fu?%ma
Tim Penulis I A. Saepul Hamdani - IAIN Sunan Ampel Kusaeri - IAIN Sunan AmDel Surabava Itzani - IAIN l4ataram Mulin Nu'man - UNISIVIA Malang
Surabaya
Fun$si Linear
w DISKUSI KELOMPOK: FUN65I LINEAR Petunjuk '1
.
2.
Berkelompoklah dengan anggota 4 orang yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 2 mahasiswi. Diskusikan/kerjakan penanyaan di bawah
Pertonyoon Diskusi '1. Fungsi f didefinisikan dengan
2.
rumus f(x) =
a) b)
Tentukan domain, kodomain, dan range Hitunglah f(3), fC2), dan fC5)
c)
Bila f(a) = 2 tentukanlah persamaan dalam a dan selesaikanlah.
Carilah persamaan garis yang melalui a) titik A(2,0) dan BG3,-l)dan b) titik (2,0) sejajar dengan sumbu-y.
14 - 4
FUN65I LINEAR Pada uraian materi ini akan di bahas mengenai Fungsi Linear Gradien Menggambar Grafik Fungsi Linear
. . .
A.
:
Fungsi Lineor
Dalam banyak hal, garis lurus merupakan bentuk yang paling sederhana dari semua kurva. Fungsif: R)R yang didefinisikan sebagai f(x) = mx + n dengan m dan n konstanta, m+0 disebut sebagai fungsi linier alau fungsi berderajad satu dalam x. Bila digambar dalam pada bidang Canesius, grafik fungsi y = f(x) = mx + nakan berupa garis lurus. l\4ulai saat ini kita gunakan kata garis sebagai kata lain untuk garis lurus. Garis
absis x: -#
tersebut '
dan memotong sumbu y di titik
akan memotong sumbu x dititik dengan dengan ordinat y = n. Nilai m pada koeflsien x di atas disebut sebagai gradien (kemiringan atau koefisien arah). Sebuah garis merupakan objek geometri. Bila ditempatkan pada suatu koordinat bidang, garis initentulah mempunyai persamaan. Bagaimana kita mencari persarnaan suatu garis? Untuk menjawabnya, kita memerlukan pengertian yang mendasar tentang kemiringan (gradlen) sebagaiman sudah disinggung di depan.
Contoh '14.1 : Diketahui fungsi linierf: x+mx + n dengan f(0) = 4 dan (4) = 4. a. H;tunglah nilai m dan n dan selanjutnya tentukan rumus f(x) b. Carilah titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. Jawab. a. Bentuk f: x )mx + n dapat ditulis menjadiy = f(x) = mx + n f(0)=4 5"run' rn ,0, * n = 4 dan diperoleh nilai n =4. + 4 = -4 dan diperoleh nilai m =-2. f(4) = + 5"run' Dengan demikian, nilai m = -2 dan n = 4 berakibat rumus untuk f adalah:
t.,rt
l(x)=2Y*4 6. y=l(x\=-2x+4.
Titik potong dengan sumbu x dicapai pada titik dengan absis x =
m2
sehingga titik potong yang dimaksud adalah (2,0). Cara lain, titik poiong dengan sumbu x dicapai bila y = 0, dlperoleh -2x + 4 = 0 atau x : 2. Titik potong dengan sumbu x yang dimaksud adalah (2,0).
Titik potong dengan sumbu y dicapai pada titik dengan ordinat y = n =4, sehingga diperoleh titik yang dimaksud (0,4). Cara lain yang bisa dilakukan, garis akan memotong sumbu y bila nilai x = 0, sehingga y = -2(O) + 4= 4. Hasilnya diperoleh titik yang sama yakni (0,4).
B. Grodien Sekarang, jika suatu garis yang melalui titik A dan B, memiliki suatu kenaikan (perubahan tegak) sebesar 2 satuan dan perubahan mendatar sebesar 5 satuan, dikatakan bahwa garis itu mempunyai tanjakan Secara umum, untuk sebuah garjs yang melalui titik A(x,, yl) dan B(x,, %) dengan x,+xt kemiringan (m) dari garis itu didefinisikan sebagai
1
--./:-tr ^2
-1
Kemiringan m adalah ukuran kecuraman suatu garis. Perhatikan bahwa garis mendatar mempunyai kemiringan nol- Garis yang naik ke kanan mempunyai kemiringan positifdan garis yang jatuh ke kanan mempunyai kemiringan negatif. Semakin besar kemiringannya, semakin curam garis tersebut. Sedangkan konsep kemiringan untuk garis tegak tidak mempunyai arti, karena akan menyangkut pembagian oleh nol. Karenahya, kemiringan untuk garis tegak dibiarkan tak terdefinisi.
d.
Persomoon 6aris Lurus
Misalnya, kita mempunyai garis melaluititik (3,2) dan mempunyai kemiringan (gradien):.
Ambil sebarang titik pada garis
misalnya titik itu mempunyai koordinat (x,y). Jika kita
'tu, 2 gunakan titik{itik ini dan titik (3,2) untuk mengukur kemiringannya, kita akan mempero'eht Denqan demikian: 2
x3
5
Atau s6telah dikalikan dengan x-3, diperoleh y- 2 = ? 1x- 3;. Pernatikan bahwa persamaan yang terakhir inidipenuhioleh semua titik pada garis, bahkan oleh (3,2). Lebih lanjut, tak satupun titik yang tidak terletak pada garis tersebut yang dapat memenuhi persamaan ini. Apa yang baru saja kita lakukan dalam contoh ini, tentunya dapat di'akukan secara umum. Garis yang melalui titik (x,,y,) dengan kemiringan (gradien) m mempunyai persamaan:
!-!1 =m(x-x1)
Contoh 14.2
:
Carilah persamaan garis yang melaluititik (-4,2) dan titik (6,-1).
