Gravitační pole Newtonův gravitační zákon: „Mezi dvěma tělesy o hmotnostech m1 a m2, které jsou od sebe vzdáleny o r, působí stejně velké síly vzájemné přitažlivosti, jejichž velikost je přímo úměrná součinu hmotností m1 a m2 a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r “. r r r r = r2 − r1
m1
r mm r mm r F12 = − κ 1 2 2 r 0 = − κ 1 3 2 r r r
r F21
r r F21 = − F12
κ - gravitační konstanta 6,67·10-11 kg-1.m3.s-2
m2
r r0 r r1
r r2
r F12
O
r r r r Fg = f ( r ) r r
•
gravitační síla je síla přitažlivá a centrální
•
gravitační síla je silou konzervativní a může být proto charakterizována intenzitou E a potenciálem ϕ
Gravitační pole intenzita gravitačního pole: r r Fg Mr E= = −κ 3 r m r
diskrétní rozložení hmoty
r r ρ(r ) r E = − κ∫ 3 r dV r V
spojité rozložení hmoty
potenciál gravitačního pole: r dϕ E = −grad ϕ = − r dr
r r M dr ϕ = − ∫ E ⋅ dr = κM ∫ 2 = − κ + K r r
integrační konstantu K lze volit, obvykle se volí K=0, potom hladina nulového potenciálu se nachází v nekonečnu (r → ∞, ϕ → 0). ϕ = −κ
M r
diskrétní rozložení hmoty
r ρ(r ) ϕ = − κ∫ dV r V
spojité rozložení hmoty
Gravitační pole vztahy pro potenciál a intenzitu hmotného bodu platí též pro tělesa kulového tvaru se středově symetrickým rozložením hmoty (přibližně např.Země) W p = mϕ = − κ
mM r
•
Potenciální energie:
•
Působí-li na těleso pouze centrální síla (např.gravitační), potom na r r těleso působí nulový moment sil: r Fg r r r r r M = r × Fg = 0
mS
dϕ r r r0 r
r dL r r =M =0 dt
Fg = f (r )
r r′
r L = konst.
r
r dr r Fg
m
zachovává se moment hybnosti tělesa
r r r r r r r r r dr r dϕ × r dϕ 2 L = r × (mv ) = mr × = mr × = m r = mωr 2 = konst. dt dt dt
Gravitační pole Země r ag
Gravitační pole Země: Země má velmi přibližný tvar koule (geoid) poloměr: R = 6378·103 m hmotnost: mZ = 5,98·1024 kg
m h
mZ R
•
velikost gravitačního zrychlení v nadmořské výšce h: r ag = E = κ
•
mZ (R + h )2
h=0
a g =& g = κ
mZ 2 = 9 , 8 m / s & RZ2
Potenciální energie tělesa v nadmořské výšce h: ∆W p = W p ( R + h ) − W p ( R ) = − κ h << R
∆W p = mgh
mZ m m m 1 ⎞ h ⎛1 + κ Z = mgR 2 ⎜ − ⎟ = mg R+h R 1+ h / R ⎝R R+h⎠
platí přibližně v blízkosti povrchu Země
Tíhové pole Země Tíha
- síla, která uděluje tělesu zrychlení volného pádu
na povrchu Země je dána vektorovým součtem gravitační síly a síly odstředivé (vyvolané rotací Země) r ω
r r r r G = mg = Fg + Fod
aod = ω r << a g 2
r ∈ (0, R)
r r Fg
tíhové zrychlení – závisí na zeměpisné šířce, zploštění Země,… zeměpisný pól rovník
45o severní šířky
•
g =& 9,83 m/s 2 g =& 9,79 m/s 2 r g n = g =& 9,80665 m/s 2
tíhové pole blízko povrchu Země lze považovat za homogenní
h << R ⇒ ϕ = gh ∆W p = mgh
•
soustavu spojenou s povrchem Země lze přibližně považovat za inerciální
mZ
m
r Fod
r G
R
ω = 7,29 ⋅10 −5 rad/s
úhlová rychlost rotace Země
Gravitační pole – pohyb planet Keplerovy zákony: 1) Planety obíhají kolem Slunce v elipsách málo odlišných od kruhu, v jejichž společném ohnisku je Slunce. 2) Plochy opsané průvodičem planety ve stejných dobách jsou stejné (plošná rychlost je konstantní). w=
dS 1 2 dϕ 1 2 L = r = r ω= = konst. dt 2 d t 2 2m
3) Druhé mocniny oběžných dob planet jsou v témže poměru jako třetí mocniny velkých poloos jejich drah. m p << M S
r v
T 4π ≈ ≈ konst. 3 A κM S 2
2
r r M
m
ϕ A
Gravitační pole – pohyb planet 2
L 2mr 2
Celková energie planety
y
1 1 1 W = mv 2 + WP (r ) = mvr2 + mvϕ2 + WP (r ) 2 2 2
r r
efektivní potenciální energie
2 (W − Wef ) ≥ 0 m
Wef
WP (r ) = − κ
W >0
r1
r0
m
Mm r
M vr =
dr dt
r vr
x
vϕ = r
dϕ = rω dt
L = mrvϕ = mωr 2 = konst.
