Feladatok és rokonaik, avagy variációk egy témára

KOMPLEX FELADATOK Válogatott témák – válogatott megoldások

F 3.5

Feladatok és rokonaik, avagy variációk egy témára Válogatott témák – válogatott megoldások 5. feladatcsomag Életkor:

14–18 év

Fogalmak, eljárások:

• • • •

elemi algebrai és geometriai ismeretek egyenletek megoldása feladatvariációk nyitott feladatok

Napjainkban rengeteg példatár, interneten is elérhető feladatanyag áll rendelkezésre, ahonnan válogatni lehet különféle témákhoz, didaktikai célokhoz. A válogatás során ezeket a feladatokat általában rendezzük – témákhoz, nehézségi szintekhez –, de ritkább az az eset, amikor az egymással valamilyen módon kapcsolatba hozható, rokon feladatokat gyűjtjük tudatosan össze. Az összegyűjtött rokonok (feladatcsaládok) tanulmányozása sok szempontból hasznos és érdekes is.

A feladatok listája 1. Összegyűlnek a rokonok (Ráhangoló 1.) (analizálóképesség, megfigyelés, összefüggések keresése, tanult ismeretek mozgósítása) 2. Újabb rokonok érkeznek (Ráhangoló 2.) (analizálóképesség, megfigyelés, tanult ismeretek mozgósítása)

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

1


F 3.5

3. Ugyanaz másképpen – síkból a térbe (Ráhangoló 3.) (térlátás, problémamegoldó képesség, analizálóképesség) 4. Törzstörtekből törzstörtet (analizálóképesség, fantázia, megfigyelés, összefüggések keresése, felismerése, tanult ismeretek mozgósítása) 5. Építs 1-et törzstörtekből! (analizálóképesség, fantázia, problémamegoldó képesség) 6. Most te készítesz feladatokat! (fantázia, problémamegoldó képesség, analizálóképesség, tanult ismeretek mozgósítása)

Módszertani tanácsok A problémamegoldó tanítás során alapvetően lényeges feladatcsaládokkal, problémacsoportokkal dolgozni. Az egyes feladatok közötti különféle kapcsolatok segítik a problémamegoldást, a problémamegoldó gondolkodás fejlődését. A rendezés többféle szempont szerint is történhet. Az így kialakított feladatcsoportok rendszerezik az egymással valamilyen módon kapcsolatba hozható feladatokat. A feladatok közötti kapcsolat keresése/meglátása szakít azzal a sok helyen még élő gyakorlattal, mely szerint minden feladat külön feladat. Ez azért is jó, mert a feladatmegoldás során a korábban megoldott feladatok eredményeit felhasználhatjuk. A feladatok közötti kapcsolatkeresés általában segíti a szövegértést is, hiszen a gyakran csak kismértékben (olykor csak egy-egy szóban, műveleti jelben…) eltérő, rokon feladatok esetén mindig pontosan meg kell érteni, miről is van szó. Az összegyűjtött feladatok alapján látható az is, hogy milyen feladatok „hiányoznak”, mit lehetne még megkérdezni. Így to2



F 3.5

vábbi kérdésekkel, vagyis saját feladatokkal kiegészíthető a gyűjtemény. Egy-egy feladatcsalád összegyűjtését vagy kiegészítését megtehetjük mi, de rábízhatjuk a diákokra is. Ez lehetőséget ad a közös munkára, azaz például a diákok párban és csoportban is dolgozhatnak, a munkában tanárként mi is közreműködhetünk. Az összegyűjtött feladatok megoldása sokkal érdekesebb és esetenként a „rokonságnak” és a rendszerezésnek köszönhetően könnyebb is. Érdemes megjegyezni, hogy még átlagosnak mondható csoportban is előkerülhet olyan kérdés, amelynek megválaszolása egyetemi tananyagot érint, vagy netán kiderül, hogy még megoldatlan probléma. (Ne felejtsük el, hogy például számelméletből még számos eléggé ismert probléma megoldásra vár!) Sok tanulónk élményként élheti meg, hogy kicsit részese lehet annak, hogyan merülhetnek fel különféle kérdések a matematikusokban. Átélik azt is, hogy egy felmerülő probléma megoldása utánanézést, gondolkodást igényel, és az sem ritka, hogy nem boldogulunk a megoldással, esetleg csak részeredményekig tudunk eljutni. Az előbbi munkához jó segítség, de önmagában is érdekes és hasznos, ha a tanulók tapasztalatot szereznek abban, hogyan lehet adott feladatokhoz tudatosan készíteni különféle feladatváltozatokat. A feladatlapok ehhez nyújtanak segítséget. A feladatváltozatok alaptípusai A következőkben mindenekelőtt a feladatváltozat-készítés néhány jellegzetes típusát mutatjuk be. Az egyes feladatvariálási módszerek szerinti felosztás szükségképpen átfedéseket tartalmaz. A tipizálás inkább azt a célt szolgálja, hogy többféle lehetőséget tudatosítsunk a feladatvariációk készítéséhez.


