FOLYAMATOS ŐRLÉSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT NUMERIKUS VIZSGÁLATA
Doktori (PhD) értekezés
Készítette: Dr. Buzáné Kis Piroska
a Veszprémi Egyetem Informatikai Tudományok Doktori Iskolája keretében A Doktori Iskola vezetője: Dr. Friedler Ferenc egyetemi tanár Témavezetők: Dr. László Zoltán egyetemi docens, a matematika tudomány kandidátusa Dr. Mihálykó Csaba egyetemi docens, PhD
Matematikai és Számítástechnikai Tanszék Veszprémi Egyetem 2004
ii
iii FOLYAMATOS ŐRLÉSI FOLYAMATOK SZÁMÍTÓGÉPPEL SEGÍTETT NUMERIKUS VIZSGÁLATA Értekezés doktori (PhD) fokozat elnyerése érdekében Írta: Dr. Buzáné Kis Piroska Készült a Veszprémi Egyetem Informatikai Doktori Iskolája keretében Témavezetők: Dr. László Zoltán egyetemi docens, a matematika tudomány kandidátusa Elfogadásra javaslom (igen/nem)
……………………………. (aláírás)
Dr. Mihálykó Csaba egyetemi docens, PhD Elfogadásra javaslom (igen/nem)
……………………………. (aláírás)
Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom: Bíráló neve: ………………………………….. igen/nem …………………………… (aláírás) Bíráló neve: ………………………………….. igen/nem …………………………… (aláírás)
Jelölt az értekezés nyilvános vitáján ……..…..% - ot ért el.
Veszprém,
…………………………… a Bíráló Bizottság elnöke
A doktori (PhD) oklevél minősítése ……………………… …………………………… Az EDT elnöke
iv
v
Tartalomjegyzék Tartalmi kivonat.......................................................................................................................... vii Abstract ...................................................................................................................................... viii Zusammenfassung........................................................................................................................ ix Bevezetés ...................................................................................................................................... 1 1. Az őrlési folyamatok matematikai leírásainak áttekintése ........................................................ 3 1.1. A szakaszos őrlés vizsgálata .............................................................................................. 3 1.2. A folyamatos őrlés vizsgálata .......................................................................................... 15 1.3. Alkalmazások és az őrléshez kapcsolódó további kutatások ........................................... 21 1.4. Az irodalom tanulmányozásából levont főbb következtetések, célkitűzések .................. 27 1.5. Az alkalmazott kutatási módszerek bemutatása .............................................................. 31 2. A folyamatos őrlések leírására kifejlesztett matematikai modellek és tulajdonságaik ........... 33 2.1. A nyílt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje ............................................... 33 2.2. A zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje ................................................ 35 2.3. A folyamatos őrlések diszkrét matematikai modelljei rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában ........................................................................................... 37 2.3.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje .......................................... 37 2.3.2. A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modelljei .......................................... 37 2.4. A folyamatos őrlések mátrix formában megadott diszkrét matematikai modelljei ......... 56 2.4.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét modellje mátrix formában ................................... 56 2.4.2. A zárt folyamatos őrlés diszkrét modelljei mátrix formában ................................... 58 2.5. A folyamatos őrlést leíró rekurzív lineáris egyenletrendszerek tulajdonságai ................ 62 2.6. A folyamatos őrlést leíró mátrixok tulajdonságai............................................................ 65 2.7. A stacionárius állapot ...................................................................................................... 68 2.8. A diszkrét modellek főbb tulajdonságai .......................................................................... 69 3. A numerikus kísérletek eredményei........................................................................................ 81 3.1. A numerikus kísérletek célja, feltevések ......................................................................... 81 3.2. Numerikus kísérletek ....................................................................................................... 85 3.2.1. Numerikus konvergencia-vizsgálat és a modellek alkalmazhatóságának igazolása 85 3.2.2. A modellek alkalmazása az őrlési folyamatok tervezésére és optimalizálására....... 90 3.2.3. A fizikai jellemzők, paraméterek hatásának vizsgálata.......................................... 107 3.2.4. A tranziens állapot tanulmányozása ....................................................................... 120 3.2.5. Az irodalomban előforduló állítások szemléltetése, számítások ellenőrzése ......... 129 3.2.6. Matematikai állítások, érdekességek illusztrálása .................................................. 132 3.2.7. A modellek további lehetséges felhasználási területei ........................................... 138 Összefoglalás ............................................................................................................................ 139 Alkalmazott jelölések................................................................................................................ 143 Irodalomjegyzék........................................................................................................................ 149 Az értekezés új tudományos eredményei .................................................................................. 157
vi
vii
Tartalmi kivonat Folyamatos őrlési folyamatok számítógéppel segített numerikus vizsgálata A disszertáció témája a folyamatos őrlés mindkét típusának, a nyílt és a zárt folyamatos őrlésnek számítógéppel támogatott numerikus vizsgálata. A szerző a nyílt folyamatos őrlés folytonos matematikai modelljéből kiindulva származtatta a zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modelljét és a számítógépes szimuláció alapjául szolgáló diszkrét matematikai modelleket és elvégezte a modellek matematikai diszkusszióját. Ennek keretében a szerző megadta a zárt folyamatos őrlés egy folytonos modelljét, amely speciális esetként magában foglalja a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés modelljét is. Ezt követően bemutatta a folytonos modellből a zárt folyamatos őrlés egy diszkrét matematikai modelljének levezetését, az eredmény egy rekurzív lineáris egyenletrendszer, amely a szemcsék áramlását és törését valószínűségszámítási értelemben egymást kizáró eseményként írja le. A szemcsék áramlása és törése egymástól független események egyes modellalkotók szemlélete szerint. E modell megadásával folytatódik a dolgozat, majd a rekurzív lineáris egyenletrendszerek mátrix formában való felírása következik. A szerző igazolta a diszkrét modellegyenletek megoldásának nemnegativitását és a modellekre vonatkozó főbb állításokat. Bebizonyította, hogy bizonyos feltételek mellett vannak olyan őrlések, amikor a malomban minden időpillanatban, illetve a stacionárius állapot beálltát követően állandó az anyagmennyiség. Azt is igazolta, hogy a malomban minden időpillanatban legalább annyi anyag van a zárt folyamatos őrlés esetén, mint a nyílt őrlés esetén, ha e kétféle típusú őrlésnél azonosak a feltételek és az őrlési folyamatok paraméterei megegyeznek és állandók. Képletet állapított meg a zárt őrlés során a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyiség-változásra, valamint az osztályozóból visszatérített szemcsék mennyiségére vonatkozóan. Megállapította, hogyan kell megválasztani a beadagolt friss szemcsék mennyiségét, a malom legnagyobb terhelhetőségének és az osztályozásnak a figyelembevételével ahhoz, hogy ne következzen be túltelítődés. A dolgozat a modellek numerikus diszkussziójával folytatódik. A szerző vizsgálta az őrlés tanulmányozására kidolgozott módszer numerikus konvergenciáját és azt is megmutatta, hogy a modell alkalmazásával szimuláció útján megkaphatók az irodalomban publikált tapasztalati eredmények, a modell számítási eredményei az őrlési tapasztalattal megegyeznek. A szerző numerikus kísérletekkel igazolta a modell alkalmasságát a folyamatos őrlések tanulmányozására és tervezésére. A flexibilis tolerancia módszer alkalmazásával kidolgozott egy eljárást, amellyel megállapíthatók az előírásoknak megfelelő késztermék előállításához szükséges működési paraméterek optimális értékei. A szerző numerikus kísérletekkel bizonyította, hogy a kifejlesztett szimuláció felhasználható az üzemi őrlések folyamatszabályozásában is. A dolgozatban bemutatott eljárással a zárt folyamatos őrlést végző hengeres golyósmalmok, kisebb módosításokkal más típusú, a cement- és a vasgyártásban, a kerámia-, a szilikát-, a gyógyszer-, az élelmiszeriparban, valamint az ásványi anyagok előkészítése területén található malmok is modellezhetők. A dolgozatban bemutatott eredmények azt mutatják, hogy az őrlési folyamatok szimuláció útján való tanulmányozása jelentősen hozzájárul a folyamatok mélyebb megértéséhez és fontos szerepet tölt be az őrlésekhez kapcsolódó feladatok megoldásában.
viii
Abstract Computer aided numerical analysis of the continuous grinding processes The object of the dissertation is the computer aided numerical analysis of the open and the closed circuit continuous grinding processes. The author has developed the continuous mathematical model of the closed circuit continuous grinding process. The elaborated model involves the describes of the batch and the open circuit continuous grinding as special cases. In order to the simulation based study of the continuous grinding, discrete models have been derived via discretization of the continuous model. The author proved the properties of the discrete models and pointed out the greatly agreement between the calculated and the empirical results. By means of simulation and statistical evaluation of the results of the simulation runs, the applicability of the developed models for study and design purposes is verified. With the aid of the presented models various kind of the grindings may be modelled: grindings in ball mills, and some types of grinding in air jet mills. After realizing little modifications of the models the new ones are suitable for simulation of other types of mills found in the plants and the laboratories. The results presented in the theses show that computer simulation of continuous grindings may advantageously contributes to the deeper understanding of the processes, and may play important role in the solutions of the problems originated from the grinding plants.
ix
Zusammenfassung Computergestützte numerische Untersuchung kontinuierlicher Mahlprozesse Die vorliegende Dissertation setzt sich mit der mathematischen Untersuchung kontinuierlicher Mahlprozesse in offenen und geschlossenen Systemen auseinander. Für das geschlossene kontinuierliche Modell wurde ein diskretes mathematisches Modell hergeleitet. Dieses beruht auf komplexen Differentialgleichungen, die über ein numerisches Verfahren gelöst werden konnten und sowohl die Strömung der Körnchen, als auch deren Bruch berücksichtigen. Strömung und Bruch stellen sich hierbei als unabhängige Ereignisse dar. Bei weiterer Betrachtung erweisen sich offene kontinuierliche Mahlprozesse als Spezialfälle, die aus dem geschlossenen kontinuierlichen Modell abgeleitet werden können. Diese Modelle wurden für weitere Betrachtungen auch in Matrizenform dargestellt. Des Weiteren beschäftigt sich die Arbeit mit der zu wählenden Quantität des Mahlguts. Als Prämisse gilt hierbei, dass es zu keiner Überfüllung der Mühle kommen darf. Ebenso ist auf die Belastbarkeit der Mühle zu achten. In diesem Zusammenhang wurden folgende Behauptungen bewiesen: Werden bestimmte Bedingungen für das einfallende Mahlgut erfüllt, so stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht in der Mühle ein. Haben einfallende Körnchen qualitativ und quantitativ die gleichen Ausgangsbedingungen, so ist im geschlossenen Modell zu jedem Zeitpunkt mindestens genauso viel Mahlgut in der Mühle enthalten wie im offenen Modell. Dies bedeutet auch, dass der geschlossene Mahlprozess effektiver ist. Da der Eigenwert jeder Matrize des kontinuierlichen Mahlprozesses einen Wert kleines als 1 besitzt, hat das entwickelte Modell eine asymptotische Lösung. Dies bedeutet auch, dass der Fall des dynamischen Gleichgewichts bei diesen kontinuierlichen Mahlprozessen tatsächlich eintritt. Unter Zuhilfenahme empirischer Daten aus Fachliteratur konnte außerdem gezeigt werden, dass das entwickelte Programm mit der Wirklichkeit übereinstimmt, sodass hieraus ein anwenderorientiertes Programm für die optimale Wahl der Ausgangsparameter erstellt wurde. Mit der vorgestellten Methode, Mahlprozesse zu untersuchen, können verschiedene Mühlen bezüglicher ihrer Wirtschaftlichkeit (Ausnutzung von Rohstoffen und Energie) und hinsichtlich des Umweltschutzes (Abfallreduzierung und –vermeidung) optimiert werden. Zu diesen Mühlen gehören u.a.: zylindrische Kugelmühlen mit geschlossenen kontinuierlichen Mahlprozessen, „air jet“-Mühlen und Mühlen verschiedener Industriebereiche.
x
1
Bevezetés Az őrlés, az aprítás széleskörűen alkalmazott művelet számos ipari területen, a cement- és a vasgyártásban, a kerámia-, a szilikát-, a gyógyszer-, az élelmiszeriparban, valamint az ásványi anyagok előkészítése területén. E sokféle alkalmazásnak megfelelően különböző méretű és működési elvű őrlőkészülékeket fejlesztettek ki a laboratóriumi kávéfőző méretűektől a több méter hosszúságú és magasságú őrlőgépekig. A legelterjedtebb típusok közé tartoznak a hengeres, a kalapácsos, a rudas-, a golyós-, a gyöngy- és a légsugaras malmok. Az őrlés nagy energiaigényű művelet, amellyel nagyrészt a feldolgozóipar számára készítenek alapanyagokat, kisebb részben késztermékeket állítanak elő. Az őrlési folyamat alapvetően kétféle lehet; szakaszos vagy folyamatos. A szakaszos őrlés során az őrlendő anyagot elhelyezik az őrlőkészülékben, majd a megadott ideig őrlik. Az őrlési idő eltelte után kiveszik az őrleményt a malomból. A folyamatos őrlés is kétféle lehet; nyílt folyamatos vagy zárt folyamatos őrlés. A nyílt folyamatos őrlés esetén az őrlés megkezdésekor a malom lehet üres vagy betöltött állapotban. A malom működése során folyamatosan adagolják be a még őröletlen anyagot a malom bejáratánál, az anyag a malmon történő végig haladása közben őrlődik, a kijáratánál pedig folyamatosan távozik az őrlemény a malomból. Ezt a folyamatot nyílt őrlési folyamatnak is nevezzük. Gyakran társítanak osztályozót a malomhoz, azzal a céllal, hogy csak a kívánt méretűvé leőrlődött szemcsék kerüljenek ki az őrlési folyamatból. Ilyenkor a malomból az őrlemény az osztályozóba kerül, ott az őrleményt szétválasztják két részre. A már eléggé finomra leőrlődött szemcsék, a „méreten aluli” szemcsék, alkotják az őrlés végtermékét. Az őrleménynek ezt a részét eltávolítják az őrlési folyamatból. A nagyméretű szemcséket, a „méreten felüli” szemcséket, újraőrlésre visszatérítik, és a még őröletlen anyaggal, a „friss” szemcsékkel együtt ismét a malomba juttatják. Ezt a fajta őrlést zárt folyamatos őrlésnek, folyamatos recirkulációs őrlésnek vagy körfolyamatos őrlésnek is hívjuk. A malom kijáratán távozó anyagot őrleménynek nevezzük. Nyílt folyamatos őrlésnél az őrlés szempontjából ez a végtermék, amit készterméknek is nevezünk. Zárt folyamatos őrlésnél viszont megkülönböztetjük az őrleményt a készterméktől. A késztermék vagy röviden a termék, az őrleménynek az a része, amely az osztályozás szerint már elérte a kívánt finomságot. Egy igen elterjedt malomtípus a hengeres golyósmalom. Maga a malom egy forgó henger, amelyben a különböző méretű golyók a forgás következtében ide-oda ütődnek. Az őrlőgolyóknak az őrlendő anyaggal történő ütközései idézik elő a malomban lévő anyag összetörését, őrlését. Az ilyen őrlőkészülékben szakaszos, nyílt és zárt folyamatos őrléseket egyaránt végeznek. A dolgozat elsősorban a hengeres golyósmalmokban végzett folyamatos őrlések vizsgálatával foglalkozik. Az őrlés célja a kívánt finomságú őrlemény gazdaságos előállítása, ezért az egyik lényeges kérdés az, hogy hogyan változik az idő függvényében a malomban lévő anyag szemcseméret szerinti tömegeloszlása. A kérdés megválaszolása roppant költséges lenne pusztán fizikai kísérletek elvégzésével kapott tapasztalati eredményekre támaszkodva az őrlőberendezés nagy energiafogyasztása vagy az őrlendő anyag nagy értéke – olykor mindkettő – miatt. Minthogy a matematikai modellezéssel az elvégzendő kísérletek száma csökkenthető, az őrlés kutatásában az 1940-es évektől egyre nagyobb teret hódít a matematikai modellezés. Az információ technológiában megfigyelhető gyors előrehaladás elősegíti a számítógépes szimuláció terjedését az őrlés
2 tanulmányozása terén is. Végeredményben egyre növekszik a számítógépes szimuláció alapjául vehető modellek iránti igény. A dolgozat az ilyen irányú igénynek a kielégítéséhez és az őrlési folyamatok szimuláció útján történő tanulmányozásához kíván hozzájárulni. Az őrlés tág témaköréből a folyamatos őrlések számítógéppel támogatott numerikus vizsgálatát ragadtam ki, mert ez – amint a szakirodalom tanulmányozásából is kiderült – még hiányosan feltárt terület. Az értekezésemben a nyílt folyamatos őrlést a zárt folyamatos őrlés speciális eseteként tárgyalom, nevezetesen, amikor az újraőrlésre visszaadott anyag mennyisége nulla. Megfigyelhető, hogy a szimuláció teret hódít az őrlési folyamatok tanulmányozásán kívül a folyamatok tervezésében, optimalizálásában is. A dolgozatban bemutatott szimuláció felhasználható tervezési és optimalizálási feladatok megoldásában is a késztermékek gazdaságos előállítása érdekében. A dolgozat első fejezetében a tématerületen született kutatási eredményeket foglalom össze, elsősorban az őrlési folyamatok matematikai leírásai szempontjából. Áttekintést adok a szakaszos és a folyamatos őrlés matematikai vizsgálata terén, valamint az őrléshez is kapcsolódó további kutatások terén elért tudományos eredményekről. Ismertetem a kutatás célkitűzéseit, bemutatom az alkalmazott kutatási módszereket. A dolgozat második fejezetében a folyamatos őrlések leírására kifejlesztett matematikai modelleket ismertetem. E fejezet tartalmazza a zárt folyamatos őrlés leírására megalkotott folytonos matematikai modellt, valamint a rekurzív lineáris egyenletrendszer alakjában felírt diszkrét modelleket a származtatásukkal együtt, továbbá a diszkrét modelleket mátrix formában. A folytonos modellből az alkalmazott matematikai levezetéssel előbb a szemcsék törését és áramlását egymást kizáró eseményként leíró modell – Modell I – kapható meg, ebből átalakításokkal a szemcsék törését és áramlását egymástól független eseményeknek tekintő modell – Modell II – származtatható. Az őrlések leírására egyes kutatók a mátrix formában megadott modelleket részesítik előnyben, ezért a diszkrét modelleket ebben az alakban is felírom. A fejezetet a diszkrét modellek matematikai diszkussziója zárja. A dolgozat harmadik fejezetében a kidolgozott modellekre alapozott szimulációs eredmények bemutatása következik hét témakörbe csoportosítva. Bizonyítom azt, hogy a kifejlesztett modellek és a szimuláció alkalmasak a folyamatos őrlések tanulmányozására, tervezésére, mert a számítási eredmények a várakozásoknak megfelelőek. Igazolom, hogy az irodalomból vett mérési eredményekkel megegyeznek a szimulációs eredmények. Bemutatom annak az eljárásnak az alkalmazását, amelyet a malom működési paraméterei értékeinek optimális megválasztására dolgoztam ki, annak érdekében, hogy a felhasználó által megkívánt finomságú őrlemény gazdaságosan előállítható legyen. E fejezetben az őrléssel kapcsolatos matematikai jellegű állításokat, érdekességeket is illusztrálok. Végül, vázolom a kidolgozott modellek és szimuláció őrlőüzemi alkalmazási lehetőségeit. A dolgozat összefoglalással, az alkalmazott jelölésekkel, irodalomjegyzékkel és a tézisek magyar és angol nyelvű ismertetésével zárul.
3
1. Az őrlési folyamatok matematikai leírásainak áttekintése 1.1. A szakaszos őrlés vizsgálata A matematikai leírások sorát a szakaszos őrlésre vonatkozó publikációk nyitották meg, amelyek között a sztochasztikus és a determinisztikus megközelítésűek egyaránt megtalálhatók. A determinisztikus megközelítés négy típusa adható meg a szakaszos őrlés esetén attól függően, hogy az idő és a szemcseméret szerint diszkrétnek vagy folytonosnak tekintjük-e a folyamatot. Az őrlési modellek fizikai származtatása mind a négy esetben lényegében azonos elven alapul. Egy szemcseméretet kiszemelve a szemcseméret-eloszlás – vagy a szemcseméret-sűrűség – idő szerinti változását az idézi elő, hogy némely szemcsék kisebb méretűekre törnek a tekintett méretnél, míg a nagyobb méretű szemcsék közül egyesek a kiszemelt méretűvé törnek. Az őrlés egyik legelismertebb kutatója, Austin szerint az 1940-es évektől számíthatjuk az őrlés matematikai leírásának, modellezésének kezdetét (Austin, 1971/72). Ugyanígy vélekednek erről Reid (Reid, 1965), Berthiaux (Berthiaux, 2000), Kostoglou, Karabelas (Kostoglou & Karabelas, 2002) és sokan mások. Az őrlés matematikai vizsgálata során a kutatások főként az őrlemény összetételének – szemcseméret szerinti szám- vagy tömegeloszlásának – meghatározására irányultak. Az első sztochasztikus modellt a valószínűségszámítás egyik legnagyobb mestere, Kolmogorov publikálta 1941-ben (Kolmogorov, 1941). A szerző igazolta, hogy ha az őrlést, egymást követő nagyszámú törési eseménynek tekintjük és azt is feltesszük, hogy két egyforma darab keletkezik a törés során, továbbá a szemcsék törésének a valószínűsége – méretüktől függetlenül – egyforma, akkor a szemcsék méret szerinti számának eloszlása aszimptotikusan lognormális eloszlású függetlenül a kezdeti eloszlástól. Kolmogorov elméleti úton vizsgálta az őrlést, vele ellentétben Brown kísérletek végzésével kezdte az őrlés tanulmányozását. Míg Kolmogorov az ismertetett feltételek mellett 1941-ben azt igazolta, hogy az őrlemény eloszlása aszimptotikusan lognormális eloszlású, Brown ugyanebben az évben cikkében arról számolt be, hogy általánosabb feltételek mellett az őrlemény közelítőleg Rosin-Rammler-eloszlású. Brown 1941-ben megadott modellje idő szerint diszkrét és méret szerint folytonos determinisztikus modell (Brown, 1941), amely Austin szerint az első ilyen modell volt (Austin, 1971/72). A szerző szénőrlési laboratóriumi kísérletek alapján elsőként állapította meg, hogy az őrlemény eloszlása nagyon jól megközelíti a Rosin-Rammlerféle eloszlást. Ezt követően Brown elméleti szempontból is vizsgálta a folyamatot. A kutató feltételezte, hogy mindegyik méretű szénrög, szemcse ugyanolyan arányban törik mindegyik törési ciklusban, vagyis sem a szén keménysége nem változik jelentősen a mérettől függően, sem olyan tendencia nem érvényesül, amely szerint bizonyos szemcsék jobban törnének másoknál. Kutatómunkája során Brown olyan laboratóriumi kísérleti eredményeket is kapott, amelyek azt sugallták, hogy általánosabb feltételek mellett is gyakran tapasztalható különböző anyagok törésekor az őrlemény RosinRammler-eloszlása. Erre alapozva a szerző megjósolta a Rosin-Rammler-eloszlás használatának elterjedését. Később, 1947-ben az őrlést determinisztikus folyamatnak tekintve Epstein is arra a következtetésre jutott Kolmogorovtól függetlenül (Epstein, 1947, Epstein, 1948), hogy olyan anyagok törésekor, amikor az alábbi két feltétel – A), B) – teljesül, a
4 szemcseméret szerinti eloszlás jól közelíti a lognormális eloszlást a kezdeti szemcseméret eloszlástól függetlenül. A) A törési folyamat bármelyik lépése során bármelyik részecske törési valószínűsége független a részecske méretétől. B) Egyetlen törési esemény során keletkező részecskék eloszlása független az eltört részecske méretétől abban az értelemben, hogy egységnyi mennyiségű L méretű szemcsék törésekor keletkező, a k⋅L -nél kisebb méretű szemcsék súly szerinti frakciója független az L mérettől, ahol 0 ≤ k ≤ 1 . Az Epstein által megadott egyenlet azt fejezi ki, hogy az őrlés p-dik állapotában az xnél kisebb méretű frakció mennyisége megegyezik az előző állapotban x-nél kisebb méretű frakció mennyisége és a p-dik állapotban az összes x-nél nagyobb méretű szemcsék közül az x-nél kisebb méretűre törtek mennyisége összegével. Az őrlés p-dik állapotát az őrlés p-dik időpillanatának tekintve, a szerző idő szerint diszkrét és szemcseméret szerint folytonos modellt adott meg. Az itt szereplő A) feltétel Kolmogorovnál is előfordult, míg a B) feltétel általánosabb Kolmogorov másik kikötésénél, amely szerint két egyforma darabra esik szét a szemcse. Epstein a törési folyamatot egymást követő törési események sorozatának, míg a méret szerinti változást folytonosnak tekintette. A szerző megjegyezte, hogy mind gyakorlati, mind elméleti szempontból nagyon fontos kérdés, mi történik, ha nem teljesülnek az A) és B) feltételek, ugyanis laboratóriumi kísérletek során a szerző maga is tapasztalta, hogy egyes anyagok őrlésekor a törés valószínűsége a szemcseméret második vagy harmadik hatványával arányos. Fontos kiemelnünk, hogy Epstein kezdte el vizsgálni a törésnek a szemcsemérettől való függését, azonban ilyen esetekben – amikor az A) feltétel nem teljesül – a szerző nem tudta megoldani az őrlemény eloszlásának kiszámítását. Az aprítás matematikai elméletével Rényi is foglalkozott. Az aprítás folyamatát nagyszámú egymás után következő aprító hatás eredményének tekintette és feltételezte, hogy az egyes aprítási műveletek hatására a szemcsék egyenlő valószínűséggel törnek el, valamint azt is kikötötte, hogy töréskor a szemcsék mérete feleződik (Rényi, 1950). A szerző cikke első részében Kolmogorovval megegyező eredményt bizonyított a generátorfüggvény módszerének alkalmazásával. Ezután Rényi egy általánosabb törési jelenséget tekintett, olyan törést, amikor a szemcsék egyforma valószínűséggel törnek, de nincs kikötve, hogy a törés utáni méretük feleakkora lesz. Abban az esetben, amikor ismert, de tetszőleges egy megadott szemcseméretről egy megadott szemcseméretintervallumba törés valószínűsége – azaz teljesen általános törési feltételek esetén – Rényi igazolás nélkül kijelentette, hogy ugyancsak a generátorfüggvény módszerrel megkapható, hogy az őrlemény aszimptotikusan lognormális eloszlású. Később Filippov méret és idő szerint folytonos, sztochasztikus folyamatként kezelte az őrlést, és bizonyos esetekben az analitikus megoldást is megadta (Filippov, 1961). Elsőként mutatott rá arra, hogy a sztochasztikus és a determinisztikus megközelítés között világos kapcsolat van: a sztochasztikus esetben a várható értékre kapott egyenlet azonos azzal az integro-differenciálegyenlettel, amelyik az őrlés egyik determinisztikus megközelítésekor, az idő és méret szerint folytonos megközelítésekor adódik. Filippov elméleti eredményeit sem tapasztalati, sem numerikus eredményekkel nem szemléltette. Laboratóriumi kísérletek alapján az őrleményt sokan találták közelítőleg lognormális eloszlásúnak. Tapasztalati úton azonban az idők során az is kiderült, hogy azt a feltevést, amely szerint bármelyik szemcse egyforma valószínűséggel törik, a tapasztalat a legtöbb esetben nem támasztja alá. Beke szerint (Beke, 1963) az aprító gépekben végbemenő folyamatot az alábbi egyszerű modellel jól szemléltethetjük. Az
5 aprítás lefolyását oly módon képzeljük el, hogy egy síklapon elterülő halmazra mérünk kalapácsütéseket. Ekkor azonnal érzékeljük, hogy a nagyobb szemcséket, amelyek a halmazból méretük folytán kiemelkednek, nagyobb valószínűséggel éri kalapácsütés. Tehát az aprítás valószínűsége a szemcsemérettől nem független, azaz a Kolmogorov és Rényi által feltételezett homogenitás nem áll fenn. A fenti „ideális” feltevések abban az üzemi őrlési folyamatban sem érvényesültek, amelyről László Zoltán számolt be (László, 1993). A szerző a cikkében egyben magyarázatot is adott arra, hogy miért állapítottak meg sokszor tévedésből lognormális eloszlást. A valóságban valószínűleg az történhetett – vélekedik László –, hogy kis elemszámú minta alapján állapíthatták meg az eloszlást. A statisztikával foglalkozók ismerik azt a tapasztalatot, hogy egy kis elemszámú mintára többféle eloszlást is lehet illeszteni. Kolmogorov és Rényi dolgozatai is hozzájárulhattak a gyakorlatban a lognormális eloszlás indokolatlan használatához – mutatott rá László. Idő szerint folytonos és méret szerint diszkrét modellt alkottak meg Sedlatschek és Bass golyósmalmi őrlésre (Sedlatschek & Bass, 1953). A modell alapötlete az a feltevés, hogy annak a valószínűsége, hogy bármelyik szemcseméret szerinti csoportból tetszőlegesen kiválasztott szemcse valamelyik golyóval t+t1 ideig nem ütközik, független attól, hogy t ideig sem ütközött, vagyis a szemcse múltja nem befolyásolja a jövőbeli ütközéseket. A szerzők kikötései: A szemcseméret szerinti intervallumok hosszainak olyan kicsiknek kell lenniük, hogy bármelyik szemcse – kivéve a legkisebb méretintervallumba tartozót – őrlésekor keletkező törmelékek más-más méretintervallumokba kerüljenek. Továbbá, az azonos méretintervallumon belüli szemcsék méretei közötti különbségeknek elenyészőknek kell lenniük a golyók méretéhez képest. A szerzők a folyamatot lineáris differenciálegyenlet-rendszerrel írták le. Az egyenletek száma megegyezik a méretintervallumok számával. A megoldásban szereplő konstansok kiszámítása nagyon komplikált lenne, ezért ezeket kísérleti úton kell meghatározni – javasolták a szerzők. Az elmélet figyelmen kívül hagyja a szemcsék egymással történő ütközése és frikcionálása miatt bekövetkező őrlést, ami a szerzők véleménye szerint jelentéktelen a golyók okozta őrléshez képest. A kikötések teljesítése nehézségekbe ütközhet: egyrészt a méretintervallumok számát nagyon nagynak kellene választani, másrészt az is kérdés, mit értsünk „elenyésző különbség” alatt. A modell nehezen alkalmazható – a kikötések miatt – olyan törés esetén, amikor a szemcséről mindössze parányi részek pattannak le az ütközés hatására, mert a méretintervallumok számát nagyon nagyra kellene választani. A nagyméretű szemcsék őrlése esetén ugyancsak nagyon nagy számú méretintervallumra lenne szükség, ami alkalmazhatósági szempontból szintén akadályt jelent. Bass idő szerint és méret szerint folytonos modellt is kidolgozott (Bass, 1954). A szerző a szakaszos őrlés leírására időtől függő szemcseméret szerinti tömegeloszlást leíró parciális integro-differenciálegyenletet származtatott, amit elnevezett az őrlés alapegyenletének. Ebben az őrlendő anyag törését és a töréskor keletkező törmelék eloszlását együttesen jellemző, időtől független, tapasztalati úton meghatározandó ε(ξ,α) függvény fordul elő, amely megadja a (ξ,ξ+dξ) méretintervallumba tartozó egységnyi tömegű szemcséből egységnyi idő alatt az (α,α+dα) méretintervallumba tört törmelék tömegét. Tegyük fel, a szemcseméretekre fennáll: 0 ≤ α ≤ ξ ≤ x max , ahol x max jelöli a legnagyobb szemcseméretet. A szerző szerint az ε(ξ,α) függvény mérésekkel kényelmesen meghatározható, s az alkalmazott függvényközelítések az általános elmélettel összhangban állnak. Jelölje m(x,t) a szemcseméret szerinti tömegsűrűségfüggvényt. Az alábbi egyenletet írta fel a szerző:
6 x
∂m( x, t ) + m( x, t ) ⋅ ∫ ε ( x, α )dα = ∂t 0
xmax
∫ ε (ξ , x) ⋅ m(ξ , t )dξ . x
Bass megadta az alapegyenlet közelítő megoldását zárt alakban arra az esetre nézve, amikor a szemcseméretek kevéssé térnek el a legnagyobb szemcsemérettől. Ekkor az alapegyenlet közelítő megoldása megfelel a félig tapasztalati úton nyert híres RosinRammler-formulának. A szerző közölte, hogy a Rosin-Rammler-formula itt használt alakja az m ( x, t ) =
n(t ) ⎛ x ⎞ ⎟ ⋅⎜ x ⎜⎝ F (t ) ⎟⎠
n (t )
⋅e
⎛ x ⎞ −⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ F (t ) ⎠
n(t )
formula, amelyben két olyan mennyiség, az n(t) és az F(t) fordul elő, melyeket az őrlés minden időpillanatára vonatkozóan újból, egymástól függetlenül meg kell határozni. Ezek tartalmazzák az időtől való függést. Az n(t) és az F(t) közötti kapcsolatot nem ismerjük, de bizonyára valamiképpen összefüggnek egymással – vélekedik a szerző. A megadott képlettel történő számítási mód csak egy bizonyos, pontosan meg nem határozott őrlési időtartam után használható – írja Bass, azonban ennek az időtartamnak a hossza függ attól, hogy az őrlendő anyag kezdeti eloszlása mennyire közelíti meg a Rosin-Rammler-eloszlást. Csak nagy szemcseméretekre érvényes a képlet, mert ezt a feltevést a levezetéskor kihasználta a szerző. Bass kis szemcseméretekre is levezette a felírt integro-differenciálegyenlet közelítő megoldását, amely ilyenkor nem adható meg zárt alakban. A modell gyakorlati alkalmazhatóságát, megbízhatóságát rontják a cikkben előforduló pontatlanságok; nem közölte a szerző, mit értsünk pontosan nagy szemcseméreten, s arra sem utalt, hogyan lehetne megállapítani azt az őrlési időtartamot, amely után az eloszlást a megadott képlettel számolhatjuk. A szerző az ε(ξ,x) függvény alakját nem vizsgálta, a kikötéseket, feltételeket a cikkében nem ismertette, ezek felismerését rábízta az olvasóra. A szakaszos őrlés integro-differenciálegyenlet formájában felírt modellje csak azután terjedt el, miután az ε(ξ,x) függvényt a szelekciós függvény és a törési sűrűségfüggvény szorzataként tekintették – erre később kitérünk. A szakaszos őrlésre idő szerint és méret szerint is diszkrét modellt Broadbent és Calcott adott meg (Broadbent & Calcott, 1956). Tanulmányukban a szerzők az őrlendő anyag szemcseméret szerinti összetételét – az eloszlást – egy f vektorral jellemezték, amely megadja az egyes szemcseméret tartományokba tartozó szemcsék arányát az összes szemcséhez viszonyítva. A szemcsék törését a B törési mátrixszal írták le, ahol B(i,j) jelöli a j-dik szemcseméretről az i-dikre törő szemcsék arányát egy törési művelet során. Ha az őrlemény eloszlását az n-dik törési művelet után pn jelöli, akkor p1=B⋅f, továbbá p2=B⋅ p1=B2⋅f, ezt folytatva pn=Bn⋅f. A szerzők a törési folyamatot egymást követő törési mozzanatoknak tekintették, melyek mindegyikét – a művelet sorszámától független – B mátrixszal jellemezték, majd a törésre vonatkozóan bizonyos egyszerűsítő feltevésekkel élve megadták a törési mátrixnak egy lehetséges alakját. Ezt követően Broadbent és Calcott ismertették a folyamatos őrlés leírására kifejlesztett idő és méret szerint is diszkrét modelljüket. A szerzők az őrlési zónában végbemenő teljes folyamatot két egymást követő folyamat hatásaként képzelték el. Az első folyamatban kiválasztásra kerülnek azok a szemcsék, amelyek el fognak törni. A kiválasztás leírására a szerzők bevezették a szelekciós mátrix fogalmát, amely egy diagonális mátrix, jelölje ezt S. A fődiagonális elemei rendre azt jelentik, hogy az egyes
7 mérettartományokba tartozó szemcsék hányad része törik el egy törési esemény során. A második folyamatban a kiválasztott szemcsék a törési mátrixszal leírt módon eltörnek. Jelölje a törési mátrixot most is B, ekkor B(i,j) most is a j-dik szemcseméretről az i-dikre törő szemcsék arányát jelöli. Az őrlési zónában végbemenő teljes folyamatot – a kiválasztódást és az őrlést együttesen – az alábbi D mátrix írja le, ahol D=B⋅S+(I-S), a jobb oldalon I a megfelelő méretű egységmátrix. A szerzők egy olyan folyamatos őrlést is tekintettek, amikor osztályozót csatlakoztatnak a malomhoz, ahol az őrleményt szétválasztják „méreten aluli” és „méreten felüli” részre. Az előbbi az őrlés végterméke, az utóbbit újraőrlésre visszatérítik a malomba. Ezt a fajta őrlést a szerzők elnevezték zárt folyamatos őrlésnek, melynek speciális eseteként értelmezték a nyílt folyamatos őrlést. A nyílt folyamatos őrlés során egyáltalán nem adnak vissza anyagot a malomba újraőrlésre. Ilyenkor a malomból kifolyó őrleményt teljes egészében „méreten alulinak” tekintjük. A vázolt zárt őrlési folyamatot Broadbent és Calcott mátrix-egyenletrendszerrel írta le a stacionárius állapotban. A szerzők bár nem definiálták pontosan, mit értenek stacionárius állapot alatt, de utalásaik és a felírt egyenletrendszer alapján a stacionárius állapotot a következőképpen értelmezték: egy bizonyos őrlési idő eltelte után beálló állapot, amikor a malomba bemenő, illetve a malomból távozó anyag eloszlása már nem változik. A malomba bemenő, illetve a malomból távozó anyag eloszlását jelölje f, illetve p a stacionárius állapotban. Ekkor a malomból távozó anyag eloszlását a szerzők a p=D⋅f egyenlettel írták le, azonban a bemenő anyag eloszlását – f -et – a még őröletlen és a visszatérített anyag együttes eloszlásaként számolták. A késztermék és a visszatérített, a „méreten felüli” őrlemény együttes eloszlását egyenlőnek tekintették a malomból távozó anyag eloszlásával, p-vel. A szerzők a zárt folyamatos őrlést csak a stacionárius állapotban vizsgálták. Ebben az állapotban azonban a recirkulációs őrlés olyan, mintha folyamatos recirkuláció nélküli őrlés lenne, mivel a stacionárius állapotban nem változik a malomba bemenő és az onnan távozó anyag összetétele. Így a kutatók valójában a zárt folyamatos őrlés leírását visszavezették egy nyílt folyamatos őrlés leírására. A szerzők megjegyezték, hogy a szelekciós illetve a törési mátrixot számítani is lehet/lehetne, ha ismerjük/ismernénk a szelekciós illetve a törési eloszlásfüggvényt. Végül Broadbent és Calcott szénőrlési tapasztalati eredményeiket hasonlították össze a számítottakkal a törési folyamat első néhány lépésére. Megállapították, hogy a felírt modelljeik a szakaszos és a folyamatos őrlések egyaránt valósághű leírásait adják. A mátrixműveletek könnyen elvégezhetőek, azonban ha a modellben szereplő ismeretleneket – melyek nagyságrendje O(n 2 ) , ahol n a B mátrix rendje – kísérleti mérési eredményekből kell megállapítani, az veszélyeztetheti a modell alkalmazhatóságát, mert egyrészt rengeteg munkát jelent, másrészt nagy mennyiségű mérési hiba halmozódhat fel. Amint láttuk, Broadbent és Calcott a folyamatos őrlés tanulmányozására megadták a legegyszerűbb modelleket, s elkezdődött a folyamatos őrlés vizsgálata. Mielőtt azonban rátérnénk a folyamatos őrlés tanulmányozására, folytatjuk az újabb szakaszos őrlési modellek ismertetését, mert a szakaszos őrlés most ismertetendő, későbbi, kiforrottabb eredményeit a folyamatos őrlés tanulmányozása során is felhasználják. A továbbiakban bemutatásra kerülő modellek többségében előfordul a szelekciós függvény, a törési eloszlásfüggvény vagy a törési sűrűségfüggvény. Egyes matematikai leírásokban a szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvény helyett a maradék-
8 eloszlásfüggvény szerepel. Ezért most ismertetjük ezek definícióit. A törési szelekciós függvény, S(x) kifejezi, hogy egy időegység alatt az x méretű szemcsék hányad része törik el. A törési eloszlásfüggvény, B ( x, L ) az L méretű szemcse törésekor keletkező törmelék eloszlását adja meg. A törési sűrűségfüggvényt b(x, L) -lel jelöljük, b( x, L)dx megadja az L méretű szemcse törésekor az (x,x+dx) szemcseméret intervallumba tartozó x
szemcsék hányadát. E két függvény közötti kapcsolat: B ( x, L) =
∫ b(λ , L)dλ ,
xmin
ahol xmin jelöli a legkisebb szemcseméretet, vagyis azt a méretet, amelynél kisebbre a szemcse nem törik. Az őrlemény szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvényét a t időpillanatban M(x,t)vel jelölve, az R(x,t)=1-M(x,t)-vel definiált függvényt az őrlemény szemcseméret szerinti maradék-eloszlásfüggvényének nevezzük. Napjainkra az őrlés szaktekintélyévé vált Austin 1964-ben kutatótársával közösen írt tanulmányában (Austin & Klimpel, 1964) kifejtette, mennyire tág az őrlés témaköre. A malmok tervezésekor az alábbi öt kérdés figyelembevételét alapvető követelménynek ítélték: Milyen típusú őrlőgépet válasszanak? Milyen karbantartásra lesz szükség? Milyen méretű gépre van szükség? Milyen előírások vonatkoznak az őrleményre? Változó betáplálás esetén milyen lesz a malom teljesítménye és melyek az optimális működési feltételek? A szerzők úgy vélték, hogy a fenti kérdések megválaszolásához – különösen az utolsóéhoz - az őrlési elmélet kidolgozására van szükség, amelyhez maguk is nagyban hozzájárultak. Austin és Klimpel ismertették az őrlemény szemcseméret szerinti tömegeloszlását leíró egyenletet, amit elneveztek a szakaszos őrlés alapegyenletének. A szerzők előbb beszámoltak az egyenletben szereplő függvények, a szelekciós függvény – S(x) – és a törési eloszlásfüggvény – B ( x, L ) – alakjának meghatározására végzett kísérleteikről. Megállapították, hogy a szelekciós függvény a szemcseméret valahányadik hatványával arányos. A hatványkitevő függ az őrlőkészülék geometriai méreteitől, az őrlés módjától, az őrlendő anyag szerkezetétől. A kutatók szerint nem áll fenn általános érvényű kapcsolat az energia bevitel és az őrlemény átlagos szemcsemérete között. A szerzők a törési eloszlásfüggvényt vizsgálva kísérleti úton e függvény alakjára az alábbi képletet x kapták: B ( x, L) = , ahol B ( x, L ) az L méretű szemcse törésekor keletkező törmelék L eloszlása. Felhasználva e függvényeket, Austin és Klimpel megadták t ideig tartó őrlést követően az őrlemény szemcseméret szerinti tömegeloszlását leíró alábbi egyenletet: t xmax
M ( x, t ) = M ( x,0) + ∫ ∫ [∂M ( y, t ) / ∂y ]S ( y ) ⋅ B( x, y )dydt , 0
x
s ezt a szakaszos őrlés alapegyenletének nevezték, ahol M(x,t) jelöli a t ideig tartó őrlést követően az őrlemény szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvényét, x max pedig a legnagyobb szemcseméretet, S a szelekciós, B a törési eloszlásfüggvényt. A szerzők a modelljüket véges differencia módszerrel diszkretizálták, s ezt követően IBM 7074 számítógépre írott programmal végeztek numerikus kísérleteket a modelljük igazolására. A tapasztalati úton nyert és a számított eloszlások nagyon közel álltak egymáshoz. A szerzők az analitikus megoldással nem foglalkoztak. A numerikus módszerek alkalmazását helyezték előtérbe, azonban a közelítés pontosságáról nem
9 nyilatkoztak, megelégedtek azzal, hogy a numerikus kísérleti eredményeik jól megközelítették a tapasztalati eredményeiket. A kutatók az őrlés tanulmányozására szorgalmazták a számítógép használatát, amelyre példát is mutattak. Reid 1965-ben az addigi publikációk tanulmányozásából arra a következtetésre jutott, hogy a szakaszos őrlést lehetőleg az őrlési alapegyenlet analitikus megoldásával kell tanulmányozni (Reid, 1965). A szerző a pusztán kísérleti eredményekre támaszkodó modellek alkalmazását kétségesnek tartotta a bennük elkerülhetetlenül előforduló mérési hibák miatt. Reid az őrlés alapegyenletét az alábbi formában írta fel:
∂ 2 M ( x, t ) ∂M ( x, t ) = −k ( x) + ∂x∂t ∂x
xmax
∫ x
∂B( x, L) ∂M ( L, t ) dL , ⋅ k ( L) ⋅ ∂x ∂x
ahol M(x,t) jelöli a tömeg-eloszlásfüggvényt, B(x,L) a törési eloszlásfüggvényt, k(x) a szelekciós függvényt, x max a legnagyobb szemcseméretet, x a szemcseméretet, t az időt. Az alapegyenletnek ezt a formáját többen is használták, azonban bizonyára kényelmi ∂M ( x, t ) okokból áttértek a tömeg-sűrűségfüggvényre, s erre általában az m( x, t ) = ∂x jelölést vezették be. A szelekciós függvényt pedig gyakran a nevére is utaló S(x) függvénnyel jelölték k(x) helyett. A szerző megadta a megoldásokat abban a speciális esetben, amikor k(x)=k·x és x B ( x, L) = . Azokban az esetekben, amikor az analitikus megoldás nem ismert, Reid L véges differencia módszerrel történő diszkretizálás után közelítő megoldás előállítását javasolta rekurzió alkalmazásával. A közelítő megoldás kiszámítását a szerző számítógépes programmal végezte. Reid egy olyan szemcseméret és idő szerint folytonos modellt alkotott, amelyre sokan hivatkoztak, napjainkban is használják. Reid megadott a megoldásával együtt egy „gyakorlati egyenlet”-nek nevezett méret szerint diszkrét, idő szerint folytonos modellt is, amely tapasztalat útján meghatározható paramétereken alapul. Jelölje wi (t ) az i-dik szemcseméret-osztályba tartozó szemcsék tömegének arányát, rövidebben az i-dik frakció tömeghányadát a t-dik időpillanatban, jelölje bi , j egy rövid őrlési idő alatt a j-dik frakcióból az i-dik frakcióba törő szemcsék tömeghányadát (ahol xi < x j , i > j , j=1,2,…,n-1, ahol n a szemcseméret osztályok száma és j=1 jelöli a legnagyobb szemcsék osztályát). A bi , j tömeghányadok tapasztalati úton megállapíthatók. Az i-dik frakció törési hányadát jelölje k i . A bevezetett jelölésekkel Reid az alábbi „gyakorlati egyenlet”-et írta fel:
dwi (t ) i −1 = ∑ bi , j k j w j (t ) −k i wi (t ) dt j =1
(i=1,…,n),
ahol n a szemcseméret-osztályok száma. A legnagyobb szemcsék osztályára i = 1 , míg a legkisebbekére i = n . A „gyakorlati egyenlet”-et később mátrix alakban is felírták, s abban a formában is nagyon használhatónak bizonyult – mutatott rá később Berthiaux (Berthiaux et al., 1996a).
