Gelombang
Gelombang g Partikel: konsentrasi materi, dapat mentransmisikan energi energi. Gelombang: distribusi lebar (broad) dari energi, mengisi ruang yang dilaluinya → gangguan yang menjalar (bukan medium). Mekanika Kuantum: gelombang materi ((matter waves))
Gelombang
Particle 2
Tipe p Gelombang g Contoh gelombang: Gelombang air (air bergerak naik & turun) Gelombang bunyi (udara bergerak maju & mundur) Gelombang g stadium ((orang g bergerak g naik & turun)) Gelombang cahaya (apa yang bergerak??) Tiga tipe gelombang: Gelombang Mekanik (bunyi, air, perlu medium untuk menjalar) Gelombang Elektromagnetik (cahaya, radio, tidak perlu medium) G l b Gelombang Materi M t i 3
Tipe p Gelombang g Menurut arah gangguan relatif terhadap arah propagasi:
Gelombang Transversal: P Perpindahan i d h medium di ⊥ Arah jalar gelombang
Gelombang Longitudinal: Perpindahan medium // Arah jalar gelombang 4
Tipe p Gelombang g
Gelombang Longitudinal
Gelombang g Transversal 5
Tipe p Gelombang g
Gelombang Air
6
Tipe p Gelombang g
Gelombang Permukaan Rayleigh
7
Sifat Gelombang g z z
Panjang Gelombang: Jarak λ antara titik-titik identik pada gelombang. A li d Perpindahan Amplitudo: P i d h maksimum k i A dari d i sebuah b h titik i ik pada gelombang. Panjang gelombang
λ Amplitudo A A
z
Perioda: Waktu T dari sebuah titik pada gelombang untuk melakukan satu osilasi secara komplit. 8
y
Sifat Gelombang g
+A
λ
t =0 x
z
Laju: Gelombang bergerak satu panjang gelombang λ d l dalam satu t perioda i d T sehingga hi lajunya v = λ / T.
λ = vT
v = λ/T = λ f
-A +A
t =T
4
x
-A +A
t = 2T
4 x
f = 1/T : Frekuensi, jumlah perioda per detik (Hertz, Hz)
-A +A
-A +A
t = 3T
4
x
t =T x
-A
9
Contoh z
Sebuah kapal melempar sauh pada suatu lokasi dan diombang-ambingkan gelombang naik dan turun. Jika jarak antara puncak gelombang adalah 20 meter dan laju gelombang 5 m/s, berapa lama waktu Δt yang dibutuhkan kapal untuk bergerak dari puncak ke dasar lembah gelombang? t
t + Δt
z z
Diketahui v = λ / T, maka T = λ / v. Jika λ = 20 m dan v = 5 m/s, maka T = 4 sec Waktu tempuh dari puncak ke lembah adalah setengah perioda, jadi Δt = 2 sec 10
Contoh z z
Laju bunyi di udara sedikit lebih besar dari 300 m/s, dan laju cahaya di udara kira-kira 300,000,000 m/s. Misal kita membuat gelombang bunyi dan gelombang cahaya yang keduanya memiliki panjang gelombang 3 m. ÍBerapa rasio frekuensi gelombang cahaya terhadap gelombang bunyi?
Solusi z
Diketahui v = λ / T = λf (karena f = 1 / T ) v Jadi f = λ Karena λ sama untuk kedua gelombang, maka
f light g f sound
=
vlight g vsound
≅ 1,000,000 1 000 000 11
Contoh … z
Berapakah frekuensi tersebut??? Untuk bunyi dengan λ = 3m : v 300m s f= ≈ =100 Hz H λ 3m
(low hum)
Untuk cahaya dengan λ = 3m : v 3 ×108 m s f= ≈ =100 MHz λ 3m
(radio FM)
12
Contoh z
Panjang gelombang microwave yang dihasilkan oleh oven microwave kira-kira 3 cm. Berapa frekuensi yang dihasilkan gelombang ini yang menyebabkan molekul air makanan anda bervibrasi?
z
Ingat v = λf. λf v 3 × 10 8 m s f = = = 1010 Hz = 10GHz .03m λ 03 1 GHz = 109 siklus/sec Laju cahaya c = 3x108 m/s H
H Membuat molekul air bergoyang O 13
34
Koefisien absorbsi dari air sebagai fungsi dari frekuensi.
