FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM
RINA PRASTIWI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Internal pada Laut Dalam adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2009 Rina Prastiwi NIM G551070381
ABSTRACT RINA PRASTIWI. Hamiltonian Formulation for Internal Waves Motion in Deep Ocean. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. The ocean is considered as layers of water with different densities. Internal waves are waves occured under surface of the ocean that caused by density difference in each fluid layer. Interfacial wave is one of internal waves between two layers of fluid. In this thesis, the series expansion of the Hamiltonian is used to derive the model equation for the wave motion at the interface between fluids in the case when the lower layer has infinite depth and the upper layer has a certain depth. In the formulation, Hamiltonian is defined as the sum of kinetic and potential energy. The Hamiltonian system is obtained from reduction of kinetic energy by using the Dirichlet-Neumann operator. The coefficients of Hamiltonian equation depend on the density and the depth of fluids. Assuming the interfacial wave as solitary wave, its motion equation could be used as to predict the amplitude and the phase speed of the wave. The result of numerical simulation shows that Hamiltonian remains unchanged for a long period of time, in other words, it is consistent in time. Keywords: Hamiltonian formulation, internal waves, deep ocean, series expansion, Dirichlet-Neumann operator.
RINGKASAN RINA PRASTIWI. Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Internal pada Laut Dalam. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Laut dapat dianggap terdiri dari lapisan-lapisan air yang memiliki rapat massa yang berbeda. Perbedaan rapat massa air laut dapat disebabkan oleh perbedaan kadar garam dan temperatur pada setiap lapisan air laut. Akibat perbedaaan rapat massa ini, maka muncul suatu gelombang. Gelombang internal adalah suatu gelombang yang terjadi di bawah permukaan, yang merupakan batas dua lapisan air laut karena adanya perbedaan rapat massa pada setiap lapisan air laut. Pada penelitian ini akan dibatasi pada fluida dua lapisan dengan kedalaman yang cukup besar. Diasumsikan bahwa kedua lapisan fluida ini masing-masing mempunyai rapat massa yang konstan dan berupa fluida ideal, yaitu fluida yang tak mampat (incompressiable) dan tak kental (inviscid). Gelombang interfacial terjadi pada batas kedua lapisan fluida (interface). Persamaan gerak gelombang internal pada laut dalam yang diasumsikan pada fluida dua lapisan diformulasikan menggunakan formulasi Hamiltonian yang melibatkan operator Dirichlet-Neumann. Domain fluida dua lapisan dibatasi oleh lapisan atas mempunyai ketebalan yang berhingga dan lapisan bawah mempunyai ketebalan yang cukup besar. Ketebalan yang cukup besar ini dapat dilihat dari perbandingan amplitudo gelombang dengan kedalaman fluida, yaitu nilai amplitudo gelombang jauh lebih kecil dari kedalaman fluida. Untuk menentukan persamaan Hamiltonian yang eksplisit dibutuhkan asumsi gelombang panjang dan amplitudo kecil. Persamaan gerak gelombang interfacial yang diperoleh berupa sistem Hamiltonian dengan Hamiltonian yang bergantung pada simpangan gelombang interfacial dan kecepatan partikel fluida untuk arah horizontal. Berdasarkan sistem Hamiltonian ini diperoleh persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah. Selanjutnya dengan menggunakan definisi transformasi untuk simpangan gelombang yang bergerak dalam arah kanan dan arah kiri, diperoleh persamaan gerak gelombang interfacial yang berupa sistem Hamiltonian dengan Hamiltoniannya yang bergantung pada simpangan gelombang yang bergerak dalam arah kanan dan arah kiri. Untuk menentukan persamaan gelombang interfacial yang merambat hanya dalam satu arah digunakan asumsi simpangan gelombang yang merambat dalam arah kiri sangat kecil sehingga diperoleh persamaan gerak gelombang interfacial yang merambat dalam satu arah, yaitu arah kanan. Untuk mencari penyelesaian persamaan gerak gelombang interfacial yang telah diperoleh sebelumnya, diasumsikan gelombang interfacial yang terbentuk dalam bentuk gelombang soliter. Formulasi gelombang soliter interfacial memberikan tiga parameter, yaitu amplitudo, panjang gelombang dan kecepatan phase gelombang. Jika salah satu parameter tersebut diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan.
Berdasarkan penyelesaian persamaan gerak gelombang soliter interfacial dapat disimpulkan apabila rapat massa fluida lapisan atas sangat kecil maka kecepatan phase gelombang yang dihasilkan tinggi. Jika rapat massa fluida lapisan atas mendekati nilai rapat massa fluida lapisan bawah, maka kecepatan phase gelombang yang dihasilkan semakin rendah atau mencapai nol. Nilai amplitudo gelombang soliter interfacial bernilai negatif. Dengan kata lain gelombang soliter interfacial yang terjadi berupa depresi. Dengan menyubstitusikan penyelesaian persamaan gerak gelombang soliter interfacial ke dalam persamaan Hamiltonian yang bergantung pada simpangan gelombang yang bergerak dalam arah kanan diperoleh nilai Hamiltonian yang tetap atau tidak berubah terhadap waktu. Kata kunci: Formulasi Hamiltonian, gelombang internal, laut dalam, perluasan deret, operator Dirichlet-Neumann.
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1.
2.
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM
RINA PRASTIWI
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Judul Tesis : Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Internal pada Laut Dalam Nama : Rina Prastiwi NIM : G551070381
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua
Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Tanggal Ujian: 19 Agustus 2009
Tanggal
Lulus:
PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Formulasi Hamiltonian untuk Menggambarkan Gerak Gelombang Internal pada Laut Dalam”. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena pengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat 1. Bapak Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing, pendidik dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis. 2. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis. 3. Departemaen Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis untuk melanjutkan Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2007 s.d 2009. 4. Ketua Departemen, ketua Program Studi dan seluruh staf pengajar, serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini. 5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MTs Al-Islamiyah Srengseng yang turut mendoakan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 6. Suami, anak dan kedua orang tua yang senantiasa mendoakan penulis di setiap waktu dalam menyelesaikan tesis ini. 7. Seluruh teman-teman yang turut membantu dalam penyelesaian tesis ini. Penulis doakan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin.
Bogor, Agustus 2009 Rina Prastiwi
