5. RÚDFELADATOK 5.1. Síkgörbe rudak Grashof1-féle elmélete Síkgörbe rúd: a rúd középvonala (S ponti szála) síkgörbe. Jelölések: A középvonal mentén a pontokat az s ívkoordinátával azonosítjuk. Pl. a P pont A P pontban (P ponthoz tartozó keresztmetszetben) helyi koordináta-rendszert veszünk fel: ex e , e , e .
e s
e
P
t
n
0 0
0
0 0
0 - középvonal görbületi sugara alakváltozás előtt, - középvonal görbületi sugara alakváltozás után.
Előjel: - ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont jobbkézre esik, akkor 0 0 , - ha az ívhossz mérésének irányában haladva a görbületi középpont balkézre esik, akkor 0 0 . A rúd terhelése: f ft t f n n vonal mentén (a középvonal mentén) megoszló terhelés. Egyensúlyi egyenletek síkgörbe rudakra: dN T f t 0, ds 0 Az N ( s) rúderő és a T ( s) nyíróerő nem független egymástól. dT N f n 0, 0 ds
dM hx T 0. ds
Az M hx hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan össze-
függés van, mint az egyenes rudaknál. Igénybevételek: a terhelés ismeretében az igénybevételek az értelmezés alapján meghatározhatók. Megoldandó feladat: - az alakváltozási jellemző(k) meghatározása, - a rúd keresztmetszetein ébredő feszültség (eloszlás) meghatározása. 5.1.1. Az alakváltozási jellemzők előállítása Kiinduló feltételezések: - a rúd középvonala terhelés előtt 0 sugarú körív, - a rúd prizmatikus, továbbá keresztmetszetei az tengelyre szimmetrikusak - a rúd igénybevétele tiszta hajlítás, - a rúdban egytengelyű feszültségi állapot lép fel. 1
Franz Grashof (1826-1893) német mérnök.
81
A rúd keresztmetszete:
S
M hx
x
Alakváltozási feltételezések: - alakváltozás után a keresztmetszetek síkok maradnak és merőlegesek maradnak a deformálódott középvonalra, - az alakváltozás során a 0 sugarú, körív alakú középvonal sugarú körívvé görbül az M hx nyomaték hatására.
e
e
s
P0
e
P
s
e M hx
M hx 0
0 állandó
O Terhelés előtt
állandó
Terhelés után
A középvonaltól távolságra lévő koncentrikus körív hosszának fajlagos megváltozása:
0 0 0 0
.
1 . A feszültségi állapot egytengelyű: E E 0 0
- hiperbola. Ha M hx 0 , akkor 0 és 0 . A hiperbola aszimptotái:
Ha
0 , akkor
,
Ha
E
, akkor
1 , 0
82
Ha 0
1 0 . 0 0
E
, akkor
A feszültségeloszlás szemléltetése:
e1 M hx
S
x e2
V
max
0
0
O 5.1.2. A feszültség és az igénybevétel kapcsolata Feszültségi eredők igénybevételek:
FS
a) Az eredő erő:
dA e
( A)
dA 0
dA 0. ( A)
max általában az O görbületi középpont felé eső szélső szálban (az
( A) ábrán a V pontban) van. b) Az eredő nyomaték: M S
R dA
( A)
e e e dA M
hx e .
( A)
Skalár egyenletek:
ez az egyenlet identikusan (azonosan) teljesül, ha az a keresztmetszet szimmetriatengelye,
dA 0
( A)
dA M
hx
.
( A) A -al jelölt egyenletekből és kifejezhető az M hx -szel: Grashof - formula:
M hx M hx 0 . 0 A I r 0
83
Jelölés a feszültségeloszlás ábráján: 0
0
Ir
( A)
0
2 dA
M hx , 0 A
- a keresztmetszet tengelyére számított redukált másodrendű nyomaték (általában I r I ).
A 0 görbületi sugár és az M hx hajlító nyomaték előjele:
O
s
0 0
0 0 M hx 0
M hx 0
O
M hx 0
M hx 0
s
5.1.3. Redukált másodrendű nyomaték
d
Értelmezés: I r
a
e1
a
x
S
e2
( A)
0 2 dA . 0
A hasonló háromszögekből: a a 0 0
Ir
0
( A)
0
0
a
2 a d
0
0
dA ( A)
2
a.
a d I . dA
Egy módosított (szaggatott vonallal megrajzolt) keresztmetszet x tengelyre számított I másodrendű nyomatékát kell meghatározni.
O A rúd „görbültségének” jellemzése: emax max e1 , e2 ,
Ha a Ha a
0 emax
0 emax
0 emax
hányados a rúd görbültségére jellemző mennyiség.
hányados kicsi, akkor a rúd nagyon görbült. nagy, akkor a rúd enyhén görbült.
5.1.4. A Grashof - elmélet alkalmazhatósága Ha
0 emax
3 4 , akkor a Grashof formulát és az I r t használjuk.
Ha 3 4
0 emax
8 10 , akkor a Grashof formulát és az I r I -t használjuk.
84
Ha
0 emax
8 10 , akkor a görbe rúd egyenes rúdként kezelhe tő:
M hx . I
5.1.5. A középvonal alakváltozási jellemzői s s
0
alakváltozás
0
O
O
A középvonal görbületének megváltozása:
1
1
0
M hx . Ir E
A szélső keresztmetszetek egymással bezárt szögének megváltozása: M M ahol l a rúd középvonalának hossza. 0 hx 0 0 hx l , Ir E Ir E 5.1.6. Az eredmények általánosítása Tapasztalatok szerint a Grashof-féle elmélet akkor is jó közelítésként használható, ha - a síkgörbe rúd igénybevétele tetszőleges síkbeli igénybevétel: N , T M hx , - a középvonal nem körív, de feltételezzük hogy a görbületi sugár csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén, - a rúd nem prizmatikus, de feltételezzük hogy a keresztmetszet alakja, vagy geometriai elhelyezkedése csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén. Közelítő megoldás (szuperpozíció): Hajlítás:
M hx M hx 0 , A 0 I r 0
egyenes rudakra vonatkozó összefüggés . Nyírás: I a Erősen görbült rudaknál a húzás/nyomásból és a nyírásból származó feszültségek nem számíthatók az egyenes rudakra érvényes összefüggésekből. Húzás/nyomás:
N A T S
Alakváltozási energia:
85
Rúdszerkezeteknél általában a hajlítási energia domináns: U U hajl .
U
1 2
l
M hx ds . Ir E
A szilárdságtan munkatételei (Betti2, Castigliano3,) ugyanúgy érvényesek, mint egyenes és törtvonalú tartószerkezeteknél. 5.1.7. Gyakorló feladatok síkgörbe rudakra 5.1.7.1. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív középvonalú, kör keresztmetszetű síkgörbe rúd geometriája és terhelése: R, F, d. Feladat:
y
K
A
a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az
R
F
B z
M hx M hx hajlító nyomatéki függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek megadásával. b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása.
Kidolgozás: a) Az N N rúderő-, a T T nyíróerő- és az M h M h hajlítónyomatéki függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása a jellemző értékek megadásával: A tartót terhelő F erőt a tartó tetszőleges K keresztmetszetének súlypontjába redukáljuk. Az így kapott vektorkettős skaláris koordinátái a keresett igénybevételek. Az előjelek az igénybevételek előjel szabályának megfelelően adódnak. N N F cos ,
y A
F K F M hx F z
2 3
T T F sin , M hx M h M hx R F cos .
Ezeknek a függvényeknek az ábrázolásával kapjuk az igénybevételi ábrákat:
Enrico Betti (1823-1892) olasz matematikus és mérnök. Carlo Alberto Castigliano (1847-1884) olasz matematikus és fizikus.
86
N
Rúderő ábra:
Nyíróerő ábra:
2 F T
F
Nyomatéki ábra:
2
M h FR
2 b) Az A keresztmetszeten a feszültségeloszlás meghatározása: Az A keresztmetszet igénybevétele: húzás-nyomás és hajlítás. M 0 N M h h , ahol A 0 A I r 0 N F a húzás-nyomásból származó normálfeszültség, A A M M 0 FR FR R hx hx a hajlításból származó normálfeszült0 A I r 0 R A Ir R ség. d d Az A keresztmetszetben M hx M h FR 0 , 0 R 0 , . 2 2 A redukált másodrendű nyomaték: I r
( A)
0
A feszültségeloszlás:
2 dA .
