Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini (minggu 6)
Sistem Partikel dan Kekekalan Momentum
Persoalan Dinamika Konsep Gaya
Konsep Energi
Gaya berkaitan dengan perubahan gerak (Hukum Newton)
Lebih mudah pemecahannya karena kita hanya bekerja dengan besaranbesaran-besaran skalar
Besaran-besaran BesaranVektor, jadi Informasi tentang Arah tetap dipertahankan
Kehilangan informasi tentang arah
Konsep Momentum Dan Impuls
Besaran-besaran BesaranVektor, jadi Informasi tentang Arah tetap dipertahankan
Hk II Newton dalam Bentuk Impuls dan Momentum r dpr Hk II Newton : F = dt Bila diketahui gaya sebagai fungsi waktu, maka Hk II Newton menjadi : t
r p
0
r p0
r r r r r r ∫ Fdt = ∫ dp = p − p0 = mv − mv0 t
r r ∫ Fdt = I 0
Dikenal sebagai Impuls
dan
r r p = mv
Sehingga bentuk integral Hk II Newton menjadi
sebagai momentum linier
r r r r I = p − p 0 = ∆p
Momentum Linier ►
Dari Hukum Newton: Gaya harus hadir untuk mengubah kecepatan sebuah benda (laju dan/atau arah) Ingin meninjau efek dari tumbukan dan kaitannya dengan perubahan kecepatan Bola golf pada awalnya diam, energi kinetik dari tongkat golf ditransfer untuk menghasilkan gerak dari bola golf (mengalami perubahan kecepatan)
Untuk menjelaskannya digunakan konsep momentum linier Momentum Linier = massa skalar
× kecepatan
vektor
Momentum (lanjutan) p = mv ►
►
Besaran Vektor, Vektor, arah momentum sama dengan arah kecepatan Diaplikasikan dalam gerak dua dimensi menjadi:
p x = mv x dan p y = mv y Besar momentum: bergantung pada massa bergantung pada kecepatan
Impuls ► Untuk
mengubah momentum dari sebuah benda (misal bola golf), sebuah gaya harus dihadirkan ► Laju perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya neto yang bekerja pada benda tsb Fnet =
∆ p m( v f − v i ) = = m a atau : ∆ p = Fnet ∆t ∆t ∆t
Memberikan pernyataan lain Hukum II Newton (F ∆t) didefinisikan sebagai impuls Impuls adalah besaran vektor, vektor, arahnya sama dengan arah gaya
Interpretasi Grafik dari Impuls ►
Biasanya gaya tidak konstan (bergantung waktu) impuls = ∑ Fi ∆t i = luas di bawah kurva F (t ) ∆t i
►
Jika gaya tidak konstan, gunakan gaya ratarata-rata
►
Gaya ratarata-rata dapat dikatakan sebagai gaya konstan yang memberikan impuls yang sama pada benda dalam selang waktu seperti pada gaya sebenarnya (bergantung waktu)
Jika gaya konstan: impuls = F ∆t
Latihan 1 Sebuah benda yang bermassa 5 kg mulamula-mula bergerak dengan kecepatan r v 0 = 2 ˆi + 3 ˆj m / s , kemudian mengalami gaya dengan komponen x berubah terhadap waktu seperti pada gambar, dan komponen y yang berubah terhadap waktu menurut F = 4 t N y
Fx(N) 10 3 2
4
5 t (sekon)
-10
Tentukanlah: a. Impuls yang dialami benda antara t=0 dan t=5 s! b. Momentum linier dan kecepatannya saat t=5 s! c. Gaya rata rata--rata yang dialami benda selama 5 s tersebut!
