FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 1. Elméleti alapok

Folyamatszabályozás

Elméleti alapok

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika és Informatika Tanszék

Szilágyi Béla – Benyó Zoltán – Juhász Ferencné – Kovács Levente

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 1. Elméleti alapok

1.

Szabályozástechnika MATLAB

2007

http://bio.iit.bme.hu/hun/ (Oktatás -> Kötelező tárgyak -> Folymatszabályozás)

2007. szeptember 26.

1

SZB



Elméleti alapok

2

SZB


Elméleti alapok

ua

Az irányító berendezés alrendszere C (controller) xc(t)

uz

uzm

zavarkompenzáció

u

Az irányított folyamat alrendszere P (process) xp(t)

y

belső visszacsatolás állapot visszacsatolás y visszacsatolása ( fő visszacsatolás)

Az irányítási rendszer hatásvázlata


3

SZB


Elméleti alapok

Irodalom Tuschák Róbert: Szilágyi Béla:

Szabályozástechnika. (Műegyetemi Kiadó 55020) Szabályozástechnika. Számítógépes gyakorlatok. (Műegyetemi Kiadó 55036, 55037, 55038, 55039, 55040, 55041,55066) Szilágyi Béla: Szabályozástechnika. Példatár. (Műegyetemi Kiadó 55074) Benjamin C. Kuo: Önműködő szabályozó rendszerek. (Műszaki Kiadó) Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve. (Springer Hungarica) Csáki Frigyes: Korszerű szabályozáselmélet. (Akadémiai Kiadó) Csáki Frigyes -Bars Ruth: Automatika. (Tankönyvkiadó) Keviczky László: Szabályozástechnika (Műegyetemi Kiadó) Lantos Béla: Irányítási rendszerek elmélete és tervezése. (Akadémiai Kiadó) Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. (Saunders Collage Publishing) M. L. Luyben-W.L.Luyben: Essentials of Process Control. (McGraw-Hill) B.Wayne Bequette: Process Dynamics. (Prentice Hall PTR) Josef Hoffmann: MATLAB und SIMULINK. (Addision-Wesley) A.Brian-M.Breiner: MATLAB for Engineers. (Addision-Wesley) Frigyes Andor: Irányítástechnika. Műszaki értelmező szótár.(Terra Kiadó) R. Isermann: Digitale Regelsysteme. (Springer-Verlag) Dr. Farkas Miklós: Matematikai kislexikon. (Műszaki Könyvkiadó) I.N.Bronstejn: Matematikai zsebkönyv. (Műszaki Könyvkiadó) Dr. Csáki Frigyes: Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. (Műszaki Könyvkiadó) Otto Fölinger: Regelungstechnik. (Hüttig Buch Verlag GmbH) P. Naslin: Technologie et calcul Pratique des systémes asservis.(Dunop) Otto Föllinger Regelungstechnik.(Hüthig Buch Verlag Heidelberg) James Gleick Káosz. Egy új tudományág születése.(Göncöl Kiadó) Roger Penrose A császár új elméje (Akadémiai Kiadó) L.Sz.Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek.(Akadémiai Kiadó. Budapest) Stephen P. Banks Control Systems Engineering.(Prentice–Hall International)

A Folyamatszabályozás c. tantárgy elektronikus formában rendelkezésre bocsátott tananyaga valószínűsíthetően nem hibátlan. Ezért a szerkesztő kéri az olvasót, hogy észrevételeit az [email protected] vagy az [email protected] e–mail címek valamelyikére eljuttatni szíveskedjen. Minden segítőkész kritikai megjegyzést, bármilyen hibára vonatkozó közlést köszönettel fogadunk, és a szükséges javításokat haladéktalanul elvégezzük. 2007. szeptember 26. Szilágyi Béla [email protected] [email protected]


4

SZB


Elméleti alapok Tartalomjegyzék

1. Elméleti alapok 1.1 Bevezetés 1.11 Alaptagok. Lineáris alaptagok. Nemlineáris alaptagok 1.12 Bevezető példák. Tartályokból álló folyamat. RLC áramkör. Hidraulikus erősítő és szervomotor. Elektromechanikai rendszer 1.13 Dinamikus rendszer állapotegyenlete 1.14 Munkaponti linearizálás Ljapunov első (közvetett) stabilitási kritériuma 1.141 Példa 1.142 Példa 1.15 Lineáris rendszer 1.151 Példa

1.2 Lineáris dinamikus rendszer állapotegyenlete. Az állapotegyenlet megoldása 1.21 Az állapotegyenlet normalizálása (Amplitúdó–, és idő léptékezés) 1.22 Az átmeneti függvény és a stabilitás Az önbeálló tag statikus karakterisztikája 1.23 Elsőrendű lineáris SISO rendszer

1.3 Függelék 1.31 A Laplace transzformáció 1.32 Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása Laplace transzformációval 1.33 SISO tag állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlethez rendelhető, lineáris alaptagokat tartalmazó hatásvázlat

2. A szabályozás 2.1 A szabályozás szerkezeti vázlata, működési vázlata, és hatásvázlata 2.11 A szabályozás szerkezeti vázlata 2.12 A működési vázlat. A szabályozó berendezés szervei 2.13 A hatásvázlat

2.2 Jelátvivő tagok alapkapcsolásai. A visszacsatolás 2.21 A hatásvázlat átalakítása 2.211 Példa

2.3 Lineáris szabályozás 2.31 A zárt szabályozási rendszer gyökhelygörbéje 2.311 Példa 2.32 Másodrendű szabályozási rendszer és a domináns póluspár

3. Arányos szabályozások 3.1 Az arányos szabályozás 3.11 Példa 3.12 A pozitív visszacsatolás tulajdonságai 3.13 Az egyensúlyi pont környezetének tartományai 3.14 Arányos szabályozás szerkezeti illusztrációja 3.15 A negatív visszacsatolású arányos szabályozás labilis egyensúlyi pontja 3.16 Az arányos szabályozás zavarelhárítási–, és arányossági tartománya


5

SZB


Elméleti alapok

3.2 Állásos szabályozás 3.21 Kétállású szabályozás. 3.22 Háromállású szabályozás 3.23 Impulzus–szélesség modulátor

4. Integrál szabályozások 4.1 Az integrál szabályozás 4.11 Példa 4.12 Példa 4.13 Integrálszabályozás szerkezeti illusztrációja

4.2 Integrál szabályozás PI szabályozóval 4.3 Integrál szabályozás PID szabályozóval 4.4. Összefoglalás

5. A szabályozás típusszáma. Értéktartás és követés 5.1 Zavarelhárítás 5.2 A követési hiba 5.3 A zárt rendszer stabilitása és a típusszám 5.4 Az előszűrő megválasztása 5.5 Példák 5.51 Példa 5.52 Példa 5.53 Példa

6. Szabályozás vizsgálata a frekvencia módszer alapján 7. Zavarkompenzáció. Kaszkádszabályozás 8. Smith prediktór. IMC rendszer 9. Állapottranszformációk. Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10. Állapotirányítás. Állapotirányítás megfigyelővel


6

SZB


Elméleti alapok

1. Elméleti alapok A dinamikus rendszerek leírásának eszköze a differenciálegyenletekkel történő matematikai modellezés. Ebben az elméleti bevezető fejezetben – mielőtt a szabályozások részletes vizsgálatára sort kerítenénk – áttekintést adunk arról, hogy ezt a matematikai modellt, hogy kell felépíteni, a mérnökökhöz közelebb álló, és a matematikai képleteken túlmutató, ábrával (a hatásvázlattal) hogyan lehet szemléltetni, illetve a differenciálegyenletet hogyan lehet megoldani. 1.1 Bevezetés A különféle folyamatok elindítása, üzemben tartása, megállítása szükségessé teszi ezek megfelelő minőségű, és biztonságos irányítását. Ilyen folyamatirányítások például: erőmű energiatermelő blokkegységének irányítása (atomreaktor teljesítmény szabályozása, gőzturbina fordulatszám szabályozása, generátor feszültség szabályozása), utasszállító repülőgép robotpilótája által végzett szabályozások, vegyipari reaktor irányítása, robotirányítás, CNC szerszámgép szabályozási rendszerei, közúti gépjármű fedélzeti számítógépével végzett irányítások, háztartási gépek elektronikus irányító rendszerei, élettani–, biológiai folyamatban lejátszódó irányítások, stb. Az irányítás során megoldandó feladatok illusztrálására szemléletes példa a közúti gépjármű (pl. személygépkocsi) vezetése. A technológiai célkitűzés a gépkocsinak, és utasainak a közúti úthálózat igénybevételével az (a) pontból a (b) pontba való eljuttatása. Ehhez igénybe kell venni a gépkocsi energiaellátó rendszerét, amely az üzemanyag elégetéséből mechanikai energiát termel (ennek az energiának a felhasználásával hajtjuk a kerekeket, gyorsítjuk a tömeget, leküzdve a légellenállást, a súrlódást, az emelkedők miatti terhelést, és ez az energiaforrása a gépjármű üzemeltetéséhez szükséges segédenergiáknak is). A gépjármű vezetője – a motor elindítását követően – információkat szerez be a motor megfelelő üzemállapotáról, a biztonsági berendezések működésképességéről, a motor fordulatszámáról, a hűtővíz hőmérsékletéről, az olajnyomásról, az akkumulátor töltöttségi állapotáról, a forgalmi helyzetről, az időjárási–, és az útviszonyokról, a gépkocsi sebességéről, stb. Ezen információk egy részét a mérőműszerek, illetve a fedélzeti számítógép szolgáltatja, és a műszerfalon kijelzi, egy másik részét pedig a vezető a közvetlen érzékelés (látás, hallás, stb.) alapján észleli. Mindezen információkat feldolgozza, majd ennek eredményeként rendelkezéseket ad ki a jármű kezelőszerveinek működtetésére (a beavatkozásra). A rendelkezések végrehajtására szolgáló beavatkozások lehetőségei: kezeli a kormányművet, a gázadagolással és a fékrendszerrel változtatja a sebességet, a tengelykapcsoló működtetésével szétkapcsolhatja az energia átalakító rendszert a hajtóműtől, az időjárási viszonyoktól függően be–, vagy kikapcsolja az ablaktörlő lapátokat hajtó szervomotorokat és a klíma berendezést, a forgalmi szituációktól függően fékez, gázt ad, és manőverez, kezeli a navigációs rendszert, ha a „normális” üzemben zavarok lépnek fel, az ezek megszüntetésére intézkedéseket hoz, információkat szolgáltat a forgalomban lévő többi jármű számára, stb. A technika mai szintjén sok automatikus irányítási rendszer már eleve tehermentesíti a vezetőt az irányítás bizonyos részfeladatainak ellátásától (motor hőmérsékletszabályozás, kipörgés gátló, blokkolás gátló, automatikus sebességváltás, világítás automatikus ki–be kapcsolása, automatikus klímaszabályozás, olajnyomás szabályozás, a segédenergia rendszer feszültség szabályozása, ablaktörlés szabályozás, stb). Ezek a részrendszerek általában emberi közreműködés nélkül műkődnek, a vezető ezeket csupán felügyeli. A járműipar fejlődésével egyre több részfeladatot lehet emberi közreműködés nélkül megoldani, arra azonban még sokat kell várni, hogy az embert a jármű irányításában való részvételtől teljesen tehermentesíteni lehessen. Az irányításra jellemző érzékelés, ítélet alkotás (az információk feldolgozása), rendelkezés adás, és beavatkozás funkciói nem csak a vezető által végzett globális járműirányításban, hanem az automatikus részirányítások mindegyikében is fellelhetők. A gépjármű tempomat sebességszabályozási rendszere képes a jármű állandó sebességének a biztosítására, ha a rendszert az arra alkalmas forgalmi viszonyok mellett aktivizáljuk. A menetszél változás–, és a terepváltozás okozta terhelések, nemkívánatosan változtathatják a jármű sebességét. Az automatikus irányító rendszer sebességérzékelő szerv (szenzor) segítségével méri a jármű tényleges v sebességét (érzékelés). Egy központi számítógép memóriájában tárolható a sebesség


7

SZB


Elméleti alapok

megkívánt va értéke. A számítógép aritmetikai egysége előállítja a kívánt–, és a tényleges sebességek vε=va–v különbségét, és ezt követően gondoskodik arról, hogy annyi üzemanyag áramoljon a motorhoz, ami e különbség megszüntetéséhez szükséges (rendelkezésadás a beavatkozásra). Ez rendszerint annak az intézkedésnek a végrehajtásával jár, hogy egy beavatkozó szerv (aktuátor) megfelelő mértékben mozgatja a gázpedált, és ezzel változtatja a motorba vitt üzemanyag mennyiségét. A vezető beállíthatja a sebesség előírt va értékét, amit a jármű tempomat irányító rendszere a tényleges sebesség vonatkozásában általában be is tart. Ha a vezetőnek hirtelen fékeznie–, vagy gyorsítania kell, az irányító rendszer „kikapcsol”, és ismételt aktivizálása csak újabb vezetői utasításra történik. Hasonló elvnek megfelelően működik a motor hőmérséklet szabályozásának irányítási rendszere is. Egy hőmérsékletérzékelő (pl. gőztenziós hőmérő) méri a hűtővíz tényleges υ hőmérsékletét, és ha ez egy beállított υa előírt értéket meghalad, akkor az irányító rendszer nyitja a vízáramba tett szelepet, és bekapcsolja a hűtőventillátort. Ezeket a funkciókat szerkezetileg is megvalósító berendezés a termosztát. A gépjármű üzemeltetése azt is igényli, hogy villamos segédenergia álljon rendelkezésre a különféle elektronikus rendszerek működtetésére. A villamos segédenergiát egy, a motor által hajtott villamos generátor, illetve az akkumulátor szolgáltatja. A villamos feszültség általában 12V, és ennek állandósága elvárható követelmény, mivel ez a segédenergia forrás táplálja a fedélzeti számítógépet, a világítási hálózatot, a gyújtási rendszert, a közlekedési követelményeknek megfelelő jelzőrendszert, a szórakoztató elektronikát, és ez szolgáltatja azt a segédenergiát is, ami a gépjármű elindításához, és az egyéb irányítási rendszereinek működtetéséhez is szükséges. Mindezen okok miatt a villamos segédenergia forrással szemben jogos igény, hogy ennek 12V feszültségszintje a mindenkori terheléstől, illetve a motor fordulatszámától függetlenül állandó legyen. Ezt az elvárást a jármű feszültségszabályozási rendszere elégíti ki. Érzékelő szerv méri a feszültség u aktuális értékét, amely összehasonlítható ennek kívánt ua=12V előírt értékével. Ha – például a fényszórók bekapcsolása miatt, a feszültség lecsökken – eltérés keletkezik a feszültség kívánt–, és az aktuális értékei között, és ezt a eltérést meg kell szüntetni. A feszültségszabályozási rendszer az eltérés hatására megváltoztatja a generátor gerjesztő áramát, aminek eredményeként a feszültségegyensúly helyreáll. A feszültségszabályozó gondoskodik az akkumulátor megfelelő töltöttségének biztonságáról is. A jármű vezetője – mintegy élő biológiai szervezet – önmagában is sok autonóm szabályozási rendszert tartalmaz (vérnyomás szabályozás, vércukorszint szabályozás, hőmérsékletszabályozás, szívritmus szabályozás stb.). Ezek működési mechanizmusai az emberi agy irányításával, tudatunktól függetlenül mennek végbe. A jármű ember által végzett irányításnak egy része, felügyeli a jármű részrendszereinek működését, más része pedig – érzékelő szerveivel (látás, hallás, szaglás, egyensúlyérzés, stb.) beszerzett információk alapján – vezeti a járművet (végtagjainak segítségével motorikusan kezeli a kormányt, a féket, a gázpedált, a sebességváltót, a kezelő szerveket). Ez szintén az emberi agy tevékenységének az eredménye. Ha a technikailag megoldottnak tekinthető, és a termosztát által végrehajtott motor hőmérsékletszabályozást (a hűtővíz hőmérséklet növekedésének hatására a gőztenziós hőmérő nyitja a hűtővíz mennyiségét befolyásoló szelepet, és bekapcsolja a hűtőventillátort), hasonlítjuk az emberi test hőmérsékletének szabályozásához, szembetűnően jelentkezik az irányítás minősége, és bonyolultsága közötti különbség. Az évmilliókban mérhető evolúciós átalakulás folyamán, az emberi agy által elektrokémiai folyamatok sorozatával végrehajtott irányításoknak olyan rendszerei alakultak ki, amelyekhez képest a legbonyolultabb, technikailag megvalósítható megoldások is csupán kezdetleges utánzatok. Napjaink élettani, biológiai kutatásainak jelentős területei az emberi agy működésének „megfejtésére” irányulnak. Az élettani folyamatok sokrétűsége, és bonyolultsága miatt, gyorsan megszerezhető eredményekkel ezek a kutatások nem kecsegtetnek. A példák alapján megállapíthatjuk, hogy az irányítási folyamatok széles skálájára jellemezhető sajátosság az információ szerzés, az információk alapján történő ítéletalkotás (az információk feldolgozása), és az ítéletalkotás alapján rendelkezés adás a beavatkozásra. A technikai irányításokban az információ szerzés eszközei az érzékelő szervek (szenzorok), a beavatkozás eszközei a beavatkozó szervek (aktuátorok). Az információk feldolgozását, és a szükséges beavatkozás mértékének meghatározását ma már gyakran folyamatirányító számítógép látja el.

Az irányítási rendszer részei az irányított folyamat (process (P)), és az irányítást végző irányító berendezés (controller (C)). Ezen részek együttműködéséből áll az irányítási rendszer, amelynek tulajdonságait egy absztrahált hatásvázlat felhasználásával tárgyalhatjuk. A hatásvázlat elemei a kimenő–bemenő jelekkel rendelkező jelátvivő tagok, amelyek


8

SZB


Elméleti alapok

dinamikus tulajdonságokat, és ok–okozati relációkat fejeznek ki a bemenő–, és kimenő jelek között. A folyamat bemenő jelei az u irányító jel, az uz zavaró jelek, kimenő jele pedig az y irányított jellemző. A zavaró jelek nemkívánatos befolyást gyakorolnak az irányított jellemzőre, és ezt a nemkívánatos hatást az irányító jel szándékolt módosításával kívánjuk elhárítani. Az irányító berendezést absztraháló tag elsődleges bemenő jelei az irányított jellemző kívánt értékét (az yA alapértéket) megjelenítő ua alapjel, és az irányított jellemző y tényleges értéke, kimenő jele pedig az u irányító jel. Ha az u előállítása az irányított jellemző kívánt–, és tényleges értékének különbségén (a h=yA–y hibán) alapszik, az irányítás a negatív visszacsatolás elvére épül, ekkor az irányítást szabályozásnak definiáljuk. Igényesebb követelményeket kielégítő szabályozások esetében az u előállításának algoritmusába bemenő jelként bevonható a folyamat xp állapotváltozója (állapot visszacsatolás), a zavaró jelek egy része (zavarkompenzáció), sőt, maga az u irányító jel is (belső visszacsatolás). A szabályozási rendszer jelátviteli viszonyait absztraháló hatásvázlat: zavarkompenzáció

uz

ua A szabályozó berendezés alrendszere C (controller) xc(t)

u

A szabályozott folyamat alrendszere P (process) xp(t)

y

belső visszacsatolás állapot-visszacsatolás y visszacsatolása (fő visszacsatolás)

A szabályozás hatásvázlata

A szabályozási rendszer dinamikus alrendszerei a szabályozott folyamat, és a szabályozó berendezés. Mindkét alrendszert egy-egy téglalappal jelölt ábra jelképez, a téglalapokba befelé felé mutató, nyíllal ellátott vonalak a bemenő jeleket, a téglalapokból kifelé mutató vonalak pedig a kimenő jeleket jelentik. A bemenő-kimenő jelekkel ellátott téglalapok a jelátvivő tagok, és azt a függvénykapcsolatot szimbolizálják, amelyek megmutatják, hogy a bemenő jelek, mint okok (független változók) miként befolyásolják a kimenő jeleket, az okozatokat (a függő változókat). A szabályozott folyamatot absztraháló tag kimenő jele az y szabályozott jellemző, a szabályozó berendezést jelképező tagé pedig az u irányítójel, ami egyébként egyben a folyamat egyik bemenő jele is. Az ok-okozati relációk a két alrendszer vonatkozásában: y ⇒ u, u z , x p

u ⇒ u a , y , u , u z , xc , x p Azok a függvénykapcsolatok, amelyek megmutatják, hogy az y és u kimenő jeleket milyen módon befolyásolják az u, uz, xp, illetve az ua, y, uz, xc, xp bemenő jelek, bonyolult összefüggések, jellegzetes tulajdonságuk, hogy bennük a jeleken túlmenően azok különféle rendszámú differenciálhányadosai is szerepet játszanak. A teljes irányítási rendszer leírásához a részrendszerek, leírásán keresztül vezet az út. Miután időben lejátszódó hatásterjedési jelenségekről van szó, a dinamikus rendszerekben 2007. szeptember 26.

