Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II

Tiga Operator Integral Penting Persamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA

WIDE 2010 5-6 August 2010 Hendra Gunawan, WIDE 2010

Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II


Outline

1

Tiga Operator Integral Penting Operator Maksimal Operator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2 Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2

2

Persamaan Gelombang dan Fungsi Maksimal Permukaan Bola Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola

Hendra Gunawan, WIDE 2010



Operator Maksimal Operator Integral Fraksional Iα := (−∆)−α/2 Operator Integral Singular Iu := (−∆)(iu)/2

Materi ini disadur dari buku E.M. Stein (1970), “Singular integrals and Differentiability Properties of Functions”. Menurut Teorema Dasar Lebesgue (yang merupakan perumuman dari Teorema Dasar Kalkulus), kita mempunyai Z 1 lim f (y) dy = f (x) r→0 m(B(x, r)) B(x,r) hampir di mana-mana, asalkan f terintegralkan lokal pada Rd . (Di sini, f adalah fungsi dari Rd ke R.) Hasil ini mengatakan bahwa turunan dari integral f sama dengan f itu sendiri, hampir di mana-mana.





Teorema Dasar Lebesgue merupakan akibat dari keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood MHL , yang memetakan f ke Z 1 MHL f (x) := sup |f (y)| dy. r>0 m(B(x, r)) B(x,r) Dengan substitusi peubah, kita dapat menuliskan Z 1 MHL f (x) = sup |f (x − ry)| dy. r>0 m(B(0, 1)) B(0,1) Perhatikan bahwa jika f merupakan fungsi yang terbatas (oleh bilangan K), maka MHL f juga terbatas (oleh bilangan K yang sama) — Soal Latihan 1.





Berkenaan dengan operator maksimal MHL , kita mempunyai: Teorema. Untuk 1 < p ≤ ∞, kita mempunyai kMHL f kp ≤ Cp kf kp , yakni, MHL merupakan operator terbatas di Lp (Rd ). Catatan. Di sini Lp (Rd ) merupakan ruang norm dengan norm R 1/p kf kp = Rd |f (x)|p dx . Operator T : Lp (Rd ) → Lp (Rd ) dikatakan terbatas apabila terdapat konstanta Cp sehingga kT f kp ≤ Cp kf kp untuk tiap f ∈ Lp (Rd ).





Pada pembahasan transformasi Fourier di R, kita telah membahas ‘identitas hampiran’, yaitu keluarga fungsi φr (x) = 1r φ xr , dengan R φ ≥ 0 dan R φ(x) dx = 1. Konsep ini dapat diperluas ke Rd , dengan mengganti definisi φr menjadi φr (x) =

1 x φ rd r

(dan menghapus asumsi φ ≥ 0). Selanjutnya, jika ψ(x) := sup |φ(y)| terintegralkan, maka |y|≥|x|

sup |(φr ∗ f )(x)| ≤ C MHL f (x) r>0

untuk f ∈ Lp (Rd ), 1 ≤ p ≤ ∞.





Lebih jauh, kita mempunyai kφr ∗ f − f kp → 0,

r → 0,

untuk f ∈ Lp (Rd ), 1 ≤ p < ∞, dan lim (φr ∗ f )(x) = f (x)

r→0

hampir di mana-mana, untuk f ∈ Lp (Rd ), 1 ≤ p ≤ ∞. Perhatikan bahwa Teorema Dasar Lebesgue merupakan kasus 1 khusus, dengan mengambil φ = m(B(0,1)) χB(0,1) . (MHL f = sup |φr ∗ f |.) r>0





Ingat bahwa solusi Persamaan Panas ut = uxx pada R, dengan syarat awal u(x, 0) = f (x), mempunyai solusi u(x, t) = Ht ∗ f (x) 2 dengan H(x) = √14π e−x /4 dan Ht (x) = √1t H √xt (Kernel Panas). Pada Rd , Persamaan Panas berbentuk ut = ∆x u dengan ∂2 ∂2 ∆x := ∂x 2 + · · · + ∂x2 (operator Laplace). Solusinya adalah 1

d

u(x, t) = Ht ∗ f (x) dengan H(x) =

2 1 e−|x| /4 (4π)d/2

dan Ht (x) =

1 td/2

H

x √ t

.

