Francia matematikusok magyar szemmel

Francia matematikusok magyar szemmel A Sokszín˝u matematika tankönyvcsalád elemzése

SZAKDOLGOZAT

Készítette: PÁLFALVINÉ WACHA O RSOLYA R ITA Témavezet˝o: H OLLÓ -S ZABÓ F ERENC

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikatanítási és Módszertani Központ Budapest, 2011.

2

Tartalomjegyzék 1. Bevezet˝o

5

2. A gimnazista évek elején – a kilencedikes tananyag 2.1. Kombinatorika, halmazok . . . . . . . . . . . . . 2.2. Algebra és számelmélet . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Háromszögek, négyszögek, sokszögek . . . . . . 2.5. Egyenletek, egyenl˝otlenségek, egyenletrendszerek 2.6. Geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . 3. Építkezés az alapokra – a tizedikes tananyag 3.1. Gondolkodási módszerek . . . . . . . . . 3.2. Gyökvonás . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. A másodfokú egyenlet . . . . . . . . . . 3.4. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Szögfüggvények . . . . . . . . . . . . . 3.6. Valószín˝uségszámítás . . . . . . . . . . . 3.7. Egyéb feladatok . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

4. Az érettségihez közeledve – a tizenegyedikes tananyag 4.1. Kombinatorika, gráfok . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Hatvány, gyök, logaritmus . . . . . . . . . . . . . 4.3. A trigonometria alkalmazásai . . . . . . . . . . . . 4.4. Függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Koordinátageometria . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Valószín˝uségszámítás, statisztika . . . . . . . . . . 4.7. Egyéb feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

7 7 8 11 12 12 13

. . . . . . .

15 15 16 17 18 18 19 21

. . . . . . .

22 22 23 23 24 24 25 25

TARTALOMJEGYZÉK 5. A továbbtanulás küszöbén – a tizenkettedikes tananyag 5.1. Logika, bizonyítási módszerek . . . . . . . . . . . . 5.2. Számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Térgeometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Valószín˝uségszámítás, statisztika . . . . . . . . . . .

4

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

27 27 29 29 30

6. Összegzés

32

Felhasznált szakirodalom

33

1. fejezet Bevezet˝o – Lola, c’est quoi pour toi les maths ? – C’est une matière truffée de PROBLÈMES, bourrée d’INCONNUES et où l’on est cerné par des RÈGLES. Une matière où c’est le professeur qui pose les problèmes et c’est moi qui dois les résoudre !1 Sokszor hallani manapság, hogy a gimnazista diákok nem szeretik a matematikát. Néhányan azt mondják, hogy o˝ k buták hozzá, van, aki csak lusta, akad olyan, akinek nem elég érdekes, és van, akinek tényleg nehéz. Régen az volt a jellemz˝o az iskolákban (és ez ma is így van valószín˝uleg sok helyen), hogy a matematikaórákon szigorúan csak a tantárgyra koncentráltak az oktatók. A kevésbé lelkes diákokat nem könny˝u ezzel motiválni, hiszen nem lesz sikerélményük, ami pedig elengedhetetlen ahhoz, hogy megszeressenek egy tárgyat. A tanáron nagyon sok múlik, hogy elriasztja-e ezeket a gyerekeket, vagy inkább érdekessé teszi a számukra is a matematikaórát. Sok diák agya nem áll rá könnyen arra a gondolkodásmódra, ami a matematikához szükséges. Számukra ez túl „elvont” a többi tantárgyhoz képest. Segíthetne nekik, ha olyan dolgokról is esne szó az órán, amihez o˝ k is kicsit jobban értenek, ami o˝ ket is kicsit jobban érdekli. Azok a diákoknak, akiknek nincs elég affinitásuk a matematikához, általában a humán tárgyakhoz vonzódnak jobban. A tanárképzés során elvégzett kurzusokon az oktatók nem gy˝ozték hangsúlyozni az interdiszciplinaritás fontosságát. Több európai országban (például Svédországban), de néhol talán már nálunk isalkalmazzák ezt a gyakorlatban, például a projektrendszer˝u oktatással. Ha ennek bevezetésére nincs is lehet˝osége egy-egy iskolának, vagy nem fér bele a tantárgyak megfelel˝o éves óraszámába, akkor is ki lehet néha egy kicsit tekinteni a tananyagból. Megvizsgálni például, hogy milyen körülmények között dolgoztak a régi nagy matematikusok. Meg lehet nézni, 1

Les mathématiques expliquées à mes filles (8. o.), G UEDJ, Denis, Paris, Éditions du Seuil, 2008. – Lola, neked mit jelent a matek? – Az egy problémáktól hemzseg˝o tantárgy, teletömve ismeretlenekkel, ahol be vagyunk kerítve a szabályokkal. Egy tantárgy, ahol a tanár kérdez [ad feladatot], és nekem kell rá válaszolnom [azt megoldanom]! (Saját fordítás.)

5

˝ 1. FEJEZET. BEVEZETO

6

hogy mi volt az, amit még o˝ k sem tudtak (vagy nem fogadtak el): önbizalmat adhat esetleg egy rosszabb tanulónak, hogy a középkorban még nem fogadták el a negatív számokat. El lehet helyezni az általuk tanult tételeket, definíciókat a történelemben, megvizsgálhatják, hogy milyen eseményekhez és találmányokhoz vezetett egy-egy matematikai fölfedezés. Talán, ha van olyan a tanórán, ami a gyereket érdekli, annak ellenére is megszeretheti a matematikát, hogy korábban azt állította, hogy „úgyse lesz erre szükségem az életben, minek tanuljak matekot?” Francia szakos tanár lévén dolgozatomban a középiskolai matematika-tananyag francia vonatkozású részét fogom megvizsgálni. A Mozaik Kiadó Sokszín˝u Matematika sorozatát alapul véve vizsgálom meg a középiskolai matematika-tananyagot. (A fejezetek fölépítése is ennek a tankönyvsorozatnak a felépítését követi.) Munkámban nem törekszem a különféle tankönyvek részletes elemzésére és összehasonlítására, mivel a nagy részük ugyanezeket a témákat érinti (csak néha más sorrendben).2 A Sokszín˝u matematika-sorozat a tananyag részletes magyarázatai mellett tartalmaz rengeteg kidolgozott feladatot minden témakörb˝ol. Ezen kívül a szerz˝ok jól elkülönítették az alapszint˝u tananyagot az emelt szint˝u érettségihez szükségest˝ol. A fontos definíciókat és tételeket kiemelték a szerkesztés során. A margókon találtató az illusztrációk nagy része, melyek szerethet˝obbé teszik a tankönyvet. Ezen kívül ismétl˝o és magyarázó jegyzeteket, továbbá matematikatörténeti érdekességeket olvashatunk még itt. A történelemoktatás során láthatjuk, ahogy egyik eseményb˝ol következik a másik. Ahogy a nyelvek tanítása is a nyelvtani „téglák” egymásra rakásából áll, ugyanúgy a matematikatanulás során sem maradhat ki mondjuk a Pitagorasz-tétel. De meg lehet tanulni egy nyelvet anélkül is, hogy ismernénk a kultúrát, ami mögötte van. A matematikatörténet is ilyen „adalék” az oktatásban – lehet enélkül is, de ezzel többek leszünk. Nem könny˝u egy humán tárgyat együtt tanítani egy reállal, ha összefüggéseket akarunk mutatni köztük a diákoknak. A legegyszer˝ubb talán feladatokon keresztül megpróbálkozni ezzel a lehetetlennek látszó feladattal.

2

Fölhasználom még Michel Soignet és Szabó Anita France-Euro-Express cím˝u nyelvkönyvsorozatát, hiszen a tanárok közti együttm˝uködéssel lehet legjobban együtt tanítani két tantárgyat, és ehhez nem árt tájékozódni arról, hogy melyik tantárggyal hogyan haladnak a tanulók.

