FREKUENSI PENERBANGAN OPTIMAL PADA BEBERAPA JARINGAN PENERBANGAN
SLAMET APRIAN UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010
ABSTRAK SLAMET APRIAN UTOMO. Frekuensi Penerbangan Optimal pada Beberapa Jaringan Penerbangan. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO. Setiap maskapai penerbangan memiliki strategi khusus untuk memaksimumkan keuntungan. Salah satu cara memaksimumkan keuntungan ialah dengan cara menentukan frekuensi penerbangan yang optimal. Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang penentuan frekuensi penerbangan optimal pada jaringan direct, hub and spoke, subtour, dan tour. Frekuensi penerbangan optimal ditentukan dengan cara meminimumkan biaya total yang merupakan jumlah seluruh biaya yang berhubungan dengan operasional maskapai tersebut. Dalam karya ilmiah ini dilakukan simulasi dengan mengasumsikan suatu maskapai penerbangan yang melayani penerbangan ke-enam kota dengan radius penerbangan 1000 mil. Jika setiap harinya terdapat 50 permintaan untuk transit di setiap kota dan dengan memberikan nilai biaya-biaya yang berkaitan dengan operasional maskapai tersebut, akan didapatkan frekuensi penerbangan optimal untuk tiap-tiap jaringan, yaitu 2 penerbangan untuk jaringan direct, 5 penerbangan untuk jaringan hub and spoke, dan 3 penerbangan untuk tour.
ABSTRACT SLAMET APRIAN UTOMO. Flight Optimal Frequency of Some Airline Network Design. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO. To maximize profit, every airlines has special strategics. One of the strategics is to find the flight optimal frequency. This manuscript explains about how to determine the flight optimal frequency of direct network, hub and spoke network, subtour network, and tour network. Flight frequency optimal is determinated by minimizing a total cost which is sum of the cost that connect with the airline operational. In this manuscript simulation is done by assuming that airline service flight to six cities with 1000 miles of radius. If there are 50 demands for transit on each cities every day and airline costs are given, the optimal flight frequency for each network would be two flights for direct network, five flights for hub and spoke network, and three flights for tour network.
FREKUENSI PENERBANGAN OPTIMAL PADA BEBERAPA JARINGAN PENERBANGAN
SLAMET APRIAN UTOMO
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010
Judul Skripsi Nama NIM
: Frekuensi Penerbangan Optimal pada Beberapa Jaringan Penerbangan : Slamet Aprian Utomo : G54061563
Menyetujui Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP: 19720627 199702 1 002
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP: 19650820 199003 1 001
Mengetahui: Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Berbagai kendala dialami oleh penulis sehingga banyak sekali orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.
Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah SWT, atas maha karya-Nya yaitu bumi yang sempurna ini; 2. keluarga tercinta: bapak dan ibu, ibu sebagai pemberi motivasi dan bapak sebagai sumber inspirasi, untuk Reni, Putra dan Vina yang selalu memberikan semangat dan doa. 3. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa; 4. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu, kritik dan saran, motivasi serta doanya; 5. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan doanya; 6. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan; 7. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Bapak Hery, Bapak Deni, Ibu Ade, Bapak Epul, Bapak Bono dan Ibu Susi atas semangat dan doanya; 8. sahabat yang selalu memberi semangat: Nia, Wira, Sofyan, Tami, Tania, Arum, Bayu, Adi, Fardan, Dandi, dan Supri; 9. kawan yang selalu memberi inspirasi: Fauzan, Bayu, Norman, Dito, Avif, Yan, Hendra, Teguh, Febri, dan Diaz; 10. Nur Andini yang sudah meminjamkan buku Purcell; 11. semua teman Matematika 42 yang selalu menjadi contoh yang baik; 12. semua teman Matematika 43 yang selalu menjadi bagian dari keluarga; 13. semua teman Matematika 44 yang selalu mendukung agar terus berkembang; 14. perkumpulan perpustakaan: Ricken, Agnes, Ryu, Peny; 15. teman satu pembimbing: Albrian, Lina; 16. teman kamar C3-271: Fabian, Giri, Soko; 17. teman seperjuangan: Igoey, Agung, Slamet, Irsyad, Deni, Dedi, Arsyad; 18. Gumatika yang telah mengasah pribadi ini menjadi pribadi yang tangguh; 19. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2010 Slamet Aprian Utomo
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... viii PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................................................................. 1.2 Tujuan Penulisan ..............................................................................................................
1 1
LANDASAN TEORI Turunan ................................................................................................................................... Nilai Ekstrem .......................................................................................................................... Titik Kritis .............................................................................................................................. Maksimum dan Minimum Lokal ............................................................................................ Prinsip Maksimum: Maksimisasi dan Minimisasi Fungsi ...................................................... Kemonotonan Fungsi .............................................................................................................. Fungsi Utilitas ......................................................................................................................... Peubah Acak Eksponensial ..................................................................................................... Sebaran Erlang ........................................................................................................................ Aturan Sinus ...........................................................................................................................
1 1 2 2 2 2 2 2 3 3
III JARINGAN PENERBANGAN 3.1 Peubah .............................................................................................................................. 3.2 Asumsi ............................................................................................................................. 3.3 Deskripsi Jaringan ............................................................................................................
4 4 5
I
II
IV
PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Keuntungan ......................................................................................................... 4.2 Fungsi Biaya .................................................................................................................... 4.2.1 Biaya Penundaan Jadwal ....................................................................................... 4.2.2 Biaya Perjalanan .................................................................................................... 4.2.2.1 In-flight Time ........................................................................................... 4.2.2.2 Ground Time ........................................................................................... 4.2.2.3 Planned Delay Time ................................................................................ 4.2.3 Biaya Maskapai ...................................................................................................... 4.2.3.1 Biaya Variabel ......................................................................................... 4.2.3.2 Biaya Tetap ............................................................................................. 4.3 Frekuensi Optimal ............................................................................................................ 4.4 Pengaruh Radius, Tingkat Permintaan, dan Banyaknya Kota pada Rute Optimal .......................................................................................................................... 4.5 Simulasi ...........................................................................................................................
7 7 7 8 8 9 10 11 11 12 12 12 13
IV SIMPULAN .............................................................................................................................. 15 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................
16
LAMPIRAN ...........................................................................................................................
18
vii
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Biaya variabel per seat-mile ............................................................................................. Biaya tetap per seat-day ................................................................................................... Jaringan subtour ............................................................................................................... Jaringan tour ..................................................................................................................... Jaringan hub and spoke ..................................................................................................... Jaringan direct .................................................................................................................. Jarigan direct pada lingkaran dengan radius R ................................................................ Jarigan subtour pada lingkaran dengan radius R ............................................................. Jarigan tour pada lingkaran dengan radius R ................................................................... Grafik waktu perjalanan (jam) vs jaringan (k) ................................................................... Grafik biaya penumpang ($) vs jaringan (k) ..................................................................... Grafik biaya tetap ($) vs jaringan (k) ................................................................................. Grafik biaya variabel ($) vs jaringan (k) ........................................................................... Grafik biaya total ($) vs jaringan (k) ................................................................................
5 5 6 6 6 6 8 8 8 13 14 14 14 14
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bagan atribut-atribut dari fungsi biaya .............................................................................. In-flight time untuk jaringan subtour dan tour (k > 0) ...................................................... Ground time untuk jaringan subtour dan tour (k > 0) ........................................................ Planned delay time untuk jaringan subtour dan tour (k > 0) ............................................. In-flight time untuk jaringan direct (k = 0) ....................................................................... Ground time untuk jaringan direct (k = 0) ........................................................................ Planned delay time untuk jaringan direct (k = 0) ............................................................. Biaya penundaan jadwal ................................................................................................... Biaya total, TC(k) .............................................................................................................. Frekuensi optimal ............................................................................................................. Bukti penjumlahan peubah eksponensial menyebar erlang dengan parameter k dan λ........ Program Mathematica 7.0 untuk simulasi ........................................................................
17 19 21 23 25 26 26 26 26 27 28 28
viii
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 14 April 1989 sebagai anak pertama dari empat bersaudara, anak dari pasangan Asdjari dan Sukarmi. Pada tahun 2000 penulis lulus dari SD Negeri 23 Jakarta kemudian tahun 2003 lulus dari SLTP Negeri 172 Jakarta. Tahun 2006 penulis lulus dari SMA Negeri 89 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Pada tahun 2007, penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Pengantar Metode Komputasi tahun ajaran 2008/2009, asisten mata kuliah Analisis Numerik semester pendek tahun ajaran 2010/2011 dan asisten Pemrograman Riset Operasi semester pendek tahun ajaran 2010/2011. Penulis juga aktif dalam mengajar Matematika bimbingan belajar privat maupun kelompok mahasiswa. Penulis pernah mengikuti seleksi olimpiade nasional Matematika dan IPA (ON-MIPA) sebagai wakil IPB pada tahun 2009. Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yang dikenal dengan GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai anggota Departemen Keilmuan tahun 2008/2010. Penulis juga pernah menjadi tutor dalam acara Pelatihan Komputer 2009. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain koordinator Logistik dan Transportasi Try-Out Pengantar Matematika mahasiswa IPB 2007, koordinator Logistik dan Transportasi Matematika Ria dalam acara Pesta Sains se-Indonesia 2008, ketua panitia Matematika Ria dalam acara Pesta Sains se-Indonesia 2009, koordinator Humas Masa Pengenalan Departemen Matematika 2008.