Contoh: Impuls diaplikasikan pada Mobil ► Faktor
terpenting adalah waktu benturan atau waktu yang diperlukan pengemudi/penumpang untuk diam Ini akan mengurangi kemungkinan kematian pada tabrakan mobil
► Cara
untuk menambah waktu
Sabuk pengaman Kantung udara
kantung udara menambah waktu tumbukan dan menyerap energi dari tubuh pengemudi/penumpang
Sistem Banyak Partikel Tinjau sistem yang terdiri dari N buah partikel, momentum total sistem dituliskan N r r r r r P = p1 + p 2 + ...... + p N = ∑ p i i =1
Untuk melihat bagaimana evolusi momentum total ini, sebagai ilustrasi kita tinjau sistem yang terdiri dari 3 partikel (N=3) Gaya--gaya yang bekerja pada partikel 1: Gaya Gaya--gaya yang bekerja pada partikel 2: Gaya Gaya--gaya yang bekerja pada partikel 3: Gaya
r ( e ) r ( i ) r (i ) F1 , F12 , F13 r ( e ) r ( i ) r (i ) F2 , F21 , F23 r ( e ) r ( i ) r (i ) F3 , F31 , F32
Hk II Newton partikel 1:
Hk II Newton partikel 2:
r dp1 r (e ) r (i ) r (i ) = F1 + F12 + F13 dt
r dp 2 r (e ) r (i ) r (i ) = F2 + F21 + F23 dt
Hk II Newton partikel 3:
r dp 3 r (e ) r (i ) r (i ) = F3 + F31 + F32 dt
Lanjutan Sistem Banyak Partikel Jumlahkan Hk II Newton pertikel 1, 2 dan 3:
r ( e ) r ( e ) r ( e ) r (i ) r ( i ) r ( i ) r (i ) r (i ) r ( i ) d r r r (p1 + p 2 + p 3 ) = F1 + F2 + F3 + (F12 + F21 ) + (F13 + F31 ) + (F23 + F32 ) dt Ruas kiri adalah laju perubahan momentum total sistem. Di ruas kanan, gayagaya-gaya di dalam kurung adalah pasangan aksi aksi--reaksi. Akhirnya diperoleh:
r (e ) r (e ) r (e ) r (e ) d r d r r r P = (p1 + p 2 + p 3 ) = F1 + F2 + F3 = ∑ F dt dt
Jadi, evolusi dari momentum total sistem hanya dipengaruhi oleh gayagaya-gaya luar saja
Pusat Massa Sistem Momentum total sistem: r r r r P = p1 + p 2 + ...... + p N =
N
r r r r ∑ pi = m1v1 + m2v2 + ...... + mN vN i =1
r r r r r r drN d dr1 dr2 = m1 + m2 + ...... + mN = (m1r1 + m2 r2 + ...... + mN rN ) dt dt dt dt
Bila Massa Total Sistem M,
N
M = m1 + m2 + ...... + mN = ∑ mi i =1
Momentum total sistem menjadi:
r r r r r d (m1r1 + m2 r2 + ...... + mN rN ) d r P=M = M R pm = MV pm dt M dt Momentum total sistem banyak partikel sama dengan momentum sebuah partikel bermassa M (jumlah massa anggota sistem) yang terletak di pusat massanya
Lanjutan Pusat Massa Sistem Posisi pusat massa sistem adalah: N
r r r r m1r1 + m2 r2 + ... + mN rN = R pm = M
r Catt: ∑ mi ri i =1 N
∑m i =1
i
Animasi 6-1
Persamaan di samping adalah persamaan vektor, jadi kita dapat menuliskannya dalam bentuk komponen.
Secara fisis, pusat massa menunjukkan ratarata-rata letak massa sistem dan juga menunjukkan posisi tempat seolahseolah-olah massa sistem terkumpul Untuk sistem yang terdiri dari benda kontinu, pusat massanya dapat dihitung dengan menganggap benda terdiri dari elemenelemen-elemen kecil bermassa dm dan notasi sigma di atas diganti dengan integrasi
r Catt: r dm r 1 r ∫ Persamaan di samping adalah persamaan R pm = = r dm ∫ M vektor, jadi kita dapat menuliskannya dm ∫ dalam bentuk komponen.
Latihan 2 1. Empat buah partikel dengan massa dan posisi (x,y) masingmasing-masing sebagai berikut m1= 1 kg posisi (0 m,0 m), m2= 2 kg posisi (1 m,0 m), m3= 3 kg posisi (1 m,1 m), dan m4= 4 kg posisi (0 m,1 m). Tentukan posisi pusat massa sistem! 2. Sebuah batang yang panjangnya 10 m terletak pada sumbu x dengan pangkal batang pada posisi x = 0 dan ujung batang pada posisi x = 10 m. Anggap batang hanya berdimensi satu (x), tentukan posisi pusat massanya apabila! a. Rapat massa batang homogen b. Rapat massa batang merupakan fungsi posisi menurut λ(x) = 6x kg/m 3. Tentukan pusat massa sepotong kawat homogen (rapat massa konstan) yang berbentuk setengah lingkaran berjejari R!