2. fejezet A gimnazista évek elején – a kilencedikes tananyag 2.1. Kombinatorika, halmazok A tankönyv els˝o fejezete olyan feladatokkal kezd˝odik, melyeken keresztül a tanulók könnyen megérthetik az alapvet˝o kombinatorikai fogalmakat és a halmazm˝uveleteket, anélkül, hogy definíciókat és tételeket tanulnának. Kés˝obb ezáltal egyszer˝ubb lesz ezek megtanulása.

Feladatok A Halmazok témakörének irodalmi kiegészítéseképpen el˝ovehetjük Raymond Queneau Stílusgyakorlataiból az Ensembliste (kb. Halmazelmélész) variációt: « Dans un autobus S considérons l’ensemble A des voyageurs assis, et l’ensemble D des voyageurs debout. A un certain arrêt, se trouve l’ensemble P des personnes qui attendent. Soit C l’ensemble des voyageurs qui montent ; c’est un sous-ensemble de P et il est lui-même l’union de C 0 ensemble des voyageurs qui restent sur la plate-forme et de C 00 l’ensemble des voyageurs qui vont s’asseoir. Démontrer que l’ensemble C 00 est vide. Z étant l’ensemble des zazous, et {z} l’intersection de Z et de C 0 , réduite à un seul élément. A la suite de la surjection des pieds de z sur ceux de y (élément quelconque de C différent de z), il se produit un ensemble M de mots prononcés par l’élément z. L’ensemble C 00 étant devenu non vide, démontrer qu’il se décompose de l’unique élément z. Soit maintenant P l’ensemble des piétons se trouvant devant la gare Saint-Lazare, {z}, {z 0 } l’intersection de Z et de P , B l’ensemble des boutons du pardessus de z, B 0 l’ensemble des emplacements possibles desdits boutons selon z 0 , démontrer que l’injection de B dans B 0 n’est pas une bijection. » 1 1

Exercices de style, Q UENEAU, Raymond, 103-104. o. (Paris, Gallimard, 1995) (M˝ufordítás híján a saját

7

2. FEJEZET. A GIMNAZISTA ÉVEK ELEJÉN – A KILENCEDIKES TANANYAG

8

Queneau szösszenetének els˝o bekezdését meg is próbálhatjuk fölrajzolni, majd leírhatjuk a tanult jelölésekkel mindazt, amit az ábráról le tudunk olvasni, meg azt is, amit nem. A diákok feladata kiválasztani, melyik állítás igaz, melyik nem, és melyikr˝ol nem tudjuk eldönteni. • Igaz állítások: – A ∪ U = S valamint C 0 ∪ C 00 = C – j ∈ A, továbbá j ∈ C 0 – A ⊂ S illetve {C 0 ∪ C 00 } ⊆ V • Talán igaz, de lehet, hogy hamis: – C ⊂ V valamint V ⊂ S – V \{C 0 ∪ C 00 } = ∅

A

U

C’

C’’

V

• Hamis állítások: – A ∩ U 6= ∅

A második és harmadik bekezdés fölöslegesen bonyolult a kilencedikes tudáshoz – elég, ha elmagyarázzuk a gyerekeknek a számukra ismeretlen fogalmakat nagy vonalakban.

2.2. Algebra és számelmélet Betuk ˝ használata a matematikában Számunkra már magától értet˝odik, és a gyerekeknek is azonnal természetes, hogy „Egy-egy matematikai probléma általánosítása esetén sokszor használunk bet˝uket. Ezeket a problémától függ˝oen nevezhetjük változónak, határozatlannak vagy ismeretlennek.”2 De vajon mikor kezdtek el egyáltalán bet˝uket használni a matematikusok a számolás megkönnyítésére? fordításom :) „Az S autóbuszban adottak a következ˝o halmazok : A az álló utasoké és U az ül˝o utasoké. Egy bizonyos megállónál található a várakozó gyalogosok V halmaza. Legyen C a felszálló utasok halmaza, ez V -nek egy részhalmaza, és ugyanakkor az úniója C 0 -nek (a busz peronján maradó utasok halmaza) és C 00 -nek (azon utasok halmaza, akik le fognak ülni). Bizonyítandó, hogy a C 00 halmaz üres. A jampecok halmaza J, és {j} a J és C 0 halmazok metszete, egy elemre sz˝ukítve ; j lábainak egyértelm˝u leképezésének y (C bármely j-t˝ol különböz˝o eleme) lábaira eredményezi a j által mondott kifejezések K halmazát. Legyen most V a Saint-Lazare pályaudvar el˝ott található gyalogosok halmaza, {j}, {j 0 } a J és V halmazok metszete, G a j felölt˝ojén található gombok halmaza, valamint G0 az említett gombok j 0 szerinti lehetséges elhelyezkedéseinek halmaza. Bizonyítandó, hogy a G-b˝ol G0 -be történ˝o leképezés nem egy-egyértelm˝u.” 2 Sokszín˝u matematika 9, 32. o. (KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V IN CZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009)


9

François Viète (1540-1603) francia matematikus (III. és IV. Henrik királyok udvari ügyésze) már használt a munkáiban bet˝uket, de még korántsem az általunk megszokott formában: o˝ az ismert mennyiségeket magánhangzóval, az ismeretleneket pedig mássalhangzóval jelölte. Ugyanezt vette át Pierre Fermat (1601-1665) is, ami nehezítette m˝uveinek elterjedését. René Descartes (1596-1650) kicsit már máshogy használta ezeket a jeleket, úgy, ahogy mi is ismerjük: az ismerteket az ábécé elejér˝ol származó bet˝ukkel jelölte, míg az ismeretleneket a végér˝ol3 .

Hatványozás Két alfejezeten keresztül a hatványozás alapjaival ismerkedhetnek a tanulók. Itt csak a „száraz” definíciókat és azonosságokat olvashatjuk a tankönyvben. Valóban, kevéssé közismert a hatványozás felfedezésének története, legalábbis kevesebbet tudunk róla, mint például a derékszög˝u koordináta-rendszerr˝ol. Laplace a hatványozás történetét a valószín˝uségi számításokra vonatkozó kutatásait tartalmazó, Théorie analytique des probabilités cím˝u m˝uvében írja le. Ebb˝ol megtudhatjuk, hogy René Descartes volt, aki el˝oször a2 -vel jelölte a szám négyzetét4 . (Laplace leírja, hogy az ilyen egyszer˝u jelölésekb˝ol tud tovább fejl˝odni a matematika: Descartes jelölését felhasználva John Wallis (1616-1703) angol matematikus kezdett el törtkitev˝oj˝u hatványokkal dolgozni.) Az els˝o, aki zérus és negatív kitev˝oj˝u hatványokat is használt, Nicolas Chuquet (1445/1455˝ írta le el˝oször, hogy a0 = 1. 1487/1488) francia matematikus volt. O Jóval azel˝ott, hogy Descartes bevezette volna az x2 jelölést, már x négyzetének nevezték x második hatványát és köbnek a harmadikat. A tizenhatodik században megpróbálkoztak további elnevezések bevezetésével is: François Viète quadratoquadratusnak nevezte a negyedik hatványt, és quadquadquadnak a nyolcadikat. (Hasonlóképpen az angol matematikusoknál is létezett a nyolcadik hatványra elnevezés, o˝ k ezt zenzizenzizenzic-nek próbálták hívni.)