M h
d
5.1.7.2. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, terhelhetősége Adott: Az A keresztmetszetében befalazott, negyed körív középvonalú tartó geometriája és terhelése. A tartó 2 darab L 40.60.5 szelvényű idomacél, melynek keresztmetszetét az alábbi ábra szemlélteti kétféle elrendezésben. R 300mm , F 400MPa , nt 2 , F 2kN .
87
y
A
19,6
60
emax
emax
S
S
R
F
z
B
a) eset
b) eset
Feladat: a) A maximális redukált feszültség meghatározása mindkét esetben, F 2kN terhelés mellett. b) Az F1max , illetve az F2max maximális terhelőerő meghatározása mindkét esetben, nt 2 biztonsági tényező figyelembe vételével.
Kidolgozás:
0 / emax 4
Szabály síkgörbe rudak számításánál:
4 0 / emax 10 , Grashof-formula és I alkalmazása. 10 0 / emax
Ebben az esetben:
Grashof-formula és I r alkalmazása.
0 emax
R emax
az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.
300 7, 43 Grashof-formula; 40, 4
I 2 I x 34,4 cm4 (MSz 329).
A veszélyes keresztmetszet az A keresztmetszet, az A keresztmetszet igénybevételei: N F 2 kN , T 0 , M h FR 600 Nm (ld. előző feladat). a) eset:
B M h
C F RF RF R RF R N Mh Mh R . A R A I R A R A I R I R
B
FR R 600 300 B 19,6 103 32,09 MPa. 8 I R B 34, 4 10 319,6
C
FR R 600 300 C 40, 4 103 81, 49 MPa. 8 I R C 34, 4 10 259,6
88
red max C 81,49 MPa . F1max F F nt red max
F 400 2 4,91 kN . nt red max 2 81,49
F1max F
b) eset:
B
M h
C B
FR R 600 300 B 40, 4 103 62,1 MPa. 8 I R B 34, 4 10 340, 4
C
FR R 600 300 C 19,6 103 36,58 MPa. I R C 34, 4 108 280, 4
red max s B 62,1 MPa . F2 max F F nt red max
F2max F
F 400 2 6,44 kN . nt red max 2 62,1
Megjegyzés: A kétféle elrendezést összehasonlítva egyértelműen a b) eset a kedvezőbb, mert ugyanolyan önsúly és biztonsági tényező mellett a b) változat szerinti rúd terhelhetősége az a) változathoz F 6, 44 képest: 2 max 1,31 -szeres. F1max 4,91 5.1.7.3. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, redukált másodrendű nyomaték
Adott: Az R sugarú, negyed körív középvonalú, téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd, melyet az A keresztmetszetben F erővel és M 0 nyomatékú erő-
B
párral terhelünk. A B keresztmetszet mereven befogott. R 32 mm , a 24 mm , b 6 mm , F 3kN .
R
b S
F
M0
A
Q
P a
Feladat: a) A B keresztmetszet tengelyre számított I red másodrendű nyomatékának meghatározása.
b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha M0 0 .
89
c) M 0 értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált feszültségek megegyezzenek. Kidolgozás: a) A B keresztmetszet tengelyre számított I red másodrendű nyomatékának meghatározása: Ir
A
0 0
a 2
0
2 dA b
0
a 2
2 d ab02
0
a
ln
1 , 0 a 2
0 a 2
32 32 12 Az adatokat behelyettesítve: I r 24 6 322 ln 1 7561 mm2 . 24 32 12
A fentihez hasonló integrandusz primitív függvényét nem mindig kapjuk meg zárt alakban. Ez esetben az integranduszt sorba kell fejteni és ezután hatványfüggvények összegeként kell integrálni: 2 3 f 2 f 0 f 0 f 0 f 0 ... 2 . 2! 3!
Az f
0
függvény n-ik deriváltja az 0 helyen: f n 0 n! 0 . n
0 A negyedrendű közelítés esetén: a 2
Ir b
0
a 2
0
a 2
2 d b 1
a 2
2 3 4 2 d 0 02 03 04 a
5 7 1 a 3 3 4 5 6 7 2 1 a 1 a b 2 3 4 2b 2 4 3 2 50 2 7 0 2 3 4 0 50 6 0 7 0 a 2
1 1 1 12 123 125 127 7553,78 mm4 . 2 4 5 32 7 32 3
b) A B keresztmetszet S , P és Q pontjaiban ébredő normál feszültség meghatározása, ha F 3kN és M 0 0 :
Szabály síkgörbe rudak számításánál:
0 / emax 4
Grashof-formula és I r alkalmazása.
4 0 / emax 10 , Grashof-formula és I alkalmazása. 10 0 / emax
Ebben az esetben:
az egyenes rúdra vonatkozó összefüggések.
0 emax
R emax
300 7, 43 40, 4
Grashof-formula, I r használatával. 90
Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomaték pozitív, a görbületi sugár negatív: N F 3 103 N , M h F R 96 Nm , 0 32 mm .
A Grashof-formulából: FR R 0, 4063 109 N M h M h 0 . I r 0 I r ( R ) 0,032 A AR
M h
Feszültségek az
S pontban: S 0 , P pontban: 0,012 243,78 MPa ,
Q pontban: 0,012 110,81 MPa ,
c) M 0 értékének meghatározása úgy, hogy a B keresztmetszet P és Q pontjában a redukált feszültségek megegyezzenek: Az előjel-konvenció szerint a rúderő pozitív, a nyomatéki igénybevétel pozitív, a görbületi sugár negatív: N F 3 103 N , M h F R M 0 , 0 32 mm . M FR M 0 R N M h M h 0 0 . A Grashof-formula: I r 0 AR Ir ( R ) A AR
A normál feszültségnek meg kell egyeznie a keresztmetszet P és Q pontjaiban, vagyis a 0,012 0,012 egyenlet megoldását keressük:
M 0 FR M 0 M FR M 0 R R Q 0 P AR Ir ( R Q ) AR Ir ( R P ) Q
P F R M 0 R P R Q
F R M 0
,
A fenti egyenlőség csak akkor teljesül, ha F R M 0 0. F R M0 0
M 0 F R 96 Nm.
Ebben az esetben a keresztmetszet igénybevétele húzás-nyomás, ami homogén feszültségeloszlást hoz létre. Megjegyzés:
91
Bevezetve az x
0 a2
változót, az I r redukált másodrendű nyomaték és az I másodrendű
0 a 2 Ir 1 összefüggés felhasználásával hányadosát a fenti I r ab02 0 ln a 0 a I 2 ábrázolhatjuk:
nyomaték
Ez a függvény a síkgörbe rudak számítására használt szabályt magyarázza: I Például, ha 0 4 , akkor az r 1,04 , ami azt jelenti, hogy az I r csak 4%-kal különbözik I emax az I -től. Tehát ebben az esetben az I r redukált nyomaték helyett jó közelítéssel az egyenes rudaknál értelmezett I másodrendű nyomatékot használjuk. Kevésbé görbült rudak esetén ( 4 0 / emax ) tehát nem szükséges a redukált nyomaték kiszámítása. 5.1.7.4. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása
y
B
Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör kereszt-metszetű tartó, melyet az A pontban M 0 nyomatékú erőpárral terhe-
R
M0
C M0 2R
s M0 2R
A z
lünk. M 0 400 Nm , R 60 mm ,
meg 250 MPa .
Feladat: a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a veszélyes keresztmetszetek meghatározása. b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján.
92
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-féle összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg feltétel nem teljesül. Kidolgozás: a) Az igénybevételi függvények meghatározása, az igénybevételi ábrák megrajzolása és a veszélyes keresztmetszetek meghatározása:
s
s
N
C
B
A
M0 2R
M h T
N
s
M0 2R
Előjelszabály: 0 0; M h 0
T
s
M0 cos , 2R M T 0 sin , 2R M M h 0 R R cos , 2R M M h 0 1 cos . 2
M0 2R
N
M0 2R
M0
M h
s
Veszélyes keresztmetszet: C. b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján: M h 0
z
z
z
z
N M hx z z . A Ix
Méretezés csak hajlításra: z meg . 32 M hx M hx M hx 32 4 105 3 d 25, 4 mm . meg 3 meg d 3 meg 3,14 250 Kx 32 c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel.
93
Amennyiben a tartó nem felel meg, az red max meg 250MPa feltétel nem teljesül.