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dunia penerbangan khususnya penerbangan komersial berkembang cukup cepat seiring dengan perkembangan perekonomian dan teknologi. Perkembangan ini semakin terasa di era globalisasi. Seiring dengan itu, semakin dibutuhkan juga alat transportasi yang cepat dan dapat mendukung globalisasi itu sendiri. Hal itu juga didukung dengan berkembangnya teknologi dan dengan diciptakannya pesawat terbang yang semakin canggih. Dunia transportasi yang semakin berkembang khususnya di sektor perhubungan udara dimanfaatkan oleh para pengusaha jasa transpotasi udara untuk memperluas dan memperbanyak pesawat. Mobilitas masyarakat yang semakin lama semakin tinggi, mengakibatkan jasa transpotasi udara semakin menjamur. Dengan menggunakan transportasi udara, sampai di tempat tujuan secara cepat dan aman menjadi dambaan setiap konsumen. Tingginya mobilitas membawa konsekuensi bagi pelaku bisnis juga transportasi udara ini untuk semakin bersaing dalam dunia usaha penerbangan. Bagi industri jasa penerbangan, maraknya perusahaan penerbangan membuat persaingan menjadi lebih hidup. Setiap perusahaan memberikan harga paling kompetitif dan pelayanan yang optimal agar bisa menarik penumpang dan memenangkan persaingan, karena hanya perusahaan penerbangan yang memberikan pelayanan excellent dan sangat efisien yang akan keluar sebagai pemenang. Dalam usahanya untuk dapat menarik penumpang, para industri jasa penerbangan
lebih peka terhadap keinginan penumpang. Untuk itulah, maka perusahaan berusaha menilai faktor-faktor apa saja yang akan mempengaruhi kepuasan pelanggannya dan apakah telah memenuhinya. Misalnya dengan melakukan pengaturan distribusi (frekuensi penerbangan) berimbang dan terarah. Frekuensi penerbangan merupakan jumlah penerbangan dari tempat asal ke tempat tujuan dalam kurun waktu tertentu. Pemilihan atas penggunaan tipe pesawat juga berpengaruh dalam menentukan frekuensi penerbangan, di mana pilihan penggunaan tipe pesawat kecil dengan tingkat frekuensi penerbangan yang rendah yang pada akhirnya dapat mempengaruhi keuntungan perusahaan. Selain memperhatikan penggunaan tipe pesawat, harus diperhatikan juga jaringan yang akan digunakan. Dalam hal ini, jaringan yang digunakan ada empat, yaitu direct, hub and spoke, subtour, dan tour. Dengan memilih jaringan yang akan digunakan, maka nantinya akan didapatkan frekuensi optimal untuk setiap jaringan tersebut. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah adalah sebagai berikut : 1. Menentukan frekuensi penerbangan optimal berdasarkan jenis jaringan (direct, hub and spoke, tour, subtour), 2. Mengidentifikasi parameter-parameter yang mempengaruhi frekuensi penerbangan optimal dengan jaringan tertentu.
II LANDASAN TEORI Untuk memahami masalah yang terjadi pada karya ilmiah ini diperlukan pengertian beberapa konsep berikut ini. Definisi 1 Turunan Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas. Turunan fungsi f pada sebarang bilangan dinyatakan dengan f’(c) adalah f '(c ) = lim h→0 jika limit ini ada.
f ( c + h) − f (c ) h
,
Jika x = c + h , maka h = x − c dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x mendekati c, maka turunan f di c dapat ditulis sebagai
f ( x ) − f (c ) f '(c ) = lim . x→c x−c (Purcell & Varberg 2004) Definisi 2 Nilai Ekstrem Andaikan S, daerah asal f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa f(c) adalah nilai ekstrem f pada S jika ia merupakan nilai maksimum atau nilai minimum. (Purcell & Varberg 2004)
2
Deefinisi 3 Titik k Kritis Andaikan f terdefinisikaan pada selanng I yaang memuat titik t c. Jika f (c) adalah nilai ekkstrem maka c haruslah berupa b suatu titik krritis; yakni c berupa b salah saatu: (i)) titik ujunng dari I; (iii) titik stasiioner dari f (f’’(c) = 0); atau (iiii) titik singgular dari f (f’((c) tidak ada). (Purcelll & Varberg 2004)
Deefinisi 4 Mak ksimum dan Minimum M Lookal Andaikan S daerah asaal f, menganddung tittik c. Dikatakaan bahwa: (i)) f(c) adallah suatu nilaii maksimum lokal l dari f jikka terdapat sebbuah interval (a,b) ( yang berrisi c sehinggaa f(c) adalah nilai maksimuum dari f padaa (a,b) ∩ S; (iii) f(c) adalah suatu nilaai minimum lokal l ( dari f jikka terdapat sebbuah interval (a,b) yang berrisi c sehinggaa f(c) adalah nilai minimum m dari f pada (a,b) ∩ S; (Purcelll & Varberg 2004) Deefinisi 5 Prin nsip Maksimu um: Maksimisasi dan Min nimisasi Funggsi Penerapan dari turunann pertama salah s saatunya adalah menguji nilaai maksimum dan miinimum. Dallam kalkulus dikenal denngan sebutan Uji Turunan T Pertaama. Andaikaan f y memuat titik koontinu pada selang (a,b) yang krritis c. (i)) Jika f’(xx) > 0 untukk semua x daalam (a,c) daan f’(x) < 0 untuk semuua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai mum lokal f. maksim (iii) Jika f’(xx) < 0 untukk semua x daalam (a,c) daan f’(x) > 0 untuk semuua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimuum lokal f. (iiii) Jika f bertanda b sama pada kedua belah b pihak c,, maka f(c) buukan nilai ekstrem lokal f. (Purcelll & Varberg 2004) monotonan Fu ungsi Deefinisi 6 Kem Andaikan fuungsi f terdefiinisi pada selaang I (teerbuka, tertuutup, atau bukan keduannya). Diikatakan bahw wa i. f adalah naik pada I jika untuk seetiap
x1 daan x2 dalam I pasang bilangan b i ii.
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . f adalah turun pada I jika untuk seetiap x1 daan x2 dalam I pasang bilangan b x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
iii.
f monnoton murni ppada I jika ia naik pada I atau turun paada I. (Purceell & Varberg 2004)
ungsi Utilitas Definisi 7 Fu Fungsi utilitas u (utilityy function) adalah suatu fungsii yang menunjukkan tingkat t kepuasan seseeorang dari m mengonsumsi barang b dan jasa, yangg dinotasikan sebagai beriku ut: U ( X1 , X 2 , …, X n ) dengan
X i , i = 1, 2,..., n
meru upakan
banyaknya b prroduk yang dikkonsumsi. Kegunaann total barangg yang dikon nsumsi seorang indivvidu biasanya semakin men ningkat pada p saat diia mengonsuumsi suatu produk. p Pada tingkat tertentu, keggunaan marjin nalnya menjadi lebiih kecil dibbandingkan dengan d sebelumnya. Hal ini terjaadi sejalan dengan d kejenuhan inddividu bersanggkutan akan produk p itu. Berikut inni adalah contooh kurva utilittas:
A B C
Pada kurvva utilitas dii atas terdapaat tiga garis yang menunjukkan m n tingkat kep puasan seseorang teerhadap produuk1 dan pro oduk2. Garis A menuunjukkan tinggkat utilitas terrtinggi dibandingkann dengan garis B dan C. n 1991) (Nicholson Definisi 8 Peeubah Acak E Eksponensial Peubah acak a diikatakan men nyebar X eksponensial jika memilikki fungsi kepekatan peluang p sebaggai berikut:
⎧λ e − λ x f ( x) = ⎨ ⎩ 0
,x≥0 ,x<0
dengan λ > 0 sebagai param meter. Sebaran eksponensiall memiliki harapan sebaggai berikut:
E ( x) =
1
λ
nilai
3
memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
serta ragam sebagai berikut:
var( x ) =
1
λ
2
. (Ross 1990)
Definisi 9 Sebaran Erlang Peubah acak dikatakan menyebar erlang jika memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut: f ( x; k , λ ) =
λ k x k −1e − λ x ( k − 1)!
dengan k > 0 dan λ > 0 sebagai parameter.
f x1 + x2 +...+ xn ( x) = λ e =
−λ x
(λ x )
k −1
( k − 1)!
λ k x k −1e − λ x ( k − 1)!
.
Pembuktian lihat Lampiran 10. (Ross 1990) Definisi 10 Aturan Sinus Misalkan terdapat segitiga dengan sisi dan sudut seperti pada gambar berikut ini.
Sebaran erlang memiliki nilai harapan sebagai berikut:
k
E ( x) =
λ
serta ragam sebagai berikut:
var( x ) = Misalkan
k
λ
2
X1 , X 2 , ..., X n
.
Aturan sinus menyatakan bahwa: adalah peubah
acak eksponensial yang saling bebas dengan nilai harapan 1 / λ . Jika dijumlahkan, X 1 + X 2 + ... + X n akan menyebar Erlang dengan parameter k dan λ sehingga akan
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
.
