Himpunan Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT.
Himpunan z z z z z z
Definisi himpunan Penyajian himpunan Definisi-definisi Operasi himpunan Prinsip inklusi dan eksklusi Himpunan ganda
1
Definisi z
Himpunan (set) adalah –
z
Kumpulan objek-objek yang berbeda
Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen atau anggota atau unsur himpunan.
Penyajian himpunan z z z z
Enumerasi Simbol baku Notasi pembentuk himpunan Diagram Venn
2
Penyajian himpunan z
Enumerasi –
–
Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Contoh: z z z z
A = {a,b,c,d,e} B = {2,4,6,8} C = {1,4,9,16} D = {1,2,3,…,100}
Penyajian himpunan z
Simbol baku – – – – – –
P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, … } N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2, … } Z = himpunan bilangan bulat = {… ,-2,-1,0,1,2, …} Q = himpunan bilangan rasional. R = himpunan bilangan riil. C = himpunan bilangan kompleks.
3
Penyajian himpunan z
Notasi pembentuk himpunan –
Notasi: {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
–
Contoh: z z z
A = {x | x adalah lima huruf kecil pertama} B = {x | x adalah empat bilangan genap positif pertama} C = {x | x = y2, 1 ≤ y ≤ 4 }
Penyajian himpunan z
Diagram Venn –
–
Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis, yang diperkenalkan oleh matematikawan Inggris John Venn pada tahun 1881. Contoh: Misalkan U = {1,2, … 10}, A = {1,2,6,8} dan B = {2,4,6,8}. A
3 1 5 7
U
B 2
9
6 8
4 10
4
Definisi-definisi z z z z z z z z
Himpunan kosong Himpunan bagian (set) Keanggotaan vs himpunan bagian Kesamaan himpunan Kardinalitas Himpunan ekivalen Himpunan saling lepas Himpunan kuasa
Himpunan Kosong z
z z
Definisi: Himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota disebut himpunan kosong (null set). Notasi : { } atau ∅. Contoh: – –
D = {x | x < x} F = {s | s komputer tanpa prosesor}
5
Himpunan bagian (set) z
z
Definisi : Untuk semua himpunan A dan B, kita mengatakan bahwa A himpunan bagian B, jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B. Notasi : A ⊆ B atau B ⊇ A (B terdiri dari A) A subset B atau B superset A.
Himpunan bagian (set) z
Contoh 1.6: – – – – –
{1,2,3,1,1} ⊆ {4,3,2,1} {1,2} ⊆ {1,2,3} {1,2,3} ⊄ {1,2} {1,2,1,3,2,2,1} ⊆ {1,2,3} {1,2,3} ⊆ {1,3,1,2,2,1}
6
Himpunan bagian (set) z
Perhatikan pernyataan berikut: – –
–
Untuk setiap himpunan A, A adalah himpunan bagian dari A, (A ⊆ A). Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan, namun, himpunan kosong belum tentu menjadi unsur suatu himpunan. Himpunan {∅} bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan {{∅}}.
Keanggotaan vs himpunan bagian z z z z z z z
{1,2,3} ⊆ {1,2,3,4,5} {1,3} ⊆ {3,2,1,0} {1} ⊆ {1,3,6} 1 ⊄ {1,2} 1 ∈ {1,2} {1} ∉ {1,2} {1} ⊆ {1,2}
7
Kesamaan himpunan Notasi : A = B, jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A Contoh 1.7:
z z
{1,2,3} = {3,1,2} = {2,3,1} = {1,2,1,3,2,1} {{1,2,1},1,2} = {1,2,{1,2}} {1,1,1,1,1} = {1,1} = {1} {1,2,1,3,1,4} = {1,3,4,2} ≠ {1,2,3}
– – – –
Sifat-sifat kesamaan himpunan:
z – – –
A=A jika A = B maka B = A jika A = B dan B = C, maka A = C.
Kardinalitas z
z z
Kardinal himpunan A, adalah angka/bilangan yang menyatakan jumlah elemen-elemen berbeda dalam himpunan A tersebut. Notasi : n(A) atau |A| Contoh 1.8: – – –
A = {a,b,c} B = {1,{1,2},2,3,{5}} C = {1,1,2,1,2}
|A|=3 |B|=5 |C|=2
8
Himpunan ekivalen z
z z
Definisi: himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B, jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A ~ B ↔ |A| = |B| Contoh 1.9: Jika A = {1,2,3,5,7,11} dan B = {2,4,6,8,10,12}, maka A ~ B.
