Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára
II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) 𝑥 2 − 2𝑥 + 4 b) 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 c) 𝑥 2 + 4𝑥 + 1 d) 𝑥 2 − 12𝑥 + 11 e) 2𝑥 2 − 8𝑥 + 13 f) −𝑥 2 + 8𝑥 + 13 2. Az alábbi függvények a valós számokat a valós számok halmazába leképezik le. Ábrázoljuk ezeket a függvényeket, határozzuk meg a függvények zérus helyeit és a szélsőértékeiket! a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 18 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 c) ℎ(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 d) 𝑖(𝑥) = 𝑥 2 + 10𝑥 + 24 e) 𝑗(𝑥) = −𝑥 2 − 12𝑥 + 27 f) 𝑘(𝑥) = −𝑥 2 − 10𝑥 − 21 3. Az ábrán látható függvénynek írjuk fel a hozzárendelési szabályát! Jellemezzük a függvényt! (A jellemzés fő szempontjai az előző feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.)
a)
b)
c)
d)
4. Határozzuk meg a c paraméter értékét úgy, hogy a következő függvények zérus helyeinek száma 0, 1 illetve 2 legyen! a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑐 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑐 c) ℎ(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑐 5. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) 3 ∙ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 + 3) = 0 b) 3 ⋅ (2𝑥 − 3) ⋅ (5 − 𝑥) = 0 c) 3𝑥 2 − 48 = 0 6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 b) 3𝑥 2 − 5𝑥 + 53 = 2𝑥 2 + 9𝑥 + 5 c) 𝑥 2 − 6𝑥 + 51 = 10𝑥 + 12 d) −𝑥 2 + 14𝑥 − 49 = 0 e) −6𝑥 2 + 5𝑥 + 4 = 0 f) 𝑥 − 12𝑥 2 + 35 = 0 7. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a) (𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 3) + 𝑥 − 4 = −6 b) (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 2) − 3 ⋅ (𝑥 + 5) = 3 − 5𝑥 c) (3𝑥 + 1) ∙ (2𝑥 − 3) − 2 ⋅ (𝑥 + 1) = 7𝑥 + 1 d) (2𝑥 − 7) ∙ (𝑥 + 3) + (7𝑥 − 1) ⋅ (2𝑥 + 5) = 46𝑥 − 29 e) f) g) h)
(𝑥−1)2 4 3𝑥−2 5 𝑥+1
𝑥−1
−
−
𝑥−2 2𝑥+1
−
3𝑥+1
8 4−3𝑥
𝑥 2𝑥−1 𝑥+2 𝑥+3
=2
=𝑥
=3 𝑥+5
− 𝑥+1 − 𝑥 2 −1 = 3
8. Alakítsuk szorzattá a következő másodfokú kifejezéseket! a) 𝑥 2 + 𝑥 − 6 b) 𝑥 2 + 7𝑥 + 12 c) −2𝑥 2 − 9𝑥 + 18 d) −12𝑥 2 + 13𝑥 + 4 e) 3𝑥 2 + 8𝑥 + 4
9. Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: a) 3 és 4 b) −2 és 7 c) 0 és − 4 d)
1
2
és − 5
3
4
e) − 3 és
7
10
10. Egyszerűsítsük a következő törteket! a) b) c) d)
𝑥 2 +7𝑥+12 𝑥 2 +2𝑥−8 3𝑥 2 −13𝑥−10 2𝑥 2 −7𝑥−15 2𝑥 2 +3𝑥−5 2𝑥 2 +11𝑥+15 10𝑥 2 −13𝑥−3 −8𝑥 2 +14𝑥−3
11. Adjuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát. amelyen az alábbi kifejezések értelmezhetőek! a) √2𝑥 − 1 b) √2𝑥 − 1 c) √𝑥 − 2 ∙ √𝑥 + 3 d) √(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 5𝑥−1