(Beardon 2005)
III JARINGAN PENERBANGAN 3.1 Peubah Dalam menganalisis jaringan dan jadwal akan digunakan model yang diidealkan yaitu model yang menggunakan analisis turunan yang berhubungan dengan persamaan biaya penumpang dan biaya maskapai. Berikut adalah peubah-peubah yang digunakan : n : banyaknya kota R : radius (mil) v : kecepatan pesawat (mil / jam) f : frekuensi penerbangan (penerbangan / hari) k : banyaknya kota pada subtour di jaringan subtour m : (=n/k) banyaknya subtour di jaringan subtour ρ : permintaan transit dari satu kota ke kota lain yang dilayani per hari (penumpang / hari) i : indeks kota, i = 1 ,… ,n p : indeks subtour untuk jaringan subtour, p = 1, ... , m per : ground time per penerbangan; lepas landas dan pendaratan (jam) α : peluang terjadinya delay pada saat lepas landas atau pendaratan τ : parameter penundaan; 1/τ merupakan nilai harapan dari delay ω : biaya keterlambatan per penumpang per jam ($ / jam penumpang) z : biaya perjalanan per penumpang per jam ($ / jam penumpang) a,b : parameter dari biaya variabel pesawat c,d : parameter dari biaya tetap pesawat F(k) : in-flight time kumulatif per hari semua penumpang pada jaringan k (jam penumpang / penerbangan hari) G(k) : ground time kumulatif per hari semua penumpang pada jaringan k (jam penumpang / penerbangan hari) Aα : planned delay time pada kota tujuan untuk memastikan peluang keterlambatan tidak lebih dari α (jam) Bα : planned delay time pada hub untuk memastikan peluang keterlambatan tidak lebih dari α (jam) D(k) : planned delay time kumulatif per hari semua penumpang pada jaringan k (jam penumpang / penerbangan hari) SIZE(k) : banyaknya kursi yang dibutuhkan setiap pesawat pada jaringan k (penumpang / penerbangan) f* : frekuensi optimal per hari (penerbangan / hari)
N(k) : peubah yang didefinisikan untuk penyetara SIZE(k) (penumpang / hari) SM(k) : banyaknya kursi-mil kumulatif per hari untuk semua pesawat pada jaringan k (mil penumpang / hari) T(k) : total waktu sebuah pesawat untuk menyelesaikan rutenya pada jaringan k (hari / penerbangan) TS(k) : total kursi pesawat yang dibutuhkan untuk mencocokkan dengan jadwal pada jaringan k (penumpang / penerbangan) VC(k) : biaya variabel maskapai untuk jaringan k ($ / penerbangan hari) FC(k) : biaya tetap maskapai untuk jaringan k ($ / penerbangan hari). 3.2 Asumsi Berikut ini adalah asumsi-asumsi yang digunakan dalam menganalisis jaringan dan jadwal: Asumsi 1. Terdapat n kota yang terletak pada lingkaran berjari-jari R. Setiap dua kota yang berdekatan memiliki jarak yang sama. Asumsi 2. Terdapat permintaan ρ, yang sama untuk semua pasangan kota asal dan tujuan. Setiap harinya tingkat permintaan sama. Asumsi 3. Frekuensi yang dijadwalkan sama per harinya, begitu juga dengan jadwal keberangkatan yang sama per harinya. Asumsi 4. ω dan z sama untuk tiap kota asal dan tujuan. Asumsi 1 sampai 4 dibuat untuk mempermudah perhitungan fungsi biaya, seperti asumsi 1 yang dibuat untuk mempermudah perhitungan biaya in-flight yang membutuhkan perhitungan jarak yang ditempuh pesawat. Asumsi 5. Tidak ada permintaan dari atau ke hub. Asumsi 5 dibuat sehingga jaringan optimal yang digunakan tidak bergantung pada permintaan dari atau menuju hub. Asumsi 6. Delay yang diakibatkan takeoff atau mendarat tidak bergantung pada banyaknya pesawat yang takeoff atau mendarat.
5
Asumsi 6 menunjukkan bahwa antrian pada hub tidak akan mengubah jaringan optimal yang terpilih nantinya. Asumsi 7. Pesawat yang tersedia selalu dapat memenuhi tingkat permintaan yang bervariasi. Jadwal penerbangan memiliki kapasitas untuk memenuhi permintaan tertinggi untuk suatu bagian rute. Asumsi 7 merupakan gambaran bahwa pesawat selalu dapat memenuhi tingkat permintaan yang bervariasi. Selain itu, pada kenyataannya untuk mencocokkan jadwal ukuran pesawat dengan permintaan tidaklah mudah. Asumsi ini dibuat sehingga ukuran pesawat dan permintaan dapat dicocokkan. Asumsi 8. Biaya variabel untuk menerbangkan pesawat adalah linear dalam jarak yang ditempuh per kursi, tetapi bergantung pada ukuran pesawat. Biaya tetap untuk menggunakan pesawat menunjukkan tingkat ekonomi yang bergantung pada ukuran pesawat. Asumsi 8 dibuat dengan menggunakan data empirik. Gambar 1 dan Gambar 2 menunjukkan biaya maskapai. Gambar-gambar tersebut menggambarkan biaya variabel per seat-mile dan biaya tetap per seat-day sebagai fungsi dari ukuran pesawat (Lederer et al. 1998).
Gambar 1. Biaya variabel per seat-mile. #
1.79
. #
Gambar 2. Biaya tetap per seat-day Φ #
91.45
0.13 #
Biaya variabel dapat dituliskan sebagai berikut: #
#
.
Biaya tetap dapat dituliskan sebagai berikut: Φ #
#
.
3.3 Deskripsi Jaringan Pada subbab ini akan dijelaskan lebih detail tentang jaringan. Diasumsikan bahwa tiap jaringan dioperasikan dengan jadwal yang memiliki frekuensi penerbangan f per hari dan ukuran pesawat yang memenuhi permintaan. Setiap jaringan dipastikan dapat diulang untuk beberapa periode. Pada jaringan subtour, n kota dibagi menjadi m bagian, dengan tiap bagian terdapat k (=n/m) kota yang berhubungan. Pada jaringan ini, setiap 1/f hari pesawat berangkat dari kota pertama menuju kota selanjutnya yang terdekat, berlanjut hingga kota k pada subtour. Dari kota k, pesawat akan berangkat menuju kota yang dianggap sebagai hub. Pada hub akan terjadi perpindahan penumpang sesuai dengan tujuan masing-masing pesawat. Dari hub, pesawat akan kembali menuju kota pertama dengan melalui kota-kota yang sama pada subtour tadi. Jaringan subtour dinotasikan dengan 0 < k < n dengan k = n/m. Berikut ini adalah gambar jaringan subtour dengan n = 6 dan m = 3 sehingga k = 2.
6
4
3
Hub
5
6
2
1
Gambar 3. Jaringan subtour Pada jaringan tour, setiap 1/f hari pesawat berangkat dari kota 1 menuju kota 2, kemudian dilanjutkan ke kota 3, hinggga sampai di kota n. Setelah tiba di kota n, pesawat akan kemabali lagi menuju kota 1 melalui jalur yang sama seperti saat menuju kota n tadi. Dengan begitu, setiap kota yang berpasangan dilayani dengan frekuensi f kali penerbangan. Jaringan tour dinotasikan dengan k = n. Berikut ini gambaran dari jaringan tour dengan n = 6 dan k = 6.
4
3
5
Pada jaringan direct, setiap 1/f hari sebuah pesawat pergi dari kota 1 menuju kota 2, lalu kembali lagi ke kota 1, kemudian pesawat pergi ke kota 3 dan kembali lagi ke kota 1, lalu pesawat menuju kota 4 dan kembali menuju kota 1. Hal ini berlanjut hingga kota n dan kembali lagi ke kota 1. Setelah semua kota terhubung oleh kota 1, pesawat pergi ke kota 2 (mungkin dalam keadaan kosong). Dari kota 2, pesawat pergi ke kota 3 dan kembali lagi ke kota 2, kemudian pesawat menuju ke kota 4, kembali lagi ke kota 2, dilanjutkan hingga kota n dan kembali lagi ke kota 2. Setelah selesai dengan kota 2, pesawat pergi menuju kota 3. Dari kota 3, pesawat melakukan hal yang sama seperti pada kota-kota sebelumnya hingga semua kota terhubung secara langsung dengan kota 3. Hal ini berlanjut hingga pesawat tiba di kota n dan akhirnya akan kembali lagi ke kota 1. Dengan demikian, pada jaringan direct, semua kota akan terhubung secara langsung tanpa terkecuali. Jaringan direct dinotasikan dengan k = 0. Gambar berikut ini adalah jaringan direct dengan n =6.
4
3
2
5 6
2
1
Gambar 4. Jaringan tour Pada jaringan hub and spoke, setiap 1/f hari pesawat berangkat dari kota asal menuju sebuah kota yang dianggap sebagai hub. Setelah sampai di hub, penumpang akan bertukar pesawat sesuai tujuan masing-masing. Setelah itu, pesawat akan terbang kembali menuju kota asalnya masing-masing. Jaringan hub and spoke dinotasikan dengan k = 1. Gambar berikut ini adalah jaringan hub and spoke dengan n = 6.
