Funkce 1) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f, pro které platí: a) f ( x) je povrch krychle o straně x, b) f ( x) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně x a povrchem rovným 2, c) f ( x) je objem otevřené krabice, která je vyrobena z obdélníkového kartonu 60 × 28cm tak, že se v rozích vyřízly čtverce o straně x a vzniklé obdélníky po stranách se ohnuly nahoru. 2) Najděte alespoň jednu funkci s definičním oborem D a oborem hodnot H tak, aby platilo: a) D = R a H = {3,5} , b) D = ℕ a H je množina všech kladných celých čísel, c) D = R \ {1, −2,3} a H je libovolný. 3) V následujícím obrázku jsou nakresleny křivky. Ve kterém případě se může jednat o graf nějaké funkce a ve kterém ne?
4) Zjistěte, které z následujících funkcí f, g, resp. h (s přirozeným definičním oborem) se sobě rovnají: x a) f ( x) = 1, g ( x) = , x 1 x b) f ( x) = , g ( x) = 2 , x x x x c) f ( x) = , g ( x) = , x +1 x +1 d) f ( x) = ln x 2 , g ( x) = 2 ln x , e) f ( x) = x, g ( x) = x 2 , h( x) =
( x) . 2
5) Najděte zúžení funkcí z předchozího příkladu tak, aby se takto vzniklé funkce sobě rovnaly. 6) Najděte (přirozené) definiční obory následujících funkcí f, je-li f ( x ) rovno: 2x + 3 7 x2 + 6 x + 5 a) , b) 2 , c) x 2 − 4 , 2 x + 3x + 2 x −1 3 1 d) (3 x − 2) 2 e) f) x−3 25 − x 2 g)
x +1 x −1
h)
(2 − x)( x + 3)
i)
x x
j)
x x− x
m) p) ln
x2 − 4 4 − x2
(
x −3 −2
k)
2 x+ x −2
n)
(x
2
+ x − 6)
4 − x2 4 − x2
l) 2
1
o)
r) ln ( e x − e − x )
(
t) tg 2x
u) ln 2 cos x − 3
1 x) sin ln 3x + 1
y)
x
− 3 x −1 x2 − 5x + 6 s) ln 2 x + x +1 2
)
x x −1
)
x sin x
v)
sin x + 9 − x 2
z)
x 1 + sin x
7) Doplňte chybějící sloupce v následující tabulce (znak N znamená, že funkce není definovaná):
x
f ( x)
g ( x)
a b c d e
−2
3
0
−1
1
5 −3 N
N
2
(f
+ g ) ( x)
(f
− g ) ( x)
( f ⋅ g ) ( x) ( g / f ) ( x) ( f 2 −
8) Pro zadané funkce f a g najděte f , f + g , f − g , fg , g / f : a) f ( x) = 3x, g ( x) = 2 − x, x −1 1 , g ( x) = , b) f ( x) = x x c) f ( x) = x + 2, g ( x) =
0 pro d) f ( x ) = x pro
x≤0
1 , x+2
0 , g ( x) = 2 x>0 − x
pro
x≤0
pro
x>0
.
9) Pro funkci f platí f ( x + 1) = f ( x) + f (1) + 1 ∀x ∈ R . a) Čemu se rovná f (0) ? b) Je-li navíc f (1) = 1 , najděte f (2), f (3), f (−1). 10) Pro funkci f platí f ( x + y ) = f ( x) + f ( y) ∀x, y ∈ R . a) Čemu se rovná f (0) ? b) Ukažte, že platí f (− x) = − f ( x), f (2 x) = 2 f ( x) ∀x ∈ R. c) Je-li navíc f (1) = 1 , najděte f (2), f (3), f ( 12 ). 11) Nechť funkce f je definovaná předpisem f ( x ) = a) f ( x) + f (− x) = −2 , d) −
1 = f ( x) + 2 f ( x + 1)
1 x
− 1 . Ověřte, zda platí
1 ( f ( x) − 1) , 2 1 1 e) = f +1. f ( x) + 1 x
b) f (2 x) =
c) f (1 − x ) =
1 , f ( x)
f ⋅ g + 3) ( x)
12) Najděte funkce f, g, pro které platí a) f ( x) = ax + b, f (3) = −3, f (−2) = 4, b) g ( x ) = ax 2 + bx + c, g (0) = 1, g ( −1) = 2, g (3) = 18. Vypočítejte f
( 12 ) ,
f (1), g ( 12 ) , g (1).
