FYZIKA I. Prof. Ing. Jaroslav Buchar, DrSc. Ing. Libor Severa, PhD

FYZIKA I Prof. Ing. Jaroslav Buchar, DrSc. Ing. Libor Severa, PhD

OBSAH. Předmluva……………………………… ……………………………………….…….3 1. ÚVODNÍ KAPITOLA……………….. ………………………………………….….5 2.ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY ……………………………………………..8 2.1. Definice vektoru,sčítání a odčítání vektorů………………… ……………………………………………..8 2.2. Násobení vektorů………………… ……………………………………………12 3.MECHANIKA………………………… ……………………………………………15 3.1. Kinematika hmotného bodu……… ……………………………………………15 3.1.1. Pohyb přímočarý…………… ……………………………………………16 3.1.1.1. Pohyb rovnoměrný přímočarý…………… ……………………………………………19 3.1.1.2. Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený ……………………………………………19 3.1.1.3. Obecný přímočarý pohyb……………… ……………………………………………21 3.1.2. Kruhový pohyb hmotného bodu………………………… ……………………………………………22 3.1.3. Obecný křivočarý pohyb…… ……………………………………………27 3.1.4. Kinematika současných pohybů………………………. ……………………………………………30 3.1.5. Harmonický pohyb………….. ……………………………………………32 3.2. Dynamika hmotného bodu………... ……………………………………………33 3.2.1. Základní zákony…………….. ……………………………………………33 3.2.2. Impuls, hybnost, moment síly moment hybnosti…………… ……………………………………………37 3.2.3. Práce,výkon,energie………… ……………………………………………39 3.3.3. Síly pasivního odporu……….. ……………………………………………43 3.3. Dynamika soustavy hmotných bodů ……………………………………………53 3.3.1. Střed hmotnosti soustavy hmotných bodů……………… ……………………………………………53 3.3.2. Pohybové rovnice soustavy hmotných bodů……………… ……………………………………………56 3.3.3. Elementární teorie rázu……... ……………………………………………58 3.3.3. Energie soustavy hmotných bodů……………… ……………………………………………61 4. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA… ……………………………………………63 4.1. Základní poznatky o kinematice tuhého tělesa……………………………………………………………………...63 4.2. Axiomy a základní věty statiky…………………………………………………..64 4.3. Střed hmotnosti tuhého tělesa…………………………………………………….67 4.4. Momenty setrvačnosti těles………………………………………………………69 4.4.1. Momenty setrvačnosti k rovnoběžným osám…………………….………..71 4.4.2. Momenty setrvačnosti k ose libovolného směru……………………….….73 4.5. Hybnost a moment hybnosti tuhého tělesa……………………………………….77 4.6. Pohybové rovnice tuhého tělesa………………………………………………….79 4.7. Kinetická energie tuhého tělesa…………………………………………………..79 4.8. Vybrané příklady…………………………………………………………………80 4.9. Dodatek - Momenty setrvačnosti derivační, momenty a polohy těžiště T……….87 5. GRAVITAČNÍ SILOVÉ ÚČINKY MEZI TĚLESY…………………………………89 6. ÚVODNÍ POZNATKY O MECHANICE PODDAJNÉHO TÉLESA……………….97 6.1. Deformace těles………………………………………………………………….97

6.2. Silové účinky na poddajné těleso……………………………..………………..101 6.3. Hookův zákon ………………………………………………..………………..104 7. TEPELNÉ POHYBY………………………………………………..………………110 7.1. Projevy tepelného pohybu……………………………………..………………110 7.2. Ideální plyn ………………………………………………………..…………..111 7.2.1. Tlak ideálního plynu………………………………………..…………...112 8. ÚVOD DO TERMODYNAMIKY ……………………………………..…………..116 8.1. Tepelná a měrná tepelná kapacita ……………………………………..………116 8.2. Práce …………………………………………………………………..……….117 8.3. Termodynamické procesy v ideálním plynu …………………………..………119 8.4. Druhý zákon termodynamiky ……………………………………………........124 9. MECHANIKA TEKUTIN ……………………………………………………..…...130 9.1. Hydrostatika ……………………………………………………………..…….130 9.1.1. Rovnice rovnováhy tekutin ………………………………………….....131 9.1.2. Některé aplikace základní rovnice hydrostatiky …………………….....133 9.2. Hydrodynamika ideální tekutiny …………………………………………..…..142 9.2.1. Zrychlení tekutiny ……………………………………………..……….142 9.2.2. Popis vírového pohybu tekutiny …………………………………..……143 9.2.3. Rovnice kontinuity pohybu tekutin ……………………………….……144 9.2.4. Pohybové rovnice ………………………………………………….…...146 9.2.5. Příklady použití Bernoulliho rovnice ...………………………… ……..148 9.3. Viskózní tekutiny ……………………………………………………….…….150 9.3.1. Odporové síly při pohybu těles ve viskózní tekutině ……….………….153 9.3.2. Proudění viskózní tekutiny v trubce kruhového průřezu ………………155 9.3.3. Pohyb tekutiny mezi dvěma souosými trubkami ………………………156 Doporučená literarura……………………………………………………………………159

Předmluva Předložené skriptum je určeno posluchačům Fakulty lesnické a dřevařské MZLU v Brně jako pomůcka při studiu předmětu Fyzika I. Oboru studia Dřevařské inženýrství. Skripta však mohou sloužit i posluchačům jiných oborů MZLU v Brně a to jak při studiu fyziky, tak při vyhledávání potřebných informací. Rozsah skript vychází z počtu 14 přednášek v průběhu semestru, kdy se probírají základy mechaniky pevných látek a tekutin (kapalin a plynů) a základy tepelných procesů. Účelem je poskytnout poznatky, které jsou dále rozvíjeny v předmětech Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva, Tepelná a energetická zařízení a v řadě dalších. Z hlediska rozdělení fyziky se budeme zabývat klasickou a nerelativistickou fyzikou. S ohledem na skutečnost, že výuka fyziky poněkud předbíhá výuku matematiky, je nezbytné věnovat pozornost řadě matematických operací. To souvisí se skutečností, že fyzika je úzce spjata s matematikou, kdy není náhodou, že jeden z objevitelů diferenciálního a integrálního počtu byl právě Newton, tedy fyzik. Z tohoto důvodu je již po úvodní kapitole věnována pozornost základům vektorové algebry. Přes tento důraz na matematický aparát je snahou zvýraznit vlastní metodiku fyzikálního zkoumání našeho světa. Je pochopitelné, že daný učební text představuje jen určitý obsah jednotlivých témat ,kdy na jednu přednášku připadá zhruba 7 stránek skript. Proto je třeba používat i další literaturu uvedenou na konci textu a rovněž poznámky z přednášek. Zejména je třeba studovat skripta : J.Buchar, Sbírka příkladů z fyziky, kde jsou uvedeny četné řešené příklady k jednotlivým tématům . Tyto příklady nejsou, z důvodů omezení rozsahu skript, uvedeny v předkládaném textu. Autoři děkují všem, kdo v průběhu řady let přispívali k zdokonalování výuky tohoto předmětu, spolupracovníkům v oddělení fyziky, studentům a recenzentům. Brno, květen 1999

J.Buchar a L.Severa

3

1.ÚVODNÍ KAPITOLA. Stejně jako jiné obory , tak i fyzika si vytváří vlastní "jazyk", jehož pomocí formuluje výsledné poznatky. Tento jazyk se skládá z pojmů a veličin. Pojmy jsou dány historickým vývojem a jejich obsah zpravidla nejsme schopni exaktně definovat. Příkladem jsou např. pojmy svět, čas , síla, prostor apod. Fyzikální pojem se stává veličinou, pokud jsme schopni jeho kvantitativního vyjádření. Pro toto vyjádření volíme vhodné jednotky, které mají totožný význam jako odpovídající pojem a velikost +1. Odtud tedy vyplývá : Fyzikální veličina = číselná hodnota x jednotka Fyzikální veličina tak má jak kvalitativní, tak kvantitativní stránku. Kvalitativní stránka je dána vlastností, pro kterou je mírou a kvantitativní stránka záleží na kvantitě dané vlastnosti. Pro každou fyzikální veličinu navolíme jednotku zcela nezávislou na jednotkách ostatních veličin. Rozlišujeme jednotky z á k l a d n í a o d v o z e n é. V průběhu historie vznikla celá řada soustav jednotek, což vedlo k obtížím při srovnávání výsledků jednotlivých autorů a při studiu fyziky vůbec. Tento stav byl překonán návrhem M e z i n á r o d n í

soustavy

j e d n o t e k (SI), která je

založena na sedmi jednotkách základních a dvou doplňkových. Jejich přehled uvádí : Tab.1.1 Veličina

Základní a doplňkové jednotky SI Název

Zna

Definice

čka Délka

metr

m

1 m je délka rovnající se 1 650 763,63 násobku vlnové délky záření, které se šíří ve vakuu a odpovídá přechodu mezi energetickými hladinami 2p10 a 5d5 atomu kryptonu 86.

Hmotnost kilogram

kg Kilogram

je

hmotnost

mezinárodního

etalonu

kilogramu, který je uložen u Mezinárodního úřadu pro váhy a míry v Sevres u Paříže. Čas

sekunda

s

Sekunda je doba trvání 9 192 631 770 period záření odpovídajícího přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu izotopu Cs 133.

Elektrický ampér proud

A 1 A je proud, který při průtoku dvěma rovnoběžnými nekonečně dlouhými přímkovými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1 m, vyvolá sílu 2.10-7 N na 1 metr délky.

5

Termodyn Kelvin

K Kelvin je 1/273,16 termodynamické teploty trojného

amická

bodu vody.

teplota Svítivost

kandela

cd Je svítivost absolutně černého tělesa v kolmém směru na povrch, jehož velikost je 1/6 x 10-5 m2 při teplotě tuhnutí platiny a tlaku 101 325 pascalů.

Látkové

mol

Mol je látkové množství, které obsahuje počet molekul, mol resp. částic jako je atomů v 0,012 kg izotopu C12.

množství Rovinný

radián

rad Radián je úhel uzavřený dvěma radiálními přímkami,

úhel

které vytínají na kružnici oblouk o délce poloměru.

Prostorov steradián ý úhel

sr

Je prostorový úhel, který s vrcholem ve středu koule vytíná na jejím povrchu plochu s obsahem rovným druhé mocnině poloměru koule.

Mezinárodní systém jednotek je k o h e r e n t n í, tzn., že rovnice mezi číselnými hodnotami veličin mají přesně stejný tvar, jak odpovídající rovnice mezi veličinami. O d v o z e n é j e d n o t k y SI se odvozují od základních jednotek koherentně na základě racionalizované soustavy definičních rovnic. Základní, doplňkové a odvozené jednotky se označují názvem : " j e d n o t k y SI ". N á s o b k y a d í l y j e d n o t e k se tvoří přednostně podle třetí mocniny deseti a označují se předponami a značkami uvedenými v tab.1.2. Tab. 1.2.

Předpony, označující násobky nebo díly základních jednotek

Předpona

Zkratka

Exponenciální zápis

Název

exa

E

1018

trilión

peta

P

1015

tisíc biliónů

tera

T

10

12

giga

G

109

miliarda

mega

M

106

milión

kilo

k

103

tisíc

mili

m

10-3

tisícina

mikro

µ

10-6

milióntina

nano

n

10

-9

miliardtina

piko

p

10-12

bilióntina

femto

f

10-15

----

6

bilión

atto banto

a

10-18

b

-21

Rozměrem veličiny

trilióntina

10

----

vzhledem k základním veličinám nazýváme formální

součin rozměrových symbolů s příslušnými exponenty. Mimo to jsou trvale povoleny tzv.vedlejší jednotky souhrnně uvedené v tab. 1.3. Tab. 1.3. Trvale povolené vedlejší jednotky Veličina

název

značka

vztah k jednotkám SI

čas

minuta

min

1m=

hodina

h

1 h = 3 600 s

den

d

1 d = 86 400 s

stupeň

(o)

1o = (π/180) rad

minuta

(′)

1´ = (π/10 800) rad

sekunda

(")

1" = (π/648 000) rad

objem

litr

l

1 l = 10-3 m3

hmotnost

tuna

t

1 t = 103 kg

teplota (t)

stupeň Celsia

energie

elektronvolt

eV

1eV = 1,602.10-19 J

atomová

atomová

u

1 u = 1,66053.10-27 kg

hmotnostní

hmotnostní

konstanta

jednotka

délka

astronomická

AU

1 AU = 1,496.1011 m

jednotka

(UA)

rovinný úhel

o

C

60 s

T = t + 273,15 K

1 pc = 206 265 AU=3,09.1016 m

paprsek pc

Tímto způsobem jsme si uvedli základní údaje potřebné pro práci s fyzikálními veličinami. Přitom je třeba si rovněž uvědomit, že existuje celá řada fyzikálních veličin, které nejsou určeny jen jedním údajem. S ohledem na tuto skutečnost dělíme veškeré fyzikální veličiny na skaláry, vektory a tenzory. Práce s těmito veličinami pak vyžaduje poněkud odlišného matematického aparátu, než na který jsme zvyklý z běžné algebry. Z tohoto důvodu je nezbytné, dříve než přikročíme k vlastnímu fyzikálnímu výkladu, uvést některé pojmy vektorového počtu.

7

2. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY. Nejjednoduššími veličinami jsou tzv. s k a l á r n í v e l i č i n y, které jsou v úplnosti určeny jediným údajem - svojí velikostí. Patří sem hmotnost, čas, elektrický náboj, energie apod. Počítání s těmito veličinami nevyžaduje žádné zvláštní operace, zcela vystačíme s metodami běžné algebry. Další významnou skupinu tvoří v e k t o r o v é

v e l i č i n y, které jsou určeny

dvojicí údajů, a to o velikosti a o směru. Názorový příklad poskytují rychlost, síla, elektrický tok atd. V dané části se zaměříme na základní definici vektorů a jejich sčítání a odčítání. 2.1. Def inice vektoru, sčítání a odečítání vektorů . Z ryze matematického hlediska definujeme vektor jako uspořádanou n-tici čísel, např. a = { a1, a 2, a 3, …. a n }, kde n odpovídá rozměru příslušného geometrického prostoru. Tato definice, která umožňuje převést vektorové operace na algebraické operace mezi složkami, je pro fyzikální účely poněkud méně názorná. Ve fyzice zpravidla definujeme vektor jako veličinu určenou velikostí a směrem. Současně se omezujeme, alespoň v úvodních částech, jen na Kartézský souřadnicový třírozměrný prostor o souřadnicových osách x, y, z - viz obr. 2.1. Vektor znázorňujeme graficky orientovanou úsečkou a značíme ho písmeny s vodorovnou čárkou nebo šipkou. V řadě textů jsou pak vektory odlišovány výraznějším textem. V daných skriptech používáme obojího označení. Mějme pro názornost vektor a , který prochází počátkem - viz obr. 2.1.

Obr.2.1.

8

Je zřejmé, že odpovídající orientovanou úsečkou OA můžeme rozložit na složky do osy x( ax ), y( ay ), z( az ). Velikost této úsečky a = ⎜a ⎜ udává velikost vektoru, pro kterou platí ( 2.1 ) r a = a = ax 2 + ay 2 + ay 2 Z jednoduchých geometrických úvah pak vyplývají vztahy pro kosiny úhlu α , β, γ ,

které daný vektor svírá s osami x, y, z : ( 2.2) ax ax + ay 2 + az 2 ay cos β = 2 ax + ay 2 + az 2 az cos γ = 2 ax + ay 2 + az 2 cos α =

2

Veličiny cos α , cos β , cos γ nazýváme směrové kosiny a z trigonometrie víme, že platí (2.3)

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Vidíme, že složky vektoru a, tzn. ax, ay , az určují jak jeho velikost, tak jeho směr. To přirozeně platí i pro vektory, které neprochází počátkem. Vidíme tak zcela jasnou ekvivalenci matematické a fyzikální definice vektoru, kdy vektor a můžeme definovat jako uspořádanou trojici čísel ax, ay , az , kde ax, ay , az jsou složky vektoru ve směru souřadnicových os. Z rovnic (2.1) a (2.2) pak vidíme, že pro určení vektoru je důležité pořadí složek, neboť záměna např. ax s ay sice nemění velikost, ale mění směr vektoru. Proto tedy pojem uspořádané trojice. Nyní můžeme definovat pojem součet vektorů : Definice 2.1 Mějme vektory a ≡ (ax, ay , az) a vektor b ≡ (bx, by , bz). Součtem vektorů a a b rozumíme vektor c = a + b o složkách : cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz . Geometrický význam této definice vyplývá z obr. 2.2 , který ukazuje, že vektor

c

dostaneme tak, že ke koncovému vektoru bodu a přidáme vektor b a spojíme počátek vektoru a s koncovým bodem vektoru b .

9

Obr.2.2. Součet dvou vektorů AB a BC (det.a) a vektorů a a b (det.b)

Obr.2.2a. Součet tří vektorů Je přirozené, že definici 2.1 můžeme rozšířit na libovolný počet vektorů, např. a1 + a2 + ….+ aa . Na obr.2.2a je znázorněn součet tří vektorů. Z předcházejícího výkladu je zřejmé, že dva vektory jsou totožné, pokud mají stejnou velikost a směr. Pro rozlišení případů dvou vektorů stejné velikosti opačného směru používáme označení : Definice 2.2 Znaménkem (-) před znakem vektoru, např. - m , označujeme tu skutečnost, že jde o vektor stejné velikosti, ale opačného směru jak vektor m . Pomocí tohoto označení můžeme definovat rozdíl vektorů c = a - b jako součet c = a + ( - b), tzn. pro složky vektoru c platí : cx = ax - bx , cy = ay - by , cz = az - bz . Grafické znázornění rozdílu vektorů uvádí obr. 2.3. 10

Obr.2.3. Schéma grafického řešení rozdílu dvou vektorů. Pro sčítání vektorů evidentně platí : Komutativní zákon : a + b = b + a Asociativní zákon : a +(b + c) =(a + b) + c Další důležitou operací je násobení vektoru skalárem. Definice 2.3. Součin skaláru (k) s vektorem a ≡ (ax, ay , az) je vektor c = k a o složkách cx = k ax, cy = k ay , cz = k az . Z rovnice (2.1) je patrné, že velikost vektoru c = ⎜k⎜⎜a⎜ . Vezmeme-li rovnici ( 2.2) je zřejmé, že pro k > 0 má vektor c směr vektoru a a pro k < 0 má směr opačný. Zaveďme nyní jednotkové vektory i , j , k ve směru souřadnicových os x, y, z - viz obr. 2.4 . Vektory i, j, k mají složky i ≡ ( 1, 0, 0 ) , j ≡ ( 0, 0, 1 ) , k ≡ ( 0, 0, 1 ). Mějme nyní vektor a ≡ (ax, ay , az) . S ohledem na definici 2.1 a 2.3 můžeme vektor a vyjádřit pomocí :

( 2.3 )

a

= ax i + a y j + az k Obr.2.4

11

Dosud jsme viděli operace s vektory, které jsou, zejména s ohledem na jejich složky, značně podobné jak v běžné algebře. Poněkud jiná situace nastává při násobení vektorů. 2.2. Násobení

vektorů.

Při násobení vektorů rozeznáváme dva druhy součinů. V prvé řadě jde o skalární součin. Definice 2.4 Skalárním součinem dvou vektorů a ≡ (ax, ay , az) a b ≡ (bx, by , bz) je skalár : c = a . b = ( a, b ) = ax bx + ay by + az bz Označíme-li si nyní směrové kosiny vektoru a jako α1 , β1 , γ1 a vektoru b jako α2 , β2 , γ2 , pak pomocí definice 2.4 a rovnice ( 2.1) dostaneme : c = a . b= ⎜a⎜⎜b⎜. (cos α1 cosα2 + cos β1 cos β2 + cos γ1 cos γ2 ) Výraz v závorce je však roven cos γ , kde γ je úhel vektorů a a b , tzn.platí : ( 2.4 )

c = a . b = ⎜a⎜⎜b⎜. cos γ

Vidíme, že maximální hodnota skalárního součinu nastává pro cos γ = 1 , tzn. pro γ = 0, což odpovídá případu, kdy oba vektory jsou rovnoběžné. Protože cos π/2 = 0 , můžeme pomocí skalárního součinu rozhodnout, zda vektory a a b jsou kolmé. Spojení definice 2.4 a rovnice 2.4 pak rovněž vede k určení úhlu mezi vektory : (2.5)

axbx + ayby + azbz ax + ay 2 + az 2 . bx 2 + by 2 + bz 2 Je zřejmé, že skalární součin odpovídá součinu velikosti vektorů s uvážením vzájemného cos γ =

2

úhlu. To má význam v řadě fyzikálních jevů, např. pro výpočet práce konané silou na určité dráze apod. Pomocí skalárního součinu můžeme stanovit řadu dalších zákonitostí : 1) Absolutní hodnotu každého vektoru např. u , můžeme vyjádřit jako druhou odmocninu ze skalárního součinu vektoru u se sebou samým : ( 2.6.)

⎜u⎜2 = u . u 12

2) Vezměme libovolný směr v prostoru, který charakterizujeme jednotkovým vektorem, např. ν ≡ ( cos α , cos β , cos γ ). Pak pro velikost průmětu vektoru a do směru ν , ozn. aν , platí : aν = a . ν

( 2.7 )

Z definice 2.4 pak automaticky plyne komutativní zákon : a . b = b . a

( 2.8 ) Pro jednotkové vektory i , j , k platí :

i.i = j.j = k.k =1

( 2.9 )

i.j = j.k = i.k =0

Dalším typem součinů vektorů je vektorový součin. Definice 2.5 Vektorovým součinem vektoru a s vektorem b ozn. a x b , resp. [ a, b ] , je vektor c o velikosti :

c = ⎜a x b⎜ = = ⎜a⎜⎜b⎜. sin α

( 2.10 )

kde α je úhel mezi vektory, který je kolmý k rovině tvořené vektory a a b a směřuje do směru, ze kterého vidíme pootočení vektoru a do směru b proti pohybu hodinových ručiček. Dá se ukázat, že vektor c = a x b je možné vyjádřit jako determinant, kde v prvém řádku jsou jednotkové vektory i , j , k , v druhém řádku složky vektoru a a v třetím řádku složky vektoru b.

r r r i j k r c = ax ay az bx by bz Po vyčíslení determinantu dostaneme : (2.11)

c = (bycz - az by) i + (bzcx - bxcz) j + (axby -aybx) k

Z rovnice (2.11 ) pak vyplývá, že pro vektorový součin neplatí komutativní zákon, nýbrž : ( 2.12 )

a x b = -b x a

Při řešení řady fyzikálních úloh se dále setkáme s pojmy tzv. smíšeného součinu vektorů .( a, b, c ). Smíšený součin je definován jako : ( 2.13 )

a . (b x c)

a platí :

13

( 2.14 )

a . (b x c) = b . (c x a) = c . (a x b)

Dalším pojmem je tzv. dvojnásobný vektorový součin a x ( b x c ), kdy pomocí rovnice ( 2.11 ) můžeme snadno ukázat : ( 2.15 )

a x (b x c) = b . (a . c) - c . (a . b)

Z rovnice (2.11 ) dále vyplývá Zákon asociativní : ( 2.16 )

k ( a x b ) = ( k a ) x b = a x ( k b ) …..( k je skalár )

a Zákon distributivní : ( 2.17 )

a x (b + c) = a x b + a x c

Sčítání a násobení vektorů má ve fyzice, jak uvidíme v dalším textu, velmi široké uplatnění. Mimo to, jak se přesvědčíme na cvičeních, je poznatků vektorového počtu možné použít i pro řešení řady geometrických úloh.

3.MECHANIKA .

Mechanika je nesporně nejstarší částí fyziky, jak velmi výrazně charakterizuje Max von Laue ve svých Dějinách fyziky slovy : Na počátku všeho byly mechanika………. Mechanika obecně studuje pohyb hmoty. Hmota pak má mnohotvárné formy a projevy své existence. Mechanika se zabývá studiem změny polohy těles v prostoru a změnami jejich velikosti a tvaru. Tomuto druhu pohybu říkáme mechanický pohyb. Protože se v daném textu nebudeme zabývat jinými formami pohybu hmoty, budeme pod pojmem pohyb rozumět mechanický pohyb. Mechaniku pak dělíme na kinematiku, která se zabývá matematickým popisem pohybu těles bez zřetele k jeho příčinám. Studium souvislostí mezi pohybem a silami působícími na dané těleso je obsahem další části mechaniky a to dynamiky.

14

Pohyb každého tělesa vždy popisujeme vzhledem k jinému tělesu, které nazýváme vztažným, neboli referenčním tělesem, vztažnou neboli referenční soustavou. Při studiu mechaniky vyjdeme nejprve z mechaniky hmotného bodu . Tento pojem, tzn. hmotný bod,

označuje těleso s nekonečně malými geometrickými rozměry, avšak s

nenulovou hmotností. V případě hmotného bodu pak nemůže docházet k změnám jeho rozměru a tvaru, stejně jak k jeho rotaci. Přestože daná (normovaná) definice mluví o tělesech zanedbatelných rozměrů, je použití této představy vhodné i pro studium pohybu těles výrazných rozměrů, kdy se zabýváme o jejich pohyb na vzdálenosti značně větší než jsou jejich rozměry. Představíme - li si např. osobní automobil, pak pokud se zabýváme o jeho pohyb např. mezi Brnem a Prahou, jsou změny jeho rozměrů, jeho vibrace apod. zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností obou měst a představa je použitelná. Stejně tak je použitelná i pro tělesa impozantních rozměrů, jakými jsou nesporně planety , hvězdy apod. V technické praxi pak v těchto případech používáme pojmu bodové těleso. V daném textu budeme oba pojmy pokládat za ekvivalentní. V daném textu se omezíme ne klasickou, nerelativistickou fyziku, kdy pohyb vyšetřujeme v absolutním prostoru a v absolutním čase, tzn. v rámci teoretických základů, které vytvořil Sir Isaac NEWTON ve svém fundamentálním díle : " Philosophie Naturalis Principia Mathematica" v roce 1687. 3.1. Kinematika hmotného bodu.

Nejprve budeme vyšetřovat pohyb hmotného bodu v souřadné soustavě, která je nepohyblivá. Prostor určený touto soustavou označujeme jako absolutní prostor a pohyb vůči tomuto prostoru jako absolutní pohyb. Jako souřadnicovou soustavu zvolíme Kartézskou soustavu, kde okamžitá poloha hmotného bodu je určena souřadnicemi x,y,z. Polohu bodu můžeme dále vyjádřit pomocí polohového vektoru r, který leží na spojnici počátku souřadnicové soustavy a bodu a směřuje od počátku do daného bodu. Jeho složky jsou souřadnice bodu x,y,z . Tento vektor můžeme vyjádřit pomocí jednotkových vektorů i,j,k :

(3.1)

r = x.i + y.j + z.k

V každém čase t během pohybu bodu mají jeho souřadnice x,y,z obecně jinou hodnotu a polohový vektor r je tak funkcí času. Koncový bod polohového vektoru r vytváří pohybovou křivku neboli trajektorii. Tato trajektorie je rovněž popsána časovými závislostmi souřadnic bodu : (3.2)

x= x(t), y = y(t), z = z(t)

15

rovnice (3.2) představují tzv. parametrické vyjádření trajektorie bodu. Trajektorií může být obecně prostorová křivka, v jednodušším a technické praxi významným případem, je křivka rovinná. Nejjednodušším případem je trajektorie ve tvaru přímky, kterou můžeme, bez újmy na obecnosti, ztotožnit s některou souřadnicovou osou. 3.1.1. Pohyb přímočarý.

Nechť se při tomto pohybu hmotný bod (dále již většinou pouze bod) pohybuje přímočaře po ose x. Jeho poloha je v každém časovém okamžiku dána souřadnici x (t) . Tak např. na obr.3.1 je znázorněna časová závislost polohy hliněné kuličky, která padá z výšky 50 m na vodorovnou podložku.

Obr.3.1. Z této závislosti jsme schopni určit změnu polohy bodu ve zvoleném časovém intervalu, např. mezi t1 a t2, tzn. dráhu, kterou daný bod urazí za čas t2 - t1. Mimo polohy a změny dráhy bodu nás dále zajímá jak rychle se bod pohybuje, tzn. jakou dráhu urazí za jednotku času. Představme si časovou závislost hmotného bodu ukázanou na obr.3.2. Bod měl v čase t1 polohu

x1 a v čase t2 polohu x2. Pomocí těchto údajů můžeme definovat

průměrnou rychlost hmotného bodu v intervalu ∆t = t2 - t1 :

16

Obr.3.2. (3.3) Jak je zřejmé z obr.3.2. je průměrná rychlost rovna tangentě úhlu, který svírá sečna křivky x(t) procházející body (t1,x1), (t2,x2) s osou času t. Je pochopitelné , že velikost průměrné

v prumer =

x 2 − x1 ∆x = t 2 − t 1 ∆t

rychlosti závisí na volbě času t1 a t2, resp. ∆t. Rychlost je vektorová veličina a její rozměr je m/s. V případě přímočarého pohybu však známe nositelku tohoto vektoru a smysl je dán znaménkem rychlosti. Z tohoto důvodu není použito značení pro vektory. Je zřejmé, že pokud chceme znát okamžitou rychlost v čase t1 , musíme zmenšovat velikost intervalu ∆t k nule. Jde o limitní proces, který označujeme symbolem ∆t→ 0. Tímto způsobem definujeme okamžitou rychlost (3.4)

v=

lim ∆x dx = ∆t → 0 ∆t dt

kde dx/dt označuje tzv. derivaci funkce x(t) podle t. Z geometrického hlediska má derivace význam tangenty úhlu, který svírá tečna ke křivce x(t) v bodě (t1,x1) s osou času t. Pro výpočet derivace platí určitá pravidla, se kterými se seznámíte v matematice v průběhu tohoto semestru. Pro nás je důležitý význam derivace, pro naše proměnné je to okamžitá rychlost hmotného bodu, tzn. změna dráhy za jednotku času v čase t1. Derivace funkce x(t) 17

je opět funkcí času t, tzn. v každém čase má hmotný bod obecně jinou rychlost. Ukažme si to na příkladu, kdy poloha bodu závisí na čase vztahem x = a t2 kde a je konstanta. Nejprve vyjádříme průměrnou rychlost v intervalu t a t + ∆t. Spočtěme nejprve ∆x = x(t + ∆t) - x(t) = 2at∆t + a∆t2 . Podělíme -li tento rozdíl ∆t, pak dostaneme pro průměrnou rychlost v čase t : va = 2at + a∆t Necháme-li nyní ∆t limitně klesat k nule, pak pro okamžitou rychlost platí : v = 2at Pro nezbytnou orientaci uvádíme některá pravidla pro derivování funkcí . Především platí, že derivace součtu resp. rozdílu dvou funkcí je rovna součtu, resp. rozdílu derivací jednotlivých funkcí. Derivace funkce násobené konstantou je rovna součinu této konstanty a derivace funkce. Pro součin a podíl dvou funkcí platí :

d ( x(t ). y (t )) dx dy y (t ) + = x(t ) dt dt dt dx dy y−x d ⎛ x(t ) ⎞ dt dt ⎟= ⎜ dt ⎜⎝ y (t ) ⎟⎠ y (t ) 2

V tabulce 3.1. jsou uvedeny derivace některých funkcí. V tabulce označuje t proměnnou , ostatní symboly jsou konstanty. Tabulka 3.1. Derivace některých základních funkcí FUNKCE

DERIVACE FUNKCE

ktn

knt(n-1)

sin(kt)

kcos(kt)

cos(kt)

-ksin(kt)

sin(kt)/(kt)

k

ekt

kekt

ln(kt)

k/t

18

Speciálním případem je pak přímočarý pohyb, kdy okamžitá rychlost má konstantní rychlost různou od nuly. V tomto případě mluvíme o rovnoměrném přímočarém pohybu. 3.1.1.1 Pohyb rovnoměrný přímočarý.

