fyzika v příkladech 1 a 2

Sb´ırka pro pˇredmˇet Stˇredoˇskolsk´a fyzika v pˇr´ıkladech 1 a 2 Termodynamika a statistick´a fyzika: ide´aln´ı plyn – zad´an´ı ˇ sen´ı Reˇ 1. V´alec d´elky l = 60 cm, naplnˇeny´ vzduchem atmosf´erick´eho tlaku p = 72 cm Hg, ˚ do rtuti. Jak dlouhy´ je vzduˇsny´ sloupec, je-li dno v´alce byl ponoˇren dnem vzhuru h = 4 cm nad hladinou rtuti (viz obr´azek 1)? Obr´azek 1: h x l

[40 cm]

˚ 2. ? Pusob´ ı-li 1 g slitiny zinku a kadmia na kyselinu s´ırovou, vyvine se pˇri teplotˇe ◦ t = 26 C vod´ık objemu V = 230 cm3 . Urˇcete sloˇzen´ı slitiny. [Zn 0,074 g, Cd 0,926 g]

˚ 3. ?Kolik litru˚ vod´ıku teploty t = 36, 44◦ Ca tlaku p = 1, 6 at vznikne, pusob´ ı-li 14 g zinku na kyselinu s´ırovou? [3,4 l]

1

4. Kolikr´at mus´ıme stlaˇcit p´ıst hustilky, kter´a m´a objem 40 cm3 , abychom naplnili vzduchem pr´azdnou pneumatiku j´ızdn´ıho kola tak, aby styˇcn´a plocha pneumatiky s vozovkou byla 60 cm2 ? Zat´ızˇ en´ı kola je 35 N, objem pneumatiky 2000 cm3 . Tuhost pneumatiky zanedbejte. Pˇredpokl´adejte, zˇ e atmosf´ericky´ tlak je 100 000 Pa. [73 kr´at]

´ jsou spojeny trubkou s kohoutkem. 5. Dva balony (a) V prvn´ım balonˇe je plyn pˇri tlaku p1 = 760 mm Hg, tlak plynu ve druh´em ´ e je velmi maly´ (p2 = 0). Objem prvn´ıho balonu ´ balonˇ je V1 = 2 l, objem ´ ´ druh´eho balonu je V2 = 7 l. Jaky´ bude vysledn y´ tlak v balonech, jestliˇze je ´ otevˇren´ım kohoutku spoj´ıme? Teplota je konstantn´ı. ˇ ste tuto ulohu, ´ (b) Reˇ je-li ve druh´em balonˇe tlak p2 = 400 mm Hg. [p =

p1 V1 +p2 V2 V1 +V2

(a) 169 mm Hg (b) 480 mm Hg]

6. ?? Do rtut’ov´eho manometru se dostala bublinka vzduchu, a proto barometr ukazuje menˇs´ı tlak, neˇz je ve skuteˇcnosti. Pro srovn´an´ı se spr´avnym ´ barometrem se uk´azalo, zˇ e pˇri tlaku 768 mm Hg barometr ukazoval 748 mm Hg, pˇriˇcemˇz vzd´alenost horn´ı hladiny rtuti od horn´ıho konce trubice byla 80 mm. Jaky´ je spr´avny´ tlak, ukazuje-li barometr (se vzduchem nad rtut´ı) 734 mm Hg (pˇri st´al´e teplotˇe)? [751 mm Hg]

˚ je sloupec 7. ?? V trubici dlouh´e l = 70 cm, postaven´e zatavenym ´ koncem dolu, vzduchu uzavˇreny´ shora sloupcem rtuti o vyˇ ´ sce h = 20 cm. Rtut’ dosahuje aˇz ˇ ast rtuti k horn´ımu okraji trubice (viz obr´azek 2). Trubici opatrnˇe obr´at´ıme. C´ vyteˇce. ˚ (a) Jak vysoky´ sloupec rtuti zustane v kapil´arˇ e, je-li barometricky´ tlak 750 mm Hg? ´ (b) Za jak´e podm´ınky vyteˇce rtut’ z kapil´ary uplnˇ e? [(a) x =

H+l 2

−

1 2

q

(H + l)2 − 4h(H + h − l) = 3, 5 cm (b) l − h ≥ H]

8. ?? Bomba o objemu 20 l je naplnˇena stlaˇcenym ´ vzduchem. Pˇri teplotˇe t = 20◦ C ukazuje manometr tlak 12 MPa. Jaky´ objem vody je moˇzn´e vytˇesnit z komory ponorky vzduchem z t´eto bomby, jestliˇze je ponorka 30 m pod hladinou a teplota ˚ je 5◦ C? Poˇc´ıtejte, zˇ e sloupec vody vyˇ ı tlakem 100 000 Pa a zˇ e ´ sky deset metru˚ pusob´ atmosf´ericky´ tlak je 100 000 Pa. [554 l] 2

