GESERAN (TRANSLASI) Ketentuan dan Sifat-sifat Dalam Bab setengah putaran, bahwa setengah putaran dapat ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka S A = M g M h . Dalam Bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
Teorema 10.1 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB maka AA' = BB" dengan A" = M h M g ( A) dan B" = M h M g ( B ) Bukti:
Y
A’
A
A’’
N
B
B’’
B’
X h
g Ambil titik A dan B sebarang dengan A≠B dan
,
,
,
Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2) Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adala1h titik tengah
.
Andaikan persamaan garis h adalah x=h, k≠0. Ambil titik P(x,y), P
h
Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga
memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan P(x,y)
maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah Karena Q(k,y) dan P(x,y),maka dimisalkan P’=(x1,y2) maka diperoleh
x + x y1 + y Q= 1 , 2 2 x + x y1 + y ⇔ k, y = 1 , 2 2 Sehingga : x1 + x =k 2 ⇔
⇔
x1 + x = 2k x1 = 2k − x y1 + y =y 2
⇔ ⇔
y1 + y = 2 y y1 = y
Jadi, Mh(P)=P’=(2k-x,y) Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka Mg(P)=P”=(-x,y) Jadi M h M g ( p ) = M h [ M g ( p )]
= M h [(− x, y )] = (2k − (− x), y ) = ( 2k + x, y ) Karena A = (a1 , a 2 ) dan B = (b1 , b2 ) Maka
A” = M h M g ( A) = M h [ M g ( A)] = M h (− a1 , a 2 ) = (2k + a1 , a 2 )
B” = M h M g (B ) = M h [ M g ( B )] = M h ( −b1 , b2 ) = ( 2k + b1 , b2 )
Karena N titik tengah
,
(2k + a! ) + b1 a 2 + b2 Maka N = , 2 2 2k + a1 + b1 a 2 + b2 Jika N = , dan A=(a1, a2) 2 2
2k + a1 + b1 a + b2 maka S N ( A) = 2 − a1 ,2 2 − a 2 2 2 = (2k + b1 , b2 ) = B" Dengan demikian maka Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuqh titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).
Teorema 10.2 Apabila
=
maka
Bukti: Dipunyai AB = CD Ambil x sebarang Misalkan G AB ( x) = x1 dan GCD ( x) = x 21 Maka xx1 = AB dan xx 2 = CD Karena AB = CD maka xx1 = xx 2 Ini berarti bahwa x1 = x 2 Jadi G AB = GCD
Teorema 10.3 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan
sebuah garis berarah
tegak lurus pada g dengan C g dan D h. Apabila
=
maka
GAB=MhMg Bukti: Ambil titik P sebarang Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P) Akan dibuktikan P’=P” Menurut definisi geseran =
Karena
, maka
=
Berhubung C ∈ g maka M h M g (C ) = M h [ M g (c)] = M h (c ) = C" Ini berarti D titik tengah
, sehingga
Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh Jadi
=
= =
, maka P’=P”
Jadi GAB(P)=MhMg(P) Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg
Catatan 1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada
dan
berjarak ½ AB. 2. Jika
sebuah garis dan M titik tengah
sedangkan g, h dan n tiga garis
masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada
maka
GAB=MhMg=MnMh. 3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran adalah suatu isometric langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan.
Teorema 10.4 Jika GAB sebuah geseran maka (GBA )-1 = GBA Bukti: Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3) Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1) Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1) Maka setiap geseran memiliki balikan Perhatikan gambar berikut:
g
A
n
h
|
B
|
C
Dari uraian diatas Diperoleh
GAB(A)=MhMg(A) =Mh[Mg(A)] =Mh(A) =B GAB(A)=MnMh(A) =Mn[Mh(A)] =Mn(B) =B
Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh Sedangkan
GBA(B)=MhMn(B) =Mh[Mn(B)] =Mh(B) =A GBA(B)=MgMh(B) =Mg[Mh(B)] =Mg(A) =A
Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh
Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1 = Mh-1 Mn-1 = MhMn =GBA -1
Jadi (GAB) =GBA
Teorema 10.5 Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga =2
maka GAB = SCSD
Bukti : Andaikan g =
, k ± g di C, m ± g di D (gambar 10.5)
B g D C
A
m Gambar 10.5 Maka
k
ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena
=2
maka GAB = MmMk
(Teorema 10.3)
sedangkan SD = MmMg
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg ) g D
dan SC = MgMk
m
(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk )
g C
k
Jadi :
SCSD = (MmMg)(MgMk)
= Mm (MgMg) Mk
(Sifat asosiatif hasil kali transformasi) (Transformasi identitas)
= Mm I Mk
= M m Mk Dengan demikian maka GAB = SCSD
Teorema 10.6 Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran
adalah
suatu
setengah putaran Bukti: Andaikan GAB suatu geseran. Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga
=
Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah
.
