Feladatgyûjtemény Matematika I-II.
Sáfár Zoltán NyME-SEK 2012
Tartalomjegyzék 1. Komplex számok
1
2. Számsorozatok és számsorok 2.1. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4
3. Elemi függvények, függvénytranszformációk
7
4. Függvények határértéke
10
5. Függvények folytonossága
11
6. Differenciálszámítás 13 6.1. L’Hospital-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.2. Függvénydiszkusszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7. Taylor-polinom
17
8. Horner-elrendezés
18
9. Lagrange-interpoláció
20
10.Newton-Raphson módszer és húrmódszer 21 10.1. Newton-Raphson módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2. Húrmódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11.Határozatlan integrálás 11.1. Helyettesítéssel való integrálás 11.2. Parciális integrálás . . . . . . 11.3. Racionális törtfüggvények . . 11.4. Trigonometrikus integrálás . . 11.5. Vegyes feladatok . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
22 23 24 25 26 27
12.Határozott integrálás 29 12.1. Improprius integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 12.2. Terület-, térfogat- és felszínszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 13.Numerikus integrálás 34 13.1. Newton-Cotes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 13.2. Érintõ-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i
1.
Komplex számok
√ 1.1. Definíció. Legyen a és b valós szám (a, b ∈ R), és i := −1. Ekkor a z = a + ib számot komplex számnak, az a = Re z-t a z valós részének, a b = Imz-t pedig a képzetes részének nevezzük. Jelölés. A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. Megjegyzés. A kompex számokat a komplex számsíkon ábrázolhatjuk. A z = a + ib komplex szám –ezt az alakot hívjuk algebrai (vagy kanonikus) alaknak– helyét az (a, b) ponttal adjuk meg (a derékszögû koordinátarendszerrel ellátott valós síkon). Egy ilyen pontot más adatokkal is megadhatunk, például az origótól való távolsággal (r), és a pozitív valós félegyenes (vízszintes tengely jobb oldali fele) által bezárt szögével (α). 1.2. Definíció. A z komplex szám trigonometrikus alakja: z = r(cos α + i sin α), vagy rövidebben –ha használjuk az Euler-Moivre összefüggést– z = reiα , ahol r-et a z komplex szám abszolútértékének, az α szöget pedig a z argumentumának nevezzük. 1.3. Definíció. A z komplex szám konjugáltja: z¯ = a − ib(= re−iα ), szemléletesen a z-t tükrözni kell a valós tengelyre. Megjegyzés. A konjugált a következõ tulajdonságok miatt fontos: z¯ z = |z|2 = r 2 ,
z + z¯ = 2a.
Megjegyzés. Mûveletek komplex számokkal: +, −, ·, / elvégeztehõ algebrai alakban. A hatványozást és gyökvonást azonban célszerû trigonometrikus alakban elvégezni: Legyen n ∈ N, akkor √ √ α + 2kπ α + 2kπ n n inα n n z =r e , z = r cos , k = 0, 1, . . . , n − 1. + i sin n n A fenti összefüggésbõl már látjuk, hogy minden z számnak pontosan n darab n-edik gyöke van – amelyek szemléletesen egy origó középpontú szabályos n-szöget alkotnak. 1. Ábrázoljuk a következõ komplex számokat: 1 + 4i, −2 + 3i. 2. A komplex sík mely ponthalmazát határozza meg a 1 < |z| < 2, illetve az |z + i| ≤ 1 feltétel? 3. Adjuk meg a konjugáltakat! z1 := 8, z2 := 5i és z3 := 2 + 7i. 4. Igazoljuk, hogy tetszõleges z komplex szám esetén: (a) z + z ∈ R,
(b) zz =: |z|2 ∈ R. 1
5. Számítsuk ki, és adjuk meg az eredményt kanonikus alakban: (a) (6 + 2i) + (8 − 4i),
(b) (5 + 2i)2 , (d)
5−2i , i 3+2i , 3−2i
(e)
(3+4i)(2+i) ; (1+2i)(4+3i)
(c)
(f) z1 := 1 − 5i, z2 := 3 + 4i esetén a (g)
z1 , zz12 , zz12 , z2
( zz21 ),
π
z1 , |z2 |
ei 6 . 1+i
√ 6. Írjuk át trigonometrikus alakba: z1 = 3, z2 = 1 + i és z3 = 4 3 − 4i. 7. Alakítsuk algebrai alakra: (a) 5(cos 60◦ + i sin 60◦ ), (b) 3(cos π4 + i sin π4 ), + i sin 3π ). (c) 2(cos 3π 2 2 8. Hogyan néz ki a z = 1 +
√
3i szám exponenciális alakja?
9. Határozzuk meg a következõ mûveletek értékét z1 = 5(cos 40 + i sin 40), z2 = 3(cos 18 + i sin 18) esetén: (a) z1 + z2 , (b) z1 z2 , (c)
z1 . z2
10. Határozzuk meg a következõ komplex számok szorzatát, szorzatuk algebrai alakját + i sin 3π ). és algebrai alakjuk szorzatát is: z1 = 3(cos π4 + i sin π4 ), z2 = 2(cos 3π 2 2 11. Adjuk meg az összes gyököt: √ (a) 4, √ (b) −4, √ (c) 4 1. 12. Határozzuk meg az összes (komplex) zérushelyét az (a) x2 + 8x + 17, (b) x2 + 5 +
6 , x2
(c) x6 + 64 polinomoknak. 2
2.
Számsorozatok és számsorok
Ismétlés: Tetszõleges valós számokra (a, b ∈ R) (a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 .
Általánosabban, bármely természetes kitevõ esetén (n ∈ N) an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 ).
2.1.
Sorozatok
2.1. Definíció. Sorozat: a természetes számok halmazán értelmezett függvény. 2.2. Definíció. Egy {an } sorozat konvergál a-hoz, ha elég nagy indexre tetszõlegesen közel kerül hozzá, azaz ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 : |an − a| < ε. Jelölés. Ha az {an } sorozat határértéke a, akkor a következõ jelölést használjuk: lim an = a.
n→∞
Jelölés. Az a elem ε(> 0) sugarú környezetét a következõképp jelöljük: G(a, ε) = {an : |an − a| < ε}. 2.3. Definíció. Egy {an } sorozat monoton növõ (csökkenõ), ha an−1 ≤ (≥)an , azaz an−1 − an ≤ (≥)0,
vagy
an−1 ≤ (≥)1. an
2.4. Definíció. Egy {an } sorozat felülrõl (alulról) korlátos, ha valamely értéknél nem vesznek fel nagyobb (kisebb) értéket, azaz ∃K ∈ R : an ≤ K,
(∃k ∈ R : an ≥ k).
A sorozat korlátos, ha felülrõl és alulról is korlátos: k ≤ an ≤ K. 2.5. Definíció. Egy {an } sorozat valódi divergens, ha a határértéke ∞, vagy −∞. Nem valódi divergens, ha korlátos, de nincs határértéke. 2.1. Tétel (Mûveletek és határérték). Tegyük fel, hogy c ∈ R tetszõleges szám és lim an , lim bn < ∞, akkor • lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn • lim(can ) = c lim an • lim(an · bn ) = lim an · lim bn 3
• ha lim bn 6= 0, akkor lim abnn =
lim an lim bn
2.2. Tétel (Majoráns-minoráns kritérium). Legyenek {an }, {bn }, {cn } nemnegatív sorozatok. (i) Ha lim an < ∞ és valamely indextõl kezdve bn ≤ an , akkor lim bn < ∞. (ii) Ha lim cn = ∞ és valamely indextõl kezdve bn ≥ cn , akkor lim bn = ∞. 2.3. Tétel (Rendõrelv). Tegyük fel, hogy lim an = a = lim cn és elég nagy indexekre an ≤ bn ≤ cn . Ekkor lim bn = a. 2.4. Tétel. Nevezetes határértékek: (i)
sin t = 1. t→0 t (ii) Jelölje e a természetes logaritmus alapját, ekkor lim
k n 1+ = ek n→∞ n lim
2.2.