Visible f = 10 GHz
““water ater hole”
14
36
Fungsi g Gelombang g • Kita menggunakan fungsi sinusoid untuk menggambarkan berbagai gelombang
y(x,t) = ym sin(kx-ωt) ym: amplitudo kx-ωt : fasa k: bilangan gelombang
Jika ∆x=λ, fasa bertambah 2π
k=
ω: frekuensi angular (2π rads = 360°)
2π
λ
Jika ∆t=T, fasa bertambah 2π
2π ω= = 2π f T 15
Contoh (a) Tuliskan persamaan yang gelombang sinusoidal transversal yang menjalar pada tali dalam arah +y dengan bilangan gelombang 60 cm-1, perioda 0.20 0 20 ss, dan amplitudo 3 3.0 0 mm mm. Ambil arah z sebagai arah transversal. (b) Berapa laju transversal maksimum dari titik pada tali? (a)
k = 60 cm-1, T=0.2 s, zm=3.0 mm z(y,t)=zmsin(ky-ωt)
ω = 2π/T = 2π/0.2 s =10πs-1 z(y, t)=(3.0mm)sin[(60 cm-1)y -(10πs-1)t] ∂z(y,t) (b) Laju uz = = −ω zm cos(ky − ωt ) ∂t ⎛π uz,max= ωzm = 94 = −ω zm sin − (ky − ωt)⎞ ⎝2
⎠
mm/s
16
Soal Gelombang sinusoidal dengan frekuensi 500 Hz menjalar dengan laju 350 m/s. (a) Berapa jarak dua titik yang berbeda fasa π/3 /3 rad? (b) Berapa beda fasa antara dua pergeseran pada suatu titik dengan perbedaan waktu 1.00 ms ?
f = 500Hz, 500Hz v=350 350 mm/s (a) Fasa
y(x t) = ymsin(kx-ωt) y(x,t)
φ ( x,t ) = kx − ωt
2π f φ ( x,t ) = x − 2πft v
k=
2π f Δφ = Δx v
350m/s ⎛ π ⎞ = 0.117 m Δx = Δφ = 2π f 2π (500Hz) ⎝ 3 ⎠ v
(b)
2π
v = λf =
λ ω
k ω = 2πf
Δφ = 2πfΔt = 2π (500 Hz )(1.00 × 10 −33 ) = π rad. 17
Mengapa g p sinusoid? Komposisi Fourier dari gelombang square
18
Mengapa g p sinusoid?
Gelombang gigi gergaji
Pulse train 19
Laju j Gelombang g
Seberapa cepat bentuk gelombang menjalar? Pilih sebuah perpindahan tertentu ⇒ fasa tertentu dx ω v= = kx-ωt = konstan dt k y(x,t) = ymsin(kx-ωt)
v>0
y(x,t) = ymsin(kx+ωt)
v<0
Laju j g gelombang g adalah konstanta yyang g bergantung g g hanya y pada medium, bukan pada amplitudo, panjang gelombang atau or perioda (seperti OHS) Gelombang Transversal (Tali): μ: rapat massa, τ: tegangan
v =
τ μ
20
Gelombang pada tali
Apa yang menentukan laju gelombang? Tinjau sebuah pulsa yang menjalar pada sebuah tali: v
Mi lk Misalkan: z
Tegangan tali adalah F
z
Massa per satuan panjang adalah μ (kg/m) ( / )
z
Bentuk tali pada daerah maksimum pulsa adalah lingkaran dengan jari-jari R F μ
R 21
Gelombang g pada p tali ... z
Tinjau gerak bersama dengan pulsa
z
Gunakan F = ma pada segmen kecil tali di “punck” punck pulsa
z
Gaya total FNET adalah jumlah tegangan F pada ujung-ujung segmen g tali.