, berarti
=2
.
Menurut teorema 10. 5, GAB=SDSC GABSC=SDSCSC GABSC=SD[SCSC] GABSC=SD I GABSC=SD Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.
Akibat : Andaikan SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC Bukti : Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC SCSBSA=GZBC SA Ambil titik X sebarang Misal GZBC SA=SX Sehingga diperoleh 2
=2
atau
=
Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik D maka diperoleh GZBC SA=SX SCSBSA= SD dengan AD=BC Jadi, jika SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD = BC
Teorema 10.7 Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi Bukti : Andaikan dua buah geseran yaitu
dan
B
E ’
A
C
Diperoleh Jika
dan
dikomposisikan dengan
maka didapa
E
melalui A
E’’
Andaikan titik E sebarang Diperoleh Berarti
Berarti Jika
dikomposisikan dengan
Berarti
melalui titik E, maka diperoleh
sehingga diperoleh
G EE " ( E ) = E " = G AC
Jadi
Atau Pembuktian menggunakan teorema 10.5 Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2
dan titik R sehingga 2
Diperoleh Jika
dikomposisikan dengan
maka diperoleh
(assosiatif) (Identitas transformasi) (Identitas transformasi) Karena 2
maka diperoleh
Jadi
Teorema 10. 8 Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(x+a,y+b) maka T=GOA. Bukti : Ambil titik P(x,y) dengan T(P) = (x+a,y+b)
Missal GOA(P) = P’, berarti Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b) Jadi T(P) = P’= GOA(P),
P
V
Ini berarti T = GOA. Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7 Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan
dan
Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d) Karena
maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)
Karena
maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)
Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)] = GKH(x+a,y+b) = ((x+a)+c,(y+b)+d) = (x+(a+c),y+(b+d)) Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik (a+c,b+d).
SOAL TUGAS 1 1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris. a. Lukislah b. Lukislah c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A d. Lukislah g dan h sehingga C
g dan
gdan sehingga
2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g
.Lukislah :
a. Garis h sehingga b. Garis k sehingga c. Garis m sehingga m’ d. Titik C sehingga 3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis trersebut. a. Lukislah titik B sehingga b. Lukislah titik C sehingga 4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar
D
B A
C P
Lukislah : a.
g
b. Garis h sehingga
g
c. d. 5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana : a. b. c.
R R R
6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah : maka
a. Jika
b. Setiap translasi adalah suatu involusi c.
dengan
d. Apabila M titik tengah e. Apabila g’
, maka
(g), maka g’ // g
7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga 8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4) a. Tentukan C’ b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C
g dan sehingga
9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B. a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C) b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)
10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = a.
tentukanlah :
jika P = (x,y)
b. Titik D sehingga c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h
(g)
SOAL TUGAS 2 1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P a. Tentukan GABSC(P) b. Tentukan SCGAB (P) c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE c. Tentukan F sehingga GABSC = SF 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah : a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X 4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b). Tentukan S-1 (P) b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1 5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi) d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3) Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G
7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinatkoordinat titik D sehingga GCD = SBSA. 8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat, buktikan : a. SBSA adalah suatu translasi b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka
=2
9. Buktikan sifat-sifat berikut : a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa 10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5) a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P) b. L =
. Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)
JAWABAN TUGAS 1 1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris
C A
B
a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)
A
B=GAB(A)
A’=GAB(B)
b. Lukislah GAB(C)
C’=GAB(C)
C B
A
c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A ∈ g dan GAB=MhMg
g
h GAB(A) =B MhMg(A)=B
A
} GAB=MhMg
B
d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C ∈ g dan sehingga GAB=MhMg
C A
B g
h
2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g ⊥ AB. a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB
g
h g A
h
B C
} A
B
GAB(A)= B MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B
} MhMg=GAB
b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB
g
k
A
B
GAB(A)= B MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B
}
c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)
m’
m
A
B
GAB (m) = B m’ = GAB(m) m’ = B d. Titik C sehingga GBA(C) = B
B
A
GAB(C) = B
C
MgMk=GAB
3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut. a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B g
h
Mg(A)=A’
A
B= Mh(A’)
b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C g
C= Mg(A’ )
h
Mh(A)=A’
A
4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g
D
B A C P Lukislah !