3


F 3.5

• Analóg feladat A feladathoz általában egyszerű változtatással egy hasonló jellegű feladatot keresünk. A jelleg hasonlósága nem jelenti feltétlenül azt, hogy a feladat az alapfeladat megoldásában használthoz hasonló módszerrel oldható meg. Egy feladat analóg feladatai közé sorolhatjuk azokat, amelyek azonos (hasonló) kérdést tesznek fel, némileg módosított feltétel mellett. Ez a módosítás egészen apró is lehet, például amikor egy egyenletnek csupán a számokban különböző változatait készítjük el. Példák 1. Alapfeladat: 4x – 5 = 6

Változatok:

4x + 3 = 6 4x – 5 > 6 Ebben az esetben kis változtatás történt úgy, hogy a kérdésfeltevés alig változott. 2. Alapfeladat: Bizonyítsd be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az összes oldalai négyzetének összegével. Tehát 2a2 + 2b2 = e2 + f2 Változat (térbeli analóg feladat): Bizonyítsd be, hogy egy „térbeli paralelogramma”, vagyis egy paralelepipedon (test)átlóinak négyzetösszege megegyezik az összes oldalél négyzetének összegével. Tehát hogy: 4a2 + 4b2 + 4c2 = e2 + f2 + g2 + h2, ahol a, b, c, d a paralelepipedon egy csúcsba futó éleit és e, f, g, h pedig a testátlókat jelöli. Az alapfeladat elég közismert. Érdekes megfogalmazni térbeli megfelelőjét is, amelynél a síkbeli alapfeladat állítását többször használva adódik a megoldás. Megjegyzés: Síkbeli feladatok térbeli analógjai sok esetben nemcsak könnyen megfogalmazhatók, de megoldásuk sem túl nehéz. Érdekességként érdemes meggondolni, hogy egyegy feladathoz esetenként többféle térbeli analóg is megadható. A Pitagorasz-tétel két térbeli analógja példa lehet erre:

4



F 3.5

– Pitagorasz-tétel térben 1.: Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza a, b, c. Bizonyítandó, hogy a d testátló hosszának négyzete egyenlő a három jelzett él négyzetének összegével! – Pitagorasz-tétel térben 2.: A derékszögletű tetraéder „átfogólapja” területének négyzete egyenlő a befogólapok területének négyzetösszegével. 3. Alapfeladat: Hányszorosára kell növelnünk egy négyzet oldalait ahhoz, hogy a kerülete az eredeti háromszorosa legyen? Variáció: Hányszorosára kell növelnünk egy négyzet oldalait ahhoz, hogy a területe az eredeti háromszorosa legyen? • Általánosítás A feladatvariációk közül talán ez a legelterjedtebb módszer. Elsősorban a tehetséggondozásban – például szakköri, versenyt előkészítő feladatok esetén – találkozunk vele. Jellemzően akkor sem önálló feladatként, hanem kiegészítő kérdésként vagy a megoldó megjegyzéseként. Példák 4. Alapfeladat: Bizonyítandó, hogy két egymás utáni páros szám szorzata osztható 8-cal! Variáció: Bizonyítandó, hogy két egymás utáni természetes szám szorzata osztható 8-cal! 5. Alapfeladat: Egy szabályos háromszöget bontsunk fel 4 kisebb szabályos háromszögre. Variáció: Hány darab kisebb szabályos háromszögre lehet felbontani egy szabályos háromszöget? 6. Alapfeladat: Szerkeszd meg egy szabályos háromszög azon belső pontját, amelyből minden oldal azonos szög alatt látszik! Változat: Szerkeszd meg egy háromszög azon belső pontját, amelyből minden oldal azonos szög alatt látszik!


5

KOMPLEX FELADATOK

F 3.5

Válogatott témák – válogatott megoldások

• Specializálás Ez a módszer lehetőséget ad feladatok egyszerűsítésére is. Például versenyfeladatok is feladhatók speciális esetben akár az egész osztálynak. A specializálás felfogható problémamegoldó stratégiaként is, abban az esetben, amikor az általánosan megfogalmazott állítással egyelőre nem tudunk mit kezdeni, de egy (néhány) speciális esetével már igen. Ezek az esetek gyakran ötletet adnak a továbbhaladáshoz. Példa 7. Alapfeladat: Egy két egység oldalú négyzet középpontja körül egy másik vele egybevágó négyzet forog úgy, hogy a forgó 2. négyzet egyik csúcsa az 1. négyzet középpontjába van rögzítve. Mekkora a közös rész területe a forgás során? Variáció: Egy két egység oldalú négyzet középpontja körül egy másik vele egybevágó négyzet forog úgy, hogy a forgó 2. négyzet egyik csúcsa az 1. négyzet középpontjába van rögzítve. Mekkora a forgás során fellépő speciális helyzetekben a közös rész területe? Megjegyzés: B k S

O

D

O

2–k

1

M r A F

B k S T

E

E

1 D

M r A F

Az ábrákon két speciális helyzetet vizsgálva látszik, hogy mindkét helyzethez kapcsolható egy „átdarabolásos” megoldás, azaz mindkét speciális helyzetbe átdarabolható bármely más helyzetben keletkező közös rész.