10 Az őrléssel kapcsolatos publikációk feldolgozásában, rendszerezésében, az őrlési ismeretek fejlesztésében kiemelkedő tevékenységet végzett Beke Béla, aki az őrlés fő kérdéseiről adott áttekintést gyakorló technológus mérnököknek szánt monográfiájában (Beke, 1963). Beke könyve alapmű, ilyen áttekintő munka sem a hazai, sem a külföldi szakirodalomban korábban nem állt rendelkezésre. A szerző egy-egy fejezetben foglalkozik az őrlemény szemcseösszetételével, az aprítási folyamatok energiaigényével, az aprítás kinetikájával, ismerteti a körfolyamatos őrlés elméletét, és annak hatását az őrlemény szemcseméret szerinti összetételére. Az őrlemény eloszlása vizsgálata során az 1960-as évekre kiderült, hogy Brown előrejelzése bevált, mert az őrlemény Rosin-Rammler-eloszlása ellenőrzésére a köztudatba kerülése óta a hatvanas évekig vizsgálatok ezreit végezték el – írja Beke (Beke, 1963) –, és megállapították, hogy finomőrlésnél a mikroszkópos nagyságrend felett statisztikai érvényessége elfogadható pontosságú. Többen – köztük Bennett, Romadin, Sperling – próbálkoztak az eloszlás elméleti levezetésével, azonban mindegyik levezetés tartalmaz önkényes feltételezéseket. Mintegy harminc évvel később, 1996-ban Mihálykó Csaba és Blickle Tibor a szakaszos őrlés matematikai modellezése során szintén vizsgálták az őrlemény eloszlását (Mihálykó & Blickle, 1996). A szerzők megmutatták, hogy a szelekciós függvény és a törési sűrűségfüggvény speciális megválasztása esetén, ha a kezdeti eloszlás a Rosin-Rammler-eloszlással jellemezhető, akkor az őrlés minden időpillanatában az őrlemény időtől függő paraméterű Rosin-Rammler-eloszlású lesz. A Rosin-Rammler-eloszlás használatának elterjedése az eloszlás jó kezelhetőségére is visszavezethető. Az 1970-es évekre már az őrlés leírására szolgáló sok modellben fordult elő a törési eloszlásfüggvény – állapították meg Austin és Luckie (Austin & Luckie, 1971/72). A szerzők a diszkrét törési eloszlásfüggvény általuk kidolgozott meghatározási módszerét is ismertették. Ezekre az évekre lehetővé vált a malom működésének elfogadható pontosságú szimulációja, legalábbis a kisméretű kísérleti malmok esetén (Austin, 1971/72). Az egymástól független kutatócsoportok jelölései, matematikai technikái különbözőségei miatt azonban a modellek közötti kommunikáció nagy akadályokba ütközött, ezért Austin megtette az első lépéseket az egységes jelölésrendszer bevezetésére. A szerző egy áttekintést publikált, amelyben összefoglalta az addigi modellekben alkalmazott fogalmakat, megadta ezek pontos jelentését és jelölését, a különböző formában felírt modelleket átírta az egységes jelöléseknek megfelelően. A Rosin-Rammler-eloszlás használata mellett a kutatók az őrlemény eloszlását vagy kísérletek útján állapították meg, vagy a modelljeik alkalmazásával számították ki. A főként kísérleti célú malmok működésének sikeres szimulálása után a kutatások a különféle típusú és célú ipari és laboratóriumi őrlőkészülékek modellezésére, a segédfüggvények meghatározására irányultak, az alkalmazott matematikai eszközök széles skálájának igénybevételével. Gupta és Kapur cikkükben (Gupta & Kapur, 1975) megadták a szakaszos őrlés tömeg-sűrűségfüggvényre felírt alapegyenletének a hasonlósági megoldását a szelekciós függvény és az eloszlásfüggvény speciális megválasztásai esetén, amikor a szelekciós függvény S ( x) = k ⋅ x α , ahol x jelöli a szemcseméretet, k>0, α>0, az eloszlásfüggvény β
⎛x⎞ B ( x, L) = ⎜ ⎟ , amely az L méretű szemcse törésekor keletkező törmelékek eloszlása, ⎝L⎠ ahol β>0. Ilyen feltételek mellett a hasonlósági megoldás egy általánosított gamma függvény α=1 esetben, az α=β választása a Rosin-Rammler-eloszlást eredményezi. A
11 szerzők pszeudo-hasonlósági megoldást is megadtak a szelekciós és az eloszlásβ
⎛ φ ( x) ⎞ ⎟⎟ , függvények sokkal általánosabb osztályára, ahol S ( x) = k ⋅ [φ ( x)] , B( x, L) = ⎜⎜ ⎝ φ ( L) ⎠ φ tetszőleges monoton nem-csökkenő függvény. α
Fan és Srivastava idő szerint folytonos, szemcseméret szerint diszkrét sztochasztikus modellt fejlesztettek ki (Fan & Srivastava, 1980). Feltételezték, hogy 1) annak a valószínűsége, hogy a szemcse az i-dik állapotból – ami az i-dik szemcseméret- intervallumba tartozást jelenti – ∆t idő alatt az (i-1)-dik állapotba kerül, λi ⋅ ∆t + o(∆t ) , ahol λi konstans, és o( ∆t ) / ∆t → 0 , ha ∆t → 0 , továbbá 2) az i-dik állapotból valamely (i-j)-dik állapotba – ahol j>1 – kerülés valószínűsége ∆t idő alatt o( ∆t ) . A szerzők megadták a szemcsék szétesési folyamata során a szemcsék méret szerinti eloszlását, megadták az egyes szemcseméret-osztályokba tartozó szemcsék várható értékének és szórásának kiszámítási képleteit, amelyekkel az őrlési folyamat bármelyik pillanatában megkapjuk ezeket az értékeket. Végül Fan és Srivastava megadták az egyes osztályokba tartozó anyagmennyiségek kiszámítási képletét is. A modell alkalmazása egyszerűnek látszik, viszonylag kevés paramétert kell mérésekkel becsülni. A szerzők azonban nem indokolták publikációjukban, miért helytállóak a fenti feltevéseik, melyeket a levezetések során kihasználtak. A kutatók csupán a λi -k kiszámítására mutattak példát abban az esetben, amikor a szemcseméret-osztályok száma 5 volt. A szakaszos őrlést véletlentől függő folyamatként vizsgálta Verdes Sándor (Verdes, 1984). Az őrlés különböző időpontjaihoz tartozó őrlemény-eloszlások momentumainak időbeli változását írta le. A szerző célja az volt, hogy modelljével több őrleményjellemző változása legyen egyidejűleg nyomon követhető. Verdes a modelljében szereplő paramétereket kísérleti mérés-sorozatokkal határozta meg, majd modellje igazolására laboratóriumi golyósmalmi őrlési kísérletekkel végzett ellenőrzéseket. A tapasztalati úton nyert és a modell alkalmazásával számított eredmények nagymértékben egyeztek. Nakajima és Tanaka kísérleteket végeztek a szelekciós függvény és az eloszlásfüggvény szorzatának közelítésére. Majd ezt követően a szakaszos őrlés egyenletének az őrlemény szemcseméret szerinti maradék-eloszlásfüggvényével, R(x,t)-vel felírt alakjából kiindulva Laplace-traszformáció alkalmazásával analitikus megoldást adtak meg a szerzők (Nakajima & Tanaka, 1973). (A törés előtti szemcseméretet L, a törés utánit x, az időt t jelöli.) A függvények szorzatára az alábbi képletet használták: β
⎛x⎞ k ⋅ x ⋅ ⎜ ⎟ , ahol k konstans, az α, β konstansok értékei az 1 közelében vannak. A ⎝L⎠ szerzők őrlési kísérleteket végeztek modelljük igazolására. Az α, β értékeire vonatkozó előírások erősen leszűkítik a modell alkalmazási területét. Később, Nakajimához és Tanakához hasonlóan 1992-ben Gurevich, Kremer és Fidlin az őrlési egyenletet az őrlemény szemcseméret szerinti maradék-eloszlásfüggvényével írták fel és feltételezték, hogy a szemcsék szétesésekor a törmelék eloszlása a Goden-Schulmann-Andreev egyenlettel írható le (Gurevich et al., 1992). Nakajima és Tanaka módszeréhez hasonlóan a szerzők az analitikus megoldást Laplacetraszformáció alkalmazásával kapták. Végül a kutatók összehasonlították a számított és a tapasztalati eredményeket, s megállapították, hogy ezek nagyon közel állnak egymáshoz. Bár Gurevich és kutatótársai munkája – a Goden-Schulmann-Andreev egyenα
12 letet kivéve – nem sokban tér el Nakajima és Tanaka munkájától, megerősíti Nakajima és Tanaka módszere és a Laplace-transzformáció alkalmazhatóságát az őrlés kutatására. Gupta és Kapur 1975-ben közölt fenti cikkében szereplő törési eloszlásfüggvénnyel azonos, a szelekciós függvénnyel k=1 esetén megegyező függvényeket tekintve László Zoltán olyan szakaszos őrlésre vonatkozó modelleket ismertetett publikációjában, amelyek megoldása zárt, vagy egy jól számolható végtelen függvénysor alakjában felírható (László, 1993). László kitért a szelekciós és a törési eloszlásfüggvény paraméterei különböző megválasztásával előálló megoldásokra, és azt is vizsgálta, hogy különböző kezdőfeltételek esetén hogyan állítható elő a megoldás. A szerző az egzisztencia kérdésének vizsgálatával cikkében nem foglalkozott. E helyett elfogadta azt az alkalmazói szemléletet, amely szerint a természet folyamatait jól leíró matematikai modell megoldható, hiszen a valóságban megjelenik a megoldás. Mihálykó Csaba dolgozatában a szakaszos őrlésnek a sűrűségfüggvényre vonatkozó integro-differenciálegyenletének megoldásával foglalkozott (Mihálykó, 1995a). Az alapegyenletnek a szerző által közölt formája az alábbi:
∂m( x, t ) = − S ( x ) m( x, t ) + ∂t
xmax
∫ S ( L)b( x, L)m( L, t )dL , x
ahol x max a legnagyobb szemcseméretet jelöli, b(x,L) a törési sűrűségfüggvény, m(x,t) a malomban tartózkodó anyag méret szerinti tömeg sűrűségfüggvénye az x méretnél a t időpillanatban. A szerző igazolta, hogy bizonyos feltételek mellett létezik a fenti integro-differenciálegyenletnek megoldása és a megoldás egyértelmű. Mihálykó megadta a megoldás sor alakját és a simaságra vonatkozóan néhány tulajdonságát, s azt is megmutatta, hogy a fizikai háttérből származó néhány természetes elvárásnak is eleget tesz a megoldás. Azaz, a megoldás valóban sűrűségfüggvény, és megfelel annak a kívánalomnak, hogy rögzített x ∈]x min , x max ] esetén lim m( x, t ) = 0 teljesüljön, ami azt fejezi ki, hogy t →∞
leőrlődik az anyag, ahol xmin azt a méretet jelöli, amelynél kisebbé a szemcse nem törhet. A szerző vizsgálta a megoldás aszimptotikus viselkedését és néhány esetben analitikus megoldást is megadott. Az egyenletet numerikusan is megoldotta a szerző, explicit és implicit módszerek alkalmazásával egyaránt. Megvizsgálta a kutató az alkalmazott numerikus módszerek stabilitását, konvergenciáját, valamint azt, hogy milyen feltételek mellett őrzik meg a kapott közelítő megoldások a folytonos modell kvalitatív tulajdonságait. Végül a kutató összehasonlította az analitikus megoldásokat a numerikus módszerek alkalmazásával kapott közelítő megoldásokkal. Ezek nagymértékű egyezését tapasztalta a szerző. Mihálykó egy másik munkájában (Mihálykó, 1995b) bizonyos feltételek teljesülése esetén az alapegyenlet megoldását vizsgálta a korlátos és szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, továbbá a kétszer folytonosan differenciálható függvények körében. A speciális kvadratúra formulák alkalmazásával konstruált diszkrét közelítések kielégítik a nemnegativitást és a diszkrét megmaradási törvényt, az egzakt megoldás másodrendű közelítését adják. Később Stoyan, Mihálykó és Ulbert a szakaszos őrlés integro-differenciálegyenletének megoldását Szoboljev–terekben vizsgálták (Stoyan et al., 1998). Mivel az általános megoldás nem adható meg, a szerzők közelítő megoldást konstruáltak a Galerkin-féle végeselem módszer alkalmazásával. A szerzők foglalkoztak a stabilitás, konvergencia, anyagmegmaradás, nemnegativitás kérdésével. Elegendően sima függvé-
13 nyekre a numerikus megoldások az egzakt megoldások magas rendű közelítéseit adják. Ezután a numerikus és az elméleti megoldás összehasonlítását végezték el a kutatók a szelekciós és a törési eloszlásfüggvény néhány esetében. Csekély eltérések mutatkoztak az elméleti és a numerikus úton kapott eredmények között. A szakaszos őrlés alapegyenlete megoldására egy numerikus eljárást, a harmadrendű splineok alkalmazásának módszerét ismertették Everson és kollégái (Everson et al., 1997). Ugyanez a megközelítés alkalmazható a hasonlósági egyenlet megoldására is abban az esetben, amikor a törési eloszlásfüggvény sokkal bonyolultabb formájú annál, hogy az analitikus megoldás ismert legyen. A hasonlósági egyenletek esetén a spline együtthatók egy sajátérték probléma megoldásával kaphatók meg. A szerzők a közölt módszerükkel kapott numerikus megoldást összehasonlították egyrészt az analitikus megoldással néhány speciális esetben, másrészt a mészkő és aranyérc őrlése során nyert tapasztalati eredményeikkel. A spline módszer alkalmazásával számított eredmények nagyon jól megközelítették a tapasztalati eredményeket. Austin megmutatta, hogy tipikus esetekben a szakaszos őrlés integro-differenciálegyenletének megoldása csaknem teljesen megegyezik a szakaszos őrlés méret szerint diszkrét és idő szerint folytonos – Reid által megadott (Reid, 1965) – modelljének megoldásával (Austin, 1999). A szerző a szelekciós függvényt S ( x) = k ⋅ x α , míg a γ
β
⎛x⎞ ⎛x⎞ törési eloszlásfüggvényt B ( x, L) = Φ ⋅ ⎜ ⎟ + (1 − Φ ) ⋅ ⎜ ⎟ alakban vette fel, ahol k, α, ⎝L⎠ ⎝L⎠ β, γ, Φ konstansok, x és L jelöli a szemcseméretet. A méretcsökkentésnek, az őrlésnek a populációs mérlegegyenlettel, különösen az őrlési alapegyenlettel történő leírása széleskörűen elterjedt, s napjainkban is sokan alkalmazzák ezt a leírásmódot – állapították meg az utóbbi idők idevonatkozó publikációi felsorolásával Kostoglou és Karabelas (Kostoglou & Karabelas, 2002). Az őrlési alapegyenlet megoldása azonban egyáltalán nem triviális, ezért igen sokféle megoldási módszert javasoltak. A numerikus megoldások közül a szerzők kiemelték a diszkretizáció módszerét, mint a legfontosabb módszert. A szerzők további módszerek említése után rátértek annak vizsgálatára, hogy a gamma eloszlás mennyire jól írja le az őrlemény eloszlását. Kostoglou és Karabelas a korábbiak során már többek által használt momentumok módszerét alkalmazták. A szerzők összehasonlították az analitikus és a közelítő megoldásokat azokban a speciális esetekben, amikor az egzakt megoldás is megadható. Jelölje τ az időt, x a szemcse tömegét, f ' ( x' ,τ ) a szemcseszám szerinti sűrűségfüggvényt, p ' ( x ' , y ' ) az y ' tömegű szemcsék törésekor keletkező x' tömegű szemcsék ∞
∞
0
0
valószínűségeloszlását. Legyen f 0' ( x' ) = f ' ( x' ,0) , M = ∫ xf 0 ' ( x)dx , N 0 = ∫ f 0 ' ( x)dx , M . A p( x, y ) = p' ( x' , y ' ) / x 0 képlettel definiált függvényt törési magnak x0 = N0 nevezzük. A szerzők bemutattak olyan törési mag választást, amikor az analitikus és a közelítő megoldás kevéssé tért el egymástól. Így a szerzők az őrlemény eloszlásának egy kevésbé elterjedt megállapítási módjára hívták fel a figyelmet.
A matematikai leírásokban fontos szerepe van a szelekciós és a törési eloszlás- vagy törési sűrűségfüggvénynek. E függvények meghatározásával számos publikáció foglalkozik, közülük csak a legfontosabbakat ismertetjük. Az egyes méretosztályokba tartozó szemcsék törését számos kutató vizsgálta nyomjelző anyagok használatával (Gaudin et al., 1951, Moore, 1964, Kelsall, 1964).
14 Kelsall golyósmalmi őrlési kísérletei során nyomjelzőként kvarcot alkalmazva megállapította, hogy a törési eloszlásfüggvény az alábbi alakú (Kelsall, 1964): n
⎛x⎞ B ( x, L) = ⎜ ⎟ , ahol 0,90 ≤ n ≤ 0,95 . ⎝L⎠ Berthiaux és kutatótársai 1996-ben bemutattak egy módszert e függvények közelítő kiszámítására (Berthiaux et al., 1996a). A szerzők Reid – (Reid, 1965) – mátrix alakban felírt „gyakorlati egyenlet”-éből kiindulva az i-dik szemcseméret osztályba tartozó szemcsék törési hányadát k i helyett S i -vel jelölve, az alábbi mátrixegyenletet tekintették: d W (t ) = ( B − I ) ⋅ S ⋅ W (t ) = A ⋅ W (t ) , dt ahol W(t) oszlopvektor, melynek i-dik komponense wi (t ) az i-dik szemcseméretosztályba tartozó szemcsék tömeghányada a t-dik időpillanatban. Az egyenletben szereplő B mátrix alulról trianguláris mátrix, ahol B(i,j)= bi , j egy rövid ideig tartó őrlés
alatt a j-dik frakcióból az i-dik frakcióba törő szemcsék tömeghányadát adja meg. Az S diagonális mátrix, melyet a kutatók elneveztek szelekciós mátrixnak, mert a fődiagonálisában a szemcseméret-osztályokra vonatkozó törési hányadok állnak, azaz S(i,i)=Si. Az A mátrix időtől való függetlenségét feltételezve a szerzők egy egyenletrendszert kaptak wi (t ) -re (i=1,…,n), amelyből Ri (t ) -re vonatkozó egyenletrendszerre tértek át, ahol Ri (t ) az 1-től i-ig terjedő méret-intervallumokba tartozó szemcsék maradék-eloszlásfüggvénye. (A legnagyobb szemcsékre i=1.) A szerzők a B mátrix, a törési mátrix elemeit a szelekciós mátrix elemeivel fejezték ki. Ehhez a Kapurféle approximációs formula (Kapur, 1970) Berthiaux-féle általánosított alakját használták. Így a megoldáshoz elegendő a szelekciós mátrix (vagy a szelekciós függvény) ismerete. Az őrlés kezdeti időszakára – 15 perc vagy annál kevesebb – korlátozva a vizsgálódást, a szerzők megmutatták, hogy az S (és a B) mátrix a szakaszos őrlési tesztekből meghatározhatók (anélkül, hogy bármilyen feltevéssel élnénk a szelekciós és a törési sűrűségfüggvény matematikai alakjára vonatkozóan). Ez a módszer kiterjeszthető rövid tartózkodási idejű folyamatos őrlésre is – írják a szerzők. Szerintük a módszer azonban nem alkalmazható hosszabb tartózkodási idő esetén és akkor sem, amikor az őrlésnél különféle hatásokat kell figyelembe venni, például a belső osztályozást vagy a pép áramlása során bekövetkező változásokat. A kutatók laboratóriumi őrlési kísérletekkel illusztrálták e közelítő kiszámítási mód gyakorlati alkalmazhatóságát. Az ismertetett matematikai levezetésből kiderül, hogy Berthiaux és munkatársai azzal a feltevéssel éltek, hogy a szemcse törés hatására másik méret-intervallumba kerül. Ehhez azonban, figyelembe véve mindazokat a töréseket is, amikor a szemcséről kicsiny részek „pattannak le”, a szemcseméret-intervallumok számát rendkívül nagyra kellene választani, a szelekciós mátrix meghatározása pedig nagyon nagy pontosságú méréseket igényelne. E tényeket a szerzők nem említették. Bizonyára ez is az egyik oka lehet – a kutatók által megadott alkalmazhatósági korlátokon kívül –, hogy a törési mátrixnak a szelekciós mátrix elemeiből történő kiszámítása nem terjedt el, e módszer használata Berthiaux kutatócsoportjához kapcsolódik. Később, 1999-ben Berthiaux és Dodds egy újabb cikkben ismételten felhívták a gyakorlati szakemberek, mérnökök figyelmét a Kapur-féle – (Kapur, 1970) – approximációs formula használatára az őrlemény maradék eloszlása meghatározására (Berthiaux & Dodds, 1999).
15 A szelekciós és a törési mátrixnak szakaszos őrlési tesztekből történő meghatározásának egy újabb módját publikálta Berthiaux és Dodds (Berthiaux & Dodds, 1997). E mátrixok meghatározása a hagyományos – (radioaktív) nyomkövetés – módszerrel nehézkessé válik, ha a szemcseméret 50 µm-nél kisebb, 10 µm alatt még nehézkesebb. A szerzők a szemcseméret meghatározást numerikus optimalizációs eljárással párosították, a sorozatos differenciálás módszerét (SDM-t) alkalmazták. Az új módszer legnagyobb hibaforrása az, hogy a deriváltakat egymást követően kell venni. Ez a fajta hiba különösen jelentős lehet, amikor valódi kísérleti eredményekkel dolgozunk. Ez esetben a szemcseméret analízis során kapott eredményekre el kell végezni először egy simítást az SMD alkalmazása előtt – javasolják a szerzők.
1.2. A folyamatos őrlés vizsgálata Az előző fejezetben láttuk, Broadbent és Calcott 1956-ban publikálták a folyamatos és a folyamatos recirkulációs őrlésre vonatkozó első modelleket (Broadbent & Calcott, 1956). Ezeket az idő és szemcseméret szerint diszkrét modelleket mátrix formában adták meg. A malomból kilépő anyag eloszlásának a kiszámítását a modellek a malomba belépő anyag eloszlásának a törési mátrixszal történő transzformálásával végzik. A kísérleti úton meghatározott törési mátrixot az őrlési folyamat során állandónak tekintették a szerzők. A kutatók csak a stacionárius állapotban vizsgálták a folyamatos őrlést. Jóval később, 1974-ben publikálta Whiten a folyamatos őrlés leírására az azóta „Whiten-féle teljesen kevert modell” néven elterjedt, napjainkban is hivatkozott modelljét. A kutató az alábbi szemcseméret szerint diszkrét, idő szerint folytonos modellt adta meg (Whiten, 1974):
dwi (t ) i −1 = ∑ bi , j k j w j (t ) −k i wi (t ) + f i (t ) − d i ⋅ wi (t ) dt j =1
(i=1,…,n),
ahol wi (t ) , bi , j , k i ugyanazokat a mennyiségeket jelölik, mint Reid „gyakorlati egyenlet”-ében, f i jelöli az egy időegység alatt betáplált anyagmennyiségben az i-dik szemcseméret-osztályba tartozó szemcsék tömegének arányát, d i ⋅ wi megadja az egy időegység alatt az i-dik szemcseméret-osztályból távozó szemcsék tömegének arányát. Whiten modellje nagyon hasonlít Reidéhez, a szerző Reid egyenletének a jobb oldalát kibővítette a betáplálást és a termékelvételt leíró tagokkal. A szerző a modell analitikus megoldását is megadta bizonyos feltételek teljesülése esetén. Bár Whiten modellje mindössze egyetlen szekcióból állónak tekinti a malmot, e modellt használván mások is megállapították, hogy a modellel számított és a tapasztalati eredmények nagyon közel állnak egymáshoz (Morrell & Man, 1997, Galán et al., 2002). A kalapácsos, az autogén, a félautogén malmok, valamint a légelszívásos malmok között fordulnak elő olyan készülékek, amelyekben történő őrlés leírására teljesen kevert modellt használnak (Austin et al., 1979, Morrell & Man, 1997, Galán et al., 2002). Mika 1976-ban Broadbenthez és Calcotthoz hasonlóan ugyancsak a stacionárius állapotban vizsgálta a nyílt folyamatos őrlést, a recirkuláció nélküli folyamatot (Mika, 1976). A stacionárius állapot leírására a szerző a szemcséknek a malomhosszúság szerinti helye szerint folytonos, szemcseméret szerint diszkrét modellt adott meg. A
16 modell figyelembe veszi mind az axiális konvekciót, mind az axiális diszperziót, valamint ezek szemcsemérettől való függését. A szerző feltevése szerint mind a konvektív áramlási sebesség, mind az axiális diszperziós tényező értéke arányos a szemcsemérettel. Mika modellje egy mérlegegyenlet-rendszer, annyi egyenletet tartalmaz, ahány szemcseméret szerinti intervallumot különböztetünk meg. A szerző megadta az ún. „axiális diszperziós modell” szemcseméret szerint diszkrét formáját, amelyre sokan hivatkoztak/hivatkoznak, s amelyet napjainkban is használnak, s „Mika-féle modell” néven említik. A szerző az alábbi kikötések mellett adja meg a megoldást: sem a konvektív áramlási sebesség, sem az axiális diszperzió, sem a szelekciós függvény nem függ sem a malombeli pozíciótól, sem a malombeli környezettől. Az egyszerűsítő feltételek mellett új változók bevezetésével a modell átalakítható elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszerré, amelynek a megoldását ismertette a szerző. A cikkében a szerző egyáltalán nem tért ki a tranziens állapot vizsgálatára. Mika az elméleti eredményeit sem tapasztalati, sem numerikus kísérleti eredményekkel nem hasonlította össze. Austin és kutatócsoportja 1983-ban (Austin et al., 1983) az axiális diszperziós modell – (Mika, 1976) – igazolására úgynevezett átfolyós üzemmódú (folyamatos működésű) golyósmalmokkal végzett vizes őrlési kísérleteket az alábbi feltevésekkel: a malomtöltet szintje nem sokat változik a beadagolástól az elvételig, és a golyók keverőcsúsztató tevékenysége gyors keveredést idéz elő sugár irányban a malomban. A tapasztalatok azt mutatták, hogy az őrlés lefolyásának követésére szolgáló jelzőelem koncentrációjának az időbeli változása a malom három pontján közelítőleg megegyezik azzal, amit az axiális diszperziós modell jósol az axiális diszperziós tényező – D – konstans értékénél. A szerzők ismertették a modell következményeit a malombeli környezet változására nézve. Megállapították, hogy az axiális diszperziós tényező értéke nem változik a malom mentén a fenti feltételek mellett. Fontos tényként kiemelték a szerzők, hogy a víz határozottan kisebb tartózkodási ideje miatt az iszap sűrűsége nagyobb a malomban, mint a beáramló vagy kiáramló folyamban, amely kihat a malombeli viszkozitásra. Végül a szerzők kitértek arra az esetre, amikor különböző méretű szemcséket táplálnak a malomba. Ekkor ugyanis – amint a szerzők maguk is tapasztalták –, a nagyobb szemcsék malombeli tartózkodási ideje nagyobb, mint a kisebbeké. Ez a jelenség csökkenthető a malom átmérője növelésével, amit a szerzők szintén észleltek. A kutatók olyan kísérleti körülmények között végezték a megfigyeléseiket, ahol a szemcsék malombeli tartózkodási ideje azonosnak tekinthető volt. (Az átmérő növelésére vonatkozó javaslat Rogovintól származik (Rogovin, 1983).) A szerzők megállapították, hogy a fenti kísérleteik során az axiális diszperziós tényező értéke a szemcseméretbeli különbségekre nézve érzéketlen volt. A szerzők eredményei azért fontosak, mert ők is igazolták az axiális diszperziós modell létjogosultságát, továbbá azért is, mert ezzel indokolható, hogy az axiális diszperziós tényező – D – értéke konstansnak válaszható, ha a malom átmérője elég nagy. A kutatók, bár elsődlegesen az axiális diszperziót vizsgálták, arra is utaltak, hogy a konvektív áramlási sebesség – u – értéke szemcsemérettől függetlennek választható elég nagy átmérőjű malom esetén. E kísérletükkel Austin és munkatársai egyúttal azt is bizonyították, hogy vannak olyan őrlések, amelyek során a konvektív áramlási sebesség szemcsemérettől független konstansnak tekinthető. A szerzőknek ez a megállapítása természetesen nem zárja ki azt, hogy ne lennének olyan őrlések, amikor méretfüggő a szemcsék áramlási sebessége, mint ahogyan azt Mika (Mika, 1976) és mások feltételezték (Keviczky et al., 1984), illetve tapasztalták (Lira & Kavetsky, 1990, Berthiaux et al, 1996b). Keviczky László, Hilger Miklós, Kolostori János a szakirodalomban megjelent mátrixos modellek alapján – Broadbent és Calcott modelljéhez (Broadbent & Calcott,
17 1956) nagyon hasonlító –, szakaszos őrlésre és nyílt folyamatos őrlésre vonatkozó modelleket adtak meg (Keviczky et al., 1984). Ezt követően a kutatók levezették a nyílt folyamatos őrlés egy szabályozástechnikai modelljét, amelyben az axiális diszperziót figyelmen kívül hagyták. Véleményük szerint ez a közelítés elfogadható, mert egyrészt nem okoz nagy hibát, másrészt az axiális diszperzió becslése nehéz. A szerzők feltételezték, hogy a különböző frakcióbeli szemcsék más-más sebességgel haladnak a malomban, a legkisebb szemcsék a leggyorsabbak. Modelljük jóságát számításokkal igazolták a szerzők, és azt állapították meg, hogy az elméleti vizsgálatokból származó eredményeik jól megegyeznek Broadbent és Calcott – 1956-ban publikált – tapasztalati eredményeivel (Broadbent & Calcott, 1956). Ezt követően bemutatták a kutatók legnagyobb eredményüket; a nyílt folyamatos őrlésre vonatkozó modelljük kiegészítésével felírták a zárt folyamatos őrlés egy szabályozástechnikai modelljét, amely számításba veszi azt, hogy az őrlési folyamat alatt az anyag őrölhetősége megváltozik/megváltozhat. Az őrölhetőség-változásokat figyelembe vevő modellek alkotása irányába tett első lépésnek tekintették munkájukat a szerzők, akik ez utóbbi modelljükre vonatkozóan számítási eredményeket nem közöltek, nem utaltak arra sem, hogy elkészítették volna modelljükből a számítógépes szimuláció alapjául vehető modellt. Az üzemi folyamatszabályozás megvalósításához azonban szorosan hozzátartozik a számítógépi programok alapjául szolgáló modellek és számítógépes szimuláció kifejlesztése, ezért az ilyen irányú továbbfejlesztések után válik az őrlési gyakorlatban elterjeszthetővé a kutatók modellje. Egy nagyon speciális zárt folyamatos őrlést tekintettek Austin és kollégái 1988-ban (Austin et al., 1988). Az őrlőrendszerben egy nagyobb és két kisebb egymáshoz csatlakozó – a szerzők által „reaktor”-oknak nevezett –, készülék alkotta együttesen a malmot. Az utolsó reaktorból az őrlemény az osztályozóba került, ahonnan a nagy szemcséket az első reaktorba térítették vissza elhanyagolható késleltetési idővel. A szerzők célja egy számítógépes szimuláció alapjául szolgáló modell megadása volt. A kutatók egy idő szerint folytonos, szemcseméret szerint és tartózkodási hely szerint diszkrét modellt alkottak, amelyben mind a három készüléket külön-külön a teljesen kevert modellel modellezték. Szimuláció útján vizsgálták az őrlődő anyag haladási sebességének, a betáplált anyag keménységének, a betáplált anyag tömeg szerinti szemcseméret eloszlásának kihatását a késztermékre. A kutatók laboratóriumi kísérleti őrlőrendszerre készült modellje lényeges egyszerűsítéseket tartalmaz a reaktorokban lejátszódó folyamat leírása vonatkozásában, valamint a késleltetési idő tekintetében. A szerzők a szimulációs és a számítási eredményeiket grafikonokkal szemléltették, amelyeken az eredmények közötti csekély eltérések figyelhetők meg. Cikkükkel Austin és munkatársai felhívták a kutatók és a szakemberek figyelmét a folyamatos recirkulációs őrlés szimuláció útján történő vizsgálatára. Berthiaux, Heitzmann és Dodds a folyamatos őrlés tanulmányozása során a szakaszos őrlésre vonatkozó eredményekre támaszkodva írták fel az őrlemény eloszlását (Berthiaux et al., 1996b). Berthiaux és kollégái képzeletben a folyamatos őrléskor a malmon áthaladó szemcséket a malombeli tartózkodási idejük szerint (véges számú) csoportokba osztották. Mindegyik – tartózkodási idő szerinti – csoporthoz tartozik egy szemcseméret szerinti eloszlásfüggvény, amely a szóban forgó csoportba tartozó szemcsék eloszlását jellemzi a malom kijáratánál. (A szerzők feltételezték, hogy a tartózkodási idő eloszlása független bármelyik csoporthoz tartozó szemcseméret szerinti eloszlástól.) A kutatók megadtak egy képletet az őrlemény maradékeloszlásának a szemcsék tartózkodási idő eloszlásából és a csoportokhoz tartozó szemcseméret szerinti eloszlásokból történő kiszámítására. A szerzők szerint ez a számítási mód jól alkalmazható az őrlési gyakorlatban, ha a maradékeloszlás képletében a rögzített tartóz-
18 kodási időkhöz tartozó szemcseméret szerinti eloszlásokat szakaszos őrlési tesztekből állapítják meg. A kutatók az általuk javasolt utat választva a maradékeloszlás számítására megadott képletükkel kiszámították az őrlemény maradékeloszlását, amit azután összehasonlítottak a folyamatos őrlési kísérleti eredményeikkel. A kísérleteket laboratóriumi forgótárcsás őrlőkészülékkel, „dyno-malom”-mal végezték, amelynek sematikus ábráját és műszaki adatait is ismertették. A számított és a kísérleti értékek között jelentéktelen eltérések mutatkoztak. Az őrlemény eloszlásának a tartózkodási idő eloszlás alapján történő kiszámítása elméletileg egyszerű, sokan alkalmazták. A módszer használatához a szakaszos őrlés eloszlásait kell meghatározni. Az alkalmazást az nehezíti, hogy nagy pontosságú, nem könnyen végrehajtható méréseket igényel. Mihálykó Csaba, Blickle Tibor és Lakatos G. Béla közös munkájukban (Mihálykó et al., 1998) javasolták a folyamatos üzemmódú golyósmalmok számítógépes szimuláció útján történő tervezését és vizsgálatát. A folyamatos őrlés folytonos alapegyenletéből kiindulva – kiegészítve a kezdeti és peremfeltételekkel – véges differencia módszerek alkalmazásával származtatták a számítógépes szimuláció alapjául szolgáló diszkrét matematikai modelljüket a szerzők. Ez a modell tartalmazza az őrlendő anyag és az őrlőkészülék fizikai paramétereit, melyek megállapítása után a kapott modellre alapozva lehetővé válik a folyamatos őrlés számítógépes szimuláció útján való tanulmányozása. Igazolták a kutatók, hogy a kifejlesztett diszkrét modelljük is megőrzi a folytonos modellnek azt a tulajdonságát, hogy érvényes az anyagmegmaradás. A szerzők numerikus kísérletekkel szemléltették, hogyan érinti az őrlendő anyag paramétereinek és a malom paramétereinek változása az őrlemény stacionárius állapotbeli maradékeloszlását. Kostoglou és Karabelas az őrlési egyenlet megoldásairól 2002-ben publikált cikkük bevezető részében a kutatók fenti modelljét az axiális diszperziós modell tipikus példájaként tartják számon (Kostoglou & Karabelas, 2002). Berthiaux, Chiron és Dodds osztályozóval ellátott folyamatos működésű légsugaras malomra fejlesztettek ki egy modellt (Berthiaux et al., 1999). A szerzők a szemcsék maradékeloszlását írták fel megadott tartózkodási idő esetén. A modellt alkotó egyenletek bonyolultsága miatt analitikus megoldás nem adható meg – írták a szerzők –, a megoldást adó maradék-eloszlásfüggvényt numerikus integrálással kell meghatározni. Berthiaux és munkatársai a modelljüket továbbfejlesztendőnek tartják, hogy alkalmassá tegyék a malom túltelítődésének előrejelzésére, és a működési paraméterek – mint például a légnyomás, légáram, betáplálás – figyelembevételére. A laboratóriumi kísérleteik során túltelítődés előfordulásáról is beszámoltak a kutatók. A modell a felsorolt szempontoknak megfelelő továbbfejlesztés után válhat alkalmazhatóvá. Berthiaux Markov-láncok alkalmazását javasolta a szakaszos őrlés és stacionárius állapotban a nyílt folyamatos őrlés vizsgálatára (Berthiaux, 2000). Ebben a tárgyalásban a folyamatok leírása az átmenetvalószínűség mátrix segítségével történik, míg a „hagyományos” – Epstein, Reid, Austin és sokan mások (Epstein, 1948, Reid, 1965, Austin, 1971/72) – megközelítések a szelekciós és a törési függvények ismeretén alapulnak. A szerző e kétféle megközelítés közötti kapcsolatot is megmutatta. Részben ezzel igazolta a Markov-láncok alkalmasságát az ilyen őrlési folyamatok leírására, részben a Markov-láncos modellel számított eredmények és a tapasztalati eredmények közötti csekély eltéréssel. Berthiaux szerint a Markov-láncok alkalmazásának előnye, hogy a szelekciós és a törési függvények ismerete nem szükséges. A modell alkalmazását akadályozhatja, hogy a nagyméretű átmenetvalószínűség mátrix kísérletekkel történő megállapítása nehézkes lehet, s mérési hibák előfordulásával is számolni kell. Érdemes megjegyezni, hogy e mátrix tapasztalati meghatározására a szerző maga sem vállalkozott, hanem a szelekciós és a törési függvényből számította ki. Az így kiszámított mátrixot használva, a Markov-láncos modell számítási eredményei a kísérleti eredmé-
19 nyekkel nagymértékben egyeztek. A szerzőnek helyes az a megállapítása, hogy az említett őrlések Markov-láncok alkalmazásával modellezhetők, a kétféle megközelítésű modellek között kapcsolat létesíthető, a modellek ekvivalenciája igazolható. A Markovláncos modellek előnyét azonban az említett okok erősen megkérdőjelezik. A kutató nem vállalkozott arra, hogy a szelekciós és a törési függvények ismerete nélkül (tapasztalati úton) megállapított átmenetvalószínűség mátrix használatával kapott modellezési és tapasztalati eredményeket hasonlítson össze. Vitatható, hogy könnyebb-e az átmenetvalószínűség mátrix meghatározása, mint a szelekciós és a törési függvényeké. Mizonov, Berthiaux, Zhukov és Bernotat a zárt folyamatos őrlés leírására kétdimenziós Markov-láncok alkalmazását javasolták, magát az őrlést véletlen folyamatnak, az őrlő berendezésben a szemcsék mozgását véletlen jelenségnek tekintették (Mizonov et al., 2002). A szerzők malomhosszúság, szemcseméret és idő szerint diszkrét modellt alkottak. A malom hosszának diszkretizálásával keletkeztek az úgynevezett térszekciók – röviden szekciók –, a szemcseméret szerinti diszkretizálással pedig a frakciók. Legyen a szekciók száma J, a frakcióké I. A szerzők a cella fogalmát ugyanúgy használták, mint Mihálykó és kollégái (Mihálykó et al., 1998), vagyis az (i,j) cellát az i-dik frakcióba és a j-dik szekcióba tartozó szemcsék virtuális helyeként tekintették (j=1,2,…,J és i=1,2,…,I). A malom állapotát az állapotmátrixszal, az ST mátrixszal fejezték ki, ahol ST(i,j) annak a valószínűsége, hogy a szemcse az (i,j) cellát foglalja el. Feltételezték, hogy az őrlőmalomban a szemcsék száma nagy, ezért egy állapot valószínűségét a tekintett állapotban lévő szemcsék relatív mennyiségeként értelmezték (azaz, a malomban az adott hely szerinti térszekcióhoz és szemcseméret szerinti frakcióhoz tartozó szemcsék mennyisége az összes szemcsék mennyiségéhez viszonyítva). A malom állapotmátrixa oszlopainak rendre egy oszlopvektorba rendezésével kapták a malom állapotvektorát, amit S-sel jelöltek. S a tartózkodási valószínűségeket tartalmazza. A szerzők a malom állapotvektorának tetszőleges időpillanatban való megadásával kívánták leírni a folyamatos őrlést. Az őrlés során az állapotvektor változását a szemcsék egyik cellából a másikba kerülése idézi elő. A modellben az alábbi átmenetek engedélyezettek: a malom mindegyik állapotában a szemcse valamilyen valószínűséggel a saját cellájában marad, a szemcse a szekción belül másik méret szerinti frakcióba kerülhet az őrlés folytán, a szemcse helyváltoztatással – előre vagy hátra – másik szekcióba kerülhet. A szerzők a malom állapotvektora transzformációját az alábbi formulával írták le: S n +1 = P (t n ) ⋅ S n , ahol S a malom állapotvektora, P (t n ) az átmenetvalószínűség mátrix az n-dik időpillanatban, t n -ben. Az átmenetvalószínűségek nyilvánvalóan függnek a szemcsemérettől és a helytől, amikor azonban az időtől függetlenek, akkor S n = P n ⋅ S 0 , ahol S 0 a kezdeti állapotvektor. Amikor az átmenetvalószínűségek mátrixa időfüggő, akkor S n +1 = P (t n ) ⋅ S n írja le a transzformációt, ilyenkor a P (t n ) mátrixot minden átmenet után korrigálni kell az aktuális állapotnak megfelelően. A szerzők numerikus kísérleteket végeztek, s a stacionárius állapotbeli szemcseméret eloszlást szemléltették. Végül a szerzők azzal zárták cikküket, hogy az ismertetett módszer kényelmes, jól kivitelezhető modellezést tesz lehetővé. A valóságban azonban a modell alkalmazásának jelentős akadálya az átmenetvalószínűség mátrix – P – meghatározása még abban az esetben is, amikor P elemei helytől és időtől független konstansok. A szerzők javaslata a P mátrix megadott szempontoknak megfelelő felbontására – mint később elismerték – helytelennek bizonyult. Mizonov és kutatótársai modellje alkalmazásához a P mátrix elemeit vagy kísérlet útján kell megállapítani vagy egy másik modell alkalmazásával kell meghatároz-
20 ni/kiszámítani. A P mátrix tapasztalati úton történő meghatározása elvileg lehetséges, de valójában nagyon hosszadalmas, és mérési hibák előfordulására is számítani lehet. A nyílt és a zárt folyamatos őrlési folyamat közötti jellemző különbségeket vizsgálták Kobayashi és kutatótársai (Kobayashi et al., 2003) vibrációs golyósmalomban történő őrlés során. A nyílt és a zárt őrlési folyamatok összehasonlítását valódi üzemi körülmények között eddig még nem végezték el minden tekintetben – vélekedtek a szerzők, akik főként a szemcseméret szerinti eloszlásokat és az energia felhasználásokat tanulmányozták. A szerzők először különböző körülmények között vizsgálták az őrléseket, ezek alapján a malom és az osztályozó működése leírására tapasztalati egyenleteket adtak meg, amelyek a maradékeloszlásokat írják le a malom bejáratánál, a kijáratánál, továbbá az osztályozóból visszatérített durva szemcsékre és a késztermékre vonatkozóan. Ezek képezték az őrlőrendszerük számítógépes szimulációja alapjául szolgáló tapasztalat útján nyert modelljüket. A kutatók nagyszámú tapasztalati és szimulációs eredmény igen jó egyezésével igazolva látták módszerük megbízhatóságát. Kobayashi és kutatótársai az alábbi főbb következtetéseket vonták le: 1) Lehetséges a zárt őrlési folyamattal előállított termékek anyag-mérlegegyenletének és eloszlásának közelítése a szakaszos őrlési folyamat eredményeire támaszkodó szimuláció útján. 2) Amikor azonos átlagos szemcseméretű terméket készítenek a nyílt és a zárt folyamatú őrléssel, a zárt folyamatban körülbelül 5%-kal több termék keletkezik. 3) Azonos átlagos szemcseátmérőjű termékek esetén az osztályozott durva szemcsék átlagos átmérője a zárt folyamat esetén kisebb, mint a nyílt őrlés esetén. 4) Azonos mennyiségű azonos átlagos szemcseátmérőjű termék átlagosan 5%-kal kevesebb energia felhasználással állítható elő zárt őrlési folyamatban, mint a nyílt őrléssel. A szerzők a zárt őrlési folyamat alkalmazását előnyösebbnek látják az ismertetett tapasztalataik alapján. Folyamatos őrlésre vonatkozó megfigyeléseket publikáltak Varinot és munkatársai, Berthiaux és Dodds (Varinot et al., 1999). A szerzők az őrlendő anyagot egymás után négy azonos „stirred bead” típusú malmon (forgatott golyósmalmon/gyöngymalom) vezették át, így valósították meg a nedves őrléssel történő folyamatos finomőrlést. Az egyes malmokon történő áthaladás után az őrlemény maradékeloszlásait hasonlították össze, megadták az átlagos szemcseméreteket és szórásokat is. A tapasztalati eredmények jól szemléltették az átlagos szemcseméretek és szórások fokozatos csökkenését az egyes készülékeken történő áthaladás után. A kutatók észlelései összhangban álltak a várt eredményekkel. Földünk népességének növekedésével együtt jár a cement iránti igény növekedése. A cementgyártás roppant mennyiségű energiát fogyaszt, ezen energia fele fordítódik a klinker őrlésére. Így ezen a területen szükség van új technológiák és kevésbé energiaigényes rendszerek kifejlesztésére – állapították meg Pilevneli és kollégái (Pilevneli et al., 2004). A forgatott malomban (stirred mill) történő őrlés egyre népszerűbbé válik a finom- és a szuper finomőrlés terén, mivel energetikai szempontból tekintve a hatékonysága nagyobb más malmokénál az ilyen típusú őrlésekre nézve. A kutatók megemlítették, hogy a cementgyártásra a golyósmalmok használata terjedt el, s a gyártás során a klinker durva szemcsés részének nagy szemcsemérete akadálya lehetne a stirred malom alkalmazásának, azonban ez az akadály elhárítható, mivel elvégezhető a klinker előzetes szemcseméret-csökkentése. A szerzők beszámoltak a Zonguldak Karaelmas Egyetem Kutatási Alapítványa (Törökország) finanszírozásában megépített őrlőrendszerrel végzett szakaszos és folyamatos őrlési kísérleteikről, s tapasztalati eredményeik-
21 ről. Az őrlő rendszerben az újítás az, hogy a forgatott malmot a korábban megszokott vízszintes helyzet helyett függőlegesen helyezték el. A szerzők grafikonokkal szemléltették zárt őrlési folyamat során a kész cement, a „stirred” malmi és a golyósmalmi őrléssel kapott termékek sűrűségfüggvényeit. A kész cement és a „stirred” malmi termék között alig mutatkozott eltérés. A szerzők az őrlési tapasztalati eredményeiket ismertették, nem szóltak semmit munkájuk elméleti hátteréről.
1.3. Alkalmazások és az őrléshez kapcsolódó további kutatások Az ásványok előkészítése és feldolgozása terén az ausztráliai queenslandi egyetemen és ércfeldolgozó ipari nagyüzemekben folytatott kutatások eredményeit foglalta össze napjainkban is alapműként használt monográfiájában Lynch 1977-ben (Lynch, 1977). A kitermelt ásványok, ércek előkészítése, feldolgozása egyrészt rengeteg energiát igényel, ugyanakkor a helytelen előkészítés elviselhetetlen veszteséget idézne elő. A veszteség és az energiafelhasználás csökkentése, mint legfőbb célok ösztönzően hatottak az őrlés matematikai modellezése és szimulációja fejlődésére. Lynch az ércelőkészítéshez kapcsolódó nehézipari őrlésekkel foglalkozik könyvében. Az őrlőgépek és osztályozók bemutatását az addigra kifejlesztett és alkalmazott matematikai modellek ismertetése követi. A szerző a szakaszos őrlésre vonatkozóan alapvetően a Broadbent és Calcott (Broadbent & Calcott, 1956) által megadott modelleket, valamint Reid folytonos modelljét (Reid, 1965), továbbá a Horst és Freeh által publikált – Reid „gyakorlati egyenletével” megegyező – modellt (Horst & Freeh, 1970) ismertette, míg a folyamatos őrlésre vonatkozó modellek közül Whiten modelljét emelte ki (Whiten, 1974). Lynch ismertette az őrlés fontos szerepét az ércek kinyerése során, majd kitért az őrlő rendszer nedves őrlés során tapasztalható dinamikus viselkedésére. A szerző jövőbeli megoldandó feladatnak tekintette a teljes ipari őrlőüzem szimulációját. A megvalósítandó egyedi üzemi szimuláció során az egyes őrlőkészülékek szimulációja egy-egy részfeladatként jelenik meg. A teljes körű fizikai őrlési folyamatok annyira összetettek, hogy a teljes szimuláció megvalósítása, egzakt modellek megadása nehézségekbe ütközik, azonban a könyvben bemutatott kevésbé egzakt modellek is nagyon hasznosak az ipari gyakorlatban – állapította meg a szerző. Lynch szorgalmazta az üzemi folyamatirányítási rendszerek kidolgozását is. Az őrlés végtermékének összetételét ugyanis sok olyan paraméter befolyásolja, amely változhat az őrlési folyamat során. E változásokra megfelelő választ adni folyamatirányítási rendszerek alkalmazásával lehet – vélekedett a szerző. A monográfia az őrlési elmélet ipari alkalmazásait jól szemléltető esettanulmányok bemutatásával zárul. A könyv elsősorban eljárástechnológusok, üzemi szakemberek számára készült, azonban nagy hasznára szolgál az őrlési folyamatok iránt érdeklődőknek is. Lynch monográfiája megjelenésével csaknem egyidejűleg vehették kézbe a hazai kutatók Tarján Gusztáv alapművét (Tarján, 1978). Az őrlésnek az ásványelőkészítésben betöltött fontos szerepére mutatott rá könyvében Tarján Gusztáv, az ércelőkészítés világhírű professzora. Az ásványelőkészítés tág értelemben a nyersanyagnál értékesebb, jobban felhasználható termék előállítását jelenti. Az ércelőkészítés a fémtartalmuk miatt értékes ásványi nyersanyagokra alkalmazott előkészítés. Tágabb értelemben előkészítés az aprítás, az őrlés is, mert a fajlagos felület növelése értékesebb terméket eredményezhet. A kutató a szemcseeloszlási függvények, az előkészítési diagramok és függvények, a szétválasztási függvények ismertetése után részletesen bemutatta az ipari terme-
22 lésben és a laboratóriumi kísérletek során alkalmazott különböző típusú aprító- és őrlőkészülékeket, kitért az osztályozás tárgyalására is. A szerző könyve alapmű, amely megismerteti az olvasóval az ásványelőkészítés során használt készülékeket a jellemzésükre szolgáló függvényeikkel együtt. A könyv az őrléssel kapcsolatba kerülő és foglalkozó szakemberek és kutatók számára egyaránt szükséges ismereteket tartalmaz. Az őrléshez is kapcsolódó alapművek száma Pethő Szilveszter munkája nyomán gazdagodott tovább, aki főként az őrléshez társított osztályozás, szétválasztás kutatásában ért el kiemelkedő eredményeket (Pethő, 1976, 1986, 1987). Pethő az osztályozás leírására használt szétválasztási függvények témaköréből akadémiai doktori disszertációt készített (Pethő, 1976). Értekezésében egységes matematikai eljárást dolgozott ki a szétválasztás és homogenizálás leírására; az általa bevezetett mérőszámok, paraméterek, az un. „Pethő-féle mérőszámok” lehetővé teszik a szétválasztás élességének, illetve a szétválasztás és homogenizálás jóságának korrekt eljárástechnikai értékelését; a berendezések működésének jellemzésére bevezette az átviteli függvényt, pontosabban a függvény matematikai statisztikai úton történő leírását és értékelését – foglalta össze tömören Csőke Barnabás (Csőke, 2003). Pethő Szilveszternek a szétválasztás jellemzésére az akadémiai doktori munkájában kidolgozott módszerét beépítették a német DIN-szabvány szétválasztási műveletek értékeléséről szóló részébe. Az 1980-as években Pethő oktatói és kutatói munkásságát mind teljesebben az előkészítéstechnika modern kérdései töltötték ki, fő kutatási területei: az ásványi nyersanyagok mintavételezése, szétválasztási folyamatok és az aprítás matematikai jellemzése, az aprítás és az osztályozás modellezése, számítógépes folyamatirányítása. Pethő Szilveszter az aprítás és az osztályozás általános alapelveit, a különböző típusú aprító és osztályozó berendezések működési elveit, a berendezések kiválasztásának szempontjait és a méretezésüket ismertette alapműnek számító könyvében (Pethő, 1986). A kutató nagy teret szentelt a szitalapon történő szemcsemozgásoknak és a rájuk vonatkozó törvények megállapításának, amelynek nagy része – így a statisztikus rezonanciára vonatkozó mozgástörvények is – a szerző önálló kutatási munkájának eredményei. A szerző a könyvét nemcsak hallgatóknak, kutatóknak, hanem ipari szakembereknek is szánta, mivel hazánkban a szitaberendezések műszaki színvonalának növelése kívánatos lenne – jegyezte meg. Az 1987-ben megjelent könyvében Pethő Szilveszter ismertette az alkalmazásaikkal együtt mindazokat a függvényeket, amelyeket az ásványelőkészítési műveletekkel, így az őrlésekkel is kapcsolatosak (Pethő, 1987). A szerző kitért az ásványelőkészítő berendezések működésének Tromp-függvény segítségével történő értékelésére is, ezt követően rámutatott az őrlő-osztályozó rendszer előrecsatolásos folyamatirányítási rendszere kifejlesztésének fontosságára. Az üzemi őrlések során a feladásra kerülő nyersanyag minősége bizonyos időközönként megváltozik/megváltozhat. A változó minőségű nyersanyagból állandó minőségű készterméket előállítani csak a szétválasztási paraméterek megváltoztatásával lehet. Az őrléskor azt kell elérni, hogy mire a nyersanyag az osztályozó berendezésbe érkezik, az már a kitűzött célnak megfelelő szétválasztási paraméterekkel üzemeljen. A vázolt folyamatirányítási rendszer matematikai modellek megalkotásával és rájuk alapozott számítógépes szimulációval valósítható meg – vélekedett Pethő. A szerző által szorgalmazott előrecsatolásos folyamatirányítási rendszer kiépítése a termelés gazdaságosságát növeli, mert egy ilyen rendszert működtetve nincsen veszteség és egyidejűleg az előírt minőség is biztosított. A matematikai modelleknek a malmok tervezésében történő felhasználására kívánta a tervezők figyelmét felhívni Herbst és Fuerstenau (Herbst & Fuerstenau, 1980). A
23 szerzők tanulmányukban kifejtették, hogy a Bond-féle munka indexet (Bond, 1952) széles körűen használják a malmok tervezésében az energiaigény közelítő számításra. Tény, hogy vannak olyan üzemek, ahol ez a fajta számítás megfelelő – állapították meg a szerzők, azonban más üzemi őrlések során azt tapasztalták, hogy a tényleges energiafogyasztás ± 20 %-kal eltér a Bond-féle képlettel számított energiaszükséglettől (Blaskett, 1969, Smith, 1959). Az utóbbi esetekben matematikai modellek alkalmazását javasolták a szerzők az energiaigény pontosabb becslésére. A teljesen tapasztalati Bondféle modellel ellentétben az úgynevezett „lumped-parameter” modelleket a populációs mérlegegyenletekből a fizikai jelentések figyelembevételével származtatták és kimutatták róluk (Kelsall et al., 1968 és mások), hogy alkalmasak az őrlemény eloszlásának kiszámítására – állapították meg a szerzők. Herbst és Fuerstenau megmutatták, hogy ezekben a modellekben az energiaszükségletet a szemcsék törési arányát leíró függvényben lehet figyelembe venni. Azt is megállapították, hogy a törési eloszlásfüggvény a malom működési paramétereitől független. A kutatók állításukat az 1973-ban publikált saját kísérleti eredményeikkel (Herbst & Fuerstenau, 1973), valamint Malghan és Siddique eredményeivel támasztották alá (Malghan, 1976, Siddique, 1977). A malmok tervezésére a matematikai modelleket a Bond-féle képlet ígéretes alternatívájaként mutatták be a szerzők. Az őrlés leírása egy részfeladatként fordult elő annak a teljes technológiai folyamatnak az optimalizálásakor, amelyről Csőke Barnabás és kutatótársai számoltak be, akik egy kőbánya robbantási és törési technológiája együttes optimalizálását oldották meg számítógépes szimuláció segítségével (Csőke et al., 1996). A szerzők egy teljes technológiai folyamat – amely ez esetben kőzetrobbantásból, törésből, majd osztályozásból állt – optimalizálásának gyakorlati megvalósítását ismertették cikkükben. A szerzők a robbantást és a törést leíró függvények paramétereit mérésekkel állapították meg. Összesen háromféle törőgépre; pofás, körtörő, kúpos törőkre vonatkozóan végeztek kísérleteket. Az őrlemény finom és durva része szétválasztását leíró függvényt a kutatók az irodalomban ismertetett alakban keresték, amelynek ismeretlen paraméterét abból a feltételből határozták meg, hogy a számítási és a mérési eredmények közötti – négyzetes eltéréssel kifejezett különbség – a legkisebb legyen. A szerzők arra a kérdésre keresték a választ, hogy milyen robbantási feltételek és törési műveletek szükségesek azoknak a követelményeknek a gazdaságos teljesítéséhez, amelyeket az ügyfelek írnak elő a termék mennyiségére és minőségére vonatkozóan. Egy teljes technológiai folyamat szimulációjára mutattak példák a kutatók. A szemcsetörés energiaigényének megállapítására alkották meg sztochasztikus modelljüket Kapur és kutatótársai (Kapur et al., 1997). A szerzők szerint az évek folyamán az ütközés miatt bekövetkező őrlésre vonatkozóan a különböző kutatócsoportok tetemes mennyiségű kísérleti eredményre tettek szert, mégis nagyon keveset publikáltak az egyetlen szemcse ütközés hatására bekövetkező törési jelenségéről. A szerzők a modelljüket összehasonlítás céljára kívánták közreadni. Azt vizsgálták a kutatók, hogyan gyengül a szemcse törésekkel szembeni ellenálló képessége az egymást követő ütőhatások következtében. A kifejlesztett modell az őrlemény eloszlását az ütközési energia függvényeként írja le. Az analitikus megoldást abban az esetben adták meg a szerzők, amikor az Austintól származó törési eloszlásfüggvényt (Austin, 1988) az ütközési energiától függetlennek tekintették. Végül közelítést adtak az összes szemcse többszörös ütközés hatására bekövetkező törése energiaigényére is. A szerzők számítási eredményeiket Pauw és Mare tapasztalati eredményeivel hasonlították össze (Pauw & Mare, 1988), grafikonokkal szemléltették a számított és a tapasztalati értékek nagymértékű egyezését. Pusztán a szemcsetörésre fordított energiából az üzemi őrlési folyamat energiaigényét kiszámítani nem lehet – mutatott rá többek között Beke (Beke,
24 1963). A szemcsetörés energiaigénye bár csupán néhány százaléka az őrlőüzem összes energiafogyasztásának (Beke, 1963), azonban főként a nagyüzemi őrlések óriási energiaszükséglete miatt fontos e folyamatok, s ezen belül a szemcsetörés energiaigényének kutatása is. A modell analitikus megoldása matematikai szempontból érdekes, azonban az a feltétel amellyel megoldották – a törési eloszlásfüggvénynek az ütközési energiától való függetlensége – nem teljesül a valóságban. Erről egyszerűen végrehajtható kísérletekkel meggyőződhetünk. Az őrlési folyamatnak az őrlési technológia optimalizálásának megfelelően történő vezérlését mutatták be egy példán keresztül Csőke Barnabás és Rácz József (Csőke & Rácz, 1998). Azért nagyon összetett ez a feladat, mert a különböző őrlési szakaszokban különböző mechanikai hatások érvényesülnek – mutattak rá. Az őrlő-osztályozó folyamat tudatos vezérlése akkor lehetséges, ha az őrlési és a szétválasztási folyamatokat leíró matematikai modellek ismertek. A szerzők a vizsgált kalapácsos malomban történő őrlés leírására mátrixos modellt alkalmaztak, s a modellben szereplő törési és szelekciós függvényeket határozták meg mészkő őrlése során végzett kísérleteikkel. A függvények becslésének pontosságát a kutatók kísérletekkel ellenőrizték. Az őrlemény tapasztalati és számított eloszlása közötti csekély eltéréssel igazolták modelljük alkalmazhatóságát. Azt is megállapították a szerzők, hogy a termék szemcseméret szerinti eloszlása is, és a szemcsék törési valószínűsége is függ mind a betáplált őrlendő anyag méret szerinti eloszlásától, mind a kalapács kerületi sebességétől. A kutatók az üzemi termelés optimalizálásának egy újabb példáját mutatták be. A laboratóriumi célokra használt folyamatos őrlést végző malmok iránti igény már egy ideje nyilvánvaló, hiszen míg az iparban nagyon gyakori a folyamatos őrlés, ugyanakkor laboratóriumi kísérleti őrlések többsége szakaszos – állapította meg Hintikka és kutatócsoportja (Hintikka et al., 1996). Amennyiben a gyártási körülmények különböznek a tesztelési körülményektől, akkor aligha adhatnak pontos előrejelzést, kivéve a relatíve kemény anyagokat. Ezzel indokolták a szerzők, hogy belső osztályozós folyamatos és szakaszos őrlésre alkalmas laboratóriumi célú malmot építettek. Az ipari őrlések gazdaságosságának növelését ilyen módon kívánta elérni a kutatócsoport. Cikkükben hatféle különböző keménységű anyag nedves őrlése során nyert addigi tapasztalati eredményeikből levont következtetéseiket ismertették: 1) A betáplált iszap sűrűségének csökkentése – 45 súlyszázalékról 25-35 súlyszázalékra – a malomtöltet csökkenéséhez vezet. Ez a tény felhasználható az őrlési kapacitás növelésére, mégpedig úgy, hogy a tapasztalat szerint 16%-kal növelhető a betáplált anyag mennyisége a kemény anyagok esetén, míg a puhább anyagoknál 29-100%-os lehet ez a növekedés. 2) A betáplált iszap sűrűségének csökkentése az őrlemény eloszlásának kívánt irányú eltolódásához vezet, az őrlemény finomodik. A szerzők a levont következtetéseiket főként a túlőrlés elkerülésére kívánják használni. A kutatócsoport mindkét megállapítása a várakozásnak megfelelő, valamint az is, hogy minél jobban megközelítik a laboratóriumi őrlési körülmények az ipari körülményeket, annál megbízhatóbbak a belőlük levont következtetések az ipari alkalmazás számára. Az első észrevétel a malomteljesítmény gazdaságos kihasználására hívja fel a figyelmet főként a puha anyagok őrlése során. A szerzők tapasztalati úton tanulmányozták az őrléseket, elméleti eredményeket nem közöltek. Gavrilov, Vinogradov és Show shaker golyósmalomban két anyag egyidejű őrlésének tanulmányozására dolgozott ki modellt. (Gavrilov et al., 1999). Az őrlési folyamat kezdetén a malomban elhelyezték a granulált formájú anyagokat, a folyamat akkor végződött, amikor a granulátumok mérete egy megadott méret alá csökkent. A szerzők a modellezési eredményeket a tapasztalati eredményekkel összehasonlították, s ezek
25 összhangját állapították meg. Napjainkig kevés információ jelent meg különböző anyagok valamilyen módon történő egyidejű őrléséről, emiatt érdemel figyelmet Gavrilov és kutatótársai fenti munkája. King és Schneider a hordozó ércből az ásványi anyagok szétválasztására végzett őrlést tanulmányozta. A szerzők olyan szakaszos őrlési folyamatot kutattak, amelynek során többféle ásványi anyagot tartalmazó ércből nyerték ki az ásványokat (King & Schneider, 1998). Az ilyen őrlésekre a szakaszos őrlés alapegyenlete egy többdimenziós integro-differenciálegyenlet, amelynek analitikus megoldása nem ismert. Az egyenlet diszkretizált formájának a megoldása azonban megadható, ha ismert a többdimenziós szelekciós és törési eloszlásfüggvény. Ilyen esetet tekintettek a szerzők. A számított eredmények és a tapasztalati eredmények összehasonlításakor csekély eltérések mutatkoztak. Az őrlés axiális diszperziós modelljében szereplő axiális diszperziós tényező és konvektív áramlási sebesség paraméterek meghatározására ipari méretű autogén malommal végzett kísérleteikről számoltak be Nierop és Moys (Nierop & Moys, 2002). Az őrlés egyik fajtájának, a finomőrlésnek a tanulmányozása egyre növekvő méreteket ölt – állapította meg Klimpel 1996-ban (Klimpel, 1996). A megfelelő őrlési környezet megválasztása éppen olyan fontos, mint a készülék típusának és méretének kiválasztása. Az őrlési környezetbe bele tartozik például a nedvesség, a vízkeménység, a kémiai adalékok, a hőmérséklet, a szemcseméret, a szemcseforma. A finomőrlés elsődleges célja főként egyes ásványi anyagok feldolgozása során egy vagy több kívánt ásvány fizikai kinyerése a hordozó közegből. Lehet ugyanez a cél a szén esetén is. A szén finomőrlésekor azonban sokszor pusztán a méretcsökkenést kívánják elérni a további felhasználások – folyamatos beadagolás, gázképzés – céljára. Az ilyen ipari őrlőkészülékeken 10 – 1000 tonna mennyiségű anyag halad át óránként, a végtermék mérete 10 – 500 mikron. Ipari szinten egyre növekvő szerepű a finomőrlés jelentősége és tanulmányozása olyan ipari ásványok, szintetikus anyagok, gyógyszeralapanyagok őrlése során, amikor az őrlemény szemcsemérete 1 mikron – vagy kisebb – és 500 mikron közötti az alkalmazástól függően. Ilyenkor nemcsak a méretre, hanem a felületre vonatkozó specifikációkat is el kell érni. Az ipari sikerek érdekében a következő évtizedekben az elméleti és gyakorlati őrléskutatások egyik igen fontos területe lesz a finomőrlés – vélekedik Klimpel. A titániumdioxid „stirred bead” (forgatott golyós-) malomban történő szakaszos és folyamatos ultra-finomőrléséről számoltak be Bel Fadhel és munkatársai (Bel Fadhel et al., 1999). Céljuk annak megállapítása volt, hogy a forgatási sebesség, az áramlási sebesség, az őrlőgolyók mérete, a betöltött őrlőgolyók együttes térfogata miként befolyásolja az őrlemény eloszlását. A fenti működési paraméterek különböző választásainál különböző ideig tartó őrlések esetén megadták az őrlemények eloszlását. A szerzők tömör formában, a korábbi munkáikra hivatkozó elméleti eredményt is közöltek. Egy speciális kerámia fajta, a szilikon nitrid alapú kerámiák, ultra-precíziós őrlésével foglalkoztak főként technológiai szempontból Ohmori és kollégái (Ohmori et al., 1996). E kerámiák egyedi fizikai és mechanikai tulajdonságaik, valamint a nagyon magas őrlési költségeik miatt – amely a megmunkálási költségek jelentős részét teszi ki – választották ezt a kutatási területet. Az egyik szerző, Ohmori, úttörő munkát végzett egy új technológia, az ELID – electrolytic in-process dressing – kifejlesztésében. Cikkükben a technológia alkalmazásáról számoltak be a szerzők. Espig és Reinsch teljes zárt őrlési folyamat optimalizálását tűzték ki célul a mészkő és a cement klinker ipari méretű őrlése során (Espig & Reinsch, 1996), de nem ismertették részletesen, hogy mi mindent vesznek figyelembe. Főként folyamatmérnöki szempontból tekintették az optimalizálást. A malom és az osztályozó működését
26 operátorokkal írták le, melyeket korábbi cikkeikben ismertettek. A kidolgozott eljárásukat „referencia állapot módszer”-nek nevezték, melynek az a lényege, hogy az elvégzett két kísérlet közül az első kísérletből származó információ referencia állapot információnak tekinthető, míg a második kísérletet egy igazoló állapotnak kell tekinteni, amellyel a malom-hatékonysági függvény invariancia tulajdonságát ellenőrzik. A szerzők kiemelték, hogy módszerük alkalmazásával a kísérletekre fordított kiadások jelentősen csökkennek, objektívebb folyamatmérnöki kiértékelés válik lehetővé, nő az optimum feltételek elérési esélye, csökken az üzem-modernizációk döntési kockázata. A szerzők úgy ítélték meg, hogy munkájuk továbbfejleszthető az őrlő rendszerekre vonatkozó szakértői rendszerré. Morrell megállapítása (Morrell, 2004) szerint az autogén és fél-autogén – röviden ag és sag – malmokkal foglalkozó cikkekben alig vagy egyáltalán nem fordul elő olyan rész, amely a teljes őrlőkör teljesítményének előrejelzésére vonatkozna. Ezt a hiányt kívánta pótolni Morrell. A szerző szerint az ag és sag malmokban az őrlés modellezésére legalkalmasabb a tömeg-mérlegegyenletnek – (Epstein, 1947) – a Whiten által módosított formája (Whiten, 1974). A szerző a korábbi modellek számos igazolt részét beleépítette az új modelljébe. A cementipar igen sok energiát fogyaszt, amelynek jelentős része fordítódik őrlésre. Vélhetően ez is oka lehet annak, hogy az őrléskutatások tekintélyes része kapcsolódik a cementgyártáshoz. A világon a folyékony energiahordozók fogyasztásának 1,5%-a, gázfogyasztásának 2%-a cement klinker őrlésére fordítódik, miközben a cementipari folyamatok hatékonysága még a legjobb esetben sem nagyobb 70%-nál – állapította meg Benzer és kutatócsoportja (Benzer et al., 2001). A szerzők a cementipari folyamatok hatékonysága növelését tűzték ki célul, s összesen nyolc üzemben huszonhat őrlő rendszerre kiterjedő kísérleteikkel teljes üzemre vonatkozó modellt dolgoztak ki, amely magába foglalta a nagy nyomás alatt működő őrlőhengerek, a szakaszos és folyamatos működésű csőmalmok, valamint a légelszívásos osztályozók leírását. A csőmalmokat egymáshoz csatlakozó golyósmalomként a nedves golyómalmi őrlések leírására alkalmas tökéletes keveredési modellel modellezték. A szerzők e téren ráhagyatkoztak Napier-Munn és kutatótársai, valamint Zhang és kutatótársai eredményeire, akik publikációikban arról számoltak be, hogy a csőmalom sikeresen modellezhető ily módon (Napier-Munn, 1996, Zhang et al., 1988). A nagy nyomás alatt működő őrlőhengerek leírására Benzer és kutatócsoportja e készülékekre a Morrell és kutatótársai által kifejlesztett – (Morrell et al., 1997) – modellt alkalmazták, az osztályozót a kísérleti úton megállapított hatékonysági görbékkel jellemezték. A kutatócsoport először két üzem szimulációját végezte el, amely alapján megállapították az optimális működési paramétereket, s további megfigyeléseket végeztek. A szerzők arra a következtetésre jutottak, melynek adatokkal történő alátámasztását sajnos nem közölték, hogy a modell alkalmas különféle körülmények között működő más malmok teljesítményének sikeres előrejelzésére is. Végül megállapították, hogy a szimuláció nagyon értékes eszköz a tervezésre és az optimalizálásra egyaránt. A szerzők részben saját tapasztalati eredményeiket, részben más kutatók irodalomban megtalált (elméleti) eredményeit használták fel modelljük megalkotásához. A cementpor gyártása a világ elektromos energia termelésének is nagyon jelentős részét, nyeli el, s a gyártási ciklus során a legtöbb energia a cement klinker őrlésére fordítódik, amelyben jelentős szerepet játszanak az őrlési aktivátorok (Sverak et al., 2003). A szerzők laboratóriumi malomban szakaszos őrlési kísérleteket végeztek, melyekkel összehasonlították hat forgalmazott aktivátor hatását. A szerzők cikkükkel
27 arra hívták fel a szakemberek figyelmét, hogy az aktivátor helyes kiválasztásával csökkenthető az őrlés energiaigénye. A tervező gyakran nehéz helyzetbe kerül az őrlési folyamat kiválasztásakor – írták Gupta, Shishodia és Sekhon –, mert olyan kísérletekre lenne szüksége, amelyek számára nem lehetségesek (Gupta et al., 2001). Ezért ilyenkor a terület valamely szakértője kutatási eredményére támaszkodik a tervező. A kutatók egy strukturális felépítésű számítógépes szakértői rendszert dolgoztak ki, amely alkalmazásával az őrlési folyamat paramétereinek megválasztása könnyűvé válik – állapították meg a szerzők. A kidolgozott módszer bármilyen input paraméter választásra számos megoldást generál, amelyek közül azután a felhasználó kiválaszthatja azt, amelyik megfelel a kívánt végeredmény szempontjából és kielégíti az előírt korlátozásokat is. Így a felhasználó megválaszthatja az optimális őrlési körülményeket. A szerzők sem numerikus, sem kísérleti eredményeket nem közöltek, azonban hivatkozások nélkül megemlítették, hogy a szakértői rendszer használatával kapott eredmény összehasonlítható az irodalomban megtalálható példákkal. Egy gazdaságos őrlőrendszer, a „Hicom” malom és az „Inprosys” osztályozó kombinációjára hívták fel a figyelmet Braun és kutatótársai (Braun et al., 2002), akik a mészkő finomőrlése során szerzett tapasztalataikat ismertették. Vizsgálták az őrlések energia szükségletét, a betáplált anyag, az újraőrlésre visszatérített anyag és a késztermék szemcseméret szerinti eloszlásait. Megállapították, hogy a bemutatott őrlőrendszer energia felhasználása lényegesen kisebb – 31% - 70%-kal –, mint egy szokásos golyósmalmi őrlőrendszeré. A szerzők úgy vélték, hogy valószínűleg az osztályozó működési paramétereinek javításával lehetne még gazdaságosabbá tenni a „Hicom” malom és az „Inprosys” osztályozó alkotta rendszert. Mizonov és szerzőtársai (Mizonov et al., 2003) komplex őrlőrendszert tekintve vizsgálták a rendszer reagálását a betáplált anyagmennyiségek ingadozásaira. Megmutatták, hogy e fluktuációk minden határon túl növekedhetnek a betáplált mennyiség még kicsiny perturbációja esetén is, ha az osztályozó jellemzői nem elégítik ki a stabilitási feltételeket, s így az őrlőrendszer átbocsátási képességének stabilitása megszűnhet. Ezért szükséges az őrlőrendszer-paramétereknek a működési körülmények változására adott válaszát vizsgálni.