átmérő
növelése
addig,
amíg
a
Ellenőrzés: görbe rúd húzási és hajlítási igénybevétellel. M 0 N M hx hx , ahol az előjelszabály értelmében: M hx és 0 . A A 0 I r 0
M0 0
S
Q
R
d 2 25,42 3,1416 507 mm2 4 4 M 4 105 N 0 3,333 kN 2 R 2 60 N 3333 húz 6,56 MPa A 507 M0 400 103 0 13,151 MPa , A( R) 507 60 0 0 húz 6,56 MPa . A
P
O R emax
2 R 120 4,73 4 0 / emax 10 : Grashof-formula, I r I x . d 25, 4
d 4 25,44 3,1416 432 mm4 . 64 64 S 0 6,56MPa , I I x
4 105 60 12,7 212,11 MPa , 3 20,4 10 60 12,7 4 105 60 Q 6,56 12,7 309,29 MPa . 3 20,4 10 60 12,7 Q 309,3MPa meg 250MPa , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg!
P 6,56
A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a c) pontban leírt számításokat, d 28 mm esetén érjük el a kívánt feltételt. 5.1.7.5. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
y
F B
K
R
FAz A
s
FAy
C
z
Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör keresztmetszetű tartó, melyet a B pontban F erővel terhelünk. F 7 kN , R 60 mm , meg 250 MPa .
FCy
Feladat: 94
a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása. b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 250MPa feltétel nem teljesül. Kidolgozás: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása: A támasztó erőrendszer meghatározása: Fz 0 FAz F , F M a 0 FCy , 2 F M c 0 FAy . 2 Igénybevételek:
e
T
A
e N M h
R cos
Igénybevételek az AB szakaszon: F N cos F sin , 2 F T sin F cos , 2 FR M h 1 cos FR sin . 2 Igénybevételek a BC szakaszon: F N cos , 2 F T sin , 2 FR M h 1 cos . 2
Igénybevételi ábrák
A
K
B
C
s
s
N F 2
T F
F
2
F 2
s
F 2
M h s
FR 2
Veszélyes keresztmetszet: K keresztmetszet, ahol a rúderő és a hajlító nyomaték abszolút értéke is maximális. A nyíróerőnek, ami a nyomaték deriváltja, itt zérushelye van: T
F sin F cos 0 2
tg 2
K 63,43 b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. A veszélyes keresztmetszet a K keresztmetszet ( K 63,43 ), ahol az igénybevételek:
95
F cos63,43 F sin 63,43 3500 0,4473 7000 0,8944 7826 N , 2 F T ( K ) sin 63,43 F cos63,43 0 , 2 FR M h ( K ) 1 cos63,43 FR sin 63,43 210 1 0,4473 420 0,8944 259,6 Nm 2 . N (K )
z
x
z
z
z
N M hx z z A Ix
N 7826 N M hx 259,6 Nm .
M hx 0 d
Méretezés csak hajlításra: z meg . M hx
meg
M hx
meg d 3
32 M hx
3
32 259,6 3,14 250 106
22 mm . meg d 32 c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 250MPa feltétel Kx
3
nem teljesül: Ellenőrzés: görbe rúd és húzás+hajlítás. M N M R h h , ahol N 7826 N , M h 259,6 Nm , R 0 . A AR Ir R
P M0 0 S R
Q
d 2 222 3,1416 380mm2 , 4 4 N 7826 húz 20,6 MPa , A 380 M 259,6 0 h 11,4 MPa , AR 380 106 0,06 A
0 0 húz 9,2 MPa .
O
R emax
2 R 120 5, 45 4 0 / emax 10 Grashof-formula, I r I x . d 22
96
I I x
d 4 224 3,1416 11 499 mm4 . 64 64
Feszültségek a bejelölt pontokban:
S 0 9,2MPa , 259,6 60 11 103 200,66 MPa , 12 11499 10 60 11 259,6 60 Q 9,2 106 11 103 313,28 MPa . 12 11499 10 60 11
P 9,2 106
z Q 313,3MPa meg 250MPa , a tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg! A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a c) pontban leírt számításokat, d 24 mm esetén érjük el a kívánt feltételt. 5.1.7.6. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
y
B
K
s
A
Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, kör keresztmetszetű tartó, melyet a B pontban M 0 nyomatékú erőpárral terhelünk.
M0 R
M0 2R
C
z
M 0 400 Nm , R 60 mm , meg 290 MPa .
M0 2R
Feladat: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása. b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 290MPa feltétel nem teljesül. Kidolgozás: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása:
T
M0 2R N
M h
N
M0 M cos , T 0 sin , 2R 2R
Hajlítónyomaték az AB szakaszon: M M M h 0 R R cos 0 cos 1 . 2R 2 Hajlítónyomaték a BC szakaszon: M h
M0 1 cos . 2
97
Igénybevételi ábrák:
A
s
C
B
M0 2R
N
s
M0 2R T
M0 2R s
M0 2
M h
s
M0 2
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján: Méretezés a B keresztmetszetben.
x
z
z
z
z
M hx 0
M hx z . Ix
d
Méretezés csak hajlításra: z meg . 32 M hx M hx M hx 32 2 105 3 d meg 3 meg d 3 meg 3,14 290 Kx 32
19,15 mm .
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 290MPa feltétel nem teljesül: Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés eredményénél nagyobb átmérőre végezzük el. d 20 mm . Grashof formula: 98
N M hx M hx 0 , A A 0 I r 0
Az előjelszabály értelmében: 0 R .
P
M0 0
S
0 0 húz 10,6 MPa .
Q
R
d 2 202 3,1416 314mm2 4 4 N N 0 , húz 0 . A M M 200 0 hx 0 10,6 MPa , A 0 2 AR 314 106 0,06 A
O R emax
2 R 120 6 4 0 / emax 10 Grashof-formula, I r I x . d 20
I I x
d 4 204 3,1416 7854 mm4 . 64 64
Feszültségek a bejelölt pontokban:
S 0 10,6MPa , 200 60 0,01 228,9 MPa , 12 7854 10 60 10 200 60 Q 10,6 (0,01) 295 MPa . 12 7854 10 60 10 red Q 295MPa meg 290MPa .
P 10,6
A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg! A tartó átmérőjét növelni kell! Az átmérő értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a c) pontban leírt számításokat, d 21 mm esetén érjük el a kívánt feltételt. 5.1.7.7. feladat: Síkgörbe rúd igénybevételei, feszültségeloszlása, méretezése
M0
x
b
B
y
a
R C
M0 2R
A
Adott: Az R sugarú, félkörív középvonalú, téglalap keresztmetszetű tartó, melyet a B pontban M 0 300 Nm nyomatékú erőpárral terhelünk. R 50 mm , b 2a , meg 210 MPa .
z
M0 2R
99
Feladat: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása. b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján. c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felelne meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 210MPa feltétel nem teljesül. Kidolgozás: a) Az igénybevételi ábrák megrajzolása, a veszélyes keresztmetszetek és az igénybevételi függvények meghatározása: Igénybevételek:
e
T
A
A
e
N M h
Igénybevételi ábrák: B
C
s
N M0 2R
R cos
/2
Rúderő és nyíróerő: M M N 0 cos , T 0 sin . 2R 2R
T
M0 2R s
Hajlítónyomaték az AB szakaszon: M M M h 0 R R cos 0 1 cos . 2R 2
Hajlítónyomaték a BC szakaszon: M M h 0 1 cos . 2
s
M h
M0 2R
M0 2
Veszélyes keresztmetszet: B.
s
M0 2
b) A rúd méretezése hajlításra az egyenes rudakra érvényes összefüggés alapján:
M hx 0 x
Méretezés a B keresztmetszetben.
z
z
M hx . Ix
100
Méretezés csak hajlításra: z meg . M hx meg Kx
M hx meg 2a 3 3
a3
3 M hx 3 3 150 2 meg 2 210 106
10, 2 mm .
c) A rúd ellenőrzése hajlításra és húzás-nyomásra a Grashof-összefüggéssel. Amennyiben a tartó nem felel meg, az átmérő növelése addig, amíg a red max meg 210MPa feltétel nem teljesül: Ellenőrzés: görbe rúd és hajlítás a B keresztmetszetben. Az ellenőrzést a méretezés eredményénél nagyobb méretre végezzük el: a 11 mm , b 22 mm . M 0 N M h h . Az előjelszabályból: 0 R . A A 0 I r 0
P M0 0
S Q
R
A ab 11 22 242 mm2 N N 0 , húz 0 A M h M0 , 0 A 0 2 AR 150 0 12,4 MPa . 242 106 0,05 0 0 húz 12,4 MPa .