Oszthatósági szabályok A francia matematikusok a számelmélethez is hozzáadtak. A 11-gyel való oszthatóság szabályát, amelyet Al-Karkhi arab matematikus ismertetett el˝oször a XI. században, Joseph Louis 3

Matematikatörténeti ABC, S AIN Márton (Budapest, Tankönyvkiadó, 1978), 90., 130. o. « La position d’une grandeur à la suite d’une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la même, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l’écrire deux fois, Descartes imagina de ne l’écrire qu’une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d’une unité. » Théorie analytique des probabilités, Livre premier, Première partie, p. 1. (Paris, Gauthier-Villars, 1886) (Fordítás: Két mennyiség egymás mellé helyezése elég, hogy a szorzatukat kifejezzük. Ha ez a két mennyiség egyenl˝o, akkor ez a szorzat a mennyiség négyzete vagy második hatványa lesz. De ahelyett, hogy kétszer leírta volna, Descartes kitalálta, hogy csak egyszer írja le, és a kettes számot kitev˝oként használva, és ezt a kitev˝ot növelve fejezte ki a következ˝o hatványokat.) 4


10

Lagrange (1736-1813) fogalmazta meg szabatosan5 . Feladatok Döntsük el a következ˝o számokról és kifejezésekr˝ol, hogy oszthatók-e 11-gyel! • 502 − 25 = 502 − 52 = (50 + 5)(50 − 5) = 55 · 45 [osztható] • 2(14a + 2b) + 3(2a + 6b) − a = 33a + 22b [osztható] • 2(8(a + c) + 3(ab + 5c)) − 2c = 16a + 6ab + 44c [tehát 44c biztosan osztható 11-gyel, a többir˝ol nem tudjuk megmondani]

Számrendszerek Az alfejezet elején a szerz˝ok fölsorolnak néhány példát a népek által használt számrendszerekre. A felsorolásban említik a húszas számrendszert: „A húszas számrendszert a maják és a kelták használták. Mexikóban és Közép-Amerikában még ma is használják a csillagászatban.”6 Érdekes adalék, hogy valószín˝uleg úgy m˝uködött ez a gyakorlatban, hogy a kéz és láb ujjai segítségével húszig el tudtak számolni, majd egy pálcikára rovást húztak, és folytatták tovább. A rovátkák jelképezték a húszas egységeket7 . A (Franciaországban használt) francia nyelvben a mai napig megfigyelhet˝o a római hódítók latinja által kiszorított kelta eredet˝u gall nyelv nyomai, többek között egy-két számnévben. A nyolcvan (quatre-vingts, szó szerint „négyszer húsz”) és a kilencven (quatre-vingt-dix, „négyszer húsz meg tíz”) minden franciául tanuló diákot megzavar els˝ore. Feladatok Tizenegyedikben lesz irodalomból tananyag a francia realizmus: Balzac, Hugo, stb. Náluk még el˝ofordul a sou nev˝u aprópénz. Az 1789-es nagy forradalomig a régi átváltás m˝uködött, vagyis: 1 livre = 20 sou (attól kezdve csak az elnevezés maradt, vagyis a frank huszadát, az 5 centime-ost nevezték sou-nak8 ). Számoljunk egy kicsit a középkori francia pénzekkel! 5

Matematikatörténeti ABC, 188. o. Sokszín˝u matematika 9, 71. o. 7 A francia nyelv lexikona, 257. o. (BÁRDOSI Vilmos, K ARAKAI Imre, Budapest, Corvina, 1996) 8 Angliában 1971-ig megmaradt ez a rendszer: a font huszada volt 1 shilling. 6

2. FEJEZET. A GIMNAZISTA ÉVEK ELEJÉN – A KILENCEDIKES TANANYAG Mennyi. . . • 100 sou? [1 frank] • 2 frank 25 sou? [3 frank 5 sou vagy 65 sou] • 35 sou és fél frank? [2 frank 5 sou vagy 45 sou]

11

Hány sou. . . • 7,5 frank? [150 sou] • negyed frank és 2 sou? [7 sou] • egy sou híján 3 frank? [59 sou]

2.3. Függvények A következ˝o nagyobb fejezet a függvényekkel, a függvénytan alapjaival foglalkozik.

A derékszögu˝ koordináta-rendszer; a másodfokú függvény A tankönyv szerz˝oi említik pár szóval Descartes-ot, mint a derékszög˝u koordináta-rendszer bevezet˝ojét, amellyel össze tudta kapcsolni a geometriát az algebrával. Az o˝ Géométrie (Geometria) cím˝u m˝uvének megjelenése után indult rohamos fejl˝odésnek a koordináta-geometria. A ˝ megfeleltetésnek, egymáshoz renfüggvény fogalma is Descartes óta kezdett fontossá válni. O delésnek értelmezte, Leibniz (1646-1716) pedig függvénynek nevezett minden szakaszt, amely valamely görbe pontjainak helyzetét˝ol függött. Ez a kétféle elképzelés játszott szerepet a függvény kés˝obbi, a mai nap is használatos meghatározásában.9 A geometriában kés˝obb megtanuljuk, hogy a parabola azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott egyenest˝ol és egy adott – az egyenesre nem illeszked˝o – ponttól egyenl˝o távolságra vannak.10 A derékszög˝u koordináta-rendszer alkalmazásával nyílt meg az út ahhoz, hogy analitikus módszerrel tárgyalják és vizsgálják a kúpszeleteket, melyeket már az ókor óta ismertek. Ezt Descartes megkísérelte 1637-ben a Géometrie cím˝u munkájában, továbbá Fermat is az 1679-es Isagogue (Bevezetés) címet visel˝o m˝uvében. L’Hospital (1661-1704) sem tudott még nagyon elszakadni az ókortól, ahogy ez látható is az 1707-ben megjelent Traité analitique des sections coniques cím˝u munkájában. Az áttörést ebben a témakörben Euler 1748-ban megjelent Introductioja hozta meg11 . Feladatok A gyengébb tanulók valamelyikének föladhatjuk kisel˝oadásnak Descartes életrajzát (hozzátéve, hogy hiába volt nagy matematikus, fiatalkori életmódja nem követend˝o példa a gyerekek számára). 9

Matematikatörténeti ABC, 93. o. Sokszín˝u matematika 9, 90. o. 11 Matematikatörténeti ABC, 144. o. 10


12

2.4. Háromszögek, négyszögek, sokszögek A kilencedikben tanult geometria-tananyag nagy része már az ókorban is ismert volt. A franciák nem ebben a témakörben voltak a leger˝osebbek. A koordináta-geometria fejl˝odéséhez adtak nagy lökést a matematikusaik, de az kés˝obb fog el˝ojönni a gimnáziumi tanulmányok során.

Feladat Juli úgy szeret fotózni, hogy a képen 90˚alatt látszódjon a megörökíteni kívánt téma. Milyen messze álljon a Louvre 35,4 m oldalhosszúságú üvegpiramisától, hogy elkészíthesse a számára tökéletes képet, ha azt is tudjuk, hogy fél méterre el szokta tartani magától a fényképez˝ot? [A Thalesz-tétel ismeretében tudjuk, hogy a piramis két földön lev˝o csúcsa, mint átmér˝o köré kört húzva kapjuk meg azon pontok halmazát, ahonnan a piramis derékszögben látszik. Ett˝o a 17,7 m sugarú körvonaltól kell tehát fél méterre állnia Julinak.]

2.5. Egyenletek, egyenl˝otlenségek, egyenletrendszerek Az egyenletek fejl˝odéséhez szükség volt a relációs jelek „feltalálására”. Az összeadás jelét is csak a 15. század végén kezdték el használni. Korábban a P (plus) és az M (minus) bet˝uk helyettesítették ezeket, a ma használatos + és − jeleket Johannes Widmann (1460-1498) német matematikusnál és Viète-nél olvashatjuk el˝oször. Az egyenl˝oségjelet a 16. század közepén írta le Robert Recorde (1510-1558) wales-i matematikus. Mivel az újítások ekkor még sokkal lassabban terjedtek, ezért lehet, hogy az ugyanannak a századnak a végén született Descartes a ∞ jelet használta az egyenletek két oldala között.

Feladatok 1. Az Eiffel-torony második emeletén lev˝o kilátóhoz megy föl egy iskolás csoport. A belép˝odíj 6,6 e. Az az 5 gyerek is fölmehet, aki nem akart, ha mindenki 2,4 e-val többet fizet be, és ekkor marad 3 eurónk. Hány gyerek akart fölmenni a toronyba? [15 gyerek.] 2. Jacques 11 évvel az Arche de la Défense építése után született. Annyi év múlva, ahány éve áll most az Arche, Jacques életkora 3/4-e lesz a Grande Arche életkorának. Hány éves most Jacques? [11 éves.]