1.4. Az irodalom tanulmányozásából levont főbb következtetések, célkitűzések Az őrlés számos egymástól nagyon eltérő ipari területen alkalmazott, megvalósításában is nagyon sokféle eljárás. Az őrlési folyamatok matematikai leírására sztochasztikus és determinisztikus modelleket egyaránt alkalmaztak. Sok cikk foglalkozott konkrét laboratóriumi és üzemi őrlések bemutatásával és tapasztalati eredményeik ismertetésével. A modellek jelentős része használja mint segédfüggvényt a szelekciós függvényt, valamint a törési sűrűség- vagy törési eloszlásfüggvényt. A szelekciós függvény, S(x) azt fejezi ki, hogy egy időegység alatt az x méretű szemcsék hányad része törik el. E függvény legelterjedtebb alakja S ( x) = k ⋅ x α , ahol k és α a szelekciós függvény paraméterei, melyek értékei az irodalom alapján 10 −1 ≤ k ≤ 10 −5 , illetve 0 ≤ α ≤ 5 . A leggyakoribbak 10 −2 ≤ k ≤ 10 −4 és 0 < α ≤ 3 .
28 A törési eloszlásfüggvény, B ( x, L ) az L méretű szemcse törésekor keletkező törmelék eloszlását adja meg. A b( x, L) függvényt nevezzük törési sűrűségfüggvénynek, b( x, L)dx megadja az L méretű szemcse törésekor az (x,x+dx) szemcseméretintervallumba tartozó szemcsék hányadát. A törési eloszlásfüggvény és a törési x
∫ b(λ , L)dλ .
sűrűségfüggvény közötti kapcsolat: B ( x, L) =
xmin
A törési eloszlásfüggvény – Austintól származó – általános alakja: γ
β
⎛x⎞ ⎛x⎞ a törési eloszlásfüggvény B ( x, L) = Φ ⋅ ⎜ ⎟ + (1 − Φ ) ⋅ ⎜ ⎟ , ahol β, γ, Φ ⎝L⎠ ⎝L⎠ paraméterei, melyek értékei – az irodalom szerint – az alábbi határok között változnak: 0 < β ≤ 6 , 0 < γ ≤ 5 , 0 ≤ Φ ≤ 1 , továbbá γ valamilyen rögzített értéke esetén γ ≤ β is teljesül. Gyakori értékeik: 1 < β ≤ 5 , 0 < γ ≤ 2 , 0,30 ≤ Φ ≤ 0,70 . x A Φ = 1 és γ=1 speciális választás a B ( x, L) = , míg a γ=β választás a L β ⎛x⎞ B ( x, L) = ⎜ ⎟ alakot eredményezi. ⎝L⎠ A zárt folyamatos őrlések egyes leírásaiban segédfüggvényként szerepel a klasszifikációs függvény, ψ(x) vagy T(x). Ezzel az osztályozást írják le. Azt a méretet, amelynél az őrleményt szétválasztják „finom” és „durva” részekre, vagy más szóhasználattal „méreten aluli” és „méreten felüli” részekre, vágási méretnek nevezzük és xcut -tal jelöljük. A vágási méret a klasszifikációs függvény (egyik) paramétere. A modellek jelentős része használja a klasszifikációs függvény Molerustól származó képletét, azaz a
1
ψ ( x) = 1 − 1+
x x cut
⋅e
( − c (1−
x )) xcut
alakú függvényt, ahol c az osztályozót jellemző paraméter, melynek értéke pozitív szám. Gyakran előfordul a modellekben a Tromp-féle klasszifikációs függvény is – melyet az irodalomban általában T(x)-szel jelölnek –, azaz a ⎡ ⎛ x − x0 T ( x) = θ + (1 − θ ) ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ xcut − x 0 ⎢ ⎝ ⎣
η
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
függvény, ahol θ, η, x 0 az osztályozót jellemző paraméterek. Az őrlemény szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvényét a t időpillanatban M(x,t)-vel jelölve, az R(x,t)=1-M(x,t)-vel definiált függvényt az őrlemény szemcseméret szerinti maradék eloszlásfüggvényének nevezzük. A szerzők az őrlemény eloszlásának jellemzésére az M(x,t) és az R(x,t) függvényt egyaránt használják. A zárt folyamatos őrlésnél a matematikai leírásokban alkalmazott gyakori para~ méterek a malom hossza: Y , a konvektív áramlási sebesség: u, az axiális diszperziós
29 ~ tényező: D. Az őrlőkészülék típusától, rendeltetésétől függően Y tág határok között változik néhány centimétertől 10-14 méterig. A konvektív áramlási sebesség, u az anyagnak a malom hossza mentén történő végighaladását jellemzi, gyakori értékei az irodalom szerint az alábbi határok között vannak: 0,003 (m/s) < u ≤ 0,030 (m/s) . A malomban a szemcsék előre és hátrafelé keveredését az axiális diszperziós tényező, D fejezi ki, melynek irodalomban előforduló értékei 0 (m 2 / s ) ≤ D ≤ 0,020 (m 2 / s ) . A ~ u ⋅Y Péclet-féle szám a malom paramétereit tartalmazza, Pe = . Ez a szám a konvektív D áramlási sebesség rögzített értékénél a malomban a keveredés intenzitását jellemzi. Gyakori értékei 2 ≤ Pe ≤ 50. A modellekben használják az xmin = 0 választást, ahol xmin az a méret, amelynél kisebbre a szemcse nem törhet.
A szakaszos őrlés vizsgálatának eddigi eredményei Tanulmányozván az irodalmat megállapítottam, hogy a szakaszos őrlés analitikus és numerikus vizsgálata napjainkra csaknem teljes mértékben megtörtént, számos modell született. A szakaszos őrlés leírására széles körben elterjedt az őrlési alapegyenlet (valamelyik formájának) használata. Különböző matematikai eljárásokkal megadták az őrlési alapegyenlet analitikus megoldásait speciális esetekben. Találtam olyan irodalmat, amelyben a szerző bebizonyította, hogy az alapegyenlet egyértelműen megoldható, vizsgálta a megoldás simasági és kvalitatív tulajdonságait, aszimptotikus viselkedését. Azokban az esetekben, amikor az őrlési alapegyenlet analitikus megoldása nem ismert, numerikus módszerek alkalmazásával közelítő megoldások adhatók. Egyes numerikus módszerek alkalmazása esetén a megoldás stabilitását és konvergenciáját is vizsgálták. Fellelhető olyan irodalom, amelyben a szerző kitért arra, hogy milyen feltételek mellett őrzik meg a kapott közelítő megoldások az analitikus megoldások kvalitatív tulajdonságait. Találtam analitikus és numerikus megoldások összehasonlításával is foglalkozó cikkeket. A folyamatos őrlés vizsgálatának eddigi eredményei A nyílt folyamatos őrlések eddigi analitikus és numerikus vizsgálatát elemezve megállapítottam, hogy az ilyen folyamatok leírására elterjedt a háromváltozós integrodifferenciálegyenlet használata, amely egyenlet a szakaszos őrlés kétváltozós alapegyenletéből a helykoordináta hozzávételével, továbbá az áramlást és keveredést leíró tagokkal történő bővítéssel kapható. Egyes őrlőkészülékekben végbemenő őrlés leírható a szakaszos őrlésre vonatkozó „gyakorlati egyenlet”-nek a betáplálást és a termékelvételt leíró tagokkal történő kibővítésével. Emellett alkalmazzák az őrlemény maradékeloszlásának kiszámítását a szemcséknek az őrlőkészülékben való tartózkodási idejük és az adott ideig tartó szakaszos őrlési tesztek vagy szakaszos őrlési modellek alapján. Továbbá, olyan diszkrét modelleket származtatnak – elméleti úton vagy a folyamatos alapegyenlet diszkretizálásával, sőt megfigyelésekre alapozva is –, amelyekre építve számítógépes szimuláció útján vizsgálható az őrlés.
30 A zárt folyamatos őrlések vizsgálatáról néhány cikk szól, nagyon kevés anyagot találtam; a legkorábbi modell csak a stacionárius állapotra vonatkozott, a következő a szimuláció útján történő vizsgálatot javasolta, majd két fejlesztés alatt álló modell következett és a tisztán megfigyelésekre alapozott modellek. A nyílt és zárt folyamatos őrléseket tekintve analitikus megoldást csak a nyílt folyamatos őrlés szemcseméret szerinti diszkrét modelljeire adtak meg. Ezek közül is mindössze két modell megoldása ismert; a teljesen kevert modellé bizonyos feltételek mellett, valamint a malombeli tartózkodási helyet is figyelembevevő modellé, de az csak a stacionárius állapotra vonatkozóan, bizonyos feltételek mellett. A nyílt folyamatos őrlés alapegyenletének analitikus megoldása még a törési szelekciós függvény és a törési eloszlásfüggvény olyan speciális megválasztásai esetén sem ismert, amikor a szakaszos őrlési alapegyenlet megoldható. Az őrlemény eloszlását a tartózkodási idő eloszlás alapján számító modellalkotók nem vizsgálták elméleti úton a megbízhatóságot, megelégedtek a számított és mért értékek közötti „csekély” eltéréssel. A további modellalkotókra is elmondható, hogy mellőzték az eljárás konvergenciájának, stabilitásának vizsgálatát, s a modellekkel szemben támasztott egyéb követelmények teljesülésének igazolását. A modelljeik verifikálására a számított és a tapasztalati eredmények eltérését vizsgálták a szerzők. Megállapítottam azt, hogy a zárt folyamatos őrlés leírására szánt modellek fejlesztésük nagyon korai szakaszában vannak. Következtetések Összefoglalva: a folyamatos őrlésekre nézve az irodalom tanulmányozásából levontam azt a következtetést, hogy a kutatások az őrlési folyamat eredményének valamilyen módszerrel történő előrejelzésére irányulnak, azonban a módszer vizsgálata stabilitás, konvergencia és további szempontok – nemnegativitás, anyagmegmaradás – tekintetében néhány eset kivételével, elmaradt. Megállapítottam azt hogy a nyílt folyamatos őrlések tanulmányozása terén sok hiányosság van, a zárt folyamatos őrlések terén még több, az utóbbiak egzakt leírásával nem találkoztam. Azokban az esetekben, amikor a nyílt őrlés integro-differenciálegyenletének analitikus megoldása nem ismert, a szerzők diszkretizálással közelítő megoldás előállítását ajánlják. A kutatók javasolják a zárt folyamatos őrlés szimuláció útján történő vizsgálatát. A folyamatos őrlés – sem a nyílt, sem a zárt őrlés – matematikai leírása és elméleti vizsgálata még nem történt meg. Az őrlés leírására használt segédfüggvények – szelekciós függvény, törési eloszlásfüggvény, törési sűrűségfüggvény, klasszifikációs függvény – hatását bemutató tudományos közlemények ugyan találhatók, azonban a bennük előforduló vizsgálódások köre bővíthető, főként a zárt folyamatos őrlés esetén. Nem foglalkoztak a publikációk a tranziens állapot tanulmányozásával. Hiányoznak a késztermék statisztikai jellemzői és az őrlőkészülék működési paraméterei kapcsolatát részletesen elemző tudományos közlemények.
31 Célkitűzések Munkám során célul tűztem ki a folyamatos őrlés – a nyílt és a zárt őrlés – matematikai modelljének megalkotását, olyan modell konstruálását, amely jól használható az őrlési folyamat tanulmányozásán kívül a folyamat tervezésére is. A célok közé tartozott az is, hogy a megadott modell alapján kifejlesztett számítógépes szimulációval az őrlemény jellemzői megadhatók legyenek az őrlés folyamán és a stacionárius állapotban, a malom terhelése, telítettsége nyomon követhető legyen. Megoldandó feladatnak tekintettem az üzemzavarok előrejelzését és javaslatok tételét ezek elkerülésére a szimuláció segítségével. A zárt folyamatos őrlésnél ugyanis bekövetkezhet a malom túltelítődése, mint súlyos üzemzavar, amelyet a malom és az osztályozó működésének helyes megválasztásával el kell kerülni. A tranziens állapotban a malomban hirtelen anyagnövekedés történhet, ami szintén üzemzavart, a malom „megszorulását” idézheti elő. További feladatként tűztem ki az őrlési folyamat során a segédfüggvények, a kinetikai és a működési paraméterek hatása összefoglaló, részletes elemzésének elkészítését az őrlemény, illetve a késztermék legfontosabb statisztikai jellemzőire nézve. A célok közé soroltam, hogy a modell hasznosítható legyen az őrlőkészülék tervezésében is, a késztermékre vonatkozó követelmények teljesítéséhez szükséges műszaki paraméterek optimális értékeinek megállapításában is. Végül, de nem utolsó sorban, a modell és a rá épített szimuláció környezetgazdálkodási szempontokból is megfelelő legyen.
1.5. Az alkalmazott kutatási módszerek bemutatása A kutatás a hazai és a külföldi szakirodalom tanulmányozásából, az értekezés elméleti megalapozásából, az értekezés tárgyát képező numerikus vizsgálat elvégzéséből, az eredmények értékeléséből, valamint következtetések levonásából állt. Alapvetően az 1941-től 2003-ig terjedő időszakban született őrléssel kapcsolatos tudományos közleményeket tanulmányoztam; az őrlésekhez, az őrlőkészülékekhez, az osztályozáshoz kapcsolódó alapműveket és egyéb publikációkat, azonban elsősorban az őrlések matematikai leírásával foglalkozó szakirodalmat kerestem és ismertem meg. Az új eredményeket tartalmazó, az őrléskutatás fejlődésére legnagyobb hatású, (későbbi szerzők hivatkozásaiban is gyakran előforduló) munkákat részletesen elemeztem. A bennük szereplő fontosabb gondolatokat az első fejezetben bemutattam. A szakirodalom tanulmányozása során képet kaptam az őrlés leírására alkalmazott sokféle matematikai eljárásról, technikáról. Az is kiderült, hogy míg a matematikai szempontból egyszerűbben kezelhető szakaszos őrlés matematikai leírása napjainkra csaknem teljes mértékben megtörtént, addig a folyamatos őrlések leírása terén nagyon sok még a hiányosság. Míg a szakaszos őrlés számítógépes szimulációjához számos úton megkaphatók a diszkrét modellek, addig a folyamatos őrlés diszkrét modelljei származtatásának mindössze néhány módjára bukkantam. A matematikai leírások nem elsősorban a szépségük vagy az elegáns bizonyítások bemutatása kedvéért születtek, hanem többnyire valamilyen termelési feladathoz kapcsolódóan; az energiapazarlás és a túlőrlés elkerülése érdekében. A matematikai modellezés eszközeit használtam a folytonos modell megalkotására. A zárt folyamatos őrlés folytonos modellje felírására a populációs mérlegegyenletek elméletét alkalmaztam. Az értekezés elméleti alapját a zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje képezi, amelynek analitikus megoldása nem ismert. A modell a folyamatos őrlés folytonos alapegyenletéből – ez egy másodrendű parciális integro-differenciálegyenlet –
32 a kezdeti és a peremfeltételekből, az osztályozás leírásából, valamint a friss, még őröletlen és az osztályozóból visszaadott durva szemcsék malomba történő beadagolása leírásából áll. A másodrendű parciális differenciálegyenletek idevonatkozó elmélete, a parabolikus differenciálegyenletek elmélete, szempontjából tekintve a folyamatos őrlés folytonos alapegyenletét, megállapítottam, hogy az alapegyenlet analitikus megoldását nagyon megnehezíti a törést leíró tag. Bizonyára ez az oka annak, hogy az alapegyenlet analitikus megoldása nem ismert – derült ki az irodalom tanulmányozásából. A modell közelítő megoldását a numerikus analízis eszközei alkalmazásával kaptam meg; a közönséges és parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei, a numerikus differenciálási és integrálási módszerek, a numerikus konvergencia-vizsgálat eszközei, a numerikus optimalizálási módszerek, feltételes függvény minimalizáló módszer felhasználásával. Igénybe vettem a lineáris algebra eszközeit; a modellek felírásában a rekurzív lineáris egyenletrendszer mátrix formára hozásában; a sajátértékek vizsgálatában; mátrix- és vektorműveletek elvégzésében. A késleltetett differenciaegyenletek elméletét a konvergencia-vizsgálat céljára történő átíráshoz alkalmaztam. A diszkrét modellek matematikai diszkusszióját elvégezvén meggyőződtem arról, hogy a diszkrét matematikai modellek teljesítik a természettörvényeket és a viselkedésük megfelel a várakozásoknak. A programozáselméleti módszerek a számítógépes programok és az algoritmusok tervezésében kaptak szerepet, míg a programozási módszerek a számítógépes szimuláció megvalósításában, amelyet C programozási nyelven és Matlab programcsomag alkalmazásával végeztem. A C nyelven és a Matlabban kifejlesztett programok futtatási eredményei összehasonlításával megállapítottam, hogy közöttük elenyésző különbségek mutatkoztak. A Matlabban készített programoknál lényeges több hozzáértést és munkát igényelt a C nyelvű programok megírása, azonban a C nyelvű programok átlagosan körülbelül négyszer gyorsabban lefutnak. Valószínűségszámítási és matematikai statisztikai eszközöket használtam a számítások elvégzésére, és az eredmények kiértékelésére. A numerikus kísérletekben alkalmazott technikai paraméterek értékeinek megállapítására sok-sok próbafuttatást végeztem. A számítógépes szimuláció során a statisztikai jellemzők számítását – átlagos szemcseméret, szórás, eloszlásfüggvény, maradék-eloszlásfüggvény – a matematikai statisztikában ismertetett módon hajtottam végre. Elvégeztem a modell numerikus diszkusszióját. A numerikus kísérletek útján megállapítottam, hogy a szimulációs eredmények megfelelnek az elvárásoknak. A számítási eredmények alapján megállapításokat tettem, következtetéseket vontam le. Az eredmények közlésére, megjelenítésére táblázatokat, ábrákat is használtam. Példákon keresztül igazoltam, hogy a kidolgozott modellek és a szimuláció nemcsak az „ideális” körülmények között végzett őrlések szimulálására alkalmazható, hanem az üzemi őrlések tanulmányozására, tervezésére, szabályozására is, mivel az ott előforduló különféle szituációk – mint például a kinetikai és a működési paraméterek értékei változása – is figyelembe vehetők a szimuláció során.
33
2. A folyamatos őrlések leírására kifejlesztett matematikai modellek és tulajdonságaik 2.1. A nyílt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje A nyílt folyamatos őrlés matematikai modellezésére az 1. fejezetben említett modellek közül a dolgozatban bemutatott vizsgálódásokhoz az irodalomból jól ismert, alkalmazásokban bevált axiális diszperziós modellt választottam (Mika, 1976, Austin et al., 1983, Mihálykó et al., 1998). Feltételeztem, hogy az őrlési folyamat alatt az őrlődő anyag különböző méretű szemcséi a malomban sugár irányban teljes mértékben keverednek, de tengely irányban csak részlegesen. Először egy olyan folytonos matematikai modellt adok meg, amelyben az őrlő készülék és az őrlendő anyag tényleges fizikai paraméterei fordulnak elő. A diszkrét modell megalkotásához előbb elvégzem a dimenziómentesítést, majd a szemcseméret és a malomhosszúság szerinti normálás következik. Ezután szemcseméret, malomhosszúság és idő szerinti diszkretizálással diszkrét matematikai modellt származtatok. Az így kapott modellhez kapcsolódó vizsgálatok nagyobb terjedelme miatt ebben a modellben szerepeltetem a jelzés nélküli mennyiségeket, míg a kiindulási modellben a „~”-lal jelzett jelölést alkalmazom. A nyílt folyamatos őrlés matematikai modelljének ismertetéséhez vezessük be az ~ alábbi jelöléseket. Jelölje ~ t az időt, Y az őrlőmalom hosszát, ~y a malomban a tengely irányú koordinátát. Jellemezze a szemcsék tengely irányú keveredését D axiális diszperziós tényező, konvektív áramlási sebességét u. A továbbiakban feltesszük, hogy az axiális diszperziós tényező és a konvektív áramlási sebesség időtől, mérettől, helytől független konstansok. (A harmadik fejezetben látunk példát arra is, amikor a konvektív áramlási sebesség függ a mérettől, a helytől.) Austin és kutatótársai 1983-ban megjelent publikációjára alapozva D és u értéke konstansnak válaszható, ha elég nagy a malom átmérője (Austin et al., 1983). xmin az x a szemcseméretet, ~ Jelölje ~ x max az őrlési folyamat során előforduló legnagyobb, ~ őrlési folyamat során a legkisebb szemcseméretet. Jellemezze a malomban lévő anyagra vonatkozó tömeg-sűrűségfüggvény, az ~(~ m x , ~y , ~ t ) a malom ~y koordinátájánál ~ t időpillanatban a szemcsék méret szerinti ~ ~(~ ~ x , ~y , ~ x az t )d ~ eloszlását, ekkor a malom y koordinátájánál t időpillanatban m ~ ~ ~ ( x , x + dx ) szemcseméret- intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi ki ~(~ x , ~y , ~ x az egységnyi tömegű anyagban tekintve. (Vagy másképpen: m t )d ~ ~ ~ ~ ( x , x + dx ) szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék arányát fejezi ki egységnyi mennyiségű anyaghoz viszonyítva.) Az őrlőmalom folytonos matematikai modellje a (2.1) parciális integro-differenciálegyenlet a hozzá tartozó (2.2) kezdeti és (2.3)-(2.4) peremfeltételekkel (Mihálykó et al., 1998), ha feltesszük, hogy 1) a részecskék áramlását az axiális diszperziós modell, 2) a törési kinetikát az elsőrendű törési törvény írja le. ~ x ~ ~ ~ ~(~ ~(~ ~(~ x, ~ y, t ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ max~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∂2m x, ~ y, t ) ∂m ∂m x, ~ y, t ) − S x m x y t + ( ) ( , , ) − u = D ∫~x S(L)b(x, L)m(L, y, t )dL ∂~ y ∂~ y2 ∂~ t
(2.1)
34 a kezdeti feltétel
~(~ ~ (~ ~ m x, ~ y ,0 ) = m 0 x, y) ,
(2.2)
a peremfeltételek ~ ~(~ ~ ~ ~ ∂m x, ~ y, t ) ~ ~(~ f f (x, t ) = u ⋅ m x, ~ y, t ) − D ⋅ , ha ~ y =0 ∂~ y ~(~ ∂m x, ~ y, ~ t) ~ = 0 , ha ~ y =Y . ~ ∂y
(2.3) (2.4)
A (2.1) egyenlet bal oldalán a szemcsék tömeg-sűrűségfüggvényének idő szerinti változása áll. A jobb oldali első tag az axiális diszperziót írja le, a második a részecskék konvektív áramlását a malom tengelyének irányában. A jobb oldali utolsó két tag fejezi ki a szemcséknek a törési folyamat által előidézett méretváltozását. A (2.1) egyenletben ~ szereplő S ( ~ x ) függvényt törési szelekciós függvénynek, röviden szelekciós függvény~ x méretű részecskék törési arányát. A harmadik tag nek nevezzük. S ( ~ x ) fejezi ki az ~ ~ x méretű szemcsék törését, a negyedik tag pedig azt mutatja, hogy az L adja meg az ~ ~ ~ x méretűre. A negyedik tagban előforduló b ( ~ méretű szemcsék hányad része törik ~ x, L) ~ függvény a törési sűrűségfüggvény. Az L méretű részecske törésekor keletkező ~ ~ x ,~ x +d ~ x ] szemcseméret intervallumbeli frakcióját b ( ~ törmeléknek az ( ~ x , L )dx adja ~ ~ x , L ), ekkor B( ~ meg. A törési eloszlásfüggvényt jelölje B( ~ x, L) =
~ x
~
~
∫ b (ξ , L )dξ .
~ xmin
A kezdeti feltétel, a (2.2) egyenlet leírja azt a feltételezést, hogy az őrlési folyamat ~ sűrűségfüggvénnyel jellemzett szemcsés megkezdésekor a malom fel van töltve m 0 anyaggal. A (2.3) és (2.4) peremfeltételek a malom bejáratánál, illetve a kijáratánál a szemcsék áramlásának folyamatosságát fejezik ki. A (2.3) peremfeltételben a bal oldali tag az őrlendő anyag áramlását írja le a szállító csőből a malomba a malom bejáratánál. ~ A (2.3) egyenletben f f ( ~ x,~ t ) jelöli a beadagolt anyagra vonatkozó tömegáramsűrűségfüggvényt: ~ ~~ ~ ~ (~ f f (x , t ) = u ⋅ m f x , t ),
(2.5)
~ ~ (~ ahol m f x , t ) reprezentálja az adagoló csőből érkező szemcsék tömeg szerinti sűrűségfüggvényét a malom bejárati határánál. A (2.3) egyenlet jobb oldala a malomban lévő szemcsék áramlásának és keveredésének kombinációját írja le. A (2.3) egyenlet kifejezi azt a feltevést, hogy nem keveredik vissza anyag a malomból a szállító csőbe. A malom ~ kijáratát Y határként jelöljük. Feltételezzük, hogy a szemcsék a kijáratig keveredhetnek, ~ de a határnál már nem. Az Y határnál, a malom kijáratánál az anyag szabadon kiáramlik, és ott a (2.4) egyenlet a peremfeltétel. A (2.1) egyenlet diszkretizálásával, valamint a kezdeti és peremfeltételek figyelembevételével származtatható a nyílt folyamatos őrlés egy diszkrét matematikai modellje. Így eljárva Mihálykó Csaba és kutatótársai megalkottak a nyílt folyamatos őrlés leírására egy diszkrét matematikai modellt (Mihálykó et al., 1998). Az eredményül kapott lineá-
35 ris egyenletrendszer a Mihálykó-Blickle-Lakatos-féle modell, a továbbiakban röviden MBL modell. A dolgozatomban a zárt folyamatos őrlés – más neveken a folyamatos recirkulációs őrlés, a körfolyamatos őrlés – egy lehetséges matematikai leírását ismertetem. Az újonnan kifejlesztett modell a nyílt folyamatos őrlés leírásához hozzácsatolja a recirkuláció és a klasszifikáció leírását is, ilyen értelemben tekinthető az MBL modell kiterjesztésének. Az új modell azonban részben származtatásában, részben szemléletében is eltér az MBL modelltől.
2.2. A zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modellje A zárt folyamatos őrlés matematikai modelljét úgy származtatom, hogy a nyílt folyamatos őrlés leírását – (2.1)-(2.4) – kiegészítem az osztályozás és a recirkuláció leírásával. Az ipari alkalmazásokban elterjedt folyamatos recirkulációs őrlési folyamatot – így a hengeres golyósmalmi zárt folyamatos őrlést is – a 2.1. ábra szemlélteti.
2.1. ábra. Folyamatos őrlés osztályozással és a méreten felüli szemcsék recirkulációjával.
Egyes őrlő-osztályozó folyamatokban keverőt is alkalmaznak, az ilyen folyamatos recirkulációs őrlés sematikus ábrája az alábbi 2.2. ábra.
2.2. ábra. Folyamatos őrlés osztályozással és a méreten felüli szemcsék recirkulációjával, keverő alkalmazásával.
A malom kijáratánál a távozó anyagra vonatkozó tömegáram-sűrűségfüggvény az alábbi egyenlettel adható meg: ~ ~ ~ ~ ~ ~(~ f (x, t ) = u ⋅ m x ,Y , t ) .
(2.6)
36
A 2.1 alfejezetben leírt 1), 2) feltételek megtartása mellett még egy további feltevéssel élünk; 3) az osztályozó készülékben az osztályozást a ψ~ ( ~ x ) klasszifikációs függvény írja le, ahol: 0 ≤ ψ~ ( ~ x ) ≤ 1.
(2.7)
Az osztályozó működését az alábbi (2.8) és (2.9) egyenlet írja le. Az osztályozóból két útvonalon távoznak a szemcsék: a nagyméretűek vagy más szóval a „méreten felüliek” újraőrlésre visszatérítődnek a malomba (vagy a keverőbe), az őrlemény másik része, az apró szemcsék vagy a „méreten aluliak”, a folyamatban előállított készterméknek minősülnek, s ezért kikerülnek az őrlési folyamatból. Az osztályozóból újraőrlésre visszatérített anyagra vonatkozó tömegáram~ ~ sűrűségfüggvény, f r ( ~ x , t ) a következő: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~(~ f r ( x , t ) = ψ~ ( ~ x ) ⋅ f (~ x , t ) = ψ~ ( ~ x) ⋅u ⋅ m x ,Y , t ) .
(2.8)
A (2.8) egyenlet fejezi ki azt, hogy az osztályozóból az őrlemény durva részét őrlésre visszaadják. Az őrlő-osztályozó folyamatból kikerülő anyagra vonatkozó tömegáram~ ~ x , t ) a következőképpen írható fel: sűrűségfüggvény, f out ( ~
~ ~~ ~ ~ ~~ ~(~ f out ( x , t ) = [1 −ψ~( ~ x )] ⋅ f ( ~ x , t ) = [1 − ψ~ ( ~ x )] ⋅ u ⋅ m x ,Y , t ) .
(2.9)
Feltéve, hogy a visszatérített anyag valamennyi idő, a késleltetési idő elteltével tiszta konvektív áramlással kerül vissza az osztályozóból a malomba (vagy a keverőbe). A ~ késleltetés időtartamát d jelöli, ezért van a (2.10) egyenletben a ~ t időpillanathoz képest ~ ~ ~ d időegységgel korábbi időpillanat, t − d . Így a malom bejáratánál a mérlegegyenlet – feltételezve a friss őröletlen szemcsék és az osztályozóból visszatérítettek ideális keveredését – az alábbi egyenlet:
~ ~ ~ ~ ~ ~ f f ( x , t ) = f in ( ~ x,~ t ) + f r (~ x,~ t − d).
(2.10)
A (2.1)-(2.4), (2.8), (2.10) egyenletek leírják a folyamatos recirkulációs őrlést. Ez a ~ modell lehetővé teszi a malomba való betáplálás – amit az f f tömegáram-sűrűségfüggvény ír le – időtől függő változását. Így az osztályozási feltételtől is függően változik a malom telítettsége. Bizonyos körülmények között azonban a malom állandó telítettségi szinten tartására van szükség, következésképpen ezért ilyenkor azt az esetet vizsgálom, amikor a ~ xmax
~ ~~ ~ f ( x , t )dx = konstans
∫f
~ xmin
(2.11)
feltétel teljesül. Ilyenkor valójában azt tételezzük föl, hogy a friss, még őröletlen anyag beadagolandó mennyiségét a recirkuláció során visszaadott anyagmennyiség függvényében szabályozzák.
37 A (2.1) egyenlet felírható a törési eloszlásfüggvénnyel a (2.12) egyenlet formájában. A diszkrét modell megalkotásakor a (2.1) egyenlet helyett a (2.12) egyenletet használom: ~ x ~ ~ ~ ~(~ ~(~ ~(~ x, ~ y, t ) ∂ max~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x, ~ y, t ) ∂m ∂2m x, ~ y, t ) ∂m S (L)B(x , L)m(L, y, t )dL . + u − D = ∂~ y x ∫~x ∂~ y2 ∂~ t ∂~
(2.12)
A zárt folyamatos őrlés fenti folytonos matematikai modellje magában foglalja a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés folytonos modelljét is. A ψ ≡ 0 választása esetén ~ megadja a nyílt folyamatos őrlés modelljét, míg az u=0 és f f = 0 választás a szakaszos őrlés folytonos modelljére vezet.
2.3. A folyamatos őrlések diszkrét matematikai modelljei rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában 2.3.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje A nyílt folyamatos őrlés a zárt folyamatos őrlés speciális esete. Ugyanis a ψ klasszifikációs függvény ψ ≡ 0 választása esetén a zárt folyamatos őrlés leírása a nyílt folyamatos őrlés leírását adja. Ezt az utat választom a nyílt folyamatos őrlés modelljének megalkotására. A zárt őrlés diszkrét modellje származtatását a következő alfejezet tartalmazza. 2.3.2. A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modelljei A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje a (2.12), (2.2)-(2.4), (2.8), (2.10) egyenletekből – esetenként a (2.11) figyelembevételével – diszkretizálással származtatható. A továbbiakban bemutatom a származtatásával együtt a kifejlesztett diszkrét modelleket. Definiáljuk az alábbi dimenzió nélküli változókat és paramétereket: ~ y=~ y /Y x=~ x/~ x max ~ ~ L= L/x
max
t=~ t /t ~ d = d /t ,
ahol a (2.13) egyenlet adja meg a szemcsék átlagos tartózkodási idejét a malomban:
~ t = Y /u .
(2.13)
A malom paraméterei közötti kapcsolatot a Péclet-féle szám fejezi ki az alábbi összefüggés szerint: ~ Pe=u Y /D .
(2.14)
38
Az m ,
m0 ,
ff ,
f in , f r , S , b , ψ
függvények is dimenzió nélküli változók
függvényei: ~ ~( x ⋅ ~ m( x, y, t ) = m x max , y ⋅ Y , t ⋅ t ) ~ ~ (x ⋅ ~ m0 ( x, y ) = m x max , y ⋅ Y ) 0 ~ f f ( x, t ) = f f ( x ⋅ ~ x max , t ⋅ t ) ~ f in ( x, t ) = f in ( x ⋅ ~ xmax , t ⋅ t ) ~ f r ( x, t ) = f r ( x ⋅ ~ x max , t ⋅ t ) ~ ~ S ( x) = t ⋅ S ( x ⋅ x max ) ~ b( x, L) = ~ xmax ⋅ b ( x ⋅ ~ xmax , L ⋅ ~ xmax ) ~ ~ ψ ( x) = ψ ( x ⋅ x ) . max
(2.15) A (2.12) egyenlet dimenziómentes alakban felírva:
∂m( x, y, t ) t ∂t
=D
∂ 2 m( x, y , t ) ~ Y 2 ∂y 2
⎤ ∂m( x, y, t ) ∂ ⎡ 1 −u + ⎢ ∫ S (L )B( x, L )m(L, y, t )dL ⎥ . ~ t ∂x ⎣⎢ x Y ∂y ⎦⎥
(2.16)
t ⋅D A ~ 2 kifejezést a (2.13) és a (2.14) egyenlet felhasználásával átalakítjuk és azt kapjuk, Y hogy
~ t ⋅D Y D 1 . ~2 = ⋅ ~2 = u Y Pe Y
(2.17)
Felhasználjuk, hogy a (2.13) képlet alkalmazásával t ⋅u ~ =1. Y
(2.18)
Ezután a folytonos modellt dimenziómentes alakban az alábbi (2.19)–(2.24) egyenletekből áll:
∂m(x, y, t ) ∂t
⎤ 1 ∂ 2 m(x, y, t ) ∂m(x, y, t ) ∂ ⎡ 1 ( ) ( ) ( ) = ⋅ − + S L B x , L m L , y , t d L ⎢ ⎥. ∂y ∂x ⎢⎣ ∫x Pe ∂y 2 ⎦⎥
(2.19)
A kezdeti feltétel: m( x, y,0) = m0 ( x, y ) .
(2.20)
Az y=0-ra vonatkozó peremfeltételt a (2.3) egyenletből a (2.14) egyenlet figyelembevételével kapjuk, amely az alábbi (2.21) egyenlet:
39 1 1 ∂m( x, y, t ) f f ( x, t ) = m ( x , y , t ) − ⋅ , ha y=0. u Pe ∂y
(2.21)
Az y=1-re vonatkozó peremfeltétel pedig a (2.22) egyenlet: ∂m( x, y, t ) = 0 , ha y=1. ∂y
(2.22)
A (2.6) és a (2.8) egyenletből, valamint a (2.15) egyenletből kapjuk a (2.23) egyenletet:
f r ( x, t ) = ψ ( x) ⋅ u ⋅ m( x,1, t ) .
(2.23)
A (2.10) egyenletből származik a (2.24) egyenlet:
f f ( x, t ) = f in ( x, t ) + f r ( x, t − d ) .
(2.24)
A folytonos modellt először a szemcseméret szerint diszkretizálom. Jelölje I a szemcseméret szerinti osztályzásnál az osztályok számát. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
hx =
x max − x min , I
xi = i ⋅ hx , i=1, 2, … , I, x
1 i− 2
= xi −
ν ( xi , y, t ) =
hx 1 = (i − ) ⋅ hx 2 2
, i=1, 2, … , I,
xi
∫ m(x, y, t )dx ,
i=1, 2,…, I ,
(2.25)
xi −1
ahol ν ( xi , y, t ) a malom y koordinátájánál a t időpillanatban az i-dik szemcseméretintervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi ki. A (2.19) egyenletből az [xi-1, xi] tartományon méret szerinti integrálással kapjuk a (2.26) egyenletet:
∂ν ( xi , y, t ) ∂t
=
x ⎤ 1 ∂ 2ν ( xi , y, t ) ∂ν (xi , y, t ) i ∂ ⎡ 1 ⋅ − + ⎢ ∫ S (L )B( x, L )m(L, y, t )dL ⎥ dx . 2 ∫ ∂y ∂x ⎢⎣ x Pe ∂y ⎥⎦ xi −1
(2.26)
40 A jobb oldali harmadik tagból átalakítással kapjuk:
∂ ⎡
1 ⎤ ( ) ( ) ( ) S L B x , L m L , y , t d L ⎢ ⎥ dx = ∫ ∂x ⎢∫x ⎥⎦ xi −1 ⎣
xi
1
= ∫ S ( L) B( xi , L)m( L, y, t )dL − xi
I
=∑
1
∫ S ( L) B( x
i −1
, L)m( L, y, t )dL =
xi −1
xk
∫ S ( L)[ B( xi , L) − B( xi−1 , L)]m( L, y, t )dL −
k =i xk −1
I
=∑
xi
∫ S ( L) B( x , L)m( L, y, t )dL = i
xi −1
xk
∫ S ( L)[ B( xi , L) − B( xi−1 , L)]m( L, y, t )dL −
k =i xk −1
xi
∫ S ( L)m( L, y, t )dL .
(2.27)
xi −1
A (2.27) legutolsó tagja felírásánál kihasználtuk, hogy B ( xi , L) = 1 .
ha L ∈ [ xi −1 , xi ], akkor
A (2.26) egyenletből a (2.27) felhasználásával:
∂ν (xi , y, t ) ∂t I
+∑
1 ∂ 2ν ( xi , y, t ) ∂ν ( xi , y, t ) = ⋅ − + Pe ∂y ∂y 2
xk
∫ S ( L)[ B( xi , L) − B( xi−1 , L)]m( L, y, t )dL −
k = i xk −1
xi
∫ S ( L)m( L, y, t )dL .
(2.28)
xi −1
Ezután következik a malom hosszúsága szerinti diszkretizáció. Legyen J a malom hosszúság szerinti diszkretizálásánál a részintervallumok, a szekciók száma. Vezessük be az alábbi jelöléseket: 1 hy = , J y j = j ⋅ h y , j=1, 2, … , J.
Elvégezve az y= yj helyettesítést, a (2.28) egyenletből kapjuk:
∂ν (xi , y j , t ) ∂t I
+∑
2 1 ∂ ν (xi , y j , t ) ∂ν (xi , y j , t ) + = ⋅ − ∂y Pe ∂y 2
xk
∫ S ( L)[ B( x , L) − B( x
k =i xk −1
i
i −1
, L)]m( L, y j , t )dL −
xi
∫ S ( L ) m ( L, y
j
, t )dL
xi −1
i=1, 2, … , I.
(2.29)
41 A (2.29) egyenlet jobb oldalán a harmadik és negyedik tagot középpont-szabály alkalmazásával az alábbiak szerint közelítjük: xk
∫ S (l )[ B( x , L) − B( x i
i −1
, L)]m( L, y j , t )dL =
xk −1
= S (x
1 k− 2
)[ B ( xi , x
1 k− 2
) − B ( xi −1 , x
1 k− 2
)]
m( x k −1 , y j , t ) + m( x k , y j , t ) 2
hx + O (hx3 ) .
(2.30)
hx . 2 A (2.29) egyenletből kapjuk az alábbi (2.31) egyenletet, felhasználva a (2.30) egyenletet, a (2.25) alatti jelölést és alkalmazva a trapéz-szabályt: A (2.30) egyenletben x
∂ν (xi , y j , t )
I
k =i
− S (x
i−
1 2
k−
1 2
= xk −
2 1 ∂ ν (xi , y j , t ) ∂ν (xi , y j , t ) + = ⋅ − ∂y Pe ∂y 2
∂t + ∑ S (x
1 k− 2
) ⋅ [ B ( xi , x
k−
1 2
) − B( xi −1 , x
k−
1 2
)] ⋅ν ( x k , y j , t ) +
) ⋅ν ( xi , y j , t ) + O(hx2 )
j= 1, 2, …, J-1,
i=1, 2, … , I.
(2.31)
A (2.31) egyenletben a parciális deriváltakat numerikus differencia formulákkal – upwind séma (Stoyan & Takó, 1995) – közelítve és yj+1=yj+hy figyelembevételével:
∂ν ( xi , y j , t ) ∂t
I
+ ∑ S (x k =i
− S(x
i−
1 2
k−
1 2
=
1 ν ( xi , y j +1 , t ) − 2ν ( xi , y j , t ) + ν ( xi , y j −1 , t ) ν ( xi , y j , t ) − ν ( xi , y j −1 , t ) ⋅ − + Pe hy h y2
) ⋅ [ B ( xi , x
k−
1 2
) − B( xi −1 , x
k−
1 2
)] ⋅ν ( x k , y j , t ) +
) ⋅ν ( xi , y j , t ) + O(hx2 ) + O(h y )
j= 1, 2, …, J-1,
i=1, 2, … , I.
(2.32)
Bevezetve a ~ p k ,i = S ( x
k−
1 2
) ⋅ [ B ( xi , x
k−
1 2
) − B ( xi −1 , x
k−
1 2
)]
szimbólumot, a (2.32) egyenletből kapjuk:
(2.33)
42 ∂ν ( xi , y j , t ) ∂t
=
1 + Pe ⋅ hy Pe ⋅ h
2 y
⋅ν ( xi , y j −1 , t ) +
I
+∑~ p k , i ⋅ν ( x k , y j , t ) − S ( x k =i
1 i− 2
− 2 − Pe ⋅ hy Pe ⋅ h
2 y
⋅ν ( xi , y j , t ) +
1 ν ( xi , y j +1 , t ) + Pe ⋅ hy2
) ⋅ν ( xi , y j , t ) + O(hx2 ) + O(h y ) j=1, 2, …, J-1, i=1, 2, … , I.
(2.34)
~ ~ Bevezetve a VF , V B jelöléseket a (2.35), (2.36) szerint,
~ 1 + Pe ⋅ h y VF = Pe ⋅ h y2
~ VB =
(2.35)
1 Pe ⋅ hy2
(2.36)
a (2.34) egyenletből kapjuk: ∂ν ( xi , y j , t ) ∂t
− S (x
~ ~ ~ ~ = VF ⋅ν ( xi , y j −1 , t ) + (−VF − VB ) ⋅ν ( xi , y j , t ) + VB ⋅ν ( xi , y j +1 , t ) + I
i−
~ 1 ) ⋅ν ( x i , y j , t ) + ∑ p k , i ⋅ν ( x k , y j , t ) + k =i
2
+ O(hx2 ) + O(h y )
j=1, 2, …, J-1, i=1, 2, … , I.