9

SZB


Elméleti alapok

lejátszódó események leírásának módszere a differenciálegyenlettel történő matematikai modellezés. Ennek általános formája az állapotegyenletek alakjában megjeleníthető, a bemenő–, és a kimenő jelek közötti függvénykapcsolatot leíró matematikai képlet. Ennek szemléltetésére a jelátvivő tag, illetve a jelátvivő tagokból felépített hatásvázlat fogalmait használhatjuk. A különféle szabályozási rendszerek analízise, és szintézise előismereteket igényel. Miután dinamikus rendszerek vizsgálatáról van szó, ezért alapvetően matematikai ismeretekre van szükség. Ezen belül is elsősorban a függvényanalízisre, a komplex függvénytanra, a mátrixalgebrára, de főleg a differenciálegyenletekkel kapcsolatos témakörökre1. A folyamat matematikai modelljének létrehozása, illetve a szabályozási rendszer fizikai realizálása igényli az elektronika, a méréstechnika, a digitális technika, a teljesítmény elektronika, a villamos hajtások, az energetika, a mechanika, a pneumatika, a hidraulika stb. témakörökben való jártasságot is. Ezekre a jelen anyagokban csak olyan mértékben támaszkodunk, amelyet az előtanulmányok lehetővé tesznek. 1.11 Alaptagok

A jelterjedés hatásmechanizmusának részletes nyomon követésére, a kimenő–bemenő jelek közötti kapcsolatoknak elemi függvénykapcsolatokkal történő leírására a hatásvázlatot alaptagokkal célszerű felépíteni. Az így előállított hatásvázlat – a matematikai képleteken túlmutatóan – jó áttekintést ad a rendszer statikus és dinamikus tulajdonságairól. Megkülönböztetünk lineáris és nemlineáris alaptagokat. Lineáris alaptagok

Szoros felfogásban lineáris alaptagoknak az arányos–, az integráló–, és az összegző tagokat tekintjük. Az ezeket leíró hatásvázlat: u

k Arányos (P) tag

y=ku

u

∫

y (t ) = u (t )dt

∫

u1

y=u1+u2 u2

Integráló (I) tag

Összegző (Σ) tag

Az arányos tag kimenő jele a bemenő jelének k–szorosa, ahol k a P (proporcionális) tag átviteli tényezője (dc erősítése). A Σ összegző tag kimenő jele a bemenő jelek összege. Az arányos–, és az összegző tagok algebrai tagok. Az integráló tag dinamikus alaptag, kimenő jele a bemenő jelének idő szerinti integrálja. Az integráló tag szerepe különlegesen jelentős, mivel ez a lineáris, és nemlineáris dinamikus rendszerek mindegyikében szükségszerűen jelen van. Az integráló tag néhány fontos tulajdonsága: ◙ ◙ ◙ ◙

kimenő jele akkor lehet állandó, ha bemenő jele zérus, kimenő jele bizonyosan változik, ha bemenő jele nem zérus, kimenő jele véges bemenő jel ugrásra az ugrás pillanatában változatlan marad, kimenő jele időben lineárisan növekszik, ha bemenő jele u0=állandó>0, kimenőjelének a változási sebessége az u0 bemenő jellel arányos, ◙ kimenő jelének a t1 időpontban felvett y(t1) értéke az u(t) bemenő jelnek a teljes „előéletétől” (a – ∞
1

A differenciálegyenlet megoldását a MATLAB [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0),[y,x]=lsim(num,den,u,t), [y,x,t]=initial(A,B,C,D,x0),[y,x]=step(A,B,C,D),[y,x]=step(num,den),[y,x]=impulse(A,B,C,D), [y,x]=impulse(num,den), ode23, ode45 stb. függvényei támogatják. 2007. szeptember 26.

10

SZB


Elméleti alapok

y u

k

u 1

u(t)

y=ku

t1

Arányos (P) tag

t1 T

y(t)

k 2T

t

T

2T t

y(t1)=ku(t1)

u(t1) u

y=∫udt

∫

y

u(t)

y(t) t1

y (t1 ) =

T

∫ u(t)dt 0

Integráló (I) tag

t1

t

Arányos–, és integráló tag adott u(t) bemenő jelre keletkező válaszainak összehasonlítása

A jelátvitelnek gyakran előforduló jellegzetes tulajdonsága, hogy a kimenő–, és a bemenő jelek között, holtidő típusú jelkésleltetés van. A holtidős (H) alaptag kimenő jele – egy Th holtidő okozta késleltetéssel – a bemenő jelét ismétli: y=u(t–Th). Tágabb felfogásban a holtidős tagot is a lineáris alaptagok közzé soroljuk. A holtidős tag hatásvázlata: u

y=u(t–Th)

1 t

Th

Holtidős (H) alaptag

A holtidős tagot leíró téglalapban a tag u(t)=1(t) egységugrás bemenő jelre adott y(t)=v(t) válaszát (az átmeneti függvényt) ábrázoljuk, ez ugyanis szemléletes képet ad a jelátvitel jellegéről. A holtidős tag igen kellemetlen jelátviteli tulajdonságokat jelent, az irányítási feladatok megoldásában jelentős nehézségek forrása. Ez annak a következménye, hogy a holtidős tag bemenetére jelet kapcsolva, ennek hatására a kimenetén Th ideig „nem történik semmi”, vagyis a bemenő jel megváltozására a kimenő jel csak a holtidő eltelte után reagál. A holtidő a hatásterjedés véges sebességéből, vagy sok, egymásra torlódó, azonos időállandóból származtatható. A lineáris alaptagok közül az integráló–, és a holtidős tagok a dinamikus tagok. Ezek jelátviteli tulajdonságaiban az időnek is jelentős szerepe van. Ahhoz, hogy a dinamikus tag kimenő jelében változás jöjjön létre, időnek kell eltelnie. Az arányos, és az összegző tagok algebrai tagok, a bemeneteiken történő jelváltozásokra azonnal (késleltetés nélkül), és a bemenő jel megváltozásával arányosan reagálnak. A lineáris alaptagokkal tetszőleges bonyolultságú lineáris rendszer hatásvázlata felépíthető. Nemlineáris alaptagok

A nemlineáris alaptagok nemlineáris algebrai függvénykapcsolatokat, illetve nemlineáris matematikai műveleteket szimbolizálnak a kimenő–, és bemenő jeleik között. Ezek általában a matematikai analízisben szokásos hatvány–, trigonometrikus–, exponenciális–, stb. függvényeket, illetve a szorzást, és a hányados képzést jelenítik meg.


11

SZB


u

Elméleti alapok

y=u2

( )2

u

y=√u

u

u

u

u

sin

exp

sh

u1

abs

u1

π

u

u

y=exp(u)

u

y=sh(u)

u

ln

ch

u1

y=u1u2

u1

y=u1/3

u

y=u1/n

sign

y=cos(u)

u

y=ln(u)

u

y=ch(u)

u

y=sign(u)

u

y=u1/u2

u2

/

u

y

u

y=th(u)

th

y=f(u)

f(u)

F(u1,u2)

y=F(u1,u2)

u

y

Háromállású tag

y

Érzéketlenségi sávos tag

y=log(u)

log

Függvénygenerátor

Kétállású hiszterézises tag

y

y=tan(u)

tan

u1

Hányados képző tag

Kétállású tag

y=un

( )n

u2

y

Telítődő tag

u

n

cos

y=abs(u)

Szorzó tag

u

y=u3

3

y=sin(u)

u2

u

( )3

u

y

Háromállású hiszterézises tag

A nemlineáris alaptagok választéka további függvénykapcsolatok felvételével tetszőlegesen bővíthető. Ezeket a függvénykapcsolatokat, a tagot absztraháló négyszögbe írt képlet–, illetve ábra fejezi ki. A képlet jelentése az, hogy a bemenő jelen milyen matematikai művelet kell elvégezni ahhoz, hogy a kimenő jelet előállítsuk. Sok esetben a képletszerű megadás helyett egy ábrával jellemezzük a bemenőjel–kimenőjel kapcsolatot, amely ábra általában a tag statikus jelleggörbéjét – az y=f(u) függvényt – mutatja meg.


12

SZB


Elméleti alapok

A dinamikus rendszerek matematikai modelljét, illetve e modell hatásvázlattal történő leírásában az alaptagok felhasználásának lehetőségeit, példákon mutatjuk be. 1.12 Bevezető példák Tartályokból álló folyamat

Két, F (m2) felületű, szabad kifolyású hengeres tartályból álló folyamat tartályait az u1, u2 és u3 (m3/sec) hozamok töltik. A tartályokból kiáramló q1 és q2 hozamok a h1 és h2 (m) szinthelyzetektől – Bernoulli törvénye szerint – a q=µf√(2gh) szerint függnek, ahol f az áramlási keresztmetszet (m2), µ a kifolyási tényező, g a nehézségi gyorsulás (m/sec2). A szerkezeti elrendezés és az anyagegyensúlyi egyenletek: u1u1

u2u2

u1

FF11

h1=x1=y1

u2

dh1

x1, x2 h2=x2=y2

u3

h1=x1 h1=x1 f1 u3

F1dh1 = (u1 + u2 − q1 )dt

q1 F2

F2 dh2 = (u3 + q1 − q2 )dt

dh2

q1 = μf1 2 gh1

h2=x2

q2 = μf 2 2 gh2

f2

q2

x1(0) u1

∫

β1 u2

–

β1

h1=x1=y1

q1/F1

α1

√ x2(0)

u3

∫

β2 –

h2=x2=y2

q2/F2

α2

√

Tartályokból álló dinamikus rendszer, a rendszer alaptagokból felépített hatásvázlata, és anyagegyensúlyi egyenletei

A rendszernek három bemenő jele (az u1, u2, és az u3 hozamok) és két kimenő jele (a h1, és a h2 szinthelyzetek) van. Ha a h1=x1=y1, és a h2=x2=y2 szinthelyzeteket állapotváltozóknak, és kimenő jeleknek definiáljuk, akkor az anyagegyensúlyi egyenletek alapján a rendszer állapotegyenletei α=µf√(2g)/F, β=1/F jelölésekkel:


13

SZB


Elméleti alapok

dx1 (t ) = f1[ x1 (t ), u1 (t ), u 2 (t )] = −α1 x1 (t ) + β1u1 (t ) + β1u 2 (t ) dt dx2 (t ) = f 2 [ x1 (t ), x2 (t ), u3 (t )] = α1 x1 (t ) − α 2 x2 (t ) + β 2u3 (t ) dt y1 (t ) = g1 [ x1 (t )] = x1 (t ) y2 (t ) = g 2 [ x2 (t )] = x2 (t ) RLC elemekből felépülő áramkör R

L

u

y

u

uL

uR

C

uC=x2

x1, x2

y

i=x1

u

x1(0)

di/dt

i=x1

∫

1/L

u R (t ) = Ri (t )

-R/L

u L (t ) = L

-1/L

di (t ) dt

1 i (t )dt C∫ u (t ) = u R (t ) + u L (t ) + uc (t )

uC (t ) =

1/C duc/dt

y (t ) = uC (t )

∫

uc=x2=y x2(0)

RLC áramkör dinamikus rendszere, és lineáris alaptagokból felépített hatásvázlata

Ha az áramkor bemenetére az u(t) feszültséget (gerjesztő jelet) kapcsoljuk, akkor ennek hatására egy i(t) áram indul. Ez az áram az R ellenálláson Ri –, az L induktivitáson Ldi/dt–, a C kapacitáson pedig (1/C)∫idt feszültségeséseket kelt. Kirchhoff huroktörvénye szerint a feszültség egyensúlyt kifejező egyenlet: u (t ) = u R (t ) + u L (t ) + uC (t ) = Ri (t ) + L

di (t ) 1 + ∫ i (t )dt dt C

Ha az i(t) áramot és az uC(t) feszültséget x1=i, x2=uC jelöléssel a rendszer állapotváltozóinak definiáljuk, és kimenő jelnek a kapacitáson keletkező feszültséget tekintjük (y= uC), akkor a rendszer leírására az alábbi állapotegyenleteket kapjuk:


14

SZB


Elméleti alapok

di (t ) R 1 1 = − i (t ) − uC (t ) + u (t ) dt L L L duC (t ) 1 = i (t ) dt C y (t ) = uC (t ) Az általános jelölésekkel: dx1 (t ) R 1 1 = f1[ x1 (t ), x2 (t ), u (t )] = − x1 (t ) − x2 (t ) + u (t ) dt L L L dx2 (t ) 1 = f 2 [ x1 (t ), x2 (t ), u (t )] = x1 (t ) dr C y (t ) = g1[ x1 (t ), x2 (t ), u (t )] = x2 (t ) Hidraulikus erősítő és szervomotor

A hidraulikus erősítő és szervomotor a folyamatirányításokban, olyan esetben kerül alkalmazásra, ahol nagy erők szükségesek a beavatkozó szervek működtetésére. A vezérlő tolattyúk u0 elmozdulása a hidraulikus tápegység PT olajnyomását a szervomotor dugattyújának egyik–, vagy másik oldalára vezeti, aminek hatására a dugattyú az u elmozdulással arányos állandó dx/dt=cu sebességgel mozog. y=x

u

x

y

Szervomotor

dx(t ) = cu (t ) dt y (t ) = x(t )

u

PT

Vezérlő tolattyúk (Hidraulikus erősítő)

P0

u

P0

c

dx/dt

x(0)

∫

x=y

Hidraulikus szervomotor állapotegyenlete és hatásvázlata

A fizikai működésből–, vagy a hatásvázlatból láthatóan, a rendszer integráló tulajdonságú, aminek jelentése most az, hogy az y kimenőjel az állandó u0 hatására időben lineárisan növekszik. Ez a növekedés mindaddig tart, amíg a bemenőjel zérussá nem válik, vagy pedig addig, amíg a szervomotor „fel nem ütközik”.


15

SZB


Elméleti alapok

Elektromechanikai rendszer

Külső gerjesztésű egyenáramú motor kapcsolási vázlata, a működést leíró egyenletei, és az alaptagokból felépített hatásvázlata:

R

L

ui

mT

gerjesztő fluxus

φ

u

Motor

Θ

u (t ) = Ri(t ) + L

Lg

ug

di(t ) + ui (t ) dt

Egyenáramú motor kapcsolási vázlata

dω (t ) = m(t ) − mT (t ) dt dig (t ) u g (t ) = Rg i g (t ) + Lg dt

1 L∫

i=x1 π

φi

-R -cφω -c

1 Lg

∫

ϕ (t ) = c1ig (t )

cφi c

–

ω(0)

1

θ

∫

ω(t)=x2

φ φω

π

ig(0) ug(t)=u3

m(t ) = cϕ (t )i (t )

mT=u2

i(0)

ω

ui (t ) = cϕ (t )ω (t )

Θ

ig

u(t)=u1

x1=i x2=ω x3=ig

mT

m ω

i Rg

u ug

ig=x3

R : az armatúra kör ellenállása [VA-1] L : az armatúra kör induktivitása [VA-1s] Rg : a gerjesztő kör ellenállása [VA-1] Lg : a gerjesztő kör induktivitása [VA-1s] Θ : a forgó rész tehetetlenségi nyomatéka[VAs3] c, c1 : gépállandók

c1

-Rg Egyenáramú motor állapotegyenletei, és hatásvázlata

Az armatúra körre, és a gerjesztő körre érvényes Kirchhoff hurokegyenlet, illetve a forgórész mozgásegyenlete alapján írható fel a rendszer állapotegyenlete. Ha a terheletlen (mT=0) gép armatúrájára u kapocsfeszültséget–, a gerjesztő körre pedig ug gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor ezek elindítják az i armatúra áram–, és az ig gerjesztő áram növekedését. Az ig állítja elő a gép φ=c1ig fluxusát, ami közelítőleg a gerjesztő árammal arányos. Az i áram és a φ fluxus m=cφi villamos nyomatékot létesít, amely a forgórészt a mozgásegyenletnek megfelelően mozgásba hozza, így a szögsebesség növekedni kezd. Az ω szögsebesség mindaddig növekszik, amíg az m nyomaték a forgórészt gyorsítja. A szögsebesség növekedése ui=cφω indukált feszültséget („ellenelektromotoros erőt”) hoz létre az armatúra kapcsain, ami ellentétes irányú az u kapocsfeszültséggel, ezért ez előbb–utóbb az i áram csökkenéséhez vezet. Amikor az armatúra áram zérussá válik, a gyorsító nyomaték megszűnik, és ettől kezdve a gép állandó szögsebességgel jár. A rendszeregyenletekből, vagy a gép hatásvázlatából szemléletesen következik, hogy állandó u0, ug0, mT0 hatására a rendszer 2007. szeptember 26.

16

SZB


Elméleti alapok

állandósult állapotba akkor kerül, ha a jelek differenciálhányadosai zérusok, ami egyenértékű azzal, hogy a hatásvázlat integráló tagjainak bemenő jelei zérusokká válnak. Legyenek bemenő jelek a motor u1=u(t) kapocsfeszültsége, a φ(t) gerjesztő fluxust előállító u2=ug(t) gerjesztő feszültség, és az u3=mT(t) terhelőnyomaték, kimenő jel pedig az y1=ω(t) szögsebesség. Állapotváltozók lehetnek az x1=i(t) armatúra áram, az x2= ω(t) szögsebesség és az x3= ig(t) gerjesztő áram. A rendszeregyenletek alapján felépíthető hatásvázlat integráló tagjainak kimenő jelei az állapotváltozók, így a hatásvázlat alapján az állapotegyenletek közvetlenül felírhatók. A rendszer nemlineáris, amit a hatásvázlaton a szorzó tagok jelenítenek meg. A k=cc1 jelöléssel az állapotegyenletek:

(

di (t ) 1 = − Ri (t ) − kig (t )ω (t ) + u (t ) dt L dω (t ) 1 = ki(t )i g (t ) − mT (t ) θ dt di g (t ) 1 = − Rg i g (t ) + u g (t ) dt Lg

(

)

)

(

)

Az általános jelölésekkel: 1 dx1 (t ) = f1 ( x1 , x2 , x3 , u1 , u 2 , u3 ) = (− Rx1 (t ) − kx3 (t ) x2 (t ) + u1 (t ) ) dt L 1 dx2 (t ) = f 2 ( x1 , x2 , x3 , u1 , u 2 , u3 ) = (kx1 (t ) x3 (t ) − u3 (t ) ) θ dt dx3 (t ) 1 = f 3 ( x1 , x2 , x3 , u1 , u2 , u3 ) = − Rg x3 (t ) + u 2 (t ) dt Lg

(

)

y1 (t ) = x2 (t ) Termikus folyamat

Egy Fk külső felületű, hőszigetelt tartályban mv tömegű, υv hőmérsékletű víz van, amelyet a fűtőtesteken disszipált p villamos teljesítménnyel melegítünk. A homogén mb tömegnek tekintett Fb felületű fűtőszálak hőmérséklete υb. A villamos teljesítményből Δt idő alatt keletkezett pΔt hőmennyiség Δυb értékkel növeli a fűtőtest hőmérsékletét, illetve a υb-υv hőmérsékletkülönbségtől függő Fbhb(υb-υv)Δt hőmennyiséget ad át az mv tömegű víznek. Az Fbhb(υb-υv)Δt hőmennyiség Δυv értékkel növeli a víz hőmérsékletét, illetve fedezi a hőszigetelésnek átadott Fshs(υv-υs)Δt hőmennyiséget. Ez a hőmennyiség Δυs értékkel növeli a hőszigetelés hőmérsékletét, és fedezi a környezetnek átadott Fkhk(υs-υk)Δt hőveszteséget (hb, hs,hk hőátadási tényezők, Fb, Fs, Fk a hőátadó felületek). Az energiaegyensúlyi egyenletek: pΔt = mb cb Δυb + Fb hb (υb − υv )Δt Fb hb (υb − υv )Δt = mv cv Δυv + Fs hs (υv − υ s )Δt Fs hs (υv − υ s )Δt = ms cs Δυ s + Fk hk (υ s − υ k )Δt (cb,mb, cv,mv, cs,ms a fűtőtest-, a víz-, és a hőszigetelés fajhője, illetve tömege). Δt-vel osztva az egyenleteket, és Δt→0 határátmenetet tekintve, a rendszer állapotegyenlete:


17

SZB


Elméleti alapok

dυb (t ) Fh = − b b υb (t ) dt mb cb dυv (t ) = dt

+

Fb hb υv (t ) mb cb

Fb hb F h + Fs hs υb (t ) − b b υv (t ) mv cv mv cv

dυ s (t ) = dt

Víz

υs

p

Fk,hk

υk

ms,cs

y=υv mv,cv

1 p(t ) mb cb

+

Fk hk υ k (t ) ms cs

Fs hs υ s (t ) mv cv

+

Fs hs F h + Fk hk υv (t ) − s s υ s (t ) ms cs ms cs

Folyamat (pl. bojler)

+

υv

x1=υb x2=υv x3=υs

u2= υk

Fs,hs

Fűtőtest υv

Fkhk(υs-υk)Δt

υb mb,cb

Fshs(υv-υs)Δt

Fb,hb

Fbhb(υb-υv)Δt Fk,hk,υk

Hőszigetelés

Fb,hb,υb

Fs,hs,υs

Fizikai modell

u1 = p

Termikus folyamat szerkezeti vázlata

A folyamat bemenő jelei az u1=p hőteljesítmény, és az u2=υk környezeti hőmérséklet, állapotváltozói az x1=υb, x2=υv, x3=υs hőmérsékletek, kimenő jele pedig a víz y1=x2=υv hőmérséklete. Ezzel: Fh dx1 (t ) = − b b x1 (t ) dt mb cb dx2 (t ) = dt

+

Fb hb x2 (t ) mb cb

Fb hb F h + Fs hs x1 (t ) − b b x2 (t ) mv cv mv cv

dx3 (t ) = dt

+ +

1 u1 (t ) mb cb

Fs hs x3 (t ) mv cv

Fs hs F h + Fk hk x2 (t ) − s s x3 (t ) ms c s ms cs

+

Fk hk u2 (t ) ms cs

y1 (t ) = x2 (t ) A kezdeti állapotban minden anyag a υk környezeti hőmérsékleten van. A villamos teljesítmény bekapcsolását követően a fűtőtest melegedni kezd, ezért υb, υv, és υs is növekszik, de a megfelelő szellőzés miatt υk változatlan marad. Egyensúlyi helyzet (amikor is a hőmérsékletek már nem növekszenek tovább) olyan υb0, υv0, υs0 hőmérsékletértékeknél áll elő, amikor a rendszerbe bevitt hőteljesítmény azonos lesz, a környezetnek átadott hőteljesítménnyel. Az állapotegyenletek alapján felépíthető hatásvázlat:


18

SZB


Elméleti alapok

u2 y1

α u1

x1

∫

ρ

δ

-(β+γ)

-α

α=

Fb hb mb cb

β=

Fb hb mv cv

γ=

Fs hs mv cv

δ=

Fs hs ms cs

ε=

Fk hk ms c s

ρ=

1 mb cb


x2

∫

β

ε

∫

x3

-(δ+ε)

γ A termikus folyamat hatásvázlata

19

SZB


Elméleti alapok

1.13 Dinamikus rendszer állapotegyenlete

Mint ahogy az a példákból látható, a j számú bemenettel, k számú kimenettel, n számú állapotváltozóval rendelkező (n–ed rendű, több bemenetű, több kimenetű) MIMO (Multi Input, Multi Output) dinamikus rendszer matematikai modellje (a rendszer állapotegyenlete):

[

]

[ [

] ]

[

]

dx1 (t ) = f1 x1 (t ),L xn (t ), u1 (t ),Lu j (t ) dt M

dxn (t ) = f n x1 (t ),L xn (t ), u1 (t ),Lu j (t ) dt y1 (t ) = g1 x1 (t ),L xn (t ), u1 (t ),Lu j (t ) M

yk (t ) = g k x1 (t ),L xn (t ), u1 (t ),Lu j (t )

Ez az egyenletrendszer n számú, elsőrendű közönséges differenciálegyenletet, és k számú nemlineáris algebrai egyenletet tartalmaz. A megoldandó feladat: adott u(t) gerjesztés, és az állapotváltozók x(0) kezdeti feltételei mellett, ismert f és g függvények esetében meg kell határozni az y(t) kimenő jelet (az u(t) gerjesztésre adott y(t) választ). E kérdéskörben elsődleges szerepe a differenciál–egyenletrendszer x(t) megoldásának van, mert x(t) és u(t) ismeretében y(t) kiszámítása már csupán egy algebrai művelet. Bevezetve a mátrixalgebrában értelmezett ⎡ x1 (t ) ⎤ x(t ) = ⎢⎢ M ⎥⎥ ⎢⎣ xn (t )⎥⎦

⎡ u1 (t ) ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ dx(t ) d ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ M ⎥ u (t ) = ⎢ M ⎥ dt dt ⎢u j (t )⎥ ⎢⎣ xn (t )⎥⎦ ⎣ ⎦

⎡ y1 (t ) ⎤ y (t ) = ⎢⎢ M ⎥⎥ ⎢⎣ yk (t )⎥⎦

⎡ f1 ⎤ f = ⎢⎢ M ⎥⎥ ⎢⎣ f n ⎥⎦

⎡ g1 ⎤ g = ⎢⎢ M ⎥⎥ ⎢⎣ g k ⎥⎦

oszlopvektor jelöléseket, az n számú elsőrendű, közönséges differenciálegyenletből, és k számú algebrai egyenletből álló egyenletrendszer vektor–differenciálegyenlet formájában is felírható. Ennek alakja: dx(t ) = f [ x(t ), u (t )] dt y (t ) = g[ x(t ), u (t )]

ahol x(t): az állapotváltozó vektor (n×1), dx(t)/dt: az állapotsebesség vektor (n×1), u(t): a bemenőjel (gerjesztés) vektor (j×1), y(t): a kimenőjel (válasz) vektor (k×1). Az állapotegyenletet – a mérnöki szemléletmódhoz a képletekhez képest közelebb álló, de azért azokkal egyenértékű –hatásvázlattal is szemléltethetjük:


20

SZB


Elméleti alapok

x(0) u(t)

dx/dt

f(x,u)

(j)

(n)

x(t)

∫

y(t)

g(x,u)

(n)

(k)

Az állapotváltozók belső visszacsatolása

Dinamikus rendszer állapotegyenletét szemléltető hatásvázlat

A hatásvázlaton az f(x,u) és g(x,u) függvényeket absztraháló tagok algebrai függvénykapcsolatot fejeznek ki a közvetlen bemenő–, és kimenő jeleik között, aminek jelentése az, hogy bemenő jeleik megváltozására, a közvetlen kimenő jeleik megváltozásával, késleltetés nélkül (azonnal) reagálnak. Az integráló tag a hatásvázlat dinamikus tagja, x kimenő jele a dx(t)/dt bemenő jelének az időszerinti integrálja. Ebből következik, hogy az integráló tag – véges értékű bemenőjel változás hatására keletkező – kimenő jelének megváltozásához időre van szükség. A hatásvázlat szemléletesen jeleníti meg a dinamikus rendszer állapotváltozóinak belső visszacsatolását is2. Fontos észrevennünk, hogy a tartályok, és az elektromechanikai rendszer állapotegyenletei nemlineáris egyenletek, szemben az RLC áramkör, a hidraulikus erősítő és szervomotor, és a termikus folyamat állapotegyenleteivel, amelyek lineáris differenciálegyenletekből és lineáris algebrai egyenletekből állnak. Ez utóbbi esetekben f(x,u)=Ax(t)+Bu(t), g(x,u)=Cx(t)+Du(t), és a dinamikus rendszer lineáris. A dinamikus folyamat – állapotegyenlet alakjában felírható – modellje a rendszer fizikai törvényszerűségeit tartalmazó matematikai leírás (Kirchhoff–, Newton törvények, az energia megmaradás elvei, a hőátadás és hővezetés törvényei, a Bernoulli egyenletek, az anyagegyensúlyi egyenletek, stb.). Ezek a leírások a valóságos működésnek egyfajta idealizált közelítései, így sok másodlagos jelenség elhanyagolását tartalmazzák. Megjegyzés. A tartályok esetében például elhanyagoltuk a kiáramlás helyén keletkező turbulenciát (pedig a kiáramlásban a turbulencia jelen van), az RLC áramkör esetében idealizált áramköri elemeknek tekintettük az R ellenállást, az L induktivitást és a C kapacitást (pedig az ellenállás hőmérsékletfüggő, az induktivitást a relatív permeabilitás is befolyásolja, és a kondenzátornak átvezetési ellenállása is van). A hidraulikus szervomotor esetében nem vettük figyelembe felütközést, és az érzéketlenségi sávot. Az elektromechanikai rendszer tárgyalásakor elhanyagoltuk a vas mágneses telítődését, a kefék átmeneti ellenállását, a légellenállást, az armatúra reakciót. A termikus folyamat esetében homogén anyagnak tekintettük a fűtőellenállást és ennek szigetelését, egyenletes hőmérséklet eloszlást tételeztünk fel a különféle agyagokban, elhanyagoltuk a hősugárzást, stb.

Mindezekből pedig az következik, hogy az állapotegyenlet alakjában megjelenő matematikai modell a valóságnak egy közelítését jelenti. Ennek ellenére ez a matematikai modell igen hasznos, mivel egy adott tartományban a vizsgálatokhoz helyettesítheti a tényleges fizikai rendszert, alkalmat teremve ezzel arra, hogy az irányító berendezést a folyamat modelljéhez tervezhessük, vagy a mennyiségi problémákat a nélkül kezelhessük, hogy a valóságos rendszeren méréseket kelljen elvégeznünk.

2

A tagokat összekötő, és a jeleket szimbolizáló nyíllal ellátott kettős vonalak a hatásirányt (az ok–okozat relációt) jelölik, illetve azt érzékeltetik, hogy minden tagnak több bemenő–, és több kimenő jele is lehet.


21

SZB


Elméleti alapok

A szabályozástechnika tárgykörében – legyen szó akár a szabályozóról, vagy a folyamatról, akár pedig a teljes szabályozási rendszerről – általában a dinamikus rendszert leíró (kauzális és időinvariáns3) dx(t ) = f ( x(t ), u (t ) ) dt y (t ) = g ( x(t ), u (t ) )

állapotegyenlet x(t) és y(t) megoldását a 0
u

y x

u(t)

y(t)=?

x(t)=?

x(0)

u(0)

y(0)

t

t A belépő u(t)–re adott x(t) és y(t) válaszok

Az y válasz értéke a t=0 időpontban – az adott g függvénykapcsolat és x(0) kezdeti feltétel mellett – y(0)=g(x(0),u(0)). Az x(t) és az y(t) időfüggvények analitikus megoldása csupán néhány speciális f(x,u) és g(x,u) függvény esetében létezik4, általában numerikus megoldások jöhetnek szóba (Euler–, Adams–, Runge–Kutta–, másodfokú extrapoláció–, stb. módszerek5). A legegyszerűbb eljárás a lineáris extrapoláció (Euler módszer). Az Euler módszer: Ha T a számítás lépésköze6, és T elég „kicsi”, akkor u(kT), x(kT), y(kT) ismeretében az x(t) megoldás [dx(t)/dt]t=kT meredeksége a t=kT időpontban adott. Ennek figyelembevételével az állapotváltozó x((k+1)T) értéke:

3

Kauzalitás: az ok–okozati relációnak megfelelően a kimenő jel aktuális értéke a bemenő jelnek kizárólag a múltbeli, és az aktuális értékétől függ, és független a bemenőjel jövőbeli értékeitől. Időinvariancia: a bemenetre adott válasz minősége nem függ attól, hogy ezt mikor kapcsoljuk a rendszerre. 4 Ha f(x,u)=Ax(t)+Bu(t) és g(x,u)=Cx(t)+Du(t), akkor a rendszer lineáris, és az állapotegyenletnek van analitikus megoldása (lásd 2.1 fejezet). 5 Az állapotegyenlet numerikus megoldását a MATLAB ode23 és ode45 függvényi támogatják. Ezek az eljárások általában a többlépéses Runge–Kutta módszert alkalmazzák. 6 A számítás T lépésközét körültekintően kell megválasztani. A nem elég kis értékre választott lépésköz mellett kapott x(kT) eredmény a tényleges x(t) időfüggvénynek igen durva közelítését eredményezheti, sőt, a numerikus instabilitás felléptekor elfogadhatatlan „megoldást” kapunk. Az indokolatlanul kis lépésköz ugyan növeli a számítás pontosságát, de jelentősen megnövekszik a számítási idő. Mindezek miatt a lépésköz megválasztásához célszerű, ha a várható x(t) megoldásról valamiféle elképzelésünk van. 2007. szeptember 26.

22

SZB


Elméleti alapok

x((k + 1)T ) − x(kT ) dx(t ) = f (x(kT ), u (kT ) ) ≅ dt t = kT T

x((k + 1)T ) ≅ x(kT ) + f (x(kT ), u (kT ) )T y (kT ) ≅ g (x(kT ), u (kT ) )

Szabályozási rendszerek analízisekor gyakran előzetesen felvett u(t) determinisztikus vizsgáló jelekre keressük az állapotegyenlet megoldását. Ezek a vizsgáló jelek rendszerint a δ(t) Dirac delta, az 1(t) egységugrás, a t*1(t) sebességugrás, a (t2/2!)*1(t) gyorsulásugrás, stb. időnek hatványfüggvényei, valamint az u(t)=umaxsin(ωt) harmonikus időfüggvény. 1.14 Munkaponti linearizálás. Ljapunov első (közvetett) stabilitási kritériuma

A dinamikus rendszer igen lényeges kérdése a rendszer stabilitása. A különféle stabilitás elméletek ezt a kérdéskört részletesen feldolgozzák7. A nemlineáris rendszernek az állandó u0 gerjesztés hatására lehetnek olyan állapotai, amelyekben a dx(t)/dt állapotsebesség értéke zérus. Az állapottér ilyen x0 állapotkoordinátákkal rendelkező helyei a rendszer egyensúlyi pontjai8. Ha ezek környezetéből induló mozgás t→∞ mellett az egyensúlyi pontba tart, stabilis–, ha viszont ide befutni nem képes, és ettől távolodik, labilis egyensúlyi pontról van szó. Az egyensúlyi pont stabilis–, vagy labilis voltának eldöntésére jól használható Ljapunov első stabilitási kritériuma9, amely az egyensúlyi pontban lévő rendszer közelítő lineáris matematikai modelljén alapszik. A munkaponti linearizálást, és Ljapunov közvetett módszerét egy n=2 másodrendű rendszer állapotegyenletére mutatjuk be, értelemszerűen azonban n=1, illetve n>2 esetére is alkalmas eljárásról van szó. Legyen a másodrendű nemlineáris rendszer állapotegyenlete10 : dx1 (t ) = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), u1 (t )) dt dx2 (t ) = f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), u 2 (t )) dt Ezekből a rendszer hatásvázlata is egyszerűen felépíthető. A dx1/dt, illetve a dx2/dt állapotsebességeknek megfelelő jeleket integráló tagok bemeneteire kapcsolva, azok kimenetein az x1 és az x2 állapotváltozóknak megfelelő jelek jönnek létre. Az integrátorok bemenetein működtetett állapotsebességek az f1 és az f2 függvénygenerátorok segítségével, az x állapotváltozókból, és az u bemenő jelekből állíthatók elő. Ennek alapján az állapotegyenlethez rendelhető hatásvázlat:

7

Irodalom: L.Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek. (Akadémiai Kiadó). Csáki Frigyes: Korszerű szabályozáselmélet. (Akadémiai Kiadó). 8 Az egyensúlyi pontokat a rendszer szinguláris pontjainak is nevezik. 9 Ljapunov direkt (második, közvetlen) módszere a nemlineáris rendszer globális stabilitásának vizsgálatára is alkalmas. Nehézkes eljárása miatt a gyakorlati alkalmazásban nem terjedt el. 10 Az y=g(x,u) egyenletet most nem kell figyelembe vennünk, mert ha az állandó u0 hatására létrejön az állapotváltozóknak az x0 állandósult értéke, akkor létezik az y0=g(x0,u0) állandósult érték is. 2007. szeptember 26.

23

SZB


Elméleti alapok

x1(0) u1(t)

dx1/dt

∫

f1(x1,x2,u1)

f2(x1,x2,u2)

dx2/dt

x1(t)

∫

x2(t)

u2(t) x2(0)

Másodrendű rendszer hatásvázlata

Ha az u1(t)=u101(t) és u2(t)=u201(t) gerjesztések időben állandó jelek, akkor a (P) jelű egyensúlyi állapotban – ha ez létezik – az állapotsebességek zérusok, és ezért ebben a (P) pontban az x10, x20 állapotkoordinátáknak ki kell elégíteniük az f1 ( x10 , x20 , u10 ) = 0 f 2 ( x10 , x20 , u 20 ) = 0 nemlineáris algebrai egyenletrendszert. Ha a (P) jelű munkapontban a rendszer gerjesztő jelei Δu1(t) és Δu2(t) értékkel megváltoznak, ez szükségszerűen azt vonja maga után, hogy az állapotváltozókban is Δx1(t) és Δx2(t) változások jönnek létre. Az állapotegyenlet azonban ekkor is érvényes marad, tehát:

d ( x10 + Δx1 (t )) = f1 (x10 + Δx1 (t ), x20 + Δx2 (t ), u10 + Δu1 (t ) ) dt d ( x20 + Δx2 (t )) = f 2 (x10 + Δx1 (t ), x20 + Δx2 (t ), u20 + Δu2 (t ) ) dt Ha az f1 és f2 függvények Taylor sorba fejthetők (vagyis folytonosak, és legalább egyszer differenciálhatóak), valamint a jelek megváltozásai „kicsik”, akkor a sorfejtés másodrendűen kis mennyiségei elhanyagolhatók. Figyelembe véve, hogy dx10/dt=f1(x10,x20,u10)=0, dx20/dt=f2(x10,x20,u20)=0, a (P) munkapont „kis” környezetében lejátszódó jelenségek közelítő leírására az alábbi lineáris matematikai modell is használható11: dΔx1 (t ) ∂f1 ( x1 , x2 , u1 ) ∂f ( x , x , u ) ∂f ( x , x , u ) ≅ Δx1 (t ) + 2 1 2 2 Δx2 (t ) + 1 1 2 1 Δu1 (t ) dt ∂x1 ∂x2 ∂u1 P P P dΔx2 (t ) ∂f 2 ( x1 , x2 , u 2 ) ∂f ( x , x , u ) ∂f ( x , x , u ) ≅ Δx1 (t ) + 2 1 2 2 Δx2 (t ) + 2 1 2 2 Δu 2 (t ) dt ∂x1 ∂x2 ∂u 2 P P P A lineáris modell vektor–differenciálegyenlet formájában felírható alakja, és az ehhez rendelhető hatásvázlat:

11

A parciális deriváltakban szereplő P index az állapotváltozók, és a gerjesztés x0, u0 munkaponti értékeire utal.


24

SZB


Elméleti alapok

⎡ ⎡ dΔx1 ⎤ ⎢ ∂f1 ⎢ dt ⎥ ⎢ ∂x1 ⎢ dΔx ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎢ ⎣ dt ⎦ ⎢ ∂x1 ⎣

⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤ ⎢ ⎥ ∂x2 P ⎥ ⎡ Δx1 ⎤ ⎢ ∂u1 ⎢ ⎥+ ∂f 2 ⎥ ⎣Δx2 ⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ∂x2 P ⎦⎥ ⎣⎢

P

P

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡ Δu1 ⎤ ⎢ ⎥ ∂f 2 ⎥ ⎣Δu 2 ⎦ ⎥ ∂u 2 P ⎦⎥

P

dΔx(t ) = AP Δx(t ) + BP Δu (t ) dt ∆x1(0)

∆u1(t) ∂f1 ∂u1

∫

P

∂f1 ∂x1

∆x1(t) (P∞)

(P)

x2

∆x2

P

∆x1

AP

BP

∂f1 ∂x2

x0

∂f 2 ∂x1 ∂f 2 ∂x2

∆u2(t) ∂f 2 ∂u 2

P

Δx0 P

∫

x1 P

Másodrendű rendszer állapotsíkja és egyensúlyi pontja P

∆x2(t) ∆x2(0)

A másodrendű linearizált rendszer hatásvázlata

AP az adott munkapontban linearizált rendszer állapotmátrixa, BP pedig a bemeneti mátrix. Láthatóan mindegyik mátrixban a (P) munkapont adatai szerepelnek.

Ljapunov első (közvetett) stabilitási kritériuma szerint, ha a nemlineáris rendszert az egyensúlyi pont környezetében a közelítő dΔx(t)/dt=APΔx(t)+BPΔu(t) lineáris vektor–differenciálegyenlet matematikai modelljével írjuk le, akkor az így keletkezett modell AP állapotmátrixának sajátértékei alapján az egyensúlyi pont stabilitása eldönthető. Ha a linearizált rendszer Ap állapotmátrixának minden λi sajátértékére a real(λi)<0 teljesül, akkor a rendszer – az egyensúlyi pont „kis” környezetében – aszimptotikusan stabilis, vagyis az egyensúlyi pontjából kitérített rendszer visszatér oda. Ekkor az állapottér (P) pontja stabilis egyensúlyi pont. Ha AP sajátértékei között van olyan, amelyiknek valós része pozitív, akkor a rendszer labilis, vagyis munkapontjából kitérítve nem tér vissza oda. Ekkor az állapottér (P) pontja labilis egyensúlyi pont Ha a sajátértékek valamelyike zérus, a kritérium érvényét veszti. Nyomatékosan hangsúlyozni kell, hogy a linearizálás módszere akkor használható, ha az f(x,u) nemlineáris függvények legalább egyszer differenciálhatóak, vagyis a jelleggörbék érintői a munkapontokban jól közelítik magukat a nemlineáris


25

SZB


Elméleti alapok

Az ⎡ ∂f1 ⎢ ∂x AP = ⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ⎢⎣ ∂x1

P

P

∂f1 ⎤ ⎥ ∂x2 P ⎥ ⎡ a11 =⎢ ∂f 2 ⎥ ⎣a21 ⎥ ∂x2 P ⎥⎦

a12 ⎤ a22 ⎥⎦

állapotmátrix sajátértékei a det(λI–AP)=(λ–a11)(λ–a22)–a12a21=λ2–tr(AP)λ+det(AP)=0 karakterisztikus egyenletének a gyökei. Ezek a tárgyalt másodrendű esetben:

λ1, 2 =

tr ( AP ) ± (−tr ( AP )) 2 − 4 det( AP ) 2

ahol tr(AP)=a11+a22 az adott (P) egyensúlyi ponthoz tartozó AP állapotmátrix nyoma, a det(AP)=a11a22–a12a21 pedig az AP determinánsa. Attól függően, hogy a kérdéses (P) pontban a λ1,2 gyökök a komplex számsíkon hol helyezkednek el, az egyensúlyi pontok típusai kategóriákba sorolhatók. Ezek: real ( λ 1 )

imag ( λ 1 )

real ( λ 2 )

imag ( λ 2 )

