Gravitáció mint entropikus erő

Gravitáció mint entropikus erő Takács Gábor MTA-BME „Lendület” Statisztikus Térelméleti Kutatócsoport

ELFT Elméleti Fizikai Iskola Szeged, Fizikai Intézet 2012. augusztus 28.

Vázlat 1. Entropikus erő: elemi példák 2. Bekenstein és a fekete lyukak entrópiája 3. Geometria és hőmérséklet 4. Newtoni gravitáció mint entropikus erő 5. Einstein-féle áltrel mint a téridő termodinamikája 6. Diszkusszió 7. Kitekintés E. Verlinde: On the Origin of Gravity and the Laws of Newton, arXiv:1001.0785 T. Jacobson: Thermodinamics of Spacetime: The Einstein Equation of State Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1260-1263, arXiv:gr-qc/9504004 T.Padmanabhan: Thermodynamical Aspects of Gravity: New Insights Rep. Prog. Phys. 73 (2010) 046901, arXiv:0911.5004

Mi fán terem az entropikus erő? Polimer: ∆Econf ≈ 0 S(E , x) = kB log Ω(E , x) ˆ − E +Fx Z (T , F ) = dEdxΩ(E , x)e kB T 1/T = ∂E S

F /T = ∂x S

µkanonikus:

∂x S(E + Fx, x) = 0

⇒

F ∼ −const · kB T hxi

Ozmózis: χs < 1 oldószer aránya µ0s (l , p) = µs (l , χs , p + Π) = µ0s (l , p + Π) + RT log χs ⇒ Π1,2 = M1,2 RT

Π = Π1 − Π2

M1,2 : molaritás, Π: ozmózis nyomás

~ ∆x

~ F

Bekenstein gondolatkísérlete Engedjünk le egy részecskét a fekete lyukba egy fonálon és a horizonthoz nagyon közel beejtjük. Vöröseltolódás miatt: a fekete lyuk tömeg (és felszín) változása akármilyen kicsi lehet, klasszikusan! Megoldás: ha a részecske már a „méreténél” közelebb van a fekete lyukhoz, akkor annak a részének tekinthető. ⇒ a lyuk tömege és felszíne nő egy egységnyit, ami egy bit információ ⇒ a fekete lyuk entrópiája arányos a felszínnel.

Gyorsulás és hőmérséklet Ötlet: részecske mérete a Compton hullámhossz ∆S ∆S

= 2πkB amikor ∆x = ⇓

= 2πkB

~ mc

mc ∆x ~

Unruh hőmérséklet: kB T =

~a 2πc

Értelmezés: ez a hőmérséklet „okoz” a gyorsulást! Entropikus erő: ⇒

F ∆x = T ∆S F = ma !!!

Hőmérséklet és geometria Gyorsulás esetén lokálisan: Rindler koordináták

ds 2 = −dT 2 + dX 2 √ κT = 2κl sinh κt √ κX = ± 2κl cosh κt dl 2 ds 2 = −2κldt 2 + 2κl Euklidészi koordináták: t = itE és T = iTE 2π ⇒ tE ≃ tE + κ κ QFT : T = 2π

Gravitációs erő Bitek száma a gömb felszínén: N =

Ac 3 G~

Ekvipartíció:

Másrészt

1 E = NkB T 2 E = Mc 2

A = 4πR 2

Teszttömeg eloszlás: m tömegű homogén gömbhéj R sugárnál F ∆x

= T ∆S ⇓ ∆S = 2πkB

F

=

GmM !!! R2

mc ∆x ~

Alapvető feltevések 1. ∆S a holografikus felületre merőleges (emergens) irányban 2. A mikroszkopikus szabadsági fokok az ernyőn lokalizáltak (S ∝ A) 3. Ekvipartíció Ez utóbbi nem is kell (eleve csak szabad – kvadratikus Hamiltoni – rendszerekre érvényes) Elég ha az „elveszett” bitek véletlenszerűen kerülnek ki a többek közül, ekkor E ∆S ∝ A Próbáljuk meg ezt kevésbé heurisztikusan összerakni! Miért így csináljuk: ∆S ∝ ∆x T