13) Najděte alespoň tři příklady funkce f , pro kterou platí f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ∧ Pokuste se formulovat obecný předpis pro funkce s těmito vlastnostmi.
f (a x) = a f ( x).
14) Pomocí grafu funkce y = 2 x nakreslete grafy funkcí
f ( x) = 2 x , g ( x) = 2( x + 2), h( x) = 2 x − 5, k ( x) = 2( x − 3) + 1 . 15) Pomocí grafu funkce f ( x) = x 2 nakreslete grafy funkcí
f ( x) = ( x − 2)2 + 3, g ( x) = x 2 + 2 x, h( x) = x + 1 − 3 2
16) Nakreslete graf funkce f ( x) = x 2 − 6 x + 11 . 17) Pomocí grafu funkce f ( x ) = 1 x
g ( x ) = 1 + , h( x ) = −
1 x
1 , x −1
18) Nakreslete graf funkce f ( x) =
nakreslete grafy funkcí k ( x) =
2x + 5 . x −1
1 −1. x −1
19) Známe-li graf funkce f, jak sestrojíme graf funkce g, pro kterou platí ( c, a ∈ R ) : a) g ( x) = f (− x) b) g ( x) = − f ( x) d) g ( x) = f ( x) + c c) g ( x) = f ( x + c) e) g ( x) = a f ( x) f) g ( x) = f (a x) h) g ( x) =| f ( x) | ? g) g ( x) = f (| x |) Postup 1. vysvětlete obecně, 2. demonstrujte na grafu funkce f v obrázku.
20) Pomocí známých grafů funkcí a) y = x , b) y = x 2 , c) y = sin x , d) y = ln x a d) y = e x sestrojte grafy funkcí a) y = − x , y = 1 + x , y = x − 2, y = x + 1 , y = x − 2 , y = x + 1 − 2, y = 2 x ; b) y = 4 x 2 , y = 14 x 2 , y = − x 2 , y = −2 x 2 , y = x 2 + 2, y = x 2 − 1, y = ( x + 2) 2 , y = ( x − 1) 2 , y = 12 ( x − 1) 2 , y = 2( x + 2) 2 , y = x 2 + 4 x + 2, y = 4 x 2 + 8 x + 12;
c) y = sin x , y = − sin x, y = 2sin x, y = sin( x + 3), y = 2sin 2x ; d) y = ln(2 − x ), y = ln x 2 , y = 3ln 2 x, y = ln 1x ; x
e) y = e− x , y = −e x , y = −e − x , y = 1 + e x , y = e x −1 , y = 101 e 2 .
21) Znázorněte graficky řešení rovnic s absolutní hodnotou, příklady 3), 7) a 9) 22) Znázorněte graficky řešení nerovnic s absolutní hodnotou, příklady 4), 5) a 6).
x
23) Pro která x platí
3 27 a) = , 2 8
4 c) 25
b) 23 x +1 = 4 , 3
d) 5 + 1 − 3 ⋅ 5 = −49 , x
x
24) Řešte exponenciální rovnice a) 9 x + 2 ⋅ 3x − 3 = 0 , 25) Pro která x platí
64 8 x −1 125 e) ⋅ = 25 5 512
3− x
, f) 2
b) 32 x −1 + 32 x −2 − 32 x−4 = 315 ,
a) −1 ≤ log 3 x ≤ 2 ,
26) Řešte logaritmické rovnice a) 2ln( x − 2) = ln(14 − x) ,
x +3
x2 −6 x−
5 2
125 ⋅ 8
4 x −1
=
5 , 2
= 16 ⋅ 2 ?
c) 32+ x + 34− x − 90 = 0 .
b) log 2 (2 x − 3) < 3
?
b) log( x + 1) + log( x − 1) = log x + log( x + 2) ,
c) log(4 x + 6) − log(2 x − 1) = 1 , e) ln( x − 2) + ln( x + 3) = ln 6 ,
d) 2log( x + 5) = log 2 x + 1 , 3 f) log x − =2 . log x
27) Určete a) sin(− 56 π ) , b) tg(− 76 π ) , c) cos(− 772 π ) , d) sin( 116 π ) ,
e) tg( 556 π ) ,
f) cotg(− 496 π ) .
