FYZIKA – 2. ROČNÍK Elektromagnetické vlnění-příklady 1A. Anténní dipól pro příjem televizního vysílání má délku 0,75 m. Pro jakou frekvenci televizního vysílače je určen? Řešení: l = 0,75 m c = 3 ⋅108 m ⋅ s -1 f=? l=
.
λ
2 λ = 2l f =
3 ⋅108 c = Hz = 2 ⋅108 Hz = 200 MHz 2l 2 ⋅ 0, 75
Anténní dipól je určen pro frekvenci vysílače 200 MHz.
1B. Televizní vysílač ve II. televizním pásmu pracuje s frekvencí 200 MHz. Určete délku dipólu pro příjem tohoto vysílání. Řešení: f = 200 ⋅106 Hz c = 3 ⋅108 m ⋅ s -1 l=? l=
.
λ
2 c λ= f c l= = 0, 75 m 2f
Délka dipólu pro příjem vysílání je 0,75 m.
2A. Radiolokátor vyslal impuls elektromagnetického vlnění směrem k vodivé překážce a jeho přijímač zaregistroval odražený impuls za 60 µs . Určete vzdálenost překážky od radiolokátoru. Řešení: t = 60 ⋅10−6 s c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s– 1 l=?
.
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK l=
c ⋅ t 60 ⋅10−6 ⋅ 3 ⋅108 = m = 9 000 m = 9 km 2 2
Vzdálenost překážky od radiolokátoru je 9 km.
2B. Vodivá překážka je ve vzdálenosti 12 km od radiolokátoru. Jaká doba uplyne mezi vysíláním radiolokačního impulsu a jeho příjmem v radiolokátoru? Řešení: l = 12 ⋅103 m c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s– 1 t=?
.
l t = 2 ⋅ = 80 µs c Doba mezi vysíláním a přijetím impulsu je 80 µs .
3. K oscilátoru, který kmitá harmonicky s amplitudou napětí Um a periodou T, je připojeno dvojité vedení na konci otevřené (vedení naprázdno R → ∞ ). Podél vedení vzniká stojaté vlnění s amplitudou napětí na otevřeném konci. Určete amplitudu napětí na konci vedení a vzdálenost od konce, v které je amplituda napětí poprvé nulová. Řešení: Napětí odpovídající postupné elmg. vlně má rovnici t x u1 = U m sin2π + , kde x je vzdálenost od konce vedení. T λ
Napětí odpovídající odražené vlně má rovnici t x u2 = U m sin2π − T λ Výsledné napětí ve vzdálenosti x je dáno součtem
t x t x u = u1 + u2 = U m sin 2π + + sin 2π − T λ T λ x− y x+ y ( sin x + sin y = 2 cos sin ) 2 2
x u = 2U m cos 2π sin ωt λ U 0 U 0 − amplituda napětí ve stojaté vlně x = 0 ⇒ U 0 = 2U m
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK Vzdálenost od konce, kde bude amplituda napětí nulová: x cos 2π = 0
λ x π λ 2π = ⇒ x = 4 λ 2
Amplituda na konci vedení bude mít hodnotu 2Um, nulová amplituda bude poprvé ve vzdálenosti
λ
4
od konce vedení.
4. K oscilátoru, který kmitá harmonicky s amplitudou napětí Um a s periodou T, je připojeno dvojité vedení spojené nakrátko (zakončené zkratem R = 0 Ω ). Podél vedení vzniká stojaté vlnění. Určete amplitudu vedení a vzdálenosti od konce vedení, kde je amplituda napětí nulová. Odražená vlna má opačnou fázi a je popsána rovnicí t x u2 = −U m sin2π − . T λ Řešení: Napětí odpovídající postupné elmg. vlně má rovnici t x u1 = U m sin 2π + T λ Napětí odpovídající odražené elmg. vlně má rovnici t x u2 = −U m sin 2π − , kde x je vzdálenost od konce vedení. T λ Výsledné napětí ve vzdálenosti x je t x t x u = u1 + u2 = U m sin 2π + − sin 2π − = T λ T λ 2π t 2π x = U m ⋅ 2 cos sin λ T x+ y x− y 2π x sin x − sin y = 2 cos sin u = 2U m sin cos ωt 2 2 λ U 0
U 0 − amplituda napětí ve stojaté vlně Místa, kde bude amplituda napětí nulová: sin
2π x
2π x
λ
λ
=0
= kπ ⇒ x = k
λ 2
k = 0,1…
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK Místa, kde bude amplituda napětí nulová, se nacházejí ve vzdálenostech k
λ 2
od konce vedení,
kde k = 0,1….
5. Určete polohy míst na vedení, kde amplituda napětí ve stojaté elektromagnetické vlně je stejná jak v případě vedení naprázdno, tak v případě nakrátko. Určete obecně velikost amplitudy napětí v těchto místech. Řešení: Rovnost amplitud napětí stojaté vlny v případě zapojení naprázdno a nakrátko:
2U m cos 2π cos 2π tg 2π
x
λ
x
λ
x
λ
= sin
= 2U m sin 2π x
λ
= 1 ⇒ 2π
x
λ
=
π 4
2π x
λ
+ kπ
x=
λ 8
+k
λ 2
, k = 0,1...
U0 = Um 2
⇒
Amplitudy napětí jsou stejné ve vzdálenostech x = a velikost amplitudy je v těchto místech U 0 = U m
λ 8 2.