13

2.6. Geometriai transzformációk A tankönyvnek ebben a fejezetében kezdenek ismerkedni a diákok a vektorokkal, így szóba kerülnek a legalapvet˝obb vektorokkal végezhet˝o m˝uveletek is: az összeadás és a kivonás. Az el˝obbit kétféleképpen is megtehetjük: a paralelogramma-szabály vagy a háromszögszabály segítségével. Utóbbi Michel Chasles (1793-1880) révén vált ismertté – nem o˝ fedezte ugyan fel, de sokat foglalkozott geometriával, így ezt neki tulajdonítják, és néha Chasles-szabálynak is szokták nevezni.

Feladatok A vektorokon kívül megtanulják a tengelyes és középpontos tükrözéseket, továbbá a pont körüli forgatást, illetve a vektorok segítségével az eltolást. Keressünk példákat ezekre a transzformációkra az építészetben! Akár a tanulók kutassanak képek után (szorgalmi feladat), akár közösen nézzünk meg párat a tanórán! Ne csak egyféle transzformációt találjunk meg, hanem igyekezzünk minél többet megmutatni egy-egy képen!

1. A híd tengelyesen szimmetrikus (a harmadik árkádnál a középs˝o sorban van a tengely;


14

illetve hosszában is szimmetrikus (fölülr˝ol nézve)), valamint a pillérek soronként (az alsó sor kivételével) egymásba tolhatók. 2. A rózsaablak váza mind középpontosan szimmetrikus, mind pedig 90˚-kal a középpontja körül elforgatva önmagába kerül vissza. 3. Az épület a f˝obejárat síkjában elmetszve tengelyesen szimmetrikus. 4. Az ablak maga tengelyesen szimmetrikus. A föls˝o rész 3 középpontosan szimmetrikus alakzatból tev˝odik össze (ezek közül a két kisebbik 90˚-kal, a nagyobbik 45˚-kal forgásszimmetrikus). Alul az ablak oszlopai eltolással egymásba vihet˝ok. Továbbá megfigyelhetünk két kisebb tengelyesen szimmetrikus ablakot is a képen (a két kisebb kör alakú alakzat alatt).12

12

A képek a Pont du Gard-nál, Lyonban, Rennes-ben és Avignonban készültek.

3. fejezet Építkezés az alapokra – a tizedikes tananyag A Sokszín˝u matematika tankönyvsorozat tizedikeseknek szóló kötete hasonlóan épül föl az el˝oz˝o kötethez. A b˝oséges feladatválaszték mellett ebben a tankönyvben is fontos szerepe van a mindenki számára érthet˝o magyarázatoknak, illetve a matematikatörténeti kiegészítéseknek.

3.1. Gondolkodási módszerek A tankönyv els˝o fejezete a különféle gondolkodási módszereket vizsgálja. A bevezetésben Descartes Regulae ad directionem ingenii cím˝u írását említik, melyben a szerz˝o különféle szabályokat ad a gondolkodás irányítására: a filozófia új alapjait szerette volna lerakni a matematikából kiindulva. Az el˝oz˝o kötethez hasonlóan egyszer˝ubb kombinatorikai feladatokkal hangolódhatnak rá a tanulók az újabb tanév matematikájára.

Feladatok 1. 2009-es adatok szerint 360 település található Korzikán (a külterületeket is beleértve), és összesen 354061 lakosa van a szigetnek. (a) Bizonyítsuk be, hogy el˝ofordulhat, hogy nincs két egyforma lélekszámú település! [Kezdjük el betelepíteni a lakókat sorba a településekbe. Az els˝obe egyet, a másodikba kett˝ot, és így tovább. 359 településre összesen 359·360 = 64620 embert költöz2 tettünk. Az utolsó városban lakjon a többi 289441 ember, így nincs két egyforma lélekszámú település.]

15

3. FEJEZET. ÉPÍTKEZÉS AZ ALAPOKRA – A TIZEDIKES TANANYAG

16

(b) Hány szigetlakóra lenne szükség, hogy biztosan legyen két település, amelynek ugyanannyi lakója van (ha feltesszük, hogy nincs üres település)? [360 település van. Ha sorra 1, 2,. . . 360 lakót költöztetünk ezekbe, akkor mindegyiknek különböz˝o lesz a lélekszáma. Vagyis ha ennél a számnál eggyel kevesebb szigetlakó van, akkor már biztosan lesz két olyan helység, amelyiknek ugyanannyi lakosa van. Ez összesen 360·361 − 1 = 64979 f˝o.] 2 2. Franciaországban nem egyszerre van az összes iskolásnak téli és tavaszi szünete. Az ország 3 zónára van osztva (A, B és C), és egymást váltva pihenik ki magukat a gyerekek. Hányféleképpen lehet beosztani, hogy melyik zónában mikor van zárva az iskola? [A téli szünetre 3!-féleképpen lehet beosztani o˝ ket (az els˝o id˝opontra 3 zóna közül választhatunk, a másodikra kett˝o, a harmadikra egy), a tavaszira szintén 3!-féleképpen. Ezek szorzata lesz a megoldás, vagyis 36-féleképpen kaphatnak szünetet a francia iskolások.] 3. Négy nagy folyó (a Szajna, a Loire, a Garonne és a Rhône) és öt nagyobb hegység (az Alpok, a Pireneusok, a Massif Central, a Vogézek és a Jura) található Franciaországban. Hányféleképpen mehet nyaralni egy francia család, ha. . . (a) egy folyót és egy hegységet is meg akarnak nézni (de mindegy, hogy melyiket és = 10 lehet˝oségük van.] milyen sorrendben)? [ 4·5 2 (b) nem mindegy, hogy melyik folyót és melyik hegységet nézik meg, de az igen, hogy milyen sorrendben? [Szintén 4·5 = 10 lehet˝oségük van.] 2 (c) két különböz˝o hegységben tett kirándulás között megfürödnének valamelyik tetsz˝olegesen folyóban? [5 · 4 · 4 = 80 féleképpen mehetnek nyaralni.]

3.2. Gyökvonás A kilencedikes tananyagban már szerepel a nemnegatív számok négyzetgyöke, de a gyökvonás azonosságait csak egy évvel kés˝obb tanulják. A számok n-edik gyöke is szerepel a tizedikes megtanulandók között. A (négyzet)gyökvonás történetér˝ol Sain Márton Matematikatörténeti ABC-jéb˝ol megtudhatjuk, hogy a négyzetgyök jelet Nicolas Chuquet használta el˝oször (1484-ben), illetve Christoff Rudolff cseh származású bécsi matematikus (1525-ben)1 . Más források szerint Chuquet egyszer˝uen R-rel jelölte a négyzetgyököt2 (Ezen a jelölésen kívül Chuquet-nak köszönhet a matematika többek között egy módszert a négyzetgyök kézi kiszámítására is.), és Rudolff írta le √ el˝oször a jelet, mely egyes elméletek szerint a radix (gyökér) szó els˝o bet˝ujére hasonlít. 1 2

Matematikatörténeti ABC, 130. o. http://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Chuquet


17

Az n-dik gyök vonásának ma is használatos jelölése viszont Descartes-tól származik.

3.3. A másodfokú egyenlet A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggéseket Viète-féle formuláknak is szoktuk nevezni. François Viète az együtthatók helyett bet˝uket használatát, és ennek segítségével igyekezett az egyenletek megoldására minél általánosabb módszereket találni. A másodfokúra visszavezethet˝o magasabb fokszámú egyenletek bevezet˝ojében a tankönyv említi a tragikus sorsú Évariste Galois-t (1811-1832), a modern algebra megalapítóját. Az o˝ munkássága ugyan túl nehéz falat lehet egy gimnazistának, de az életér˝ol többet megtudhatunk Leopold Infeld könyvéb˝ol, mely magyarul Akit az istenek szeretnek címmel jelent meg.