6
1 5
6
3
1
4
3
Hub
5
2
6
1
Gambar 5. Jaringan hub and spoke
4
6
2 5
1
4
2
Gambar 6. Jaringan direct
3
IV PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Keuntungan Untuk memahami bagaimana pilihan penumpang terhadap suatu maskapai, dapat dilihat dari fungsi utilitasnya. Semakin besar nilai dari fungsi utilitasnya maka pilihan penumpang akan semakin baik. Fungsi utilitas, U, yang dimaksud adalah sebagai berikut: , ,
2
,
dengan , , dan masing-masing merupakan konstanta utilitas, kecepatan pesawat, dan biaya keterlambatan per jam (Lederer et al. 1998). Dari fungsi utilitas di atas dapat dilihat bahwa fungsi tersebut dipengaruhi oleh tiga faktor, yaitu tarif p, waktu perjalanan t, dan frekuensi penerbangan f. Tarif p merupakan salah satu faktor yang dapat memengaruhi utilitas penumpang. Utilitas penumpang akan menurun sebesar p pada saat tarifnya sebesar p dolar. Oleh karena itu, tarif yang ditentukan maskapai diusahakan tidak terlalu tinggi dan juga tidak terlalu rendah yang dapat menyebabkan kerugian pihak maskapai. Utilitas penumpang akan menurun sebesar tv pada saat waktu perjalanannya t. Frekuensi penerbangan f juga merupakan faktor yang dapat mempengaruhi utilitas. Frekuensi penerbangan memiliki hubungan dengan biaya penundaan ω. Penumpang pastinya tidak menginginkan adanya keterlambatan sehingga fungsi utilitas akan menurun sebesar ω/2f. Untuk mendapatkan fungsi keuntungan suatu maskapai, perhatikan ilustrasi berikut. Sebuah maskapai melayani penerbangan antara kota i dengan kota j. Fungsi utilitasnya dapat dibuat menjadi Uij(p0, t0, f0) dengan p0, t0, f0 masing-masing merupakan inisialisasi dari tarif, waktu perjalanan, dan frekuensi penerbangan. Tarif untuk penerbangan dari kota i menuju kota j pij, dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi utilitas, sehingga didapatkan 2
, ,
, dan masing-masing dengan merupakan konstanta utilitas, waktu perjalanan dan frekuensi penerbangan untuk penerbangan dari kota i menuju kota j. Dengan menggunakan tarif pij tersebut, dapat ditentukan fungsi keuntungan maskapai. Keuntungan maskapai didapatkan dengan cara mengurangi pendapatan dengan pengeluaran. Pendapatan (income) suatu maskapai didapat
dari tarif yang berlaku pij dikalikan dengan sedangkan banyaknya permintaan dij, pengeluaran maskapai berupa segala biaya C yang berhubungan dengan operasional maskapai. Dengan begitu, keuntungan maskapai P adalah sebagai berikut.
atau ∑
–
–
,
,
.
Dalam menentukan keuntungan maskapai, fungsi utilitas U sudah ditentukan sehingga maskapai akan memaksimumkan keuntungan dengan menggunakan fungsi utilitas yang telah ditentukan. Dengan utilitas yang telah ditentukan, keuntungan yang didapat dengan cara memaksimumkan desain jaringan dan frekuensi penerbangan pasti meminimumkan total biaya maskapai dan biaya penumpang. 4.2 Fungsi Biaya Fungsi biaya terbagi atas dua, yaitu biaya penumpang dan biaya maskapai. Biaya penumpang dibedakan menjadi dua, yaitu biaya penundaan jadwal dan biaya perjalanan. Biaya perjalanan akan dibagi lagi menjadi tiga berdasarkan waktu perjalanan penumpang, yaitu in-flight time, ground time, dan planned delay time. Selanjutnya biaya maskapai dibagi menjadi tiga kategori, yaitu biaya variabel, biaya tetap, dan biaya per penumpang. Untuk memudahkan, biaya per penumpang tidak diperhitungkan. Semua biaya yang ada dihitung per hari (lihat Lampiran 1). 4.2.1 Biaya Penundaan Jadwal Biaya penundaan jadwal per jam ω jika dikalikan dengan rata-rata penundaan jadwal seluruh penumpang maka akan didapatkan total biaya penundaan jadwal penumpang. Rata-rata penundaan jadwal didapatkan dengan cara mengalikan frekuensi penerbangan 1/f dengan dan banyaknya penerbangan antarkota tingkat permintaan , sehingga total biaya penundaan jadwal dapat dirumuskan sebagai berikut: 24
1 2
8
dengan merupakan banyaknya kota yang dilayani dan merupakan tingkat permintaan. Pembuktian lihat Lampiran 7.
,
sin
2 |
|
|
2
|
sehingga jarak yang ditempuh penumpang dari kota i menuju kota j adalah
4.2.2 Biaya Perjalanan Biaya ini merupakan perkalian dari total waktu yang digunakan untuk melakukan perjalanan dengan biaya penumpang per jam z. Selanjutnya biaya perjalanan dibagi menjadi tiga kategori, yaitu in-flight time, ground time, dan planned delay time.
|
.
Setelah mengetahui jarak tempuhnya, maka dibagi dengan untuk mendapatkan inflight time f(i,j), yaitu. ,
4.2.2.1 In-flight Time In-flight time merupakan waktu yang diperhitungkan dengan cara membagi jarak yang ditempuh dengan kecepatan pesawat. Untuk mengetahui jarak yang ditempuh pesawat, perhatikan ilustrasi berikut. Untuk jaringan direct, jarak yang ditempuh pesawat dapat diperhitungkan dengan cara seperti berikut ini.
|
2 sin
,
2
,
4
sin
|
sin
|
.
Dengan mengalikan tingkat permintaan ρ dengan in-flight time untuk seluruh penerbangan maka akan didapatkan in-flight time kumulatif untuk jaringan direct 0 , yaitu 0
, ,
sehingga akan didapatkan
3
2
0
cot
.
2
Pembuktian lihat Lampiran 4. 5
2
6
1
Untuk jaringan subtour dan tour, jarak yang ditempuh penumpang didapatkan dengan cara sebagai berikut. Subtour 2
2
1 Subtour 1
Gambar 7. Jaringan direct pada lingkaran dengan radius R. Pada Gambar 7 dapat dilihat bahwa kotakota terletak pada suatu lingkaran dengan radius R yang berjarak sama. Jika penumpang berangkat dari kota 1 menuju kota 2, maka jarak yang ditempuh didapatkan dengan , menggunakan aturan sinus, yaitu ,
sin
2 6
sin
2 6
Hub
1
Subtour 3
2
4
,
3
5
,
sehingga
1
Gambar 8. Jaringan subtour pada lingkaran dengan radius R.
. Sedangkan untuk sehingga , menentukan nilai , untuk kota 1 menuju kota 3, didapatkan dengan cara berikut. 2 sin 3
2
sin
2
6
√3 . Secara umum berlaku,
6
1
Gambar 9. Jaringan tour pada lingkaran dengan radius R.
9
Misalkan , , , adalah jarak yang ditempuh penumpang dari kota i pada subtour p menuju kota j pada subtour p’. Pada Gambar 8, jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (2,1) maka jarak yang ditempuh penumpang sama dengan keliling ligkaran dibagi dengan banyaknya kota, atau dapat dituliskan seperti berikut:
Untuk mendapatkan in-flight time maka jarak tempuh haruslah dibagi dengan sehingga didapatkan
2
Dengan mengalikan tingkat permintaan, ρ, dengan in-flight time untuk seluruh penerbangan atau dapat dituliskan seperti berikut:
1,1 , 2,1
6
|2
1|
3
.
Pada Gambar 9, seluruh kota pada jaringan tour terletak pada subtour yang sama. Jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (6,1) maka jarak yang ditempuh adalah 2
1,1 , 6,1
6
|6
1|
5 3
.
Secara umum jika penumpang melakukan perjalanan pada subtour yang sama 1, … , , maka jarak yang ditempuh dapat dituliskan sebagai berikut: ,
2
, ,
|
2
, ,
|
|.
Untuk mendapatkan jarak yang ditempuh pada subtour yang berbeda , 1, … , , , perhatikan ilustrasi berikut. Perhatikan kembali Gambar 8. Jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (1,3) maka jarak yang ditempuh penumpang sama dengan jarak dari kota (1,1) ke kota (1,2) ditambah dengan jarak dari kota (1,2) ke hub ditambah dengan jarak dari hub ke kota (2,3) dan ditambah dengan jarak dari kota (2,3) ke kota (1,3) atau dapat dituliskan sebagai berikut: 2
1,1 , 1,3
|2
6 2 6
1|
|2
1|
sehingga 1,1 , 1,3 2 . Secara umum jika penumpang melakukan perjalanan pada subtour yang berbeda , 1, … , , , maka jarak yang ditempuh dapat dituliskan sebagai berikut: ,
2
, ,
2
|
|
2
, ,
1|
1|,
2
2
|
2
1| |
, ,
1|.
, ,
,
maka akan didapatkan in-flight time kumulatif untuk jaringan subtour dan tour 1 , F(k) sebagai berikut: 1
2 3
|.
