Építőmérnöki Kar Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Általános- és Felsőgeodézia Tanszék
Geodézia gyakorlat I. Összeállította Bodó Tibor
TARTALOMJEGYZÉK 1. TÉRKÉPRENDSZEREK SZELVÉNYBEOSZTÁSA............................................................................3 1.1. A magyarországi sztereografikus vetületű térképlapok szelvénybeosztása........................................3 1.2. A magyarországi hengervetületű térképlapok szelvénybeosztása ......................................................5 1.3. A magyarországi egységes országos térképrendszer (EOTR) ............................................................7 1.4. A Gauss-Krüger vetületi szelvénybeosztás ........................................................................................8 2. A KIEGYENLÍTŐ SZÁMÍTÁSOK ALAPJAI.......................................................................................9 2.1. A középhiba és a súly fogalma...........................................................................................................9 2.2. Egyetlen mennyiség meghatározására végzett közvetlen mérések kiegyenlítése ............................10 Gyakorló feladatok: ................................................................................................................................12 2.3. Hibaterjedés számítása.....................................................................................................................14 Gyakorló feladatok: ................................................................................................................................17 3. A TEODOLIT HASZNÁLATA, MŰSZERELEMEK .........................................................................18 3.1. Állótengely függőlegessé tétele .......................................................................................................18 3.2. Az optikai vetítő vizsgálata..............................................................................................................18 3.3. Leolvasóberendezések használata....................................................................................................22 Gyakorló feladatok: ................................................................................................................................23 Gyakorló feladatok: ................................................................................................................................27 3.4. Iránymérési és magassági szögmérési jegyzőkönyvek .....................................................................28 4. A TÁVOLSÁGOK MEGHATÁROZÁSA: HOSSZMÉRÉS, TÁVMÉRÉS .....................................31 4.1. A mérőszalag komparálása ..............................................................................................................31 4.2. A szabatos hosszmérés számítása ........................................................................................................34 4.3. Elektrooptikai távmérők vizsgálata..................................................................................................36 5.
MAGASSÁGMEGHATÁROZÁS SZINTEZÉSSEL ÉS TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉSSEL....................................................................................................................38 5.1 Az optikai szintezőműszer szerkezete, a szintezés elve ....................................................................38 5.2 Szintezőműszerek vizsgálata.............................................................................................................39 5.3 Szintezési alappont meghatározása vonalszintezéssel.......................................................................43 5.4 Építménymagasság meghatározása trigonometriai magasságméréssel..............................................50
-2-
1. TÉRKÉPRENDSZEREK SZELVÉNYBEOSZTÁSA
1.1. A magyarországi sztereografikus vetületű térképlapok szelvénybeosztása A térképlapok összefüggésének biztosítása céljából az ország területét - a különböző vetületekben általában eltérő rendszerű - hálóval fedik le. Ezt szelvényhálózatnak nevezik. A nagyméretarányú sztereografikus vetületű térképek szelvényhálózati vonalai a koordináta-tengelyekkel párhuzamos egyenesek. A budapesti kezdőpontú sztereografikus vetület koordináta-rendszerének X tengelye az érintési ponton a Gellért-hegy nevű felsőrendű alapponton - átmenő meridiánnak az egyenesként jelentkező képe. A tengely pozitív szára dél felé mutat, az Y tengelyé pedig nyugat felé. A sztereografikus térképek szelvénybeosztásának alapja a régi rendszerben a négyzetmérföld, az újabb rendszerben a szelvénycsoport. Az öles rendszerben készült - régi -térképek méretaránya 1:2880, illetve ennek többszöröse, a méteres rendszerben készülteké pedig 1:2000, illetve ennek többszöröse. Egy négyzetmérföld 4000 öl x 4000 öl kiterjedésű, vagyis 10 000 katasztrális holdnyi terület volt. Ezt a területet 20 térképlapon ábrázolták. A lapoknak az Y tengellyel párhuzamos oldala 1000 öl, az X tengellyel párhuzamos oldala 800 öl; egy lapon 500 hold terjedelmű területet lehetett térképezni. Ebben a rendszerben a négyzetmérföldek alkotta oszlopokat az X tengelytől mind kelet, mind nyugat felé kiindulva eggyel kezdődő római számokkal jelölték. Az X tengelytől nyugatra fekvő oszlopokat N.o. - nyugati oszlop -, a keletre fekvőket K.o. - keleti oszlop - betűkkel különböztették meg. A rétegeket északról dél felé haladva arab számokkal látták el, mégpedig úgy, hogy az Y tengelyt a 32. és a 33. réteg fogja közre. Így minden négyzetmérföldnek van egy betűkből és számokból álló jelölése. A négyzetmérföldön belül az egyes szelvények még további betűjelzéseket kaptak, éspedig mind a négy síknegyedben keletről nyugat felé a, b, c, d; és északról dél felé e, f, g, h és i betűket. A sztereografikus vetületű méteres rendszerű szelvénybeosztás a szelvénycsoportokon alapszik. Egy szelvénycsoport kiterjedése az Y tengellyel párhuzamos irányban 8000 méter, az X tengely irányában pedig 6000 méter. A koordináta-tengelyek a síkot négy negyedre osztják. Valamely szelvénycsoport jelének első két betűjével azt adták meg, hogy a térképezett terület melyik síknegyedbe esik: D.N., É.N., É.K., D.K. A szelvénycsoport elhelyezkedésére a síknegyeden belül egy római és egy arab szám utal: a római szám azt mondja meg, hogy a szelvénycsoport az X tengelytől nyugatra vagy keletre hányadik oszlopban található, az arab szám pedig azt, hogy az Y tengelytől délre vagy északra hányadik rétegben van. Az egyes szelvénycsoportokon belül a szelvényeket latin kisbetűkkel jelölték, mégpedig mindnégy síknegyedben az origótól távolodva az Y tengely irányában a, b, c, d, e betűkkel, az X tengely irányában pedig f, g, h, i, k betűkkel. Így tehát egy szelvénycsoport 5x5, vagyis 25 lapból áll, amelyek mindegyikén 1600 méter x1200 méter kiterjedésű területet lehet térképezni.
-3-
A sztereografikus rendszer öles szelvénybeosztása
A sztereografikus rendszer méteres szelvénybeosztása
-4-
1.2. A magyarországi hengervetületű térképlapok szelvénybeosztása Magyarországot három ferdetengelyű hengervetület fedi. Az északi rendszer (HÉR) a 47o 55' földrajzi szélességtől északra eső területhez, a középső rendszer (HKR) a 46o 22' és a 47o 55' földrajzi szélességekkel határolt sávhoz, a déli rendszer (HDR) pedig a 46 o 22' földrajzi szélességtől délre eső területhez tartozik. Mindhárom hengervetületi rendszer X tengelye a Gellért-hegy nevű felsőrendű háromszögelési ponton átmenő meridián egyenesként jelentkező képe; a koordináta-rendszer délnyugati tájolású. Mindhárom hengervetületi rendszernek van öles és méteres szelvényhálózata. Az 1:2880 méretarányban (illetve többszöröseiben) készült térképeket öles rendszerű; az 1:2000 méretarányban (illetve többszöröseiben) készülteket pedig méteres rendszerű szelvénybeosztás szerint tagolt lapokra szerkesztették. Mindhárom (HÉR, HKR, HDR) vetületnek külön szelvényhálózata van. A térképlapok szelvénybeosztásának alapja az öles rendszerben a négyzetmérföld, a méteres rendszerben a szelvénycsoport. Az öles rendszerű szelvénybeosztásban a 4000 öl x 4000 öl méretű négyzetmérföldeket oszloponként az X tengelytől kezdve keletre is, nyugatra is eggyel kezdve római számokkal jelölték, a rétegeket pedig az Y tengelytől kiindulva délre és északra is eggyel kezdődő arab számokkal. A koordináta-tengelyek által kijelölt négy síknegyedet D.N., É.N., É.K., D.K. betűkkel különböztették meg. A négyzetmérföldeken belül az egyes szelvényeket latin kisbetűkkel lehet azonosítani, mégpedig minden síknegyedben keletről nyugat felé a, b,c, d; északról dél felé pedig e, f, g, h, i betűkkel. A méteres rendszerű szelvénybeosztás alapja a szelvénycsoport. Az Y tengellyel pérhuzamos irányban 8000 méter,az X tengellyel párhuzamosan 6000 méter oldalhosszúságú, vagyis 4800 hektár területű szelvénycsoport 25 szelvényre van osztva. Az egyes lapok Y irányú oldala tehát 1600 méter, az X irányú 1200 méter; a térképlap területe 192 hektár. A szelvénycsoporton belül az egyes térképlapokat latin kisbetűkkel jelölték, mégpedig az oszlopokat az X tengelytől távolodva a, b, c, d, e betűkkel, a rétegeket az Y tengelytől távolodva f, g, h, i és k betűkkel.