Feladatok Sokféle másodfokú egyenletre vezet˝o szöveges problémát meg lehet oldani az órán. Álljon itt kett˝o a témakörhöz kapcsolódva: 1. Párizs és Rennes3 350 km-re van egymástól. Egyszerre indulunk Rennes-be a barátainkkal, mi TGV-vel, o˝ k autóval. A TGV átlagsebessége 50 km/h-val több az autóénál, és így 1 óra 10 percet várunk a barátainkra Rennes-ben. Milyen gyorsan közlekedik a két járm˝u? [Legyen x a TGV által megtett id˝o! A sebessége így 350/x lesz, míg az autóé 350 . Tudjuk még, hogy az autó50 km/h-val lassabban halad a TGV-nél, tehát a következ˝o x+ 76 egyenletet kell megoldanunk: 350 x

=

350 x+ 67

+ 50

Ebb˝ol megkapjuk, hogy a TGV 2 óra 20 perc alatt ért Párizsból Rennes-be, vagyis 150 km/h sebességgel halad, míg az autó 100 km/h-val.] 2. Egy vidéki városban foglaltunk szállást egy éjszakára összesen 192 e-ért. Ha Párizsban (ahol 24 e-val drágább a szoba fejenként) szálltunk volna meg ugyanennyi pénzért, akkor négy f˝ovel kevesebbnek lett volna hol aludnia. Hány emberre foglaltunk szállást a vidéki városban? [Legyen x a személyek száma! Fejenként 192 e-t kell fizetniük. A párizsi x szállodában ezzel szemben néggyel kevesebben tudnak megszállni ennyi pénzért, vagyis 192 a szoba ott fejenként x−4 e-ba kerül. Az árkülönbség 24 e, vagyis a 192 x−4

=

192 x

+ 24

egyenletet megoldva megkapjuk, hogy eredetileg nyolc f˝ore akartunk szobát foglalni.] 3

el˝obbi a f˝ováros, utóbbi pedig a France-Euro-Express tankönyvsorozat történeteinek f˝o színhelye


18

3.4. Geometria A tizedikes geometria-tananyag b˝ovíti a körrel kapcsolatos ismereteket, továbbá egy újabb transzformációt tanulnak a diákok: a középpontos hasonlóságot. Fölelevenítik a vektorokról tanultakat is, illetve most már koordináta-rendszerben is számolnak vektorokkal.

Feladatok 1. A Champs-Elysées-n vagyok, a Charles de Gaulle téren. Tudom, hogy a Diadalív 50 m magas. Tudom, hogy én 180 cm magas vagyok, és az árnyékom 1 m hosszú. Mekkora a Diadalív árnyéka? [27 7/9 m hosszú.] 2. A Concorde téren állok, de nincs nálam az útikönyv, és kíváncsi vagyok az obeliszk magasságára. 180 cm magas vagyok, az árnyékom 1 m hosszú, és 12 lépésemnél fél méterrel rövidebb az obeliszk árnyéka (egy lépésem 110 cm hosszú). Milyen magas az obeliszk? [22,86 m magas.] 3. Már tudjuk, hogy milyen magas az obeliszk és a Diadalív. Utánanéztünk, hogy a Diadalív nagy íve 29 m magas. Mindkett˝o a Champs Elysées-n helyezkedik el, egymástól 2 km távolságra. Milyen messze kellene mennünk az obeliszkt˝ol, ha azt szeretnénk, hogy éppen a Diadalív nyílásában látszódjon? [A párhuzamos szel˝oszakaszok tételének segítségével kiszámolhatjuk, hogy körülbelül 7,35 km-re kell mennünk az obeliszkt˝ol, a Diadalívt˝ol távolodva.4 ] Mindhárom feladat megoldásához a háromszögek hasonlóságát és a párhuzamos szel˝oszakaszok tételét hívjuk segítségül.

3.5. Szögfüggvények François Viète a trigonometria területén is sok eredményt mondhat magának. Az eredményei azért is érnek sokat, mert az o˝ idejében a szögfüggvények nem jelentettek többet a derékszög˝u háromszög oldalhányadosainál5 . 4

Ez akkor igaz, ha pont a földr˝ol nézzük. Sajnos ilyen képet nem lehet készíteni, mert a szükséges 7,35 km-en sok épület áll az útban. 5 Matematikatörténeti ABC, 228. o.


19

Feladat A tizedikes diákoknak még ijeszt˝oen hangozhat, hogy a gyakorlatban is használják a trigonometriát. Nézzünk erre egy példát! A repülésben az északi irányhoz képest az óramutató járásával egyez˝oen mért szöget használják irányok megadására (azaz 0˚= észak, 90˚= kelet stb.). A képen az egyik párizsi repül˝otér (Orly) légifotója látható. Az A-val jelölt kifutópálya iránya 20˚. Határozzuk meg a B kifutópálya irányát egy erre alkalmas síkidom oldalhosszai alapján! (Figyeljünk oda, hogy ez a megfelel˝o síkidom nem háromszög, hanem trapéz – vagyis fel kell bontanunk egy téglalapra és egy derékszög˝u háromszögre, hogy tudjunk vele számolni.)

3.6. Valószínuségszámítás ˝ 1812-ben jelent meg Laplace Théorie analitique des probabilités (A valószín˝uség analitikai elmélete) cím˝u m˝uve, amelyben a matematikus a valószín˝uségszámítást már a matematika önálló ágaként kezeli. A b˝oséges anyagnak köszönhet˝oen sok kés˝obbi felfedezés is innen ered.


20

Feladatok A rulettjáték Monte Carlóban lett el˝oször igazán népszer˝u a XIX. század elején. (Néha Blaise Pascalnak tulajdonítják a feltalálását, aki az örökmozgó el˝oállításával kísérletezett, és közben mintegy „melléktermékként” létrehozta ezt a szerencsejátékot6 .) Mint ismert, a játék lényege a 0-tól 36-ig terjed˝o számok sorsolása. Ezek közül 18 szám piros, 18 fekete, egy (a nulla) pedig zöld. (A létez˝o bonyolultabb szabályokat a feladatban nem vesszük figyelembe.) 1. Egy lehetséges játékfajta, ha csak pirosra vagy feketére teszünk. Ha eltaláljuk a „kisorsolt” szám színét, a tétünket duplázva kapjuk vissza, ha nem, a tét a banké. Mekkora egy ilyen játékban a nyerés esélye? [18/37=48,65%] 2. Tegyük fel, hogy az asztalnál csak feketét és pirosat játszanak meg. Mekkora a bank nyereségének várható értéke, ha a játékosok összesen (a) 1000 forintot tettek a pirosra, 1000 forintot pedig a feketére? (b) 500 forintot tettek a pirosra, 1500 forintot pedig a feketére? (c) 2000 forintot tettek a pirosra, a feketére pedig nem tett senki? [Mindhárom esetben 54,06 forint.] Mekkora annak az esélye, hogy a bank nyer a fenti három esetben (azaz kevesebb pénzt fizet ki, mint amennyit beszed)? [2,703%, 51,35% ill. 2,703%, ebb˝ol lehet érezni, hogy a várható nyeremény nem egyformán változik a nyerés esélyével. A következ˝o feladat ezt még szemléletesebben mutatja.] 3. A fekete/piros játékban egy lehetséges stratégia, ha el˝oször egységnyi pénzt teszünk fel, majd, ha azt elveszítjük, mindig az el˝oz˝o tét kétszeresét. Belátható, hogy amikor nyerünk, akkor összesen épp egy egységnyivel lesz több pénzünk, mint amennyivel a játékot elkezdtük. (Ezt játsszuk le az osztállyal, hogy lássák és megértsék, hogy hogyan is m˝uködik ez.) Tegyük fel, hogy a kaszinó szabályai szerint a legkisebb tét 100 forint, és egyszerre legfeljebb 10000 forintot tehetünk fel. A fenti stratégia alkalmazásával (a játékot abbahagyva nyerés esetén, vagy amikor a megengedettnél több pénzt kellene feltennünk) mennyi a nyerés esélye, és mennyi a nyereség várható értéke? [99,06%, de -20,52 forint – szinte biztosan nyerünk egy kicsit, de a stratégiát sokszor ismételve összességében mégis veszíteni fogunk.]