6



F 3.5

• Megfordítás Az iskolai tananyagban több nevezetes tétel is szerepel a megfordításával együtt, de általában állítások megfordítása már ritkábban kerül elő. Ha egy állítást meg szeretnénk fordítani, szükséges, hogy valóban lássuk, megfordítható-e, és ha igen, hogyan hangzik az új állítás. Példa 8. Alapfeladat: Egy számtani sorozat első n elemének összege Sn = a1 + an $ n alakban felírható, minden n természetes 2 szám esetén. Változat (megfordítás): Ha egy sorozat első n elemének összege minden n természetes szám esetén Sn = a1 + an $ n, 2 akkor a sorozat számtani sorozat. • Továbbkérdezés Egy feladat esetén általában szinte természetesen adódnak további kérdések, amelyek megfogalmazódhatnak a tanárban és a diákokban is, gyakran azonban mégsem foglalkozunk velük. Jó ilyeneket tudatosan is feltenni. Példa 9. Alapfeladat: Előáll-e minden törzstört két különböző törzstört összegeként? További kérdés: Egyértelmű az előállítás? vagy: Előáll-e minden törzstört egyértelműen két különböző törzstört összegeként? (A kérdésre a 4. feladatlapon még visszatérünk.) 10. Alapfeladat: Bizonyítsd be, hogy f1 + f2 + f + fn = fn + 1 – 1 , ahol fn a Fibonacci-sorozat n-edik elemét jelöli (n = 1, 2, 3, …)! További kérdés: Bizonyítsd be, hogy f 12 + f 22 + f + f n2 = fn $ fn + 1 ! • Aktualizálás Az adott évszám beépítése feladatokba gyakori aktualizálás.


7


F 3.5

Az is aktualizálásnak számít, ha régebbi feladatok esetén például a német márka vagy az osztrák schilling helyett eurót használunk. (Ebben az esetben például érdemes meggondolni/utánanézni, hogyan válthatók át az egyes pénznemek, illetve – figyelembe véve az inflációt – hogyan kell alakítani az új értékeket ahhoz, hogy reálisak legyenek.) A feladatlapok jellemzői A feladatlapok önálló és páros vagy csoportos feldolgozásra is alkalmasak. Az adott tanulócsoport szintje, hozzáállása dönti el, hogy – figyelembe véve a módszertani célt is – a tanár milyen feldolgozási módszer mellett dönt. A feladatcsomag három „ráhangoló” feladatlappal indul. Az Összegyűlnek a rokonok feladatai négy egyszerű alapfeladat variációit tartalmazzák. A feladatok egymás utáni rendezésével látható a hasonlóság egy-egy csoport feladatai között (és jó is ezt tudatosítani). A 2. és 4. feladatcsoport utolsó részében szövegkészítés a feladat. Ezzel az egyáltalán nem ismeretlen feladattípussal megkezdődik a ráhangolódás az önálló feladatkészítésre. Az önálló feladatkészítés a tanulók számára általában külön is jelentőséggel bír. Azzal, hogy nem készen kapnak megoldandó problémát, hanem maguknak adnak fel ilyet, nemcsak tevékenyebben vesznek részt az órán, hanem gyakran jobban meg is értik a feladatot, amit meg kell oldani. Emellett a tapasztalatok azt mutatják, hogy motiváltabbak is lesznek a feladatvégzésre, hiszen a saját feladat személyesebb kötődést jelent a témához. A második, Újabb rokonok érkeznek című feladatlapot a téma bevezetéséhez az első feladatlap nélkül is használhatjuk. Ennek feladatai valamivel nehezebbek, mint az előbbi feladatlapon. A 3. feladatlapon (Ugyanaz másképpen – síkból a térbe) egyfajta variálási mód szerepel csupán, síkbeli feladatokhoz kell 8



F 3.5

térbeli megfelelőt keresni (és természetesen megoldani a feladatpárokat). A lap célja a variációkészítés mellett az is, hogy a sík- és térbeli analóg feladatok témakörével külön is foglalkozzanak a tanulók. Ennek oka, hogy a tapasztalatok szerint a sík- és térgeometria tanítása az iskolai gyakorlatban elkülönül, így a tanulók fejében is így, elkülönülten marad meg. Pedig a két terület összekapcsolása a problémamegoldás számára is fontos lehetőségeket teremthet. Szép példa olvasható erről például Pólya György A problémamegoldás iskolája című könyvében. A feladatlap feladatai egyszerűek, az analógok közvetlenül adódnak. További és nehezebb feladatok is találhatók például Fitos László (1984) könyvében. Mivel ez már a 3. ráhangoló jellegű lap, a feladatokhoz akár más feladatvariációk készítését is kérhetjük a tanulóktól. A 4. és az 5. feladatlap a törzstörtekkel foglalkozik. A törzstörtekkel kapcsolatban számos különböző nehézségi fokú feladat készíthető. Ezekből válogattunk a két lapra, két feladat köré, variációnként csoportosítva. A lapon jelzett forráson kívül az interneten további elég bőséges irodalom is található. Ha az idő és az osztály (illetve tanulócsoport) szintje (vagy érdeklődése) engedi, érdemes elmélyülni a témában, akár projekt jellegű feldolgozás formájában is. Érdekes lehet például a következő feladat is, amelynél a téma tovább is vizsgálható: Mutassuk meg, hogy ha b páros, és a páratlan, akkor az a b tört nem írható fel véges sok páratlan nevezőjű törzstört öszszegeként! (Kardos Gyula Matematikaverseny, 2010.) Az utolsó, Most te készítesz feladatokat! című lapon a tanulóknak kell feladatokat készíteni három feladat köré csoportosítva. A kért variációk a tudatos és sokféle változat készítését szeretnék elősegíteni. A felosztás nem kizárólagos, egy-egy változat akár több helyre is beillik. Az viszont lényeges, hogy ne merüljön ki a feladatkészítés abban, hogy egy-egy változat


