GENERALISASI RATA-RATA PANGKAT METODE NEWTON Haikal Amrullah1∗ , Aziskhan2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293, Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the generalized power mean modification of Newton’s method to solve nonlinear equations obtained by modifying Newton’s method using a trapezoidal quadrature formula. It is analytically demonstrated that the method has convergence order of three or five. Computational results support the analytical studies. Numerical simulations show that the method is comparable with other discussed methods. Keywords: Iterative method, power means, order of convergence, trapezoidal quadrature formula. ABSTRAK Artikel ini membahas generalisasi rata-rata pangkat metode Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang diperoleh dengan memodifikasi metode Newton menggunakan formula kuadratur trapesium. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode yang dihasilkan mempunyai kekonvergenan orde tiga atau lima. Hasil komputasi mendukung hasil kajian analitik. Komputasi numerik menunjukkan metode yang dihasilkan sebanding dengan metode sekelas yang ada. Kata kunci: metode iterasi, rata-rata pangkat, orde konvergensi, formula kuadratur trapesium. 1. PENDAHULUAN Salah satu persoalan matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana menemukan akar dari persamaan nonlinear yang dinyatakan dalam bentuk f (x) = 0. Karena metode analitik tidak tersedia untuk semua fungsi f (x), maka metode numerik yang bersifat iterasi menjadi alternatif.
Repository FMIPA
1
Metode iterasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton yang memiliki orde konvergensi kuadrat. Bentuk iterasi metode Newton, dapat ditulis sebagai berikut xn+1 = xn −
f (xn ) , n = 0, 1, 2, · · · , f ′ (xn )
dengan f ′ (xn ) ̸= 0 dan tebakan awal x0 diberikan. Dalam perkembangannya, metode Newton banyak mengalami modifikasi yang bertujuan untuk mempercepat iterasi atau meningkatkan orde konvergensinya. Orde konvergensi kubik berdasarkan aturan kuadratur pertama kali dikemukakan oleh Weerakoon dan Fernando [10] dan kemudian kecenderungan yang sama berlanjut pada Babajee dan Dauhoo [2] dan Frontini dan Sormoni [3] dengan menggunakan rata-rata aritmatik atau titik tengah metode Newton. Nedzhibov [9] memberikan beberapa kelas metode iterasi menggunakan aturan-aturan kuadratur lain untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Modifikasi pada metode Newton berdasarkan rata-rata harmonik atau rata-rata geometri diusulkan pada Babajee dan Dauhoo [2] dan Homeier [5]. Pada semua yang telah disebutkan, metode yang diberikan hanya memerlukan turunan pertama dari f (x) dan diketahui mempunyai orde konvergensi tiga. Pada artikel ini, di bagian 2 dibahas mengenai terbentuknya metode iterasi baru yang merupakan review dari artikel Jayakumar dan Madhu [6] yang berjudul ”Generalized Power means Modification of Newton’s Method for Simple Roots of Nonlinear Equation”. Pada bagian 3 dilakukan analisa kekonvergenan dari metode yang diusulkan, kemudian dilanjutkan dengan melakukan uji komputasi menggunakan program Maple 13. 2. GENERALISASI RATA-RATA PANGKAT METODE NEWTON DAN KASUS-KASUS KHUSUS Pada bagian ini diberikan beberapa definisi dasar untuk pembahasan selanjutnya, kemudian dilanjutkan dengan proses terbentuknya beberapa metode iterasi baru. Definisi 1 [8, h. 77] Asumsikan barisan {xn }∞ n=0 konvergen ke α dan nyatakan en = xn − α untuk n ≥ 0. Jika terdapat dua konstanta positif A ̸= 0 dan q > 0, dan lim
n→∞
|xn+1 − α| |en+1 | = lim = A, q n→∞ |en |q |xn − α|
maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke α dengan orde konvergensi q. Konstanta A adalah konstanta error asimtotik (asymptotic error constant). berturutJika q = 1, 2 dan 3, maka orde kekonvergenan dengan barisan {xn }∞ n=0 turut dikenal dengan istilah linear, kuadratik, dan kubik. Ketika en = xn − α adalah error pada iterasi ke-n, relasi en+1 = Ceqn + O(eq+1 n ) disebut persamaan error. Nilai q yang diperoleh disebut orde konvergensi.