a) GCD GAB (P)
P”
P’ P GAB (P) = P’
dimana PP’ = AB
GCD (P) = P”
dimana P’P” = CD
b) GCD GBA (P)
P” P P’
GBA (P) = P’
dimana PP’ = BA
GCD (PP) = P”
dimana P’P” = CD
c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g
h g = GABGDC (h) h’ = GDC (h)
d) G3AB (P)
P”’ = G3AB (P)
P” P’ P 5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana: a. GABGCD(P)=R b.
SAGBC(P)=R
c. (GAB)-1 Mg(P)=R Penyelesaian:
6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah: a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah) Bukti: Dipunyai GAB=MgMh. Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif). Jadi GAB ≠ MhMg. Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah) Bukti:
Misal: GAB=MhMg. Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1 = Mg-1Mh-1 = MgMh
≠ GAB. Jadi GAB bukan suatu involusi.
(Benar)
c. GABGAB= GCD dengan Bukti: Ambil sembarang titik P.
Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5. Karena GAB(P)=P2 maka GAB(P2)=P4 maka
dan
GABGAB(P)=P4 maka , akibatnya P4 = P5 .
Sehingga Jadi GABGAB(P)= GCD(P).
Karena P sembarang maka GABGAB= GCD. d. Apabila M titik tengah e. Apabila g’ =
, maka
(g), maka g’//g ( Benar)
7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga
Jawab : Jelas g dan h ⊥ Persamaan garis
dan jarak antara g dan h
(Benar)
Jadi
Misal A ∈ g maka persamaan garis g
, A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint AB
Jarak antara g dan h
) )
Jadi C(-1,5) Persamaan garis h ⊥ AB dan melalui C(-1,5)
Jadi g : y = h:y= 8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4). a. Tentukan C ' = G AB (C ). Penyelesaian: Karena C ' = G AB (C ) maka
Jelas CC ' = AB
⇔ CC ' 2 = AB 2 ⇔ ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ⇔ ( x 2 − 2 ) 2 + ( y 2 − 4) 2 = ( − 5 + 1) 2 + ( − 1 − 3) 2 ⇔ ( x 2 − 2 ) 2 + ( y 2 − 4) 2 = ( − 4) 2 + ( −4 ) 2 Sehingga x 2 − 2 = −4 ⇔ x 2 = −2 dan y 2 − 4 = −4 ⇔ y 2 = 0. Jadi C ' = G AB (C ) = (−2,0). b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C ∈ g dan sehingga MhMg= GAB. Penyelesaian:
m AB = Jelas
y 2 − y1 − 1 − 3 − 4 = = = 1. x 2 − x1 − 5 + 1 − 4
Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan g ⊥ AB , h ⊥ AB. Sehingga diperoleh m AB ⋅ m g = −1 ⇔ 1 ⋅ m g = −1 ⇔ m g = −1 . Karena g//h maka m g = m h = −1 .
Misal garis h melalui titik D maka Sehingga diperoleh CD = 1 AB 2
⇔ CD 2 = 14 AB 2 ⇔ ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = 14 [( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ] ⇔ ( x 2 − 2 ) 2 + ( y 2 − 4 ) 2 = 14 ( − 5 + 1) 2 + 14 ( −1 − 3) 2 ⇔ ( x 2 − 2 ) 2 + ( y 2 − 4 ) 2 = ( 12 ⋅ −4 ) 2 + ( 12 ⋅ − 4) 2
Jadi x 2 − 2 = 12 ⋅ −4 ⇔ x 2 = 0 dan y 2 − 4 = 12 ⋅ −4 ⇔ y 2 = 2. Jadi titik D(0,2). Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan m g = −1 adalah y − y1 = m( x − x1 ) ⇔ y − 4 = −1( x − 2) ⇔ y − 4 = −x + 2 ⇔ y = −x + 6
dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan mh = −1 adalah y − y1 = m( x − x1 ) ⇔ y − 2 = −1( x − 0) ⇔ y − 2 = −x ⇔ y = − x + 2.
