Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 KULIAH-4 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1
FUNGSI DAN GRAFIKNYA
PERTIDAKSAMAAN
Hadi Hermansyah,S.Si., M.Si. Politeknik Negeri Balikpapan
Materi
Fungsi Notasi Fungsi Operasi Fungsi Macam-Macam Fungsi Fungsi Genap / Ganjil Fungsi Komposisi Sifat-Sifat Fungsi Fungsi Invers Domain dan Kodomain suatu fungsi invers
RELASI
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota anggota--anggota A dengan anggota anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya . Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :
Kurang dari
A
1. 2. 3. 4.
B
.1 .2 .3
Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “
Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .
A
Suka akan
B
Anto .
. Voli
Andi .
. Basket
Budi .
. Bulutangkis
Badri .
. Sepakbola
Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : Setengah dari Jawab :
P
Setengah dari
Q
1.
.2
2 .
.4
3 .
.6
4 .
.8
1
7
b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : Akar kuadrat dari
8
Himpunan B
Jawab : Akar kuadrat dari 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Himpunan A
9
C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } . Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari
Jawab :
a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) } b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) }
Fungsi
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan yang pertama disebut dengan daerah asal (domain) Himpunan yang kedua disebut dengan daerah hasil (range). Notasi Fungsi : y = f(x)
Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : A
B . 1
0. 2. 4. 6. Daerah asal/ Domain
. 2 . 3 . 4 . 5 Daerah kawan/ kodomain
Daerah hasil/ Range
Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f,g,h, dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan . Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2,u1,e 4,o 2. b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . 9/26/2014
16
Jawab : a . Diagram panah
A
B
a. .1 i . .2 u. .3 e. .4 o.
9/26/2014
17
b. Diagram cartesius 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9/26/2014
a i
u e o 18
c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b } 20
Jawab:
Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2
9/26/2014
21
Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 9/26/2014
22
Jawab :
a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 9/26/2014
23
Uji Kompetensi 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah A
9/26/2014
B
24
Pembahasan Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah Dua lebihnya dari
9/26/2014
A
B
2. 3. 4. 5.
.0 .1 .2 .3
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
9/26/2014
26
Pembahasan a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y .
9/26/2014
x
y
1. 2. 3.
.2 .3 .4 .5
Bukan fungsi
27
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
A
9/26/2014
B
1.
.1
2.
.2
3.
.3
Fungsi
28
3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .
9/26/2014
29
Pembahasan a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5
9/26/2014
x
x+3
-2 . -1 . 0. 1 . 2.
.1 .2 .3 .4 .5 30
b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )
9/26/2014
31
Operasi Fungsi
Diberikan dua fungsi f dan g : –
–
–
–
Penjumlahan : (f+g) (x) = f(x) + g(x) Pengurangan : (f-g) (x) = f(x) – g(x) Perkalian : (f.g) (x) = f(x) . g(x) Pembagian: (f/g) (x) = f(x) / g(x)
Soal 2
Diketahui : f(x) = √4+x dan g(x) = √16-x Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x) F(x) = {(1,2), (2,-3),(3,4),(4,3)} G(x) = {(1,0),(2,6),(3,-1),(5,2)} Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x)
F(x) = x² - 4 G(x) = x+4 Tentukan: (a) (f+g)(x) (b) (f-g)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f.g)(x)
Macam-Macam Fungsi
Fungsi Konstan f(x) = c c=konstanta contoh : f(x) = 3 Fungsi Identitas f(x) = x contoh : f(1) = 1
Fungsi Linier f(x) = ax + b, a≠0 Contoh: f(x) = 3x-1 Fungsi Modulus (mutlak) f(x) = |x| = x jika x ≥ 0 f(x) = |x| = -x jika x < 0 contoh : f(x) = |x|
Soal 3
Buat grafik dari fungsi : – – –
f(x) = |x-2| f(x) = -2x f(x) = -2
Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi, y = f(x) dikatakan: – –
Genap, jika f(-x)=f(x) Ganjil, jika f(-x) = - f(x)
Contoh: –
Fungsi Genap
Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y
–
Fungsi Ganjil
Grafik fungsi ganjil y = f(x) simetris terhadap titik asal.
