Feuerbach kör tanítása dinamikus programok segítségével
Buzogány Ágota IV. Matematika-Angol Fejezetek a matematika tanításából Kovács Zoltán 2004-12-10
2 A Feuerbach körnek többféle elnevezése is van, többek között nevezik Euler féle körnek, valamint kilenc pontos körnek is. Azért szokták kilenc pontos körnek nevezni mivel kilenc nevezetes pontot tartalmaz. Melyek ezek a nevezetes pontok? Ezen a körön vannak a háromszög oldalfelező pontjai, a magasságok talppontjai, valamint a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezési pontjai. Felmerül a kérdés, hogy mi is ennek a körnek a középpontja, melyre hamarosan választ is fogunk kapni. Azért tartom jónak a dinamikus geometriai programokat, mivel pontos szerkesztéseket tudunk vele végezni, és így ezen feladat bemutatásánál is biztosak lehetünk benne, hogy az ábra tényleg tartalmazza mind a kilenc pontot. A másik pozitivum, hogy a bizonyítás lépéseit is lépésről lépésre be tudjuk mutatni a diákoknak, így könnyebbé tesszük a megértés folyamatát. Először is a kör középpontját szeretnénk meghatározni, és ehhez felhasználjuk az 1. ábrát.
Ez az ábra tartalmazza a háromszöget(ABC∆), a magasságpontot (M), a körülírt kör középpontját (O), valamint
a magasságpontot és a csúcsokat összekötő szakaszok
felezőpontjait (A3,B3,C3). Az A3B3C3∆-et Euler féle hármoszögnek nevezzük és mivel tudjuk, hogy három pont egyértelműen meghatároz egy kört, ezért az A3B3C3∆ köré írt köre a Feuerbach kör. De mi is a középpontja a körnek? Tudjuk, hogy a A3, B3,C3 felezőpontok, így az A3B3C3∆ középpontosan hasonló a ABC∆-el, ahol a hasonlóság aránya ½, míg a hasonlóság középpontja M. Ezek alapján megkapjuk a Feuerbach kör középpontját (F), ami nem más mint az OM szakasz felezőpontja, mivel M a hasonlóság középpontja, O pedig az ABC∆ körülírt körének a középpontja. A hasonlósági arány alapján pedig a Feuerbach kör sugara az eredeti háromszög köré írt kör sugarának(R) a fele (R/2).
3
Az eddigiek alapján tudjuk, hogy a Feuerbach kör középpontja az F pont, sugara R/2 és tartalmazza az A3, B3,C3 pontokat, a továbbiakban pedig a többi pontról szeretnénk belátni, hogy ezen a körön vannak. A további bizonyítás többféleképpen is végrehajtható, például vektorok segítségével, de nem ilyen módon, hanem a síkgeometria alapvető elemeivel szeretném bemutatni a bizonyítást. Első lépésként végezzük el a teljes szerkesztést, hogy az ábrát fel tudjuk majd használni a bizonyításnál. Szeretném ismertetni a szerkesztési lépéseket: i) vegyünk fel egy tetszőleges háromszöget (A,B,C) ii) szerkesszük meg a háromszög körülírt körének a középpontját (O) iii) vegyük fel a háromszög oldalfelező pontjait (A1, B1, C1) iv) szerkesszük meg a háromszög magasságpontját, valamint a magasságok talppontjait (M, A2, B2, C2) v) vegyük fel a magasságpont és a csúcsok által meghatározott szakaszok felezőpontjait (A3, B3,C3) vi) szerkeszzük meg a kör középpontját és a Feuerbach kört(F) Ezek a lépések bizonyos alapvető síkgeometriai ismeretek segítségével elvégezhetők, így különböző korosztálynak tálalhatjuk, csak fontos, hogy figyelembe vegyük az addig tanult tananyagot, témaköröket. Szerintem a diákok nagytöbbsége szeret a számítógép előtt ülni és el tudom képzelni, hogy ha érdekes dolgokkal felketjük az érdeklődésüket, akkor állandó használóivá válhatnak a dinamikus geometriai programoknak, mivel időt takaríthatnak meg, valamint a szerkesztés újrakezdése sem olyan bonyolult, mint a körzővel és vonalzóval történő szerkesztések esetén. Tehát a fenti szerkesztési lépések elvégzése után a következő ábrát kapjuk:
4
A megszerkesztett ábra alapján szeretném felvázolni a feltételeket melyekből azt szeretném kihozni, hogy az A1, B1, C1,A2, B2, C2, A3, B3, C3 pontok egy körön vannak, és ez a kör nem más mint a fentebb ismertetett Feuerbach kör, mivel az A3, B3, C3 pontok egyértelműen meghatározzák ezt a kört. Feltételek a következők: AA2┴BC, BB2┴AC, CC2┴AB, BA1≡A1C, AB1≡B1C, AC1≡C1B, A3M≡AA3, B3M≡BB3, C3M≡CC3. A bizonyítást kétféleképpen végezhetjük el a technikai megoldás szempontjából: felhasználhatjuk a már előre elkészített ábránkat, ha megfelelő módon ismertetni tudjuk azt diákjainkkal, vagy minden lépést felvázolunk a táblára, amely didaktikai szempontból előnyösebb, mivel így a diák is megfelelően dokumentált lesz olyan szempontból, hogy ábrái megjelennek a füzetben, így maradandó dolgot alkot. A feltételekből kiindulva megállapíthatjuk, hogy A1B1C1A2 négyszög körbeírható, mert egyenlő szárú trapéz. Azt, hogy az
A1B1C1A2 négyszög egyenlő szárú trapéz a
következő módon látjuk be: 1) A1B1C1A2 trapéz, mivel A1A2 ║B1C1(középvonal tulajdonságai miatt); 2) A1B1C1A2 trapéz egyenlő szárú, mivel A1C1=AC/2 (A1C1 középvonal), CB1=AB1=AC/2 (B1 az AC oldal felezőpontja), az AA2C∆ derékszögű háromszög az A2 csúcsban, így A2B1=CB1=AB1=AC/2 (a AA2C∆ köré írt kör sugara); tehát A1C1=A2B1, azaz a trapéz egyenlő szárú.(lásd 4.ábra) Hasonlóképpen beláthatjuk, hogy az A1B1C1B2 és az A1B1C1C2 négyszögek is körbeírhatók, így az A1, B1, C1, A2, B2, C2 pontok egy körön vannak.(P)
5
Utolsó lépésként, már csak azt kell belátni, hogy az előző hat pont közül bármely három egy körön van az A3, B3, C3 pontokkal. Ezen feltételezés igazolásához újra körbeírható négyszögeket keresünk, melyhez segítséget próbálok nyújtani az 5. ábrával.
Tehát az ábrából a diák le tudja olvasni, hogy melyik négyszögről van is szó és analóg módon azonosítani tudja a másik két négyszöget is. Fontos, hogy diákjainkat bevonjuk akár a bizonyításba is, mivel így érzik majd, hogy van beleszólásuk az órába és nem csak mint bábuk szerepelnek. Megállapítható, hogy az A1B1C1A3, A1B1C1B3, valamint az A1B1C1C3 négyszögek húrnégyszögek. Bizonyítani szeretném az állítást az ábrán is kiemelt A1B1C1A3 négyszögre: 1) A3M≡AA3 és AC1≡C1B Æ A3C1║BM 2) A3C1║BM és BM┴AC Æ A3C1┴AC 3) A3C1┴AC és A1C1║AC Æ A3C1┴ A1C1 azaz A1C1A3 szög derékszög, valamint hasonlóképpen az A1B1A3 szög is derékszög, így az A1B1C1A3 négyszög két szemközti szögeinek összege 180, azaz az A1B1C1A3 négyszög húrnégyszög. Analóg módon belátható a többi négyszögről is, tehát az A1, B1, C1, A3, B3, C3 pontok egy körön vannak.(Q) A (P) és a (Q) állítások alapján a nevezetes kilenc pont egy körön található és az nem más mint a dolgozat első felében ismertetett ún. Feuerbach kör. Tehát valóban beláttuk, hogy
6 bármely
háromszög
oldalfelező
pontjai,
magasságainak
talppontjai,
valamint
a
magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felelzőpontjai egy körön vannak, melynek középpontja a magasságpontot a háromszög köré írt kör középpontjával összekötő szakasz felezőpontja, sugara pedig a körül írt kör sugarának fele. Fontos hogy diákjaink érdeklődését felkeltsük és persze ezt az érdeklődést ne hagyjuk lankadni, amiben szerintem nagy szerepet játszanak a dinamikus geometriai programok, melyet minden tanárnak javaslok, mivel megkönnyíti a tanítást és nem fordul elő többé rosszul sikerült ábra, így időt tudunk vele megtakarítani.