Sorok
2.6. Definíció. Sor: formális végtelen összeg. 2.7. Definíció. Legyen {an } ⊂ R. A
összegek sorozata konvergens.
P
an sor konvergens, ha az sn :=
n P
an részlet-
k=1
Konvergenciakritériumok: 2.5. Tétel (Szükséges feltétel). Ha
P
an konvergens, akkor lim an = 0. P 2.6. Tétel (Cauchy-féle belsõ). Egy an sor pontosan akkor konvergens, ha a végszeletek összege tetszõlegesen kicsi, azaz n+k X ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n ≥ n0 , ∀k ∈ N : |sn+k − sn | = al < ε. l=n
2.7. Tétel (D’Alambert-féle hányados). Legyen an > 0. Ha an+1 lim =q n→∞ an
( < 1, akkor a sor konvergens, = 1, nem tudjuk használni ezt a kritériumot, > 1, akkor a sor divergens.
2.8. Tétel (Cuachy-féle gyök). Legyen an > 0. Ha lim
n→∞
√ n
( < 1, akkor a sor konvergens, an = q, = 1, nem tudjuk használni ezt a kritériumot, > 1, akkor a sor divergens. 4
2.9. Tétel (Leibniz). Ha an váltakozó elõjelû, és lim an = 0, akkor a konvergens.
P
an sor –feltételesen–
2.10. Tétel. Nevezetes sorösszegek: (i) Mértani sor összege: ha q < 1, akkor ∞ X
qn =
n=0
(ii)
1 . 1−q
∞ X 1 = e. n! n=0
13. A konvergencia definiciója alapján bizonyítsuk be, hogy a megadott {an } sorozat ahoz konvergál (adjunk meg n0 küszöbindexet). Hányadik elemtõl (n1 ) kezdve esnek a sorozat elemei az a szám r sugarú környezetébe? (a) an =
2n−1 , 2n+1
(b) an =
4n , 3·4n +1
(c) an =
n2 , n+1
r = 10−2 ,
a = 1, a = 13 , a = ∞,
r = 31 , r=
1 . 20
14. Vizsgáljuk meg a következõ sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából: (a) an = (b) bn = (c) cn = (d) dn = (e) en =
2n+4 , 3n−3 3n+1 , n−1 n−1 , 5n+1 2n2 +3 , 2n2 −n−21 (1 + n2 )10 .
15. Igazolja, hogy a cn =
n−1 5n+1
sorozatnak a
24 125
nem határértéke!
16. Igazoljuk, hogy √
n+1−
√
n − 1 → 0 és
amint n tart végtelenbe. 17. Határozzuk meg a határértékeket: 2n2 +12 2, 3−n−3n n→∞ √ √ , lim 1+1+2n n n→∞
(a) lim (b)
√ √ (c) lim ( 3 n + 1 − 3 n − 1), n→∞
5
√ √ √ 1 n( n + 1 − n) → 2
√ n 8−1 √ , n 2−1 n→∞ lim √ n2 , n→∞ n +1
(d) lim (e)
p (f) lim n( (n + a)(n + b) − n), n→∞ √ (g) lim n n3 + 3n, n→∞ √ (h) lim n 3n + 2n , n→∞
(i) lim (1 +
1 n ) , 2n
(j) lim (1 −
1 n ) , n2
(k) lim (1 −
1 n ) , n2
n→∞
n→∞
n→∞
2
2
+1 n (l) lim ( nn2 −2 ) , n→∞
18. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorok konvergensek, és határozzuk meg a sorok összegét! (a) 1 − 12 + 41 − 81 + · · · +
(b) (c)
(d) (e) (f) (g)
1 1·2
+
∞ P
k=0 ∞ P
k=0 ∞ P
k=0 ∞ P
1 2·3
k=0
1 3·4
+···+
1 , 10k 20 , 10k 1 , 52k+1
( 51k −
k=0 ∞ P
+
(−1)n−1 + ..., 2n−1 1 + ..., n(n+1)
1 ), 5k+1
1 . k(k+1)
19. Konvergensek-e a következõ sorok: (a) (b) (c) (d) (e)
∞ P
k−1 , k!
k=1 ∞ P
√1 , k
k=1 ∞ P
1 , 2k
k=1 ∞ P
(−1)k √1k ,
k=1 ∞ P
k=1
1 , 2k−1
6
(f) (g) (h) (i) (j) (k)
∞ P
k=2 ∞ P k=2 ∞ P
1 , 1−k 2
(1 − k1 )k ,
k=1 ∞ P
( k+1 )k , 3k
k=1 ∞ P
2k+1 4k+1 ( 3k+1 ) ,
k=1 ∞ P
k=0
3.
1 , ln k
1+(−1)k . 2k
Elemi függvények, függvénytranszformációk
Ismételjük át az elemi függvények (hatvány-, gyök-, exponenciális, logaritmus és trigonometrikus függvények) grafikonját! 3.1. Definíció. Az f függvény értelmezési tartománya (jelölése: Df ) azon x ∈ R pontok halmaza, amelyek az f függvénybe helyettesíthetõk. Megjegyzés. "Kikötést" vagy "feltételt" akkor kell tenni, ha látunk • törtet: 0-val nem osztunk, √ • páros kitevõs gyökjelet: 2n x esetén x ≥ 0 lehet csak, • logaritmus függvénynél: loga x esetén x > 0 és 0 < a 6= 1, • szögfüggvényeknél: tan x esetén x 6= π/2 + kπ, cot x esetén x 6= kπ, ahol k ∈ Z, • arkusz függvényeknél: arcsin x, arccos x esetén −1 ≤ x ≤ 1. Megjegyzés. Függvénytranszformációk: legyen adott az f (x) függvény grafikonja és c ∈ R, ekkor • f (x) + c grafikonja: f (x) függvény grafikonját toljuk c-vel az y-tengely mentén • f (x + c) grafikonja: f (x) függvény grafikonját toljuk −c-vel az x-tengely mentén • cf (x) grafikonja: f (x) függvény grafikonját nyújtuk c-szeresre az y-tengely mentén • f (cx) grafikonja: f (x) függvény grafikonját nyújtuk 1/c-szeresre az x-tengely mentén • 1/f (x) grafikonja: f (x) függvény grafikonját tükrözzük az y = 1-re (a 0 < x ≤ 1 képe x ≥ 1 és fordítva) 7
• f (1/x) grafikonja: f (x) függvény grafikonját tükrözzük az x = 1-re (a 0 < y ≤ 1 képe y ≥ 1 és fordítva) 3.2. Definíció. Az f függvény inverzfüggvénye g, ha • Dg = Rf , ahol Rf az f függvény értékkészlete, • Rg = Df , • ∀x ∈ Df : g(f (x)) = x és ∀x ∈ Dg : f (g(x)) = x. Megjegyzés. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az f függvény grafikonját tükrözni kell az y = x egyenesre. Meghatározása: az y = f (x) egyenletbõl kifejezzük x-et. 3.3. Definíció (Paritás). Azt mondjuk, hogy az f függvény páros, ha f (−x) = f (x), a grafikonon ez azt jelenti, hogy az f szimmetrikus az y-tengelyre. Az f páratlan, ha f (−x) = −f (x), az f az origóra szimmetrikus.