−

0

−

0

+

0

+

0

−

+

−

+

stabilis

fókuszpont

+

+

+

+

labilis

fókuszpont

0

+

0

−

centrum

+

0

−

0

labilis nyeregpont

Az egyensúlyi

pont típusa

stabilis csomópont labilis csomópont

Stabilis fókusz és csomópont esetében a munkapont környezetéből indított mozgás a munkapontba fut, labilis fókusz, csomópont és nyeregpont esetében a munkapont környezetéből indított mozgás a munkaponttól távolodik, vagy egy stabilis munkapont felé, vagy pedig a ±∞–be tartva. A centrum típusú munkapont környezetében a rendszerben periodikus lengőmozgás jöhet létre. A stabilitás–, vagy labilitás jelensége az x állapotváltozók – mint állapot koordináták –által létesített n dimenziós állapottérben is szemléltethető. A tranziens folyamat x(t) állapotvektora a t=0 időpontban az x(0) kezdeti feltételek koordinátáival meghatározott vektor, amely az állapottér (P0) pontjába mutat. Az x(t) vektor végpontja a mozgás folyamán egy n dimenziós térgörbét ír le, ez a térgörbe az állapot trajektória. A dinamikus rendszer n rendszáma n≥1 lehet. n=1 esetében a rendszer elsőrendű, ezért itt az állapottér a számegyenes, vagyis ekkor az x(t) időfüggvény ábrázolása a trajektóriához képest szemléletesebb. n=2 esetében az állapottér állapotsíkra egyszerűsödik, ekkor a trajektóriákkál történő szemléltetés igen hatásos. Így van ez n=3 esetében is, bár itt a háromdimenziós térben a trajektória egy időben paraméterezett térgörbe, aminek ábrázolásához már a számítógépes szolgáltatások igénybevétele is indokolt. n>3 esetében a szemléltetés nehézkessé válik. Ha az x(0) kezdeti feltételek, és az u(t)=u01(t)=állandó gerjesztés, f(x(0),u(0))=0 állapotsebességet eredményeznek az integráló tag bemenetén (lásd a rendszer hatásvázlatát), akkor a rendszer a (P0) pontból kimozdulni nem képes. Ha viszont f(x(0),u(0))≠0 akkor az integráló tag [dx(t)/dt]t=0= f(x(0),u(0))≠0 bemenő jele az integráló tagot „működésbe” hozza. Ennek hatására mind az állapotváltozóknak, mind pedig a kimenő jeleknek, az időbeli változásai jönnek létre. Ha az állandó u0 hatására az állandósult állapot létrejön, akkor itt az állapotsebesség zérus, ezért a jelek állandósult értékei az dx0/dt= f(x0,u0)=0, y0= g(x0,u0) kapcsolatot ki kell, hogy elégítsék. Ennek az egyenletrendszernek adott u0 melletti x0 és y0


26

SZB


Elméleti alapok

megoldásai a rendszer egyensúlyi helyzetének koordinátáit határozzák meg. Az f, és g nemlineáris függvénykapcsolatoktól függően egy adott u0 –hoz több egyensúlyi pont is tartozhat, és ezek mindegyike stabilis, vagy labilis egyensúlyi helyzetet jellemezhet. A labilis egyensúlyi helyzet „virtuális egyensúlyi állapot”, mert a jelek bármekkora kis eltérése esetén a rendszer ezt az egyensúlyi helyzetét elhagyja. A különféle mozgásokat háromdimenziós trajektórián szemléltethetjük: x3

x3

Sajátmozgás x(0)≠0; u(t)=0

t

Gerjesztett mozgás x(0)=0; u(t)=u0≠0

(P0)

Állapot trajektória

(P∞)

t=0

t=∞

x(0)

x0

x3(0) x2

x1(0) x2(0) x1

A sajátmozgás szemléltetése az állapottérben stabilis rendszer esetében

x2

x1(∞)

t=0

x2(∞) A gerjesztett mozgás szemléltetése az állapottérben stabilis rendszer esetében

x1

x3

Összetett mozgás végértéke f(x0, u0)=0

t

x3(∞)

Összetett mozgás x(0)≠0; u(t)=u0≠0 t

(P0) t=0

(P∞)

t=∞ x3(∞)

x(t)

x(0)

x3(0)

x0 x2

x1(∞) x2(∞) x1(0) x1

x2(0)

Az összetett mozgás szemléltetése az állapottérben stabilis rendszer esetében

Ha a gerjesztés zérus (u=0), a mozgást az állapotváltozók x(0)≠0 kezdeti értékei generálják. Ez a mozgás a rendszer sajátmozgása, amely stabilis rendszer esetében az állapottér origójába „ér véget”. Ha a kezdeti feltételek mindegyike zérus, és a mozgást az u(t) gerjesztés generálja, akkor a rendszer gerjesztett mozgásáról van szó. Állandó u0, és stabilis rendszer esetében ez a mozgás az állapottér origójából indul, és az állapottér egy (P∞) jelű egyensúlyi pontjába tart. Ha x(0)≠0, és u(t)=u01(t) ≠0, a mozgás összetett. Stabilis rendszer esetében az összetett mozgás az állapottér (P0) pontjából indul, és a (P∞) pontjába ér véget, vagyis a t=∞ időpontban az x(∞)=x0 koordinátákkal létrejön az állapotváltozók mindegyikének az egyensúlyi értéke. Labilis rendszer esetében az x(0) kezdeti feltételből induló sajátmozgás, vagy az origóból induló gerjesztett mozgás trajektóriái általában minden határon túl növekedő jelleget mutatnak. 1.141 Példa. Adott az alábbi másodrendű nemlineáris rendszer állapotegyenlete, és az ehhez rendelt alaptagokból kialakítható hatásvázlat:


27

SZB


Elméleti alapok

dx1 (t ) = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), u (t )) = − x1 (t ) + x2 (t ) + u (t ) dt dx2 (t ) = f 2 ( x1 (t ), x2 (t )) = 10( x1 (t )) 3 − 9 x1 (t ) − x2 (t ) dt

u(t)=0 esetére adjuk meg a rendszer állapottrajektóriáit. x1(0) u

x2(0) x1

∫

()

-1

3

10

∫

–9

-1

x2

1 A rendszer hatásvázlata A rendszer nemlinearitását az egyenletekben szereplő (x1)3 tényező okozza, amit a hatásvázlaton a ()3 jelű köbreemelő tag képvisel. Gerjesztetlen rendszer esetében u(t)=0, ezért ekkor a rendszer mozgását az x(0)≠0 kezdeti feltételek hozzák létre. u=0 mellett a rendszer olyan x0 állapotváltozókkal lehet egyensúlyi helyzetben, amelynek koordinátái kielégítik a dx10 = f1 ( x10 , x20 ) = − x10 + x20 =0 dt dx20 3 = f 2 ( x10 , x20 ) = 10 x10 − 9 x10 − x20 = 0 dt

egyenletrendszert. Az egyensúlyi pontok az f1(x10,x20)=0, f2(x10,x20)=0 függvények közös pontjaiban vannak. Ha az x1~x2 állapotsíkon ábrázoljuk ezeket a függvényeket, az alábbi ábrát kapjuk: Az f1=0 és az f2=0 statikus jelleggörbék 10 8

f2(x10,x20)=10x103-9x10-x20= 0

f1(x10,x20)=-x10+x20=0

6

(P0)

4

t

x2

2

x(0)

0 -2 -4 (PL1)

(PS)

(PL1)

-6 -8 -10 -1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1

1.5

A statikus jelleggörbék, és a (P0) pontból induló trajektória A statikus karakterisztikák metszéspontjainak (a rendszer egyensúlyi pontjainak) koordinátái:


28

SZB


Elméleti alapok

Egyensúlyi pont

x10

x20

−1 −1

PL1 PS

0

0

PL 2

1

1

Az egyensúlyi pontban linearizált rendszer AP állapotmátrixa és ennek karakterisztikus egyenlete: ⎡ ∂f 1 ⎢ ⎢ ∂x1 AP = ⎢ ∂f ⎢ 2 ⎢⎣ ∂x1

P

P

⎤ ⎥ 1⎤ ⎡ −1 P⎥ =⎢ ⎥ 2 ∂f 2 ⎥ ⎣30 x10 − 9 − 1⎦ ⎥ ∂x 2 P ⎥⎦ ∂f 1 ∂x 2

2 det(λI − AP ) = (λ + 1) 2 − 30 x10 +9 =

= λ 2 + 2λ − 30 x102 + 10 = 0

A karakterisztikus egyenlet gyökei és a munkapontok típusai a három munkapontban: x10

λ1

λ2

Típus

PL1 PS

− 1 − 1 − 21 − 1 + 21 0 −1+ 3 j −1− 3 j

Nyeregpont (labilis ) Fókuszpont ( stabilis )

PL 2

1

− 1 + 21 − 1 − 21

Nyeregpont (labilis )

A (PS) környezetéből induló trajektória a stabilis (PS) pontba fut, szemben a (PL) pontok környezetéből induló trajektóriákkal, amelyek a (PL) környezetét elhagyják. A rendszer globális viselkedésének tanulmányozására egy lehetséges módszer, ha az x1~x2 állapotsíkon ábrázolunk egy rácshálózat pontjaiból induló trajektória sereget. Ebből képet kaphatunk arról, hogy a teljes állapotsíkon milyen mozgásviszonyok jöhetnek létre, attól függően, hogy milyen x(0) kezdeti feltétel által meghatározott pontból indul a tranziens. A trajektóriák ábrázolásához számítógépes módszerek igénybevétele célszerű, mivel nagy számban kell az állapotegyenletet megoldani. A teljes állapotsíkot feltérképező MATLAB program: to=0;tv=5;xo=[-1.2 1.2];tv=input('tv=');xo=input('xo='); [t,x]=ode45('fnr',[to tv]',xo); plot(x(:,1),x(:,2)); grid;pause;plot(t,x(:,1),t,x(:,2));grid;pause; [t,x]=ode45('fnr',[to tv]',[0 3.5]'); x1=-1.25:.1:1.25;x2=x1;plot(x1,x2);hold; plot(x1,10*x1.^3-9*x1);grid;pause;plot(x(:,1),x(:,2)); title('Az f1=0 és az f2=0 statikus jelleggörbék'); xlabel('x1');ylabel('x2'); pause;clf; %A szeparatrix számítása [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[-2 7.965]');plot(x(:,1),x(:,2));hold; [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[2 -7.965]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[-2 5.677]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[2 -5.677]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[0 4]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 1]',[0 -4]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 0.5]',[-1.5 1]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 0.5]',[1.5 -1]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 5]',[-1.5 4]');plot(x(:,1),x(:,2)); [t,x]=ode45('fnr',[0 5]',[1.5 -4]'); plot(x(:,1),x(:,2));grid;plot(x1,x2);plot(x1,10*x1.^3-9*x1); title('Az állapotsík stabilis és labilis tartományai'); xlabel('x1');ylabel('x2');pause;clf; % Az fnr.m fájl function xd=fnr(t,x); xd(1)=-x(1)+x(2); xd(2)=10*x(1).^3-9*x(1)-x(2); xd=xd';

A program futásából itt azt az eredményt közöljük, amely a állapotsíkon feltünteti azt a speciális trajektóriát (a szeparatrixot), amely a stabilis–labilis tartományokat egymástól elválasztja. Láthatóan a sík egy jól meghatározott, stabilis tartományából indított mozgás a (PS) egyensúlyi pontba tart, szemben a labilis tartományokból indított mozgással, amelynek


29

SZB


Elméleti alapok

állapotváltozói a végtelen felé tartanak. A szeparatrix egy olyan speciális trajektória, amelyről indított mozgás a labilis egyensúlyi pontba futna, de ha az indítási pont bármilyen kis eltéréssel nincs a szeparatrixon, a mozgás vagy a (PS)–be, vagy a ±∞–be tart. A trajektória az őt leíró: dx2 3 dt = dx2 = f 2 ( x1 , x2 ) = 10 x1 − 9 x1 − x2 dx1 − x1 + x2 dx1 f1 ( x1 , x2 ) dt

differenciálegyenlet x2=F(x1) megoldásaként is számítható. Láthatóan f2=0 esetében dx2/dx1=0, illetve f1=0 esetében dx2/dx1=∞. Ezért a trajektória x2=F(x1) függvényének grafikonja vízszintesen metszi az f2=0 –, illetve függőlegesen metszi az f1=0 függvényt. Az állapotsík stabilis és labilis tartományai 10 8 szeparatrix

Labilis tartomány

6 (PL1)

4 2

(PS)

x2

900

0 Stabilis tartomány

-2 -4 (PL2)

-6 szeparatrix

Labilis tartomány

-8 -10 -2

-1.5

-1

-0.5

0 x1

0.5

1

1.5

2

Figyeljük meg, hogy a stabilis fókuszpontba befutó trajektória egy logaritmikus spirális–, a nyeregpont környezetében haladó trajektória pedig hiperbolikus jelleget mutat. 1.142 Példa. A nemlineáris rendszerek egy különleges állapotegyenlete a Lorenz egyenlet. Ennek alakja: dx1 (t ) = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) = 10(− x1 (t ) + x2 (t )) dt dx2 (t ) = f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) = 28 x1 (t ) − x2 (t ) − x1 (t ) x3 (t ) dt dx3 (t ) 8 = f 3 ( x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )) = x1 (t ) x2 (t ) − x3 (t ) dt 3

Határozzuk meg a rendszer egyensúlyi pontjainak koordinátáit, ezek stabilitási tulajdonságait, valamint az x(0)=[10 20 30]T kezdeti feltételből induló állapottrajektóriáját. Az állapotegyenlethez rendelhető hatásvázlat:


30

SZB


Elméleti alapok

x1x2

x1

π

x2

x3(0) x3

∫ -8/3

x2(0)

x1(0)

–x1x3

∫

π

∫

10

-10

-1

–x1

28 –1 A Lorenz egyenlet hatásvázlata Jelen esetben a rendszer mozgását az állapotváltozók kezdeti értékei generálják, mivel az u(t) gerjesztő jel az egyenletekben nem is szerepel. A Lorenz egyenletnek lényeges tulajdonsága, hogy az állapottérben három labilis egyensúlyi pontja van. Az egyensúlyi pontok koordinátáit meghatározó egyenletek: dx10 = f1 ( x10 , x20 , x30 ) = 10(− x10 + x20 ) =0 dt dx20 = f 2 ( x10 , x20 , x30 ) = 28 x10 − x20 − x10 x30 = 0 dt dx30 8 = f 3 ( x10 , x20 , x30 ) = x10 x20 − x30 =0 dt 3

Ezekből meghatározhatóak az egyensúlyi pontok koordinátáinak számértékei: (PL1): (0,0,0), (PL2): (6√2,6√2,27), (PL3): (–6√2,–6√2,27). Az egyensúlyi pontokban linearizált rendszer állapotmátrixa: ⎡ ∂f ⎢ 1 ⎢ ∂x1 ⎢ ∂f AP = ⎢ 2 ⎢ ∂x1 ⎢ ⎢ ∂f 3 ⎢ ∂x ⎣ 1

P

∂f1 ∂x2

P

∂f 2 ∂x2

P

∂f 3 ∂x2

P

∂f1 ∂x3

P

∂f 2 ∂x3

P

∂f 3 ∂x3

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ P ⎥ ⎢ − 10 ⎥ = ⎢28 − x 3P ⎥ ⎢ P ⎥ ⎢ x2 P ⎥ ⎢⎣ ⎥ P⎦

⎤ 0 ⎥ − 1 − x1P ⎥⎥ 8 x1P − ⎥ 3 ⎥⎦ 10

Az AP állapotmátrix sajátértékei a három különböző munkapontban: P∞ (x10, x20, x30)

(0,0,0) (6√2,6√2,27) (–6√2,–6√2,27)

λ1

–22.83 –13.85 –13.85

λ2

λ3

11.83 0.09+10.2j 0.09+10.2j

–2.67 0.09-10.2j 0.09-10.2j

A munkapont típusa Labilis (PL1) Labilis (PL2) Labilis (PL3)

Miután mindhárom egyensúlyi pont labilis, az e pontok környezetéből indított mozgások ezt a környezetet általában elhagyják. A (0,0,0) kezdeti feltételek által indított mozgás az állapottér origójában marad, illetve az x1(0)=x2(0)=0, x3(0)≠0 pontból indított mozgás az állapottér origójába tart. Ez az állapotegyenletekből, vagy a hatásvázlatból közvetlenül kiolvasható, hiszen ekkor az x1(t), és x2(t) állapotváltozókat előállító integrátorok „elindulni nem képesek”, az x3(t)–nek pedig ekkor a többi állapotváltozóra hatása nincs. Ezen túlmenően az x3(t) is a zérus felé tart, mivel az x3 állapotváltozó integrátora negatívan visszacsatolt. Minden más kezdeti feltétel esetében minden integrátor bemenetén zérustól különböző jel van, ezért ilyen esetben a rendszer mozgásba jön. A rendszer viselkedése a labilis egyensúlyi pontok ellenére olyan, hogy a tetszőleges x(0) kezdeti feltételekből induló mozgást leíró állapot trajektória – miközben a t idő a 0

31

SZB


Elméleti alapok

véges tartományát sem hagyja el. Ennek az állapotegyenletnek a vizsgálata a káoszelmélet megalapozását eredményezte. Az állapotegyenlet megoldása, és a trajektória számítása: to=0;tv=10;xo=[10 20 30]'; tv=input('tv=');xo=input('xo='); [t,x]=ode45('lorenz1',[to tv]',xo); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));grid; title('A Lorenz egyenlet állapottrajektóriája'); xlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('x3');pause; plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3)); title('Az állapotváltozók időfüggvényei'); xlabel('t');ylabel('x1(t),x2(t),x3(t)');grid; % A lorenz1.m fájl function x1=lorenz1(t,x) x1(1)=10*(x(2)-x(1)); x1(2)=-x(1).*x(3)+28*x(1)-x(2); x1(3)=x(1).*x(2)-8*x(3)/3; x1=x1';

A Lorenz egyenlet állapottrajektóriája

(P0) 45 40

(PL2) 35

x3

30

x3(0)=30

25

x2(0)=20

(PL3)

20

x1(0)=10

15 10

(PL1)

5 30 20

20 10

15 10

0

5 0

-10

-5 -10

-20 x2


-30

-15 -20 x1

32

SZB


Elméleti alapok

Az állapotváltozók idõfüggvényei 50

x3(t) 40

30

x1(t),x2(t),x3(t)

20

10

x2(t) 0

x1(t) -10

-20

-30

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

1.15 Lineáris rendszer

Ha f(x,u)=Ax(t)+Bu(t) és g(x,u)=Cx(t)+Du(t) a rendszer lineáris, és A, B, C, és D a rendszer paramétermátrixai. Ilyenkor az állandó u0 hatására egyetlen egyensúlyi pont12 jöhet létre, amelynek állapotkoordinátái az Ax0+Bu0=0 egyenletből x0= –A-1Bu0 , illetve a kimenőjel állandósult értéke yo=Cxo+Duo=(-CA-1B+D)uo . A lineáris rendszer egyensúlyi pontja stabilis, ha A állapotmátrixának minden sajátértéke negatív valós részű szám13. Ha ez fennáll, a sajátmozgás az állapottér origójába, a gerjesztett mozgás pedig a rendszer egyetlen stabilis egyensúlyi pontjába tart. A lineáris rendszer különleges jelentőséggel bír, mivel egységes, jól kidolgozott rendszerelmélete van. Ha lineáris rendszer gerjesztése u(t), állapotváltozójának kezdeti értéke x(0), akkor az állapotegyenletnek van analitikus megoldása14: x(t ) = e At x(0) +

t

∫e

A( t −τ )

Bu (τ )dτ

τ =0

y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

A lineáris rendszerre érvényes a szuperpozíció elve. Ennek értelmében, ha az u1–re y1 válasz, és u2–re y2 válasz keletkezik, akkor az u=k1u1+k2u2 gerjesztésre létrejövő válasz y=k1y1+k2y2 (k1, k2 állandók). A szuperpozíció elvének érvénye a lineáris rendszerek elméletében igen nagy jelentőségű, a rendszer analízisét jelentősen elősegíti. Ha például az u gerjesztés a Fourier felbontással harmonikus jelek összegeként előállítható, akkor az egyes 12

Másodrendű rendszer esetében például az f1=a11x1+a12x2+u1, és az f2=a21x1+a22x2+u2 függvények az x1~x2 állapotsíkon egyenesek, és ezek - ha A nem szinguláris - egy pontban metszhetik egymást. 13 Ennek igazolására a 1.22 fejezetben térünk ki. 14 A megoldó képlet levezetésének egy módszerére az 1.2 fejezetbe térünk ki. A lineáris rendszer állapotegyenletének analitikus megoldását a MATLAB lsim, initial, step, impulse függvényei támogatják. 2007. szeptember 26.

33

SZB


Elméleti alapok

harmonikus komponensekre adott részválaszok összege lesz az u-ra vonatkozó y válasz, stb15. A lineáris rendszerek analízisét jelentős mértékben egyszerűsíti, hogy a különféle integrál transzformációk (a Fourier–, illetve a Laplace transzformáció) alkalmazása a differenciálegyenleteket algebrai egyenletekké egyszerűsíti. A lineáris rendszerelmélet eredményei a nemlineáris rendszerek analízisében is – a munkaponti linearizálás lehetőségének alkalmazásával – felhasználhatók. x3

dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt

Stabilis lineáris rendszer összetett mozgása x(0)≠0; u(t)=u01(t)≠0

Az állapot trajektória

t x(t)

(P0)

(P∞) t=∞

Összetett mozgás végértéke x0=–A-1Bu0

t=0 x3(0)

x(0) A kezdeti feltétel

x0 x3(∞)

x2

x1(∞) x2(∞) x1(0)

x2(0)

x1

Az összetett mozgás szemléltetése a stabilis lineáris rendszer állapotterében 1.151 Példa Harmadrendű lineáris rendszer állapotegyenlete: dx1 (t ) = f1 ( x1 , x2 , x3 , u ) = −0.2 x1 (t ) + 2 x2 (t ) + u (t ) dt dx2 (t ) = f 2 ( x1 , x2 , x3 , u ) = −2 x1 (t ) − 0.2 x2 (t ) + u (t ) dt dx3 (t ) = f 3 ( x1 , x2 , x3 , u ) = −0.25 x3 (t ) + u (t ) dt y (t ) = x1 (t )

Adjuk meg a rendszer lineáris alaptagokból felépített hatásvázlatát. Az u(t)=1(t) gerjesztés, és x1(0)=x2(0)=x3(0)=1 kezdeti feltételek mellett számítsuk ki a rendszer sajátmozgását, a gerjesztett mozgását, és az összetett mozgását. Ábrázoljuk a különféle mozgások állapottrajektóriáit.