(2.37)
A (2.37) egyenletet felírjuk yj-1-re is, ahol j=2, 3, … , J: ∂ν ( xi , y j −1 , t ) ∂t
− S (x
~ ~ ~ ~ = VF ⋅ν ( xi , y j −2 , t ) + (−VF − VB ) ⋅ν ( xi , y j −1 , t ) + VB ⋅ν ( xi , y j , t ) + I
i−
~ 1 ) ⋅ν ( x i , y j −1 , t ) + ∑ p k ,i ⋅ν ( x k , y j −1 , t ) + 2
k =i
+ O(hx2 ) + O(h y ) A (2.37) és (2.38) egyenleteket
j=2, …, J, i=1, 2, … , I. hy 2
(2.38)
-vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk az alábbi
(2.39) egyenletet:
⎛ ∂ν ( xi , y j , t ) ∂ν ( xi , y j −1 , t ) ⎞ h y ~ ν ( xi , y j − 2 , t ) + ν ( xi , y j −1 , t ) ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ = VF hy + + ∂ t t 2 ∂ ⎠ 2 ⎝
43 ~ ~ ν ( xi , y j −1 , t ) + ν ( xi , y j , t ) ~ ν ( xi , y j , t ) + ν ( xi , y j +1 , t ) (−VF − VB ) h y + VB hy + 2 2 − S (x
i−
1)
ν ( xi , y j −1 , t ) + ν ( xi , y j , t ) 2
2
I
ν ( xi , y j −1 , t ) + ν ( xi , y j , t )
k =i
2
hy + ∑ ~ p k ,i
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
hy +
j= 2, …, J-1, i=1, 2, … , I.
(2.39)
Vezessük be a következő jelölést: yj
µ ( xi , y j , t ) = ∫ν ( xi , y, t )dy
j=1, …,J, i=1, 2, … , I.
(2.40)
y j −1
A (2.40) alatti jelöléssel bevezetett µ ( xi , y j , t ) a t időpillanatban a malom
j-dik
szekciójában előforduló i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi ki, ahol j=1, …,J, i=1, 2, … , I. A (2.40) egyenlet alatti integrál közelítő kiszámítását trapéz-szabály alkalmazásával végezve kapjuk: yj
µ ( xi , y j , t ) = ∫ν ( xi , y, t )dy =
ν ( xi , y j , t ) + ν ( xi , y j −1 , t ) 2
y j −1
h y + O(h y3 ) .
(2.41)
Jelölje τ a dimenziómentes időlépés hosszát, tegyük fel, hogy
d = r ⋅τ ,
(2.42)
ahol r egész szám, legyen tn = τ ⋅ n ,
(2.43)
így t n − d = t n−r .
(2.44)
A (2.39) egyenletben t=tn kapjuk: ∂µ ( xi , y j ,t n ) ∂t
helyettesítéssel, a (2.40) és (2.41) figyelembevételével
~ ~ ~ ~ = V F ⋅ µ ( xi , y j −1 , t n ) + (−VF − VB ) µ ( xi , y j , t n ) + VB µ ( xi , y j +1 , t n ) + − S(x
I
i−
2 2 ~ 1 ) µ ( xi , y j , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x i , y j , t n ) + O ( h x ⋅ h y ) +O ( h y ) 2
k =i
j=2,…, J-1, i=1, 2,…,I.
(2.45)
44 A (2.45) egyenletben µ(xi,yj-1,tn) és µ(xi,yj+1,tn) fordul elő, ezért ez az egyenlet csak j=2, …, J-1 esetén értelmezhető. A j=1, j=J eseteket a peremfeltételek segítségével írjuk fel.
∂µ ( xi , y1 ,t n ) kifejezéséhez az alábbi levezetést végezzük. ∂t A Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget: A
ν ( xi , y1 , t n ) − ν ( xi , y 0 , t n ) hy
=
∂ν ( xi , y 0 , t n ) ∂ 2ν ( xi , y 0 , t n ) h y + ⋅ + O (h y2 ) . 2 2 ∂y ∂y
(2.46)
A (2.21) egyenletet [xi-1, xi]-n integrálva t= tn esetén kapjuk: x
1 i 1 ∂ν ( xi , y 0 , t n ) ⋅ f f ( x, t n )dx = ν ( xi , y 0 , t n ) − , ahol y0=0. ∫ u xi −1 Pe ∂y
(2.47)
A (2.26) egyenletet [xi-1, xi]-n integrálva t= tn esetén kapjuk: xi
∫f
f
xi
( x , t n ) dx =
x i −1
∫f
in
( x, tn )dx +
x i −1
xi
∫ f ( x, t r
n
− d )dx .
(2.48)
x i −1
A (2.48) egyenlet jobb oldali első tagjára bevezetve az alábbi (2.49) alatti jelölést, második tagját a (2.23) egyenlet szerint felírva kapjuk a (2.50) egyenletet: Fin ( xi , t n ) =
xi
∫f
in
( x, t n )dx ,
(2.49)
xi −1
xi
∫f
xi
f
xi −1
( x, t n )dx =Fin ( xi , t n ) + u ⋅ ∫ψ ( x) m( x,1, t n − r )dx .
(2.50)
xi −1
A (2.25) alatti jelölés alkalmazásával: xi
∫f
xi −1
f
( x, t n )dx =Fin ( xi , t n ) + ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ u ⋅ν ( xi , y J , t n − r ) + O (hx3 ) .
(2.51)
A (2.45) egyenlet bal oldalába a (2.51) egyenlet jobb oldalát helyettesítjük:
1 1 ∂ν ( xi , y 0 , t n ) Fin ( xi , t n ) + ψ ( x 1 ) ⋅ν ( xi , y J , t n − r ) + O (hx3 ) = ν ( xi , y 0 , t n ) − ⋅ . i− u Pe ∂y 2 (2.52)
45
A (2.52) egyenlet rendezésével:
⎛ ⎞ ∂ν ( x i , y 0 , t n ) 1 = Pe ⋅ ⎜⎜ν ( xi , y 0 , t n ) − Fin ( xi , t n ) − ψ ( x 1 ) ⋅ν ( xi , y J , t n − r ) ⎟⎟ + O ( h x3 ) ⋅ i− u ∂y 2 ⎝ ⎠ (2.53) A (2.31) egyenletet a j=0, t=tn helyen tekintve és figyelembe véve a (2.25), (2.33) alatti jelöléseket, az alábbi egyenletet kapjuk:
∂ν ( xi , y 0 , t n ) ∂t
=
1 ∂ 2ν ( xi , y 0 , t n ) ∂ν ( xi , y 0 , t n ) ⋅ − + Pe ∂y ∂y 2
I
+∑~ p k , i ⋅ν ( x k , y 0 , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y 0 , t n ) + O(hx2 )
i=1, 2, … , I.
(2.54)
A (2.46) egyenlet rendezésével:
∂ 2ν ( xi , y 0 , t n ) ∂ν ( xi , y 0 , t n ) ν ( xi , y1 , t n ) − ν ( xi , y 0 , t n ) =2 −2 + O(h y ) . 2 2 h y ⋅ ∂y ∂y hy
(2.55)
A (2.54) egyenletbe az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.55) egyenletből helyettesítjük:
∂ν ( xi , y0 , tn ) 2 2 ∂ν ( xi , y0 , tn ) ∂ν ( xi , y0 , tn ) − = ⋅ (ν ( xi , y1 , tn ) − ν ( xi , y0 , tn ) ) − ⋅ + 2 ∂y ∂t Pe ⋅ hy Pe ⋅ hy ∂y
I
+∑~ p k ,i ⋅ν ( x k , y 0 , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
)ν ⋅ ( xi , y 0 , t n ) + O(hx2 ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.56)
A (2.56) egyenlet jobb oldalán az első parciális deriváltakat a (2.53) egyenletből helyettesítve kapjuk: ∂ν ( xi , y 0 , t n ) 2 = ⋅ (ν ( xi , y1 , t n ) − ν ( xi , y 0 , t n ) ) + ∂t Pe ⋅ h y2
+
− 2 − Pe ⋅ h y Pe ⋅ h y
⎛ ⎞ 1 ⋅ Pe ⋅ ⎜⎜ν ( xi , y 0 , t n ) − Fin ( xi , t n ) − ψ ( x 1 ) ⋅ν ( x i , y J , t n − r ) ⎟⎟ + i− u 2 ⎝ ⎠
I
+∑~ p k , i ⋅ν ( x k , y 0 , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y 0 , t n ) +
46
+ O(hx2 ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.57)
A (2.57) egyenlet rendezésével: ⎞ ∂ν ( xi , y 0 , t n ) ⎛⎜ 2 2 ⎟ ⋅ν ( xi , y 0 , t n ) + 2 ⋅ν ( xi , y1 , t n ) + = − − − Pe 2 ⎜ ⎟ ∂t Pe ⋅ h y2 ⎝ Pe ⋅ h y h y ⎠ − S (x
+
I
1 i− 2
) ⋅ν ( x i , y 0 , t n ) + ∑ ~ p k , i ⋅ν ( x k , y 0 , t n ) +
2 + Pe ⋅ h y u ⋅ hy
k =i
⋅ Fin ( xi , t n ) +
2 + Pe ⋅ h y hy
⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ν ( x i , y J , t n − r ) +
+ O(hx2 ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.58)
1 ~ 1 + Pe ⋅ h y ~ , VB = – a (2.58) egyenletA (2.35), (2.36) alatti jelölésekkel – VF = 2 Pe ⋅ h y2 Pe ⋅ h y ből kapjuk: ∂ν ( xi , y 0 , t n ) ~ ~ = −2VF ⋅ν ( xi , y 0 , t n ) − Pe ⋅ν ( xi , y 0 , t n ) + 2VB ⋅ν ( xi , y1 , t n ) + ∂t − S (x
+
I
i−
~ 1 ) ⋅ν ( x i , y 0 , t n ) + ∑ p k , i ⋅ν ( x k , y 0 , t n ) + k =i
2
2 + Pe ⋅ h y u ⋅ hy
⋅ Fin ( xi , t n ) +
2 + Pe ⋅ h y hy
⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ν ( x i , y J , t n − r ) +
+ O(hx2 ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.59)
A (2.37) egyenletet j=1-re a t= tn helyen felírva kapjuk: ∂ν ( x i , y1 , t n ) ~ ~ ~ ~ = V F ⋅ν ( x i , y 0 , t n ) + (−V F − V B ) ⋅ν ( x i , y1 , t n ) + V B ⋅ν ( x i , y 2 , t n ) + ∂t
− S (x
I
i−
~ 1 ) ⋅ν ( x i , y1 , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ν ( x k , y1 , t n ) + 2
k =i
+ O(hx2 ) + O(h y ) A (2.59) és (2.60) egyenleteket
i=1, 2, … , I. hy 2
-vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:
(2.60)
47
~ ν ( xi , y 0 , t ) + ν ( xi , y1 , t ) ⎛ ∂ν ( xi , y1 , t ) ∂ν ( xi , y 0 , t ) ⎞ h y + = −VF hy + ⎜ ⎟⋅ ∂t ∂t 2 ⎝ ⎠ 2
~ ν ( xi , y1 , t ) + ν ( xi , y 2 , t ) + VB hy + 2 − S (x
+
1 i− 2
)
ν ( xi , y 0 , t ) + ν ( xi , y1 , t )
2 + Pe ⋅ h y 2⋅u
2
⋅ Fin ( xi , t n ) −
ν ( xi , y 0 , t ) + ν ( xi , y1 , t ) hy + ∑ ~ p k ,i hy + 2 k =i I
Pe ⋅ h y 2
⋅ν ( x i , y 0 , t n ) +
2 + Pe ⋅ h y 2
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ν ( x i , y J , t n − r ) +
i=1, 2, … , I.
(2.61)
A j=2,…, J-1 eset levezetéséhez hasonlóan, a (2.40) alatti jelölés és a (2.41) egyenlet, azaz yj
µ ( xi , y j , t ) = ∫ν ( xi , y, t )dy és y j −1
yj
∫ν ( x , y, t )dy =
ν ( xi , y j , t ) + ν ( xi , y j −1 , t )
i
2
y j −1
h y + O(h y3 )
alkalmazásával a (2.61) egyenletből kapjuk:
∂µ ( xi , y1 ,t n ) ~ ~ = −VF ⋅ µ ( xi , y1 , t n ) + VB µ ( xi , y 2 , t n ) + ∂t − S(x
+
+
I
1 i− 2
) µ ( xi , y1 , t n ) + ∑ ~ p k ,i ⋅ µ ( xi , y1 , t n ) + k =i
2 + Pe ⋅ h y 2⋅u 2 + Pe ⋅ h y 2
⋅ Fin ( xi , t n ) − ⋅ψ ( x
i−
1 2
Pe ⋅ h y 2
⋅ν ( xi , y0 , t n ) +
) ⋅ν ( x i , y J , t n − r ) +
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
i=1, 2, … , I.
A jobb oldalon szereplő
Pe ⋅ h y 2⋅u
⋅ Fin ( xi , t n ),
− Pe ⋅ h y 2
⋅ν ( xi , y 0 , t n ),
Pe ⋅ h y 2
⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J , t n − r )
48 tagokat O ( h y ) hibatagba összegyűjtve kapjuk az alábbi (2.62) egyenletet:
∂µ ( xi , y1 ,t n ) ~ ~ = −VF ⋅ µ ( xi , y1 , t n ) + VB µ ( xi , y 2 , t n ) + ∂t − S (x
+
I
i−
~ 1 ) µ ( x i , y1 , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x i , y1 , t n ) + k =i
2
1 ⋅ Fin ( xi , t n ) + ψ ( x 1 ) ⋅ν ( xi , y J , t n − r ) + i− u 2
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.62)
A j=J esetben az alábbi levezetést végezzük. A Taylor-formula alapján felírjuk a következő egyenlőséget:
ν ( xi , y J , t n ) − ν ( xi , y J −1 , t n ) hy
=
∂ν ( xi , y J , t n ) ∂ 2ν ( xi , y J , t n ) h y − ⋅ + O (h y2 ) . 2 ∂y ∂y 2
(2.63)
A (2.63) egyenlet jobb oldali első tagja a (2.4) egyenlet alatti peremfeltétel miatt nulla. A (2.31) egyenletet a j=J, t=tn helyen tekintve, továbbá a (2.25), a (2.33) alatti jelöléseket figyelembe véve, az alábbi egyenletet kapjuk:
∂ν (xi , y J , t n ) ∂t
=
1 ∂ 2ν ( xi , y J , t n ) ∂ν ( xi , y J , t n ) − + Pe ∂y ∂y 2
I
+∑~ p k , i ⋅ν ( x k , y J , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J , t n ) + O(hx2 )
i=1, 2, … , I.
(2.64)
Az y szerinti másodrendű parciális deriváltat a (2.64) egyenletből kifejezzük:
∂ 2ν ( xi , y J , t n ) ∂y
2
= Pe ⋅
∂ν (xi , y J , t n ) ∂ν ( xi , y J , t n ) + Pe ⋅ + ∂t ∂y
I
− Pe ⋅ ∑ ~ p k ,i ⋅ν ( x k , y J , t n ) + Pe ⋅ S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J , t n ) + O(hx2 ) i=1, 2, … , I.
A (2.65) egyenletet helyettesítve a (2.63) egyenletbe, kapjuk:
ν ( xi , y J , t n ) − ν ( xi , y J −1 , t n ) hy
=−
Pe ⋅ h y ∂ν ( xi , y J , n ) Pe ⋅ h y ∂ν ( xi , y J , n ) ⋅ − ⋅ + 2 2 ∂t ∂y
(2.65)
49
+
Pe ⋅ h y 2
I
Pe ⋅ h y
k =i
2
⋅∑ ~ p k , i ⋅ν ( x k , y J , t n ) −
⋅ S (x
i−
1 2
) ⋅ν ( x i , y J , t n ) +
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
i=1, 2, … , I.
(2.66)
A (2.66) egyenletben az y szerinti parciális deriváltat differenciahányadossal közelítve, a t szerinti parciális deriváltat kifejezve kapjuk:
∂ν (xi , y J , t n ) ∂t
=−
2 (ν (xi , y J , t n ) − ν (xi , y J −1 , t n )) − ν ( xi , y J , t n ) − ν ( xi , y J −1 , t n ) + 2 hy Pe ⋅ h y
I
+∑~ p k ,i ⋅ν ( x k , y J , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J , t n ) + O(hx2 ) + O(h y ) i=1, 2, … , I.
(2.67)
1 ~ 1 + Pe ⋅ h y ~ , VB = – a (2.67) A (2.35), (2.36) egyenlet alatti jelölésekkel – VF = 2 Pe ⋅ h y2 Pe ⋅ h y egyenletből kapjuk:
∂ν (xi , y J , t n ) ∂t
~ ~ = (−VF − VB ) ⋅ (ν ( xi , y J , t n ) − ν ( xi , y J −1 , t n )) +
I
+∑~ p k ,i ⋅ν ( x k , y J , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J , t n ) +
+ O(hx2 ) + O(h y )
i=1, 2, … , I.
(2.68)
A (2.37) egyenletet az yj = yJ-1 , t=tn helyen tekintve kapjuk: ∂ν ( xi , y J −1 , t n ) ~ ~ ~ ~ = VF ⋅ν ( xi , y J − 2 , t n ) + (−VF − VB ) ⋅ν ( xi , y J −1 , t n ) + VB ⋅ν ( xi , y J , t n ) + ∂t I
+∑~ p k ,i ⋅ν ( x k , y J −1 , t n ) − S ( x k =i
i−
1 2
) ⋅ν ( xi , y J −1 , t n ) +
+ O(hx2 ) + O(h y ) A (2.68) és (2.69) egyenleteket
i=1, 2, … , I. hy 2
-vel megszorozzuk és összeadjuk, kapjuk:
⎛ ∂ν ( xi , y J , t n ) ∂ν ( xi , y J −1 , t n ) ⎞ h y ~ ν ( xi , y J − 2 , t n ) + ν ( xi , y J −1 , t n ) + = VF ⋅ hy + ⎜ ⎟⋅ ∂t ∂t 2 ⎝ ⎠ 2
(2.69)
50 ~ ν ( x i , y J −1 , t n ) + ν ( x i , y J , t n ) − VF ⋅ ⋅ hy + 2
− S(x
i−
1 )⋅
ν ( xi , y J −1 , t n ) + ν ( xi , y J , t n ) 2
2
I
ν ( xi , y J −1 , t n ) + ν ( xi , y J , t n )
k =i
2
⋅ hy + ∑ ~ p k ,i ⋅
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
i=1, 2, … , I.
⋅ hy + (2.70)
A j=2,…,J-1 eset levezetéséhez hasonlóan, yj
yj
µ ( y j , li , t ) = ∫ν ( y, li , t )dy és
∫ν ( y, li , t )dy =
y j −1
ν ( y j , li , t ) + ν ( y j −1 , li , t )
y j −1
2
h y + O(h y3 )
felhasználásával kapjuk:
∂µ ( xi , y J ,t n ) ~ ~ = V F ⋅ µ ( xi , y J −1 , t n ) − V F µ ( xi , y J , t n ) + ∂t − S (x
I
i−
~ 1 ) µ ( x i , y J , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x i , y J , t n ) + k =i
2
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 )
i=1, 2, … , I.
(2.71)
Az idő szerinti parciális derivált alábbi közelítésével ∂µ ( xi , y j ,t n ) ∂t
=
µ ( xi , y j ,t n +1 ) − µ ( xi , y j ,t n ) + O(τ ) j=1, 2, … , J, i=1, 2, … , I (2.72) τ
a (2.62), (2.43), (2.71) egyenletekből származtatjuk rendre a (2.73), (2.74), (2.75) egyenleteket.
µ ( xi , y1 ,t n+1 ) − µ ( xi , y1 ,t n ) = τ ~ ~ = −VF ⋅ µ ( xi , y1 , t n ) + VB µ ( xi , y 2 , t n ) − S (x
+
I
1 i− 2
) µ ( xi , y1 , t n ) + ∑ ~ p k ,i ⋅ µ ( xi , y1 , t n ) + k =i
µ ( xi , y J , t r ) 1 ⋅ Fin ( x i , t n ) + ψ ( x 1 ) ⋅ + i− h u y 2
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y ) + O(τ )
i=1, 2, … , I.
(2.73)
51
µ ( xi , y j ,t n +1 ) − µ ( xi , y j ,t n ) = τ ~ ~ ~ ~ = VF ⋅ µ ( xi , y j −1 , t n ) + (−VF − V B ) µ ( xi , y j , t n ) + VB µ ( xi , y j +1 , t n ) + − S (x
I
1 i− 2
) µ ( xi , y j , t n ) + ∑ ~ p k ,i ⋅µ ( xi , y j , t n ) + O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 ) + O(τ ) k =i
j=2, …, J-1 , i=1, 2, … , I.
(2.74)
µ ( xi , y J ,t n +1 ) − µ ( xi , y J ,t n ) = τ ~ ~ = VF ⋅ µ ( xi , y J −1 , t n ) − VF µ ( xi , y J , t n ) + − S (x
I
i−
~ 1 ) µ ( x i , y J , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x i , y J , t n ) + 2
k =i
+ O(hx2 ⋅ h y ) + O(h y2 ) + O(τ )
i=1, 2, … , I.
(2.75)
Legyen p k ,i = τ ⋅ ~ p k ,i ,
(2.76)
~ VF = τ ⋅ VF ,
(2.77)
~ VB = τ ⋅ VB .
(2.78)
1 ~ ~ 1 + Pe ⋅ h y és VB = , így Mivel VF = 2 Pe ⋅ h y2 Pe ⋅ h y
τ hy
= VF − VB .
(2.79)
Legyen a ( xi , t n ) az alábbi kifejezés:
a ( xi , t n ) =
τ u
⋅ Fin ( xi , t n ) .
(2.80)
A (2.76) – (2.80) alatti jelölések alkalmazásával rendre a (2.73), (2.74), (2.75) egyenletek rendezésével kapjuk a folyamatos recirkulációs őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszer formájában felírt diszkrét matematikai modelljét, elhagyva a hibatagokat:
52
µˆ ( xi , y1 , t n +1 ) = (1 − VF − τ ⋅ S ( x
I
i−
ˆ ˆ ˆ 1 )) ⋅ µ ( x i , y1 , t n ) + V B ⋅ µ ( x i , y 2 , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x k , y1 , t n ) + k =i
2
+ a ( xi , t n ) + (V F − V B ) ⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) i=1, 2, … , I.
µˆ ( xi , y j , t n +1 ) = V F ⋅ µˆ ( xi , y j −1 , t n ) + (1 − V F − V B − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
(2.81)
)) ⋅ µˆ ( xi , y j , t n ) +
I
+ V B ⋅ µˆ ( xi , y j +1 , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) k =i
j= 2, …, J-1 , i=1, 2, … , I.
µˆ ( xi , y J , t n +1 ) = VF ⋅ µˆ ( xi , y J −1 , t n ) + (1 − VF − τ ⋅ S ( x
(2.82)
I
i−
ˆ ˆ 1 )) ⋅ µ ( x i , y J , t n ) + ∑ p k ,i ⋅ µ ( x k , y J , t n ) k =i
2
i=1, 2, … , I.
(2.83)
A kezdeti feltétel:
µˆ ( xi , y j , t n ) = 0 , n=-r,…,-1,
(2.84)
valamint
µˆ ( xi , y j , t 0 ) adott, i=1,2,…,I, j=1,2,…,J.
(2.85)
Tehát a (2.81)-(2.85) egyenletek megadják a zárt folyamatos őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszer alakjában felírt diszkrét matematikai modelljét dimenziómentes formában.
2.3. ábra. A szemcsék malombeli mozgása.
A szemcsék malombeli mozgását a 2.3. ábra szemlélteti, az eredményül kapott modell alapján a zárt folyamatos őrlés értelmezése az alábbi:
53 A (2.81) egyenlet bal oldala kifejezi a malom első szekciójában, más szóval oszlopában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában, a tn+1 időpillanatban. Az egyenlet jobb oldala szerint ez a mennyiség a következő részmennyiségekből adódik: azoknak a részecskéknek a mennyiségéből, amelyek az n-dik időpillanatban is az első szekcióban voltak, és áramlással előbbre sem jutottak, sem kisebb méretűre nem törtek egy időegység alatt. Ezt fejezi ki a jobb oldali első tag. A második tag megadja azoknak az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcséknek a mennyiségét, amelyek a tn időpillanatban a második szekcióban voltak és egy időegység alatt visszakeveredtek az első szekcióba. A harmadik tag kifejezi azoknak az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcséknek a mennyiségét, amelyek az időegység alatt lezajlott törési folyamat során váltak ebbe a méret-intervallumba tartozókká. A következő tag a még őröletlen, frissen beadagolt i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét fejezi. Az utolsó tag megadja az osztályozóból visszaküldött i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét. Az osztályozóból r időegység alatt – ami d időtartamnak felel meg – kerül vissza az anyag a malomba (vagy a keverőbe), az osztályozó működését a ψ klasszifikációs függvény írja le. A (2.82) egyenlet bal oldala kifejezi a malom tetszőleges belső szekciójában az i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat (n+1)-dik időpillanatában. Az egyenlet jobb oldala mutatja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból tevődik össze: azon i-dik méret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségéből, amelyek az előző szekcióból átkeveredtek ebbe a szekcióba egy időegység alatt, továbbá a tekintett szekcióbeli sem el nem törött, sem előre vagy hátrafelé nem keveredett i-dik méretű szemcsékből, valamint a következő szekcióból visszakeveredett i-dik méretűek mennyiségéből, és még a tekintett szekcióban maradt, idik méretűre tört szemcsék mennyiségéből. A (2.83) egyenlet bal oldala kifejezi a malom utolsó szekciójában az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék mennyiségét az őrlési folyamat során a tn+1 időpillanatában. Az egyenlet jobb oldala megadja, hogy ez a mennyiség rendre az alábbiakból áll: az utolsó előtti szekcióból előre keveredett i-dik méretű szemcsék mennyiségéből, továbbá az utolsó szekcióbeli sem el nem törött, sem előre nem keveredett i-dik méretű szemcsék mennyiségéből, és az utolsó szekcióbeli i-dik méretűre tört szemcsék mennyiségéből. A (2.81) - (2.85) egyenletek magukban foglalják a nyílt folyamatos őrlés leírását is, mert ha ψ ≡ 0, akkor a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk. A fenti levezetéssel származtatott modell azok közé tartozik, amelyek azt a szemléletet képviselik, hogy egy „időpillanat”, a modellekben előforduló nagyon rövid időlépés alatt a szemcsék áramlása és törése egymást kizáró események (Mika, 1976, Austin et al., 1984, Austin et al., 1988, Kis et al., 2004a, 2004b és 2005). Egy időegység alatt azokkal a szemcsékkel nem történik változás, amelyek az időegység elmúltával ugyanabban a szekcióban és ugyanabban a méret-intervallumban maradnak, mint amelyikben az időegység kezdetén voltak. A továbbiakban feltesszük, hogy a szemcsék száma nagy. Egy időegység alatt mindegyik szekcióban az i-dik méretű szemcsék S ( x 1 ) -szerese törik, i=1,2,…,I, tehát S ( x 1 ) az i-dik méretű szemcsék törési i−
2
i−
2
~ valószínűsége. Mindegyik szekcióból a szemcsék VF -szerese áramlik át a következő szekcióba, illetve az utolsó szekcióból ennyi távozik a kijáraton egy időegység alatt, így ~ ~ VF a szemcsék előreáramlási valószínűsége. Hasonlóképpen, V B a szemcsék visszafelé áramlási valószínűsége. A (2.81) egyenlet jobb oldali első tagjában és a (2.83) egyenlet
54 második tagjában a bal oldali tényező, (1 − V F − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
)) = 1 − (V F + τ ⋅ S ( x
i−
1 2
))
annak a valószínűségét fejezi ki, hogy az i-dik méretintervallumba tartozó szemcséket tekintve τ idő alatt sem áramlás, sem törés nem következik be. A (2.82) egyenletbeli (1 − V F − V B − τ ⋅ S ( x 1 )) = 1 − (V F + V B + τ ⋅ S ( x 1 )) tényező a malom valamelyik belső i−
i−
2
2
szekcióját tekintve jelenti ugyanezt a valószínűséget. Az 1 − (V F + τ ⋅ S ( x 1 − (V F + V B + τ ⋅ S ( x
i−
1 2
i−
1 2
)) és az
)) kifejezésekben az áramlás és a törés valószínűségét e két
esemény külön-külön vett valószínűségének az összege adja, amiből az következik, hogy a modellünkben az áramlást és a törést egymást kizáró eseményeknek tekintjük. A továbbiakban ezt a modellt Modell I-nek nevezzük. Az őrlési folyamat egy másik megközelítése is megjelenik az őrlési modellekben. Ezek a modellek azt a szemléletet képviselik, amely szerint a szemcsék áramlása és törése egymástól függetlenül megy végbe (Mihálykó et al., 1998, Berthiaux, 2000, Kis et al., 2001a, 2001b, 2002a, 2002b, 2003a, 2003b és 2003c, Kis et al., elfogadott, Mizonov et al., 2002). A (2.81), (2.82), (2.83) egyenleteket átalakíthatók úgy, hogy azok az áramlási és törési események függetlenségét fejezzék ki. Mindegyik szekcióban annak a valószínűsége, hogy egy időegység alatt az i-dik méretű szemcsék nem törnek el 1 − S ( x 1 ) , i=1,2,…,I. Annak a valószínűsége, hogy a i−
2
~ szemcsék nem áramlanak el a szekcióból az első és utolsó szekciót tekintve (1- VF ), míg ~ ~ a többi szekció esetén (1- VF - V B ). Az áramlást és a törést egymástól független eseménynek tekintve az első és az utolsó szekciót nézve (1 − V F ) ⋅ (1 − τ ⋅ S (l 1 )) annak i−
2
a valószínűsége, hogy az i-dik méretintervallumba tartozó szemcsék sem el nem áramlanak onnan, sem el nem törnek τ idő alatt. Más szekciókra ez a valószínűség (1 − V F − V B ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x 1 )) . i−
2
Az időegység alatt i-dik méretűre tört szemcsék közül csak azok maradnak a szekcióban, amelyek az időegység alatt nem áramolnak el. Ezek mennyisége rendre az első, valamelyik belső, illetve az utolsó szekció esetén I
(1 − V F ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y1 , t n ) , k =i
I
(1 − V F − V B ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) , k =i
I
(1 − VF ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y J , t n ) . k =i
Az áramlás és törés függetlenségét kifejező modell, amelyet a továbbiakban Modell IInek nevezünk:
55
µˆ ( xi , y1 , t n +1 ) = (1 − V F ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
)) ⋅ µˆ ( xi , y1 , t n ) + V B ⋅ µˆ ( xi , y 2 , t n ) +
I
+ (1 − V F ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x i , y1 , t n ) + k =i
+ a ( xi , t n ) + (V F − V B ) ⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) i=1, 2, … , I.
µˆ ( xi , y j , t n +1 ) = V F ⋅ µˆ ( xi , y j −1 , t n ) + (1 − V F − V B ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
(2.86)
)) ⋅ µˆ ( xi , y j , t n ) +
I
+ V B ⋅ µˆ ( xi , y j +1 , t n ) + (1 − V F − V B ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) k =i
j=2, …, J-1 , i=1, 2, … , I.
µˆ ( xi , y J , t n +1 ) = V F ⋅ µˆ ( xi , y J −1 , t n ) + (1 − V F ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
(2.87)
)) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n ) +
I
+ (1 − V F ) ⋅ ∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y J , t n ) k =i
i=1, 2, … , I.
(2.88)
A kezdeti feltétel:
µˆ ( xi , y j , t n ) = 0 , n=-r,…,-1,
(2.89)
valamint
µˆ ( xi , y j , t 0 ) adott, i=1,2,…,I, j=1,2,…,J.
(2.90)
A Modell II-t tekintve is igaz, hogy a ψ ≡ 0 választással a nyílt folyamatos őrlés leírását kapjuk. Abban az esetben, amikor a malom telítettségi szintjét az üzemi feltételeknek megfelelő állandó szinten kell tartani, akkor a frissen beadagolt őrlendő anyag mennyiségét az osztályozóból visszaadott mennyiségnek megfelelően változtatják. Ekkor a (2.11) összefüggés diszkretizálásából kapott I
∑ (a( x , t i =1
i
n
) + (VF − VB ) ⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r )) = k 0
(2.91)
feltétel teljesülését követelik meg, ahol k 0 az őrlőkészüléknek megfelelően megállapított konstans. Mindkét szemléletű modellbe – a (2.81)-(2.85) és a (2.86)-(2.90) egyenletekkel megadottba is – a malom u és D fizikai paraméterei a VF és VB kifejezéseken keresztül
56 épülnek be. Az őrlendő anyag paraméterei az S törési szelekciós függvényen és a B törési eloszlásfüggvényen keresztül vannak jelen a modellben. A törési szelekciós függvény és a törési eloszlásfüggvény képletének és paramétereinek meghatározásával már hosszabb ideje eredményesen foglalkoznak (Berthiaux, 1996a, Berthiaux & Dodds, 1997, Austin, 1999). Az u és D malomparaméterek meghatározására az utóbbi időben Nierop és Moys végzett kutatásokat (Nierop & Moys,1998, Nierop & Moys, 2002). Az 1998-ban publikált MBL modell is az u, D paramétereket használja. A diszkrét modell, mint késleltetett differenciaegyenlet-rendszer A (2.81) és a (2.86) egyenlet formájából jól látható, hogy a zárt folyamatos őrlést ( r + 1 ) - ed rendű differenciaegyenlet-rendszer írja le. Az ( n + 1 ) - dik időpillanatban a szemcsék eloszlását a közvetlenül megelőző és az ( r + 1 ) - gyel korábbi állapot határozza meg.
2.4. A folyamatos őrlések mátrix formában megadott diszkrét matematikai modelljei 2.4.1. A nyílt folyamatos őrlés diszkrét modellje mátrix formában A malom mindegyik szekciójában a szemcséket nagyságuk szerint rendezettnek képzeljük. A malomban a j-dik szekcióba és az i-dik szemcseméret-intervallumba tartozó szemcsék virtuális helyét a malom ( i , j ) cellájának nevezzük (Mihálykó et al., 1998). A malmot cellákra bontottnak tekintjük, amint azt a 2.4. ábra szemlélteti. A lineáris egyenletrendszer felírásához a malom celláiból létrehozunk egy vektort, a „malomvektor”-t úgy, hogy a malom ( i , j ) cellájához kölcsönösen egyértelműen hozzárendeljük a „malomvektor” ( ( j - 1 ) ⋅ I + i ) - dik elemét: (i, j ) ↔ (( j − 1) ⋅ I + i ) .
Az x n vektor elemei a tn időpillanatban a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségeit tartalmazzák. Korábbi jelölésünkkel x n (( j − 1) ⋅ I + i ) = µˆ ( xi , y j , t n ) ,
i=1,2,…,I,
j=1,2,…,J.
2.4. ábra. A malom cellái.
(2.92)
57
A folyamatos recirkuláció nélküli őrlés diszkrét matematikai modellje felírható az alábbi mátrixos formában: x n +1 = T x n + a n , n=1,2,…
ahol x0 adott.
(2.93)
A T mátrix soraiban és oszlopaiban J számú I×I méretű blokk áll – T (J⋅I)× (J⋅I) –, az x0 vektor a malom kezdeti betöltését leíró tetszőleges kezdővektor, an vektor a még őröletlen frissen betáplált szemcsék mennyiségét írja le a tn időpillanatban: ⎧τ ⎪ u ⋅ Fin ( xi , t n ) 1 ≤ i ≤ I ⎪ , n=1,2,… . a n (i) = ⎨ ⎪0 egyébként ⎪ ⎩
(2.94)
A T mátrix felépítése: ⎡ T1 ⎢T 4 ⎢ T = ⎢T 3 ⎢ ⎢ M ⎢⎣T 3
T2 T5 T4 O L
T3 T2 T5 O T3
K T3 O T5 T4
T 3⎤ M ⎥⎥ T 3⎥ , ⎥ T 2⎥ T 1⎥⎦
(2.95)
ahol T3 zérusmátrix, T2 és T4 diagonális, T1 és T5 felülről trianguláris mátrix. A T2 mátrix a szemcsék visszakeveredését írja le az előző szekcióba, a T4 mátrix a szemcsék előre áramlását fejezi ki a következő szekcióba. ⎡t1(,11) ⎢ 0 T1 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣⎢ 0
t1(,12) L t1(,1I) ⎤ ⎥ O O M ⎥ O O t I(1−)1, I ⎥ ⎥ L 0 t I(1, I) ⎥⎦
⎡V B 0 L 0 ⎤ ⎢0 O O M ⎥ ⎥ T2 = ⎢ ⎢M O O 0⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 L 0 VB ⎦
⎡V F ⎢0 T4 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣0
0 L 0⎤ O O M ⎥⎥ O O 0⎥ ⎥ L 0 VF ⎦
⎡t1(,51) ⎢ 0 T5 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎢⎣ 0
t1(,52) L t1(,5I) ⎤ ⎥ O O M ⎥ O O t I(5−)1, I ⎥ ⎥ L 0 t I(5, I) ⎥⎦
A szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintve a T1 és a T5 mátrix elemei:
58
t i(,1i) = 1 − VF − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) + p i ,i
i=1, 2, …,I
t z(1,i) = pi , z
z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I
t i(,5i ) = 1 − VF − V B − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) + p i ,i
t z(5,i) = pi , z
i=1,2, …,I z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.
A szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek feltételezve a T1 és a T5 mátrix elemei:
t i(,1i) = (1 − VF ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) + p i ,i )
t z(1,i) = (1 − V F ) ⋅ pi , z
t i(,5i ) = (1 − VF − VB ) ⋅ (1 − τ ⋅ S ( x t z(5,i) = (1 − VF − V B ) ⋅ pi , z
i=1,2, …,I z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.
i−
1 2
) + p i ,i )
i=1, 2, …,I z=1, 2, …,I-1 i=z+1, …,I.
2.4.2. A zárt folyamatos őrlés diszkrét modelljei mátrix formában
A zárt folyamatos őrlésnek a 2.3.2. alfejezetben rekurzív lineáris egyenletrendszer alakjában megadott diszkrét matematikai modellje felírható lineáris egyenletrendszer formájában, akár a (2.81)-(2.83), akár a (2.86)-(2.88) egyenleteket tekintjük. Az így származtatott modelleket nevezzük mátrix formában felírt modelleknek. A zárt folyamatos őrlés mátrix formában megadott modellje speciális esetben a nyílt folyamatos őrlés mátrix alakú modelljére redukálódik. A zárt folyamatos őrlés az alábbi mátrix formában írható le:
xˆ n+1 = T xˆ n + R xˆ n−r + a n ,
(2.96)
ahol az R mátrix mérete megegyezik a T mátrixéval, blokkokból épül fel: ⎡O R=⎢ 1 ⎣O2
~ R⎤ ⎥. O3 ⎦
(2.97)
~ Az R mátrix az osztályozó működését írja le, mérete I×I, fődiagonálisának elemei az egyes szemcseméret-intervallumokra vonatkozóan megadják, hogy az osztályozóból az őrlemény milyen arányát kell újraőrlésre visszajuttatni.
⎡r1 0 L 0 ⎤ ⎢ ⎥ ~ ⎢ 0 r2 O M ⎥ R= , ⎢M O O 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 L 0 rI ⎦
59 ahol ri = (V F − V B ) ⋅ψ ( x
i−
1 2
)
azt fejezi ki, hogy az (i,J) cella tartalmának hányad része áramlik vissza (i=1,2,…,I). Az O1, O2, O3 zérusmátrixok. A (2.85) alatti kezdeti feltétel miatt a (2.96) egyenletben xˆ 0 = x 0 a malom kezdeti állapotát leíró adott vektor, míg a (2.84) egyenlettel megadott kezdeti feltétel miatt az xˆ −r , xˆ 1−r ,…, xˆ −1 vektorok I⋅J méretű nullvektorok, xˆ −r = xˆ 1−r = ... = xˆ −1 = 0 . Nyílt folyamatos őrlés esetén – abban a speciális esetben, amikor R mátrix nullmátrix – a (2.96) egyenlet megegyezik a (2.93) egyenlettel. A zárt folyamatos őrlés diszkrét matematikai modellje megadható az alábbi mátrix formában megadott egyenlettel:
y n+1 = C y n + b n ,
n=1,2,…
(2.98)
ahol
⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ y0 = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢⎣ xˆ 0 ⎥⎦
(2.99)
⎡ xˆ n −r ⎤ ⎢ xˆ ⎥ ⎢ n −r +1 ⎥ yn = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xˆ n −1 ⎥ ⎢⎣ xˆ n ⎥⎦
(2.100)
⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ bn = ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢⎣a n ⎥⎦
(2.101)
⎡O ⎢O ⎢ C = ⎢M ⎢ ⎢O ⎢⎣ R
E O O L O
O O O O L
L O O O O
O⎤ M ⎥⎥ O⎥ . ⎥ E⎥ T ⎥⎦
(2.102)
60 A C mátrix soraiban és oszlopaiban (r+1) számú ( J ⋅ I ) × ( J ⋅ I ) méretű mátrix áll. A friss őrlendő anyag mennyiségére és az osztályozóból visszatérített anyag együttes mennyiségére vonatkozó, a (2.91) egyenlettel leírt I
∑ (a( x , t i
i =1
n
) + (VF − VB ) ⋅ψ ( x
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r )) = k 0
megszorításokat is figyelembe tudjuk venni a mátrix formában felírt matematikai modellben is. A malomba egy időegység alatt beadagolt konstans anyagmennyiséget jelölje k 0 . A korábban bevezetett ri = (V F − V B ) ⋅ψ ( x 1 ) jelölésünkkel a (2.91) egyenlet az alábbi: i−
I
∑ a( x , t i
i =1
A
n
) + ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) = k 0
∑ r ⋅ µˆ ( x , y i
1. eset:
(2.103)
i =1
I
i =1
2
I
i
J
, t n − r ) mennyiségtől függően három esetet különböztetünk meg:
I
∑ r ⋅ µˆ ( x , y i
i =1
i
J
, t n−r ) = k 0
Ebben az esetben a (2.91) egyenlet alatti feltétel teljesül, ha csak az osztályozóból újraőrlésre visszatérített szemcséket juttatjuk be a malomba, friss szemcséket nem adagolunk be a t n időpillanatban, azaz I
∑ a( x , t i =1
i
n
) = 0.
Ez esetben
y n +1 = C y n ,
n=1,2,…
(2.104)
ahol az y 0 , y n , b n vektor és a C mátrix rendre a (2.99), (2.100), (2.101) (2.102) alatti kifejezéssel van megadva. 2. eset:
I
∑ r ⋅ µˆ ( x , y i =1
i
i
J
, t n−r ) < k 0
Ebben az esetben a visszatérített nagy szemcséken kívül friss szemcséket is adagolunk be, ezek mennyisége: I
∑ i =1
I
a ( xi , t n ) = k 0 − ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n −r ) , i =1
i=1,2,…,I.
(2.105)
61 Jelölje p1, p2, … , pI a friss őrlendő anyagra vonatkozóan az egyes szemcseméret-intervallumokba tartozás valószínűségeit, ekkor pi≥0, i=1, 2, … , I és
I
∑ pi = 1 . A beadai =1
golandó friss szemcsék mennyiségei szemcseméretenként: I
I
i =1
i =1
p i ⋅ ∑ a ( xi , t n ) = pi ⋅ k 0 − p i ⋅ ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) ,
i=1,2,…,I.
Az őrlést leíró egyenlet: y n +1 = C y n + b n , n=1,2,…,
(2.106)
ahol az y 0 , y n , b n vektor és a C mátrix rendre a (2.99), (2.100), (2.107) (2.102) alatti kifejezéssel van megadva. ⎡ 0 ⎤ ⎢ M ⎥ ⎥, bn = ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣P ⋅ k ⎦
(2.107)
ahol ⎡ p1 0 P ⋅ k = ⎢⎢ 0 O ⎢⎣ 0 0
I ⎤ ⎡ ˆ k r µ ( x , y , t ) − ⋅ ∑ 0 − i i J n r ⎥ ⎢ 0⎤ i =1 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⋅ ⎢ M ⎥. I p I ⎥⎦ ⎢k 0 − ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n −r )⎥ ⎥ ⎢ i =1 ⎦ ⎣
(2.108)
A (2.91) alatti megszorítást úgy vettük figyelembe, hogy a friss szemcsék mennyiségét csökkentjük az őrlésre visszaadott szemcsék mennyiségének függvényében. A (2.106) egyenletben a b n vektor a (2.107) és (2.108) alatti kifejezéseknek megfelelően függ az
y n − r -től. A friss szemcsék mennyisége csökkentését a (2.106) egyenletben a b n vektor fejezi ki. 3. eset:
I
∑ r ⋅ µˆ ( x , y i =1
i
i
J
, t n−r ) > k 0
Ekkor az újraőrlésre visszaadott anyag mennyisége meghaladja a malomba beadagolható mennyiséget, ezért szemcseméretenként a szemcsék mennyiségének csak k0 -szorosát juttatják/juttatnák vissza a malomba a t n időpillanatban. I ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n−r ) i =1
Ez esetben az őrlemény méreten felüli részéből valamennyi felgyülemlik, amit hosszabb vagy rövidebb ideig – esetleg mint felesleges készletet – tárolni kell/kellene.
62 Amennyiben az ilyen recirkuláció kedvezőtlen üzemmódhoz vezetne, szimuláció segítségével tanulmányozzuk, hogyan kerülhetnénk el. Például a malomba az őrlés kezdetén betöltött és/vagy a friss beadagolt anyagmennyiséget kellene csökkenteni a szimulációs eredményeknek megfelelően. Így ez az üzemmód megváltoztatható úgy, hogy az 1) vagy 2) esetnél tárgyalt üzemmóddá váljon. Amennyiben az üzem szempontjából megengedett az őrlemény „méreten felüli” részének ilyen arányú visszatérítése, akkor az őrlési folyamatot leíró, mátrix formában megadott egyenlet: y n +1 = C y n ,
n=1,2,…
(2.109)
ahol ⎡O E O L ⎢O O O O ⎢ C =⎢M O O O ⎢ ⎢O L O O ⎢⎣ R O L O
O⎤ M ⎥⎥ O⎥ , ⎥ E⎥ T ⎥⎦
(2.110)
k0 ⎡ ⋅ r1 0 L I ⎢ ⎢ ∑ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) ⎢ i =1 ⎢ O O 0 R =⎢ M O O ⎢ ⎢ L 0 0 ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ . 0 ⎥ k0 ⋅ rI ⎥ I ⎥ ri ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r ) ⎥ ∑ i =1 ⎦ 0
(2.111)
2.5. A folyamatos őrlést leíró rekurzív lineáris egyenletrendszerek tulajdonságai 1. Tétel. A zárt folyamatos őrlésnek akár a (2.81)-(2.85) egyenletekkel, akár a (2.86)-(2.90) egyenletekkel megadott modelljét tekintjük, ha
τ≤
Pe ⋅ h y2 2 + Pe ⋅ h y + S ( x
1 i− 2
) ⋅ B ( xi −1 , x
1 i− 2
) ⋅ Pe ⋅ h y2
(2.112)
teljesül, akkor a zárt folyamatos őrlés egyenletrendszerében – akár a (2.81)-(2.83), akár a (2.86)-(2.88) egyenleteket tekintjük – előforduló minden együttható nemnegatív.
63 Bizonyítás. Tekintsük először azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tételezzük fel. Ekkor a (2.81)-(2.83) egyenleteket nézve, ha 1 − VF − VB − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) + p i ,i ≥ 0 ,
(i=1,2,…,I )
(2.113)
akkor az egyenletek jobb oldalain álló valamennyi tag nemnegatív, következésképpen az egyenletek bal oldalain sem fordulnak elő negatív mennyiségek. A (2.33) és a (2.76) alatti kifejezések szerint p i ,i = τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) ⋅ [ B ( xi , x
i−
1 2
) − B ( xi −1 , x
i−
1 2
)] = τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) −τ ⋅ S (x
i−
1 2
) ⋅ B ( xi −1 , x
i−
1 2
).
(2.114) A (2.35), (2.36), (2.77) (2.78) alatti kifejezéseknek megfelelően
VF = τ ⋅
1 + Pe ⋅ h y Pe ⋅ h
2 y
és VB = τ ⋅
1 . Pe ⋅ h y2
(2.115)
A (2.114) egyenletből p i ,i értékét, továbbá a (2.115) alatti kifejezéseket behelyettesítve a (2.113) egyenletbe azt kapjuk, hogy ⎛ 2 + Pe ⋅ h y ⎞ 1≥τ ⋅⎜ + S ( x 1 ) ⋅ B( xi −1 , x 1 ) ⎟ , 2 ⎜ Pe ⋅ h ⎟ i− i− y 2 2 ⎠ ⎝
(2.116)
ahonnan az egyenlőtlenség rendezésével a (2.112) alatti egyenlőtlenség adódik. Minthogy ekvivalens átalakításokat végezve jutottunk a (2.113) egyenlőtlenségből a (2.116) egyenlőtlenséghez, s tovább a (2.112) alattihoz, ezért a (2.112) egyenlőtlenség teljesülése esetén a (2.81)-(2.83) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív. Következőként nézzük azt az esetet, amikor a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintjük. Ekkor a (2.86)-(2.88) egyenletek alapján, amennyiben
1 − VF − VB ≥ 0 és 1 − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
) + p i ,i ≥ 0
(i=1,2,…,I )
(2.117)
teljesül, az egyenletrendszerben előforduló minden együttható nemnegatív. A (2.115), illetve a (2.114) alatti kifejezések felhasználásával a (2.117) alatti egyenlőtlenségek:
τ≤
Pe ⋅ h y2 2 + Pe ⋅ h y
és τ ≤
1 S ( x 1 ) ⋅ B( xi −1 , x i−
2
1 i− 2
)
, tehát
64 ⎛ ⎞ ⎜ Pe ⋅ h y2 ⎟ 1 , τ ≤ min⎜ ⎟ ⎜ 2 + Pe ⋅ h y S ( x i − 1 ) ⋅ B ( xi −1 , xi − 1 ) ⎟ 2 2 ⎠ ⎝
(2.118)
teljesülése esetén a (2.86)-(2.88) egyenletrendszerben minden együttható nemnegatív. Összehasonlítva a (2.112) és a (2.118) egyenlőtlenségeket, azt látjuk, hogy Pe ⋅ h y2 2 + Pe ⋅ h y + S ( x
1 i− 2
) ⋅ B( xi −1 , x
1 i− 2
) ⋅ Pe ⋅ h y2
<
Pe ⋅ h y2 2 + Pe ⋅ h y
,
(2.119)
mert a számlálók megegyeznek, azonban bal oldali nevező nagyobb a jobb oldalinál, és Pe ⋅ h y2 2 + Pe ⋅ h y + S ( x
1 i− 2
) ⋅ B( xi −1 , x
1 i− 2
) ⋅ Pe ⋅ h
2 y
<
1 S ( x 1 ) ⋅ B( xi −1 , x i−
2
1 i− 2
)
,
(2.120)
ugyanis mindkét oldalt elosztva Pe ⋅ h y2 -tel, ez esetben is a számlálók megegyeznek, azonban a bal oldali nevező a nagyobb. A (2.119) és a (2.120) alatti egyenlőtlenségek miatt, ha a τ-ra teljesül a (2.112) alatti szigorúbb feltétel, akkor rá a (2.118) alatti egyenlőtlenség is fennáll.
□ 1. Megjegyzés. Az 1. Tétel bizonyításakor láttuk, ha a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintjük, akkor ahhoz, hogy a modellegyenletekben minden együttható nemnegatív legyen, elegendő a (2.118) alatti egyenlőtlenség teljesülése. 1. Következmény. A folyamatos őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszerében előforduló minden Pe ⋅ h y2 teljesül. együttható nemnegatív, ha τ ≤ 2 + Pe ⋅ h y + S ( x 1 ) ⋅ B ( xi −1 , x 1 ) ⋅ Pe ⋅ h y2 i−
2
i−
2
Bizonyítás. A folyamatos őrlés kétféle, nyílt őrlés vagy zárt őrlés. A zárt őrlésre az állítás igaz, ezt mondja ki az 1. Tétel. A nyílt őrlés a zárt őrlésnek az a speciális esete, amikor a klasszifikációs függvény azonosan nulla, ψ ≡ 0 . A zárt őrlés rekurzív lineáris egyenletrendszerében – a (2.81) illetve a (2.86) egyenletekben – a ψ-t tartalmazó tag τ-tól függetlenül nemnegatív, ψ ≡ 0 esetben nullává válik.
□
65
2.6. A folyamatos őrlést leíró mátrixok tulajdonságai A T, C, C mátrixok mindegyikére igaz, hogy elemeik nemnegatívak. A T felső háromszög mátrix, C, C ritka mátrixok. A következő állításunk igazolásához felhasználjuk az alábbi tételt. Tekintsük az x ( m +1) = B ⋅ x ( m ) + f , m=0,1,…
(2.121)
alakban megadott iterációt – a B mátrix függhet az m-től is –, ahol az x ( 0 ) kezdővektorból újabb x ( m ) vektorokat származtatunk. Az iterációt stacionárius iterációnak nevezzük, ha a B mátrix nem függ m-től. 2. Tétel. Annak, hogy a (2.121) alatti stacionárius iteráció tetszőleges kezdővektorból indulva konvergáljon, szükséges és elégséges feltétele az, hogy a ρ (B ) spektrálsugárra teljesüljön, hogy ρ ( B) = max λ ( B) < 1 . A tétel bizonyítását Stoyan és Takó ismertette (Stoyan & Takó, 1993).
□ 2. Megjegyzés. Bármilyen vektornorma által indukált mátrixnorma esetén igaz a
ρ ( B) ≤ B egyenlőtlenség, hiszen bármely λ (B ) sajátértékhez tartozó v (≠0) sajátvektorra érvényes Bv=λv, λ ⋅ v = Bv ≤ B ⋅ v , azaz λ ≤ B . Tekintsük a nyílt folyamatos őrlés (2.93) egyenlettel mátrix formában megadott leírását: xn+1 = Txn + an . 3. Tétel. Jelölje λT a T mátrix egy tetszőleges sajátértékét. 1) Bármely λT –re fennáll |λT | ≤ 1, azaz a T mátrixnak nincsen 1-nél nagyobb abszolút értékű sajátértéke és 2) |λT | = 1 csak akkor teljesülhet, ha λT =1. Bizonyítás.