), f (4) és f (6) helyettesítési értékeket, ha 20. Határozzuk meg az f (−1), f ( π2 ), f ( 2π 3 (3−x − 1, −1 ≤ x < 0; tan x2 , 0 ≤ x < π; f (x) = x , π ≤ x ≤ 6. x2 −2 21. A 2 oldalú ABCD négyzetet messük el az AC átlóra merõleges e egyenessel. Legyen az A csúcs és az e egyenes távolsága x. Írjuk fel az A csúcsot is tartalmazó lemetszett √ síkidom területét x függvényeként. Határozzuk meg a területet, ha x = 22 illetve x = 2. 22. Határozzuk meg az f (x) = ax3 + bx2 + cx + d racionális egész függvény együtthatóit, ha f (−1) = 0, f (0) = 2, f (1) = −3 és f (2) = 5. 23. Milyen a érték mellett lesz az f (x) = egyenlõ egy másodfokú függvénnyel?
x3 +ax2 +2x 2x−1
függvény az x =
24. Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát: (a) (b) (c)
x2 , 1+x
√
5 − 2x, q 3
2x , x2 −2x+2
(d) log2 log3 log4 x, 8
1 2
hely kivételével
2
, (e) lg xx2 −5x+6 +4x+6 (f) ln(sin(ln x)), (g) 1 − cot x, √ (h) 3x − x3 ,
2x , (i) arcsin 1+x
(j) lg(sin πx ). 25. Mi az értelmezési tartománya a következõ függvényeknek, ha Df = [0, 1]? (a) f (x − 5),
(b) f (4x),
(c) f (−x), (d) f (sin x), (e) f (tan x). 26. A függvénytranszformációk segítségével ábrázoljuk az alábbi függvényeket! (sin x, −π ≤ x ≤ 0, (a) f (x) =
2,
1 , x−1
(b) sin2 x, (c)
2x+5 , x+1
(d) 3 cos x −
√
0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 4.
3 sin x,
(e) ||x| − 1|.
27. Határozzuk meg azokat az x értékeket, amelyekre f (x) = 0, f (x) > 0 és f (x) < 0: (a) x − x3 ,
(b) (x + |x|)(1 − x), (c) sin πx .
28. Határozzuk meg az f (x) függvényt, ha f (x + x1 ) = x2 +
1 . x2
29. Keressük meg az alábbi függvények monotonitási tartományait: (a) ax + b, (b) ax2 + bx + c, (c)
ax+b , cx+d x
(d) a ,
(a > 0).
30. Lehet-e egyenlõtlenséget logaritmálni? 9
31. Határozzuk meg az alábbi függvények inverzét a megadott intervallumokon. (a) 2x + 3, (b) x , 2
(c)
(−∞, ∞),
(−∞, 0),
1−x , 1+x
x 6= −1.
32. Adjuk meg a következõ függvények paritását. (a) 3x − x3 ,
1−x , (b) ln 1+x
(c) ax + a−x ,
(a > 0).
33. Rajzoljuk fel az ln(−x) és − ln x függvények grafikonját!
4.
Függvények határértéke
4.1. Definíció. Az f függvénynek x0 -ban c a határértéke, ha az x elég közel van x0 -hoz, akkor az f (x) függvényértékek tetszõlegesen közel kerülnek c-hez, vagyis ∀ε > 0, ∃δ(ε, x0), ∀x, x0 6= x ∈ G(x0 , δ) : f (x) ∈ G(c, ε). Megjegyzés. Mûveleteket, rendõrelvet és további tulajdonságokat lásd a 2.1, 2.3. és . . . Tételekben. 34. Definíció szerint határozzuk meg az adott függvény határértékét az adott helyen! Adjunk δ-t az ε értékhez! √ (a) x, x0 = 1, ε = 41 , √ (b) 1 − x2 , x0 = 0, ε > 0 tetszõleges, (c)
(d) (e)
1 , x0 = x2 1 , x0 = x2 4x+2 , x3 +2x2 +7x
−2,
−∞,
ε > 0 tetszõleges,
ε > 0 tetszõleges,
x0 = 0,
ε > 0 tetszõleges.
35. Számítsuk ki a következõ határértékeket: √ (a) lim x2 + 3x + 12, x→8
x2 −1 2 −x−1 , 2x x→0
(b) lim
4x2 +3x−1 , 2 x→∞ 2x −x+1 lim √ x2 , x→∞ x +1
(c) lim (d)
(e) lim
x→1
x3 −x2 −x+1 , x3 +x−2
x2 −2x−3 2 −5x+6 , x x→3
(f) lim
10
x4 −3x+2 , 5 x→1 x −4x+3
(g) lim (h) lim
x→1
(i) lim
x→0
(j) lim
x→5
(k) lim
x→5
(l) lim
x→0
xn −1 , x−1 √ 1+x2 −1 , 2x √ x−1−2 , x−5 √ 2− x−1 , 2 x −25 1−cos x , x2
(m) lim
x→0
sin 3x , x
(n) lim
sin 2x , 3x
(o) lim
tan x , x
x→0
x→0
(p) lim x cot 3x, x→0
(q) lim ( x+2 )1+2x , x−1 x→∞
)x+2 , (r) lim ( 2x+3 1+2x x→∞
(s) lim (1 + 3 tan x)cot x , x→0
(t) lim x sin πx , x→∞
√ √ √ x+ 3 x+ 4 x √ , 2x+1 x→∞
(u) lim (v) (w)
lim 21/(x+1) ,
x→−1−
lim 21/(x+1) ,
x→−1+
x2 −1 , |x−1| x→0
(x) lim
(y) lim
x→a
5.
sin x−sin a . x−a
Függvények folytonossága
5.1. Definíció (Cauchy-féle). Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az x0 pontban, ha ∀ε > 0, ∃δ(ε, x0 ), ∀x ∈ G(x0 , δ) : f (x) ∈ G(f (x0 ), ε). Az f függvény folytonos (a, b) intervallumon, ha folytonos minden x0 ∈ (a, b) pontban. 5.1. Tétel. Az f függvény pontosan akkor folytonos az x0 pontban, ha ∃ lim f (x) = f (x0 ). x→x0
11
5.2. Definíció. Az f függvény balról (jobbról) folytonos az x0 pontban, ha lim
x→x0 −(+)
f (x) = f (x0 ).
5.3. Definíció. Ha az f függvény nem folytonos x0 pontban, akkor szakadási helye van. Ezek típusa: • megszûntethetõ, ha ∃ lim f (x), ∃ lim f (x), de lim f (x) 6= lim f (x), x→x0 −
x→x0 +
x→x0 −
x→x0 +
• elsõrendû pólus, ha legalább az egyik féloldali határérték nem létezik, • lényeges szingularitás, ha egyik féloldali határérték sem létezik. 36. Az értelmezési tartományuk mely pontjában folytonosak az alábbi függvények? n 2x − 1, x ≤ 1, (a) f (x) = 2 x − 5x, x > 1, (sin πx, x < 2, (b) f (x) = (c) f (x) =
2,
1 , x−2 lim 1 n , n→∞ 1+x
x = 2, x > 2,
x ≥ 0,
n sin x , x 6= 0, (d) f (x) = |x| 1, x = 0, n| sin x |, x 6= 0, x (e) f (x) = 1, x = 0, 1 n x 6= 1, 1 , 1+e x−1 (f) f (x) = tetszõleges, x = 1. 37. Határozzuk meg – ha lehetséges – az a és b paraméterek értékét úgy, hogy a függvény mindenütt folytonos legyen. ( −x2 − ax + 4, x− < 2, (a) f (x) =
38.
6, −2x + b,
x = −2, x > −2,
( −x2 − 6x + 4, x− < 2, −2 ≤ x ≤ 3, (b) f (x) = √ax + b, 2x + 3, x > 3, nx sin 1 , x 6= 0, x (c) f (x) = a, x = 0, n cos x, x ≤ 0, (d) f (x) = a(x − 1), x ≥ 0.
• Lehetséges-e, hogy nem folytonos függvények összege, illetve szorzata folytonos? 12
• Adjunk olyan függvényt, amely sehol sem folytonos, a négyzete azonban mindenütt az R valós számegyenesen. • Igaz-e, hogy ha f folytonos, g nem folytonos, akkor f + g és f g biztosan nem folytonos? 39. Vizsgáljuk meg a következõ függvényeket, hogyan viselkednek a szakadási helyek környezetében és a végtelenben. (Számítsuk ki a megfelelõ – féloldali – határértékeket!) Osztályozzuk a szakadási helyek típusát! (a) (b) (c)
x2 +2x−3 , x2 +5x+6 1 , x2 −9 3 , x−1 1/(x+1)
(d) 3 (e) (f) (g) (h) (i) 40.
,
| |x−3| |, x−3
(x−2)2 , x2 −5x+6 1 , sin 2x x , sin x arctan x1 .
