Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy
Astronomick´e pozorov´an´ı V´ypoˇcet polohy planety
Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru
Filip Hroch
Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
´ UTFA,Pˇ r´ırodovˇ edeck´ a fakulta MU, Brno, CZ
bˇrezen 2005
Zad´an´ı bˇreznov´eho t´ematu
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch
´ Bˇreznov´e t´ema je vˇenov´ano klasick´e sf´erick´e astronomii. Ukol se skl´ad´a z mˇeˇren´ı, v´ypoˇctu a porovn´an´ı v´ysledk˚ u z´ıskan´ych v obou ˇc´astech. Jako objekt vhodn´y ke studiu byla vybr´ana planeta Saturn vzhledem k jej´ı v´yhodn´e poloze na veˇcern´ı obloze.
Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie
Mˇeˇren´ı ´ Ukolem je zmˇeˇrit polohu Saturnu na obloze n´asleduj´ıc´ımi postupy: I
Za pomoc´ı jednoduch´eho u ´hlomˇeru, kter´y se drˇz´ı v nataˇzen´e paˇzi, zmˇeˇrit polohu od nejbliˇzˇs´ıch hvˇezd.
I
Sextantem. Opˇet se mˇeˇr´ı se poloha od hvˇezd v okol´ı.
I
Teodolitem. Mˇeˇr´ı se vz´ajemn´a poloha ovˇsem pˇr´ımo v azimut´aln´ıch souˇradnic´ıch.
V´ypoˇcet ´ Ukolem je vypoˇc´ıst polohu Saturnu pro okamˇzik mˇeˇren´ı na z´akladˇe dr´ahov´ych element˚ u planety.
Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
´ Uvodn´ ı u´vahy
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy
Z´akladem v´ypoˇctu polohy planety na obloze je znalost z´akon˚ u, kter´e popisuj´ı jejich chov´an´ı, ˇc´ıseln´e hodnoty element˚ u dr´ahy a ˇcasov´y okamˇzik, pro kter´y polohu poˇc´ıt´ame. Vˇsechny tyto u ´daje m˚ uˇzeme snadno zjistit, nebot’ jsou v´ysledkem u ´sil´ı naˇsich pˇredch˚ udc˚ u.
Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Pohyby planet ve sluneˇcn´ı soustavˇe jsou pops´any s dostateˇcnou pˇresnost´ı pomoc´ı Keplerov´ych z´akon˚ u. Elementy dr´ahy popisuj´ı tvar dr´ahy planetky a jej´ı orientaci v prostoru. My pak jen mus´ıme zjistit jak´a je poloha planety v prostoru v ˇcase, kdy ji pozorujeme z povrchu Zemˇe.
Postup v´ypoˇctu
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy
Postup v´ypoˇctu je n´asleduj´ıc´ı (jednotliv´e kroky budeme d´ale zjemˇ novat):
Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse
1. Zjiˇstˇen´ı element˚ u a dalˇs´ıch u ´daj˚ u z roˇcenky. 2. V´ypoˇcet polohy planety ve dr´aze, ˇreˇsen´ı Keplerovy rovnice. 3. V´ypoˇcet heliocentrick´ych ekliptik´aln´ıch souˇradnic tˇelesa. 4. V´ypoˇcet polohy Zemˇe a pˇrepoˇcet heliocentrick´ych souˇradnic na geocentrick´e. 5. V´ypoˇcet rovn´ıkov´ych souˇradnic tˇelesa.
Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Dr´ahov´e elementy
Filip Hroch Zad´ an´ı
K teoretick´emu v´ypoˇctu polohy planety je tˇreba zn´at ˇsest element˚ u dr´ahy planety. Velk´a poloosa a spoleˇcnˇe s excentricitou e popisuj´ı tvar elipsy po kter´e planeta ob´ıh´a. Stˇredn´ı anom´alie M0 je ´ f´azov´y u ´hel urˇcit´eho v´yznaˇcn´eho okamˇziku. Uhly $ (d´elka perih´elia), i (sklon dr´ahy v˚ uˇci ekliptice) a Ω (d´elka v´ystupn´ıho uzlu) pak urˇcuj´ı orientaci elipsy v prostoru. V roˇcence na rok 2005 lze nal´ezt n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e hodnoty pro elementy dr´ahy Saturnu pro okamˇzik JD: t = 2 453 560.0 UT): Velk´a poloosa dr´ahy Stˇredn´ı anom´alie Excentricita D´elka perih´elia Sklon dr´ahy D´elka v´ystupn´ıho uzlu Stˇredn´ı denn´ı pohyb
a M0 e $ i Ω n
9.56423 AU 23.345◦ 0.05566 94.280◦ 2.4865◦ 113.625◦ 0.033327◦
V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Definice soustavy souˇradnic
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy
V astronomii se z historick´ych d˚ uvod˚ u pouˇz´ıv´a soustava souˇradnic v jej´ımˇz poˇc´atku je Slunce, rovina x − y je totoˇzn´a s ekliptikou a osa z je na ni kolm´a. Kladn´y smˇer osy x ud´av´a orientaci t´eto soustavy souˇradnic, vzhledem ke statick´emu hvˇezdn´emu pozad´ı. M´ıˇr´ı do souhvˇezd´ı Ryb k takzvan´emu Jarn´ımu bodu, ve kter´em se nach´az´ı stˇred sluneˇcn´ıho kotouˇce v okamˇziku Jarn´ı rovnodenosti. Rovn´ıkov´e souˇradnice tohoto bodu jsou α = 0, δ = 0. Planety ob´ıhaj´ı ve smˇeru matematick´eho kladu a stejnˇe tak nar˚ ust´a i pol´arn´ı u ´hel. [ inputsouradnice.pdf ]
Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
V´ypoˇcet stˇredn´ı anom´alie
Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic
Stˇredn´ı anom´alie je u ´hel mezi pr˚ uvodiˇcem planety ob´ıhaj´ıc´ı po virtu´aln´ı kruˇznici a pˇr´ımkou apsid. Pro libovoln´y okamˇzik v r´amci dan´eho roku lze jej´ı aktu´aln´ı hodnotu spoˇc´ıtat jako M(t) = M0 + n(t − t0 )
(1)
kde M0 je hodnota pro ˇcas t0 . K v´ypoˇct˚ um rozd´ıl˚ u se pouˇz´ıv´a Juli´ansk´e datum. Napˇr´ıklad pro p˚ ulnoc 11. bˇrezna 2005 je JD = 2 453 440.5 a podle u ´daj˚ u z roˇcenky dostaneme M = 19.36242◦ .
Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Odhad polohy
Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety
Planety ob´ıhaj´ı po elips´ach m´alo odliˇsn´ych od kruˇznic. Proto m˚ uˇzeme odhadnout polohu planety ve sluneˇcn´ı soustavˇe v pravo´ uhl´ych souˇradnic´ıch pomoc´ı jednoduch´eho triku. V´ıme, ˇze rovnice kruˇznice v pravo´ uhl´ych souˇradnic´ıch je
Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru
X
= R sin M(t)
Y
= R cos M(t)
(2) (3)
kde za R dosad´ıme pr˚ umˇernou hodnotu velk´e a mal´e poloosy a M(t) je stˇredn´ı anom´alie poˇc´ıtana v ˇcase, kter´y n´as zaj´ım´a t. Pro Saturna dost´av´ame √ R = (a + b)/2 = a(1 + 1 − e 2 )/2 = 9.557 AU a X ≈ 9.016 AU, Y ≈ 3.169 AU.
Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Keplerova rovnice
Filip Hroch
Pˇresnou polohu planety dostaneme ˇreˇsen´ım Keplerovy rovnice Zad´ an´ı
E − e sin E = M
(4)
kde E oznaˇcuje tzv. excentrickou anom´alii, coˇz je u ´hel mezi pr˚ uvodiˇcem ze stˇredu elipsy planety (ne ohniskem) a pˇr´ımkou apsid. Z t´eto rovnice nelze vyj´adˇrit promˇennou E . Jej´ı ˇreˇsen´ı lze prov´est pouze numericky napˇr´ıklad iteraˇcn´ı metodou:
V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model
1. Odhadneme pˇribliˇznou hodnotu ˇreˇsen´ı jako E (0) = M
Geocentrick´ a poloha
(5)
2. Provedeme zpˇresnˇen´ı dosazen´ım do Keplerovy rovnice E (i+1) = M + e sin E (i) 3. V iterac´ıch pokraˇcujeme tak dlouho, dokud rozd´ıl mezi posledn´ımi dvˇema neklesne pod nˇejakou pˇredem danou hodnotu |E (i) − E (i+1) | < 10−x
(6)
(7)
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Poloha planety
Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy
Na z´akladˇe znalosti E m˚ uˇzeme vypoˇc´ıst vˇsechny ostatn´ı veliˇciny. D´elka pr˚ uvodiˇce (vzd´alenost od Slunce):
Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse
r = a(1 − e cos E ) =
a(1 − e 2 ) 1 + e cos ν
(8)
Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Prav´a anom´alie (´ uhel mezi pr˚ uvodiˇcem z ohniska elipsy planety a pˇr´ımkou apsid. r ν 1+e E tan = tan (9) 2 1−e 2
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Poloha v prostoru
Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety
Heliocentrick´e pravo´ uhl´e ekliptik´aln´ı souˇradnice (L ≡ $ + ν − Ω):
Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie
X
= R(cos Ω cos L − sin Ω sin L cos i)
Y Z
= R(sin Ω cos L + cos Ω sin L cos i) = R sin L sin i
Pohyb po elipse
(10)
Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Heliocentrick´e ekliptik´aln´ı souˇradnice X
= R cos B cos Λ
Y
= R cos B sin Λ
Z
= R sin B
(11)
Rovinn´y 2D model sluneˇcn´ı soustavy
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı
Protoˇze vˇsechny planety ob´ıhaj´ı pˇribliˇznˇe ve stejn´e rovinnˇe naz´yvan´e ekliptika, je moˇzn´e v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı omezit naˇse v´ypoˇcty na dvou dimension´aln´ı model. Obvykle se tak dopust´ıme odchylky od spr´avn´e polohy ˇr´adu nˇekolik desetin stupnˇe. Tato odchylka je srovnateln´a s mˇeˇr´ıc´ı chybou pˇri mˇeˇren´ım sextantem. Prvn´ı v´ypoˇcet polohy proto bude prov´adˇen v rovinnˇe ekliptiky. V tomto pˇr´ıpadˇe pokl´ad´ame i ≡ 0. D´elka v´ystupn´ıho uzlu Ω ztr´ac´ı v´yznam a d´elka perihela $ ud´av´a otoˇcen´ı elipsy v˚ uˇci Jarn´ımu bodu. Pak je: X Y
= R cos($ + ν) = R sin($ + ν)
Z
=
0
Ekliptik´aln´ı souˇradnice pak jsou Λ = $ + ν, B = 0.
V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Geocentrick´e souˇradnice
Filip Hroch
Planety nepozorujeme ze Slunce, ale ze Zemˇe. Proto mus´ıme pˇrepoˇc´ıtat vˇsechny souˇradnice k jin´emu bodu. Na to potˇrebujeme zn´at polohu Zemˇe v pravo´ uhl´ych heliocentrick´ych souˇradnic´ıch. Postup je analogick´y jako pro Saturn. Ovˇsem pro jin´e hodnoty parametr˚ u. Vzhledem k minim´aln´ımu sklonu dr´ahy je moˇzn´e i pro pˇresn´e v´ypoˇcty pouˇz´ıt 2D approximaci. V roˇcence na rok 2005 lze nal´ezt n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e hodnoty pro elementy dr´ahy Zemˇe pro okamˇzik JD: t = 2 453 560 UT): Velk´a poloosa dr´ahy Stˇredn´ı anom´alie Excentricita D´elka perih´elia Sklon dr´ahy D´elka v´ystupn´ıho uzlu Stˇredn´ı denn´ı pohyb
a M0 e $ i Ω n
0.99999 AU 184.099◦ 0.01672 102.860◦ 0.0007◦ 175.291◦ 0.985625◦
Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
V´ypoˇcet geocentrick´ych souˇradnic
Filip Hroch Zad´ an´ı
ˇ sen´ım Keplerovy rovnice pro Saturn dost´av´ame heliocentrick´e Reˇ pravo´ uhl´e souˇradnice Xs , Ys , Zs a jej´ım ˇreˇsen´ım pro Zemi pak Xz , Yz , Zz . Geocentrick´e souˇradnice vzhledem k naˇsemu pozorovac´ımu m´ıstu pak dostaneme posuvem poˇc´atku:
V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse
x
= Xs − Xz
y z
= Ys − Yz = Zs − Zz
(12)
= =
∆ cos β cos λ ∆ cos β sin λ
z
=
∆ sin β
Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Geocentrick´e ekliptik´aln´ı souˇradnice pak z pravo´ uhl´ych vypoˇcteme na z´akladˇe vzorc˚ u: x y
Poloha dr´ ahy v prostoru
(13)
Astronomick´ e pozorov´ an´ı
Pˇrevod ekliptik´aln´ıch souˇradnic na pravo´uhl´e
Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse
sin α cos δ cos α cos δ sin δ
= − sin β sin + cos β cos sin λ = cos β cos λ =
sin β cos + cos β sin sin λ
= 23.438641◦ je sklon ekliptiky k rovn´ıku pro 1. ledna 2005.
Poloha dr´ ahy v prostoru
(14)
Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
Mapka sluneˇcn´ı soustavy
Astronomick´ e pozorov´ an´ı Filip Hroch Zad´ an´ı V´ ypoˇ cet polohy planety Drahov´ e elementy Soustava souˇradnic Stˇredn´ı anom´ alie Pohyb po elipse Poloha dr´ ahy v prostoru Rovinn´ y model Geocentrick´ a poloha