9


F 3.5

több helyre is bekerül, hanem legalább annyi változat készüljön, ahány variációtípus szerepel egy-egy feladatnál.

Megoldások, megjegyzések 1. Összegyűlnek a rokonok (Ráhangoló 1.) 1. A részfeladatokban az egyenlőség és egyenlőtlenség jele, illetve az a számhalmaz változik, ahol a megoldást keressük. Gyakorlatilag egyszerű változtatásokról van szó, amely azonban jelentősen befolyásolhatja a megoldást. A megoldás során figyeljünk arra, hogy az adott számhalmazon van-e megoldás. 2. A részfeladatokban a műveleti jelek és a számok változnak. Új vonásként megjelenik a szövegkészítés is feladatként. A szövegkészítés számkitalálós kérdés vagy realisztikus szöveges feladat is lehet. Például a (3x + 5) · 4 = 8 egyenlethez: Egy szám háromszorosához ötöt adva az eredmény négyszerese 8, melyik ez a szám? Ennél a feladatnál is a hangsúly a változtatások jellegén van. 3. a) 4 , 4 3 b) 4 , 12 , illetve – 4 és – 12 3 3 3 3 c) 16 , 64 15 15 32 = 16 , 48 = 24 , 64 = 32 d) 16 = 8 , 30 15 30 15 30 15 30 15 e) 503, 1509. 4. a) 3 $ 4 = 6 egyenest 2 b) n pont n $ (n – 1) egyenest határoz meg. 2 c) Szöveg lehet például: Egy 21 fős társaságban mindenki mindenkivel pontosan egyszer fogott kezet. Hány kézfogás történt?

10



F 3.5

5. a) Szintén egyenlő oldalú háromszöget kapunk, melynek oldalai feleakkorák, mint az eredetié. b) A kiindulási négyszög rombusz (speciális esetben négyzet), téglalapot (négyzetet) kapunk. c) Egyenlő oldalú háromszöget kapunk. Belátható, hogy az új háromszögön kívül az eredetiben további négy egybevágó háromszög keletkezett. d) Az eredetihez hasonló egyenlő szárú háromszöget kapunk. e) Az eredetihez hasonló derékszögű háromszöget kapunk. Érdemes megfogalmaztatni és tanulókkal, hogy egy tetszőleges háromszög esetén is igaz, hogy az oldalfelező pontokat összekötve az eredetihez hasonló háromszöget kapunk, amely oldalainak hossza az eredeti megfelelő oldalainak a felével egyenlő. 2. Újabb rokonok érkeznek (Ráhangoló 2.) 1. a) például 5 14 b) például 17 vagy 18 (az 1 is megfelelő) 56 56 3 c) például 7,26 d) például 11 , 12 , 13 , 14 35 35 35 35 e) például 61 156 További feladatok lehetnek: Adj meg 4 törtet 5 és 5 között! 13 12 Adj meg 10 törtet 7,2 és 7,3 között! Az utolsó kérdésre (hány tört van 2 és 3 között?) „végte7 7 len sok” a válasz. Indoklásul elég megemlíteni, hogy a két szám számtani közepét véve és az eljárást például a 2 és 7 a kapott számtani közép megtartásával rendre folytatva akárhány megfelelő szám előállítható.