• Van-e valós megoldása a sin x − x + 1 = 0 egyenletnek?
• Bizonyítsuk be, hogy van legalább egy valós megoldása az a0 x2n+1 + a1 x2n + · · · + a2n x + a2n+1 = 0 egyenletnek, ahol ak ∈ R, a0 6= 0.
6.
Differenciálszámítás
Ismétlés: Negatív- és törtkitevõ: Legyen q ∈ R, ekkor a−q = 1/aq
és
√ q
a = a1/q .
A logaritmus függvény egy azonossága: Legyen 0 < a, b, c 6= 1, ekkor
logc b . logc a Az ex és ln x függvények egymás inverzei, azaz loga b =
q = eln q ,
∀q > 0.
6.1. Definíció. Egy valós f függvény (f : R → R) differenciálhányadosát egy x0 (∈ Df ) pontban a f (x0 ) − f (x) f (x0 + h) − f (x0 ) lim = lim x→x0 h→0 x0 − x h ′ határértékkel definiáljuk, és f (x0 )-lal jelöljük. Az f függvény deriváltfüggvényét minden olyan pontban értelmezzük, ahol ∃f ′ (x0 ), és értékének f ′ (x0 )-lal adjuk meg. 13
6.1. Tétel. Alapfüggvények deriváltja: • (xq )′ = qxq−1 bármely q ∈ R számra; • (sin x)′ = cos x,
(cos x)′ = − sin x,
• (ex )′ = ex , • (ln x)′ = 1/x. 6.2. Tétel (Deriváltfüggvény és mûveletek). Legyen c ∈ R és f, g differenciálható függvény valamely intervallumon. Ekkor • (f ± g)′ = f ′ ± g ′, • (cf )′ = c · f ′ , • (f g)′ = f ′ g + f g ′ , • (f /g)′ = (f ′ g − f g ′)/g 2 , • (f −1 )′ =
1 . f ′ (f −1 )
• Ha g differenciálgató x-ben, és f differenciálható g(x)-ben, akkor az összetett függvényre: (f (g(x)))′ = f ′ (g(x)) · g(x) láncszabály. Megjegyzés. További függvények differenciálhányadosa: • (arcsin x)′ =
√ 1 1−x2
• (arctan x)′ =
1 1+x2
• tipikus hiba: (ef (x) )′ 6= ef (x) !!! (ef (x) )′ = ef (x) · f ′ (x), tehát összetett függvényként deriváljuk (jelölés: exp(x) = ex ). 41. A definíció alapján határozza meg a következõ függvények differenciálhányadosát az adott pontokban. (a) f (x) = x2 , x0 = 2, −3, a, √ (b) g(x) = x, x0 = 2, −3, a(> 0), (c) h(x) =
(d) i(x) =
2x−1 , x−3 1 , x0 x
x0 = 2, −3, a(6= 3),
= 2, a.
42. Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét úgy, hogy a függvény mindenütt differenciálható legyen. ( −x2 + ax + b, x < 2, 2, x = 2, f (x) = 2 2ax − 12x + c, x > 2. 14
43. Deriváljuk a következõ függvényeket. √ √ (a) x + x + 3 x, qp √ x, (b) (c) x sin x,
(d)
6x+3 , 4x−3
(e)
(2−x2 )(3−x3 ) , (1−x)2
(f) sinn x cos nx, (g) ln √1x , p √ (h) x + x,
(i) tan x2 − cot x2 ,
(j) sin(sin(sin x)), (k) e3x−7 , (l) 2x+
√ 3
x
,
(m) x5 5x , (n) log3 ln x, (o) xx , x
(p) ee , q (q) ln 1+x , 1−x
(r) (sin x)cos x ,
(s) sin xcos x , (t) logsin x cos x.
6.1.
L’Hospital-szabály
6.3. Tétel. Legyen f és g két olyan függvény, melyre lim f (x) = 0 = lim g(x) valamely x→x0
x0 pontban és g ′ (x) 6= 0. Ekkor
x→x0
f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→x0 g(x) x→x0 g (x) lim
Megjegyzés. A fenti tételt általában "0 · ∞" típusú határérték esetében alkalmazzuk. Azonban a tétel csak hányadosra alkalmazható! 44. Határozzuk meg a következõ határértékeket. x2 −5x+6 3 −2x2 −x+2 , x x→2
(a) lim
15
(b) lim
x→0
ex −e−x , x
ln x , x→∞ x
(c) lim
(d) lim x ln x, x→0+
(e) lim xe−x , x→∞
(f) lim ( ln1x − x→1
1 ), x−1
(g) lim xx . x→0+
6.2.
Függvénydiszkusszió
Lépései: • Df • ZHf és T Pf • paritás • határértékek (a Df határpontjaiban) • f ′ , Df ′ , ZHf ′ • f ′′ , Df ′′ , ZHf ′′ • táblázat • grafikon • Rf 45. Ábrázoljuk a következõ függvényeket. (a) f (x) = x3 − 4x2 + 4x, x , 1+x2
(b) g(x) =
(c) h(x) = x + x1 , (d) i(x) = (e) j(x) =
x , x2 −1
x2 , (x−1)2
(f) k(x) = xe−x , (g) l(x) = x2 ln |x|,
(h) m(x) = (i) n(x) =
x , ex (x−1)
p 3 (x − 2)2 − 1. 16
7.
Taylor-polinom
7.1. Definíció. Egy f függvény x0 pont körüli Taylor-sora: Tf (x0 ) =
∞ X f (n) (x0 )
n!
n=0
(x − x0 )n .
Megjegyzés. Taylor-polinom: véges Taylor-sor. 7.1. Tétel. Nevezetes 0-körüli Taylor-sorok: • ex =
∞ P
n=0
∞ P
• sin x =
n=0
• cos x = •
1 1−x
=
xn , n!
x2n+1 , (2n+1)!
∞ P
n=0
∞ P
x2n , (2n)!
xn ,
ha |x| < 1,
n=0
• ln(1 − x) =
∞ P
xn , n
n=1
ha |x| < 1.
1 46. Adjuk meg a nevezetes Taylor-sorokat! ( 1−x , ln(1 − x), ex , sin x, cos x)
47. Írjuk fel a P (x) = 1 + 3x + 5x2 − 2x3 polinomot x + 1 hatványai szerint (nemnegatív egész kitevõkkel). 48. Írjuk fel az alábbi függvényeket olyan kifejezések alakjában, amelyek a megadott fokú tagig bezárólag az x változó nemnegatív egész kitevõs hatványait tartalmazzák. (a)
x , ex −1
x4 ,
(b) ln cos x, (c) tan x, (d) ln sinx x ,
x6 , x5 , x6 .
49. Fejezzük ki az f (x) = segítségével.
√
x függvényt x − 1 hatványaiból álló háromtagú összeg
50. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi kifejezések értékét, becsüljük meg a hibát is. √ (a) 3 30, √ (b) 5 250, √ (c) e, (d) ln 1, 2, 17
(e) arctan 0, 8, (f) 1, 11,2 . 51. Számoljuk ki a megadott függvényértéket az adott pontossággal. (a) e,
10−9 ,
(b) sin 1◦ , (c) lg 11,
10−8 , 10−5 .
52. Határozzuk meg a határértékeket. cos x−e−x x4 x→0
(a) lim
2 /2
,
ex sin x−x(1+x) , x3 x→0
(b) lim
ax +a−x −2 , x2 x→0
(c) lim
(d) lim ( x1 − x→0
(a > 0),
1 ), sin x
(e) lim x1 ( x1 − cot x), x→0
1−(cos x)sin x . x3 x→0
(f) lim
8.
Horner-elrendezés
Ha ki akarjuk számolni egy p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an polinom helyettesítési értékét valamely c pontban, akkor általában a p(c) = (. . . (((a0 c + a1 )c + a2 )c + a3 )c + · · · + an−1 )c + an módszerrel számolunk, mert ez csak n szorzással és n összeadással jár, vagyis az egyik leggyorsabb. A Horner-eljárás felhasználható polinomok lineáris függvénnyel való osztására, differenciálásra és polinomok átrendezésére x − c hatványai szerint. Ezekhez szükségünk lesz a következõ táblázatra: a0 b0 c0 d0 .. .
a1 b1 c1 d1 .. .