z
Total gaya pada arah-y v θ
θ F
F FNET = 2F θ y x
(karena θ kecill, sin θ ~ θ) 22
Gelombang g pada p tali ... z
Massa m dari segmen adalah panjangnya (R x 2θ) dikalikan massa per satuan panjang μ. μ m = R 2θ μ θ
θ 2θ
R
y x
23
Gelombang g pada p tali ... z
Percepatan a dari segmen adalah v 2/ R (sentripetal) dalam arah-y. v
a R y x
24
Gelombang g pada p tali ... z
Jadi FNET = ma menjadi:
v2 2 Fθ = R 2 θμ ⋅ R m
a
v =
F μ
FTO T
F = μv
2
v tegangan F massa per satuan panjang μ
Gelombang - Fisika Dasar 2
25
Gelombang g pada p tali ... z
J di did Jadi didapat: t
v=
F μ v
g g F tegangan massa per satuan panjang μ z
Jika tegangan makin besar besar, laju bertambah bertambah.
z
Jika tali makin berat, laju berkurang.
z
Seperti disebutkan sebelumnya, y ini bergantung g g hanya y pada sifat alami medium, bukan pada amplitudo, frekuensi, dst. dari gelombang. 26
Daya y Gelombang g
Gelombang menjalar karena tiap bagian dari medium meng-komunikasikan geraknya pada bagian di sekitarnya.
Energi di di-transfer transfer karena ada kerja yang ang dilak dilakukan! kan!
Berape energi yang bergerak pada tali per satuan waktu. (atau berapa daya-nya?)
P
27
Daya y Gelombang g ...
Bayangkan tali bagian kiri digerakkan naik dan turun dalam arah y. Anda pasti melakukan kerja karena F.dr > 0 saat tangan anda bergerak naik dan turun. Energi pasti bergerak menjauh dari tangan anda (ke kanan) karena energi kinetik (gerak) dari tali tetap sama.
P
28
Bagaimana g energi g bergerak? g
Tinjau sembarang posisi x pada tali. Tali di bagian kiri x melakukan kerja pada tali di bagian kanan x, sama seperti yang dilakukan tangan anda:
x
.
Daya P = F v
θ F
x v 29
Daya y sepanjang p j g tali
Karena v hanya dalam arah sumbu y, untuk menghitung
Daya = F v kita hanya perlu mencari Fy = -F F sin θ ≈ -F Fθ jia θ kecil. y Kecepatan v dan sudut θ θ pada sembarang titik pada tali x Fy dapat dicari dengan mudah:
.
Jika
y ( x , t ) = A cos( kx − ωt ) dy v y (x , t ) = = ω A sin (kx − ω t ) dt Ingat dy tan θ = = − kA sin (kx − ω t ) ≈ θ sin θ ≈ θ dx d cos θ ≈ 1
F v θ dy dx
tan θ ≈ θ untuk θ kecil 30
v y ( x, t ) = ω Asin (kx − ω t )
Daya y ...
θ ≈ − kAsin (kx − ω t )
Jadi:
P( t) = F ⋅ v = Fy v y ≈ − Fθv y = ω kFA 2 sin P(x, i 2 (kx (k − ω t ) z
Tapi kita telah tunjukkan
ω v = k
P ( x , t ) = μ v ω 2 A 2 sin
2
and
F = μv 2
(kx − ω t ) cos (kx − ω t )
sin
2
(kx − ω t ) 31
Daya y Rata-rata
Kita baru saja menunjukkan bahwa daya yang mengalir melalui titik x pada tali pada waktu t diberikan oleh: P ( x , t ) = μ v ω 2 A 2 sin 2 (kx − ω t ) z
Sering kali kita hanya tertarik pada daya rata-rata pada tali. Dengan mengingat bahwa nilai rata-rata dari fungsi sin2 (kx - ωt) is 1/2 , maka dapat dituliskan: 1 P = μv ω 2 A 2 2
z
Secara umum, daya gelombang sebanding dengan laju gelombang g g v dan amplitudo p kuadrat A2. 32
Energi g Gelombang g
Telah ditunjukkan bahwa energi “mengalir” sepanjang tali.