Pro tento pohyb je rychlost konstantní, tzn. že poloha bodu x(t) je popsána závislostí jejímž grafem je křivka, jejíž tečna svírá v každém bodě s osou času t stejný úhel. Je zřejmé, že touto křivkou je přímka. Pro daný pohyb tak platí vztahy (3.5)

v = konstanta≠0 , x = xo + v.t

kde xo je poloha bodu v čase t = 0. I když se jedná o velmi jednoduchý pohyb, je jeho výskyt poměrně častý. Jsou to zejména různé druhy vln, např. zvukové, elektromagnetické aj. , které se v homogenním prostředí šíří přímočaře konstantní rychlostí. Na tom jsou pak založeny četné nedestruktivní metody zkoumání látek, např. ultrazvuková defektoskopie a další. Závěrem si povšimněme jedné skutečnosti. Poloha částice v čase t je určena konstantou a výrazem v.t. Výraz v.t je plocha pod grafem časové závislosti rychlosti bodu ( přímka rovnoběžná s osou času t) od 0 do t. Jak uvidíte později v matematice, skutečně platí, že hodnota funkce x v čase t je rovna ploše pod grafem prvé derivace této funkce plus konstanta (protože derivace je v podstatě změna, je evidentní, že derivace konstanty je nula). Uvažme nyní případ, kdy při přímočarém pohybu rychlost hmotného bodu není konstantní, ale závisí na čase. Změnu rychlosti s časem popisuje zrychlení, což je velikost rychlosti za jednotku času. Stejně jak v případě rychlosti můžeme definovat průměrné a okamžité zrychlení. Jednotkou zrychlení je m/s2. Zrychlení je vektorová veličina a ze stejných důvodů , jak u rychlostí, nepoužíváme označení pro vektory. Nejjednodušší formou přímočarého pohybu zrychleného je pohyb s konstantním zrychlením. Mluvíme o pohybu přímočarém rovnoměrně zrychleném. 3.1.1.2. Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený.

Označíme - li zrychlení symbolem a, pak grafem jeho časové závislosti je přímka rovnoběžná s osou času t. Protože zrychlení je derivace rychlosti podle času, můžeme použít poznatku uvedeného v závěru předešlého odstavce a stanovit jeho okamžitou rychlost v čase t jako plochu vymezenou grafem závislosti a = a(t). Tato plocha má velikost a.t a pro okamžitou rychlost tak platí : (3.6)

v = vo + at

kde vo je konstanta, která udává rychlost hmotného bodu v čase t = 0, tzv. počáteční

⎛1⎞ v o t + ⎜ ⎟at 2 ⎝ 2⎠ 19

rychlost. Jejím grafem je přímka, která prochází bodem (0,vo). Plocha vymezená touto přímkou v intervalu od 0 do t je a pro polohu bodu x tak platí (3.7)

1 x = xo + vo t + at 2 2 kde xo je poloha bodu v čase t=0 (počáteční poloha, kterou zpravidla volíme rovnu nule - v

Obr.3.3. vhodnou volbou počátku). Poloha bodu závisí na čase kvadraticky, grafem této funkce je parabola. Graficky jsou jednotlivé závislosti znázorněny na obr.3.3. Příkladem přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu je např. svislý vrh, či volný pád v zemském tíhovém poli, kdy tíhové zrychlení je možné, pro převážnou většinu technicky významných problémů, považovat za konstantní. Použití vztahů (3.6) a (3.7) pak vyžaduje zanedbání odporu vzduchu a rotace Země. Zabývejme se nyní případem, kdy zrychlení je obecnou funkcí času. 3.1.1.3. Obecný přímočarý pohyb.

Uvažme, že závislost zrychlení hmotného bodu je popsána nějakou funkcí a = a(t). Víme, že okamžitá rychlost je určena plochou pod grafem funkce a = a(t) plus konstanta (počáteční rychlost). Na obr.3.4 je vynesen průběh zrychlení v závislosti na čase.

20

Obr.3.4 Příklad možné závislosti zrychlení (svislá osa) na čase. Představme si, že časový interval 0 až t rozdělíme na stejně velké úseky o velikosti ∆t . Plochu pod grafem můžeme nahradit obdélníky o velikosti základny ∆t a výšce a(t). Plocha tohoto obdélníku je a(t). ∆t. Pro plochu danou součtem těchto obdélníků,S, platí :

Kde n=t/∆t. Je zřejmé, že S se bude blížit ploše vymezené grafem funkce a(t) tím více, čím menší bude velikost ∆t, tzn. pro větší n. Výraz S nabude hodnoty velikosti plochy pro ∆t→ 0, kdy počet dílků n → ∞ . V tomto případě vlastně sčítáme nekonečně velký počet obdélníků o nekonečně malé šířce. Toto "sčítání" nazýváme integrací a používáme označení : v (t ) =

∫ a (t ) dt + v

o

Pro polohu hmotného bodu pak analogicky dostaneme :

x(t ) = ∫ v(t )dt + xo Pro integraci pochopitelně platí celá řada pravidel, se kterými se seznámíte. Pro naše účely je však postačující znát význam integrálu . Pro naprostou většinu funkcí jsou totiž tabelovány, resp. je možné je získat pomocí řady programů jako je např.MAPLE, MATHEMATICA, MATCAD apod. V další části se budeme věnovat křivočarému pohybu. Z těchto pohybů je nejjednodušší a z technického hlediska velmi četný , pohyb po kružnici. 3.1.2 Kruhový pohyb hmotného bodu.

21

Uvažujme pohyb hmotného bodu po kružnici o poloměru R, kdy rovina kružnice je charakterizována jednotkovým vektorem ν kolmým k rovině kružnice. Vektor ν je konstantní, tzn. rovina kružnice nemění svou orientaci. Poloha bodu je , pro zadanou velikost poloměru R, plně určena úhlem α, který obecně závisí na čase. Tento úhel můžeme též vyjádřit jako vektor : α = αν - viz obr.3.5. Na základě dohody bylo přijato, že vektor úhlu směřuje na tu stranu, ze které vidíme pohyb bodu proti směru pohybu hodinových ručiček.

Obr.3.5.Schéma zavedení vektoru úhlu. Jestliže hmotný bod opsal od počátku do času t úhel α, pak pro velikost odpovídajícího oblouku kružnice, dráhy bodu s , platí : s = R. α

(3.7)

Je pochopitelné, že úhel α vyjadřujeme v radiánech . Rychlost bodu je vektor,který je tečnou ke kružnici. Pro velikost okamžité rychlosti platí:

(3.8)

v=

dα ds d ( Rα ) = =R = Rω dt dt dt

kde ω je úhlová rychlost. Její rozměr je s-1. Použijeme -li vektorového označení, pak ω = ων. Vektor úhlové rychlosti tak leží na ose rotace a směřuje na tu stranu, ze které vidíme rotaci proti směru ručiček hodinových. Jak víme z předešlé části, derivací rychlosti podle času dostaneme zrychlení. Derivace rovnice (3.8) podle času vede k výrazu 22

R

dω dt

kde derivace úhlové rychlosti podle času se nazývá úhlové zrychlení a označuje se obvykle symbolem ε. Úhlové zrychlení je vektor, který opět leží na ose rotace.Rychlost je vektor, tzn. je určena velikostí a směrem. To znamená, že zrychlení musí obsahovat část ,která popisuje jak změnu velikosti, tak změnu směru rychlosti. Vezmeme -li do úvahy, že rychlost je tečnou ke kružnici, můžeme vektor rychlosti vyjádřit ve tvaru : (3.8)

v=vτ

kde v je velikost rychlosti, obecně v = v(t), a τ je jednotkový vektor ve směru tečny ke kružnici. Podle pravidel o derivaci součinu funkcí platí (3.9)

r r d (vτ ) dv r dτ = τ +v dt dt dt prvý člen v rov.(3.9) popisuje změnu velikosti rychlosti a směřuje ve směru tečny. Pro toto zrychlení o velikosti dv/dt používáme pojmu tečné zrychlení at. Pro velikost tečného zrychlení platí :

at = R

dω = Rε dt

Druhý člen v rovnici pak popisuje změnu směru rychlosti.Toto zrychlení nazýváme normálové a zpravidla označujeme symbolem an Pro stanovení tohoto zrychlení uvažme kruhový pohyb, kdy velikost rychlosti v je konstantní. Situace je znázorněna na obr.3.6.

23

Obr.3.6. Schéma stanovení velikosti normálového zrychlení. Hmotný bod se za dobu ∆t přemístí z bodu p do bodu q.Pro složky vektoru rychlosti v jednotlivých bodech platí : vpx =+v.cosθ,

vpy = +v.sinθ

vqx = +v.cosθ

vqy = =v.sinθ

pro čas ∆t pak platí : ∆t =

pq r (2Θ) = v v

kde pq je délka oblouku mezi body p a q. Z těchto údajů můžeme stanovit složky průměrného zrychlení :

ax = vqx −vpx ∆t

=

v cosΘ−v cosΘ = 0 ∆t

vqy − vpy − v sin Θ − v sin Θ = 2v sin Θ v 2 sin Θ ay = = = = − ( )( ) ∆t ∆t 2rΘ / v r Θ Znaménko mínus označuje skutečnost, že zrychlení směřuje v záporném směru osy y. Chceme - li nyní získat okamžité zrychlení, musíme provést limitní přechod ∆t→ 0. Z obr.3.6 je zřejmé, že tomu odpovídá limitní přechod θ→ 0. Po provedení této limity dostaneme velikost okamžitého normálové zrychlení : (3.10)

v an = r 24

2

Normálové zrychlení pak směřuje do středu otáčení. Z rovnice (3.9) je pak zřejmé, že derivace jednotkového vektoru ve směru tečny podle času směřuje do středu otáčení. Pro celkové zrychlení pak platí : (3.11)

a = at + an

Získané poznatky jsou velmi významné pro obecný křivočarý pohyb. V matematice , přesněji v oboru diferenciální geometrie , je možné ukázat, že křivku je možné v těsném okolí každého jejího bodu nahradit tzv. oskulační kružnicí . To znamená, že obecně křivočarý pohyb je možné chápat jako posloupnost kruhových pohybů, vždy po velmi malém, přesněji nekonečně malém oblouku oskulační kružnice. Je pochopitelné, že v každém bodě křivky má oskulační kružnice obecně jiný střed a jiný poloměr. Tyto údaje je možné stanovit z parametrických rovnic křivky - viz rovnice (3.2). Dosud jsme uvažovali o velikosti rychlosti, která je dána součinem poloměru rotace a úhlové rychlosti. Uvažme obecnější vyjádření této rychlosti. Na obr.3.7. je znázorněn kruhový pohyb, kdy poloha bodu L je určena polohovým vektorem r. Pro velikost poloměru R platí : R= r.sinϕ, kde r je velikost polohového vektoru a ϕ je úhel, který svírá polohový vektor s vektorem úhlové rychlosti ω. Pro velikost rychlosti tak platí : v = ω r.sinϕ. Tato velikost je tak dána součinem velikostí vektorů úhlové rychlosti a polohového vektoru a sinem úhlu, který oba tyto vektory svírají. Jedná se tedy o vektorový součin. S uvážením orientace pak můžeme psát : (3.12)

r v r v = ωxv Pro kruhový pohyb tak platí : -

dráha bodu je určena úhlem α. Je - li tento úhel konstantní, je bod v klidu.

-

Rychlost bodu je charakterizována úhlovou rychlostí a úhlovým zrychlením.

-

Celkové zrychlení se skládá ze zrychlení tečného a normálového. Tečné zrychlení směřuje ve směru tečny k dráze a udává časovou změnu velikosti rychlosti. Normálové zrychlení směřuje do středu křivosti a udává změnu směru vektoru rychlosti. Vidíme rovněž analogii mezi přímočarým a kruhovým pohybem. Přehled odpovídajících veličin je uveden v následující tabulce

PŘÍMOČARÝ POHYB

KRUHOVÝ POHYB

Poloha x, resp. vzdálenost s

Úhel α

Rychlost v

Úhlová rychlost ω

25

Úhlové zrychlení ε

Zrychlení a

Obr.3.7 Stejně jak u přímočarého pohybu definujeme rovnoměrný kruhový pohyb a pohyb kruhový, rovnoměrně zrychlený. Rovnoměrný kruhový pohyb. U tohoto pohybu je úhlové zrychlení nulové a úhlová

rychlost ω je tak konstantní. Pro tento pohyb tak platí vztahy (3.13)

ω = konst.,

α = αo + ω.t

kde αo je počáteční úhel, který zpravidla volíme roven nule. U tohoto pohybu rovněž vyjadřujeme úhlovou rychlost pomocí počtu otáček. Protože při jedné otáčce opíše bod úhel 2π, je úhlová rychlost rovna : ω = 2πn, kde n je počet otáček za sekundu. V technické praxi obvykle volíme počet otáček za minutu. V tomto případě je ω=πn1/30, kde n1 je počet otáček za minutu. Rovnoměrně zrychlený kruhový pohyb. U tohoto pohybu je úhlové zrychlení

hmotného bodu konstantní. Použijeme - li analogie s rovnoměrně zrychleným pohybem přímočarým, pak okamžitě můžeme psát základní rovnice pro tento pohyb : 26

(3.14)

ε = konst, ω = ωo + ε.t , α = αo + ωo.t + (1/2) εt2

kde index o označuje hodnotu příslušné veličiny v čase t =0. Jestliže nyní úhlové zrychlení není konstantní, nýbrž závisí na čase pomocí nějaké funkce, platí obdobné vztahy jak u obecného přímočarého pohybu, tzn.:

α = ∫ ω .dt + αo

ω = ∫ ε ..dt + ωo

Pomocí poznatků získaných pro kruhový pohyb můžeme nyní popsat obecný křivočarý pohyb. 3.1.3. Obecný křivočarý pohyb.

Uvažme pohyb hmotného bodu po obecné křivce - viz obr.3.8.

Obr.3.8 V čase t je jeho poloha určena polohovým vektorem r (t) a v čase t + ∆t polohovým vektorem r (t + ∆t). Za čas ∆t se polohový vektor změní o ∆r = r (t + ∆t) - r (t ). ∆r je vektor přemístění bodu. Je zřejmé, že pro průměrnou rychlost bodu platí :

r ∆r r v str = ∆t

27

Provedeme -li limitu ∆t → 0, pak dostaneme okamžitou rychlost v. Tato okamžitá rychlost je tak derivací polohového vektoru podle času :

r r dr v= dt

Vektor okamžité rychlosti je tečný k trajektorii hmotného bodu. Použijeme - li vztah pro polohový vektor, dostaneme pro okamžitou rychlost : (3.15)

r r r r dx r dy r dz r v= i+ j + k = vxi + vyj + vzk dt dt dt Pro celkové zrychlení pak platí : (3.16)

r r r r dvx r dvy r dvz r a= i+ j+ k = axi + ayj + azk dt dt dt Pro velikosti rychlosti a celkového zrychlení platí :

r v = v = vx 2 + vy 2 + vz 2 , r a = a = ax 2 + a y 2 + a z 2 Z části o kruhovém pohybu víme, že celkové zrychlení se skládá ze zrychlení tečného a normálového. Tento rozklad je znázorněn na obr. 3.9, kde je zaveden jednotkový vektor n směřující ze středu křivosti S směrem k bodu. Pomocí tohoto označení můžeme celkové zrychlení vyjádřit jako : (3.17)

r r r dv r v 2 r a = at + an = τ + ( −n ) dt R Při obecném křivočarém pohybu však neznáme poloměr oskulační kružnice R v daném bodě křivky. I když ho lze stanovit pomocí parametrických rovnic křivky, je jednodušší stanovit složky vektoru rychlosti. Pomocí nich stanovíme velikost vektoru rychlosti. To umožňuje stanovit velikost tečného zrychlení. Dále stanovíme složky vektoru celkového zrychlení a jeho velikost. Odtud pak již snadno určíme velikost normálového zrychlení a pokud je zapotřebí i poloměr křivosti R. Ukažme si ještě jednu zajímavou závislost. Víme,

28

že pohyb po křivce můžeme v každém bodě uvažovat jako pohyb kruhový po nekonečně malé dráze v okolí bodu.

Obr.3.9 Při obecném křivočarém pohybu však neznáme poloměr oskulační kružnice R v daném bodě křivky. I když ho lze stanovit pomocí parametrických rovnic křivky, je jednodušší stanovit složky vektoru rychlosti. Pomocí nich stanovíme velikost vektoru rychlosti. To umožňuje stanovit velikost tečného zrychlení. Dále stanovíme složky vektoru celkového zrychlení a jeho velikost. Odtud pak již snadno určíme velikost normálového zrychlení a pokud je zapotřebí i poloměr křivosti R. Ukažme si ještě jednu zajímavou závislost. Víme, že pohyb po křivce můžeme v každém bodě uvažovat jako pohyb kruhový po nekonečně malé dráze v okolí bodu. To znamená, že pro rychlost bodu platí vztah (3.12). Tento vztah si můžeme rovněž napsat ve tvaru:

r r dr r r v= = ωxr dt Představme si, že hmotný bod je součástí nějakého rotujícího tělesa. To znamená, že vektor r je pevně spojen s tímto tělesem. V tomto případě nám vztah (3.12) v podstatě říká, že

časová změna vektoru, tzn. derivace vektoru pevně spojeného s tělesem podle času je rovna vektorovému součinu úhlové rychlosti tělesa a tohoto vektoru. Použijme nyní

vztahu (3.12) k výpočtu celkového zrychlení . Dostaneme :

29

r r r dω r r dr r r r r a= xr + ωx = εxr + ωxv dt dt

r rr r r a = εxr + ωxv Prvý člen je tečné a druhý normálové zrychlení. Dosud jsme vyšetřovali pohyb v absolutním prostoru. Víme však, že pohyb můžeme vyšetřovat i v souřadnicové soustavě, která se pohybuje vůči základnímu, absolutnímu prostoru. Tento prostor nazýváme prostorem unášivým a jeho pohyb pohybem unášivým. Pohyb vůči základnímu prostoru se nazývá výsledný, nebo též absolutní a pohyb vůči unášivé soustavě pohyb relativní. Obecně vždy platí, že : Výsledný (absolutní) pohyb = pohyb unášivý + pohyb relativní

Protože oba pohyby, tzn. absolutní a relativní probíhají současně, mluvíme o současných pohybech. 3.1.4. Kinematika současných pohybů.

Představme si, že máme absolutní souřadnicovou soustavu Oxyz a unášivou souřadnicovou soustavu Ouxryrzr , počátek unášivé souřadnicové soustavy Ou se pohybuje s jistou rychlostí, s tzv. unášivou rychlostí vu a s unášivým zrychlením au. Při pohybu unášivé soustavy může docházet i k rotaci , tzn. musíme obecně uvážit i unášivou úhlovou rychlost ωu a unášivé úhlové zrychlení εu. Poloha určitého bodu je určena jinak polohovým vektorem r(x,y,z) vůči absolutní souřadnicové soustavě a jednak polohovým vektorem rr (xr,yr,zr) vůči unášivé souřadnicové soustavě. Pro polohový vektor r evidentně platí : (3.18)

r r r r = ru + rr , resp. r r r r r r r r = xoi + yo j + zo k + xr ir + yr jr + zr k r

kde xo,yo,zo jsou souřadnice počátku unášivé souřadnicové soustavy v absolutní soustavě, i,j,k jsou jednotkové vektory, bez indexu v absolutní souřadnicové soustavě, index r je

vztažen k unášivé soustavě. Zajímejme se nyní o absolutní a relativní rychlost. Víme, že rychlost je obecně derivací polohového vektoru podle času. Jedná se tedy o změnu polohového vektoru za jednotku času. Tuto změnu můžeme vyšetřovat jak vzhledem k 30

základnímu (absolutnímu) prostoru, tak k prostoru unášivému. Budeme se zabývat stanovením rychlosti vůči pevné souřadnicové soustavě. Z rovnice (3.18) dostaneme : (3.19)

r r r r dr dru ⎡ drr ⎤ = + va = dt dt ⎢⎣ dt ⎥⎦ a Prvý člen na pravé straně rov.(3.19) udává unášivou rychlost vu. Druhý člen popisuje změnu polohového vektoru rr vůči pevné (absolutní) souřadnicové soustavě. Je třeba si uvědomit, že vůči této soustavě nejsou jednotkové vektory ir,jr,kr konstantní. Nemění se sice jejich velikost, ale mění se obecně jejich směr. Na základě poznatků z konce předcházející části dostaneme : (3.20)

r r r r ⎡ drr ⎤ ⎡ drr ⎤ = + ω u xr ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦a ⎣ ⎦u Prvý člen na pravé straně rov.(3.20) představuje časovou změnu polohového vektoru vůči unášivé soustavy, je to tzv. relativní rychlost. Druhý člen popisuje vliv rotačního, resp. obecně křivočarého pohybu. Pro absolutní rychlost tak platí : (3.21)

r r r r r va = vu + vr + ω u xr

Derivací absolutní rychlosti podle času dostaneme absolutní zrychlení, pro které platí : (3.22)

r r r r r r aa = au + ar + aC + aO + a E kde vedle unášivého a relativního zrychlení dostáváme další zrychlení : Coriolisovo zrychlení

r r r aC = 2(ω u xvr ) 31

Zdánlivé zrychlení odstředivé

r r r r aO = ω u x (ω u xrr ) Zrychlení Eulerovo

r r r a E = ε u xrr

Z uvedeného je zřejmé, že při přímočarém pohybu unášivé soustavy platí jednodušší vztahy, tzn. : absolutní rychlost (zrychlení) = unášivá rychlost (zrychlení) + relativní rychlost (zrychlení)

Na závěr kinematiky hmotného bodu uveďme velmi významný pohyb, a to pohyb harmonický. 3.1.5. Harmonický pohyb.

Harmonický pohyb je pohyb přímočarý,např. po ose x, kdy poloha bodu x je dána rovnicí : x=rsin(ωt + ϕ), kde r je amplituda pohybu, ω je úhlová (nebo též kruhová) frekvence, ωt + ϕ je okamžitá fáze a ϕ je počáteční fáze. Pro rychlost v a zrychlení a platí : v= rωcos(ωt + ϕ), a = -rω2sin(ωt + ϕ) Umocníme -li vztahy pro polohu, rychlost a zrychlení na druhou a sečteme, pak , po určitých úpravách, dostaneme : x2 v2 v2 a2 + 2 2 = 1, 2 2 + 2 4 = 1, a + ω 2 x = 1 2 r rω ω r rω Harmonickému pohybu je věnována značná pozornost, protože má mj. význam pro popis periodických pohybů, tzn. pohybů pro které platí : x(t) = x(t+T), kde T je perioda,T

=2π/ω. Je možné ukázat, že periodickou funkci lze rozvinout v tzv. Fourierovou řadu : S tímto rozvojem se ještě setkáme při studiu mechanického kmitání a vlnění. x (t ) = ao + ∑ j =1 (a j sin( jωt ) + b j sin( jωt )) ∞

32

3.2.Dynamika hmotného bodu. 3.2.1. Základní zákony. Klasická mechanika je deduktivní věda o mechanickém pohybu těles, která je založena na čtyřech základních axiomech. Axiom je tvrzení, které je získáno zobecněním empirických poznatků. Platnost axiomu nelze dokázat předem (a priori), nýbrž dodatečně ( a posteriori) tím, že veškeré jeho důsledky jsou v souladu s pozorováním. K prvému axiomu dospěl Galilei a jeho poznatky dnes formulujeme následovně : Fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech souřadnicových soustavách, které jsou navzájem v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Dané souřadnicové soustavy nazýváme inerciální. Uvedený axiom pak nazýváme : Galileiův princip relativity. Další poznatky získal Newton, který zavedl představu absolutního prostoru a času a uvedl tři základní zákony, kterými se řídí mechanický pohyb těles (tato tělesa pokládáme za hmotné body) a které dnes nazýváme Newtonovy pohybové zákony. Jejich znění má zpravidla následující podobu: První zákon - zákon setrvačnosti. Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit. Druhý zákon - zákon síly . Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle a má s ní stejný směr. (Hybnost tělesa je součin hmotnosti tělesa a jeho rychlosti). Třetí zákon - zákon akce a reakce. Každá akce vyvolává stejně velkou reakci opačného směru. Vzájemné síly mezi tělesy mají vždy stejnou velikost a opačný směr. Uvažme nyní matematickou formulaci těchto pohybových zákonů, zejména druhého a třetího. Pro míru pohybového stavu zavedl Newton hybnost H, pro kterou platí (3.23)

H=mv

matematická formulace druhého zákona má tak tvar: r r dH d (mv ) r = =F dt dt Kde F je výslednice vnějších sil. Použijeme -li pravidel o derivování, pak dostaneme r r dH dm r dv r = =F v +m dt dt dt 33

Omezíme - li se na případ, kdy počet částic tělesa se během pohybu nemění, můžeme v rámci klasické fyziky zanedbat časovou změnu hmotnosti a druhý pohybový zákon má tak běžně užívaný tvar : (3.24)

F=ma

Tato rovnice umožňuje definovat jednotku síly , 1 newton (1N), jako sílu, která tělesu o hmotnosti 1 kg udělí zrychlení 1 m/s2.Z rovnice vyplývá, že pro konstantní vnější sílu je zrychlení tělesa tím menší, čím je jeho hmotnost vyšší. Hmotnost vystupující v rovnici (3.24) je tak mírou setrvačnosti tělesa, tj. odporu, který klade pokusu o změnu jeho rychlosti. Tuto hmotnost nazýváme hmotností setrvačnou. Z rovnice (3.24) je patrné, že sílu působící na těleso snadno stanovíme, pokud známe zrychlení. Z předešlé kapitoly je pak zřejmé, že při křivočarém pohybu tělesa působí síla tečná (součin tečného zrychlení a hmotnosti) a dostředivá (součin normálového zrychlení a hmotnosti). Při

pohybu

hmotného bodu m po kružnici o poloměru R platí pro velikost tečné,Ft, a dostředivé síly , Fo, vztahy :

dv dω = mR = mRε dt dt v2 Fo = m = mRω 2 R

Ft = m

Reakcí na dostředivou sílu je síla odstředivá. Příkladem vyjádření síly jako míry interakce mezi tělesy je Newtonův gravitační zákon, kterým se ještě budeme zabývat podrobněji. V dané části uveďme jeho formulaci pro dva hmotné body. Máme - li dva hmotné body A a B o hmotnostech mA , mB, které jsou vzdáleny o r - viz obr.3.10, pak hmotný bod B působí na hmotný bod A silou F, pro kterou podle Newtonova gravitačního zákona platí

r mm r F = −κ B 2 B er r Kde κ je gravitační konstanta a er je jednotkový vektor směřující od bodu B k bodu A. Veličiny mA , mB jsou opět mírou hmotnosti a nazýváme je gravitační hmotnosti. Veškerá dosavadní měření vedou k závěru, že obě hmotnosti, tzn. setrvačná a gravitační se , v rámci chyb měření, od sebe neliší. Proto se zpravidla mluví pouze o hmotnosti.

34

Obr.3.10. Schéma silového působení mezi dvěma hmotnými body Vedle formulace dané rovnicí (3.24) se pro druhý pohybový zákon používá tzv. D´Alembertovy formulace, která vychází ze skutečnosti, že součin ma má rozměr síly. To umožňuje zavedení tzv. setrvačné síly D = - ma a pohybový zákon má pak tvar (3.25)

D+ F = 0

Použití té, či oné formulace pak závisí na charakteru řešeného problému. Doposud jsme mlčky předpokládali , že popisujeme silové účinky v inerciální soustavě. Uvažme situaci v soustavě neinerciální, kdy vzniká celá řada dalších zrychlení (unášivé,Coriolisovo atd.) Vyšetřujeme - li pohyb v pohybující se soustavě, zjišťujeme zrychlení relativní. Pro relativní zrychlení pak platí : (3.26)

ar = aa - au - aC -aO -aE

Vynásobíme - li toto zrychlení hmotností, pak dostaneme sílu, která se skládá ze skutečné síly m a a setrvačných sil, které jsou dány setrvačnými účinky unášivého pohybu. Představme si člověka o hmotnosti m = 72,2kg , který je v kabině výtahu a stojí na pružinových vahách, které registrují sílu - viz obr.3.11. Nechť se kabina pohybuje se zrychlením, které buď směřuje vzhůru, nebo dolů. Na těleso (člověka) působí síla tíže, která je charakterizována tíhovým zrychlením g (velikost tohoto zrychlení pokládáme za konstantní, g = 9.8 m/s2). Zrychlení kabiny označme a. Jedná se o zrychlení unášivé. Zrychlení g je pak zrychlení absolutní. Rovnice (3.26) má pak tvar ar = g - a 35

Silový účinek, který registrují pružinové váhy je W´=m ar .

Obr.3.11. Schéma silových účinků na těleso v kabině výtahu. Uvažme nyní jednotlivé případy na obr.3.11. V prvém případě je a = 0, tzn. výtah je buď v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V tomto případě platí : W´=m(g +a) = 72.2(9.82+0) = 708 N Zrychlení směřuje vzhůru : W´=m(g +a) = 72.2(9.82+3.2) = 939 N Zrychlení směřuje dolů W´=m(g +a) = 72.2(9.82-3.2) = 477 N Pro případ volného pádu je a = g a síla na pružinu je tak nulová. Je - li zrychlení v absolutní velikosti větší jak g, pak směřuje -li dolů , je síla vykazovaná pružinovými vahami záporná. Je pochopitelné, že situace je komplikovanější, pokud je pohyb křivočarý, kdy působí další zrychlení. Při řešení problémů dynamiky hmotného bodu řešíme dvě základní úlohy. V prvé řadě řešíme problém stanovit síly působící na těleso, pokud známe jeho zrychlení. Tato úloha je v podstatě velmi jednoduchá. Podstatně problematičtější je stanovení zrychlení , pokud

36

známe vnější síly působící na těleso. Řešení tohoto problému je relativně snadné, pokud tyto síly jsou konstantní . Pro těleso o konstantní hmotnosti pak z rov.(3.24) vyplývá, že zrychlení tělesa je konstantní. Síla, resp. výslednice sil však obecně může záviset na čase, na rychlosti a na poloze.V takovém případě je řešení rovnice (3.24) obecně složité, neboť síla může záviset současně na všech uvedených faktorech. Mluvíme - li o řešení rovnice (3.24) , je třeba uvážit, že obsahuje zrychlení, což je derivace rychlosti podle času a rychlost je opět derivace polohy, dráhy podle času. Pro zadanou vnější sílu tak řešíme rovnici, kde neznámou je derivace hledané funkce. Takovéto rovnice se nazývají diferenciální a pro jejich řešení existují četná pravidla. S některými se setkáme v dalším textu. Přestože uvedené zákony umožňují řešit veškeré problémy dynamiky, je pro řešení řady problému vhodné zavést některé další veličiny. 3.2.2.Impuls, hybnost, moment síly,moment hybnosti. Představme si, že na hmotný bod o hmotnosti m působí v časovém intervalu t1 až t2 síla F(t). Tato síla působí na určité dráze, kde poloha bodu v čase t1 je určena polohovým vektorem r1 a v čase t2 polohovým vektorem r2. V čase t1 má bod rychlost v1 a v čase t2 rychlost v2. To znamená, že na začátku pohybu má hmotný bod hybnost H1 a na konci hybnost H2. V daném časovém intervalu síla je určitou funkcí času. Vezmeme - li graf funkce F(t) , pak plocha vymezená tímto grafem je rovna integrálu:

∫

t2

t1

r F (t )dt

Tento integrál se nazývá impuls síly . Jde o vektorovou veličinu, kterou budeme označovat symbolem I. Z pravidel o integrování dostaneme poznatek, který se též nazývá zákon o změně hybnosti : Rozdíl hybností na konci a na začátku sledovaného časového intervalu je roven impulsu síly v tomto intervalu. Matematicky toto tvrzení vyjádříme pomocí :

r t2 r r r I = ∫ F (t )dt = mv2 − mv1 t1

Je -li v daném časovém intervalu síla konstantní, je velikost impulsu rovna F(t2-t1) . Další veličinou, která je významná zejména při popisu rotačního pohybu je moment síly k bodu. Moment síly F k bodu O je definován vztahem : (3.27)

M=rxF 37

Kde r je polohový vektor bodu působení síly vzhledem k bodu O - viz obr.3.12. Velikost tohoto momentu je rovna součinu velikosti síly a ramena síly d - viz obr.3.12.