11


F 3.5

2. a) Egyszerű alapszerkesztés b) Egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a 6 cm-es szakasz. c) Szabályos háromszög d) Visszavezethető az első feladatra, szükséges ismeret a háromszög szögeinek összegének ismerete. e) Ezt nem lehet megszerkeszteni, hiszen a két szög összegének 180c-nak kellene lennie. f) Végtelen sok megoldás lehetséges. g) A feladatnak két megoldása van. A deltoidok szögei: 45c, 45c, 75c, 195c ; illetve 75c, 75c, 45c, 165c 3. Ugyanaz másképpen – síkból a térbe (Ráhangoló 3.) 1. 2 $ a Analóg feladat: Mekkora az a élű kocka testátlójának (lapátlójának) a hossza? Válasz: 3 a , ( 2 a ) 2. A Pitagorasz-tétel segítségével közvetlenül adódik, hogy 2r 5 . 5 Analóg feladat: mekkora az r sugarú félgömbbe írt kocka élének a hossza? Válasz: Pitagorasz tételének kétszeri alkalmazásával adódik, hogy a keresett hossz r 6 . 3 3. Az átlót x-szel jelölve a következő írható fel: x + 3 x = 2 a és ebből x = a $ ( 6 – 2 ) 2 2 Térbeli analóg feladat: Adott a élű kockába írjunk szabályos tetraédert úgy, hogy az egyik csúcsa a kocka egyik csúcsa legyen! Adjuk meg a tetraéder élét! (A beírt tetraéder szabályos, hiszen minden élének hossza 2 a . Más beírt tetraéder a kért módon nem adható meg.) 4. Lehetséges megoldás például: Az ábra jelöléseit használva az ACD és BCD háromszögek területeinek összege az ABC területe, így: bx + ax = ab . Ezt abx-szel osztva adódik az állítás. 2 2 2 12



F 3.5

Térbeli analóg feladat: Az ABCD gúla D csúcsából induló három éle (a, b, c) páronként merőleges egymásra. Írjunk a gúlába kockát úgy, hogy egyik csúcsa D legyen. Ha a kocka élét x-szel jelöljük, bizonyítsuk be, hogy fennáll a következő összefüggés: 1 = 1 + 1 +1 x a b c (A D csúccsal szemközti kockacsúcsot, amely így az ABC lapon van, kössük össze a gúla négy csúcsával. Így a gúlát három gúlára bontottuk. Ezek térfogatösszege az eredeti gúla térfogatával egyenlő. A jelöléseket felhasználva felírható, hogy: ab $ x + bc $ x + ca $ x = ab $ c , 2 3 2 3 2 3 2 3 abcx ebből -tal osztva az egyenlőség két oldalát, adódik az 6 állítás.) 5. Az ábra jelöléseit és a trapéz középvonalára vonatkozó állítást felhasználva adódik, hogy AA1 + CC1 = 2OO1, valamint BB1 + DD1 = 2OO1 Térbeli analóg: Adott egy paralelepipedon és egy rajta kívül fekvő sík. Bizonyítsd be, hogy bármelyik testátló végpontjaiból merőlegest bocsátva a síkra, azok összege mindig ugyanakkora. (A megoldása megegyezik a síkbeli feladatéval.) 6. Ha a téglalap oldalait a és b jelöli, akkor a téglalap minden sarkából le kell vágni egy derékszögű háromszöget, amelynek befogói a és b . A négy levágott háromszög területe 3 3


13


F 3.5

tehát 4 = 2 része a téglalapnak. Így a nyolcszög területe 18 9 a 7 része. A keresett arány tehát 7 : 9. 9 Térbeli analóg: Egy téglatest éleinek harmadolópontjai által meghatározott test térfogata hányadrésze a téglatest térfogatának? (A csúcsoknál levágott tetraéder térfogata 1 része a 2 $ 81 8 4 rész kerül levátéglatestnek, a 8 csúcsnál így = 2 $ 81 81 gásra. Tehát a keresett arány 77 : 81.) 4. Törzstörtekből törzstörtet 1. Igen a válasz, hiszen például ha a törtet 1 jelöli, ahol n n pozitív egész szám, akkor 1 = 1 + 1 alakban mindig feln 2n 2n írható. 2. Csak akkor, ha az 1 alakban megadott törzstört esetén n n nem prímszám. Az állítás megfordítása nyilvánvalóan mindig igaz. 3. Nem, mert például 1 + 1 = 7 . 3 4 12 4. Nyilvánvalóan igen, hiszen 1 = 1 + 1 + f + 1 esetén a n kn kn kn jobb oldalon k darab tagot kell csupán vennünk. 1 5. Igen, mert felírható, hogy 1 = 1 + . n n + 1 n $ (n + 1) 6. a) Nyilvánvalóan nem, hiszen például felbontható a korábban tárgyalt módokon egyenlő és különböző tagokra is. b) Nem feltétlenül, például 1 = 1 $ 1 vagy 1 = 1 $ 1 12 2 6 12 3 4 5. Építs 1-et törzstörtekből! 1. Az alapfeladat egyetlen megoldása a = b = 2, hiszen ha legalább az egyik nevező 2-nél nagyobb, a két tört összege kisebb, mint 1. 2. a) a = b = 1 b) Nem adhatók meg ilyen természetes számok.