66 A 3. Tétel bizonyításához felhasználjuk a 2. Megjegyzést, amely szerint egy mátrix semelyik sajátértékének abszolút értéke nem nagyobb a mátrix oszlopösszegnormájánál. Ezért belátjuk azt az állítást, hogy a T mátrix oszlopösszeg-normája 1-gyel egyenlő, azaz
T
1
= 1 , ahol T
I ⋅J
1
= max ∑ t k ,l , l=1,2,…,I·J, l
(2.122)
k =1
ahol a T mátrix (2.95) alatt megadott felépítése szerint a k=1,2,…,I és l=k esetben, valamint k=I·(J-1)+1, I·(J-1)+1,…, I·J és l=k esetben t k ,l = t k(1,l) , k=n·I+1, n·I+1,…, n·I+I, és l=k, ahol n=2,3,…,(J-2) esetben t k ,l = t k(5,l) , k=1, 2, …, (J-1) ·I és l=k+I esetén t k ,l = V B , k=I+1, I+2, …, J ·I és l=k-I esetén t k ,l = V F , a T mátrix további elemei nullák. Először igazoljuk a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggést: i
∑p
= S(x
i,z
z =1
i−
1 2
)
(2.123)
Valóban, a (2.33) és a (2.76) alatti jelölés felhasználásával i
i
z =1
z =1
∑ pi , z = ∑ S ( x = S (x
i−
1 2
i−
1 ) ⋅ [ B( x z , x 2
) ⋅ [ B ( xi , x
i−
1 2
i−
1 ) − B ( x z −1 , x 2
) − B( x0 , x
i−
1 2
)] = S ( x
i−
i−
1 2
1 )] = S ( x 2
i
i−
1 )∑ [ B ( x z , x 2
z =1
).
Jelölje most l a T mátrix valamelyik oszlopának sorszámát. Az állítást a) 1≤ l ≤ I, b) I < l ≤ (I-1)⋅J, c) (I-1)⋅J < l ≤ I⋅J esetekre bontva látjuk be. a) 1≤ l ≤ I A T mátrix l-dik oszlopában az elemek összege: i
i −1
z =1
z =1
VF + ∑ t z(1,i) = VF + ∑ (1 − VF ) ⋅ pi , z + (1 − VF ) ⋅ (1 − S ( x ⎛ i ⎞ = 1 − V F + V F + (1 − V F ) ⋅ ⎜⎜ ∑ p i , z − S ( x 1 ) ⎟⎟ = 1 . i− 2 ⎠ ⎝ z =1
i−
1 2
) + p i ,i ) =
i−
1 2
) − B( x z −1 , x
i−
1 2
)] =
67
b) I < l ≤ (I-1)⋅J A T mátrix l-dik oszlopában az elemek összege: i
i −1
z =1
z =1
V F + ∑ t z( 5,i) + VB = VF + ∑ (1 − VF − VB ) ⋅ pi , z + (1 − VF − V B ) ⋅ (1 − S ( x
i−
1 2
) + p i ,i ) + V B =
⎛ i ⎞ = 1 + (1 − V F − V B ) ⋅ ⎜⎜ ∑ pi , z − S ( x 1 ) ⎟⎟ = 1 . i− 2 ⎠ ⎝ z =1
c) (I-1)⋅J < l ≤ I⋅J A T mátrix l-dik oszlopában az elemek összege: i
i −1
z =1
z =1
VB + ∑ t z(1,i) = Vb + ∑ (1 − V F ) ⋅ pi , z + (1 − VF ) ⋅ (1 − S ( x
i−
1 2
) + p i ,i ) =
⎛ i ⎞ = 1 − V F + V B + (1 − V F ) ⋅ ⎜⎜ ∑ pi , z − S ( x 1 ) ⎟⎟ = 1 − V F + V B . i− 2 ⎠ ⎝ z =1
Ezzel a 3. Tétel 1. állítását bebizonyítottuk. Térjünk rá 2. állítás bizonyítására. I ⋅J
Legyen rk = ∑ t z ,k , ahol tz,k ≥0 a T mátrix elemeit jelöli, rk a k-dik oszlophoz tartozó z =1 z ≠i
sugár nagysága (k=1, 2, …, I⋅J). A tk,k pont körüli rk sugarú kört jelölje Ck, legyen D tarI ⋅J
tomány a körtartományok egyesítése: D = U C k . A Gersgorin-tétel miatt a T mátrix k =1
minden sajátértéke a D tartományban van. A T mátrix oszlopösszegei az utolsó I számú oszlop kivételével 1-gyel egyenlők, az utolsó I számú oszlopban pedig (1 – VF + VB) az értékük. Mivel rk ≤ (1-tk,k), ezért a D tartomány a 0 középpontú 1 sugarú körben, a körívet is beleértve, helyezkedik el. Tehát T sajátértékei a 0 körüli 1 sugarú körtartományban (és a köríven) vannak. Az első (J-1)⋅I számú oszlop oszlopösszege 1, ezért 1≤ k ≤ (J-1)⋅I esetén a (tk,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott (1-tk,k) sugarú körök teljes egészében benne vannak a 0 körüli 1 sugarú körben, s azt csak az (1,0) pontban érintik. Az utolsó I számú oszlopban az oszlopösszegek értéke (1–VF+V B)<1, ezért (J-1)⋅I < k ≤ J⋅I esetén a (tk,k,0) koordinátájú pontokból, mint középpontokból húzott ((1 − V F + V B ) − t k ,k ) sugarú körök a 0 körüli 1 sugarú körön belül helyezkednek el, nincsen közös pontjuk a körvonallal. Mivel a D tartománynak egyetlen közös pontja van a 0 középpontú 1 sugarú körrel, az (1,0) pont, így igazoltuk, hogy |λT | =1 csak akkor teljesül, ha λT =1.
68
2.5. ábra. A T mátrixhoz tartozó Gersgorin-körök.
□ 2.7. A stacionárius állapot A stacionárius állapotot először a nyílt folyamatos őrlésre értelmezzük. Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az x n +1 = T x n + a egyenlet által meghatározott rekurzióból származó xn vektorsorozat határértéke – legyen lim x n = x ∞ – , akkor határátmenettel az n→∞
x∞ = T x∞ + a
(2.124)
egyenletet kapjuk. Eszerint az x ∞ -nel leírt állapot az előző időpillanatbeli állapothoz képest változatlan, tehát valóban a stacionárius állapotot jelenti. A stacionárius állapotot a zárt folyamatos őrlés esetén is hasonlóan értelmezzük. Amennyiben tetszőleges kezdővektorból indulva létezik az y n +1 = C y n + b egyenlet által meghatározott rekurzióból származó y n vektorsorozat határértéke, akkor e határértékkel leírt állapotot tekintjük a zárt őrlés stacionárius állapotának. Az őrlési gyakorlatban azt mondják, hogy beállt a stacionárius állapot, ha az őrlemény összetétele az előírt pontosság szerint már nem változik. (A kívánt pontosságot sok tényező befolyásolja, például függ az őrlőkészüléktől, az őrlendő anyagtól.) 3. Megjegyzés. A 2. Tétel szerint az xn+1 = Txn + a eljárás konvergens, ha a T mátrix spektrálsugarára teljesül, hogy ρ (T ) < 1 . A T mátrix sajátértékei közül a λT =1 sajátértéket elméleti úton nem sikerült kizárni. A λT < 1 sejtést a numerikus kísérletek eredményei és az őrlési tapasztalat alapján – amely szerint időegységenként állandó mennyiségű és összetételű friss őrlendő anyag
69 beadagolása esetén kivétel nélkül mindig beáll a malom stacionárius állapota – igaznak fogadhatjuk el. Elméleti úton a zárt őrlésre sem sikerült igazolni a ρ (C ) < 1 egyenlőtlenséget. A numerikus kísérletek azonban ez esetben is azt mutatták, hogy ρ (C ) < 1 is teljesül a törési paraméterek gyakorlatban előforduló értékeire, ha időegységenként állandó mennyiségű és összetételű friss őrlendő anyagot táplálnak be. Így numerikus kísérletekkel tudjuk alátámasztani, hogy a folyamatos őrlés diszkrét modelljének megoldása konvergens mind a nyílt, mind a zárt őrlés esetén. A numerikus kísérletek azt mutatták, hogy a diszkrét modell származtatása során alkalmazott numerikus eljárás numerikusan stabilnak bizonyult. Nem fordult elő numerikus instabilitásra utaló numerikus kísérleti eredmény.
2.8. A diszkrét modellek főbb tulajdonságai 4. Tétel. Tegyük fel, hogy 1) a malom minden egyes szekciójában az őrlés kezdeti időpillanatában azonos az anyagmennyiség, jelölje ezt A, 2) az őrlés folyamán egy időegység alatt a bejáratnál a malomba jutó anyagmennyiség (VF − VB ) ⋅ A , 3) az őrlés folyamán a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó. Ekkor a szemcsék áramlását és törését akár egymást kizáró, akár egymástól független eseményeknek tekintve, érvényes az alábbi állítás: A nyílt folyamatos őrlés és a zárt folyamatos őrlés folyamán is bármely tn időpillanatban (n=0,1,2,…) állandó az anyagmennyiség a malom minden szekciójában. Bizonyítás. Először lássuk be, hogy fennáll a bizonyítás során felhasználandó alábbi összefüggés: I
I
I
∑∑ pk ,i ⋅ µˆ ( xk , y j , t n ) = ∑τ ⋅ S ( x i =1 k = i
k =1
k−
1 2
) ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) ,
j=1, 2, …, J, n=0,1, …. (2.125)
A (2.125) egyenlőség bal oldalát átalakítjuk a (2.76) alatti – p k ,i = τ ⋅ ~ p k ,i – és a (2.33) ~ alatti – p = S ( x ) ⋅ [ B ( x , x ) − B ( x , x )] – jelölések szerint: k ,i
I
i =1 k = i I
i
k ,i
k−
I
i =1 k = i
k
k =1 i =1 I
= ∑τ ⋅ S( x
k−
1 2
k−
1 2
k−
1 2
) ⋅ [ B( xi , x k ) − B( xi −1 , x k )] ⋅µˆ ( x k , y j , t n ) =
) ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) ⋅ [ B( xi , x k , ) − B ( xi −1 , x k , )] = k
k−
i −1
1 2
⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) = ∑∑τ ⋅ S ( x
= ∑∑τ ⋅ S ( x
k =1
1 2
I
I
∑∑ p
k−
ˆ 1 ) ⋅ µ ( x k , y j , t n ) ⋅ ∑ [ B ( x i , x k ) − B ( x i −1 , x k )] = 2
i =1
70 I
= ∑τ ⋅ S ( x k =1
k−
I
= ∑τ ⋅ S ( x k =1
1 2
) ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) ⋅ [ B( x k , x k ) − B( x 0 , x k )] = I
k−
ˆ 1 ) ⋅ µ ( x k , y j , t n ) ⋅ [1 − 0] = ∑ τ ⋅ S ( x k =1
2
k−
1 2
) ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) .
Az állítás bizonyítását a nyílt folyamatos őrlés esetén hasonlóan végezzük, mint a zárt folyamatos őrlésre, ezért az állítás igazolását csak a zárt folyamatos őrlésre ismertetjük részletesen. A 2) feltétel a nyílt folyamatos őrlés esetén I
∑ a (t i =1
i
n
) = (V F − V B ) ⋅ A ,
(2.126)
míg a zárt folyamatos őrlésre I
∑ (a (t i =1
i
n
) + (V F − V B ) ⋅ψ i ⋅ µˆ ( xi , y J , t n − r )) = (V F − V B ) ⋅ A
(2.127)
teljesülését jelenti. A (2.127) alatti egyenlőség a (2.91) alatti összefüggés, ahol k 0 = (VF − VB ) ⋅ A . A bizonyítást a tn időpillanatra n szerinti teljes indukcióval végezzük, külön-külön a) j=1, b) j=2, 3, …, J-1, c) j=J esetben. Először a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintett esetben igazoljuk az állítást. a) j=1 A t0 időpillanatban az 1) feltevés miatt I
∑ µˆ ( x , y , t i
1
0
) =A.
(2.128)
i=1
Tegyük fel, hogy a tn időpillanatban az első szekcióbeli anyagmennyiség A. Ez n=0-ra teljesül. A tn+1 időpillanatban az első szekció anyagmennyisége a (2.81), (2.120) egyenlet és a 2) feltétel felhasználásával következő: I
I
i =1
i =1
∑ µˆ ( xi , y1 , t n+1 ) = ∑ (1 − VF − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
)) ⋅ µˆ ( xi , y1 , t n ) +
I
I
i =1
k =1
+ ∑ VB ⋅ µˆ ( xi , y 2 , t n ) + ∑τ ⋅ S ( x
k−
1 2
) ⋅ µˆ ( x k , y1 , t n ) + (VF − VB ) ⋅ A ,
71 ahonnan indukciós feltevésünket felhasználva kapjuk: I
∑ µˆ ( x , y , t i =1
1
i
n +1
) = (1 − V F ) ⋅ A + V B ⋅ A + (V F − V B ) ⋅ A = A .
(2.129)
A nyílt folyamatos őrlés esetén a j=1 eset bizonyítása a fentihez hasonlóan történik azzal a különbséggel, hogy a (2.127) feltétel helyett a (2.126) feltételt kell figyelembe venni. A további esetek bizonyítását is a fentihez hasonlóan végezzük. b) j=2, 3, …, J-1 A t0 időpillanatban az 1) feltevés miatt I
∑ µˆ ( x , y i
j
, t0 ) = A .
(2.130)
i=1
A j=1 esetre elvégzett bizonyítás és az indukciós feltevésünk szerint I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
j
, t n ) = A , j=1, 2,…, J-1.
(2.131)
A tn+1 időpillanatban a j=2, 3, …, J-1 szekcióban az anyagmennyiség: I
∑ µˆ ( x , y i
I
j
i =1
, t n +1 ) = ∑ (1 − VF − VB − τ ⋅ S ( x i =1
I
I
i =1
i =1
i−
1 2
)) ⋅ µˆ ( xi , y j , t n ) + I
I
+ ∑ V F ⋅ µˆ ( xi , y j −1 , t n ) + ∑ V B ⋅ µˆ ( xi , y j +1 , t n ) + ∑∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y j , t n ) , i =1 k = i
ahonnan a (2.125) és a (2.131) egyenlet felhasználásával kapjuk: I
∑ µˆ ( y i =1
j
, li , t n +1 ) = A , j=1, 2,…, J-1.
(2.132)
c) j=J A t0 időpillanatban az 1) feltevés miatt I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
J
, t0 ) = A .
Indukciós feltevésünk szerint
(2.133) I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
J
, tn ) = A .
A tn+1 időpillanatban a j=J szekcióbeli anyagmennyiség:
72
I
∑ µˆ ( x , y i
I
J
i =1
, t n +1 ) = ∑ (1 − VF − τ ⋅ S ( x i =1
I
i−
1 2
)) ⋅ µˆ ( xi , y J , t n ) + I
I
+ ∑ V F ⋅ µˆ ( xi , y J −1 , t n ) + ∑∑ p k ,i ⋅ µˆ ( x k , y J , t n ) , i =1
i =1 k = i
ahonnan a (2.125) egyenlet és az indukciós feltevés miatt I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
J
, t n +1 ) = A .
(2.134)
Ezzel az állításunkat a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre az áramlást és törést egymást kizáró eseményeknek tekintve bebizonyítottuk. A szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek feltételezve az előző esethez hasonlóan igazoljuk az állítást. Állításunkat a nyílt és a zárt folyamatos őrlésre a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményeknek tekintve is bebizonyítottuk.
□ 4. Megjegyzés. Az 1) feltevés azt fejezi ki, hogy kezdetben a malomban sehol sem torlódik az anyag. 2. Következmény. A 4. Tételben szereplő feltételek teljesülése mellett a malom minden szekciójában minden időpillanatban változatlan, az 1) feltétellel megadott A mennyiségű anyag van.
□ 3. Következmény. A 4. Tételben szereplő feltételek teljesülése mellett – akár nyílt, akár zárt folyamatos őrlés esetén – amennyiben a beadagolt anyag összetétele állandó, a stacionárius állapotban is igaz, hogy a malom minden szekciójában A mennyiségű anyag van.
□ 4. Következmény. Van olyan recirkulációs őrlés, amikor nem következik be túltelítődés.
□ Természetesen nem igaz minden zárt folyamatos őrlés esetén, hogy a malomban állandó az anyagmennyiség, mert az a visszatérített „méreten felüli” szemcsék mennyiségétől függően ingadozhat. Ha van a malomnak stacionárius állapota, a stacionárius állapot beálltát követően azonban állandó a malomban az anyagmennyiség, mégpedig minden szekcióban azonos mennyiségű anyag van. Ez az állítás csak abban az esetben igaz, ha a működési és a kinetikai paraméterek értéke az őrlési folyamat alatt válto-
73 zatlan. Az ipari őrlőmalmok között megtalálhatók azok is, amelyekben a malom vége felé haladva nő a konvektív áramlási sebesség (Tarján, 1978). Olykor még fokozzák is ezt a kívánatos jelenséget. Ezekben az őrlőgépekben a szekciók anyagmennyiségei a malom kijárata irányában csökkennek. Az őrlési gyakorlatban előfordul, hogy a kinetikai paraméterek értéke változik az őrlés folyamán, vagyis az őrölhetőség nem mindig állandó (Pethő, 1987). Ilyen esetekre sem érvényes a 4. Tétel. A malomban minden időpillanatban legalább annyi anyag van a zárt folyamatos őrlés esetén, mint a nyílt őrlés esetében, ha azonos anyagot őrölnek, a kétféle típusú őrlésnél megegyeznek a kezdeti értékek, azonos mennyiségű és összetételű friss (még őröletlen) anyagot táplálnak be, továbbá a kétféle őrlési folyamat alatt a működési és a kinetikai paraméterek megfelelő értékei rendre megegyeznek. A beadagolt friss szemcsék mennyiségével, a stacionárius állapotban a malombeli és a visszatérített anyagmennyiséggel, a késztermék mennyiségével, a malomban bekövetkezett anyagmennyiségnövekedéssel kapcsolatos fontos állításokat, észrevételeket tartalmaznak az 5-10. tételek és az 5-7. következmények. 5. Tétel. Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. E feltételek teljesülése esetén a stacionárius állapotban a folyamatos őrlés során – zárt és nyílt őrléskor egyaránt – a malom szekcióiban azonos mennyiségű anyag van. Bizonyítás. Jelölje az egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen szemcsék mennyiségét B f . Ez a mennyiség felírható a bizonyítás során könnyebbséget jelentő alábbi alakban: B f = (V F − V B ) ⋅ B . A stacionárius állapotban a j-dik szekcióban lévő összes anyagmennyiséget jelöljük A j -vel, j=1,2,…,J-re,
azaz
I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
j
, t ∞ ) = A j . Ekkor
stacionárius állapotban az egyes szekciók mennyiségeit a következő (2.135)-(2.139) egyenletek írják le, ahol a (2.135) egyenletet a (2.81) vagy a (2.86) egyenletből kapjuk i=1,2,…,I-re történő összegzéssel. A (2.136)-(2.138) egyenletek a (2.82) vagy (2.87) summázásával nyerjük, míg a (2.139) egyenletet a (2.83) vagy a (2.88) egyenletből ugyanígy eljárva származtatjuk. I
A1 = (VF − VB ) ⋅ B + (1 − VF ) ⋅ A1 + VB ⋅ A 2 + (VF − VB ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
A2 = VF ⋅ A1 + (1 − VF − VB ) ⋅ A2 + V B ⋅ A 3 M A j = V F ⋅ A j −1 + (1 − V F − V B ) ⋅ A j + V B ⋅ A j +1 AJ −1
M = VF ⋅ AJ − 2 + (1 − VF − V B ) ⋅ AJ −1 + VB ⋅ AJ
AJ = VF ⋅ AJ −1 + (1 − VF ) ⋅ AJ . A (2.139) egyenlet rendezésével V F ⋅ (V J −1 − V J ) = 0, ezért
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ )
(2.135) (2.136) (2.137) (2.138) (2.139)
74
AJ −1 = AJ = Akonst .
(2.140)
A (2.138) egyenletbe visszahelyettesítéssel adódik: Akonst = VF ⋅ AJ − 2 + (1 − VF − VB ) ⋅ Akonst + VB ⋅ Akonst , így AJ − 2 = Akonst .
(2.141)
Folytatva a visszahelyettesítéseket j ≥ 2 esetén, felhasználva, hogy AJ = AJ −1 = ... = A j = Akonst , a (2.137) egyenletből kapjuk: Akonst = V F ⋅ A j −1 + (1 − V F − V B ) ⋅ Akonst + V B ⋅ Akonst ,
tehát j ≥ 2 esetén A j −1 = Akonst
(2.142)
is teljesül. Összefoglalva, a (2.140)-(2.142) egyenlőségek miatt stacionárius állapotban a malom minden szekciójában azonos mennyiségű anyag van, A1 = ... = AJ = Akonst .
(2.143)
□ 6. Tétel. Tegyük fel, hogy az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Jelölje B f az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét. Ez a mennyiség legyen ismét B f = (V F − V B ) ⋅ B alakban megadva. Jelölje Akonst a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget. Ekkor a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyag mennyisége (VF − VB ) ⋅ ( Akonst − B) . Bizonyítás. Az 5. tételben bevezetett jelöléseknek megfelelően, a stacionárius állapotban a j-dik szekcióban lévő összes anyagmennyiséget jelölje A j , j=1,2,…,J-re, azaz I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
j
, t ∞ ) = A j , és jelölje µˆ ( xi , y J , t ∞ ) a J-dik szekcióban található i-dik méretű
szemcsék mennyiségét a stacionárius állapotban. A (2.135)-(2.139) egyenletek összegezésével: A1 + A2 + ... + AJ =
75 I
= (VF − VB ) ⋅ B + A1 + A2 + ... + AJ −1 + (1 − VF + VB ) ⋅ AJ + (VF − VB ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ )
. Így I
(V F − VB ) ⋅ B + (−V F + V B ) ⋅ AJ + (VF − V B ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) = 0 ,
ahonnan azt kapjuk, hogy I
(V F − VB ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) = (VF − VB ) ⋅ ( AJ − B) ,
(2.144)
továbbá a (2.143) alatti egyenlőségek szerint AJ = Akonst , így I
(VF − VB ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) = (VF − VB ) ⋅ ( Akonst − B) .
(2.145)
Tehát azt kaptuk, hogy stacionárius állapotban az osztályozóból a visszatérített anyagmennyiség (VF − VB ) ⋅ ( Akonst − B) .
□ 5. Következmény. Nyílt folyamatos őrléskor időegységenként a malomba betáplált azonos összetételű és őrölhetőségű, friss, még őröletlen szemcsék mennyiségét jelölje B f . Legyen ez a mennyiség B f = (V F − V B ) ⋅ B alakban megadva. Tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Jelölje Akonst a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiséget. Ekkor a stacionárius állapotban a malom egyes szekcióiban levő anyagmennyiség és a Bf . friss beadagolt szemcsék mennyisége közötti kapcsolat: Akonst = VF − VB Bizonyítás. Felhasználva, hogy (VF − VB ) =
1 > 0 , a (2.145) egyenlet mindkét oldalát Pe ⋅ h y2
(VF − VB ) -vel osztva azt kapjuk, hogy I
∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) = Akonst − B .
(2.146)
A (2.146) egyenlőségből az is látható, hogy nyílt folyamatos őrlés esetén, azaz amikor
76 I
∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) = 0 , akkor B = Akonst , ezért
B f = (V F − V B ) ⋅ Akonst
s így az állítás igaz.
□ 7. Tétel. Tegyük fel, hogy az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Ekkor a stacionárius állapotban egy időegység alatt az őrlési folyamatot végleg elhagyó anyag, a késztermék mennyisége megegyezik a beadagolt friss anyagmennyiséggel. Bizonyítás. Jelölje B f az őrlés folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyiségét, ez a mennyiség felírható B f = (V F − V B ) ⋅ B alakban. Jelölje Aout az őrlési folyamatból egy időegység alatt végleg távozó anyag mennyiségét, azaz a méreten aluli szemcsék mennyiségét, ekkor I
Aout = (VF − VB ) ⋅ ∑ (1 − ψ ( x i =1
i−
1 2
)) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) =
I
I
i =1
i =1
= (VF − VB ) ⋅ ∑ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) − (VF − VB ) ⋅ ∑ψ ( x Az 5. Tételben bevezetett jelöléseinkkel
I
∑ µˆ ( x , y i =1
i
J
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ )
(2.147)
, t ∞ ) = AJ , a (2.145) egyenlet jobb
oldalának utolsó tagját a (2.144) figyelembe vételével írjuk fel, kapjuk: Aout = (VF − VB ) ⋅ AJ − (VF − VB ) ⋅ ( AJ − B ) = (VF − VB ) ⋅ B ,
(2.148)
s ezzel az állításunkat bebizonyítottuk.
□ 8. Tétel. Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Jelölje B f az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét, legyen B f = (V F − V B ) ⋅ B .
77 Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyiArec + J ⋅ ( B − A) . ség növekedése a malomban – jelöljük A∆ -val –, A∆ = J ⋅ (VF − VB ) Bizonyítás. Jelölje Arec a stacionárius állapotban az osztályozóból visszatérített anyagmennyiséget: I
Arec = (V F − VB ) ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) ,
(2.149)
innen a (2.145) alatti egyenlőség felhasználásával Arec = (VF − VB ) ⋅ ( AJ − B) = (VF − VB ) ⋅ ( Akonst − B ) , ahonnan
Akonst =
Arec + B. (VF − VB )
(2.150)
A stacionárius állapotig a malomban az anyagmennyiség növekedése A∆ = J ⋅ Akonst − J ⋅ A , ahonnan
A∆ = J ⋅
Arec + J ⋅ ( B − A) . (VF − VB )
(2.151)
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
□ 6. Következmény. Tegyük fel, hogy egy időegység alatt a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége B f = (V F − V B ) ⋅ A , ahol A jelöli az őrlés kezdeti időpillanatában az egyes szekciókban lévő azonos anyagmennyiséget. Továbbá tegyük fel, hogy a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Ekkor a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyiArec , vagyis A∆ arányos azzal az anyagség növekedése a malomban A∆ = J ⋅ (VF − VB ) mennyiséggel, amennyi a stacionárius állapotban visszaáramlik a malomba annyi idő alatt, amíg az anyag végighalad a malmon. Bizonyítás. A feltételünk miatt A=B, ekkor a (2.151) alatti összefüggés szerint
78
A∆ = J ⋅
Arec . (VF − VB )
(2.152)
□ 5. Megjegyzés. A (VF − VB ) -t a szemcsék relatív előre haladási sebességének tekintjük a malomban. A 1 megadja azt az időt, amely az malom hosszát egységnyinek tekintve, (V F − V B ) anyagnak a malmon való végighaladásához szükséges. Amíg az anyag végighalad a Arec mennyiségű anyag áramlik vissza az osztályozóból. Ezért a (2.152) malmon, (VF − VB ) alatti összefüggés alapján megállapíthatjuk, hogy a malombeli anyagmennyiség növekedése arányos azzal az anyagmennyiséggel, amennyi a stacionárius állapotban visszaáramlik a malomba annyi idő alatt, amíg az anyag végighalad a malmon. Az arányossági tényező a szekciók száma. 9. Tétel. Jelölje µˆ krit a malombeli kritikus tömeget, vagyis azt a legnagyobb anyagmennyiséget, amely még nem okozza a malom túltelítődését. Tegyük fel, hogy az őrlési folyamat során ψ ( x 1 ) ≥ c konst teljesül i=1,2,…,I-re és c konst < 1 . Tegyük fel, hogy az őrlés i−
2
folyamán időegységenként a malomba kerülő friss, még őröletlen anyag mennyisége és összetétele, a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlés folyamán. Jelölje B f az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyiségét, legyen ez a mennyiség B f = (V F − V B ) ⋅ B . A malom túltelítődése elkerülhető,
ha
az
időegység
alatt
beadagolt friss 1 − c konst ⋅ µˆ krit . anyagmennyiségre teljesül az alábbi egyenlőtlenség: B f ≤ (VF − VB ) ⋅ J Bizonyítás. Az alábbi egyenlőtlenségnek teljesülnie kell, mert különben túltelítődés következne be: A∆ ≤ µˆ krit − J ⋅ A .
(2.153)
A (2.149) és a (2.150) egyenletekből azt kapjuk, hogy I
Akonst = ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ ) + B .
(2.154)
A (2.153) egyenlőtlenséget, az A∆ = J ⋅ Akonst − J ⋅ A kifejezést, valamint a (2.154) alatti összefüggést felhasználva kapjuk:
79 I
µˆ krit ≥ A∆ + J ⋅ A = J ⋅ Akonst − J ⋅ A + J ⋅ A = J ⋅ Akonst = J ⋅ B + J ⋅ ∑ψ ( x i =1
i−
1 2
) ⋅ µˆ ( xi , y J , t ∞ )
(2.155) Mivel a feltételünk szerint
ψ (x
i−
1 2
) ≥ c konst (< 1)
(2.156)
mindig teljesül i=1,2,…,I-re, így ezt és a (2.155) egyenlőtlenséget tekintve kapjuk J ⋅ Akonst ≥ J ⋅ B + J ⋅ c konst ⋅ Akonst , s így Akonst ≥
1 ⋅B. 1 − c konst
(2.157)
A (2.155) és a (2.157) egyenlőtlenségekből
µˆ krit ≥ J ⋅ Akonst ≥
J ⋅B, 1 − c konst
(2.158)
ahonnan B-re az alábbi egyenlőtlenség adódik
B≤
1 − c konst ⋅ µˆ krit . J
(2.159)
A (2.159) alatti egyenlőtlenségből és B f = (V F − V B ) ⋅ B feltevésből kapjuk, hogy a beadagolt anyagmennyiségre teljesülnie kell az alábbi egyenlőtlenségnek:
B f ≤ (VF − VB ) ⋅
1 − c konst ⋅ µˆ krit . J
(2.160)
□ 6. Megjegyzés. A (2.159) és (2.160) egyenlőtlenségekből az is kiadódik, hogy ha c konst → 1 , akkor B → 0 , illetve B f → 0 . 7. Megjegyzés. Ha c konst = 1 lenne, akkor a klasszifikációs függvény értékeire vonatkozó 1 ≥ ψ ( x 1 ) ≥ c konst = 1 feltételt is figyelembe véve ψ = 1 lenne, ami azt jelentené, i−
2
hogy az osztályozóból minden szemcsét visszatérítenénk újraőrlésre, továbbá a (2.159)
80 egyenlőtlenség miatt B=0 lenne, ami azt jelentené, hogy a stacionárius állapot beállta után már megszűnne a beadagolás a malomba. 10. Tétel. Ha a T és az R mátrix mindig nemnegatív, akkor x n ≤ xˆ n (az egyenlőtlenséget komponensenként értve). Bizonyítás. R ≥ 0 esetén, felhasználva, hogy xˆ n − r ≥ 0 , xˆ n +1 − x n +1 = T ⋅ ( xˆ n − x n ) + R ⋅ xˆ n − r ≥ T ⋅ ( xˆ n −1 − x n −1 ) ≥ ... ≥ T ⋅ ( xˆ 0 − x 0 ) . A kezdeti feltételek miatt xˆ 0 = x 0 , ezért xˆ n +1 − x n +1 ≥ 0 .
□ 7. Következmény. Zárt folyamatos őrléskor legalább ugyanannyi mennyiségű őrlemény keletkezik, mint nyílt folyamatos őrlést végezve, hiszen komponensenként teljesül az x n ≤ xˆ n egyenlőtlenség.
□
81
3. A numerikus kísérletek eredményei 3.1. A numerikus kísérletek célja, feltevések Numerikus kísérletekkel igazolom a kifejlesztett modellek és a rájuk alapozott számítógépes szimuláció alkalmasságát a folyamatos őrlés tanulmányozására. Megmutatom, hogy a termelés szempontjából a modell alkalmazása azzal a haszonnal jár/járna, hogy megvalósítható/megvalósítható lenne a malom üzembiztonsági és takarékossági szempontokat is figyelembe vevő üzemeltetése. A numerikus kísérletek elvégzésével, a kapott eredmények ismertetésével és kiértékelésével az alábbi célokat kívánom elérni: a) Bizonyítani a modellek és a szimuláció alkalmasságát a nyílt és a zárt folyamatos őrlés tanulmányozására. Igazolni, hogy a diszkretizáció finomításával kapott számítási eredmények konvergensek. Bemutatni, hogy a szimuláció útján nyert eredmények megfelelnek a várakozásoknak, a malom várható viselkedésével összhangban vannak, amit az irodalomból vett mérési eredményekkel való egyezéssel is alátámasztok. b) Példákat bemutatni a modellek alkalmazására, amelyek jól szemléltetik a szimuláció használatának előnyeit az őrlési folyamat tervezésére, optimalizálására. c) Elemezni a fizikai jellemzők, a különböző paraméterek hatását. A numerikus kísérleti eredményekkel alátámasztani a velük kapcsolatos feltevéseinket, mivel a rájuk vonatkozó ismeretek felhasználhatók a malom takarékos működtetésének megállapítására, az őrlés megtervezésére a kívánt finomságú késztermék elérése érdekében. d) A tranziens állapotot elemezni. e) Az irodalomban előforduló egyes állításokat ellenőrizni; megerősíteni vagy cáfolni a sejtéseket és megállapításokat. Például célom az üzemi termelékenységgel kapcsolatos adatok, megállapítások ellenőrzése, igazolása. f) Az őrléssel kapcsolatos matematikai jellegű állításokat, érdekességeket illusztrálni. Ilyen állítás például az, hogy a diszkrét matematikai modelleknek létezik az aszimptotikus megoldása. Érdekességként megemlítem a malombeli anyagmennyiség oszcillációját bizonyos esetekben, továbbá összehasonlítom a szemcsék áramlása és törése közötti kapcsolatot különbözőképpen szemlélő modellek számítási eredményeit. Numerikus kísérleteket mindkét szemléletű modellel végeztem, a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményként kezelő modellel, azaz Modell I-gyel is, valamint az áramlás és törés függetlenségét feltételező modellel, Modell II-vel is. Az ismertetésre kerülő kísérletekben – a kétféle megközelítés összehasonlítását bemutatót kivéve – a Modell I-et használom. Ugyanezek a kísérletek a másik modellel is elvégezhetők. A Modell I. választásának az az oka, hogy a folytonos matematikai modellből a diszkrét modell matematikailag korrekt levezetése során előbb Modell I-et kaptam meg. Ezt követően τ nagyságrendű tagok hozzá vételével származtattam Modell II-őt, ezért Modell II-ben nagyobbak a hibatagok. Az irodalomban fellelhető kevés szimulációs eredmény mind a szemcsék áramlását és törését egymástól független eseményként kezelő modellekhez kapcsolódik, ezért is tartottam érdemesebbnek – a dolgozat terjedelmi korlátait is figyelembe véve – a még hiányzó, az áramlást és törést kizáró eseményként szemlélő modellel számított eredmények bemutatását. A numerikus kísérletek tanúsága szerint a szimulációs időlépés csökkentésével a Modell I és a
82 Modell II számítási eredményei közötti különbségek jelentősen csökkennek, a Modell II eredményei „hozzá igazodnak” a Modell I eredményeihez. A malom az őrlés megkezdésekor betöltött vagy üres állapotban lehet. Az őrlés betöltetlen malomban is megkezdődhet. A numerikus kísérleteknél feltételeztem, hogy a malomba az őrlés megkezdése előtt betöltöttek valamennyi anyagot, amely ott egyenletesen szétterült. A betöltött anyagot egységnyi mennyiségűnek tekintettem, az 1 időegységenként beadagolt anyag mennyisége a numerikus kísérleteknél (VF − VB ) ⋅ J volt, a numerikus kísérletek leírásánál csak az ettől eltérő értékeket tüntettem föl. A legnagyobb szemcseméret felénél nagyobb szemcséjű, azaz ~ x max / 2 -nél nagyobb méretű szemcséket tartalmaz a kezdeti betöltött anyag és a frissen beadagolt anyag is. Ezek a feltevések – amelyek természetesen megváltoztathatók –, onnan erednek, hogy az ilyen beadagolás a gyakorlatban is előfordul (Nikolov & Lucion, 2002). A malomba az őrlés megkezdése előtt betöltött és a frissen beadagolt anyag szemcseméret szerinti xmax / 2 , ~ xmax ] szemcsemérettömegeloszlása tetszőleges lehet, a kísérletekhez az [ ~ intervallumon diszkrét egyenletes eloszlást választottam, amely szintén előfordult az irodalomban a kísérletek leírásánál. A számítógépi programok C programozási nyelven és Matlab programcsomaggal készültek. A programok számára a megállási feltételt a kívánt pontossággal és a maximális iterációszámmal adtam meg. Cellánkénti összehasonlítást végezve megvizsgáltam az iteráció n-dik és ( n − 1) -dik lépésében – az n-dik és az ( n − 1) -dik időpillanatban – a megfelelő cellabeli mennyiségek eltérését. A kívánt pontosságot elértük, ha minden cella esetén ε-nál kisebb eltérést tapasztalunk. A túlságosan elhúzódó programfutás elkerülésére maximális végrehajtási számot is megadtam. Amint a 2. fejezetben igazoltam azt, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén a stacionárius állapot velejárója, hogy az egyes szekciókban azonos mennyiségű anyag van. Azt, hogy az előírt pontosság elérése stacionárius állapothoz vezetett-e, a malom térszekcióiban levő anyagmennyiségek összegével is figyeltem ezekben az esetekben. Észrevettem, hogy az irodalomban közölt kísérleteknél a szekciók és szemcseméret szerinti osztályok számát 10-hez közeli vagy annál kisebb értéknek választották (Espig & Reinsch, 1996, Kolacz & Sandvik, 1996, Berthiaux, 2000, Godet-Morand et al., 2002). Numerikus kísérletekkel megállapítottam, hogy a szekciók számának J=20, illetve a méretosztályok számának I=20 választása megfelelőnek bizonyult abban az értelemben, hogy általában J=14-től, illetve I=14-től a J, I értékének további növelése már nem vezetett a statisztikai jellemzők számottevő változásához. A szimulációs időlépés hosszát a (2.112) egyenlőtlenség alapján a Pe ⋅ h y2 τ≤ 2 + Pe ⋅ h y + S (x 1 ) ⋅ B ( xi −1 , x 1 ) ⋅ Pe ⋅ h y2 i−
2
i−
2
feltétel figyelembevételével választottam. ~ A késleltetés időtartama, d nemnegatív szám, értéke a nagyméretű szemcsék keverőbe történő visszajuttatásától függ. A malom paramétereit, a hosszúság, a konvektív áramlási sebesség, az axiális diszperziós tényező értékét az irodalomból választottam. Ugyanígy, az osztályozó működését leíró klasszifikációs függvényt is, amelynek értéke az őrlemény finom részére a 0 közelében van, míg a durva részére az 1 közelében (Molerus, 1969, Molerus
83 & Glückner, 1996, Chmelar & Sandvik, 2002, Godet-Morand et al., 2002). A numerikus kísérletekben főként a Molerus-féle klasszifikációs függvényt használtam. Mivel az osztályozó működését több szerző is jellemezte „fish-hook” alakú tapasztalati görbével (Espig & Reinsch, 1996, Benzer et al., 2001, Braun et al., 2001, Godet-Morand et al., 2002, Kobayashi et al, 2004), e függvénnyel kapcsolatos numerikus eredményeket is bemutatok a 3.2.2. alfejezetben. Az őrlendő anyag jellemzői, a legnagyobb szemcseméret, és a törési paraméterek szintén irodalomban közölt adatok. Hasonlóképpen, az irodalomból származik a numerikus kísérletekhez a szelekciós függvény és a törési eloszlás- vagy sűrűségfüggvény is. A numerikus kísérletek során az őrlemény legfontosabb statisztikai jellemzőit, a szemcseméret szerinti tömegeloszlást vagy a maradék-eloszlást, az átlagos szemcseméretet és a szórást számítottam ki. A t n időpillanatban a malomban tartózkodó anyag szemcseméret szerinti tömegeloszlását a malom y j koordinátájánál, illetve a kijáraton távozó anyag eloszlását a stacionárius állapotban az alábbi összegekkel számoltam:
∑ µˆ ( x , y
M j ( x, t n ) = M j ( x) =
i
xi ≤ x
∑ µˆ ( x , y i
xi ≤ x
j
j
, tn )
, t∞ )
j=1,2,…,J
(3.1)
j=1,2,…,J.
(3.2)
A „méreten felüli” szemcsék tömeg-eloszlásfüggvényeit – R j ( x, t n ) -ket, j=1,…,J –, rövidebben a maradék-eloszlásfüggvényeket a malom y j koordinátájánál a t n időpillanatban, továbbá a stacionárius állapotban az őrlemény maradék-eloszlásfüggvényét az alábbiak szerint származtattam: R j ( x , t n ) = 1 − M j ( x, t n ) ,
j=1,2,…,J
(3.3)
R j ( x) = 1 − M j ( x)
j=1,2,…,J.
(3.4)
A modellegyenleteknek megfelelően az őrlemény összetétele a malom kijáratánál a t n időpillanatban megegyezik az utolsó szekcióban lévőével, így az őrlemény átlagos szemcseméretét és szórását a malom kijáratánál az alábbi képletekkel számítottam: I
µ out (t n ) = ∑ x i =1
⎛
1 i− 2
⋅
µˆ ( xi , y J , t n ) M J ( x max , t n )
I
σ out (t n ) = ⎜⎜ ∑ x 2 1 ⋅ ⎝
i =1
i−
2
µˆ ( xi , y J , t n ) ⎞
2 ⎟ − µ out (t n ) , ⎟ M J ( x max , t n ) ⎠
(3.5)
(3.6)
ahol µ out (t n ) és σ out (t n ) jelöli az átlagos szemcseméretet, illetve a szórást a t n időpillanatban. A stacionárius állapotban ezeket a mennyiségeket µ out és σ out jelöli.
84 A modellek paraméterei két csoportba oszthatók, az egyik csoportba a készülékekre – a malomra és az osztályozóra – vonatkozók, a másikba az őrlendő anyagra vonatkozók tartoznak. ~ A malom paraméterei a hosszúság: Y (m), a konvektív áramlási sebesség: u (m/s), az axiális diszperzió: D (m2/s). Az osztályozó paraméterét/paramétereit a klasszifikációs függvény tartalmazza. Az irodalomban különféle alakú klasszifikációs függvények xcut (µm) –, amely azt a találhatók, ezek mindegyikének paramétere a vágási méret – ~ méretet jelenti, amelynél az őrleményt szétválasztják finom és durva részekre, vagy más szóval a „méreten aluli” és a „méreten felüli” szemcsék alkotta részekre. A malomparaméterekből felépülő nagyon gyakran használt paraméterek az átlagos tartózkodási ~ ~ Y u ⋅Y . (s) és a Péclet-szám: Pe = idő: t = u D xmin –, Az őrlendő anyag paraméterei a legnagyobb és a legkisebb szemcseméret – ~ x max , ~ amelynél nagyobb illetve kisebb szemcse az őrlési folyamat során nem fordul elő. Ez utóbbi egyben az anyag őrölhetőségi határát is jelenti, amit a numerikus kísérletekhez általában 0-nak választanak (Stoyan et al., 1998, Mihálykó et al., 1998). További paraméterek a törési szelekciós függvény k és α paramétere, valamint a törési eloszlásfüggvény β, γ, Φ paramétere. E függvények általánosan használt alakját és paramétereik gyakori értékeit az 1.4. alfejezetben ismertettem. A törési szelekciós függvény gyakori alakja: S ( x) = k ⋅ x α , ahol a k paraméter egy (szimulációs) időegységre vonatkozó paraméter. A törési szelekciós függvény értéke kiszámításához az időegységet valamilyen mértékegységben – általában s-ban – rögzítik, K s ezzel a mértékegységgel kifejezett időegységre vonatkozó paraméter. A kísérletek során előforduló mennyiségeket az irodalomban szokásos mértékegységeikkel kifejezve adom meg. A malom hossza m-ben, a konvektív áramlási sebesség m/s-ban, a K s törési paraméter 1/s-ben kifejezve szerepel. A szemcseméretet m-ben vagy gyakrabban µm -ben adják meg. A τ és d dimenziómentes mennyiségek – τ a szimulációs időegység, d a késleltetés időtartama –, a tényleges fizikai időt és a ~ ~ ~ Y Y t = t ⋅τ ⋅ t = t ⋅τ ⋅ , illetve a d = d ⋅ t = d ⋅ tényleges késleltetés időtartamát a ~ u u képlettel kapjuk. A szemcseméret szerinti felosztások számát, I-t és a szekciók számát, J-t, általában 20nak választottam a szimulációs időegység τ = 0.05 választása mellett. E technikai paraméterek értékei megállapítására végzett numerikus kísérletek eredményei azt mutatták, hogy a fenti értékek megfelelő pontosságot eredményeznek abban az értelemben, hogy a fenti értékekkel számolt és a további finomításokkal kapott számítási eredmények között ezrednyi, tízezrednyi eltérések mutatkoztak. Az egyes kísérleteknél e technikai paraméterek értékeit csak akkor tüntetem fel, ha azok eltérnek a fentiektől.
85
3.2. Numerikus kísérletek A bemutatásra kerülő numerikus kísérleteket a 3.1. alfejezet elején szereplő szempontok szerint csoportosítva ismertetem. 3.2.1. Numerikus konvergencia-vizsgálat és a modellek alkalmazhatóságának igazolása
A numerikus konvergencia vizsgálata Nagyszámú numerikus kísérletet végeztem a numerikus konvergencia vizsgálatára, a szekciók és a szemcseméret szerinti intervallumok száma – J, illetve I – növelésének a hatását vizsgáltam az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzőire nézve. Minden esetben azt tapasztaltam, hogy az átlagos szemcseméret értékei is, a szórás értékei is fokozatosan tartanak egy-egy számhoz, az őrlemény stacionárius állapotbeli tényleges átlagos szemcseméretéhez, illetve szórásához. Ennek szemléltetésére egy kísérletet ismertetek a Molerustól származó – a 3.1. ábrán látható – klasszifikációs 1 , ahol példánkban az függvény választásával, azaz ψ ( x) = 1 − x ( − c (1− )) x xcut 1+ ⋅e xcut osztályozót jellemző c paraméter értékét 20-nak, míg az xcut vágási méretet xcut = x max / 2 -nek választottuk (Molerus, 1969).
3.1. ábra. A Molerus-féle klasszifikációs függvény.
A kísérletben I=J. Jelölje az őrlemény I-től függően kiszámított átlagos szemcseméretét I I , illetve σ out . Az I=4, 6, … választásnál a és szórását a stacionárius állapotban µ out I 20 − µ out µ out
és a
I 20 − σ out σ out
relatív eltéréseket számítottam ki és foglaltam bele a 3.1. 20 20 µ out σ out x max = 1000 µm-nek választottam. táblázatba. A legnagyobb szemcseméretet ~ ~ x = 0 (µm), (A további paraméterek u=0.014 (m/s), D=0.008 (m2/s), Y = 6 (m), ~ min
K s = 10
−3
(1/s) , α=1.50, β=4.50, γ=1.20, Φ=0.52, d=2, ε = 10
−10
.)
86 3.1. táblázat. A stacionárius állapotban az átlagos szemcseméretek és szórások relatív eltérései az I=J=20 esetben számított értékektől, a J, I különböző választásai esetén. A szemcseméret szerinti osztályok és szekciók száma, I=J 4 6 8 10 12 14 16 18
I 20 − µ out µ out
I 20 − σ out σ out
20 µ out
20 σ out
0.02183 0.01287 0.00801 0.00524 0.00361 0.00251 0.00130 0.00058
0.08756 0.03974 0.02143 0.01271 0.00793 0.00506 0.00268 0.00132
A 3.1. táblázatból látható, hogy I = J > 14 esetben az I=J érték további növelése nagyon kicsiny változásokat eredményez. Ez a példa is alátámasztja a kutatóknak azt a nézetét, amely szerint a szemcseméret-osztályok és szekciók számát elegendő 10-hez közeli értéknek választani (Espig & Reinsch, 1996, Kolacz & Sandvik, 1996, Berthiaux, 2000, Godet-Morand et al., 2002).
3.2. ábra. Az átlagos szemcseméretek és szórások relatív eltérései a stacionárius állapotban az I függvényében, (J=I).
A 3.2. ábra az átlagos szemcseméretek és szórások relatív eltéréseit – a I 20 σ out − σ out
I 20 µ out − µ out 20 µ out
és
értékeket, I=2,4,…,18 – szemlélteti a stacionárius állapotban a 20 σ out szemcseméret szerinti felosztások száma, az I függvényében, (J=I). A malom és az őrlendő anyag paramétereinek különféle megválasztása esetén – a fentihez hasonlóan – azt tapasztaltam, hogy általában 14-nél nagyobb (sőt esetenként már
a
87 10-nél nagyobb) I, J értékekre a statisztikai jellemzők változása csekély. Ez ismételten alátámasztja a kutatóknak azt a nézetét, hogy J és I értékét elegendő 10-14-hez közeli értéknek választani. Az I=J=20 esetben a stacionárius állapotban számított értékeket elfogadjuk az őrlemény stacionárius állapotbeli valódi értékeinek, ugyanígy a szemcseméret szerinti eloszlásfüggvényt, illetve maradék-eloszlásfüggvényt a stacionárius állapotbeli eloszlásfüggvénynek, illetve maradék-eloszlásfüggvénynek tekintjük. A 3.3. ábra az őrlemények, míg a 3.4. ábra a késztermékek maradék-eloszlásfüggvényeit illusztrálja az I=J=16, I=J=18 és I=J=20 esetekben.
3.3. ábra. Az őrlemények maradékeloszlásfüggvényei a stacionárius állapotban, ahol a szemcseméret szerinti osztályok és a szekciók száma I=J=16, I=J=18 és I=J=20.
3.4. ábra. A késztermékek maradékeloszlásfüggvényei a stacionárius állapotban, ahol a szemcseméret szerinti osztályok és a szekciók száma I=J=16, I=J=18 és I=J=20.
A numerikus konvergencia kevésbé érzékeny a szekciók számának változtatására, mint a szemcseméret szerinti felosztásokéra, amint ez a 3.2. táblázatból is látható. A szekciók számának J=20 rögzített értékénél vizsgáltam a szemcseméret szerinti felosztások száma növelésének a hatását, illetve rögzített I=20 szemcseméretintervallumnál a szekciók száma növelésének következményét.
A 3.2. táblázatban a
I 20 µ out − µ out
20 µ out
,a
I 20 σ out − σ out
20 σ out
,a
J 20 µ out − µ out
20 µ out
és a
J 20 σ out − σ out
20 σ out
relatív
eltéréseket tüntettem fel. A szekciók számának J=20 rögzített értékénél vizsgáltam a stacionárius állapotban az átlagos szemcseméretek és a szórások relatív hibáit. Ezek grafikonjait a 3.5. és a 3.6. ábra szemlélteti. A szemcseméret szerinti felosztások számának növelésével a relatív hibák csökkennek, amint ezt a 3.2. táblázat és a 3.5, 3.6. ábra is alátámasztja. Az átlagos szemcseméretek relatív hibái egy nagyságrenddel kisebbek a szórások relatív hibáinál. Amennyiben a szemcseméret szerinti felosztások számát I=20 értéknél rögzítjük, a szekciók számának növelése mind az átlagos szemcseméretek, mind a szórások relatív hibáinak lényegesen kisebb változását idézi elő, amint ezt a 3.2. táblázat adatai is megerősítik.
88 3.2. táblázat. A stacionárius állapotban az átlagos szemcseméretek és szórások relatív eltérései J=20 és I különböző választásai, valamint I=20 és J különböző választásai esetén.
A szekciók száma, J=20 I
4 6 8 10 12 14 16 18
A szemcseméret szerinti felosztások száma, I=20
I 20 µ out − µ out
I 20 σ out − σ out
20 µ out
20 σ out
0.01197 0.00625 0.00581 0.00532 0.00356 0.00229 0.00133 0.00057
0.08391 0.03962 0.02295 0.01442 0.00930 0.00589 0.00347 0.00165
J
4 6 8 10 12 14 16 18
J 20 µ out − µ out
J 20 σ out − σ out
20 µ out
20 σ out
0.00091 0.00052 0.00032 0.00020 0.00012 0.00006 0.00002 0.00001
0.00041 0.00034 0.00030 0.00029 0.00027 0.00026 0.00026 0.00025
A relatív hibák eltéréseit csak abban az esetben kívántam ábrázolni, amikor az eltérések nagyobbak, ezért csak a J=20 rögzített értékre vonatkozó grafikonokat adtam meg.
3.5. ábra. Az átlagos szemcseméretek relatív hibái a stacionárius állapotban J=20 értéknél.
3.6. ábra. A szórások relatív hibái a stacionárius állapotban J=20 értéknél.
A modellünkkel kapott számítási eredmények összehasonlítása tapasztalati eredményekkel Kobayashi és szerzőtársai hengeres golyósmalomban végzett zárt folyamatos őrlési tapasztalati eredményt ismertettek cikkükben, ahol ábrával szemléltették a késztermék és az osztályozóból visszatérített durva szemcsék eloszlását (Kobayashi et al., 2003). xcut = 18 µm, az őrlendő anyag átlagos szemcsemérete Kísérletükben a vágási méret ~ 150 µm volt, ~ x = 200 µm legnagyobb szemcsemérettel. A szerzők tapasztalati eredmax
ményeit a 3.7. ábra mutatja. Numerikus kísérleteket végezve megállapítottam, hogy a zárt őrlés leírására megalkotott, az előző fejezetben ismertetett modell nagyon jól
89 megközelíti a publikált tapasztalati eredményeket a paraméterek alábbi megválasztása esetén: ~ xmin = 0 (µm), K s = 3.2 ⋅ 10 −2 (1/s), α=0.80, u=0.028 (m/s), D=0.008 (m2/s), Y =3 (m), ~
β=1.0, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −8 , τ=0.01, I=16, J=16. A klasszifikációs függvény 1 , ahol c=4, ~ xcut = 18 (µm). ~ x ~ x ( −4 (1−18 )) 1+ ⋅e 18 A folytonos vonal ezzel az új a modellel számított eloszlásfüggvényeket, a késztermék – azaz az őrlemény finom része – és az osztályozóból visszatérített nagy szemcsés anyag eloszlását szemlélteti a 3.7. ábrán, míg a szerzők tapasztalati értékeit a szimbólumokkal (rendre a keresztekkel - „×” - és a karikákkal – „o” – ) ábrázoltam.
ψ~ ( ~x ) = 1 −
3.7. ábra. A késztermék és az osztályozóból visszatérített anyag tapasztalati (×, o) és az új modellel számított eloszlásai (––).
Kolacz és Sandvik hengeres golyósmalomban végzett zárt őrléskor észlelt tapasztalati eredményeiket ismertették (Kolacz & Sandvik, 1996). Az osztályozásnál a vágási méret 40 µm volt. A szerzők tapasztalati görbével adták meg a beadagolt friss őrlendő anyag és a késztermék – az őrlemény finom része – eloszlását. Numerikus kísérleteket végezve megállapítottam, hogy az előző fejezetben ismertetett új modell visszaadja a kutatók megfigyelt eredményeit, ha a paraméterek az alábbiak: xmin = 0 (µm), ~ x max = 600 (µm), K s = 2 ⋅ 10 −3 (1/s), u=0.014 (m/s), D=0.008 (m2/s), ~
α=0.50, β=2.30, γ=0.80, Φ=0.68, d=10, ε = 10 −7 , τ=0.01, I=60, J=20. Az osztályozást
xcut = 40 (µm). A 3.8. ábrán a Molerus-féle klasszifikációs függvény írja le, ahol c=30, ~ a késztermék tapasztalati eloszlását a szimbólumok (×) jelölik, a készterméknek az új modellel számított eloszlását a folytonos vonal szemlélteti.
90
3.8. ábra. A késztermék tapasztalati (×) és az új modellel számított eloszlása (––).