15

Ha a lineáris rendszer u(t)=1(t) gerjesztésre vonatkozó válasza az y(t)=v(t) átmeneti függvény, akkor egy tetszőleges, Δu(t–τ) ugrásjelek szuperpozíciójából felépülő u(t)–re vonatkozó válasz a Δv(t–τ) részválaszok összegéből építhető fel. 2007. szeptember 26.

34

SZB


Elméleti alapok

x1(0) u

x2(0) x1

∫

∫

–2

x2=y1

-0.2

-0.2 2 x3(0)

∫

Fontos észrevennünk, hogy a holtidő mentes lineáris rendszer hatásvázlatán kizárólag P, I, és Σ lineáris alaptagok szerepelnek, és a hatásvázlaton annyi integráló alaptag van, amennyi a rendszer rendszáma!

x3

-0.25

A lineáris rendszer hatásvázlata

A rendszer paramétermátrixai az állapotegyenletek alapján: 2 0 ⎤ ⎡−0.2 ⎢ ⎥ A = ⎢ − 2 − 0.2 0 ⎥ ⎢⎣ 0 − 0.25⎥⎦ 0

⎡1⎤ ⎢⎥ B = ⎢1⎥ C = [1 0 0] D = 0 ⎢⎣1⎥⎦

Az egyensúlyi helyzetben dx/dt=Ax(∞)+Bu0=0, és innen x(∞)= –A-1Bu0. Részletezve: 2 0 ⎤ ⎡− 0.2 ⎢ ⎥ 0 ⎥ x(∞) = − A−1 Bu = − ⎢ − 2 − 0.2 ⎢⎣ 0 − 0.25⎥⎦ 0

−1

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 0.5446 ⎤ ⎡1⎤ ⎡− 0.0495 − 0.495 ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ = − − 1 1 0 . 495 0 . 0495 0 ⎥ ⎢1⎥ = ⎢− 0.4455⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ 0 − 4⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ 4.0000 ⎥⎦ 0

A rendszer karakterisztikus egyenlete, és állapotmátrixának sajátértékei: −2 0 ⎤ ⎡λ + 0.2 ⎢ ⎥ det(λI − A) = det ⎢ 2 λ + 0.2 0 ⎥ = (λ + 0.2) 2 (λ + 0.25) + 4(λ + 0.25) = ⎢⎣ 0 0 λ + 0.25⎥⎦ = λ3 + 0.65λ2 + 4.14λ + 1.01 = 0

λ1, 2 = −0.2 ± 2 j , λ3 = −0.25

Miután az A állapotmátrix minden sajátértéke negatív valós részű, a rendszer aszimptotikusan stabilis. Az egyensúlyi helyzetben az állapotsebességek zérusok, ezért (P∞) az x(∞) koordinátákkal rendelkező stabilis egyensúlyi pont. A trajektóriákat MATLAB támogatással számítjuk. A=[-0.2 2 0;-2 -0.2 0;0 0 -0.25];B=[1 1 1]';C=[1 0 0];D=0;xo=[1 1 1]';u=1; disp(poly(A));disp(eig(A));disp(-inv(A)*B*u);pause;sys=ss(A,B,C,D);tv=10; [y,t,x]=initial(sys,xo,tv);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));grid; title('A renszer sajátmozgása');xlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('x3'); pause;;hold; [y,t,x]=step(sys);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) title('A renszer saját,és gerjesztett mozgása');pause; u=ones(1,length(t));[y,t,x]=lsim(sys,u',t,xo);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); title('A renszer saját-, gerjesztett-, és összetett mozgása'); pause;clf;

A számításoknak az állapottérben megjelenített eredményeit a következő ábra foglalja össze. Láthatóan az aszimptotikusan stabilis lineáris rendszer sajátmozgása az állapottér (P0) pontjából indulva az origóba–, a gerjesztett mozgás az origóból a (P∞) egyensúlyi pontba–, az összetett mozgás pedig a (P0) pontból a (P∞) pontba tart.


35

SZB


Elméleti alapok

(P∞) 4

x(∞)

3.5

3

2.5

x3

Összetett mozgás x(0)≠0;u=0

(P0)

t

2

1.5

x(0) x(t)

1

0.5

Gerjesztett mozgás x(0)≠0;u≠0

0 1 0.5

Sajátmozgás x(0)≠0;u=0

0

x2

2 1.5

-0.5

1 0.5

-1

x1

0 -1.5

-0.5 -2

-1

Stabilis lineáris rendszer különféle mozgása az állapottérben

A stabilitás szemléletesen köthető ahhoz az egyszerű tulajdonsághoz is, hogy a dinamikus rendszer rendelkezik–e azzal az elvárható működésmóddal, hogy u(t)=u01(t) belépő vizsgálójellel gerjesztve, képes–e olyan állapotot elérni, mikor is t→∞ mellett az x állapotváltozók is, és az y kimenő jelek is egy x0=x(∞)=állandó, y0=y(∞)=állandó értékekhez tartanak. Ha a dinamikus rendszer az állandó u0 bemenő jelre, állandósult állapotban, állandó x0 állapotváltozóval–, és állandó y0 kimenő jellel válaszol, akkor a rendszer aszimptotikusan stabilis és önbeálló. x(0)=0 kezdeti feltételek mellett az u(t)=1(t) egységugrásra adott y(t)=v(t) választ átmeneti függvénynek hívjuk. A stabilis rendszer átmeneti függvénye t→∞ mellett egy állandó értékhez tart.

u

x,y=v

u(t)=1(t)

u0=1

y(t)=v(t)

x(t)

y(0)

y(∞)=v(∞)

x(∞)

x(∞) t=∞

t

t

Az u(t)=1(t)–re adott x(t) és y(t)=v(t) válaszok, stabilis rendszer mellett

Az n–ed rendű rendszer bemenő jeleinek száma j, kimenő jeleinek száma k, és általános esetben mindegyik bemenő jel mindegyik állapotváltozóra–, és mindegyik kimenő jelre befolyást gyakorolhat. Ekkor a rendszernek k×j számú átmeneti függvénye van, és a stabilitás biztosításához – a rendszert u(t)=u01(t) belépő jellel gerjesztve – mindegyik x(t) és y(t) időfüggvénynek állandó értékhez kell tartania.


36

SZB


Elméleti alapok

Megjegyzés. A tartályokból álló folyamat stabilitása (önbeállósága) a fizikai működésből közvetlenül is megállapítható. Az u10, u20 beáramló hozamok olyan x10=y10 szinthelyzetet kell hogy eredményezzenek, amely szinthelyzet által létesített q10 hozam akkora, mint a beáramló hozamok összege. Az alsó tartályra hasonlóan az u30 és q10 hozamok akkora x20=y20 szinthelyzetet hoznak létre, amelynél a q20 kiáramló hozam azonos az u30 és q10 beáramló hozamok összegével. Mindezekből pedig az is következik, hogy az állandó u0 gerjesztésekre kialakulnak az y=x kimenő jelek, és állapotváltozók állandó y0=x0 értékei, vagyis a folyamat aszimptotikusan stabilis, önbeálló. Hasonlóan stabilis és önbeálló tulajdonságú az RLC áramkör is, mivel az állandó u0 bemenő feszültség hatására, állandósult állapotban, a kimenő jel a bemenő jellel azonos állandó értéket vesz fel, a kondenzátort az i áram az u0 feszültségre tölti fel: y0=u0. Nem rendelkezik önbeálló tulajdonsággal a hidraulikus erősítő és szervomotor, mivel az állandó u0 hatására az y kimenő jele időben lineárisan nő (integráló tag). A fizikai működésből kiolvasható az elektromechanikai rendszer önbeállósága is, mivel az állandó u0, mT0, ug0 bemenő jelek hatására bizonyosan kialakulnak az állapotváltozóknak az i0, ω0, és ig0 egyensúlyi értékei. Figyelembeveendő viszont a rendszer azon tulajdonsága, hogy az ug0 gerjesztő feszültségnek zérus értéket megengedni nem lehet, mivel ez zérus gerjesztő áramot, illetve a remanenciából visszamaradó, közel zérus φ0 fluxust eredményezne. Ilyen esetben, pedig a terheletlen gép u0 kapocsfeszültsége, és az ui0=cφ0ω0 indukált feszültsége azonos, ami csak – a kis fluxus miatt – igen nagy szögsebesség mellett jöhetne létre (a motor zérus gerjesztő áram mellett „megszalad”). Mindezek miatt a gerjesztő áramot a névleges értékének harmada alá csökkenteni nem szabad. Itt jegyezzük meg, hogy abban az esetben, ha a gép gerjesztő árama állandó (vagy a gerjesztő fluxust egy állandó mágnes hozza létre) a gép matematikai modellje másodrendű lineáris modellre egyszerűsödik. mT=u2

i(0) u(t)=u1

i=x1

1 L∫

ci k

–

ω(0)

1

θ∫

ω(t)=x2

-R -kω -k

u (t ) = Ri (t ) + L Θ

di(t ) + ui (t ) dt

dω (t ) = m(t ) − mT (t ) dt

ui (t ) = kω (t ) m(t ) = ki(t )

Állandó gerjesztésű egyenáramú motor hatásvázlata és lineáris matematikai modellje

Az egyenletekben, illetve a hatásvázlaton szereplő k gépállandó azonos az indukált feszültség kifejezésében, illetve a nyomatékegyenletben. Ez abból látható, hogy a PL= uioio=c1φoωoio=k1ωoio légrés teljesítmény alakul át PL=moωo=c2φoioω0=k2ωoio mechanikai teljesítménnyé, amiből következik, hogy c1φo=k1= c2φo=k2 és c1=c2=c, illetve k1=k2=k. Önbeálló, aszimptotikusan stabilis, és harmadrendű lineáris rendszer a termikus folyamat. A fizikai tulajdonságokból következik, hogy egy állandó villamos fűtés mellett szükségszerűen kialakulnak az állapotváltozók, illetve a kimenő jel állandósult értékei.

Nyomatékosan hangsúlyoznunk kell, – ami egyébként a rendszer dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) állapotegyenletéből következik –, hogy a lineáris rendszernek adott, állandó u0 gerjesztés mellett egyetlen egyensúlyi pontja lehet, ahol is a állapotsebesség zérus. Ebben az egyensúlyi pontban Ax0+Bu0=0, illetve az állapotváltozó állandósult értéke x0= –A–1Bu0. Ez az egyensúlyi pont u0=0 esetében az állapottér origója. Az x0 koordinátákkal rendelkező 2007. szeptember 26.

37

SZB


Elméleti alapok

egyensúlyi pont stabilis, ha a rendszer A állapotmátrixának minden sajátértékére real(λi)<0, (i=1, 2, …n). Ha ez teljesül, akkor az állapottér tetszőleges pontjából indított sajátmozgás az állapottér origójába–, az u01(t) hatására keletkező gerjesztett mozgás, pedig az állapottérnek az x0=–A–1Bu0 pontjába tart. Ha az állapotmátrixnak legalább egy sajátértéke zérus, vagy zérus valós részű, vagy pozitív, vagy pozitív valós részű, akkor a rendszer labilis. Ekkor a sajátmozgás valamelyik koordinátája „nem tűnik el”, periodikus lengőmozgást végez, vagy pedig minden határon túl növekszik. A lineáris rendszer egyensúlyi pontjának stabilitása nem függ az egyensúlyi pont koordinátáitól, illetve az u0 bemenő jeltől. Mindezek miatt a lineáris rendszer stabilitása (vagy labilitása) az A állapotmátrixal egyértelműen meghatározott rendszerjellemző tulajdonság. A nemlineáris rendszer állapotegyenletének – néhány speciális tulajdonságokkal rendelkező f(x,u) kivételével – általában csak numerikus megoldása van (például az Euler, vagy a Runge-Kutta eljárások). A nemlineáris rendszernek állandó u0 gerjesztés mellett több egyensúlyi pontja is lehet, és ezek koordinátái az f(x0,u0)=0 egyenletből számíthatók. Az egyensúlyi pont stabilis, vagy labilis tulajdonságait az adott egyensúlyi ponthoz rendelhető linearizált rendszer állapotmátrixának sajátértékei határozzák meg. Az egyensúlyi pontok stabilitása függ az egyensúlyi pontok koordinátáitól, és ezen keresztül a rendszer u0 bemenő jelétől. A stabilitás ezért a nemlineáris rendszernek nem rendszerjellemző tulajdonsága. Miután az f(x,u), és g(x,u) függvények igen változatosak lehetnek, ezért a nemlineáris rendszereknek egységes rendszerelmélete sem létezik. A nemlineáris rendszerekre nem érvényes a szuperpozíció elve, és a differenciálegyenlet megoldására nem alkalmazhatóak az integrál transzformációs eljárások.


38

SZB


Elméleti alapok

1.2 Lineáris dinamikus rendszer állapotegyenlete. Az állapotegyenlet analitikus megoldása

A dinamikus rendszerekben – így az irányítási folyamatokban is – időben lejátszódó események történnek, ezért az u bemenő jelek (a gerjesztések), az x állapotváltozók, és az y kimenő jelek (a válaszok) közötti függvénykapcsolatokat differenciálegyenletek írják le. Ezek általában egy nemlineáris állapotegyenlet alakjában öltenek testet, amelyet munkaponti linearizálással gyakran lineáris állapotegyenletté alakíthatunk, de az is lehetséges, hogy egy adott dinamikus rendszert eleve lineáris állapotegyenlet jellemez. Lineáris, folytonos, n-ed rendű, MIMO (több bemenetű – több kimenetű) dinamikus rendszer állapotegyenlete, valamint az ehhez rendelhető hatásvázlat: dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) x(0)

u(t) (j)

Bu

B

x’(t) Ax

x(t)

∫

(n)

A

Cx

y(t)

Du

(k)

C

D

Lineáris MIMO rendszer hatásvázlata

A rendszernek j számú u bemenő jele és k számú y kimenő jele van, az x állapotváltozók száma n. Ezért az A állapotmátrix mérete n×n (négyzetes mátrix), a B bemeneti mátrix mérete n×j, a C kimeneti mátrix mérete k×n, a D együttható mátrix mérete pedig k×j. Ha az állapotegyenletben egy bemenő jel, egy kimenő jel, és n állapotváltozó szerepel, egy bemenetű – egy kimenetű, n–ed rendű SISO (Single Input, Single Output) rendszerről beszélünk. Az állapotegyenlettel leírt rendszer tulajdonságait szemlélteti a hozzá rendelt hatásvázlat. Az ezen szereplő téglalapok jelátviteli tagokat szimbolizálnak, és a bennük szereplő jelképek mutatják meg a közvetlen be–, és kimeneteik közötti függvénykapcsolatot. A nyilakkal ellátott vonalakkal ábrázoljuk az egymással ok–okozati kapcsolatban lévő jeleket, és a hatásirányt, a körök pedig olyan tagokat jelképeznek, amelyeknek kimenő jelei a bemenő jelek összege. A hatásvázlatból kiolvashatóan az integráló tag bemenetén működtetett dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) bemenő jel (a dx(t)/dt=x’(t) állapotsebesség) hatására az integráló tag kimeneten – az x(0) kezdeti feltételt is figyelembe véve – x’ integrálja (vagyis maga az x állapotváltozó) jön létre. A hatásvázlaton jól szemléltethető az integráló tagnak az A állapotmátrixú algebrai taggal megvalósuló visszacsatolása. Az A, B, C, D paramétermátrixokkal jellemzett tagok, és az összegző tagok algebrai tagok, aminek jelentése az, hogy közvetlen bemenő –, és kimenő jeleik között időkésleltetés nélküli arányos függvénykapcsolat van. Ezzel szemben az integráló tag a hatásvázlat dinamikus tagja, melynek kimenő jele a bemenő jelének idő szerinti integrálja. Ahhoz, hogy az integráló tag kimenetén a közvetlen bemenő jelének a hatása megjelenjen, véges időnek kell eltelnie. Mindezekből az is következik, hogy abban az esetben, ha az állapottér origójában lévő


39

SZB


Elméleti alapok

gerjesztetlen rendszert (amikor is x(0)=0 és y(0)=0) a gerjesztő jelek ugrásszerű hatása éri, akkor az y válasz a t=0 időpontban csak akkor „ugorhat”, ha D≠0. D≠0 esetében – mint ahogy ez a hatásvázlatból szemléletesen látható – az u gerjesztés nem csupán az állapotváltozókon keresztül, hanem egy Du(t) komponenssel direkt módon is befolyásolja az y kimenő jelet. Az állapotegyenlet koordinátákban felírható alakja: ( B: n× j ) ( A: n× n ) / dt : n×1) ( x: n×1) 4 7444 8 74448 6 6( dx 47 48 6444 78 644 ( u : j ×1) b b . b 1j ⎤ 6 ⎡ dx1 (t ) / dt ⎤ ⎡ a11 a12 . . a1n ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ 11 12 78 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ u (t ) ⎤ ⎡ ⎢ dx2 (t ) / dt ⎥ ⎢a21 a22 . . a2 n ⎥ ⎢ x2 (t ) ⎥ ⎢b21 b22 . b2 j ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ u2 (t ) ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ = + ⎢ . . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ . ⎢ . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . . . . . . . ⎥ ⎢⎢u j (t )⎥⎥ ⎢ . . . . ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎥⎣ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢dx (t ) / dt ⎥ ⎢ x ( t ) a a . . a b b . b ⎥ nn ⎦ ⎣ n ⎦ ⎣⎢ n1 n 2 ⎦ ⎣ n1 n 2 ⎣ n nj ⎦ ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ y1 (t ) ⎤ ⎡ c11 c12 . . c1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ d11 d12 . d1 j ⎤ ⎡ u (t ) ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎢ x2 (t ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y2 (t ) ⎥ ⎢c21 c22 . . c2 n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢d 21 d 22 . d 2 j ⎥ ⎢u2 (t ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ . ⎥+ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ . . . . ⎥⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ . . . . ⎥⎢ . ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ u (t ) ⎥⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ j ⎣⎢12 ⎢ d d . d ⎢⎣ yk (t )⎥⎦ ⎢⎣ck1 ck 2 . . ckn ⎥⎦ ⎢ 3⎦ k1 k2 kj ⎥ 14243 144424443 ⎣ xn (t )⎥⎦ ⎣14 442444 3⎦ (u: j ×1) ( y: k ×1) (C : k ×n ) 123 ( D: k × j ) ( x: n×1)

A Laplace transzformáció alkalmazásával az állapotegyenletet az s operátor tartományban algebrai egyenletté alakíthatjuk, amit a transzformáció L{Ax(t)+Bu(t)}=Ax(s)+Bu(s) linearitási tétele, és az L{dx(t)/dt}=sx(s)–x(0) differenciálási szabálya tesz lehetővé. Ezért a t időtartományban felírt állapotegyenletet Laplace transzformálva kapjuk16: sx( s ) − x(0) = Ax( s ) + Bu ( s ) y ( s ) = Cx( s ) + Du ( s ) innen a megoldás az s és t tartományban : x( s ) = ( sI − A) −1[x(0) + Bu ( s )] = Φ ( s ) x(0) + Φ ( s ) Bu ( s ) y ( s ) = CΦ ( s ) x(0) + [CΦ ( s ) B + D]u ( s ) adj ( sI − A) ahol : Φ ( s ) = ( sI − A) −1 = = L{exp( At )} det( sI − A) t

x(t ) = L−1{x( s )} = L−1{Φ ( s ) x(0) + Φ ( s ) Bu ( s )} = e At x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ −1

y (t ) = L

0

{y ( s)} = Cx(t ) + Du (t )

Ha az állapotváltozók x(0) kezdeti feltételei zérusok, akkor: y ( s ) = [CΦ ( s ) B + D]u ( s ) = W ( s )u ( s) W ( s ) = CΦ ( s ) B + D =

Cadj ( sI − A) B + det( sI − A) D det( sI − A)

16

x(s)=L{x(t)}; u(s)=L{u(t)}; y(s)=L{y(t)};L{exp(At)}=Φ(s). Φ(s) a Φ(t)= exp(At) alapmátrix Laplace transzformáltja. A fontosabb időfüggvények Laplace transzformáltjait, és a transzformáció néhány szabályát a Függelékben adjuk meg.