Untuk mendapatkan in-flight time maka jarak tempuh haruslah dibagi dengan sehingga didapatkan ,
,
2
1
Pembuktian lihat Lampiran 1. Untuk jaringan direct, in-flight time merupakan waktu yang ditempuh untuk melakukan perjalanan pada jalur yang menghubungkan kota. Untuk jaringan subtour, kota yang terletak pada subtour yang sama memiliki in-flight time berupa waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan mengelilingi kota-kota tersebut, sedangkan untuk kota yang terletak pada subtour yang berbeda memiliki in-flight time berupa waktu yang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan menuju hub ditambah dengan waktu perjalanan dari hub menuju kota tujuan. 4.2.2.2 Ground Time Ground time merupakan waktu yang dibutuhkan pesawat untuk take off dan mendarat ditambah dengan waktu yang dibutuhkan penumpang untuk boarding dan meninggalkan pesawat. Untuk jaringan direct, total ground time didapatkan dengan cara mengalikan tingkat permintaan dengan banyaknya kota yang dilayani serta ground time antarkota. Perhatikan kembali Gambar 7. Pada Gambar 7 setiap penerbangan menghubungkan dua kota, dengan begitu banyaknya penerbangan , sehingga ground time antarkota adalah dapat dituliskan sebagai berikut:
10
0
2
2
sehingga didapatkan 0
1
.
Pembuktian lihat Lampiran 5. Untuk jaringan subtour dan tour, ground time kumulatif didapatkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan , , , adalah jarak yang ditempuh penumpang dari kota i pada subtour p menuju kota j pada subtour p’. Pada Gambar 8, jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (2,1) maka ground time , untuk penerbangan ini adalah |2
1,1 , 2,1
1|
.
Pada Gambar 9, seluruh kota pada jaringan tour terletak pada subtour yang sama. Jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (6,1) maka ground time untuk penerbangan ini adalah |6
1,1 , 6,1
1|
5 .
Secara umum jika pesawat melakukan perjalanan pada subtour yang sama 1, … , , maka ground time untuk penerbangan yang bersangkutan dapat dituliskan sebagai berikut: ,
|
, ,
| .
Ground time pada subtour yang berbeda 1, … , , sama dengan jumlah , dari ground time pada kota asal dan ground time pada kota tujuan atau dapat dituliskan sebagai berikut: ,
, ,
,
Dengan mengalikan tingkat permintaan ρ dengan ground time untuk seluruh penerbangan maka akan didapatkan ground time kumulatif untuk jaringan subtour dan tour 1 . , ,
, ,
,
sehingga didapatkan 3
1
1 .
Pembuktian lihat Lampiran 2. 4.2.2.3 Planned Delay Time Delay pada saat takeoff dan landing terjadi secara acak. Untuk mengantisipasi hal tersebut, maka dibuatlah planned delay time. Planned delay time merupakan waktu yang ditambahkan
ke dalam jadwal untuk menanggulangi delay, sehingga peluang terjadi delay sangat kecil, yaitu α. Delay pada saat kedatangan adalah penjumlahan dua peubah eksponensial yang saling bebas dan menyebar Erlang(2,λ). Diasumsikan semua penerbangan pada hub menunggu hingga semua penerbangan tiba, sebelum akhirnya terjadi pertukaran penumpang sesuai tujuannya masing-masing. Dengan demikian, total delay pada saat take off dari suatu kota dan mendarat di hub kemudian bertukar penumpang menyebar Erlang(2,λ) dengan maksimum m peubah. Delay pada saat take off dari hub dan mendarat di suatu kota menyebar Erlang(2,λ). adalah sebuah nilai yang Misal di mana X adalah memenuhi peubah bebas acak yang menyebar Erlang(2,λ). adalah sebuah nilai yang Dimisalkan juga di mana Y adalah m memenuhi peubah acak yang saling bebas yang menyebar Erlang(2,λ). Dengan demikian, planned delay time pada saat pesawat landing di suatu kota , sedangkan planned delay time pada adalah saat pesawat landing di hub adalah . Untuk jaringan direct, planned delay time didapatkan dengan cara mengalikan tingkat permintaan dengan banyaknya kota yang antarkota. dilayani serta planned delay time Sama halnya seperti pada ground time, kota yang dilayani tiap penerbangan yaitu 2 kota, dengan begitu banyaknya penerbangan , sehingga dapat dituliskan antarkota adalah sebagai berikut: 0
2
2
sehingga didapatkan 0
1
.
Pembuktian lihat Lampiran 6. Untuk jaringan subtour dan tour, planned delay time kumulatif didapatkan dengan cara seperti berikut. Misalkan , , , adalah jarak yang ditempuh penumpang dari kota i pada subtour p menuju kota j pada subtour p’. Pada Gambar 8, jika penumpang berangkat dari kota (1,2) menuju kota (2,2) maka planned delay time untuk penerbangan ini adalah 1,2 , 2,2
2
1
.
Pada Gambar 9, seluruh kota pada jaringan tour terletak pada subtour yang sama. Jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju
11
kota (6,1) maka planned delay time untuk penerbangan ini adalah 1,1 , 6,1
6
1
.
Secara umum jika pesawat melakukan perjalanan pada subtour yang sama 1, … , , maka planned delay time untuk penerbangan yang bersangkutan dapat dituliskan sebagai berikut: ,
.
, ,
Untuk mendapatkan planned delay time pada subtour yang berbeda , 1, … , , , perhatikan ilustrasi berikut. Perhatikan kembali Gambar 8. Jika penumpang berangkat dari kota (1,1) menuju kota (1,3) maka planned delay time penumpang sama dengan penjumlahan planned delay time pada kota (2,1), planned delay time pada hub, dan planned delay time pada kota (1,3), sehigga dapat dituliskan seperti berikut: 1,1 , 1,3
2
.
1
Secara umum jika penumpang melakukan perjalanan pada subtour yang berbeda 1, … , , , maka planned delay , time dapat dituliskan seperti berikut: ,
, ,
1
.
Dengan mengalikan tingkat permintaan, ρ, dengan planned delay time untuk seluruh penerbangan maka akan didapatkan planned delay time kumulatif untuk jaringan subtour dan tour 1 . , ,
mile. Biaya ini merupakan fungsi dari kapasitas pesawat dan jarak yang ditempuh serta meliputi pembelian bahan bakar, perbaikan pesawat, pembayaran kru. Seperti yang telah diketahui, banyaknya penumpang yang melakukan perjalanan menuju suatu kota adalah dengan frekuensi f, sehingga untuk jaringan direct, tiap pesawat kursi. Untuk hub and spoke, membutuhkan tiap penerbangan melayani 1 kota, sehingga banyaknya kursi yang dibutuhkan adalah 1 / . Terdapat 1 / penumpang yang telah tersedia, sehingga untuk jaringan subtour, banyaknya kursi yang dibutuhkan adalah / . Untuk jaringan tour, kursi /4 , sehingga kursi yang dibutuhkan adalah yang dibutuhkan (SIZE(k)) dapat dituliskan sebagai berikut: , untuk , untuk 1
SIZE 4
SM 0
,
1 3 . Pembuktian lihat Lampiran 3. 4.2.3 Biaya Maskapai Biaya maskapai sebagian ada yang ditentukan dan sebagian lagi bergantung pada banyaknya penumpang dan jarak yang ditempuh. Selanjutnya biaya maskapai dibagi menjadi dua kategori, yaitu biaya variabel dan biaya tetap. 4.2.3.1 Biaya Variabel Biaya variabel maskapai merupakan perkalian dari biaya per seat-mile dan total seat-
, untuk
Total seat-mile SM(k), didapatkan dengan cara mengalikan jarak yang ditempuh, frekuensi f, dan kapasitas pesawat SIZE(k). Untuk jaringan direct, jarak yang ditempuh adalah 2 dan kapasitas pesawat 2 cot adalah , sehingga total seat-mile untuk jaringan direct SM(0) dapat dituliskan sebagai berikut:
, ,
sehingga didapatkan
0
2
cot
.
2
Untuk jaringan subtour , total jarak yang ditempuh merupakan perkalian antara jarak yang ditempuh satu pesawat dan banyaknya pesawat yang sebanding dengan banyaknya subtour m, sehingga total jarak yang ditempuh 2 1 2 . Kapasitas adalah pesawat untuk jaringan ini adalah
,
sehingga total seat-mile untuk jaringan subtour SM(k) dapat dituliskan sebagai berikut: SM
4
1
2
.
Untuk jaringan tour, total jarak yang ditempuh 2 1 , sedangkan pesawat adalah , sehingga total
kapasitas pesawatnya adalah
seat-mile untuk jaringan tour SM(n) dapat dituliskan seperti berikut: SM
1
.
12
Biaya variabel dapat dirumuskan sebagai berikut: VC(k) = [a + bf / N(k)] SM(k), dengan a, b merupakan parameter dari biaya variabel pesawat, SM(k) merupakan total seatmile per hari dan N(k) adalah perkalian antara frekuensi f, dengan SIZE(k) atau dapat dituliskan dengan SIZE
.