-5-
A hengervetületű rendszerek öles szelvénybeosztása
A hengervetületű rendszerek méteres szelvénybeosztása
-6-
1.3. A magyarországi egységes országos térképrendszer (EOTR) A koordináta-rendszer pozitív X tengelye észak, a pozitív Y tengelye kelet felé mutat. A kezdőpontját a vetületi kezdőponttól délnyugatra helyezték át, nyugat felé 650 km-rel, dél felé 200 km-rel, így az ország területén található valamennyi koordináta pozitív előjelű, és az X koordináta 400 000 méternél kisebb, az Y koordináta pedig 400 000 méternél nagyobb. A szelvényhálózat vonalai a koordináta-tengelyekkel párhuzamosak. A szelvény-beosztás alapja az 1 : 100 000 méretarányú térképek szelvényhálózata. Egy szelvény keret-mérete Y irányban 48 000 méter, X irányban 32 000 méter. A nagyobb méretarányú térképlapok a keretméretek felezésével jönnek létre. A térképszelvények számozását az alábbi ábra mutatja. Az ábrán a sorok számozása az X tengely mentén, délről észak felé 0-tól 10-ig, az oszlopoké pedig az Y tengely mentén nyugatról keletre 0-tól 11-ig tart. Az 1 : 100 000 méretarányú szelvények jelét e számjegyek határozzák meg úgy, hogy az első vagy az első kettő - számjegy az X irányú sorszám, a második - vagy a második kettő - pedig az Y irányú. A keretméretek felezésével előállított nagyobb méretarányú szelvényeknél az északnyugati negyed kapja a 1-es, az északkeleti a 2-es, a délnyugati a 3-as, a délkeleti pedig a 4-es számot. A szelvények méretarányát, a hozzá tartozó keretméreteket, valamint egy lehetséges szelvényszámot az alábbi táblázat tartalmazza. Méretarány 1 : 100 000 1 : 50 000 1 : 25 000 1 : 10 000 1 : 4 000 1 : 2 000 1 : 1 000 1: 500
Keretméret Y [m] 48 000 24 000 12 000 6 000 3 000 1 500 750 375
Szelvényszám X [m] 32 000 16 000 8 000 4 000 2 000 1 000 500 250
65 65 - 2 65 - 21 65 - 214 65 - 214 - 2 65 - 214 - 23 65 - 214 - 231 65 - 214 - 2312
Az 1 : 100 000 méretarányú szelvények számozása és felosztása
-7-
1.4. A Gauss-Krüger vetületi szelvénybeosztás A nemzetközi térképek beosztásának az alapja az 1 : 1 000 000 méretarányú világtérkép. A földi ellipszoidot paralelkörökkel 4-os övekre és meridiánokkal 6-os sávokra osztották. Az övek jelölésére az ábécé nagybetűit használták az egyenlítőtől északra és délre egyaránt, míg a sávokat a Greenwich-csel átellenes meridiántól kezdték el számozni kelet felé, 1-től 60-ig. Tehát az 1 : 1 000 000 méretarányú 4és 6 méretű ívekkel határolt (közel trapéz alakú) térképszelvény jelölése egy nagy betű és egy 1-től 60-ig terjedő szám. Magyarországot négy ilyen szelvény fedi le: L-33, L-34, M33 és M-34. Az 1 : 100 000 méretarányú térképlap az előző szelvényből keletkezik az alábbi módon: a szelvényt paralelkörök (20') és meridiánok (30') segítségével 12-12, tehát összesen 144 részre osztják, A további felosztás a keretméretek felezésével történik az alábbi jelölésrendszer mellett: 1 : 50 000 A,B,C,D 1 : 25 000 1 : 10 000
a,b,c,d 1,2,3,4
A koordinátarendszer X tengelye a 6o-os vetületi sáv középmeridiánjának képe, pozitív ága az északi félgömbön északra mutat, az Y tengely az egyenlítő képe, pozitív ága az északi félgömbön keletre mutat. Abból a célból, hogy az Y koordináták pozitívak legyenek, az X koordináta-tengelyt nyugat felé 500 km-rel eltolták. Az Y koordináták elé vezérszámként a vetületi sáv számának 30-cal csökkentett értékét írják, vagyis azt a számot, amely megmutatja, hogy Greenwichtől keletre hányadik sávban vagyunk. A 6o-os vetületi sáv szélein a hossztorzulás jelentős, ezért műszaki feladatokhoz keskenyebb – 3o-os, esetenként 2o-os - sávokat használnak. Méretarány
1 : 1 000 000 1 : 100 000 1: 50 000 1: 25 000 1: 10 000
Keretméret
λ [° , ,,
]
6 30' 15' 7' 30" 3' 45"
ϕ [° , , , 4 20' 10' 5' 2' 30"
]
Szelvényszám
L - 33 L - 33 - 66 L - 33 - 66 - B L - 33 - 66 - B - c L - 33 - 66 - B - c - 2
Az 1 : 1 000 000 és az1 : 100 000 méretarányú szelvények számozása és felosztása
-8-
2. A KIEGYENLÍTŐ SZÁMÍTÁSOK ALAPJAI 2.1. A középhiba és a súly fogalma A középhiba (a szórás) a mérések pontosságának jellemzésére bevezetett mérőszám. Általánosan használt a Gauss-féle középhiba: n
m=
∑ε ε i
i =1
n
i
ε i = x - li
, ahol
ε i a valódi, véletlen hibasorozat i-dik eleme x
a valódi érték
li a mérési sorozat i-dik eleme; n a mérések száma Ritkábban használatos mérőszámok: - Laplace-féle átlagos hiba n
ϑ= -
∑| ε i =1
|
n
Valószínű hiba : r
r≈
i
a nagyságrendbe rendezett hibasorozat középső eleme, (páros számú elem esetében a két középső átlaga), amely az m középhibával az alábbi közelítő összefüggésben van
2 m. 3
Gyakorlati számításokhoz célszerű bevezetni a súlyt, egy olyan mérőszámot, amely a pontossággal egyenesen arányos.
p=
1 m2
A súly tehát mindig pozitív, dimenziója megegyezik a négyzetre emelt középhiba dimenziójának reciprokával.
A súlyokat legtöbbször mint viszonyszámokat alkalmazzuk, így megszorozhatjuk egy c = µ 2 , dimenzió nélküli arányossági tényezővel. A µ számértéke megegyezik annak a mérési eredménynek a középhibájával, amelynek a súlya egységnyi: értékét a súlyegység középhibájának nevezzük.
p=
µ2
Azonos súlyok esetén a közös súly egységnyinek tekinthető ,
m2
tehát Különböző súlyok esetén:
m=
µ p
és
µ
és m számértéke megegyezik.
µ=m p
-9-
.
2.2. Egyetlen mennyiség meghatározására végzett közvetlen mérések kiegyenlítése Adott: - a mérési eredmények sorozata: l1, l2, ...li, ... ln - a mérési eredmények súlya:
p1, p2, ... pi, ... pn
Meghatározandók : - a mérési eredmények l0 kiegyenlített értéke - a kiegyenlített érték m0 középhibája és p0 súlya - az egyes mérési eredmények mi középhibája
Sorszám 1.
A számítás lépései és jelölésük
Különböző súlyok
Azonos (egységnyi) súlyok
n
kiegyenlített érték l0
l0 =
∑ pi li i =1 n
∑p
n
∑l
l0 =
i
i =1
n
i
i =1
2. 3.
4.
kiegyenlített érték súlya p0
p0 =∑ pi
p0 = ∑ pi = n
javítások
vi =l0 −li
vi =l0 −li
n
i =1
vi ellenőrzés: a számítás élességén belül súlyegység középhibája
µ
6.
∑ pi vi =0 i =1
n
µ =
(a számérték ± előjelű) 5.
n
kiegyenlített érték középhibája m0 (a számérték ± előjelű)
∑
i =1
az egyes mérési eredmények középhibája mi (a számérték ± előjelű)
- 10 -
mi =
i =1
n
∑v
µ p0
µ pi
=0
i
i =1
n
p i vi vi n −1
m0 =
n
µ=
∑v v
m0 =
i i
i =1
n −1
µ p0
mi = µ
1. mintapélda:
azonos súlyú mérési eredmények Adottak az li mérési eredmények, keressük az alábbiakat: 1) kiegyenlített érték 2) kiegyenlített érték súlya 3) javítások (ellenõrzéssel) 4) súlyegység középhibája 5) kiegyenlített érték középhibája 6) a mérési eredmények középhibája
Sorsz i
mérési eredmény li [m]
1
326,008
-
7,8
60,8
2
325,992
+
8,2
67,2
3
326,009
-
8,8
77,4
4
325,988
+ 12,2
148,8
5
326,004
-
Σ
1630,001
javítás vi [mm]
3,8
14,4
0,0
368,6
A számítások eredményei: 1) lo = 326,0002 m 2) p0 = 5 mm-2 3) vi lásd a fenti táblázatot, ellenõrzés: Σ vi = 0 4) µ = ± 9,6 5) 6)
m0 = ± 4,3 mm m1 = … = m5 =
µ = ± 9,6 mm
- 11 -
vi vi [mm2]
2. mintapélda:
különböző súlyú mérési eredmények Számítsuk ki az előző számpéldát úgy, hogy a mérési eredményekhez az alábbi súlyok tartoznak: p1 = 3; p2 = 1; p3 = 4; p4 = 2; p5 = 5 A számítások egyszerűsítése érdekében vonjunk le az összes mérési eredményből egy célszerű értéket, legyen ez 325,980 m. Ekkor pl. az l1 = 325,980 m + 28 mm alakú lesz.