Obr´azek 2: h

l

x

9. ? Plynovodn´ım potrub´ım teˇce oxid uhliˇcity´ pˇri tlaku p = 400 000 Pa a pˇri teplotˇe 7◦ C. Jak´a je rychlost plynu v potrub´ı, jestliˇze za dobu τ = 10 min proteˇce m = 2 kg ˚ rezu potrub´ı S = 5 cm2 ? oxidu uhliˇcit´eho, je-li plocha pruˇ = 0, 9 m.s−1 ] [u = MmRT m pSτ 10. Naˇcrtnˇete pˇribliˇznˇe grafy izochorick´eho, izobarick´eho, adiabatick´eho a izotermick´eho dˇeje v diagramech: (a)T, p (b)T, V (c)T, U (d)V, U . [viz obr´azek 3]

11. ? Jak´e mˇern´e tepeln´e kapacity cp a cV m´a smˇes m1 = 2 g oxidu uhliˇcit´eho a m2 = 3 g dus´ıku? 1 +cV 2 m2 [cV = cV 1 m = 707 J.kg−1 K−1 cp = 963 J.kg−1 K−1 ] m1 +m2 12. ?Urˇcete pod´ıl κ =

cp cV

pro smˇes 3 molu˚ argonu a 5 molu˚ kysl´ıku. [κ = 1, 47]

13. ?? Ve v´alci spalovac´ıho motoru vybuchne hoˇrlav´a smˇes. Jak´a teplota t2 a jaky´ tlak p2 se vyvine pˇri vybuchu pˇri tˇechto podm´ınk´ach: Objem v´alce je 10 l, tlak pˇred ´ 3

Obr´azek 3: p

U

izoterma

izobara izochora adiabata

izochora izobara adiabata

T V

izoterma

T U

izobara

izochora

izochora izobara izoterma adiabata

adiabata

V

T

vybuchem je p1 = 500 000 Pa a teplota t1 = 210◦ C; mnoˇzstv´ı petroleje ve smˇesi je ´ m = 0, 9 g mˇern´a tepeln´a kapacita spalin je cV = 712 J.kg−1 K−1 , pod´ıl mol´arn´ı plynov´e konstanty a mol´arn´ı hmotnosti je B = MRm = 280 J.kg−1 K−1 a mˇern´e spaln´e teplo petroleje je q = 41, 7 MJ.kg−1 . Pozn´amka: Povaˇzujte zahˇra´ t´ı pˇri vybuchu za ´ izochoricky´ dˇej, neuvaˇzujte zmˇenu objemu pˇri vybuchu. ´ [1600◦ C, 2 MPa]

14. Poˇca´ teˇcn´ı tlak dvouatomov´eho plynu byl p0 = 12 MPa a objem V0 = 1 l. Jak´e byly tlaky plynu pˇri objemech V1 = 2 l, V2 = 3 l, V3 = 4 l a V4 = 5 l, (a) jestliˇze se plyn rozp´ınal adiabaticky (b) jestliˇze se plyn rozp´ınal izotermicky? ´ (c) rˇ eˇste tuto ulohu pro jednoatomovy´ plyn. Pro prvn´ı dvˇe situace zakreslete zmˇenu tlaku v diagramu V,p. [(a) (b) viz obr´azek 4]

15. ? Na obr´azku 5 je nakreslen diagram dˇeje v ide´aln´ım plynu. Co se dˇeje s plynem, kdyˇz pˇrejde ze stavu 1 do stavu 2? Jak´a je mˇern´a tepeln´a kapacita plynu pˇri tom dˇeji? √ [tlak roste s T , cV + 4

R ] 2Mm

Obr´azek 4:

p[pa] 120 100 80 60 40

izoterma

20 adiabata 0

1

2

3

4

5 V[l]

16. ?? Na poˇca´ tku urˇcit´eho polytropick´eho dˇeje tlak a objem dan´e hmotnosti kysl´ıku byly 2,3 l a 1 atm, na konci dˇeje byly 4,1 l a 0,5 atm. Teplota na zaˇca´ tku dˇeje byla 26◦ C. Urˇcete: (a) exponent v polytropick´e rovnici (b) pr´aci vykonanou rozp´ınaj´ıc´ım se kysl´ıkem (c) mnoˇzstv´ı tepla, kter´e obdrˇz´ı kysl´ık od okoln´ıho prostˇred´ı (d) zmˇenu vnitˇrn´ı energie kysl´ıku. [(a) 1,2 (b) 127 J (c) 63,5 J (d) -63,5 J]