∝ a

hiszen ∆S, T skalár viszont ∆x, a vektor?! (Visser, arXiv: 1108.5204: ez elég „barokkos” felépítést eredményez)

A newtoni potenciál és a holográfia Tömegpont próbatest ≡ n bit a holografikus ernyőn 1 mc 2 = nkB T 2

Ha elmozdul ∆S = 2πkB ⇒

mc ∆x ~

de ugyanakkor

kB T =

~a 2πc

∆S a∆x ∆S = kB 2 ⇒ a ∝ !!! ez már vektor-vektor! n 2c ∆x

Newton: azaz

~a = −grad Φ ∆Φ ∆S = −kB 2 ⇒ ∆Φ = entrópiacsökkenés/bit! n c

Tehát a newtoni potenciál egy „coarse-graining” változó! (∼ AdS/CFT RG skála!!!)

Visser észrevétele ~ T = |~a| ∝ |∇Φ| de egyben és Ebből:

~ = −∇Φ ~ ∝ ∇S ~ F ~ ∆~x = T ∆S F ~ ~ ∝ ∇Φ ∇S ~ |∇Φ|

Ez csak nagyon speciális esetekben működhet (gömb vagy henger szimmetria), különben nem! (Visser, arXiv: 1108.5204) Vagy lehet egy nagyon „barokkos” felépítést adni, amiben éppen az intuitív szépség vész el...

Ellenvetések I

Első ellenvetés: a termodinamika irreverzibilis (S nő), de a newtoni gravitáció konzervatív! Feloldás: egy entropikus erő lehet konzervatív! Pl. polimer esetén Hook törvény. Feltétel: hőtartály mérete végtelenhez kell tartson, de hiszen: E = Mc 2 nemrelativisztikus határesetben pont E → ∞! Relativisztikusan ne is legyen reverzibilis (gravitációs sugárzás!).

Ellenvetések IIa Második ellenvetés alapja: hideg neutronos kísérlet gravitációs térben (Nesvizhevsky et al.) Neutron állapotok lineáris potenciálban (alul tükör)

Első átviteli lépcsőt itt látják z1 = −r1 l r = −2.338  2 1 ~ l = ≈ 5.9µm 2m2 g

Ellenvetések IIb Ellenvetés lényege (A. Kobakhidze): ha a neutron z magasságban van, akkor az ernyő állapota z + dz-ben ρS (z + dz) = ρN (z + dz) ⊗ ρS/N (z) Mivel a horizont tologatásával tiszta állapotból → kevert, ezért Pz nem hermitikus: ∂ + 2iβ Pz = −i~ ∂z λ = m~n c ≈ 1.3 × 10−9 µm , ebből Mivel ∆SS = 2πkB ∆z λ β = −πmn c ⇒ neutron hullámfüggvénye Ψ ∝ e−z/λ

Az ellenvetés kivédése: (i) helytelen a kiinduló feltevés, miszerint ρS (z + dz) = ρN (z + dz) ⊗ ρS/N (z) (ii) A ∆S-∆z reláció csak klasszikusnak tekinthető testekre igaz (dekoherencia)!

Holografikus szcenárió Kiindulás: a világ hologram egy 2D ernyőn ⇓ a maradék térdimenzió a coarse-graining foka entrópia=µdof ami láthatatlan makroszkopikusan ⇓ anyag pozíciójától függő entrópia ⇒ entropikus erő ⇓ Newtoni potenciál: a coarse-graining „könyvelési eszköze” ~ holografikus irány: ∇Φ, az ernyők az ekvipotenciális felületek a coarse-graning mértéke 0<−

Φ <1 c2

= 1: fekete lyuk horizonton itt van a fóliázás természetes határa!

