Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az ötelemű részhalmazokat! 2. Legyen

Gyakorló feladatok 9.évf. 1. Mennyi az összes részhalmaza az A  a; b; c; d ; e; f  halmaznak, írd fel az ötelemű részhalmazokat! 2. Legyen U  1;2;3;4;5;6;7;8;9, A  4;5;6;7; és B  1;2;8 . Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: A ; A  B ; A  B ; A \ B ; B  U ; A \ U ; A  B. 3. Ábrázold számegyenesen a valós számok azon részhalmazát, amely megfelel az alábbi feltételnek: a/ x nem kisebb 1-nél b/ x nem nagyobb -1-nél c/ x legalább -3 és legfeljebb 5. 4. Ábrázold számegyenesen:  2;4   1;2   2;1   1;4   4;2\ 0;5 = 5. Egy osztályban angol, francia és német nyelvet tanulnak. 13 gyerek angolul tanul, 19 franciául, 17 németül, 7 angol és francia, 10 francia és német, 9 angol és német nyelvet tanul. 3 gyerek mindhárom nyelvet tanulja. Hány gyerek jár az osztályba? 6. Add meg az A és B halmazt, amelyekre teljesül, hogy A  B  a; b; c; d ; e; f , A  B  a; b; c és A \ B  d; f ! 7. Határozd meg 210 összes osztóinak számat és sorold fel azokat! 8. Határozd meg 360 és 450 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! 9. Írj a következő hatjegyű számban x és y helyére olyan számjegyet, hogy a szám osztható legyen 45tel: 15x64 y 10. Írd át 3-as számrendszerbe a 21035 számot! 11. Ábrázold a következő lineáris függvényeket: a/ f x   x  2 b/ g x   2 x  7 3 c/ hx   x  6 5 12. Ábrázold a következő másodfokú függvényeket: a/ f x  x 2 1 2 b/ g x   x  3 2 2 c/ hx   x  3  8 13. Ábrázold a következő abszolútértékes függvényeket: a/ f  x   x b/ g  x   2 x  5 c/ h x   x  2  4 14. Ábrázold az alábbi lineáris törtfüggvényeket: 1 a/ f  x   x 1 b/ g x   3 x 1 1 c/ hx   1 x2 15. Oldd meg a következő egyenleteket: a/ 5,76  4,8x  0,05x  6,99x  1,995x  5,13

b/ 13x  83x  2  7 x  512  3x 

c/ 5x  1  2x  3  3x  2  76 x  1 16. Oldd meg az alábbi egyenleteket: 2x  4 3x  13 32 x  3 2x  5 3  x a/ 1  b/    7 3 6 8 5 4 17. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét: 2

2

3  5

3

2

a/

2



2

b/

2

 53



5  2

2  5    2  5 

4

2 5

 25

4 3

3

4 6



163  1252 645  3  2564 25

c/

18. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

a  b  a  b   a  b 4

3

2 5

2 3 3

2



19. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét:

  3    4 

5 3 

2   2  4 1

5 6

2

2   5



a/

3  5

c/

163  1252 645  3  2564 25

3



 210 

20. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét: 2

4



b/

2

2

 53



5  2

2  5    2  5 

4

2 5

 25

4 3

4 6

3



21. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

a  b  a  b   a  b 4

3

2 5

2 3 3

2



22. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét: 5

3

  3    4 



2   2  4 1

5 6

2

2   5



4



 210 

Végezd el az összevonásokat: a/ 10x 3  3x 2  5x 2  6 x 3  4 x 3  2 3 5 1 c/ cd  b  cd  b  3 4 6 5 24. Végezd el a szorzásokat: a/ x  5  x  5  5  2 5  2 c/  x  y    x  y   3  5 3  5 25. Végezd el négyzetreemelést: 23.

a/ 5 x  10 y   2

b/ 0,5ab2  3,2a 2 b  ab2  1,5a 2 b 







b/ 2 x 2  8 y  2x 2  8 y 



b/ 0,2 x 2 y  10xy 2



2



2

c d  c/     5 2 26. Egészítsd ki teljes négyzetté, majd írd fel két tag négyzeteként: a/ 121x 2  .....  100y 2  b/ 25c 2  100cd  .......  27. Végezd el a szorzásokat: a/ (2x 2  3x)  4x  3  b/ 5x 3  2a 2 x 2  a 3 x  4a 4   a 2 x  28. Hozd egyszerűbb alakra: a  2b2  a  b2  2a  b  2a  b  29. Alakítsd szorzattá: 2 4m  4  5 p 2  10 p  5  30. Egyszerűsítsd a törteket: 3a 2  6ab  3b 2 a2  a   a2 1 a2  b2







31. Végezd el a szorzást, ill. az osztást: am 2  an 2 3x  3 y x 2  y 2 x 2  2 xy  y 2   :  3x  3 y x 2  2 xy  y 2 am 2  2amn  an 2 6x 2  6 y 2 32. Végezd el az összevonásokat: 3x 5x 7 7a 5a a   2 2     2 2 2 4a b 2ab 6a b x  16 x  4 x  4 33. Oldd meg az egyenletrendszert behelyettesítő módszerrel: 3x  y  1  5x  3 y  5 34. Oldd meg az egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével:  3 x  2 y  7 4x  3y  9 35. Oldd meg az egyenletrendszereket: 3x 2 y 1   3 x  y   4  5 x  y  5 3 3 a/ b/ 2 x  3 y  1  2 y  x  3 7x 5y 1   10 6 15 x  y  2 x  y 1 8   5 3 15 c/ x 3y 5   2 4 8 36. Egy háromszög belső szögeinek aránya 3:4:5. Határozd meg a háromszög belső és külső szögeit! 37. Hány oldalú az a konvex sokszög, amelyben a belső szögek összege 18540°? Hány átlója van ennek a sokszögnek? 38. Szerkeszd meg az ABC háromszög beírt körét, ha AB=5cm,   60,   45. 39. Egy 3cm sugarú kör O középpontjának és a sík egy P pontjának távolsága 8,2cm. Szerkessz érintőket a körhöz a P pontból és számítsd ki az érintőszakaszok hosszát! 40. Egyenlőszárú háromszög alapja 28cm, szárai 18cm hosszúak. Mekkora az alaphoz tartozó magasság? 41. Egy 34 cm sugarú körbe írt téglalap oldalainak aránya 8:15. Határozzuk meg a téglalap oldalainak hosszát!

42. Milyen átmérőjűnek kell lennie egy henger alakú vasrúdnak, ha belőle 32 mm alapélű négyzetes hasábot akarunk kiesztergálni?

43. Egy rombusz átlóinak hossz 24 cm és 70 cm. Számítsuk ki a rombusz oldalainak hosszát! 44. Egy rombusz kerülete 1 m, átlóinak aránya 3:4. Határozzuk meg az átlók hosszát! 45. A rombusz átlóinak hossza 18cm és 48 cm. Mekkora a magassága? 46. Egy rombusz egyik átlója 20 cm oldala 17 cm . Mekkora a másik átlója? 47. Egy egyenlőszárú trapéz párhuzamos oldalait 7 cm illetve 4 cm hosszúak, a nem párhuzamos oldalak hossza 2,5 cm. Mekkora a trapéz magassága? 48. Mekkora az egyenlőszárú trapéz átlóinak hossza, ha alapjai 4 m és 6 m szára 5 m? 49. Egy egyenlőszárú trapéz alapjainak hossza 10 cm illetve 24 cm, a szár hossza 25cm. Határozzuk meg a trapéz magasságának hosszát! 50. Határozzuk meg, milyen távol van a 89 mm sugarú kör középpontjától annak 16cm hosszúságú húrja. 10. évf. Gyökvonás 1.

Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) 33 4 vagy 23 11 c) 24 10 vagy 34 2 2. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! 2 a) 3 72  2 32  18  3 2 75  4 48  b) 3 12  5 c) 2  4 160  3  4 810  4 6250  d) 23 8a 4  5  3 a 4  43 27a 4  e)

64  8 55

4 2  2 7 vagy

60 16 14

e)

g)

2  3 2 2  5 23

h)

7 5 7  3

i) j)

3  3 125a 6 b 4  3 8a 3b 7  a 3 27a 3b 4 

a3 a a  3. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét! 4 5 3 a) c) 3 5 35 3 f)

d) 2 5  2 11 vagy

5

3

a  4 a3  a 12  3 7  3 12  3 7  2

k)  7  24  7  24    

d)

7 27 a 4

7 2 10 f) 3 7 2 3 5 4 3 4. Mely valós számokra értelmezhetők a következő kifejezések? 2 3 x 2  75 b) a) 3x  15 5. A változók mely értékeire áll fenn az egyenlőség?

b)

6

e)

a)

25a 2  10a  1  5a  1

b)

b 2  4b  4  2  b

c)

5

a5  a

d) 6 d 6  d Másodfokú egyenlet

1. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a)

x  52 x  3  3x  x  42 x  5  7

3x x 2  3 7 x  5   c) 4 6 12

b)

2 x  10x  6  9 x  3x  2x  7  43

2 x 2  4 3x  1 x  2   d) 6 4 3

e)

2x x  2 x 2  12   x  2 x  2 x2  4

f)

5x 7  x 12x  2   2 x 3 3 x x 9

2. Szöveges feladatok: a) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 17 cm, átfogója 13 cm, mekkorák a befogói? b) Egy téglalap területe 96 cm2, kerülete 38 cm. Milyen hosszúak az oldalai? c) Egy tört számlálója 3-mal nagyobb a nevezőjénél. Ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát, 2,9 -et kapunk. Melyik ez a tört? 58 d) Egy tört számlálójának és nevezőjének az össze 10, ha a törthöz hozzáadjuk a reciprokát, -et 21 kapunk. Melyik ez a tört? e) Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy 2-vel nagyobb, mint az egyesek helyén álló. Ha a számjegyeket felcseréljük, és az eredeti számot megszorozzuk a felcserélttel, 2755-öt kapunk. 3. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! e)  2 x 2  3x  1 f) 4 x 2  11x  6

c) 3x 2  7 x  2 d)  x 2  7 x  10

a) 2 x 2  5x  3 b) 2 x 2  9 x  4 4. Egyszerűsítsd a következő törteket! a)

x 2  6x  8 x2  x  2

b)

3x 2  5 x  12 2x 2  7x  3

c)

6 x 2  13x  5 4x 2  9

d)

2 x 2  5x  3 3x 2  4 x  1

5. Írj fel olyan egyenletet, amelynek gyökei:

2 3 c) 3 és -6 e) 0 és 7 d) és -5 5 4 6. A p paraméter mely értékeire lesz az 2 x 2  5x  p  0 ; 3x 2  7 x  2 p  0 ; 3x 2  px  7  0 egyenleteknek a) 2 és -4

a) b) c) d)

b) 7 és

Két különböző valós gyöke? Egy valós gyöke? 0 valós gyöke? két pozitív valós gyöke?

e) két negatív valós gyöke? f) két különböző előjelű valós gyöke? g) az egyik gyöke 0?

7. A gyökök meghatározása nélkül számítsd ki az alábbi egyenletek gyökeinek négyzetösszegét 1 1 ( x12  x22 ) és gyökei reciprokainak az összegét (  )! x1 x 2 a) 2 x 2  3x  2  0

b)  2 x 2  5x  3  0

d) x 2  3x  8  0

c) 3x 2  7 x  2  0

8. Milyen p értékekre lesz a következő egyenlet egyik gyöke -4? a) x 2  2x  p  0 b) 3x 2  px  7  0

e)  x 2  px  5  0

c) px 2  4x  10  0 d) 3x 2  7 x  2 p  0

9. Oldd meg az alábbi magasabb fokú egyenleteket! a) b) c) d) e)

x 4  4x 2  45  0 8x 6  7 x 3  1  0 x 8  13x 4  48  0 4 2 3x  5  11x  5  4  0

2 x  36  42 x  33  32  0

10. Oldd meg az alábbi négyzetgyökös egyenleteket!

f) 23x  1  173x  1  9  0 g) 2 2x 2  3x  1 2x 2  3x  2  6  0 h) x 2  5x  2 x 2  5x  7  6  0 i) 3x 2  x 3x 2  x  2  3x 2  x  5  15 4

 





2











3x  4  3  2x  1 7  2x  5  2x c) 2 x  7  x  8 d) 8  x  5  2x  3 a) b)

e) f) g) h)

x4  x4  2x  1  3x  1 

x 3 1 x  8  2 x4  2 x 1  6

11. Oldd meg az alábbi egyenlőtenségeket a valós számok halmazán, a megoldást ábrázold számegyenesen! a) x 2  5x  6  0 b) x 2  12  7 x

c) x 2  5x  6  3x  6 d) 3x  10  x 2

Geometria Egyszerű feladatok: 1. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának összege 222°. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát! 2. Egy kör adott ívén nyugvó kerületi és középponti szög nagyságának különbsége 22°. Számítsd ki a kerületi és a középponti szög nagyságát! 3. Mekkora kerületi szög tartozik a kör azon ívéhez, amelynek hossza a kör kerületének 22%-a? 4. Egy háromszög a oldala a köré írható kör középpontjából 22°-os szög alatt látszik. Mekkora az A csúcsnál lévő szög? (a oldal az A csúccsal szemben van) 5. Egy húrnégyszög két szöge 122° és 22° nagyságú. Hogyan helyezkednek el ezek a szögek? Mekkorák a négyszög hiányzó szögei? 6. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 7. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb oldala 15 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 8. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Egy ehhez hasonló háromszög leghosszabb kerülete 28 cm. Mekkora a hasonlóság aránya, mekkora a háromszög legrövidebb oldala? 9. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 2 cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Milyen hosszú az átfogóhoz tartozó magasság? 10. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 2 cm és 8 cm hosszú szakaszokra osztja az átfogót. Számítsd ki a háromszög egyik befogójának hosszát! 11. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 10 cm. Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 12. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága 6 cm, az átfogót a magasság két szakaszra osztja, amelyek közül az egyik 4 cm hosszú. Milyen hosszú a másik szakasz? 13. Egy háromszög oldalai: a= 12 cm, b= 14 cm, c=16 cm. Az A csúcsból induló szögfelező milyen hosszú szakaszokra osztja az a oldalt? 14. Egy adott körhöz egy külső P pontból húzott szelőnek a körrel vett metszéspontjai P-től 4 cm és 16 cm távolságra vannak. Milyen hosszú érintőszakasz húzható P-ből. 15. Egy adott körhöz egy külső P pontból 6 cm hosszú érintőszakasz húzható. Egy P pontból húzott szelő egyik metszéspontja a körrel 4 cm távolságra van a P ponttól. Milyen hosszú húrt metsz ki a szelőből a kör? 1. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogóhoz tartozó magasság 4 cm. Mekkorák a háromszög hiányzó oldalai, Milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság? 2. Egy trapéz oldalai: a=10 cm, b= 5 cm, c=6 cm, d=4 cm. Mekkorák a trapézt háromszöggé kiegészítő trapéz oldalai? 3. Egy kör sugara r=6 cm, középpontja az O pont, ettől 10 cm-re van a P pont (OP=10 cm). A P pontból a körhöz húzott szelő A és B pontokban metszi a kört. Tudjuk, hogy PB=10 cm. Milyen hosszú az AB húr? 4. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm. Mekkora a háromszög másik befogója, az átfogóhoz tartozó magassága és milyen hosszú szakaszokra osztja az átfogót a magasság?

5. Egy paralelogramma oldalai AB=15 cm és DA=10 cm. A P pont a BC oldalt 2: 3 arányban osztja két részre. A DP egyenes E pontban metszi az AB egyenesét. Milyen hosszú a BE szakasz? Szögfüggvények 1. Vegyes feladatok: Fgy 2476-2478, 2485-2487, 2513, 2527, 2528, 2533, 2537, 2565, 2570, 2574, 2592, 2593, 2594 2. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! a) 4  sin 30  4  cos 45  2  ctg 45  e) 4  sin 45  4  cos60  2  ctg 45  b) sin 60  tg 60  3  tg 45  f) sin 60  tg30  3  ctg 45  6  cos 45  2 sin 45 6  cos 30  2tg 60 c) g)   6  tg 45  cos 60 6  cos 60  tg 45