... ... ... ... .. .
an−2 bn−2 cn−2 dn−2 .. .
18
an−1 bn−1 cn−1 . .. .
an bn . . .. .
c c c c .. .
• A táblázat elsõ sora adott, hiszen {ak : k = 0, 1, . . . , n} a p(x) polinom együtthatói, c pedig a lineáris függvény zérushelye, ami ismert. • A táblázat elsõ oszlopát számolás nélkül kitölthetjük, mert mindenhová az a0 értéket kell írni, tehát b0 = c0 = · · · = a0 . • A bk (k = 1, 2, . . . , n) értékek kiszámítása: bk = bk−1 c + ak . • A ck (k = 1, 2, . . . , n − 1) értékek kiszámítása: ck = ck−1 c + bk . • A dk (k = 1, 2, . . . , n − 2) értékek kiszámítása: dk = dk−1 c + ck . • és így tovább... Ha a feladatunk lineáris függvénnyel való osztás volt, akkor p(x) = q(x)(x − c) + bn ,
ahol q(x) = b0 xn−1 + b1 xn−2 + · · · + bn−1 .
Tehát a táblázat második sora a hányados polinom együtthatóit, illetve az osztás maradékát adja. A p(x) polinom x − c hatványai szerinti átrendezéshez úgy jutunk, hogy a q(x) hányadospolinomot újra elosztjuk x − c-vel, és ezt az eljárást folytatjuk egészen addig, amíg a hányadospolinom kitevõje 0-nál nagyobb. Azonban a fenti táblázatunkkal ez is sokkal egyszerûbb. Most már szükségünk lesz a ck , dk , . . . értékekre is. A p(x) polinom alakja a következõ alakot ölti átrendezés után: p(x) = bn + cn−1 (x − c) + dn−2 (x − c)2 + . . . , tehát a táblázat mellékátlójában lévõ értékeket használjuk. Figyeljük meg, hogy az elõzõ összefüggéssel lényegében a p(x) polinom Taylor-sorát kaptuk, ami egyértelmû, és együtthatóit a n X p(k) (c) Tp (x) = (x − c)k k! k=0
összefüggéssel kapjuk. Most már könnyen meg tudjuk határozni a p(x) polinom tetszõleges rendû deriváltjának helyettesítési értékét a c helyen: p′ (c) = 1!cn−1 ,
p′′ (c) = 2!dn−2,
...
53. Legyen p(x) = 2x4 − x3 − 8x2 + 3x + 3. (a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken. (b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x − 2 polinomok hányadosát és adjuk meg az osztás maradékát is. (c) Rendezzük át a p(x) polinomot x − 1, illetve x − 2 hatványai szerint.
(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2 helyeken. 19
54. Legyen p(x) = 3x4 + 5x3 − 2x2 + x − 2. (a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken. (b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x − 2 polinomok hányadosát és adjuk meg az osztás maradékát is. (c) Rendezzük át a p(x) polinomot x − 1, illetve x − 2 hatványai szerint.
(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2 helyeken. 55. Legyen p(x) = x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3. (a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken. (b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x − 2 polinomok hányadosát és adjuk meg az osztás maradékát is. (c) Rendezzük át a p(x) polinomot x − 1, illetve x − 2 hatványai szerint.
(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2 helyeken.
9.
Lagrange-interpoláció
Korábban foglalkuztunk már függvények közelítésével. Ha azt szeretnénk, hogy egy polinom –a függvény értelmezési tartományán belül– valamely pontban közelítse az adott függvényünket, akkor fel kell írni a függvény adott pont körüli Taylor-polinomját. Ha azonban olyan polinomot keresünk, amelynek elõre adott pontokban meg kell egyeznie a függvényértékekkel, akkor már interpolálni kell a függvényt. Egy ilyen, minimális fokszámú polinomot kapunk a Lagrange-interpoláció segítségével. Legyen f (x) tetszõleges függvény és x0 , x1 , . . . , xn ∈ Df az úgynevezett alappontok, amelyekben az egyenlõséget szeretnénk. Elõször olyan polinomot fogunk felírni, amely pontosan az egyik alappontban 1 értéket vesz fel, az összes többi alappontban pedig eltûnik (vagyis 0 értéket vesz fel): lk (x) :=
n Y
x − xj , x k − xj j:k6=j=0
k = 0, 1, . . . , n,
Q P ahol a a megfelelõje összeadás helyett szorzásra, amit produktumnak ejtünk. Figyeljük meg, hogy ha x = xk akkor a szorzat minden tényezõje 1, hiszen a számláló és a nevezõ megegyezik, ha x = xl , ahol l 6= k, akkor lesz olyan tényezõ, aminek a számlálója nulla, és ezért az egész szorzat is 0. Ezen elõkészület után a p(x) interpolációs polinom alakja: p(x) =
n X
f (xk )lk (x).
k=0
20
56. Adjuk meg azt a (legfeljebb) harmadfokú polinomot, amely megegyezik a vénnyel a 0, 1, 4 és 9 pontokban.
√
x függ-
57. Határozzuk meg azokat a (legfeljebb) harmadfokú polinomokat, amelyek megegyeznek a sin x, illetve cos x függvénnyel a 0, π/2, π és 2π pontokban. 58. Adjuk meg azt a√(legfeljebb) √ negyedfokú √ √ polinomot, amely megegyezik az arctan x függvénnyel a − 3, −1/ 3, 0, 1/ 3 és 3 pontokban.
10.
Newton-Raphson módszer és húrmódszer
A címben jelzett két eljárás függvények zérushelyének közelítésére szolgál. A másodfokú polinomok megoldóképletét már középiskolában megtanulja mindenki. A harmadés negyedfokú polinomra is ismertek megoldóképletek, azonban azt is tudjuk, hogy ennél magasabb fokszám esetében már nem létezik általános megoldóképlet. Tehát már polinomok esetében sem tudjuk pontosan meghatározni a zérushelyeket.
10.1.
Newton-Raphson módszer
Egy f függvény valamely c zérushelyének közelítését így határozhatjuk meg (ε pontosággal): Kiindulva egy c0 számból addig képezzük a ck+1 = ck −
f (ck ) , f ′ (ck )
k = 0, 1, 2, . . .
számsorozat elemeit, amíg |ck − ck−1| > ε. Szemléletesen úgy kapjuk a ck pontból a ck+1 -et, hogy a függvényhez érintõt húzunk a ck pontban, és ennek az egyenesnek határozzuk meg az x-tengellyel vett metszetét. Ha az f függvény kétszer differenciálható, akkor meg tudjuk mondani a közelítésünk hibáját is. Tegyük fel, hogy f (c) = 0, f ′(ck ) 6= 0 és ∃f ′′ (x) a c és ck pontok között, ekkor ck+1 − c =
f ′′ (ξ) (ck − c)2 , ′ 2f (ck )
ahol ξ a c és ck között van. √ Megjegyzés. Ha az f függvény xn − a alakú, akkor lényegében az n a értékeit határozzuk meg az eljárásunkkal. A meglepõ, hogy tetszõleges szám összes n-edik gyökét meg tudjuk határozni, tehát a komplexeket is. A módszer iterációs lépése ekkor a következõ alakot ölti: a 1 ck + n−1 . ck+1 = 1 − n nck 59. Legyen f (x) = x3 +3x2 +x−4 és c0 = 1. A Newton-Raphson módszerrel határozzuk meg a c1 és c2 közelítéseket. Becsüljük meg c2 hibáját.
60. Legyen f (x) = x5 + x − 0, 5 és c0 = 0, 5. Bizonyítsuk be, hogy a ck számsorozat a függvény valós gyökéhez konvergál. 61. Határozzuk meg az x4 − 4x3 + 2x2 − 7x + 4 = 0 egyenlet komplex gyökeit. Kezdõértéknek vegyük c1 = 0, 4 + 0, 8i és d1 = 1, 4 + 1, 3i komplex számokat. 21
10.2.