R
Gerak Pusat Massa Momentum total sistem:
r r r r r d (m1r1 + m2 r2 + ...... + mN rN ) d r P=M = M R pm = MV pm dt M dt Hk II Newton:
(
)
r dV pm
r r (e ) r d r d P= MV pm = M = Ma pm = ∑ F dt dt dt Pusat massa sebuah sistem bergerak seperti sebuah partikel bermassa M = ∑ mi di bawah pengaruh gaya eksternal yang bekerja pada sistem Animasi 6.2
Kekekalan Momentum ►
Definisi: sebuah sistem terisolasi adalah sistem yang tidak dikenai gaya eksternal padanya
(
)
r dV pm
r (e ) r r d r d P= = Ma pm = ∑ F = 0 MV pm = M dt dt dt r d r P = 0 ⇒ P = Konstan dt
Momentum dalam sebuah sistem terisolasi dimana terjadi peristiwa tumbukan adalah konstan Tumbukan merupakan kontak fisik antara dua benda (atau lebih) Dalam setiap tumbukan, suatu gaya yang relatif besar bekerja pada masing--masing partikel yang bertumbukan dalam waktu yang relatif masing singkat Contoh: “Kontak” dapat timbul dari interaksi eletrostatik
Kekekalan Momentum (lanjutan) Prinsip kekekalan momentum menyatakan bahwa ketika gaya eksternal neto yang bekerja pada sebuah sistem yang terdiri dari dua benda (atau lebih) yang saling bertumbukan adalah nol, momentum total dari sistem sebelum tumbukan adalah sama dengan momentum total sistem setelah tumbukan
Kekekalan Momentum (lanjutan) ►
Secara matematik (untuk sistem yang terdiri dua partikel):
r r r r m1v1i + m2 v2i = m1v1 f + m2 v2 f Momentum adalah konstan untuk sistem benda Sistem mencakup semua benda yang saling berinteraksi satu dengan yang lainnya Diasumsikan hanya gaya internal yang bekerja selama terjadi tumbukan Dapat digeneralisasi untuk jumlah benda lebih dari dua Animasi 6.3
Jenis Tumbukan (lanjutan) ►
Tumbukan Elastik (Lenting Sempurna) Momentum dan Energi kinetik kekal
►
Animasi 6.4
Tumbukan Inelastik (Tidak Lenting) Momentum kekal sedangkan Energi kinetik tidak kekal ► Diubah
menjadi jenis energi yang lain seperti panas, suara
EK i = EK f + energi hilang
Tumbukan inelastik sempurna (tidak lenting sama sekali) terjadi ketika setelah tumbukan benda saling menempel Animasi 6.5 ► Tidak
semua energi kinetik hilang
Tumbukan inelastik sebagian (tidak lenting sebagian), terjadi antara elastik dan inelastik sempurna (tumbukan yang sebenarnya)
Tumbukan 1 Dimensi Tumbukan elastik sempurna, inelastik sempurna, inelastik sebagian Koefisien restitusi e merupakan ukuran keelastikan suatu tumbukan, didefinisikan sebagai rasio antara kelajuan saling menjauh relatif dan kelajuan saling mendekat relatif
e=−
v2f − v1f v2i − v1i
Tumbukan 2 dan 3 Dimensi Tumbukan elastik sempurna, inelastik sempurna, inelastik sebagian
Strategi Pemecahan Masalah Tumbukan 2 & 3 Dimensi Uraikan kekekalan momentum dalam tiap komponen Terapkan hukum kekekalan energi untuk kasus tumbukan elastik sempurna
Latihan 3 1. Sebuah benda bermassa m1 = 2 kg bergerak dengan kecepatan v1 = (3 i) m/s. Benda lain bermassa m2 = 4 kg bergerak dengan kecepatan v2 = (3 i + 6 j) m/s. Kedua benda bertumbukan dan tetap bersatu setelah tumbukan. Hitunglah a. Kecepatan kedua benda setelah bertumbukan! b. Energi kinetik benda sebelum dan sesudah tumbukan! 2. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan u1 = (4 i) m/s. Bola menumbuk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbukan, bola pertama membentuk sudut 300 dengan arah semula. Bila tumbukan bersifat elastik sempurna, tentukan kecepatan masing-masing bola setelah tumbukan.