Jawab: Kemiringan m dari garis itu adatah m
- yt ---l 2 --:. = lt rr 6+4 10
Bila titik (4,2)
-trr
diambil sebagai titik tetap, maka akan kita dapatkan persamaan y
-Z=-
t(, -16*
+1.
Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam bermacam-macam bentuk. lvlisalnya diberikan gradien m suatu garis dan garis memotong sumbu y di (0,b). Dengan memilih (0,b)sebagai (x,,y,) dan menerapkan formula y- yj = m(x-x,) akan diperoleh y-b = m(x-0) atau dapat ditulis menjadi:
y=mx+b'
Apa menariknya hal ini? Setiap kali En yang dituliskan seperti ini, kita mengenalnya sebagai garis dan dengan segera oapat mengetahui kemiringan (gradien) dan perpotongannya dengan sumbu y. Misalnya, perhatikan persamaan 3x - 2y + 4 = 0. ' Jika diselesaikan dalam x untuk y, y
=
13 " x + 2 dan ini merupakan 2Z
diperoleh:
persamaan garis dengan gradien
;
serta
memotong sumbu y pada nilai y = 2. Untuk garis-garis tegak, tidak sesuai dengan pembahasan di atas. Garis seperti ini tidak mempunyai kemiringan (gradien). Akan tetapi, tetap mempunyai persamaan x =
\
:z , karena sebuah titik berada pada garis jika dan hanya jika
memenuhi persamaan ini. Persamaan sebarang garis tegak dapat ditulis dalam bentuk x = k dimana k adalah sebuah konstanta. Perlu diperhatikan bahwa persamaan suatu garis mendatar dapat dituliskan dalam bentuk y = k, Akan sangat menarik bila mempunyai suatu persamaan yang mencakup semua garis, termasuk garis-garis tegak. Ambilah misalnya y - 2 = -4(x + 2), y = 5x - 3 dan x = 5. Bentuk-bentuk seperti yang ditulis terakhir dapat ditulis ulang menjadi 4x + y + 6 = 0, -5x + y + 3 = 0 dan x + 0y- 5 = 0. Semuanya berbentuk:
Ax+By+C=0 dengan A, B dan C konstanta. Persamaan ini disebut sebagai persamaan linier umum. Hanya memerlukan pemikiran sekejap untuk melihat bahwa persamaan sebarang garis dapat dibuat dalam bentuk ini. Sebaliknya, grafik persamaan garis umum ini selalu berupa sebuah garis.
Lembor Peniloion 14.4 Jenis Peniloion Penilaian pada pertemuan ini meliputi tes tertulls
Instrumen Peniloion Selesaikanlah soal-soal berikut: 1. Jika R-tR, f(x) = ax + b dan f(3) = 10, f(5) = 28 maka: a. Carilah rumus untuk f. b. Gambarlah grafik fungsi dari f. Tentukan titik potong grafik fungsi f dengan sumbu-x dan sumbu-y. 2. Carilah gradien dari garis yang melalui dua titik yang diberikan di bawah ini. a. (2,3) dan (4,8) c. (2,-4) dan (0,-6) b. (4,2) dan (3,0) d. C6,0)dan (0,6) 3. Carilah sebuah persamaan untuk setiap garis berikut, kemudian tuliskan jawaban Anda dalam bentuk Ax + By + C = 0 a. Melalui (2,3)dengan gradien 4. b. Melalui (3,-4)dengan gradien -2 c. Memotong sumbu v di y = 4 6un nrud .n -t d. Melalui (2,-3)dan (2,5). e. Melalui G5,0)dan G5,4). 4. Carilah kemiringan (gradien) dan perpotongan dengan sumbu x serta sumbu y untuk setiap garis di bawah ini.
i
c.
5.
c.2x+3y=6 d.4x+5y=-20
a.3Y=2x-4 b. 2y-5x+2
Buktikan bahwa persamaan garis yang melalui titik potong dengan sumbu x pada nilai x = a dan titik potong dengan sumbu y dengan nilai y = b dimana
a+0danb+0adalah
ab
ffi Doftor Pustoko 14.5 Adjie, Nahrowi, Rostika dan Deti, 2006. Konsep Dasar Matematika. Bandung: FIP Universitas Pendidikan lndonesia Bartle, Robert & Sherben, Donald R, 1992. lntroduction to RealAnalysis. New York : John Wiley & Sons, lnc. Dossey, J.A., McCrone, S., Giordano F.R., Weir, M.D.,2002., Mathenatics Methods and Modeling for Today's Mathematics Classtoom: A Contemporary Approach to Teaching Grades 7 12. Thomson Learning Inc. Australia.
-
Hease, Robert & Sandra, dan Kappelle, 2005. Corc Skills Mathematlcs 9. Adelaide South Australia: Raksar Nominees, Pty Ltd. Kenneth H. Rosen. 2003. Discrefe Mathematics and lts Apprbaflot, lvlccraw - Hill Higher Education. Nolan J, Phillips G, Watson J, Denney C, Stambulic S., 2000. l\4ath Quest 12: Mathematical Methods. John Wiley & Sons. Australia Purcell, Edwin J & Varbg, Dale, 1990. Kalkulus sdan Geometri Analitis Jilid 1. Jaka.la: Penerbit Erlangga. Sm:th, Stanley A, 2001. Algebra 2 with Trigonometri. New Jersey USA: Prentice Hall.
Theresia. 1999. Pengantar Dasar Matematika. Surabaya: Erlangga. Yunus, M, 2007. logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta: Graha llmu.
**