Húrmódszer
Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos az [a, b] véges és zárt intervallumon (jelben: f ∈ C([a, b])). Ekkor a függvénynek van zérushelye az adott intervallumban, amit a következõ iterációval tudunk közelíteni: ck+1 = ck − f (ck )
ck − ck−1 , f (ck ) − f (ck−1 )
k = 1, 2, . . . ,
ahol kezdetben c0 = a, c1 = b. Ha meghatároztuk a c2 értékét és f (c2 ) 6= 0, akkor a következõ iterációhoz úgy választjuk meg c1 -et az a és b közül, hogy f (c1 ) és f (c2 ) elõjele ellenkezõ legyen. Szemléletesen tehát úgy kapjuk a ck+1 értéket, hogy meghatározzuk az f (ck−1) és f (ck ) pontokat összekötõ húr metszetét az x-tengellyel. 62. Legyen f (x) = x3 + 3x2 + x − 4 és a = 0, b = 1. Határozzuk meg a c2 és c3 közelítéseket. 63. Az f (x) = x5 +x−0, 5 polinom egyetlen valós zérushelyét közelítsük az a = 0, b = 1 értékekbõl kiindulva. Adjuk meg a c2 és c3 számokat.
11.
Határozatlan integrálás
A határozatlan integrált gyakran nevezik antideriváltnak is. 11.1. Definíció. Egy (a, b) ⊂ R intervallumon értelmezett f (x) függvény primitív függvényének nevezzük azt az F (x) függvényt, amelyre F ′ (x) = f (x) teljesül minden x ∈ (a, b) esetén. Megjegyzés. Az f függvény primitív függvényei konstansban térnek el. 11.2. Definíció. Az f függvény határozatlan integrálja: az F primitív függvények halmaza. Jelölés. Az f határozatlan integrálja: Z f (x)dx = F (x) + c, ahol c ∈ R tetszõleges. Az f (x)-et integrandusnak nevezzük. 11.1. Következmény. Ha egy deriváltfüggvényt határozatlanul integrálunk, akkor az eredeti függvény konstanssal való eltoltjait kapjuk: Z F ′ (x)dx = F (x) + c. 11.1. Tétel. Alapfüggvények integrálja: R q+1 • xq dx = xq+1 + c minden q ∈ R\{−1}-re 22
• • • • • •
R
R
R
R
R
R
1 x
dx = ln |x| + c, ha x 6= 0
sin xdx = − cos x + c cos xdx = sin x + c ex dx = ex + c √ 1 1−x2 1 1+x2
dx = arcsin x + c
dx = arctan x + c
Megjegyzés. Ha ez nem okoz félreértést, akkor –a differenciáláshoz hasonlóan– az x argumentumot és a dx-et sem írjuk ki. 11.2. Tétel (Mûveletek és integrálás). Legyen c ∈ R és f, g integrálható függvény. Ekkor R R R • f +g = f + g R R • c·f =c f
11.1.
Helyettesítéssel való integrálás
Ezt a módszert akkor alkamlazzuk, ha az integrandusban egy adott függvény, és annak deriváltja is megtalálható. Megjegyzés. Emlékeztetünk az összetett függvény differenciálási szabályára: (f (g(x)))′ = f ′ (g(x)) · g ′(x). Ha most az egyenlõség mindkét oldalát integráljuk, akkor megkapjuk a helyettesítéssel való integrálás szabályát: Z Z ′ ′ f (g(x)) · g (x)dx = f ′ (y)dy = f (y) + c, ahol y = g(x),
dy = g ′ (x)dx
Megjegyzés. Jegyezzük meg az alábbi összefüggéseket: Z f q+1 + c, q 6= −1 f qf ′ = q+1 Z ′ f = ln |f | + c f 64. Határozzuk meg a következõ integrálokat. R dx (a) x+a , 23
(b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r)
R
(2x − 3)10 dx, R√ 3 1 − 3x dx, R dx , (5x−2)5/2 R √5 1−2x+x2 dx, 1−x R −x (e + e−2x ) dx, R dx , 1−cos x R dx , 1+cos x R dx , 1+sin x R dx √ , (1+x) x R −x2 xe dx, R dx √ , x x2 +1 R dx √ , x x2 −1 R x dx, (x2 +1)3/2 R tan x dx, R ln2 x dx, R x1 1+x ln 1−x dx, 1−x2 R cos3 x dx. sin x
65. Az x = a sin t, x = a tan t, x = a sin2 t, . . . trigonometrikus helyettesítések segítségével határozzuk meg a következõ integrálokat: R (a) (1−x12 )3/2 dx, R 2 (b) √xx2 −2 dx, R√ (c) c2 − x2 dx, ahol c > 0, R (d) (x2 +c12 )3/2 dx, ahol c > 0, R q c+x dx, ahol c > 0, (e) c−x Rp (x − c)(x − d)dx, ahol c, d > 0. (f)
11.2.
Parciális integrálás
Ezt a módszert akkor használhatjuk, ha az integrandus szorzat alakú. Megjegyzés. Emlékeztetünk a szorzatfüggvény differenciálási szabályára: (f g)′ = f ′ g + f g ′
24
Mindkét oldal integrálásával, és egy egyszerû egyenletrendezéssel kapjuk az Z Z ′ f g = f g − f g′ + c összefüggést.
66. Adjuk meg a következõ intégrálok értékét. R (a) ln x dx, R (b) xn ln x dx, R (c) ( lnxx )2 dx, R (d) xe−x dx, R√ (e) x ln2 x dx, R (f) x cos x dx, R (g) x2 sin 2x dx.
11.3.
Racionális törtfüggvények
Legyen a(x) és b(x) két tetszõleges polinom, ekkor az
R
a(x) dx b(x)
értékének meghatározása:
1. ha a∗ ≥ b∗ , akkor alkalmazzunk polinomosztást (, ahol a∗ az a polinom fokszáma), 2. ha a∗ < b∗ , akkor tekintsük a b polinomot, (a) ha b-nek van zérushelye, akkor hozzuk szorzat alakra (, ahol a tényezõk elsõfokú, és valós gyökkel nem rendelkezõ másodfokú polinomok), majd az integrandust írjuk fel összeg alakban, (b) b∗ = 2 és nincs valós zérushelye. 67. Számítsuk ki a következõ integrálok értékét összegre bontás segítségével. R x2 (a) x+1 dx, R (1+x)2 (b) 2 dx, R 1+x 1 (c) (x−1)(x+3) dx, R 1 dx, (d) x2 +x−2 R 1 (e) (x2 +1)(x 2 +2) dx, R x dx, (f) (x+2)(x+3) R (g) sin2 x1cos2 x dx, R x10 dx, (h) x2 +x−2 R x3 +1 (i) x3 −5x2 +6x dx, R (j) x3x−1 dx, R (k) x41−1 dx. 25
11.4.
Trigonometrikus integrálás
A sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
addiciós képletek és a
sin2 x + cos2 x = 1 Pitagorasz tétel segítségével egy szorzatot mindig át tudunk írni összeg alakra, és fordítva. R Megjegyzés. Az sinm x cosn xdx integrál rekurzióval is könnyen számolható.
11.3. Tétel. Jelöljön R(u, v) egy racionális függvényt. Ekkor az Z R(sin x, cos x)dx integrál visszavezethetõ racionális függvény integrálására a tan
x =t 2
helyettesítéssel. Megjegyzés. A fenti helyettesítés esetén sin x =
2t , 1 + t2
cos x =
1 − t2 1 + t2
68. Számítsuk ki a következõ integrálokat: R (a) cos5 xdx, R (b) sin6 xdx, R (c) sin2 x cos4 xdx, R (d) sin4 x cos5 xdx, R (e) sin5 x cos5 xdx, R sin3 x (f) cos 4 x dx, R cos4 x (g) sin3 x dx, R (h) cos13 x dx, R (i) sin14 x dx, R (j) sin4 x1cos4 x dx, R (k) sin3 x1cos5 x dx, R (l) √sin3 x1 cos5 x dx, R (m) tan5 xdx, R (n) tan16 x dx, R 1 dx, (o) √tan x
26
és dx =
2 dt. 1 + t2
(p)
R
1 √ 3 tan x
dx.