Sorsz. i
mér. eredm. li [mm]
súly pi [mm-2]
pi li
[mm-1]
javítás vi [mm]
pi vi [mm-1]
p i vi vi
1
28
3
84
-
4,8
- 14,4
69,1
2
12
1
12
+ 11,2
+ 11,2
125,4
3
29
4
116
-
5,8
- 23,2
134,6
4
8
2
16
+ 15,2
+ 30,4
462,1
5
24
5
120
-
-
Σ
101
15
348
0,8
4,0
3,2
0,0
794,4
A számítások eredményei: 1) l0 = 325,980 m + 23,2 mm = 326,0032 m 2) p0 = 15 mm-2 3) vi lásd a fenti táblázatot, ellenőrzés: Σ pi vi = 0 4) µ = ± 14,1 5) m0 = ± 3,6 mm 6) m1 = ± 8,1 mm m2 = ± 14,1 mm m3 = ± 7,0 mm m4 = ± 10,0 mm m5 = ± 6,3 mm Gyakorló feladatok: Azonos súlyú mérési eredmények adottak, keressük a kiegyenlített értéket, a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és súlyát. 1) l1 = 559,34 m l5 = 559,31 m
l2 = 559,36 m l6 = 559,26 m
l3 = 559,17 m
l4 = 559,24 m
2) l1 = 256,010 m l5 = 256,011 m
l2 = 255,982 m l6 = 255,982 m
l3 = 256,003 m
l4 = 255,990 m
3) l1 = 100,48 m l5 = 100,50 m
l2 = 100,47 m l6 = 100,46 m
l3 = 100,54 m l7 = 100,40 m
l4 = 100,49 m l8 = 100,51 m
4) l1 = 103,16 m l5 = 103,04 m l9 = 103,02 m
l2 = 103,10 m l6 = 103,09 m l10 = 103,20 m
l3 = 103,18 m l7 = 103,18 m l11 = 103,09 m
l4 = 103,15 m l8 = 103,19 m
5) l1 = 92-30-58 l5 = 92-30-56
l2 = 92-30-57 l6 = 92-30-50
l3 = 92-31-04 l7 = 92-30-59
l4 = 92-31-00 l8 = 92-31-01
ahol pl. 92-30-58 jelöli a 92º 30' 58" es szögértéket.
- 12 -
Különböző súlyú mérési eredmények adottak a hozzájuk tartozó súllyal vagy középhibával, keressük a kiegyenlített értéket, a súlyegység középhibáját, a kiegyenlített érték középhibáját és súlyát. Keressük továbbá (ahol a súlyok adottak) a harmadik mérési eredmény kiegyenlítés utáni középhibáját. 6) l1 = 435,167 m l3 = 435,162 m
p1 = 3 mm-2 p3 = 2 mm-2
l2 = 435,165 m l4 = 435,177 m
p2 = 5 mm-2 p4 = 1 mm-2
7) l1 = 210,345 m l3 = 210,358 m l5 = 210,355 m
p1 = 3 mm-2 p3 = 2 mm-2 p5 = 3 mm-2
l2 = 210,362 m l4 = 210,352 m l6 = 210,367 m
p2 = 1 mm-2 p4 = 2 mm-2 p6 = 1 mm-2
8) l1 = 194,747 m l3 = 194,752 m l5 = 194,745 m l7 = 194,753 m l9 = 194,740 m
p1 = 2 mm-2 p3 = 4 mm-2 p5 = 2 mm-2 p7 = 4 mm-2 p9 = 1 mm-2
l2 = 194,754 m l4 = 194,738 m l6 = 194,750 m l8 = 194,742 m l10 = 194,755 m
p2 = 3 mm-2 p4 = 1 mm-2 p6 = 4 mm-2 p8 = 1 mm-2 p10 = 3 mm-2
9) l1 = 211-05-32 l3 = 211-05-35
m1 = ± 8" m3 = ± 4"
l2 = 211-05-24 l4 = 211-05-28
m2 = ± 2" m4 = ± 2"
m1 = ± 4 mm m3 = ± 6 mm
l2 = 70,718 m
m2 = ± 12 mm
10) l1 = 70,710 m l3 = 70,717 m
A feladatok megoldásai azonos súlyú mérési eredményeknél. 1) l0 = 559,28 m
po = 6 mm-2
µ = ± 71
m0 = ± 29 mm
2) l0 = 256,996 m
po = 6 mm-2
µ = ± 13,4
m0 = ± 5,5 mm
3) l0 = 100,481 m
po = 8 mm-2
µ = ± 41
m0 = ± 15 mm
4) l0 = 103,127 m
po = 11 mm-2
µ = ± 62
m0 = ± 19 mm
5) l0 = 92-30-58,1
po = 8 mp-2
µ = ± 4,1
m0 = ± 1,5"
A feladatok megoldásai különböző súlyú mérési eredmények esetén. 6) l0 = 435,1661 m
po = 11 mm-2
µ = ± 7,3
m0 = ± 2,2 mm m3 = ± 5,2 mm
7) l0 = 210,3541 m
po = 12 mm-2
µ = ± 10,2
m0 = ± 2,9 mm m3 = ± 7,2 mm
8) l0 = 194,7500 m
po = 25 mm-2
µ = ± 7,8
m0 = ± 1,6 mm m3 = ± 3,9 mm
9) l0 = 211-05-27,1
p1 = 1mp-2 p3 = 4 mp-2
p2 = 16 mp-2 p4 = 16 mp-2 µ = ± 12,1
po = 37 mp-2 m0 = ± 2,0"
p1 = 9 mm-2 p3 = 4 mm-2
p2 = 1 mm-2 µ = ± 9,2
po = 14 mm-2 m0 = ± 2,4 mm
10) l0 = 70,7126 m
- 13 -
2.3. Hibaterjedés számítása A hibaterjedés alkalmazása lehetővé teszi az egymástól független mérési eredményekből valamilyen matematikai összefüggéssel meghatározott mennyiség (függvényérték) középhibájának számítását. A mért és a meghatározandó mennyiségek közötti kapcsolatot fejezzük ki az alábbi függvénnyel: F = f (x1 , x2 , x3 , ... xi ,..., xn ) A mért mennyiségeket xi -vel jelöljük, ahol xi általában a mérési eredményt vagy egy mérési sorozat kiegyenlített értékét jelenti. A mért mennyiségek középhibái és súlyai meghatározhatók vagy adottak: m1 , m2 , m3 , ... mi ,... mn ; illetve p1, p2, p3, ...,pi ... pn . Keletkezésüket tekintve ezek lehetnek a kiegyenlített értékek középhibái és súlyai, illetve a mért mennyiséget jellemző mérőszámok, pl: az eltérő pontosságú mérőműszer használatából eredő középhibák és súlyok. Feltételezzük, hogy a mérési eredmények egymástól függetlenek, és azokat csak véletlen hibák terhelik. A hibaterjedés törvénye alapján az x mérési eredményekből és a hozzájuk tartozó mi középhibákból az i F függvényérték középhibája az alábbi: m = F
fi =
ahol az
f12 m12 + f 22 m22 + ... + f i 2 mi2 + ... + f n2 mn2 =
∂F , ∂ xi
n
∑f i =1
2 i
mi2
az F függvény xi változó szerinti parciális deriváltja (i = 1....n)
Ha a mérési eredmények súlya adott: n 1 1 1 1 1 1 = f12 + f 22 + ... + fi 2 + ... + f n2 =∑ fi 2 pF p1 p2 pi pn i =1 pi
Az alábbi példákban a számítás sorrendje a következő: 1) A függvénykapcsolat meghatározása 2) A változók szerinti parciális deriváltak számítása 3) A függvényérték középhibájának a számítása Néhány gyakrabban előforduló függvénykapcsolat és azok középhibái: - A mérési eredmény k-szorosának a középhibája (ahol k = konstans) 1)
F = k x1
2)
f1 = k
3)
mF2 = k 2 m12 ⇒mF = k m1
Példa:
Egy kör sugara r = 12,000m ± 0,005m. Mekkora a kör kerülete és annak középhibája? 1)
K = 2 r π = 2 ⋅ 12 ⋅ 3,14 = 75,398 m
2)
f r = 2π
3)
mk = 2π mr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,005 = ±0,031m
- Összeg vagy különbség középhibája 1)
F = x1 + x2 vagy x1 − x2
2)
f1 =1
3) mF = Példa:
f 2 =1 vagy f 2 = −1 m12 + m22
Egy távolságot két részletben tudtunk megmérni, az alábbi középhibákkal: tAB = 112,000 m ± 0,015 m; tBC = 108,42 m ± 0,05 m. Mekkora a tAC távolság és a középhibája?
- 14 -
1)
t AC = t AB + t BC = 112,000 + 108,42 = 220,420 m
2)
f1 = 1
3)
f2 = 1
2 2 mtAC = mtAB + mtBC = 0,0152 + 0,052 = ±0,052 m
- Számtani közép középhibája azonos (egységnyi) súlyok esetén n
li l1 + l2 + .... + li + .... + ln ∑ i =1 1) F = = n n 1 2) f1 = f 2 = .... = f i = .... = f n = n azonos súlyok miatt: m1 = m2 = ....= mi = .... = mn = m 3)
mF =
1 2 1 2 1 1 m m + 2 m + .... + 2 m 2 = n ( 2 m 2 ) = 2 n n n n n
a számtani közép súlya (az egyes eredmények p1 = p2 = ... = pi = ... = pn súlya egységnyi)
1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 ⋅ + 2 ⋅ + .... + 2 ⋅ = pF n 1 n 1 n 1 n ahonnan pF = n. Egy szöget négyszer megmértünk; egy-egy mérés középhibája m = ± 10". Mekkora lesz a kiegyenlített érték középhibája és súlya?