d) sin 60  cos 45  h) sin 45  cos 30  Hasonló feladatok: FGy.: 189/2512-2514, 2516-2517 2. A derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítása a) Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm-es és az egyik szöge 40°-os. Számítsd ki a befogók hosszát! b) Egy derékszögű háromszögben ismert a 18 cm-es befogó és a mellette lévő 18°-os szög. Határozd meg a másik befogó és az átfogó hosszát! c) Egy derékszögű háromszög két befogójának hossza 12 cm és 20 cm. Mekkorák a háromszög szögei? d) Egy derékszögű háromszög 17 cm-es befogójával szemközti szöget keressük, ha tudjuk, hogy az átfogója 25 cm hosszú. Hasonló feladatok: FGy.: 186/ 2467-2484 3. Szöveges feladatok a. Egy hegyi út emelkedése 12%. Mekkora az út emelkedési szöge a vízszinteshez képest? b. Egy lejtő a vízszintessel 15°-os szöget zár be, és 20 m magasra visz. Milyen hosszú a lejtő? c. Egy téglalap átlója 15 cm, az egyik oldallal 24°15’ szöget zár be. Mekkorák az oldalai? Hasonló feladatok: FGy.: 187/ 2485-2502 4. Egyenlőszárú háromszögek, téglalapok, rombuszok, parallelogrammák a. Egy téglalap rövidebb oldala 8,2 m, átlóinak hajlásszöge 38°. Mekkorák az oldalai? b. Egy rombusz egyik átlója 32 cm. Ez az átló az 50°-os szögek csúcsait köti össze. Milyen hosszú a másik átló és a rombusz oldala? Hasonló feladatok: FGy.: 190/ 2518-2520, 191/ 2530- 2542 5. Térelemek hajlásszöge a. Egy téglatest alapélei 12 cm és 20 cm hosszúak, magassága 10 cm. Mekkora szöget zár be az alaplap a testátlóval? Mekkora szöget zár be a testátló az alapélekkel? Hasonló feladatok: FGy.: 195/ 2614-2616 6. Tornyok, hegycsúcsok és egyéb magasan lévő tárgyak a. Egy nyárfától 25 m távolságra áll egy ember, akinek a szemmagassága 170 cm, így a nyárfát 28°-os szögben látja. Milyen magas a nyárfa? b. Egy épülettől 28 m távolságra az épület egyik ablakának felső széle 19°40’, alsó széle 16°30’ emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az ablak? c. Egy domb tetején lévő kápolnához 200 m hosszú egyenes út vezet. Az út emelkedési szöge 18°. Az út elejéről a kápolna 7°-os szög alatt látszik. Milyen magas a kápolna? FGy 198/ 2642-2664 7. Területszámítás a. Egy háromszög két oldala 12 cm és 16 cm, a közbezárt szög 40°. Mekkora a háromszög területe? b. Egy háromszög területe 40 cm2, két oldala 8 cm és 13 cm hosszú. Mekkora a közbezárt szög? c. Egy háromszög a oldala 8 cm, γ=30°, területe 48 cm2. Mekkora a b oldala? 8. Számítsd ki az  hegyesszög többi szögfüggvényét, ha a. sin=0,3 b. cos=0.54 c. tg=4 d. ctg=2,5! Hasonló feladatok: FGy 202/ 2700 9. Oldd meg az alábbi egyenletet a hegyesszögek körében. a. sin (2+12°)=cos (+15°) b. sin (+25°)=cos (4+15°) 2

2

2

2

c. ctg (4-12°)=tg (+27°) Hasonló feladatok: Tk 163 / 3

d. tg (40°-)=ctg (3+14°)

Szögfüggvények 1. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! a. f x   2 sin x  1 c. g x    cos x  2 1 b. ix   2 cosx  60 d. j x    sin x  2 2

e. hx   sin 2 x  1 1 1 f. k x   cos x  2 2

11. évf. Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Hatványozási azonosságok

1.

Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét!

1.1 1

5

a) 8 3

b) 4 2

g) 9 0,5

h) 160, 25

1.2 a)

3



c) 25

d) 27

i) 810,75



2 3

j) 361,5

3

3

e) 32 5

f) 9 2

k) 4 2,5

l) 491,5

A következő kifejezéseket úgy alakítsd át, hogy ne tartalmazzanak gyökjelet! 1 1 1 x2 b) 4 a 3 c) a 5 d) e) f) 5 3 5 a a x7 Az alábbi kifejezéseket úgy alakítsd át, hogy sem negatív, sem törtkitevőt ne tartalmazzanak!

1.3 2

b) a

a) x 3 2.



1

3 4

d) 3a 

c) b 4



2 3

e) 3a



2 3

f) c



1 3

A logaritmus fogalma A következő kifejezéseket írd fel egyszerűbb alakban!

2.1 a) 2

1 2

log2 5



b) 7

log7 9



log8 3

c) 8



lg 4

d) 10



1 e)   2

log 1 6 2

f) 10lg 7 



A logaritmus fogalma segítségével írd át más alakba a következő egyenlőségeket!

2.2

1

a) 23  8

1 g) 5  5 1

2.3

b) 32  9 h) 8

2

1  64

c) 54  625 i) 7  1 0

j) 4



3 2

2

1

d) 4 2  2 1  8

f) 64 3  16

e) 16 4  2 

k) 81

3 4



1 27

Határozd meg az alábbi logaritmusok értékét!

a) log4 16 

b) log3 9 

c) log7 7 

d) log2 32 

f) log5

1  25

g) log8 1 

h) log4 2 

i) log9

2.4

Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

1  81

e) log2

1  8

j) log9 3 

a) 31log3 5 

b) 4 2log4 3 

c) 214 log2 3 

d) 4 2log4 5 

e) 5log5 3log5 2 

f) 6log6 7log6 2 

3.

A logaritmus azonosságai Írd fel rövidebb alakban a következő kifejezéseket!

3.1

a) 23 logk x  5 logk y   4 logk z 

b)

5 logk a  logk b 2 logk x  3 logk y   3 5

1

a) 5  3log3 8  lg 5 1000 

4.1

b)

d)

7 7 log7 2log7 5  lg 10 10  log5 3 25 

c)

7 x1  6  7 x  5  7 x1  14 d) 3x  3x2  24

Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 7  2 x2  3  2 x3  3x2  3x1 b) 16  2 x1  9  3x1

c) 25  2 x  8  5x1 d) 85 x3  82 x1  83 x2  84 x4

Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 4 x1  22 x2  12  0 b) 9 x  6  3x  27 5.

lg 2  lg a  lg c 2lg 3  lg x  3 lg y  4 lg z    3 5

Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 7  6  7 x  5  7 x1  14 b) 3x2  4  3x1  5  3x  2  3x1  4

4.3

3 logk x  2 logk y  5 logk z  4

Exponenciális egyenletek x1

4.2

7 logk a 

Határozd meg az alábbi kifejezések értékét!

3.2

4.

c)

c) d)

22 x3  4 x1  24  0 10  2 x  4 x  16

Logaritmusos egyenletek

Oldd meg a következő egyenleteket! lg6  2 x  a) lg x  1  d) 2 lg x  4   lg 4  lg2 x  11 2 5.1

b) 2lg x  2  lg 5  2  lg x  46 c)

6. 6.1

e)

lg3x  5 1 lg2 x  3

lg3x  5 2 lg2 x  3 Az exponenciális-, és a logaritmusfüggvény Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! 9

a) x  2 x

1 b) x    2

x

c) x  log2 x

x  log 1 x

d)

2

Koordinátageometria 1. 1.1

Műveletek vektorokkal Egy téglalap csúcsai legyenek A, B, C, D. Rajzold meg a következő vektorokat!

a) AB  BC b) AB  CB c) AB  DC d) AB  CD e) AC  BD f) BC  CD  DA g) CB  DC  AC h) AC  BD i) CD  AD   1.2 Rajzolj tetszőleges (nullvektortól különböző) a és b vektort! Szerkeszd meg az alábbi vektorokat!     2 a) 2a b)  2a c) 1,5a d) 3a e) a 3        1 ab f) a  2b g) a  2b h) 0,5a  b i) 2 3 1.3

  Egy C pont helyvektora c , egy tetszőleges P ponté p . Határozd meg a P pont C-re vonatkozó tükörképének helyvektorát!

1.4

Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat!

a) (4; 2) 1.5

b) (–5; 3)

c) (–6; –3)

d) (4; –2)

e) (0; 0)

f)



3; 0



Egyenlő szárú háromszög alapja 10, magassága 6 hosszúságegység. Határozd meg a háromszög csúcsainak helyvektorait, ha úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben, hogy a kezdőpont az alap egyik végpontjába van, és az alap az x tengelyre illeszkedik. Hány megoldás van?

1.6 Rajzold meg azoknak a pontoknak a mértani helyét, amelyeknek a) az abszcisszája 0. b) az ordinátája 0. c) az abszcisszája 2. d) az ordinátája 4. e) az abszcisszája –3.

f) az ordinátája –5.

g) az abszcisszája és az ordinátája egyenlő.