69. Az addiciós képletek segítségével számítsuk ki az alábbi integrálokat: R (a) sin 5x cos xdx, R (b) cos x cos 2x cos 3xdx, R (c) sin x sin x2 sin x3 dx, R (d) cos2 cx cos2 dxdx, ahol c, d ∈ R, R (e) sin3 2x cos2 3xdx. 70. Határozzuk meg a következõ integrálokat: R 1 (a) 2 sin x−cos dx, x+5 R (b) (2+cos1x) sin x dx, R sin2 x (c) sin x+2 dx, cos x R sin2 x (d) 1+sin2 x dx, R sin x cos x dx, (e) sin x+cos x R sin x (f) sin3 x+cos 3 x dx, R (g) sin4 x1cos4 x dx, R sin2 x−cos2 x (h) sin 4 x+cos4 x dx, R sin x cos x dx. (i) 1+sin4 x
11.5.
Vegyes feladatok
71. Vezessük vissza alapintegrálokra a következõ kifejezéseket. R (a) (3 − x2 )3 dx, R (b) x2 (5 − x)4 dx, R (c) ( 1−x )2 dx, x R √ dx, (d) x+1 x p √ R (e) (1 − x12 ) x x dx, R x2 (f) 1+x 2 dx, R x2 (g) 1−x2 dx, R (h) (2x + 3x )2 dx, R√ (i) 1 − sin 2x dx, R (j) tan2 x dx, R 1 dx, (k) x2 +x+1 27
(l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1 dx, x2 −x+2 x dx, x4 −2x2 −1 x+1 x2 +x+1 xex (x+1)2
dx, dx,
x5 x6 −x3 −2
dx,
1 3 sin2 x−8 sin x cos x+5 cos2 x
dx,
√ 1 dx, x+x2 √ x dx, 5+x−x2 cos x dx. 1+sin x+cos2 x
72. Egy alkalmas változó racionális függvényeire visszavezetve oldjuk meg: R (a) 1+1√x dx, R x √3 2+x √ (b) x+ dx, 3 2+x R 1− √3 1+x (c) 1+ √3 1+x dx, √ R √ √x−1 dx. (d) √x+1− x+1+ x−1
73. Számítsuk ki az alábbi integrálokat: R (a) (1+e1 x )2 dx, R e2x (b) 1+e x dx, R 1 (c) √ex −1 dx, R q ex −1 dx, (d) ex +1 R 3 3x (e) x e dx, R (f) (x2 − 2x + 2)e−x dx, R (g) x5 sin 5xdx, R (h) xex sin xdx, R (i) lnn xdx, R (j) x3 ln2 xdx, R (k) ( lnxx )3 dx, R (l) x arctan(x + 1)dx, R √ (m) arcsin xdx, R 1+x (n) x ln 1−x dx.
28
12.
Határozott integrálás
12.1. Definíció. Egy az (a, b) ⊂ R intervallumon értelmezett függvény határozott integrálján a görbe alatti –elõjeles– terültet értjük. Jelölés. Az f függvény határozott integrálja az (a, b) intervallumon: Z b f (x)dx. a
12.1. Tétel (Newton-Leibniz formula). Ha az f függvény folytonos az (a, b) intervallumon, és F ′ (x) = f (x), akkor Z b h ib f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). x=a
a
12.2. Tétel (Parciális integrálás). Ha f, g ∈ C(a, b), akkor Z b h ib Z b ′ f ′g fg = fg − a
a
a
12.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás). Tegyük fel, hogy • f ∈ C(a, b), • ϕ(t), ϕ′ (t) ∈ C(α, β) és ϕ(a) = α, ϕ(b) = β, • f (ϕ(t)) ∈ C(α, β), ekkor
Z
a
b
f (x)dx =
Z
β
f (ϕ(t))ϕ′ (t)dt. α
74. Számítsuk ki a következõ határozott integrálokat és rajzoljuk fel a megfelelõ görbével határolt területeket: (a)
R8 √ 3
xdx,
−1
(b)
Rπ
sin xdx,
0
(c) (d)
√ 1/R 3 √
−1/2 R
R2 0
dx,
3
1/2
(e)
1 1+x2
√ 1 1−x2
dx,
|1 − x|dx. 29
75. Keressük meg a következõ határértékeket: , (a) lim n12 + n22 + · · · + n−1 n2 n→∞ 1 1 1 , + n+2 + · · · + 2n (b) lim n+1 n→∞ (c) lim n2n+1 + n2n+4 + · · · + 2nn2 , n→∞ (n−1)π + · · · + sin , (d) lim sin nπ + sin 2π n n n→∞ p p +···+np (e) lim 1 +2np+1 , ahol p > 0. n→∞
76. Parciális integrálással számítsuk ki az alábbi integrálokat: (a) (b)
ln R2
0 π R
xe−x dx,
x sin xdx,
0
(c) (d) (e)
R2π
x2 cos xdx,
0 Re
1/e √ R3
| ln x|dx, arctan xdx.
0
77. Helyettesítéssel határozzuk meg az integrálok értékét: (a)
R1
−1
(b)
Ra 0
(c)
(e)
1 √ (x+1) x2 +1
ln R 2√ 0
R1
−1
dx,
√ x2 a2 − x2 dx,
3/4 R 0
(d)
√ x 5−4x
dx,
ex − 1dx,
1+x2 1+x4
dx (segítség: itt legyen t = x − x1 ).
78. Számítsuk ki: (a)
R1 0
x(2 − x2 )12 dx,
30
(b)
R1
x x2 +x+1
−1
(c)
Re
dx,
(x ln x)2 dx,
1
(d)
R9 √ x 3 1 − xdx, 1
(e)
R3
arcsin
0
(f)
R2π 0
(g) (h)
x 1+x
dx,
1 (2+cos x)(3+cos x)
π/2 R
0 Rπ
p
dx,
sin x sin 2x sin 3xdx,
(x sin x)2 dx,
0
(i)
Rπ
ex cos2 xdx.
0
12.1.
Improprius integrál
12.2. Definíció. Ha az (a, b) intervallumon az f (x) függvény nem korlátos, vagy az intervallum hossza végtelen, esetleg mindkettõ egyszerre teljesül, akkor az Z b f (x)dx a
integrált improprius integrálnak hívjuk. Megjegyzés. Kiszámítása: visszavezetjük a szokásos határozott integrálra: • Ha a függvény nem folytonos az (a, b)-on, akkor legyen c a szakadási helye, és használjuk, hogy az integrálás additív, vagyis Z b Z c Z b f= f+ f, a
a
c
ekkor a jobboldalon álló két integrál értékét már meg tudjuk határozni. • Ha az intervallum végtelen, akkor az F (∞) értelmetlen kifejezés helyett a lim F (x) x→∞
határértéket kell írni és kiszámolni (, ahol F az f egy primitív függvénye).
12.3. Definíció. Ha az integrál véges, akkor konvergensnek, ha végtelen, akkor divergensnek nevezzük. R Megjegyzés. Az a(x) dx integrál csak akkor konvergens valamely végtelen intervallub(x) ∗ ∗ mon, ha b − a > 1. 31
79. Állapítsuk meg, hogy az alábbi integrálok konvergensek-e, és ha igen, határozzuk meg az értéküket. (a)
R2
√ 1 4−x2
0
(b)
R0
√ 5
−3
(c)
R2 √ 3
dx,
1 (x+2)4
dx,
2x−1/3 dx,
0
(d) (e)
R1
x−2/3 dx,
−1 √ 3 R2 0
(f) (g) (h)
R1
0 R∞
(j)
2
(x −1)2
dx,
√ x arcsin √ dx, 1−x
e−x dx,
0 R∞
−∞
(i)
3x √ 7 3
R0
√ 1 dx, 1+x2
e2x dx,
−∞ R∞
xe−x dx,
0
(k)
R∞ 2
(l)
R∞ 0
(m)
R2 1
(n)
R1 0
(o)
R1
−1
12.2.