Példa:
m 10" = = ±5" n 4 pF = n p = 4 ⋅ 1 = 4 mp − 2
mF =
- Szorzat középhibája 1)
F = x1 x2
2)
f1 = x2
3) mF = Példa:
f 2 = x1 x22 m12 + x12 m22
Egy téglalap két oldalát különbözõ középhibával mértük meg. a = 85,00 m ± 0,10 m; b = 7,50 m ± 0,01 m. Mekkora a téglalap területe és annak középhibája? 1)
T = a ⋅ b = 85,00 ⋅ 7,50 = 637,50 m 2
2)
f1 = b
3)
mT =
f2 = a b 2 ma2 + a 2 mb2 = 7,502 ⋅ 0,102 +85,002 ⋅ 0,012 = ± 1,13 m 2
Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy a b középhibája ± 0,10 m és az a közép-hibája ± 0,01 m. 3)
mT = b 2 ma2 + a 2 mb2 = 7,502 ⋅ 0,012 +85,002 ⋅ 0,102 = ± 8,50 m 2
- 15 -
- A hibaterjedés alkalmazása összetett függvény esetén: Egy háromszögben megmértük a háromszög c oldalát és az α és γ szögeket. Számítandó az α szöggel szemben fekvõ a oldal és annak középhibája. A mérési eredmények: c ± m ; α ± mα ; γ ± mγ
Példa:
c
1) a = c
sinα sin γ
2) f c = 1
sinα a = sin γ c
3)
fα = c
cosα cosα sinα sinα =c =c ctg α = a ctg α sin γ sin γ sinα sin γ
fγ = −
c sinα cosγ = − a ctg γ sin 2 γ
1 2 mc + ctg 2 α mα2 + ctg 2 γ mγ2 , c2
ma = a
ahol
mα és mγ analitikus
szögegységben értendõ. Ha az az
mα és az mγ dimenziója ívmásodperc, ezeket a mennyiségeket osztani kell
analitikus
szögegység
(a
ρ ′′ = 206 265′′ ≈ 2 ⋅ 105″ .
ma = a
radián)
ívmásodpercben
mγ2 1 2 mα2 2 2 + + m ctg ctg α γ c ρ "2 ρ "2 c2
- 16 -
kifejezett
értékével
Gyakorló feladatok:
1) Egy hengeres építmény tervezett térfogata 120 m3 ±1 m3. Magassága 10,000 m ± 0,015 m. Mekkora a henger alapkörének sugara és milyen még megengedhető középhibával kell azt kitűzni, hogy a tervezett térfogatfeltétel teljesüljön? (Az építés hibáitól eltekintünk) 2) Poláris pontmeghatározás során ismerjük az alábbiakat: t = 215,640 ± 0,024 m δ = 60º 26' 15" ± 45" Határozzuk meg a pont koordinátáit (x = t cos δ ; y = t sin δ ) és a koordináták középhibáját. 3) Állandó száltávolságú irányszálas optikai távmérővel végzett mérés esetén a vízszintes távolság az alábbi összefüggés alapján számítható ki: tv = k l cos2 α , ahol k = (konstans) = 100; l = 1,271 m ± 0,002 m; α = 3º 10' 30" ± 20". Mekkora a távolság és annak középhibája? 4) Egy háromszögben megmértük az α és a β szögeket. Mekkora a szög és annak középhibája? α = 58º 19' 20" ± 4" ; β = 62º 41' 20" ± 8". 5) Egy háromszögben adott a c oldalhossz, az α és a γ szögek. Mekkora az a oldal és annak középhibája? c = 356,43 m ± 0,05 m; α = 56º 13' 24" ± 6" ; γ = 32º 29' 36" ± 6". 6) A P pont tengerszint feletti magasságát trigonometriai magasságméréssel határoztuk meg az M P = M A + h −l + tV ctg z alábbi képlet szerint: Mérési eredményeink:
7) 8) 9) 10)
MA = 100,00 m ± 0,10 m; h = 1,50 m ± 0,01 m; l = 5,00 m ± 0,01 m; tv = 1001,00 m ± 0,10 m z = 89º 42' 10" ± 20" Mekkora a P pont magassága és annak középhibája? Egy téglalap alakú terület oldalhosszai: a = 50 m és b = 30 m. Milyen azonos középhibával kell megmérni az oldalhosszakat, ha azt akarjuk, hogy a számított terület középhibája kisebb legyen ± 2 m2-nél? Egy gömb alakú víztartály sugarát és annak középhibáját kell meghatározni, ha a tervezett térfogat V = 250 m3 ± 0,5 m3. Távolságmérésnél egy kiválasztott módszerrel egyetlen mérésből a távolságot m = ±12 mm középhibával tudjuk megmérni. Hányszor kell a távolságot megmérni, ha azt 4 mm középhibával akarjuk ismerni? Egy szöget megmértünk ± 8" középhibával. Hányszor kell a szöget megmérni, hogy a kiegyenlített értéket legalább ± 3"-es középhibával ismerjük?
A gyakorló feladatok megoldásai:
3)
r = x= y= tv =
4)
γ
5) 6) 7) 8) 9) 10)
c= 551,50 m mc = ± 0,09 m MP = 101,69 m mP = ± 0,14 m ml = ± 0,034 m r = 3,908 m mr = ± 0,0026 m n= 9 n= 7,1 felfelé kerekítendő (!), tehát 8
1) 2)
1,954 106,391 187,568 126,710
= 58-59-20
m m m m
mr mx my mt
= = = =
± 0,0080 ± 0,0438 ± 0,0318 ± 0,1994
mγ =
- 17 -
m m m m
± 8,9"
3. A TEODOLIT HASZNÁLATA, MŰSZERELEMEK 3.1. Állótengely függőlegessé tétele
Elvégezhető, ha az állótengely-libella (vagy alhidádé libella) az állótengely körül forgatható, maga a tengely pedig két, egymásra merőleges irányban parányi módon is dönthető. Teodolitok esetében a döntés a talpcsavarokkal végezhető, a merőleges irányokat is a talpcsavarok jelölik ki az alábbi módon: - Az elsõ ún. fõirány párhuzamos két, tetszőlegesen választott talpcsavar csúcsát összekötő egyenessel. Ha a két talpcsavart egyforma mértékkel, de ellenkezõ értelemben forgatjuk, a tengely az összekötő egyenessel párhuzamos függőleges síkban (az első főirányban) dől. - A második főirányt a harmadik talpcsavar jelöli ki. Ha ezt a talpcsavart egymagában forgatjuk,a tengely az elõbbi síkra merőleges és ugyancsak függőleges síkban (a második fõirányban) dől. A fűggőlegessé tétel műveletei: 1) Az előkészítés célja az állótengely közelítő függőlegessé tétele. Az elsõ, majd a második fõirányba fordított libella buborékját a megfelelő talpcsavarok forgatásával megközelítőleg középre állítjuk. 2) A vizsgálat célja a libellakörív normális pontjának meghatározása. Az első főirányba forgatott libellán leolvassuk az egyik (célszerűen a pozitívnak tekintett, tehát az igazító csavarok felé eső) buborékvég helyzetét (a1). A libellát az állótengely körül átforgatjuk 180kal, majd leolvassuk a buborék ugyanazon végét (a2). A két leolvasás számtani közepe megadja a normális ponthoz tartozó buborékvég leolvasást:
an =
a1 + a2 2
3) A függőlegessé tétel során először az első, majd a második főirányban (a sorrend fontos!) a megfelelő talpcsavarok forgatásával ráállítjuk a kiválasztott buborékvéget a számított an leolvasásra. 4) Az ellenörzés során az alhidádét lassan körbeforgatjuk, a buboréknak (miután nyugalomba került) ugyanabba a helyzetbe kell visszatérnie. 5) A függőlegessé tétel egyszerű, ha a libella az állótengelyhez igazított, mert ekkor a buborékot csak középre kell állítani először az első, majd a második főirányban. A libella igazításakor az állótengely függőlegessé tétele után a buborékot a libella függőleges igazító csavarjaival középre állítjuk. 3.2. Az optikai vetítő vizsgálata
A pontraálláshoz használt optikai vetítő kis irányzási távolságra szerkesztett tört tengelyű távcső. Igazított állapotban a vetítő távcsövének irányvonala egybeesik az állótengellyel. Az optikai vetítő általában az alhidádéba (ritkábban a műszertalpba) van építve. Az első esetben az optikai vetítő irányvonala az állótengely körül forgatható, emiatt a vizsgálat egyszerűbb. A továbbiakban ezzel az esettel foglalkozunk. Az igazítatlan optikai vetítő irányvonala az állótengely körbeforgatásakor forgásfelületet (henger, kúp, hiperboloid) súrol, amelynek tengelye az állótengely, így az állótengelyre merőleges síkmetszetei körök.