6

Forrás: a wikipédia rulettel foglalkozó magyar nyelv˝u szócikke


21

3.7. Egyéb feladatok Párizsról ennek a tanévnek során tanulnak a franciaórákon a diákok. Az egyik szünet el˝otti órára készüljön föl valamelyik tanuló (5-10 percben) az Eiffel-torony érdekességeib˝ol. (A torony négy oldalára összesen 72 tudós neve van fölírva7 , ebb˝ol 15 matematikus (is) volt. Nézzük meg, hogy melyiket ismerik már ezek közül a nevek közül (akár matematikából, akár más tantárgyból). Emlékeznek-e még, hogy melyiküknek mit köszönhet a tudomány?)

7

Utána lehet nézni például a Wikipédián is: http://fr.wikipedia.org/wiki/ Liste_des_soixante-douze_noms_de_savants_inscrits_sur_la_tour_Eiffel.

4. fejezet Az érettségihez közeledve – a tizenegyedikes tananyag Ahogy a korábbi kötetekben is, itt is akad olyan ismeretanyag a tanév során, amely nem teljesen újdonság a diákok számára. Ezekre az ismétlésekre alapozva kevésbé ijeszt˝o az új tananyag a gyengébbeknek.

4.1. Kombinatorika, gráfok A francia matematika történetének egy fontos epizódja volt Pierre de Fermat és Blaise Pascal levelezése. A valószín˝uségszámítás alapjait az 1654-ban váltott leveleikben rakták le, de emellett kombinatorikáról is írtak egymásnak. A Pascal-háromszöget, amit a tankönyvben is leírnak1 , valójában nem o˝ fedezte föl (már Kínában is ismert volt a 12. században2 ), csak értekezést írt róla 1654-ben Traité du triangle arithmétique címmel (Értekezés az aritmetikai háromszögr˝ol), és ennek nyomán terjedt el Európában.

Feladatok Nézzünk egy feladatot gráfokkal! Tekintsük gráfnak az ábrán látható alaprajzot (Rennes egyik parkjának (Thabor) alaprajza)! 1. Mekkora a legnagyobb fokszámú csúcs fokszáma? [4] 2. Összefügg˝o-e a gráf? [Igen.] 3. Legalább hány él elvágásával esik két részre a gráf (hányszorosan összefügg˝o)? [1] 1

Sokszín˝u matematika 11, 24. o., KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V IN István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009 2 Sokszín˝u matematika 11, 29. o.

CZE

22

4. FEJEZET. AZ ÉRETTSÉGIHEZ KÖZELEDVE – A TIZENEGYEDIKES TANANYAG 23 4. Mutassunk rajta olyan részgráfot, amelyik fa! 5. Található benne Euler-vonal? Ha igen, hol? Ha nem, miért nem? [Nem, mert három olyan csúcs is van, amelynek 1 a fokszáma.]

4.2. Hatvány, gyök, logaritmus Sok mindent ismernek már a tizenegyedikes tanulók, éppen ezért ismétléssel kezd˝odik ez a fejezet. Az els˝o új anyag ebben a fejezetben a törtkitev˝oj˝u hatvány. El˝oször Nicole Oresme (Nicolaus Oresmicus, 1323-1382?), Lisieux püspöke foglalkozott törtkitev˝oj˝u hatványokkal. Munkáiban már felmerül a függvény fogalma, az abszcisszát longitudonak, az ordinátát latitudonak nevezi. (Az értekezéseit többször is kiadták, és valószín˝uleg hatással voltak Descartes-ra is.)3

4.3. A trigonometria alkalmazásai A háromszögek hiányzó adatainak kiszámításában segít a koszinusztétel. Ezt néha szokták Carnot-tételnek hívni (Lazare Nicolas Carnot (1753-1823) francia államférfiról és matematikusról), de érdekesség, hogy maguk a franciák Al-Kashi tételének ismerik, Ghiyath al-Kashi (1380-1429) perzsa matematikusról. Mikor trigonometrikus egyenleteket és egyenl˝otlenségeket oldunk meg, mindig odaírjuk a megoldáshoz az adott szögfüggvény periódusát. A szögfüggvényeket tetsz˝oleges pozitív szögekre el˝oször Viète értelmezte4 .

3 4

Matematikatörténeti ABC, 186. o. Matematikatörténeti ABC, 224. o.

4. FEJEZET. AZ ÉRETTSÉGIHEZ KÖZELEDVE – A TIZENEGYEDIKES TANANYAG 24

Feladatok A koszinusztétel segítségével az oldalak hosszának ismeretében ki tudjuk számolni a háromszög szögeit. Keressünk hasonló háromszögeket az Eiffel-torony második emelete tervrajzának részletén5 ! Az oldalakat körz˝ovel-vonalzóval lemérve számoljuk ki néhány háromszög szögeit! Honnan tudhatjuk, hogy ezek a szögek igaziból is ekkorák?

4.4. Függvények A természetes logaritmust John Napier (1550-1617) skót matematikus vezette be, maga a logaritmus elnevezés is t˝ole származik6 (franciául logarithme népériennek is hívják az o˝ tiszteletére). De az els˝o logaritmustáblázatokat Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) belga jezsuita matematikus írta le 1647-ben.

4.5. Koordinátageometria A fejezet bevezet˝ojében szó esik Descartes 1637-ben megjelent írásáról, a Géométrie-r˝ol: ezt tekintjük az els˝o koordinátageometriai m˝unek. „Ebben a szerz˝o már következetesen használja a kor fejlettségi szintjének megfelel˝o algebrát az ókori geometriára.”7 A Géométrie cím˝u munkájában Descartes kúpszeleteket vizsgál a koordinátarendszer segítségével8 . 5

A kép forrása: az Eiffel-torony hivatalos honlapjáról (http://www.tour-eiffel.fr/). Sokszín˝u matematika 11, 95. o. 7 Sokszín˝u matematika 11, 191. o. 8 La Géométrie, D ESCARTES, René, Paris, Librarie Scientifique, 1886 6

4. FEJEZET. AZ ÉRETTSÉGIHEZ KÖZELEDVE – A TIZENEGYEDIKES TANANYAG 25

Feladat A koordinátasíkon egy P (9; 6) középpontú, 5 sugarú kör alakú ketrecbe van bezárva Héloïse. Abélard9 be akar szökni hozzá. Tudja, hogy a titkos ajtó az A(5; 3) koordinátájú pontban van. Milyen egyenlet˝u egyenes mentén induljon, ha a B(−2; 1) pontban áll éppen? Hol metszi még ez az egyenes a kört? [Egyenest kell illeszteni az A és B pontokra. A pontok koordinátáinak ismeretében az egyenes (egyik) irányvektora (7; 2) (normálvektora pedig (−2; 7). Az egyenes egyenletét ennyi adatból már föl tudjuk írni: −2x + 7y = 11. Hol metszi az egyenes a kört? Ehhez föl kell írnunk a kör egyenletét: (x−9)2 +(y−6)2 = 25. A következ˝o kétismeretlenes egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett metszéspontokat:  −2x + 7y = 11  (x − 9)2 + (y − 6)2 = 25 Az egyenes az A(5; 3) ponton kívül a C(741/53; 295/53) pontban metszi a kört.