3.2.2. A modellek alkalmazása az őrlési folyamatok tervezésére és optimalizálására
A malom hosszának a hatása A malom tervezett igénybevételének és üzemmódjának megfelelően a malom tervezésénél és megépítésénél sok-sok szempontot kell figyelembe venni. Ezek egyike a malom hosszúsága. Azt várjuk, hogy hosszabb malomban jobban leőrlődik az anyag. Ezt a feltevést a 3.3 táblázat eredményei alátámasztják, sőt még az is kiderül, hogy a malom hosszának növelésével közelítőleg egyenes arányban csökken az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcsemérete, a szórása viszont kissé nő. Ezt a megállapítást jól szemlélteti a 3.9. ábra. (A numerikus kísérletnél a paraméterek: u=0.014 (m/s), D=0.008 (m2/s), ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), K s = 10 −3 (1/s) , α=0.50, β=3.00, γ=1.00, Φ=0.48,
d = 10 , ε = 10 −7 , a klasszifikációs függvény Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~ xcut = 250 .) 3.3 táblázat. Az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői a malomhosszúság függvényében. A malom hossza (m)
6 8 10 12 14
Nyílt őrlés
Zárt őrlés Az őrlemény szórása
(µm)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
219.98 233.43 243.60 251.26 256.93
578.96 563.53 548.11 532.77 517.57
240.66 246.32 250.98 254.74 257.68
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása
660.83 634.21 609.03 585.21 562.66
(µm)
91
A 3.3. táblázatbeli eredmények felhasználhatók a malomhosszúság megválasztására irányuló gazdasági számítások végzésekor. A nyílt és a zárt őrlési folyamatot összehasonlítva azt is látjuk a táblázatból, hogy a példánkban nyílt őrlést végezve jóval hosszabb, körülbelül kétszeres hosszúságú malomban őrölve keletkezik közelítőleg olyan szemcse-összetételű őrlemény, mint a zárt őrlésnél. A malomhosszúság nagyon jó közelítéssel lineáris kapcsolatban áll az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretével és szórásával, amint azt a 3.9. ábra is szemlélteti.
3.9. ábra. A malomhosszúság hatása az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására.
A nyílt és a zárt folyamatos őrlés összehasonlítása az őrlemények stacionárius állapotbeli jellemzői alapján, és a stacionárius állapot elérésének időszükséglete Az őrlési folyamat tervezésekor a nyílt és a zárt folyamatos őrlés közötti választáskor egyik szempont lehet az őrlemények stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői, és esetleg szóba jöhet a stacionárius állapot elérésének időigénye is. E numerikus kísérlettel az őrlemények két legfontosabb numerikus jellemzőjét – az átlagos szemcseméretet és a szórást –, valamint a stacionárius állapotok eléréséig eltelt időket, továbbá a malom telítettségét hasonlítottam össze. A nyílt és a zárt folyamatos őrlések összehasonlítására jól és kevésbé jól törő anyagokkal végeztem numerikus kísérleteket, amelyek eredményeit a 3.4. táblázatba foglaltam. A nyílt és a zárt őrlést összehasonlítva, azt állapítottam meg, hogy zárt őrléskor jelentősen megnő a stacionárius állapot elérésének időszükséglete – amit a 3.4. táblázat adatai is szemléltetnek –, a jól törő ( K s = 8 ⋅ 10 −3 (1/s) ) és a kevésbé törő ( K s = 3 ⋅ 10 −3 (1/s) ) anyag őrlésekor egyaránt. Zárt őrléskor az őrlemény átlagos szemcsemérete csökken, főleg a kevésbé törő anyag esetén következik be jelentős változás. Az őrlemény szórása kevésbé változik, kisebb mértékben csökken – mindezt a 3.4. táblázat adatai szemléltetik.
92 ~ (A numerikus kísérlet további paraméterei: Y =6 (m), u=0.014 (m), D=0.008 (m2/s), ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), α=0.80, β=2.60, γ=0.90, Φ=0.48, d = 10 , ε = 10 −6 , a 1 , ahol c=20, ~ xcut = 300 .) klasszifikációs függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( −20 (1− )) x 250 ⋅e 1+ 250 3.4. táblázat. Két nyílt és két zárt folyamatos őrlés során az őrlemények statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban. Nyílt folyamatos őrlés
Ks érték (1/s)
8 ⋅10 −3 3 ⋅10 −3
Zárt folyamatos őrlés
A stacionárius állapot elérése idő szükséglete (szimulációs időegység)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A stacionárius állapot elérése idő szükséglete (szimulációs időegység)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
306 268
339.90 529.13
248.95 264.45
626 1641
309.20 442.59
224.17 232.13
A malom telítettségére a malomban levő anyag mennyiségéből következtetünk. Numerikus kísérletekkel nyomon követtem a malom telítettségét a K s = 8 ⋅ 10 −3 (1/s) és a K s = 3 ⋅ 10 −3 (1/s) törési paraméterű anyagok nyílt és zárt őrlése esetén. A malombeli anyagmennyiségeket a 3.10 és a 3.11. ábra illusztrálja. (Megjegyzem, hogy a szimulációs időegységenként beadagolt friss anyag mennyisége B f = 0.02 volt a numerikus
kísérleteknél. A malomban levő anyagmennyiséget az őrlés kezdetén egységnyinek választottam.) A 3.10 és a 3.11. ábra is meggyőzően szemlélteti azt az állítást, hogy ugyanolyan feltételek mellett végrehajtott zárt őrlés folyamán több anyag van a malomban, mint nyílt őrlés során. Az ábrák az alábbi feltevést is alátámasztják: az őrlés kezdetétől számítva a késleltetési idő elteltével a szemcsék mennyisége hirtelen megnő a malomban. A kevésbé törő anyagok esetén a rossz leőrlődés következtében a malomból több újraőrlésre visszaadandó szemcse kerül ki, s ezért a malomban több anyag van a rosszul törő anyagok zárt őrlése esetén, mint a jól törő anyagok ugyanilyen őrlésekor.
93
3.10. ábra. A malombeli anyagmennyiségek az idő függvényében a nyílt és a zárt folyamatos őrlés esetén, K s = 8 ⋅ 10 −3 (1/s).
3.11. ábra. A malombeli anyagmennyiségek az idő függvényében a nyílt és a zárt folyamatos őrlés esetén, K s = 3 ⋅ 10 −3 (1/s).
Az őrlemények maradék-eloszlásait szemlélteti a 3.12. ábra a stacionárius állapotban. Jól látható a 3.12. ábrán, hogy a nyílt őrlésekre vonatkozó maradék-eloszlásfüggvények töréspontja a legnagyobb szemcseméret felénél van, ami a friss betáplált anyag összetételének a következménye. (A numerikus kísérletünk során a legnagyobb szemcseméret felénél nagyobb szemcséjű anyagot adagoltunk be, s méretenként egyenlő mennyiséget.) A zárt őrlésekre vonatkozó maradék-eloszlásfüggvényeken töréspont figyelhető meg a vágási méretnél is. A töréspontok a kevésbé törő anyagokat jellemző eloszlás-, illetve maradék-eloszlásfüggvényeken feltűnőbbek, míg a jól törő anyagok függvényein kevésbé, olykor egyáltalán nem is láthatók.
3.12. ábra. Az őrlemények maradék-eloszlásfüggvényei a stacionárius állapotban.
A 3.4. táblázat és a 3.12. ábra azt sugallja, hogy a jól (és a nagyon jól) törő anyagok esetében a nyílt és a zárt őrléssel kapott őrlemények stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői között kicsiny eltérések mutatkoznak. Amennyiben a malmot elég jól törő anyagok őrlésére szánják, akkor a szimulációval a nyílt őrléseket érdemes alaposan elemezni annak eldöntésére, hogy az őrleményre, illetve a késztermékre vonatkozó
94 előírásokat tudnák-e teljesíteni. A rosszul törő anyagok őrlésekor a zárt őrlés jelentős méretcsökkenést eredményez, a folyamatban keletkező hulladék kevesebb. Amennyiben a malomban kevésbé törő vagy rosszul törő anyagokat fognak őrölni, érdemes számításokat végezni arra vonatkozóan, hogy az osztályozó megépítése és üzemeltetése mennyi idő alatt térülne meg. Az üzemi őrlési gyakorlatban előfordul, hogy a nagyon rosszul törő anyagok őrlésekor az osztályozóból az újraőrlésre visszatérített szemcséket előbb egy előtörőbe vezetik, s innen kerülnek be a golyósmalomba. Az előtörő közbeiktatásával megvalósított zárt folyamatos őrlés vizsgálata a dolgozatban bemutatott kutatás egyik lehetséges folytatása. Az osztályozás – az osztályozó működésének megválasztása Numerikus kísérletekkel azt is megvizsgáltam, hogy egy adott malomban – a malom paraméterei rögzítettek – egy adott anyag őrlését a klasszifikációs függvény – a gyakorlatban az osztályozó üzemmódja, egyes malmoknál a szitaméret – milyen megválasztása esetén lehet elvégezni. A malomból az őrlemény az osztályozóba kerül, ahol szétválasztják a készterméket alkotó „méreten aluli” és a további őrlésre visszaadott „méreten felüli” részre. Az osztályozásnak jelentős szerepe van egyrészt a kívánt finomságú őrlemény előállításában, másrészt a zárt őrlési folyamat során a malombeli anyagmennyiség alakulásában. A malom befogadóképessége rögzített, ennek figyelembevételével kell megállapítani az őrlés kezdetén a malomba betöltött szemcsemennyiséget, a friss beadagolt és az őrlésre visszaküldött anyagmennyiséget. A numerikus kísérletben 1 egységnek tekintettem az őrlés kezdetén a malomba betöltött anyagmennyiséget, s 10 egységnek a malom befogadóképességét. Az osztályozó működését a numerikus kísérletekhez az irodalomban közölt függvényekkel írtam le. Annak a feltevésemnek az alátámasztására, hogy a vágási méret növelésével nő a malomból kikerülő őrlemény átlagos szemcsemérete – az őrlési gyakorlatban használt függvényeket választva –, elemezzük az alábbi numerikus kísérletek eredményeit. Elsőként tekintsük a Molerus-féle klasszifikációs függvényt c=10 paraméterrel. A x max / 5 , ~ x max / 4 , ~ x max / 3 , ~ x max / 2 , 3 ⋅ ~ x max / 4 . Az vágási méretek legyenek rendre ~ őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli jellemzői a 3.5. táblázatban, az őrlemények maradék-eloszlásfüggvényei a 3.13. ábrán láthatók. A numerikus kísérlet a malom túltelítődését – ami ez esetben azt jelenti, hogy legalább 10 egységnyi anyag gyülemlene föl a malomban – jelezte, ha a vágási méret ~ x max / 4 vagy annál kisebb. ~ x = 0 (µm), ~ x = 1000 (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.018 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ min
(µm), Ks=5⋅10-4 (1/s), α=0.5, β=1.3, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 .)
max
95 3.5. táblázat. Az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a klasszifikációs függvény vágási méretének függvényében.
A klasszifikációs függvény
1 ~ x ~ ( −10 (1− )) x 250 ⋅e 1+ 250 1 ψ~( ~x ) = 1 − ~ x ~ ( −10 (1− )) x 333 1+ ⋅e 333 1 ψ~( ~x ) = 1 − ~ x ~ ( −10 (1− )) x 500 1+ ⋅e 500 t ~ 1 ψ (x ) = 1 − ~ x ~ ( −10 (1− )) x 750 1+ ⋅e 750
ψ~ ( ~x ) = 1 −
Az Az őrlemény őrlemény szórása átlagos szemcse(µm) mérete (µm)
A A késztermé késztermék k átlagos szórása szemcse(µm) mérete (µm)
Túltelítődés
Túltelítődés
Túltelítődés
Túltelítődés
630.86
224.43
121.61
143.56
679.81
201.59
222.09
265.14
762.01
205.48
231.26
341.01
A táblázatból kiolvasható, hogy a várakozásnak megfelelően a vágási méret növelése az őrlemény átlagos szemcseméretének a növekedését eredményezi. A 3.13. ábrán látható maradék-eloszlásfüggvények is ezt szemléltetik.
3.13. ábra. A stacionárius állapotban a malom kijáratánál az őrlemények maradékeloszlásfüggvényei.
Az osztályozó működését sok szerző jellemezte tapasztalati görbével, közülük sokan kaptak jellegzetes „fish-hook” alakúnak elnevezett görbét (Espig & Reinsch, 1996, Galk et al., 1999, Benzer et al., 2001, Braun et al., 2001, Godet-Morand et al., 2002,
96 Kobayashi et al, 2003). (Az osztályozó működését leíró, ilyen típusú függvényeket Tromp-féle függvénynek is nevezik, melyek speciális esetei a Plitt-, illetve a Lippekféle függvények (Godet-Morand et al., 2002)). A „fish-hook” alakú klasszifikációs függvények közelíthetők az alábbi T(x) függvénnyel, ha a szemcseméret normált, ~ illetve T ( ~ x ) függvénnyel a tényleges szemcseméret megadásakor. ⎡ ⎛ x − x0 T ( x) = θ + (1 − θ ) ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ xcut − x 0 ⎢ ⎝ ⎣
η
⎞⎤ ⎟⎥ , ⎟⎥ ⎠⎦
⎡ ⎛ ~ ~ T ( x ) = θ + (1 − θ ) ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ ⎢ ⎝ ⎣
η
⎞⎤ ⎟⎥ , ⎟⎥ ⎠⎦
~ x −~ x0 ~ x −~ x cut
0
xcut a normálatlan vágási méretet jelöli, θ, η, x 0 , illetve ~ x 0 az ahol xcut a normált, ~ osztályozót jellemző paraméterek, amelyek meghatározzák a klasszifikációs függvény x 0 =60 (µm) rögzített értékeknél az alakját (Espig & Reinsch, 1996). A θ=0.1, η=2.3, ~ ~ ~ x =250(µm) és az x =333 (µm) értékek választásával a 3.14. ábrán látható cut
cut
klasszifikációs függvényeket kapjuk.
3.14. ábra. A Tromp-féle klasszifikációs függvények.
A numerikus kísérletben a vágási méreteket rendre ~ x max / 5 , ~ x max / 4 , ~ x max / 3 , ~ ~ ~ ~ x max / 2 , 3 ⋅ x max / 4 -nek választottuk. Az x max / 5 , x max / 4 értékek esetén túltelítődés jelentkezett a klasszifikációs függvény paraméterei alábbi értékeinél: θ=0.1, η=2.3, ~ x 0 =60. A klasszifikációs függvény e választásánál is azt várjuk, hogy a nagyobb vágási méret nagyobb átlagos szemcseméretet eredményez. A numerikus kísérlet igazolta ezt a feltételezést. ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.018 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ (µm), Ks=5⋅10-4 (1/s), α=0.5, β=1.3, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 .) A 3.6. táblázat tartalmazza a stacionárius állapotban a malom kijáratánál az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzőit.
97
3.6. táblázat. Az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a klasszifikációs függvény vágási méretének függvényében.
A klasszifikációs függvény
~ ⎡ ⎛ x − 60 ~ T (~ x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ − 60 250 ⎝ ⎣⎢
2. 3
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
2. 3 ~ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x − 60 ~ ⎟⎥ T (~ x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ ⎟⎥ − 333 60 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦ 2.3 ~ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x − 60 ~ ⎟⎥ T (~ x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ 500 − 60 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 2. 3 ~ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x − 60 ~ ⎟⎥ T (~ x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ 750 − 60 ⎟⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝
A A késztermék késztermék szórása átlagos szemcse(µm) mérete (µm)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
Túltelítődés
Túltelítődés
Túltelítődés
Túltelítődés
606.63
246.93
139.41
172.22
640.73
248.54
217.85
261.62
659.32
247.89
300.20
338.41
A 3.15. ábra a malom kijáratánál az őrleményre vonatkozó maradék-eloszlásfüggvényeket szemlélteti a stacionárius állapotban.
3.15. ábra. A stacionárius állapotban a malom kijáratánál az őrlemények maradékeloszlásfüggvényei.
A malom technikai/műszaki korlátai szabják meg, hogy mennyi anyagot „bír el” a malom. Ha a malomterhelés túllépné ezt a határt, súlyos üzemzavar következne be. A malom működési paraméterei és az osztályzást leíró klasszifikációs függvény nem kielégítő összehangolása a malombeli anyagmennyiség drasztikus növekedését idézi 2.3 ~ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x − 60 ~ ~ ⎜ ⎟⎥ klasszifikációs elő. Példánkban a T ( x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp − (ln 2) ⋅ ⎜ ⎟⎥ − 250 60 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦ függvény túltelítődést, üzemzavart okoz – jelzi a numerikus kísérlet, ha u=0.018 (m/s),
98 D=0.009 (m2/s). A vágási méret további csökkentése még inkább üzemzavarhoz vezet. 2.3 ~ ⎡ ⎛ ⎞⎤ x − 60 ~ ~ ⎜ ⎟⎥ választása A klasszifikációs függvény T (x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp − (ln 2) ⋅ ⎜ ⎟⎥ − 250 60 ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦ esetén a malomban lévő anyagmennyiség növekedését a 3.16. ábra szemlélteti. Az osztályozónak ezzel a klasszifikációs függvénnyel jellemzett működése nem feltétlenül vezet a malom túltelítődéséhez a malom működésének másfajta megválasztásával, ami a konvektív áramlási sebesség és/vagy az axiális diszperziós tényező értékének változásával jár. Ugyanezen az ábrán azt is látjuk, hogy például az u=0.008 (m/s) és a D=0.004 (m2/s) paraméterekkel jellemzett üzemmódban még kisebb vágási méretnél 2.3 ~ ⎡ ⎞⎤ ⎛ x − 60 ~ ~ ⎟⎥ függvénnyel leírt ⎜ sem, az osztályozó T ( x ) = 0.1 + 0.9 ⋅ ⎢1 − exp − (ln 2) ⋅ ⎟⎥ ⎜ 240 60 − ⎢⎣ ⎠⎦ ⎝ működése esetén sem következik be a malom túltelítődése.
3.16. ábra. A malombeli anyagmennyiségek az idő függvényében a malom működési paramétereinek és az osztályozásnak kétféle megválasztása esetén.
Ez a példa is illusztrálja az őrlési folyamat paraméterei, vagyis az őrlőeszköz és az osztályozó készülék paraméterei összehangolásának szükségességét. A malom túltelítődésének, megszorulásának elkerülése A recirkuláció következtében kétféleképpen fordulhat elő, hogy a malombeli anyagmennyiség egy elfogadható érték fölé emelkedik, és ennek következtében a malom terhelése meghaladja annak műszaki korlátait, következésképpen le kell állítani a folyamatot. Lehetséges, hogy a malom bejáratánál, a malom elején gyülemlik fel túlságosan az anyag. Ilyenkor azt mondjuk, hogy megszorul a malom. Az általam tanulmányozott recirkulációs őrlésnél az első szekció anyagmennyisége a legnagyobb. Jól törő anyagok őrlésekor, ha a vágási méret kicsi, az őrlési folyamat kezdetén a késleltetési idő eltelte után a malom elején a malom befogadó képességéhez mérten túlságosan sok anyag gyűlhet össze. A kezdeti anyagmennyiség-növekedést az anyagmennyiség fogyása
99 követné, addigra azonban bekövetkezik az üzemzavar. A malom megszorulásához vezető őrléskor a malom első, tizedik, huszadik szekciói anyagmennyiségei láthatók a 3.17. ábrán, ahol a vízszintes szaggatott vonal jelzi a szekciók megengedett legnagyobb anyagmennyiségeit. (A numerikus kísérletben az osztályozást a Tromp-féle függvény írta le, ahol θ=0.1, ~ η=6.4, ~x0 = 20 (µm), ~xcut =100 (µm), a további paraméterek: Y =6 (m), u=0.015 (m/s), x = 0 (µm), ~ x = 1000 (µm), K =8⋅10-3 (1/s), α=0.5, β=1.3, D=0.007 (m2/s), ~ min
max
s
γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 .) −7
A malom megszorulása elkerülhető az osztályozás vagy a beadagolt friss anyagmennyiség megváltoztatásával.
3.17. ábra. A zárt folyamatos őrlés esetén az első, a tizedik, a huszadik szekció mennyiségei az idő függvényében.
3.18. ábra. A zárt folyamatos őrlés esetén a malombeli anyag mennyisége az idő függvényében, az osztályozástól függően.
A másik üzemzavar, a túltelítődés, akkor következik be, amikor az őrlés kezdetétől számítva a késleltetési idő elteltével az anyagmennyiség a malomban folyamatosan növekedik mindaddig, amíg meg nem haladja a malom befogadóképességét. Ezt a jelenséget látjuk a 3.16. ábrán. Előfordulhat, hogy a stacionárius állapot a kezdeti telítettségi szintnél jóval magasabb, de még megengedett szinten következik be. Az elfogadható és az annál nagyobb telítettségi szinten megvalósuló stacionárius állapotokat szemlélteti a 3.18. ábra. A túltelítődés elkerülhető – a beadagolt friss anyagmennyiséget konstansnak véve – a klasszifikációs függvény megfelelő választásával, amint azt a 3.5. és a 3.6. táblázatból látjuk. A malombeli anyagmennyiségre nézve az osztályozás kétféle megválasztása következményét – amikor a Tromp-féle klasszifikációs függvény vágási méret paraméxcut =250 (µm) és az ~ xcut =750 (µm) – illusztrálja a 3.18. ábra, ahol jól látható, terei az ~ hogy az utóbbi választásnál lényegesen kisebb a malom terhelése. ~ x 0 =60 (µm), Y =6 (m), u=0.018 (m/s), (A további paraméterek: θ=0.1, η=2.3, ~ x = 0 (µm), ~ x = 1000 (µm), K =5⋅10-4 (1/s), α=0.5, β=1.3, D=0.009 (m2/s), ~ min
max
s
γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 .) A túlterhelés elkerülésének egy másik lehetősége a friss beadagolt szemcsék mennyiségének csökkentése. A zárt őrlési folyamatról a nyílt folyamatra való áttéréssel – mint egy további lehetőséggel – ugyancsak kivédhető a túlterhelés.
100 A malom telítettségi szintjére vonatkozó előírás figyelembevétele A zárt őrléskor az osztályozóból visszatérített nagyméretű szemcsék és a még friss őrlendő anyag egymással összekeverve kerülnek be őrlésre a malomba. Olykor a visszatérített és a beadagolt anyagmennyiség olyan nagymértékű anyagmennyiségnövekedést idézne elő, amely az őrlőkészülék műszaki korlátaiba ütközne. A malomba juttatandó anyagmennyiség szabályozható például úgy, hogy az egy előírt értéken maradjon. Ilyen korlátozást fejez ki a 2. fejezetben a (2.11) alatti feltétel. A malombeli anyagmennyiség előírt szinten tartása megvalósítható például úgy, hogy a friss őrlendő szemcsék mennyiségét csökkentik a visszatérített szemcsék mennyiségével. Egy numerikus kísérleten keresztül szemléltetem a (2.11) feltétel alkalmazását. Példánkban a megengedett terhelés 3 egység – a kezdeti betöltés 1 egység –, a szimulációs időegységenként beadagolt anyagmennyiség B f = 0.02 . Zárt őrlést végezve már a 142. szimulációs időpillanatban bekövetkezne a malom túltelítődése, ha időegységenként állandóan 0.02 egységnyi friss anyagot és az újraőrlésre visszatérített összes anyagot beadagolnánk. A túltelítődésig a malomba beadagolt friss szemcsék, a visszatérített nagy szemcsék és az együttesen betáplált anyag mennyiségét szemlélteti a 3.19. ábra. A 3.20. ábrán a malombeli anyagmennyiség látható a túltelítődésig. ~ (A numerikus kísérlet paraméterei: Y =6 (m), u=0.019 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), K s = 3.6 ⋅ 10 −3 (1/s), α=0.6, β=3.0, γ=1.20, Φ=0.48, x = 340 .) d=10, ε = 10 −7 , az osztályozást a Molerus-féle függvény írja le, ahol c=20, ~ cut
3.19. ábra. A zárt folyamatos őrléskor a malomba betáplált friss szemcsék, visszatérített szemcsék, együttes anyagmennyiség az idő függvényében a túltelítődésig.
3.20. ábra. A zárt folyamatos őrléskor a malombeli anyagmennyiség az idő függvényében a túltelítődésig.
A korlátozó feltétel alkalmazását olyan esetben mutatom be, amikor a malomba beadagolt szemcsemennyiség állandó, B f = 0.02 az őrlés folyamán. Amíg az osztályozóból visszaadott szemcsék nem érik el a malom bejáratát, addig csak friss anyagot adagolunk be. Amikor az osztályozóból visszaküldött szemcsék újra bekerülnek a malomba, a visszatérítésnek megfelelő mennyiséggel csökkentjük a friss szemcsék mennyiségét. Ebben az üzemmódban a malombeli anyagmennyiség ugyanannyi, a malom telítettsége ugyanolyan mértékű, mint időegységenként állandó anyagbevitelű nyílt őrlést végezve.
101 Érdekességképpen előbb szemléljük meg nyílt őrléskor is a malom telítettségének alakulását a stacionárius állapotig. A 3.21. ábra a nyílt őrléskor beadagolt szemcsemennyiséget, a 3.22. ábra a malom első, tizedik, utolsó szekciója anyagmennyiségét szemlélteti a stacionárius állapotig, ami példánkban a 331. szimulációs időpillanatban következett be. A malomban az anyagmennyiség a stacionárius állapotban 1.9998 egység, tehát a malom telítettsége nyílt őrlést végezve a kiszabott feltételnek bőven megfelel. (A 3.22. ábráról is leolvasható, hogy a stacionárius állapotban minden szekció anyagmennyisége ≈0.1, s mivel a szekciók száma 20, a malomban az anyagmennyiség ≈2 egység.)
3.21. ábra. A nyílt folyamatos őrléskor a beadagolt szemcsék mennyisége a stacionárius állapotig.
3.22. ábra. A nyílt folyamatos őrléskor az első, a tizedik, a huszadik szekció anyagmennyisége a stacionárius állapotig.
A nyílt őrlésre vonatkozó megfigyelés után azt várjuk, hogy a friss anyagmennyiség csökkentésével végzett zárt őrléskor is ≈2 egységnyi anyag lesz a malomban a stacionárius állapotban, tehát a telítettségre vonatkozó feltételnek megfelel a korlátozás figyelembevételével módosított zárt őrlés is. A numerikus kísérlet eredménye igazolja ezt a feltételezésünket. A 3.26. ábrán a malom első, tizedik, utolsó szekciója anyagmennyisége látható a stacionárius állapotig, a 337. időpillanatig. A 3.23., 3.24., 3.25. ábrák rendre a beadagolt friss szemcsék, a beadagolt visszatérített szemcsék és az együttesen betáplált anyag mennyiségét mutatják a stacionárius állapotig.
3.23. ábra. A beadagolt friss szemcsék mennyisége a stacionárius állapotig.
3.24. ábra. A visszatérített szemcsék mennyisége a stacionárius állapotig.
102
A 3.23. és a 3.24. ábrák azt is szemléltetik, hogy a stacionárius állapot felé haladva a friss és a visszatérített szemcsék mennyisége állandóvá válik.
3.25. ábra. A beadagolt anyagmennyiségek.
3.26. ábra. A korlátozást figyelembe vevő zárt őrléskor az első, a tizedik, a huszadik szekció anyagmennyisége a stacionárius állapotig.
A kívánalomnak megfelelően, az időegységenként a malomba beadagolt együttes anyagmennyiség állandó, amit a 3.25. ábra is mutat. A szekciókban az anyagmennyiségek időbeli változását nyomon követve azt várjuk – és ezt a 3.22. és a 3.26. ábrák összehasonlításával látjuk is –, hogy megegyezik a nyílt őrléskor bekövetkező változással. A malombeli anyagmennyiség a stacionárius állapotban most is 1.9998 a számítások szerint. A fenti példában az anyag őrölhetőségét változatlannak tekintettem a teljes őrlési folyamat alatt. Az őrlési gyakorlatban azonban az őrölhetőség nem mindig állandó a beadagolt nyersanyag minősége, nedvességtartalma és egyéb körülmények változása miatt, függhet például a malombeli anyagmennyiségtől is (Pethő, 1987). A következő numerikus kísérletben a szimuláció során figyelembe vettem a malombeli anyagmennyiség változása által előidézett őrölhetőség-változást is, úgy, hogy a nagyobb malomtöltet következtében csökken az őrölhetőség. (Azt tételeztem fel, hogy az anyagmennyiség növelésével arányosan csökken az őrölhetőség, a beadagolt nyersanyag minősége állandó.) Az osztályozóból visszaadott szemcsék mennyiségével megnő a malombeli anyagmennyiség, ami ebben a modellben rosszabb leőrléshez vezet. A kísérlet eredménye megerősíti ezt a feltevést. A 3.27. és a 3.28. ábrán az őrölhetőséget állandónak, illetve a malombeli anyagmennyiségtől függőnek feltételező modellekkel számított malombeli anyagmennyiségek, illetve az őrlemények maradékeloszlásai láthatók. ~ ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.014 (m/s), D=0.007 (m2/s), −3 ~ x max = 1000 (µm), K s = 8 ⋅ 10 (1/s) az őrlés kezdetén, α=0.6, β=3.0, γ=1.20, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ~ xcut = 500 .)
ahol c=20,
103
3.27. ábra. Az őrlemények maradékeloszlásfüggvényei: az őrölhetőséget állandónak, illetve a malombeli anyagmennyiségtől függőnek feltételezve.
3.28. ábra. A malombeli anyagmennyiségek a stacionárius állapotig: az őrölhetőséget állandónak, illetve a malombeli anyagmennyiségtől függőnek feltételezve.
A vizes őrléseknél a malom tengelye irányában változhat/változik az őrölhetőség. Austin és kutatócsoportja azt tapasztalta, hogy a malomban tartózkodó iszap sűrűsége a malom bejáratánál a legkisebb (Austin et al., 1983). Hintikka és kutatótársai tapasztalati úton megállapították, hogy az iszap sűrűségének csökkenése az őrlemény finomodásához vezet (Hintikka et al., 1996). A két kutatócsoport megállapításaiból az következik, hogy vizes őrlést végezve a malom elején a legintenzívebb az őrlés. Az alábbi numerikus kísérlettel egy olyan őrlést tanulmányozunk, amikor a malom tengelye irányában változik az anyag őrölhetősége – a malom vége felé haladva lineárisan csökken – miközben előírás az, hogy a beadagolt összes anyag mennyisége állandó legyen. ~ xmin = 0 (µm), a malom (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.019 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ x max = 1000 (µm), bejáratánál K s = 3.6 ⋅ 10 −3 (1/s), a kijáratánál K s = 2.3 ⋅ 10 −3 (1/s), ~
α=0.6, β=3.0, γ=1.20, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 .)
3.29. ábra. A beadagolt anyagmennyiségek az őrölhetőség változásának figyelembevételével.
3.30. ábra. Az őrlemények maradékeloszlásfüggvényei: a malomban az őrölhetőséget állandónak, illetve a kijárat irányában csökkenőnek feltételezve.
104 A 3.29. ábrán a malomba beadagolt anyagmennyiségek láthatók. Numerikus kísérletekkel igazoltam azt a feltételezést, hogy az őrölhetőségnek a kijárat irányában bekövetkező csökkenése miatt az őrlemény durvább eloszlású lesz, amint ezt a 3.30. ábra is szemlélteti. A 3.30. ábrán az őrlemények maradékeloszlásai láthatók – a beadagolt anyagmennyiség állandó értéken tartásával –, a malomban az őrölhetőséget állandónak, illetve változónak feltételezve. A diszkrét modellekbe a kinetikai és a működési paraméterek értékein keresztül beépíthető a nyersanyag őrölhetőségének különböző okokból bekövetkező változása is. A késztermék minőségének biztosítása érdekében a nyersanyag minőségének változása egy körfolyamatot indít el: a beadagolásban bekövetkezett változást az osztályozás változtatása követi/követheti, amely azonban visszahat a beadagolásra. Az őrlőüzem folyamatszabályozási rendszere kifejlesztésével oldható meg az őrölhetőség változásának figyelembevétele (Keviczky et al., 1984, Pethő, 1987). Az értekezésben bemutatott kutatás ebben az irányban továbbfejleszthető. A modell alkalmazása optimalizálásra A túlőrlés vagy a felhasználatlan/felhasználhatatlan őrlemény előállítása egyaránt jelentős költségnövelő tényező. Gazdaságossági szempontból tekintve az őrlésnél az a cél, hogy a végtermékre vonatkozó felhasználói igényeket a legkisebb ráfordítással, az őrlőkészülék működési módjának optimális megválasztásával lehessen kielégíteni. A malomhosszúságot adottnak véve, a malom további paraméterei értékeinek megállapításával, s az őrlési folyamat tervezésénél figyelembeveendő stabilitási szempontokkal is foglalkozom. Kitérek arra, hogy mennyire érzékeny a konvektív áramlási sebesség és az axiális diszperziós tényező értékére az optimalizálás. Lényeges ezzel törődnünk, mert a malomparaméterek pontos beállítása, mérése nem könnyű feladat. Kerülendők az instabil értékek, amelyek kicsiny változtatása az őrlemény átlagos szemcseméretének, szórásának nagymértékű változását idézi elő. A folyamatos őrlés során tekintett optimalizálási feladatot a ( p, F ( p ), g ( p ))
(3.7)
hármassal adjuk meg, ahol a p vektor komponensei mindazok a paraméterek, amelyeket figyelembe veszünk az optimalizálásnál, az F ( p ) függvény a célfüggvény, a g ( p ) komponensei a figyelembe veendő feltételek. Az F ( p ) függvény minimumát keressük a g ( p) ≥ 0
(3.8)
feltétel mellett. Az őrléssel kapcsolatos paraméterek két csoportba, a működési és a kinetikai paraméterek csoportjába tartoznak. Például annak eldöntésére, hogy egy adott malom milyen törési paraméterű anyag őrlésére a legalkalmasabb, a p = ( K s , α , β , γ , Φ) T választást tekintjük. A malmokat többnyire valamilyen előre megnevezett anyagok – vasérc, mészkő, cement klinker, élelmiszer-, gyógyszeripari alap- és segédanyagok – őrlésére szán-
105 ják. Ilyenkor p vektornak p = (u, D) T -t választhatjuk, optimalizálva az áramlási paraméterek szerint. Az alábbiakban ezzel az esettel foglalkozunk. Az F ( p ) célfüggvénnyel az őrlésre vonatkozó igényeket írjuk le, e függvény valamilyen módszerrel történő minimalizálásával kapjuk a paraméterek optimális értékeit. Az adott g ( p ) ≥ 0 feltétel szerint kell a minimalizálását elvégeznünk. A feltételek:
u ≥ 0 , D ≥ 0 , VF (u, D) ≥ 0 , VB (u, D) ≥ 0 , 1 − V F (u , D) − V B (u , D ) − τ ⋅ S ( x
i−
1 2
)≥ 0,
I
ahol i=1,2,…,I, továbbá c0 ⋅ A − ∑ µˆ ( xi , y j , t ) ≥ 0 , ahol j=1,2,…,J , t ≥ 0 , c0 előírt i =1
konstans érték. Az utolsó feltétel a malom műszaki korlátaira vonatkozik – amit természetesen most is szem előtt kell tartanunk –, azt fejezi ki, hogy a malomban levő összes anyagmennyiségnek egy megadott érték alatt kell maradnia. E feltételben „A” jelöli a 2. fejezetben bevezetett jelölésünk szerint az őrlés kezdeti időpillanatában a malom minden egyes szekciójában található anyagmennyiséget, így u ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ D ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ V F (u, D) ⎟ ⎜ VB (u, D ) ⎟ ⎜ ⎜ 1 − V (u, D) − V (u , D) − τ ⋅ S ( x ) ⎟ F B 1 ⎟ ⎜ 1− 2 ⎟ ⎜ M g ( p) = ⎜ ⎟ ≥ 0. ⎜1 − VF (u, D) − VB (u , D) − τ ⋅ S ( x 1 ) ⎟ I− ⎟ ⎜ 2 I ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ c0 ⋅ A − ∑ µˆ ( xi , y1 , t ) ⎟ ⎜ i =1 M ⎟ ⎜ I ⎟ ⎜ c0 ⋅ A − ∑ µˆ ( xi , y J , t ) ⎟ ⎜ i =1 ⎠ ⎝
(3.9)
A numerikus kísérletek során a (3.9) alatti feltételeket vettem figyelembe. Az eljárás a számításokat folytatta mindaddig, amíg a malomból távozó anyag összetétele már nem változott a számítások szerint. A felhasználói igények különfélék lehetnek. Irányulhatnak az őrlemény átlagos szemcseméretére, szórására, ezek kombinációjára. Előírható például az átlagos szemcseméret a szórás lehető legkisebb értéken tartása mellett. Más esetben az igény vonatkozhat a szórás minimalizálására, és így tovább. A kívánalmat célfüggvénnyel írjuk fel. Jelölje µreq és σreq az előírt átlagos szemcseméretet, illetve szórást. Jelölje µs=µs(u,D) és σs=σs(u,D) a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretét, illetve szórását. A leggyakoribb követelményeket és a nekik megfelelő célfüggvényeket a 3.7. táblázatba foglaltam. A c1, c2 konstansok gyakori értékei pozitív számok (bár c1, c2 nulla is lehet).
106 3.7. táblázat. Gyakori célfüggvények. Előírás
1.
2.
3.
Célfüggvény
A termék előállítása az előírt átlagos szemcseméret és az előírt szórás legjobb közelítésével.
F (u, D) = c1 ⋅ µ s − µ req
Előírt átlagos szemcseméretű termék előállítása a szórás kicsiny értéken tartása mellett.
F (u, D) = c1 ⋅ µ s − µ req
A termék előállítása az átlagos szemcseméret és a szórás lehető legalacsonyabb szinten tartásával.
F (u , D ) = c1 ⋅ µ sδ + c 2 ⋅ σ sκ ahol µ s > 0 , σ s > 0 , c 1 > 0 , c 2 > 0 , δ > 0 , κ > 0 , gyakori értékek: δ = 1 , κ = 1 .
δ
+ c 2 ⋅ σ s − σ req
κ
ahol µ s > 0 , σ s > 0 , c 1 > 0 , c 2 > 0 , δ > 0 , κ > 0 , gyakori értékek: δ = 2 , κ = 2 . δ
+ c 2 ⋅ σ sκ
ahol µ s > 0 , σ s > 0 , c 1 > 0 , c 2 > 0 , δ > 0 , κ > 0 , gyakori értékek: δ = 2 , κ = 2 .
A konvektív áramlási sebesség és az axiális diszperziós tényező értékének optimális megválasztása érdekében a célfüggvény felírása után valamilyen feltételes függvényminimalizáló eljárást alkalmazunk. A numerikus kísérletekhez a flexibilis tolerancia módszert választottam (Himmelblau, 1972). A példánkban a késztermékre vonatkozó követelmény az alábbi: az előírt átlagos szemcseméret µ req = 56 (µm) legyen, a szórás értéke kevésbé számít, de lehetőleg 55 (µm) közelében legyen, azaz σ req = 55 (µm) legyen, miközben az x min = 0 (µm), α=1.0, β=3.0, γ=0.6, x max = 100 (µm), ~ őrlendő anyag jellemzői: ~ ~ −3 Φ=0.48, K s = 10 (1/s). A további paraméterek Y =6 (m), d=10, a klasszifikációs 1 , ahol c=20, ~ xcut = 50 . függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( − 20 ( 1 − )) x 50 1+ ⋅e 50 2
2
E kívánalom leírására megfelelő célfüggvény: F (u, D) = µ s − µ req + 0.01 ⋅ σ s − σ req , ahol µ req = 56 (µm), σ req = 55 (µm). A konvektív áramlási sebesség és axiális diszperziós tényező alkalmas, jó megválasztására a flexibilis tolerancia módszerrel az u opt = 0.021 és a Dopt = 0.005 értékeket kaptuk, ahol a célfüggvény értéke: F(0.021, 0.005)=0.0025. Ellenőrzésképpen tekintsük a célfüggvény értékeit az (uopt, Dopt) pont környezetében. Ezek az értékek a 3.8. táblázatban és a belőle készített 3.31. ábrán láthatók.
107 3.8. táblázat. A célfüggvény értékei a minimumhely közelében. Konvektív áramlási sebesség, u (m/s) 0.019 0.020 0.021 0.022 0.023
Axiális diszperziós tényező, D (m2/s) 0.004 19.6625 6.2962 0.3416 1.8501 10.9857
0.005 14.8512 3.7217 0.0025 3.8073 15.3290
0.006 10.7871 1.8271 0.3538 6.4657 20.2159
0.007 7.4337 0.9630 1.4282 9.7005 25.7795
0.008 4.7141 0.0904 2.9864 13.5153 31.7940
3.31. ábra. A célfüggvény a minimumhely közelében.
Megvizsgálván a célfüggvény értékeit az (uopt, Dopt) pont környezetében, azt látjuk, hogy ott valóban minimuma van a célfüggvénynek. Azt is megfigyeltem, mennyire érzékeny a célfüggvény az u, D értékek változására, azaz mennyire stabil a flexibilis tolerancia módszerrel megtalált minimumhely. A 3.8. táblázat és a 3.31. ábra azt mutatja, hogy az axiális diszperziós tényező értékének változására kevésbé érzékeny a célfüggvény, míg a konvektív áramlási sebesség kicsiny változása a célfüggvény értékét jobban befolyásolja. A modellünkbe a malom fizikai paraméterei a konvektív áramlási sebesség és az axiális diszperzió, az u és D paraméter értékein keresztül épülnek be, amelyek mérésekkel megállapíthatók (Nierop & Moys, 2002). E paramétereknek a malom más fizikai jellemzőivel való összefüggését még nem publikálták, azonban e kapcsolat ismeretében az optimalizálás más fizikai jellemzőkre nézve is elvégezhető lenne. 3.2.3. A fizikai jellemzők, paraméterek hatásának vizsgálata
A késleltetés hatása Hengeres golyósmalmi zárt folyamatos őrlés esetén a „méreten felüli” szemcséket rendszerint valamennyi idő, a késleltetési idő elteltével juttatják ismét a malomba. Az őrlő-osztályozó készülék tervezésekor a nagyméretű szemcsék visszaszállítási sebessé-
108
~ gét is figyelembe kell venni, mert ettől függ a késleltetés időtartama, azaz a d paraméter. E paraméter hatását vizsgáltam egy jól törő és egy kevésbé jól törő anyag őrlése során. Ezt az összehasonlítást a 3.9. táblázat, míg a recirkuláció nélküli őrlések eredményeit a 3.10. táblázat tartalmazza. A d dimenzió nélküli paraméter, értékei szimulációs időegységben vannak kifejezve. Ugyanígy, a stacionárius állapot elérése időszükségletét is megadtam szimulációs időegységben. Tájékoztatásul azonban a valós ~ időben is kifejeztem ezeket az értékeket, a késleltetés időtartamát d -t s-ban, míg a stacionárius állapot beállása időszükségletét min-ben adtam meg. A késleltetés időtartama nincsen hatással az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzőire, ezért ezeket nem foglaltam bele a 3.9. táblázatba. ~ ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.014 (m/s), D=0.008 (m2/s), −7 ~ x max = 1000 (µm), α=1.50, β=4.50, γ=1.20, Φ=0.52, ε = 10 , a klasszifikációs függvény a Tromp-féle függvény, ahol ~ x0 = 10 , ~ xcut = 500 , θ=0.1, η=6.5.) 3.9. táblázat. A késleltetés hatása a stacionárius állapot időszükségletére.
Zárt folyamatos őrlés, K s = 3 ⋅10 −3 (1/s)
A késleltetés értéke
Zárt folyamatos őrlés, K s = 5 ⋅10 −3 (1/s)
A késleltetés értéke
A stacionárius állapot idő szükséglete
d (szim. időe.)
~ d (s)
t (szim. időe.)
2 5 10
8.57 21.43 42.86
1488 1528 1594
~ t
A stacionárius állapot idő szükséglete
~ t
(min)
d (szim. időe.)
~ d (s)
t (szim. időe.)
(min)
106.29 109.14 113.86
2 5 10
8.57 21.43 42.86
873 899 942
62.36 64.21 67.29
3.10. táblázat. A nyílt folyamatos őrlések statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban.
Nyílt folyamatos őrlés
Ks értéke (1/s)
3 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3
A stacionárius állapot idő szükséglete t
~ t (min)
246 256
17.57 18.28
Az őrlemény átlagos szemcseméret (µm)
Az őrlemény szórás (µm)
592.54 521.29
230.61 239.97
109 A 3.9. és a 3.10. táblázat összehasonlításával látjuk, hogy mind a jól törő – K s = 5 ⋅ 10 −3 (1/s) –, a mind a kevésbé törő – K s = 3 ⋅ 10 −3 (1/s) – anyag őrlésekor a recirkuláció ténye, főként a kevésbé törő anyag esetén, megnöveli a stacionárius állapot időszükségletét, amit a késleltetés mértéke azonban alig befolyásol, amint ezt a 3.9. táblázat is mutatja. Összehasonlításul megemlítem, hogy zárt őrlést végezve a jól törő anyag esetén az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcsemérete 488.68 µm, szórása 226.64 µm, míg a kevésbé törő anyag esetén 555.44 µm, illetve 217.64 µm a késleltetés mértékétől függetlenül. A konvektív áramlási sebesség hatása az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására A malomba beadagolt szemcsék a malom bejáratától a malmon végighaladva eljutnak a malom kijáratához. A szemcséknek ezt a haladó mozgását a konvektív áramlási sebességgel jellemezzük. A konvektív áramlási sebesség, az u paraméter hatását vizsgálva az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására, numerikus kísérletekkel igazoltam azt a feltételezésünket, hogy ha a malomban a konvektív áramlási sebesség kisebb, akkor az őrlemény és a késztermék átlagos szemcsemérete is csökken, mert mire a szemcsék a malom végét elérik, a hosszabb őrlési idő alatt jobban leőrlődnek. Míg az őrlemény átlagos szemcsemérete csökken, a szórása nő. A késztermék szórására vonatkozóan azt vártjuk, hogy azt a konvektív áramlási sebesség értéke kevésbé befolyásolja. A késztermék szórására nagyobb hatása az osztályozásnak van, ennek következtében egyenletesebb összetételűvé válik. Az eredményeket a 3.11. táblázattal, a 3.32. és a 3.33. ábrával szemléltetem. A 3.11. táblázat adatai és a 3.32. ábra alátámasztják azt a feltételezést, hogy a konvektív áramlási sebesség növekedésével az átlagos szemcseméret is nő, míg a késztermék szórását alig észrevehetően befolyásolja a konvektív áramlási sebesség változása. A szórás csekély mértékű növekedését idézte elő a konvektív áramlási sebesség növelése. A 3.33. ábra a késztermék szórásának alig érzékelhető változását mutatja. ~ ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), D=0.007 (m2/s), K s = 2 ⋅ 10 −3 (1/s), α=0.5, β=3.0, γ=1.0, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=10, ~ x = 250 .)
a klasszifikációs
cut
3.11. táblázat. A konvektív áramlási sebesség hatása az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására.
Konvektív áramlási sebesség (m/s)
Átlagos tartózkodási idő (s)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
0.012 0.020 0.030 0.040
500 300 200 150
538.47 588.64 615.71 629.64
256.64 240.87 228.81 221.38
196.38 215.37 232.19 245.03
114.01 117.39 119.19 119.46
A konvektív áramlási sebesség hatását a késztermék eloszlására a 3.32. ábra szemlélteti.
110
3.32. ábra. A konvektív áramlási sebesség hatása a késztermék eloszlására.
3.33. ábra. A késztermék átlagos szemcsemérete és szórása a konvektív áramlási sebesség függvényében.
A 3.11. táblázat és a 3.33. ábra azt mutatja, hogy a konvektív áramlási sebesség növekedésével – a numerikus kísérleteknél azt figyeltem meg, hogy közelítőleg egyenes arányban – nő a késztermék átlagos szemcsemérete, míg a szórását kevésbé befolyásolja a konvektív áramlási sebesség változása. Az átlagos tartózkodási idő hatása az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására Az előző kísérlettel a konvektív áramlási sebesség hatását vizsgáltuk az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli jellemzőire a malomhosszúság és az axiális diszperziós tényező rögzített értékeinél. Egyúttal a stacionárius állapotbeli jellemzők és ~ Y összefüggés az átlagos tartózkodási idő – t – kapcsolatát is megkaptuk a t = u fennállása miatt. A várakozásunknak megfelelően, a 3.11. táblázatban az is látható,
111 hogy az átlagos tartózkodási idő növelésével csökken mind az őrlemény, mind a késztermék átlagos szemcsemérete, mert hosszabb ideig őrlődik az anyag. Az átlagos tartózkodási idő hatását a késztermék eloszlására a 3.32. ábra szemlélteti. Az axiális diszperziós tényező hatása az őrlemény és a késztermék állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására
stacionárius
Az axiális diszperziós tényező értékének növekedése az őrlemény átlagos szemcseméretének és szórásának egyaránt nagyon kis mértékű növekedését eredményezi. A késztermék statisztikai jellemzőit még kevésbé befolyásolja az axiális diszperziós tényező értékének változása. Az alábbi numerikus kísérlettel e paraméter változásának hatását illusztrálom az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására. Az eredményeket a 3.12. táblázat tartalmazza. ~ ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.018 (m/s), K s = 3 ⋅ 10 −3 (1/s), α=1.00, β=4.50, γ=0.60, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációs 1 , ahol c=10, ~ xcut = 500 .) függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( −10 (1− )) x 500 1+ ⋅e 500 3.12. táblázat. Az axiális diszperziós tényező hatása az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására. Axiális diszperziós tényező, D (m2/s)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
548.02 548.27 548.52 548.76 548.99
264.05 264.07 264.10 264.12 264.14
165.32 165.37 165.42 165.46 165.51
124.54 124.58 124.61 124.64 124.67
~ u ⋅Y . Amint már láttuk, a Péclet-féle szám a malom paramétereit tartalmazza, Pe = D ~ A malom hosszúságát, Y -t adottnak tételezzük fel. A konvektív áramlási sebesség rögzített értékénél a Péclet-féle szám hatása vizsgálatakor valójában a D paraméter hatását vizsgáljuk. Ilyenkor a Péclet-féle szám a malomban a keveredés intenzitását jellemzi. A 3.12. táblázat eredményei azt jelzik, hogy a malomban a szemcsék keveredésének csökkenése maga után vonja az őrlemény átlagos szemcseméretének és szórásának csökkenését. A numerikus kísérletek tanúsága szerint a D paraméter – ez esetben a Péclet-féle szám – hatása nem tűnik nagyon jelentősnek.
112 A klasszifikációs függvényekben előforduló paraméterek hatásai A 3.2.2. alfejezetben példákon keresztül szemléltük a klasszifikációs függvény vágási méret paramétere, az xcut paraméter hatását. Az alábbiakban a Molerus-féle és a Tromp-féle klasszifikációs függvény paramétere, illetve paraméterei hatását elemezzük. 1 Először a Molerus-féle ψ ( x) = 1 − függvény c paramétere, az x ( − c (1− )) x xcut 1+ ⋅e xcut osztályozás hatékonyságát jellemző paraméter hatását vizsgáljuk a vágási méret, az xcut
x max értékénél. A c=1, 2, 5, 10, 20 értékeihez tartozó függvények 4 görbéit a 3.34. ábrán láthatjuk, e függvények választásával az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli jellemzőit a 3.13. táblázat tartalmazza. ~ xmin = 0 (µm), (A további paraméterek: Y =6 (m), u=0.018 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ ~ x max = 1000 (µm), Ks=5⋅10-4 (1/s), α=0.5, β=1.3, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 .) rögzített
xcut =
3.34. ábra. Molerus-féle klasszifikációs függvények.
A c paraméter kis értékeinél a Molerus-féle klasszifikációs függvénnyel jellemzett osztályozó apró szemcséket is visszatérít újraőrlésre, miközben a nagy szemcsék egy részét kivonja az őrlési folyamatból, amint ezt a 3.34. ábra szemlélteti. A 3.13. táblázatból kitűnik, hogy a c paraméter értéke kis mértékben érinti az őrlemény átlagos szemcseméretét és szórását, viszont jelentősen kihat a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására. A 3.13. táblázatból az is látható, hogy a c paraméter értékének növelésével az őrlemény is, a termék is egyenletesebb összetételűvé válik, a szórásuk csökken. A kísérleti eredmények igazolják azt a feltételezést, hogy ha több nagy szemcse nem kerül vissza újraőrlésre – c értéke kicsi –, akkor kisebb szemcseméret-átlagú anyag kerül a malomba, ezért a malom kijáratánál az őrlemény átlagos szemcsemérete is kisebb lesz.
113 3.13. táblázat. Az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a klasszifikációs függvény c paraméterének függvényében. A c paraméter értékei
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
1 2 5 10 20
590.03 592.40 595.20 596.61 597.24
254.59 247.80 240.25 237.51 236.47
314.09 244.94 190.94 167.11 145.89
209.47 151.54 102.12 89.64 83.22
A Tromp-féle klasszifikációs függvény az alábbi ⎡ ⎛ x − x0 T ( x) = θ + (1 − θ ) ⋅ ⎢1 − exp⎜ − (ln 2) ⋅ ⎜ xcut − x 0 ⎢ ⎝ ⎣
η
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
függvény, ahol xcut a vágási méret, θ, η, x 0 az osztályozót jellemző paraméterek, amelyek meghatározzák a klasszifikációs függvény alakját (Espig & Reinsch, 1996). A függvény minimuma az x 0 pontban van, a minimumhelyen a függvény értéke megegyezik θ értékével, amint ezt a 3.36. ábra is szemlélteti. A további paraméterek a függvény meredekségét befolyásolják. Annál meredekebb a függvény minél kisebb xcut , illetve minél nagyobb η értéke, amint ez a 3.35. és a 3.37. ábrákon is látható.
3.35. ábra. Az xcut paraméter hatása a klasszifikációs függvények alakjára.
3.36. Az x 0 és a θ paraméterek hatása a klasszifikációs függvények alakjára.
Az alábbiakban az x 0 , a θ, az η paraméterek hatását elemezzük az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására nézve. Az x 0 és a θ paraméterek hatását az η=2 rögzített értékénél vizsgáltuk. Az eredményeket a 3.14. táblázatba foglaltuk.
114 ~ xmin = 0 (µm), (A további paraméterek: Y =6 (m), u=0.018 (m/s), D=0.009 (m2/s), ~ ~ -3 x max = 1000 (µm), Ks=3⋅10 (1/s), α=0.5, β=1.3, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , ~ xcut = 250 .) 3.14. táblázat. Az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a klasszifikációs függvény x 0 és θ paraméterének függvényében, η=2.
Az x 0 paraméter értékei
Aθ paraméter értékei
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
50 50 50 80 100
0.10 0.20 0.30 0.10 0.10
465.91 459.91 454.13 465.52 464.30
284.10 285.39 286.50 283.98 284.31
A A késztermék késztermék átlagos szemcsemérete szórása (µm) (µm) 142.96 140.90 139.02 137.73 135.72
110.22 109.21 108.25 101.55 96.16
A θ paraméter értéke kis mértékben befolyásolja az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretét és szórását, növelése az átlagos szemcseméretek csökkenését eredményezi, az őrlemény szórását növeli, míg a késztermék szórását csökkenti. Az x 0 paraméter értékének növelése az őrlemény stacionárius állapotbeli jellemzőit kis mértékben változtatja, az átlagos szemcseméretét csökkenti, a szórását alig érzékelhetően hol növeli, hol csökkenti. A késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcsemérete és szórása egyaránt csökken az x 0 paraméter értékének növelésével.