Obr.3.13 Schéma zavedení momentu síly k bodu Další veličinou , která vhodně popisuje rotační pohyb , je moment hybnosti, který je definován jako vektorový součin polohového vektoru bodu ,r, a jeho hybnosti, H. Matematicky : (3.28)

L = r x H = r x mv

Uvažme nyní časovou změnu momentu hybnosti, tzn. jeho derivaci podle času. Podle pravidel derivování dostaneme : r r r r dL dr r r dv r r r r r r xmv + r xm = = v xmv + r xma = 0 + r xF = M dt dt dt Při této úpravě vycházíme z poznatku, že vektorový součin dvou rovnoběžných vektorů je roven nule. Výsledkem je vztah : (3.29) r r dL =M dt

38

či -li platí : Časová změna (derivace podle času) momentu hybnosti je rovna momentu síly. Jde o obdobný zákon, jakým je druhý pohybový zákon.

Vezměme nyní pohyb bodu o hmotnosti m po kružnici o poloměru R Nechť tento pohyb je vyvolán tečnou silou F. Moment této síly ke středu rotace má velikost M=r F. Síla F má velikost F = m. at, kde pro tečné zrychlení at platí : at =Rε. Pro velikost momentu síly platí M=mR2ε. Veličinu

nazýváme momentem setrvačnosti bodu a

budeme ji označovat symbolem J. Jde o skalární veličinu o rozměru kgm2. Ve vektorovém vyjádření pak platí : (3.30)

M = Jε

Jde o analogii s druhým pohybovým zákonem - viz rov.(3.24), kde je hmotnost nahrazena momentem setrvačnosti a zrychlení zrychlením úhlovým. Uvažme velikost momentu hybnosti. Vezmeme-li pohyb po kružnici je velikost rychlosti v = Rω. Pro velikost momentu hybnosti pak platí L = m R2ω = Jω. Ve vektorovém vyjádření : (3.31)

L = Jω

Doposud jsme se zabývali silovými účinky, kdy jsme viděli, že jejich vyjádření závisí na použité souřadnicové soustavě. Současně existují veličiny, které na volbě souřadnicové soustavy nezávisí. Jednou z těchto veličin je hmotnost. Takovéto veličiny nazýváme invarianty. Mimo hmotnosti je takovouto veličinou práce, kterou se budeme zabývat v následujícím odstavci. 3.2.3. Práce,výkon,energie.

Při vyšetřování pohybu těles , které stále pokládáme za hmotné body, je na jedné straně zřejmé, že není možné uvážit jejich interakci se všemi jinými tělesy, např. v rozloze našeho Vesmíru, na druhé straně se však stále přesvědčujeme, že poměrně přesná řešení dostaneme i tehdy, pokud uvážíme interakci jen s omezeným počtem těles, zpravidla s velmi blízkými tělesy. Máme - li např. halu s řadou obráběcích strojů, sledujeme silové účinky jen v rámci jednoho stroje a v některých případech vibrační účinky od okolních strojů. Rozhodně nemusíme uvážit vzájemné gravitační působení těles. Abstrakcí tak docházíme k pojmu izolované soustavy těles, která není silově ovlivňována vnějšími silami a kde dochází k interakci pouze mezi tělesy dané soustavy. Krajním případem takovéto soustavy je volný hmotný bod. Ke studiu obecných prostorových zákonitostí pohybu je vhodné zavést pojem silové pole. Vezmeme - li např. gravitační působení dvou hmotných bodů A a B - viz odstavec 3.2.1, pak např. bod B působí , s výjimkou případu r = 0, v každém bodě prostoru kam umístíme bod A určitou silou F. To znamená, že každému bodu prostoru můžeme přiřadit 39

trojici reálných čísel ( souřadnice vektoru F). Oblast, kde každému bodu můžeme přiřadit trojici reálných čísel , nazýváme vektorovým polem vektorové pole příslušné určité síle nazýváme silovým polem. Představme si nyní silové pole, které se nemění s časem. V tomto poli se pohybuje hmotný bod Z po určité křivce - viz obr.3.13, z bodu M1 do bodu M2.

Obr.3.13. Schéma silového působení na hmotný bod pohybující se po křivce. Elementární práci dA silového pole bodu při elementárním posuvu bodu Z o ds

definujeme vztahem : (3.31)

r r r r dA = ( F . ds ) = F ds cos α Práci měříme v joulech (J). Je zřejmé, že práce je nulová buď v případě , kdy jedna z veličin, tzn. síla,nebo posunutí je nulová, nebo, když vektor síly a vektor elementárního posunutí jsou vzájemně kolmé. Celkovou práci při pohybu bodu z M1 do bodu M2 dostaneme součtem elementárních prací. Protože jde o součet nekonečně mnoha veličin, mluvíme místo sčítání o integraci a matematicky vyjadřujeme :

40

(3.32) A21 = ∫

L(M 2 )

L(M1 )

r r ( F .ds )

Pokud by bod Z proběhl dráhu obráceně, vykoná se stejně veliká práce, ale opačného znaménka. Práce vykonaná za jednotku času je výkon P : (3.33) P≡

dA dt

Z definice (3.31) pak bezprostředně plyne (3.34)

P = F.v

Pro rotační pohyb snadno odvodíme P = M.ω

(3.35) Jednotkou výkonu je watt (W).

Uvažme nyní, jak se změní pohybový stav bodu Z při jeho pohybu v silovém poli. Uvážíme -li, že ds = v.dt a druhý pohybový zákon, pak dostaneme : dA = (m

r 1 1 1 dv r r r r r vdt = m(vdv ) = md (v . v ) = md (v 2 ) = d ( mv 2 ) dt 2 2 2

Veličinu (3.36) Wk =

1 2 mv 2

nazýváme kinetickou energií. Práce vykonaná z bodu M1 do bodu M2 je tak rovna rozdílu kinetických energií v koncovém a počátečním bodě :

∫

L( M 2 )

L(M1 )

dWk =

[Wk ]

M2 M1

=

1 2 1 2 mv2 − mv1 ≡ ∆Wk 2 2

Nyní vezmeme opět bod Z a budeme jím pohybovat v silovém poli tak, že se opět vrátí do výchozího bodu. Pokud by se bod pohyboval po téže dráze z jednoho bodu tam i zpět, je 41

výsledná práce nulová. Pokud se však pohybuje zpět po jiné křivce, nemusí toto tvrzení platit. Sečteme - li elementární práce po uzavřené křivce, pak tento "součet " je integrál, který značíme symbolem : r r A11 = ∫ ( F .ds ) L

Podle hodnoty veličiny A11, tzn. práce po uzavřené křivce, rozeznáváme několik typů silových polí . V prvé řadě jde o případ, kdy A11 =0, kdy mluvíme o konzervativním nebo též potenciálovém silovém poli. V tomto poli nezávisí práce vykonaná při přechodu z

jednoho bodu do druhého na tvaru dráhy. Pak ovšem na tvaru dráhy nezávisí ani změna kinetické energie. Pro každou dvojici bodů M1 a M2 v tomto poli je práce A21 závislá jen na velikosti rozdílu polohových vektorů obou bodů, tzn. na velikosti (r2 - r1). Velikost tohoto rozdílu pak nezávisí na volbě počátku. Pomocí práce A21 je tak možné každé poloze bodu Z v silovém poli přiřadit reálné číslo Wp( r ), které nazýváme potenciální (polohová) energie Wp. Postup je následující : Přiřaďme pevné , ale jinak libovolné poloze M1 reálné číslo C, tzn.:

r Wpl = Wp (r1 ) = C Pak poloze M2 můžeme přiřadit číslo

Wp 2 = Wp1 − A21 Zavedeme -li rozdíl potenciálních energií ∆Wp hmotného bodu v polohách M1 a M2 vztahem :

∆Wp = Wp 2 − Wp1 Dostaneme

A21 = −∆Wp Tento vztah nám říká, že práce spojená s přenosem hmotného bodu z polohy M1 do polohy M2

je

rovna záporně vzatému rozdílu potenciálních energií bodu v těchto

polohách. Dalším důsledkem získaných vztahů je zákon o zachování mechanické energie, který nám říká, že : 42

Wk + Wp = konst . Při pohybu hmotného bodu v konzervativním silovém poli se jeho mechanická energie, tzn. součet jeho kinetické a potenciální energie, nemění, tj. zůstává konstantní.

Konzervativními jsou mimo jiná všechna silová pole homogenní (silová pole, kde síla je ve všech bodech stejná, tzn. stejná velikost, směr a smysl) a pole centrální, kde síly procházejí jedním bodem, jehož poloha se nemění- tzv. silové centrum. Vezměme např. tíhové pole Země, na které se můžeme, alespoň v určité omezené oblasti ,dívat jako na pole homogenní. Síla tíže v každém bodě je F = mg, kde g je tíhové zrychlení. Jestliže přiřadíme tělesu na Zemském povrchu potenciální energii rovnu nule, pak při přenosu tělesa z povrchu do výšky h vykonáme práci -mgh. Znaménko - souvisí se skutečností, že se pohybujeme proti směru tíhové síly. To znamená, že potenciální energie tělesa ve výšce h je :

(3.36)

Wp = mgh

Pokud silové pole je nekonzervativní, pak práce po uzavřené křivce není nulová. Velmi zajímavým případem je silové pole, kde tato práce je záporná, tzn. při pohybu v tomto poli se kinetická energie hmotného bodu snižuje. Tato silová pole nazýváme pojmem : Pole disipativních sil.

Disipativními silami popisujeme např. mechanický odpor kladený jinými tělesy pohybu daného těleso. Tento odpor, který při pohybu tělesa v plynech, nebo kapalinách nazýváme odporem prostředí, celkově označujeme pojmem tření. Při relativním pohybu těles, které jsou v dotyku, mluvíme o tření vnějším a při vzájemném posuvu částí jednoho tělesa o tření vnitřním. Místo pojmu disipativní síly je rovněž používáno pojmu síly pasivního odporu. 3.2.4. Síly pasivního odporu.

Nejznámější jsou tyto síly vznikající v důsledku vnějšího tření. Toto tření v zásadě rozdělujeme na tření smykové a tření valivé ( přesněji odpor valivému pohybu). Uvažme nejprve tření smykové. Uvažme pohyb tělesa ve tvaru kvádru po rovné podložce - viz obr.3.14. Označme výslednou sílu působící na kvádr jako Fo. Tuto sílu můžeme rozložit na složku rovnoběžnou s podložkou ve směru pohybu ,FV, a na složku kolmou (normálovou) k podložce,FN. Ze strany podložky působí na kvádr dvě síly. Jde o reakci podložky FR (reakce

43

na sílu FN) a pokud nedojde k destrukci materiálu kvádru, nebo podložky, pak ze zákona

akce Obr.3.14.Schéma působení síly tření. a reakce plyne : FR =-FN

Další silou je třecí síla Ft , která působí ve styčné ploše kvádru a podložky vždy proti směru síly FV . Pokud je síla FV menší než určitá kritická hodnota,FVK, má síla Ft charakter reakce na sílu FV a platí 44

Ft = - FV

Za těchto podmínek je výsledná síla působící na kvádr: F = (FN + FV) + (FR + Ft)

rovna nule a kvádr se nebude po podložce smýkat. V okamžiku, kdy FV překoná kritickou hodnotu FVK, bude mít síla Ft opačný smysl než FV, ale její velikost bude menší. V tomto okamžiku zřejmě dochází k mikroskopickému porušení materiálu v místě kontaktu, např. povrchových nerovností, které dosud bránili pohybu. V důsledku poklesu Ft se síla F stane kladnou a těleso se začne pohybovat. Podle Coulombova zákona je třecí síla nezávislá na velikosti dotykové plochy a je úměrná jen velikosti FN. Tento zákon můžeme vyjádřit ve tvaru: Ft = - µs. FN.ev

(3.37)

Kde ev je jednotkový vektor ve směru síly F a µs je bezrozměrný faktor, který nazýváme součinitelem smykového tření. U suchých povrchů je hodnota tohoto součinitele závislá zejména na materiálu obou těles a na mikrogeometrii (drsnosti) povrchu. Jeho hodnota se zpravidla výrazně snižuje při použití mazadel. Pro malé rychlosti je možné uvažovat, že tento součinitel nezávisí na relativní rychlosti vzájemného pohybu těles. Pro informaci jsou v následující tabulce 3.2. uvedeny hodnoty součinitele smykového tření pro různé dvojice materiálů. Tabulka 3.2. Hodnoty součinitele smykového tření. Součinitel ocel

litina

dřevo

korek

Pryž

µs (1) 0.02

Led

0.05

Sníh Teflon

0.10

Ocel

Bronz

Litina bronz 0.15

Pryž

Litina

pryž

ocel 0.40

Písek

Kůže

korek 0.50

Dřevo

Dub

Dřevo

Kůže 45

Ocel

kámen

0.60

Kůže

Lano

korek

fibr

konopné

Káme n cihla

0.70

pryž

Ocel kámen

0.80

pryž

asfalt

Formálně lze platnost tohoto zákona rozšířit i na případ kritického stavu klidu ( FV = FVK). Hovoříme pak o klidovém (statickém) tření, kterému přísluší součinitel klidového tření µso pro který platí

µso ≡ µs (v=0) >µs (v >0) Tato situace je znázorněna opět na obr.3.14. Odpor valivému pohybu. Odpor valení ( dříve též valivé tření) se projevuje odporovým

účinkem při valení válce na rovinné podložce - viz obr.3.15. Vlivem deformace válce a podložky dochází k posunu bodu, kterým prochází nositelka reakce N. Velikost tohoto posunu označujeme jako rameno valivého odporu ξ. Aby došlo k valení, musí být splněna momentová podmínka : FoR - Nξ = 0 Je- li tíha válce G = mg, pak N = G. Pro hnací sílu (velikost) pak platí :

Gξ R Podmínka valení vyžaduje,aby tečná reakce mezi válcem a podložkou byla menší než Fo =

smyková síla µsN odpovídající normálové reakci N. Aby došlo k valení , musí platit

ξ R

≤ µs

Hodnoty ramena valivého odporu, pro některé případy, uvádí tabulka 3.3.

46

Obr.3.15 Tabulka 3.3. Hodnoty ramena valivého odporu ξ. Válec

Podložka

Rameno valivého odporu ξ (mm)

Kalená ocel

Kalená ocel

0.01 až 0.1

ocel

Ocel

0.5

Litina

Litina

0.5

Dřevo

Ocel

0.5 až 0.7

Ocel

Dřevo

0.5 až 1.5

Dřevo

Dřevo

0.5 až 1.5

ocel

štěrk

10 až 50

Odpor tělesa proti pohybu tělesa v kapalině. Odporová síla vůči pohybu tělesa v

kapalině je, až do určité rychlosti, přímo úměrná rychlosti tělesa. V daných skriptech si později uvedeme tvar této závislosti pro kouli. Odpor tělesa proti pohybu tělesa v plynech Pro velikost odporové síly, D (drag force),

můžeme odvodit tzv. Newtonův vztah pro odpor vzduchu pomocí následující úvahy : Vezměme desku , která se pohybuje rychlostí v a má průřez kolmý na směr pohybu S. Tato deska vytlačí za jednotku času objem vzduchu V = S.v. Označíme - li hustotu vzduchu jako ρ, má tento sloupec hmotnost m = ρSv a kinetickou energii (1/2) ρSv.v2. Aby se deska pohybovala konstantní rychlostí v, musí na ní působit síla rovna velikosti odporové síly D. Tato síla tak za jednotku času vykoná práci D.v . Z předcházející části víme, že tato 47

práce musí být rovna změně kinetické energie. To vede k podmínce, ze které dostaneme velikost odporové síly D. 1 1 ρSv. v 2 = D. v ⇒ D = ρSv 2 2 2 V důsledku obtékání těles je nutné Newtonův vztah korigovat :

D=

1 Cx ρSv 2 2

Kde Cx je empirický součinitel obtékání, který je stanovován experimentálně v aerodynamických tunelech. Uvažme nyní těleso, které držíme v plynném prostředí (ve vzduchu) , v dostatečné výšce. Na těleso působí síla tíže W = mg. Po uvolnění - viz obr.3.16, těleso padá k Zemi a působí na něj odporová síla D. Tato síla se postupně zvětšuje, až po určité době dosáhne velikosti síly tíže. V tomto okamžiku na těleso působí nulová síla a těleso se tak pohybuje stálou rychlostí. Toto rychlost nazýváme ustálenou, nebo též terminální rychlostí a pro její velikost dostaneme z rovnosti mg = D vztah :

2mg ρSCx Je samozřejmé, že dosažení terminální rychlosti závisí na tom, zda těleso padá z dostatečné vt =

výšky. V tabulce 3.4. jsou uvedeny velikosti terminální rychlosti těles ve vzduchu a současně výška h95, která označuje výšku ze které těleso dosáhne při dopadu na Zem 95% terminální rychlosti. Tabulka 3.4. Předmět

Terminální rychlost (m/s)

Výška h95 (m)

Tenisový míček

31

115

Pingpongový míček

9

47

Dešťová kapka

7

6

Výsadkář

5

3

Ocelová

koule

o 145

2500

hmotnosti 8kg

Závislost odporové síly na rychlosti je obecně značně složitá a je převážně určována

48

Obr.3.16. experimentálně. Zahrnutí sil pasivního odporu do pohybových rovnic vede obecně k složitějším postupům jejich řešení. Ukažme si tuto skutečnost na případu svislého vrhu tělesa. Pokud zanedbáme odpor prostředí, má pohybová rovnice tělesa tvar : (3.38)

ma =- mg

kde m je hmotnost tělesa, a je jeho zrychlení a g je tíhové zrychlení. Z rovnice (3.38) je zřejmé, že těleso se pohybuje s konstantním zrychlením a = - g. Pro rychlost tělesa v pak tedy platí : (3.38)

v = vo - g.t

kde vo je počáteční rychlost tělesa. Pro polohu x (výška nad povrchem) pak platí (3.39)

x = vo t - (1/2)gt2

Uvažme nyní svislý vrh tělesa ve tvaru koule při uvážení odporu prostředí. Pohybová rovnice má pak tvar: (3.40)

ma = - mg - D, resp. po dosazení

(3.41) 1 ma = − mg − Cx ρSv 2 2

49

Vezmeme -li do úvahy, že zrychlení je derivace rychlosti podle času, pak : dv 1 = − mg − Cx ρSv 2 dt 2 Jde tedy o rovnici, která obsahuje nejen neznámou funkci v(t), ale i její derivaci podle m

času. Takovéto rovnice nazýváme pojmem diferenciální rovnice. Jejich řešení spočívá v nalezení funkce v(t) , tzn. tvaru závislosti rychlosti v na čase, která rovnici vyhovuje a současně v čase t = 0 nabývá předepsané hodnoty, v našem případě vo -tzv. počáteční podmínka. Je pochopitelné, že v matematice existuje celá řada teorií, které udávají postup řešení diferenciálních rovnic. Těmito teoriemi se zabývat nebudeme a spokojíme se s výsledným řešením. To souvisí se skutečností, že našim hlavním úkolem je sestavit pohybové rovnice. Vše ostatní, tj. jejich řešení, můžeme přenechat matematikům. V současnosti pak existuje i program Maple, který dané řešení, pokud existuje, okamžitě nalezne. Uveďme si nyní řešení.Rychlost tělesa závisí na čase pomocí vztahu : (3.42)

Je zřejmé, že jde o podstatně složitější výraz než je dán rov.(3.38). Pro polohu koule pak platí (3.43)

Uveďme si konkrétní příklad. Vezměme kouli o poloměru R = 0.5 m, která je zhotovena z materiálu o hustotě 2700 kg/m3 (hliník ). Její hmotnost je m = 1413.72 kg. Součinitel Cx má pro kouli hodnotu 0,47, hustota vzduchu je 1.33 kg/m3, tíhové zrychlení g = 9.81 m/s2. 50

Na obr. 3.17 je vynesen rozdíl rychlostí daných rov.(3.38)- bez odporu vzduchu a rov.(3.42) - s odporem vzduchu v závislosti na čase. Je zřejmé, že tento rozdíl je nepatrný. Vezměme nyní kouli o stejném vnějším průměru, tzn. odporová síla D je stejná, která je dutá. Tloušťka stěny je 1 mm. Hmotnost koule je nyní 8.465 kg. Na obr.3.18 jsou znázorněny časové průběhy rychlostí této koule stanovené jak s uvážením odporu vzduchu, tak při zanedbání tohoto odporu. Je patrné, že rozdíly obou řešení jsou již významnější než v předcházejícím případě. Pro posouzení uvažme závislost odporové síly D na rychlosti. Rychlost se mění v intervalu od 5 m/s do 0 m/s. Závislost je vynesena na obr.3.19. Porovnáme -li nyní maximum této síly s hodnotou tíhové síly, která má v případě plné koule hodnotu 13 868.56 N a pro dutou kouli 83.045 N. Odporová síla je zlomkem tíhové síly, která je tak dominantní.

Obr.3.17 Závislost rozdílu rychlosti (bez a s odporem prostředí) - svislá osa v m/s na čase vodorovná osa v s.

51

Obr.3.18 Závislost rychlosti duté koule (svislá osa v m/s) na čase (vodorovná osa v s). Čárkovaný průběh odpovídá zanedbání odporu vzduchu, plná čára - řešení, které tento odpor zahrnuje.

Obr.3.19 Závislost odporové síly (svislá osa v N) na rychlosti (vodorovná osa v m/s)

52

3.3. Dynamika soustavy hmotných bodů. V dosavadním výkladu jsme se zabývali jedním hmotným bodem. Interakce s ostatními body byla vyjadřována jednak působící silou a jednak potenciální energií. V řadě případů však potřebujeme pracovat s celou soustavou bodů. Příkladem je mj. interakce různých částí složitějších mechanismů, které si můžeme představit jako bodová tělesa. Jiný příklad nalezneme v mikrosvětě, kdy každá látka se skládá ze značného počtu částic, atomů nebo molekul. I na tyto částice se můžeme, v řadě případů, dívat jako na hmotné body. U soustavy hmotných bodů můžeme v prvé řadě uvážit případ, kdy body nejsou navzájem vázány a to jak mezi sebou, tak k jiným tělesům. Mluvíme o soustavě volných hmotných bodů. Uvážíme -li, že poloha každého bodu je určena trojicí souřadnic, např. x,y,z, pak pro soustavu a hmotných bodů máme 3n souřadnic. Jsou to tzv. nezávislé souřadnice. Existují li vazby mezi body, nebo vazby bodů k jiným tělesům, pak je -li počet těchto vazeb m, existuje pouze 3n - m nezávislých souřadnic.Počet nezávislých souřadnic určuje počet stupňů volnosti soustavy hmotných bodů. Určení pohybového stavu soustavy hmotných bodů pak vyžaduje stanovit časové závislosti všech nezávislých souřadnic. U soustavy hmotných bodů zavádíme řadu pojmů, se kterými se nyní seznámíme. 3.3.1. Střed hmotnosti soustavy hmotných bodů. Máme -li dva hmotné body o hmotnostech m1 a m2 , je střed hmotnosti bod na spojnici obou hmotných bodů, pro který platí - viz obr. 3.20 :

x m2 = y m1 Pro polohové vektory pak platí : r r r r r r r m r rs = r1 + x , r2 = rs + y , x = 2 y m1 r r m r r m r r rs = r1 + 2 y = r1 + 2 (r2 − r1 ) m1 m1 Odtud dostaneme pro polohový vektor středu hmotnosti rs vztah : (3.44) r r r m1r1 + m2 r2 rs = m1 + m2 Vztah (3.44) můžeme rozšířit pro obecně n hmotných bodů

(3.45)

53

n

r r r r r m1r1 + m2 r2 + m3r3 +......+ mn rn rs = = m1 + m2 + m3 +......+ mn

r

∑mr

i i

i =1 n

∑m

i

i =1

Obr.3.20. K definici středu hmotnosti. Pro jednotlivé souřadnice středu hmotnosti pak platí (3.46) n

m x + m2 x2 + m3 x3 +......+ mn xn xs = 1 1 = m1 + m2 + m3 +......+ mn

∑m x

i i

i =1 n

∑m

i

i =1 n

m y + m2 y2 + m3 y3 +......+ mn yn ys = 1 1 = m1 + m2 + m3 +......+ mn

∑m y i

i

i =1 n

∑m

i

i =1

n

m z + m2 z2 + m3 z3 +......+ mn zn zs = 1 1 = m1 + m2 + m3 +......+ mn

∑m z

i i

i =1 n

∑m

i

i =1

kde součet hmotností jednotlivých hmotných bodů je celková hmotnost soustavy M : n

M = m1 + m2 + m3 +.....+ mn = ∑ mi i =1

Pro střed hmotnosti dále používáme názvu hmotný střed soustavy hmotných bodů.Vezměme nyní rov.(3.45). Víme, že časová změna (derivace podle času) polohového

54

vektoru je rovna rychlosti. Derivujeme - li rovnici (3.45) dostaneme pro rychlost hmotného středu vs vztah : (3.47)

r r r r r Mvs = m1v1 + m2 v2 + m3v3 +...+ mn vn kde jednotlivé členy na pravé straně jsou hybnosti jednotlivých hmotných bodů. Celková hybnost soustavy hmotných bodů je tak určena jako součin celkové hmotnosti soustavy hmotných bodů a rychlosti jeho hmotného středu. Na hmotný střed soustavy hmotných bodů je tak možné pohlížet jako na bod , kde je soustředěna celková hmotnost soustavy. Dosud jsme uvažovali absolutní rychlosti hmotných bodů. Tuto rychlost si můžeme představit jako součet rychlosti středu hmotnosti a relativní rychlosti bodu vzhledem k hmotnému středu. Pro i - tý bod tak platí : (3.48)

r r r vi = vs + vri Dosadíme -li nyní takto vyjádřené rychlosti do rov.(3.47), pak po úpravě a s přihlédnutím k definici středu hmotnosti dostaneme : (3.49)

r r r r m1vr 1 + m2 vr 2 + m3vr 3 +...+ mn vrn = 0 Rovnice (3.49) obsahuje toto tvrzení : Hybnost soustavy hmotných bodů spojená s jejich relativním pohybem vůči hmotnému středu je rovna nule.

Uvažme nyní síly působící na soustavu hmotných bodů. Na každý bod působí vnitřní síly Fi a dále mohou působit síly vnější FE. Toto silové působení je pro dva body soustavy znázorněno na obr.3.21.

Obr.3.21. Vnitřní síly charakterizují obecně účinek i - tého bodu na jiný, např. j - tý bod soustavy. S ohledem na zákon akce a reakce je pak výslednice vnitřních sil nulová. Pro popis pohybového stavu soustavy pak mají význam pouze síly vnější. Ve speciálním případě, 55

kdy výslednice vnějších sil na soustavu hmotných bodů je nulová, mluvíme o tzv. izolované soustavě hmotných bodů. 3.3.2. Pohybové rovnice soustavy hmotných bodů.

Pohybové rovnice pro soustavu hmotných bodů jsou známy pod pojmem prvá a druhá věta impulsová. Prvá věta impulsová říká, že časová změna hybnosti soustavy hmotných bodů (tzn. její derivace podle času) je rovna výslednici vnějších sil. Matematicky můžeme toto tvrzení, které bezprostředně vyplývá z rov.(3.47) , formulovat následovně : (3.50) r m r dH d n r = ( ∑ mi vi ) = ∑ FkE dt dt i =1 k =1 kde respektována skutečnost, že vnější síly jednak nemusí působit na každý bod a jednak,

že v daném bodě může působit několik vnějších sil. Z těchto důvodů je počet vnějších sil větší nebo roven, nebo menší než počet bodů soustavy. Další pohybový zákon souvisí s momentem hybnosti. Pro moment hybnosti soustavy hmotných bodů platí, že je roven součtu (pochopitelně vektorovému) momentů hybnosti všech bodů soustavy, tzn.: (3.51) r n r r L = ∑ ri x (mi vi ) i =1

Druhá věta impulsová nám říká, že časová změna momentu hybnosti soustavy hmotných

bodů (tzn. jeho derivace podle času) je rovna výslednici momentů vnějších sil. Uvažme nyní, že hmotné body soustavy rotují tak, že každý hmotný bod má stejnou úhlovou rychlost ω. V tomto případě, stejně jak tomu bylo u hmotného bodu dostaneme pro velikost momentu hybnosti L : n

L = ( ∑ mi ri ).ω 2

i =1

Kde součet výrazů miri2 nazýváme momentem setrvačnosti hmotných bodů J, ri je poloměr rotace i - tého bodu, a pro moment hybnosti tak můžeme psát (3.52) r r L = Jω Pokud je soustava hmotných bodů izolovaná, pak platí (3.53)

56

r r dH = 0 ⇒ H = konst . dt r r dL = 0 ⇒ L = konst . dt

Vztahy pro izolovanou soustavu hmotných bodů je možné využít pro řešení řady problémů. Jedním z takových problémů je i pohyb rakety. Uvažme pohyb rakety, kdy si vymezíme prostor, kde budeme pohyb vyšetřovat - viz obr.3.22.

Obr.3.22 V určitém čase t má raketa hmotnost M a rychlost v. V čase t + ∆t má raketa hmotnost M + ∆M a rychlost v + ∆v. V tomto časovém intervalu, tzn. ∆t, raketu opustily zplodiny o hmotnosti -∆M a výtokové rychlosti rychlostí U.1 Na tyto zplodiny se můžeme dívat jako na hmotný bod a na raketu jako na druhý hmotný bod. Zanedbáme - li odpor prostředí, je soustava izolovaná a platí zákon zachování hybnosti.Hybnost v čase t tak musí být rovna hybnosti v čase t + ∆t : Mv = (M + ∆M)(v + ∆v) + (-∆M)(U) Uvažme, že výtoková rychlost zplodin vůči raketě Uo a výtoková rychlost vůči hranici sledované oblasti U se liší o rychlost rakety, tzn. U - Uo = v + ∆v Z těchto dvou rovnic dostaneme :

1

Protože se hmotnost rakety během spalování paliva zmenšuje je ∆M záporné a -∆M kladné.

57

∆M Uo = M∆v Vydělíme -li tuto rovnici ∆t a provedeme -li limitní přechod ∆t→ 0, dostaneme dv dM Uo = M dt dt Nyní dM/dt ( úbytek hmotnosti rakety) a Uo jsou záporné veličiny. Nahraďme dM/dt

veličinou -R, kde R je rychlost spotřeby paliva (množství paliva spotřebovaného za jednotku času). R je kladná veličina. Výtokovou rychlost Uo můžeme nahradit veličinou u, kde u je rychlost částic zplodin vůči raketě. Uvažme, že dv/dt je zrychlení rakety a. Pohybová rovnice rakety, tzv. prvá rovnice rakety má pak tvar : (3.54)

Ru = Ma

Levá strana rovnice 3.54 má rozměr síly a obsahuje veličiny, které jsou dány pouze konstrukcí raketového motoru. Tuto veličinu nazýváme tah rakety

a označujeme

symbolem T. Pro stanovení závislosti rychlosti na spotřebě paliva,vf, použijeme rovnici (3.54), kam dosadíme za R a a=dv/dt. Po úpravě dostaneme dv = − u

dM M

Tuto rovnici můžeme integrovat :

vf

Mf

vi

Mi

∫ dv = −u ∫

dM M

Kde vi je počáteční a vf konečná rychlost rakety, Mi je počáteční a Mf je konečná hmotnost rakety. Po integraci dostaneme vztah pro rychlost rakety (3.55) Mi ) Mf Další význačnou aplikací je elementární teorie rázu. v f − vi = u ln(

3.3.3. Elementární teorie rázu.

S rázy se setkáváme v nejrůznějších oblastech vědy a techniky. V řadě případů jde o jevy nežádoucí - viz např. kolize dopravních prostředků a v řadě případů jsou záměrně využívány, např. při některých úpravách povrchů těles (kuličkování) apod. Obecně jde o velmi komplikovaný proces, který probíhá během velmi krátké doby, nezřídka i během několika miliontin sekundy. Jeho popis je značně komplikovaný a dosud jsou vyřešeny jen

58

některé případy. V rámci daného odstavce se seznámíme s tzv. elementární (též Newtonovou) teorií rázů, která je založena na následujících předpokladech : 1. Tělesa jsou dokonale tuhá - neuvažujeme jejich tvarové a rozměrové změny během rázu. 2. S ohledem na krátkou dobu trvání rázu zanedbáváme změnu polohy těles během jejich kolize. 3. Neuvažujeme deformační energii těles, tzn. energii spojenou se změnou rozměru a tvaru. 4. Jako náhradu pro popis jevů, které zanedbáváme, se zavádí empirický faktor, tzv. součinitel restituce,ε.