4.2.3.2 Biaya Tetap Biaya tetap maskapai merupakan biaya tetap per seat-day dikalikan total banyaknya kursi pesawat yang dibutuhkan. Biaya ini adalah fungsi dari banyaknya pesawat dan kapasitas pesawat, tetapi tidak termasuk waktu terbangnya. Total kursi pesawat yang dibutuhkan merupakan perkalian dari banyaknya pesawat yang dibutuhkan dengan kursi yang dibutuhkan tiap pesawat. Misal T(k) adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan rutenya. T(k) didapatkan dengan cara menjumlahkan in-flight time, ground time, dan planned delay time sehingga didapatkan T(k) untuk masing-masing jaringan sebagai berikut: jaringan direct, k = 0, 2
0
cot
2
4.3 Frekuensi Optimal Frekuensi yang dapat meminimumkan total biaya pada suatu jaringan merupakan frekuensi f optimal untuk suatu jaringan. Meminimumkan total biaya sama dengan meminimumkan penjumlahan biaya penundaan jadwal, biaya variabel dan biaya tetap maskapai. Biaya 1 , biaya tetap penundaan jadwal TS / , dan biaya variabel SM / , apabila dijumlahkan akan didapatkan total cost TC(k), sebagai berikut: TC 12
1
Apabila TC(k) dijabarkan, maka didapatkan persamaan sebagai berikut:
2
12
1
2
1
1
2
1 ,
jaringan tour, k = n, 4
1 1 .
2
Untuk menyelesaikan rutenya, sebuah pesawat memerlukan T hari, sehingga total kursi yang dibutuhkan, TS(k), dapat dirumuskan sebagai berikut: TS(k) = m SIZE(k)
.
Untuk jaringan direct, banyaknya pesawat yang dibutuhkan adalah , sedangkan untuk jaringan lainnya adalah m . Dengan demikian, biaya tetap FC(k), dapat dituliskan sebagai berikut: FC
Φ
TS
SM SM
2
akan
TC
,
1
.
SM
jaringan subtour, 1 ≤ k < n, 4
TS
2
1
dengan Φ merupakan biaya tetap per seat-day.
.
Pembuktian lihat Lampiran 8. Meminimumkan total cost untuk mencari f optimal sama dengan menurunkan total cost terhadap f kemudian dicari titik tetap, f*. Dengan menurunkan TC , terhadap f dan , 0, serta dicari titik tetapnya pada saat karena akan didapatkan frekuensi penerbangan optimal seperti berikut: 12
1 SM
k
.
Pembuktian lihat Lampiran 9. 4.4 Pengaruh Radius, Tingkat Permintaan, dan Banyaknya Kota pada Rute Optimal Untuk mendapatkan frekuensi optimal pada suatu rute, maskapai akan meminimumkan total biaya yang merupakan jumlah dari total cost yang hanya mengandung f (TCF)
13
1
TCF , TS
SM
,
biaya tetap dan biaya variabel serta biaya lainnya sehingga total biaya (TB) dapat dituliskan sebagai berikut. TB TCF SM TS dengan adalah biaya perjalanan per jam, a merupakan parameter dari biaya variabel pesawat, dan c merupakan parameter dari biaya tetap pesawat. Peningkatan TCF merupakan fungsi dari untuk k = 0, / untuk 0 < k < n, dan untuk k = n. Peningkatan biaya . Peningkatan tetap merupakan fungsi dari . biaya lainnya merupakan fungsi dari Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa parameter-parameter yang mempengaruhi penentuan frekuensi optimal adalah R, ρ, dan n. Untuk R = 0, total biaya sama dengan biaya tetap. Untuk R yang kecil, rute direct lebih tepat digunakan. Jika R meningkat, maka TCF dan biaya lainnya meningkat sebesar √ meningkat sebesar R. Selama R meningkat, biaya lainnya akan meningkat lebih cepat dibandingkan dengan TCF, sehingga k pada rute optimal akan bertambah hinggga k = n, artinya rute optimal yang digunakan adalah rute tour. Hal ini menunjukkan bahwa rute hub and spoke tidak selalu merupakan rute optimal jika R meningkat. Untuk ρ = 0, baya total menjadi nol yang berarti semua rute optimal. Jika ρ meningkat, dan biaya lainnya TCF meningkat sebesar meningkat sebesar ρ. Pada saat ρ sangat besar, rute direct merupakan rute yang optimal. Pada saat ρ kecil, rute tour merupakan rute optimal yang digunakan, akan tetapi jika ρ meningkat, rute optimal akan berubah menjadi rute hub and spoke.
Misalkan R > 0, ρ > 0, untuk n yang kecil atau kota yang dilayani sedikit, TCF meningkat lebih lambat dibandingkan dengan lainnya. Jika n meningkat, maka k pada rute optimal akan menurun. Artinya jika n kecil, rute tour lebih tepat digunakan. Jika n meningkat, maka rute optimal yang menjadi hub and spoke. Dengan mengetahui pengaruh radius R, tingkat permintaaan ρ, dan banyaknya kota n, pada rute optimal, maskapai dapat menentukan rute mana yang optimal untuk menyesuaikan kondisi tertentu. 4.5 Simulasi Pada subbab ini akan disimulasikan bagaimana suatu maskapai menentukan frekuensi penerbangan optimal pada suatu jaringan. Dengan meminimumkan biaya, maka nantinya akan didapatkan frekuensi optimal dan akan memaksimumkan keuntungan. Suatu maskapai penerbangan melayani penerbangan ke enam kota dengan radius penerbangan 1000 mil. Setiap harinya terdapat 50 permintaan untuk transit di suatu kota. Untuk memaksimumkan keuntungan, maskapai akan meminimumkan biaya total. Dengan meminimumkan biaya total maka akan didapatkan frekuensi penerbangan optimal untuk setiap jaringan penerbangan. Berikut ini adalah data yang digunakan dalam simulasi : n = 6 kota, R = 1000 mil, ρ = 50 penumpang/hari, v = 400 mil/jam, g = 0.25 jam, α = 0.2, λ = 12, ω = $50/jam penumpang, z = $20/jam penumpang, a = 1.79, b = 351.93, c = 91.45, d = 0.13. Biaya total merupakan jumlah dari semua biaya, baik biaya penumpang maupun biaya maskapai. Biaya perjalanan yang termasuk dalam biaya penumpang, dipengaruhi oleh waktu perjalanan yang dapat dilihat pada grafik berikut.
Gambar 10. Grafik waktu perjalanan (jam / penerbangan) vs jaringan (k).
14
Pada Gambar 10, waktu perjalanan terus meningkat hingga k = 3, kemudian menurun kembali hingga k = 6. Hal ini menunjukkan bahwa jika maskapai menggunakan jaringan subtour dengan k = 3 maka akan memakan waktu yang paling lama jika dibandingkan dengan jaringan lainnya. Dengan menggunakan estimasi waktu perjalanan seperti pada Gambar 10 serta biaya penundaan jadwal diketahui, maka biaya penumpang dapat ditentukan. Grafik berikut ini menggambarkan biaya penumpang dari maskapai.
meningkat hingga k = 3 dan setelah itu menurun hingga k = 6. Untuk biaya variabel, ternyata nilainya amat besar jika dibandingkan dengan biaya tetap. Berikut ini adalah grafik yang menggambarkan biaya variabel.
Gambar 13. Grafik biaya variabel ($ / penerbangan hari) vs jaringan (k)
Gambar 11. Grafik biaya penumpang ($ / penerbangan hari) vs jaringan (k). Seperti waktu perjalanan, ternyata biaya penumpang juga terus meningkat hingga k = 3 dan kemudian menurun hingga k = 6. Artinya maskapai tidak dianjurkan menggunakan jaringan dengan k = 3 karena akan membuat biaya penumpang menjadi besar. Biaya tetap dan biaya variabel termasuk dalam biaya maskapai. Biaya tetap suatu maskapai dapat digambarkan dalam grafik berikut ini.
Gambar 12. Grafik biaya tetap ($ / penerbangan hari) vs jaringan (k). Ternyata biaya tetap memiliki perilaku yang sama seperti biaya perjalanan dan nilainya juga tidak terlalu berbeda jauh. Biaya tetap juga
Pada Gambar 13, biaya variabel untuk k = 0 (jaringan direct) adalah yang tertinggi. Tidak seperti biaya tetap yang terus meningkat hingga k = 3, biaya variabel menurun hingga k = 1 kemudian meningkat hingga k = 3 dan selanjutnya menurun hingga k = 6. Setelah semua biaya diketahui maka biaya total dapat dicari. Berikut ini adalah grafik yang menggambarkan biaya total dari suatu maskapai.
Gambar 14. Grafik biaya total ($ / penerbangan hari) vs Dengan mengetahui biaya total, maka maskapai dapat menentukan frekuensi penerbangan optimal untuk setiap jaringan penerbangan dengan cara meminimumkan biaya total tersebut. Untuk kasus ini, didapatkan frekuensi penerbangan optimal untuk tiap jaringan yaitu f*=2 untuk k= 0, f*= 5 untuk k = 1, dan f* = 3 untuk k = 6.