   Az a 2; 3 , b 4;  5 és c  3; 8 vektorokat 90-kal elforgatjuk. Határozd meg az elforgatott helyvektorok koordinátáit! Írd fej azokat a vektorokat is, amelyek az eredeti vektorokból – 90-os elforgatással adódnak!    1.8 Legyen az a 3; 5 , b  4; 2 és c  2;58 . Számítsd ki a következő vektorok koordinátáit!          ab c 1 2 a) a  b b) a  c c) a  2b d) a  b e) 3 2 3 1.7

Ábrázold a kapott helyvektorokat! 1.9

Egy csónak sebessége állóvízben 12

km km . A csónak 3 sebességű folyóban a partra h h

merőlegesen indul. 10

a) Szerkessze meg a csónak eredő sebességét, ha 1 cm-nek vesszük a 3

km sebességvektor hosszát! h

b) Számítsa ki az eredő sebesség nagyságát! 1.10

Három kutya egyenként 120 N erővel húz egy szánt. A szomszédos kutyák kötelei 30º-os szöget zárnak be. Szerkessze meg az eredő erőt!

  Adott az a (2; 3) és b (1; 4) vektor.    a) Szerkessze meg a v (7; 6) vektor a -val és b -vel párhuzamos összetevőit! 1.11

b) Számítással határozza meg az összetevők koordinátáit! Egy katicabogár az A (2; 4) pontból 7 másodpercen át egyenes vonalú egyenletes mozgást végzett, 1 s múlva a B (3; 3) pontban volt. a) Írja fel a sebességvektorát! 1.12

b) Mekkora utat tett meg összesen a bogár 7 másodperc alatt? 2. 2.1

Vektorok skaláris szorzata Szánkót húz egy ifjú apa 110 N egyenletes erővel, miközben a kötél 30º-os szöget zár be a vízszintessel. Mekkora munkát végez, ha 150 métert húzza így gyermekét? (A végzett munka az erő- és az elmozdulás-vektor skaláris szorzata.)

2.2

    Mekkora az egyenlő (de nem nulla) hosszúságú a és b szöge, ha az a  2b és az 5a  4b egymásra merőleges vektorok?

2.3

    Határozd meg az a és b egységvektorok által bezárt szöget, ha a  3b  5a  4b !

Két egymással 60º-os szöget bezáró vektor skaláris szorzata 4. Ha az egyik vektor hossza a másik kétszerese, akkor a) milyen hosszúak a vektorok? 2.4

b) mekkora a két vektor összege? c) mekkora a két vektor különbsége?

  Adott két vektor: a (4; 3) , b (1; 2) . Ábrázold a két vektort koordinátarendszerben   a) Mi az a  b szorzat értéke? 2.5

b) Határozd meg a vektorok hosszát! c) Mekkora a két vektor hajlásszöge? 2.6

  Határozd meg az a (8;  3) , b (2; 6) vektorok hajlásszögét!

2.7

Egy háromszög csúcsai: A(2; 0), B(5; 4), C(-1; 3). Mekkorák a háromszög szögei?

3. 3.1

Felezőpont, harmadoló pont Számítsd ki az A0;  1,6  és B2,8; 4  pontok által meghatározott szakasz felezőpontjának koordinátáit! 11

3.2

4. 4.1 5. 5.1

Legyen OA(3; 7) , OB (9;  1) ! Határozza meg AB -t, valamint az AB szakasz felezőpontjához és harmadoló pontjaihoz az O-ból induló vektorok koordinátáit! Háromszög súlypontja Egy háromszög csúcsai: A(2; 0), B(5; 4), C(-1; 3). Határozd meg a súlypontjának a koordinátáit! Az egyenes egyenlete Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az origón és illeszkedik az 1 1  ;  koordinátájú pontra!  2 3

5.2 Mi az egyenlete annak az egyenesnek, amely a) áthalad az (1; 3) ponton és normálvektora (2; – 1)? b) áthalad a (3; – 2) ponton és irányvektora (– 4; 1)? c) áthalad a 2; 3 és  1;  4 pontokon? Ábrázold a fenti egyeneseket! 5.3

Állapítsd meg, hogy rajta van-e a 2 x  y  3 egyenesen az 1; 1 pont!

5.4

Mely pontokban metszi a koordináta-rendszer tengelyeit az x  5 y  10 egyenletű egyenes? Ábrázold az egyenest!

5.5

Adj meg 2 pontot, amelyek illeszkednek a  x  3 y  5 egyenesre!

6.

Egyenesek metszéspontja

6.1 Ábrázold az egyeneseket, és számítsd ki a két egyenes metszéspontjának koordinátáit! a: 2 x  3 y  12  0 b: 5x  4 y  7  0 6.2

Egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: a: 9 x  6 y  54  0 b: x  4 y  8  0 c: 11x  2 y  46  0 . Számítsd ki a kerületét!

6.3

Számítsd ki a P(-3; 1) pont és az e: 3x  5 y  15  0 egyenes távolságát!

6.4

Írd fel a P(–2; 5) és Q(6; 7) pontok által meghatározott szakasz felező merőlegesének egyenletét!

6.5

Számítsd ki a P(–1; 3) pont és a 4 x  3 y  12 egyenletű egyenes távolságát!

6.6

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(–2; 0), B(3; 3) és C(–2; 4). Hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordináta tengelyeket?

6.7

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(–1; 4), B(–3; –2) és C(2; 1). Mekkora darabokat vág le a C csúcsból induló súlyvonal a koordinátatengelyekből? 12

6.8

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(–3; 1), B(3; –1) és C(2; 3). Írja fel a súlyvonalak egyenletét, és határozza meg a súlyvonalak közös pontját!

6.9

Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái (4; 0), (–3; –1) és (–5; 6). Írd fel az oldalfelező merőlegesek egyenletét, és határozd meg a merőlegesek közös pontját!

7.

A kör egyenlete

7.1

Egy kör középpontja C (1; –5), sugara 5 egység. Írd fel a kör egyenletét!

7.2

Egy kör egyik átmérőjének két végpontja: A (–1; –1) és B (7; 5). Írd fel a kör egyenletét!

7.3

Rajzold le koordináta-rendszerbe azt a kört, melynek középpontja a C (–3; 5) pont és érinti az y tengelyt! Határozd meg a sugarát! Írd fel a kör egyenletét!

7.4

A következő másodfokú kétismeretlenes egyenletek közül válaszd ki azokat, amelyek kör egyenletei lehetnek, határozd meg a kör középpontját és sugarát!

a) x 2  y 2  6x  4 y  4  0 b) x 2  y 2  2xy  5x  3 y  4  0 c) x 2  y 2  10x  6 y  35  0 d)  2x 2  2 y 2  4x  8 y  22  0 7.5

Határozd meg az x 2  y 2  6 x  10 y  2  0 egyenletű körrel koncentrikus (azonos középpontú) 5 egység sugarú kör egyenletét!

Döntsd el, hogy rajta vannak-e az alábbi pontok az x  5   y  12  169 egyenletű körön! a) A (10; 24) b) B (14; 7) 2

7.6

7.7

8.

2

Mi annak a körnek az egyenlete, ami áthalad a P( 1; 2 ) és az R( 4; - 3) pontokon , és a középpontja az y  3x  19 egyenletű egyenesen van? Kör és egyenes metszéspontja

8.1

Számítsd ki az  x  1   y  2  16 egyenletű kör és az y  x  7 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!

8.2

Milyen hosszúságú húrt vág ki az y  2 x  1 egyenletű egyenesből az

2

2

x  12   y  22  25 ? 8.3

Az  x  5   y  12  169 egyenletű körhöz az P(10; 24) pontjában érintőt húzunk. Írja fel az érintő egyenletét!

8.4

Az x  4   y  3  16 egyenletű körnek van-e olyan pontja, mely egyenlő távolságra van a (–3; 2) és (1; 0) koordinátájú pontoktól?

2

2

2

2

Trigonometria Szögfüggvények általános értelmezése, azonosságok 13

8.5

Válaszd ki az alábbi állítások közül az igazakat!

sin 30  sin 150 cos 520  cos 20 sin 60  cos 30 sin 840  0 cos150  0 sin 810  0 cos1080  1

 1  cos 2 x    3 2    tg x    3,2 6 

8.6

1 Mely valós számokra teljesül, hogy sin    ? 2

8.7

Mely valós számokra teljesül, hogy cos  

8.8

Mely valós számokra teljesül, hogy tg   1 ?