40

SZB


Elméleti alapok

A W(s) átviteli mátrix a j számú bemenő jel, és a k számú kimenő jel között – az s operátor tartományban – mátrixegyenlet formájában teremt kapcsolatot: ⎡ y1 ( s ) ⎤ ⎡W11 ( s ) ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ y i ( s ) ⎥ = ⎢Wi1 ( s ) ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢⎣ y k ( s )⎥⎦ ⎢Wk1 ( s ) ⎣

. W1l ( s ) . W1 j ( s )⎤ . . . . ⎥⎥ . Wil ( s ) . Wij ( s ) ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . Wkl ( s ) . Wkj ( s ) ⎥⎦

⎡ u1 ( s ) ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ ul ( s) ⎥ ⎢u j ( s )⎥ ⎦ ⎣

A kifejezésben k×j darab átviteli függvény szerepel. Általános esetben bármelyik kimenő jelet a bemenő jelek mindegyike befolyásolhatja. Az átviteli mátrixban szereplő mindegyik átviteli függvénynek közös tulajdonsága, hogy az s Laplace operátornak algebrai törtjét alkotják, és mindegyiknek a nevezője ugyanaz a det(sI–A) n–ed fokú karakterisztikus polinom. Egy másodrendű lineáris SISO rendszer esetében például egy lehetséges állapotegyenlet: dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + a12 x2 (t ) + b11u1 (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + a22 x2 (t ) dt y1 (t ) = c11 x1 (t ) vagy mátrixegyenlet

alakban :

dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) ⎡ x (t ) ⎤ x(t ) = ⎢ 1 ⎥ u (t ) = u1 (t ) ⎣ x2 (t )⎦

y (t ) = y1 (t ) C = [c11 0]

⎡a A = ⎢ 11 ⎣a21 D=0

a12 ⎤ a22 ⎥⎦

⎡b ⎤ B = ⎢ 11 ⎥ ⎣0⎦

A SISO tag átviteli mátrixa egyetlen W(s) átviteli függvényre egyszerűsödik. Az átviteli függvény alakja ekkor: ⎛ ⎡1 y ( s) W ( s ) = 1 = C ( sI − A) −1 B + D = [c11 0]⎜⎜ s ⎢ u1 ( s ) ⎝ ⎣0 c11 ( s − a22 )b11 = 2 s − (a11 + a22 ) s + (a11a22 − a12 a21 ) k=

c11b11 (−a22 ) 1 1 τ= T= det( A) (− a22 ) det( A)

−1

0⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎞ ⎡b11 ⎤ ⎟ − = 1⎥⎦ ⎢⎣a21 a22 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 1 + τs =k 1 + 2ξTs + T 2 s 2

ξ =−

tr ( A) 2 det( A)

A lineáris SISO rendszer jelátviteli tulajdonságai olyan hatásvázlattal is szemléltethetők, amelyben kizárólag P (arányos), I (integráló) és Σ (összegző) alaptagok17 szerepelnek. A tárgyalt példa adataival az alaptagokból felépített struktúra: 17

A lineáris P (y(t)=ku(t)), I (y=y(0)+∫u(t)dt) és Σ (y(t)= Σui(t)) alaptagok segítségével az általános lineáris rendszer hatásvázlata is felépíthető. Ez a hatásvázlat koordinátánként jeleníti meg a rendszer u bemenő–, y kimenő jeleit és az x állapotváltozóit.

MIMO


41

SZB


Elméleti alapok

x1(0) P

u=u1

Σ

I

x1(t)

∫

b11

y=y1 c11

a11 a12 B

A

C a21 a22 0

∫

0

x2(t) D

x2(0)

0

A másodrendű SISO rendszer P, I és Σ alaptagokból felépített hatásvázlata y=y1

c11 x2(0)

x1(0) u=u1

b11

∫

x2

x1 a21

a11

∫ a22

a12

A SISO rendszer P, I és Σ alaptagokból felépített hatásvázlatának egy más alakja

Figyeljük meg, hogy a rendszer hatásvázlatán annyi integráló tag szerepel, amennyi az állapotváltozók száma, az integráló tagok kimenő jelei az állapotváltozók, és ezek az integrátorok egyrészt önmagukról, másrész a másik integráló tagról visszacsatoltak. Azt is fontos észrevenni, hogy ezek a csatolások az A állapotmátrix aij elemein keresztül jönnek létre, ami az állapotmátrix kitüntetett szerepére utal. Ha az állapotmátrix elemei nem zérusok, akkor a jelek zárt hurkot alkotó hatásláncban terjednek. A rendszer stabilitásának szempontjából ennek fontos következményei18 vannak. A hatásvázlat utóbbi alakjából a SISO tag W(s)=C(sI–A)-1B+D= y(s)/u(s) átviteli függvénye – mellőzve a bonyolult mátrixműveleteket – egyszerűen felírható. Az átviteli függvény a hatásvázlat alapján:

18

Az állapotegyenletével leírt lineáris rendszer aszimptotikusan stabilis, ha A állapotmátrixának minden λi sajátértéke (i: 1, 2, …n) negatív, vagy negatív valós részű szám. 2007. szeptember 26.

42

SZB


Elméleti alapok

1 s 1 − a11

y ( s ) = c11 x1 ( s ) = c11b11 1−

1 s

1 s

1 s

1 s − a11 u ( s ) = c11b11 u ( s) a12 a21 1− ( s − a11 )( s − a22 ) a12

a 1 1 21 1 − a22 s s y(s) s − a22 W ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D = = c11b11 = ( s − a11 )( s − a22 ) − a12 a21 u ( s) 1 − a11

=

c11 ( s − a22 )b11 s − (a11 + a22 ) s + a11a22 − a12 a21 2

1.21 Az állapotegyenlet normalizálása (Amplitúdó –, és idő léptékezés)

Az állapotegyenletekben minden u bemenő jel, minden x állapotváltozó és minden y kimenő jel dimenzióval rendelkező különféle fizikai mennyiség, (például: erő[N], elmozdulás[m], sebesség[m/sec], nyomaték[Nm], szögsebesség [rad/sec], villamos feszültség[Volt], villamos áram[Amper], anyagáram[m3/sec], nyomás[N/m2], 0 hőmérséklet[ C], stb) a t idő dimenziója pedig secundum. Ebből az is következik, hogy az A, B, C és D paramétermátrixokban is különféle dimenzióval rendelkező számok szerepelnek. Az A állapotmátrix főátlójában lévő a11 és a22 stb. számoknak azonban mindegyike sec-1 dimenzióval rendelkezik, ami abból is látható, hogy dim[dx1/dt]=dim[a11x1] → dim[x1]/sec=dim[a11]dim[x1] → dim[a11]=sec-1. A másodrendű SISO rendszer esetében legyenek az u1, x1, x2 és y1 fizikai mennyiségek viszonyítási alapegységei U10, X10, X20, Y10, a t idő normalizált alapegysége pedig T0. A koordinátákban felírt állapotegyenlet azonos átalakításával kapjuk: d

d

x1 X 10 x x u X 10 = a11 1 X 10 + a12 2 X 20 + b11 1 U10 t X 10 X 20 U10 d T0 T0 x2 X 20 x x X 20 = a21 1 X 10 + a22 2 X 20 t X 10 X 20 d T0 T0

y1 x Y10 = c11 1 X 10 Y10 X 10

Vezessük be az ui/Ui0=ui*, xi/Xi0=xi*, yi/Yi0=yi* jelölésekkel a fizikai változók dimenziótlan relatív értékeit (amplitúdó léptékezés), és t*= t/T0 jelöléssel pedig a dimenziótlan relatív időt (időléptékezés). Ezekkel az állapotegyenlet relatív mennyiségekkel felírható alakja:


43

SZB


Elméleti alapok

X ⎤ ⎡ a12T0 20 ⎥ ∗ ⎡ U ⎤ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎤ ⎢ a11T0 X 10 ⎡ x1 ⎤ ⎢b11T0 10 ⎥ ∗ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡b11 ∗ =⎢ = + u ⎥ ⎢ ∗⎥ + X 10 1 ⎢ ∗ ⎢ ⎥ u1 ∗ ⎥ ⎢ ∗⎥ X ⎢ ⎥ ⎢a21T0 10 ⎣a21 a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ a22T0 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ X 20 X ∗ ∗ y1∗ = c11 10 x1∗ = c11 x1 Y10

d ⎡ x1∗ ⎤ ⎢ ⎥ dt ∗ ⎣ x2∗ ⎦

Az állapotegyenlet eme alakjában minden (*) felső indexel jelölt u*, x*, és y* relatív fizikai változók és a t* relatív idő dimenziótlanok, és dimenziótlanok a paramétermátrixok (*) felső indexel rendelkező mátrixelemei is. A jelek U10, X10 , X20 és Y10 viszonyítási alapértékeit úgy célszerű megválasztani, hogy az u1*, x1*, x2* és y1* relatív értékű jelek megfelelő nagyságrendben legyenek (pl.: -1<x1*(t*)<1 stb). A T0 időalapot a dinamikus rendszer időállandóihoz célszerű igazítani (1 msec=10-3 sec, 1 sec, 1 perc=60 sec, 1 óra=3600 sec stb). Ha a normalizálatlan rendszer jelei például u1=u [Volt], x1=i [Amper], x2=ω [rad/sec], y1=v [m/sec], és az idő t [sec], akkor MKS mértékrendszerben alapértékeknek U10=1 Volt, X10=1 Amper, X20=1 rad/sec, Y10=1 m/sec, T0=1 sec is választható. Ekkor a normalizált–, és a normalizálatlan rendszer paramétermátrixai azonos számértékeket tartalmaznak, de mind a jelek–, mind pedig a paraméterek dimenziótlanoknak tekinthetők. Vegyük észre, hogy a normalizált rendszer karakterisztikus polinomja: ⎡ a T 1 0 ⎡ ⎤ ⎢ 11 0 ∗ det(λI − A ) = λ ⎢ ⎥−⎢ ⎣0 1⎦ ⎢a21T0 X 10 ⎢⎣ X 20

X 20 ⎤ X X X 10 ⎥ ⎥ = (λ − a11T0 )(λ − a22T0 ) − a12 a21T02 20 10 = X 10 X 20 a22T0 ⎥ ⎥⎦

a12T0

= λ2 − T0 (a11 + a22 )λ + T02 (a11a22 − a12 a21 ) = λ2 − T0tr ( A)λ + T02 det( A) Ennek gyökei T0=1 sec normalizálás mellett azonosak az eredeti (normalizálatlan) rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeivel, ami azt jelenti, hogy az amplitúdó léptékezés – szemben az időléptékezéssel – a rendszer pólusait nem változtatja meg. Az elméleti jellegű analízisben általában – a (*) felső index elhagyása mellett – a normalizált állapot– egyenletekkel dolgozunk. A normalizálást a W(s) átviteli függvényen is végrehajthatjuk, ekkor azonban csak az u és y jeleket és az s Laplace operátort normalizálhatjuk, mivel az átviteli függvény alakban az állapotváltozók „rejtve” vannak. Például a korábban felírt másodrendű rendszer esetében dim[k]=dim[y1]/dim[u1], dim[τ]=dim[T]=sec, dim[s]=sec-1. y1 τ Y10 1 + T0 s Y y (s) T0 W (s) = 1 = 10 =k u1 T T u1 ( s ) U10 1 + 2ξ T0 s + ( ) 2 (T0 s ) 2 U10 T0 T0 W (s∗ ) =

y1∗ ( s ∗ ) 1 + τ ∗s∗ * = k u1∗ ( s ∗ ) 1 + 2ξT ∗ s ∗ + T ∗2 s ∗2

u1∗ =


u1 U10

y1∗ =

y1 Y10

k∗ = k

U10 Y10

44

τ∗ =

τ T0

T∗ =

T T0

s ∗ = sT0

SZB


Elméleti alapok

A normalizált átviteli függvény y1*, x1*, jelei, a k*, τ*, T* paraméterei és az s* változója dimenziótlanok. Az elméleti jellegű vizsgálatokban – a (*) felső index elhagyása mellett – általában a normalizált átviteli függvényekkel dolgozunk. 1.22 Az átmeneti függvény és a stabilitás. Az önbeálló tag statikus karakterisztikája

Az n–ed rendű, SISO tag átviteli mátrixa (átviteli függvénye): W ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D =

Cadj ( sI − A) B + D det( sI − A) G ( s ) = det( sI − A) H (s)

Mivel az A állapotmátrix mérete n×n, valamint az egy bemenet (j=1), és az egy kimenet (k=1), következményeként C sorvektor, B oszlopvektor, D pedig skalár, így az átviteli mátrix egyetlen átviteli függvényt tartalmaz. Ez most a kimenő–, és a bemenő jelek Laplace transzformáltjának hányadosaként is értelmezhető: W(s)= y(s)/u(s). A SISO tag W(s) átviteli függvénye olyan algebrai tört, amelynek H(s)=det(sI–A) nevezője s-nek n–ed fokú–, G(s)=Cadj(sI–A)B+Ddet(sI–A) számlálója pedig s–nek 0≤m≤n–ed fokú polinomjai. W(s) általános alakja tehát: m

G ( s) W (s) = = H (s)

∑ bm−i s i i =0 n

∑ a n −i s i

bm + bm−1s + Lb1s m −1 + b0 s m y ( s ) = = an + an −1s + L a1s n −1 + a0 s n u ( s )

i =0

bi , ai : valós paraméterek , és m ≤ n Ebből az alakból az y(t) és az u(t) közötti kapcsolatot leíró n–ed rendű, állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet is felírható, ami az állapotegyenlettel, vagy az átviteli függvénnyel egyenértékűen fejezi ki a gerjesztés, és a válasz közötti összefüggést, de az állapotváltozókat „rejtve” tartja . Ez a differenciálegyenlet: (a0 s n + a1s n −1 + L + an ) y ( s ) = (b0 s m + b1s m −1 + L + bm )u ( s ) a0

d n y (t ) d n −1 y (t ) d mu (t ) d m −1u (t ) + a + L + a y ( t ) = b + b + L + bmu (t ) 0 1 n 1 dt n dt n −1 dt n dt n −1

Ha a bemenőjel u(t)=u0=állandó, és ennek hatására létrejön a kimenő jelnek is az y(t)t=∞=y(∞)=y0=állandó értéke (az ilyen tulajdonsággal rendelkező a tagot aszimptotikusan stabilis, önbeálló tagnak definiáljuk), akkor ebben az állandósult állapotban a jelek differenciálhányadosai zérusok, és ezért any0=bmu0, illetve:

y0 =

bm u0 = ku0 an

ahol k=bm/an a tag átviteli tényezője (dc erősítése). Ehhez az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlethez többféle, kizárólag P, I, és Σ lineáris tagokat tartalmazó hatásvázlat rendelhető, ennek részletezését a Függelékben tárgyaljuk. Lineáris SISO tag fontos rendszerjellemző függvénye – az állapotegyenleten, a differenciálegyenleten, és az átviteli függvényen túlmenően – az átmeneti függvény. Ez a tag y(t)=v(t) kimenő jele, ha a gerjesztő jel u(t)=1(t), és a kezdeti feltételek zérusok. Az átmeneti függvényt v(t) –vel jelöljük. A W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvény ismeretében az átmeneti 2007. szeptember 26.

45

SZB


Elméleti alapok

függvény Laplace transzformáltja illetve ennek inverz transzformáltja19 (figyelembe véve, hogy L{1(t)}=1/s):

y ( s ) = v( s ) = W ( s )u ( s ) =

G ( s) 1 H (s) s

⎧ G ( s ) ⎫ G (0) n G( pi ) y (t ) = v(t ) = L−1 ⎨ +∑ e pi t ⎬= ⎩ sH ( s ) ⎭ H (0) i =1 s dH ( s ) ds s = pi Ebben G(s) a W(s) átviteli függvény számlálójának–, H(s) pedig a nevezőjének polinomjai, n a H(s) fokszáma (a rendszer rendszáma). A pi egymástól különböző és nem zérus pólusok, a H(s)=a0sn+a1sn–1+…+an–1s+an= 0 karakterisztikus egyenlet λi=pi gyökei, amelyek egyébként a rendszer A állapotmátrixának sajátértékei. A v(t) képletéből kiolvashatóan t→∞ mellett kizárólag akkor létezhet az átmeneti függvénynek v(∞)=v0 állandósult értéke, ha a pi pólusok mindegyikére a real(pi)<0 feltétel teljesül, mivel ekkor y(t) mindegyik exp(pit) exponenciális komponense zérushoz tart, és ezért v(∞)=G(0)/H(0)=bm/an=k. Mindezekből a tag stabilitására vonatkozóan általános következtetés is megfogalmazható:

A lineáris SISO rendszer aszimptotikusan stabilis, ha W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvényének a nevezője – a H(s) polinom – negatív valós részű pi gyökökkel rendelkezik. vagyis real(pi)<0. Ez a feltétel egyenértékű azzal a követelménnyel, hogy H(s) Hurwitz polinom legyen, vagy a rendszer A állapotmátrixának minden sajátértékére real(λi)<0 feltétel teljesüljön. Az aszimptotikusan stabilis gerjesztetlen rendszer x(0) által kiváltott x(t)=Φ(t)x(0) sajátmozgása t→∞ mellett az állapottér origójába tart, és ezért x(∞)=0 és y(∞)=0. Az u(t)=1(t) egységugrás vizsgáló jellel gerjesztett stabilis rendszer gerjesztett mozgásakor (t→∞ mellett) az állapotváltozó állandósult végértéke: x(∞)= –A–1Bu0, a kimenő jel végértéke pedig: y(∞)=v(∞)=[Cx(∞)+Du0]= [–CA–1B+D]u0= G(0)/H(0)=bm/an= k. A H(s)=a0sn+a1sn–1+…+an–1s+an polinom gyökei valós részének előjele – a pi gyökök tényleges kiszámítása nélkül – eldönthető a H(s) polinom ai (i=0,1,2..n) együtthatóinak vizsgálata alapján20. Matematikai tétel szerint H(s) Hurwitz polinom, ha együtthatóira teljesülnek az alábbi feltételek: ◙ a H(s) polinom minden együtthatója ai>0 (i:0,1,2,…n), ◙ a H(s) polinom együtthatóiból képzett n méretű Hurwitz determináns HΔ >0, ◙ a HΔ Hurwitz determináns minden főátlójára támaszkodó aldeterminánsa HΔi >0. Az HΔ n×n méretű Hurwitz determináns és a HΔi aldeterminánsok képzése:

19

Az itt megadott inverz transzformációs formula (a Heaviside kifejtési tétel) akkor érvényes, ha a W(s) átviteli függvény H(s) nevezőjének minden gyöke egymástól különböző és egyik gyök sem zérus. Többszörös multiplicitású gyökök esetében más formulák használhatók. 20 Ezt az eljárást Hurwitz stabilitásvizsgálatnak is nevezik. 2007. szeptember 26.

46

SZB


Elméleti alapok

a1 a0 0 HΔ = 0 0 0

a3 a2 a1 a0 0 0

a5 a4 a3 a2 a1 a0

a7 a6 a5 a4 a3 a2

a9 a8 a7 a6 a5 a4

L L L L L L

0 0 0 0 0 0

M

M

M

M

M

M

M

H Δ2

a = 1 a0

H Δ1 = a1

a3 a2

H Δ3

a1 = a0 0

a3 a2 a1

a5 a4 a3

L H Δn = H Δ

A HΔ első sorában a H(s) polinom páratlan indexű–, a második sorában pedig a páros indexű együtthatói szerepelnek. Miután mindkét sor n elemet tartalmaz, ha az egyes sorok felírásakor már nincs több együttható, a hiányzó helyekre zérust kell írni. Az átmeneti függvény – a rendszer bemenetére ugrásjelet kapcsolva, és a kimenő jelet regisztrálva – kísérletileg is felvehető. A v(t) ismeretében a tag egyéb rendszerjellemző21 függvényei (az állapotegyenlet, az átviteli függvény, a súlyfüggvény, és a frekvencia függvény) is meghatározható22. A jelátvivő tag y(t) kimenő jel válasza tetszőleges u(t) gerjesztésre és zérus kezdeti feltételek mellett a Duhamel–féle formulával számítható. t

y (t ) = u (0)v(t ) + ∫ 0

du (τ ) v(t − τ )dτ dτ

Az átmeneti függvény alapján a jelátvivő tagokat egymástól karakterisztikusan elkülönülő, csoportokba sorolhatjuk. Ezek a csoportok: Önbeálló tagok:

◘ Az önbeálló (arányos jellegű) lineáris tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy átmenti függvényük végértéke v(∞)=k≠0 állandó érték (k az önbeálló tag átviteli tényezője). Ennek jelentése az, hogy a bemeneten működtetett u(t)=u01(t) gerjesztés hatására keletkező y(t) kimenő jel a tranziensek lejátszódása után egy y(∞)=ku0 állandó (de nem zérus) értékre beáll. Mindezekből az is következik, hogy az önbeálló tagnak értelmezhető az y0=y(u0)=ku0 statikus karakterisztikája, amely az állandósult y0 és u0 közötti kapcsolatot egy grafikon alakjában fejezi ki. Ez a karakterisztika lineáris tag esetében egy (az u független változó koordináta tengelyével α szöget bezáró) k meredekséggel rendelkező egyenes.

21

Rendszerjellemző függvény: a lineáris rendszer leírásának olyan függvénye, amelynek birtokában tetszőleges u(t) gerjesztő jelre adott y(t) válasz meghatározható. 22 Súlyfüggvény, w(t): A lineáris rendszer u(t)=δ(t) Dirac delta vizsgáló jelre adott y(t)=w(t) válasza zérus kezdeti feltételek mellett. Átmeneti függvény, v(t): A lineáris rendszer u(t)=1(t) egységugrás vizsgáló jelre adott y(t)=v(t) válasza zérus kezdeti feltételek mellett. A súlyfüggvény az átmeneti függvény idő szerinti deriváltja: w(t)=dv(t)/dt. Frekvencia függvény, W(jω): a kimenő–, és a bemenő jelek Fourier transzformáltjának hányadosa, a W(s) átviteli függvény s=jω helyen vett helyettesítéssel kapható függvénye. Rendszer identifikáció: A mérési eredményként előállított v(t) átmeneti függvény feldolgozása a rendszer állapotegyenletének, átviteli függvényének, súlyfüggvényének vagy frekvencia függvényének a meghatározása céljából. 2007. szeptember 26.