14



F 3.5

3. a) 1 + 1 + 1 = 1 . Más megoldás nincs. 2 3 6 b) 1 + 1 + 1 + 1 = 1 vagy 1 + 1 + 1 + 1 = 1 . Más megol2 4 6 12 2 3 9 18 dás is lehetséges. 4. a) ` 1 + 1 j-nek nagyobbnak kellene lennie 1-nél, hogy 1 -t kia b c vonva 1-et kaphassunk. Ez csak akkor lehet, ha legalább az egyik nevező 1. Ekkor a lehetséges esetek: a = 1, b = c vagy b = 1, a = c b) 1 2 1 szükséges feltétel, ami viszont nem lehetséges. a 5. Az ismert fejtörő megoldása: a bölcs kölcsönadja tevéjét, amivel az elosztás már végrehajtható, és mert 1 + 1 + 1 = 17 volt, az 1 tevét ( 1 rész) végül vissza is 2 3 9 18 18 lehet adni. Érdemes észrevenni, hogy a megadott törtek összege egy olyan tört, amelynek számlálója 1-gyel több, mint a nevezője. Látható, hogy a feladat így is megfogalmazható: 1 + 1 + 1 + 1 = 1 , ahonnan az előbbi számítással x = 18 2 3 9 x adódik. 6. Vegyük például az 1 + 1 + 1 + 1 = 1 négytagú összeget. Ha 2 4 6 12 mindkét oldalt 1 -del szorozzuk, akkor 1 + 1 + 1 + 1 = 1 4 8 12 24 2 2 -et kapunk. Ehhez az összeghez 1 -et adva 1-et kapunk. 2 Azaz az 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 összeg 5 tagú lesz. Az eljá2 4 8 12 24 rás folytatható 6, 7, … tagra. A képzési szabályból következik, hogy az összeg tagjai mindig különbözőek lesznek. 6. Most te készítesz rokon feladatokat! 1. Az alapfeladatban szereplő állítás nyilvánvalóan igaz. a) Analóg feladat lehet: Ha egy szám osztható 20-szal, akkor osztható 4-gyel és 5-tel is.


15


F 3.5

Ha egy szám osztható 54-gyel, akkor osztható 9-cel, 27tel, 18-cal is. b) A megfordítás: Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor 12-vel is. (Ez igaz.) c) Általánosítás: Ha egy szám osztható egy (n természetes) számmal, akkor a szám osztóival is osztható. (Ez igaz.) d) Kérdés lehet: Mi lehet a megfordítás általánosítása? 2. Az alapfeladat igaz. Indoklás: legyenek a számok n – 1, n, n + 1. Így az összeg 3n. a) Analóg feladat lehet: Két egymást követő szám összege osztható 2-vel. (Ez nem igaz.) Három egymást követő szám szorzata osztható 3-mal. (Ez igaz.) b) Megfordítás: Ha három természetes szám összege osztható 3-mal, akkor azok egymást követő számok. (Nem igaz. Például 10 + 21 + 29 = 60.) c) 4 egymást követő természetes szám összege osztható 4-gyel. 5 egymást követő természetes szám összege osztható 5-gyel. (És így tovább.) Általánosítás: n egymást követő természetes szám öszszege osztható n-nel. (Belátható, hogy páros esetben az állítás nem igaz.) d) Kérdés lehet például: Igaz-e, hogy n egymást követő természetes szám szorzata osztható n-nel? (Ez igaz.) Igaz-e, hogy 3 egymás utáni páros szám összege osztható 6-tal? (Ez igaz.) 3. Az alapfeladat megoldása: A két szám 36 és 108. a) Analóg feladat például: Két szám összege 144, az egyik nyolcszorosa (hatszorosa…) a másiknak. Melyek ezek a számok?

16



F 3.5

(Itt fontos felhívni a figyelmet arra, hogy nemcsak egész számok lehetnek a megoldások.) b) Általánosítás: Két természetes szám összege 144, egyik n-szerese a másiknak. Mi lehet az n? Melyek lehetnek a számok? [Egész megoldásokat akkor kapunk, ha (n + 1) osztója a 144-nek, így a lehetséges n értékek: 1, 3, 7, 8, 11, 15, 17, 35, 71.] c) Szituációk lehetnek például: bicikliáttétek, vásárlás. d) Kérdések lehetnek például: Két szám összege n természetes szám, az egyik háromszorosa a másiknak. Mi lehet n? (Az egyik számot x-szel jelölve 4x = n, így a 4-gyel osztható számok jönnek szóba, ha x természetes szám. Ez azonban nem volt feltétel, így mivel például az előbbi jelöléssel 4 x = n adódik, az n értéke bármi lehet, és x 3 értékét ez határozza meg.) Két szám összege n természetes szám, az egyik b-szerese a másiknak. Mi lehet n?

A feladatok összeállításánál felhasznált források: Pólya György: A problémamegoldás iskolája. II. kötet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1971, 67–70. o. Fitos László: Analóg tételek és feladatok a sík- és térgeometriában. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984. Kardos Gyula Matematikaverseny feladatai (http://matek. fazekas.hu/portal/feladatbank/egyeb/Haziversenyek/kardos/2010/kardos_megold.pdf)


17


Analizálóképesség

F 3.5

1. Összegyűlnek a rokonok (Ráhangoló 1.)