28) Pro která x ∈ R platí a) sin x > 0 ∧ cos x > 0 , b) sin x ≤ 0 ∧ cos x ≤ 0 , c) sin x ≥ 0 ∧ cos x < 0 ? 63 . Vypočítejte cos x, tg x a cotg x . 8 3 , b) cos 2 x = 1 , 30) Najděte všechna x ∈ R ,pro která platí: a) sin x = − 2 1 3 d) cotg 6 x = −1 , e) tg x = . c) cos x = − , 2 3
29) Pro x ∈ (π , 32π ) platí sin x = −
31) Najděte všechna x ∈ R ,pro která platí: 32) Zjednodušte následující výrazy: sin 4 x − cos 4 x cos 2 x a) , b) , cos x − sin x cotg x − tg x d)
sin 2 x , cos 2 x
e)
(1 + tg x ) 2 , 1 + tg 2 x
a) sin | x | = 1 , b) | sin x |= 1 .
c) cotg x + f)
sin x , 1 + cos x
cotg x + cotg y . tg x + tg y
33) Je-li funkce f rostoucí, je nutně a) funkce 2 f rostoucí, b) funkce − f klesající, 1 c) funkce f 2 rostoucí, d) funkce klesající (pro všude nenulovou funkci f)? f 34) Nechť funkce f a g jsou definovány na stejném intervalu. a) Jsou-li funkce f i g rostoucí, je i funkce f + g rostoucí? b) Najděte rostoucí funkci f a klesající funkci g tak, aby funkce f + g byla rostoucí. 35) Nechť f je lichá funkce, která je definovaná pro x = 0 . Jakou zde má funkční hodnotu? 36) Najděte konstantu k tak, aby a) f ( x ) = x 2 + kx + 1 byla sudá, b) f ( x ) = x 3 − kx 2 + 2 x byla lichá.
37) Ukažte, že pro libovolnou funkci f definovanou na intervalu ( −a, a ) , a > 0 platí, že
f ( x) + f (− x) je sudá a f ( x) − f (− x) je lichá funkce. 38) Zjistěte, které z uvedených funkcí jsou sudé resp. liché: a) f ( x) = 2 , b) f ( x ) = x , d) f ( x) = x − x 2 ,
e) f ( x ) = x 3 − x ,
x+2 , x−2 1 j) f ( x) = x 4 + , 3 2 x sin x m) f ( x) = , x g) f ( x) =
p) f ( x ) =
3
x ⋅ cos x ,
t) f ( x ) = 2 x , x) f ( x) = x ln x ,
h) f ( x ) =
x2 , 1 + 4x4
c) f ( x ) = 3 x , 1 f) f ( x) = , 2x x i) f ( x) = , x
k) f ( x ) = x 2 + sin x 2 ,
l) f ( x) = cos (π − x ) ,
1 , 4 + cotg 2 x x + tg x r) f ( x) = , 2 + 3cos x e x + e− x , u) f ( x) = 2 2− x y) f ( x) = ln , 2+ x
o) f ( x) = sin x − cos x ,
n) f ( x) =
s) f ( x) = v) f ( x ) =
1 + x sin x , x 2 cos x
ax + 1 , ax −1
)
(
z) f ( x) = ln x − 1 − x 2 .
39) Nechť jsou funkce f a g periodické se stejnou periodou. Ukažte, že funkce f + g , f ⋅ g , f / g jsou také periodické. 40) Nechť funkce f je periodická s periodou p. Je-li a ≠ 0 , jakou periodu má funkce f (a x) ? 41) Zjistěte, které z následujících funkcí jsou periodické, a najděte jejich periodu. a) f ( x) = 3 , b) f ( x) = x sin x , c) f ( x ) = 2 + cos x + cos 2 x , d) f ( x) = sin
2x 3
,
1 x
g) f ( x ) = sin ,
(
π
)
e) f ( x) = cos x 2 ,
f) f ( x ) = 1 + sin 2
h) f ( x) = 5cos 2π x ,
i) f ( x) = 3cos3x − 5sin 2 x ,
j) f ( x) = ln(cos x + sin x) , k) f ( x) = sin 2 x + tg , x 2
2
−x ,
l) f ( x) = 23+ 2sin x .
