dy řa vy ro ou rie
-P av
el
M áš
a
-F
Fourierovy řady
X3
1E
O
2
EO2 – Přednáška 1 Pavel Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
MOTIVACE CO ZATÍM NEUMÍME VYSVĚTLIT
ou rie
ro
vy
řa
dy
• Filtr
el
M áš
a
-F
Napětí zdroje – obdélníkový časový průběh Napětí na rezistoru – harmonický časový průběh
X3
1E
O
2
-P av
• RLC defibrilátor
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
MOTIVACE ‐ MATEMATICKÁ ZÁKLADNÍ FYZIKÁLNÍ POPIS, TRANSFORMACE
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
• Fyzikální podstatu základních pasivních prvků elektrického obvodu popisují integro‐diferenciální rovnice
X3
1E
O
2
– Univerzální matematický popis – Poměrně komplikované řešení zjednodušení pomocí transformace
• Co rozumíme transformací? – Nahrazení složitějších matematických operací (zde integrálů a derivací) jednoduššími X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
• Jaké transformace již známe? – SUS – jedná se o specielní případ, neboť proud i napětí jsou konstantní, a derivace konstanty je nulová
dy
• Kapacitor:
-F
ou rie
ro
vy
řa
při libovolném napětí je protékající proud nulový – nahradíme ho rozpojeným obvodem • Induktor:
a
při libovolném proudu je napětí nulové – induktor nahradíme zkratem
F fázory
1E
O
2
-P av
el
M áš
– HUS – buzení sinusovými průběhy
X3
A Co rozhoduje při volbě transformace? ( Časový průběh napětí / proudu !
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
A Co zatím neumíme?
řa
dy
¾ Periodické ale neharmonické průběhy ¾ Osamocené impulsy ¾ Popsat, co se děje při zapnutí / vypnutí obvodu
-F
ou rie
ro
vy
F Musíme do analýzy elektrických obvodů zavést nové matematické prostředky a transformace, které to umožní M áš
a
Fourierovy řady (nejsou skutečnou transformací, ale z ní lze odvodit Fourierovu transformaci; periodické neharmonické průběhy)
-P av
el
r 1E X3
r
O
2
Fourierova transformace (pouze neharmonické impulsy) Laplaceova transformace (univerzální, všechny časové průběhy, včetně dějů při zapnutí / vypnutí obvodu)
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
HARMONICKÁ SYNTÉZA
vy
řa
dy
Pokud obvod může změnit obdélníkový průběh na harmonický, logicky se nabízí, že obdélníkový průběh musí tuto sinusovku obsahovat
ro
( Nejdříve zkusíme opačný postup
-F M áš
a
Stejná frekvence
-P av
el
50
0.5
1
1.5
2
2.5
40 20 0
-40 -60
3
3.5
4
-80 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1E
0
O
-50
60
-20
2
0
50 sin(6.28 t) + 50 cos(6.28 t)
80
pokud sečteme 2 sinusovky se stejnou frekvencí, změní se amplituda, fáze, ale nezmění se tvar ‐ v časové oblasti kde
X3
1.
ou rie
− co se stane, pokud sečteme několik sinusovek dohromady?
‐ nebo s pomocí fázorů X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
2.
Různé frekvence
dy
součet není harmonickou funkcí, může být periodický, ale nemusí
vy
řa
→ společná perioda
platí
ou rie
ro
příklad: T1 = 0.04 s-1, T2 = 0.06 s-1 → T = 3 · 0.04 = 2 · 0.06 = 0.12 s-1
-F
zvláštní případ:
el
M áš
a
• mějme určitou frekvenci ω0, všechny ostatní frekvence jsou celočíselným násobkem, ω = kω0 k=3
-P av
2.5 2
2
1.5
T/2
T
3T/2
X3
0 -0.5 0
0.5
1E
0.5
2T
5T/2
1.5 1
O
1
k=3 2
0 3T
0
T/2
T
3T/2
2T
5T/2
) Periodickou funkci můžeme (za splnění určitých podmínek) rozvinout v řadu harmonických funkcí X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
3T
FOURIEROVY ŘADY Rozvoj harmonických funkcí v řadu můžeme zapsat spektrální tvar
ro
vy
řa
dy
•
C Jak určit koeficienty řady? trigonometrický tvar
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
Přímo to nelze F
O 1E
X3
kω0 – vyšší harmonické
2
ω0 – základní harmonická
Je matematická střední hodnota (stejnosměrná složka) Jak ale určit ak, bk?