Sumber energi ini (dalam contoh kita) adalah tangan yang menggoyang tali naik dan turun.
Tiap segmen dari tali mentransfer energi pada (melakukan kerja pada) segmen berikutnya dengan menggerakkannya, sama sepertiti ttangan.. 1 2 2 P = μω A v z Kita dapatkan 2 1 dE 1 2 2 dx d E = μω 2 A 2 d x = μω A 2 dt 2 dt
J di Jadi
dE 1 = μω 2 A 2 dx 2
adalah energi rata-rata rata rata per satuan panjang 33
Contoh Daya: y
Sebuah tali dengan massa μ = 0.2 kg/m diletakkan di atas lantai licin. Salah satu ujungnya anda pegang dan digoyangkan ke kanan dan kiri dua kali per detik dengan amplitudo of 0.15 m. Anda melihat bahwa jarak antara dua perut dari gelombang adalah 0.75 m.
Berapa B rata-rata t t daya d yang anda d b berikan ik pada d ttali? li?
Berapa energi rata-rata per satuan panjang dari tali?
Berapa tegangan tali? f = 2 Hz
λ = 0.75 0 75 m A = 0.15 m
34
Contoh Power ... P =
1 μv ω 2 A 2 2
Diketahui A, μ dan ω = 2πf. Ditanya v!
Ingat v = λf = (.75 m)(2 s-1) = 1.5 m/s .
Jadi:
1 ⎛ kg ⎞ ⎛ m ⎞ P = ⎜ 0 .2 ⎟ ⎜1 .5 ⎟ (2 π ⋅ 2 Hz 2 ⎝ m ⎠⎝ s ⎠
)2 (0 . 15 m )2
Daya rata-rata P = 0 .533 W 35
Contoh Daya y ... dE 1 = μω 2 A 2 dx 2
Jadi:
dE 1 kg ⎞ 2 2 = ⎛⎜ 0 .2 ⎟ (2 π ⋅ 2 H z ) (0 .1 5 m ) 2⎝ dx m ⎠
Energi rata-rata per satuan panjang dE = 0 .355 J/m dx
36
Contoh Daya y ...
Diketahui bahwa tegangan tali bergantung pada laju gelombang dan rapat massa: kg ⎞⎛ m⎞ ⎛ F = μv 2 = ⎜ 0.2 ⎟⎜1.5 ⎟ m ⎠⎝ s⎠ ⎝
2
Tegangan tali: F = 0.45 N
37
Contoh : Daya y Gelombang g z
Sebuah gelombang menjalar pada tali. Jika amplitudo dan panjang gelombang dibuat menjadi dua kali, berapa kali per bahan da perubahan daya a rata rata-rata rata yang ang dibawa diba a oleh gelombang? (Laju gelombang tidak berubah). (a) 1
(b) 2
(c) 4
Pi
Pf 38
Contoh : Daya y Gelombang g… z
Telah ditunjukkan bahwa daya rata-rata P =
1 μ ω 2f A f2 v 2 2 Pf ω f Af 2 = = 2 2 Jadi 1 Pi ω i Ai μ ω 2i A i2 v 2 z Tapi karena v = λf = λω / 2π konstan,
1 μω 2 A 2 v 2
ωf λi = ωi λf
ii.e. e menlipatduakan panjang gelomang sama dengan membuat frekuensi menjadi separuh dari awalnya. So
Pf ω = Pi ω
2 2 f Af 2 2 i Ai
2
⎛ λ i ⎞ ⎛ Af ⎞ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝ λ f ⎠ ⎝ Ai ⎠ 2
1 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠
2
2
=1
D Daya sama 39
Superposisi p p
Q: Apa yang terjadi saat dua gelombang g g “bertabrakan?”