1 dx, ln2 x 1 dx, 1+x
√
1 dx, (x−1)3
√ 1 dx, 1−x 1 dx, x2
Terület-, térfogat- és felszínszámítás
12.4. Tétel. Az (y1 =)f1 (x), (y2 =)f2 (x), x = a és x = b görbék által határolt síkidom területe: Z b
T =
a
f2 − f1 .
32
Megjegyzés. Szemléletesen, az f2 alatti területbõl elvesszük azt a részt, ami az f1 alatt is van. 12.5. Tétel. Az y = f (x) (folytonosan differenciálható) görbe ívhossza (az a ≤ x ≤ b intervallumon): Z bp I= 1 + (y ′)2 . a
12.6. Tétel. Tegyük fel, hogy valamely testnek létezik a térfogata, és legyen T (x) annak a keresztemetszetnek a területe (a ≤ x ≤ b), amit az x pontban emelt, x-tengelyre merõleges sík kimetsz a testbõl. Ekkor a test térfogata: Z b V = T. a
12.1. Következmény (Forgástest térfogata). Ha y1 és y2 nemnegatív függvény az [a, b] intervallumon. Az y1 ≤ y ≤ y2 tartomány x-tengely körüli megforgatásával keletkezõ test térfogata: Z b
y22 − y12.
V =π
a
d sima görbeív x-tengely körüli megforgatásával keletkezõ felület fel12.7. Tétel. Az AB színe: Z B P = 2π |y|ds, A
ahol ds az ívhosszmérték.
Megjegyzés. A fenti felszínt tehát a 2π
Z
b
y
a
p 1 + (y ′)2
integrállal határozhatjuk meg. Megjegyzés. Ha egy függvénygrafikont az y-tengely körül forgatunk meg, akkor is használhatóak a fenti összefüggések, annyi különbséggel, hogy az y = f (x) összefüggésbõl ki kell fejezni x-et, és a megadott képletekben is el kell végezni az x y cserét. 80. Határozzuk meg az alábbi derékszögû koordinátákkal felírt görbékkel határolt idomok területét: (a) ax = y 2 ,
ay = x2 ,
(b) y = x2 ,
x + y = 2,
(c) y = 2x − x2 ,
(d) y = | lg x|, (e) y = 2x ,
x + y = 0, y = 0,
y = 2,
(f) y = (x + 1)2 ,
x = 0, 1,
x = 10,
x = 0,
x = sin πy,
y = 0 (0 ≤ y ≤ 1), 33
2
2
(g) xa2 + yb2 = 1, ahol a, b > 0, (h) y = e−x| sin x|, y = 0 (x ≥ 0). 81. Milyen arányban osztja ketté az y 2 = 2x egyenletû parabola az x2 +y 2 = 8 egyenletû kör területét? 82. Számítsuk ki a következõ görbék ívhosszát: (a) (b) (c) (d)
y = x3/2 (0 ≤ x ≤ 4), y = ex (0 ≤ x ≤ x0 ), x = 41 y 2 − 12 ln y (1 ≤ y ≤ e), y = ln cos x (0 ≤ x ≤ a < π2 ).
83. Forgassuk meg a felsorolt görbéket a megadott tengelyek körül és számítsuk ki az így keletkezõ felületekkel határolt testek térfogatát: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
y y y y y y
= (x/a)2/3 (0 ≤ x ≤ a), x-tengely körül, = 2x − x2 , y = 0, x-tengely körül, = 2x − x2 , y = 0, y-tengely körül, = e−x , y = 0 (0 ≤ x < ∞), x-tengely körül, = e−x , y = 0 (0 ≤ x < ∞), y-tengely körül, √ = e−x sin x (0 ≤ x < ∞), x-tengely körül.
84. Határozzuk meg az alábbi görbék megadott tengely körül való megforgatásával nyert felületek felszínét: p (a) y = x xa (0 ≤ x ≤ a), x-tengely körül, (b) y = tan x (0 ≤ π4 , x)-tengely körül, (c)
x2 a2 x2 a2 2
+
y2 b2 y2 b2
= 1 (0 < b ≤ a),
x-tengely körül,
(d) + = 1 (0 < b ≤ a), y-tengely körül, (e) x + (y − b)2 = a2 (b ≥ a), x-tengely körül, (f) x2/3 + y 2/3 = a2/3 , x-tengely körül.
13.
Numerikus integrálás
√ Nagyon sok függvénynek (pl. sin x/x, 1/ ln x, 1 + x3 , exp(x2 ), . . . ) nem tudjuk meghatározni a primitív függvényét. Ezekben az esetekben közelítjük a határozott integrálok értékét. Az numerikus integrálás az Z b n X ck f (xk ) f≈ a
k=0
kvadratúra-képlettel történik, ahol n ∈ N, ck valós együtthatók és a = x0 < x1 < · · · < xn = b. 34
13.1.
Newton-Cotes formula
Az f függvényt közelíthetjük a p(x) Lagrange-féle interpolációs polinommal. Ekkor Z b Z b f≈ p, a
a
vagyis a kvadratúra-képlet ck együtthatókat a Lagrange-féle interpolációs alappolinom integráljaként definiáltuk: Z b ck = lk , a
ahol az lk (x) polinomot a 9. fejezetben definiáltuk. Ha az elõzõ formulát az n = 1 esetre felírjuk, akkor megkapjuk az Z b b−a f≈ (f (a) + f (b)) 2 a trapéz-formulát. Ha az n = 2 esetre írjuk fel, akkor az Z b a + b b − a f (a) + 4f + f (b) f≈ 6 2 a
Simpson-formulát kapjuk.
85. Írjuk fel a Newton-Cotes formulát az (a) n = 1, (b) n = 2 esetben. 86. Számoljuk ki az
R2
1/xdx elsõ öt
1
(a) trapézösszegét, (b) Simpson-összegét. 87. A Simpson-formula segítségével számoljuk ki a (a)
R1 √
1 + x3 dx,
0
(b)
R1
2
ex dx,
0
(c)
R9 3
(d)
R10 0
1 ln x
dx,
1 x10 +x+1
dx
integrálok közelítõ értékét. 35
13.2.
Érintõ-formula
13.1. Definíció. Az [a, b] intervallum egy beosztását ekvidisztánsnak nevezzük, ha az . osztópontok közötti távolság állandó, h = b−a n Egy függvényt közelíthetünk a Taylor-polinomjával is. Ekvidisztáns beosztás és elsõrendõ Taylor-polinom esetén az Z b n X f (xk ) f ≈h a
k=1
érintõ-formulát kapjuk. 88. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi integrálokat a trapéz-, a Simpson-formulával és az érintõ módszerrel is. (A feladat után zárójelben lévõ számok az ekvidisztáns osztópontok számát adják meg.) (a)
R4 0
(b)
1 dx, 4+x3
R2 √
(4),
1 + x3 dx,
(4),
0
(c)
R5 √ 1
(d)
R8 0
(e)
x √ dx, 3 4+x2
R10 √ 3 0
(f)
R1 √ 0
(g)
126 − x3 dx,
R1 √
(4),
(6),
125 − x2 dx,
(6),
1 − x3 dx,
(10),
1 + x4 dx,
(10),
0
(h)
R5 2
(i)
1 dx, ln x
π/3 R
√
(6),
cos xdx,
(10),
0
(j)
π/3 R 0
(k)
R1 0
(l)
sin x dx, x
(10),
arctan x dx, x
R9 √
xdx,
(10),
(4),
0
36
(m)
Rπ √
3 + cos xdx,
(6),
0
(n)
R1 0
(o)
R1 0
(p)
1 dx, 1+x
π/2 R q 0
(q)
x dx, ln(1+x)
R1 0
(6), (8),
1 − 41 sin2 xdx,
1 dx, 1+x3
(6),
(12).
P.S. Kérek mindenkit, hogy ha talál hibát, még a legegyszerûbbet is, jelezze a
[email protected] címemre.
37