‐ odbočka ‐ ortogonalita X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
ORTOGONALITA Pravoúhlost – původně, v geometrii kolmost, zobecněno na vektorové prostory (dva vektory jsou ortogonální, pokud jejich skalární součin je nulový, a na funkce
řa
dy
Funkce jsou ortogonální, pokud je splněna podmínka
vy
( Nás zajímají funkce sinus a kosinus – jsou to ortogonální funkce?
ro
1
0.5
ou rie
1. Násobení konstantou
0
−0.5
-F
−1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
-P av
el
M áš
a
0
X3
1E
O
2
2. Funkce sin
−0.5
−1 0
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
0
−0.5
−1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
3. Funkce cos
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
0.5
0
−0.5
−1 0
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
0.6 0.4
4.
Sin a cos
0.2 0 −0.2 −0.4 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
0
−0.5
−1 0
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
Komplexní exponencielní funkce (fázor)
-P av
el
M áš
a
Víme, co je to ortogonalita – jak nám to pomůže při výpočtu koeficientů Fourierovy řady?
2
Periodickou funkci aproximujeme řadou
1E
O
¾ Pokud tuto řadu vynásobíme funkcí sin lω0t a integrujeme přes periodu, pak, díky ortogonálním vlastnostem funkcí sin a cos „vynulujeme“ všechny členy řady, kromě l‐té harmonické, tedy koeficientu bl.
X3
5.
¾ Obdobně, násobením funkcí cos lω0t a integrací přes periodu získáme koeficienty al. X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
KOEFICIENTY FOURIEROVY ŘADY
Kosinové členy
•
Sinové členy
•
Spektrální tvar
Nutno normovat
‐ výsledek integrování, viz ortogonalita, je
X3
1E
O
2
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
•
dy
Stejnosměrná složka
řa
•
Podmínky existence Fourierovy řady Dirichletovy podmínky:
1. funkce f(t) je v průběhu jedné periody omezená 2. funkce má konečně mnoho extrémů a bodů nespojitosti 1. druhu X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
SIN, NEBO COS? Zatímco výše je uveden spektrální tvar,
•
V učebnici je uveden amplitudový tvar
ou rie
ro
vy
řa
dy
•
M áš
a
-F
– Jaký je mezi nimi rozdíl?
el
( Jde o rozdílnou definici fázoru
ale
X3
1E
O
2
-P av
( Výpočty jsou naprosto ekvivalentní, vzhledem k tomu, že cos je fázově posunutý sin
zatímco
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI – VÝPOČET
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
Sudá funkce může obsahovat pouze sudé členy: cos Lichá funkce může obsahovat pouze liché členy: sin Antiperiodická funkce má pouze liché koeficienty Pokud lze periodu funkce rozdělit na několik (2, 4) částí se stejnou plochou, můžeme koeficienty počítat pouze na jedné části periody (musíme ale odpovídajícím způsobem upravit normování) – obdélník, trojúhelník, ...
a
Fourierova řada je aproximací, časový průběh nemusí být identický s originálem
k = 25
2.5
2
2
O
1.5
2
0.5
k = 25
1E
1
1.5
0 -0.5 0
-P av
el
M áš
Gibbsův jev – v bodech nespojitosti dochází při libovolném počtu harmonických k překmitu oproti původní funkci o 8.95 %, s rostoucím počtem harmonických pouze klesá šířka překmitu
X3
• • • 9
1
T/2
T
3T/2
2T
5T/2
0.5
1.5
0 0
k = 15
3T 2
T/2
T
3T/2
1
2T
5T/2
3T
0.5 0 0
T/2
T
3T/2
2T
5T/2
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
3T
Sudá, nebo lichá? Matematická podmínka: Lichá funkce
–
Sudá funkce
–
Antiperiodická funkce
ro
vy
řa
dy
–
0
a
0
-F
ou rie
Zde platí, že u(t) = u(-t) ⇒ funkce je sudá, rozvoj tedy obsahuje pouze kosinové členy a stejnosměrnou složku
-P av
0
el
M áš
Zde ale u(t) ≠ -u(-t) ⇒ funkce dle definice není ani sudá, ani lichá, přesto rozvoj obsahuje pouze sinové členy a stejnosměrnou složku 0
X3
1E
O
2
V obou případech navíc rozvoj obsahuje pouze liché členy, ačkoliv funkce nesplňují podmínku antiperiodické funkce Před rozhodnutím, zda je funkce lichá / antiperiodická je nutné funkci usměrnit – odečíst stejnosměrnou složku
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
FÁZOROVÁ REPREZENTACE Není dalším tvarem Fourierovy řady, je úpravou spektrálního tvaru
ou rie
ro
vy
řa
dy
•
M áš
a
-F
S jednotlivými fázory Bmk pak můžeme počítat při analýze obvodů – samostatně
X3
1E
O
2
-P av
el
• Souvislost s trigonometrickým tvarem
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
KOMPLEXNÍ TVAR FOURIEROVY ŘADY
dy
řa vy ro ou rie -F a M áš O
2
-P av
el
Funkci cos lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti
1E
• •
Najít aproximaci funkce Fourierovou řadou ve fázorové reprezentaci je stále poměrně pracné – je možné postup zjednodušit? Je možné reálnou funkci nahradit komplexní funkcí? Eulerův vzorec
X3
•
Čárové spektrum X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
řa
dy
Stejně tak i funkci sin lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti, které jsou oproti funkci cos posunuty o 90
a
-F
ou rie
ro
vy
To ale není reálná funkce?