47

SZB


Elméleti alapok

v

v(t) Önbeálló tag v(t) átmeneti függvényének végértéke v(∞)=k

k u(t)=1(t) 1

t Önbeálló tag átmeneti függvénye y

R

L

y0 u

y

C

α

i

u

u0 Áramköri példa

Az önbeálló tag statikus karakterisztikája

1 y( s) 1 sC W ( s) = = = u ( s ) R + sL + 1 1 + sRC + s 2 LC sC

u

tg(α)=k=1

⇒

LC

d 2 y (t ) dy (t ) + RC + y (t ) = u (t ) dt dt 2

Rv

R

y C

y y0

A=-∞

α

tg(α)=k/(1+k) u

u0

Áramköri példa

y(s) W ( s) = = u ( s) ⇒

Az önbeálló tag statikus karakterisztikája

Rv 1 k 1 + sT R (1 + sT ) = Rv 1 1+ k T T2 1+ 1 + s2 + s2 R (1 + sT ) 2 1+ k 1+ k

T 2 d 2 y (t ) T dy (t ) k du (t ) [u (t ) + T ] +2 + y (t ) = 1 + k dt 2 1 + k dt 1+ k dt

k=

Rv R

T = RC

Nem önbeálló tagok:

A nem önbeálló tagok jellegzetes tulajdonsága, hogy: ◘ átmeneti függvényük végértéke zérus (differenciáló jellegű tagok), vagy ◘ átmeneti függvényük végértéke végtelen (integráló jellegű tagok), vagy ◘ átmeneti függvényük kvázistacioner állapotban periodikus lengőmozgást végez (lengő jellegű tagok). A nem önbeálló tagokra a statikus karakterisztika nem értelmezhető, mivel ezek az állandó bemenő jelre és állandósult állapotban nem állandó kimenő jellel válaszolnak.


48

SZB


Elméleti alapok

Időben exponenciálisan növekvő időfüggvény

v

v

v

Periodikus lengőmozgást végző függvény

Idő hatványfüggvénye szerint növekvő függvény

u(t)=1(t) Időben lengve növekvő függvény v(∞)→0

1

v(∞)→ ∞

t

v(∞): periodikus

t

Differenciáló jellegű tagok

t

Integráló jellegű tagok

Lengő jellegű tagok

Nem önbeálló tagok átmeneti függvényei Áramköri példák (T=RC)

u

u

R

C

R

u

y

C

R

y

y

A=-∞

A=∞

A=∞

C

Két tárolós differenciáló áramkör 1 sT 1 + sT = 1 1 sT + + s 2T 2 1 1+ 1 + sT sT d 2 y (t ) dy (t ) du (t ) T2 +T + y (t ) = T dt dt dt 2

y(s) W ( s) = = u ( s)

Kétszeresen integráló áramkör

y ( s) 1 1 1 W ( s) = = (− )(− ) = 2 2 u(s) sT sT s T

T2

d 2 y (t ) = u (t ) dt 2

Oszcillátor

y(s) W (s) = = u (s) T2

1 1 s 2T 2 = 2 2 1 s T 1 + 1+ 2 2 s T

d 2 y (t ) + y (t ) = u (t ) dt 2

Az átmeneti függvények tulajdonságaiból láthatóan az önbeálló tagok aszimptotikusan stabilisak, miután állandó gerjesztésre, állandósult állapotban állandó értékű kimenő jel választ adnak. Nem így az integráló jellegű és a lengő tagok, amelyeknek kimenő jelei az állandó bemenő jel hatására állandó kimenő jelet felvenni nem képesek (gerjednek). A differenciáló jellegű tagok ugyan aszimptotikusan stabilisak, de bármekkora is az állandó bemenő jelük értéke, a kimenő jelük állandósult értéke zérus23. Az átviteli függvényével, vagy az állapotegyenletével jellemzett lineáris rendszer stabilitási feltételének megfogalmazására egyéb stabilitási kritériumok is léteznek,24 az átmeneti függvényre épített kritérium azonban a legszemléletesebb. 23

Az önbeálló és a differenciáló tagok passzív (pl. R, L, C áramköri) elemekből is felépülhetnek, az integráló és a lengő tagok működéséhez aktív (segédenergiát felhasználó) egységek is szükségesek. Mindez abból következik, hogy a minden határon túl növekvő, vagy az állandósult lengéseket végző jelek fenntartása külső forrásból származó energiát igényel. A realizálható fizikai rendszerekben az integráló jellegű tagok átmeneti függvényeinek növekedése természetesen nem érheti el a v(∞)=∞ értéket, mert előbb–utóbb (a telítődés –, vagy valamilyen üzemzavar miatt) v(t) növekedése leáll. 24 Ljapunov, Hurwitz, Routh, Bode, Nyquist, Mihajlov, Leonhard, Popov, stb. stabilitási kritériumok. 2007. szeptember 26.

49

SZB


Elméleti alapok

Mint korábban láttuk, a dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) állapotegyenletnek van analitikus megoldó képlete, nevezetesen: t

x(t ) = e x(0) + ∫ e At

0

A( t −τ )

t

Bu (τ )dτ = Φ (t ) x(0) + ∫ Φ (t − τ ) Bu (τ )dτ 0

Ez a látszólag egyszerű megoldó képlet a mátrixalgebrai ismeretekben kevéssé jártas olvasónak azonban problémát jelenthet, mivel benne Φ(t)=exp(At) mátrix–exponenciális kifejezések szerepelnek. Egy n–ed rendű rendszer esetében a rendszer sajátmozgása x(t)=exp(At)x(0), ahol x(0) az n számú kezdeti feltételt tartalmazó oszlopvektor, a mátrix– exponenciális exponense pedig egy n×n méretű mátrixfüggvény:

e At = e

⎡ a11 L a1 n ⎤ ⎢ M L M ⎥t ⎢ ⎥ ⎢⎣ an1 L ann ⎥⎦

=e

⎡ a11t L a1n t ⎤ ⎢ M L M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ an1t L ann t ⎥⎦

= Φ (t )

Ezt a függvényt (a rendszer Φ(t) alapmátrixát25) hatványsorával értelmezhetjük, melynek alakja: ⎡ϕ11 (t ) L ϕ n1 (t ) ⎤ 2 3 i ∞ ( At ) ( At ) ( At ) L M ⎥⎥ = Φ (t ) + +L = ∑ = ⎢⎢ M e At = I + At + 2! 3! i! i =0 ⎢⎣ϕ n1 (t ) L ϕ nn (t )⎥⎦ Láthatóan az alapmátrix olyan n2 elemet tartalmazó mátrixfüggvény, melynek minden φij(t) részeleme az t idő végtelen hatványsorával definiált. Ebből a hatványsorból nehezen ismerhető fel egy zárt alak, ezért elsősorban a mátrix-exponenciális értelmezésére, vagy közelítő kiszámítására használjuk. A Φ(t) alapmátrix zárt alakban történő meghatározására többféle módszer létezik (pl. Sylveszter képlet), a legegyszerűbb eljárás az inverz Laplace transzformáción alapszik. Mint már korábban láttuk, a rendszer sajátmozgása: x( s ) = L{x(t )} = (sI − A) x(0) = −1

adj ( sI − A) x(0) = Φ ( s ) x(0) det( sI − A)

⎡ϕ11 ( s ) L ϕ n1 ( s ) ⎤ adj ( sI − A) ⎢ Φ( s) = =⎢ M L M ⎥⎥ det( sI − A) ⎢⎣ϕ n1 ( s ) L ϕ nn ( s )⎥⎦ és innen : ⎡ L−1{ϕ11 ( s )} L L−1{ϕ n1 ( s )}⎤ ⎡ϕ11 (t ) L ϕ n1 (t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ Φ (t ) = L−1{Φ ( s )} = ⎢ L M ⎥⎥ M L M ⎥=⎢ M ⎢ L−1{ϕ n1 ( s )} L L−1{ϕ nn ( s )}⎥ ⎢ϕ n1 (t ) L ϕ nn (t )⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

Az alapmátrix – a lineáris rendszerek analízisében gyakran felhasznált – néhány jellegzetes tulajdonsága:

25

A Φ(t) alapmátrixot állapotátmeneti mátrixnak, illetve átmeneti mátrixnak is nevezik.


50

SZB


Elméleti alapok

At 2 lim Φ (t ) = lim( I + At + + L) = Φ (0) = I t →0 t →0 2!

( )

Φ −1 (t ) = e At

−1

= e A( −t ) = Φ (−t )

Φ (t 2 − t1 )Φ (t1 − t0 ) = e A(t2 −t1 ) e A(t1 −t0 ) = e A(t2 −t0 ) = Φ (t 2 − t 0 )

(Φ(t ) )k = (e At ) k = e A( kt ) = Φ(kt ) Példa −1 ⎤ ⎥ s + 3⎦

1 ⎤ ⎡s ⎡1 0⎤ ⎡ 0 ⇒ ( sI − A) = s ⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ − − 0 1 2 3⎦ ⎣2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ s + 3 1⎤ ⎢ s 2 adj ( sI − A) 1 −1 = Φ ( s ) = ( sI − A) = ⎢ ⎥=⎢ det( sI − A) s 2 + 3s + 2 ⎣ − 2 s ⎦ ⎢ ⎢⎣ s 2

s+3 + 3s + 2 −2 + 3s + 2

⎧⎡ ⎪⎢ 2 Φ (t ) = L {Φ ( s )} = L ⎨⎢ s ⎪⎢ 2 ⎩⎪⎣⎢ s

s+3 1 ⎤ } L−1{ 2 }⎥ + 3s + 2 s + 3s + 2 ⎥ = −2 s } L−1{ 2 }⎥ + 3s + 2 s + 3s + 2 ⎦⎥

1⎤ ⎡0 A=⎢ ⎥ − − 2 3⎦ ⎣

−1 ⎪

−1

⎡ 2e −t − e −2t =⎢ −t −21 ⎣⎢− 2e + 2e

1 ⎤ ⎫ ⎡ −1 ⎥⎪ ⎢L { 2 s 2 + 3s + 2 ⎥ ⎪ = ⎢ s ⎬ s ⎥ ⎪ ⎢ L−1{ s 2 + 3s + 2 ⎦⎥ ⎭⎪ ⎣⎢ s2

s+3 + 3s + 2 −2 + 3s + 2

1 ⎤ ⎥ s 2 + 3s + 2 ⎥ s ⎥ s 2 + 3s + 2 ⎥⎦

e −t − e − 2 t ⎤ ⎥ − e −t + 2e −2t ⎦⎥

1.23 Elsőrendű lineáris SISO rendszer

Különös jelentőséggel bír az n=1–nek megfelelő elsőrendű SISO rendszer. Ekkor az A=a11=a, B=b11=b, C=c11=c, D=d11=d paramétermátrixok skaláris adatok. Az állapotegyenlet, az ennek megfelelő hatásvázlat, valamint az állapotegyenlet megoldása most jelentősen leegyszerűsödik: x(0) u(t)

b

bu

ax

dx/dt

∫

x(t)

c

cx

y(t)

dx(t ) = ax(t ) + bu (t ) dt y (t ) = cx(t ) + du (t )

du

a d

Elsőrendű lineáris SISO rendszer állapotegyenlete, hatásvázlata és az állapotegyenlet megoldó képlete.

t

x(t ) = e x(0) + ∫ e a (t −τ ) bu (τ )dτ at

0

y (t ) = cx(t ) + du (t )

A hatásvázlatból láthatóan a rendszer alapvető folyamatait az integráló tagnak az a átviteli tényezővel rendelkező időkésés nélküli arányos tagon keresztül történő visszacsatolása határozza meg. Ez a visszacsatolás az a előjelétől függően pozitív-, vagy negatív, illetve a=0 esetében az integráló tag nincs visszacsatolva. Az x(t) megoldásnak két komponense van. Az x(0) kezdeti feltételtől függő eatx(0) komponense a rendszer sajátmozgását–, az u(t) gerjesztéstől függő ∫ea(t-τ)bu(τ)dτ komponense pedig a gerjesztett mozgását írja le. A Φ(t)= eAt=eat alapmátrix most egy közönséges exponenciális függvény, amiből közvetlenül kiolvasható, hogy a rendszer x(t)= eatx(0) sajátmozgása akkor tart az „állapottér” origójába, ha az a paraméter a<0. Ennek jelentése pedig, a hatásvázlat alapján az, hogy az elsőrendű


51

SZB


Elméleti alapok

lineáris rendszer aszimptotikus stabilitása kizárólag akkor biztosított, ha az integráló tag negatívan van visszacsatolva. Ez egyébként a hatásvázlatból közvetlenül is kiolvasható: u=0 gerjesztés mellett az integráló tag dx(t)/dt bemenő jele a t=0 időpontban ax(0). Ha a és x(0) nem zérus, akkor az ax(0) hatására az integráló tag „el tud indulni”, és az x(t) jel a t ≈ 0 környezetében x(t)=x(0)+ax(0)t szerint kezd el változni. Ha a=0, x(t)=x(0), tehát az x(t) változatlan marad. Ha a<0, akkor az x(t) x(0)–ról csökkeni –, ha pedig a>0, akkor x(0)-ról növekedni kezd. Mindezen okok miatt kizárólag a<0 esetében állhat elő az a helyzet, hogy a gerjesztetlen rendszer x(t) állapotváltozója t→∞ mellett x(t)→0, vagyis a rendszer ekkor aszimptotikusan stabilis. x(t)=exp(at)x(0) labilis x(0)e

x x(t)=x(0)+ax(0)t

x(0)

a>0

x(t)= x(0)

( a>0)

a=0

x(t)=exp(at)x(0) stabilis

x(0)/e

abs(1/a)

a<0

t

Elsőrendű rendszer sajátmozgása Megjegyzés. n>1 mellett a rendszerben n számú integráló tag szerepel, és mindegyik integrátor önmagáról–, és az összes többi integrátorról is visszacsatolt. Ilyenkor az aszimptotikus stabilitás biztosításához nem elég csupán az, hogy az egyes integrátorok önmagukról negatívan legyenek visszacsatolva, mivel a megjelenő járulékos hurkok is gerjedést, illetve labilitást eredményezhetnek. Ilyen esetben a stabilitás feltétele, hogy az A állapotmátrix minden λi (i=1, 2,…n) sajátértéke negatív, vagy negatív valós részű legyen.

Az elsőrendű rendszer u(t)=1(t)–re vonatkozó gerjesztett mozgása, és átmeneti függvénye: t

t

0

0

x(t ) = ∫ e a (t −τ ) bu (τ )dτ =e at ∫ e −aτ dτ b1(t ) = ⎧bt ⎪ b b = ⎨ at 1 − aτ t e b e = − e at e − at − 1 = − (1 − e at ) ⎪⎩ 0 a a −a a=0 ⎧cbt + d ⎪ v(t ) = cx(t ) + du (t ) = ⎨ cb at a≠0 ⎪⎩− a (1 − e ) + d

(


)

52

a=0 a≠0

SZB


Elméleti alapok

x

a>0

v

u(t)=1(t)

a=0

a>0 a=0

a<0

d–bc/a a<0

–b/a

d

abs(1/a)

t

abs(1/a)

Elsőrendű rendszer gerjesztett mozgása

t

Elsőrendű rendszer átmeneti függvénye

Az elsőrendű rendszer jelentősége nem csupán abban van, hogy igen egyszerűen kezelhető a matematikai modell. Ha az állapotmátrix mérete n>1, akkor az eseteknek egy jelentős részében – nevezetesen akkor, ha A minden sajátértéke egymástól különböző – az eredeti rendszeren egy xT=Tx koordináta transzformációval26 átalakítást lehet végrehajtani. Figyelembe véve, hogy x=T-1xT, az átalakított rendszer állapotegyenlete dxT(t)/dt=TAT–1xT(t)+TBu(t) = ATxT(t)+BTu(t), y(t)=CT–1xT(t)+Du(t) = CTxT(t)+DTu(t) Ennek eredményeként – alkalmasan megválasztott T transzformációs mátrix mellett – az átalakított rendszer AT =TAT-1 állapotmátrixa diagonális mátrixként27 jelenhet meg (kanonikus állapot–transzformáció)28. A transzformációval (az u bemenő–, és az y kimenő jel közötti kapcsolat változatlansága mellett) kapható AT diagonális állapotmátrix az állapotváltozókat egymástól mintegy szétcsatolja, aminek jelentése az, hogy a transzformált rendszer integráló tagjai kizárólag önmagukról visszacsatoltak. Ekkor a transzformált rendszer n számú, egymástól szétcsatolt, elsőrendű rendszerre „esik szét”, vagyis ha az elsőrendű rendszert minden vonatkozásában ismerjük, akkor a magasabb rendű rendszerek egy jelentős osztályát is egyszerűen kezelhetjük. Ilyen esetben a ΦT(t)=exp(ATt) alapmátrix is igen egyszerű, mivel a mátrix–exponenciális függvény is diagonális: ⎡aT 11 AT = TAT −1 = ⎢⎢ M ⎢⎣ 0 Φ (t ) = e

⎡ λ1 L 0 ⎤ ⎢M λ M ⎥⎥ t i ⎢ ⎢⎣ 0 L λn ⎥⎦

L aTii

L

⎡e λ1t ⎢ =⎢ M ⎢ 0 ⎣

0 ⎤ ⎡λ1 L 0 ⎤ M ⎥⎥ = ⎢⎢ M λi M ⎥⎥ aTnn ⎥⎦ ⎢⎣ 0 L λn ⎥⎦

L e λi t L

0 ⎤ ⎥ M ⎥ e λnt ⎥⎦

Ebben a λi értékek az eredeti rendszer A állapotmátrixának az egymástól különböző sajátértékei. Az átalakítás kulcsa a T transzformáció alkalmas megválasztása. A T mátrixot az A állapotmátrix sajátvektoraiból lehet felépíteni, meghatározásához a MATLAB hatékony támogatást nyújt. 26

T n×n méretű, nem szinguláris mátrix. Meghatározásához használható

MATLAB

függvények:

[AT,BT,CT,DT,T]=canon(A,B,C,D);[V,AT]=eig(A),T=inv(V) 27

Az n×n négyzetes mátrix diagonális, ha a főátlójában lévő elemek kivételével minden eleme zérus. A TAT-1 kanonikus transzformációt az irányíthatóság, és a megfigyelhetőség témakörök tárgyalásakor részletezzük. 28


53

SZB


Elméleti alapok

Az elsőrendű SISO rendszer átviteli függvénye: bc + ds ⎧ 1 ⎪bsc+d = s y ( s ) ⎪⎪ 1 W (s) = =⎨ u ( s ) ⎪b s c + d = bc − da + ds s−a ⎪ 1− a ⎪⎩ s

ha a = 0 ha a ≠ 0

Megjegyzés Az elsőrendű állapotegyenletnek megfelelő szerkezeti–áramköri kapcsolási vázlatot adunk meg (illusztráció céljából) a következő ábrán. Ebben az elektronikus erősítők az a, b, c, d átviteli tényezővel rendelkező időkésés nélküli arányos tagokat realizálnak, az állandó gerjesztésű szervomotor pedig az integráló tagot jeleníti meg. A P0 potenciométer csuszkájának l elmozdulása a motor armatúra tekercsének kapcsain lévő feszültség integráljával arányos. Ennek az elrendezésnek a tulajdonságai (addig amíg valamelyik erősítő telítésbe nem kerül, vagy a potenciométer csuszkája fel nem ütközik), hasonlóak a hatásvázlatával jellemzett elsőrendű lineáris rendszer tulajdonságaihoz. +

+

u

< b

+

Szervomotor (integráló tag)

bu

dx/dt

ω

< c

l

+

> a

x

cx

–

M

ax

–

P0

y

–

x

-

Elsőrendű lineáris rendszer állapotegyenletének elektromechanikus szerkezeti illusztrációja

+

< d

du

–

A kapcsolási vázlat alapján egyszerűen nyomon követhető például az a jelenség, ahogy a bemenetre kapcsolt u0 hatására az y(t) változik. Ha a kapcsolás időpillanatában a P0 potenciométer középen állt (ez felel meg az x(0)=0 kezdeti feltételnek), akkor a t=0 időpontban cx(0)=ax(0)=0, y(0)=0+du0, illetve [dx(t)/dt]t=0=bu0. A bu0>0 feszültség hatására a motor forogni kezd, és ezért a potenciométer csuszkájának l elmozdulása jön létre. Ha ez az elmozdulás a motor kapcsain lévő feszültséget csökkenti – vagyis a visszacsatolás negatív –, akkor a motor forgása a kapcsain lévő feszültségnek a bu0+ax0 =0 értékének elérésekor leáll, ekkor, pedig x0= –a-1bu0. Az állandósult állapotban tehát az y0 kimenő feszültség értéke: y(∞)=y0=cx0+du0=(–ca-1b+d)u0. Ekkor a rendszer önbeálló. Teljesen más jelenség alakul ki a=0 (nincs az integráló tag visszacsatolva), vagy a>0 (az integráló tag pozitívan van visszacsatolva) paraméterek mellett. Mindkét esetben az önbeállóság megszűnik, a=0 mellett az ugrásválasz időben lineárisan–, a>0 mellett, pedig időben exponenciálisan növekszik, mindaddig, amíg a működési tartományban vagyunk.