Kerangka Acuan Pusat Massa r r r r (e ) dV pm r d d P= MV pm = M = Ma pm = ∑ F = 0 dt dt dt r d r P = 0 ⇒ P = Konstan dt
(
)
Jika gaya eksternal neto sama dengan nol, maka kecepatan pusat massa konstan ► Dipilih sistem koordinat dengan titik asal di pusat massa (Kerangka (Kerangka acuan pusat masa)) masa ► Kerangka acuan pusat massa dinamakan juga kerangka acuan momentum nol ►
Contoh r v Sistem dua partikel, dimana m1 bergerak dengan kecepatan 1 dan m2 bergerak r dengan kecepatan v2 .
r r r m1v1 + m2 v2 Kecepatan pusat massa: V pm = m1 + m2
r r r Kecepatan--kecepatan dalam kerangka pusat massa: u1 = v1 − V pm Kecepatan r r r u2 = v2 − V pm
Energi Kinetik Sistem Partikel ►
Energi kinetik sistem partikel adalah jumlah energi kinetik masingmasing-masing partikel
r r r r 1 r2 1 r r 1 K = ∑ mi vi = ∑ mi (vi .vi ) = ∑ mi (V pm + ui ).(V pm + ui ) i 2 i 2 i 2 r 1 r2 1 r2 = ∑ miV pm + ∑ mi ui + V pm .∑ mi ui i 2 i 2 i 1 r2 1 r2 1 r2 1 r2 = ∑ miV pm + ∑ mi ui = MV pm + ∑ mi ui 2 i 2 i 2 i 2 ►
Suku pertama adalah energi kinetik yang berhubungan dengan gerakan pusat massa dan suku kedua adalah energi kinetik sistem partikel relatif terhadap pusat massa
PR Buku Tipler Hal 258258-259 no: 52, 54, 58 Hal 260 no: 78
Gerak dengan Massa Berubah Hukum II Newton :
r ∑ Feksternal
r r r dP d dv r dM = = (Mv ) = M +v dt dt dt dt
Ruas kiri menyatakan resultan gaya-gaya luar yang bekerja pada sistem Suku pertama ruas kanan menyatakan perubahan momentum sistem akibat perubahan kecepatannya Suku kedua ruas kanan menyatakan perubahan momentum sistem akibat perubahan massanya
Dorongan Roket ► Prinsip
roket berdasarkan pada hukum kekekalan momentum yang diaplikasikan pada sebuah sistem, dimana sistemnya adalah roket sendiri ditambah bahan bakar Berbeda dengan dorongan yang terjadi di permukaan bumi dimana dua benda saling mengerjakan gaya satu dengan yang lain ►Jalan
pada mobil ►Rel pada kereta api
Dorongan Roket (lanjutan) ► Roket
dipercepat sebagai hasil dari hentakan buangan gas ► Ini merepresentasikan kebalikan dari tumbukan inelastik Momentum kekal Energi kinetik bertambah
Dorongan Roket (lanjutan) Pada saat t : m
mv
► Massa
awal roket (+ bahan bakar) adalah m ► Kecepatan awal roket adalah v ► Momentum
awal sistem Pi = m v
Dorongan Roket (lanjutan) Pada saat t + ∆t : m ̶ ∆m ∆m u
► ► ► ►
Massa roket sekarang adalah adalah m ̶ ∆m Massa gas yang keluar ∆m Kecepatan roket bertambah menjadi v + ∆v Momentum akhir sistem Pf = momentum roket + momentum gas buang
Pf = (m– (m–∆m) (v+∆v (v+∆v)) + ∆m u
Dorongan Roket (lanjutan) Pf - Pi = m ∆ v + ∆m[u- (v + ∆v )] = Feks ∆t Feks
∆ v ∆m [u- (v + ∆v )] =m + ∆t ∆t
∆m dm Limit ∆t → 0 ⇒ ∆ v → 0 dan =− ∆t dt d v dm d v dm [u- v] = m − v relatif Feks = m − dt dt dt dt dv dm dm d dm Feks = m +v −u = (m v ) - u dt dt dt dt dt
Dorongan Roket (lanjutan) Persamaan umum gerak roket :
Feks
d v dm =m − v relatif dt dt
v relatif = Kecepatan gas yang keluar relatif terhadap roket
dm = Laju pembakaran gas dt dm v relatif = Gaya dorong dt
Latihan 1.
Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa medan gravitasi dengan kecepatan awal v0= 500 i m/s. Roket menyemburkan gas dengan laju relatif terhadap roket sebesar 1000 m/s dalam arah berlawanan gerak roket. a. Berapa kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal ½ kali semula! b. Berapa besar gaya dorong selama perjalanan bila laju pembakaran gas 10 kg/s
2.
Roket bermassa 6000 kg disiapkan untuk peluncuran vertikal. Jika laju semburannya 1000 m/s, berapakah banyaknya gas yang harus disemburkan tiap detik agar dapat diperoleh dorongan yang dibutuhkan untuk: a. mengatasi berat roket! b. memberikan percepatan awal pada roket sebesar 20 m/s2!