5. Předpokládáme, že se jedná o ráz těles velmi jednoduchých tvarů, zejména koulí. Daná teorie umožňuje stanovit pohybový stav těles po rázu, na základě znalosti jejich pohybového stavu před rázem. Známe - li tedy rychlosti těles před rázem, můžeme stanovit jejich rychlosti po rázu. Rozhodně nejsme schopni stanovit průběh rázové síly, dobu trvání rázu apod. Při řešení vycházíme z představy, že tělesa tvoří izolovanou soustavu hmotných bodů, což nám umožňuje použít zákona o zachování hybnosti. Daná teorie zahrnuje dvě základní úlohy : - Centrální a přímý ráz - Centrální ráz V dané části se zaměříme na přímý centrální ráz, kdy rychlosti těles před rázem, v10 a v20 leží na spojnici středů těles - viz obr.3.23. Rovnice zachování hybnosti má tvar : (3.55)

m1v10 + m20 = m1v11 + m2v21

kde v11 , v21 jsou rychlosti těles po rázu. Další rovnice definuje součinitel restituce ε : (3.56)

v11 - v21 = -ε (v10 - v20)

Řešením obou těchto rovnic dostaneme pro rychlosti těles po rázu :

(3.57)

59

Součinitel restituce nabývá hodnot od nuly do jedné. Pro ε = 0 mluvíme o dokonale plastickém rázu a pro ε = 1 o dokonale pružném (elastickém) rázu.

Obr.3.23. Schéma přímého centrálního rázu. Plastický ráz. Je -li ε = 0 je z rovnice (3.57) zřejmé, že rychlosti obou těles po rázu jsou

stejné, tzn. po plastickém rázu se obě tělesa pohybují jako jedno těleso, což si snadno představíme na případu rázu dvou kuliček z plastické modelové hmoty. Elastický ráz. V tomto případě nastává zajímavá situace když hmotnosti obou těles jsou

stejné. Z rovnic (3.57) snadno zjistíme, že si obě tělesa po rázu vymění rychlosti. Stanovíme -li si nyní kinetickou energii obou těles před rázem,Wko a po rázu,Wk, dostaneme pro rozdíl energií : ∆W =

mm 1 (1 − ε 2 ) 1 2 (v10 − v20 ) 2 m1 + m2 2

Kinetická energie po rázu je tedy menší, než před rázem, s výjimkou dokonale pružného rázu. Na závěr uvažme kolmý ráz tělesa na tuhou překážku. Tento případ můžeme popsat nekonečně velkou hmotností druhého tělesa a jeho nulovou rychlostí před rázem i po rázu. Je -li touto překážkou např. těleso 2, tzn.m2→∞ a v20,v21 = 0, pak z rovnic (3.57) bezprostředně plyne : v11 = - εv10. I když předložená teorie rázu je značným zjednodušením reálných rázových dějů, její závěry umožňují posoudit i poměrně významné jevy. Příklad. V jaderné energetice je nezbytné zpomalit vznikající rychlé neutrony. Tento

proces probíhá interakcí rychlých neutronů s jádry atomů určitých látek, tzv. moderátorů. Z jiných úvah víme, že tyto rázy jsou pružné. Předpokládejme, že jádra moderátorů o 60

hmotnosti m2 jsou v klidu, tzn. v20 =0. Označme hmotnost neutronů m1. Kinetická energie neutronu před rázem a po rázu je : 1 1 m1v102 ,Wkf = m1v112 2 2 Pro účinnost zpomalení neutronů můžeme zavést veličinu f : Wki =

Wki − Wkf

v112 f = = 1− 2 Wki v10 Je zřejmé, že f leží mezi nulou (nejmenší účinnost) a jedničkou (maximální účinnost). Z

rov.(3.57) dostaneme : m2 v11 m1 − m2 4m1m2 m1 = ,f = = 2 m v10 m1 + m2 (m1 + m2 ) (1 + 2 ) 2 m1 Uveďme nyní konkrétní údaje. Např. poměr hmotností jader moderátoru a neutronu je pro 4

olovo 206 a tomu odpovídá f= 0.019,tzn.1.9%. Pro uhlík je poměr zmíněných hmotností 12 a f = 0.28, resp.28%. Pro vodu je poměr hmotností 1 a f = 1, tj. 1005. To je důvod, že jako moderátoru je používáno zpravidla vody (lehké nebo těžké). I když reálná situace je komplikovanější, jádra moderátoru vykonávají tepelný pohyb atd., je pořadí materiálů moderátorů z hlediska jejich účinnosti dáno veličinou f, kterou jsme stanovili z dané, velmi jednoduché teorie rázu. 3.3.4. Energie soustavy hmotných bodů.

Uvažme nejprve kinetickou energii soustavy hmotných bodů, kterou získáme jako součet kinetických energií všech bodů soustavy. Pro kinetickou energii tak platí : 1 2 Wk = ∑ mi vi i =1 2 Použijme nyní pro rychlost bodu vztahu (3.48), tzn., že rychlost je dána jako součet n

rychlosti středu hmotnosti a relativní rychlosti bodu vzhledem k středu hmotnosti. Postupnými úpravami dostaneme : n n 1 r r 1 r n r 1 n Wk = ∑ mi (vs + vri ) 2 = vs2 ∑ mi +v ∑ mi vri + ∑ mi vri2 2 i =1 2 i =1 i =1 2 i =1

Druhý člen na pravé straně této rovnice je roven nule - viz rov.(3.49). Prvý člen obsahuje součet hmotností všech bodů, tzn. celkovou hmotnost soustavy hmotných bodů M. Poslední člen na pravé straně rovnice je součet kinetických energií bodů, která je dána

61

jejich relativním pohybem vůči hmotnému středu.Tuto energii nazýváme vnitřní kinetická energie soustavy U. Pro kinetickou energii soustavy hmotných bodů tak dostaneme :

(3.58) Wk =

1 1 n 1 Mvs2 + ∑ mi vri2 = Mvs2 + U 2 2 i =1 2

Uvažme nyní, že relativní pohyb bodů vůči hmotnému středu je pohyb kruhový, po kružnicích o poloměrech ri stejnou úhlovou rychlostí ω. Pro rychlost relativního pohybu i tého bodu tak platí : vri =riω. Pro vnitřní kinetickou energii U pak dostaneme :

U=

1 n 1 2 n 1 2 2 m r ω = ω ∑ mi ri 2 = Jω 2 ∑ i i 2 i =1 2 2 i =1

kde J je moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů. Uvažme nyní, že přírůstek kinetické energie se rovná přírůstku práce. Přírůstek práce dA pro jeden bod stanovíme jako skalární součin působících sil a změny polohy bodu. Sečtením všech těchto příspěvků pro všechny body dostaneme změnu práce pro soustavu hmotných bodů. Přitom tuto práci konají i vnitřní síly. Uvažme opět obr.3.21.Nechť se poloha i - tého bodu změní o dri a j - tého bodu o drj. Pro práci vnitřních sil platí :

r r r r r r r r r Fiji dri − Fiji drj = Fiji (dri − drj ) = Fiji d (ri − rj ) Je pochopitelné, že rozdíl mezi polohovými vektory, tzn. vzdálenost mezi dvěma body soustavy se obecně může měnit. Pouze v případě, kdy mezi body existuje dokonale tuhá vazba , je práce vnitřních sil nulová. Potenciální energii stanovíme tak, že stanovíme potenciální energie jednotlivých bodů a tyto energie sečteme. Její velikost je pochopitelně závislá na daném silovém poli. Pro konservativní silová pole pak opět platí zákon o zachování mechanické energie.

62

4.MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Pojem tuhé těleso je abstrakcí reálného tělesa. Při tomto přiblížení se zachovává tvar reálného tělesa rozložení jeho hmotnosti. Předpokládá se, že vzájemné vzdálenosti libovolných dvou bodů tělesa se nemění při libovolných silách působících na těleso. Představme si tuhé těleso, dále jen těleso, dle obr.4.1. a v tomto tělese bod A, který je obklopen krychlemi o objemech V1,V2,V3… a hmotnostech m1,m2,m3…, které leží uvnitř tělesa. Poměr m/V udává hmotnost v jednotce objemu. Představme si nyní, že objem se neustále zmenšuje. Provedeme-li limitní přechod V → 0, dostaneme místo poměru m/V

derivaci

dm/dV.

Tuto

veličinu

nazýváme hustotou materiálu ρ , která má v každém bodě tělesa určeného souřadnicemi

x,y,z

obecně

různou

hodnotu. Obr.4.1. K odvození hustoty materiálu. Pro hustotu platí :

dm dV 3 Rozměr hustoty je kg/m . Pokud je hustota v každém bodě tělesa stejná, mluvíme o

ρ=

homogenním tělese, jinak o tělesech nehomogenních, kterých je převážná většina. Pro homogenní těleso stanovíme jeho hustotu prostým podělením hmotnosti tělesa jeho objemem. Pomocí úvah, které vedly k zavedení pojmu hustoty si těleso můžeme představit jako soustavu nekonečně mnoha hmotných bodů (elementů tělesa) o hmotnosti dm , kde dm =ρ dV. Pro popis dynamiky tělesa je tak v zásadě možné použít veškeré poznatky, které jsme získali pro soustavu hmotných bodů. Dříve než k tomu přistoupíme, uvedeme si některé základní poznatky o kinematice tuhých těles. 4.1. Základní poznatky o kinematice tuhého tělesa. Základními pohyby těles jsou pohyb posuvný a pohyb rotační. Ostatní pohyby jsou z těchto pohybů odvozené. Těleso koná pohyb posuvný , jestliže jeho dvě nerovnoběžné přímky nemění při pohybu svůj směr. Z této definice vyplývají následující vlastnosti tohoto pohybu : 63

-

žádná přímka nemění při pohybu svůj směr.

-

Trajektorie všech bodů jsou shodné, vzájemně posunuté křivky.

-

V každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů tělesa stejné. Tyto veličiny však obecně mohou záviset na čase. Pro určení pohybových charakteristik tak stačí stanovit rychlost a zrychlení pro jeden, libovolně zvolený bod tělesa. Těleso koná rotační pohyb, jestliže nějaká jeho přímka zůstává trvale v klidu. Tuto přímku nazýváme osou rotace, nebo též osou otáčení. Často též mluvíme o otáčivém pohybu. Trajektoriemi všech bodů, s výjimkou osy rotace, jsou kružnice, které leží v rovinách kolmých k ose rotace a které mají střed na ose rotace. U rotačního pohybu tak stačí vyšetřovat pohyb v jedné rovině kolmé k ose rotace. Průsečík této roviny s osou rotace se nazývá střed rotace, nebo též střed otáčení. Pro popis tohoto pohybu můžeme použít všech vztahů odvozených pro pohyb bodu po kružnici. Pohyb rotační patří do významné skupiny pohybů, pro které používáme pojmu rovinné pohyby. Těleso koná rovinný pohyb, pokud křivky, které opisují jeho body leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách. Tento pohyb si můžeme představit jako pohyb složený z postupného pohybu zvoleného referenčního bodu tělesa a z pohybu kruhového okolo tohoto bodu - tzv. základní rozklad rovinného pohybu. Speciálním pohybem je pohyb sférický , kdy jeden bod tělesa (střed sférického pohybu) je trvale v klidu. Ostatní body tělesa opisují křivky, které leží na kulových plochách se středem ve středu sférického pohybu. Obecný prostorový pohyb tělesa si můžeme představit jako pohyb složený z postupného pohybu zvoleného referenčního bodu tělesa a z pohybu sférického se středem v tomto bodě. Po této stručné charakteristice pohybů těles se budeme zabývat silami, které působí na tělesa. Nejprve si uvedeme některé poznatky o možných operacích se silami. Pravidla , které tyto operace umožňují se nazývají axiomy statiky. Pojem statika označuje tu část dynamiky, kdy nedochází k pohybu tělesa, např. z důvodu uložení tělesa. 4.2. Axiomy a základní věty statiky . Axiom je obecně tvrzení, které vyplývá z řady pozorování a které nelze dokázat pomocí jednodušších tvrzení. Jeho platnost je ověřena nesčetnými experimenty a pozorováním. Pro uvedení prvého axiomu si nejprve musíme definovat pojem nulového vektoru. Nulový vektor je soustava dvou vektorů stejné, ale jinak libovolné velikosti, které mají společnou nositelku a jsou opačně orientovány.

64

Axiom nulového vektoru. Přidáním nebo ubráním nulového vektoru se nemění působení sil na těleso , ani jeho pohybový stav. Důsledkem tohoto axiomu je možnost posunutí síly podél její nositelky, jak znázorňuje obr.4.2.

Obr.4.2. Schéma nulového vektoru a posunutí síly po nositelce. Působí - li na těleso síla FA v bodě A, je možné přidat nulový vektor (-FA1,FA1) a odejmout nulový vektor (FA,-FA1) , takže zbývá pouze vektor FA1, což odpovídá posunu síly FA do bodu B. Axiom vektorového součtu. Dvě síly působící v jednom bodě je možné nahradit jedinou silou působící v tomto bodě, která je rovna vektorovému součtu obou sil. Tento princip je možné rozšířit jednak na libovolný počet sil a jednak použít pro rozklad jedné síly do různých směrů procházejících daným bodem. Uvažme nyní případ, kdy sílu f přesuneme na přímku p , která je rovnoběžná s její nositelkou. Je zřejmé, že v tomto případě vzniká moment síly, který má velikost f.a, kde a je vzdálenost nositelky a přímky p. Abychom nezměnili pohybový stav , musíme přidat moment stejné velikosti, ale opačného znaménka. Pro tento případ se zavádí pojem dvojice sil, což je soustava dvou stejně velikých sil, které leží na rovnoběžných nositelkách a jsou opačně orientovány.V případě, kdy obě nositelky jsou totožné, dostáváme soustavu nulového vektoru. Dvojice sil je znázorněna na obr.4.3. Z tohoto obrázku je zřejmé, že pro součet momentů těchto sil k počátku platí r r r r r r r r r r r M1 + M 2 = r1 xF + r2 x ( − F ) = (r1 − r2 ) xF = r xF Kde velikost vektoru r je rovna vzdálenosti mezi oběma nositelkami. Moment : r r r M = r xF nazýváme momentem dvojice sil. Při rovnoběžném posunutí síly je tak nutné přidat moment odpovídající dvojice sil.

65

Z dosavadních poznatků vyplývá, že libovolnou prostorovou soustavu sil je možné nahradit výslednou silou rovnou vektorovému součtu všech sil soustavy a jedním momentem dvojice sil, který je součtem všech momentů dvojice sil , které jsme museli

Obr.4.3.Dvojice sil. přidat při nezbytném rovnoběžném posunutí sil do přímek procházejících jedním bodem. Výslednou sílu nazýváme hlavním vektorem a výsledný moment hlavním momentem. Silový účinek silové soustavy je pak stejný jako účinek hlavního vektoru a hlavního momentu, které ji přísluší. Silová soustava , jejíž hlavní vektor a hlavní moment k libovolně zvolenému bodu je nulový, je v rovnováze. Těleso setrvává v klidu, nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém. (1.Newtonův zákon - zákon setrvačnosti). Jako příklad si uvedeme soustavu rovnoběžných sil, které leží na nositelkách rovnoběžných např. s osou z. Označme tyto síly F1,F2,F3,…,Fn. Tyto vektory mají nenulovou pouze složku ve směru osy z. Souřadnice bodů ve kterých síly působí označme xi,yi, kde i = 1…n. Polohový vektor působiště i - té síly má tak tvar : ri = xii + yij . Pro moment i - té síly Fi k počátku souřadnicové soustavy Mi tak platí : Výsledný moment všech sil má velikost :

r i r r r M i = ri xFi = xi 0

n n r r r r M = ∑ M i = ∑ ( yi Fii − xi Fi j ) i =1

i =1

66

r j yi 0

r k r zi = yi Fii − xi Fi Fi

Vezmeme - li výslednici soustavy sil Fv = F1 + F2 + F3 +…+Fn, pak tato výslednice musí působit v bodě xo,yo ,aby měla stejný moment k počátku. Pro moment výslednice platí : r r r M v = yo Fv i − xo Fv j Z podmínky Mv = M dostaneme pro souřadnice působiště výslednice soustavy rovnoběžných sil : (4.1) n

n

xo =

∑ xi Fi i =1 n

∑F

, yo =

∑yF i

i

i =1 n

∑F

i

i

i =1

i =1

Pokud je orientace soustavy rovnoběžných sil vůči souřadnicové soustavě zcela obecná, dostaneme obdobný vztah i pro z - ovou souřadnici výslednice této soustavy. Nyní můžeme přistoupit k popisu dynamiky tuhého tělesa. Pro tento popis je vhodné zavézt některé další pojmy, jako je střed hmotnosti (hmotný střed) a moment setrvačnosti. 4.3. Střed hmotnosti tuhého tělesa.

Jak bylo uvedeno již na začátku, těleso je možné pokládat za soustavu nekonečně mnoha hmotných bodů , které mají hmotnost dm = ρdV. To znamená, že pro souřadnice středu hmotnosti platí tytéž vztahy jako pro soustavu hmotných bodů. Vzhledem k tomu, že těchto "bodů" je nekonečně velký počet, musíme místo sčítání použít integraci. Pro souřadnice hmotného středu pak platí : (4.2)

xs =

∫∫∫ xdm ∫∫∫ xρdV V

∫∫∫ dm

=

V

m

V

ys =

∫∫∫ ydm ∫∫∫ yρdV V

∫∫∫ dm

=

V

m

V

zs =

∫∫∫ zdm ∫∫∫ zρdV V

∫∫∫ dm V

67

=

V

m

kde symbol V označuje, že "sčítáme" tzn. integrujeme po celém objemu tělesa. Výpočet integrálů je, zejména pro tělesa složitějších tvarů zpravidla komplikovaný. Pro homogenní tělesa, tzn. pro tělesa s konstantní hustotou, si můžeme situaci ulehčit v důsledku poznatku, že hmotný střed leží na prvcích symetrie ( rovina symetrie, osa symetrie, střed symetrie). Některá tělesa je zase možné složit z těles jednodušších, pro která jsou středy hmotnosti známy. Protože ve středu hmotnosti si můžeme představit celou hmotnost tělesa, můžeme takováto tělesa nahradit soustavou hmotných bodů. Uvažme nyní těleso v poli zemské tíže, kde na každý bod působí tíhová síla. Označíme - li si tíhové zrychlení jako g, je tíhová síla na bod tělesa o hmotnosti dm rovna dmg = ρdVg. Uvažme nyní, že tíhová zrychlení jsou v každém bodě tělesa rovnoběžná. To prakticky platí pro veškerá tělesa běžných rozměrů. V tom případě tíhové síly působící na jednotlivé elementy tělesa tvoří soustavu rovnoběžných sil. Můžeme tedy pro stanovení souřadnic výslednice těchto sil použít vztahů (4.1), kde ovšem sčítání nahradíme integrací :

xT =

∫∫∫ xdmg V

∫∫∫ dmg

, yT =

V

∫∫∫ ydmg V

∫∫∫ dmg

, zT =

V

∫∫∫ zdmg V

∫∫∫ dmg V

(4.3) Bod, kde působí výslednice tíhových sil se nazývá těžištěm. Je -li tíhové zrychlení ve všech bodech tělesa stejné, tzn. zanedbáme např. jeho závislost na výšce nad povrchem, což lze prakticky vždy, je možné g ve výše uvedených vztazích vytknou před integrál a zkrátit. V tomto případě je těžiště totožné - viz rov.(4.2)- s hmotným středem. V daných skriptech budeme předpokládat, že oba body jsou totožné. Znalost polohy těžiště je velmi významná např. pro posuzování stability těles v tíhovém poli.

Obr.4.4. Schéma posouzení stability tělesa.

68

Těleso, které spočívá plošným stykem na rovinné podložce - viz obr.4.4- se vlivem tíže nepřeklopí, pokud bod T´ v rovině podstavy (kolmý průmět těžiště do podstavy) leží uvnitř obrysu podstavy. Nejkratší vzdálenost tohoto bodu od obrysu podstavy je mírou stability tělesa. Pro překlopení tělesa je třeba moment o velikosti Ge, kde G je tíha tělesa. Má -li podstava obrys znázorněný na obr.4.4.b, bereme místo této veličiny veličinu e´´. V případě složitějších

těles a zejména u reálných konstrukcí je poloha těžiště stanovována buď

experimentálně,

nebo

pomocí

numerických

výpočtů,

např.

pomocí

programů

ANSYS,IDEAS aj. 4.4. Momenty setrvačnosti těles.

Moment setrvačnosti tělesa k určitému bodu stanovíme tak, že sečteme momenty setrvačnosti jednotlivých elementů tělesa o hmotnostech dm, neboť , jak již bylo uvedeno, moment setrvačnosti je veličina aditivní. Je- li vzdálenost elementu tělesa o hmotnosti dm od zvoleného bodu r. je jeho moment setrvačnosti dJ=dmr2. Pro moment setrvačnosti celého tělesa pak platí : J =

∫∫∫ dJ = ∫∫∫ dmr V

2

V

U těles pak nejčastěji stanovujeme momenty setrvačnosti k určitým osám. Představme si souřadnicový systém O,x,y,z spojený s tělesem - viz obr.4.5.

Obr.4.5. Schéma pro odvození momentů setrvačnosti tělesa k souřadnicovým osám. Na obrázku je znázorněn element tělesa o hmotnosti dm a jeho vzdálenosti od souřadnicových os x,y,z. Momenty setrvačnosti k osám jsou pak definovány vztahy : (4.4)

69

Jx =

∫∫∫ r dm = ∫∫∫ ( y

2

+ z 2 )dm

∫∫∫ r dm = ∫∫∫ ( x

2

+ z 2 )dm

2

+ y 2 )dm

2 x

V

Jy =

V

2 y

V

Jz =

V

∫∫∫ r dm = ∫∫∫ ( x 2 z

V

V

Mimo momenty setrvačnosti zavádíme deviační momenty : (4.5) Dxy = − ∫∫∫ xydm,Dyz = − ∫∫∫ yzdm,Dxz = − ∫∫∫ xzdm V

V

V

Deviační momenty mohou být, na rozdíl od momentů setrvačnosti, i záporné. Jestli - že význam momentů setrvačností byl již částečně uveden, význam deviačních momentů je třeba ilustrovat. Uvažme těleso rotující kolem osy dle obr.4.6.

Obr.4.6. Rotující těleso - odvození významu deviačních momentů. Na element tělesa působí odstředivá síla : df = aoω2dm. Pro moment této síly k ose platí : dM = r x df. Pro celkový moment odstředivých sil působících na těleso platí :

r r r rr M = ∫∫∫ r xdf = ∫∫∫ r xaoω 2 dm = V

V

∫∫∫ω V

70

2

r r r r r r x (r − ro )dm = ω 2 ∫∫∫ ro xr dm V

Uvažme, že osa rotace je totožná např. s osou x. V tom případě je ro=xi. Pro vektorový součin za integračním znaménkem pak platí :

r i r r r0 xr = x x

r r j k r r 0 0 = − xzj + xyk y z

Po dosazení a s přihlédnutím k rov.(4.5) dostaneme

r r r M = ( Dxz j − Dxy k )ω 2 Je tedy zřejmé, že deviační momenty popisují velikost momentu odstředivých sil, které namáhají osu na ohyb. 4.4.1. Momenty setrvačnosti k rovnoběžným osám.

Uvažme dvě soustavy souřadnic Oxyz a O1x1y1z1, které mají své osy rovnoběžné - viz obr.4.7.

Obr.4.7. Schéma dvou souřadnicových soustav s rovnoběžnými osami. Mezi souřadnicemi jednotlivých soustav platí transformační vztahy: x1 = x - xo, y1 = y - yo, z1 = z - zo Pro moment setrvačnosti k ose x1 platí : J x1 = ∫∫∫ ( y12 + z12 )dm = V

∫∫∫ (( y − y )

2

o

+ ( z − zo ) 2 )dm =

V

∫∫∫ ( y

2

− 2 yyo + y + z − 2 zzo + zo2 )dm =

∫∫∫ ( y

2

+ z 2 )dm − 2 yo ∫∫∫ ydm − 2 zo ∫∫∫ zdm + ( yo2 + zo2 ) ∫∫∫ dm

2 o

2

V

V

V

V

V

Prvý člen je moment setrvačnosti k ose x. Druhý a třetí člen určíme z definice hmotného středu - viz rov.(4.2) . 2 yo ∫∫∫ ydm = 2 yo ys m,2 zo ∫∫∫ zdm = 2 zo z s m V

V

71

Poslední, tzn. čtvrtý člen , dává součin hmotnosti tělesa m a čtverce vzdálenosti os x a x1.Označíme -li nyní toto vzdálenost jako ax, dostaneme pro moment setrvačnosti vztah J x1 = J x − 2myo ys − 2mzo zs + ma x2

Obdobné vztahy získáme i pro momenty setrvačnosti k zbývajícím dvěma osám tj. k y1 a z1. Uvažme nyní, že počátek O zvolíme ve středu hmotnosti resp. v těžišti tělesa. Pak souřadnice hmotného středu jsou rovny nule a pro momenty setrvačnosti platí (4.6) J x1 = J x + ma x2 , J y1 = J y + ma y2 , J z1 = J z + ma z2

kde ay a az označují vzdálenosti os y a y1 a z a z1. Z rovnice (4.6) vyplývá, že moment setrvačnosti k ose procházející těžištěm má nejmenší hodnotu mezi momenty setrvačnosti k osám s touto osou rovnoběžnými. Osu procházející těžištěm pak nazýváme centrální osou setrvačnosti. Poznatek vyjádřený vztahem (4.6) je obsahem Steinerovy věty :

Moment setrvačnosti tělesa k ose , která je rovnoběžná s osou procházející těžištěm je roven momentu setrvačnosti k ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti tělesa a čtverce vzdálenosti obou os. Zcela obdobné poznatky získáme pro deviační momenty. Stanovme např. deviační moment Dx1y1 : Dx1 y1 = − ∫∫∫ x1 y1dm = − ∫∫∫ ( x − xo )( y − yo )dm = V

V

− ∫∫∫ ( xy − xyo − yxo + yo xo )dm = V

= − ∫∫∫ xydm − yo ∫∫∫ xdm − xo ∫∫∫ ydm + xo yo ∫∫∫ dm = V

V

V

V

= Dxy − yo xs m − xo ys m + xo yo m

Obdobné vztahy získáme pro zbývající deviační momenty.Pokud opět položíme počátek O do těžiště, pak se tyto vztahy změní na (4.7) Dx1 y1 = Dxy + xo yo m, Dy1z1 = Dyz + yo zo m, Dx1z1 = Dxz + xo zo m jde o tvar Steinerovy věty pro deviační momenty.

Dalším problémem je stanovení

momentů setrvačnosti k ose, která svírá určitý úhel s danou osou. Tuto osu si můžeme volit tak, aby procházela počátkem. Moment stervačnosti k ose rovnoběžné stanovíme pomocí Steinerovy věty. 72

4.4.2. Moment setrvačnosti k ose libovolného směru.

Uvažme souřadnicovou soustavu Oxyz , kde pro dané těleso známe momenty setrvačnosti k osám (Jx,Jy,Jz) a deviační momenty (Dxy,Dxz,Dyz). Vezměme osu o, která s osami x,y,z svírá úhly α,β,γ a prochází počátkem - viz obr.4.8.

Jo =

zzz

hi2 dm

V

Obr.4..8. Osa, která je šikmá k souřadnicovým osám. Podle definice pro moment setrvačnosti platí :

Jo =

∫∫∫ h dm 2 i

V

Vyjádříme hi2 = ri 2 − ki2 Délka ki je kolmým průmětem polohového vektoru elementu tělesa ri do osy o. Pro polohový vektor platí : r r r r ri = xi + yj + zk Směr osy je určen jednotkovým vektorem o

r r r r o = cosαi + cos βj + cos γk ki = x cos α + y cos β + z cos γ

Pro velikost ki pak platí : Po dosazení dostaneme pro čtverec vzdálenosti elementu tělesa od osy o : Prvé tři členy vynásobíme jedničkou ve tvaru :

hi2 = xi2 + yi2 + zi2 − ( xi cos α + yi cos β + zi cos γ ) 2 1 = cos2 α + cos2 β + cos2 γ 73

Po dosazení a úpravě dostaneme hi2 = ( yi2 + zi2 ) cos2 α + ( xi2 + zi2 ) cos2 β + + ( xi2 + yi2 ) cos2 γ − 2 xi yi cos α cos β − 2 xi zi cosα cos γ − 2 yi zi cos β cos γ Dosadíme - li tento výraz do definičního vztahu, dostaneme pro moment setrvačnosti k ose

o J o = J x cos2 α + J y cos2 β + J z cos2 γ + +2 Dxy cos α cos β + 2 Dyz cos β cos γ + 2 Dxz cosα cos γ

Jestliže osa o mění svůj směr, mění se i moment setrvačnosti tělesa k této ose. Na každou osu naneseme úsečku délky

OM =

1 Jo

Souhrn těchto bodů vytvoří plochu.

Obr.4.9. Souřadnice bodů této plochy jsou - viz obr.4.9 x = O M cosα , y = O M cos βzz = O M cos γ .

Odtud pak plyne

cosα = x J o ,cos β = y J o ,cos γ = z J o Po dosazení do rovnice (4.8) dostaneme rovnici plochy, která je tvořena koncovými body úseček OM : (4.8)

J x x 2 + J y y 2 + J z z 2 − 2 Dxy xy − 2 Dxz xz − 2 Dyz yz = 1

74

Tato rovnice je rovnice elipsoidu se středem v počátku. Je to elipsoid setrvačnosti. Hlavní osy elipsoidu setrvačnosti jsou hlavními osami setrvačnosti a jím příslušné momenty setrvačnosti jsou hlavní momenty setrvačnosti. Pro hmotný střed jsou zavedeny hlavní centrální osy a hlavní centrální momenty.

Zvolíme-li nyní souřadnicové osy ξ,η,ζ , které jsou totožné s hlavními osami elipsoidu a označíme-li jeho osy a,b,c, má rovnice elipsoidu tvar .

ξ2

+

η2

+

ξ2

=1 a 2 b2 c2 Označme momenty setrvačnosti k těmto osám Jξ,Jη,Jζ, pak po dosazení do rovnice elipsoidu setrvačnosti dostaneme : Jξ ξ 2 + Jηη 2 + Jζ ζ 2 = 1 Deviační momenty k osám elipsoidu se rovnají nule. Každým bodem tělesa je možné proložit tři vzájemně kolmé osy, k nímž jsou deviační momenty rovny nule. S ohledem na poznatky zmíněné u obr.4.6 je zřejmé, že při rotaci kolem těchto os nedochází k jejich namáhání momenty odstředivých sil. Proto se nazývají volné osy. Dále je možné snadno odvodit následující poznatky :

-

Hlavní centrální osa setrvačnosti je hlavní osou pro každý svůj bod.

-

Má-li těleso rovinu souměrnosti, je každá přímka kolmá na tuto rovinu jednou z hlavních os pro bod, ve kterém přímka rovinu protíná.. Rovina souměrnosti je rovina centrální rovinou a další dvě osy v ní leží.

-

Má-li těleso dvě vzájemně kolmé roviny souměrnosti, je jejich průsečnice hlavní centrální osou.