Karena Ht (x) merupakan identitas hampiran, maka hasil-hasil tadi berlaku untuk solusi persamaan panas di atas. Hendra Gunawan, WIDE 2010




Demikian pula halnya solusi Persamaan Laplace ∆x u + uyy = 0 (x ∈ Rd , y > 0) dengan syarat awal u(x, 0) = f (x), dapat dinyatakan sebagai u(x, y) = Py ∗ f (x) cd x 1 dengan P (x) = (|x|2 +1) (Kernel (d+1)/2 dan Py (x) = y d P y Poisson). R , sehingga Rd P (x) dx = 1. Di sini cd = Γ((d+1)/2) π (d+1)/2 Perihal Persamaan Gelombang, akan kita bahas secara khusus nanti pada bagian terakhir.





Selain operator maksimal, terdapat banyak operator penting lainnya yang dipelajari. Salah satu operator yang akan kita bahas sekarang adalah operator integral fraksional Iα yang diberikan oleh rumus Z f (y) α−d dy, Iα f (x) = | · | ∗ f (x) = d−α Rd |x − y| dengan 0 < α < d. Perhatikan bahwa Iα f terdefinisi setidaknya untuk fungsi f yang terbatas dan mempunyai tumpuan kompak (compact support) — Soal Latihan 2.





Dengan menghitung transformasi Fouriernya, kita mempunyai −α b Id f (ξ). α f (ξ) = cα |ξ|

Untuk k ∈ N, jelas bahwa \ k f (ξ) = (2π|ξ|)2k fb(ξ). (−∆) Karena itu Iα ∼ (−∆)−α/2 . Khususnya, untuk α = 2 < d, fungsi u = I2 f merupakan solusi (lemah) dari Persamaan Poisson −∆u = f , dikalikan dengan suatu konstanta.





Teorema berikut menyatakan bahwa Iα merupakan operator yang terbatas dari Lp (Rd ) ke Lq (Rd ) untuk suatu q > p. Persisnya, kita mempunyai: Teorema. Untuk 1 < p < αd , kita mempunyai kIα f kq ≤ Cp,q kf kp , dengan

1 q

=

1 p

− αd .

Ketaksamaan di atas dibuktikan dengan mendekomposisi integral Iα f (x) menjadi dua bagian: yang pertama adalah integral di sekitar x, yang kedua jauh dari x. Yang pertama dikontrol oleh fungsi maksimal Hardy-Littlewood, yang kedua oleh norm f .





Salah satu aplikasi dari teorema di atas adalah dalam menaksir solusi Persamaan Poisson: kukq ≤ Cp kf kp , dengan q = pd/(d − 2p). Pembahasan lebih lanjut tentang operator integral fraksional Iα akan disampaikan oleh Dr. Idha Sihwaningrum pada seminar besok. (Dr. Eridani akan membahas operator integral lainnya.)





Operator berikutnya yang akan kita bahas di sini adalah operator integral singular Iu yang juga merupakan operator konvolusi, yang diberikan oleh rumus Iu f (x) = Ku ∗ f (x) dengan Ku (x) = C(u)|x|iu−d . Di sini C(u) adalah konstanta yang b u (ξ) = |ξ|−iu . bergantung hanya pada u sedemikian sehingga K Perhatikan bahwa −iu b b b Id f (ξ). u f (ξ) = Ku (ξ)f (ξ) = |ξ|





Karena ||x|iu | = |eiu ln |x| | = 1 untuk tiap x 6= 0, kita mempunyai b kIu f k2 = kId u f k2 = kf k2 = kf k2 , yakni, Iu merupakan isometri pada L2 (Rd ). Dengan menaksir |Ku (x)| secara teliti, dapat ditunjukkan bahwa kIu f kp ≤ Cp (1 + |u|)d/2 kf kp , untuk 1 < p < ∞.