A: Keduanya DIJUMLAHKAN!
Kita katakan gelombang tersebut di-”superposisi.”
40
Superposisi p p
Gelombang - Fisika Dasar 2
41
Superposisi p p
Gelombang - Fisika Dasar 2
42
Prinsip p Superposisi p p Gelombang yang overlapping dijumlahkan untuk menghasilkan gelombang resultan
y’(x,t) ’( t) = y1 (x,t) ( t) + y2 (x,t) ( t) Catatan: Gelombang yang overlapping tidak mengubah g penjalaran j masing-masing g gg gelombang. g
43
Mengapa g p superposisi p p bekerja j
Dapat ditunjukkan bahwa persamaan gelombang adalah linier.
Persamaan tidak memiliki suku dimana variabel dikuadratkan.
Untuk persamaan linier, jika terdapat dua (atau lebih) solusi l ib berbeda, b d f1 dan d f2 , maka k Bf1 + Cf2 juga j sebuah b h solusi! (B dan C adalah konstanta sembarang.)
Ini dapat dilihat pada kasus osilasi harmonik sederhana: d2x 2 = − ω x 2 dt
linier dalam x!
x = B sin(ωt) + C cos(ωt) 44
Penjumlahan j Fasor FASOR: vektor dengan amplitudo ym dari gelombang dan bergerak rotasi terhadap titik asal dengan g laju j angular g ω dari g gelombang g Penjumlahan Fasor dapat digunakan jika: Gelombang yang akan disuperposisi memiliki laju angular ω yang sama Gelombang memiliki amplitudo yang berbeda
45
Diagram g Fasor
Fungsi gelombang diberikan oleh proyeksi fasor (vektor E0 dalam diagram) pada sumbu vertikal.
46
Penjumlahan j fasor 2 gelombang g g
α
Penjumlahan dua gelombang dengan beda fasa φ secara grafis. Gelombang resultan EP (proyeksi dari fasor ER pada sumbu vertikal) adalah:
E P = E R sin (ωt + α ) 47
Penjumlahan j fasor N gelombang g g
E P = E R sin (ωt + α )
48
Interferensi te e e s
1 1 sin α + sin β = 2 sin (α + β ) cos (α − β ) 2 2
• Dua gelombang, dengan amplitudo, panjang gelombang, laju j yang y g sama, tapi berbeda fasa
y1 (t ) = ym sin (kx − ωt ) y2 (t ) = ym sin (kx − ω t + φ ) 1 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ y′(t ) = y1 + y2 = ⎢2 ym cos φ ⎥ sin ⎜ kx − ωt + φ ⎟ 2 ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎣
Konstruktif:
φ = m(2π )
Destruktif:
1⎞ ⎛ φ = ⎜ m + ⎟(2π ) 2⎠ ⎝
m=0 0,1,2, 12
Amplitudo=2ym
Amplitudo=0
... 49
Soal Dua gelombang identik yang bergerak searah, memiliki perbedaan fasa sebesar π/2 rad. Berapa amplitudo gelombang resultan dinyatakan dalam amplitudo ym dari masing-masing gelombang?
y1 (t ) = ym ssin (kx − ωt ) y2 (t ) = ym sin (kx − ω t + φ )
Untuk
1 ⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎡ y ′(t ) = 2ym cos φ sin kx − ωt + φ ⎣ 2 ⎦ ⎝ 2 ⎠ π
φ=
2
1 π A = 2 ym cos φ = 2 ym cos = 1.4y 14 m 2 4 50
Superposisi p p & Interferensi
Telah kita lihat jika gelombang saling bertabrakan (dijumlahkan), hasilnya dapat lebih besar atau lebih kecil dibandingkan aslinya aslinya. Ini disebut penjumlahan “konstruktif” atau “destruktif” bergantung pada tanda relatif dari masing-masing gelombang. gelombang penjumlahan konstruktif penjumlahan destruktif z
Secara umum, keduanya dapat terjadi
51
Superposisi p p & Interferensi
Tinjau dua gelombang harmonik A dan B yang bertemu pada x=0.
