FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Elektrické filtry. Garant předmětu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Elektrické filtry

Garant předmětu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc. Autor textu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc. Ing. Vladimír Axman

Elektrické filtry

1

Obsah 1

ÚVOD DO PŘEDMĚTU .................................................................................................8 1.1 1.2 1.3 1.4

2

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU .........................................................8 CÍL A OBSAH PŘEDMĚTU ..............................................................................................8 STRUČNÁ ANOTACE .....................................................................................................8 VSTUPNÍ TEST ..............................................................................................................8

ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY.............................................................................9 2.1 ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ ...............................................................................................9 2.2 TYPY FILTRŮ..............................................................................................................10 2.3 PRINCIP FILTRŮ ..........................................................................................................11 2.4 PŘENOSOVÁ FUNKCE FILTRU N-TÉHO ŘÁDU ...............................................................12 2.5 ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY RLC 2. ŘÁDU ...........................................................13 2.5.1 Dolní propust RLC ...........................................................................................13 2.5.2 Normovaná dolní propust RLC ........................................................................15 2.5.3 Horní propust RLC ...........................................................................................16 2.5.4 Pásmová propust RLC ......................................................................................16 2.5.5 Obecný RLC obvod 2. řádu ..............................................................................18 2.5.6 Pásmová zádrž RLC .........................................................................................19 2.5.7 Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu.........................................................20 2.5.8 Modifikovaná horní propust RLC 2. řádu ........................................................21 2.5.9 Všepropustný fázovací bikvad RLC ..................................................................21 2.5.10 Porovnání kmitočtových charakteristik základních propustí ...........................22 2.6 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 2.........................................................................22

3

PASIVNÍ FILTRY RC...................................................................................................23 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4

ÚČEL A POUŽITÍ PASIVNÍCH FILTRŮ RC .....................................................................23 PASÍVNÍ FILTRY RC 1. ŘÁDU .....................................................................................23 PASIVNÍ FILTRY RC 2. ŘÁDU .....................................................................................26 PASÍVNÍ FILTRY RC 3. ŘÁDU .....................................................................................29 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY KU KAPITOLE 3.....................................................29

PASIVNÍ FILTRY LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ..............................................................30 4.1 PRINCIP, ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ............................................30 4.2 NORMOVÁNÍ A TRANSFORMACE ................................................................................31 4.3 TYPY FILTRŮ DLE POUŽITÉ APROXIMACE ...................................................................34 4.3.1 Butterworthova aproximace .............................................................................34 4.3.2 Čebyševova aproximace ...................................................................................36 4.3.3 Cauerova aproximace ......................................................................................37 4.3.4 Besselova aproximace ......................................................................................37 4.3.5 Další aproximace..............................................................................................38 4.3.6 Srovnání různých aproximací...........................................................................39 4.4 NÁVRH PŘÍČKOVÝCH ČLÁNKŮ LC(R) ........................................................................42 4.4.1 Zadání požadavků na filtr.................................................................................42 4.4.2 Určení řádu NDP .............................................................................................43 4.4.3 Přepočet na parametry používané v katalogu ..................................................44 4.4.4 Výběr zapojení a určení hodnot NDP...............................................................45 4.4.5 Odnormování a kmitočtová transformace NDP na požadovaný typ filtru .......45 4.5 REÁLNÝ PŘÍČKOVÝ FILTR LC(R) ...............................................................................54

2

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.5.1 Vliv ztrát v reálném filtru ................................................................................. 54 4.5.2 Vliv tolerance hodnot použitých součástek ...................................................... 54 4.6 PÁSMOVÉ PROPUSTI S VÁZANÝMI STRUKTURAMI LC(R) ........................................... 55 4.7 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 4 ........................................................................ 57

5

AKTIVNÍ PRVKY A FUNKČNÍ BLOKY VE FILTRECH ..................................... 57 5.1 AKTIVNÍ PRVKY FILTRŮ - ZESILOVAČE ...................................................................... 58 5.1.1 Operační zesilovače ......................................................................................... 58 5.1.2 Zesilovače napětí a proudu .............................................................................. 59 5.1.3 Transadmitanční zesilovače............................................................................. 59 5.1.4 Transimpedanční zesilovače ............................................................................ 60 5.1.5 Nortonův zesilovač........................................................................................... 60 5.2 FUNKČNÍ BLOKY ....................................................................................................... 61 5.2.1 Gyrátory ........................................................................................................... 61 5.2.2 Impedanční konvertory .................................................................................... 63 5.2.3 Proudové konvejory ......................................................................................... 65 5.3 SYNTETICKÉ PRVKY VE FILTRECH ............................................................................. 65 5.3.1 Syntetické induktory ......................................................................................... 65 5.3.2 Jednoduché syntetické induktory ..................................................................... 66 5.3.3 Syntetický prvek FDNR .................................................................................... 67 5.3.4 Syntetické dvojpóly vyšších řádů...................................................................... 67 5.4 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 5 ........................................................................ 67