9. 9.1 10. 10.1

Trigonometrikus egyenletek 2 cos 4 x   2

3 ? 2

Szinusz-, koszinusz- és tangensfüggvény ábrázolása és jellemzése Ábrázold és jellemezd a tanult trigonometrikus függvényeket! Számolások derékszögű háromszögben Egy hegy északi lejtője 5 km hosszú és 30-os szöget zár be az alapsíkkal. A déli lejtő hossza 8 km. Milyen magas a hegy, és milyen meredek a déli lejtő?

10.2 Egy 3 méter hosszú, függőleges falhoz támasztott létra lába a faltól 50 cm-re van. a) Mekkora szöget zár be a létra a fallal? b) Milyen magasan van a falhoz támasztva? c) Legfeljebb milyen távol lehet a lába a faltól, ha tudjuk, hogy biztonsági okokból a létrának a talajjal legalább 70º-os szöget kell bezárnia? Egy trapéz párhuzamos oldalainak hossza 26 cm és 42 cm. A hosszabb alapon fekvő szögei 40º és 60º a) Mekkorák a trapéz szárai? b) Mekkora a trapéz kerülete és területe? 10.3

11.

Szinusztétel, koszinusztétel

11.1

Egy háromszögben a  7 , b  6 és   40 . Mekkora lehet c,  ,  ?

11.2

Egy kikötőből egymástól 109-ban eltérő irányban indul el két hajó. Az egyik sebessége 46 km km , a másiké 62 . Milyen messze lesz egymástól a két hajó 2 óra 20 perc múlva? h h

11.3

Egy kismotoros repülőgép a felszállás óta 40 km-t tett meg déli irányban, majd 15-ot fordult nyugat felé, és megtett újabb 32 km-t. Milyen messze van ekkor a kiindulási helyétől?

Egy háromszög egyik szöge 64 , ennek a szögnek a felezője 12 cm, a szög csúcsából kiinduló magasság hossza pedig 10 cm. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei? SZÁMSOROZATOK 11.4

14

SZÁMTANI SOROZATOK 1. Egy számtani sorozat első tagja 7, a differenciája -4. Mennyi a sorozat 100. eleme? 2. Egy számtani sorozat első tagja -1, a differenciája 7,5. Mennyi az első 100 tag összege? 3. Egy számtani sorozat első eleme -4, a differenciája 5. Állapítsuk meg a sorozat 20. tagját, és az első 20 tag összegét! 4. Egy számtani sorozat tizedik tagja 56, a 15. tagja 101. Mekkora a sorozat 2. tagja? 5. Egy számtani sorozat 5. tagja 25, 12. tagja pedig 95. Mennyi a sorozat első 15 tagjának összege? 6. Egy számtani sorozat hetedik tagja -6, a 10. tagja -27. Mennyi az első 10 tag összege? 7. Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja 24. Tagja-e ennek a sorozatnak a 8? 8. Egy számtani sorozat első tagja 2, huszonkettedik tagja 14. Hányadik tagja e sorozatnak a 6? 9. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozza meg a sorozat első tagját! 10. Egy számtani sorozat 5., 6. és 7. elemének összege 72, a 10., 11. és 12. elemének összege 87. Határozza meg a sorozat első tagját! 11. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 12, a harmadik, negyedik és ötödik tag összege 30. Melyik ez a sorozat? 12. Egy számtani sorozat második és nyolcadik tagjának összege 2, a kilencedik és harmadik tagjának különbsége 24. Melyik ez a sorozat? 13. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 30-cal kisebb, mint a következő három tag összege. Az első hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat? 14. Számítsa ki a kétjegyű páros számok összegét! 15. Számítsa ki a kétjegyű páratlan számok összegét! 16. Egy számtani sorozat első tagja 100, a hatodik tagja pedig egyenlő a differenciával. Határozza meg a 2. tagot! 17. Melyik az a számtani sorozat, melyben az első tag n, a differencia 3, és az első n tag összege 235? Határozza meg n értékét! 18. Az {an} számtani sorozatban a1=–11, ak=16. Mennyi a k, ha az első k tag összege 25? 19. Egy 15 soros moziterem 4. sorában 12-en férnek el. Minden sorban 3-mal többen, mint az előtte levőben. Hányan férnek el a moziban? 20. Egy érdekes könyvből első nap 8 oldalt olvasunk el, majd minden további napon 1,5 oldallal többet. Hány nap alatt olvassuk ki a 270 oldalas könyvet? 21. Egy 2 m hosszú sálat akarunk kötni. Ha az első napon 18 cm-t, majd minden nap az előző napinál 4 cmrel hosszabb darabot kötünk, akkor hány nap alatt készül el a sál? 22. Egy számtani sorozat első 5 tagjának összege 65, a következő 5 tag összege 215. Határozza meg a sorozat első tagját és különbségét! 15

23. Egy dolgozó 28 éves korában 78 000 Ft-ot keres. Minden évben kap 4000 Ft-os fizetésemelést. Mennyit fog keresni 40 éves korában? 24. Egy könyvszekrény legfelső polcán 35 könyv van. Minden további polcon 4-gyel több, mint az felette levőn. Hány könyv van ebben a 8 polcos szekrényben? 25. Egy 500 000 Ft összdíjazású versenyen az első 10 helyezettet jutalmazzák. András, aki a 6. helyen végzett, 48 000 Ft-ot kapott. A jutalmak egy számtani sorzatot alkotnak. Hány Ft-ot kapott az első helyezett? 26. Egy biciklis 735 km-t szeretne megtenni. A 10. napon 45 km-t tesz meg, továbbá tudjuk, hogy minden nap 2 km-rel kevesebbet, mint az előzőben. Hány km-t tesz meg az utolsó napon? 27. Egy színházi nézőtéren 30 sor van. Minden sorban kettővel többen férnek el, mint az előzőben. Hány ember fér el a nézőtéren, ha 15. sorban 50 férőhely van? 28. Egy színházi nézőtéren 560-an férnek el. A 10. sorban 45-en, és minden sorban 2-vel többen, mint az előtte levőben. Hány sor van a színházban? 29. 2-nek hányadik hatványa a 2 első tíz pozitív egész kitevőjű hatványának a szorzata? 30. Hány jegyű szám a 10 első 50 pozitív egész kitevőjű hatványának a szorzata? 31. Egy derékszögű háromszög oldalai egy 2 differenciájú számtani sorozatot alkotnak. Mekkorák a háromszög szögei? 32. Hány oldalú az a sokszög, melynek a szögei egy számtani sorozat egymást követő elemei, melynek első tagja 100°, differenciája pedig 10°? 33. Egy háromszög oldalhosszúságai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög kerülete 27 cm, legrövidebb és leghosszabb oldalának szorzata 65 cm2. Mekkora a háromszög területe? 34. Egy téglatest térfogata 840 cm3, az egy csúcsban összefutó élek hosszúságainak összege 30 cm. Az élhosszúságok egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora e téglatest felszíne? MÉRTANI SOROZATOK

Egyszerű mértani sorozatos feladatok a) Egy mértani sorozat első tagja 7, a hányadosa -3. Mennyi az sorozat 7. eleme? b) Egy mértani sorozat első tagja -1, a hányadosa 2,5. Mennyi az első 10 tag összege? c) Egy mértani sorozat hatodik tagja 100, a 8. tagja 400. Mekkora a sorzat 2. tagja? d) Egy mértani sorozat harmadik tagja 80, a negyedik tagja -120. Mennyi az első 10 tag összege? 35. Van-e olyan mértani sorozat, melyben a) b) c) d) e)

az első tag negatív, a hetedik tag pozitív; az első tag negatív, a hetedik tag 0; az első tag pozitív, a huszadik tag negatív? a hetedik tag negatív, és a huszadik tag 0; a hetedik tag is és a huszadik tag is negatív; A válaszokat indokolja! 16

36. Határozza meg az {an}={81/3n} sorozat első öt tagját és kvóciensét! 37. Egy mértani sorozat 13. tagja 11 664, a 8. tagja pedig 1536. Határozza meg a sorozat hányadosát! 38. Egy mértani sorozat 4. tagja 5, 14. tagja 5120. Határozza meg a sorozat 6. tagját! 39. Egy mértani sorozat harmadik tagja 6, hetedik tagja 54. Határozza meg az első tagot és a kvócienst, valamint az első 10 tag összegét! 40. Egy mértani sorozat első tagja 8, az első három tag összege 78. Mennyi az első hat tag összege? 41. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 25, a második és negyedik tag összege 50. Melyik ez a sorozat? 42. Melyik az a mértani sorozat, melyben az első és második tag összege 12, a harmadik és negyedik tag összege 4/3? 43. Egy mértani sorozat első három tagjának össege 112, a következő három tag összege pedig 14. Melyik ez a sorozat? 44. Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 15, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 30. Melyik ez a sorozat? 45. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 12,5, az első és második tag különbsége 5. Melyik ez a sorozat? Mennyi az első 20 tag összege? 46. Melyik ez a mértani sorozat, melyben az első három tagnak az összege 63, és a szorzata 2025? 47. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 105, az első és harmadik tag szorzata 400. Melyik ez a sorozat? 48. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 28. Ha a második tagot megszorozzuk az első és harmadik tag összegével, 160-at kapunk. Melyik ez a sorozat? 49. Egy derékszögű háromszög oldalainak a hossza egy mértani sorozat első három tagja. Határozza meg a háromszög szögei! 50. Egy mértani sorozat első három tagja a-b, a2-b2 és a3-b3, ahol a és b két különböző szám. Bizonyítsa be, hogy a és b közül legalább az egyik 0-val egyenlő!