Amplitudo sama, tapi ω2 = 1.15 x ω1. Perpindahan terhadap waktu untuk masing-masing sbb:
A(ω1t) B(ω2t) Bagaimana bentuk C(t) = A(t) + B(t) ??
INTERFERENSI DESTRUKTIF INTERFERENSI KONSTRUKTIF
52
Pelayangan y g z
z
Dapatkan pola ini diprediksi secara matematik? ÍTentu! Jumlahkan dua kosinus dan ingat identitas: A cos( ω1 t ) + A cos( ω 2 t ) = 2 A cos (ω L t ) cos (ω H t ) 1 where ω L = (ω1 − ω 2 ) 2
and
ωH =
1 (ω1 + ω2 ) 2
cos(ωLt) 53
Pelayangan y g
54
Refleksi
Saat gelombang menjalar dari satu batas ke batas lainnya, terjadilah refleksi. Beberapa gelombang berbalik kembali (mundur) dari batas
Menjalar dari cepat ke lambat -> terbalik
Menjalar dari lambat ke cepat -> tetap tegak
F v= μ 55
Refleksi
56
Refleksi
From high speed to low speed ((low density to high density)
From low speed to high g speed ((high g density to low density) 57
Gelombang g Tegak g
sin α + sin β = 2 sin
1 1 (α + β ) cos (α − β ) 2 2
Dua gelombang sinusoidal dengan AMPLITUDO dan PANJANG GELOMBANG sama menjalar dalam ARAH BERLAWANAN berinterferensi untuk menghasilkan g g gelombang g berdiri y1 (t ) = ym sin (kx − ωt ) y2 (t ) = ym sin (kx + ωt )
y ′( x,t ) = y1 + y2 = [2 ym sin kx ]cos ωt Amplitudo bergantung pada posisi
Gelombang tidak menjalar 58
Gelombang g Tegak g
59
sin(nπ ) = 0 Gelombang g Tegak… g
1⎞ ⎤ ⎛ ⎡ sin n + π = 1 ⎣⎝ 2⎠ ⎦
y ′( x,t ) = [2 ym sin kx ]cos ωt NODES: titik-titik dengan amplitudo nol
kx = nπ ,
or
nλ x= 2
n = 0,1,2,...
k=
2π
λ
ANTINODES: titik-titik dengan amplitudo maksimum (2ym)
1⎞ 1⎞ λ ⎛ ⎛ kx = n + π , or x = n + ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ 2
n = 0,1,2,... 60
Gelombang g Tegak g pada p Tali SYARAT BATAS menentukan bagaimana gelombang direfleksikan. Ujung terikat: y = 0, node pada ujung Gelombang yg direfleksikan memiliki tanda terbalik Ujung bebas: antinode pada ujung Gelombang yg direfleksikan memiliki tanda yang sama 61
Kasus: Kedua Ujung j g Terikat y( x,t ) = [2ym sin kx ]cos ωt
y( x = 0 ) = 0
y( x = L ) = 0
nπ k= , L
sin i (kL ) = 0
ATAU
2L λ= n
ATAU
nv f= 2L
n = 1,2,3,.... 12 3
k hanya dapat memiliki nilai berikut
dimana
τ v= μ
k=
f=
2π
λ v
λ 62
Gelombang g Tegak g
Fundamental n=1 λn = 2L/n /
fn = n v / (2L)
63
Frekuensi Resonansi Resonansi: saat terbentuk gelombang berdiri. 2L n τ f= λ= 2L μ n H Harmonik ik ffundamental d t l atau t pertama t
L=
λ1 2
1 τ f1 = 2L μ
Harmonik ke dua atau overtone pertama
L = λ2
f 2 = 2 f1
Dst…dst. 64