Dari kedua ketaksamaan tadi, kita dapat memperoleh ketaksamaan berikut via interpolasi ala Marcinkiewicz: kIu f kp ≤ Cp (1 + |u|)|d/p−d/2| kf kp . Ketaksamaan ini kelak dapat dipakai untuk membuktikan keterbatasan operator maksimal permukaan bola, yang akan kita bahas pada bagian berikutnya.




Solusi Persamaan Gelombang Nilai Rata-Rata pada Permukaan Bola Fungsi Maksimal Permukaan Bola

Persamaan Gelombang pada R: utt = uxx , mempunyai solusi u = u(x, t) dengan u b(ξ, t) = A(ξ) cos(2π|ξ|t) + B(ξ) sin(2π|ξ|t), dengan A(ξ) dan B(ξ) konstanta (bergantung pada ξ saja). Jika u memenuhi syarat awal u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), maka u b(ξ, 0) = fb(ξ), u bt (ξ, 0) = gb(ξ).





Dari sini kita peroleh A(ξ) = fb(ξ), 2π|ξ|B(ξ) = gb(ξ). Dengan demikian, sin(2π|ξ|t) . u b(ξ, t) = fb(ξ) cos(2π|ξ|t) + gb(ξ) 2π|ξ| Ambil inversnya, kita dapatkan Z h sin(2π|ξ|t) i 2πixξ u(x, t) = fb(ξ) cos(2π|ξ|t) + gb(ξ) e dξ. 2π|ξ| R Dengan Kesamaan Plancherel dapat ditunjukkan bahwa energi R total E(t) = R (|ut (x, t)|2 + |ux (x, t)|2 ) dx konstan (tidak bergantung pada t) — Soal Latihan 3. Hendra Gunawan, WIDE 2010




Catatan: Semua perhitungan di atas juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada Rd utt = ∆x u, 2 b(ξ, t). d mengingat ∆ x u(ξ, t) = −(2π|ξ|) u





Untuk d = 1, solusi Persamaan Gelombang utt = uxx pada [0, L] dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut (x, 0) = g(x) mempunyai rumus eksplisit Z x+t 1 u(x, t) = f (x + t) + f (x − t) + g(y) dy , 2 x−t dengan f dan g telah diperluas ke seluruh R menjadi fungsi ganjil dan periodik dengan periode 2L. Rumus ini juga berlaku untuk Persamaan Gelombang pada R dengan data awal f dan g di S(R). (Anda tinggal menghitung transformasi Fouriernya dan membandingkan hasilnya dengan rumus sebelumnya.)





Perhatikan bahwa rumus di atas terdiri dari dua nilai ‘rata-rata’. Yang pertama adalah nilai rata-rata f di kedua titik ujung interval [x − t, x + t]. Yang kedua adalah t kali R nilai rata-rata integral g 1 x+t pada interval [x − t, x + t], yakni 2t x−t g(y) dy. Rumus di atas dapat ditulis ulang sebagai u(x, t) =

∂ (tMt f (x)) + tMt g(x), ∂t

dengan Mt f (x) = MtHL f (x) =

1 2t χ[−t,t]

∗ f.

Untuk d = 3, kita ternyata mempunyai rumus yang serupa, tapi dengan rumus nilai rata-rata Mt f yang berbeda.





Misalkan S 2 menyatakan permukaan bola satuan di R3 . Kita definisikan nilai rata-rata f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t sebagai Z 1 S Mt f (x) = Mt f (x) = f (x − tγ)dσ(γ), 4π S 2 dengan dσ(γ) menyatakan elemen luas permukaan pada S 2 . Karena luas permukaan bola satuan adalah 4π, maka MtS f merupakan nilai rata-rata integral f pada permukaan bola yang berpusat di x dan berjari-jari t. Dapat diperiksa bahwa untuk f ∈ S(R3 ), maka MtS f ∈ S(R3 ) juga. Lebih jauh, MtS f dapat diturunkan tak hingga kali terhadap t, dan para turunannya juga merupakan fungsi di S(R3 ).