3.37. ábra. Az η paraméter hatása a klasszifikációs függvények alakjára.
Az η paraméter hatását x0 = 50 és θ = 0.20 rögzített értéknél vizsgáltuk. A 3.15. táblázatban látjuk az eredményeket.
115 Az η paraméter értéke az őrlemény stacionárius állapotbeli jellemzőit csak kis mértékben befolyásolja, η értékének növelésével az átlagos szemcseméret csekély növekedést, míg a szórás csekély csökkenést mutat. A késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcsemérete, különösen a szórása jelentősen csökken e paraméter értékének növelésével. 3.15. táblázat. Az őrlemény és a késztermék statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a klasszifikációs függvény η paraméterének függvényében. Az η paraméter értékei
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
1.5 2.5 3.5
458.83 459.85 459.81
286.51 284.79 284.25
166.30 130.63 122.28
143.34 95.30 84.35
A Tromp-féle és a Molerus-féle klasszifikációs függvényeket összehasonlítva azt látjuk, hogy az előbbi függvény esetén az η paraméter, az utóbbi esetén a c paraméter értékének növelésével az őrlemény szétválasztása pontosabbá válik, s ezért a késztermék átlagos szemcsemérete is, szórása is csökken. A kinetikai paraméterek A kinetikai paraméterek a törési szelekciós függvényben és a törési eloszlásfüggvényben előforduló Ks, α, β, γ, Φ paraméterek. Az alábbiakban bemutatom, miként befolyásolják e paraméterek az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli főbb jellemzőit. A numerikus kísérletek során azt tapasztaltam, hogy az őrlemény átlagos szemcseméretének csökkenése/növekedése a késztermék átlagos szemcseméretének is ugyanolyan irányú változását eredményezi. Az osztályozás miatt a késztermék egyenletesebb összetételűvé válik, s ez rendszerint megmutatkozik a szórása csökkenésében. A törési szelekciós függvény paraméterei hatása A törési szelekciós függvény egyik paramétere Ks, másik paramétere az α hatványkitevő. A numerikus kísérletek alapján azt állapítottam meg, hogy az α paraméter értékének növelésével nő az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcsemérete, szórása csekély mértékben csökken. A 3.16. táblázat adatai alátámasztják ezt az állítást. β=3, γ=1, Φ=0.48, ~xmin = 0 (µm), (A további paraméterek: K s = 10 −2 (1/s), ~ ~ x = 1000 (µm), u=0.016 (m/s), D=0.009 ( m2 / s ), Y =6(m), d=10, a klasszifikációs max
függvény ψ~ ( ~ x) = 1−
1 , ahol c=20, ~ xcut = 500 .) ~ x ~ ( −20 (1− )) x 500 ⋅e 1+ 500
116 3.16. táblázat. Az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői az α paraméter függvényében. Az α paraméter értékei
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
0.5 1.0 1.5 2.0
307.71 357.53 397.82 431.24
243.94 240.61 237.32 234.01
197.77 231.41 254.69 270.95
142.69 144.09 145.30 146.72
A stacionárius állapotban a késztermékek maradék-eloszlásfüggvényeit a 3.38. ábra szemlélteti, ahonnan látható, hogy minél kisebb az α paraméter értéke, annál finomabb szemcse-összetételű a késztermék.
3.38. ábra. Az α paraméter hatása a késztermék stacionárius állapotbeli maradékeloszlásfüggvényére.
A Ks paraméter hatását már részben megfigyelhettük az előző alfejezetben a nyílt és a zárt őrlés összehasonlításánál. Most zárt őrléseket tekintve elemezzük, miként befolyásolja e paraméter a stacionárius állapotbeli jellemzőket. Jól törő anyagok Ks paraméterének értéke nagyobb, mint a kevésbé törő anyagoké. Ezért a Ks értékének növelése az őrlemény stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretének csökkenését eredményezi, hiszen a Ks értékének növelése azt jelenti, hogy nő a szemcse eltörésének valószínűsége – amint ezt a 3.17. táblázat adatai is alátámasztják. ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.014 (m/s), D=0.008 (m2/s), ~ (µm), α=0.5, β=3.0, γ=1.0, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációs függvény a xcut = 500 .) Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~
117 3.17. táblázat. A Ks paraméter hatása az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzőire.
Ks értékei (1/s)
5 ⋅ 10 −4 10 −3 5 ⋅ 10 −3
Az őrlemény átlagos szemcseméret (µm)
Az őrlemény szórás (µm)
A termék átlagos szemcseméret (µm)
A termék szórás (µm)
707.06 669.50 454.65
188.58 215.23 269.42
363.69 325.57 245.31
158.61 160.11 151.30
A 3.17. táblázat jól szemlélteti, hogy a Ks paraméter értékének változása jelentősen kihat az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretére és szórására egyaránt, különösen az előbbire. A szemcseméret növekedésével a szórás érzékelhetően csökken az őrlemény esetén, míg a késztermék szórása jóval kisebb mértékben változik. A 3.39. ábra a késztermék maradék-eloszlásfüggvényeit szemlélteti a stacionárius állapotban.
3.39. ábra. Az K s paraméter hatása a késztermék stacionárius állapotbeli maradékeloszlásfüggvényére.
A törési eloszlásfüggvény paraméterei hatása γ
β
⎛x⎞ ⎛x⎞ A törési eloszlásfüggvény B ( x, L) = Φ ⋅ ⎜ ⎟ + (1 − Φ ) ⋅ ⎜ ⎟ , melynek paraméterei ⎝L⎠ ⎝L⎠ β, γ és Φ, ahol 0 ≤ Φ ≤ 1 . A β, γ és Φ értékek az ütő-ütköző és a koptató őrlőhatás számbavételére szolgálnak, a törési módok arányát Φ fejezi ki (Lynch, 1977).
118 A törési eloszlásfüggvény β és γ paraméterére általában β ≥ γ teljesül, s így a Φ γ
β
x ⎛x⎞ ⎛x⎞ ≤ 1 miatt ⎜ ⎟ ≥ ⎜ ⎟ , tehát L ⎝L⎠ ⎝L⎠ ez esetben a Φ paraméter növelése az anyag törésének növelését jelenti. A Φ paraméter hatását a β, γ paraméter gyakori értékeinél vizsgálva a számítások igazolták ezt a várakozást. Azt is megállapítottam, hogy Φ értékének növelése a stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretek csökkenésén kívül az őrlemény szórásának kevéssé érzékelhető változását, a késztermék szórásának kis mértékű csökkenését idézi elő. Ezt a megfigyelést a 3.18. táblázat és a 3.40. ábra is alátámasztja. ~ xmin = 0 (µm), (A további paraméterek: Y =6 (m), u=0.014 (m/s), D=0.008 ( m 2 / s ), ~ ~ x max = 1000 (µm), K s = 10 −2 (1/s), α=0.5, β=3.0, γ=1.0, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~ x = 500 .)
paraméter a kisebb kitevőjű tényező együtthatója. Az
cut
3.18. táblázat. Az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői a Φ paraméter függvényében.
AΦ paraméter értéke
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
0.40 0.50 0.60
322.42 304.17 287.30
242.91 244.06 243.96
208.84 195.17 183.09
143.27 142.45 140.83
3.40. ábra. A Φ paraméter hatása a késztermék stacionárius állapotbeli maradékeloszlásfüggvényére.
A törési eloszlásfüggvény képlete miatt azt várjuk, hogy a β és a γ paraméter értékének növelése egyaránt az őrlemény és a késztermék átlagos szemcseméretnövekedését idézi elő. A Φ paraméter értékét a Φ=0.48 értéknél rögzítettem, a β és a γ paraméter irodalomban gyakran előforduló értékei választásával végeztem a numerikus
119 kísérleteket. A β paraméter hatását a γ paraméter γ=1.0 rögzített értékénél, illetve a γ paraméter hatását a β paraméter β=3 rögzített értékénél vizsgáltam. A numerikus kísérletek igazolták a fenti feltevéseket. A kísérleti eredményeket a 3.19. és a 3.20. táblázat, valamint a 3.41. és a 3.42. ábra szemlélteti. ~ xmin = 0 (µm), (A további paraméterek: Y =6 (m), u=0.016 (m/s), D=0.009 ( m 2 / s ), ~ −2 −7 ~ x max = 1000 (µm), K s = 10 (1/s), α=0.5, Φ=0.48, d=10, ε = 10 , a klasszifikációs 1 , ahol c=20, ~ xcut = 500 .) függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( −20 (1− )) x 500 ⋅e 1+ 500 3.19. táblázat. Az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői a β paraméter függvényében. Aβ paraméter értéke
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
1.5 2.0 2.5 3.0
259.52 280.08 295.60 307.71
237.29 239.27 241.84 243.94
168.04 182.20 191.55 197.77
135.03 138.05 140.55 142.69
A 3.19. táblázat adatai azt mutatják, hogy a β paraméter irodalomban előforduló gyakori értékei sem az őrlemény, sem a késztermék stacionárius állapotbeli szórását lényegesen nem befolyásolják, az átlagos szemcseméretek a feltételezéseknek megfelelően változtak, β értékének növelésével ezek is növekedtek.
3.41. ábra. A β paraméter hatása a késztermék stacionárius állapotbeli maradékeloszlásfüggvényére.
120 3.20. táblázat. Az őrlemény stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői a γ paraméter függvényében. Aγ paraméter értéke
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
0.5 1.0 1.5 2.0
253.31 307.71 345.95 373.97
255.01 243.94 233.89 226.17
146.81 197.77 232.45 256.74
142.89 142.69 137.52 132.29
3.42. ábra. A γ paraméter hatása a késztermék stacionárius állapotbeli maradékeloszlásfüggvényére.
A γ és β paraméter közötti γ ≤ β kapcsolat feltételezése mellett, a γ paraméter gyakori értékei okozta változásokat elemezve megállapíthatjuk, hogy a γ paraméter az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli jellemzőit lényegesen jobban befolyásolja, mint a β paraméter. A γ paraméter értéke növelése maga után vonja az őrlemény és a késztermék stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméretének növekedését és a stacionárius állapotbeli szórások csökkenését. Ezt szemlélteti a 3.20. táblázat és a 3.42. ábra. 3.2.4. A tranziens állapot tanulmányozása
Az őrlési folyamat nyomon követése a malom belsejében a stacionárius állapotig A kifejlesztett szimuláció segítségével a nyílt és a zárt folyamatos őrlés során egyaránt bármelyik időpillanatban a malom bármelyik szekciójában vizsgálhatjuk az ott tartózkodó anyag statisztikai jellemzőit, az átlagos szemcseméretet, a szórást, a szemcseméret szerinti eloszlást, bármelyik szekcióban lévő összes anyagmennyiséget. Ezál-
121 tal lehetőségünk nyílik a tranziens folyamat tanulmányozására. Természetesen a megfigyeléseket csak a stacionárius állapot beálltáig érdemes végeznünk. Egyidejűleg is megjeleníthetünk a malom szekciói közül ötöt. (Tapasztalataim szerint elegendő ez a szekciószám.) Ezáltal a malom öt különböző koordinátájánál szemlélhetjük és számíthatjuk egyidejűleg a folyamat-jellemzőket. Az őrlési folyamatot bármelyik időpillanatban „megszakíthatjuk”, s abban a pillanatban a malom öt szekciójának állapotáról tájékozódhatunk, ezután „folytathatjuk” az őrlést, amit kívánság szerint újra megállíthatunk egy tetszőleges időpillanatban. A stacionárius állapot beálltáig többször is megszakíthatjuk a folyamatot. A malomban lévő anyagmennyiség változásának és a malom valamely koordinátájánál az anyag felgyülemlésének figyelése a stacionárius állapot eléréséig a malom technikai/műszaki korlátai – befogadóképesség, energia felvétel – miatt fontos. Ugyanis e korlátok túllépése üzemzavarhoz vezet. A tranziens állapot vizsgálatát mind a nyílt, mind a zárt folyamatos őrlés esetén elvégeztem. Megállapítottam, hogy a szimuláció megbízhatóan számítja ki a stacionárius állapot elérése időszükségletét, mivel a szimulációval kiszámított stacionárius állapot beálltát követően már nem változnak a statisztikai jellemzők az előírt pontosság szerint. Az alábbi numerikus kísérlet is alátámasztja ezt az állítást. (A nyílt őrléskor a stacionárius állapot a 157-dik, a zárt őrléskor 298-adik szimulációs időpillanatban következett be az ε = 10 −5 választásnál.) A 3.21. táblázat alapján a stacionárius állapot eléréséig nyomon követhetjük az utolsó szekcióban az átlagos szemcseméret és a szórás változását a nyílt és a zárt őrlésnél, míg a 3.43-3.48, illetve a 3.49-3.54. ábrákon a maradék-eloszlásfüggvények alakulását figyelhetjük meg. ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.016 (m/s), D=0.008 ( m 2 / s ), ~ −2 ~ x max = 1000 (µm), K s = 7.8 ⋅ 10 (1/s), α=1.00, β=4.20, γ=0.80, Φ=0.48, d=20, ε = 10 −5 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~x = 500 .) cut
3.21. táblázat. Az utolsó szekció statisztikai jellemzői a nyílt és a zárt folyamatos őrlés esetén a stacionárius állapot beálltáig. Az utolsó szekció statisztikai jellemzői Nyílt folyamatos őrlés
Zárt folyamatos őrlés
Idő (szimulációs időegység)
Átlagos szemcseméret (µm)
Szórás (µm)
Idő (szimulációs időegység)
Átlagos szemcseméret (µm)
Szórás (µm)
2 20 40 80 150 157
638.49 236.89 133.25 82.45 72.44 72.30
229.49 189.22 117.61 76.72 71.75 71.74
2 50 100 150 290 298
638.50 111.03 76.58 72.17 71.85 71.85
229.49 99.30 73.18 71.46 71.71 71.72
A 3.43-3.48. ábrák a nyílt folyamatos őrlés során a malom 1., 5., 10., 15. és 20. szekciói maradék-eloszlásfüggvényeit szemléltetik az őrlés kezdetétől rendre t=2, t=20, t=40, t=80, t=150 időegység elteltével és a stacionárius állapot elérésekor, ami t=157 szimulációs időegységnél következett be. (A maradék-eloszlásfüggvényen a törési pontot a beadagolt anyagmennyiség szemcseméret szerinti eloszlásában levő szakadás idézi elő.)
122
3.43. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=2 időegység elteltével.
3.44. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=20 időegység elteltével.
123
3.45. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=40 időegység elteltével.
3.46. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=80 időegység elteltével.
124
3.47. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=150 időegység elteltével.
3.48. ábra. Nyílt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye a stacionárius állapotban.
A 3.43-3.48. ábrák jól szemléltetik, hogy a malombeli állapot változása – a várakozásnak megfelelően – az őrlés kezdetén a legintenzívebb, azután egyre kisebb mértékű a stacionárius állapot beálltáig. A 3.47 és a 3.48. ábra összehasonlításával is látható, hogy nagyon lassan áll be a stacionárius állapot. A zárt folyamatos őrlésre a 3.49-3.54. ábrák vonatkoznak.
125
3.49. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=2 időegység elteltével.
3.50. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=50 időegység elteltével.
126
3.51. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=100 időegység elteltével.
3.52. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=150 időegység elteltével.
127
3.53. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye t=290 időegység elteltével.
3.54. ábra. Zárt folyamatos őrlés során az 1., 5., 10., 15., 20. szekció maradékeloszlásfüggvénye a stacionárius állapotban.
128 A 2. fejezetben igazoltuk, hogy nyílt folyamatos őrléskor bármelyik időpillanatban bármelyik szekcióban azonos az anyagmennyiség, ha a malom kezdeti betöltésére és a beadagolásra teljesülnek a 4. Tétel feltételei, amelyek az alábbiak: 1) a malom minden egyes szekciójában az őrlés kezdeti időpillanatában azonos az anyagmennyiség, jelölje ezt A, 2) az őrlés folyamán egy időegység alatt a bejáratnál a malomba jutó anyagmennyiség (VF − VB ) ⋅ A , 3) az őrlés folyamán a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó. Amennyiben a 4. Tétel 2) feltétele nem teljesül, de időegységenként azonos mennyiségű friss anyagot táplálunk be, a szekciók anyagmennyisége folyamatosan nő vagy csökken amíg eléri a stacionárius állapotbeli mennyiséget. Ha ez az anyagmennyiség több, mint (VF − BB ) ⋅ A , a stacionárius állapotban a malomban több anyag van, mint az őrlés kezdetén. Egy példát is láttunk erre. A 3.2.2. alfejezetben a 3.22. ábra egy ilyen őrlésre vonatkozik. Ha az időegységenként beadagolt mennyiség (VF − VB ) ⋅ A -nál kevesebb, a malombeli anyagmennyiség a stacionárius állapotban kevesebb, mint az őrlés megkezdésekor. A zárt folyamatos őrlés esetén a tranziens állapotban a szekciókban lévő anyagmennyiségek változnak. Az első, a tizedik, a huszadik szekció mennyiségeit mutatja a 3.55. ábra az idő függvényében a stacionárius állapot eléréséig. ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.016 (m/s), D=0.008 ( m 2 / s ), ~ − 2 ~ x max = 1000 (µm), K s = 7.8 ⋅ 10 (1/s), α=1.00, β=4.20, γ=0.80, Φ=0.48, d=20, ε = 10 −5 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~x = 500 .) cut
3.55. ábra. A zárt folyamatos őrlés esetén az első, tizedik, huszadik szekció anyagmennyiségei az idő függvényében a stacionárius állapot eléréséig.
A recirkuláció és a késleltetés együttes hatásaként a késleltetési idő elteltével az első szekcióba beadagolt anyagmennyiség hirtelen megnő a visszatérített szemcsék mennyiségével. Az újraőrlésre visszaadott szemcsék mennyisége folyamatosan csökken, mert a malomból egyre finomabb őrlemény kerül ki. Az első szekcióban az anyagmennyiség növekedése előidézi a többi szekcióbeli mennyiség növekedését, azonban az anyag „szétterül”, s a kijárat felé haladva szekciónként rendre egyre kisebb anyagmennyiség növekedések jelentkeznek. A stacionárius állapotban a malomban az
129 őrlés kezdetén betöltött anyagmennyiségnél egy kicsit több anyag van. Az őrlés megkezdésétől a stacionárius állapot beálltáig a malom első, tizedik és utolsó szekciójában az anyagmennyiségek változását szemlélteti a 3.55. ábra. 3.2.5. Az irodalomban előforduló állítások szemléltetése, számítások ellenőrzése
Folyamatos őrlések vizsgálata a konvektív áramlási sebesség nemkonstans értéke esetén Az őrlési tapasztalatok azt mutatják, hogy az őrlési folyamatok egy részében a konvektív áramlási sebesség nem változik számottevően, értékét állandónak tekintik a kutatók (Austin et al., 1983). A folyamatos őrlések között azonban, ugyancsak a tapasztalatok szerint, olyanok is előfordulnak, amikor a szemcsék konvektív áramlási sebességét érzékelhetően befolyásolja akár több tényező is, például a szemcseméret, a szemcse malombeli helye, a beadagolás tömegárama (Berthiaux et al, 1996b). Bármilyen okból kifolyólag változik is a malomban a szemcsék konvektív áramlási sebessége, ha ismerjük, hogy a kiváltó ok miként hat a konvektív áramlási sebességre, akkor a kifejlesztett diszkrét modellek átalakíthatók úgy, hogy e hatásokat számba vegyék. Ezt illusztrálom az alábbi két numerikus kísérlettel. Folyamatos őrlés vizsgálata a malom kijárata irányában növekvő konvektív áramlási sebesség esetén Az üzemi őrlőmalmok között előfordulnak olyanok is, amelyekben a malom vége felé haladva nő az anyag konvektív áramlási sebessége a malom megépítése miatt. A hidraulikus esés következménye ez a jelenség, amelyet olykor (diafragmák (Tarján, 1978) és emelőlapátok alkalmazásával) még fokoznak is az őrlemény gyors eltávolítása érdekében. Az ilyen készülékekben történő őrléskor azt tapasztalták, hogy a stacionárius állapotban a szekciókban különböző mennyiségű anyag van, amely a malomban a kijárat felé haladva csökken. Diszkrét modellekbe beépítettem a konvektív áramlási sebesség változásának figyelembevételét. Ennek illusztrálására bemutatom annak a kísérletnek az eredményét, ahol a malom bejáratánál a sebesség u=0.0180 (m/s), amely a kijáratig az u=0.0228 (m/s) értékig lineárisan nő. Összehasonlítást végeztem a konvektív áramlási sebesség u=0.0180 (m/s) konstans értéke esetén kapott eredményekkel. A várakozásoknak megfelelően – a tapasztalattal összhangban – a numerikus kísérleti eredmények is azt mutatták, hogy a nagyobb konvektív áramlási sebesség rosszabb leőrléshez vezetett. Ezt szemléltetik a 3.22. táblázat első két sorának adatai és a 3.56. ábra. A 3.56. ábrán a stacionárius állapotban a malom szekcióik anyagmennyiségei láthatók, vagyis az anyag elhelyezkedése a malomban a modell számításai szerint. ~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (A további paraméterek: Y =6 (m), D=0.009 ( m 2 / s ), ~ (µm), K s = 8 ⋅ 10 −3 (1/s), α=0.6, β=2.3, γ=0.8, Φ=0.48, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~ xcut = 500 .)
130 3.22. táblázat. A késztermékek stacionárius állapotbeli statisztikai jellemzői A konvektív áramlási sebesség
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
203.99 210.54 206.88
148.14 149.57 148.38
Állandó A malom vége felé nő Szemcsemérettől függő
3.56. ábra. A késztermékek eloszlásfüggvényei.
3.57. ábra. A malom szekciói anyagmennyiségei a stacionárius állapotban.
Folyamatos őrlés vizsgálata szemcsemérettől függő konvektív áramlási sebesség esetén Az irodalomban olyan publikációk is megtalálhatók, amelyekben tapasztalataikra hivatkozva a kutatók azt állítják, hogy a malomban a szemcsék sebessége függ a méretüktől, mégpedig a kisebb szemcsék sebessége nagyobb (Keviczky et al., 1984, Berthiaux et al., 1996b). A kifejlesztett diszkrét matematikai modellek átalakíthatók úgy, hogy számításba vegyék a konvektív áramlási sebesség szemcsemérettől való függését is. (Az irodalomban ismertetett tartózkodási idő eloszlást figyelembe véve számítottam ki a szemcseméret-függő áramlási sebességeket (Berthiaux et al., 1996b).) A numerikus kísérletek igazolták azt a feltételezést, hogy a malom vége felé haladva csökken az anyagmennyiség a malomban, mivel az őrlőhatás következtében a malom vége felé több az apró szemcse, s ezek nagyobb sebességgel is haladnak a kijárat felé. A 3.58. ábra a szekcióbeli anyagmennyiségek csökkenését illusztrálja, a 3.22. táblázat harmadik sora a számítási eredményeket tartalmazza. A konvektív áramlási sebesség u=0.0180 (m/s) konstans értéke esetén kapott eredményekkel való összehasonlíthatóság miatt, ennek a numerikus kísérletnek a paraméterei megegyeztek az előző kísérlet paramétereivel. A késztermék eloszlásfüggvénye a 3.59. ábrán látható. A szemcsemérettől függő áramlást feltételező számítások alig tértek el azoktól, amelyeket a konvektív áramlási sebességet konstansnak véve kaptunk. Ennek az oka a példában szereplő áramlás kis mértékű változása.
131
3.58. ábra. A malom szekciói anyagmennyiségei a stacionárius állapotban.
3.59. ábra. A késztermék eloszlásfüggvénye.
A nyílt és a zárt folyamatos őrlés összehasonlítása a stacionárius állapotbeli őrlemények mennyiségei alapján Kobayashi és kutatótársai a termelés szempontjából összehasonlítva a nyílt és a zárt folyamatos őrléseket azt tapasztalták, hogy ha azonos átlagos szemcseméretű készterméket állítanak elő nyílt, illetve zárt folyamatos őrléssel, akkor a zárt őrlés során körülbelül 5%-kal több késztermék keletkezik azonos időtartam alatt (Kobayashi et al., 2003). A nyílt és a zárt őrlés során keletkezett késztermékek mennyiségeit tekintve numerikus kísérletekkel megállapítottam, hogy zárt őrléskor több termék keletkezik. A zárt folyamatban keletkezett többlet jól törő anyagok őrlése során kevesebb, míg a kevésbé törő anyagoknál jelentősebb mennyiség. Az alábbi adatokkal megadott őrlést végezve, Kobayashi és kutatótársai megállapításával egyező eredményre jutottam. ~ xmin = 0 (µm), A paraméterek: Y =6 (m), u=0.012 (m/s), D=0.007 ( m 2 / s ), ~ −3 ~ x max = 1000 (µm), K s = 8.5 ⋅ 10 (1/s), α=0.5, β=1.3, γ=0.6, Φ=0.48, ε = 10 −7 , τ=0.01, 1 , ahol c=20, I=20, J=20. A klasszifikációs függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( −20 (1− )) x 500 1+ ⋅e 500 ~ xcut = 500 . A nyílt és a zárt őrlési folyamat során a késztermék átlagos szemcsemérete 193.6 µm, a szórása 222.8 µm volt, s 5,2%-kal több késztermék keletkezett ugyanannyi idő alatt zárt őrléskor. Egy kevésbé törő anyag őrléséről is beszámoltak a szerzők. Numerikus kísérletet végezve a K s paraméter K s = 5 ⋅ 10 −3 (1/s) értéke esetén a kutatók tapasztalatához hasonlóan, 16,8%-os késztermék-növekedést tapasztaltam.
132
3.2.6. Matematikai állítások, érdekességek illusztrálása
A T és C mátrix sajátértékei numerikus vizsgálata A tárgyalt folyamatos őrlések matematikai modelljei felírhatók mátrix formában. A nyílt folyamatos őrlés x n +1 = T x n + a n , a zárt folyamatos őrlés y n +1 = C y n + b n alakban adható meg, amint a 2. fejezetben láttuk. Numerikus kísérleteket végeztem ρ (T ) és ρ (C ) értékeinek megállapításával annak igazolására, hogy az egyenletrendszerek megoldásai konvergálnak a működési és a kinetikai paraméterek őrlési tapasztalatban előforduló értékei esetén, összhangban azzal a megfigyeléssel, hogy valamennyi idő eltelte után beáll a malom stacionárius állapota, feltéve, hogy a működési és a kinetikai paraméterek értéke, a beadagolt friss anyag mennyisége, összetétele, őrölhetősége nem változik az őrlés során. A kinetikai és a működési paraméterek értékeit széles skálán változtatva, a numerikus kísérletek azt mutatják, hogy a T mátrix spektrálsugara mindig kisebb 1-nél, míg a C mátrixé nem nagyobb 1-nél, azaz ρ (T ) < 1 , illetve ρ (C ) ≤ 1 mindig teljesül. A numerikus kísérleteink eredményeit a 3.23. és a 3.24. táblázat tartalmazza. A 3.24. táblázat adatai azt is mutatják, hogy ρ (T ) < ρ (C ) mindig fennáll. A numerikus kísérletek során azt is észrevettem, hogy a K s paraméter értékének csökkenése ρ (C ) értéke növekedését eredményezi. A K s paraméter különböző értékeinél vizsgáltam az alábbi numerikus kísérlettel ρ (C ) értéke és a malom szekciói anyagmennyisége közötti kapcsolatot a stacionárius állapotban. Az őrlés kezdetén mindegyik szekcióban az anyagmennyiség 0.05 volt. A malomba az őrlés megkezdése előtt betöltött anyagmennyiséget egységnyinek tekintettem. A kísérlet eredményeit a 3.23. táblázat tartalmazza ~ ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.016 (m/s), D=0.008 (m2/s), −7 ~ x max = 1000 (µm), α=0.6, β=4.2, γ=0.9, Φ=0.48, d=10, ε = 10 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~ xcut = 500 .) 3.23. táblázat. A ρ (C ) értékei és a szekciók anyagmennyiségei a stacionárius állapotban.
Ks
ρ (C )
A stacionárius állapotban a szekciók anyagmennyiségei
0.9866 0.9931 0.9985 0.9992 0.9998 0.9999 1.0000
0.0977 0.1579 0.6063 1.1333 5.0173 9.5906 43.3911
értékei (1/s)
10 −2 5 ⋅ 10 −3 10 −3 5 ⋅ 10 −4 10 −4 5 ⋅ 10 −5 10 −5
133 A numerikus kísérleteket a K s paraméter értékének a 3.23. táblázatban feltüntetett értékeinél kisebbekre is elvégeztem, a továbbiakban mindig ρ (C ) = 1 értéket kaptam, ami adódhat kerekítésből is. A K s értéke az irodalomban előforduló adatok szerint általában 10 −2 - 10 −4 , esetleg 10 −5 nagyságrendű. A 3.23. táblázat is mutatja, hogy ρ (C ) értéke annál nagyobb, minél rosszabbul törik az anyag. A kevésbé törékeny anyagok őrlésekor azonban nagyon sok anyag gyűlik össze a malomban. A példánkban a kezdeti betöltés több mint 100-szorosát meghaladó anyagmennyiségre ρ (C ) értéke még mindig 1-nél kisebb, ρ (C ) =0.9998. A numerikus kísérlet eredménye összhangban van azzal az őrlési tapasztalattal, amely szerint valamennyi idő után beáll a malom stacionárius állapota, amennyiben a működési és a kinetikai paraméterek értékei, a beadagolt anyag mennyisége, összetétele, őrölhetősége állandó. Az viszont előfordulhat, hogy (jóval) az előtt bekövetkezik, illetve bekövetkezne a malom túlterhelése, túltelítődése, mielőtt beállna a stacionárius állapota. A ρ (T ) és ρ (C ) értékének a működési paraméterektől való függését vizsgáltam az alábbi kísérlettel, amelynek eredményét a 3.24. táblázat szemlélteti. 3.24. táblázat. A ρ (T ) , ρ (C ) értékei működési paraméterektől való függése.
u értékei (m/s)
D értékei (m2/s)
ρ (T )
ρ (C )
0.014 0.014 0.014 0.016 0.016 0.016 0.018 0.018 0.018
0.006 0.007 0.008 0.006 0.007 0.008 0.006 0.007 0.008
0.9686 0.9713 0.9734 0.9661 0.9690 0.9713 0.9637 0.9668 0.9693
0.9877 0.9880 0.9883 0.9894 0.9896 0.9899 0.9907 0.9909 0.9911
~ xmin = 0 (µm), ~ x max = 1000 (µm), K s = 5 ⋅ 10 −3 , α=0.6, (A paraméterek: Y =6 (m), ~
β=2.5, γ=0.8, Φ=0.40, d=10, ε = 10 −7 , a klasszifikációt a Molerus-féle függvény írja le,
xcut = 500 .) ahol c=5, ~ A 3.26. táblázat adatai azt mutatják, hogy u értékének növelésével ρ (T ) értéke csökken, ρ (C ) értéke viszont nő, míg D értéke növelésével ρ (T ) értéke is, ρ (C ) értéke is nő. A numerikus kísérletek tanúsága szerint a folyamatos őrlések leírására újonnan megadott diszkrét matematikai modellekről összefoglalva elmondhatjuk, hogy a kiszabott feltételek teljesülése esetén a megoldásuk konvergens, mivel a nyílt folyamatos őrlést tekintve ρ (T ) <1 mindig fennáll, a zárt folyamatos őrlés esetén pedig a törési paraméterek valóságban előforduló értékeire teljesül, hogy ρ (C ) <1.
134 A szekcióbeli anyagmennyiségek változása, oszcillációja a stacionárius állapot beállásáig Zárt folyamatos őrléskor a késleltetési idő elteltével a malomban, főként a bejáratánál a recirkuláció következtében hirtelen megnő az anyagmennyiség. A jól törő anyagok esetén azonban hamarosan fogyás követi a kezdeti növekedést, s az anyagmennyiség folyamatosan lecsökken a stacionárius állapotbeli mennyiségre. A kevésbé törő anyagoknál a malombeli anyagmennyiség oszcillációja jelentkezhet, míg a rosszul törő anyagok esetén csaknem folyamatos növekedéssel éri el a malombeli anyagmennyiség a stacionárius állapotbeli mennyiséget. Három különböző törési paraméterű anyag – K s = 7.4 ⋅ 10 −3 (1/s), K s = 3.7 ⋅ 10 −3 (1/s), K s = 2 ⋅ 10 −3 (1/s) – őrlése során vizsgáljuk az első, tizedik és huszadik szekcióban az anyagmennyiség változását, ezt mutatják a 3.60-3.62. ábrák. ~ ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.019 (m/s), D=0.009 (m2/s), −7 ~ x max = 1000 (µm), α=0.6, β=3.0, γ=1.20, Φ=0.48, d=10, ε = 10 , a klasszifikációs függvény a Molerus-féle függvény, ahol c=20, ~ x = 500 .) cut
3.60. ábra. Az első, tizedik és huszadik szekcióban az anyagmennyiségek az idő függvényében, K s = 7.4 ⋅ 10 −3 (1/s).
3.61. ábra. Az első, tizedik és huszadik szekcióban az anyagmennyiségek az idő függvényében, K s = 3.7 ⋅ 10 −3 (1/s).
135
3.62. ábra. Az első, tizedik és huszadik szekcióban az anyagmennyiségek az idő függvényében, K s = 2 ⋅ 10 −3 (1/s).
A 3.60-3.62. ábrákon látható, hogy példánkban a beadagolt friss anyag mennyiségére a 1 4. Tétel feltételei fennállnak. Nyílt őrlési folyamat során = 0.05 lenne az egyes J szekciókban az anyagmennyiség. Zárt őrlést végezve a szekciók anyagmennyisége 1 = 0.05 mindaddig, amíg az osztályozóból nem érkezik meg a visszatérített anyag. A J 3.60-3.62. ábrák azt a tényt is illusztrálják, hogy zárt őrlést végezve bármelyik időpillanatban legalább annyi anyag van a malomban, mint nyílt őrlést végezve. A szemcseáramlást és a szemcsetörést egymást kizáró és egymástól független eseményként leíró modellek, Modell I és Modell II, összehasonlítása A szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményként szemlélő (Modell I), illetve ezeket független eseményeknek tekintő (Modell II) modellek összehasonlítására végeztem az alábbi numerikus kísérletet. Egy jól és egy kevésbé törő anyag zárt őrléseit hasonlítottam össze, a szimulációs időlépések különböző választásával. A numerikus kísérletekkel azt állapítottam meg, hogy a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményként kezelő modell az őrlendő anyag nagyobb mértékű leőrlődését jelzi, mint az áramlás és törés függetlenségét feltételező modell. A 3.25. és 3.26. táblázatba foglalt eredmények is megerősítik ezt a megállapítást. ~ xmin = 0 (µm), (A paraméterek: Y =6 (m), u=0.015 (m/s), D=0.007 ( m 2 / s ), ~ −7 ~ x max = 1000 (µm), α=0.5, β=3.1, γ=0.9, Φ=0.48, d=5, ε = 10 , a klasszifikációs 1 , ahol c=20, ~ xcut = 500 .) függvény ψ~ ( ~ x) = 1− ~ x ~ ( 20 ( 1 − − )) x 500 ⋅e 1+ 500
136 3.25. táblázat. Az őrlemények statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró, illetve egymástól független eseményként leíró modellekkel számítva.
Ks
τ
értéke (1/s)
értéke
2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3
0.0100 0.0050 0.0010 0.0001 0.0100 0.0050 0.0010 0.0001
A szemcseáramlás és -törés egymást kizáró események
A szemcseáramlás és -törés egymástól független események
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórása (µm)
Az őrlemény átlagos szemcsemérete (µm)
Az őrlemény szórás (µm)
590.73 590.72 590.70 590.70 433.83 433.76 433.20 432.45
253.84 253.83 253.73 253.59 272.75 272.75 272.76 272.72
694.47 623.15 579.12 574.59 635.99 510.06 438.21 431.41
173.15 218.57 238.31 240.37 211.65 256.83 263.75 264.07
3.26. táblázat. A késztermékek statisztikai jellemzői a stacionárius állapotban a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró, illetve egymástól független eseményekként leíró modellekkel számítva. A szemcseáramlás és -törés egymást kizáró események
Ks
τ
értéke (1/s)
értéke
2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3
0.0100 0.0050 0.0010 0.0001 0.0100 0.0050 0.0010 0.0001
A szemcseáramlás és -törés egymástól független események
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórása (µm)
A késztermék átlagos szemcsemérete (µm)
A késztermék szórás (µm)
280.31 280.32 280.40 280.51 233.39 233.36 233.16 232.95
160.58 160.58 160.60 160.60 153.11 153.11 153.09 153.04
337.83 303.56 287.07 285.28 308.83 264.51 241.67 238.82
170.80 164.69 162.05 161.77 165.56 158.63 154.92 154.43
A 3.25. és 3.26. táblázat egyaránt alátámasztja azt a tapasztalatomat, hogy míg a Modell I-gyel kiszámított statisztikai jellemzők – az őrlemény és a késztermék átlagos szemcsemétere és szórása – alig változnak, ha a τ (szimulációs időlépés) értékét 0.01-nál tovább csökkentem, ellenben a Modell II számítási eredményei jól érzékelhetően változnak, s várakozásoknak megfelelően egyre jobban közelítik a Modell I-gyel kapott eredményeket. A τ = 0.001 választása esetén a K s = 2 ⋅ 10 −3 és a K s = 5 ⋅ 10 −3 törési paraméterű anyagok késztermékei eloszlásfüggvényeit szemléltetik a 3.63, illetve a 3.64.
137 ábrák, amelyek jól illusztrálják a Modell I-gyel és a Modell II-vel számított eloszlások közötti csekély eltéréseket, valamint azt, hogy a jobban törő anyag jobban leőrlődik.
3.63. ábra. A késztermékek eloszlásfüggvényei, Ks= 2 ⋅10 −3 , τ = 0.001 .
3.64. ábra. A késztermékek eloszlásfüggvényei, Ks= 5 ⋅10 −3 , τ = 0.001 .
A 3.25. táblázat azt is mutatja, hogy a szemléletükben eltérő modellekkel számított őrlemény-jellemzők közötti különbségek jól törő anyagokra jelentősebbek, mint a rosszabbul törőkre, míg a 3.26. táblázat adataiból azt állapítjuk meg, hogy a késztermékek tekintetében a jól és a rosszul törő anyagok átlagos szemcseméretei és szórásai között nincsenek számot tevő különbségek. Jelölje rendre µ k ,out , µ k ,kesz az őrlemény, illetve a késztermék Modell I-gyel számított átlagos szemcseméretét a stacionárius állapotban, ugyanezek a mennyiségek a Modell II-vel számítva legyenek µ f ,out , illetve µ f ,kesz . Hasonlóan, jelölje σ k ,out , σ k , kesz az őrlemény, illetve a késztermék Modell I-gyel számított szórását a stacionárius állapotban, míg ugyanezek a mennyiségek Modell II-vel számítva legyenek σ f ,out és σ f ,kesz . A Modell I-gyel és a Modell II-vel számított értékek relatív eltéréseit a 3.27. táblázat szemlélteti. Jól látható, hogy a szimulációs időlépés hosszát csökkentve a relatív eltérések is csökkennek. 3.27. táblázat. A stacionárius állapotban az őrlemények és a késztermékek Modell I-gyel és Modell II-vel számított átlagos szemcseméretek és szórások relatív eltérései.
Ks
τ
értéke (1/s)
értéke
2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 2 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3 5 ⋅10 −3
0.0100 0.0050 0.0010 0.0001 0.0100 0.0050 0.0010 0.0001
µ k ,out − µ f ,out
σ k ,out − σ f ,out
µ k ,kesz − µ f ,kesz
σ k ,kesz − σ f ,kesz
µ k ,out
σ k ,out
µ k ,kesz
σ k ,kesz
0,175613 0,054899 0,019604 0,027273 0,465989 0,175904 0,011565 0,002405
0,317877 0,138912 0,060773 0,052131 0,224015 0,058368 0,033033 0,031718
0,205201 0,082905 0,023787 0,017005 0,323236 0,133485 0,036499 0,025199
0,063644 0,025595 0,009029 0,007285 0,081314 0,036053 0,011954 0,009083
138 Számos numerikus kísérlet során megfigyeltem a Modell I-gyel és a Modell II-vel számított eredmények közötti relatív eltéréseket. Tapasztalatom szerint a szimulációs időlépés alkalmas választásával elérhető, hogy ezek néhány százalékra, néhány ezrelékre csökkenjenek.
3.2.7. A modellek további lehetséges felhasználási területei Az őrlési folyamat alatt az őrlési körülményeket, valamint a kinetikai és a működési paraméterek értékeit változatlannak tekintő, vagyis az „ideális” körülmények között végzett őrlésre kidolgozott modellek az anyag leőrlődését befolyásoló, a valóságban előforduló számos különböző tényező hatását – az őrölhetőség változása, az áramlási sebesség változása – együttesen is figyelembe tudják venni, ha ismerjük, hogy ezek miként befolyásolják az őrlési folyamatot. Ezért a kidolgozott szimuláció alkalmas az üzemi őrlések szimulálására. Egyes malmok modellezésére az úgynevezett teljesen kevert modelleket alkalmazzák, azaz egyetlen szekcióból állónak tekintik az egész malmot. Az újonnan kidolgozott modellek átalakításával (egyszerűsítésével) kapunk e malmok modellezésére alkalmas modelleket. A szakaszos őrlésekre vonatkozóan a hordozó közegből az ásványi anyagok kinyerése érdekében végzett őrlések tanulmányozására már dolgoztak ki matematikai modellt (King & Schneider, 1998). Az ilyen célú folyamatos őrlések leírására az őrlési szakemberekkel közösen lehetne a matematikai modelleket megalkotni, s ezek a dolgozatban bemutatott modellek általánosításai és továbbfejlesztései is lehetnének. A dolgozatban tárgyalt modellekben szereplő u, D – konvektív áramlási sebesség, axiális diszperzió – működési paraméterek más üzemeltetési paraméterekkel való kapcsolata megállapítása után u, D helyett ezekbe a modellekbe már más paraméterek is beépíthetők. Az u-nak és D-nek a további üzemeltetési paraméterekkel való összefüggése további vizsgálatok tárgyát képezheti a jövőben, mert jelenleg még feltárásra vár. A teljes körű üzemi őrlés folyamatszabályozása során a malom modellezése és szimulációja egy nagyon jelentős részprobléma. A régóta szorgalmazott (Keviczky et al, 1984, Pethő, 1987) üzemi folyamatirányítási rendszerek megvalósításában is felhasználhatók a dolgozatban ismertetett új modellek.
139
Összefoglalás Dolgozatom témája a folyamatos őrlés mindkét típusának, a nyílt és a zárt folyamatos őrlésnek számítógéppel segített numerikus vizsgálata. Az első fejezetben az őrlések matematikai leírása terén elért eddigi kutatási eredményeket foglaltam össze, ismertettem a célkitűzéseket és a kutatási módszereket. A dolgozat második fejezetében ismertettem a folyamatos őrlések leírására újonnan kifejlesztett matematikai modelleket és a modellek tulajdonságait. A 2.1. alfejezetben bemutattam a nyílt folyamatos őrlés folytonos matematikai modelljét, a 2.2. alfejezetben megadtam a zárt folyamatos őrlés egy folytonos matematikai modelljét, amely speciális esetekként magában foglalja a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés folytonos modelljeit. Ezt követően a 2.3. alfejezetben a folytonos modellből levezettem a zárt folyamatos őrlés egy diszkrét matematikai modelljét, amely egy lineáris rekurzív egyenletrendszer, és ez a modell – a levezetés szerint – a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményként írja le. (A továbbiakban röviden Modell I.) Egyes modellalkotók az áramlást és a törést egymástól független eseményeknek tételezik fel. Ezt a szemléletet képviselő modellt is megadtam. (Ez a Modell II.) A 2.4. alfejezetben a rekurzív lineáris egyenletrendszer alakban megadott modelleket mátrix formában is felírtam. Egyes őrléskutatók az ilyen felírású modelleket részesítik előnyben, s mihelyt ilyet a zárt folyamatos őrlésre is publikálnak, az eredményeink könnyebben összehasonlíthatók lesznek. A 2.5. alfejezetben igazoltam a diszkrét modellegyenletek megoldásának nemnegativitását, a 2.6. alfejezetben bebizonyítottam az őrlést leíró mátrixok tulajdonságait, a 2.7. alfejezetben megadtam a stacionárius állapot definícióját. A 2.8. alfejezetben a diszkrét modellekre vonatkozó főbb állításokat igazoltam. A megalkotott diszkrét modellekre – a nyílt és a zárt őrlésre vonatkozókra egyaránt – bebizonyítottam, hogy a beadagolt friss anyag mennyiségére és összetételére vonatkozó bizonyos feltételek mellett, továbbá a kinetikai és a működési paraméterek értékeit az őrlési folyamat alatt állandónak tekintve, minden időpillanatban állandó a malomban az anyagmennyiség. Tehát az is igaz, hogy van olyan recirkulációs őrlés, amikor nem következik be túltelítődés. Természetesen csak bizonyos beadagolások esetén igaz, hogy a malomban minden időpillanatban állandó az anyagmennyiség, mert az a nyílt folyamatos őrléskor a beadagolt szemcsék mennyiségétől függően (egy határig) folyamatosan csökkenhet vagy növekedhet. A zárt folyamatos őrlés esetén a malombeli anyagmennyiség a visszatérített méreten felüli szemcsék mennyiségétől függően ingadozhat is a stacionárius állapotbeli mennyiség eléréséig. Bizonyítottam, ha időegységenként azonos mennyiségű és összetételű friss anyagot táplálnak be, továbbá a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlési folyamat alatt, akkor a stacionárius állapot beálltát követően állandó az anyagmennyiség a malomban. A diszkrét modellekre vonatkozóan azt is igazoltam, hogy a malomban minden időpillanatban legalább annyi anyag van a zárt folyamatos őrlés esetén, mint a nyílt őrlés esetén, ha e kétféle típusú őrlésnél azonos anyagot őrölnek, megegyeznek a kezdeti értékek és azonos mennyiségű és összetételű friss anyagot táplálnak be, továbbá a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlési folyamat alatt. A diszkrét modellekre nézve megmutattam, hogy ha időegységenként azonos mennyiségű és összetételű friss anyagot adagolnak be, valamint a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó az őrlési folyamat alatt, akkor zárt őrlést végezve a stacionárius
140 állapotban egy időegység alatt a késztermék mennyisége megegyezik a beadagolt friss anyagéval. Megadtam a zárt őrlésre vonatkozóan a malom kezdeti állapotától a stacionárius állapotáig bekövetkező anyagmennyiség-növekedésének, valamint az osztályozóból visszatérített szemcsék mennyiségének képletét. Megmutattam, hogyan kell megválasztani a beadagolt friss szemcsék mennyiségét a malom legnagyobb terhelhetőségének és az osztályozásnak a figyelembevételével ahhoz, hogy ne következzen be túltelítődés. Bebizonyítottam – a kinetikai és a működési paraméterek értékei állandósága és a beadagolásra vonatkozó bizonyos feltételek mellett –, hogy a nyílt folyamatos őrlés mátrixának nincsen 1-nél nagyobb abszolút értékű sajátértéke. Numerikus kísérletekkel azt is megállapítottam, hogy mind a nyílt, mind a zárt folyamatos őrlés mátrixának spektrálsugara kisebb 1-nél az őrlés során ténylegesen előforduló paraméterek értékei esetén. Ezzel numerikus kísérletekkel igazolást nyert az, hogy létezik a diszkrét matematikai modelleknek – az őrlési paraméterek valóságban előforduló értékeit tekintve – aszimptotikus megoldása. A harmadik fejezet a diszkrét modellek numerikus diszkusszióját tartalmazza. A 3.1. alfejezet ismerteti a numerikus kísérletek célját, a kísérletekkel kapcsolatos feltevéseket, a statisztikai jellemzők kiszámítási módját. Az elvégzett numerikus kísérletek leírása a 3.2. alfejezetben található. A dolgozatban bemutatott számítási eredményeket a Modell I alkalmazásával kaptam, de ugyanazokat a numerikus kísérleteket a Modell II-vel is elvégezve, ugyanazokra a következtetésekre jutottam, mint a Modell I-gyel végzett kísérletek esetén. A 3.2.1. alfejezetben igazoltam az őrlés tanulmányozására kidolgozott módszer numerikus konvergenciáját. Azt tapasztaltam, hogy a szekciók és a szemcseméretintervallumok számát alkalmasan, de legalább tíznek, tízhez közeli értéknek választva – összhangban az irodalomban megtalálható adatokkal – a numerikus kísérletek számítási eredményei elfogadható pontosságúak. Az őrlemény statisztikai jellemzőinek csekély változását figyeltem meg a szekciók és szemcseméret-intervallumok számának további növelésével. Ebben az alfejezetben azt is megmutattam, hogy a szimulációs eredmények összhangban vannak a malom várható viselkedésével, mert a modell alkalmazásával számított eredmények és az irodalomban közzétett tapasztalati értékek között elenyésző különbségek mutatkoztak. A 3.2.2. alfejezetben bemutattam a modell alkalmazását az őrlési folyamatok tervezésére. Vizsgálván miként hat a malom hossza az őrlemény stacionárius állapotbeli jellemzőire, megállapítottam, hogy a várakozásnak megfelelően a hosszabb malomban jobban leőrlődik az anyag. A nyílt és a zárt őrlést összehasonlítva megállapítottam, hogy nyílt őrlést végezve hosszabb malomban őrölve keletkezik közelítőleg olyan összetételű őrlemény, mint zárt őrlést végezve. Mindkét fajta őrlésnél a malom hosszával közelítőleg egyenes arányban csökken a stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméret, a szórás viszont egyenes arányban kissé nő. A nyílt és a zárt őrlési folyamatot összehasonlítva a stacionárius állapot eléréséhez szükséges idő szempontjából, megállapítottam, hogy zárt őrlés esetén ez az időtartam a nyílt őrlés esetén szükségesnek többszöröse, a különbség jól törő anyagok esetén kisebb, a rosszul törőknél nagyobb. Azt is kimutattam, hogy a jól és a kevésbé jól törő anyag is zárt őrlést végezve őrlődik le jobban. A modellezett zárt őrlésre vonatkozóan numerikus kísérletekkel megmutattam, hogy a nagy szemcsék recirkulációja jelentősen megnöveli a stacionárius állapot elérésének időszükségletét, a következő alfejezetben azt is megállapítottam, hogy maga a késleltetés mértéke azonban alig befolyásolja ezt az időszükségletet.
141 A zárt őrlési folyamatban fontos szerepet kap az osztályozó, ahol az őrleményt szétválasztják a készterméket képező „méreten aluli” és a további őrlésre visszaadott „méreten felüli” részre. Az osztályozó működése kihat egyrészt a késztermék finomságára, másrészt a malombeli anyagmennyiség alakulására. A numerikus kísérletekhez az osztályozó működését az irodalomból jól ismert klasszifikációs függvényekkel írtam le. Vizsgáltam, hogyan kell az osztályozó működését megválasztani a túltelítődés elkerülése érdekében. Egyes üzemi őrléseknél a késztermék minőségének biztosítása érdekében a malombeli anyagmennyiséget az őrlési folyamat alatt állandó értéken kell tartani. Példán keresztül szemléltettem a malom telítettségi szintjére vonatkozó előírás figyelembevételét a modell alkalmazásával. Ezen előírás betartásának nagy a gyakorlati jelentősége akkor, ha a malombeli anyagmennyiség számottevően befolyásolja az őrölhetőséget. Bemutattam a modell felhasználását a termelés optimalizálására. Az őrlés célja a felhasználói igényeknek megfelelő késztermék előállítása. Függvényminimalizáló módszert – a flexibilis tolerancia módszert – alkalmazva kidolgoztam egy eljárást, amellyel megállapíthatók az előírásoknak megfelelő késztermék előállításához szükséges működési paraméterek optimális értékei. A 3.2.3. alfejezetben ismertettem a működési és a kinetikai paraméterek hatásának tanulmányozása során született eredményeket, amelyek a konvektív áramlási sebességre, az axiális diszperziós tényezőre, az átlagos tartózkodási időre, a Péclet-számra, a klasszifikációs függvényre, valamint a szelekciós függvény és a törési eloszlásfüggvény paramétereire vonatkoznak. Megállapítottam, hogy a konvektív áramlási sebesség növelésével egyenes arányban nő az őrlemény és a késztermék átlagos szemcsemérete, míg a szórását a változás alig érinti. Igazoltam, hogy az axiális diszperzió értékének növekedése az őrlemény és a késztermék átlagos szemcseméretének kis mértékű növekedését eredményezi, az őrlemény szórásának csekély mértékű csökkenéséhez vezet, a késztermék szórásának változása jelentéktelen. Megmutattam, hogy a szelekciós függvény α paraméterének növelése, K s paraméterének csökkentése, valamint a törési eloszlásfüggvény β és γ paraméterének növelése, Φ paraméterének csökkentése az őrlemény és a késztermék átlagos szemcseméretének növekedését, szórásának csökkenését eredményezi. A 3.2.4. és a 3.2.6. alfejezetben is foglalkoztam a tranziens állapot tanulmányozásával. A 3.2.4. alfejezetben a tranziens állapotra nézve megállapítottam, hogy az őrlemény statisztikai jellemzői az őrlés kezdetén változnak a legnagyobb mértékben. A 3.2.6. alfejezetben a szekciók anyagmennyiségei változását vizsgáltam a tranziens állapotban. Zárt őrléskor a malomban a késleltetési idő elteltével hirtelen megnő az anyagmennyiség. Jól törő anyagok esetén az anyagmennyiség-növekedést hamarosan az anyagmennyiség folyamatos csökkenése követi a stacionárius állapotbeli mennyiség eléréséig. A kevésbé törő anyagoknál az anyagmennyiség oszcillációja figyelhető meg, különösen az első szekcióban, míg a numerikus kísérletek tanúsága szerint a rosszul törő anyagok őrlésekor (esetleg csekély oszcillációt követően) az anyagmennyiség folyamatosan növekszik, amíg a stacionárius állapotbeli mennyiséget eléri. Megállapítottam, hogy zárt őrléskor a legnagyobb anyagmennyiség-növekedés az első szekcióban jelentkezik. Az anyag a malomban szétterül, ami a további szekciókban egyre kisebb mértékű anyagmennyiség-növekedést idéz elő. A visszatérített szemcsék mennyisége folyamatosan csökken, mert egyre jobban leőrlődött anyag kerül ki a malomból, végül a visszatérített anyag mennyisége és összetétele állandósul. Ettől kezdve a malom szekcióiban is állandósul az anyagmennyiség. A 3.2.5. alfejezetben az irodalomban előforduló egyes állításokat szemléltettem. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az őrlési folyamatok egy részében a konvektív áramlási
142 sebesség értéke nem tekinthető állandónak az őrlési folyamat alatt. Numerikus kísérleti eredményekkel illusztráltam a malom kijárata irányában növekvő, valamint a szemcsemérettől függő áramlási sebesség hatását a malombeli anyagmennyiség alakulására nézve. Mindkét esetben a tapasztalattal megegyezően, a szekcióbeli anyagmennyiségek a kijárat irányában csökkennek. Igazoltam azt a tapasztalat útján nyert megállapítást, hogy azonos idő alatt zárt őrlést végezve több késztermék keletkezik. A 3.2.6. alfejezet matematikai állítások, érdekességek szemléltetését tartalmazza. Itt található a nyílt és a zárt folyamatos őrlés mátrixai sajátértékeire vonatkozó állítások illusztrálása, valamint a szekciók anyagmennyiségei változásának szemléltetése a stacionárius állapotig. Numerikus kísérletekkel is kimutattam, hogy a beadagolt friss anyag mennyiségét és összetételét állandó értéken tartva, zárt őrlést végezve bármelyik időpillanatban legalább annyi anyag van a malomban, mint nyílt őrlést végezve, feltéve, hogy az őrlés folyamán a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó. Numerikus kísérletekkel kimutattam, hogy a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintő modell (Modell I) kisebb átlagos szemcseméretet, de nagyobb szórást eredményez, mint az áramlás és törés függetlenségét feltételező modell (Modell II). A szimulációs időlépés csökkentésével a Modell I és Modell II számítási eredményei közötti különbségek jelentősen csökkennek. A 3.2.7. alfejezetben megemlítettem a modellek felhasználási lehetőségeit az üzemi őrlések tanulmányozásában, tervezésében, folyamatszabályozásában, s egyúttal lehetséges további kutatási irányokat is vázoltam. A dolgozatomban bemutatott eljárással a zárt folyamatos őrlést végző hengeres golyósmalmok és a légsugaras malmok egyes típusai, kisebb módosításokkal más típusú malmok is modellezhetők. Ilyen készülékek a laboratóriumokban és számos ipari területen találhatók, mint például a cement- és a vasgyártásban, a kerámia-, a szilikát-, a gyógyszer-, az élelmiszeriparban, az ásványi anyagok előkészítése területén. A kidolgozott modellekre alapozott szimulációval kapott eredmények és a tapasztalati eredmények nagymértékű egyezése azt a reményt kelti, hogy a felsorolt területeken történő alkalmazásra a modell nehézségek nélkül bevezethető, s a használatából várhatóan kimutatható gazdasági előnyök származnak, mert elkerülhető a túlőrlés, előre jelezhető a túltelítődés és a malom megszorulása, a késztermékre vonatkozó előírások gazdaságosan teljesíthetők. A dolgozatban bemutatott eredmények azt mutatják, hogy az őrlési folyamatok szimuláció útján való tanulmányozása jelentősen hozzájárul a folyamatok mélyebb megértéséhez és fontos szerepet tölt be az őrlésekhez kapcsolódó feladatok megoldásában. Az őrlés matematikai modellezése környezetvédelemi szempontból is fontos, mert a modellek segítségével jól megtervezett folyamatban kevesebb hulladék keletkezik, az alapanyagokkal és az energiával való takarékos gazdálkodás kíméli a környezetet.