dr 2 = (W − Wef ) dt m
r2
r vϕ
ϕ
Wef (r )
vr2 =
r v
dϕ L = dt mr 2
r W <0 W0
L
dϕ = W<0 finitní pohyb
mr 2
2 [W − Wef (r )] m
dr
Gravitační pole – pohyb planet objekty v gravitačním poli se pohybují po kuželosečkách
r v
trajektorie závisí na energii tělesa W r (ϕ) =
r r
excentricita kuželosečky
p 1 + ε cos ϕ
α m
ϕ
M p=
L2 κm 2 M
ε = 1+
2WL2 κ 2 m3 M 2
r r r L = L = r × mv = mrv sin α = konst.
W=
• eliptická dráha:
ε <1
W <0
• parabolická dráha:
ε =1
W =0
• hyperbolická dráha:
ε >1
W >0
1 2 mM mv − κ = konst. 2 r
celková mechanická energie tělesa
Gravitační pole – pohyb planet Pro pohyb těles v gravitačním poli platí pohybové rovnice: r r N rj d 2 ri r mi 2 = F = − κ∑ mi m j 3 dt rj j =1 i≠ j
Pohyb těles v gravitačním poli Země r v m
Kruhová (první kosmická) rychlost: v 2 κMm m = 2 = ag m r r Wef (r ) → min .
vk =
R2 = g r ( R + h)
ag
h << R ⇒ vk ≈ 7,9 km/s
M
r vkS R
Parabolická (druhá kosmická) rychlost: 1 κMm W = mv 2 − =0 2 r
vp =
Třetí kosmická rychlost: - parabolická úniková rychlost z působení gravitačního pole Země a Slunce 1 2 1 1 2 mv3 = mvrS + mv 2p 2 2 2
2 κM 2 gR 2 = ≈ 2vk = 11,2 km/s r ( R + h) vkS ≈ 29,8 km/s vrS = 2vkS − vkS = 12,3 km/s v3 ≈ vrS2 + v 2p = 16,4 km/s
Pohyb těles v gravitačním poli Země Příklad: (družice)
m
- určete výšku družice při době oběhu T
v Fg
Fd = Fg
h obvodová rychlost 2
mv mM =κ R+h ( R + h) 2
v = ω( R + h) =
R
2π ( R + h) T
M
4π 2 gR 2 ( R + h) = 2 T ( R + h) 2 stacionární družice h=3
gR 2T 2 −R 2 4π
T = 24 h
h = 35879 km
Pohyb těles v gravitačním poli Země Příklad: (pád Země na Slunce) - určete přibližně, za jak dlouho by Země spadla na Slunce, kdyby byla zastavena na své oběžné dráze TZ = 365 dnů Keplerův zákon 2
TZ T2 = ≈ konst. A 3 ( A / 2) 3
S t=
Z
T T = Z =& 65 dnů 2 4 2
A
Pohyb těles v gravitačním poli Země Video – beztížný stav
SKYLAB (1973-1979) - výška 435 km nad povrchem Země
Pohyb těles v gravitačním poli Země Letadlo Zero-G pro simulaci krátkodobého beztížného stavu