1 MtS f merupakan konvolusi f dengan µ = 4π σ yang merupakan ukuran ternormalisasi pada permukaan bola S 2 , yakni

MtS f (x) = µt ∗ f (x). Lebih jauh kita mempunyai [ S b sin(2π|ξ|t) . M t f (ξ) = f (ξ) 2π|ξ|t merupakan transformasi Fourier Cata bahwa, untuk t = 1, sin(2π|ξ|) 2π|ξ| dari µ, dalam arti Z 1 sin(2π|ξ|) e−2πiξ·γ dσ(γ) = 4π S 2 2π|ξ| (lihat [Stein & Shakarchi, 2003]). Hendra Gunawan, WIDE 2010




Akibatnya, untuk d = 3, kita mempunyai teorema berikut: Teorema. Solusi Persamaan Gelombang utt = ∆x u dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut (x, 0) = g(x) adalah u(x, t) =

∂ (tMt f (x)) + tMt g(x), ∂t

dengan Mt f = MtS f .





Bukti. Solusi persamaan gelombang utt = ∆x u dengan syarat awal u(x, 0) = 0 dan ut (x, 0) = g(x) adalah Z h sin(2π|ξ|t) i 2πix·ξ u1 (x, t) = gb(ξ) e dξ = tMtS g(x). 2π|ξ| R3 Sementara itu, solusi persamaan gelombang utt = ∆x u dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut (x, 0) = 0 adalah Z h i ∂ u2 (x, t) = fb(ξ) cos(2π|ξ|t) e2πix·ξ dξ = (tMtS f (x)). ∂t R3 Jadi, u = u1 + u2 adalah solusi masalah nilai awal kita.





Kasus d = 2 tidak sesederhana seperti kasus d = 1 atau d = 3. Namun, solusi Persamaan Gelombang dengan syarat awal u(x, 0) = f (x) dan ut (x, 0) = g(x) mempunyai rumus yang serupa, yakni u(x, t) = dengan Mt f (x) :=

1 2π

R

∂ (tMt f (x)) + tMt g(x), ∂t

|y|≤1 f (x

− ty)(1 − |y|2 )−1/2 dy.

Perhatikan bahwa secara umum Prinsip Huygen berlaku: untuk setiap x dan t, nilai u(x, t) ditentukan oleh nilai data awal pada B(x, t).





Serupa (tapi tak sama) dengan fungsi maksimal Hardy-Littlewood, kita mempunyai fungsi maksimal permukaan bola MS f (x) := sup |MtS f (x)|. t>0

Pada tahun 1976, E.M. Stein membuktikan keterbatasan operator MS pada Lp (Rd ) sebagai berikut: Teorema. Untuk d ≥ 3, berlaku kMS f kp ≤ Cp kf kp asalkan p >

d d−1 .

Catatan: J. Bourgain (1986) membuktikan bahwa ketaksamaan juga berlaku untuk d = 2. Hendra Gunawan, WIDE 2010




Teorema di atas dapat dibuktikan dengan menuliskan Z µ(x) = P (x) + A(u)Ku (x) du, R

dengan A(u) = O(1 + |u|)−d/2 . Dari sini kita peroleh Z µt (x) = Pt (x) + A(u)Ku (x)t−iu du, R

Z (µt ∗ f )(x) = (Pt ∗ f )(x) +

A(u)Iu f (x)t−iu du.

R

Akibatnya, Z MS f (x) ≤ C MHL f (x) +

|A(u)||Iu f (x)| du. R

Dari sini peroleh kMS f kp ≤ Cp kf kp untuk p > d/(d − 1). Hendra Gunawan, WIDE 2010




Kita ingat bahwa u(x, t) = tMtS f (x) merupakan solusi dari Persamaan Gelombang utt = ∆x u pada R3 dengan syarat awal u(x, 0) = 0 dan ut (x, 0) = f (x). Berdasarkan teorema di atas, kita mempunyai

u(·, t)

sup ≤ Cp kf kp

t>0 t p untuk p > 32 .



Fourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II

Recommend Documents