- 18 -
A vizsgálat és igazítás lépései: 1) A teodolitot rögzítjük a műszerállványon úgy, hogy a fekvőtengely a talajtól a méréskor szokásos magasságban legyen. Az állótengelyt közelítően függőlegessé tesszük, majd a talajon az állótengely meghosszabbításában milliméterpapírt rögzítünk, amelyen koordináta-rendszert jelöltünk ki. 2) Az alhidádét elforgatjuk úgy, hogy a leolvasás nagyjából kerek fokérték (φ1) legyen. Az optikai vetítőbe nézve leolvassuk az irányvonal döféspontjának y1 és x1 koordinátáit. 3) Az előző lépést megismételjük az alhidádé 180o-kal átforgatott helyzetében (φ2 = φ1 ±180). A leolvasások: y2, x2. 4) A leolvasásokból számítható: a hibakör középpontja YH = a hibakör sugara
x + x2 y1 + y2 ; XH = 1 2 2
R = RY2 + R X2 =
( y 2 − y1 ) 2 ( x2 − x1 ) 2 + 4 4
5) Ellenörzésül megismételjük a vizsgálatot 90o-kal elforgatott kiinduló helyzet mellett. 6) Ha az optikai vetítő igazítható, az igazítást úgy hajtjuk végre, hogy kijelöljük a papírlapon a hibakör középpontját, majd az optikai vetítő szálkeresztjének igazító csavarjaival a szálkeresztet a kijelölt középpontra állítjuk. Néhány megjegyzés: 1) A vizsgálat során feltételeztük, hogy az objektív optikai középpontja (vagy annak tükörképe) az állótengelyre esik. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az optikai vetítő igazítási hibáját csak a választott (szokásos) műszermagasságban szüntettük meg. 2) Ha az optikai vetítő nem igazítható, a hibakör sugara arról tájékoztat, hogy milyen pontosan tudjuk a teodolitot a pont fölé állítani. Ha úgy ítéljük meg, hogy a hibakör sugara nem elhanyagolható, a pontraállást a következőképpen végezzük: - az alhidádé tetszőleges helyzetében az álláspontul választott pontra elvégezzük a pontraállást, mintha az optikai vetítő igazított lenne; - az alhidádét 180o-kal átforgatjuk és szemre megállapítjuk a pont és a szálkereszt középpontja közötti távolság felezőpontjának helyét; - a teodolitot elcsúsztatjuk az állványfejezeten úgy, hogy az optikai vetítő a felezőpontra mutasson; - ellenörzésül körbeforgatjuk az alhidádét; a szálkereszt középpontjának kört kell leírnia, melynek középpontja a kiválasztott pont.
- 19 -
TEODOLIT EGYES SZERKEZETI ELEMEINEK VIZSGÁLATA
Műszer: ...................................................... Vizsgálta: ...................................................... Dátum: ....................................................... 1) Alhidádé libella buborékjának normálponti helyzete
2) Szelencés libella:
igazított
3) Állószál:
nem igazított
igazított
nem igazított
4) Optikai vetítő vizsgálata: Körleolvasás Szálkör helyzet leolvasása Szálkör középpont Hibakör középpont Hibakör sugár R
Szálkör helyzet leolvasása Y bal
Y jobb
X bal
Szálkör középpont
X jobb
Y
X
ϕ ϕ ±180° 1 2 1 2 1 2 1 2 középérték: A hibakör ábrája:
- 20 -
Hibakör középpont YH
XH
Hibakör sugár R RY
RX
R
- 21 -
3.3. Leolvasóberendezések használata
A leolvasás az index és a beosztás kezdő (zérus) vonása közötti távolság meghatározása és kifejezése a beosztás egységében. A leolvasás két részből áll: - a főleolvasás a beosztás zérusvonása és az indexet közvetlenül megelőző beosztásvonás közötti távolság mérőszáma; - a csonkaleolvasás az indexet közvetlenül megelőző beosztásvonás és az index közötti távolság mérőszáma. A főleolvasást általában rátekintéssel megállapíthatjuk (bizonyos osztásvonások számozottak), a csonkaleolvasást becsléssel vagy ún. leolvasóberendezésekkel határozhatjuk meg. A beosztásos mikroszkóp
A főbeosztás-egység nagyított képét a mikrométerbeosztás tovább osztja. A beosztásos mikroszkóp indexe a mikrométerbeosztás 0-val jelölt (kezdő) vonása. Az indexet megelőző főbeosztás-vonás (amely a főleolvasást adja) mindig a mikrométerbeosztás tartományába esik. A megelőző osztásvonás helyzetét a mikrométerbeosztás osztásegységén belül becsléssel határozzuk meg. Ha a főbeosztás-egység a, a mikrométerbeosztás osztásközeinek száma n, és a megelőző osztásvonás helyzetét 0,1 élesen becsülni tudjuk, akkor az elérhető leolvasási élesség becsléssel:
a . 10 ⋅ n
1. mintapélda:
a=1
n = 60
1 = 0,1' = 6" 10 ⋅ 60 o
A leolvasási élesség becsléssel: Főleolvasás:
210o
Csonkaleolvasás: Teljes leolvasás:
51,3' o
210 51,3' = 210o 51' 18"
2. mintapélda:
a = 10'
A leolvasási élesség becsléssel:
n = 10
10' = 0,1' = 6" 10 ⋅ 10
Főleolvasás:
210o 50'
Csonkaleolvasás:
1,3' o
Teljes leolvasás: 210 51,3'= 210o 51' 18"
- 22 -
Gyakorló feladatok:
Leolvasás:
Leolvasás: V = 32 - 54 - 12 H = 61 - 05 - 00
H = 17 - 08 - 18 V = 84 - 46
Leolvasás: V = 256 - 52 - 06 H = 235 - 05 - 00
- 23 -
Az optikai mikrométeres mikroszkópok
Az optikai mikrométeres mikroszkópok működésének alapja a síkpárhuzamos (plánparalel) üveglemez sugáreltoló hatása. A mikroszkóp objektívje elé helyezett plánparalel lemez forgatásakor a főbeosztás képe elmozdul a mikroszkóp látómezejében. Leolvasáskor a lemezt a mikrométercsavarral addig forgatjuk, amíg a megelőző osztásvonás képe fedésbe nem kerül a képsíkban lévő indexvonással. A mikrométercsavarral összekapcsolt mikrométerdob beosztását úgy készítik, hogy a csonkaleolvasás közvetlenül leolvasható legyen. Az optikai mikrométeres mikroszkópokat szabatos leolvasóberendezéseken használják. A koincidenciás leolvasóberendezés
A koincidenciás leolvasóberendezés a leolvasásokat egyesítő leolvasó-berendezések egyike: a diametrál helyzetű indexpár az osztott kör megfelelő részletével együtt egyazon mikroszkóp látómezejébe van vetítve, így a két leolvasás egyetlen leolvasássá egyesíthető, amely mentes az osztott kör külpontosságának hibahatásától. A leolvasómikroszkóp látómezejét az alábbi ábra mutatja. Látható, hogy ha az optikai mikrométer segítségével az egyik fél-látómező képét eltoljuk úgy, hogy az M1 és M2 megelőző osztásvonások egybeessenek (koincidenciába kerüljenek), akkor a mikrométerrel a két csonka leolvasás összegét mértük meg; a mikrométer dobjának megfelelő beosztásával a szükséges
l1" + l 2" olvasható le. 2
A gyakorlati kivitelben a mikrométercsavar mindkét sugármenetben forgat egy-egy plánparalel lemezt ellentétes irányban. A mikrométercsavar forgatásakor tehát a diametrális körosztás-részletek egymással ellentétes irányban mozognak. Az optikai mikrométer mérési tartománya a főbeosztás legkisebb egységének a fele (a/2) , tehát az osztásvonások csak egyféleképpen hozhatók koincidenciába.
- 24 -
Vizsgáljuk meg a főleolvasás előállításának lehetséges két esetét:
1. eset:
l" <
a 2
(a = 20')
koincidencia után M1 ≡ M2 a főleolvasás l1' = 123o 20'
koincidencia előtt
2. eset
l" >
a 2
(a = 20')
koincidencia után M1 ≡ M2, emiatt az M1 leolvasást a/2-vel növelni kell; l1' = 321o 30' a főleolvasás
koincidencia előtt
Az indexvonás a mikroszkóp képsíkjában lévő szállemezen van, elmozdulása durva leolvasási hibát okozhat, ezért a főleolvasáshoz gyakran nem is készítenek indexet. A főleolvasást az index használata nélkül is előállíthatjuk a következőképpen: 1) Az egyetlen lehetséges koincidencia beállítása után az egyenes állású számokkal jelölt osztásvonások közül kiválasztjuk azt, amelyhez képest a 180-kal eltérő és fordított állású számmal jelölt osztásvonás a kiválasztott osztásvonástól a számozás növekedésének irányában, rendszerint tõle jobbra (esetleg vele koincidenciában) látható (az 1. esetben 123, a 2. esetben 321). 2) Megszámoljuk az osztásközöket a két osztásvonás között (az 1. esetben kettő, a 2. esetben három). Minthogy az index, ha lenne, felezné a két osztásvonás közötti távolságot, ezt a fél-távolságot úgy is megkaphatjuk, ha a teljes távolságot (az osztásközök számát) az osztásköz fél értékével (a/2, mindkét esetben 10') szorozzuk. A főleolvasás tehát az 1. esetben 123o + 2 x 10' = 123o 20', a 2. esetben 321o + 3 x 10' = 321o 30'.
- 25 -
Mind az optikai mikrométer beosztása, mind pedig az indexe a leolvasómikroszkóp látómezejébe van vetítve, így a teljes leolvasás egyetlen szemhelyzetből elvégezhető.
(a = 20') Főleolvasás:
11o 50'
Csonkaleolvasás: Teljes leolvasás:
8' 52,9" o
11 58' 52,9"
Ha a mikrométerbeosztás osztásegységén belül a tized-becslés lehetséges, a koincidenciás leolvasóberendezés leolvasási élessége becsléssel
a , ahol n a mikrométerbeosztás osztásközeinek száma. 2 ⋅10 ⋅n Megjegyezzük, hogy mivel az optikai mikrométer használatával a csonkaleolvasást mérjük, ezért a csonkaleolvasás pontossága ismétléssel növelhető: szabatos méréseknél a mikrométer-leolvasást általában kétszer végezzük el.