143
Alkalmazott jelölések a ( xi , t n ) an A Aj Akonst Aout Arec Astac
A∆ b(x,L) bn bn
B(x,L) B B(i,j)=bi,j ~ ~ b (~ x, L) ~ ~ ~ B(x , L)
az i-dik méretintervallumba tartozó friss szemcsék mennyisége betápláláskor a t n időpillanatban a friss betáplált szemcsék mennyiségeinek vektora a t n időpillanatban az őrlés kezdő pillanatában egy-egy szekcióban lévő anyagmennyiség stacionárius állapotban a j-dik szekcióban lévő anyagmennyiség stacionárius állapotban egy-egy szekciókban lévő anyagmennyiség stacionárius állapotban időegység alatt a zárt őrlési folyamatból távozó anyagmennyiség, a késztermék mennyisége stacionárius állapotban időegység alatt az osztályozóból visszatérített anyagmennyiség stacionárius állapotban a malomban levő anyagmennyiség a malom stacionárius állapotbeli és kezdeti anyagmennyisége különbsége, az anyagmennyiség növekedése a malomban a stacionárius állapotig a törési sűrűségfüggvény a betáplált friss szemcsék mennyiségeinek vektora a t n időpillanatban a zárt őrlés mátrix formájában a betáplált friss szemcsék mennyiségeinek vektora a t n időpillanatban a zárt őrlés mátrix formájában, a megszorítást figyelembe vevő modellben törési eloszlásfüggvény törési mátrix a törési mátrix eleme a törési sűrűségfüggvény törési eloszlásfüggvény
Bf
beadagolt friss szemcsék (időben állandó) mennyisége
c c0
d ~ d D Dopt
a klasszifikációs függvény paraméter konstans konstans konstans konstans mátrix, a zárt folyamatos golyósmalmi őrlés leírására mátrix, a zárt folyamatos golyósmalmi őrlés megszorítást figyelembe vevő leírására a késleltetés időtartama, dimenziómentes a késleltetés időtartama (s) axiális diszperziós tényező (m2/s) a D optimális értéke a célfüggvény minimumához (m2/s)
Di D ~ d E f(u,D)
optimalizáláshoz használt D érték (m2/s) az őrlési zónában végbemenő folyamatot leíró mátrix késleltetés időtartama (s) egységmátrix célfüggvény
c1 c2 ckonst C C
144 f f f ( x, t )
f in ( x, t ) f l (~ x,~ t) f out ( x, t ) F ( p)
Fin ( xi , t n ) ~ ~ ~ f (x , t ) ~ ~ ~ f f (x , t ) ~ ~~ f in ( x , t )
~ ~~ fl (x , t ) ~ ~~ f out ( x , t ) ~ ~ ~ fr (x , t ) g ( p)
h(u,D) hx hy I I J k k0 Ks l L m(x,y,t) m 0 ( x, y )
~(~ m x, ~ y, ~ t) ~ (~ ~ m 0 x, y) ~ ~ (~ m f x, t ) M(x,t) M j ( x, t n )
az őrlendő anyag szemcseméret szerinti eloszlását megadó vektor a malomba beadagolt anyagra vonatkozó dimenziómentes tömegáramsűrűségfüggvény a keverőbe beadagolt friss anyagra vonatkozó dimenziómentes tömegáram-sűrűségfüggvény dimenziómentes tömegáram-sűrűségfüggvény az utolsó szekció bejáratánál az osztályozóból távozó őrölt anyagra, a késztermékre vonatkozó dimenziómentes tömegáram-sűrűségfüggvény célfüggvény az optimalizáláskor a (2.49) alatti szimbólum a malom kijáratánál a távozó anyagra vonatkozó tömegáramsűrűségfüggvény a malomba beadagolt anyagra vonatkozó tömegáram-sűrűségfüggvény a keverőbe beadagolt friss anyagra vonatkozó tömegáramsűrűségfüggvény tömegáram-sűrűségfüggvény az utolsó szekció bejáratánál az osztályozóból távozó őrölt anyagra, a késztermékre vonatkozó tömegáram-sűrűségfüggvény az osztályozóból újraőrlésre visszatérített anyagra vonatkozó tömegáramsűrűségfüggvény az optimalizáláskor figyelembe veendő feltételek leírására, vektor értékű függvény célfüggvény szemcseméret szerinti részintervallum-hosszúság, dimenziómentes szekció hossza, dimenziómentes a szemcseméret szerinti intervallumok száma egységmátrix a malom szekciói száma a szelekciós függvény paramétere, dimenziómentes konstans, a malomba beadagolható friss és visszatérített anyag együttes mennyiségére vonatkozó megszorítást kifejező konstans az anyag törési paramétere (1/s) szemcseméret szemcseméret a malomban lévő anyagra vonatkozó szemcseméret szerinti dimenziómentes tömeg-sűrűségfüggvény a malom kezdeti betöltését jellemző dimenziómentes tömegsűrűségfüggvény a malomban lévő anyagra vonatkozó tömeg-sűrűségfüggvény a malom ~y koordinátájánál a ~ t időpillanatban a malom kezdeti betöltését jellemző tömeg-sűrűségfüggvény a beadagolt anyag tömeg-sűrűségfüggvénye a malom bejáratánál szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvény a j-dik szekció szemcseméret szerinti tömeg-eloszlásfüggvénye a t n időpillanatban
145
O1 O2 O3 p pn p k ,i
a malom kijáratánál az őrlemény szemcseméret szerinti tömegeloszlásfüggvénye a stacionárius állapotban zérusmátrix zérusmátrix zérusmátrix az őrlemény eloszlását megadó vektor a stacionárius állapotban az őrlemény eloszlását az n-dik törési művelet után megadó vektor a (2.76) alatti szimbólum, konstans
p
az optimalizáláskor figyelembe veendő paraméterek vektora
P Pe ~ p k ,i r ri R j ( x, t n )
az átmenet-valószínűségek mátrixa Péclet-szám a (2.33) alatti szimbólum, konstans
M J (x)
R J (x) R ~ R R(x,t) S Sn S(x) S ~ S (~ x) t tn t ~ t T(x) ~ T (~ x) T T1 T2 T3 T4 T5 u ui u opt VB VF ~ VB ~ VF
a (2.42) alatti összefüggésben d=r·τ ~ az R mátrix főátlójának i-dik eleme a j-dik szekció szemcseméret szerinti maradék eloszlásfüggvénye a t n időpillanatban a malom kijáratánál az őrlemény szemcseméret szerinti maradék eloszlásfüggvénye a stacionárius állapotban mátrix, a zárt folyamatos golyósmalmi őrlés leírására az osztályozó működését leíró diagonális mátrix szemcseméret szerinti maradék-eloszlásfüggvény a malom állapotvektora a malom állapotvektora az n-dik időpillanatban törési szelekciós függvény szelekciós mátrix törési szelekciós függvény dimenziómentes idő az n-dik időpillanat átlagos tartózkodási idő (s) idő (s) klasszifikációs függvény, normált klasszifikációs függvény, normálatlan mátrix, a nyílt folyamatos golyósmalmi őrlés leírására a szemcsék törését leíró mátrix a szemcsék visszafelé áramlását leíró mátrix zérusmátrix a szemcsék előrefelé áramlását leíró mátrix a szemcsék törését leíró mátrix konvektív áramlási sebesség (m/s) optimalizáláshoz használt u érték (m/s) az u optimális értéke a célfüggvény minimumához (m/s) a tengely irányában előrefelé történő áramlás sebessége a tengely irányában hátrafelé történő áramlás sebessége a (2.36) alatti szimbólum A (2.35) alatti szimbólum
146 w(u,D) wi(t) W(t) x xcut xi xmax xmin xn x0 ~ x ~ xcut ~ xi ~ x max ~ x min
y Y yn ~ y ~ Y
célfüggvény az i-dik szemcseméret-osztályba tartozó szemcsék tömeghányada a t-dik időpillanatban oszlopvektor, i-dik komponense wi(t) dimenzió-mentes szemcseméret vágási méret, a klasszifikációs függvény paramétere diszkrét szemcseméret, dimenziómentes a legnagyobb szemcse mérete, dimenziómentes az őrlési folyamat során eltörő legkisebb szemcseméret, imenziómentes a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségei a t n időpillanatban a klasszifikációs függvény paramétere szemcseméret (m, µm) vágási méret (m, µm) diszkrét szemcseméret (m, µm) a legnagyobb szemcse mérete (m, µm) a legkisebb szemcse mérete (m, µm) a malomban a tengely irányú koordináta, dimenziómentes az őrlőmalom hossza, dimenziómentes a malom celláiban lévő szemcsék mennyiségeinek vektora a t n időpillanatban a zárt őrlés mátrix alakú modelljében a malomban a tengely irányú koordináta (m) az őrlőmalom hossza (m)
Görög betűk az S szelekciós függvény paramétere α a B törési eloszlásfüggvény paramétere β a B törési eloszlásfüggvény paramétere γ a célfüggvény paramétere δ a klasszifikációs függvény paramétere η számítási eltérésekre vonatkozó megállási feltétel ε a B törési eloszlásfüggvény paramétere Φ a célfüggvény paramétere κ sajátérték λ ν ( xi , y, t ) a (2.25) alatti szimbólum, a malom y koordinátájánál az i-dik méretintervallumba tartozó szemcsék mennyisége a t időpillanatban µ ( xi , y j , t ) a (2.40) alatti szimbólum, a malom j-dik szekciójában az i-dik méretintervallumba tartozó szemcsék mennyisége a t időpillanatban
µ f ,kesz µ f ,out µ k ,kesz µ k ,out
a késztermék Modell II-vel számított átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban az őrlemény Modell II-vel számított átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban a késztermék Modell I-gyel számított átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban az őrlemény Modell I-gyel számított átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban
147
µ out µ out (t n ) µ req
µs µˆ ρ( .) σ f ,kesz σ f ,out σ k ,kesz σ k ,out σ out σ out (t n ) σ req σs ψ(x) ψ~ ( ~x ) θ τ
a malom kijáratánál az őrlemény átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban (m, µm) a malom kijáratánál az őrlemény átlagos szemcsemérete a t n időpillanatban (m, µm) a késztermék előírt átlagos szemcsemérete (m, µm) a késztermék átlagos szemcsemérete a stacionárius állapotban (m, µm) anyagmennyiség a (2.81)-(2.90) egyenletekben, spektrálsugár a késztermék Modell II-vel számított szórása a stacionárius állapotban az őrlemény Modell II-vel számított szórása a stacionárius állapotban a késztermék Modell I-gyel számított szórása a stacionárius állapotban az őrlemény Modell I-gyel számított szórása a stacionárius állapotban a malom kijáratánál az őrlemény szórása a stacionárius állapotban (m, µm) a malom kijáratánál az őrlemény szórása a t n időpillanatban (m, µm) a késztermék előírt szórása (m, µm) a késztermék szórása a stacionárius állapotban (m, µm) klasszifikációs függvény, normált klasszifikációs függvény, normálatlan a klasszifikációs függvény paramétere szimulációs időlépés hossza, dimenziómentes
148
149
Irodalomjegyzék Austin, L. G., Klimpel, R. R., The theory of grinding operations, Ind. and Eng. Chem., 56 (1964) 18-29. Austin, L. G., A review introduction to the mathematical description of grinding as a rate process, Powder Technology, 5 (1971/1972) 1-17. Austin, L. G., Luckie, P. T., Methods for determination of breakage distribution parameters, Powder Technology, 5 (1971/1972) 215-222. Austin, L. G., Jindal, V.K., Gotsis, C., A model for continuous grinding in a laboratory hammer mill, Powder Technology, 22 (1979) 199-204. Austin, L. G., Rogovin, Z., Rogers, R. S. C., Trimarchi, T., The axial mixing model applied to ball mills, Powder Technology, 36 (1983) 119-126. Austin, L. G., Luckie, P. T., Shoji, K., Rogers, R. S. C., Brame, K., A simulation model for an air-swept ball mill grinding coal, Powder Technology, 38 (1984) 255266. Austin L. G., Constructing mathematical models for grinding processes, Proc. 5th Int. Symp. Theoretical and Technological Aspects of Comminution and Mechanical Activation of Minerals, Tatranska Lomnica, (1988) 39-69. Austin, L. G., Rogers, S. C., Brame, A., Stubican J., A rapid computational procedure for unsteady-state ball mill circuit, Powder Technology, 56 (1988) 1-11. Austin, L. G., A discussion of equations for the analysis of batch grinding data, Powder Technology, 106 (1999) 71-77. Bass, L., Zur Theorie der Mahlvorgange, Z. Angew. Math. Phys., 5 (1954) 283-292. Beke, B., Aprításelmélet, Szilikátkémiai monográfiák IV., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1963. Bel Fadhel, H., Frances, C., Mamourian, A., Investigations on ultra-fine grinding of titanium dioxide in a stirred media mill, Powder Technology 105 (1999) 362-373. Benzer, H., Ergun, L., Lynch, A. J., Oner, M., Gunlu, A., Celik, I. B., Aydogan, N., Modelling cement grinding circuits, Minerals Engineering, 14 (2001) 14691482. Berthiaux, H., Varinot, C., Dodds, J., Approximate calculation of breakage parameters from batch grinding tests, Chem. Eng. Sci., 51 (1996a) 4509-4516. Berthiaux, H, Heitzmann, D., Dodds, J., Validation of a model of a stirred bead mill by comparing results obtained in batch and continuous mode grinding, Int. J. Miner. Process, 44-45 (1996b) 653-661. Berthiaux, H., Dodds, J., A new estimation technique for the determination of breakage and selection parameters in batch grinding, Powder Technology, 94 (1997) 173-179. Berthiaux, H., Dodds, J., Modelling fine grinding in a fluized bed opposed jet mill, Part I: Batch grinding kinetics, Powder Technology, 106 (1999) 78-87.
150 Berthiaux, H., Chiron, C., Dodds, J., Modelling fine grinding in a fluized bed opposed jet mill, Part II: Continuous grinding kinetics, Powder Technology, 106 (1999) 88-97. Berthiaux, H., Analysis of grinding processes by Markov chains, Chem. Eng. Sci., 55 (2000) 4117-4127. Blaskett, K. S., Estimation of power consumption in grinding mills, Proc. 9th Commonw. Min. Metall. Congr., 3 (1969) 631-649. Bond, F. C., The third theory of comminution, Trans. Am. Ints. Min. Metall. Pet. Eng., 193 (1952) 484-494. Braun, R. M., Kolacz, J., Hoyer, D. I., Fine dry comminution of calcium carbonate in a Hicom mill with an Inprosys air classifier, Minerals Engineering, 15 (2002) 123-129. Broadbent, S. R., Calcott, T. G., A matrix analysis of processing involving particle assemblies, Phil. Trans. Roy. Soc., A249 (1956) 99-123. Brown, R. L., Generalised law of size distribution, J. Inst. Fuel, 14 (1941) 129-135. Chmelar, J., Sandvik, K.L., Optimizing dry autogenous grinding compared to conventional wet grinding, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002) CD-ROM, A2-4. Csőke, B., Pethő, S., Földesi, J., Mészáros, L., Optimization of stone-quarry technologies, Int. J. Miner. Process. 44-45 (1996) 447-459. Csőke, B., Rácz, J., Estimation of the breakage and selection functions for comminution in hammer mill, Proc. 9th European Symposium on Comminution, Albi, (1998) 393-401. Csőke, B., Köszöntő: Dr. Pethő Szilveszter nyugalmazott egyetemi tanár 80 éves, BKL Bányászat, nov-dec. (2003) 459. Epstein, B., The mathematical description of certain breakage mechanismn leading to the logaritmico-normal distribution J. Frank. Inst. 244 (1947) 471-477. Epstein, B., Logaritmico-normal distribution in breakage of solids, Ind. and Eng. Chem., 40 (1948) 2289-2291. Espig, D., Reisch, V., Computer aided grinding circuit optimization utilizing a new mill efficiency curve, Int. J. Miner. Process., 44-45 (1996) 249-259. Everson, R. C., Eyre, D., Campbell, Q. P., Spline method for solving continuous batch grinding and similarity equations, Computers chem. Engng., 21 (1997) 14331440. Fan, L. S., Srivastava, R. C., A stochastic model for particle disintegration, Chem. Eng. Sci., 36 (1980) 1091-1096. Filippov, A. F., O raszpredelenn razmerov csasztic pri droblenii, Teorija Verojatnosztej, i io Primenenija, 6 (1961) 299-305. Galán, O., Barton, G.W., Robust control of a SAG mill, Powder Technology, 124 (2002) 264-271. Galk, J., Peukert, W., Krahnen, J., Industrial classification in a new impeller wheel classifier, Powder Technology, 105 (1999) 186-189.
151 Gaudin, A. M., Spedden, H. R., Kaufman, D. F., Progeny in comminution, Miner. Eng., 3 (1951) 969-970. Gavrilov, D., Vinogradov, O., Shaw, W. J. D., Simulation of grinding in a shaker ball mill, Powder Technology, 101 (1999) 63-72. Godet-Morand, L., Chamayou, A., Dodds, A. J., Determination of breakage and classification parameters of talc in an opposed air jet mill fitted with a forced vortex classifier, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002) CD-ROM, P04. Gupta, V. K., Kapur, P. C., A pseudo-similarity solution to the integro-differential equation of batch grinding, Powder Technology, 12 (1975) 175-178. Gupta, R., Shishodia, K. S., Sekhon, G. S., Optimization of grinding process parameters using enumeration method, Journal of Minerals Processing Technology, 112 (2001) 63-67. Gurevitch, L. S., Kremer, Y. B., Fidlin, A. Y., Batch grinding kinetics, Powder Technology, 69 (1992) 133-137. Herbst, J. A., Fuerstenau, D. W., Mathematical simulation of dry ball milling using specific power information, Trans. Am. Inst. Min. Metall. Pet. Eng., 254 (1973) 343-348. Herbst, J. A., Fuerstenau, D. W., Scale-up procedure for continuous grinding mill design using population balance models, Int. J. Miner Process., 7 (1980) 1-31. Hintikka, V., Mörsky, P., Kuusisto, M., Knuutinen, T., Continuous classifying labotarory mill – new possibilities for research work, Minerals Engineering, 9 (1996) 1157-1164. Himmelblau, D. M., Applied nomlinear programming, McGraw-Hill, Inc. 1972. Horst, W. E., Freeh, E. J., Mathematical modelling applied to analysis and control of grinding circuits, A.I.M.E. Annu. Meet., Denver, 70-B-27, 1970. Kapur, P. C., Kinetics of batch grinding: Part B. An approximate solution to the grinding equation, Trans. Soc. Min. Eng. AIME 247 (1970) 309-315. Kapur, P. C., Pande, D., Fuerstenau D. W., Analysis of single-particle breakage by impact grinding, Int. J. Miner. Process., 49 (1997) 223-236. Kelsall, D. F., A study of breakage in a small continuous open circuit wet ball mill, Proc. 7th Int. Min. Proc. Congr., New York, (1964) 33-42. Kelsall, D. F., Stewart, P. S. B., Reid, K. J., Confirmation of a dynamic model of closed circuit grinding with a wet ball mill, Trans. Inst. Min. Metall., 77 (1968) C120-C127. Keviczky, L., Hilger, M., Kolostori, J., Folyamatidentifikáció, folyamatirányítási kutatások a szilikátiparban 3., Szabályozástechnikai őrléselmélet, SzIKKTI, Budapest, 1984. King, R. P., Schneider, C. L., Mineral liberation and the batch comminution equation, Minerals Engineering, 12 (1998) 1143-1160. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Mathematical models for simulation of continuous grinding process, Proc. The Seventh Fenno-Ugric Symposium on Software Technology , Szeged, (2001a) 155-167.
152 Kis, P.B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., László, Z., Recirkulációs őrlési folyamat számítógépes szimulációja, Műszaki Kémiai Napok ’01 Konferencia kiadványa, Veszprém, (2001b) 194-199. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G.B., Mathematical models for simulation of continuous grinding process with recirculation, Acta Cybernetica, 15 (2002a) 529-545. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G, B., Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding process with classification, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002b) CD-ROM, P03. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Discrete modelling of continuous grinding mill-classifier, Proc. 4th International Symposium on Mathematical Modelling, Bécs, (2003a) CD-ROM, 1067-1073. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Optimising design of the continuous grinding mill-classifier, Proc. The 4th International Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids, Budapest, (2003b) Vol. 1, 8.69-8.74. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Recirkulációs őrlési folyamat számítógépes szimulációja, Műszaki Kémiai Napok ’03, Konferencia kiadványa, Veszprém, (2003c) 392- 397. Kis, P. B., Mizonov, V. E., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Aszimtoticseszkie rezsenija raznosztnyih uravnyenyij kinetiki uzmelcsesznyija v zamknutom cikle, Hímija i Himicseszkaja Technologija, Rosszija, v. 47, No. 3 (2004b) 131-133. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Comparison of two discrete models for closed mill-classifier systems, Proc. 16th International Congress of Chemical and Process Engineering, Prága, (2004c) CD-ROM. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Optimizing design of the continuous grinding mill-classifier systems, Chemical Engineering and Processing, 44 (2005) 273-277. Kis, P. B., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding processes with classification, Int. J. Miner. Process., (elfogadott) Klimpel, R. R., Some industrial experiences in modifying fine grinding environments for improved downstream product performance, Int. J. Miner. Process., 44-45 (1996) 133-142. Kobayashi, A., Nagasaka, H., Iizuka, K., Yoshida, H., Characteristics of open and closed-circuit grinding systems, Separation and Purification Technology, 36 (2003) 157-165. Kolacz J., Sandvik, K. L., Ultrafine grinding ina n air-swept ball mill circuit, Int. J. Miner. Process., 44-45 (1996) 361-371. Kolmogorov, A., O logaritmicseszki-normalnom zakone raszpredelenija razmerov csasztic pri droblenii, Dokl. Akad. Nauk. CCCP, 31 (1941) 99-101. Kostoglou, M., Karabelas, A. J., An assessment of low-order methods for solving the breakage equation, Powder Technology, 127 (2002) 116-127. Lira, B. B., Kavetsky, A., Applications of a new model-based method of ball mill simulation and design, Minerals Engineering, 3 (1990) 149-163.
153 László, Z., Az aprítási folyamatok matematikai modellezésével kapcsolatos eredmények, Veszprémi Akadémiai Bizottság, Felolvasó Ülések, Veszprém, F/22 (1993). Lynch, A. J., Mineral crushing and grinding circuits, Elsevier Scientific Publisching Company, Amsterdam – Oxford – New York, 1977. Malghan, S. G., The scale-up of ball mills using population balance models, Diss., Univ. Calif., Berkeley, Calif., 271, 1976. Mihálykó, Cs., Egy őrlési folyamat matematikai modelljének analitikus és numerikus vizsgálata, Doktori értekezés, Budapest, 1995a. Mihálykó, Cs., On an implicit numerical method for the grinding equation, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 15 (1995b) 201. Mihálykó, Cs, Blickle T., A szakaszos őrlés modelljének matematikai vizsgálata, Magyar Kémikusok Lapja, 51 (1996) 150-152. Mihálykó, Cs., Blickle, T., Lakatos, G. B., A simulation model for analysis and design of continuous grinding mills, Powder Techology, 97 (1998) 51-58. Mika, T. S., A solution to the distributed parameter model of a continuous grinding mill at steady state, Chem. Eng. Sci., 31 (1976) 257-262. Mizonov, V. E., Berthiaux, H., Zhukov, V. P., Bernotat, S., Application of multidimensional Markov chains to model kinetics of grinding with internal classification, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002b) CD-ROM, A3.6. Mizonov, V. E., Zhukov, V. P., Korovkin, A., Ogurtzov, A., Berthiaux H., On possible instability of troughputs in complex milling circuits, Proc. The 4th Int. Conf. For Conveying and Handling of Particulate Solids, Budapest, (2003) Vol.1 8.23-8.26. Molerus, O., Hoffmann, H., Darstellung von Windsichtertrennkurven, Chemie-Ing.Techn. 41 (1969) 340-344. Molerus, O., Glückler, M., Development of a cyclone separator with new design, Powder Technology, 86 (1996) 37-40. Moore, D. E., A mathematical analysis of mineral breakage, Ph. D. Thesis, Univ., Queensland, 1964. Morrell, S., Man, Y. T., Using modelling and simulation for the design of full scale ball mill circuits, Minerals Engineering, 10 (1997) 1311-1327. Morrell, S., Shi ,F., Tondo, L., Modelling and scale-up of high pressure grinding rolls, In Proc. XX. Int. Min. Pro. Congress, ed. H. Hoberg and H. Blottmitz, Aachen, (1997) Vol. 2, 129-140. Morrell, S., A new autogenous and semi-autogenous mill model for scale-up, design and optimisation, Minerals Engineering, 17 (2004) 437-445. Nakajima, Y., Tanaka, T., Solution of batch grinding equation, Ind. Eng. Chem., Process Des. Develop., 12 (1973) 23-25. Napier-Munn, T. J., Morrell, S., Morrison, R. D., Kojovic, T., Mineral Comminution Circuits: Their Operation and Optimisation, Julius Kruttschnitt Mineral Research Centre, Queensland, Australia (1996) pps. 413.
154 Nierop, M. A., Moys, M. H., Premature centrifuging, oscillatio and axial mixing in industrial grinding mill load, Minerals Engineering, 11 (1998) 437-445. Nierop, M.A., Moys, M. H., Axial mixing of slurry in an autogenous grinding mill, Int. J. Miner. Process., 65 (2002) 151-164. Nikolov, S., Lucion, Chr., Modelling and simulation of particle breakage in impact crushers, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002b) CD-ROM, C3-2. Ohmori, H., Takahashi, I., Badyopadhyay, B. P, Ultra-precision grinding of structural ceramics by electrolytic in-process dressing (ELID) grinding, Journal of Material Processing Technology, 57 (1996) 272-277. Pauw, O. G., Mare, M. S., The determination of optimum impact-breakage routes for an ore, Powder Technology, 54 (1988) 3-13. Pethő, Sz., Szétválasztási és homogenizálási műveletek értékelése, különös tekintettel a számítógépes ellenőrzésre és irányításra, Doktora értekezés (MTA) 1976. Pethő, Sz., Aprítás és osztályozás I., Ásványelőlészítési műveletek értékelése, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. Pethő, Sz., Aprítás és osztályozás II., Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. Pilevneli, C. C., Kizgut, S., Toroglu, I., Cuhadaroglu, D., Yigit, E., Open and closed circuit dry grinding of cement mill rejects in a pilot scale vertical stirred mill, Powder Technology 139 (2004) 165-174. Reid, K. J., A solution to the batch grinding equation, Chem. Eng. Sci., 20 (1965) 953963. Rényi, A., Az aprítás matematikai elméletéről, Építőanyag, 2 (1950) 177-183. Rogovin, Z., The transport and grinding of material in a continuous wet over-flow ball mill, Ph.D. Thesis, Pennsylvania State University, 1983. Sedlatschek, K., Bass, L., Contribution to the theory of milling processes, Powder Met. Bull., 6 (1953) 148-153. Siddique, M., A kinetic Approach to ball mill scale-up for dry and wet systems, Thesis, Univ., Utah, Salt Lake City, Utah, (1977) 106. Smith, R,. 1956 Power Survey, Portland Cem. Assoc. Rep., (1959) MP-73. Stoyan, G., Takó, G., Numerikus módszerek I., ELTE-TypoTEX, Budapest, 1993. Stoyan, G., Takó, G., Numerikus módszerek II., ELTE-TypoTEX, Budapest, 1995. Stoyan, G., Mihálykó, Cs., Ulbert, Zs., Convergence and nonnegativity of numerical methods for an integrodifferential equation describing batch grinding, Computers Math. Applic., 25 (1998) 69-81. Sverak, T., Saito, S., Stevulova, N., Beno, D., Cement clinker grinding activator adds, Proc. The 4th Int. Conf. For Conveying and Handling of Particulate Solids, Budapest, (2003) Vol.1. 8.63-8.68. Tarján, G., Ásványelőkészítés, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978. Varinot, C., Berthiaux, H., Dodds, J., Prediction of the product size distribution in associations of stirred bead mills, Powder Techology, 105 (1999) 228-236.
155 Verdes, S., A golyósmalmi őrlés kinetikai modellje, SzIKKTI Tudományos Közlemények, Budapest, 1984. Whiten, W. J., A matrix theory of comminution machines, Chem. Eng. Sci., 29 (1974) 31-34. Zhang, Y. M., Napier-Munn, T. J., Kavetsky, A., Application of comminution and classification modelling to grinding of cement clinker, Trans. Inst. Min. Metall, 97 (1988) 207-213.
156
157
Az értekezés új tudományos eredményei Az értekezés új tudományos eredményei az alábbiakban foglalhatók össze: 1. Tézis
Matematikai modelleket dolgoztam ki golyósmalmokban végzett folyamatos őrlések leírására és vizsgálatára. 1.1. Elkészítettem a zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modelljét. 1.2. A zárt folyamatos őrlés folytonos matematikai modelljéből levezettem a zárt folyamatos őrlésnek azt a diszkrét matematikai modelljét, amely a szemcsék áramlását és törését valószínűségszámítási értelemben egymást kizáró eseményként írja le. (Modell I.) 1.3. A szemcsék áramlását és törését valószínűségszámítási értelemben egymást kizáró eseményként leíró diszkrét modellből átalakításokkal származtattam a szemcsék áramlását és törését valószínűségszámítási értelemben egymástól független eseményként leíró diszkrét modellt. (Modell II.) 1.4. Bebizonyítottam, hogy a zárt folyamatos őrlés folytonos, illetve diszkrét matematikai modelljei speciális esetekben megadják a nyílt folyamatos őrlés és a szakaszos őrlés folytonos, illetve diszkrét matematikai modelljeit. 1.5. A diszkrét matematikai modellekre alapozva számítógépes szimulációt dolgoztam ki golyósmalmokban végzett folyamatos őrlések tanulmányozására. [1], [4], [5], [7]. 2. Tézis
Bebizonyítottam a diszkrét modellegyenletek megoldásának nemnegativitását és numerikus konvergenciáját. Numerikus kísérletekkel igazoltam, hogy a számítógépes szimuláció útján nyert eredmények megfelelnek a várakozásoknak, összhangban állnak a malom várható viselkedésével. 2.1. Bebizonyítottam, hogy a szemcsék áramlását és törését valószínűségszámítási értelemben egymást kizáró és egymástól független eseményként leíró modellek esetén egyaránt igaz az, hogy a szimulációs időegység megválasztható úgy, hogy a zárt folyamatos őrlés egyenletrendszerében előforduló minden együttható nemnegatív, amiből kifolyóan a megoldás nemnegatív. 2.2. Igazoltam, hogy a szemcseméret és a malomhosszúság szerinti felosztások finomításával a numerikus kísérletekkel kapott számítási eredmények konvergensek. A numerikus kísérletek tanúsága szerint a szekciók és a szemcseméret-osztályok számát alkalmasan, legalább tíznek megválasztva a numerikus kísérletek számítási eredményei megfelelő pontosságúak. 2.3. Numerikus kísérletekkel igazoltam a diszkrét modellekre alapozott számítógépes szimulációs eredmények nagymértékű egyezését az irodalomban ismertetett tapasztalati eredményekkel. 2.4. Numerikus kísérletekkel megmutattam, hogy a kifejlesztett számítógépes szimuláció számításai szerint, amennyiben a működési és a kinetikai paraméterek értéke állandó, a folyamatos őrlési folyamatban beáll a stacionárius állapot a kinetikai és a működési paraméterek tapasztalati értékeit tekintve, ha időegységenként azonos mennyiségű és összetételű friss anyagot adagolunk be. [6].
158 3. Tézis
Elvégeztem a diszkrét modellek matematikai diszkusszióját, bebizonyítottam a diszkrét modellek legfontosabb tulajdonságait. 3.1. Bebizonyítottam, hogy a folyamatosan beadagolt anyagmennyiség megválasztható úgy, hogy a nyílt és a zárt folyamatos őrlés során egyaránt bármely időpillanatban a malom minden szekciójában állandó az anyagmennyiség, feltéve, hogy az őrlés kezdetén a malomban sehol sem torlódott az anyag, továbbá a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó. Következésképpen a kiszabott feltételek mellett a malom minden szekciójában minden időpillanatban, így a stacionárius állapotban is, állandó az anyagmennyiség. 3.2. Bebizonyítottam, hogy a stacionárius állapotban folyamatos őrléskor a malom minden szekciójában azonos mennyiségű anyag van, ha az időegységenként beadagolt friss anyag mennyisége és összetétele változatlan, valamint a kinetikai és működési paraméterek értéke állandó. 3.3. Azzal a feltétellel, hogy az időegységenként beadagolt friss anyag mennyisége és összetétele változatlan, továbbá a kinetikai és működési paraméterek értéke állandó, bebizonyítottam azt, hogy a stacionárius állapotban a késztermék mennyisége megegyezik a beadagolt friss szemcsék mennyiségével. 3.4. Bebizonyítottam, hogy azonos kezdeti betöltési és beadagolási feltételek teljesülése esetén bármely időpillanatban a malomban legalább ugyanannyi anyag van zárt folyamatos őrléskor, mint nyílt folyamatos őrléskor és az őrlemény mennyisége is legalább ugyanannyi a zárt folyamatban, mint a nyílt folyamatban, ha a zárt és a nyílt őrlési folyamatot jellemző megfelelő paraméterek értékei rendre megegyeznek. 3.5. Igazoltam, hogy a zárt folyamatos őrlés esetén az őrlés kezdetétől a malom stacionárius állapota eléréséig a malombeli anyagmennyiség növekedése a beadagolt friss szemcsék mennyiségének speciális megválasztása esetén arányos az átlagos tartózkodási idő alatt a stacionárius állapotban az osztályozóból visszaáramló anyagmennyiséggel, feltéve, hogy a beadagolt friss anyag összetétele, továbbá a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó. 3.6. Feltételezve, hogy a beadagolt friss anyag összetétele, valamint a kinetikai és a működési paraméterek értéke állandó, igazoltam azt, hogy zárt folyamatos őrléskor az időegységenként a malomba beadagolt friss anyag mennyisége megválasztható úgy az osztályozó működésének és a malom terhelhetőségének figyelembevételével, hogy a malom túltelítődése elkerülhető legyen. 3.7. A kinetikai és a működési paraméterek értékét állandónak feltételezve, meghatároztam a stacionárius állapotban a szekcióbeli anyagmennyiségnek a beadagolt friss szemcsék mennyiségétől való függése képletét, ha a zárt folyamatos őrléskor időegységenként azonos mennyiségű és összetételű friss anyagot adagolnak be, továbbá meghatároztam a visszatérített anyag mennyiségének a beadagolt friss szemcsék és a szekcióbeli anyag mennyiségétől való függése képletét ugyanilyen feltételek mellett. [1], [5].
159 4. Tézis
Numerikus kísérletekkel igazoltam, hogy az 1. Tézisben szereplő diszkrét modellekre alapozott számítógépes szimuláció felhasználható a folyamatos őrlés tanulmányozására és tervezésére, alkalmazásával megvalósítható a malom biztonságos és takarékos üzemeltetése. 4.1. Igazoltam, hogy a nyílt és a zárt folyamatos őrlés esetén egyaránt igaz az, hogy közelítőleg a malom hosszával egyenes arányban csökken a stacionárius állapotbeli átlagos szemcseméret, a szórás viszont egyenes arányban kissé nő. Zárt őrlést végezve a jól és a kevésbé jól törő anyag is jobban leőrlődik, azonban a stacionárius állapot beállásához szükséges idő a zárt őrlésnél a nyílt őrléskor szükséges idő többszöröse, a különbség a jól törő anyagok esetén kisebb, a rosszul törőknél nagyobb. 4.2. Eljárást dolgoztam ki az előírásoknak megfelelő késztermék előállításához szükséges működési paraméterek optimális értékei megállapítására függvényminimalizáló módszer alkalmazásával. 4.3. A malombeli konvekcióra vonatkozóan megállapítottam, hogy a konvektív áramlási sebesség növelésével egyenes arányban nő az őrlemény és a késztermék átlagos szemcsemérete, míg a szórását a változás alig érinti. 4.4. Megállapítottam, hogy az axiális diszperzió értékének növekedése az őrlemény és a késztermék átlagos szemcseméretének kis mértékű növekedését, az őrlemény szórásának csekély mértékű csökkenését, a késztermék szórásának elenyésző mértékű változását eredményezi. 4.5. A kinetikai paraméterekre vonatkozóan megállapítottam, hogy az α, a β és a γ paraméterek értékének növelése, a Ks , a Φ paraméterek értékének csökkentése az őrlemény és a késztermék átlagos szemcseméretének növekedését, szórásának csökkenését eredményezi. 4.6. Igazoltam, hogy a diszkrét modelleknek a kinetikai és működési paraméterek változása hatását is figyelembe vevő módosításával kapott modelleknek a malombeli anyagmennyiségekre, eloszlásokra vonatkozó számítási eredményei a tapasztalati megállapításokkal összhangban állnak. 4.7. Megmutattam, hogy a kidolgozott diszkrét modellek felhasználhatók az olyan üzemi őrlések a folyamatszabályozására, amelyek során a betáplált friss szemcsék mennyiségét az osztályozóból visszatérített durva szemcsék mennyisége függvényében csökkentik a malombeli anyagmennyiség konstans értéken tartása érdekében. 4.8. A tranziens állapotra vonatkozóan megmutattam, hogy az őrlemény statisztikai jellemzői az őrlés kezdetén változnak a legnagyobb mértékben. A stacionárius állapot bekövetkezését a számítógépes szimuláció megbízhatóan állapítja meg. 4.9. A malombeli anyagmennyiségre vonatkozó numerikus kísérletekkel megállapítottam, hogy a jól törő anyagok őrlésekor a malomban a recirkuláció okozta hirtelen anyagmennyiség-növekedést az anyagmennyiség folyamatos csökkenése követi, kevésbé törő anyagoknál a malombeli anyagmennyiség oszcillációja jelentkezik, a rosszul törő anyagok őrlésekor – esetleg jelentéktelen oszcillációt követően – folyamatosan növekedik a stacionárius állapotbeli mennyiség eléréséig. 4.10. Igazoltam, hogy a szemcsék áramlását és törését egymást kizáró eseményeknek tekintő modell (Modell I) kisebb átlagos szemcseméretet, de kissé nagyobb szórást eredményez, mint az áramlás és törés függetlenségét feltételező modell (Modell II). [2], [3], [8], [9],[10].
160
Az új tudományos eredmények hasznosítása Az eredmények hasznosíthatók folyamatos őrlést végző hengeres golyósmalmok és a légsugaras malmok egyes típusai, kisebb módosításokkal más típusú malmok modellezésére. Ilyen készülékeket számos ipari területen alkalmaznak, például a cement- és a vasgyártásban, a kerámia-, a szilikát-, a gyógyszer-, az élelmiszeriparban, valamint az ásványi anyagok előkészítése területén. A szimulációs eredményeknek a tapasztalati eredményekkel való nagymértékű egyezése azt a reményt kelti, hogy a felsorolt területeken történő alkalmazásra a modell nehézségek nélkül bevezethető, s a használatából kimutatható gazdasági előnyök származnak. A modellek felhasználhatók az őrlő-osztályozó folyamat tervezésében is. Elkerülhető a többletköltséget okozó túlőrlés, ezzel egyrészt nagyon jelentős megtakarítás érhető el a különösen nagy energiaigényű őrlések során, másrészt elkerülhető a túlőrlésből származó veszteség. A finomőrléseknél a túlőrlés szintén veszteséget okozó kedvezőtlen irányú változásokat idézhet elő, aminek következtében nagyon drága gyógyszeripari, kozmetikai és más finomvegyipari anyagok válhatnak részben vagy teljesen használhatatlanná. A modell alkalmazásával előrejelzés adható a zárt őrlés során a malom megszorulásából vagy túltelítődéséből származó üzemzavarra, így a szükséges megelőző intézkedések még időben megtehetők. Az őrlési folyamat késztermékére vonatkozó előírások gazdaságosan teljesíthetők a modell felhasználásával. A folyamat modellezése a gazdasági szempontokon túl a környezetvédelem miatt is fontos, mert a modellek segítségével jól megtervezett őrlések során kevesebb hulladék keletkezik, s környezetet kímélő, alapanyag- és energiatakarékos gazdálkodás valósul meg.
Az értekezés témaköréből készült publikációk Referált nemzetközi folyóiratban megjelent/elfogadott cikkek [1] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B.G. Lakatos, Mathematical models for simulation of continuous grinding process with recirculation, Acta Cybernetica, 15 (2002) 529545. [2] Kis, P. B., Mizonov, V. E., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Aszimtoticseszkie rezsenija raznosztnyih uravnyenyij kinetiki uzmelcsesznyija v zamknutom cikle, Hímija i Himicseszkaja Technologija, 47 (2004) 131-133. [3] P. B. Kis , Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Optimizing design of the continuous grinding mill-classifier systems, Chemical Engineering and Processing, 44 (2005) 273-277. [4] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding processes with classification, International Journal of Mineral Processing. (Elfogadott.)
161
Lektorált konferencia-kiadványban megjelent cikk [5] P. B. Kis P, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models for simulation of continuous grinding process, Proc. The Seventh Fenno-Ugric Symposium on Software Technology, Szeged, (2001) 155-167. [6] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Discrete modelling of continuous grinding mill-classifier, Proc. 4th International Symposium on Mathematical Modelling, Bécs, (2003) CD-ROM, 1067-1073.
Nemzetközi konferencia-kiadványban megjelent cikkek [7] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding process with classification, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002) CD-ROM, P03, 1-13. [8] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Optimising design of the continuous grinding mill-classifier, Proc. The 4th International Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids, Budapest, (2003) Vol.1, 8.69-8.74. [9] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Comparison of two discrete models for closed mill-classifier systems, Proc. 16th International Congress of Chemical and Process Engineering, Prága, (2004) CD-ROM, F7.8.
Hazai konferencia-kiadványban és folyóiratban megjelent cikkek [10] Buzáné Kis P., Mihálykó Cs., Lakatos G. B., Recirkulációs őrlési folyamat számítógépes szimulációja, Műszaki Kémiai Napok ’03 Konferencia kiadványa, Veszprém, (2003) 392- 397. [11] Buzáné Kis P., Mihálykó Cs., Lakatos G. B., Markov-láncok alkalmazása zárt folyamatos őrlés modellezésére, GÉP, (2004) 14-15.
162
163
New scientific results The new scientific results presented in the dissertation are summarized in the following theses. Thesis 1.
Mathematical models have been elaborated for describing and studying of the continuous grindings carried out in ball mills. 1.1.Continuous mathematical model has been developed for mathematical describing of the closed circuit continuous grinding. 1.2. Starting from the continuous mathematical model of the closed circuit continuous grinding the discrete mathematical model of the closed circuit continuous grinding has been derived. In the resulted model the breakage and the flow of the particles are considered as mutually exclusive events. (Model I.) 1.3. Second discrete mathematical model of the closed circuit continuous grinding has been deduced from Model I. The breakage and the flow of the particles are considered as independent events in the new model. (Model II.) 1.4. It has been proved that the continuous and the discrete mathematical models of the closed circuit grinding involve the models of the open circuit continuous grinding and the batch grinding. 1.5. On the basis of the discrete mathematical models, computer simulation has been developed for the study of the continuous grinding processes carried out in ball mills. [1], [4], [5], [7]. Thesis 2.
It has been proved the non-negativity and the convergence of the solution of the discrete model-equations. With the aid of numerical experiments it has been proved that the results yielded via the simulation meet the expectations and ones are in accordance with the expected behaviour of the mill 2.1. In the case of both Model I and Model II, it has been proved that all coefficients of the set of linear equations of the closed circuit continuous grinding are non-negative as a consequence of the appropriate choice of the simulation time-step. 2.2. It has been established that the calculation results of the numerical experiments are convergent as a consequence of the refining of the distributions of the particle-size and the mill-length. According to the witness of the numerical experiments, in the case of the appropriate choice of the number of the sections and the particle-size intervals, the accuracy of the calculation results is satisfactory. 2.3. On the basis of the numerical experiments, it has been proved that the results of the computer simulation are in great accordance with the empirical results published in the literature. 2.4. Providing the realization of certain conditions, on the basis of the numerical experiments it has been shown that the steady state of the continuous grinding process is reached at the empirical values of the functional and kinetic parameters. [6].
164
Thesis 3.
The mathematical discussion of the discrete models has been executed. The most important properties of the discrete models have been proved. 3.1. Assuming the realization of certain conditions, it has been proved that the amounts of the materials in the sections of the mill are constant at every moment of time. As a consequence of the above statement, the amounts of the materials in the sections of the mill are constant in the steady state of the mill, supposing the realization of certain conditions. 3.2. It has been proved that the amounts of the materials in the sections of the mill are equal to each other at the steady state of the mill, supposing that the values of the functional and kinetic parameters are constant, and some other conditions, respectively. 3.3. It has been shown that the amount of the fine product is equal to the amount of the fresh particles. 3.4. Comparing the open circuit and the closed circuit continuous grinding processes, it has been proved that the amount of the material in the mill during the closed circuit grinding process is at least as much as it is in the open circuit process, assuming the realization of the same conditions in the both processes. 3.5. In the case of the closed circuit continuous grinding, it has been proved the formulae for express that increase of the amount of the material in the mill that happened from the beginning of the process by the steady state. 3.6. Assuming the realization of certain conditions, it has been proved the formulae regarding to the amount of the freshly fed material in order to avoid the overloading of the mill. 3.7. Assuming the realization of certain conditions, it has been proved the formulae expresses how the amount of the material in the section of the mill at the steady state depends of the amount of the fresh material. It has been proved the formulae expresses how the amount of the recycled material depends of the amount of the freshly fed material and the amount of the material in the section of the mill. [1], [5]. Thesis 4.
Via numerical experiments it has been proved that the computer simulation based on the discrete models mentioned in Thesis 1. is usable in the study and design of the continuous grinding processes and in the realization of the safe operation of the mill. 4.1. In the case of the open and the closed circuit continuous grinding, it has been proved that the average particle-size of the ground material at the steady state is approximately directly proportionally decreases to the length of the mill, while the distribution of the ground material at the steady state is approximately directly increases to the mill-length. The size-reductions of the brittle and the less brittle materials are remarkable during the closed circuit continuous grinding. The length of time required to reach the steady state is much more length during the closed circuit continuous grinding. The difference is less in the cases of the brittle materials. 4.2. Method has been developed for establishing the optimum values of the functional parameters in order to produce the required product.
165
4.3. Regarding to the convective flow in the mill it has been established that the average particle-sizes of the ground material and the product are directly proportionally increase to convective flow, while the distributions are hardy influenced. 4.4. Regarding to the axial dispersion in the mill it has been established that the average particle-sizes of the ground material and the product are directly proportionally increase to the axial dispersion, the distributions are only a bit influenced. Increase of the axial dispersion leads to a little decrease of the dispersion of the product. 4.5. Regarding to the kinetic parameters it has been established that the average particle sizes both of the ground material and the product increase due to the increasing the values of the parameters α, β, γ, and due to the decreasing the values of the parameters Φ and K s . It has been also established that the distributions decrease due to the increasing the values of the parameters α, β, γ, and due to the decreasing the values of the parameters Φ and K s 4.6. It has been shown that the calculation results of that modified models which ones take into account the influence of the functional and kinetic parameters are in greatly accordance with the empirical establishments. 4.7. It has been shown that the discrete models developed are usable in the design and in the process control of the grinding plat. 4.8. Regarding to the transient state it has been shown that the statistical characteristics of the ground material change mostly at the beginning of the process. The length of time required to the reach the steady state is established reliably using the simulation. 4.9. On the base of numerical experiments it has been established the characteristics of the change of the amount of the material being in the mill. 4.10. It has been proved that the average particle-size calculated with Model I is less than one calculated with Model II, while the dispersion calculated with Model I is the greater. [2], [3], [8], [9], [10].
Applicability of the new scientific results The results can be applied in the modelling of the continuous grinding carried out in cylinder ball mills, as well as for the modelling of some types of air jet mills, and for another types of grinding mills after executing little modifications. These grinding devices are widely spread in the industry: in the cement and iron manufacture, in the ceramics, silicate, pharmaceutical, food industry, as well as in the preparing of the mineral matters. The greatly agreement between the simulation and the calculated results expresses the hope that the models are applicable in the mentioned areas without any difficulties and advantages are expected from the applications. The models are usable for the design of the grinding-classification systems. The overgrinding of the product may be avoided, and the overload of the mill may be prevented, as well as the requirements referring to the product may be profitably satisfied using the simulation. Mathematical modelling of the grinding is important from the point of the environmentprotection too, because of the well designed processes treat carefully the environment.
166 The results presented in the theses show that computer simulation of continuous grindings has an important role in the deeper understanding of the processes, and may significantly contribute to the solutions of the problems arisen in the grinding plants and the research works.
List of publications connecting to the dissertation Journal papers (issued/accepted) [1] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B.G. Lakatos, Mathematical models for simulation of continuous grinding process with recirculation, Acta Cybernetica, 15 (2002) 529545. [2] Kis, P. B., Mizonov, V. E., Mihálykó, Cs., Lakatos, G. B., Aszimtoticseszkie rezsenija raznosztnyih uravnyenyij kinetiki uzmelcsesznyija v zamknutom cikle, Hímija i Himicseszkaja Technologija, 47 (2004) 131-133. [3] P. B. Kis , Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Optimizing design of the continuous grinding mill-classifier systems, Chemical Engineering and Processing, 44 (2005) 273-277. [4] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding processes with classification, International Journal of Mineral Processing (Accepted.)
Conference papers [5] P. B. Kis P, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models for simulation of continuous grinding process, Proc. The Seventh Fenno-Ugric Symposium on Software Technology, Szeged, (2001) 155-167. [6] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Discrete modelling of continuous grinding mill-classifier, Proc. 4th International Symposium on Mathematical Modelling, Bécs, (2003) CD-ROM, 1067-1073. P
P
[7] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Mathematical models and computer programs for simulation of continuous grinding process with classification, Proc. 10th European Symposium on Comminution, Heidelberg, (2002) CD-ROM, P03, 1-13. P
P
[8] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Optimising design of the continuous grinding mill-classifier, Proc. The 4th International Conference for Conveying and Handling of Particulate Solids, Budapest, (2003) Vol.1, 8.69-8.74. P
P
[9] P. B. Kis, Cs. Mihálykó, B. G. Lakatos, Comparison of two discrete models for closed mill-classifier systems, Proc. 16th International Congress of Chemical and Process Engineering, Prága, (2004) CD-ROM, F7.8. P
P
167
Papers in Hungarian language [10] Buzáné Kis P., Mihálykó Cs., Lakatos G. B., Proc. Recirkulációs őrlési folyamat számítógépes szimulációja, Műszaki Kémiai Napok ’03 Konferencia, Veszprém, (2003) 392- 397. [11] Buzáné Kis P., Mihálykó Cs., Lakatos G. B., Markov-láncok alkalmazása zárt folyamatos őrlés modellezésére, GÉP, (2004) 14-15.
168
169
Köszönetnyilvánítás
Ezúton mondok köszönetet a Veszprémi Egyetem Matematikai és Számítástechnikai Tanszéke nyugalmazott egyetemi docensének, Dr. László Zoltánnak, egyik témavezetőmnek, aki a Veszprémi Egyetemen a szakaszos őrlés kutatásában ért el eredményeket és a kutatómunkám során segítséget nyújtott. Külön köszönöm másik témavezetőmnek, Dr. Mihálykó Csabának, a Veszprémi Egyetem Matematikai és Számítástechnikai Tanszéke egyetemi docensének a témavezetői munkáját, amelyre mindvégig jellemző volt az igényes szakmai vezetés és a kutatómunkám támogatása. Köszönettel tartozom Dr. Lakatos G. Bélának, a Veszprémi Egyetem Folyamatmérnöki Tanszéke egyetemi docensének, aki segítségemre volt az őrlési folyamatok megismerésében és hasznos tanácsaival segítette munkámat. Köszönetemet szeretném kifejezni a Veszprémi Egyetem Matematikai és Számítástechnikai Tanszéke vezetőjének, Dr. Győri István professzor úrnak a kutatás feltételeinek biztosításáért, munkám támogatásáért, továbbá a Tanszék összes dolgozójának a munkámhoz nyújtott segítségükért. Köszönetet mondok Dr. Kiss Endre főiskolai tanárnak, aki a Dunaújvárosi Főiskola főigazgatójaként figyelemmel kísérte és támogatta kutatómunkámat. Dunaújváros, 2004. november 14. Buzáné Kis Piroska
