59
DAFTAR PUSTAKA Abink M,
Saker M. 2002. Getting to grif with fair value.
The Staple Inn
Actuarial Society. Bacinello AR. 2001. Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest guaranteed. ASTIN Bulletin. 31(2): 275-298. Bacinello AR. 2003a. Fair valuation of a guaranted life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance. 70(3): 461-487. Bacinello AR. 2003b. Pricing guaranteed life insurance participating policies with
annual premiums and surrender option. North American
Actuarial Journal. 7(3), 1-17. Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. 81(3):637-654. Bodie Zvi, Kane Alex, Markus AJ. 2005. Investasi. Jilid I. Budi Wibowo, penerjemah. Salemba Empat. Terjemahan dari: Invesment. Bowers NL JR, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ.1997. Actuarial Mathematics. Second Edition. The Society of Actuaries. Illinois USA. Briys E, De Varenne F. 1979. On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk an Insurance. 64(4): 673-694. Buhlman H. 2002. New Math for Actuaries. ASTIN Bulletin. 32(2): 209-211. Chance DM. 2004. An Introduction to Derivatives & Risk Management. Sixth Edition. Thomson South Western. Ohio USA. Cox J, Ross S, Rubenstein M. 1979. Option Pricing: a simplified approach. Journal of Finacial Economics. 7: 229-263. Devolder P. 2003. Fair valuation of Actuarial Liabilities in Binomial Environment. Universite Catholique de Louvain. Valencia. Devolder P, Dominguez-Fabian I, 2005. Fair Valuation of Various Participation Schemes in Life Insurance. Astin Bulletin, 35(1): 275-297 Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability With Stochastic Processes. Third Edition, Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.
60
Grosen A, Jorgensen. P.L. 2000. Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies. Insurance Mathematics and Economics. 26(1): 37-57. Hull JC. 2006. Options, futures and other derivatives. Sixth Edition. Pearson Precentice Hall. New Jersey USA. Ross SM. 1993. Introduction Probabilty Models. Fifth Edition. Academics Press. Inc. San Diego.
LAMPIRAN
61
Lampiran 1 Bukti Persamaan (2.22) ,
Sebuah fungsi
,
yang kontinu, dengan turunannya yang juga
kontinu memenuhi 1 2
.
Bukti: ,
Fungsi
merupakan fungsi kontinu dan dapat diturunkan dalam peubah .
Jika ∆ adalah perubahan kecil pada
dan ∆ merupakan hasil perubahan kecil
dalam , maka ∆ Dapat dikatakan bahwa, ∆ berhubungan dengan
∆
1.1
sama dengan pendekatan tingkat perubahan
dikalikan dengan ∆ . Jika dibutuhkan perhitungan yang
lebih teliti, ekspansi deret Taylor pada ∆ dapat digunakan ∆ Untuk fungsi
1 2
∆
1 6
∆
1.2
yang kontinu dan dapat diturunkan pada dua peubah
dan , hasil
yang sama dengan persamaan (1.1) adalah ∆
∆ dan ekspansi deret Taylor pada ∆ ∆
∆
∆
1 2
∆
1.3
adalah
∆
∆ ∆
1 2
∆
1.4
Jika diambil limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati 0, persamaan (1.4) menjad 1.5 Perluasan persamaan (1.5) untuk mencakup fungsi pada peubah yang mengikuti proses It , dengan memisalkan peubah , dan
mengikuti proses It sehingga
,
1.6
dan . Analog dengan persamaan (1.4) ∆ dapat
merupakan fungsi pada
dinyatakan sebagai berikut ∆
∆
∆
1 2
∆
∆ ∆
1 2
∆
1.7
62
Persamaan (1.6) dapat dinyatakan dalam fungsi diskret sehingga ∆
, ,
Atau jika penjelasan
∆
,
1.8
√∆
dihilangkan menjadi ∆
∆
1.9
√∆
Persamaan ini menampakkan perbedaan penting antara persamaan (1.4) dengan persamaan (1.7). Pada saat penjelasan limit digunakan untuk merubah persamaan (1.4) menjadi (1.5), bentuk ∆
diabaikan karena merupakan bentuk orde kedua.