Repository FMIPA
2
Definisi 2 (Rata-rata Pangkat) [11] Misalkan a dan b adalah skalar positif. Untuk bilangan real hingga p, rata-rata pangkat p dari a dan b didefinisikan sebagai ( mp =
ap + bp 2
) p1
. Metode Iterasi Generalisasi Rata-rata Pangkat Metode Newton Misalkan α adalah akar sederhana dari fungsi yang terdiferensialkan f (x). Jika xn merupakan solusi numerik dari persamaan f (x) = 0, maka diperoleh identitas [4, h.70] berikut ∫ x
f (x) = f (xn ) +
f ′ (t)dt.
(1)
xn
Nilai integral pada persamaan (1) diaproksimasi dengan formula kuadratur trapesium [9] ( ) ( ) ∫ x m−1 ∑ (x − x ) (x − x ) n n f ′ xn + i f ′ (t)dt ≈ f ′ (x) + 2 + f ′ (xn ) , 2m m xn i=1 sehingga diperoleh (x − xn ) 0 = f (xn ) + 2m
( f ′ (x) + 2
m−1 ∑ i=1
) ( ) (x − x ) n f ′ xn + i + f ′ (xn ) . m
Selanjutnya, dengan melakukan penjabaran serta penyederhanaan x = xn −
f ′ (x) + 2
∑m−1 i=1
2mf (xn ) ( ) . (x−xn ) ′ f xn + i m + f ′ (xn )
Misalkan x = xn+1 , diperoleh xn+1 = xn −
f ′ (xn+1 ) + 2
2mf (xn ) ) ( . ′ x + i (xn+1 −xn ) + f ′ (x ) f n n i=yaitu1 m
∑m−1
(2)
Karena persamaan (2) implisit, maka xn+1 pada ruas kanan ditaksir dengan metode Newton yang dimisalkan dengan yn yaitu yn = xn −
f (xn ) . f ′ (xn )
(3)
Selanjutnya, substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2), diperoleh xn+1 = xn −
Repository FMIPA
f ′ (xn ) + 2
∑m−1 i=1
2mf (xn ) ( ) , if (xn ) ′ (y ) f ′ xn − mf + f n ′ (x ) n
(4)
3
dengan yn diperoleh dari persamaaan (3) dan didefinisikan ( ) 0 ∑ if (xn ) ′ f xn − =0 mf ′ (xn ) i=1 . Dengan meninjau kembali persamaan (4), serta mengambil nilai m berturutturut 1 dan 2, diperoleh 1. untuk m = 1, persamaan (4) menjadi metode Weerakoon [10] 2f (xn ) , ′ n ) + f (yn )
xn+1 = xn −
f ′ (x
dengan yn diperoleh dari persamaan (3) 2. untuk m = 2, persamaan (4) menjadi xn+1 = xn −
(
4f (xn )
f ′ (xn ) + 2f ′ xn −
Dari persamaan (3), diperoleh oleh xn+1 = xn −
f (xn ) f ′ (xn )
f ′ (xn )
f (xn ) 2f ′ (xn )
)
+ f ′ (yn )
.