14–16. év

Egy feladatnak számos rokona lehet, a feladatgyűjteményekben is találkoztál már ilyenekkel. Ezeket a rokonokat te is összegyűjtheted, és ezzel gyakran érdekes felfedezéseket tehetsz. Mindenekelőtt hangolódj rá arra, hogyan is lehet feladatokat variálni! 1. a) Oldd meg a 3x – 2 = 11 egyenletet! b) Oldd meg a 3x – 2 = 11 egyenletet az egész számok halmazán! c) Oldd meg a 3x – 2 < 11 egyenlőtlenséget! d) Oldd meg a 3x – 2 < 11 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán! 2. Oldd meg a következő feladatokat! a) (2x + 5) · 4 = 8 b) (3x + 5) · 4 = 8 c) (2x – 5) · 4 = 8 d) Készíts szöveges feladatot, melynek megoldásához felhasználható az előbbi egyenletek valamelyike! 3. a) Két szám összege 16 . Az egyik háromszorosa a másik3 nak. Melyik ez a két szám? b) Két szám szorzata 16 . Az egyik háromszorosa a másik3 nak. Melyik ez a két szám? c) Két szám összege 16 . Az egyik négyszerese a másiknak. 3 Melyik ez a két szám? 18




F 3.5

d) Négy szám összege 16 . A számok egymáshoz a kö3 vetkezőképpen aránylanak: 1 : 2 : 3 : 4. Mi lehet a négy szám? e) Két szám összege 2012. Az egyik háromszorosa a másiknak. Melyik ez a két szám? 4. a) Hány egyenest határoz meg négy pont a síkon, ha semelyik három nincs egy egyenesen? b) Hány egyenest határoz meg 5, 6, …, 11, n pont a síkon, ha semelyik három nincs egy egyenesen? c) Fogalmazz meg olyan szöveges feladatokat, amelyek megoldhatók a b)-ben kapott képlet segítségével! 5. a) Kössük össze egy egyenlő oldalú háromszög oldalainak felezőpontjait! Milyen háromszöget kapunk? b) Kössük össze egy egyenlő oldalú négyszög oldalainak felezőpontjait! Milyen négyszöget kapunk? c) Kössük össze rendre egy egyenlő oldalú háromszög oldalainak csúcsokhoz közelebbi harmadolópontjait! Milyen háromszöget kapunk? d) Kössük össze egy egyenlő szárú háromszög oldalainak felezőpontjait. Milyen háromszöget kapunk? e) Kössük össze egy derékszögű háromszög oldalainak felezőpontjait. Milyen háromszöget kapunk?


19

14–18. év



F 3.5

2. Újabb rokonok érkeznek (Ráhangoló 2.)

14–18. év

1. a) Adj meg egy törtet, amelyik 2 és 3 között van! 7 7 b) Adj meg egy törtet, amelyik 2 és 3 között van! 7 8 c) Adj meg egy törtet, amelyik 7,2 és 7,3 között van! d) Adj meg 4 törtet, amelyik 2 és 3 között van! 7 7 e) Adj meg egy törtet, amelyik 5 és 5 között van! 13 12 Ez még mind semmi, biztosan van neked is néhány hasonló feladatötleted. Írd le és próbáld megoldani ezeket! És végül: Gondold meg, hogy hány tört van 2 és 3 között? 7 7 2. a) Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, a rajta fekvő két szög nagysága pedig: 75c és 45c! b) Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, a rajta fekvő két szög nagysága pedig: 45c és 45c! c) Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, a rajta fekvő két szög mindegyike 60c-os! d) Szerkessz háromszöget, ha egyik oldala 6 cm, a rajta fekvő egyik szög nagysága 75c, egy nem rajta fekvő szög pedig 45c-os! e) Szerkessz paralelogrammát, ha egyik oldala 6 cm, két szöge 75c-os, illetve 45c-os! f) Szerkessz trapézt, ha egy oldala 6 cm, két szöge pedig 75c, illetve 45c nagyságú! g) Szerkessz deltoidot, amelynek egyik oldala 6 cm, a rajta fekvő két szög 45c és 75c nagyságú! 20



Térlátás

F 3.5

3. Ugyanaz másképpen – síkból a térbe (Ráhangoló 3.) Az alábbi feladatokhoz készíts hasonló, de térbeli feladatot, majd oldd is meg azokat! 15–18. év

1. Mekkora az a élű négyzet átlójának hossza? Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. Adott r sugarú félkörbe írjunk négyzetet! Adjuk meg a négyzet oldalát! Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3. Adott a oldalú négyzetbe írjunk szabályos háromszöget úgy, hogy egyik csúcsa a négyzet egyik csúcsával egybeessen! Számítsuk ki a szabályos háromszög oldalát! Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................


21


15–18. év

Térlátás

F 3.5

4. Egy a, b befogójú derékszögű háromszögbe négyzetet írtunk úgy, hogy az egyik csúcsa a derékszögű csúcs lett. Bizonyítsd be, hogy ekkor a négyzet oldalát x-szel jelölve igaz a következő összefüggés: 1 = 1 + 1 x a b Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 5. Egy paralelogramma mindegyik csúcsából bocsássunk merőlegest egy olyan egyenesre, amely a síkjában fekszik, de őt nem metszi. Bizonyítsuk be, hogy az egyik átlójának végpontjaiból az egyenesre bocsátott merőleges szakaszok összege egyenlő a másik átló végpontjaiból ugyanerre az egyenesre bocsátott merőleges szakaszok összegével! Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 6. Egy téglalap oldalainak harmadolópontjai egy nyolcszöget határoznak meg. Hogyan aránylik ennek a területe a téglalap területéhez? Térbeli megfelelő: .................................................................................................................. ..................................................................................................................