e) √ f)
𝑥+3
√5𝑥−1 √𝑥+3
g) √−𝑥 1
h) √− 𝑥
1
i) √− 𝑥 2 12. A műveletek elvégzésével döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb! Számológépet ne használjunk! a) √5 ∙ √10 vagy √15 ∙ √3 b) √11 ∙ √7 vagy √6 ∙ √13 13. Végezzük el a következő műveleteket! a) √5 − √21 ∙ √5 + √21 b) √√29 + 2 ∙ √√29 − 2 2
c) (√2 − √3 + √2 + √3)
2
d) (√8 + √15 − √8 + √15)
14. Végezzük el a következő műveleteket! a) √72 − √32 − √8 b) √48 − √27 + √75 c) √125 − √45 − √20 15. Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következő műveleteket! 3
a) √45 ∙ 75 5 5 b) √972 ∙ √8 3
3
3
3
c) √7 + √22 ∙ √7 − √22 d) √√41 − 7 ∙ √√41 + 7 16. Gyöktelenítsük a következő törtek nevezőjét! a) b) c)
8 √5+2 12 √3−1 10 √6+2
17. Végezzük el a következő műveleteket! a)
(√7+√3)∙(20−2∙√84)
b) ( c)
√7−√3 2
6
√5+2 √7+√5 √5−√3
+
−
) ∙ (10 + 7√5)
√20−4 √7−√5 √5+√3
18. Zsebszámológép használata nélkül végezzük el a következő számításokat! 3
3
3
3
3
3
a) √7 + √22 ∙ √7 − √22 b) √9 + √17 ∙ √9 − √17 c) √√41 − 7 ∙ √√41 + 7 19. Döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb! Számológépet ne használjunk! 3 3 a) 2 ∙ √23 𝑣𝑎𝑔𝑦 3 ∙ √7 3
3
b) 3 ∙ √5 𝑣𝑎𝑔𝑦 2 ∙ √17 4 4 c) 4 ∙ √4 𝑣𝑎𝑔𝑦 3 ∙ √13 5 5 d) 3 ∙ √13 𝑣𝑎𝑔𝑦 2 ∙ √99 20. Végezzük el a következő összevonásokat! 3
3
3
𝑥−5
100
a) √54 + √16 − √250 4 4 4 b) √162 + √512 − √32 4 4 4 c) √1875 − √243 − √48 21. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) b) c)
𝑥+5
+ 𝑥+5 = 𝑥 2 −25
𝑥−5 2𝑥+1 𝑥+4 3𝑥+1 3𝑥−1
𝑥−1
8
− 𝑥−4 + 𝑥 2 −16 = 0 𝑥+1
1
− 3𝑥+1 = 9𝑥 2 −1
22. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0 b) 𝑥 4 + 𝑥 2 − 20 = 0 c) 𝑥 4 − 8𝑥 2 − 9 = 0 d) 25𝑥 4 + 74𝑥 2 − 3 = 0 e) 𝑥 6 − 7𝑥 3 − 8 = 0 f) 𝑥 6 − 28𝑥 3 + 27 = 0 g) 𝑥 6 − 4𝑥 3 − 5 = 0 23. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol az ismeretlenek a valós számok halmazából valóak! 𝑥 + 2𝑦 = 3 a) 2 } 𝑥 +𝑦 =2 𝑥−𝑦 =4 b) } 3𝑥 + 𝑦 2 = 8 𝑥 2 − 2𝑦 = 2 c) } 𝑥 + 3𝑦 = 5 𝑥+𝑦 =7 d) } 𝑥 ∙ 𝑦 = 10 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 e) 2 } 𝑥 + 5𝑦 = 14 24. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) (𝑥 − 2)4 − 5 ∙ (𝑥 − 2)2 + 4 = 0 b) (𝑥 + 3)4 − 7 ∙ (𝑥 + 3)2 − 18 = 0 c) (𝑥 + 5)4 − 13 ∙ (𝑥 + 5)2 − 48 = 0 d) (𝑥 2 + 6𝑥) ∙ (𝑥 2 + 6𝑥 + 4) − 77 = 0 e) (𝑥 2 − 4𝑥) ∙ (𝑥 2 − 4𝑥 − 3) − 10 = 0 25. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) 𝑥 2 − 49 > 0 b) 𝑥 2 − 100 ≤ 0 c) 𝑥 2 − 3𝑥 ≥ 0 d) 3𝑥 2 − 8𝑥 > 0 e) 𝑥 2 + 6𝑥 − 7 < 0 f) 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 < 0 g) 4𝑥 2 + 12𝑥 + 5 < 0 26. Mely egész számok esetén teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek? a) 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 < 0 b) 𝑥 2 + 𝑥 − 20 ≤ 0 c) −𝑥 2 − 𝑥 + 12 ≥ 0 d) −𝑥 2 − 4𝑥 + 12 ≥ 0
27. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) 𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 ≤ 0 b) −2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 15𝑥 > 0 c) 𝑥 4 + 4𝑥 2 − 32 ≥ 0 d) 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 < 0 28. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) b) c) d)
𝑥+5
<0
𝑥 2 +7 −𝑥 2 +3𝑥+18 𝑥−4
𝑥 2 −𝑥−6
>0
≥0
𝑥 2 −𝑥−2 𝑥 2 −7𝑥+15 𝑥 2 +7𝑥−18
≤0
29. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) b)
(𝑥−5)∙(𝑥−2) 3−𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−2
≥ 𝑥−1
>0
5
𝑥−1
3
1
c) 1 + 𝑥−2 < 2+𝑥 d) 1 + 2+2𝑥 ≤ 𝑥
30. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) √𝑥 + 4 = 3 b) √𝑥 − 5 = 9 c) √2𝑥 − 3 = 1 d) 3 + √4𝑥 + 3 = 0 e) 7 − √4𝑥 + 11 = 0 f) √8𝑥 − 13 − 8 = 0 g) √4𝑥 − 5 = √𝑥 + 1 h) √5𝑥 + 2 = √7𝑥 − 8 31. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) √𝑥 + 6 = 𝑥 b) √𝑥 + 2 = 𝑥 − 4 c) √3𝑥 + 1 = 𝑥 − 1 d) √2𝑥 + 8 = 𝑥 + 4 32. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) √𝑥 + 2 + √𝑥 − 3 = 5 b) c) d) e) f)
√5𝑥 − 6 − √𝑥 + 1 = 1 √3𝑥 + 3 + √2𝑥 + 6 = 2 √𝑥 + 6 − √𝑥 + 2 = √2𝑥 + 8 √5𝑥 + 4 + √1 − 2𝑥 = √9 + 𝑥 √2𝑥 + 2 − √𝑥 + 2 = √𝑥 − 6
33. Számítsuk ki a következő számok számtani és martani közepük közötti különbséget! a) 3 és 27 b) 20 és 45 c) 56 és 2010 34. a) Két szám számtani közepe 23, a kisebb szám 20. Mennyi a nagyobb szám? b) Két szám mértani közepe 23, a kisebb szám 20. Mennyi a nagyobb szám? c) Két szám számtani közepe 50, a nagyobb szám 70. Mennyi a kisebb szám? d) Két szám mértani közepe 50, a nagyobb szám 70. Mennyi a kisebb szám? 35. a) József autóval egy órán át 60 km/h sebességgel, majd két órán át 80 km/h sebességgel haladt. Mennyi volt az átlagsebessége? b) Péter a 150 km-es út első harmadát 60 km/h, a második harmadát 80 km/h, az utolsó harmadát 90 km/h sebességgel tette meg. Mennyi volt az átlag sebessége? 36. a) Két szám különbsége 12, szorzatuk 45. Melyik ez a két szám? b) Két szám különbsége 12, négyzetösszegük 314. Melyik ez a két szám? c) Két szám különbsége 12, a nagyobb számot a kisebbel osztva hányadosuk 10zel kisebb, mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám? 37. a) Két szám összege 20, szorzatuk 36. Melyik ez a két szám? b) Két szám összege 20, négyzetösszegük 208. Melyik ez a két szám? c) Két szám összege 20, négyzetük különbsége 200. Melyik ez a két szám? 38. Egy társaság kerékpártúrán vesz részt. Az egyik napon 80 km-t haladtak. Ha óránként 4 km-rel többet tettek volna meg, akkor 1 órával hamarabb értek volna célba. Mekkora sebességgel kerékpároztak, és mennyi ideig tartott az út? 39. Eszter 4000 Ft-ért virágpalántát vásárol. Ha a darabonként 90 Ft-tal olcsóbb petúniát választja, akkor 9-cel több palántát tud megvenni, mint a drágább muskátliból. Mennyibe kerül a muskátli palánta és hány darabot tud megvenni a pénzéből? 