(5)
= xn − yn , substitusikan pada (5), diper4f (xn ) ( ) , n + 2f ′ xn +y + f ′ (yn ) 2
(6)
dengan yn diperoleh dari persamaan (3). Untuk memperoleh generalisasi rata-rata pangkat metode Newton, persamaan (6) ditulis ulang sebagai xn+1 = xn − (
2f (xn ) ) ( ). n + f ′ xn +y 2
(7)
f ′ (xn )+f ′ (yn ) 2
Untuk memperoleh bentuk iterasi baru yang berbentuk umum, maka rata-rata aritmatik pada (7) diganti dengan rata-rata pangkat-p [11] yang merupakan bentuk umum dari rata-rata dan memperkenalkan parameter k1 , k2 dan k, kemudian fungsi sign diberikan agar tidak terjadi pembagian dengan bilangan yang sangat kecil, maka diperoleh generalisasi rata-rata pangkat metode Newton xn+1 = xn − k1 sign
(f ′ (xn ))
(
kf (xn ) f ′ (xn )p +f ′ (yn )p 2
) p1
+ k2
f′
( xn +yn )
,
(8)
2
dengan k1 + k2 = k, p adalah bilangan real hingga dan yn diperoleh dari (3). Kasus Khusus Generalisasi Rata-rata Pangkat Metode Newton Berikut ini akan diberikan beberapa kasus khusus pada generalisasi rata-rata pangkat metode Newton. Kasus khusus ini diperoleh dengan mensubstitusikan nilai-nilai dari p, k, k1 dan k2 yang berbeda. Repository FMIPA
4
1. Rata-rata Aritmatik Metode Newton Rata-rata aritmatik metode newton [10] dapat diperoleh dengan mensubstusikan nilai p = 1, k = 2, k1 = 2 dan k2 = 0 pada persamaan (8), sehingga diperoleh xn+1 =xn −
2f (xn ) , ′ n ) + f (yn )
f ′ (x
dengan yn diperoleh dari persamaan (3). 2. Rata-rata Harmonik Metode Newton Rata-rata harmonik metode newton [11] dapat diperoleh dengan mensubstusikan nilai p = −1, k = 1, k1 = 1 dan k2 = 0 pada persamaan (8), sehingga diperoleh ( ) f (xn ) f ′ (xn ) + f ′ (yn ) xn+1 =xn − , 2f ′ (xn )f ′ (yn ) dengan yn diperoleh dari persamaan (3). 3. Rata-rata Geometri Metode Newton Rata-rata geometri metode newton [7] dapat diperoleh dengan mensubstusikan nilai p = 0, k = 1, k1 = 1 dan k2 = 0 pada persamaan (8), sehingga diperoleh xn+1 =xn −
f (xn ) √ sign (f ′ (x0 )) f ′ (xn )f ′ (yn )
dengan yn diperoleh dari persamaan (3). 3. ANALISIS KEKONVERGENAN Pada bagian ini akan dilakukan analisis kekonvergenan untuk mengetahui orde kekonvergenan dari generalisasi rata-rata pangkat metode Newton. Metode ini memiliki orde tiga atau lima. Teorema 3 Misalkan α ∈ D adalah akar sederhana dari fungsi f , f : D ⊆ R → R yang terdiferensial secukupnya pada interval buka D. Jika x0 cukup dekat ke α dan f ′ (α) ̸= 0, maka generalisasi rata-rata pangkat metode Newton mempunyai konvergensi orde tiga. Selain itu, jika k = 3, k1 = 1, k2 = 2 dan c2 = 0 atau f (x) memenuhi f ′′ (α) = 0, maka metode tersebut mempunyai konvergensi orde lima. Bukti: Misalkan α adalah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0, maka f (α) = 0 dan f ′ (α) ̸= 0. Misalkan juga en adalah error dari yang diperoleh pada iterasi ke-n, dengan en = xn − α. Pembuktian ini dimulai dengan mengekspansikan f (xn ) di sekitar xn = α dengan deret Taylor, kemudian mensubstitusikan en = xn − α, diperoleh ( ) ′ 2 3 6 f (xn ) =f (α) (xn − α) + c2 (xn − α) + c3 (xn − α) + · · · + O((xn − α) ) , ) ( (9) f (xn ) =f ′ (α) en + c2 e2n + c3 e3n + · · · + O(e6n ) .
Repository FMIPA
5
(k)
(α) dengan ck = fk!f ′ (α) , k = 2, 3, 4, . . . dan en = xn − α. Selanjutnya dengan mengekspansikan f ′ (xn ) di sekitar xn = α dengan deret Taylor, kemudian mensubstitusikan en = xn − α, diperoleh ( ) f ′ (xn ) =f ′ (α) 1 + 2c2 en + 3c3 e2n + 4c4 e3n + · · · + O(e5n ) . (10)
Dari persamaan (3) serta dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan persamaan (10), diperoleh ( ) 2 3 6 en + c2 en + c3 en + · · · + O(en ) ). yn = xn − ( (11) 1 + 2c2 en + 3c3 e2n + 4c4 e3n + · · · + O(e5n ) Untuk menghindari pembagian dua polinomial, maka persamaan (11) diselesaikan dengan bantuan deret geometri. Setelah menyederhanakan, diperoleh yn = xn − en + c2 e2n − 2(c22 − c3 )e3n + · · · + O(e5n ), atau yn = α + c2 e2n − 2(c22 − c3 )e3n + · · · + O(e5n ).