-

Osa souměrnosti u rotačních těles je hlavní centrální osou.

-

Těleso se třemi rovinami souměrnosti má hlavní centrální osy v průsečících rovin souměrnosti. Poněkud složitější postup je třeba použít pro výpočet deviačních momentů v pootočených souřadnicových soustavách. Uveďme výpočet deviačního momentu

pro souřadnicovou soustavu, která má jednu z os totožnou s původní souřadnicovou soustavou - viz obr. 4.10.

75

Obr.4.10 Transformační vztahy mezi souřadnicemi mají tvar : x = x1 y1 = y cosψ − z sin ψ z1 = z cosψ + y sin ψ

Pro deviační momenty dostaneme (4.10) Dx1z1 = − ∫∫∫ x1 z1dm = − ∫∫∫ ( xz cosψ + xy sinψ )dm = V

V

= Dxz cosψ + Dxy sinψ Dx1 y1 = − ∫∫∫ x1 y1dm = − ∫∫∫ ( xy cosψ − xz sinψ )dm = V

V

= Dxy cosψ − Dxz sinψ Dy1z1 = − ∫∫∫ y1 z1dm = − ∫∫∫ ( yz cos 2ψ − yz sin 2 ψ + y 2 sinψ cosψ − z 2 sinψ cosψ )dm = V

V

= Dyz (cos ψ − sin ψ ) + sinψ cosψ ∫∫∫ ( y 2 − z 2 )dm = 2

2

V

= Dyz (cos ψ − sin ψ ) + sinψ cosψ ∫∫∫ ( y 2 − x 2 + x 2 − z 2 )dm = 2

2

V

= Dyz (cos ψ − sin ψ ) + sinψ cosψ ( J z − J y ) 2

2

76

Z uvedených vztahů vyplývá, že pro každý deviační moment existuje úhel natočení tak, že tento deviační moment je roven nule. Pro obecně natočené souřadnicové soustavy jsou vztahy podstatně komplikovanější. Nicméně uvažovaný případ je relativně nejčastější. Znalost momentů setrvačnosti a deviačních momentů umožňuje stanovit řadu veličin pro popis dynamiky tuhého tělesa. Dané momenty se zpravidla určují v souřadnicovém systému jehož počátek leží v těžišti tělesa. Pro jiné souřadnicové soustavy se pak používá vztahů , které byly odvozeny v tomto a v předcházejícím odstavci. Přehled momentů setrvačnosti pro některá tělesa je obsahem dodatku. 4.5. Hybnost a moment hybnosti tuhého tělesa.

Uvažme tuhé těleso dle obr.4.11.

Obr.4.11 Jeho hmotný střed, resp. těžiště je C. S tělesem je pevně spojena souřadnicová soustava O2,x2,y2,z2 , jejíž úhlová rychlost ω je úhlová rychlost tělesa. Hybnost H tělesa určíme jako vektorový součet hybností všech elementů tělesa o hmotnosti dm, které jsou určeny polohovými vektory r r r r r2 = x2i2 + y2 j2 + z2 k 2 Pro rychlost elementu o hmotnosti dm platí : r r r v = vO 2 + ωxr 77

kde vO2 je rychlost počátku O2. Pro hybnost tělesa pak platí :

r r r r H = vO 2 ∫∫∫ dm + ω x ∫∫∫ r2 dm V

V

Po úpravě, s ohledem na definici středu hmotnosti, dostaneme : (4.11)

r r r r r H = m(vO 2 + ωxr2 C ) = mvC kde r2C je polohový vektor a vC rychlost hmotného středu. Hybnost tělesa je tak dána součinem jeho hmotnosti a rychlosti hmotného středu. Moment hybnosti elementu tělesa o hmotnosti dm k počátku O2 je dán vztahem r r r r dLO 2 = r2 x (vO 2 + ωxr2 )dm A moment hybnosti celého tělesa je : (4.12)

r r r r rr LO 2 = −vO 2 x ∫∫∫ r2 dm + ∫∫∫ (r2 x (ωxr2 ))dm V

V

Je -li počátek O2 nehybný vůči pevné soustavě, je prvý člen na pravé straně (4.12) nulový, stejně jak v případě, je-li tento počátek umístěn ve středu hmotnosti tělesa. V těchto případech platí (4.13)

r r rr LO 2 = ∫∫∫ (r2 x (ωxr2 ))dm V

Vektor momentu hybnosti můžeme vyjádřit pomocí jeho složek :

r r r r LO 2 = Lx 2i2 + Ly 2 j2 + Lz 2 k 2 Dvojitý vektorový součin za integrálem můžeme vyjádřit jako : v r r r r r r v r r2 x (ωxr2 ) = ω (r2 . r2 ) − r2 (ω . r2 ) Po rozepsání ve složkách a po dosazení do (4.13) dostaneme pro složky vektoru momentu hybnosti : Lx 2 = ω x 2 J x 2 + ω y 2 Dx 2 y 2 + ω z 2 Dx 2 z 2 Ly 2 = ω x 2 Dx 2 y 2 + ω y 2 J y 2 + ω z 2 Dy 2 z 2 Lz 2 = ω x 2 Dx 2 z 2 + ω y 2 Dy 2 z 2 + ω z 2 J z 2 Tyto vztahy se podstatně zjednoduší , pokud souřadnicové osy s hlavními osami setrvačnosti.

78

4.6. Pohybové rovnice tuhého tělesa.

Při sestavování pohybových rovnic vyjádříme momenty setrvačnosti v souřadnicové soustavě pevně spojené s tělesem, která má počátek ve středu hmotnosti,resp. v těžišti. V této souřadnicové soustavě jsou momenty setrvačnosti a deviační momenty konstantní. Pohybové rovnice mají tvar : (4.14) r r dH r r F= , resp. F = maC dt r r dLC MC = dt kde F je výslednice vnějších sil, MC je výsledný moment vnějších sil k hmotnému středu, aC je zrychlení hmotného středu. Provedeme-li nyní derivaci hybnosti a momentu

hybnosti, musíme si uvědomit, že se mění i jednotkové vektory soustavy spojené s tělesem. Tuto časovou změnu, tzn. derivaci podle času, jsme sledovali již v kinematice. Pomocí vztahů, které tam byly odvozeny, dostaneme :

(4.15)

r dH dH x 2 r dH y 2 r dHz 2 r r r = i2 + j2 + k 2 + ωxH dt dt dt dt r dLC dLCx 2 r dLCy 2 r dLCz 2 r r r = j2 + k 2 + ωxLC i2 + dt dt dt dt

Po dosazení do (4.14) a po dosazení vztahů (4.14) dostaneme šest pohybových rovnic, tři pro složky výsledné síly a tři pro výsledný moment vnějších sil. Jde o komplikované rovnice, které se zjednoduší, ztotožníme -li souřadnicové osy soustavy spojené s tělesem s hlavními osami setrvačnosti, kdy zaniknou deviační momenty. Jednodušší tvar mají také pohybové rovnice pro rovinný pohyb, např. v rovině x,y, kdy vektor úhlové rychlosti má nenulovou pouze jednu složku ve směru kolmém k rovině pohybu, tzn. ve směru osy z. Popis rovinného pohybu se dále zjednoduší, pokud jde pouze o rotační rovinný pohyb. Některé z těchto jednodušších případů si ukážeme. Předtím však musíme věnovat pozornost kinetické energii. 4.7. Kinetická energie tuhého tělesa.

Zvolíme opět souřadnicovou soustavu pevně spojenou s tělesem, která má počátek v hmotném středu C tělesa. Tato soustava se pak pohybuje vůči nehybné soustavě, jak znázorňuje obr.4.11. Pro kinetickou energii elementu tělesa o hmotnosti dm platí : dWk =

1 dmv 2 2 79

Kde rychlost v je dána vztahem r r r r v = vC + ωxr2

Pro čtverec rychlosti platí

r r r r r r r r v 2 = v . v = (vC + ωxr2 ).(vC + ωxr2 ) = r r r r r r r = vC2 + 2vC .(ωxr2 ) + (ωxr2 ).(ωxr2 ) Pro celkovou kinetickou energii musíme sečíst příspěvky ode všech elementů tělesa. Po

dosazení a provedení naznačených vektorových operací dostaneme : (4.16) Wk =

∫∫∫ dW

k

V

=

1 2 1 1 1 mvC + J x 2ω x22 + J y 2ω y22 + J z 2ω z22 + 2 2 2 2

+ Dx 2 y 2ω x 2ω y 2 + Dx 2 z 2ω x 2ω z 2 + Dy 2 z 2ω y 2ω z 2

Tento vztah se značně zjednoduší, pokud zvolíme osy souřadnicové soustavy spojené s tělesem totožné s hlavními osami setrvačnosti. Je-li osa rotace během pohybu stálá , dojde k dalšímu zjednodušení. Při výpočtu potenciální energie je třeba uvážit charakter příslušného silového pole. Pro případ tíhového pole Země dostaneme pro potenciální energii vztah Wp = mgh, Kde h je výška těžiště nad povrchem. V konservativních silových polích pak opět platí zákon zachování mechanické energie, tzn, že součet kinetické a potenciální energie je konstantní. 4.8. Vybrané příklady. Příklad 4.1. Homogenní tenká tyč o délce l a hmotnosti m je otáčivě uložena podle

obr.4.12. Konci tyče udělíme nepatrnou rychlost vo. Určete dopadovou rychlost konce tyče. Odpor prostředí zanedbáváme. Řešení. Jde o kruhový pohyb. Moment setrvačnosti tyče k ose rotace je

1 J = ml 2 3

80

Obr.4.12. Protože zanedbáváme odpor prostředí, použijeme zákon o zachování energie. Na počátku má tyč celkovou energii : 1 2 l mvo + mg 2 2 Po dopadu má těleso (tyč) energii kinetickou 1 11 2 2 1 2 2 Jω 2 = ml ω = ml ω 2 23 6 Pro rychlost dopadu konce tyče platí v = lω. Obě energie jsou si rovny. Z rovnosti

dostaneme pro úhlovou rychlost a rychlost dopadu vztahy : g vo2 g vo2 ω = 3 + 3 2 ,v = l 3 + 3 2 l l l l Chceme -li nyní získat více údajů o pohybu tyče, musíme uvážit pohybovou rovnici, která

má tvar : Jε = − M , ε =

d 2ϕ l 1 , M = G sin(ϕ ), G = mg , J = ml 2 ⇒ 2 dt 2 3

g 1 d 2ϕ = − sin(ϕ ) 2 3 dt 2l Jedná se o nelineární diferenciální rovnici, která nemá analytické řešení. Přesto můžeme

získat určité informace o pohybu, pokud použijeme úpravu :

81

d 2ϕ d dϕ dω dω d ϕ d ω ω = ( )= = = 2 dt dt dt dt dϕ dt dϕ Pomocí této úpravy převádíme pohybovou rovnici na rovnici, která jako neznámou funkci

obsahuje závislost úhlové rychlosti na úhlu.,tzn.: dω (ϕ ) 3g ω = − sin(ϕ ), ω (ϕ = 0) = ω o = lvo 2l dϕ

Tato rovnice má řešení ve tvaru :

ω=

vo2 l 3 + 3g cosϕ l

Odtud již získáme rychlost dopadu v , v = l ω. Příklad 4.2.

Na cívce kruhového průřezu o poloměru r a hmotnosti m je navinuto nehmotné vlákno. Vyšetřete pohyb cívky, která začne klesat, přičemž se vlákno odvíjí. Dále určete sílu ve vlákně , jestliže na počátku pohybu měla cívka nulovou rychlost. Moment setrvačnosti cívky k její ose - Js. Řešení. Situace je znázorněna na obr.4.13.

Obr.4.13

82

Pohybové rovnice cívky mají tvar ma = G − S1 = mg − S1 J sα = S1r Kde α je úhlové zrychlení. Pro zrychlení a platí a =rα. Tím dostáváme dvě rovnice pro dvě

neznámé, a, S1. Řešením dostaneme a=

mgr = konst . J s + mr 2

r2 S1 = mg (1 − ) J s + mr 2 Střed cívky tak koná přímočarý , rovnoměrně zrychlený pohyb. Pro polohu středu cívky a

jeho rychlost tak platí 1 2 1 mgr 2 2 yS = at = t 2 2 J s + mr 2 mgr 2 vS = at = t J s + mr 2 Příklad 4.3.

Tenká homogenní tyč délky j o hmotnosti m je vedena po dvou hladkých, vzájemně kolmých rovinách. Napište pohybovou rovnici pro hmotný střed tyče S a vyšetřete závislost ω(φ), kde φ je úhel, který tyč svírá s vodorovnou podložkou, znáte-li počáteční velikost tohoto úhlu φo .Dále vyšetřete průběh reakcí v závislosti na poloze tyče.

Obr.4.14 Řešení. Problém je schematicky znázorněn na obr.4.14.

83

Pohybové rovnice pro střed hmotnosti mají tvar ma Sx = FnA ma Sy = FnB − G l l sin ϕ − FnB cos ϕ 2 2 Kde aSx,aSy jsou složky zrychlení,α je zrychlení úhlové, G = mg označuje tíhovou sílu J Sα = FnA

tyče a JS je moment setrvačnosti tyče ke středu hmotnosti. Nyní vyjádříme souřadnice středu hmotnosti, dvakrát je derivujeme a tím dostaneme složky zrychlení a ty dosadíme zpět do pohybových rovnic. Z obr.4.14 je zřejmé : l cos ϕ 2 dx l dϕ l vSx = S = − sin ϕ = − ω sin ϕ dt 2 dt 2 dv l aSx = Sx = − (α sin ϕ + ω 2 cosϕ ) dt 2 Kde ω označuje úhlovou rychlost. Pro souřadnici y hmotného středu dostaneme : xS =

l sin ϕ 2 dx l dϕ l vSy = S = cos ϕ = ω cos ϕ dt 2 dt 2 dv l aSy = Sx = − (α cosϕ − ω 2 sin ϕ ) dt 2 yS =

Po dosazení těchto vztahů do pohybových rovnic dostaneme pro reakce v bodech A a B :

ml (α sin ϕ + ω 2 cosϕ ) 2 ml (α cosϕ − ω 2 sin ϕ ) + G FnB = 2 Po dosazení reakcí do třetí z pohybových rovnic dostaneme : FnA = −

ml 2 (α sin ϕ + ω 2 cosϕ ) sin ϕ − 4 Gl ml 2 − cosϕ − (α cosϕ − ω 2 sin ϕ ) cosϕ 2 4 Tato pohybová rovnice pro střed hmotnosti nabude po úpravě tvar J Sα = −

84

ml 2 Gl ( JS + )α = − cosϕ 4 2 Pro ϕ(t) jde o nelineární diferenciální rovnici, kterou je možné řešit zpravidla jen numericky. Pro zjednodušení uvažme následující úpravu dω dϕ dω dϕ dω dω = = =ω dt dϕ dt dt dϕ dϕ Která převádí závislost ϕ(t) na závislost ω(ϕ). Po dosazení do pohybové rovnice, můžeme

α=

tuto rovnici integrovat : ml 2 ω Gl ϕ ) ∫ ωdω = − ∫ cos ϕdϕ 4 ωo 2 ϕo ml 2 1 2 Gl (JS + ) (ω − ω o2 ) = (sin ϕ o − sin ϕ ) 4 2 2 Pro ωo = 0 má závislost ω(ϕ) tvar : (JS +

ω2 =

4Gl (sin ϕ o − sin ϕ ) 4 J S + ml 2

Pro úhlové zrychlení pak dostaneme 2Gl cosϕ 4 J S + ml 2 Úhlové zrychlení , spolu s úhlovou rychlostí dosadíme do rovnic pro reakce v bodech A a

α=−

B. Výsledkem jsou vztahy : FnA =

m2 gl 2 (3 sin ϕ − 2 sin ϕ o ) cosϕ 4 J S + ml 2

m2 gl 2 cos2 ϕ + 2(sin ϕ o sin ϕ − sin ϕ ) sin ϕ FnB = mg − 2 4 J S + ml Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k jejímu hmotnému středu je : 1 2 ml 12 Uvažme nyní konkrétní data , kdy m = 100 kg, l = 5 m a počáteční úhel co = 30°. JS =

Závislosti velikostí reakcí na úhlu ϕ jsou vyneseny na obr.4.14 a 4.15.

85

Obr.4.14 .Závislost reakce v bodě A (svislá osa v N) na úhlu náklonu v °.

Obr.4.15.Závislost reakce v bodě B (svislá osa v N) na úhlu náklonu v °.

86

4.9.Dodatek - Momenty setrvačnosti, deviační momenty a polohy těžiště T (Tx,Ty,Tz).

87

88

5. GRAVITAČNÍ SILOVÉ ÚČINKY MEZI TĚLESY. Již v úvodu kapitoly o dynamice hmotného bodu jsme si uvedli Newtonův gravitační zákon, jehož závěry jsme pak používali i pro tělesa. Úvodem si řekněme, že tento zákon objevil Isaac Newton v roce 1665, ve věku 23 let. V této době dospěl k poznání, že síla, která způsobuje pád jablka má stejnou podstatu, jako síla, která udržuje Měsíc na jeho dráze. Gravitační zákon pak formuloval pro dva hmotné body - viz obr.5.1.

Obr.5.1. Schéma působení gravitačních sil mezi dvěma hmotnými body. Pro velikost gravitační síly mezi tělesy platí : (5.1)

m1m2 r2 kde κ je gravitační konstanta, která má velikost κ = 6.67 x 10-11 N.m2/kg2 . F =κ

Ačkoliv Newton formuloval tento zákon pro dva hmotné body, lze ho použít i pro výrazně rozměrná tělesa, pokud jejich vzdálenost je podstatně větší než jejich rozměry. Tak je např. použitelný i pro případ gravitační silové interakce mezi Zemí a Měsícem. Co však v případě, kdy tento předpoklad není splněn, jako např. v případě silového působení mezi již zmíněným jablkem a Zemí. Již Newton vyslovil teorém (nedokázané tvrzení), podle kterého je gravitační silové působení mezi kulovou skořepinou (dutá koule o tloušťce výrazně menší jak poloměr koule) a hmotným bodem stejné jako gravitační silové 89

působení mezi hmotným bodem a hmotným bodem o hmotnosti rovné hmotnosti skořepiny, který je umístěn ve středu skořepiny. Ještě než si tento teorém dokážeme, uvažme gravitační silové působení mezi více hmotnými body. Máme -li soustavu hmotných bodů, zajímá nás otázka , jaká bude výsledná gravitační síla působící na libovolný hmotný bod od ostatních bodů. V tomto případě používáme tzv. principu superposice, který nám říká, že výsledná gravitační síla působící na zvolený bod je vektorovým součtem sil vznikajících při vzájemném působení daného bodu s ostatními. Jinými slovy, při řešení tohoto problému, uvažujeme vždy jen dvojici bodů , bez ohledu na body ostatní. Tyto interakce spočteme podle rov.(5.1) a vektorově sečteme. V matematické formulaci pak tento postup formulujeme jako: (5.2) r r r r r F1 = F12 + F13 + F14 +...+ F1n r j =n r F1 = ∑ F1 j j =2

kde F1 je výsledná síla na prvý bod. Jak bude vypadat situace v případě, kdy máme hmotný bod a nějaké těleso? V tomto případě si můžeme těleso představit jako soustavu nekonečně mnoha elementů o hmotnosti dm, které jsou v podstatě hmotné body. Každý z těchto elementů vyvolává s hmotným bodem gravitační silové působení dané rov.(5.1) dF. Celková gravitační síla mezi tělesem a bodem je "součet" těchto sil. Protože těchto sil je nekonečný počet, nemluvíme o sčítání, ale o integraci, tzn. pro tuto sílu platí r F=

r

∫∫∫ dF V

kde V je objem tělesa. Tohoto postupu použijeme k ověření výše zmíněného Newtonova teorému. Na obr.5.2 je znázorněna homogenní kulová skořepina o hmotnosti M a tloušťce h. Máme stanovit vzájemné gravitační působení mezi touto skořepinou a hmotným bodem o hmotnosti m. Skořepinu rozdělíme na elementy ve tvaru prstence o hmotnosti dM. Každý bod tohoto prstence má od bodu m stejnou vzdálenost s. Pro objem elementu platí :

dV = 2πR 2 h sin θdθ

90

Obr.5.2. Schéma gravitační interakce mezi hmotným bodem a kulovou skořepinou. Objem celé skořepiny je V =4πR2h. Pro hmotnost elementu pak platí : dm = M

2πR 2 h sin θdθ M dV =M = sin θdθ 4πR 2 h 2 V

Pro velikost síly mezi elementem (prstencem) a hmotným bodem platí rov.(5.1) dF ′ = κ

mdM s2

Pro vlastní interakci musíme vzít do úvahy pouze osovou složku síly. Síly kolmé k ose se vzájemně ruší. To znamená , že pro sílu platí : Mm cos α sin θdθ 2 s2 Tyto síly od jednotlivých elementů musíme nyní sečíst . Tím pro výslednou sílu dostaneme dF = dF ′ cosα = κ

: F=

∫∫∫ dF =

κmM 2

∫∫∫

cosα sin θdθ s2

V tomto vztahu máme tři proměnné : s,α,θ. Pro eliminaci dvou z nich uvažme jednoduché geometrické vztahy vyplývající z obr.5.2 s 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cosθ R 2 = s2 + r 2 − 2 sr cos α 91

Diferencováním prvé z výše uvedených rovnic dostaneme sds Rr Z druhé rovnice pak vyjádříme cosα. To znamená, že jedinou proměnnou bude s. Po

sin θdθ =

dosazení a úpravě dostaneme: F=

κMm r + R κMm(r 2 − R 2 ) r + R 1 ds + ∫ s 2 ds 4πR 2 r −∫R 4πR 2 r−R

Po integraci dostaneme : Mm r2 Což potvrzuje platnost teorému. Obdobným způsobem se dá dokázat další tvrzení a to : F =κ

Gravitační síla homogenní kulové skořepiny na hmotný bod uvnitř skořepiny je nulová .

Toto tvrzení je významné pro popis gravitačního působení Země na tělesa vně jejího povrchu. Pro těleso, které můžeme pokládat , ve srovnání se Zemí, za hmotný bod (prakticky veškerá tělesa, se kterými se setkáme), platí, že gravitační působení Země je popsáno vztahem : (5.3) F =κ

Mm r2

kde M je hmotnost Země, m je hmotnost hmotného bodu a r je vzdálenost hmotného bodu od středu Země. Ve skutečnosti Země není homogenní a rovněž nemá přesně tvar koule. Vezmeme - li nyní poloměr Země R a výšku tělesa nad povrchem h, je r = R + h a pro gravitační sílu platí : (5.4) Mm Mm =κ 2 h ( R + h) R 2 (1 + ) 2 R Pro sílu pak rovněž platí, viz 2.pohybový zákon, že je rovna součinu hmotnosti a zrychlení. F =κ

Zrychlení v poli gravitačních sil značíme symbolem go, kde index o označuje, že neuvažujeme rotaci Země. Pro gravitační zrychlení platí :

92

M M =κ 2 h ( R + h) R 2 (1 + ) 2 R Je zřejmé, že gravitační zrychlení klesá s výškou nad zemským povrchem. Údaje o této go = κ

závislosti jsou uvedeny v tab.5.1. Tabulka 5.1. Závislost gravitačního zrychlení na výšce nad zemským povrchem Výška nad zemským povrchem h (km)

Gravitační zrychlení go (m/s2)

0

9.83

5

9.81

10

9.80

50

9.68

100

9.53

1

400

8.70

35 7002

0.225

380 0003

0.0027

Je zřejmé, že pro běžné výšky je závislost gravitačního zrychlení na výšce vcelku zanedbatelná. Uvažme, jak jsou gravitační silové účinky v zemském gravitačním poli ovlivněny jinými tělesy. Uvažme dva míče na bowling o hmotnosti 7.3 kg , které jsou umístěny tak, že jejich středy jsou ve vzdálenosti r = 50 cm. Pro jejich gravitační působení platí :

F =κ

m1m2 6.67 x10−11 Nm2 / kg 2 .7.3x 7.3kg 2 = = r2 (0.50m) 2

= 14 . x10−8 N Je zřejmé, že tato síla je zanedbatelná. Z těchto důvodů můžeme gravitační účinky Země

na tělesa sledovat bez zahrnutí gravitačních účinků jiných těles. Při hodnocení gravitačních silových účinků stále vycházíme z předpokladu, že Země je v klidu. Ve skutečnosti Země rotuje a na každý předmět na povrch působí odstředivá síla . Její velikost je závislá na zeměpisné šířce. Odstředivé síle odpovídá odstředivé zrychlení. Na každý předmět tak působí síla gravitační a síla odstředivá. Výslednice gravitačního a odstředivého zrychlení je zrychlení tíhové g. Toto tíhové zrychlení pak nesměřuje do středu Země a je závislé na zeměpisné šířce. Pro naši zeměpisnou šířku však odstředivé

1

Typická výška pro raketoplán Výška komunikačních družic 3 Vzdálenost Měsíce od Země 2

93

zrychlení představuje pouze asi 0.2% zrychlení gravitačního. Pro řešení převážné většiny problémů tak není třeba mezi oběma zrychleními rozlišovat. Potenciální energie těles v gravitačním poli. Budeme se zabývat výpočtem

potenciální energie dvou částic o hmotnostech M a m, které jsou vzdáleny o r. Pro konkrétnost uvažme, že částice o hmotnosti M je naše Země a tělesem o hmotnosti m např. tenisový míček. V souladu se zavedením potenciální energie volíme polohu, kde je potenciální energie nulová. Na obr.5.3. je znázorněna situace, kdy míček o hmotnosti m padá z nekonečné vzdálenosti do místa, které je určeno polohovým vektorem r.

Obr.5.3. Schéma pohybu hmotného bodu (míčku) z nekonečna do daného bodu. Na míček působí gravitační síla F(r), pro jejíž velikost platí rov.(5.2). Pro potenciální energii míčku v bodě r tak platí :

94

r r

r r r W p = − ∫ F (r )dr ∞

Polohový vektor r a vektor síly F leží na jedné nositelce a mají opačný směr, tzn., že svírají úhel 180°. Pro velikost skalárního součinu , který vystupuje v integrálu tak platí : F(r).dr= F(r)dr.cos(180°)=- Fdr

Pro velikost potenciální energie tak platí : (5.5) r

Wp = ∫ κ ∞

Mm Mm dr = −κ 2 r r

r ∞

= −κ

Mm r

Uvažme, že r =R + h, kde R je poloměr Země a h výška bodu o hmotnosti m nad zemským povrchem. Pro potenciální energii bodu pak platí : Wp = −κ

Mm Mm 1 Mm h = −κ ≈ −κ (1 − ) R+h R 1+ h R R R

kde jsme použili známý vztah 1 ≈ 1− x 1+ x který platí tím přesněji, čím je absolutní hodnota x menší jak jedna. Použijeme -li nyní tento přibližný vztah pro výpočet rozdílu potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti m ve výšce h a na povrchu Země, dostaneme :

Wp (r = R + h) − Wp (r = R + 0) = κ

Mm h= R

= mgo h kde jsme použili vztah pro gravitační zrychlení. S pojmem potenciální energie úzce souvisí pojem : Potenciál gravitačního silového pole, což je potenciální energie tělesa o jednotkové

hmotnosti. Pro velikost potenciálu platí :

M r Dalším významným pojmem je intenzita gravitačního silového pole E, což je síla působící

ϕ = −κ

v gravitačním poli na těleso o jednotkové hmotnosti. Z gravitačního zákona pro její velikost dostaneme :

95

M r2 Proveďme nyní následující matematickou operaci : E =κ

dϕ M =κ 2 dr r Vidíme, že derivace potenciálu podle vzdálenosti od středu Země je rovna velikosti intenzity . Později si ukážeme, že tento vztah platí obecně pro veškerá konzervativní silová pole. Při výpočtu potenciální energie v systému více jak dvou částic používáme opět principu superposice. Na obr.5.4 jsou znázorněny tři hmotné body.

Obr.5.4. Při výpočtu potenciální energie v gravitačním poli vytvořeném těmito body, bereme vždy dvojici bodů , stanovíme potenciální energii a veškeré energie sečteme. Pro případ znázorněný na obr.5.4. tak dostaneme :

Wp = − (κ

m1m2 mm mm +κ 1 3 +κ 2 3 ) r12 r13 r23

96

6.ÚVODNÍ POZNATKY O MECHANICE PODDAJNÉHO TĚLESA. Doposud jsme se zabývali mechanikou tuhého tělesa, které vlivem silového působení nemění ani své rozměry, ani svůj tvar. Jde o idealizaci reálných těles, která např. platí při popisu nepříliš výrazného silového působení. Tento pojem je relativní. Vezmeme -li např. kostku zhotovenou z oceli, pak silové působení např. stisku naší ruky nezpůsobí viditelné rozměrové a tvarové změny. Vezmeme -li kostku stejných rozměrů zhotovenou z želatiny, pak zmíněné změny jsou patrné. Mechanika poddajného tělesa se pak zajímá o souvislost mezi silovým působením a výše vedenými změnami rozměrů a tvaru těles. Tyto změny nazýváme deformací tělesa. Nejprve se tak budeme zajímat o popis deformace těles. Obdobně jak v kinematice , se nebudeme zabývat příčinami těchto změn. 6.1. Deformace těles. Při popisu deformací vycházíme opět z představy materiálu jako kontinua. Víme, že naše znalosti o stavbě látek tuto představu nepodporují, nicméně pro matematický popis je nejvhodnější, neboť umožňuje použít výkonný matematický aparát spojitých funkcí. V rámci této představy pak dostáváme hodnoty sledovaných veličin v každém bodě tělesa, i když víme, že hmotnost tělesa je rozprostřena diskrétně, tzn. v molekulách, či atomech látky. Veličiny, které získáme pomocí náhrady reálné látky kontinuem tak představují určité "průměrné" hodnoty. Víme, že pohyb látky je v zásadě popsán vektorem posunutí částic u = u(x,y,z,t). Pohyb každého elementu tělesa se skládá z postupného (translačního) pohybu, z rotačního pohybu a z deformačního pohybu, při kterém dochází ke změně rozměrů a tvaru elementu.

1

Je

tedy zřejmé, že popis deformace musí vycházet z vektoru posunutí částic : (6.1)

u(x,y,z,t) = ux(x,y,z,t) i + uy(x,y,z,t) j + uz(x,y,z,t) k

Uvažme nejprve, jak lze pomocí tohoto vektoru popsat změny rozměrů elementu tělesa. Pro jednoduchost vezměme nejprve tenkou homogenní tyč , která je namáhána pouze ve směru osy x. Nechť vektor posunutí je ve všech bodech tohoto tělesa konstantní. Pak se libovolný bod tělesa P posune po deformaci do bodu P´ - viz obr.6.1. Velikost posunutí je ux. Jestli že uvážíme v tělese úsečku délky l =x, což je délka úsečky od počátku k bodu P, pak po deformaci má tato úsečka délku l1 = l + ux = x + ux . Velikost deformace, která je v daném případě změnou délky, popisujeme pomocí bezrozměrné veličiny :

l1 − l ux = ⇒ ux = ε xx x l x Vidíme, že posunutí je úměrné souřadnici x. Toto platí pro případ homogenní deformace.

ε xx =

1

Toto tvrzení se dá exaktně dokázat a je známo pod pojmem Helmholtzův teorém.

97

Vezměme nyní případ, kdy vektor posunutí není konstantní.