- 26 -
Gyakorló feladatok:
Koincidencia előtt:
Koincidencia a vízszintes körön:
Koincidencia a vízszintes körön: Koincidencia előtt:
Koincidencia a vízszintes körön: Koincidencia előtt:
- 27 -
3.4. Iránymérési és magassági szögmérési jegyzőkönyvek
Vázlat: IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV Észlelő: ...................................................... Dátum: ...................................................... Műszer: ...................................................... Időjárás: ......................................................
Álláspont
Irányzott pont
Leolvasás a vízszintes körön ′ I.° ″ ′ ″
506
507
509
Irányérték a központban
II:
′
″
′
″
középértéke
0 180 60 240 120 300
30 30 35 34 02 02
45 32 07 55 52 42
30 30 35 34 02 02
48 33 08 55 53 40
0 180 60 240 120 300
30 30 35 34 02 02
46 32 08 55 46 40
20 200 80 260 139 319
23 23 28 27 55 55
43 29 01 53 51 39
23 23 28 27 55 55
39 25 05 53 47 38
20 200 80 260 139 319
23 23 28 27 55 55
41 27 03 53 49 38
44 224 104 284 164 344
31 31 36 36 03 03
49 33 11 00 55 44
31 31 36 35 03 03
45 31 13 59 51 43
44 224 104 284 164 344
31 31 36 36 03 03
47 32 12 00 53 43
II.° 302
I.
- 28 -
0 - ra forgatott irányérték
kolli máció hiba
0
30
39
0
00
00
-7
60
35
02
0
00
00
-6
120
02
46
0 0
00 00
00 00
-6
20
23
34
19
52
55
-7
80
27
58
19
52
56
-5
139
55
44
19 19
52 52
58 56
-6
44
31
40
44
01
01
-8
104
36
06
44
01
04
-6
164
03
48
44 44
01 01
02 02
-5
IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV
Vázlat:
Észlelő: ...................................................... Dátum: ...................................................... Műszer: ...................................................... Időjárás: ...................................................... Leolvasás a vízszintes körön Állás- Irányzott pont pont I.° ′ ″ ′ ″
II.°
′
″
′
″
Központosítási javítás I és II: középértéke
- 29 -
Irányérték a központban
0 - ra forgatott irányérték
kolli máció hiba
MAGASSÁGI SZÖGMÉRÉS
Vázlat:
Észlelő: ...................................................... Dátum: ...................................................... Műszer: ...................................................... Időjárás: ...................................................... Állás- Irányzott pont
5
pont
101
A jel megirányzott pontja
torony
Leolvasás a magassági körön
I.° II.° 89 270
′ ′
″ ″
′ ′
″ ″
20 39
36 33
20 39
37 35
- 30 -
köz.érték
lI + lII
Javított zenitszög
Index
lI − lII
z
hiba
′
″
°
′
″
20 39
36 34
360 178
00 41
10 04
°
89
20
31
-5
4. A TÁVOLSÁGOK MEGHATÁROZÁSA: HOSSZMÉRÉS, TÁVMÉRÉS 4.1. A mérőszalag komparálása
Komparáláskor a mérőszalag törvényes hosszegységben kifejezett valódi hosszát állapítjuk meg a komparáló alapvonallal történő gondos összehasonlítással. A komparáló alapvonal létesítésekor sima burkolt felületen két milliméter-osztású fémlemezt rögzítünk úgy, hogy a középső (zérussal jelölt) osztásvonásaik a mérőszalag névleges hosszának (általában 20 m vagy 50 m) megfelelő távolságban legyenek. A mérőszalag komparálása előtt a komparáló alapvonalat hiteles mérőeszközzel (normálméterpárral, komparált mérőlécekkel, esetleg komparált mérőszalaggal) többszörös ismétléssel, gondosan megmérjük, így a mérőszalag komparálásakor az alapvonal zérus-vonásai közötti a távolság ismert. A komparálást az alábbiak figyelembevételével végezzük: 1) A mérőszalag hossza függ a szalagot feszítő erő nagyságától, ezért komparáláskor olyan feszítőerőt alkalmazunk (általában a mérőszalag típusától függően 5-10 kg tömeg súlyának megfelelő erő), amilyet mérés közben használunk. A feszítőerő nagyságát a komparálási jegyzőkönyvben fel kell jegyezni. 2) Az acélból készült mérőszalag hossza a hőmérséklettõl is függ, ezért komparáláskor a levegő (szükség esetén a mérőszalag) hőmérsékletét is mérni kell. A komparálási jegyzőkönyvben fel kell tüntetni, hogy a mérőszalag komparálásból nyert l hosszúsága erre a tko hőmérsékletre vonatkozik. A komparálás végrehajtásakor a mérőszalagot végigfektetjük a komparáló alapvonalon úgy, hogy a beosztás kezdő- és végvonásai mindkét oldalon a beosztott fémlemezre essenek. A szükséges feszítőerő alkalmazása után lehetőleg ugyanabban az időpillanatban (adott jelre) leolvassuk a végvonások helyzetét az mm-osztású lemezen, tized mm élességgel. A db (baloldali) és dj (jobboldali) leolvasás előjeles mennyiség, a beosztás zérusvonások közé eső részében az osztásvonások előjele negatív, ezért a mérőszalag hossza egyetlen mérésből l = a + db + dj. A pontosság fokozására a mérést többszöri ismétléssel végezzük úgy, hogy az egyes ismétlések előtt a szalagot hosszirányban kissé elmozdítjuk; ezáltal a mmbeosztás más és más helyén olvasunk le, így a tized-becslés véletlen jellegűvé válik. Egy-egy mérés után előjelesen összegezzük az összetartozó leolvasásokat: d = db + dj. A mérést addig ismételjük, amíg előáll a d értékeknek egy olyan öt elemből álló sorozata, amelyben a legnagyobb és a legkisebb érték eltérése nem haladja meg a 0,3 mm-t. Számítjuk a sorozat elemeinek számtani középértékét:
∆l =
∑ d , majd a szalag komparált hosszát: 5
A mérőszalag komparálási javítása:
l = a + ∆l .
δ k = l − (l ) , a tényleges (komparált) és a névleges hossz különb-
sége. A mérőszalag hőmérsékleti javítása: o
o
δ t =α (t o −t ko ) (l ) , o
ahol
αa
szalag anyagának hőtágulási
együtthatója, t a mérés, tk a komparálás hőmérséklete, (l) a szalag névleges hossza. Acélból készült mérőszalag esetében, ha a névleges hosszat méterben helyettesítjük be, a mm-ben kifejezett hőmérsékleti javítás:
δ t = 0,011(t o − t ko ) (l ) , o
ahol 0.011 a hőtágulási együttható 103-szorosa. A mérőszalag tényleges hossza tetszőleges t o hőmérsékleten: l = (l ) +δ k +δ t o
- 31 -
A gyakorlatban nem a mérőszalag, hanem a mérőszalaggal mért ferde távolság névleges értékét szokás javítani. Ha egy távolság megmérésekor megszámoltuk a szalagfekvések n számát és leolvastuk a szalag hosszánál kisebb (lm) maradéktávolságot, akkor a ferde távolság névleges értéke:
(t ) = n (l ) + (lm ) ; a távolság komparálási javítása:
∆ k =δ k
(t ) ; (l )
a távolság hőmérsékleti javítása:
∆ t o =δ t o
(t ) = 0,011(t o − t ko ) (t ) ; (l )
t = (t )+ ∆ k + ∆ t o .
A ferde távolság tényleges értéke tehát:
A számított t távolságot a mérési feladatnak megfelelően általában redukálni kell a vízszintesre, az alapfelületre és a vetületi síkra.
MÉRŐSZALAG KOMPARÁLÁSI JEGYZŐKÖNYV Szalag azonosítója
Szalagvég leolvasások
t1 Komparálás ideje, helye
t2
Komparálta
o
[ C]
FISKO 50 m BME, Bp.,1999.jan
23,1
Pál Kata
23,2
tk
23,3
Leolvasások előjele ←0→ ←0→ + bal + jobb -
db
dj
[mm]
[mm]
+1,0 +4,5 +8,2 +13,2 +12,6
+1,6 - 2,0 - 5,4 - 10,5 - 10,0
Σ=
- 32 -
Komparátor hossza: a
Szalag hossza
∆l = ∑ d / n
t°k
d b+ d j
l = a + ∆l
[mm]
[mm]
feszítőerő
20 000,91 mm
20,0036 m
+2,64
23,2°
20 003,55 mm
50 N
+2,6 +2,5 +2,8 +2,7 +2,6 +13,2
MÉRŐSZALAG KOMPARÁLÁSI JEGYZŐKÖNYV Szalag azonosítója
t1
Komparálás ideje, helye
t2
Komparálta
o
tk [ C]
Szalagvég leolvasások Leolvasások előjele ←0→ ←0→ + bal + jobb -
db
dj
[mm]
[mm]
- 33 -
d b+ d j [mm]
Komparátor hossza: a
Szalag hossza
∆l = ∑ d / n
t °k
l=a+∆l
feszítőerő
4.2. A szabatos hosszmérés számítása HOSSZMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV SZABATOS SZALAGMÉRÉSHEZ
A lejtő töréspontjainak
Egyenlő lejtésű
Leolvasás a szintezőlécen [cm]
Végpont
folytatólagos mérete [m]
szakaszok hossza [m]
vagy magassági szög α
335 furat
0
Kezdőpont
336 furat
Magasságkülönbség ∆m [cm]
Redukció a vízzsintesre δ v=−(∆m2) ⁄ 2t δ v = − t (1cosα) [mm]
244
Dátum Hőmérséklet Magasság Szalag száma Szalag hossza δ k= l − ( l ) t° - t °k 1999. febr. 03.