17. ? Ve v´alci pod p´ıstem je v uzavˇren´em objemu vzduch (viz obr´azek 6). Jak´a pr´ace se mus´ı vynaloˇzit, aby byl stlaˇcen p´ıst o h1 = 10 cm, je-li poˇca´ teˇcn´ı vyˇ ´ ska sloupce vzduchu h0 = 15 cm a vnˇejˇs´ı tlak p0 = 760 mm Hg. Plocha p´ıstu S = 10 cm2 . Hmotnost p´ıstu zanedbejte. Teplota se nemˇen´ı.   1 = 2, 37 J] [W = p0 S h1 − h0 ln h0h+h 0 18. ? 1 kg vzduchu pˇri poˇca´ teˇcn´ım tlaku 100 000 Pa je stlaˇcov´an na tlak 1 000 000 Pa. Urˇcete pr´aci, kter´a se vykon´a pˇri stlaˇcov´an´ı vzduchu, jestliˇze (a) stlaˇcov´an´ı se dˇeje pˇri st´al´e teplotˇe, (b) stlaˇcov´an´ı se dˇeje adiabaticky. 5

Obr´azek 5:

p

2

1

V

[(a) 193 kJ (b) 195 kJ]

19. Pˇr´ıstroj zakresleny´ na obr´azku 7 – vzduchov´e kˇresadlo – slouˇz´ı k demonstraci zahˇra´ t´ı vzduchu pˇri adiabatick´em stlaˇcen´ı. Urˇcete teplotu vzduchu v kˇresadle 1 ˚ pˇri rychl´em zmenˇsen´ı objemu na 10 puvodn´ ıho objemu, byla-li poˇca´ teˇcn´ı teplota ◦ 15 C. [450◦ C]

20. ? 8 g kysl´ıku pˇri teplotˇe 27◦ C zauj´ım´a objem 0,4 l. Vypoˇc´ıtejte pr´aci plynu v tˇechto pˇr´ıpadech: (a) Plyn se rozepne adiabaticky na objem 4,1 l. (b) Plyn se rozepne izotermicky na objem 4,1 l a potom se ochlad´ı pˇri nezmˇenˇen´em objemu na takovou teplotu, kter´a vznikla na konci adiabatick´eho rozepnut´ı. Jak se vyloˇz´ı rozd´ıl mezi prac´ı v pˇr´ıpadˇe (a) a mezi prac´ı v pˇr´ıpadˇe (b)? [(a) 938 J (b) 1436 J]

6

Obr´azek 6:

h₀

21. ?? Ve v´alci uzavˇren´em na obou konc´ıch a naplnˇen´em vzduchem je p´ıst, ktery´ rozdˇeluje objem v´alce na dva stejn´e d´ıly (viz obr´azek 8). Tlak vzduchu na obˇe strany p´ıstu je p0 = 100 000 Pa. P´ıst je vychylen nepatrnˇe z rovnov´azˇ n´e polohy ´ ˚ zeme pokl´adat za adiabatick´e a puˇstˇen. Zaˇcne kmitat, pˇri cˇ emˇz dˇeje v plynu muˇ ˚ jestliˇze hmotnost p´ıstu je m = (izotermick´e). Vypoˇc´ıtejte periodu tˇechto kmitu, 1, 5 kg, vzd´alenost p´ıstu od stˇeny je l = 20 cm a plocha p´ıstu je S = 100 cm2 . Tˇren´ı je zanedbateln´e. q [T = 2π 2Spml0 (κ) =0,05 s (=0,036 s)] 22. ? Dokaˇzte, zˇ e pro jednoatomov´e plyny je souˇcin pV pˇribliˇznˇe roven 23 vnitˇrn´ı energie plynu, pro dvouatomov´e plyny 25 vnitˇrn´ı energie plynu! [vyjdˇete z ekvipartiˇcn´ıho teor´emu] 23. ? Jak´a je zmˇena vnitˇrn´ı energie dus´ıku, ktery´ m´a pˇri norm´aln´ım tlaku objem V1 = 10 l, jestliˇze se rozepne na objem V2 = 12 l (a) izobaricky? (b) adiabaticky?