+k
λ 2
od konce vedení, kde k = 0,1…
6. Za dipólem přijímací antény je pohyblivě umístěna vodivá deska. Při vzdalování desky od dipólu zjistíme, že se přijatý signál periodicky zesiluje a zeslabuje. Vzdálenost dvou sousedních poloh desky, v nichž nastalo zesílení signálu, je 65 cm. Určete frekvenci, na které pracuje vysílač. Řešení: d = 0,65 m c = 3 ⋅108 m ⋅s -1 f = ?________________ Mezi dipólem a deskou vzniká stojaté elmg. vlnění, a tedy vzdálenost dvou sousedních poloh desky odpovídá vzdálenosti dvou kmiten stojatého vlnění.
d = 0,65 m … d =
λ = 1,3m f =
c
λ
=
λ
2
3 ⋅108 Hz ≐ 2,3 ⋅108 Hz ≐ 230 MHz 1,3
Vysílač pracuje na frekvenci 230 MHz.
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK 7. Z Maxwellovy teorie elektromagnetického pole vyplývá pro rychlost 1 elektromagnetického vlnění ve vakuu vztah c = , kde ε 0 je permitivita vakua,
ε 0 µ0
µ0 je permeabilita vakua. Proveďte výpočet velikosti rychlosti a výsledek srovnejte s hodnotou zjištěnou experimentálně. Dosazením jednotek ověřte rozměrovou správnost výrazu. Řešení:
ε0 = 8,8 ⋅ 10– 12 F ⋅ m– 1 µ0 = 1,25 ⋅ 10– 6 H ⋅ m– 1
( ε 0 µ0 )
−
1 2
−
1
−
1
= F 2 H 2 m = m ⋅ s −1
△I △t [U ] ⋅ [t ] = V ⋅ s H = [ L] = A [I ] Ui = −L
F=
[Q ] = C = A ⋅ s [U ] V V
F⋅H =
(F⋅ H)
A ⋅s V ⋅s 2 ⋅ =s V A −
1 2
= (s2 )
−
1 2
= s −1
1
dosazení: c =
ε 0 µ0
=3 ⋅108 m ⋅ s -1
8. Určete délku půlvlnného dipólu, jehož základní frekvence odpovídá vlastní frekvenci oscilačního obvodu s kondenzátorem kapacity 10 pF a s cívkou o indukčnosti 0,9 µ H . C = 10 pF = 10 ⋅ 10– 12 F L = 0,9 µH = 0,9 ⋅ 10– 6 H c = 3 ⋅108 m ⋅s -1 l = ?__________________
f =
1 2π LC
= 5, 31 ⋅107 Hz
λ= l=
c = 5, 65 m f
λ 2
= 2,83 m
Délka půlvlnného dipólu je 2,83 m.
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK 9. Určete délku půlvlnného dipólu pro vysílání a příjem elektromagnetického vlnění o frekvenci 430 MHz ve vzduchu a ve vodě ( ε r = 81, µr = 1 ). Řešení: f = 430 ⋅106 Hz ε r = 81, µr = 1
.
c = 3 ⋅108 m ⋅ s -1 l = ?_____________________ ve vzduchu:
l=
λ
2 c λ = = 0, 70 m f l = 0, 35 m ve vodě: c
v=
lvoda =
ε r µr
l = 0, 039 m = 39 mm 9
Délka půlvlnného dipólu ve vzduchu je 0,35 m, ve vodě 0,039 m.
10. Elektromagnetické vlnění o vlnové délce 240 m proniká ze vzduchu do stejnorodého prostředí, v němž se šíří rychlostí 2 ⋅108 m ⋅ s -1 . Určete vlnovou délku elektromagnetického vlnění v tomto prostředí. Řešení: λ1 = 240 m, v1 = 3 ⋅ 108 m ⋅ s– 1 v2 = 2 ⋅ 108 m ⋅ s– 1 λ2 = ? . f =
v1
λ1
=
v2
λ2
⇒
λ2 =
v2 λ1 = 160 m v1
Vlnová délka elektromagnetického vlnění v prostředí je 160 m.
11. Radiolokátor vysílá za sekundu 4000 impulsů elektromagnetického vlnění o vlnové délce 15 cm. Doba trvání jednoho impulsu je 0,02 µs . Určete, kolik kmitů obsahuje jeden impuls a do jaké největší vzdálenosti lze radiolokátorem určovat cíle. Řešení: n1 = 4000 λ = 0,15 m Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
FYZIKA – 2. ROČNÍK t = 0,02 ⋅10−6 s c = 3 ⋅108 m ⋅ s -1 lmax = ?, n = ?______________ 1 1 = s n1 4 000 λ 0,15 T1 = = s = 5 ⋅10−10 s 8 c 3 ⋅10 t 0, 02 ⋅10 −6 s n= = = 40 T1 5 ⋅10 −10 s cT lmax = = 37,5 km 2 T=
Jeden impuls obsahuje 40 kmitů a cíle lze určovat do vzdálenosti 37,5 km.
12. Výkonné radiolokátory umožňují experimentálně zjišťovat vzdálenost kosmických objektů. Při radiolokaci Měsíce se impuls odražený od jeho povrchu vrátil za 2,563 s. Určete vzdálenost Měsíce. Řešení: t = 2,563 s c = 3 ⋅108 m ⋅ s -1 l = ?________________ l=
c ⋅ t 3 ⋅108 ⋅ 2,563 = m = 3,845 ⋅108 m 2 2
Vzdálenost Měsíce je 384 500 km.
Elektromagnetické vlnění www.e-fyzika.cz