4.6. Valószínuségszámítás, ˝ statisztika A valószín˝uségszámítás Pierre de Fermat és Blaise Pascal 1664-es levelezése nyomán indult fejl˝odésnek.10 A tankönyv 268. oldalán is leírt feladat (De Méré lovag feladványa) fordította a figyelmüket a matematikának addig kevéssé ismert ága felé. Párizst évente 28 millió turista látogatja meg, ebb˝ol 17 millió külföldi. Mi a valószín˝usége, hogy 1. egy tetsz˝olegesen megszólított turista külföldi? [17/28] 2. öt egymás után megszólított turista mindegyike külföldi? [

(

5 17000000

) (

/

5 28000000

)

]

3. öt egymás utáni napon egy-egy turistát megszólítva mindegyikük külföldi? (Itt nem kötöttük ki, hogy ugyanazt nem szólítjuk meg többször.) [(17/28)5 ]

4.7. Egyéb feladatok Az egyik „lazább” (iskolai szünet el˝otti) órán vegyük el˝o az els˝o fejezetben említett Raymond Queneau Stílusgyakorlatok cím˝u m˝uvének egy másik részletét: 9 10

XI. századi francia filozófus, tanítványához, Héloïse-hoz f˝uz˝od˝o szerelmér˝ol több irodalmi alkotás is született. Matematikatörténeti ABC, 225. o.

4. FEJEZET. AZ ÉRETTSÉGIHEZ KÖZELEDVE – A TIZENEGYEDIKES TANANYAG 26 „A 84x + S = y kétismeretlenes egyenlettel kifejezhet˝o görbe szakasz mentén haladó paralelogramma alapú hasáb belsejében elhelyezked˝o A térbeli idom, melynek l > n hengerösszetev˝ovel kapcsolódó szabálytalan gömbösszetev˝ojének fels˝o kerülete két szinuszoid hosszúságával egyenl˝o, közös metszéspontot alkot B triviális térbeli idommal. Bebizonyítandó, hogy a metszéspont egyben vektoriális bifurkáció. [. . . ] Ha A idom találkozik a végesben C idommal, közös metszéspontjuk diszkussziójának sugara r < l. Meghatározandó a metszéspontnak A idom függ˝oleges tengelyéhez mért magassága.”11 1. Milyen görbe mentén halad a busz? [Egyenes.] 2. Mit tudunk elmondani A térbeli idomról? [A hengerösszetev˝o a nyaka, a szabálytalan gömbösszetev˝o a feje; és egy másik emberrel (B) érintkezik éppen (eltolva azt a térben).] 3. Ha tudjuk, hogy A és C „metszéspontja” egy r kerület˝u gomb (err˝ol beszélgetnek), akkor hogyan fogalmazhatnánk meg máshogy a második bekezdést? [Arról beszélgetnek, hogy hova kerüljön a gomb A-n.]

11

Mértanian in: Stílusgyakorlatok, Q UENEAU, Raymond, 90. o. (fordította B OGNÁR Róbert, Budapest, Helikon Kiadó, 1988)

5. fejezet A továbbtanulás küszöbén – a tizenkettedikes tananyag A sorozat utolsó kötete az érettségire való felkészülést is segíti a Rendszerez˝o összefoglalás cím˝u utolsó fejezettel, mely a négy év során tanult új ismereteket tekinti át. Azért a tizenkettedikes tananyag sem csak ismétlésb˝ol áll, ebben az évben is várnak új ismeretek a tanulókra.

5.1. Logika, bizonyítási módszerek A különféle bizonyítási módszerek közül a tankönyv csak a teljes indukciót tárgyalja.1 Ezt Blaise Pascal (1623-1662) fogalmazta meg 1654-ben, és el˝oször 1665-ben jelent meg a Traité du triangle arithmétique cím˝u értekezésben.

Feladatok 1. Franciaország 101 megyére (département) van osztva, ezekb˝ol 5 nem Európában van (kett˝o Közép- és Dél-Amerikában, illetve három sziget Afrika partjainál). Ez az 5 megye egyben régió (région) is.2 Ezek ismeretében döntsük el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül? Melyik állításból következik a másik? • (a) A: A 22 Európában található régió 96 megyére osztható. (b) B: Franciaországnak összesen 27 régiója van. [A ⇒ B] 1

Sokszín˝u matematika 12, 28-34. o. Ezekre, illetve a következ˝o feladatban lev˝o ismeretekre érdemes egy franciaórát rászánni, ha lehet, akkor id˝oben nem túl távol ezekt˝ol a feladatoktól. 2

27

5. FEJEZET. A TOVÁBBTANULÁS KÜSZÖBÉN – A TIZENKETTEDIKES TANANYAG28 • (a) A: Van olyan francia megye, amelyik sziget. (b) B: Mindegyik megye szomszédos egy másik megyével. [A igaz, és ebb˝ol következik, hogy B nem lehet igaz, vagyis A ⇒ ¬B] • (a) A: Nincs két olyan régió, amely ugyanannyi megyéb˝ol állna. (b) B: Nincs olyan régió, amely csak egy megyére lenne osztva. [A nem igaz, illetve B sem igaz. Egyik se következik a másikból.] 2. Franciaországban nem kell dolgozni menni a 6 civil (január 1., május 1., 8., július 14., augusztus 15. és november 11.) és az 5 vallási (Húsvéthétf˝o, Krisztus mennybemenetelének napja (Húsvét után 40 nappal, csütörtökre esik), Pünkösdhétf˝o, Nagyboldogasszony (augusztus 15.), Mindenszentek (november 1.) és karácsony (december 25.)) (ünnep)napon. Tekintsük az alábbi állításokat! • A: Összesen 10 szünnap van. • B: Összesen 11 szünnap van. • C: Nincs olyan szünnap, amely minden évben ugyanolyan napra esik. • D: Van olyan szünnap, amely minden évben ugyanolyan napra esik. • E: Nincs olyan szünnap, amely egyszerre világi és vallási ünnep is. • F : Van olyan szünnap, amely egyszerre világi és vallási ünnep is. Mit tudunk elmondani a következ˝o m˝uveletek igazságértékér˝ol? (a) A ∧ B [hamis]; A ∨ B [igaz] (b) A ∧ C [hamis]; A ∧ (¬C) [igaz] (c) B ∧ E [hamis]; B ∨ E [hamis]; (¬B) ∧ (¬E) [igaz] (d) ¬(C ∧ E) [igaz] (e) ¬(D ∧ (¬F )) [igaz] (f) ¬((¬D) ∨ F ) [hamis] (g) B ∧ (B ∨ D) [hamis] (h) (A ∧ E) ∨ A [igaz] (i) (E ∨ A) ∧ C [hamis] (j) F ∧ (A ∨ B) [igaz]

5. FEJEZET. A TOVÁBBTANULÁS KÜSZÖBÉN – A TIZENKETTEDIKES TANANYAG29

5.2. Számsorozatok Már az ókorban is ismerték a számsorozatokat, mégis az újkorban kezdtek el jobban foglalkozni velük. Diderot és d’Alembert az Encyclopédie-ben is megemlékezik a sorozatokról (1751), bár o˝ k a konvergenciára helyezik a hangsúlyt. A sorozatelemek indexelése valószín˝uleg Lagrangetól származik.3

5.3. Térgeometria A térgeometriai tanulmányokhoz a tankönyv értelemszer˝uen el˝oször a síkidomok területét tanítja. A kör és részeinek területénél mindenképpen szó esik a π számról. Sok matematikus neve f˝uz˝odik hozzá, hiszen sokan foglalkoztak vele. A franciák közül említésre méltóak: • Viète, aki tíz tizedesjegyig meghatározta, illetve trigonometrikus alakban adta meg az π π · cos 32 ... értékét: π4 = cos π4 · cos π8 · cos 16 • Georges Buffon, aki a t˝uprobléma4 segítségével kísérleti úton határozta meg a π értékét. • Adrien Marie Legendre (1752-1833), aki (Lambert svájci matematikussal párhuzamosan) bebizonyította, hogy a π irracionális. • Évariste Galois (1811-1832), aki leírta, hogy a transzcendens számok nem kaphatók meg euklideszi szerkesztéssel. Lindemann német kutató bizonyította be 1882-ben, hogy a π is transzcendens.