Soal 4
Selidikilah apakah
Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya? F(x) = x² + x³, Fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya?
Fungsi Komposisi
(f o g) (x) = f(g(x)) –
–
Diberikan dua fungsi f dan g, yang dinyatakan dengan f x g Daerah asal adalah himpunan semua bilangan x didaerah asal g sehingga g(x) di daerah asal
x
g(x)
fog
f(x)
(g o f) (x) = g(f(x)) ( f o g o h) (x) = f(g(h(x))) Contoh: –
F(x) = 2x² - 3, G(x) = 3x+1, hitung:
– –
(f o g) (x)
Jawab: f(g(x)) =f (3x+1) = 18x² + 12x -1
Soal 5 1.
2. 3.
F(x) = x² - 4x + 3, hitung: (a) F(4) (b) F(4+h) (c) F(4+h)-f(4) F(x) = 3x² - 4x + 3, hitunglah (f(x+h) – f(x))/h! Tentukan f(x) jika g(x) = 3-2x dan (f o g)(x) = 1116x!
4. F(x) = 2x² - 3, G(x) = 3x+1, hitung: –
(g o f) (2)
5. f(x) = 3x², g(x)= x-2, h(x) = 2x-5, tentukan: a. (f o h o g) (x) = f(h(g(x))) b. (h o g o h)(-1)
Sifat-Sifat Fungsi
Fungsi injektif (satu-satu) –
–
F: AB dikatakan f injektif apabila anggota himpunan B yang mempunyai pasangan dihimpunan A maka tepat satu. Contoh : A B C
A
1 2 3
B
Fungsi Surjektif (onto) –
–
F:AB dikatakan f surjektif apabila setiap anggota himpunan B mempunyai pasangan pada himpunan A Contoh : A B C D
1 2 3
Fungsi Bijektif (koreponden satu-satu) – –
Adalah fungsi injektif dan surjektif. Contoh :
1 2 3
A B C
Soal 6
Selidiki apakah fungsi injektif, surjektif dan bijektif: – – –
Y = 3x – 2 Y = x² + 4 Y = x³
Fungsi Invers
Langkah-langkah menentukan invers y = f(x) –
– –
Nyatakan fungsi menjadi fungsi x dalam y : x = f(y) Ganti menjadi f-1(x) dan y menjadi x Contoh :
Tentukan invers f(x) = 3x -6 jawab: y = 3x-6 3x = y+ 6 x = (y+6)/3
.: f-1(x) = (x + 6)/3 = 1/3x + 2
Soal 7 1.
Tentukan invers dari : – – –
F(x) = (3x +2) / (x-5) F(x) = x² + 6x – 2 F(x) = 10x, f-1(100)!
2. g(x) = 2x-1 , f(x) = x/(x-+1), (f o g )-1 (x)!
Domain dan Kodomain Suatu Fungsi Invers
Menentukan Domain –
Linier / Persamaan Kuadrat F(x) = ax + b F(x) = ax² + bx + c :. Df = { x | x € R}
–
Rasional F(x) = a/x :. Df = { x | x ≠ 0, x € R }
–
Akar F(x) = √x :. Df = { x ≥ 0, x € R }
Menentukan Kodomain –
Kf = Df -1
Contoh: F(x) = (3x+1) / (x-1) –
–
Df = x-1 ≠ 0 x ≠ 1 = { x | x ≠ 1, x € R} Kf = Df-1 = x – 3 ≠ 0 x ≠ 3 = { x | x ≠ 3, x € R}
Soal 8
Tentukan domain dari : – –
F(x) = x / √(x-2) F(x) = 3 / (2x²-8)
Terima Kasih