Gravitációs téregyenlet Statikus ρ(~r ) anyageloszlás. Vegyünk egy ezt körbevevő S ernyőt (ekvipotenciális felület). Tesztrészecskék gyorsulásából az ernyőn a hőmérséklet kB T =

1 ~∇n Φ 2π c

(most helyfüggő!) Másrészt ˆ 1 TdN = Mc 2 = kB 2 S c3 dA dN = G~ Ebből ˆ 1 ~ · d~ M= ∇Φ A Gauss törvénye!!! 4πG S Ez minden ernyőre igaz, ebből E

∇2 Φ(~r ) = 4πG ρ(~r )

Gravitációs erőtörvény levezetése ! m F2 2

δΦ dN 2 2cX ~ r − ~ri ) ∇2 δΦ(~r ) = 4πG mi δ~ri · ∇δ(~ δS

! F1

!

"r1 m1

= kB

" = "0

! F3 m3

i

Entropikus erő:

δW =

X

~ i δ~ri = F

=

~ ∇n Φ 2πkB c

T δS

S

i

T

ˆ

δS = kB

⇓

δΦ dN 2c 2

dN =

c3 dA G~

ˆ ˆ 1 1 δW = δΦ∇n ΦdA = (δΦ∇n Φ − Φ∇n δΦ) dA 4πG S 4πG S ˆ ˆ Φ∇n δΦdA = Φ0 ∇n δΦdA = 0 (δΦ forrásai kívül!) ugyanis S

S

A newtoni erőtörvény X

~ i δ~ri = F

i

1 4πG

ˆ

S

(δΦ∇n Φ − Φ∇n δΦ) dA

Green 2. azonossága ˆ ˆ ~ ) · d~ ~ − g ∇f (f ∇g A = − (f ∆g − g ∆f )dV −előjel: a térfogati integrálás S külsejére megy. f = δΦ

g =Φ

Kívül: ∆Φ = 0 X i

~ i δ~ri F

ˆ 1 Φ∆δΦdA = − 4πG S X ~ ri )δ~ri = − mi ∇Φ(~ i

ahonnan

~ i = −mi ∇Φ(~ ~ ri ) F

Statikus relativisztikus téridő Tegyük fel, hogy a mikroszkopikus elméletnek a Poincaré csoport globális szimmetriája ⇒ az emergens téridő lokálisan Poincaré szimmetrikus lesz. Statikus téridő: van időszerű Killing vektormező ∇a ξb + ∇b ξa = 0 Newton potenciál általánosítása Φ=

1 log(−ξ a ξa ) 2

Fizikai értelme: eΦ a vöröseltolódás faktor, végtelenben Φ = 0. Φ megad egy fóliázást, holografikus ernyők: konstans vöröseltolódás felületek

Gravitációs erő Erő definíciója: vegyük egy szabadon eső (pl. „álló”) m tömegű kis test sebességmezőjét u a = e−Φ ξ ab = u a ∇a u b = e−2Φ ξ a ∇a ξ b Killing egyenlet + Φ definíciója ab = −∇b Φ Hőmérséklet (N b : felület normálisa) T =

~ Φ b e N ∇b Φ 2π

∆S ∝ ∆x :

∇a S = −

⇒ Fa = T ∇a S = −meΦ ∇a Φ

2πm Na ~

(vöröseltolódás faktor: a távoli megfigyelő által kifejtett erő, ami a részecskét egyhelyben tartja). Ugyanezt adja az entrópia maximum elve: ∂a S(E + eΦ(x) m, x) = 0

Einstein egyenlet levezetése I dN = ⇒M = =

1 dA egy bit tömege: T Gˆ ~ 2 ˆ 1 1 TdN = eΦ ∇n ΦdA 2 S 4πG S ˆ 1 dx a ∧ dx b εabcd ∇c ξ d 8πG S

ez a Komar tömegformula. Killing egyenletből ∇a ∇a ξ b = −R bc ξ c vegyük a holografikus ernyő határolta 3-térfogatot ∂S = Σ ˆ ˆ 1 a b Θab n ξ dV = 2 Rab na ξ b dV 4πG Σ Σ ami lényegében az Einstein egyenlet (??).