IV SIMPULAN Salah satu cara memaksimumkan keuntungan ialah dengan cara menentukan frekuensi penerbangan yang optimal untuk suatu jaringan.Terdapat empat tipe jaringan yaitu direct, hub and spoke dan subtour, serta tour. Frekuensi optimal untuk suatu jaringan merupakan frekuensi yang dapat meminimumkan total biaya, dengan total biaya adalah jumlah dari biaya penundaan jadwal, biaya variabel dan biaya tetap maskapai. Frekuensi penerbangan optimal untuk jaringan yang satu dengan jaringan yang lain memiliki nilai yang berbeda-beda. Frekuensi optimal untuk suatu jaringan dipengaruhi oleh beberapa parameter seperti radius, tingkat permintaan, dan banyaknya kota. Masing-masing parameter tersebut memiliki pengaruh yang berbeda-beda terhadap penentuan frekuensi optimal pada suatu rute. Jika radius kecil maka jaringan penerbangan yang optimal adalah direct, sedangkan jika radius membesar maka jaringan penerbangan lain yang optimal seperti hub and spoke. Jika tingkat permintaan yang tinggi, jaringan
penerbangan yang optimal adalah direct, sedangkan untuk tingkat permintaan yang intermediate jaringan yang digunakan adalah hub and spoke atau jaringan penerbangan lainnya. Jika banyaknya kota yang dilayani sedikit, maka jaringan penerbangan yang optimal adalah direct, sedangkan jika banyaknya kota yang dilayani banyak maka jaringan penerbangan yang optimal adalah hub and spoke atau jaringan penerbangan lainnya. Dalam simulasi diasumsikan suatu maskapai penerbangan yang melayani penerbangan keenam kota dengan radius penerbangan 1000 mil. Jika setiap harinya terdapat 50 permintaan untuk transit di setiap kota dan dengan memberikan nilai biaya-biaya yang berkaitan dengan operasional maskapai tersebut, akan didapatkan frekuensi penerbangan optimal untuk tiap-tiap jaringan, yaitu 2 penerbangan untuk jaringan direct, 5 penerbangan untuk jaringan hub and spoke, dan 3 penerbangan untuk tour.
DAFTAR PUSTAKA Beardon FA. 2005. Algebra and Geometry. Cambridge: Cambridge University Press.
Nicholson W. 1991. Teori Mikroekonomi. Jakarta: Binarupa Aksara.
Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
Purcell EJ, Varberg D, Rigdon ES. 2004. Kalkulus Jilid 1. Edisi Ke-8. Terjemahan I Nyoman Susila dan Kawan-kawan. Erlangga, Jakarta.
Lederer PJ, Nambimadom RS. 1998. Airline Network Design. Operat. Res. 46:785-804.
Ross SM. 1990. Introduction to Probability Models. Ninth Edition. California: Elsevier.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Bagan Atribut-Atribut dari Fungsi Biaya
Fungsi biaya
Biaya Penumpang
Biaya Maskapai
Biaya Penundaan Jadwa 24
Biaya Perjalanan
1
FC
Biaya Tetap
Biaya Variabel
Φ
VC(k) = [a + bf / N(k)] SM(k)
TS
2
2
0
cot
1
2
2
3
0
2
Planned Delay Time
Ground Time
In-flight time
1 3
1
0 1 1
1
1
3
18
19
Untuk lampiran 2 hingga lampiran 5, menggunakan aturan sebagai berikut: - i menunjukkan kota, p menunjukkan subtour. - Untuk jaringan subtour, i akan selalu sama dengan 1. - Untuk jaringan tour, p akan selalu sama dengan 1. Lampiran 2 In-flight time untuk jaringan subtour dan tour (1 ≤ k ≤ n ). ,
|
, ,
1
∑ , ∑ , ∑ 2 ∑
2
#1
∑
,
2
1, … , 1, … ,
1 ; ,
, , ,1 , ,1
∑
|
1 ∑
|
,
∑
1 ∑
∑
|
|
,1 , ,2 1
1
#2
dengan (#1) ∑ 2 ∑
| ;
| ∑
2 2
|2
2
∑
2
2
|
|
∑
2 ∑
1|
1| |3 1 |1| |2|
|
∑
2| |
1| |
∑
…
|1|
∑
1 |
|3
1|
1|
|
|4
2|
|2|
|
∑
|
2| 2|
2|
1
1 1
1
∑
∑
∑
1
2
2
3
1
1
1 ∑
∑
.
1
∑ ∑
∑
2 2 ∑
∑
2
∑ 1
1 ∑
1
. 3
1
2
1
.
dengan (#2) 1 ∑
∑
1
1 ∑
1
#3
1
∑
1 #4
#5
∑
∑
∑
∑
1
1
20
dengan (#3) ∑
∑
∑
1
1
0
∑
dengan (#4) ∑ ∑ .
1
2
1
.
1
1
1
1
1 .
dengan (#5) ∑
∑
∑
1
1
0
∑
.
1
2
1
1 .
maka (#2) menjadi .
1
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
.
sehingga didapatkan 1
1
21
Lampiran 3 Ground time untuk jaringan subtour dan tour (1 ≤ k ≤ n ). ,
|
, ,
∑ , ∑ , ∑ 2 ∑ ∑ 2 ∑ #1 #2
| ; ; ,
1, … , 1, … , ,
,
, , ,1 , ,1 | |
1 ∑ 1 ∑ ∑
∑
,1 , ,2
dengan (#1) ∑ | | ∑ ∑ | | 2 ∑ 2 ∑ | 2 1| ∑ | 2| … ∑ | 1 | |2 1| |3 1| | |3 2| |4 2| 2 1| 1 |1| |2| | |1| |2| | 2 1| 2| ∑ ∑ ∑ 1 2
2
2
|
2|
1
1 1 ∑ ∑ ∑
1
2
1
2
3
1 1
∑ ∑
1
∑ ∑
.
∑
2 2 ∑ 2
∑ 1 ∑
∑ 3
1
2
1
.
dengan (#2) 1 ∑ ∑ 1 ∑ 1 ∑ 1 #3
dengan (#3) ∑ 1
1 2 ∑ ∑
∑ ∑
1 #4
1 3
∑ ∑
2 2 #5
1
2
1 1
1 ∑
1 .
1
.
1
1
22
dengan (#4) ∑ 2
2 3 ∑ ∑
1 4
2
2 2
dengan (#5) ∑
2
2 ∑
2
2
.
1
2
∑ ∑
∑
.
maka (#2) menjadi 2
1
1
1
1
1
2 2 ∑
1
1 1
1
1
1 .
1
Sehingga didapatkan
1 .
23
Lampiran 4 Planned delay time untuk jaringan subtour dan tour (1 ≤ k ≤ n ). ,
, ∑ , ∑ , ∑ 2 ∑ ∑ 2 ∑ #1 #2
dengan (#1) ∑ 2 ∑ 2 2 2 2
2
2
; ; ,
1 ,
, , ,1 , ,1
∑
1 2
1 1 1 2 ∑
3
1 ∑ ∑ 1 ∑ ∑
∑ 2
2 ∑
∑ … ∑ 1
1 1
1, … , 1, … , ,
1
3
1
1 4 2
2
2 ∑
∑
,1 , ,2
2 1
1 1
1 ∑ ∑ ∑
1
∑ ∑
1
2
2
∑ ∑
.
∑
2 2 ∑ 2
1
∑ 1 ∑
∑
1 1
. 3
1
2
1
.
dengan (#2) 1 ∑ ∑ 1 1 ∑ ∑ 1 #3 #4 dengan (#3) ∑ ∑ = 1 dengan (#4) ∑ ∑
∑
3
1
1
2
1 #5
2 1 2 ∑
1
∑
3
∑
1 1
∑
∑
1
1
24
dengan (#5) ∑ ∑
∑
1
2
∑
maka (#2) menjadi 1
1 1
.
Sehingga didapatkan
25
Lampiran 5 In-flight time untuk jaringan direct (k = 0). |
,
sin
0
∑ ∑ ∑
∑
|
, 1, sin
|
| |
∑
sin
|
∑
sin
| |
cot
Pembuktian ∑ Basis induksi Untuk n = 2, | | ∑ sin cot
. sin
sin
cot
Benar bahwa ∑
| |
cot
dengan menggunakan induksi matematika.
1. 1.
sin
| |
Hipotesis induksi Untuk n = t, | | ∑ sin cot
cot
1.
dianggap benar.
Langkah induksi Untuk n = t + 1, akan dibuktikan bahwa | | ∑ sin cot . | |
∑ sin Misal h = t + 1, maka t = h – 1. Sehingga persamaan di atas menjadi | | | | ∑ sin ∑ sin
cot
cot
; dari hipotesis induksi ; ubah kembali m = t + 1
Terbukti. Sehingga benar bahwa ∑
sin
| |
cot
.
26
Lampiran 6 Ground time untuk jaringan direct (k = 0). G(0) = banyaknya permintaan × banyaknya penerbangan antarkota × ground time antar kota 2
! !
! !
2 !
1
!
2
.
Lampiran 7 Planned delay time untuk jaringan direct (k = 0). D(0) = banyaknya permintaan × banyaknya penerbangan antarkota × planned delay time antar kota 2
! !
! !
2
1
! !
2 .
Lampiran 8 Biaya penundaan jadwal. Biaya penundaan jadwal = frekuensi × banyaknya penerbangan antar kota × tingkat permintaan x delay cost per hari = 24 =
! !
!
= =
24 ! !
24
.
Lampiran 9 Biaya total, TC(k) TC
1
TS
SM
1
SIZE
1
SIZE
SIZE
1
SIZE
SIZE
1
SIZE
SIZE
1
SM SM
SM
SIZE
SM
SM
SM
SM
SM
SM
27
Lampiran 10 Menentukan frekuensi optimal 1
TC ,
TS
SM
0 =0 12
2
1 12 12
0
1
1
.
Karena
maka f* dapat dituliskan kembali menjadi
.