15,0
15,0
321
77
19,8
t°1= 29°C
36,2
21,2
199
122
35,2
t°2= 27°C
58,4
22,2
128
71
11,4
t°= 28°C
64,242
5,8
212
84
60,8
m= 126 m
127,2
93. sz. szalag
∑=
19,9956 m ( 50 N , 19°C ) δ k = - 4,4 mm t° - t °k = +9°C
AZ ALAPFELÜLETI TÁVOLSÁG SZÁMÍTÁSA
Redukciók [mm] +
Mért ferde távolság: (t ) = n (l ) + (lm ) Távolság komparálási javítása: ∆ k =δ k Hőmérsákleti javítás: ∆ t o =δ t o Redukció a vízszintesre: ∆v
64,242 14,1
(t ) (l )
(t ) = 0,011(t o − t ko ) (t ) (l )
6,4
=∑ δV
Redukció az alapfelületre: ∆g
127,2
=-m⁄R(t)
1,3
Redukciók összege: ∑ ∆ Alapfelületi távolság: t g = ( t
Távolság [m]
6,4
) + ∑∆
142,6
- 0,136 64,106
- 34 -
HOSSZMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV SZABATOS SZALAGMÉRÉSHEZ
Kezdőpont
Végpont
A lejtő töréspontjainak
Egyenlő lejtésű
folytatólagos mérete [mm]
szakaszok hossza
Leolvasás a szintezőlécen [cm] vagy magassági szög α
Magasságkülönbség ∆m [cm]
Redukció a vízszintesre δ v =−(∆m2) ⁄ 2t δ v = − t ( 1cosα) [mm]
Dátum Hőmérséklet Magasság Szalag száma Szalag hossza δ k= l − ( l ) t° - t °k 1999. t°1 =.....°C t°2 = ....°C t° = .....°C M = ..... m
...... sz. szalag ............. m ( 50 N , ....°C )
δ k = . ....... mm t° - t °k= ......°C
AZ ALAPFELÜLETI TÁVOLSÁG SZÁMÍTÁSA
Mért ferde távolság: (t ) = n (l ) + (lm ) Távolság komparálási javítása: ∆ k =δ k Hőmérsákleti javítás: ∆ t o =δ t o Redukció a vízszintesre: ∆v
(t ) (l )
(t ) = 0,011(t o − t ko ) (t ) (l )
=∑ δV
Redukció az alapfelületre: ∆g
=-m⁄R(t)
Redukciók összege: ∑ ∆ Alapfelületi távolság: t g = ( t
)+∑∆
- 35 -
Redukciók [mm] +
Távolság [m]
4.3. Elektrooptikai távmérők vizsgálata
A távmérés eredménye a meteorológiai javítás figyelembe vétele után még nem tekinthető a ferde távolság értékének, csak ha megjavítottuk az összeadóállandó és a szorzóállandó értékével. Az összeadóállandó azt fejezi ki, hogy a műszer elektromos zéruspontja és a visszaverő berendezés optikai zéruspontja nem esik egybe a felállítási pont függőlegesével. Az összeadóállandó tehát a műszerállandó és a prizmaállandó előjeles összege. Az összeadóállandó meghatározása
A műszergyárak a távmérő szerkesztésekor a műszerhez rendszeresített prizmatípushoz az összeadóállandó automatikus figyelembe vételét megoldják. Azonban ez nem tekinthető változatlannak egyrészt azért, mert az elektromos zéruspont helyzete idővel megváltozhat, másrészt előfordulhat, hogy nem a távmérőhőz rendszeresített prizmát használjuk. Ezért az összeadóállandó értékét időnként ellenőrizni kell. A következőkben az összeadóállandó meghatározásának egy egyszerűen végrehajtható módját ismertetjük. Közel vízszintes terepen, egy kb. 100 m-es távolság végpontjain állítsunk fel egy-egy műszerállványt. Egy harmadik műszerállványt helyezzünk el a már felállított két műszerállvány egyenesébe, valamelyik ponttól kb. 30 m távolságban. A távolságok feleljenek meg a finommérés léptéke (általában 10 m) egész számú többszörösének. A kényszer-központosítóval felállított műszerállványok közötti lehetséges távolságokat mérjük meg az alábbi elrendezés szerint:
s12
s23
⊗--------------------⊗-----------------------------------------⊗
1
2
3
s13 Ha az összeadóállandó értékét c-vel jelöljük, akkor felírható az alábbi összefüggés:
( s12 + c) + ( s23 + c) = ( s13 + c) , amiből
c = s13 − ( s12 + s23 ) . Az összeadóállandó pontosabb értékének meghatározásához a távolságokat legalább ötszörös ismétléssel mérjük úgy, hogy minden mérést megismételt "elektromos irányzással" hajtsunk végre. Az egyes távolságokhoz tartozó mérési sorozatokból számítható a távolság kiegyenlített értéke és annak középhibája. Az egyes középhibák ismeretében számítható az összeadóállandó középhibája: 2 mc = m132 + m122 + m23
Itt kell megjegyezni, hogy a meghatározás pontossága fölös mérésekkel (az osztópontok számának növelésével) fokozható. A gyakorlatban általában a távolságot öt osztóponttal hat szakaszra osztják, majd a távolságokat minden kombinációban megmérik. Ez összesen 21 mérést jelent, melyből a 7 ismeretlen (a hat szakasztávolság és az összeadó- állandó) 14 fölös méréssel határozható meg.
- 36 -
A szorzóállandó meghatározása
A szorzóállandó azt fejezi ki, hogy a finommérés frekvenciája nem felel meg a névleges gyári értéknek. Ilyenkor a műszer nem a számításhoz alapul vett léptéket állítja elő. Meghatározása kétféleképpen lehetséges. Az egyik esetben megmérik és a "kell" értékre állítják a mérő alapfrekvenciát. A másik megoldásnál a hitelesítő alapvonal szakasztávolságait szabatos, nagypontosságú műszerrel megmérik. Ekkor az előbbi példa alapján felírható 21 egyenletben csak két ismeretlen szerepel: az összeadóállandó és a szorzóállandó. A mérési jegyzőkönyv:
ELEKTROOPTIKAI TÁVMÉRŐK VIZSGÁLATA Dátum: Műszer: Álláspont: 1 zI zII zI+zII z Álláspont: 1 zI zII zI+zII z Álláspont: 2
Prizma: Irányzott pont: 2
Irányzott pont: 3
Irányzott pont: 3
Észlelő: p: t° C: Mérési eredmény:
A víszintes távolság kiegyenlített értéke és középhibája:
±
0
±
0
±
0
Mérési eredmény:
Mérési eredmény:
zI zII zI+zII z
- 37 -
5. MAGASSÁGMEGHATÁROZÁS SZINTEZÉSSEL ÉS TRIGONOMETRIAI MAGASSÁGMÉRÉSSEL
5.1 Az optikai szintezőműszer szerkezete, a szintezés elve
A szintezőműszerrel pontok magásságkülünbségét határozhatjuk meg. A meghatározandó pontokon beosztott léceket helyezünk el függőlegesen. A műszer szintezőlibellájának tengelyét a buborék középre állításásával vízszintessé tesszük, ekkor a libella-tengellyel párhuzamosan kiigazított irányvonal is vízszintes helyzetbe kerül. A libellás szintezőműszer szerkezete:
V - állótengely H - fekvőtengely I
- irányvonal
SZ - szálkereszt középpontja L - libella (szintező- , alhidádé) σ - szintezőcsavar
A kompenzátoros szintezőműszerekben a nehézségi erő által működtetett szerkezeti elem (a kompenzátor) az irányvonalat automatikusan vízszintes helyzetbe állítja (irányvonal-vezérlés), vagy az objektív optikai középpontján átmenő vízszintes sugarat a szálkereszt metszéspontjába állítja (fősugár-vezérlés). Mindkét esetben a vízszintes irányvonallal leolvasott lécleolvasások különbsége adja a lécpontok magasságkülönbségét.
- 38 -
A mérnöki gyakorlatban cm osztású szintezőléceket használnak. A leolvasott érték helyiértékei: méter, deciméter, centiméter és a (becsült) milliméter: a tizedesjel használata nem szokásos. Magasságkülönbség mérése, ill. kitűzése:
Az ábra alapján a P és a Q pontok függőleges távolsága ugyanattól a (H ponton átmenő) szintfelülettől (lP), a két pont magasság-különbsége (Q magassága P felett) pedig:
∆ m = (lP) - (lQ) = (lP - δP) - (lQ – δQ) Az egyenlő műszer-léc távolságok (dP = dQ) miatt δP = δQ , tehát:
∆ m = lP - lQ Magasságok kitűzésekor ∆ m ismert, így a képletből lP leolvasása után lQ számítható. A léc magassági helyzetét úgy kell megváltoztatni, hogy a kitűzendő ponton a leolvasás lQ legyen, ekkor a keresett magasságot a léc talppontja (zérus vonása) jelöli ki.