SZÁMTANI–MÉRTANI SOROZATOS VEGYES FELADATOK 51. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 25. Az első, második és ötödik tag egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Melyik ez a számtani sorozat? 52. Egy számtani sorozat első három tagjának összege 24. Ha az első taghoz 1-et, a második taghoz 2-t, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot! 53. Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 20, a második és ötödik szám szorzata 16. Melyik ez az öt szám?

17

54. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjaihoz jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! 55. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot öttel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! 56. Négy, adott sorrendben felírt számról a következőket tudjuk: a) b) c) d)

a két szélső szám összege 14; a két középső szám összege 12; az első három szám egy mértani sorozat három, egymást követő tagja; az utolsó három szám egy számtani sorozat három, egymást követő tagja. Melyik ez a négy szám?

57. Egy mértani sorozat első három tagjának szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot! 58. Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, 9-et és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!

BANKI SZÁMÍTÁSOK, KAMATOS KAMAT, ÉS EGYÉB SZÖVEGES FELADATOK 59. Bankba helyezünk 50 000 Ft-ot évi 6,5 %-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva, ha közben a kamat nem változik, mi pedig nem nyúlunk a pénzhez? 60. Egy érdekes könyvből első nap 16 oldalt olvasunk el, majd minden további napon 1,5-szer annyit, mint az előző nap. Hány oldalas a könyv, ha 5 nap alatt elolvassuk? 61. Egy dolgozónak minden évben 4 %-kal emelik a fizetését. Mennyit kereshetett pályakezdőként, ha 10 éves munkaviszony után 180 000 Ft a fizetése? 62. Egy baktériumtenyészetben minden nap megduplázódik a baktériumok száma. Kezdetben volt 1 baktérium. Hány nap múlva lesz 256 baktérium a tenyészetben? 63. Mennyi pénzt helyezzünk el a bankban évi 7,2 %-os kamatos kamatra, ha 4 év múlva 70 000 Ft.ot szeretnénk felvenni? 64. Egy dolgozó minden évben 5 %-os fizetésemelést kap. 3 éves munkaviszony után a keresete 140 000 Ft volt. Mennyit keresett ennél a cégnél az 5 éves munakviszonya alatt? (Havonta kap fizetést!) 65. Egy nyúlékony zsinórra felfüggesztünk egy súlyt. A zsinór nyúlása az első öt órában minden eltelt órában másfélszeresére nő. Kezdetben 60 cm hosszú volt. Egész órában kifejezve mennyi idő elteltével lesz legalább 2 méter hosszú? 66. Egy cég termelése havonta 2%-kal növekszik. Két év elteltével a termelés hányszorosa lesz a kezdeti (első havi) termelésnek? 67. Egy erdő faállománya 3500 m3. A mindenkori állomány évenként 3%-kal gyarapszik, és kétévenként a meglevő állomány 2%-át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 20 év múlva?

18

68. Egy országban ma a lakosság 15 millió, 100 évvel ezelőtt 10 millió volt. Hány %-os az évi átlagos népszaporulat? 69. Egy szigeten élő rágcsálópopuláció 4 havonként az aktuális létszám 10%-ával gyarapszik. Hány évvel ezelőtt voltak 20-an, ha jelenleg a csapdázások alapján végzett számítások szerint mintegy 1100 egyed él a szigeten? 70. Egy gépsor értéke új korában 17 millió forint volt. Évenként 12%-os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 8 millió forint alá? TÉRGEOMETRIA Kocka, téglatest 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

Ha valamely kockának az éleit 4 cm-rel növeljük, a felszíne 480 cm2-rel nő. Mekkora a kocka térfogata? Egy kocka két szomszédos lapközéppontjának távolsága 8 cm. Mekkora a kocka éle? Egy kocka testátlójának hossza 3,84 dm. Mekkora a kocka éle? Egy téglatest lapátlóinak hossza 4 cm, 5 cm, 6 cm. Mekkorák a téglatest élei? Egy téglatest különböző oldallapjainak területe 15 cm2, 33 cm2, 67 cm2. Mekkora a térfogata? Ha egy téglatest egyik élét 6 cm-rel, a másikat 4 cm-rel meghosszabbítjuk, egy olyan kockát kapunk, melynek térfogata 2059,2 cm3-rel nagyobb az eredeti téglatest térfogatánál. Mekkora a kocka éle? Egy téglatest térfogata 7500 cm3, egyik csúcsában összefutó élek aránya 3:4:5. Mekkora a felszíne? Egy téglatest oldallapjainak területe rendre 40 cm2, 60 cm2, és 96 cm2. Mekkora a térfogata? Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek aránya 2:3:4, felszíne 1400 cm2. Mekkora a térfogata? Egy téglatest testátlójának hossza 7 cm, felszíne 72 cm2. Mekkora éleinek összege? Egy téglatest testátlója 7 cm, az alaplap területe 6 cm2, kerülete 10 cm. Mekkorák az élei? Egy téglatest oldallapjain a lapátlók rendre 5 cm, 34 cm, 41 cm. Mekkorák a téglatest élei? Mekkora a testátlója? Egy téglatest A csúcsából induló három élének hossza 12 cm, 6 cm és 8 cm. Mekkora A távolsága a téglatest többi csúcsától? Egy téglatest térfogata 36 cm3, testátlójának hossza 7 cm, egyik élének hossza 6 cm. Mekkora a téglatest többi éle? Egy téglatest éleinek aránya 8:9:12, testátlója 187 cm. Mekkora a felszíne, térfogata? Egy 12 cm élű kocka minden csúcsánál kivágunk a kockából egy 4 cm élhosszúságú kisebb kockát. Hányadrésze a megmaradt test felszíne és térfogata az eredeti kocka felszínének, illetve térfogatának? Mekkora távolságra vannak egymástól ennek a testnek két legtávolabbi csúcsa? Hasáb Egy négyzet alapú egyenes hasáb térfogata 19,845 dm3, alapjának kerülete 84 cm. Mekkora a felszíne? Egy háromoldalú egyenes hasáb (azaz háromszög alapú hasáb) minden éle 10 cm. Mekkora a felszíne, térfogata? Egy háromoldalú egyenes hasáb minden éle egyenlő, térfogata 184 cm3. Mekkorák az élei? Egy egyenes hasáb alapja szimmetrikus trapéz, melynek alapjai 21 cm és 16 cm, szárai 9 cm hosszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha a magassága 10 cm? Gúla Egy 12 cm élhosszúságú kocka minden csúcsánál levágunk a kockából egy háromoldalú gúlát (tetraédert), melynek oldalélei a kockaélek 4 cm hosszú darabjai. Mekkora a megmaradt test térfogata és felszíne? Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 9 cm, magassága 15 cm. Mekkora a felszíne és térfogata? Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 9 cm, oldallapjai az alap síkjával 45°-os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Egy szabályos négyoldalú (azaz négyzet alapú) gúla alapéle 12 cm, az oldallapok az alaplappal 60°-os szöge zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata?

19

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.

42. 43. 44.

45. 46. 47. 48.

49. 50. 51.

Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 40 cm, magassága 21 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Mekkorák az oldalélei? Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 14 cm, az oldalélek hossza 20 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 7 cm, magassága 12 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 6 cm, oldalélei 12 cm hosszúságúak. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal és egymással? Szabályos négyoldalú gúla oldallapjai szabályos háromszögek, térfogata 408 cm3. Mekkora az alapéle? Egy szabályos négyoldalú gúla alapélei 9 cm-esek, oldallapjai 46°-os szöget zárnak be az alaplap síkjával. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Egy ötoldalú szabályos gúla minden éle egyenlő. Mekkora az élhossza, ha térfogata 243 m3? Egy szabályos tetraéder térfogata 100 cm3. Mekkorák az élei? Egy szabályos tetraéder felszíne 120 cm2. Mekkorák az élei és a térfogata? Egy szabályos tetraéder egyik lapjának a területe 17 cm2. Mekkora a térfogata? Egy tetraéder egyik csúcsába futó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm, 18 cm és 32 cm. Számítsa ki a tetraéder felszínét és térfogatát! Szabályos nyolcoldalú gúla alapéle 8 cm. Az oldalélek az alaplap síkjával 46°-os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Egy szabályos négyoldalú gúla térfogata 49,8 m3, magassága feleakkora, mint az alaplap átlója. Mekkora a felszíne? Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 20 cm, magassága 18 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplap síkjával? Mekkora a gúla térfogata? Mekkora szöget zár be a szabályos tetraéder két lapja? Szabályos hatoldalú gúla alapéle 4,5 cm, oldallapjainak magassága 9 cm. Mekkora a térfogata? Egy téglalap alapú gúla ötödik csúcsa a téglalap egyik csúcsában az alaplapra állított merőlegesen van. A téglalap oldalai 6 cm és 9 cm, a gúla magassága 12 cm. Mekkorák a gúla oldalélei és a térfogata? Csonkagúla Egy négyzet alapú szabályos csonkagúla felszíne 2873 cm2. Az alapél 32 cm, a fedőél 9 cm. Számítsa ki a térfogatát! Négyzetalapú egyenes csonkagúla alapéla 12 cm, fedőéle 8 cm, magassága 10 cm. Számítsa ki a felszínét és a térfogatát! Egy vízlevezető árok keresztmetszete olyan szimmetrikus trapéz, melynek rövidebbik alapja és szárai 1 méteresek, a száraik ezzel az alappal 120°-os szöget zárnak be. Mennyi víz fér az árok 100 m hosszú szakaszába, ha tele van vízzel? Egy vízlevezető árok keresztmetszete olyan téglalap, melynek alapja 1 m, magassága 0,5 m. Mennyi víz folyik át az árok keresztmetszetén 1 perc alatt, ha tele van vízzel, és a víz folyási sebessége 1,2 m/s? Egy vízgyűjtő medence lefelé keskenyedő csonkagúla alakú. Felső lapja 14 m, alsó 10 m oldalú négyzet, mélysége 6 m. Mennyi víz fér bele? Mennyi víz van benne, ha csak fele magasságig van töltve? Négyzetalapú egyenes csonkagúla alapéle 7 cm, fedőéle 4 cm, oldalélei 10 cm hosszúságúak. Mekkora a csonkagúla térfogata és felszíne? Egy csonkagúla alaplapja négyzet, oldallapjai vele egyenlő területű szimmetrikus trapézok, fedőlapja feleakkora területű, mint az alaplap. Mekkora a csonkagúla térfogata, ha alapéle 10 cm? Henger Egy 6 cm és 8,5 cm oldalú téglalapot megforgatunk egyszer az egyik, majd a másik oldala körül. Mekkora az így keletkezett hengerek felszíne és térfogata? Egy egyenes körhenger alaplapjának területe 34 cm2, magassága 48 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? Egy egyenes körhenger felszíne 6418 cm2, az alaplap sugarának és a henger magasságának az aránya 4:5. Mekkora az alaplap sugara és a test magassága?

20

52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

64. 65. 66.

67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.

Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője és a magassága egyenlő. Mekkora a felszíne és térfogata, ha a sugara 8 cm? Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője és a magassága egyenlő, térfogata 865 cm 3. Számítsa ki a felszínét! Egy egyenes körhenger alapkörének sugara 10 cm, térfogata 1000 cm3. Mekkora a magassága? Henger alakú, felül nyitott edény készítéséhez 480 cm2 lemezt használnak fel. Mekkora az edény térfogata, ha alapkörének sugara 6 cm? Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője és a magassága egyenlő. Felszíne 597 cm2. Mekkora a térfogata? Egy 6,9 cm oldalú négyzetet megforgatunk egyik oldala körül. Mekkora az így keletkezett forgáshenger felszíne és térfogata? Egy egyenes körhenger felszíne 4532,6 cm2, tengelymetszetének területe 969,5 cm2. Mekkora a térfogata? Egy egyenes körhenger palástja kiterítve négyzet, melynek oldala 42 cm. Mekkora a henger térfogata? Egy téglalap oldalai 13 cm és 7 cm. A téglalapot megforgatjuk először a hosszabbik, majd a rövidebbik középvonala körül. Melyik esetben kapunk nagyobb térfogatú forgáshengert? Egy egyenes körhenger alapkörének sugara 8 cm, magassága 12 cm. A tengelytől 4 cm-re levő, vele párhuzamos síkkal elmetsszük a hengert. Mekkora a lemetszett darab felszíne, térfogata? Egy henger alakú edény belső alapkörének sugara 10 cm. Milyen magasan áll a betöltött 3 liter víz? Egy cső hossza 1,2 m, külső átmérője 1 cm, belső átmérője 0,5 cm. Mekkora a cső anyagának térfogata? Kúp Mekkora az egyenes körkúp térfogata és felszíne, ha alkotója 10 cm, alapkörének sugara 6 cm? Mekkora annak az egyenes körkúpnak a felszíne és térfogata, mely alapkörének sugara 20 cm, nyílásszöge pedig derékszög? Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 8 cm, magassága 16 cm. A kúpba olyan egyenes körhengert írunk, melynek alaplapja a kúp alaplapján áll és sugara 2 cm, fedőköre pedig a kúp palástján van. Mekkora a henger felszíne és térfogata? Egy egyenes körkúp felszíne 1978,11 cm2, tengelymetszetének területe 209 cm2. Mekkora a térfogata? Egy egyenes körkúp kiterített palástja 12 cm sugarú félkörlap. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Egy egyenes körkúp kiterített palástja negyedkörlap. Számítsa ki a kúp magasságának és az alapkör sugarának az arányát! Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 7,2 cm, nyílásszöge 90°. Mekkora a felszíne és térfogata? Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 5 cm. Mekkora a nyílásszöge, ha térfogata 186 cm3? Egy sátorlapból, melynek területe 9 m2, egyenes körkúp alakú sátor készíthető. A sátor alapkörének átmérője 2,3 m. Milyen magas a sátor? (A sátor alaplapja is a sátorlapból készül.) Egy egyenes körkúp és körhenger alapköre közös, az alapkör sugara 22,5 cm. A henger és a kúp térfogata egyenlő. Mekkora a kúp felszíne, ha a henger magassága 50 cm? Egy egyenes körkúp kiterített palástja egy 15 cm sugarú kör 120°-os középponti szöggel rendelkező körcikke. Számítsa ki a kúp térfogatát! Egy 74°47’ középponti szögű körcikk területe 1052,9 cm2. Számítsa ki annak a kúpnak a térfogatát, melynek ez a körcikk a kiterített palástja! Egy 8 cm oldalú négyzetet átlója körül megforgatunk. Mekkora a keletkezett test térfogata és felszíne? Egy egyenes körkúp térfogata 4,37 m3, az alkotói az alaplappal 67°-is szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne? Egy trapéz alapjai 16 cm és 6 cm, magassága 7 cm. A trapézt megforgatjuk hosszabbik alapja körül. Mekkora az így keletkezett forgástest térfogata? Egy egyenes körkúp alakú tölcsér alapkörének sugara 12 cm, magassága 18 cm. A tölcsér alsó nyílását befogjuk, és 1 liter vizet töltünk bele. Milyen magasan áll benne a víz? Valamely egyenes körkúp alapjának sugara 15 cm, magassága 45 cm. A csúcstól milyen távolságban kell a kúpot az alappal párhuzamos síkkal elmetszenünk, hogy az alsó rész térfogata 7457,5 cm3 legyen?

21

81. 82. 83. 84.

85. 86. 87.

88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96.

97. 98. 99. 100. 101. 102. 103.