28
Lampiran 11 Bukti penjumlahan peubah eksponensial menyebar erlang dengan parameter k dan λ. Misalkan X1 , X 2 , ..., X n adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas dengan nilai harapan
1/ λ . Diasumsikan bahwa X1 + X 2 + ... + X n−1 memiliki fungsi kepekatan peluan sebagai berikut:
f x1 + x2 +...+ xn−1 ( x) = λ e
−λ x
(λ x )
k −2
( k − 2)!
sehingga didapatkan ∞
∫ f x ( x−s) f x + x +...+ x
( x) = 2 +...+ xn−1 + xn
fx + x 1
n
1
n−1
2
( s ) ds
0 t
= ∫ λ e − λ ( x − s )λ e − λ s 0
= λe
(λ x )
−λ x
( λ s )k − 2 ( k −2)!
ds
k −1
( k − 1)!
Lampiran 12 Program Mathematica 7.0 untuk simulasi. 1 1+ λ A@α_, λ_D := FixedPointB LogB F &, 10F λ
α 1 1+ λ B@α_, λ_, n_, k_D := FixedPointB LogB F &, 10F λ 1 − H1 − α Lkên
F@k_, ρ_, n_, R_, v_D :=
G@k_, ρ_, n_, g_D :=
ρ
d@k_, ρ_, n_, α_, λ_D :=
dc@n_, ρ_, ω_, f_D :=
ng 3
ng Ik2 3
2R v
CotB 2πn F
k
0
+ Hk − 1L Hn − kLO + 2 R ρ n Hn − kL 1 ≤ k ≤ n v
ρ n Hn − 1L g k 0 − 1M + ρ n g Hn − kL Hk + 1L 1 ≤ k ≤ n
ρ A@α , λD
2 π R k2 −1 K v 3
ρ n Hn − 1L A@α , λD
n Jk2 −1N
12 Hn L Hn − 1L ρ ω f
ff@k_, n_, R_, v_D := γ @k_, n_, g_D :=
2 π R ρ k2 −1 K v 3
ρn
0
k
0
+ n Hn − kL k + ρ B@α , λ, n, kD n Hn − kL 1 ≤ k ≤ n
3
n
k
2R v
CotB 2πn F
k
0
+ Hk − 1L Hn − kLO + 2 R n Hn − kL 1 ≤ k ≤ n v
n Hn − 1L g k 0 2 Ik − 1M + n g Hn − kL Hk + 1L 1 ≤ k ≤ n
δ@k_, n_, α_, λ_D :=
A@α , λD ρ
size@k_, ρ_, f_, n_D :=
f k Hn −kL ρ f n2 ρ 4f
n Jk2 −1N 3
k
+ n Hn − kL k + B@α , λ, n, kD n Hn − kL 1 ≤ k ≤ n
0
1≤k
n
n Hn − 1L A@α , λD
29
nn@k_, ρ_, n_D :=
ρ k 0 k Hn − kL ρ 1 ≤ k < n
SM@k_, R_, ρ_, n_D :=
n2 ρ 4
k
n
2 R ρ Jn CotB 2πn F + π N
k
0
π R ρ n −1 n 2
k
n
2 R ρ J nπ 2 Hk − 1L + 1N n Hn − kL 1 ≤ k < n n
T@k_, n_, R_, v_, g_, α_, λ_D :=
2n R v
CotB
π
F + 2 π R + n Hn − 1L Hg + A@α , λDL
4 πR Hk − 1L + 2 R + H2 k − 1L g + H2 k − 1L A@α , λD + B@α , nv v 4 πR Hn − 1L + 2 g Hn − 1L + 2 A@α , λD Hn − 1L nv 2n
v
Membuat grafik hubungan antara waktu perjalanan vs jaringan.
Needs@"PlotLegends`"D
ListLinePlot@ 8880, ff@0, 6, 1000, 400D<, 8tes@6D@@1DD, ff@1, 6, 1000, 400D<, 8tes@6D@@2DD, ff@2, 6, 1000, 400D<, 8tes@6D@@3DD, ff@3, 6, 1000, 400D<, 8tes@6D@@4DD, ff@6, 6, 1000, 400D<<, 880, γ @0, 6, 0.25D<, 8tes@6D@@1DD, γ @1, 6, 0.25D<, 8tes@6D@@2DD, γ @2, 6, 0.25D<, 8tes@6D@@3DD, γ @3, 6, 0.25D<, 8tes@6D@@4DD, γ @6, 6, 0.25D<<, 880, δ@0, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@1DD, δ@1, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@2DD, δ@2, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@3DD, δ@3, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@4DD, δ@6, 6, 0.2, 12D<<, 880, ff@0, 6, 1000, 400D + γ @0, 6, 0.25D + δ@0, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@1DD, ff@1, 6, 1000, 400D + γ @1, 6, 0.25D + δ@1, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@2DD, ff@2, 6, 1000, 400D + γ @2, 6, 0.25D + δ@2, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@3DD, ff@3, 6, 1000, 400D + γ @3, 6, 0.25D + δ@3, 6, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@4DD, ff@6, 6, 1000, 400D + γ @6, 6, 0.25D + δ@6, 6, 0.2, 12D<<<, PlotRange → 8All<, PlotStyle → 8 Red, Blue, Green, Purple<, PlotLegend → 8"fHkL", "γ HkL", "δ HkL", "Total"<, LegendPosition → 80.9, 0.25<, LegendSize → 0.5, Frame → 88True, False<, 8True, False<<, FrameLabel → 8"Jaringan HkL", "Waktu Perjalanan Hjam ê penerbanganL"
k
0
k
n
λ, n, kD 1 ≤ k < n
30
Membuat grafik hubungan antara biaya penumpang vs jaringan.
ListLinePlot@8 80, 20 H F@0, 50, 6, 1000, 400D + G@0, 50, 6, 0.25D + d@0, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 23, 3D<, 8tes@6D@@1DD, 20 H F@1, 50, 6, 1000, 400D + G@1, 50, 6, 0.25D + d@1, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D<, 8tes@6D@@2DD, 20 H F@2, 50, 6, 1000, 400D + G@2, 50, 6, 0.25D + d@2, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D<, 8tes@6D@@3DD, 20 H F@3, 50, 6, 1000, 400D + G@3, 50, 6, 0.25D + d@3, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D<, 8tes@6D@@4DD, 20 H F@6, 50, 6, 1000, 400D + G@6, 50, 6, 0.25D + d@6, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D<<, PlotRange → 80, 500 000<, PlotStyle → Red, PlotLegend → 8"Penumpang"<, LegendPosition → 80.5, 0<, LegendSize → 0.5, Frame → 88True, False<, 8True, False<<, FrameLabel → 8"Jaringan HkL", "Biaya H$ ê penerbangan hariL"
Membuat grafik hubungan antara biaya variabel vs jaringan.
ListLinePlotA880, VC@0, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D<, 8tes@6D@@1DD, VC@1, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D<, 8tes@6D@@2DD, VC@2, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D<, 8tes@6D@@3DD, VC@3, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D<,
8tes@6D@@4DD, VC@6, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D<<,
PlotRange → 90, 6 ∗ 107 =, PlotStyle → Green, PlotLegend → 8"Variabel"<, LegendPosition → 80.5, 0.1<, LegendSize → 0.4, Frame → 88True, False<, 8True, False<<, FrameLabel → 8"Jaringan HkL", "Biaya H$ ê penerbangan hariL"<E
Membuat grafik hubungan antara biaya tetap vs jaringan.
ListLinePlot@880, 20 TS@0, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@1DD, 20 TS@1, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@2DD, 20 TS@2, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@3DD, 20 TS@3, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@4DD, 20 TS@6, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<<, PlotRange → 80, 400 000<, PlotStyle → Magenta, PlotLegend → 8"Tetap"<, LegendPosition → 80.5, 0<, LegendSize → 0.4, Frame → 88True, False<, 8True, False<<, FrameLabel → 8"Jaringan HkL", "Biaya H$ ê penerbangan hariL"
31
Membuat grafik hubungan antara biaya total vs jaringan. ListLinePlotA
880, 20 H F@0, 50, 6, 1000, 400D + G@0, 50, 6, 0.25D + d@0, 50, 6, 0.2, 12DL +
dc@6, 50, 23, 3D + VC@0, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D + 20 TS@0, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@1DD, 20 H F@1, 50, 6, 1000, 400D + G@1, 50, 6, 0.25D + d@1, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D + VC@1, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D + 20 TS@1, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@2DD, 20 H F@2, 50, 6, 1000, 400D + G@2, 50, 6, 0.25D + d@2, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D + VC@2, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D + 20 TS@2, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@3DD, 20 H F@3, 50, 6, 1000, 400D + G@3, 50, 6, 0.25D + d@3, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D + VC@3, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D + 20 TS@3, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<, 8tes@6D@@4DD, 20 H F@6, 50, 6, 1000, 400D + G@6, 50, 6, 0.25D + d@6, 50, 6, 0.2, 12DL + dc@6, 50, 25, 3D + VC@6, 1000, 50, 6, 1.79, 351.93, 3D + 20 TS@6, 6, 50, 3, 1000, 400, 0.25, 0.2, 12D<<, PlotRange → 90, 6 ∗ 107 =, PlotStyle → Purple, PlotLegend → 8"Total"<, LegendPosition → 80.5, 0.1<, LegendSize → 0.4, Frame → 88True, False<, 8True, False<<, FrameLabel → 8"Jaringan HkL", "Biaya H$ ê penerbangan hariL"<E