40. A téglalap alakú monitor képernyőjének oldalai 34 cm és 27 cm. A képernyő körül minden oldalon azonos szélességű műanyag keret van, melynek területe 1/3-a a képernyő területének. Milyen széles a keret? 41. Számítsuk ki a körcikk területét, valamint a körív hosszát, ha a sugár 8 cm, a középponti szög pedig a) 15 b) 60 c) 150 d) 270!
42. Mekkora középponti és kerületi szög nyugszik azon a köríven, amelynek hossza a kör kerületének a) 1/3-a b) 3/5-e c) 11/12-e d) 50%-a e) 75%-a? 43. Az alábbi arányok egy négyszög szögeinek az arányát mutatja egy adott körüljárás esetén. Döntsük el, hogy melyik húrnégyszög! Számítsuk ki a négyszög szögeinek értékét! a) 3:2:3:4 b) 3:2:9:10 c) 3:5:4:4 d) 2:5:4:4 e) 5:20:31:16 44. Számítsuk ki, hogy milyen távol van a Föld felszínén mérve Budapest az egyenlítőtől mérve! A város az északi 47,5 szélességi körön fekszik, és a Föld sugara 6370 km. Az eredményt egész km-re kerekítve adjuk meg! 45. Egy szabályos háromszög alakú zárt kert oldalának hossza 14 m. A gazda a kert egyik oldalának felezőpontjában (a kerítésen belül) leszúrt egy karót, majd egy 7 méter hosszú kötéllel a karóhoz kötötte kecskéjét. Mekkora területen legelhet a jószág? 46. Mekkora szöget zár be egy szabályos nyolcszög egy csúcsából kiinduló legrövidebb és leghosszabb átló egymással? 47. Egy szimmetrikus trapéz alapjainak hossza 6 cm és 15 cm, szárai 7 cm hosszúak. Számítsuk ki a trapéz kiegészítő háromszögének oldalait! 48. Egy trapéz rövidebb alapjának hossza 7 cm, kiegészítő háromszögének két másik oldala 2 cm és 6 cm hosszú. A trapéz másik alapjának hossza 15 cm. Számítsuk ki a trapéz szárainak hosszát! 49. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 3 cm, illetve 5 cm. Mekkora részekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót? Mekkora távolságra van a derékszög az átfogótól? 50. Egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két olyan szakaszra bontja, amelyek hossza 8 cm, illetve 24 cm. Mekkorák a háromszög befogói? 51. Egy háromszög alakú virágágyásba négyféle virágot szeretnénk ültetni, ezért azt az oldalak harmadoló pontjai mentén négy részre osztottuk. Liliomot a középső, hatszög alakú részbe ültetünk. Ezt az ábrán szürkével jeleztük. Számítsuk ki, hogy ez a szürke terület hanyadrésze a teljes virágágyásnak!