6

AKTIVNÍ FILTRY RC 1. A 2. ŘÁDU......................................................................... 68 6.1 AKTIVNÍ FILTRY RC 1. ŘÁDU .................................................................................... 68 6.1.1 Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1 ....................................................... 68 6.1.2 Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1 ....................................................... 69 6.2 OBECNÉ STRUKTURY ARC FILTRŮ 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM ....................... 70 6.3 DOLNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM .......................................... 71 6.3.1 Zapojení Sallen-Key SAB-LP-SK ..................................................................... 71 6.3.2 Zapojení Huelsman SAB-LP-H ........................................................................ 75 6.3.3 Další zapojení SAB-LP .................................................................................... 76 6.4 HORNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM .......................................... 76 6.4.1 Zapojení Sallen-Key SAB-HP-SK .................................................................... 76 6.4.2 Zapojení Huelsman SAB-HP-H ....................................................................... 77 6.5 PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM ..................................... 78 6.5.1 Kaskádní zapojení SAB-BP-K.......................................................................... 79 6.5.2 Zapojení Huelsman SAB-BP-H........................................................................ 79 6.5.3 Zapojení Sallen – Key SAB-BP-SK .................................................................. 79 6.5.4 Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D.................................................................. 80 6.5.5 Další zapojení SAB-BP .................................................................................... 81 6.6 FILTRY ARC 2. ŘÁDU S NETRADIČNÍMI AKTIVNÍMI PRVKY ....................................... 82 6.7 FILTRY ARC 2. ŘÁDU S NULOVÝMI BODY PŘENOSU ................................................. 85 6.7.1 Eliptické aktivní bikvady s dvojitým T-článkem............................................... 86 6.7.2 Eliptické Friendovy aktivní bikvady................................................................. 87 6.8 VLIV REÁLNÉHO AKTIVNÍHO PRVKU NA PARAMETRY FILTRU .................................... 89 6.9 FILTRY ARC 2. ŘÁDU S VÍCE AKTIVNÍMI PRVKY ....................................................... 90 6.9.1 Filtry ARC 2. řádu s dvěma aktivními prvky.................................................... 90 6.9.2 Zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP ...................................................... 91 6.9.3 Filtry ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky ........................................... 92

Elektrické filtry 6.10 7

3

KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 6.........................................................................95

AKTIVNÍ FILTRY RC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ..................................................................96 7.1 KASKÁDNÍ SYNTÉZA ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ.....................................................96 7.2 NÁVRH ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ .........................................................................96 7.2.1 Normovaná dolní propust pro kaskádní syntézu ............................................100 7.2.2 Transformace NDP na DP .............................................................................100 7.2.3 Transformace NDP na HP .............................................................................100 7.2.4 Transformace NDP na PP..............................................................................100 7.2.5 Transformace NDP na PZ ..............................................................................101 7.3 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 7.......................................................................103

8

FILTRY SE SYNTETICKÝMI PRVKY A FUNKČNÍMI BLOKY.......................103 8.1 FILTRY SE SYNTETICKÝMI INDUKTORY ....................................................................103 8.2 FILTRY S GYRÁTORY ...............................................................................................104 8.3 FILTRY DCR............................................................................................................105 8.4 FILTRY S INTEGRÁTORY ...........................................................................................106 8.5 AKTIVNÍ FILTRY R ...................................................................................................108 8.6 AKTIVNÍ FILTRY S PROUDOVÝMI KONVEJORY ..........................................................109 8.6.1 Filtry prvního řádu s konvejory......................................................................109 8.6.2 Filtry druhého řádu s konvejory.....................................................................109 8.7 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 8.......................................................................112

9

ZVLÁŠTNÍ TYPY FILTRŮ........................................................................................112 9.1 VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY ...................................................................112 9.1.1 Všepropustné dvojbrany n-tého řádu .............................................................112 9.1.2 Všepropustné dvojbrany 1. řádu.....................................................................113 9.1.3 Všepropustný dvojbran 2. řádu ......................................................................115 9.1.4 Aktivní všepropustný dvojbran .......................................................................115 9.2 KMITOČTOVÉ KOREKTORY ......................................................................................116 9.3 KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY ...............................................117 9.4 FILTRY S NASTAVITELNÝMI PARAMETRY .................................................................118 9.5 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 9.......................................................................119