7

Obr´azek 7:

[(a) ∆U =

p(V2 −V1 ) κ−1

= 494 J (b) ∆U =

pV1 κ−1



1−



V1 V2

κ−1 

= −178 J]

24. ?? Jak´esi mnoˇzstv´ı such´eho vzduchu stoup´a v atmosf´erˇ e. (a) Pˇredpokl´adejme, zˇ e rozp´ın´an´ı vzduchu pˇri stoup´an´ı se dˇeje izotermicky. Dokaˇzte, zˇ e za tohoto pˇredpokladu se vyˇ ´ ska h, do kter´e vzduch vystoupil, vypoˇcte podle vzorce cp T0 κ − 1 p0 h= . . ln , g κ p kde T0 je teplota a p0 tlak na povrchu zemsk´em, p je tlak ve vyˇ ´ sce h. (b) Pˇredpokl´adejte, zˇ e rozp´ın´an´ı vzduchu se pˇri stoup´an´ı dˇeje adiabaticky. Dokaˇzte, zˇ e to vede k barometrick´emu vzorci tohoto tvaru: 

cp T0  p h= 1− g p0

! κ−1  κ

.

(c) Vypoˇc´ıtejte, vych´azej´ıc´ıce jednou z prvn´ıho a po druh´e z druh´eho pˇredpokladu, v jak´e vyˇ ´ sce je tlak vzduchu dvakr´at menˇs´ı neˇz na povrchu zemsk´em. Teplota na povrchu zemsk´em je 14 ◦ C. [5900 m a 5350 m] 25. ?? Bomby, jejichˇz objemy jsou V1 a V2 , obsahuj´ı dva plyny, kter´e maj´ı tlak p1 a p2 a teplotu T1 a T2 . Bomby jsou spojeny trubic´ı opatˇrenou kohoutkem. Kdyˇz kohoutek otevˇreme, nastane sm´ısˇ en´ı plynu˚ a ust´al´ı se vysledn y´ tlak p a vysledn´ a ´ ´ 8

Obr´azek 8:

p₀

p₀ l

l m,S

x teplota T. Dokaˇzte: V pˇr´ıpadˇe, zˇ e pomˇer

cp cV

je u obou plynu˚ stejny, ´ plat´ı rovnice

p1 V1 + p2 V2 V1 + V2 p1 V1 + p2 V2 T = p1 V1 p2 V2 + T2 T1 p =

Bomby jsou z materi´alu, ktery´ nevede teplo. ˚ [uvaˇzujte o vnitˇrn´ı energii plynu] 26. Na obr´azku 9 je teoreticky“ ´ pracovn´ı diagram komprese (pˇri experiment´aln´ıch ” ˇ ast AB odpov´ıd´a izotermick´emu stlaˇcen´ı vzdumˇerˇ en´ıch jsou rohy zakulacen´e). C´ ˚ av´a konstantn´ı), chu, BC prot´ek´an´ı vzduchu do rezervo´aru kompresoru (tlak zust´ CD okamˇzit´emu sn´ızˇ en´ı tlaku ve v´alci kompresoru pˇri uzavˇren´ı vypustn´ eho ot´ voru a otevˇren´ı otvoru sac´ıho, DA s´an´ı vzduchu pˇri tlaku jedn´e atmosf´ery. Dokaˇzte, zˇ e celkov´a pr´ace kompresoru v jednom cyklu se rovn´a pr´aci vykonan´e pˇri izotermick´em stlaˇcen´ı vzduchu a jej´ı velikost je d´ana plochou ABGF. 27. ? Kompresor m´a dod´avat za jednu hodinu 50 m3 stlaˇcen´eho vzduchu o tlaku ˚ zeme 800 000 Pa. Kompresor je ochlazov´an prot´ekaj´ıc´ı vodou, takˇze stlaˇcov´an´ı muˇ povaˇzovat za dˇej izotermicky. ´ ´ cinnost kompresoru (a) Jaky´ vykon mus´ı m´ıt motor poh´anˇej´ıc´ı kompresor, je-li uˇ ´ 60%? (b) Jak´e mnoˇzstv´ı chlad´ıc´ı vody proteklo kompresorem, ohˇreje-li se voda v chladiˇci z 11◦ C na 17◦ C? Vnˇejˇs´ı tlak je roven tlaku atmosf´erick´emu. [(a) 37,8 kW (b) 3250 kg.h−1 ]