5.2 Szintezőműszerek vizsgálata A libellás szintezőműszerek vizsgálatakor az alábbi geometriai feltételek teljesülését ellenőrizzük:
- az alhidádélibella legyen merőleges az állótengelyre, - a fekvőszál legyen merőleges az állótengelyre, - a szintezőlibella tengelye legyen párhuzamos a távcső irányvonalával. Az alhidádélibella vizsgálatakor az állótengelyt gondosan (a szintezőlibella segítségével) függőlegessé tesszük, majd ellenőrizzük, és szükség esetén igazítjuk az alhidádélibellát. A fekvőszál vizsgálatakor a távcsővel egy jól látható pontot irányzunk úgy, hogy a pont képe a szál valamelyik végén legyen, majd a vízszintes irányítócsavarral elforgatjuk a távcsövet az állótengely körül. Ha a pont képe a fekvőszálon marad, a fekvőszál merőleges az állótengelyre. A szálferdeség a szállemez elforgatásával szüntethető meg. Az irányvonal-ferdeség vizsgálatakor közel vízszintes terepen kijelölünk két pontot egymástól 40-60 m távolságban. A vizsgálandó műszert a pontoktól egyenlő távolságban felállítva gondosan (többszöri méréssel és az egyes mérések között a műszerhorizont magasságát megváltoztatva) meghatározzuk a két pont ∆ m magasságkülönbségét. Az egyenlő műszer-léc távoságok miatt az irányvonal esetleges ferdesége a ∆ m magasságkülönbségben nem okoz hibát. Ezután a műszert áthelyezzük az egyik kijelölt pont mögé a legkisebb irányzási távolságra (2-5 m), és hasonló módon meghatározzuk az irányvonal ferdesége miatt hibás (∆ m) magasságkülönbséget. Az irányvonal ferdeség az alábbiak szerint számítható:
- 39 -
α ′′ =
∆ m − (∆ m ) ⋅ ρ ′′ , ahol ∆ m = a1, − b1, d AB
és
( ∆ m ) = a2, − b2,
Az igazításhoz kiszámítjuk a vízszintes irányvonalnak megfelelő lécleolvasást a távolabbi szintezőlécen, a fekvőszálat a szintezőcsavarral erre az értékre állítjuk, majd a szintezőlibella függőleges igazítócsavarjával a buborékot középre állítjuk.
A kompenzátoros szintezőműszerek vizsgálata során:
- az alhidádélibella vizsgálatakor az állótengelyt a távcsövön ideiglenesen rögzített csöves libellával tesszük függőlegessé, - a fekvőszál vizsgálatát a libellás szintezőműszerek vizsgálatánál megismert módon végezzük, - az irányvonal ferdeságének meghatározásánál az ún. alapirányvonal ferdeségét vizsgáljuk, mivel az irányvonal helyzete az állótengelyhez viszonyítva az állótengely dőlésétől függően változó. (Az alapirányvonal az irányvonal helyzete tökéletesen függőleges állótengely esetében.) Az alapirányvonal vizsgálata előtt a horizontferdeség hatásának kiküszöbölése érdekében az állótengelyt a távcsövön ideiglenesen rögzített csöves libellával gondosan függőlegessé tesszük. A vizsgálat megegyezik a libellás szintezőműszer irányvonal-ferdeségének vizsgálatával, azzal az eltéréssel, hogy a horizontferdeség kiküszöbölése érdekében a műszerrel a két végpont egyenesében kell felállni: páros számú mérést kell végezni, és az alhidádélibella buborékját mérésenként felváltva ,,objektív hátra” és ,,okulár hátra” helyzetben kell középre állítani a tapcsavarokkal. A fekvőszálat a szálkereszt függőleges elmozdításával, vagy a kompenzátor megfelelő igazítócsavarjával kell ráállítani a kiszámított leovasás-értékre. Megjegyezzük, hogy a kompenzátoros szintezőműszerek sajátos hibáját a horizontferdeséget az okozza, hogy a hibásan működő kompenzátor az α távcsőhajlást d α eltéréssel alulkompenzálja vagy túlkompenzálja. A kompenzátor működésének ellenőrzése során laboratóriumi körülmények között ismert α távcsőhajlások sorozatát állítjuk elő (például úgy, hogy a műszert a libellamérlegen rögzítjük), és a leolvasások eltéréséből számítjuk a d α / α relatív kompenzálási hiba nagyságát. A vizsgálat részleteit nem ismertetjük, csak megjegyezzük, hogy a kompenzátor igazításra szorul, ha a relatív kompenzálási hiba 1/100-nál nagyobb.
- 40 -
- 41 -
- 42 -
5.3 Szintezési alappont meghatározása vonalszintezéssel
Vonalszintezésnél a cél általában egymástól távolabb elhelyezkedő pontok magasságkülönbségének meghatározása, ill. két ismert magasságú alappont között elhelyezkedő pontok magasságának meghatározása. A mérési eredményeket jegyzőkönyvben rögzítjük. A lécleolvasásokat a haladási irány értelmében nevezzük hátra- és előreleolvasásoknak, és ennek megfelelően – tizedesjel nélkül – írjuk a megfelelő rovatba. A magasságkülönbségek műszárálláspontonként:
∆ m = lh - le , a végpontok magasságkülönbsége: m = Σ ∆ m = Σ (lh - le). Az összegzett magasságkülönbségek ellenőrzése: Σ ∆ m = Σ lh - Σ le . Ha két ismert magasságú szintezési alappont között több meghatározandó alappont van, akkor a szintezési vonalat a meghatározandó pontokkal szakaszokra osztjuk és a mérést (vonalszintezést) szakaszonként végezzük el, általában kétszer, ,,oda-vissza” irányban. A szakaszok magasságkülönbségét mérési jegyzőkönyvben számítjuk ki, és a magasságkülönbségeket a szakaszok km-es egységben kifejezett hosszúságával együtt a ,,magassági vonal számítása” c. jegyzőkönyvbe írjuk át. A kezdő- és a végpont ismert magasságának beírása után itt számítjuk ki a mérési vonalban meghatározandó szintezési alappontok magasságát, figyelembe véve a magassági vonal záróhibáját. A záróhibát az egyes szakaszokra a szakaszok hosszának arányában kell elosztani. A vonalszintezés gyakorlati szabályai:
- a szintezőműszer egyenlő távolságban állítandó fel a kötőpontoktól, - a szintezőlibella buborékját a hátra- és előreirányzásnál egyaránt gondosan középre kell állítani, - a hátra- és előreirányzás között a parallaxis csavarhoz és a szálcsőhöz fölöslegesen hozzányúlni nem szabad, - a műszert - és különösen a szintezőlibellát - óvni kell az egyoldalú hőmérsékleti hatásoktól, - a szintezett pontokon a szintezőlécet függőlegesen kell felállítani, - a kötőpontokon a lécet nem szabad a földre állítani, szintezősarut vagy kicövekelést kell alkalmazni, - a szintezést kétszer kell végrehajtani, az egyik mérést oda, a másikat vissza értelemben, - mind az egyes műszerállásokon belüli lécleolvasásokat, mind az egymást követő műszerállások mérését egyenletes sebességgel kell végezni, - a mérést csak arra alkalmas, refrakciómentes időben szabad végezni, - a szintezéshez komparált szintezőlécet kell használni, - a talpponthiba kiküszöbölése miatt páros számú műszerállást létesítünk a szintezési vonalon belül.
- 43 -
- 44 -
- 45 -
- 46 -
- 47 -
- 48 -
- 49 -
5.4 Építménymagasság meghatározása trigonometriai magasságméréssel
A trigonometriai magasságmérés alapgondolata szerint a magasság, mint függőleges távolság, függőleges helyzetű derékszögű háromszög egyik befogójaként számítható, ha a háromszögben kellő számú független adat ismert. Ha a meghatározandó magasságú irányzott pont és az ismert magasságú műszerálláspont távolsága 400 m-nél kisebb, a trigonometriai magasságmérés egyszerűsített képlete:
MP = MA + m = MA + h – l + d ctg z Ahol: MA az álláspont magassága, h a műszermagasság, l jelmagasság (építménymagasság mérésekor általában zérus), d a vízszintes távolság, z a zenitszög (0º < z < 180º). Ha a z zenitszög helyett az tg α szerepel.
α
magassági szöget mérjük (-90º <
α
< +90º), a képletben ctg z helyett
Amennyiben az építmény vizsgált pontja és a műszerálláspont közötti távolság mérhető, az egyszerűsített összefüggés használható. Ha az építmény meghatározandó magasságú pontja és a műszerálláspont között a távolság nem mérhető közvetlenül, a távolság meghatározására két álláspontot jelölünk ki. A pontokat úgy választjuk meg, hogy kölcsönösen egymásra és a mérendő pontra irányozni tudjunk. A műszerálláspontok távolsága jól mérhető és a keletkező háromszög közel egyenlő oldalú legyen. A trigonometriai magasságméréshez szükséges adatok mellett meg kell mérnünk az AB alapvonal hosszát és a háromszög α , valamint β szögét. A távolságok így szinusztétel segítségével kiszámíthatók. Ha az alapvonal végpontjainak magasságkülönbségét is meghatározzuk, vagy egy közös C pontra történik a h műszermagasság mérése, a P pont magassága ellenőrzéssel számítható.
- 50 -
IRÁNYMÉRÉSI JEGYZŐKÖNYV
Vázlat:
Észlelő: ...................................................... Dátum: ...................................................... Műszer: ...................................................... Időjárás: ...................................................... Leolvasás a vízszintes körön Állás- Irányzott pont
pont
I.° II.°
′ ′
″ ″
′ ′
″ ″
Irányérték I és II: középértéke
- 51 -
Tájékozási vagy törésszög
Irányszög
- 52 -
- 53 -