Obr.6.1. Schéma deformace ve směru usy x. Pak pro deformaci v bodě P bude platit

∆ux , kdy∆x → 0 ∆x Jde tedy o derivaci složky vektoru výchylky ux podle x. Víme, že tato složka, stejně jak

ε xx =

zbývající závisí obecně na všech proměnných x,y,z a na čase. Derivujeme -li funkci více proměnných podle jedné z nich, pokládáme zbývající proměnné za konstanty. Pro tuto derivaci používáme pojmu parciální derivace funkce.Pro tuto derivaci používáme odlišného označení než pro derivaci funkce jedné proměnné. Tak např. pro funkci f(x,y,z) = x.y.z, je její parciální derivace podle x rovna yz. Obdobné úvahy platí i pro změnu délky rozměru ve směrech y a z. Pro deformace, které popisují změnu rozměru ve směrech souřadnicových os tak platí : (6.2)

ε xx =

∂u y ∂ux ∂u , ε yy = , ε zz = z ∂x ∂y ∂z 98

Ukažme si význam těchto veličin. Představme si kvádr, který má, v nezatíženém stavu , rozměry hran ao,bo,co. Nechť tyto hrany leží na souřadnicových osách.Nechť je tento hranol namáhán ve všech třech směrech tak, že vektor posunutí je homogenní. Po deformaci se jeho rozměry změní na a,b,c. Pro velikost těchto hran platí : a = ao (1 + ε xx ), b = bo (1 + ε yy ), c = co (1 + ε zz )

Objem nedeformovaného tělesa je Vo = aoboco a deformovaného V =abc . Pro změnu objemu platí : ∆V = V − Vo = aobo co − aobo co (1 + ε xx + ε yy + +ε zz + ε xx ε yy + ε xx ε zz + ε yy ε zz + ε xx ε yy ε zz )

Protože deformace jsou zpravidla velmi malé, můžeme součiny dvojic deformací zanedbat a pro změnu objemu dostaneme ∆V = aobo co (ε xx + ε yy + ε zz ) = Vo (ε xx + ε yy + ε zz )

Veličinu ∆V/Vo nazýváme relativní změnou objemu. Vezměme nyní deformaci libovolného tělesa, která je obecně nehomogenní. V každém bodě tělesa si můžeme představit kvádr nepatrně malých rozměrů, jehož hrany jsou orientovány ve směru souřadnicových os. Malé rozměry hran zaručují, že složky vektoru posunutí jsou na nich prakticky konstantní. Použijeme - li výše uvedené úvahy a představíme -li si, limitní přechod rozměrů tohoto kvádru k nule, dospíváme k tvrzení , že relativní změna objemu v každém bodě tělesa je dána součtem deformací εxx , εyy a εzz. V každém bodě tělesa tak

platí : ∆V = ε xx + ε yy + ε zz V Dospěli jsme tak ke třem veličinám, které popisují změnu rozměru tělesa. Nyní se

budeme zabývat popisem změny tvaru. Změnu tvaru tělesa můžeme popsat změnou úhlu elementu tělesa, který je v nedeformovaném tělese pravoúhlý. Představme si homogenní deformaci , při které se v rovině x,y mění tvar tělesa způsobem naznačeným na obr.6.2. Změna tvaru je popsána úhlem Θ/2, který svírají strany deformovaného elementu s osami x a y. Pro tangentu tohoto úhlu platí Θ uy Θ Θ u Θ = ≈ , tg = x ≈ y 2 2 2 2 x Kde jsme použili předpokladu, že úhel Θ/2 je velmi malý. Celková změna tvaru je pak tg

99

dána úhlem Θ, tzn. : ux u y + y x V případě nehomogenní deformace nahradíme podíly parciálními derivacemi : Θ=

Θ=

∂ux ∂u y + ∂y ∂x

Pro změnu tvaru zavádíme veličinu 2εxy = Θ, kde indexy x a y označují, že jde o změnu tvaru v rovině x,y. Evidentně platí

εxy = εyx . Zcela obdobně můžeme popsat tvarové

změny v rovinách y,z a z,x. Pro popis změny tvaru tělesa tak dostáváme tři veličiny : (6.3)

∂u y ∂uz ∂ux ∂u y + ,2ε yz = + ∂y ∂x ∂z ∂y ∂u ∂u 2ε xz = x + z ∂z ∂x 2ε xy =

Obr.6.2. Schéma smykové deformace v rovině x,y. Je zřejmé, že pomocí vektoru posunutí můžeme popsat změny rozměrů tělesa - rov.(6.2) a změny tvaru tělesa - rov. (6.3) . Máme tedy celkem devět veličin, resp. s ohledem na symetrii v rov.(6.3) šest veličin, které úplně popisují deformaci tělesa v každém jeho bodě.

100

Tyto veličiny jsou složkami tenzoru deformace. Veličiny (6.2) se též nazývají normálové deformace a složky (6.3) smykové deformace. 6.2. Silové účinky na poddajné těleso.

Při popisu silových účinků vycházíme z axiomu zmražených deformací, který nám říká, že silové účinky na deformované těleso jsou stejné, jako silové účinky na tuhé těleso stejného tvaru jako má těleso deformované. Tento axiom nám umožňuje použít veškeré poznatky získané v mechanice tuhého tělesa. Stav tělesa podrobeného vnějšímu silovému působení charakterizujeme veličinou , kterou nazýváme napětím. Představme si těleso, v jehož nějakém bodě působí síla F. Tímto bodem tělesa si dále představme proloženu velice malou plošku o velikosti dS. Pak zavádíme pojem vektor napětí T, což je síla F dělená plochou dS. Jednotkou napětí je 1 pascal (Pa), 1Pa = N/m2.2

Obr.6.3. Síly působící na plošku o normále ve směru osy x. Je zřejmé, že vektor napětí můžeme rozložit na složku směřující ve směru normály plochy - normálové napětí a na složku tečnou k ploše - tečné, nebo též smykové napětí. Zvoleným bodem můžeme pochopitelně proložit nekonečně velký počet různě orientovaných ploch a dostaneme tak různé velikosti normálové a tečné složky. Dá se ukázat, že pro úplný popis silového účinku v daném bodě deformovaného tělesa je nezbytné znát napětí na třech vzájemně kolmých ploškách procházejících daným bodem. Tyto plošky můžeme volit rovnoběžně se souřadnicovými rovinami. Pro jednoduchost uvažme, že síla ∆F působí v bodě tělesa, které je totožný s počátkem souřadnicové soustavy. Danou sílu můžeme rozložit na složky : 2

Toto napětí je v případě těles velmi malé a proto používáme násobků, nejčastěji vyjadřujeme napětí v jednotkách MPa.

101

∆F = ∆Fx i + ∆Fy j + ∆Fz k

Počátkem nyní proložíme plošku kolmou na směr osy x o rozměrech ∆y, ∆z - viz obr. 6.3. Z obrázku je patrné, že na danou plošku působí jedna síla kolmá k plošce a dvě síly ležící v této plošce. Pro příslušná napětí pak platí : ∆Fy ∆Fx ∆Fz , σ xy = , σ xz = ∆y∆z ∆y∆z ∆y∆z Indexy označují následující skutečnost :

σ xx =

-

σxx je napětí působící na plochu o normále x směrem x. Je to tzv. normálové napětí.

-

σxy je napětí působící na plochu o normále x směrem y. Je to tzv. tečné (smykové)

napětí. -

σxz je napětí působící na plochu o normále x směrem z. Je to tzv. tečné (smykové)

napětí. Na danou plošku tak působí tři napětí, jedno normálové a dvě tečná, resp. smyková. Je -li síla souhlasná se směrem normály, je normálové napětí tahové , v opačném případě jde o tlakové napětí.

Pro zbývající dvě plošky, tzn. pro plošku kolmou na směr osy y a pro plošku kolmou na osu z dostaneme opět po trojici napětí. V daném bodě tak máme devět napětí :

σ xx σ xy σ xz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz Pomocí rovnováhy momentů od sil vyvolaných napětími se dá ukázat, že pro napětí platí3

σ xy = σ yx , σ xz = σ zx , σ yz = σ zy V každém bodě tělesa tak musíme stanovit šest napětí, tři normálová a tři tečná (smyková). Tato napětí se nazývají složkami tenzoru napětí. Známe -li tyto složky v daném bodě, můžeme stanovit vektor napětí na libovolně orientované plošce procházející tímto bodem. Orientace plošky je dána jednotkovým vektorem ve směru normály k této plošce. Tento jednotkový vektor má složky (cosα,cosβ,cosγ) kde úhly α,β,γ jsou úhly, které normála svírá se souřadnicovými osami. Označíme -li vektor napětí T(Tx,Ty,Tz), pak platí : Tx = σ xx cosα + σ xy cos β + σ xz cos γ Ty = σ xy cosα + σ yy cos β + σ yz cos γ Tz = σ xz cos α + σ yz cos β + σ zz cos γ 3

Jde o tzv. zákon sdružených napětí, kterým se budete podrobněji zabývat v předmětu "Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva"

102

Obr.6.4. Schéma tří složek vektoru napětí, který působí na plošku N. n označuje jednotkový vektor normály k plošce. Vektor napětí je znázorněn na obr.6.4. Zabývejme se nyní vzájemným vztahem mezi složkami tenzoru deformace a složkami tenzoru napětí. Je zřejmé, že silové účinky vedou k řadě různých změn materiálu tělesa. Tyto změny můžeme v zásadě rozdělit na dvě základní skupiny. V prvé řadě jde o vratné změny, kdy při odlehčení tělesa se toto těleso vrací do původního tvaru a nabývá původní

rozměry. Do této skupiny patří tzv.pružná (elastická) deformace a vazkopružná deformace. Rozdíl mezi oběma typy deformace spočívá v rychlosti návratu do původního stavu po odlehčení. V případě vazkopružné deformace tento návrat trvá určitou dobu. Pružná deformace je definována tak, že k tomuto návratu dojde okamžitě. Je zřejmé, že vazkopružná deformace představuje realistický proces. Nicméně u řady materiálu je doba návratu natolik malá, např. u většiny kovů a jejich slitin., že ji lze zanedbat. Tato doba je pak výrazná zejména u polymerů a u naprosté většiny biologických materiálů. Druhou skupinou jsou děje nevratné, které mohou mít nejrůznější projevy. Pro řadu materiálů dochází k trvalé změně rozměrů a tvaru bez porušení soudržnosti tělesa. Jedná se o trvalou, resp. plastickou deformaci. Toto chování je typické zejména pro kovy a jejich slitiny. Po dosažení určité velikosti trvalé deformace pak dochází k lomu. Pro některé,tzv.

103

křehké materiály jako je např. sklo, většina keramiky, skálotvorných hornin apod. Dochází při silovém působení k tvorbě řady necelistvostí a následné fragmentaci tělesa na řadu úlomků. K tvorbě necelistvostí ve formě trhlin, nebo dutin, může docházet i v průběhu plastické deformace. Pochopitelně jsou možné i jiné typy poruch materiálů. Je patrné, že popis chování materiálu při nevratném zatěžovacím procesu je velmi komplikovaný. V rámci daných skript se budeme zabývat vratnými deformacemi. Tyto deformace jsou prvou odezvou na silové působení a ve většině případů technické praxe se snažíme volit silové účinky tak, aby konstrukce a jejich části byly deformovány pouze vratně. Výjimkou je pak např. tváření materiálu. Pro další zjednodušení se omezíme na pružné deformace, kde závislost napětí na deformaci popisuje Hookův zákon.. 6.3. Hookův zákon.

Při hledání závislosti napětí na deformaci budeme předpokládat, že materiál tělesa je homogenní. Dále musíme zavést další charakteristiku materiálu a tou je závislost jeho vlastností na směru. Víte, že v případě dřeva existují tři vzájemně kolmé anatomické směry (poélný, radiální a tangenciální) , ve kterých se vlastnosti dřeva dosti podstatně liší. Materiály, jejíchž vlastnosti závisí na směru nazýváme materiály anizotropní. Obecně prakticky veškeré materiály jsou anizotropní. U některých materiálů je však míra této anizotropie vcelku nevýrazná (např u řady kovových materiálů) ., takže ji zpravidla zanedbáváme. Materiály, jejichž vlastnosti nezávisí na směru, nazýváme materiály izotropní . Tyto materiály jsou , z hlediska popisu jejich deformačního chování,

jednodušší. V daném odstavci se budeme zabývat Hookovým zákonem pro izotropní materiál. Základní experiment pro stanovení deformačního chování je tahová zkouška, kdy vzorek ve tvaru válečku délky L zatěžujeme osovou silou - viz obr.6.5. Délku válečku bereme dostatečně malou tak, abychom mohli považovat deformaci za homogenní. Pro velikost deformace ve směru osy vzorku (normálová deformace) platí ∆L L Normálové napětí je dáno poměrem síly F a průřezu vzorku A. Průměr vzorku je

ε=

dostatečně malý, takže ve vzorku je nenulové pouze toto normálové napětí. Reálný vzorek má pak tvar uvedený na snímku na obr.6.6. Vzorek je upnut do čelistí, z nichž jedna je pevná a druhá se pohybuje se zadanou rychlostí. Tahové stroje pak umožňují stanovit časové průběhy napětí a deformace ve vzorku a po eliminaci času umožňují přímé stanovení závislosti napětí deformace - tzv. tahový diagram. Příklad takového diagramu uvádí obr.6.7. 104

Obr.6.5. Schéma tahové zkoušky. Po začátku zatěžování se vzorek až do hodnoty napětí, které je označováno jako mez kluzu materiálu, deformuje elasticky. V této oblasti je závislost mezi napětím a deformací lineární a platí : (6.4)

σ = Eε

kde E je Youngův modul, což je materiálová konstanta.4

Obr.6.6. Vzorek pro tahovou zkoušku. (Převážně pro kovové vzorky, vzorky dřeva jsou pak většinou ploché. L označuje tzv. měrnou délku, na které se měří deformace). Pro vyšší napětí dochází k plastické deformaci a nakonec dochází k lomu vzorku. Odpovídající napětí se nazývá mez pevnosti. 4

Ve skutečnosti závislost napětí deformace není ideálně přímková. Youngův modul pak stanovíme jako tangentu úhlu, který svírá tečna k závislosti napětí - deformace v počátku s osou deformace.

105

Obr.6.7. Schéma záznamu tahové zkoušky (typické pro měkkou ocel). Další typ zkoušky je schematicky znázorněn na obr.6.8.

Obr.6.8. Schéma zkoušky materiálu ve smyku. Jde o zkoušku ve smyku, kde pro velikost smykového napětí, které obvykle značíme symbolem τ , platí τ = F/A a pro smykovou deformaci θ = ∆L/L (předpokládáme, že úhel θ je velmi malý). Ukazuje se , že pro pružnou deformaci platí : (6.5)

τ = Gθ

106

kde G je modul pružnosti ve smyku. Vztah (6.5) je Hookův zákon pro smykovou deformaci. V daném případě jde o vztahy mezi napětím a deformací, kdy je těleso určitého, velmi jednoduchého tvaru, zatěžováno silou tak, že nenulová je pouze jedna složka napětí. Zajímá nás vztah mezi deformací a napětím, kdy těleso složitějších tvarů, které je zatěžováno obecnou soustavou sil, kdy musíme předpokládat existencí všech šesti složek tenzorů napětí a deformace. V tomto případě používáme zobecněný Hookův zákon, který má, pro izotropní těleso, tvar : (6.6)

σ xx = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε xx σ yy = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε yy σ zz = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε zz σ xy = 2 µε xy , σ xz = 2 µε xz , σ yz = 2 µε yz kde λ a µ jsou Lamého konstanty. Přitom µ ≡ G. Je pochopitelné, že experimentálně stanovíme materiálové vlastnosti nejsnadněji při testu znázorněném na obr.6.3. Uvažme souvislost mezi zobecněným Hookovým zákonem a Hookovým zákonem daným vztahem (6.4), kdy je od nuly různá jen jedna složka napětí, normálové napětí σ = σxx . Dosadíme -li do zobecněného Hookova zákona, pak dostaneme : (6.7)

σ xx = Eε xx = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε xx 0 = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε yy 0 = λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µε zz Z druhé a třetí rovnice vyplývá, že normálové složky deformace ve směrech y a z jsou stejné. Po dosazení této identity zpět do druhé a třetí rovnice dostaneme .

ε yy ε yy = = −ν ε xx ε xx Kde ν je Poissonova konstanta , která udává poměr příčného zúžení a podélného prodloužení vzorku. Je zřejmé, že tato konstanta je snadno stanovitelná z tahové zkoušky. Dosadíme -li tuto konstantu zpět do zobecněného Hookova zákona, dostaneme pro Lamého konstanty vztahy : Eν E ,µ = (1 − 2ν )(1 + ν ) 2(1 + ν ) V tabulce 6.1. jsou uvedeny elastické konstanty pro některé materiály.

λ=

107

Tabulka 6.1. Elastické vlastnosti vybraných materiálů. Materiál

Hustota (kg/m3)

ν (1)

Youngův modul (MPa)

Hliník

2700

7.05 x 104

0.35

Čisté železo

7870

2.1x105

0.28

Wolfram

18 700

3.94 x105

0.29

Berylium

1840

3.15 x105

0.05

Plexisklo

1180

5.48 x103

0.37

Žula

2990

8,72 x104

0.27

Karbid křemíku

3177

2.13 x105

0.16

Nylon

1110

4

0.40

Sklo

2190

6.5 x104

0.10

Litina

6920

1.03 x105

0.20

Další zákonitost, kterou můžeme stanovit ze zobecněného Hookova zákona je vztah pro relativní změnu objemu ∆V/V - stlačitelnost . Uvažme napjatost, kdy normálová

napětí mají stejnou velikost a jsou tlaková. V tomto případě platí : σxx = σyy = σzz = -p. Ostatní napětí, tzn. smyková napětí jsou rovna nule. Tomuto způsobu zatížení říkáme hydrostatický tlak, jak ještě uvidíme v kap.8. Dosadíme -li tato napětí do zobecněného Hookova zákona a sečteme pravé a levé strany rovnic, dostaneme : −3 p = 3λ (ε xx + ε yy + ε zz ) + 2 µ (ε xx + ε yy + ε zz ) = = (3λ + 2 µ )(ε xx + ε yy + ε zz ) = (3λ + 2 µ )

∆V V

Který můžeme upravit na : (6.9) E ∆V 2 , K = (λ + µ ) = V 3 3(1 − 2ν ) Pro izotropní elastické těleso je tlak úměrný relativní změně objemu (stlačitelnosti). K je p = −K

objemový modul pružnosti5. Je zřejmé, že látky, kde Poissonova konstanta nabývá hodnoty 0.5 jsou nestlačitelné. Pro větší hodnoty Poissonovy konstanty bychom dostali poněkud

5

Převrácená hodnota K se nazývá stlačitelností

108

podivný výsledek, že zvětšování tlaku vede k zvětšování objemu. Pro izotropní látky tak Poissonova konstanta leží mezi nulou a jednou polovinou. Je zřejmé, že pro izotropní pružné (elastické) těleso je vztah mezi složkami tenzoru deformace a složkami tenzoru napětí určen pomocí dvou materiálových konstant. Pro anizotropní pružná tělesa je tento počet vyšší a závislý na stupni symetrie. V případě dřeva existují tři vzájemně kolmé směry, ve kterých jsou jeho vlastnosti rozdílné. Jedná se o tzv. ortotropní symetrii. Jde o podélný -L směr, radiální - R směr a tangenciální -T směr. Ztotožněme L směr s osou x, R směr s osou y a T směr s osou z. Zobecněný Hookův zákon má pro tento materiál tvar :

σ xx = C11ε xx + C12 ε yy + C13ε zz σ yy = C21ε xx + C22 ε yy + C23ε zz σ zz = C31ε xx + C32 ε yy + C33ε zz σ xy = 2C66ε xy ,σ xz = 2C55ε xz , σ yz = 2C44 Kde Cij jsou materiálové konstanty, které nazýváme elastické koeficienty. Je zřejmé, že na rozdíl od izotropních materiálů, potřebujeme devět materiálových konstant. Místo těchto elastických koeficientů zavádíme moduly pružnosti v tahu (EL≡Exx,ER≡Eyy,ET≡Ezz), moduly pružnosti ve smyku (GLR≡Gxy,GLT≡Gxz,GRT≡Gyz) a Poissonovy konstanty :

ν LR ≡ ν xy = − ν ij = −

ε RR ε ε , ν LT ≡ ν xz = − zz , ν RT ≡ ν yz = − zz ε LL ε LL ε RR

ε jj .i , j = x , y , zresp. L, R , T , i ≠ j ε ii

Obdobným způsobem jako u izotropního tělesa dostaneme pro elastické koeficienty vztahy : 1 − ν RTν TR 1 − ν TLν TLT 1 − ν RLν LR , C22 = , C33 = E R ET S E L ET S ER ER S ν + ν RTν TL C44 = GRT , C55 = G LT , C66 = G LR , C12 = RL , E R ET S ν + ν RLν TR ν + ν RLν LT C13 = TL , C23 = RT E R ET S E L ER S 1 S= (1 − 2ν RLν TRν LT − ν LTν TL − ν RTν TR − ν LRν RL ) E L E R ET S aplikací těchto vztahů se podrobněji seznámíte v předmětu : Fyzikální a mechanické C11 =

vlastnosti dřeva.

109

7.TEPELNÉ POHYBY. Tepelný pohyb je zvláštním případem mechanického pohybu, který vykonávají základní částice látek, tzn. molekuly,atomy a jiné, elementární částice. Jedná se o pohyb, který není, na rozdíl od pohybu makroskopických objektů, přímo pozorovatelný. O jeho existenci se přesvědčujeme na základě makroskopických projevů, které tento pohyb vyvolává. Je pochopitelné, že tyto projevy jsou pro různé typy látek rozdílné. My si nejprve ukážeme některé makroskopické projevy tepelného pohybu bez uvážení vnitřní struktury látek, nebo pro látky, kde je popis pohybu částic poměrně jednoduchý, tzn. v plynech. 7.1. Projevy tepelného pohybu. Nejjednodušeji se o existenci tepelného pohybu přesvědčíme na základě subjektivních pocitů tepla nebo chladu při kontaktu našeho těla, nebo jeho částí s jiným prostředím. K čemu vlastně dochází, ponoříme -li ruku do vody teplejší jak je teplota našeho těla. Částice vody předávají kinetickou energii částicím ruky. Kinetická energie částic ruky se zvyšuje a tím vzniká pocit tepla. Tato představa nebyla možná v době, kdy neexistovaly poznatky o stavbě látek. V té době byla používána představa, že teplo je samostatná substance (fluidum). Vycházelo se z představy, že množství tepla v látce je dáno množstvím tohoto fluida a výměna tepla mezi látkami je vlastně výměnou tohoto fluida. To byl mj. důvod, proč v nauce o teple bylo používáno jiných jednotek , než např. v mechanice těles. Přestože tato představa byla pozdějším vývojem překonány, umožnila získat řadu dosud platných poznatků. Tato původní představa pak nebyla schopna vysvětlit další významný projev tepelného pohybu a to Brownův pohyb. Tento pohyb objevil anglický botanik Brown při studiu tvaru pylových části, které měl umístěny ve vodní kapce.Výsledky svých pozorování popsal následovně: " Zatím ,co jsem zkoumal tvar těchto částeček (zrnka pylu), pozoroval jsem, že mnohá z nich se významně pohybují. Tyto pohyby byly takové, že mne po četných pozorováních přesvědčily, že nepocházejí ani od proudění, ani od postupného vypařování kapaliny, nýbrž je nutno přisoudit je částečkám samým". Záznam Brownova pohybu je uveden na obr.7.1. Brownův pohyb byl interpretován až 80 let po jeho objevu, a to pomocí kinetické teorie látek. Tato teorie vysvětluje, že tento pohyb je vyvoláván nárazy molekul vidy na částici pylu. Je - li částice velmi hrubá, tzn. větších rozměrů, jsou nárazy rovnoměrné a částice se nepohybuje. Je - li částice dostatečně malá, mohou se projevit místní fluktuace v počtu nárazů, takže počet nárazů je v některém místě vyšší, než v ostatních bodech částice a ta se tak může pohybovat.Z elementární teorie rázů víme, že při nárazu částic dochází ke změnám pohybového stavu, které můžeme poměrně snadno stanovit. To ovšem platí pro ráz tuhých částic. Mezi částicemi látek působí obecně řada sil různé podstaty. 110

Obr.7.1. Brownův pohyb jemné částice cínu ve vodě. Pro řadu plynů však můžeme předpokládat, že jediným působením mezi jejich částicemi (atomy, či molekulami) jsou právě vzájemné nárazy těchto částic. V tomto případě mluvíme o ideálním plynu. V případě ideálního plynu pak můžeme interpretovat další veličiny spojené s tepelným pohybem částic. 7.2. Ideální plyn. Představme si plyn v nádobě, která je uzavřena pohyblivým pístem - viz obr.7.2.

Obr.7.2. Schéma molekul ideálního plynu v nádobě. Ze zkušenosti víme, že pro udržení pístu v určité poloze musíme na něho působit jistou silou F, což znamená, že plyn působí na píst stejně velkou silou opačného směru. Pro popis tohoto silové působení používáme pojmu tlak p, což je síla působící kolmo na jednotku plochy. Jde tedy o druh napětí a jednotkou tlaku je tak jeden pascal (Pa). Uvažme nyní, že plyn je ideální a pokusme se stanovit tento tlak.

111

7.2.1. Tlak ideálního plynu. Ideální plyn si představujeme jako soubor částic (molekul, nebo atomů) o stejné hmotnosti m a o průměrné rychlosti v , v =vx i + vy j + vz k. Na obr. 7.3. je znázorněna jedna molekula ideálního plynu v krychli o hraně L.

Obr.7.3. K odvození tlaku ideálního plynu. Celkový počet molekul v krychli je nNA, kde n je počet molů a NA je Avogadrova konstanta. Sledujme pohyb jedné molekuly a to ve směru osy x. před dopadem na stěnu má hybnost mvx a po odrazu má hybnost -mvx. Vlivem odrazu se hybnost změní ∆H = mvx - (-mvx) = 2mvx Molekula na obr.7.3. dopadá na stínovanou stěnu opakovaně. Čas mezi srážkami je ∆t = 2L/vx. Pro časovou změnu hybnosti tak platí : ∆H 2mv x mv x2 = = 2L ∆t L vx Z druhého pohybového zákona víme, že časová změna hybnosti je rovna výsledné

působící síle. Pro výpočet celkové síly, kterou molekuly působí na stěnu musíme vzít celkový počet částic nNA a uvážit, že částice se pohybují ve třech směrech, přičemž žádný z těchto směrů není privilegovaný. To znamená, že pro průměrnou rychlost, se kterou částice dopadá ve směru osy x platí :

1 vx = v 3 112

Po dosazení dostaneme pro sílu působící na stěnu o ploše L2 :

F=

1 nN A m 2 v 3 L

A pro tlak : (7.1)

F 1 nN A m 2 1 nN A m 2 v v = = L2 3 L3 3 V Kde V označuje objem krychle. Tento výraz můžeme upravit tím, že zavedeme střední p=

kinetickou energii částice Wk :

2 nN A 1 2 2 nN A Wk ( mv ) = 3 V 2 3 V Vidíme, že makroskopickou veličinu tlak můžeme, v případě ideálního plynu , stanovit na p=

základě pohybu částic (molekul) tohoto plynu. Další makroskopickou veličinou, kterou můžeme stanovit, je teplota. Teplotu zpravidla měříme na základě vlastností látek, které na této veličině závisí. Známou závislostí je např. závislost objemu,tlaku a elektrického odporu na teplotě. Tak např. nejznámější teplotní stupnice , stupnice Celsiova, vychází ze závislosti objemu látky (rtuť,líh) na teplotě, kdy pro teplotu ve °C platí : (7.2)

V − Vo x100° C V100 − Vo kde Vo je objem látky při bodu tuhnutí vody a V100 objem látky při varu vody. V je pak t=

objem látky při dané teplotě t ve °C. Tuto teplotu pak můžeme vyjádřit i pomocí závislosti tlaku plynu na teplotě : (7.3)

p − po x100° C p100 − po Takto zavedené teploty nemají přirozeně hlubšího fyzikálního významu. Pro pochopení t=

fyzikálního významu teploty uvažme experimentální poznatky, které vyjadřuje zákon Boyle - Mariotův. Podle tohoto zákona je součin tlaku a objemu ideálního plynu při konstantní teplotě konstantní, tzn. že platí : PV = konst. Porovnáme -li tento poznatek s výrazem pro tlak ideálního plynu, viz rov.(7.1) , pak je zřejmé, že konstantní teplotě odpovídá konstantní průměrná kinetická energie molekul, resp. Obecně částic daného plynu. Z tohoto hlediska můžeme teplotu látky vyjadřovat jako 113

střední kinetickou energii částic a její hodnotu udávat v joulech. Tyto jednotky by však, s ohledem na velmi malou hmotnost částic látky a tím i na malou velikost jejich kinetické energie, byly pro používání dosti nepraktické. Z tohoto důvodu zavádíme teplotu T pomocí vztahu : (7.4) 21 2 mv = 32 kde k je Boltzmanova konstanta, k = 6.02 kT =

2 Wk 3 x 1023 J/K. Tuto teplotu nazýváme pojmem

absolutní teplota a měříme ji ve stupních kelvina (K). Tato definice platí pro veškeré látky, nejen pro ideální plyn. Abychom zjistili vztah mezi absolutní teplotou a teplotou ve °C, uvažme vztah (7.3), který můžeme, stejně jak výraz pro teplotní závislost tlaku , přepsat ve tvaru . V = Vo (1 +

V100 − Vo t ) = Vo (1 + βt ) Vo

p100 − po t ) = po (1 + γt ) po kde β je koeficient objemové roztažnosti a γ je koeficient objemové rozpínavosti. Z p = po (1 +

výsledků pokusů Gay - Lusacových, které známe pod pojmem Gay - Lusacův zákon, pro ideální plyny platí : 1 27316 . Odtud tedy plyne, že má -li plyn teplotu - 273.16°C, je jeho tlak nulový a tedy střední

β =γ =

kinetická energie části je též nulová. V tomto případě tedy je i absolutní teplota nulová. Mezi teplotami ve stupních Celsia a Kelvina tak platí převodní vztah : T (K) = 273.16 + t(°C) Ze vztahu (7.3) pak můžeme stanovit průměrnou rychlost části látky , např. molekul, kterou nazýváme pojmem tepelná rychlost, vT :

3kT 2m Hodnoty této rychlosti pro některé plyny uvádí tab.7.1. vT =

Tabulka 7.1. Tepelná rychlost molekul některých plynů při teplotě T = 300 K (pokojová teplota). Plyn

Molární hmotnost

VT (m/s)

Vodík

2.02

1920

114

Helium

4.00

1370

Vodní páry

18.00

645

Dusík

28.00

517

Kyslík

32.00

483

CO2

44.00

412

SO2

64.10

342

Z dosud uvedených poznatků vyplývá, že veličiny tlak (p), objem (V) a teplota (T) ideálního plynu nejsou nezávislé. Pro jejich vzájemný vztah dostaneme z rov.(7.1) a (7.3) (7.4)

pV = nN A kT = nRT Kde jsme použili též dalšího vztahu pro Boltzmanovu konstantu, k=R/NA, kde R je univerzální plynová konstanta (stejná pro všechny ideální plyny) , R= 8.31 J.mol-1.K-1. Vztahu mezi tlakem, objemem a teplotou říkáme stavová rovnice látky. Rov. (7.4) je tak stavovou rovnicí ideálního plynu. Pro jiné látky pak tato rovnice mají podstatně komplikovanější tvar. Vidíme, že tepelné pohyby, resp. jejich makroskopické projevy, můžeme poměrně dobře interpretovat z hlediska vnitřní stavby látek. Přesto však se zabýváme tepelnými vlastnostmi na základě makroskopických veličin, kde tyto souvislosti přímo neuvažujeme. Tímto studiem se zabývá oblast fyziky zvaná termodynamika. S jejími zákony se , v určitém minimálním rozsahu1,seznámíme v další kapitole.

1

Podrobněji bude tento obor probírán v následujícím semestru v rámci samostatného předmětu.

115

8. ÚVOD DO TERMODYNAMIKY.

Základními termodynamickými veličinami jsou tlak p, objem V a teplota T. Jsou to tak zvané stavové veličiny, které určují termodynamický stav látky a jejich velikost nezávisí na cestě, kterou přejdeme z jednoho stavu do druhého.. Další stavovou veličinou je vnitřní energie U, což je celková energie všech částic látky. V případě ideálního plynu je vnitřní

energie součtem kinetických a potenciálních energií všech molekul látky. Další veličinou je teplo Q, což je ta část vnitřní energie, která souvisí se změnou teploty látky. Dáme -li do kontaktu dvě nestejně teplá tělesa, pozorujeme, že teplota tělesa chladnějšího roste a teplejšího klesá. Přitom dochází k přenosu energií částic mezi tělesy. Na rozdíl od vnitřní energie není teplo stavovou veličinou. Jednotkou tepla je joule. 8.1. Tepelná a měrná tepelná kapacita.