22




F 3.5

4. Törzstörtekből törzstörtet Az olyan pozitív törteket, melyek számlálója 1, törzstörteknek nevezzük. Törzstörtek már az egyiptomi Rhind papiruszon is szerepelnek. A papiruszon megtalálható 2 alakú törtek törzstörtekre bontása n minden páratlan n-re 5 és 101 között. (A közvetlenül adódó 2 = 1 + 1 n n n felbontást nem alkalmazták, az összegben az eredeti nevezőtől különböző nevezők szerepeltek.) A Rhind papirusz (Kr. e. 1650 körül keletkezett) a gyakorlati élettel kapcsolatos algebrai és geometriai feladatokat tartalmaz, megoldásaikkal. A törzstörtekkel kapcsolatban további érdekességeket találhatsz például Filep László: A tudományok királynője című könyvében, amely az interneten is elérhető. (Keresd a http://books.google.hu oldalon!)

Oldd meg a következő feladatokat, és figyeld meg, milyen változtatásokat hajtottunk végre az 1. sorszámú alapfeladaton! 1. Alapfeladat: Előáll-e minden törzstört két törzstört összegeként? 2. Analóg feladat: Előáll-e minden törzstört két törzstört szorzataként? (Igaz-e ennek a megfordítása?) 3. Megfordítás: Két törzstört összege mindig törzstört-e? 4. Általánosítás (1. változat): Előáll-e minden törzstört k darab törzstört összegeként, ahol k tetszőleges természetes szám? 5. Általánosítás (2. változat – nehezítés): Előáll-e minden törzstört két különböző törzstört összegeként? 6. Továbbkérdezés: a) Egyértelműen fel lehet-e bontani egy törzstörtet két törzstört összegére? b) Egyértelműen fel lehet-e bontani egy törzstörtet két törzstört szorzatára? Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

23

15–18. év



F 3.5

5. Építs 1-et törzstörtekből! 1. Alapfeladat: Adj meg olyan a, b természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen:

15–18. év

1 + 1 = 1! a b 2. Analóg feladat (1. változat): Adj meg olyan a és b a) természetes számokat, b) különböző természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen: 1 $ 1 = 1! a b 3. Továbbkérdezés: a) Adj meg olyan a, b, c különböző természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen (keress több megoldást): 1 + 1 +1 =1 ! a b c b) Adj meg olyan a, b, c, d különböző természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen (keress több megoldást): 1 + 1 + 1 + 1 = 1! a b c d

24




F 3.5

4. Analóg feladat (2. változat): a) Adj meg olyan a, b, c természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen: 1 + 1 – 1 = 1! a b c b) Adj meg olyan a, b, c természetes számokat, hogy a következő egyenlőség igaz legyen: 1 – 1 – 1 = 1! a b c 5. Szöveges változat: Egy gazdag kereskedő 17 tevéjét végrendeletében fiaira hagyta a következőképpen: Tevéinek felét a legidősebb, harmadát a középső, kilencedét pedig a legkisebb fiának szánta. A kereskedő halála után az örökösök sehogy sem tudtak megosztozni az állatokon. Éppen arra tevegelt egy bölcs. Nyomban meg is állították, és a segítségét kérték. Hogyan segíthetett a bölcs? Gondold meg a szöveges feladat és az alapfeladat közötti kapcsolatot! 6.* Általánosítás: Előállítható-e az 1 úgy, hogy 5, 6, 7, … különböző törzstörtet adunk össze?


25

15–18. év


Fantázia

F 3.5

6. Most te készítesz rokon feladatokat! 1. Alapfeladat: Igaz-e a következő állítás? Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 4-gyel és 6-tal is.

15–18. év

Készíts rokon feladatokat, és oldd is meg őket! a) Analóg feladat: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ b) Megfordítás: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ c) Általánosítás: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ d) Mit kérdeznél még? ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ 26



Fantázia

F 3.5

2. Alapfeladat: Igaz-e a következő állítás: 3 egymást követő természetes szám összege osztható 3-mal? Készíts rokon feladatokat, és oldd is meg őket! a) Analóg feladat: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ b) Megfordítás: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ c) Általánosítás: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ d) Mit kérdeznél még? ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................


27

15–18. év


Fantázia

F 3.5

3. Alapfeladat: Két természetes szám összege 144. Az egyik háromszorosa a másiknak. Melyek ezek a számok?

15–18. év

Készíts rokon feladatokat, és oldd is meg őket! a) Analóg feladat: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ b) Általánosítás: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ c) Szöveges feladat hétköznapi szituációval: ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ d) Mit kérdeznél még? ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ 28


Feladatok és rokonaik, avagy variációk egy témára

Recommend Documents