráfelmélet felhasználásával természetesen nem csak (transzfer) impedancia érzékenységét lehet vizs gálni, hanem egyéb hálózatjellemzők érzékenységét is. Ilyen vizsgálatokhoz (7)-ből is t o v á b b i topológiai formulák v e z e t h e t ő k le, ha a hálózat meghajtási fel tételeit alkalmasan á t a l a k í t j u k (Thevenin—Norton á t a l a k í t á s ) . Topológiai formula levezetésének másik lehetősége lenne p l . Kirchhoff 3. tételének felhasz nálása [9]. Ez u t ó b b i esetben M á k helyett m á s rész gráfok generálása v á l h a t szükségessé (pl. komple menter k-íák). Azonban a szükséges részgráfok gene rálása végső soron visszavezethető lenne k-íák gene rálására. I R O D A L O M [1] Bode: Network Analysis and Feedback Amplifier De sign, D . V a n Nostrand Gompany I n c . , Princeton, 1945. [2] Géher: Lineáris h á l ó z a t o k , M ű s z a k i K i a d ó , Budapest, 1968. [3] Géher: Lineáris h á l ó z a t o k t o l e r a n c i á j á r ó l és é r z é k e n y s é géről, H í r a d á s t e c h n i k a , X V I . évf. (1965), 10. s z á m .
135
H Í R A D Á S T E C H N I K A
[4] Maxwell—Cline; Topological Network Analysis b y A l g e b r a i é Methods, Electronics R e c o r d , Proc. I E E E , vol. 113 (1966) pp 1 3 4 4 - 1 3 4 7 . [5] Ore: T h e o r y of Graphs, American Math. S o c í e t y , 1962. [6]Páuó: E g y gráf k-fáinak előállításáról, L a p o k , 19. évf. (1968), 3 - 4 . s z á m .
Matematikai
[7] Pává: H á l ó z a t í ü g g v é n y m e g h a t á r o z á s a t o p o l ó g i a i for mulával digitális számológépen, Híradástechnika, X I X . évf. (1968), 11. s z á m .
X X I I I .
ÉVF.
5.
SZ.
[8] Pávó: R L C h á l ó z a t o k transzfer impedancia f ü g g v é n y é n e k f e l í r a t á s a digitális s z á m o l ó g é p e n , Mérés é s Automatika, X V I I . évf. (1969), 4. s z á m . [9] Seshu—Reed: L i n e a r Graphs and E l e c t r i c a l Networks, Addison-Wesley, London, 1961. [10] Tomovic: Sensitivity Analysis of Dinamic Systhems, M c G r a w - H i l l , 1964. [11] Géher—Roska: Sensitivity Invariants in the Theory of Network Tolerances and Optimization, Periodica Polytechnika, vol. 16 (1971), No 2.