Tepelná kapacita je množství tepla, které musíme dodat látce, aby se její teplota zvýšila o jeden stupeň kelvina. Její definici můžeme napsat ve tvaru

C=

dQ ( J / K) dT

Pro stejnou látku je tepelná kapacita úměrná množství látky. Z tohoto důvodu je pro tepelné vlastnosti látek vhodnější měrná tepelná kapacita, což je množství tepla , které musíme dodat jednotkovému množství látky, aby se její teplota zvýšila o jeden K. Beremeli jako jednotkové množství jeden mol, mluvíme o molárních tepelných kapacitách. Pro pevné i kapalné látky pak zpravidla vztahujeme tepelnou kapacitu na jeden kg. Příklady hodnot měrné tepelné kapacity uvádí tab.8.1. Tabulka 8.1. Měrné tepelné kapacity některých látek při pokojové teplotě. Látka

Měrná tepelná kapacita c (J/kgK)

Olovo

128

Wolfram

134

Stříbro

236

Měď

386

Hliník

900

Mosaz

380

Žula

790

Sklo

840

Led (-10°C)

2220

Rtuť

140

Etylalkohol

2430 116

Mořská voda

3900

Voda

4190

Měrná tepelná kapacita u většiny látek závisí na teplotě. Na obr.8.1. jsou uvedeny tyto závislosti pro některé látky.

Obr.8.1. Závislost měrné tepelné kapacity při stálém tlaku na teplotě. U ideálních plynů je měrná tepelná kapacita na teplotě nezávislá. 8.2.Práce.

Pojem práce v termodynamice si nejlépe představíme na příkladu plynu uzavřeného, viz obr.8.2., v nádobě s pohyblivým pístem. Stěny válce jsou tepelně izolovány, takže teplo se může vyměňovat pouze dnem nádoby.Výměna tepla může být regulována - viz ovládací knoflík na obr.8.2 Tlak plynu je kompenzován olověnými kuličkami. Na počátku má tento systém hodnoty stavových veličin pi,Vi,Ti. Tento systém chceme převést do stavu, kdy dané veličiny budou mít hodnoty pf,Vf a Tf. Operace zaměřená na popsanou změnu stavových parametrů se nazývá termodynamický proces. Jeho průběh je znázorněn na obr.8.3 v diagramu tlak - objem, v tzv. p-V diagramu. Předpokládejme, že odebereme nepatrnou část olověných kuliček, takže tlak se nezmění. Píst se posune o velice malou dráhu ds. Pro přírůstek vykonané práce platí : dA = Fds = (pA).ds =p(A.ds) =p.dV

117

Obr.8.2 Pro celkovou práci, kdy dojde ke konečnému posunutí pístu pak platí .

A = ∫ dA =

Vf

∫ pdV

Vi

Tento integrál představuje plochu znázorněnou na obr.8.3. Je zřejmé, že velikost práce závisí na tom, jakým způsobem se mění tlak plynu při daném termodynamickém procesu. Vztah pro práci platí pro každou látku, nejen pro plyn. Při vyjádření práce platí znaménková konvence (úmluva), podle které je práce tělesem vykonaná (při jeho expanzi) záporná a práce tělesu přivedená (při kompresi) kladná. 118

Pro teplo pak platí, že teplo tělesem přijaté je kladné a vydané záporné.

Obr.8.3 Pro přírůstek práce platí : (8.1)

dA = - pdV

Z dosavadních poznatků je tak zřejmé, že změna vnitřní energie je dána změnou práce a změnou tepla, což můžeme vyjádřit vztahem : (8.2)

dU = dQ + dA

Tuto bilanci, která v podstatě vyjadřuje zachování energie, nazýváme pojmem : 1.věta termodynamická (prvý zákon termodynamiky). Tento vztah platí obecně pro veškeré

látky. V případě ideálního plynu však můžeme získat podrobnější vztahy. 8.3.Termodynamické procesy v ideálním plynu.

Pro ideální plyn platí, mimo prvou větu termodynamickou, stavová rovnice PV = nRT , která má velmi jednoduchý tvar. Uvažujme nyní základní termodynamické procesy v ideálním plynu. Nejprve uvažme proces, při kterém se objem plynu nemění. Jde o izochorický proces. U tohoto procesu je dV=0, tzn, že změna vnitřní energie je rovna

119

změně tepla. U tohoto procesu se mění teplota a tlak - viz obr.8.4. Ze stavové rovnice bezprostředně vyplývá vztah pro tlak a teplotu v počátečním a konečném stavu2 :

pf pi

=

Tf Ti

Při tomto procesu se práce nevykonává. Pro měrnou tepelnou kapacitu při konstantním objemu,cv, platí : 1 dQ 1 dU = m dT m dT Kde m je hmotnost látky. Tento vztah totiž obecně platí pro veškeré látky. Pro plyny je

cv =

Obr.8.4. Průběh izochorického děje. vhodnější zavést molární tepelnou kapacitu, kterou budeme značit symbolem cvm.

2

Počáteční stav budeme označovat indexem i a konečný stav indexem f.

120

Dalším termodynamickým procesem je děj izobarický, kdy je tlak konstantní. Ze stavové rovnice ideálního plynu dostaneme :

Vf

=

Tf

Vi Ti Diferencováním stavové rovnice (pro jeden mol, tzn.n =1) dostaneme : pdV + Vdp = RdT =pdV + 0 ⇒ pdV = RdT Po dosazení do prvé věty termodynamické : dU = dQ + dA =cpmdT + (-pdV)= cpmdT - RdT a protože du = cvmdT, platí pro měrnou molární kapacitu při stálém tlaku : cpm = cvm + R Tomuto vztahu říkáme Meyerův vztah. Obecně pro veškeré látky je měrná tepelná

kapacita při stálém tlaku větší než měrná tepelná kapacita při stálém objemu. Práce při izobarickém procesu je dána vztahem : A = - p(Vf - Vi) Pro izobarickou změnu můžeme prvý zákon termodynamiky napsat ve tvaru : dU = dQ + dA ⇒dQ = dU + pdV + Vdp = d(U + pV) kde H = U + pV je entalpie, která je stavovou veličinou. Procesy, které probíhají při konstantní teplotě nazýváme izotermické. Stavová rovnice ideálního plynu má tvar pV = konst. Odtud plyne : pf pi

=

Vi Vf

Prvý zákon termodynamiky má tvar : dU= cvmdT = 0 =dQ + dA, tzn. 0 = dQ = p.dV Při izotermickém ději se veškeré dodané teplo promění ve vykonanou práci. V diagramu tlak - objem je grafem izotermického děje hyperbola. - viz obr.8.5. Pro přírůstek práce platí

dA = − pdV = − nRT

dV V

: A pro práci při přechodu z výchozího do konečného stavu:

121

Vf

Vf

Vf dV = − nRT ln , resp. Vi V Vi

A = − ∫ pdV = − nRT ∫ Vi

A = nRT ln

pf Vi = nRT ln Vf pi

Měrná tepelná kapacita pak, s ohledem na dT=0, dosahuje nekonečně vysokých hodnot. Dalším významným procesem je děj adiabatický, kdy mezi látkou a okolím nedochází k výměně tepla, tzn. dQ = 0. Jde např. o procesy, které probíhají v dokonale izolovaných nádobách.

Obr.8.5 Schéma izoterem a adiabat. Z prvé věty termodynamické pak vyplývá, že přírůstek práce je roven přírůstku vnitřní energie, tzn.: dU = dA Tento vztah můžeme vyjádřit jako : cvmdT = - pdV diferencováním stavové rovnice pro ideální plyn (pro jeden mol) dostaneme: pdV + Vdp = RdT

122

Následnými úpravami dostaneme : 1 1 ( pdV + Vdp), dT = ( pdV + Vdp), cvm ( pdV + Vdp) = − RpdV R R c pm dV dp pV + =0 c pm pdV + cvmVdp = 0, (c pm pdV + cvmVdp) = 0 ⇒ pV cvm V p dT =

c pm dV c pm dp +∫ = konst , ln(V ) + ln( p ) = konst ∫ cvm V p cvm pV κ = konst.,κ =

c pm

cvm kde κ je Poissonova konstanta. Pomocí stavové rovnice ideálního plynu můžeme dostat

další vztahy pro adiabatický proces : TV κ −1 = konst ., T κ p −κ −1 = konst

V p - V diagramu je grafem adiabatického procesu hyperbola, která je, viz obr.8.5, strmější, než v případě izotermického procesu. Pro práci při adiabatickém ději platí : Vf

Vf

1− κ ⎫⎪ dV piVi ⎧⎪ V f = ( ⎨ 1−κ ) − 1⎬ κ κ − 1 ⎪⎩ Vi ⎪⎭ Vi V

A = − ∫ pdV = −konst. ∫ Vi

Speciálním případem adiabatického děje je expanze ideálního plynu do vakua (volná expanze) - viz obr.8.6.

Obr.8.6

123

V tomto případě plyn nevykonává práci a dU = 0, tzn. při tomto ději se vnitřní energie nemění. Vnitřní energie se dále nemění při cyklickém procesu, což je soubor dějů, při kterých se vzájemně vyměňuje práce a teplo tak, že látka se dostane do původního stavu. V tomto případě je dQ = - dA. Jedná se o tzv. uzavřený cyklus. Přehled některých speciálních případů vyplývajících z prvého zákona termodynamiky je uveden v tab.8.2. Tabulka 8.2. přehled některých významných procesů Proces

Podmínka

Důsledek

Adiabatický

dQ = 0

dU = dA

Izochorický

dV = 0

dU = dQ

Volná expanze

dQ = 0, dA =0

U = konst.

Uzavřený cykl

dU = 0

dQ = - dA

8.4. Druhý zákon termodynamiky.

V dosavadních úvahách jsme se zabývali vztahy mezi prací, teplem a vnitřní energií . Z těchto úvah vyplývalo, že v řadě případů můžeme teplo převádět na mechanickou práci. Víme však, že existuje řada případů, kdy to možné není. Vezmeme -li např. rotující součást, tak po vypnutí pohonu se vlivem tření a odporu prostředí za určitý čas zastaví. Práce se promění v teplo, což se např. projeví ohřevem ložisek. Kdybychom však rotační součásti, která je v klidu dodali nějaké množství tepla, v žádném případě nedojde k jejímu pohybu. Jisté procesy tak přeměnu tepla na mechanickou práci neumožňují. To znamená, že existují určité omezující podmínky. Tato omezení jsou pak obsahem druhého zákona termodynamiky, která má několik , vzájemně ekvivalentních , formulací. -

Planckova formulace. Není možné sestrojit

trvale pracující tepelný stroj, který by nedělal nic jiného, než že by odebíral teplo ze zásobníku a trvale konal mechanickou práci.

124

-

Claussiova formulace. Při styku dvou těles s různou teplotou přechází teplo

samovolně z tělesa teplejšího na těleso chladnější. Představme si např. plyn ve válci s pohyblivým Obr.8.7 pístem - viz obr.8.7.

Postupným odstraňováním kuliček se píst začne pohybovat při

konstantní teplotě při současné absorbci tepla Q ze zásobníku. Děj probíhá po izotermě viz det.b na obrázku- a vykonává se práce, A = -Q. Aby však tento stroj konal neustále práci, musí se po čase vrátit do výchozí polohy. K tomu musíme buď plynu odebrat určité teplo, nebo stlačit píst. V obou případech musíme dodat jistou práci a přeměna tepla v práci tak není dokonalá. Činnost tepelného stroje probíhá způsobem naznačeným na obr.8.8. Stroj odebere z tepelného zásobníku teplo QH při teplotě TH, vykoná práci A a část tepla QC odevzdá při teplotě TC do chladiče. Pro vykonanou práci platí : A = QH - QC, a pro účinnost : Q − QC A = H QH QH Je pochopitelné , že ideálním cílem je

η=

tepelný stroj s účinností 1, resp. 100%. Problematikou účinnosti

odvození

tepelného

stroje

maximální se

prvně

zabýval vynikající francouzský inženýr Sadi Carnot. Carnot navrhl ideální tepelný stroj, který pracuje s ideálním plynem. Veškeré procesy jsou natolik pomalé,že Obr.8.8 je lze pokládat za vratné.Je zcela vyloučeno tření a tepelné ztráty. Celý cyklus tohoto tepelného stroje, tzv.Carnotova cyklu, se skládá ze dvou izoterem a dvou adiabat . Jeho průběh je znázorněn na obr.8.9. Při izotermické expanzi při teplotě TH stroj odebere ze zásobníku tepla teplo QH. Následuje adiabatická expanze a dále izotermická komprese při teplotě TC, při které se do chladiče odvede teplo QC a plyn se adiabaticky stlačí do 125

QH = nRTH ln

V Vb , QC = nRTC ln c Vd Va

výchozího stavu. Pro jednotlivé větve Carnotova cyklu platí vztahy odvozené v předcházející kapitole. Jde o vztahy pro odebrané a odevzdané teplo : A vztahy vyplývající z rovnic pro adiabatický děj : Z těchto posledních rovnic bezprostředně plyne THVbκ −1 = TCVcκ −1 , THVaκ −1 = TCVdκ −1 Q Vb Vc T = ⇒ H = H Va Vd QC TC Odtud pro účinnost Carnotova cyklu dostaneme : Q − QC TH − TC A T = H = = 1− C QH QH TH TH Dá se ukázat, že žádný reálný tepelný stroj nemá účinnost větší než je účinnost Carnotova

η=

cyklu, který pracuje mezi stejnými teplotami.

126

Obr.8.9. Schéma Carnotova cyklu. Účinnost Carnotova cyklu není omezena volbou druhu ideálního plynu. Ze vztahu pro účinnost též plyne, že tato roste s teplotou při které se teplo odebírá a zlepšuje se při poklesu teploty při které se teplo odevzdává do chladiče. Druhý zákon termodynamiky, který nám ukazuje možnosti přeměny tepla v mechanickou práci, je spojen se stavovou veličinou zvanou entropie, S. Pro její zavedení uvažme :

QH TH Q Q = ⇒ H − C = 0, resp. QC TC TH TC QH QC + =0 TH TC Kde jsme využili znaménkové konvence. Veličinu Q/T, tzn. poměr tepla a teploty, při které se tepli odebírá, nebo odevzdává, nazýváme redukovaným teplem. Použijme nyní tento postup na libovolný cyklický děj, který se skládá výhradně z vratných dějů. Schéma dQ =0 T takovéhoto procesu je znázorněna na obr.8.10 spolu s průběhem izoterem.

∫

Obr.8.10 Tento kruhový cyklus si můžeme představit jako soubor nekonečně mnoha Carnotových cyklů - viz obr.8.10b, kde máme veličinu dQ/T. "Sečteme -li" tyto veličiny podél celého cyklu, pak dostaneme: Poměr teplo versus teplota je entropie S a platí :

dQ dS = 127 T

Entropie je stavová veličina. Podívejme se, jak se mění entropie v případě nevratných dějů. Expanze plynu. Uvažme případ expanze ideálního plynu při izotermickém procesu, kdy

plyn expanduje z objemu Vi na objem Vf. Pro změnu entropie pak platí : Vf

Vf

V

f V 1 dQ 1 = ∫ dQ = Q = nRT ln f S f − Si = ∫ dS = ∫ T Vi T Vi Vi Vi T

Při tomto nevratném procesu tedy entropie roste. Dalším příkladem je nevratný přenos tepla. Představme si dvě tělesa ze stejného materiálu jejíž teploty se nepatrně liší. Dáme -li tělesa do kontaktu - viz obr.8.11 - dojde k přenosu tepla z tělesa teplejšího na těleso chladnější a teploty obou těles se po určité době vyrovnají na hodnotu T.

z z T

dQ mcdT T ∆S H = = = mc ln T T + ∆T T T + ∆T

Obr.8.11 Pro změnu entropie teplejšího tělesa platí :

∆S H = ∫

T

dQ mcdT T = ∫ = mc ln T T T + ∆T T + ∆T

Kde c je měrná tepelná kapacita a m hmotnost tělesa. Pro změnu entropie chladnějšího tělesa platí : T

dQ mcdT T ∆SC = ∫ = ∫ = mc ln T T T − ∆T T − ∆T Pro celkovou změnu entropie pak dostaneme :

128

S f − Si = ∆S H + ∆Si = mc ln S f − Si = mc ln

T T + mc ln , T + ∆T T − ∆T

T2 T 2 − ∆T 2

Entropie opět roste. Celkově je pak možné ukázat, že při jakémkoliv termodynamickém procesu při přechodu od jednoho rovnovážného do druhého rovnovážného stavu entropie systému a okolí zůstává buď konstantní, nebo roste. O dalších problémech termodynamiky si povíme ve speciálním předmětu.

129

9.MECHANIKA TEKUTIN. Pod pojmem tekutina rozumíme kapaliny a plyny. Tyto látky se od látek pevných liší značnou pohyblivostí jejich částic. Tekutiny nemají výrazného tvaru a jsou snadno dělitelné. S ohledem na tyto skutečnosti můžeme soudit, že kohezní síly jsou uvnitř tekutin mnohem menší než v pevných tělesech. Z toho dále vyplývá, že tekutiny kladou poměrně malý odpor silám působícím ve směru normály k ploše, která tekutinu omezuje. Z tohoto důvodu je vhodnější mluvit spíše o tlaku, než o napětí. Odpor tekutiny proti změně jejího tvaru nazýváme viskozitou .Tato vlastnost se uplatňuje pouze tehdy, když tekutina není v rovnováze. Viskózní síly zmenšují rozdíl rychlostí (vzájemných rychlostí) v proudící tekutině a připomínají tak síly tření. Proto též hovoříme o vnitřním tření . Pro některé tekutiny se viskózní síly projevují jen velmi nevýrazně a můžeme je zanedbat. Jestliže tyto síly zanedbáme, mluvíme o ideální (dokonalé) tekutině. Rozdíly mezi kapalinami a plyny se nejvýrazněji projevují v jejich stlačitelnosti a rozpínavosti. Plyny jsou výrazně stlačitelné, zatímco kapaliny se působením vnějších sil stlačují jen nepatrně. Za normálních tlaků považujeme kapaliny obvykle za nestlačitelné. Výraznější stlačitelnost kapalin pozorujeme jen při působení vysokých tlaků. Pokud jde o rozpínavost , snaží se plyny vyplnit celý prostor, do kterého je tekutina uzavřena. To se např. projevuje tlakem plynu na stěny uzavřené nádoby. Kapaliny, pokud nevyplňují celý objem nádoby, vytváří volnou hladinu1 . Při popisu mechanického chování tekutin budeme nejprve sledovat případ, kdy tekutina je v rovnováze. Tento případ je označován pojmem hydrostatika. 9.1. Hydrostatika. Jak jsme již uvedli, při rovnováze tekutin se neuplatňují viskózní síly, takže závěry hydrostatiky platí jak pro ideální , tak pro viskózní tekutiny. V daném případě v tekutině nepůsobí smykové síly a tudíž ani smyková napětí. Základní zákon hydrostatiky tedy je, že napětí jsou vždy kolmé na libovolnou plochu uvnitř tekutiny. Jde tedy o normálová napětí, pro která používáme pojmu tlak p. V tekutině, která je v rovnováze, je síla působící na jednotku plochy kolmá na tuto plochu a má stejnou velikost pro libovolnou orientaci plochy - obr.9.1.Tlak v tekutině je v každém bodě obecně jiný, tzn. tlak p je obecně funkcí souřadnic x,y,z. Uvažme nyní rovnice rovnováhy tekutiny, na kterou vedle tlaku , působí další síly (síla tíže, odstředivá síla apod.). Tuto sílu, F, vztáhneme na jednotku hmotnosti tekutiny. Daná síla je obecně závislá na souřadnicích : F = Fx (x,y,z) i + Fy (x,y,z) j + Fz (x,y,z) k

130

Obr.9.1. Schéma silového působení v ideální tekutině. 9.1.1. Rovnice rovnováhy tekutiny Uvažme objem tekutiny , viz obr.9.2, kde působí tlak a síla F.

Obr.9.2. Schéma objemu tekutiny . Zajímá nás, jakou výslednou silou působí na tento objem tlak. Uvažme nejprve směr osy x, kde výsledná tlaková síla je :

1

Pod pojmem hladiny tekutiny rozumíme plochu, na které je hodnota určité veličiny, v daném případě tlaku , konstantní.

131

( p( x) − p( x + ∆x))∆y∆z = ( p( x) − ( p( x) + =−

∂p ∆x∆y∆z ∂x

∂p ∆x))∆y∆z = ∂x

Při úpravě tohoto vztahu jsme použili Taylorova rozvoje. Protože tlak závisí na všech souřadnicích, musíme místo obyčejné derivace použít derivaci parciální. Další síla, která působí na daný objem tekutiny ve směru osy x je dána vztahem : ρ∆x∆y∆zFx Podmínka rovnováhy ve směru osy x tak má tvar : (9.1)

∂p ∆x∆y∆z + ρFx ∆x∆y∆z = 0, resp. ∂x ∂p − + ρFx = 0 ∂x −

Obdobný postup použijeme pro ostatní směry, tzn. pro směry os y a z a dostaneme základní rovnice hydrostatiky : (9.2)

∂p + ρFx = 0 ∂x ∂p − + ρFy = 0 ∂y ∂p − + ρFz = 0 ∂z −

Uvažme levé strany rovnic (9.2). Druhé členy jsou složky vektoru a tudíž i prvé členy musí být složkami vektoru. Tlak je přitom skalární funkcí. Vidíme tedy, že po určité operaci jsme přiřadili skalární funkci vektorovou funkci 2. Tuto operaci nazýváme pojmem gradient a píšeme : grad ( p) =

∂p r ∂p v ∂p r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

(9.3)

2

Tuto operaci je pochopitelně možné použít pro libovolnou skalární funkci, nejen pro tlak.

132

Pomocí této operace můžeme základní rovnice hydrostatiky shrnout do jedné vektorové rovnice : (9.4) r − grad ( p) + ρF = 0 9.1.2. Některé aplikace základní rovnice hydrostatiky. Nestlačitelná tekutina (kapalina) v silovém poli zemské tíže. V tomto silovém poli

působí na jednotku hmotnosti síla, která je číselně rovna tíhovému zrychlení. Orientujme si osu z kolmo k zemskému povrchu. V tomto případě mají složky síly F hodnoty : Fx = 0, Fy =0, Fz = - g Z rovnic (9.2) vyplývá, že tlak nezávisí na souřadnicích x a y, tzn. hladiny konstantního tlaku jsou roviny rovnoběžné s povrchem. Tlak p tak závisí pouze na výšce nad zemským povrchem, tzn. na souřadnici z. Třetí z rovnic (9.2) má pak tvar :

−

dp = ρg dz

Pravá strana rovnice je konstantní a její integrace vede k závislosti tlaku na výšce z ve tvaru : p = - ρgz + C Kde C je integrační konstanta. Uvažme, že kapalina je v nádobě a její volná hladina je ve výšce H. Na tuto hladinu působí atmosférický tlak pa. Proto tedy musí platit : pa = -ρgH + C Integrační konstanta má tak hodnotu C = pa + ρgH a pro tlak platí p = -ρgH + pa + ρgH = pa + ρg(H - z) Veličina H - z označuje hloubku pod hladinou kapaliny h. Pro tlak p tak platí : (9.5)

p = pa + ρgh

Tlak v kapalině ( obecně v nestlačitelné tekutině) tak lineárně narůstá s hloubkou pod hladinou kapaliny. Síla na rovinnou stěnu ponořenou v kapalině. Nechť v kapalině o hustotě ρ je ponořena

obdélníková deska jejíž rovina je kolmá k hladině - viz obr.9.3- a která je ponořena do hloubky b. Na element plochy v hloubce z pod hladinou působí síla o velikosti : df =(pa+ ρgz)adz

133

Celkovou sílu stanovíme tak, že tyto síly působící na elementární plošku adz sečteme ( tzn.

zz b

b

1 df = ( pa + ρgz )adz = pa ab + ρgab 2 2 0 0

Obr.9.3. Schéma rovinné desky ponořené do kapaliny. integrujeme). Po integraci dostaneme : b

f = ∫ ( pa + ρgazdz ) = pa ρgab + 0

1 ρgab 2 2

Prvý člen je zpravidla výrazně menší než druhý a proto pro sílu na rovinnou desku ponořenou kolmo k hladině do hloubky b zpravidla píšeme : (9.6)

f =

1 ρgab 2 2

Je pochopitelné, že síla působící na desku ponořenou tak, že kapalina působí z obou stran je nulová. Vztah (9.6) udává sílu na desku, která je z kapalinou v kontaktu pouze na jedné straně. Jedním z důsledků rovnice (9.6) je např. profil přehradní hráze, který musí být u dna širší, než u koruny hráze. Příklad tvaru profilu hráze uvádí obr.9.4. Pro rovinnou desku, která s hladinou svírá úhel α - viz obr.9.5 -snadno dostaneme :

f = 134

1 ρgab 2 sin(α ) 2

Obr.9.4. Schéma profilu hráze přehrady.

Obr.9.5. Schéma šikmo ponořené rovinné desky. Archimedův zákon. Představme si kvádr ponořený v kapalině (nestlačitelné tekutině)o

hustotě ρ podle schéma na obr.9.6. Výsledná síla způsobená tlakem, která působí na toto těleso je :

f 1 − f 2 = ρgS (h1 − h2 ) = ρgV

135

Obr.9.6. Tlakové síly působící na kvádr ponořený v kapalině. Je zřejmé, že tato síla, kterou nazýváme pojmem vztlaková síla, je rovna součinu hmotnosti kapaliny vytlačené kvádrem a tíhového zrychlení. Jde tedy o tíhu kapaliny tělesem vytlačené. Tato síla působí proti směru síly tíže působící na těleso. Dané tvrzení je možné, pomocí poměrně komplikovaných matematických postupů, rozšířit na těleso libovolného tvaru a rovněž na tělesa v plynném prostředí. Obecně pak platí tvrzení, které známe pod pojmem Archimedův zákon: Těleso ponořené do tekutiny je nadlehčováno silou, která se rovná tíze tekutiny tělesem vytlačené.

Uvažme nyní pohyb tělesa v tekutině, kdy uvažujeme pouze vztlakovou sílu a sílu tíže. Tzn., že zanedbáváme síly pasivního odporu. Představme si těleso v kapalině, např. ve vodě o hustotě ρk. Nechť objem tělesa je V a jeho hustota ρt. Hmotnost tělesa je m = ρtV a jeho tíže je mg = ρtVg. Tíha vytlačené kapaliny je Fb =ρkVg. Výsledná síla na těleso je

ρ tVg − ρ kVg

136

Tato síla je rovna, podle 2.pohybového zákona, rovna součinu hmotnosti tělesa m a jeho zrychlení a. Z dané rovnosti dostaneme pro zrychlení tělesa v kapalině: a = g−

ρk ρ g = (1 − k ) g ρt ρt

Je zřejmé, že je -li hustota tělesa rovna hustotě kapaliny , je zrychlení nulové a těleso je v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Říkáme, že těleso se v kapalině vznáší. Je -l i hustota tělesa větší jak hustota kapaliny, těleso v kapalině klesá s určitým zrychlením. Tělesa, která mají menší hustotu jak kapalina se v kapalině neponoří a jejich část zůstává nad hladinou. Říkáme, že těleso plave nad hladinou. Takovéto těleso je schematicky znázorněno na obr. 9.7. Na těleso působí síla tíže G v jeho těžišti a vztlaková síla H v těžišti ponořené části. Pokud tyto síly nemají tvořit silovou dvojici musí ležet na společné přímce, kterou nazýváme osou plování. Pro objem ponořené části tělesa Vp dostaneme z rovnosti vztlakové a tíhové síly vztah: Vp =

ρt V ρk Obr.9.7. Schéma plovoucího tělesa

Dalším pojmem je rovina plování , což je rovina proložená povrchem kapaliny. Za rovinu plování považujeme každou rovinu, která z tělesa vytíná objem Vp. Obálka všech rovin plování je plocha plování. Rovnováha plovoucího tělesa může být stálá (stabilní), vratká (nestabilní) a volná (indiferentní). To záleží na tom, jak se těleso chová po vychýlení z rovnovážné polohy, kdy síla tíže a vztlaková síla již neleží na společné nositelce. Tyto síly tak dvoří silovou dvojici. Moment této silové dvojice pak může těleso buď vracet do rovnovážné polohy (stabilní rovnováha), či dále vychylovat (nestabilní rovnováha). Oba tyto případy jsou znázorněny na obr.9.8, kde G označuje polohu těžiště tělesa a Ho polohu těžiště ponořené části.Pro malou výchylku se Ho změní na H a vztlaková síla protne osu plování v bodě M, který nazýváme metacentrem. Vzdálenost metacentra od těžiště tělesa je metacentrická výška. Z obr.9.8 je zřejmé, že rovnováha je stabilní, pokud metacentrum leží nad těžištěm.

137

Obr.9.8. Schéma stabilní (levá část) a nestabilní (pravá část) rovnováhy. Nestlačitelná tekutina v neinerciální soustavě. Tento případ zahrnuje pohyb nádoby s

tekutinou, kdy nádoba se pohybuje buď přímočarým zrychleným pohybem, nebo po křivce. Uvažme nejprve případ znázorněný na obr.9.9, kdy je kapalina umístěna v nádobě , která se pohybuje po přímce s konstantním zrychlením a.

sin(α ) =

a g

Obr.9.9. Schéma nádoby s kapalinou, která se pohybuje přímočarým, rovnoměrně zrychleným pohybem. Na částice kapaliny působí jednak síla tíže G = mg a jednak setrvačná síla p = - ma. Hladina kapaliny je pak plocha, která je kolmá na výslednici sil působících na částice kapaliny. Z obr.9.9 je zřejmé, že hladina je rovinná plocha, která svírá s původní hladinou úhel α. Pro tento úhel platí : tg (α ) =

138

a g

Pokud bude zrychlení směřovat proti směru rychlosti (zpomalený pohyb), pak má úhel α opačné znaménko a dojde k zvýšení hladiny u přední části nádoby. Řezem hladiny je přímka jejíž směrnicí je tg(α). Kapalina v rotující nádobě. Uvažme případ znázorněný na obr.9.10, kdy kapalina je

umístěna v nádobě, která rotuje s úhlovou rychlostí ω.

r = x2 + y2

Obr.9.10. Schéma kapaliny v rotující nádobě. Na částici kapaliny působí jednak tíhová síla o velikosti G = mg a jednak odstředivá síla F = mrω2, kde r je vzdálenost částice kapaliny od osy rotace:

r = x2 + y2

139

Na obr.9.10 je znázorněn osový řez hladinou kapaliny v rotující nádobě. Tento řez je popsán závislostí souřadnice z na r, tzn. z = z(r). Pro úhel α , který svírá tečna ke grafu této funkce s osou r platí :

mrω 2 rω 2 = mg g Protože tangenta tohoto úhlu je rovna derivaci funkce z podle r, můžeme provézt integraci tg (α ) =

tg (α ) =

dz rω 2 = dr g

⇒ z=

r 2ω 2 +C 2g

kde C je integrační konstanta. Je zřejmé, že volná hladina vytvořená kapalinou v rotující nádobě je plocha vytvořená rotací paraboly, tzn. paraboloid. Význam konstanty je zřejmý. Pro bod na ose nádoby, kde x=0,y=0, je C rovno výšce h, tzn, výšce vrcholu paraboloidu nade dnem nádoby. Pro její stanovení vyjdeme z úvahy, že objem kapaliny v nerotující nádobě, V= πR2H, je roven objemu kapaliny v rotující nádobě. Pro objem kapaliny v rotující nádobě dostaneme : V =

2 ∫∫ zdS = ∫ zdxdy = πR h + S

S

πω 2 R 4 2g

Porovnání obou objemů vede ke vztahu pro h : h= H−

ω 2 R2 4g

Hladina kapaliny v rotující nádobě je tak popsána rovnicí : (9.7) z=

ω2 2g

(x + y ) + H − 2

2

ω 2 R2 4g

Je zřejmé, že pro určitou úhlovou rychlost se vrchol paraboloidu může dotknout dna nádoby, resp. může ležet pode dnem nádoby. Stlačitelné tekutiny v zemském tíhovém poli. Stejně jak v případě nestlačitelné tekutiny

uvažme souřadnicový systém x,y,z, kde osa z je kolmá k zemskému povrchu. Tlak tak opět

140

nezávisí na souřadnicích x a y a hladiny tlaku jsou tak roviny rovnoběžné se zemským povrchem. Rovnice hydrostatiky (9.2) se tak redukují na dp = − ρg dz

Integrace této rovnice však vyžaduje znalost závislosti hustoty tekutiny na tlaku. Tuto závislost získáme např. pro ideální plyn, kde platí stavová rovnice pV = nRT (a je počet molů a R je univerzální plynová konstanta. Hustota je obecně dána jako podíl hmotnosti m a objemu. Výše uvedená rovnice hydrostatiky má pak tvar :

ρ= p

m

ρ

m m ⇒V = V ρ = nRT , ρ = p

dp M = −p n dz RT

m M ,ρ = p n nRT RT

kde Mm je molární hmotnost (hmotnost dělená počtem molů) . Pro integraci této rovnice je třeba uvážit jaký děj v ideálním plynu probíhá. Nejjednodušší je děj izotermický, tzn. předpokládáme, že teplota ideálního plynu je konstantní. Pak integrace dané rovnice vede ke vztahu : ln( p) = −

Mm z+C RT

kde integrační konstantu C určíme z podmínky, že tlak na zemském povrchu (z=0) má hodnotu po. Po úpravě pak dostaneme : p = po .exp( − Je zřejmé, že tlak

Mm z) RT

s výškou klesá podle exponenciální závislosti. Získaný vztah,

tzv.barometrická formule, platí pro předpoklad konstantní teploty. Jde o tzv. izotermický model atmosféry. Ve skutečnosti však teplota atmosféry klesá s výškou ( až do určité velikosti). To znamená, že daný model není příliš vyhovující. V dalším semestru se seznámíme s jinými, podstatně věrohodnějšími modely. Je třeba poznamenat, že základní rovnice hydrostatiky umožňují četné další aplikace, se kterými se seznámíme ve cvičeních. Nyní obrátíme pozornost na dynamiku tekutin. Pro

141

tento obor se používá, s ohledem na relativně nejvíce sledovanou tekutinu, pojmu hydrodynamika. V prvé fázi se budeme zabývat hydrodynamikou ideální tekutiny. 9.2. Hydrodynamika ideální tekutiny.