X3
1E
O
2
-P av
el
M áš
Fázor, součást koeficientů budoucího komplexního tvaru řady
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
S využitím funkce sin, vyjádřené ze dvou proti sobě rotujících fázorů nyní vyjádříme spektrální tvar Fourierovy řady
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
•
Ak e k=¡1
Pozor na sumační meze
1E
f (t) =
jk!0 t
X3
1 X
O
2
-P av
Zde máme definovaný vztah mezi koeficienty trigonometrického a komplexního tvaru řady
1 Ak = T
Z
T
f (t)e¡jk!0t dt 0
Koeficienty jsou nyní fázory, A0 je stejnosměrná složka X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
u(t) [V]
PŘÍKLAD 3
Najděte Fourierův rozvoj obdélníkového časového průběhu na obrázku. Perioda T = 0.1 s.
1 t [s]
T
dy
0
řa
0
Stejnosměrná složka
•
Po odečtení stejnosměrné složky dostaneme funkci –
antiperiodickou ⇒
el
lichou ⇒
-P av
–
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
•
Sinové koeficienty – funkce má stejnou plochu nad i pod osou ⇒ stačí počítat pouze v první půlperiodě
•
Výsledná řada
X3
1E
O
2
•
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
ČÁROVÉ SPEKTRUM ak 2
0 4
6
8
10 k
18
20
4
6
8
10
12
14
16
18
20
M áš
2
a
-1
-F
0
O
2
na ose x jsou vyneseny indexy k na ose y je vynesena amplituda koeficientů (nultý) koeficient a0 je stejnosměrná složka – hovoříme o diskrétním spektru – harmonické mají pouze určité frekvence
1E
– – – –
-P av
el
Koeficienty řady vynášíme jako body, zvýrazněné svislou čarou
X3
•
16
ou rie
1
0
14
ro
b
12
řa
2
vy
0
dy
1
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
Fourierův rozvoj v komplexním tvaru pro uvedený obdélníkový průběh bude
•
Stejnosměrná složka
•
Koeficienty, vyjádřené z trigonometrického tvaru
•
Fourierova řada
X3
1E
O
2
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
•
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
POSUN V ČASE ⏐Ak⏐
ak 0.7 1
1
0.6 0.5
0.5
0.8
0.4 0
0.6
0.3 -0.5
0.2
0.4
0.1
0.2 5
10
15
20
řa
0 0
vy
bk
ro
-0.2 1
ou rie
-0.4 0.5 -0.6
-0.5 -1 0
1
2
0
M áš
-1
5
10
0
10
20
10
20
arg(Ak) 4
2
15
20
-4 -20
-10
0
el
-2
-10
-2
a
-1
0 -20
0
-F
0
-0.8
dy
-1
-P av
Ak
90
0.8 60
120
O
2
0.6
150
30
1E
0.4
X3
0.2
180
0
210
posun v čase znamená otočení všech fázorů o různý úhel – různá rychlost otáčení!!!
330
240
300 270
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
VLASTNOSTI Linearita
vy
řa
dy
Časová reverse
ou rie
ro
Posunutí v čase
M áš
a
-F
Změna časového měřítka
-P av
el
Derivace
O 1E X3
modulace
2
Integrál
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
ZPĚT K MOTIVAČNÍMU PŘÍKLADU
ou rie
ro
vy
řa
dy
Nyní již umíme vysvětlit první motivační příklad Obdélníkový průběh lichý, Um = 1V, T = 1.25 ms • Víme, že obdélníkový průběh napětí zdroje můžeme aproximovat řadou
a
-F
resp.
Napětí na rezistoru můžeme v HUS vyjádřit
•
Napětí musíme počítat pro každou harmonickou samostatně!!!
X3
1E
O
2
-P av
el
M áš
•
– – –
•
k = 1 k = 3 k = 5
5.7 225.5 1175.1
× menší × menší × menší
Amplituda napětí na rezistoru rychle klesá – významná je první harmonická –
Co se stane, pokud zmenšíme / zvětšíme periodu?
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
dy řa Zvětšeno v ose y!!!
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
Přechodný děj
X3
1E
O
2
Detail časového průběhu
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
X3
1E
O
2
-P av
el
M áš
a
-F
ou rie
ro
vy
řa
dy
Frekvenční charakteristika filtru
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1