9

Obr´azek 9:

p

B

C

p₂ D

H

p₁

A

G

0

V₂

F

V₁

V

28. Na obr´azku 10 je teoreticky“ ´ pracovn´ı diagram cyklu vybuˇ ´ sn´eho motoru. Dˇej ” 1-2 je stlaˇcen´ı hoˇrlav´e smˇesi, 2-3 je vybuch, 3-4 pracovn´ı chod, 4-5 pokles tlaku ´ ˚ kter´e vykonaly pr´aci, 6-1 je pˇri otevˇren´ı vypustn´ ıho ventilu; 5-6 je vyfuk plynu, ´ ´ s´an´ı hoˇrlav´e smˇesi. Za pˇredpokladu, zˇ e dˇeje 1-2, 3-4 mohou byt ´ povaˇzov´any za adiabatick´e a zˇ e dˇeje 2-3,4-5 mohou byt dˇeji, vypoˇc´ıtejte ´ zamˇenˇeny izochorickymi ´ ´ cinnost stroje, je-li zn´amo, zˇ e VV21 = 4; ccVp pro hoˇrlavou smˇes a pro teoretickou uˇ produkty hoˇren´ı je 1,3.

p

Obr´azek 10:

3

2 4 1(5)

6 0

V₂

V₁

V [η = 0, 34]

Literatura a prameny k dalˇs´ımu procviˇcov´an´ı ˚ zena, Salach S., Plazak T., Sanok S., Pralovszky, [1] Kol´arˇ ov´a Ruˇ ´ ´ B.,500 testov´ych uloh z fyziky pro studenty stˇredn´ıch sˇkol a uchazeˇce o studium na vysok´ych sˇkol´ach. Prome10

theus, Praha 2004, 2.vyd´an´ı. ˇ [2] Sirok´ a Miroslava, Bednaˇr´ık Milan, Ordelt Svatopluk Testy ze stˇredoˇskolsk´e fyziky. Prometheus, Praha 2004, 2. vyd´an´ı ˇ [3] Lepil Oldˇrich, Sirok´ a Miroslava Sb´ırka testov´ych uloh ´ k maturitˇe z fyziky. Prometheus, Praha 2001, 1. vyd´an´ı [4] Ostry´ Metodˇej, Fysika v uloh´ ´ ach 516 rozˇreˇsen´ych pˇr´ıkladu, ˚ St´atn´ı pedagogick´e nakladatelstv´ı, Praha 1958 [5] Gur~ev L. G., Kortnev A. V., Kucenko A. N., Lat~ev B. V., Minkova S. E., Protopopov R. V., Rublev . V., Tiwenko V. V., Xepetura M. I., Sbornik zadaq po obswemu kursu fiziki, Vysxa xkola, Moskva 1966 [6] Bol~kenxten, V. S., Sbornik zadaq po obswemu kursu fiziki, Nauka, Moskva 1967 ˇ [7] Sacharov, D. I., Kosminkov, I. S., Sb´ırka uloh ´ z fysiky, Nakladatelstv´ı Ceskoslovensk´ e akademie vˇed, Praha 1953 [8] Bendrikov G.A., Buqovcev B.B., Kerencev V. V., Mkixev G.., Zadaqi po fizike dl postupawih v vuzy, Nauka, Moskva 1987 ˇ ´ J´an, Rakovsk´a M´aria, Sirok [9] Koubek V´aclav, Lepil Oldˇrich, Piˇsut y´ Jarom´ır, Tomanov´a Eva, Sb´ırka uloh ´ z fyziky II.d´ıl pro gymn´azia, St´atn´ı pedagogick´e nakladatelstv´ı, Praha 1989 [10] Ungermann Zdenˇek, Simersky´ Mojm´ır, Kluvanec Daniel, Volf Ivo, 27. roˇcn´ık Fyzik´aln´ı olympi´ady broˇzura, St´atn´ı pedagogick´e nakladatelstv´ı, Praha 1991 [11] Klepl V´aclav, Elektrotechnika v pˇr´ıkladech, Pr´ace, Praha 1962 ˇ ˇ ıman Evˇzen, Slav´ık Josef B., Soler [12] R´ Kliment, Fyzika s pˇr´ıklady a ulohami, ´ pˇr´ıruˇcka pro pˇr´ıpravu na vysokou sˇkolu, St´atn´ı nakladatelstv´ı technick´e literatury, Praha 1966 [13] Bartuˇska Karel, Sb´ırka rˇeˇsen´ych uloh ´ z fyziky pro stˇredn´ı sˇkoly I, Prometheus, Praha 2007 [14] Bartuˇska Karel, Sb´ırka rˇeˇsen´ych uloh ´ z fyziky pro stˇredn´ı sˇkoly II, Prometheus, Praha 2008 [15] Bartuˇska Karel, Sb´ırka rˇeˇsen´ych uloh ´ z fyziky pro stˇredn´ı sˇkoly III, Prometheus, Praha 2008 [16] Bartuˇska Karel, Sb´ırka rˇeˇsen´ych uloh ´ z fyziky pro stˇredn´ı sˇkoly IV, Prometheus, Praha 2008 [17] vlastn´ı tvorba 11