Rovnice hydrodynamiky získáme, pokud na pravé straně základních rovnic hydrostatiky - rov.(9.2) - dosadíme člen rovnající se součinu hmotnosti a zrychlení. Protože rov.(9.2) se vztahují k jednotce objemu, je hmotnost dána hustotou tekutiny ρ. Proto se nejprve musíme zabývat stanovením zrychlení. 9.2.1.Zrychlení tekutiny.

Známe -li pole rychlostí tekutiny v = v (x,y,z,t), pak se zdá, že stanovení zrychlení je velmi snadné, protože se zdá že toto zrychlení je dáno derivací (pochopitelně parciální derivací) rychlosti podle času. Tato veličina však popisuje změnu rychlosti v pevném bodě prostoru. My však potřebujeme vědět, jak rychle se mění rychlost určité části tekutiny. Představme si, že jistou částici tekutiny, např. vody obarvíme a sledujeme její pohyb. Na obr.9.11 je znázorněna dráha částice tekutiny.

Obr.9.11. Schéma dráhy částice. Za jistý časový okamžik ∆t se částice přemístí z vodu P1 do bodu P2. Uvážíme -li vektor rychlosti částice tekutiny : v = vx (x,y,z,t) i + vy (x,y,z,t) j + vz (x,y,z,t) k

pak ve směru souřadnicových os se částice posune o ∆x = vx∆t , ∆y = vy∆t, ∆z = vz∆t. Pro rychlost v bodě P2 přibližně platí : r r r r ∂v ∂v ∂v ∂v r r v ( x + ∆x , y + ∆y , z + ∆z , t + ∆t ) = v ( x , y , z, t ) + ∆x + ∆y + ∆z + ∆t = ∂x ∂y ∂z ∂t r r r r ∂v ∂v ∂v ∂v r = v ( x , y , z , t ) + v x ∆t + v y ∆t + vz ∆t + ∆t ∂x ∂y ∂z ∂t

142

Tento vztah platí tím přesněji, čím je menší ∆t . Pro rozdíl rychlostí v obou bodech platí : r r r r ∂v ∂v ∂v ∂v r r r ∆v = v ( x + ∆x , y + ∆y , z + ∆z , t + ∆t ) − v ( x , y , z, t ) = ∆x + ∆y + ∆z + ∆t = ∂x ∂y ∂z ∂t r r r r ∂v ∂v ∂v ∂v = v x ∆t + v y ∆t + vz ∆t + ∆t ∂x ∂y ∂z ∂t Zrychlení a dostaneme jako limitu podílu ∆v/∆t :

r r r r r ∂v ∂v ∂v r ∆v ∂v a= = v x + v y + vz + ∆t ∂x ∂y ∂z ∂t

Pohyb tekutiny může mít různý charakter. Víme, že např. při pohybu vody dochází ke vzniku tzv. vírů, kdy se částice tekutiny pohybují po uzavřených křivkách. Je otázkou, jak popsat vznik vírů pomocí pole rychlostí tekutiny. Touto otázkou se budeme zabývat v následujícím odstavci. 9.2.2. Popis vírového pohybu tekutiny.

Pro jednoduchost uvažme, že částice tekutiny se pohybuje po kružnici s konstantní úhlovou rychlostí : ω = ωx i + ωy j + ωz k poloha částice je určena polohovým vektorem r = xi + yj + zk. Pro rychlost v platí : v=ωxr

Pro složky rychlosti pak platí : v x = ω y z − ω z y , v y = ω z x − ω x z, vz = ω x y − ω y x Nyní provedeme následující derivace :

∂v x ∂v = ω y , x = −ω z ∂z ∂y ∂v y ∂v y = ωz, = −ω x ∂x ∂z ∂vz ∂v = ω x , z = −ω y ∂y ∂x

Kde jsme využili té skutečnosti, že vektor úhlové rychlosti je konstantní. Z těchto vztahů snadno vyjádříme složky vektoru úhlové rychlosti :

143

∂vz ∂v y − ∂y ∂z ∂v ∂v 2ω y = x − z ∂z ∂x ∂v y ∂v x − 2ω z = ∂x ∂y 2ω x =

Vidíme, že vektor úhlové rychlosti je možné vyjádřit pomocí jiného vektoru, který jsme získali z vektoru rychlosti v. Tento postup, který vektoru v přiřazuje jiný vektor nazýváme rotací vektoru a označujeme rot v. Platí :

∂v ∂v y r ∂v x ∂vz r ∂v y ∂v x r r − − rot (v ) = ( z − )i + ( )j +( )k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Rotace vektoru3 rychlosti je tak dvojnásobkem vektoru úhlové rychlosti. Jestliže nyní máme zadáno pole rychlosti v(x,y,z,t), pak stanovíme rotaci tohoto vektoru . Je -li ve vyšetřovaném prostoru tento vektor ve všech bodech nulový, pak proudění tekutiny je nevírové. 9.2.3. Rovnice kontinuity pohybu tekutin.

Uvažme nevírové proudění tekutiny v trubici dle schéma na obr.9.12.

Obr.9.12. Schéma odvození rovnice kontinuity. Průřezem S1 proteče za jednotku času tekutina o hmotnosti S1ρ1v1. Průřezem S2 proteče za jednotku času tekutina o hmotnosti S2ρ2v2. Pokud mezi oběma průřezy nedochází ani k úbytku tekutiny (otvor v potrubí, netěsnost apod.), ani k jejímu nárůstu (vnitřní zdroj, přítok apod.) musí být hmotnosti tekutin procházející jednotlivými průřezy stejné, tzn., musí platit : S1ρ 1v1 = S2 ρ 2 v2 ⇔ Sρv = konst .

3

Postup, tj. operaci rotace je možné použít pro libovolný vektor. Pod pojmem operace rotace tak obecně rozumíme postup (operaci), který jednomu vektoru přiřazuje jiný vektor.

144

Danou rovnici nazýváme rovnicí kontinuity. Pro nestlačitelné tekutiny můžeme hustotu zahrnout do konstanty a rovnice kontinuity se redukuje na Sv = konst. Rovnici kontinuity můžeme rovněž odvodit v obecném tvaru. Uvažme obecné prostorové proudění tekutiny podle schéma na obr.9.13.

Obr.9.13. Schéma proudění tekutiny v prostoru. Vyšetřujme pohyb ve směru osy x. Za jednotku času proteče přední ploškou hranolu tekutina o hmotnosti ρvx(x)∆y∆z. Protilehlou ploškou pak vytéká tekutina o hmotnosti ρvx(x+∆x)∆y∆z. Rozdíl hmotností protékající přední a zadní ploškou za jednotku času je roven

ρv x ( x + ∆x ) ∆y∆z − ρv x ( x ) ∆y∆z = ( ρv x ( x ) + =

∂ ( ρv x ) ∆x∆y∆z ∂x

∂ ( ρv x ) ∆x − ρv x ( x )) ∆y∆z = ∂x

Obdobnou analýzu můžeme provézt pro zbývající směry y a z. Je zřejmé, že změna hmotnosti tekutiny za jednotku času v objemu ∆x∆y∆z je dána veličinou

∂ ( ρv x ) ∂ ( ρv y ) ∂ ( ρv z ) + + ∂y ∂z ∂x

145

Tato veličina je veličinou skalární, zatímco veličina ρv je vektorovou veličinou. Nalezli jsme tedy postup, který vektoru přiřazuje skalár. Tento postup, operaci, nazýváme pojmem divergence vektoru4:

r ∂ ( ρv x ) ∂ ( ρv y ) ∂ ( ρv z ) div ( ρv ) = + + ∂x ∂y ∂z Změna hmotnosti tekutiny v jednotce objemu je pak rovněž dána derivací hustoty podle

času. Odtud dostaneme obecný tvar rovnice kontinuity :

∂ρ r + div ( ρv ) = 0 ∂t Pro nestlačitelnou tekutinu se tato rovnice kontinuity redukuje na : divv = 0. 9.2.4. Pohybové rovnice.

Pohybovou rovnici ideální tekutiny získáme z rovnic (9.2), resp. z rovnice (9.4) tak , že na pravé straně je nyní součin hustoty a zrychlení. Po dosazení dostaneme : (9.7) r r r r r ∂v ∂v ∂v ∂v − grad ( p) + ρF = ρ ( v x + v y + vz + ) ∂x ∂y ∂z ∂t Tuto rovnici nazýváme Eulerovou rovnicí pohybu tekutiny. Zanedbáme -li vírový pohyb,

je možné ukázat, že tato rovnice se změní na (9.8) r r ∂v 1 − grad ( p) + ρF = ρ ( + grad (v 2 )) ∂t 2 Rovnice (9.8) je Eulerova rovnice pro nevířivý pohyb tekutiny.

Velmi významný je případ, kdy rychlost proudění nezávisí na čase, tzn. že derivace rychlosti podle času je nulová. Jde o tzv. ustálené )stacionární) proudění. Uvažme křivky ke kterým je rychlost tekutiny tečnou. Tyto křivky se nazývají proudnice. V případě ustáleného proudění jsou totožné s trajektoriemi částic tekutiny. Rovnice (9.8) se pak redukuje na : (9.9) r 1 − grad ( p) + ρF = ρ grad (v 2 ) 2

4

Je pochopitelné, že tuto operaci můžeme použít na každý vektor, resp. vektorovou funkci. V daném případě však vidíme význam dané operace. Jde o změnu hmotnosti tekutiny za jednotku času v jednotce objemu. V případě obecného vektoru je jeho divergence rovna změně tohoto vektoru v jednotce objemu

146

Rovnice (9.9) je Bernoulliho rovnice pohybu tekutiny. Uvažme, že gradient skalární funkce je v podstatě její derivace podle proměnných. Vezměme např. tlak v bodě x,y,z a snažme se najít změnu tlaku při přechodu do bodu x+∆x,y+∆y,z+∆z. Pro změnu tlaku platí ∆p = p( x + ∆x , y + ∆y , z + ∆z ) − p( x , y , z ) = ∂p ∂p ∂p = p( x , y , z ) + ∆x + ∆y + ∆z − p( x , y , z ) = ∂x ∂y ∂z ∂p ∂p ∂p r = ∆x + ∆y + ∆z = grad ( p). ∆r ∂x ∂y ∂z r r r r kde∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk : Pro gradient tak platí : grad ( p) =

∆p r ∆r

To znamená, že gradient je změna skalární funkce na jednotku změny polohového vektoru r. Bernoulliho rovnici tak můžeme přepsat do tvaru :

(9.10)

r r 1 − ∆p + ρF∆r = ρ ∆ (v 2 ), resp. 2 ∆p r r 1 − + F∆r = ∆ (v 2 ) ρ 2 kde ∆r je přírůstek polohového vektoru částice. Nyní můžeme limitně zmenšovat přírůstek polohového vektoru a provedeme integraci podél proudnice : (9.11)

r r 1 − ∫ d (v 2 ) + ∫ Fdr = konst. ρ 2 Hodnota konstanty je pro každou proudnici obecně různá.Tato rovnice se dále zjednoduší, −∫

dp

pokud budeme uvažovat nestlačitelnou tekutinu, kde hustota je konstantní. V tomto případě je možné prvé dva integrály snadno vyčíslit:

r r v2 + ∫ Fdr = konst. ρ 2 Uvažme nyní obvyklý případ, kdy síla na jednotku hmotnosti F je síla tíže, F = -g. −

p

−

Bernoulliho rovnice má tvar :

147

(9.12) v2 + + gh = konst ., resp. ρ 2 p

v2 p + + h = konst . 2 g ρg Je pochopitelné, že obě konstanty mají odlišné hodnoty. V rovnici (9.12) vystupuje výška h. To znamená, že ostatní veličiny musí mít rozměr výšky. Mluvíme o rychlostní a tlakové výšce. Rovnice (9.12) dále představuje zachování energie.Musíme si uvědomit, že rovnice (9.12) platí pro ideální tekutinu,nevířivé proudění,pro ustálené proudění,pro nestlačitelnou tekutinu a pro případ, že jedinou silou je zemská tíže. Nyní si ukážeme některé aplikace Bernoulliho rovnice, kdy budeme používat zejména tvaru daného rovnicí (9.12) 9.2.5. Příklady použití Bernoulliho rovnice. Výtok kapaliny z nádoby úzkým otvorem. Nechť kapalina vytéká úzkým otvorem podle

obr.9.14.

pa v 2 pa + zo = + +z ρg 2 g ρg

Obr.9.14.Schéma výtoku kapaliny z nádoby. Proudnice směřují od hladiny k otvoru. Na hladině je atmosférický tlak pa a stejný tlak předpokládáme vně otvoru. Je -li průřez otvoru dostatečně malý ve srovnání s průřezem nádoby, je možné rychlost kapaliny při volné hladině zanedbat. Bernoulliho rovnice má pak tvar : p v2 p +z= + + zo ρg 2 g ρg

148

Odtud pro rychlost vytékající kapaliny dostaneme :

v = 2 g ( zo − z ) = 2 gh Daný vztah je tzv. Torricelliho vzorec. Vidíme, že výtoková rychlost má stejnou hodnotu, jako rychlost částice volně padající z výšky h. Při výpočtu objemu kapaliny, která projde za jednotku času otvorem o průřezu S nemůžeme použít vztahu Sv, neboť paprsek vytékající kapaliny se zužuje. Dochází k jeho kontrakci , která je největší v místě nazývaném "contracta". Pro objemový tok kapaliny pak platí : Q=αSv Kde α je součinitel kontrakce, který leží mezi 0.5 a 1. K dalším ztrátám dochází v důsledků tření kapaliny o okraj otvoru. Skutečný objemový tok je tak ještě menší. Venturiho trubice. Tato trubice se používá pro měření rychlosti proudění tekutin v

potrubích. Princip měření je znázorněn na obr.9.15. Obr.9.15.

v12 p1 v22 p2 + = + 2 ρ 2 ρ Průřez trubice v bodech A a C je S1 a v bodě B S2. Jsou -li p1,v1 a p2,v2 hodnoty tlaků a rychlostí v průřezech A,C(1) a B(2), má Bernoulliho rovnice pro kapalinu tvar :

p1 v12 p v2 + = 2 + 2 ρg 2 g ρ g 2 g K tomu přistupuje rovnice kontinuity S1 v1 = S2 v2. Kombinací obou rovnic dostaneme

2( p1 − p2 ) S2 ρ ( 12 − 1) S2 Protože zde vyskytuje pouze rozdíl tlaků, stačí body A a B spojit manometrickou trubicí, v1 =

kde rozdíl hladin rtuti h udává přímo rozdíl tlaků. Křídlo letadla. I velmi jednoduchá Bernoulliho rovnice (9.12) umožňuje pochopit princip

letu prostředků, které mají hustotu větší než je hustota vzduchu. Na obr. 9.16 je schéma

149

profilu křídla letadla. Toto křídlo musí mít takový profil, aby při obtékání byla rychlost vzduchu pod křídlem menší jak nad křídlem. To mj. zajišťováno i tzv. úhlem náběhu. Z Bernoulliho rovnici pak vyplývá, že tlak na spodek křídla bude větší, než na vrchní část, čímž vzniká síla, která umožňuje , aby letadlo vzlétlo a udrželo se v požadované výšce.

Obr.9.16.Schéma obtékání profilu křídla letadla. Pochopitelně vzduch je stlačitelný , je nutné počítat se třením apod., takže výpočet reálné situace je nesmírně komplikovaný a problém je zpravidla, zejména při vývoji nových typů, řešen experimentálně v aerodynamických tunelech. Další aplikace jsou uvedeny ve zmíněné sbírce příkladů z fyziky. 9.3. Viskózní tekutiny.

V dosavadním popisu tekutin jsme zanedbávali možné viskózní síly. Důsledkem tohoto předpokladu bylo zanedbání smykových deformací tekutiny. To znamená, že pokud na takovouto tekutinu přiložíme smykové napětí, tak se mu okamžitě podá. Ukažme si nyní působení viskózních sil. Představme si experiment znázorněný na obr.9.17, kdy tekutina je

F v =η o A d

Obr.9.17.Unášení viskózní kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými deskami.

150

mezi dvěma rovinnými deskami. Spodní desku držíme ve stálé poloze a horní deskou pohybujeme rychlostí vo. Měříme-li sílu F, kterou potřebujeme abychom horní desku udrželi v pohybu, zjistíme že je úměrná ploše desky A a poměru vo /d. Pro smykové napětí tak platí : ∆F ∆v ∂v =η x =η x ∆A ∆y ∂y Kde konstanta úměrnosti η se nazývá dynamická viskozita. Na obr.9.17 jsme uvažovali lineární rozložení rychlosti. Ve skutečnosti je toto rozložení rychlostí obecně složitější. Vezmeme -li malý hranol jehož stěny jsou rovnoběžné se směrem proudění - viz obr.9.18, pak pro smykové napětí platí ∆F ∆v ∂v =η x =η x ∆A ∆y ∂y

Provedeme -li limitní přechod tak , že ploška směřuje k nule, je podíl rozdílů roven příslušné derivaci a můžeme pro smykové napětí Sxy psát : S xy = η(

∂v x ∂v y + ) ∂y ∂x

Vzpomeňme si nyní na poznatky o deformaci těles. Pomocí vektoru posunutí u můžeme dospět ke vztahům : r r r r r r r r u = ux i + u y j + uz k , v = v x i + v y j + vz k =

∂ux r ∂u y r ∂uz r i+ j+ k ∂t ∂t ∂t ∂v x ∂v y ∂ ∂ux ∂u y + = ( + ) ∂y ∂x ∂t ∂y ∂x ∂ε 1 ∂u ∂u ε xy = ( x + y ) ⇒ S xy = 2η xy 2 ∂y ∂t ∂x =

151

Je zřejmé, že smykové napětí, které je měřítkem viskózních sil ,je úměrné rychlosti smykové deformace. Tekutiny , pro které platí lineární závislost mezi smykovým napětím

a rychlostí deformace se nazývají Newtonovské tekutiny. Pro tyto látky je materiálovou charakteristikou dynamická viskozita , která má rozměr [η]= Pas = kgm-1s-1. Mimo dynamickou viskozitu se používá kinematická viskozita ν=η/ρ. Hodnoty obou viskozit pro některé tekutiny uvádí tabulka 9.1.

Obr.9.18. Smykové napětí ve viskózní kapalině. Tabulka 9.1. Viskozita některých tekutin při teplotě 20°C. Tekutina

η (Pas)

ν (m2s-1)

Tekutina

η(Pas)

ν(m2s-1)

Vodík

0.88.10-5

0,95.10-4

Voda

0,001

0,001

Vzduch

1,8.10-5

0,15.10-4

Rtuť

0,0015

0,00014

Benzol

0,065

0,72.10-4

Glycerin

1,5

1,2

Závislost smykového napětí na rychlosti deformace se nazývá rovnice toku látky. Je třeba konstatovat, že většina látek nevyhovuje modelu Newtonovské tekutiny. Tento model je zpravidla použitelný pouze pro nízké rychlosti deformací. V daném textu se však omezíme na tento lineární model.

152

9.3.1. Odporové síly při pohybu těles ve viskózní tekutině.

Odporové síly je možné stanovit pomocí pohybových rovnic viskózní tekutiny. S ohledem na komplikovaný tvar těchto rovnic si uvedeme pouze jeden vztah a to rovnici pro odporovou sílu při pohybu koule ve viskózní tekutině. Jde o tzv. Stokesův vzorec : Fo = 6πrηv Kde r je poloměr koule a v její rychlost. Pro tělesa jiných tvarů není zpravidla možné získat odporovou sílu jinak než numerickým řešením,nebo experimentálně. Ukazuje se však, že tato síla je vždy, až do určité hodnoty, úměrná rychlosti tělesa. Výše uvedený vztah se pak používá pro stanovení dynamické viskozity tekutin. Pro stanovení této veličiny se sleduje pohyb koule ve zkoumané kapalině. Uvažme kouli o poloměru r , která je zhotovena z materiálu o hustotě ρt , která se pohybuje v kapalině o hustotě ρk. Na kouli v kapalině působí síla tíže G = mg, vztlaková síla Fv = Vρk g a odporová síla Fo. Situace je znázorněna na obr.9.19.

Obr.9.19.Schéma pohybu koule ve viskózní kapalině. Pohybová rovnice koule má tvar : 4 3 d2x dx m. a = G − Fv − Fo , m = Vρ t = πr ρ t , a = 2 , v = 3 dt dt 2 4 3 d x 4 3 4 dx πr ρ t 2 = πr ρ t g − πr 3 ρ k g − 6πrη 3 3 3 dt dt 153

Kde rychlost a poloha v čase t =0 jsou nulové. Řešení dané rovnice, která obsahuje neznámou funkci x(t) a její prvou a druhou derivaci (diferenciální rovnice druhého řádu) je samozřejmě , s ohledem na rozsah probírané matematiky,mimo dosah našich možností. Proto použijeme programu MAPLE a pro polohu a následně i rychlost tělesa snadno dostaneme : x=

4 gρ t 2 gr 2 4 gr 4 ρ t 9ηt ρ ρ ρ ρ ( − ) + ( − ) t + ( ρ t − ρ k ) exp( − 2 ) t k t k 2 2 81 η 9η 61η 2r ρ t v=

2 2 (ρ t − ρ k ) 9ηt (1 − exp( − 2 )) r g η 9 2r ρ t

Je zřejmé, že pro t→∞ dosahuje rychlost konstantní hodnoty : v∞ =

2 ρt − ρk 2 r g 9 η

Tato rychlost odpovídá situaci, kdy výslednice tíhové, vztlakové a odporové síly je nulová. Na obr.9.20 je vynesena závislost rychlosti na čase pro ocelovou kuličku o poloměru 0.01 m zhotovené z oceli o hustotě 7 750 kg/m3 ve vodě a v glycerinu.

Obr.9.20. Časová závislost rychlosti pádu kuličky ve vodě a glycerinu. Je zřejmé, že v glycerinu, který má relativně velkou dynamickou viskozitu , je určité konstantní rychlosti dosaženo v poměrně krátkém čase, na rozdíl od vody, která má viskozitu mnohem menší. Je zřejmé, že experimentálně není možné realizovat nekonečně dlouhý čas , kdy rychlost je konstantní a její stanovení umožňuje určit součinitel

154

dynamické viskozity. Proto se zajímáme o čas, kdy rychlost kuličky dosahuje např. 95% ustálené rychlosti v∞. Na obr.9.21 je vynesena závislost tohoto času na poloměru ocelové

Obr.9.21. Závislost času potřebného pro dosažení 95% ustálené rychlosti na poloměru ocelové kuličky. kuličky, která se pohybuje ve vodě a v glycerinu. Z těchto závislostí je možné zvolit optimální rozměr kuličky pro stanovení součinitele dynamické viskozity. 9.3.2. Proudění viskózní tekutiny v trubce kruhového průřezu.

Uvažme proudění viskózní tekutiny v trubce kruhového průřezu , jak znázorňuje schéma na obr.9.22. Budeme uvažovat ustálené proudění, kdy jsou viskózní síly v rovnováze se silami danými rozdílem tlaku na obou koncích trubky l. Při proudění mají

Obr.9.22. Schéma proudění viskózní kapaliny kruhovou trubkou. částice tekutiny různou rychlost, maximální uprostřed a minimální na stěnách trubky.

155

S ohledem na symetrii trubky , leží částice tekutiny, které mají stejnou rychlost na válcových plochách. Uvažme vrstvu tekutiny o tloušťce dx . Na tuto vrstvu působí síla : f = 2πxdx(p1 - p2) Vnitřní část vrstvy má rychlost v(x) a vnější v(x + dx). Viskózní síla na vnitřním povrchu vrstvy je :

F1 = − 2π xlη

dv ( x ) dx

Na vnějším povrchu působí viskózní síla:

dv ( x + dx ) dv ( x ) d 2 v ( x ) F2 = −2π ( x + dx )lη = −2π ( x + dx )lη( + dx ) dx dx dx 2 Pro ustálený stav musí být výsledná síla nulová, tzn. : f + F1 - F2 = 0 Po dosazení a zanedbání členů, které obsahují dx.dx , dostaneme : dv d 2v ηl + ηlx 2 = − x ( p1 − p2 ) dx dx Tato rovnice má řešení : p1 − p2 2 ( R − x2 ) 4ηl kdy jsme předpokládali, že rychlost tekutiny na stěnách trubky je nulová. Je zřejmé, že v( x) =

rychlost kapaliny má parabolický průběh. Pro objem tekutiny V, který projde trubkou za jednotku času , platí : R

V = ∫ dV = ∫ 2πxv( x)dx = 0

πR 4 ( p1 − p2 ) 8ηl

Tento vztah se nazývá Hagenův - Poiseuillův zákon. Je zřejmé, že objemový tok je nepřímo úměrný viskozitě. Obvykle máme zadán požadavek na určitou hodnotu objemového toku V. To znamená, že pro danou viskozitu musíme zvolit příslušný přetlak. Zvyšování přetlaku je však omezeno pevností materiálu trubky. Proto pro zvyšování objemového toku je vhodné snižovat viskozitu tekutiny, např. vhodnými aditivy. Tento postup je např. používán v USA při dopravě ropy z Aljašky do vnitrozemí USA. Stejně tak léky používané při cévních chorobách v podstatě snižují viskozitu krve. 9.3.3. Pohyb tekutiny mezi dvěma souosými trubkami.

Uvažme viskózní tekutinu, která se nachází mezi dvěma souosými trubkami ,jak znázorňuje schéma na obr.9.23. Vnější trubka se otáčí určitou úhlovou rychlostí. S 156

ohledem na symetrii problému můžeme předpokládat, že rychlost částic tekutiny bude záviset jen na vzdálenosti r, tzn. v = v(r). Pro souřadnice částice tekutiny platí : x = r cos ωt , y = r sin ωt A pro složky její rychlosti : v x = − rω sin ωt = −ωy , v y = rω cosωt = ωx Pro smykové napětí pak dostaneme : S xy = η(

∂ω ∂ω ∂v x ∂v y + ) = η( x −y ) ∂x ∂y ∂y ∂x

V bodě y = 0 je ∂ω/∂y = 0 a x∂ω/∂x je totožné s r∂ω/∂r. V tomto bodě tedy platí : dω dr Vynásobením smykového napětí plochou danou povrchem válce o poloměru r a délky l ( S xy ) y = 0 = ηr

dává výslednou sílu. Pro moment této síly ke středu válce platí : dω dr Protože proudění tekutiny je ustálené, musí být výslednice momentů, které působí na M = 2πr 2 l ( S xy ) y = 0 = 2πηlr 3

válcovou vrstvu mezi r a r + dr nulová, tzn. moment síly ve vzdálenosti r musí být stejně velký a opačného znaménka jek moment ve vzdálenosti r + dr. To je možné tehdy, pokud dω C = dr r 3 moment M nezávisí na r, tzn. r3dω/dr musí být rovno konstantě, např.C. Musí tedy platit : Integrací získáme závislost úhlové rychlosti na poloměru : C + C1 2r 2 Konstanty určíme z okrajových podmínek ω(r=ra) = ωa , ω(r=rb) = ωb :

ω=−

2a 2b 2 b 2ω b − a 2ω a ( ω − ω ), C = 1 b a b2 − a 2 b2 − a 2 Velikost momentu síly pak je : C=

4πηla 2b 2 M= 2 (ω b − ω a ) b − a2 Daný vztah můžeme použít pro stanovení dynamické viskozity pomocí tzv. rotačních viskozimetrů. Tento viskozimetr se skládá ze dvou souosých, otočně uložených válců. Vnější válec je udržován v klidu pomocí pružiny a vnitřní se otáčí zvolenou úhlovou rychlostí. Pomocí pružiny pak měříme velikost momentu M. 157

Obr.23.Schéma proudění viskózní kapaliny mezi dvěma soustřednými, rotujícími válci. Mechanika viskózních tekutin je velmi obsáhlou a značně náročnou problematikou, ze které jsme se seznámili jen s některými částmi. Pro úplnost dodejme, že viskozitu vykazují i látky pevné. V jejich případě se však tečení, zejména za běžných teplot projevuje jen velmi nepatrně.

158

Doporučená literatura. 1. J.Buchar : Sbírka příkladů z fyziky. Skripta MZLU.SPN Praha,1992. 2. V.Hajko :Fyzika v príkladoch,Alfa. Bratislava, 1971. 3. J. Krempaský: Fyzika.Alfa Bratislava, SNTL Praha ,1988. 4. F.Krupka,L.Kalivoda :Fyzika.SNTL Praha,1989. 5. E.Mechlová a kol.: Výkladový slovník fyziky. Prometheus Praha 1999. 6. J.Kvasnica a kol.: Mechanika.Academia Praha 1988. 7. K.Juliš,R.Brepta :Technický průvodce I a II –Mechanika. SNTL Praha 1987. 8. D.Halliday,R.Resnik,J.Merrill : Fundamental of Physics. John Wiley & Sons.,New York 1988. 9. J. Šesták a kol.: Technická mechanika - mechanika tuhých těles. Příroda, Bratislava 1985. Literatura ad 1 je nezbytně nutná, neboť obsahuje řešené příklady k jednotlivým kapitolám. Velmi ilustrativní je i literatura ad 2. Pro rychlou orientaci je velmi vhodná literatura ad 7. Ostatní literatura značně rozšiřuje obsah skript a je vhodná i pro další semestr - Fyzika II.

159