54

SZB


Elméleti alapok

1.3 Függelék 1.31 A Laplace transzformáció

A lineáris rendszerek állapotegyenletének analitikus megoldását támogató eljárás a Laplace integrál transzformáció. Alkalmazásának alapvető sajátossága, hogy a lineáris dinamikus rendszereknek az időtartományban differenciálegyenletekkel adott matematikai modelljét az operátor tartományban algebrai egyenletekké lehet egyszerűsíteni. A Laplace transzformáció definíciós egyenlete A Laplace transzformáció az f(t) belépő (f(t)=0, ha t<0) időfüggvényhez egy F(s) operátor függvényt29 rendel, illetve az f(t) függvényt az F(s) függvényre képezi le, tehát ún. funkcionál. A transzformáció ∞

F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt 0

definiáló egyenlete improprius integrál, konvergenciájának elegendő feltétele ha f(t) a t ≥0 tartomány minden véges szakaszában szakaszonként folytonos, és elegendően nagy t–re abs[(f(t)]≤ Meσt (M és σ pozitív állandók). Ha a definiáló integrál konvergál egy s=σ0+jω értékre, akkor konvergál minden olyan komplex s–re is, amelynek valós része nagyobb σ0– nál: Re s>σ0. Ekkor F(s) az s komplex változónak a Re s>σ0 félsíkjában analitikus függvénye, így s–szerint akárhányszor differenciálható. Néhány – a szabályozási rendszerek analízisében gyakran előforduló – fontosabb belépő időfüggvény Laplace transzformáltja: f (t ) = L−1{F ( s )} δ (t )

F ( s ) = L{ f (t )} 1 1 s k! s k +1 1 s−a a s( s + a) 1 ( s + a) 2 1 ( s + a) k

1(t ) tk e at 1 − e −at te −at t k −1 − at e (k − 1)!

ω s + ω2

sin(ωt )

2

s s + ω2

cos(ωt )

2

29

A L{f(t)}=F(s) jelölés mellett – az egyszerűség céljából – az L{f(t)}=f(s) jelölést is használjuk. Az f(s) természetesen nem azt jelenti, hogy az f(t) időfüggvény t változóját az s változóra kell cserélni! 2007. szeptember 26.

55

SZB


Elméleti alapok

Figyeljük meg, hogy a felsorolt időfüggvények eseteiben a transzformáció az s változóban polinomok hányadosaként adódó algebrai törtet eredményezett. Ez azonban nem általános szabály, hiszen például T–vel a pozitív idő irányában eltolt δ(t-T) Dirac delta transzformáltja: ∞

L{δ (t − T )} = ∫ δ (t − T )e − st dt =e − sT

T >0

0

Az inverz Laplace transzformáció Legyen F(s) az s komplex változó analitikus függvénye a Re s>σ0 félsíkban. Ekkor az F(s)est komplex változós függvény c + j∞

1 f (t ) = F ( s )e st ds 2πj c −∫j∞

vonal menti integrálja c>σ0 mellett konvergens, és azt az f(t) függvényt szolgáltatja, amelynek a Laplace transzformáltja az integrandusban is szereplő F(s). Az inverz transzformáció jelölése: f(t)=L-1{F(s)}. Az integrál tényleges kiértékelése azon az elven alapszik, hogy a képzetes tengellyel párhuzamosan fekvő vonal menti integrál visszavezethető zárt görbe menti integrálra, amely Cauchy tétele alapján számítható ki30. Legyen F(s)=G(s)/H(s) algebrai tört, és G(s) s–nek m–ed fokú, H(s) s–nek n–ed fokú (n>m) polinomjai. A H(s)=0 egyenlet ki multiplicitású pi gyöke az F(s) szinguláris helye. G ( s ) g 0 s m + g1s m−1 + L + g m −1s + g m = F ( s) = H ( s) h0 s n + h1s n −1 + L + hn −1s + hn

Ekkor: c + j∞

1 1 f (t ) = L {F ( s )} = F ( s )e st ds = F ( s )e st ds = ∑ rezF ( s )e st ∫ ∫ 2πj c − j∞ 2πj c ( pi ) −1

1 d ki −1 ⎡ G ( s ) st ⎤ ( s − pi ) k i e ki −1 ⎢ H ( s ) ⎥⎦ s → pi ( k i − 1)! ds ⎣

st rez { { F ( s )e = lim pi

Ha a H(s)=0 minden gyöke egymástól különböző, alkalmazható a kifejtési tétel: n

f (t ) = L−1{F ( s )} = ∑ 1

G ( pi ) e pi t dH ( s ) ds s = pi

A Laplace transzformáció néhány fontosabb tétele A tételeket bizonyítás nélkül közöljük. Jelölés: az x(t), u(t), y(t), f(t), és g(t) belépő időfüggvények. Transzformáltjai legyenek x(s)=L{x(t)}, u(s)=L{u(t)}, y(s)=L{y(t)}, f(s)=L{f(t)}, g(s)=L{g(t)}. . 30

Az F(s)est függvény egy zárt C görbe mentén vett integrálja zérus, ha a függvény a görbe által határolt tartományban analitikus. Ha viszont a C által határolt tartományban szinguláris pontjai vannak, akkor az integrál a residuumtétel alapján számítható ki.


56

SZB


Elméleti alapok

1.) A Laplace transzformáció–, és az inverz Laplace transzformáció lineáris művelet: L{ax(t ) + bu (t )} = ax( s ) + bu ( s ) L−1{cy ( s ) + du ( s )} = cy (t ) + du (t )

(a,b,c, és d állandók). 2.) Az x(t) időszerinti deriváltjának transzformáltja: ⎧ dx(t ) ⎫ L⎨ ⎬ = sL{x(t )} − x(0) = sx( s ) − x(0) ⎩ dt ⎭

Ha x(0)=0, akkor L{dx(t)/dt}=sx(s), vagyis az időtartományban differenciálás műveletének az operátor tartományban az s–el való szorzás a megfelelője. Ezért az s változót a differenciálás operátorának is nevezik. 3.) Eltolási tételek (T>0): L{u (t − T )} = e − sT u ( s ) T ⎞ ⎛ L{u (t + T )} = e u ( s ) − ∫ u (t )e − st dt ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ sT ⎜

4.) Csillapítási tétel: t

1 ⎫ − L ⎨u ( s + )⎬ = e T u (t ) T ⎭ ⎩ −1 ⎧

5.) Képfüggvény deriválása: −1 ⎧ d

⎫ L ⎨ n x( s )⎬ = (−t ) n x(t ) ⎩ ds ⎭ ( n)

6.) Tárgyfüggvény integrálja: ⎫⎪ x( s ) ⎧⎪ t L ⎨∫ x(τ )dτ ⎬ = s ⎪⎭ ⎪⎩ 0 Az időtartományban az integrálás műveletének az operátor tartományban az 1/s–el való szorzás a megfelelője. Ezért az 1/s változót az integrálás operátorának is nevezik. 7.) Konvolúció: ⎧⎪ t ⎫⎪ L ⎨∫ f (τ ) g (t − τ )dτ ⎬ = f ( s ) g ( s ) ⎪⎩ 0 ⎪⎭ t

L−1{ f ( s ) g ( s )} = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ 0


57

SZB


Elméleti alapok

Megjegyzés Ha f(t) és g(t) transzformáltjai f(s), és g(s), akkor az f(t)g(t) szorzat transzformáltja nem f(s)g(s). Hasonlóan az f(s)g(s) szorzat L-1{f(s)g(s)} inverz transzformáltja nem f(t)g(t).

8.) Kezdeti–, és végérték tételek: lim { f (t ) = f (0) = lim { sf ( s ) t →0

s →∞

lim { f (t ) = f (∞) = lim { sf ( s ) ha Re pi < 0

t →∞

s →0

Megjegyzés Az f(t)t=∞=sf(s)s=0 végérték tétel akkor érvényes, ha az f(s) minden pi szinguláris helye a negatív valós részű síkfélen van!

1.32 Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldása Laplace transzformációval

Az egy bemenetű, egy kimenetű (SISO: single input, single output) dinamikus rendszert jellemezzük az u(t) bemenő–, és y(t) kimenő jelű jelátvivő tagokkal: u(t)

Differenciál– egyenlet

y(t)

u(s)

Leírás a t időtarományban

Átviteli függvény, W(s)

y(s)=W(s)u(s)

Leírás az s operátortartományban

Dinamikus rendszer leírása a t idő–, és az s operátor tartományban

Legyen a dinamikus rendszer matematikai modellje az állandó együtthatójú, n–ed rendű a0

d n y (t ) d n−1 y (t ) dy (t ) d m u (t ) d m−1u (t ) du (t ) a a a y t b b + + L + + ( ) = + + L + bm−1 + bm u (t ) 1 n−1 n 0 1 n n −1 m m−1 dt dt dt dt dt dt

alakban felírható lineáris differenciálegyenlet (n≥m, ak és bk adott, valós paraméterek). Zérus kezdeti feltételek mellett képezve a differenciálegyenlet mindkét oldalának Laplace transzformáltját, algebrai egyenletet kapunk: a0 s n y ( s ) + a1s n −1 y ( s ) + L + an −1sy ( s ) + an y ( s ) = b0 s mu ( s ) + b1s m −1u ( s ) + L + bm −1su ( s ) + bm y ( s ) ⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞ ⎜⎜ ∑ ak s n − k ⎟⎟ y ( s ) = ⎜⎜ ∑ bk s m − k ⎟⎟u ( s ) ⎝ k =0 ⎠ ⎝ k =0 ⎠ Ebből az y(s) kimenő jel: m

y ( s) =

m

m −1

b0 s + b1s + L + bm −1s + bm u ( s) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an

∑ bk s m−k

k =0 n

∑ ak s

u ( s ) = W ( s )u ( s )

n−k

k =0

A kifejezésben szereplő


58

SZB


Elméleti alapok

m

W (s) =

m

m −1

y ( s ) b0 s + b1s + L + bm −1s + bm = = u ( s ) a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an

∑ bk s m−k

k =0 n

∑ ak s n − k

=

G ( s) y ( s) = H ( s) u ( s)

k =0

algebrai tört a jelátvivő tag átviteli függvénye. A lineáris szabályozási rendszerek analízisében az átviteli függvénynek meghatározó jelentősége van. Az átviteli függvény nevezőjéből képzett H(s)=0 karakterisztikus egyenlet gyökei határozzák meg a W(s) átviteli függvény szingularitásait, és a jelátvivő tag stabilis–, vagy labilis voltát. Az átviteli függvény definíciója: Az egy bemenetű, egy kimenetű lineáris tag W(s) átviteli függvénye az y(t) kimenő–, és az u(t) bemenő jelek y(s)/u(s) Laplace transzformáltjának hányadosa, zérus kezdeti feltételek mellett. Vagy ezzel egyenértékűen: a tag átviteli függvénye a w(t) súlyfüggvényének Laplace transzformáltja (W(s)=L{w(t)}, és w(t)=L-1{W(s)}).

Az y(t) kimenő jelet a Laplace transzformáció konvolúció tétele alapján számíthatjuk: w(t ) = L−1{W ( s )}

u (t ) = L−1{u ( s )}

t

y (t ) = ∫ w(τ )u (t − τ )dτ 0

ahol w(t) a dinamikus tag súlyfüggvénye31. A több bemenetű, és több kimenetű rendszert absztraháló jelátvivő tag: u1 u2

x1 x2

y1 y2 u

uj

xn

x

y

yk

Több bemenetű, több kimenetű rendszer hatásvázlata

Ha a rendszer lineáris, a matematikai modellje az állapotegyenlet: dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

Ennek Laplace transzformáltja, x(0) kezdeti feltételek mellett: sx( s ) − x(0) = Ax( s ) + Bu ( s ) y ( s ) = Cx ( s ) + Du ( s ) 31

Súlyfüggvény: a tag u(t)=δ(t) Dirac deltára adott válasza, zérus kezdeti feltételek mellett. Ennek megfelelően: y(s)=w(s)=W(s)δ(s)=W(s), mert L{δ(t)}=1. Ezért w(t)=L-1{W(s)}, illetve W(s)=L{w(t)}.


59

SZB


Elméleti alapok

Innen: x( s ) = (sI − A)−1 [x(0) + Bu ( s )]

{

[

}

]

y ( s ) = C (sI − A)−1 [x(0) + Bu ( s )] + Du ( s ) = C (sI − A)−1 x(0) + C (sI − A)−1 B + D u ( s ) Ha a kezdeti feltételek zérusok, akkor:

[

]

y ( s ) = C (sI − A) B + D u ( s ) = W ( s )u ( s ) −1

W(s) most a tag átviteli mátrixa. Részletezve:

[

]

W ( s ) = C (sI − A)−1 B + D =

Cadj (sI − A)B + det (sI − A)D det (sI − A)

A több – j számú – bemenetű, több – k számú – kimenetű lineáris rendszer átviteli mátrixa az y(s)=W(s)u(s) kifejezéssel definiálható. Általános esetben mindegyik kimenőjel mindegyik bemenő jeltől függ. Mátrix alakban felírva: ⎡ y1 ( s ) ⎤ ⎡W11 ( s ) W12 ( s ) ⎢ y ( s ) ⎥ ⎢W ( s ) W ( s ) 22 ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 M ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ yk ( s )⎦ ⎣⎢Wk1 ( s ) Wk 2 ( s )

L W1 j ( s ) ⎤ ⎡ u (s) ⎤ L W2 j ( s )⎥⎥ ⎢ 1 ⎥ M ⎥ L M ⎥⎢ ⎥ ⎢u ( s )⎥ L Wkj ( s ) ⎦⎥ ⎣ j ⎦

Az átviteli mátrixnak k×j számú átviteli függvény eleme van. Az állapotegyenlet megoldása az időtartományban most is a konvolúció tétel alapján számítható :

{

}

{

}

x(t ) = L−1{x( s )} = L−1 (sI − A)−1 x(0) + L−1 (sI − A)−1 Bu ( s ) = = L−1{Φ ( s )}x(0) + L−1{Φ ( s ) Bu ( s )} t

= Φ (t ) x(0) + ∫ Φ (t − τ ) Bu (τ )dτ 0

y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) Φ ( s ) = (sI − A)−1

Φ (t ) = L−1{Φ ( s )} = e At

ahol Φ(t)=eAt a rendszer alapmátrixa. 1.33 SISO tag állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletéhez rendelhető, lineáris alaptagokat tartalmazó hatásvázlat

Az általánosság megszorítása nélkül tekintsük a SISO tag differenciálegyenletét, és átviteli függvényét az alábbi másodrendű alakban (n=2):


60

SZB


Elméleti alapok

d 2u (t ) dy (t ) d 2u (t ) d 2 y (t ) a0 + a1 + a2 y (t ) = b0 + b1 + b2u (t ) dt dt 2 dt 2 dt 2 b s 2 + b s + b2 y(s) G(s) = = W ( s) = 0 2 1 u ( s) H ( s) a0 s + a1s + a2 Ha az x*(s) segédváltozó bevezetésével az átviteli függvény G(s) számlálóját, és H(s) nevezőjét az s-2x*(s) kifejezéssel szorozzuk, akkor kapjuk: W ( s) =

y ( s ) b0 s 2 + b1s + a2 s −2 x* ( s ) ⋅ = u ( s ) a0 s 2 + a1s + a2 s −2 x* ( s )

A számláló, és a nevező azonossága alapján–, illetve az y és x* független változókra történő rendezéssel az átviteli függvény közvetlen felbontásához juthatunk: y ( s ) = (b0 + b1s −1 + b2 s −2 ) x* ( s ) u ( s ) = (a0 + a1s −1 + a2 s − 2 ) x* ( s ) ⇒ x * ( s ) =

(

1 u ( s ) − a1s −1 x * ( s ) − a2 s −2 x * ( s ) a0

)

Az utóbbi egyenletekből az alaptagokat tartalmazó hatásvázlat: b0

b0 x*

b1

b1s-1 x* b2s-2 x*

x*

u 1/a0

x2’

∫

s-1x* x2=x1’

∫

s-2x* x1

y

b2

–a1/a0 –a2/a0 Másodrendű SISO rendszer alaptagokból felépített hatásvázlata, az átviteli függvény közvetlen felbontása

A differenciálegyenletben, az átviteli függvényben, illetve a hatásvázlaton szereplő a2, a1, a0, és b2, b1, b0 együtthatók mindegyike tetszőleges valós szám. Az a0=0 mellett a rendszer elsőrendű, ami realizálható rendszert csak akkor jelent, ha ilyenkor b0 is zérus. Fontos tulajdonsága a rendszernek, hogy a H(s) polinom ak együtthatói az integrátorok visszacsatolásaiban játszanak meghatározó szerepet. Az együtthatók számértékei alapján az adott másodrendű rendszer sokféle jelátvivő tagot definiálhat. Ezek közül – a szabályozási rendszerek analízisében gyakran használt – néhány fontosabbat táblázatban foglalunk össze.


61

SZB


Elméleti alapok

Név a0 0 P

a1 0

a2 a2

b0 0

b1 b2 0 b2

I

0

a1

0

0

0

b2

D

0

0

a2

0

b1

0

T

0

a1

a2

0

0

b2

Tξ

a0

a1

a2

0

0

PDi

0

0

a2

0

b1 b2

PD

0

a1

a2

0

b1 b2

PI

0

a1

0

0

b1 b2

O

a0

0

a2

0

0

b2

b2

Differenciálegyenlet a2 y (t ) = b2u (t ) dy = b2u a1 dt du a2 y = b1 dt dy + a2 y = b2u a1 dt a0

d2y dy + a1 + a2 y = b2u dt dt 2

Átviteli függvény[W ( s )] k ki s

Átmeneti függvény[v(t )] k1(t )

kd s

k d δ (t ) nem realizálható

ki t

k 1 + sT k 1 + 2ξTs + T 2 s 2

du + b2u dt dy du + a2 y = b1 + b2u a1 dt dt dy du = b1 + b2u a1 dt dt d2y a0 2 + a2 y = b2u dt a2 y = b1

k (1 + sTd )

k (1 − e ξ

k[1 +

e

− t T

1−ξ

2

1−ξ 2

sin(

T

t T

) t − arctg

1−ξ 2 −ξ

)]

k[1 + Td δ (t )] nem realizálható

1 + sTd 1 + sT 1 + sTi k sTi

k

k

−

ω0

s 2 + ω02

t

Td − T − T e ) T t k (1 + ) Ti

k (1 +

k (1 − cos ω0t )

stb.

A táblázat differenciálegyenleteiben szereplő a és b együtthatókról feltételeztük, hogy valós, pozitív értékű számok, vagy egyes esetekben valamelyikük értéke zérus. Ebből következőleg az átviteli függvényekben szereplő k, ki, kd, T, Td, Ti, ξ, ω0 paraméterek szintén pozitív értékek, és az a, b együtthatókból származtathatók. A táblázatban felsorolt tagok megnevezései: P (arányos tag, k=b2/a2), I (integráló tag, ki=b2/a1), D (ideális differenciáló tag, kd=b1/a2, nem realizálható), T (egytárolós arányos tag, k=b2/a2, T=a1/a2), Tξ (kéttárolós lengő tag, k=b2/a2, T=a0/a2, 2ξT=a1/a2, 0<ξ<1), PDi (ideális arányos+differenciáló tag, k=b2/a2, Td=b1/b2, nem realizálható), PD (realizálható arányos+differenciáló tag k=b2/a2, Td=b1/b2, T=a1/a2), PI (arányos+integráló tag k=b1/a1, Ti=b1/b2), O (oszcillátor, k=b2/√(a0a2), ω0 2=a2/a0). Az átmeneti függvényeket a differenciálegyenleteknek az u(t)=1(t) gerjesztésre, és zérus kezdeti feltételekre vett megoldásával, vagy a v(t)=L–1{W(s)/s} inverz Laplace transzformáció kiszámításával lehet meghatározni. A hatásvázlat integráló tagjainak kimenő jelei a másodrendű dinamikus rendszer x1 és x2 állapotváltozói. Ezekkel a rendszer állapotegyenlete: ⎡ dx1 (t ) ⎤ 1 ⎤ x (t ) ⎡ 0 ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎡ 0a a2 ⎥ ⎡ 1 ⎤ + ⎢ 1 ⎥u (t ) ⎢ = 1 ⎢ dx (t ) ⎥ − ⎢ ⎥ − a0 ⎥⎦ ⎣ x2 (t )⎦ ⎢⎣ a0 ⎥⎦ ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ a0 ⎣ dt ⎦ ⎡ ba b a ⎤ ⎡ x (t ) ⎤ b y (t ) = ⎢(b2 − 0 2 ) (b1 − 0 1 )⎥ ⎢ 1 ⎥ + 0 u (t ) a0 a0 ⎦ ⎣ x2 (t )⎦ a0 ⎣ A másodrendű rendszer differenciálegyenletben, illetve az átviteli függvényben szereplő a2, a1, a0, és b2, b1, b0 együtthatók mindegyike tetszőleges valós szám, de a0≠0. A két elsőrendű lineáris differenciálegyenletből, és az y kimenő jelet meghatározó algebrai egyenletekből álló állapotegyenlet – az adott u(t)–re vonatkozó y(t) válasz meghatározásának szempontjából – egyenértékű a SISO tagot leíró másodrendű, állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlettel. Az állapotegyenlet megoldása azonban nem csupán az y(t) kimenő jelet szolgáltatja, hanem a rendszer x(t) állapotváltozóit is megadja, mivel az y(t) meghatározását meg kell előzze az x(t) állapotváltozók kiszámítása32. 32

A MATLAB mind az egy egyenletből álló n–ed rendű lineáris differenciálegyenlet megoldását, mind pedig az n számú elsőrendű differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszer (az állapotegyenlet) megoldását


62

SZB


Elméleti alapok

Itt kell megjegyeznünk azt a tulajdonságot, hogy az átviteli függvénynek a közvetlen felbontástól eltérő, de vele egyenértékű másfajta felbontásai is léteznek, ezekre a későbbiekben fogunk kitérni.

hatékonyan támogatja: [y,x]=lsim(G,H,u,t),[y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)). A v(t) átmeneti függvény–, vagy a w(t) súlyfüggvény számítása MATLAB támogatással:[v,x,t]=step(G,H), [w,x,t]=impulse(G,H). Az átviteli függvényből az állapotegyenletet a [a,b,c,d]=tf2ss(G,H)MATLAB utasítással határozható meg. 2007. szeptember 26.

63

SZB



Elméleti alapok

64

SZB

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 1. Elméleti alapok

Recommend Documents