9. Diket A(2,1), B(5,-3) Ditanyakan a. misal
maka sehinggga dan
Jadi C’(7,-2) b.
dengan misal maka
sehingga dan
Jadi 10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.
a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y). Jawab: Jelas
G AB ( A) = B
⇔ G AB (2,−1) = (3,4) ⇔ ( 2 + a,−1 + b) = (3,4). Sehingga 2 + a = 3 ⇔ a = 1 dan − 1 + b = 4 ⇔ b = 5. Jadi G AB ( P) = G AB ( x, y ) = ( x + 1, y + 5). b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3). Jawab: Misal titik D ( x1 , y1 ) maka G AB ( D) = (1,3) ⇔ G AB ( x1 , y1 ) = (1,3) ⇔ ( x1 + 1, y1 + 5) = (1,3). Sehingga x1 + 1 = 1 ⇔ x1 = 0 dan y1 + 5 = 3 ⇔ y1 = −2. Jadi titk D(0,-2). c.
Tentukan sebuah persamaan untuk garis
h sehingga h = G AB (g ).
Jawab: h = G AB ( g ) = G AB ( y + 2 x = 4) ⇔ y + 5 + 2( x + 1) = 4 ⇔ y + 5 + 2x + 2 = 4 ⇔ 2 x + y = −3 .
JAWABAN TUGAS 2
1. Diketahui ruas garis berarah
dan titik-titik C dan P
a) Tentukan GABSC(P) Penyelesaian : GABSC(P)=GAB[SC(P)] =GAB(P’)
dengan C adalah titik tengah
=P”
dengan
b) Tentukan SCGAB(P)
Penyelesaian : SCGAB(P)=SC[GAB(P)] =SC(P’)
dengan
=P”
dengan C titik tengah
c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X Penyelesaian : Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD Ambil titik X sebarang GABSC(X)=SD(X) Diperoleh SD(X)=X, berartti X= Ambil titik E dimana
dan titik D adalah titik tengah
berarti
Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D) = GAB[SC(X)] =GAB(D’)
dengan C titik tengah D’, berarti
=D
dengan
=X Jadi titik X adalah titik tengah
dimana
2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB Penyelesaian :
Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana, 2 b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE Penyelesaian : Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C dimana, c) Tentukan F sehingga GABSC=SF
Penyelesaian : Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah
berarti
dimana, 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah : a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE
b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X 4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S1
(P). Penyelesaian : Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P) =(x+a,y+b)
b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1. Penyelesaian : Ambil titik P sebarang Misal G1=GAB dan G2=GCD G1G2(P)=G1[G2(P)] =G1(P’)
dengan
=P”
dengan
Jadi,
………(1)
G2G1(P)=G2[G1(P)] =G2(P’)
dengan
=P”
dengan
Jadi,
………(2)
Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB G1G2=G2G1 5. Apakah
himpunan-himpunan
berikut
tertutup
terhadap
bersangkutan? a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan. Penyelesaian :
operasi
yang
b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan Penyelesaian :
c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi) Penyelesaian :
d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) Penyelesaian :
e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan. Penyelesaian :
6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G Penyelesaian : SDSC(P)=G(P) SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3) Misalkan D(a,b) [2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)
2a-(2-x)=x+2 2a=x+2+2-x 2a=4 a=2
2b-(-14-y)=y+3 2b=y+3-14-y 2b=-11 b=-5,5 Jadi titik D(2,-5,5) 7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinatkoordinat titik D sehingga GCD=SBSA.
Penyelesaian : Andaikan
=
maka E=(1+[x+3],0+[y-8]) =(4+x,y-8)
Apabila B titik tengah
maka,
x=-1
y=18 Jadi koordinat D=(-1,18) 8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat. Buktikan : a) SBSA adalah suatu translasi Penyelesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang SBSA(P)=SB[SA(P)] =SB(2a1-x,2a2-y) =(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y) =[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]
b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka
=
Penyeleesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] =( b1–a1,b2-a2) =[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y] =[ 2(b1-a1),2(b2-a2)] =2( b1–a1,b2-a2)
=2 Jadi terbukti
=
9. Buktikan sifat-sifat berikut : a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap Penyelesaian :
b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi Penyelesaian :
c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA Penyelesaian :
10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5) a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P) Penyelesaian : SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y) =SA(-6-x,10-y) =2.2-(-6-x),2.1-(10-y) =(10+x,-8+y) Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y) b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L). Penyelesaian : L= x2+y2=4
berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2
SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0] =SA(-6,10) =[2.2-(-6),2.1-10] =(10,-8) Jadi L’={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}