Dari persamaan (1.9) dapat diperoleh ∆
∆
bentuk orde yang lebih tinggi dalam ∆
Hal ini menunjukkan bahwa bentuk yang mengandung ∆
(1.10)
pada persamaan (1.7)
mempunyai komponen ∆ dan tidak dapat diabaikan. Ragam pada distribusi normal baku adalah 1, hal ini berarti 1 0 akibatnya
dengan E melambangkan nilai harapan. Pada saat sehingga nilai harapan ragam pada orde ∆
∆
∆ . Hal itu dapat ditunjukkan bahwa
dan sebagai akibatnya
1 ∆ adalah
∆ dapat diperlakukan sebagai
bentuk nonstokastik dan sama dengan nilai harapan ∆ , pada saat ∆ mendekati 0. Dengan mengambil nilai limitnya pada saat
∆ dan ∆ mendekati nol pada
persamaan (1.7) dan menggunakan hasil terakhir diperoleh 1 2
1.11
mengikuti lema It . Dengan menyubstitusikan
pada persamaan (1.6) ke
dalam persamaan (1.11) diperoleh 1 2 1 2 1 2
63
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.6) 1 1
1
2
2
Bukti:
1 1 1 1 1
1
2
1 1
1
2
1 1 1
1
2 1 1
1 1 1 1
1
2
1 1
2
2
2
2 2
2
.
64
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.19)
2 Bukti: 1 1
1
1
1
1 1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 1
2 2
2 1
2
2 .
65
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.20) 2
Bukti: 1
1
1 1
1
1
2
1
1 1
2
2
2 2
.
66
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (3.21) 2
Bukti: 1
1
1 1
1
1
2
1
1 1
2
2
2 2 2
2
2 2
.
67
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (3.23) v
T
Bukti: v
1
T
T
T
1 1 1
1
1
1 T
T
1 1
T
T
.
68
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (3.24) v
T
Bukti:
v
T
T
1 1
1
t
1
1 1
1 1 1 1
T
t
t
1
T
t
t
1 1
1 1
T
1 1
1 1
T
1 1
T
T
1
1
1 1
1
1 1
1 1
T
dengan 1 1
1
1 1
69
Bukti: 1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
Merupakan deret geometri dengan suku pertama tersebut adalah:
Sehingga jumlah deret 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1 1
.
1 1 dan rasio
.
70
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (3.30)
2 Bukti: Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada
1 2 2
2 1
2
1
2
2 2 1
2
1
2 1
1
, rumus (3.29) menjadi: 1
1
1
dan
2 .
1
71
Lampiran 9 Bukti Persamaan (3.38) ,
Suatu fungsi
ln
memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan 1 1
Fungsi
dan variance rate
memiliki drift rate
. Perubahan Y
dalam waktu antara 0 sampai 1 merupakan sebaran normal dengan rataan . Hal ini berarti:
dan ln
1
ln
1
dengan , rataan
ln
0
,
ln
,
0
1 adalah harga aset pada waktu 1,
0 harga aset pada waktu 0 dan
menyatakan distribusi normal dengan: ln
0 1
Selanjutnya, jika
.
dan simpangan baku
didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
1 , maka nilai harapan menjadi maks
1
1
,0 1
1
1
1 .
5.1
72
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu ln Dengan menyubstitusikan
.
1
ln
0
2
,
5.3
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1.
Fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan 1
/
maks
Selanjutnya untuk menentukan nilai
∞, maka
∞ dan jika
5.4
1
1
,0
perlu adanya
1 menjadi integral menurut .
perubahan batas integral dari integral menurut 1
sehingga .
√2
Jika
5.2
dan ke dalam persamaan (5.2) diperoleh ln
dengan
1
dengan
1
1
ln 1
, maka
. 1 sehingga
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam .
1
5.5
Dengan menggunakan persamaan (5.5) bersama-sama dengan persamaan (5.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (5.1) menjadi maks
1
1
,0
1 1
/
/
1
/
/
1 /
/
/ /
1
√2
/ /
/
1
√2 1
/
1
√2
/
1 √2
/
1 /
73
/
1
/ /
/
ln 1
1
1
ln 1
/
dengan
ln 1
1 ln 1
1
5.6
/
Dengan menyubstitusikan maks
1 /
/
1
,0
ln 1
ln 1
1
/
dan ke dalam persamaan (5.6) menjadi
ln 1
1
ln 1
1 ln
0
2
ln 1
ln
ln
0
2
2
ln 1
ln
0
ln
0
2
0 1
2
74
ln 1
0 2
1
1 0 Karena maks
1 0
1 dan 1
1
ln 1
maka:
,0
1
Nilai opsi call menjadi , ,1
maks
1
1
1 1 1 1
.