Feladatok 1. A párizsi Louvre bejárati üvegpiramisának magassága 21,65 m, alapnégyzetének oldalhosszúsága 35,4 m. Hány m2 üveg volt szükséges a befedéséhez, ha az üveglapok közötti acélszerkezet területét elhanyagoljuk? [A piramis (négyzet alapú egyenes gúla) felszínét kell kiszámolnunk, pontosabban a háromszöglapok területének összegét. Ehhez szükségünk van egy ilyen oldallapnak a magasságára, melyet az ismert adatokból a Pitagorasz-tétel segítségével meg is kapunk. √ (ma = sqrt( 35,4 )2 + 21, 652 = 782, 0125). Az alaplap oldalhossza megegyezik az ol2 dallapokat alkotó egyenl˝o szárú háromszögek alapjának hosszával. Innen a 4 oldallap a felszíne: A0 = 4 35,4·m = 2(35, 4 · ma = 1979, 8856 [m2 ].] 2 3 http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_%28math%C3%A9matiques%29 #Fragments_d.27histoire 4 Sokszín˝u matematika 12., 121. o.

5. FEJEZET. A TOVÁBBTANULÁS KÜSZÖBÉN – A TIZENKETTEDIKES TANANYAG30 2. A „ceruzának” becézett lyoni Tour Part-Dieu 164,9 m magas. A henger alakú építmény tetején egy 23 m magas piramis található. Egy-egy emelet 1115 m2 alapterület˝u. (a) Mekkora az épület térfogata (a piramist leszámítva)? [A henger magassága: a teljes épületb˝ol kivonjuk a piramis magasságát, vagyis 164, 9−23 = 141, 9 [m]. A térfogat így: V = 141, 9 · 1115 = 158218, 5 [m3 ].] (b) Mekkora az alapterülete összesen a 40 emeletes toronynak? [40·1115 = 44600 [m2 ].] (c) Mekkora egy-egy emelet térfogata? [Egy emelet magassága: 141, 9/40 = 3, 5475 [m]. Ebb˝ol adódik, hogy a térfogat 3, 5475 · 1115 = 3955, 4625 [m3 ].]

5.4. Valószínuségszámítás, ˝ statisztika A geometriai valószín˝uség fogalmát Georges Buffon (1707-1788) francia természettudós vezette be 1777-ban a t˝uproblémával.5 Ennek segítségével kísérleti úton meg tudta határozni a π értékét. Az o˝ képlete alapján a zürichi Christian Wolf a π = 3, 1596 eredményre jutott 1850ben. A tizenkettedikes tananyagban nagyobb hangsúlyt kap a statisztika, mint a korábbi tanévek során.

Feladatok Párizsban 14 metróvonal szolgálja ki nap mint nap az utasokat. Az alábbi táblázatban néhány adatot láthatunk ezekr˝ol a vonalakról. Vonal száma

Állomások száma

Vonal hossza

Vonal száma

Állomások száma

Vonal hossza

1

26

16,5 km

7bis

8

3,066 km

2

25

12,4 km

8

37

22,057 km

3

25

11,665 km

9

37

19,569 km

3bis

4

1,3 km

10

23

11,7 km

4

26

10,6 km

11

13

6,286 km

5

22

14,634 km

12

28

13,888 km

6

28

13,6 km

13

32

24,3 km

7

38

18,594 km

14

9

9,2 km

1. Átlagosan hány megállója van és milyen hosszú egy metróvonal? 5

Sokszín˝u matematika 12, 121. o.

5. FEJEZET. A TOVÁBBTANULÁS KÜSZÖBÉN – A TIZENKETTEDIKES TANANYAG31 [Az adatok számtani közepét véve: 23,8125 állomása van, és 13,085 km hosszú.] 2. Adjuk meg az állomások számának és a vonalak hosszának mediánját és móduszát! [Medián: a megállók számát nézve 25,5. A metróvonalak hosszát tekintve 13 km. Módusz: az állomások számát tekintve négy leggyakoribb adat van, ezek: 25, 26, 28, 37. A vonalak hosszúságát tekintve ennek csak akkor van értelme, ha intervallumokat nézünk.] 3. Soroljuk osztályokba az adatokat! Mennyi a megállók átlagos száma és a vonalak átlagos hossza, ha osztályközepekkel számolunk? [A megállók számát tekintve: tíz megállónként legyen egy osztály! Így összesen 4 osztály lesz. Az állomások átlagos száma osztályközepekkel számolva: 3·6,5+1·13+8·25+4·35 16

= 23, 28125.

A vonalak hosszát tekintve: soroljuk 5 km-enként osztályba az adatokat, így 5 osztályunk lesz. A vonalak átlagos hossza osztályközepekkel számolva: 2·1,9929+2·7,743+7·12,617+3·18,0345+2·23,1785 16

= 13, 0157]

4. Vizsgáljuk meg a minták szórásnégyzetét és szórását! [Az állomások számát nézve a szórásnégyzet: 102, 9023

(26−23,8125)2 +(25−23,8125)2 +...+(9−23,8125)2 16

A szórás ennek a négyzetgyöke, vagyis 10.144. A metróvonalak hosszát nézve a szórásnégyzet 37,8, a szórás pedig 6,148.]

=

6. fejezet Összegzés Nem könny˝u egy humán tárgyat együtt tanítani egy reállal, ha összefüggéseket akarunk mutatni köztük a diákoknak. A legegyszer˝ubb talán példákon keresztül megpróbálkozni ezzel az els˝ore meglep˝onek és bonyolultnak t˝un˝o feladattal. A matematikatörténeti érdekességek színesíthetik a tanórát, de semmiképpen se szabad, hogy ez legyen túlsúlyban. Két-három percben kiegészíthet˝o néha az anyag, a többit pedig akár rá is lehet bízni a francia szakos kollegára (hiszen nem csak a matematikaórán lehet utalni egy másik tantárgyra, hanem nyelvórán is meg lehet ismerkedni egy-egy francia tudós életével és munkásságával). Ha francia vonatkozású feladatokat akarunk föladni, nem elég, hogy átírjuk a szöveges feladatban a „szerepl˝ok” nevét Annáról és Boglárkáról Anne-ra és Bernadette-re (ezzel az er˝ovel Astrid és Beate is lehetne). A két tantárgy közötti összefüggések keresésébe beletartozik az is, hogy a feladatokon keresztül mutatunk valamit az adott nyelv kultúrájából is. Úgy gondolom, hogy szükség van néha egy-egy ilyen kitekintésre. Azért, hogy ne tekintsék a (gyengébb képesség˝uek) a matematikát elvont és érthetetlen dolognak, és hogy az maradjon meg bennük a gimnáziumi évek elmúltával, hogy volt értelme, hogy mégis hasznos és szép a matematika. Nem lehetetlen tehát a tantárgyak közti együttm˝uködés megvalósítása. Megpróbálni mindenesetre érdemes. Közösen a másik szakos kollegákkal talán könnyebb, de külön utakon is járhatunk – ha fel tudjuk kelteni a diákok érdekl˝odését, már volt értelme.

32

Felhasznált szakirodalom 1. Sokszín˝u matematika 9, KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V INCZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009 2. Sokszín˝u matematika 10, KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V INCZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009 3. Sokszín˝u matematika 11, KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V INCZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2009 4. Sokszín˝u matematika 12, KOSZTOLÁNYI József, KOVÁCS István, P INTÉR Klára, U RBÁN János, V INCZE István, Szeged, Mozaik Kiadó, 2008 5. Matematikatörténeti ABC, S AIN Márton, Budapest, Tankönyvkiadó, 1978. 6. A francia nyelv lexikona, BÁRDOSI Vilmos, K ARAKAI Imre, Budapest, Corvina, 1996 7. France-Euro-Express 1, S OIGNET, Michel, S ZABÓ Anita, Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó 1996 8. France-Euro-Express 2, S OIGNET, Michel, S ZABÓ Anita, Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó 1997 9. Exercices de style, Q UENEAU, Raymond, Paris, Gallimard, 1995 10. Stílusgyakorlatok, Q UENEAU, Raymond, fordította B OGNÁR Róbert, Budapest, Helikon Kiadó, 1988

33

Francia matematikusok magyar szemmel

Recommend Documents