O R emax
R 50 4,55 a 11
a 2a
4 0 / emax 10 : Grashof-formula, I r I x .
3
11 223 9761 mm4 . 12 12 S 0 12,4MPa , I I x
150 50 0,013 171 MPa , 12 9761 10 50 13 150 50 Q 12,4 (0,013) 257,6 MPa . 12 9761 10 50 13
P 12,4
red Q 257,6MPa meg 210MPa . A tartó szilárdságtani szempontból nem felel meg! A tartó méreteit növelni kell! Az a méret értékét lépcsőzetesen növelve és újra elvégezve a c) pontban leírt számításokat, a 12 mm , b 24 mm esetén érjük el a kívánt feltételt.
101
5.2. Prizmatikus rudak szabad csavarása Szabad csavarás: a rúd (a keresztmetszet) pontjainak z tengely irányú elmozdulását semmi sem akadályozza ( z 0 ). Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el szabadon a z tengely irányában ( z 0 ). A gátolt csavarásnak a vékonyszelvényű rudaknál van jelentősége. Itt csak a szabad csavarással foglalkozunk. 5.2.1. Egzakt megoldás - a rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges.
y
y
H P
r
Mc
Mc
R
P
z
x A0
n
R S
Mc
Al l
Feltételezések: - q 0 , - a H palást terheletlen: ( n F n 0 ), - x y z xy 0 ,
-
z dA 0 ,
( A)
R z dA M c ez .
( A)
Dinamikai peremfeltételek: - a H palást terheletlen n 0 .
- az Al -en a rúd igénybevétele csavarás:
( A)
z dA 0 ,
R z dA M c ez .
( A)
-az A0 -en az igénybevétel csavarás ugyanaz, mint az Al -en. Feszültségi állapot:
Egyensúlyi egyenletek:
0 0 xz F 0 0 yz , ahol zx zy 0 0 0 xz 0, z yz 0 0 0, z zx zy 0 0. x y
xz xz x, y , yz yz x, y . teljesülnek!
102
A 3. egyensúlyi egyenlet teljesülését egy U x, y feszültségfüggvény bevezetésével érjük el. A Prandtl4-féle feszültségfüggvény: U x, y - az x, y helykoordinátának legalább kétszeresen differenciálható függvénye.
A feszültségek származtatása: zx xz
U , y
Behelyettesítve a 3. egyensúlyi egyenletbe:
zy yz
U . x
2U 2U 0 , az egyenlet identikusan teljesül. xy xy
A feszültségvektor: z xz ex yz ez z .
z
U U ex ey y x
U U ex ey ez U ez . y x
U Az U x, y -nak még ki kell elégítenie: - a peremfeltételeket, - a Hooke törvényt , Beltrami - Michell kompatibilitási egyenletek . - a kompatibilitási egyenletet,
A peremfeltételek kielégítése: - A palást terheletlen: n F n 0 ,
0 0 0 xz nx 0 n 0 0 yz ny 0 0 . zx zy 0 0 zx nx zy ny 0
zx nx zy ny 0,
y
z n 0.
P
A paláston a z érintő irányú.
x
z S
z n U ez n U ez n t
g0
U állandó 0 .
U t iránymenti derivált
z
n
Mc
g0
s
Átalakítás:
t
U 0. s
Önkényes (célszerű) választás.
- Az A0 és az Al rúdvégeken:
4
Ludwig Prandtl (1875-1953) német fizikus és mérnök.
103
Az eredő erő: F
z dA 0 .
Bizonyítjuk, hogy az eredő erő nulla.
( Al )
A feszültségvektorra kapott összefüggést behelyettesítve:
U e
z dA
( Al )
z
dA .
( Al )
Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij -féle integrál átalakítási tétellel: 5
t
s
Al mert U
g0
z
dA
= állandó és
C n ds.
( g0 )
( A)
n
A szorzás a szorzások közül bármelyik lehet.
g0
U e
C dA
ez U n ds U t ds U t ds 0 , g0 g0 g0 t
t ds 0 mindig fennáll.
g0
Az F 0 feltétel tehát teljesül, ha keresztmetszet peremgörbéjén az U állandó (előző peremfeltétel). MS
A keresztmetszet S pontjára számított nyomaték:
R z dA M c ez .
( Al )
Átalakítás: M c ez
Al
ez
R U ez dA
U R e e R U dA
Al
z
0
R U dA e RU R U dA z
Al
Al
RU dA
ez
ez
Al
R UdA,
Al
2
Gauss-Osztrogradszkij-tétel
n RU ds 0 , mert
g0 5
z
U
g0
0.
Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1962) orosz matematikus.
104
Mc
R U dA
Al
2U dA.
Al
Ugyanis: R ex ey xex yey 1+1=2 . y x
Mc 2
U dA .
A csavaró nyomaték is kiszámítható az U feszültségfüggvényből.
( A)
A Beltrami-Michell –féle kompatibilitási egyenletek kielégítése: xz
1 2 FI 0, 1 xz
yz
1 2 FI 0. 1 yz
2 FI 2 FI 0, 0, mert FI x y z 0 . xz yz
A csúsztató feszültségeket behelyettesítve: U xz U 0 y y U yz U 0 x x
U állandó.
A Hooke törvény és a kinematikai egyenletek felhasználásával: U 2G Poisson-féle differenciálegyenlet. ahol: G - a csúsztató rugalmassági modulus, - a fajlagos szögelfordulás.
u 0 x v y 0 y w z 0 z u v xy f y x
Az elmozdulásmező előállítása:
Ha
u y f z v x f z
xz
u u y, z ,
v v x, z ,
w w x, y .
x
f 0.
x, y u w df w y xz x, y xz , z x dz x G
xz d2 f 0 y 2 0 f z z , z dz
ahol állandó (fajlagos szögelfordulás).
105
yz
v w z y
f z z .
az előzővel megegyező gondolatmenetből
u y, z y z v x, z x z kielégítik az összes kinematikai feltételt. w x, y w x, y
Elmozdulásmező koordináták:
Az elmozdulásvektor: u x, y, z
z ez R
w x, y ez
a keresztmetszet
z z szöggel elfordul
a keresztmetszet pontjai tengely irányban is elmozdulnak
z z - a tetszőleges z helyen levő keresztmetszet szögelfordulása a z=0 keresztmetszethez képest. Az eredmények összefoglalása: Prizmatikus rudak szabad csavarási feladata visszavezethető egy U(x,y) feszültségfüggvény meghatározására. U(x,y) – a Prandtl-féle feszültségfüggvény nem tetszőleges. 1) Ki kell elégítenie: a U 2G Poisson-féle differenciálegyenletet és az U g 0 peremfeltételt. 0 2) Az igénybevétel és a feszültség származtatása a feszültségfüggvényből:
MC 2
U x, y dA,
z U ez .
( A) Tisztán geometriai tartalmú feszültségfüggvény bevezetése: U x, y G U0 x, y .
U0 x, y csak a keresztmetszet geometriájától függ.
Az U0 x, y -ra vonatkozó egyenletek: 1) U0 2 , U 0 g 0. 0 2) M c 2G
U x, y dA G I , 0
c
( A) ahol I c 2
U x, y dA a keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka. 0
( A) Az I c tisztán geometriai jellemző, csak a keresztmetszet geometriájától függ. Az csúsztató feszültség: z G U0 ez . 106
A fajlagos szögelfordulás:
Mc . G Ic
A szögelfordulás: z
Mc z. G Ic
A Prandtl-féle membrán analógia: Az analógia a feszültségfüggvény és a megfeszített és felfújt membrán alakja között áll fenn. Az analógia alapja: - a differenciál egyenlet azonossága. - a peremfeltétel y N 0 N/mm A membránt a keresztmetszet alakjának megfelelő furatra (lyukra) feszítjük rá. A keresztmetszet alakja tetszőleges.
x g0
p N/mm 2
N0
N0 - a membrán síkjába eső feszítőerősűrűség, p - a membrán síkjára merőleges nyomás.
N0 x
( x, y ) A membrán alakjának differenciálegyenlete: Peremfeltétel:
g0
p x, y N0
.
0 .