Csonkakúp Egy szimmetrikus trapéz alapjai 18 cm és 12 cm, magassága 5 cm. Megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. Számítsa ki az így keletkezett csonkakúp térfogatát! Egy csonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara 18 cm, illetve 10 cm, alkotója 28 cm. Számítsa ki a térfogatát! Egy csonkakúp alap, illetve fedőkörének sugara 10,5, illetve 4,5 cm, a csonkakúpot kiegészítő kúp alkotója 6 cm. Mekkora a csonkakúp felszíne és térfogata? Egy egyenes körkúp alapjának sugara 24 cm, magassága 36 cm. Ebből a kúpból az alaplapjával párhuzamos síkkal egy 12 cm magasságú csonkakúpot vágunk le. Mekkora a csonkakúp térfogata és felszíne? Egy csonkakúp térfogata 544,5 cm3, magassága 6 cm, az alap- és fedőkör sugarainak különbsége 5 cm. Mekkorák a sugarak? Egy egyenes csonkakúp alapkörének kerülete 51,7 m, fedőköréé 29,8 m, térfogata 350 m3. Mekkora szöget zárnak be az alkotók az alaplappal? Egy csonkakúp térfogata 2021,6 dm3, az alapkör sugara 5,7 dm, magassága 32,5 dm. Mekkora a fedőlap sugara?

Gömb Mekkora a gömb sugara és térfogata, ha a felszíne 1978,92 cm2? Két gömb főköreinek kerülete 1 m-rel különbözik egymástól. Mekkora a két gömb sugarainak különbsége? Mekkora távolságra van az 5 cm sugarú gömb középpontjától 25,8 cm2 területű síkmetszete? Mekkora területű a 27,9 cm sugarú gömbnek az a síkmetszete, amely az egyik sugár felezőmerőlegessíkjában van? Milyen távolsgára van a 10 cm sugarú gömb középpontjától az a sík, mely a gömbből 5 cm sugarú kört metsz ki? Hány 1 cm sugarú golyót önthetünk egy 10 cm sugarú ólomgolyóból? Hányszorosa lesz a kis golyók felszínének összege az eredeti golyó felszínének? Három ólomgolyó sugara 5 cm, 8 cm és 12 cm. A három golyóból egyetlen golyót öntünk. Mekkora lesz ennek a sugara? Két gömb belülről érinti egymást. A nagyobbik gömbnek a kisebbiken kívüli része 108,909 cm 3 térfogatú, a gömbök középpontjainak távolsága 2 cm. Mekkora a két gömb sugara? Mennyivel kell megnagyobbítani egy 20 cm sugarú gömb sugarát, hogy felszíne 3906,16 cm 2-rel növekedjék?

Egymásba írt testek Egy gömbbe írt kocka felszíne 144 cm2. Mekkora a gömb felszíne? Mekkora a téglatest köré írt gömb sugara, ha az egy csúcsba összefutó élek hossza 2 cm, 8 cm és 16 cm? Egy téglatest köré írt gömb sugara 7 cm; a téglatest egyik csúcsából kiinduló két él hossza 4 cm és 6 cm. Mekkora a harmadik él hossza? Egy henger alapkörének sugara 5 cm, magassága 24 cm. Mekkora sugarú gömb írható a henger köré? Hogyan aránylanak egymáshoz egy adott kocka csúcsain átmenő, illetve a kocka éleit érintő, illetve a kocka lapjait érintő gömbök sugarai? Egy négyzetes gúla felszíne 684 cm2, a gúla lapjait érintő gömb sugara 8 cm. Mekkora a gúla térfogata? (*) Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írt egyenes körkúp alapkörének sugara 12 cm, alkotója pedig 32 cm?

Gyakorló feladatok 1. Az alábbi számkártyákból hány különböző ötjegyű szám képezhető?

1

2

3

4

5

22

2. Egy iskolai futóversenyen 9 tanuló indul. a) Hány beérkezési sorrend lehetséges? b) Hány dobogós sorrend lehetséges? 3. Egy fagylaltárusnál 6-féle különböző ízű fagylalt kapható. Réka szeretne kérni háromgombócos kelyhet úgy, hogy a három gombóc különböző ízű. Hányféleképpen teheti meg? 4. Amerikában hatos lottót játszanak az emberek úgy, hogy 70 számból választanak. Hány darab szelvényt kellene megvásárolnunk ahhoz, hogy biztosan legyen egy telitalálatunk? 5. Egy dobozban két számkártya található:

2

5

A dobozból visszatevéssel húzunk kétszer egymás után. a) Adja meg, hogy hányféle lehetőségünk van a húzásra! b) mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz 2-es szám a húzottak között? 6. Egy dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott szám 2-nél nem nagyobb? 7. Hányféleképpen lehet kiolvasni az ábrából a KERET szót?

K E R E T

E R

E T

R E

T

E T

T

8. Ábrázolja azt a hatpontú gráfot, melynek fokszámai: 3, 3, 3, 2, 2, 1. 9. Egy tíztagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? 10. Az alábbi szavak betűit az összes lehetséges módon sorba rendezve, hányféle hatbetűs „szó” alkotható? ISKOLA KATONA 11. Egy iskolai sakkversenyen 8 tanuló indul. c) Hány beérkezési sorrend lehetséges? d) Hány dobogós sorrend lehetséges, ha az első négy helyezettet jutalmazzák?

12. Hány háromjegyű számot képezhetünk az 1, 2, 3, 5 számjegyekből, ha nem engedjük meg az ismétlődést? 13. Franciaországban hetes lottót játszanak az emberek úgy, hogy 85 számból választanak. Hány darab szelvényt kellene megvásárolnunk ahhoz, hogy biztosan legyen egy telitalálatunk?

23

14. Egy dobozban három számkártya található:

1

5

7

A dobozból visszatevéssel húzunk kétszer egymás után. c) Adja meg, hogy hányféle lehetőségünk van a húzásra! d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz 5-ös szám a húzottak között? 15. Egy dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott szám 2-nél nem kisebb? 16. Hányféleképpen lehet kiolvasni az ábrából a SZÉK szót?

S Z É K

Z É

K

É K

K

17. Egy ötcsúcsú gráf pontjainak fokszáma: 3, 3, 3, 2, 1. 18. Egy nyolctagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt?

19. Hányféle, a magyar zászlóhoz hasonló háromsávos zászlót lehet készíteni 6 színből, ha minden szín legalább egyszer fordulhat elő? 20. Egy ötpontú gráfban megrajzoltunk 8 élt. Mutassuk meg, hogy van legalább két olyan csúcs, amelyből pontosan 3 él indul ki!

21. Egy gráfban 5 csúcs van, amelyekből rendre 4, 3, 2, 2, 1 él indul. Hány éle van a gráfnak?

22. Öt ember között sorsolnak ki öt különböző jutalmat úgy, hogy neveiket egy kalapból egymás után kihúzzák. Hány különböző sorrendben húzhatják ki az öt nevet?

23. Egy kutyakiállításra 15-en neveztek be, mindenki egy kutyával. Hányféleképpen sorakozhatnak fel egymás mellett, ha a kutyák és gazdáik felváltva állnak?

24. Hány különböző módon olvasható ki a GONDOLKODÓ szó az alábbi ábrából, ha G-től indulva csak jobbra vagy lefelé haladhatunk? G O N D O N D O N D O L K O D O D Ó

24

25. Egy pénzérmét kétszer egymás után feldobunk. mekkora annak a valószínűsége, hogy a két dobás közül legalább egy írás? 26. Anna, Bori, Cili és Dóri moziba mennek. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé?

27. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha egy dobókockával dobunk, akkor a dobott szám prím? 28. A 3, 4, 5, 6 számjegyekkel négyjegyű számokat írunk fel úgy, hogy egy számjegyet többször is felhasználhatunk. a) Hány különböző számot lehet felírni? b) Hány olyan van köztük, amelyben az első és az utolsó számjegy egyforma? c) Hány olyat tudunk felírni, ami páros? 29. Egy cukrászdában háromféle sütemény van: isler, mákos rétes, dobostorta. Egy vevő négy szelet süteményt kér, és rábízza az eladóra a választást. A következő esetek közül válaszd ki, melyik biztos esemény, és melyik lehetetlen esemény! a) Valamelyik sütiből legalább két szeletet kapott. b) Két szelet dobos tortát kapott. c) Mindegyik sütemény különböző. 30. Hányféleképpen tudunk kiosztani 7 különböző könyvet egy 40 fős osztályban, ha egy tanuló csak egy könyvet kaphat? 31. Hány különböző gyöngysort lehet készíteni 20 gyöngyből, ha 10 fehér és 10 kék van köztük?

25