Einstein egyenlet levezetése II

Mi kell? Lokálisan statikus közelítés: ez az egyenlet minden pont elég kis környezetében leszármaztatható. De: lyuk az érvelésben!

Van jobb: Ted Jacobson, 1995: hasonló jellegű levezetés, de: fényszerű felületekkel + a null geodetikus kongruenciákra vonatkozó Raychaudhuri egyenlettel.

Jacobson: GR mint a téridő termodinamikája I Horizont: megfigyelőfüggő (igen, még BH esetén is!!!) Lokális κ Rindler megfigyelő horizontja: jobbra futó fényszerű vonal Mögé beeső anyag: hő ˆ Θab χa d Σb δQ = T δS = H

χa : lokális boost mező (közelítő Killing). A horizonton χa = −κλk a

d Σa = kd λdA

T =

ahol λ a horizontot generáló geodetikusok affin paramétere. ˆ Θab λk a k b d λdA δQ = −κ H

~κ 2π

χ a δQ

Jacobson: GR mint a téridő termodinamikája II Másfelől δS = ηδA, ahol η egy állandó (mikroszkopikus elméletből kell számolni) és ˆ θd λdA δA = H

ahol θ a horizontot generáló fényszerű geodetikusok expanziója. Raychaudhuri egyenlet: dθ dλ

1 = − θ 2 − σ 2 −Rab k a k b | 2 {z } P-től vett eltérésben másodrendű korrekció

δQ

= T δS =

~κ ~κ ηδA ⇒ Θab k a k b = Rab k a k b 2π 2π

amiből 1 Rab − Rgab + Λgab = 8πG Θab 2 1 G = 4~η

Kvantumgravitáció Einstein egyenlet: a lokális termodinamikai egyensúly feltevésével következő, hidrodinamikai mérlegegyenlet. Gravitációs hullámok a közegben terjedő hang analógjai. ⇒ a klasszikus elméletet nincs értelme megkvantálni! Verlinde: A kvantum szabadsági fokok eggyel kisebb dimenzióban, a holografikus ernyőn élnek. ~ ezen a szinten nem játszik szerepet, mindenből kiesik ~ → ~f (Φ0 ) :

T → Tf (Φ0 ) S → S/f (Φ0 )

TdS invariáns!

G , Λ: a mikroszkopikus elméletből számolandó „anyagi állandók”, amik a makroszkopikus közeget jellemzik.

Holografikus Világegyetem Ötlet: Hubble horizont = holografikus ernyő (G.F. Smoot et al.) Eredmény: az ebből adódó entropikus erő megmagyarázza a gyorsuló tágulást!

a¨ (I ) a ¨a (II ) a

  3P 4πG ρ + 2 + H2 = − 3 c   3P 3 2 4πG 3 ˙ ρ+ 2 + = − H + H 3 c 2π 4π

(I): egyszerű dimenziós analízis (II): Einstein egyenlet felületi tagjából számolt korrekció

Van javaslatuk entropikus erő hajtotta inflációs modellre is... (Update: most már megszorítások is vannak a lehetséges paraméterekre)

Módosított Friedmann egyenlet Húrelmélet/LQG: S(A) = kB

Ac 3 + . . . log A + . . . A−1 + G~

Vegyünk egy s(A) ∝ An korrekciót, ekkor a Newton törvény módosított alakja:   ∂s GmM 2 1 + 4lPlanck − R ∂A és ebből a Friedmann egyenlet  X k 8πG 1 + σ 1 + 3ωi H 2+ 2 = a 3 1 + 3ωi − 2n i

2 lPlanck

És akkor rengeteg paraméterrel lehet játszadozni...

1 H2 +

k a2




!n−1 

 ρi