42) Ukažte, že platí: a) Všechny konstantní funkce jsou ohraničené. b) Je-li funkce f ohraničená na intervalu I, je také - f ohraničená na tomto intervalu. c) Jsou-li funkce f a g ohraničené na intervalu I, je také funkce f + g ohraničená na I. 43) Ukažte, že inverzní funkce k prosté liché funkci je opět lichá. Co můžeme říci o inverzní funkci k prosté sudé funkci? 44) Zjistěte, které z následujících funkcí jsou prosté, a najděte k nim inverzní funkce: a) f ( x) = 3x , b) f ( x) = ( x − 2)( x + 2) , c) f ( x ) = 2 + 3 x , d) f ( x ) =
3− x 1− 2 x
,
e) f ( x) =
x , 2 x +2
x3 f) f ( x ) = 3 , x +1
x
g) f ( x) = 4sin x ,
h) f ( x ) = 3 x −1 ,
i) f ( x ) = 1 + 3 + e 2 x ,
j) f ( x ) = 21+ln
x−2
)
(
x l) f ( x ) = 2 x
k) f ( x) = log 2 x + x 2 + 1 ,
,
x ≤1 x >1
.
45) Ve druhém sloupci najděte funkce inverzní k funkcím v prvním sloupci. 1 x f1 ( x) = g1 ( x) = x+2 1− x x x f 2 ( x) = g 2 ( x) = x −1 x −1 1 1 f3 ( x) = 3 + g3 ( x) = − 2 x x x 1 f 4 ( x) = − 2 g 4 ( x) = 2 x−3 x f5 ( x) = g5 ( x) = 2 x + 4 x +1 46) Může být funkce sama k sobě inverzní? 47) Ukažte, že každá z následujících funkcí je sama k sobě inverzní a nakreslete jejich grafy (v př. g) pro a = 1, b = −2 ). 1 b) f ( x) = − x , c) f ( x) = , a) f ( x) = x , x x +1 1 x d) f ( x) = , e) f ( x) = 2 + , f) f ( x) = − , x −1 x−2 x +1 ax + b , h) f ( x ) = 1 − x 2 pro x ≥ 0 . g) f ( x) = x−a 48) Následující složené funkce rozložte na jednotlivé složky. Určete (přirozené) definiční obory daných funkcí pomocí definičních oborů jednotlivých složek. a) f ( x ) =
3
x
1+ 3 x
b) f ( x ) =
,
(
)
d) f ( x) = cotg 5 1 + x5 , g) e
3 x − 2− x 2
,
1− x 1+ x
c) f ( x ) =
,
4
(3 + 4
3
2x
)
e) f ( x) = sin ( sin(sin x) ) ,
f) f ( x ) = sin 3 ( cos 2 x ) ,
h) f ( x) = ln ( sin x − 1) ,
i) f ( x) = ln
49) Ověřte, zda následující funkce splňují vztah f ( f ( f ( x) ) ) = x :
1 1 , b) f ( x) = 2 − , x x −1 1 , kde a + b = 1 . d) f ( x) = a − x+b
a) f ( x) = 1 −
50) Najděte funkce f (t ) , pro které platí: a) f (2 x) = x ,
b) f ( x + 1) = x ,
c) f (1 − x) = x ,
f) f (2 x) = 4 x − 1 ,
g) f ( x + 1) = 4 x − 1 ,
h) f (1 − x) = 4 x − 1 ,
c) f ( x) = −
3
,
1 − sin x . 1 + sin x
1 , x +1
( ) = x , e) f ( x ) = x , i) f ( ) = 4 x − 1 , j) f ( x ) = 4 x − 1 .
d) f
1 x
2
1 x
2