A differenciálegyenlet és a peremfeltétel is olyan, mint szabad csavarásnál. Feszültségfüggvény többszörösen összefüggő tartomány esetén:
U ( x, y )
Peremfeltételek a feszültségfüggvényre: U
U U
g0
g1 g2
0,
U1
U2
U1 = állandó,
x
U 2 = állandó.
Az ábrán látható, hogy a feszültségfüggvény a keresztmetszet g0 külső peremén zérus, a g1 és g 2 belső peremeken pedig állandó.
y g1 x
g2 g0 107
5.2.2. Közelítő megoldás Vékonyszelvényű rudak szabad csavarására közelítő megoldást állítunk elő. Vékonyszelvényűnek tekintünk egy rúdkeresztmetszetet akkor, ha a szelvény vastagsági méretei lényegesen kisebbek, mint a keresztmetszet jellemző méretei. a) Nyitott vékony szelvényű rudak - Vékonyfalú téglalap szelvény
v2
x2 . 4
y
Közelítő feszültségfüggvény: U G
U U 2G , x 2 y 2 2G 0 2G - teljesül. v Peremfeltételek: x U 0 teljesül, 2 b y U 0 nem teljesül. 2 A peremfeltétel a perem kis szakaszán nem teljesül – közelítés! Poisson egyenlet:
x
b
S Mc v
U U 2G x lineáris eloszlás . 0 , yz x y v 2 2 v bv 3 2 x dx G , Csavarónyomaték: M c 2 U dA 2G b 4 3 v ( A) Ic x 2 M c G Ic .
Feszültségek: xz
bv 3 . 3 M M yz c 2 x max c . Ic Ic
A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: I c Feszültségek a G
Mc helyettesítés után: xz 0 , Ic
- Összetett nyitott vékonyfalú szelvény (a vékony téglalap eredményeinek általánosítása) 3 b3 bi vi3 Ic , v3 3 sz i 1 M y sz c 2 , Ic Mc x b2 M c G Ic . S
v2
sz
s
v1 b1 108
- Görbe középvonalú nyitott vékonyfalú szelvény Ic
s
1 3
v 3 ds.
b
A többi összefüggés változatlan alakú.
v( s )
b) Zárt vékonyszelvényű szelvényű rudak
U ( x, y ) U1
x
sz
y s
Csúsztató feszültség:
O Mc
Ak
S
U1 M c v 2 Ak v
U U1 állandó . v A feszültségeloszlás a szelvény vastagsága mentén állandó.
sz
x
v
sz
Közelítő feszültségfüggvény: U U , 1 h . v Feltételezzük, hogy az U , a szelvény vastagsága mentén lineárisan változik.
A lineáris U függvény ”lépcsős” közelítése: M M c 2 U dA 2 Ak U 1 U1 c . 2 Ak ( A)
Bredt6- formula.
4 Ak2 . 1 ds v Ak - a zárt szelvény középvonala által körbezárt felület területe.
A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: I c
6
Rudolf Bredt (1842-1900) német gépészmérnök és matematikus.
109
5.2.3. Gyakorló feladatok szabad csavarásra 5.2.3.1. feladat: Háromszög keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása y Adott:
h
3 a 2
S
Mc
x
Az ábrán látható egyenlő oldalú háromszög keresztmetszet, melynek igénybevétele szabad csavarás. A keresztmetszet U U x, y feszültség függvényét a következő alakban keressük: y 2 U y h 3x 2 G . 2h
a Feladat: a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltételeket és a Poisson-egyenletet. b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása. c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése. d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása. Kidolgozás: a) Annak vizsgálata, hogy a megadott feszültségfüggvény teljesíti-e az előírt peremfeltételeket és a Poisson-egyenletet: A feszültségfüggvénytől megköveteljük, hogy legalább kétszer folytonosan differenciálható legyen, továbbá a keresztmetszet kontúrgörbéjén azonosan zérus legyen. A hatványfüggvények akárhányszor folytonosan differenciálhatóak. Peremfeltételek: - Az y 0 egyenletű oldalélen ( a háromszög alapja): y 2 y0 U y h 3x 2 G 0 2h - Az y 3x h egyenletű oldalélen ( a háromszög jobboldali oldala): y 3x h
U
2 3x h 3x h h 3x 2 G 0 2h
- Az y 3x h egyenletű oldalélen (a háromszög baloldali oldala): y 3x h
U
3x h 2 h
3x h h
2
3x 2 G 0
A Poisson-egyenlet: U 2G . A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása: 2U 3G U 6 xy 3G y, G xy , x 2h h x 2 h 110
G U G 3 y 2hy 2 h2 y 3x 2 y 3 y 2 4hy h2 3x2 , y y 2 h 2 h G 2U G 3 y 2 4hy h2 3x 2 3 y 2h . 2 y y 2 h h
A Poisson-egyenlet: U
U U 3G G 2 y 3 y 2h 2G . 2 x y h h
b) A feszültségeloszlás és a feszültségi állapot meghatározása: U G U 3G xz 3 y 2 4hy h 2 3x 2 , yz xy . y 2 h y h G 2 Feszültségeloszlás az x tengely mentén ( y 0 ): xz h 3x 2 , yz 0 . 2h G Feszültségeloszlás az y tengely mentén ( x 0 ): xz 3 y 2 4hy h 2 , yz 0 . 2h Feszültségeloszlás a baloldali oldalél mentén ( y 3x h ): 3G G x 3x h . xz 3x 3x h , yz h h A csúsztató feszültség vektor: G 3G z xz ex yz ey 3x 3x h ex x 3x h e y . h h
Az oldalél normálvektorával való skaláris szorzás útján igazolható, hogy a csúsztató feszültség párhuzamos az oldaléllel, vagyis az oldalélre merőleges összetevője nulla: G n z 3ex ey 3x h
3x h ex
3G x h
3x h e y 0
z 0 .
G 2 3x 3x h . h A negatív előjelre azért van szükség, mert a z iránya ellentétes a tengely irányával.
z z
xz 2 yz
Bevezetve a 2 x
h 3
2
új változót:
G h h G 2 2 3 h 3 2 . 3 h h 2 2 3 2 2 3 2h Ez ugyanaz a függvény, mint amit az x tengely menti feszültségeloszlásra kaptunk.
A csúsztató feszültség az oldaléleken párhuzamos a szóban forgó oldaléllel, amiből következik az, hogy a rúdnak, melynek keresztmetszetét eddig vizsgáltuk, mindhárom oldallapja terheletlen. Egy n normálisú felület ugyanis akkor terheletlen, ha n F n 0 .
111
0 0 xz nx Prizmatikus rudak csavarása esetén: F 0 0 yz , n n y . zx zy 0 0
A szorzást elvégezve a feszültségvektor első két koordinátájára nullát kapunk, a harmadik koordináta pedig: z zx nx zy ny . Figyelembe véve a feszültségtenzor szimmetriáját, ez a kifejezés éppen a normálvektor és a csúsztató feszültség vektor skaláris szorzata, ami akkor nulla, ha a csúsztató feszültség párhuzamos a keresztmetszet kontúrvonalával.
y
y
z
Mc
S x
xz
x
xz c) Az egyensúlyi egyenlet teljesülésének ellenőrzése: Egyensúlyi egyenlet: F q 0 , ahol: xz 0, z yz 0 0 0, z zx zy 0 0. x y 0
Skalár egyenletek:
0 0 xz F 0 0 yz , q 0 . xyz zx zy 0
0
Mivel z-től nem függ a feszültségtenzor egyik koordinátája sem, a z szerinti parciális deriváltak nullával egyenlők. Így az első két egyenlet: azonosság. A feszültségfüggvény definíciója szerint: xz
U U , yz . y y
zx zy 2U 2U 0 , ami mindig teljesül, x y yx xy ha a feszültségfüggvény legalább kétszer folytonosan differenciálható
Behelyettesítve a harmadik egyenletbe:
d) A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatékának kiszámítása: 112
a 2 3x h
M c 2 U dA 4 A
x 0
y 0
y 2 y h 3x 2 G dydx 2h
Felhasználjuk a feszültségfüggvény szimmetriáját az y tengelyre: U x U x . Így az integrált csak a keresztmetszet jobb felére számítjuk ki és megszorozzuk kettővel: a 2 3x h
Mc 4
x 0
y 2 y h 3x 2 G dydx. 2h
y 0
Először az y szerinti integrálást végezzük el, mert ennek a határozott integrálnak az integrálási tartománya függ az x-től. 3x h
3x h
4 3 2 2 y h 2 3x 2 dy y 2h y h 2 y 3 y x 2 y 3 2 2 y 0 4 y 0 3 1 x 4 3hx3 h2 x 2 h4 . 4 12 a Ezt a kifejezést még integrálni kell x szerint 0-tól -ig és megszorozni az integranduszból 2 2G kiemelt -val: h a
2G 2 3 4 1 4 7 3 2 2 Mc a4 x 3hx h x h dx G h 0 4 12 160 3
Figyelembe véve az M c I c G összefüggést, a csavarási másodrendű nyomaték: Ic
7 160 3
a4 .