Himpunan saling lepas z
z z
Definisi: himpunan A saling lepas dengan himpunan B, jika keduanya tidak mempunyai elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A
3
1 5
7
B
2
9
6 8
4 10
9
Himpunan kuasa Definisi: Himpunan kuasa bagi himpunan A, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua himpunan bagian dari himpunan A. Notasi: P(A) atau ℘(A) atau 2A Misal, ℘({1,2,3})={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Bila A mengandung n unsur, maka ℘(A) mengandung 2n unsur. Sifat-sifat himpunan kuasa:
z
z z z z – –
℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B) ℘(A) ∪ ℘(B) ⊆ ℘(A ∪ B)
Operasi Himpunan z z z z z z z z
Irisan (intersection) Gabungan (union) Komplemen Beda relatif (selisih) Beda setangkup Pasangan terurut (ordered pairs) Perkalian kartesian (cartesian product) Perampatan operasi himpunan
10
Irisan (intersection) z
z z
Definisi: Irisan dua himpunan A dan B, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur-unsur didalam A dan B. Notasi: A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} Diagram Venn: U A
B
Gabungan (union) z
z z
Definisi: Gabungan dua himpunan A dan B, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur-unsur didalam A atau B (atau keduanya). Notasi: A ∪ B ={x | x ∈ A atau x ∈ B } Diagram Venn: U A B
11
Komplemen z
z z
Definisi: Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta U adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. Notasi: Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A} Diagram Venn: U A
Beda relatif (selisih) z
z
Definisi: Selisih dari dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen A yang bukan elemen B. Notasi : z
z
A – B atau A \ B = {x | x ∈ A dan x ∉ B }
Diagram Venn:
U A
B
12
Beda relatif (selisih) z z z z z z z z
Contoh 1.14: Misal Jika B {1,2} {3,4} {1,2,3,4} {3,4,5,6,7,8} ∅ {7,8}
A = {1,2,3} maka A-B {3} {1,2} {},∅ {1,2} A {1,2,3}
Beda setangkup z
Definisi: Beda setangkup antara himunan A dan B adalah himpunan yang mengandung tepat semua unsur yang ada di dalam A atau dalam B, namun tidak di dalam keduanya.
z
Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A - B) ∪ (B - A) Diagram Venn: U
z
A
B
13
Beda setangkup z z z
Contoh 1.15:
{1,2,3} ⊕ {3,4,5} = {1,2,4,5} {1,2,3} ⊕ { } = {1,2,3} {1,2,3} ⊕ {1,2,3} = { }
Pasangan terurut (ordered pairs) z z
z
Definisi: Pasangan terurut (a,b) adalah himpunan {{a},{a,b}} Pasangan terurut (a,b) bukan himpunan {a,b}, karena {a,b}={b,a}, namun (a,b) ≠ (b,a), kecuali a=b. (a,b) = (x,y) jika dan hanya jika a=x dan b=y.
14
Perkalian Cartesian z
z z
Definisi: Perkalian kartesian himpunan A dan himpunan B sebagai himpunan dari semua pasangan terurut (a,b) dimana a dalam A dan b dalam B. Notasi : A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B} Contoh 1.16: – – –
Bila A = {1,2} dan B = {2,3,4}, maka A x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)} A x B ≠ B x A, kecuali A = B, atau A = {} atau B = {}
Perampatan operasi himpunan z
Misalkan A1, A2, A3,… , An, merupakan himpunan, maka: n
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...... ∩ An =
∩A
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...... ∪ An =
∪A
A1 × A2 × A3 × ...... × An =
i =1 n i =1
i
i
n
×A i =1
A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ...... ⊕ An =
i
n
⊕A i =1
i
15
Prinsip inklusi dan eksklusi z
Sifat-sifat kardinalitas:
–
|P ∪ Q| ≤ |P| + |Q| |P ∩ Q| ≤ min(|P|,|Q|) |P ⊕ Q| = |P| + |Q| - 2|P ∩ Q| |P - Q| ≥ |P| - |Q|
–
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
–
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C||B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
– – –
Prinsip inklusi dan eksklusi z
Secara umum untuk himpunan A1, A2, … , Ar, dengan prinsip inklusi dan eksklusi diperoleh: | A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ar |=
∑| A | − ∑| A i
1≤i ≤ r
+
∑| A
i
i
∩ Aj |
1≤ i < j ≤ r
∩ A j ∩ Ak | + ... + (−1) r −1 | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ar |
1≤i < j < k ≤ r
z
Contoh
16
Himpunan ganda z z z
z
Himpunan ganda adalah: suatu kumpulan bendabenda yang tidak harus berbeda. Contoh: {a,a,a,b,b,c}, {a,a,a,a}, {a,b,c} Multiplisitas suatu unsur didalam sebuah himpunan ganda didefinisikan sebagai berapa kali unsur bersangkutan muncul di dalam multihimpunan tersebut. Misal, multiplisitas unsur a di dalam himpunan ganda {a,a,a,c,d,d} adalah 3, multiplisitas unsur b = 0, dan multiplisitas unsur c = 1.
Himpunan ganda z z
Misal, A = {a,a,a,c,d,d} dan B = {a,a,b,c,c} maka: – – – –
z
A ∪ B = {a,a,a,b,c,c,d,d} A ∩ B = {a,a,c} A – B = {a,d,d} A + B = {a,a,a,a,a,b,c,c,c,d,d}
Contoh:
17
Terima Kasih
18