,0
75
Lampiran 10 Penurunan Persamaan (3.39)
ln
1 1
2
ln
1 1
2
, ,1
, ,1
, ,1 Bukti:
ln , ,1 ln
ln
ln , ,1 ln
ln
0 2
1
1
1
ln 1
1 1
2
2
0 2
1
1
1
1 1 , ,1
ln 1
2
2
76
Lampiran 11 Penurunan Persamaan (3.45) 1
1
1
1
1
1 1
Bukti: 1
1
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 dan rasio
Merupakan deret geometri dengan suku pertama tersebut adalah:
Sehingga jumlah deret 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
.
1 1
.
77
Lampiran 12 Bukti Persamaan (3.47) ,
Suatu fungsi
ln
memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0 Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan 1 1
Fungsi
dan variance rate
memiliki drift rate
. Perubahan Y
dalam waktu antara 0 sampai T merupakan sebaran normal dengan rataan . Hal ini berarti:
dan ln
ln
0
√
,
√
ln
ln
dengan
adalah harga aset pada waktu ,
,
0
,
atau
0 harga aset pada waktu 0 dan
menyatakan distribusi normal dengan: ln
rataan
0
√ .
dan simpangan baku
Selanjutnya, jika
didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
, maka nilai harapan menjadi
maks
1
,0 1
.
8.1
78
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu ln Dengan menyubstitusikan
dengan
.
8.2
dan ke dalam persamaan (8.2) diperoleh
ln
ln
0
2
,
√ dengan
8.3
juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1.
Fungsi kepekatan peluang dari
dinyatakan dengan 1
/
√2 Selanjutnya untuk menentukan nilai
sehingga .
8.4
maks
perubahan batas integral dari integral menurut ∞, maka
. Jika
,0
1
perlu adanya
menjadi integral menurut
∞ dan jika
1
ln 1
, maka
.
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam
sehingga
.
8.5
Dengan menggunakan persamaan (8.5) bersama-sama dengan persamaan (8.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (8.1) menjadi maks
,0
1
1 1
/
/
1 1
/
1 / /
1
√2
/ /
/
/
√2 1
/
1
√2
/
/
/
1 √2
/
1 /
79
/
1
/ /
/
/
ln 1
1
1
ln 1
dengan
ln 1
1 ln 1
1
8.6
/
Dengan menyubstitusikan maks
1 /
/
dan ke dalam persamaan (8.6) menjadi ,0
ln 1
ln 1
ln 1
1 0
ln
2
√
√
1
/
ln 1
ln 1
0
ln
2
√
0
ln
2 √
1
ln 1
ln
0
2
√
ln
0 2
1 √
80
ln 1
0 2
1 √ 1
Karena maks
0
1 dan
0 ln 1
maka:
,0
1
1
Nilai opsi call menjadi , ,
maks
1 1 1
1 1
1
,0
81
Lampiran 13 Penurunan Persamaan (3.48)
, ,
, ,
ln
1 1
2
√
ln
1 1
2
√
, ,
√
Bukti: ln , ,
0 2
1 √
ln
1
1
ln 1
2
√ ln
1 1
2 √
ln
ln , ,
1 1
√
2
0 2
1 √
ln
1
1
ln 1 √
ln
1 1
2 √
ln
1 1 , ,
√
2 √
2
82
Lampiran 14 Penurunan Persamaan (3.52)
T
0
1
1
1
Bukti: 1 1
T
T
1 1
1 1
T
1 1
1
T
T
T
T
T
1 1
, ,1 , ,1
, ,1 1 1
, ,1 1
, ,1 1
, ,1
1
1
, ,1 1
1
, ,1
1
1
, ,1
1
, ,1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
1
1
1 .
, ,1
1
, ,1
1 1
2
, ,1 , ,1