(12)
Langkah selanjutnya adalah mengekspansikan f ′ (yn ) di sekitar yn = α dengan deret Taylor yaitu ( ) f ′ (yn ) = f ′ (α) 1+2c2 (yn −α)+3c3 (yn −α)2 +4c4 (yn −α)3 +· · ·+O(e(yn −α)5 ) . (13) Kemudian, dengan mensubstitusikan persamaan (12) ke persamaan (13) serta dengan beberapa operasi aljabar, diperoleh ( ) ′ ′ 2 2 3 3 5 f (yn ) = f (α) 1 + 2c2 en + 4(c2 c3 − c2 )en + · · · + O(en ) . (14) Dari persamaan (12) juga dapat diperoleh 1 1 xn + yn = α + en + c2 e2n − (c22 − c3 )e3n + · · · + O(e5n ). 2 2 2
(15)
n n ) diekspansi di sekitar xn +y = α dengan deret Taylor yaitu Selanjutnya, f ′ ( xn +y 2 2 ( ) ( xn + yn xn + yn x n + yn ′ f =f ′ (α) 1 + 2c2 ( − α) + 3c3 ( − α)2 2 2 2 ) xn + yn xn + yn 3 5 + 4c4 ( − α) + · · · + O(e( − α) ) . (16) 2 2
Dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke persamaan (16) serta dengan beberapa operasi aljabar, diperoleh ( ) ( 3 7 xn + yn 1 ′ f =f ′ (α) 1 + c2 en + (c22 + c3 )e2n + (−2c32 + c2 c3 + c4 )e3n 2 4 2 2 ) (17) + · · · + O(e5n ) .
Repository FMIPA
6
Untuk langkah selanjutnya, persamaan (10) dipangkatkan p yaitu ( )p f ′ (xn )p = f ′ (α)p 1 + 2c2 en + 3c3 e2n + 4c4 e3n + · · · + O(e5n ) .
(18)
Untuk menyederhanakan persamaan (18) akan digunakan formula teorema binomial [1] sehingga diperoleh ( f ′ (xn )p = f ′ (α)p 1 + 2p c2 en + (3p c3 + 2p(p − 1)c22 )e2n + (4p c4 + 6p(p − 1)c2 c3 ) 4 + p(p − 1)(p − 2)c32 )e3n + · · · + O(e5n ) . (19) 3 Berikutnya, persamaan (14) dipangkatkan p yaitu ( )p f ′ (yn )p = f ′ (α)p 1 + 2c22 e2n + 4(c2 c3 − c32 )e3n + · · · + O(e5n ) , dan dengan proses yang sama untuk mendapatkan persamaan (19) diperoleh ( ) ′ p ′ p 2 2 2 3 5 f (yn ) = f (α) 1 + 2p c2 en + 4p c2 (c3 − c2 )en + · · · + O(en ) . (20) Dengan menggunakan persamaan (19) dan persamaan (20) didapat ( ′ )1 ( f (xn )p + f ′ (yn )p p 3 ′ =f (α) 1 + p c2 en + ( c3 + p(p − 1)c22 + p c22 )e2n 2 2 2 + (2p c4 + 3p(p − 1)c2 c3 + p(p − 1)(p − 2)c32 3 ) p1 + 2p c2 (c3 − c22 ))e3n + · · · + O(e5n ) .