Megjegyzések: a) Feszültségfüggvénnyel megoldott csavarási feladatnál az egyensúlyi egyenlet azonnal teljesül, hiszen az csak a vegyes parciális deriváltak egyenlőségét követeli meg, ami legalább kétszer folytonosan differenciálható függvényeknél mindig teljesül. b) Felmerül a kérdés, hogy a kapott csavarási másodrendű nyomaték mekkora átmérőjű kör keresztmetszetű rúd nyomatékával egyezik meg. Ic
7 160 3
a4
32
D4
Da
4
7 1,094 a 5 3
A belül írható kör átmérője: DB a 3 0,5774 a . 3
A körülírható kör átmérője: DK 2a 3 1,1548 a . 3
A kapott eredmény a körülírható kör átmérőjéhez van közelebb.
113
5.2.3.2. feladat: Ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása
y B
b
a
Mc
A
x
Adott: Az ábrán látható ellipszis keresztmetszet igénybevétele szabad csavarás. A keresztmetszet Prandtl-féle feszültség függvényét x2 y 2 a következő alakban keressük: U C 1 2 2 . b a
Feladat: a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása. b) Az I c csavarási másodrendű nyomaték meghatározása. c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása. Kidolgozás: a) A feszültségfüggvényben szereplő C együttható meghatározása: A feszültségfüggvénnyel szemben három követelményt támasztunk: legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható, a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány esetén a belső kontúrokon legyen konstans), teljesüljön rá a U 2G Poisson-egyenlet. Az első két követelmény teljesül, mert a feszültségfüggvény akárhányszor folytonosan differenciálható és a kontúron (az ellipszis pontjain) a feszültségfüggvény értéke nulla. A U 2G Poisson-egyenlet pedig alkalmas arra, hogy a C együtthatót meghatározzuk: A másodrendű parciális deriváltak kiszámítása: U 2 x C 2 , x a
2U 2 C 2 , x 2 a
U 2 y C 2 , y b
2U 2 C 2 . 2 y b
Poisson-egyenlet: U
U U a 2 b2 2 2C 2 2 2G 2 x y ab
C
a 2b 2 G . a 2 b2
b) Az I c csavarási másodrendű nyomaték meghatározása: x2 y 2 M c 2 U dA 2 C 1 2 2 dA . a b A A
Az integrál kiszámításához változó-transzformációra van szükség: y x sin U C 1 2 cos2 2 sin 2 C 1 2 cos ; b a A transzformáció Jacobi-determinánsa:
114
x x, y , y
x a cos y b sin
a sin a b cos 2 a b sin 2 a b . b cos
Az integrál kiszámítása: 2
1
2 4 M c 2 U dA 2 C 1 ab d d 2 abC 2 ab C , 4 0 2 0 0 A 1
2
a 3b 3 Mc 2 G . 2 a b
a 3b 3 A csavarási másodrendű nyomaték I c 2 . 2 a b
c) A feszültség állapot és az elmozdulás állapot meghatározása: 2 a2 U 2C 2 y 2 G y 2 y b a b A feszültségek eloszlása lineáris. 2 2b U 2 C yz 2 x 2 G x 2 x a a b
xz
A keresztmetszet veszélyes pontjának meghatározása: Mivel normálfeszültség nincs, ezért a veszélyes pontot a csúsztató feszültség abszolút ér2 2G 4 2 tékének maximumhelye adja: z xz2 yz2 2 b x a4 y 2 . 2 a b Ez a kifejezés az x 0 , illetve az y 0 pontokban vesz fel lokális szélsőértéket (ekkor válik nullává a csúsztató feszültség abszolút értékének parciális deriváltja). 2
Az A pontban: xz 0 ; yz A B pontban: yz 0 ; xz
2 b2 U 2 C 2abG 2 x 2 G x b 2 . 2 x a a b2 a b
2 a2 U 2C 2abG 2 y 2 G y a 2 . 2 y b a b2 a b
Mivel a b , ezért a B pontban fellépő csúsztatófeszültség abszolút értéke nagyobb az A pontban fellépőnél. A keresztmetszet veszélyes pontja: B pont. A csúsztatófeszültség iránytangense:
szishez) húzott érintő meredeksége:
yz b2 x 2 . A keresztmetszet kontúrjához (az ellip xz a y dy dx
b2 2 b2 x 2 2x 2 1 b2 x a a 2 . dx 2 2 b2 2 a y b 2x a
d b2
115
A csúsztatófeszültség a keresztmetszet kontúrján érintőirányú. Ez azt jelenti (bizonyítás az előző feladatban), hogy a rúd, melynek keresztmetszetét vizsgáljuk, terheletlen palásttal rendelkezik. 0 0 0 xz 0 a 2 y 2G A feszültségi tenzor: F 0 0 yz 2 0 0 b2 x . a b2 2 a y b 2 x zx zy 0 0 A Hooke-törvény segítségével meghatározhatjuk az alakváltozási tenzort: 0 0 a 2 y A 2 0 0 b2 x . 2 a b a 2 y b 2 x 0 Az alakváltozási tenzorból meghatározható az elmozdulásmező: A főátlóban lévő zérusok miatt: u 0 u u y, z , x
w 0 w w x, y . z
v 0 v v x, z , y
Feltételezve azt, hogy a csavarás során a keresztmetszetek elfordulnak egymáshoz képest, de a keresztmetszetek alakja (első rendben) nem változik és a súlypontjaik továbbra is a súlyponti egyenesre esnek: u ( x, y, z ) z ez R w x, y ez , ahol R xex y ey .
u ( x, y, z ) z y ex z x ey w x, y ez . v
u
xz
A geometriai egyenletek:
u w 2 a 2 y , z x a 2 b 2
yz
v w 2 b 2 x . z y a 2 b 2
u v y és x , így z z
Mivel
w 2 a 2 y 2 x a b2
2 a2 b2 a 2 w y x 1 2 K y y x K y , 2 a 2 b2 a b ahol K y az y-nak tetszőleges függvénye. y
Hasonlóképpen: w 2 b 2 x y a 2 b 2
2 b2 b2 a 2 w y x 1 2 L x y x L x , 2 a 2 b2 a b ahol L x az x-nek tetszőleges függvénye.
x
Az eredményeket összevetve:
L x K y állandó.
Ez az állandó a keresztmetszet pontjainak egyszerű z irányú eltolása, amivel nem foglalkozunk. Így az elmozdulásmező:
u ( x, y, z ) z y ex z x ey y x u
v
b2 a 2 ez . a 2 b2 w
116
5.2.3.3. feladat: Téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd szabad csavarása Adott: Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű prizmatukus rúd, melynek igénybevétele szabad csavarás.
y
b
x
S Mc a
Feladat: a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása. b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése. c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak meghatározása. d) A feszültségeloszlások szemléltetése.