(21)
Untuk menyederhanakan ruas kanan persamaan (21) digunakan formula teorema binomial [1] sehingga diperoleh ( ′ )1 ( f (xn )p + f ′ (yn )p p 1 ′ = f (α) 1 + c2 en + (c22 + p c22 + 3c3 )e2n 2 2 1 1 + (2c4 + (3p + 1)c2 c3 − (3p + 1)c32 )e3n 2 ) 2 5 (22) + · · · + O(en ) . ′
(
f ′ (xn )p +f ′ (yn )p 2
) p1
Untuk memudahkan penulisan, misalkan G = sign (f (xn )) dan ( ) x +y H = f ′ n 2 n . Dari persamaan (22) dan (17) serta k = k1 + k2 , diperoleh ( 1(1 3 ) k1 G + k2 H =kf ′ (α) 1 + c2 en + k1 (c22 + pc22 + 3c3 ) + k2 (c22 + c3 ) e2n k 2 4 1( 1 1 + k1 (2c4 + (3p + 1)c2 c3 − (3p + 1)c32 ) k 2 2 ) ) 7 1 (23) + k2 (−2c32 + c2 c3 + c4 ) e3n + · · · + O(e5n ) . 2 2 Repository FMIPA
7
Dari persamaan (9) dan (23) diperoleh (( ))(( kf (xn ) 5 4 3 2 1 + c2 en = en + c2 en + c3 en + c4 en + O(en ) k1 G + K2 H 1 1 3 + ( k1 (c22 + pc22 + 3c3 ) + k2 (c22 + c3 ))e2n k 2 4 1 1 1 + (k1 (2c4 + (3p + 1)c2 c3 − (3p + 1)c32 ) k 2 2 ))−1 7 1 + k2 (−2c32 + c2 c3 + c4 ))e3n + · · · + O(e5n ) . 2 2
(24)
Untuk menyederhanakan persamaan (24) digunakan deret geometri, sehingga diperoleh ( ) 2) 3 3 1 ( k1 kf (xn ) 2 =en − c2 − c3 + (2k1 + k2 )c3 + (p + 1) + k2 − k c2 en k1 G + K2 H 4k k 2 (1 ) k2 1 ( 3p 11 − (2k1 + − k)c4 + ( − 1)k1 + k2 + k c2 c3 k 2 k 2 4 ) 3) 4 1( (25) − (2p + 1)k1 + 3k2 c2 en + · · · − O(e6n ). k Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (25) ke persamaan (8) dan mengingat en+1 = xn+1 − α, diperoleh en+1 = l1 e3n + l2 e4n + l3 e5n + O(e6n ).
(26)
dengan ) 3 1 ( k1 (2k1 + k2 )c3 + (p + 1) + k2 − k c22 , 4k k 2 ) 1 k2 1 ( 3p 11 l2 = (2k1 + − k)c4 + ( − 1)k1 + k2 + k c2 c3 k 2 k 2 4 ) 3 1( − (2p + 1)k1 + 3k2 c2 , (k ) ) 1 5 5 1( l3 = k1 − k2 + k c 5 + (2p − 1)k1 + 4k2 + k c2 c4 k 2 16 k ( )) ( ) 5 1 1 3 (1 2 c22 c3 − − (7 − 27p)k1 − 11k2 + 2 (p + 1)k1 k2 + pk1 2 k 4 2k 2 ( 1 (( ) 1 1 67 11 ) + − p3 + p2 + p + k1 + 7k2 k 12 8 12 8 )) 1( (p + 1)2 2 − 2 (p + 1)k1 k2 + k1 + k22 c42 k 4 ( ( ) 27k 2 9 ) 3 2 . + (7 − 3p)k1 + 10k2 + − 8k 16k 2 4
l1 =c22 − c3 +
Dari Definisi 1 dapat diketahui bahwa
Repository FMIPA
8
1. Berdasarkan persamaan (26), persamaan (8) memiliki orde konvergensi kubik untuk nilai p, k, k1 dan k2 yang berbeda. 2. Jika nilai k = 3, k1 = 1 dan k2 = 2, persamaan (26) memiliki nilai l1 , l2 dan l3 sebagai berikut ( ) p 5 2 + l1 = c 6 6 2 ) ( ) ( 2p 7 3 p 5 + + c2 c3 − c l2 = 2 2 3 3 2 ( ( ) ) ( ) p3 10 2p 391 19p p2 113 31p 2 4 + + − + + l3 = c + c2 c4 − c2 c3 72 12 72 36 2 3 3 12 12 ( ) 19 3p 2 1 + − c3 + c5 8 8 24 Dengan demikian, agar diperoleh orde konvergensi lima, maka nilai c2 yang memenuhi adalah c2 = 0 atau dengan kata lain f ′′ (α) = 0. 4. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar persamaan antara metode Newton (MN), rata-rata aritmatik metode Newton (AN), rata-rata harmonik metode Newton (HN), rata-rata geometri metode Newton (GN) dan generalisasi rata-rata pangkat metode Newton (GPMN) untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam melakukan komputasi numerik adalah 1. f1 (x) = (x − 2)23 − 1 2. f2 (x) = x exp (x2 ) − sin2 (x) + 2 cos (x) + 5 3. f3 (x) = sin (x) + x cos (x) Untuk menentukan solusi numerik dari beberapa persamaan nonlinear di atas digunakan program Maple 13 dengan toleransi ϵ = 1.0 × 10−14 . Untuk generalisasi rata-rata pangkat metode Newton, nilai-nilai yang digunakan adalah p = −2, k1 = 1, k2 = 2 dan k = 3. Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. Pada Tabel 1, fi untuk i = 1, 2, 3 menyatakan persamaan nonlinear, x0 merupakan tebakan awal, n+1 merupakan jumlah iterasi, xn+1 menyatakan pendekatan nilai akar pada iterasi ke-n + 1, COC menyatakan orde konvergensi metode secara komputasi dan MG menyatakan metode iterasi tidak dapat berjalan. Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa GPMN membutuhkan iterasi yang sama atau lebih sedikit dari metode-metode yang lain. Kemudian pada kolom COC membuktikan bahwa bahwa GPMN memiliki orde yang sama atau lebih tinggi dari metode pembanding. Hal ini membuktikan bahwa GPMN dapat diunggulkan dalam kecepatan untuk memperoleh nilai solusi numerik dari persamaan nonlinear.