Kidolgozás: a) A Prandtl-féle feszültségfüggvény közelítő és egzakt előállítása: A feszültségfüggvénnyel szemben négy követelményt támasztunk: legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai zx zy egyenlők, vagyis teljesítik a 0 egyensúlyi egyenletet, x y a keresztmetszet kontúrjain értéke legyen zérus (többszörösen összefüggő tartomány esetén a kontúrokon legyen konstans), így a kontúr terheletlen, a belőle származtatott feszültség nyomatékának felületi integrálja egyezzen meg a csavaró nyomatékkal, teljesítse a U 2G Poisson-egyenletet (ez a kompatibilitás feltétele). A közelítő megoldás előállítása: A négy oldalél egyenletét nullára redukálva és összeszorozva kapjuk a közelítő feszültség a 2 b2 U x, y C x 2 y 2 . függvényt: 4 4 Ez a kifejezés akárhányszor folytonosan differenciálható, így a vegyes parciális deriváltjai egyenlők, vagyis teljesíti az egyensúlyi egyenletet. A függvény zérus értéket vesz fel a keresztmetszetet határoló téglalap minden egyes pontján, így a csúsztató feszültség a kontúrral párhuzamos lesz. A C együttható meghatározása:
xz
U a2 C 2 y x2 , y 4
yz
U b2 C 2 x y 2 , x 4
U U M c xz y yz x dA C y y x A A b2
M c 2C
b 2
Átrendezve: C
x dA ,
2 2 a 2 2 2 b2 C 3 3 y x x y dxdy a b . 4 4 18 a 2 a2
18 Mc . a 3b 3
117
U x, y
A feszültségfüggvény:
2 a 2 2 b2 18 M y . cx a 3b3 4 4
Ez a feszültségfüggvény azonban nem teljesíti a Poisson-egyenletet: U b2 C 2x y2 x 4
2 b2 2U 2 C y , x 2 4
U a2 C 2 y x2 y 4
2 a2 2U 2 C x , y 2 4
U
2 2U 2U a 2 b2 2 2 C y x áll. x 2 y 2 4 4
Az így kiszámított feszültségállapot és elmozdulás állapot nem az egzakt megoldás. Az egzakt megoldás előállítása: A U 2G Poisson-egyenletet homogenizálva a U 0 Laplace-egyenlethez jutunk, melynek
megoldásai
például
az
U1 sinh x sin y ,
U 2 sinh x cos y ,
U 3 cosh x sin y és U 4 cosh y cos x függvények.
Tekintsük az f x, y cosh c1 y cos c2 x függvényt. Ez
teljesíti
f x, y
a
Laplace-egyenletet,
ha
c1 c2 ,
ugyanis
cosh c1 y cos c2 x 2 cosh c1 y cos c2 x c12 c22 f x, y . x 2 y 2
2
Az f x, y 0 feltétel az x
a egyenletű oldalakon akkor teljesül, ha c2 k , ahol k 2 a
páratlan szám. k k Ck cosh y cos x függvény tehát a Laplace-egyenlet megoldá a a k 1, 3 , 5... sa és a téglalap függőleges oldalai mentén teljesíti a peremfeltételt is. (Ez nem a Laplaceegyenlet általános megoldása, de bizonyítható, hogy arra nincs is szükség!) A Poisson-egyenlet egy parciális megoldását már ismerjük a feladat közelítő megoldásá a2 ból: g x, y G x 2 . 4
A g x, y
Az egzakt megoldás esetén a Prandtl-féle feszültség függvényt az alábbi alakban keressük: a2 k k U x, y G x 2 Ck cosh y cos x . a a 4 k 1, 3, 5...
Ha a Ck együtthatókat úgy választjuk, hogy a feszültségfüggvény a téglalap vízszintes oldalai mentén is eltűnjön, akkor mind a négy követelményt sikerül kielégíteni, vagyis az egzakt megoldáshoz jutunk. A Ck együtthatók meghatározása: 118
y
a2 b k b k esetén U x, y G x 2 Ck cosh cos 4 2a 2 a k 1, 3, 5...
x 0 .
Dk
a k G x 2 Dk cos 4 k 1, 3, 5... a 2
x.
A Dk együtthatók meghatározása: a 2
G x
a 2
2
a 2
a k k x dx Dk cos 2 x dx . cos 4 a a a 2
2
k 1 2
8a 2 G 3k 3 Az Prandtl-féle feszültségfüggvény az egzakt megoldás esetén:
A határozott integrálásokat elvégezve: Dk 1
k 1 a2 8a 2 G k U x, y G x 2 1 2 3 3 cosh k cosh kb 2a a 4 k 1, 3, 5...
k y cos a
x .
Az együtthatók nevezőjében szereplő k 3 miatt a sor gyorsan konvergál. a2 A nulladik közelítés a peremfeltételt nem teljesítő U 0 x, y G x 2 közelítő meg 4 oldás. a2 8a 2 G cosh y cos x . Az első közelítés: U 1 x, y G x 2 3 a a 4 cosh b 2a
b) Az előállított feszültségfüggvények szemléltetése: Az ábrákon G 1 , a 2 , b 6 , C 1 . a 2 b2 U x, y C x 2 y 2 . 4 4
Nem elégíti ki a Poisson-egyenletet. A peremfeltétel mind négy peremen teljesül. a2 U 0 x, y G x 2 . 4
A Poisson-egyenletet kielégíti. Az y tengellyel párhuzamos peremeken a peremfeltétel teljesül. Nem teljesíti a peremfeltételt az x tengelylyel párhuzamos peremeken.
119
a2 U 1 x, y G x 2 4 2 8a G 3 cosh cosh b 2a a
y cos a
x .
A Poisson-egyenletet kielégíti. Az y tengellyel párhuzamos peremeken a peremfeltétel teljesül. Közelítőleg teljesíti a peremfeltételt az x tengellyel párhuzamos peremeken („hullámos” a peremen). c) A keresztmetszet feszültségeloszlásának és veszélyes pontjainak meghatározása: Közelítő megoldás: y
y
x
xz
xz yz
x
y
yz
a 2 b2 A feszültségfüggvény: U x, y C x 2 y 2 , 4 4
U 36 a2 3 3 M c y x2 . y a b 4 Ez zérus az x tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az y ten9 gely mentén: xz x 0 3 M c y . ab Az y tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az eloszlás, de az y tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális feszültség, míg - parabolikus csökkenést követve – a téglalapot határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.
xz
U 36 b2 3 3 M c x y2 . x ab 4 Ez zérus az y tengelyen és lineáris feszültségeloszlás az x ten9 gely mentén: yz y 0 3 M c x ab Az x tengellyel párhuzamos egyenesek mentén is lineáris az eloszlás, de az x tengelytől távolodva egyre kisebb a maximális feszültség, míg – parabolikus csökkenést követve – a téglalapot határoló oldalak mentén teljesen eltűnik.
yz
x
A veszélyes pontok a a 2; 0 pontok (az x tengely és a téglalap kontúrjának metszetei), ahol a feszültség: yz max
9 Mc . 2a 2 b
Az egzakt megoldás: k 1 a2 8a 2 G k U x, y G x 2 1 2 3 3 cosh k cosh kb 2a a 4 k 1, 3, 5...
xz
k y cos a
k 1 U 8a G k k 1 2 2 2 sinh y cos y k 1,3,5... k cosh kb 2a a a
x ,
x ,
120
yz
k 1 U 8a G k k 2G x 1 2 2 2 cosh y sin x k cosh kb 2a a a k 1,3,5...
x .
A nulladik közelítés visszaadja a peremfeltételt nem teljesítő megoldást. Az első közelítés: 1xz
G sinh cosh b 2a a 8a
1yz
2
y cos a
x .
U 8a G 2G x 2 cosh x cosh b 2a a
y sin a
x .
A csavaró nyomaték kiszámítása: M c r dA x yz dA y xz dA A
x
a2 yz
dA
b2
a 2 b 2
A
G
y
2G x 2
a2 xz
dA
2
y sin a
x dydx
G y sinh y cos x dydx cosh b 2a a a b 2
G
G x cosh cosh b 2a a 8a
A
a 3b 16a 3 G 5 2a sinh b 2a , 6 cosh b 2a b2
a 2
A
A
8a 2
16a 3 b b 2a sinh b cosh . 5 cosh b 2a 2a 2a
a 3b 16a 3b M c G . 4 6 M c G Ic
1xz M c
1yz
Mc 1 16 I c a 3b 4 0, 331 a 3b ; . 16 3 1 6 Ga b 4 6
8 sinh y cos x ; 1 16 a a 2 a 2b 4 cosh b 2a 6
U x
Mc 8a cosh 2 x 2 1 16 cosh b 2a a a3b 4 6
y sin a
x
A veszélyes pontok a keresztmetszet négy csúcsa, ahol
1yz max
Mc M 8 1 2 5, 47 2 c . ab 1 16 a 2b 4 6
d) A feszültségeloszlások szemléltetése: 121
Az ábrákon M c 4 , a 2 , b 6 . Közelítő megoldás:
xz
U 36 a2 3 3 M c y x2 y a b 4
yz
U 36 b2 3 3 M c x y2 . x ab 4
Nem teljesíti a Poisson-egyenletet. Az egzakt megoldás nulladik közelítése: 12M xz0 0 , 0yz 3 c x . ab Nem teljesíti a peremfeltételt. Az egzakt megoldás első közelítése: A Poisson-egyenletet teljesíti, a peremfeltételt közelíti. 8 1xz M c sinh 1 16 a 2 a 2b 4 cosh b 2a 6
y cos a
x .