Repository FMIPA
9
Tabel 1: Perbandingan komputasi untuk MN, AN, HN, GN, dan GPMN fi
x0
f1
3.5
f2
−3.0
f3
0.5
Metode MN AN HN GN GPMN MN AN HN GN GPMN MN AN HN GN GPMN
n+1 15 10 9 10 9 15 10 9 10 9 5 4 4 4 4
xn+1 3.0000000000000000 3.0000000000000000 3.0000000000000000 3.0000000000000000 3.0000000000000000 −1.1887675494199296 −1.1887675494199296 −1.1887675494199296 −1.1887675494199296 −1.1887675494199296 0.0000000000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000 0.0000000000000000
COC 2.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 2.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 3.0000 5.0000
5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada bagian sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa proses untuk mendapatkan metode iterasi yang dibahas pada artikel ini adalah dengan memodifikasi metode iterasi Newton dengan mengguanakan formula kuadratur trapesium dan menggunakan rata-rata pangkat. Selanjutnya ditunjukkan secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor bahwa generalisasi rata-rata pangkat metode Newton memiliki kekonvergenan orde tiga atau lima. Dari perbandingan numerik yang dilakukan dapat dilihat bahwa metode iterasi yang diperoleh mempunyai jumlah iterasi yang sama atau lebih sedikit dari metode-metode pembanding. Ucapan Terimakasih Penulis Mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc. yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Abramowitz, M. & I. A. Stegun. 1972. Handbook of Mathematical Function with Formulas, Graph, and Mathematical Tables. U.S. Government Printing Office. Washington, D.C. [2] Babajee, D. K. R. & M. Z. Dauhoo. 2006. An Analysis of The Properties of The Variants of Newton’s Method with Third Order Convergence. Applied Mathematics and Computation, 183: 659-684. [3] Frontini, M. & E. Sormoni. 2003. Some Variants of Newton’s Method with Third Order Convergence. Applied Mathematics and Computation, 140: 419-426. Repository FMIPA
10
[4] Hamming, R. W. 1973. Numerical Methods for Scientists and Engineers, Second Edition. Dover Publications, Inc. New York. [5] Homeier, H. H. H. 2005. On Newton Type Methods with Cubic Convergence. Journal of Computational and Applied Mathematics, 176: 425-432. [6] Jayakumar, J. & K. Madhu. 2013. Generalized Power means Modification of Newton’s Method for Simple Roots of Linear Equation. International Journal of Pure and Applied Sciences and Technology, 18(2): 45-51. [7] Lukic, T. & N. M. Ralevic. 2008. Geometric mean Newton’s Method for Simple and Multiple Roots. Applied Mathematics Letter, 21: 30-36. [8] Mathews, J H. 1987. Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering, 2nd Ed. Prentice Hall Inc., New Jersey. [9] Nedzhibov, G. 2002. On A Few Iterative Methods for Solving Nonlinear Equation. Application of Mathematics in Engineering and Economics’28, in: Proceeding of The XXVIII Summer School Sozopol’ 02, Heron Press, Sofia, 1-8. [10] Weerakoon, S. & T. G. I. Fernando. 2000. A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letter, 20(8): 8793. [11] Xiaojian, Z. 2007. A Class of Newton’s Method with Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letter, 20: 1026-1030.
Repository FMIPA
11