1xz x, y
1yz
1yz x, y
U x
Mc 8a cosh 2 x 2 1 16 cosh b 2a a a3b 4 6
y sin a
x
122
5.2.3.4. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása
b
Adott: Az ábrán vázolt U50 szelvényű (MSz 326) prizmatikus rúd geometriája és anyaga. A rúd igénybevétele szabad csavarás. h 50 mm , b 38 mm , v1 5 mm , v2 7 mm , meg 150 MPa .
v1
h
S
Mc
b 2 v2
Feladat: a) A szelvény I c csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása. b) A maximális M c csavaró nyomaték meghatározása.
Kidolgozás:
b v1 2
v1
h v2
S
Mc
A valóságos szelvényt állandó falvastagságú nyitott szelvénynyel modellezzük. A feladatot erre a modellre oldjuk meg.
v2
a) A szelvény I c csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása: Ic Ic
v 1 1 h v2 v13 2 b 1 v23 . 3 3 2 1 1 5 50 7 53 2 38 73 9909,3 mm4 . 3 3 2
b) A maximális M c csavaró nyomaték meghatározása:
sz
Mc 2 Ic
sz max
Mc vmax . Ic
A veszélyes pontok az U szelvény két szárának belső- és külső felületén vannak, mert v2 v1 .
red max Mohr 2 sz max M c max meg
M c max Ic
v2 meg .
Ic 9909,3 150 212 342 Nmm = 212,342 Nm . v2 7
5.2.3.5. feladat: Nyitott vékony szelvényű prizmatikus rúd szabad csavarása Adott: Az ábrán vázolt nyitott szelvényű prizmatikus rúd geometriája és anyaga. A rúd igénybevétele szabad csavarás. 123
a1 200 mm , a2 150 mm , a3 100 mm , v1 10 mm , v2 10 mm , v3 5 mm .
a2
Feladat: a) A szelvény I c csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása.
v2
S
a2
v3
c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatározása, ha M c 120 Nm és G 8 104 MPa .
Mc
a1
b) A max maximális csúsztató feszültség meghatározása, ha M c 120 Nm .
v1
Kidolgozás a) A szelvény I c csavarási másodrendű nyomatékának meghatározása: 1 3 1 3 1 3 200 103 150 103 100 53 a1v1 a2v2 a3v3 1,208 105 mm4 . 3 3 3 3 3 3 b) A max maximális csúsztató feszültség meghatározása, ha M c 120 Nm : Ic
sz max
Mc 120 vmax 102 9,93 MPa . 5 12 Ic 1,208 10 10
c) A rúd fajlagos szögelfordulásának meghatározása, ha M c 120 Nm és G 8 104 MPa: M 120 c 1,24 102 rad/m . 10 G I c 8 10 1,208 105 1012 5.2.3.6. feladat: Felvágott vékonyfalú cső csavarása Adott: Az ábrán látható felvágott vékonyfalú cső geometriája és terhelése: M c 8 Nm , D 40 mm , d 36 mm , l 1 m .
y
Mc
x
S
Feladat: a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú anyag felel meg n 1,5 -es biztonsággal. b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározá-
d D
sa, ha G 80 109 Pa .
Kidolgozás: 124
a) Annak meghatározása, hogy milyen folyáshatárú anyag felel meg n 1,5 -es biztonsággal: D d 40 36 D d 40 36 38 mm , v 2 mm . 2 2 2 2 A csavarási másodrendű nyomaték kiszámításához a középkör kerületét használhatjuk, mert a felvágás csak jelentéktelen mértékben csökkenti a szelvény ívhosszát: dk
1 1 I c v3 d k 23 38 3,1416 318,3 mm4 . 3 3 A keresztmetszet veszélyes pontjai: a külső- és belső kör valamennyi pontja.
sz max
Mc 8 v 2 103 50,3 MPa . Ic 318,3 1012
2 max 100,6 MPa (Mohr ) , 3 max 87,1 MPa (HMH )
red max
(Mohr ) 1,5 100,6 150,9 MPa n Rm red max . n red max (HMH ) 1,5 87,1 130,7 MPa
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha G 80 109 Pa : Mc 8 rad , 0,314 12 9 I c G 318,3 10 80 10 m M c l l 0,314 1 0,314 rad =18 . IcG
5.2.3.7. feladat: Téglalap keresztmetszetű zárt szelvény csavarása Adott: Az ábrán látható téglalap keresztmetszetű zárt szelvény geometriai méretei és terhelése: M c 200 Nm , a 100 mm , b 200 mm , v1 10 mm , v2 5 mm .
y
v2 b
v1
Mc
x
S P2 P1
Feladat: a) A P1 és P2 metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszámítása. b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha l 2 m , G 8 1010 Pa .
a Kidolgozás: a) A P1 és P2 metszetben ébredő csúsztató feszültségek kiszámítása: Ak (a v2 )(b v1 ) 95 190 18050 mm2 ,
125
sz P1
Mc 2 105 0,55 MPa , 2 Ak v1 2 18050 10
sz P2
Mc 2 105 1,1 MPa . 2 Ak v2 2 18050 5
b) A rúdvégek közötti szögelfordulás meghatározása, ha l 2 m , G 8 1010 Pa : 1
vds 2
a v2 2 b v1 2 95 2 190 95 , v1
v2
10
5
4A 4 18,052 106 13,72 106 m 4 . 1 95 vds M l 200 2 c 3,6 104 rad = 0,021 . I c G 13,72 106 8 1010 Ic
2 k
5.2.3.8. feladat: Vékonyfalú cső csavarása Adott: A D külső- és d belső átmérőjű, l hosszúságú acélcső, melynek igénybevétele csavarás. D 40 mm , d 30 mm , l 1000 mm , M c 100 Nm , G 80 GPa .
y
Mc
x S
d D
Feladat: a) A sz nyírófeszültségnek, az I c csavarási másodrendű nyomatéknak és a csővégek szögelfordulásának meghatározása a Bredt-formula felhasználásával (közelítő megoldás). b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldással.
Kidolgozás: a) A sz nyírófeszültségnek, az I c csavarási másodrendű nyomatéknak és a csővégek szögelfordulásának meghatározása a Bredt-képlet felhasználásával: d 2 Dd Dd 35 mm , v 5 mm , Ak k 9,62 104 m2 . 2 2 4 d 0,035 3,141 Mc 1 ds k 21,99 , sz 10, 4 MPa . v v 0,005 2 Ak v
dk
4 Ak2 4 9,622 108 16,83 108 m 4 , 1 21,99 vds M l 100 1 c 7,42 103 rad . I c G 16,83 108 80 109 Ic
sz
s
126
b) Az eredmény összehasonlítása az egzakt megoldással. Körgyűrű keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: M D4 d 4 z c , Ip 1,72 107 m4 , Ip 32
z max
sz
M c D 100 0,02 11,63 MPa , I p 2 1,72 107
s
Mc l 100 1 7, 28 103 rad . 7 9 I p G 1,72 10 80 10
A másodrendű nyomatékban fellépő relatív hiba kiszámítása: 2
D d 2 4 3 D d D d , 4 Ak2 2 4 Ic 1 Dd Dd 64 vds 2 2
D d D d D 4 d 4 3
Ic I p Ip
64
D4 d 4 32
32
Bevezetve a cső relatív falvastagságát jellemző k Ic I p Ip
D d
2
2 D2 d 2
1 .
d viszonyszámot, D
1 2k k 2 2k 1 k 2 . 1 2 2k 2 2 2k 2
Ezt a hányadost ábrázolva:
Ha a cső nem vékonyfalú, a közelítő Bredt-formula pontatlan: ha a belső átmérő csak a fele a külső átmérőnek ( k 0,5 ), akkor a megoldás relatív hibája: 10%. A diagram kinagyítva: 127
Körülbelül 1 %-ra csökken a relatív hiba, ha a belső átmérő a külső átmérőnek 82%-a. A Bredt-képlet tehát jó közelítés a műszaki gyakorlatban előforduló vékonyfalú csövek esetén.
128