10

FILTRY SE SPÍNANÝMI KAPACITORY...........................................................119 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12

11

PRINCIP OBVODŮ SC................................................................................................120 SPÍNAČE ..................................................................................................................120 POPIS OBVODŮ SC ...................................................................................................121 PŘEDZKRESLENÍ CHARAKTERISTIK PROTOTYPU .......................................................122 SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM (R-SC)......................................122 SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ (L-SC, D-SC) .........................123 SPÍNANÉ INTEGRÁTORY (I-SC) ...............................................................................123 BIKVAD SC S INTEGRÁTORY....................................................................................125 BIKVADY SC ODVOZENÍ Z OBVODŮ ARC................................................................125 EKVIVALENT SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR......................................................128 FILTRU SC VYŠŠÍHO ŘÁDU ..................................................................................128 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 10.................................................................128

FILTRY PRACUJÍCÍ NA JINÝCH FYZIKÁLNÍCH PRINCIPECH ...............130 11.1 FILTRY S PIEZOELEKTRICKÝMI REZONÁTORY ..........................................................130 11.1.1 Piezoelektrický rezonátor ...............................................................................130

4

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 11.1.2 Klasické filtry s PER ...................................................................................... 132 11.1.3 Monolitické filtry s PER................................................................................. 132 11.1.4 Keramické filtry.............................................................................................. 132 11.1.5 Monolitické filtry s PER................................................................................. 132 11.2 ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY ................................................................................ 133 11.3 FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU ............................................................................... 133 11.4 FILTRY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY ................................................................ 134 11.5 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 11 .................................................................... 136

12

DODATKY ............................................................................................................... 136

12.1 NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č. 1 .......................................... 136 12.1.1 Doplnění poznatků z teorie ............................................................................ 136 12.1.2 Opakování teorie............................................................................................ 137 12.1.3 Schéma zapojení přípravku............................................................................ 137 12.1.4 Počítačové simulace....................................................................................... 137 12.1.5 Laboratorní měření ........................................................................................ 140 12.1.6 Pokyny k měření ............................................................................................. 141 12.2 NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č. 2 .......................................... 141 12.2.1 Poznatky z teorie ............................................................................................ 141 12.2.2 Individuální zadání filtru ............................................................................... 142 12.2.3 Realizace filtru ............................................................................................... 142 12.2.4 Počítačové simulace....................................................................................... 142 12.2.5 Laboratorní měření ........................................................................................ 143

Elektrické filtry

5

Seznam obrázků OBRÁZEK 2.1: OBRÁZEK 2.1: OBRÁZEK 2.2: OBRÁZEK 2.3: OBRÁZEK 2.4: OBRÁZEK 2.5: OBRÁZEK 2.6: OBRÁZEK 2.7: OBRÁZEK 2.8: OBRÁZEK 2.9: OBRÁZEK 2.10: OBRÁZEK 2.11: OBRÁZEK 2.12: OBRÁZEK 2.13: OBRÁZEK 2.14: OBRÁZEK 2.15: OBRÁZEK 2.16: OBRÁZEK 4.1: OBRÁZEK 4.2: OBRÁZEK 4.3: OBRÁZEK 4.4: OBRÁZEK 4.5: OBRÁZEK 4.6: OBRÁZEK 4.7: OBRÁZEK 4.8: OBRÁZEK 4.9: OBRÁZEK 4.10: OBRÁZEK 4.11: OBRÁZEK 4.12: OBRÁZEK 5.1: OBRÁZEK 5.2: OBRÁZEK 5.3: OBRÁZEK 5.4: OBRÁZEK 5.5: OBRÁZEK 5.6: OBRÁZEK 5.7: OBRÁZEK 5.8: OBRÁZEK 5.9: OBRÁZEK 5.10: OBRÁZEK 5.11: OBRÁZEK 5.12: OBRÁZEK 5.13: OBRÁZEK 5.14: OBRÁZEK 5.15: OBRÁZEK 5.16: OBRÁZEK 6.1: OBRÁZEK 6.2: OBRÁZEK 6.3: OBRÁZEK 6.4:

ZAPOJENÍ OBVODU K PŘ. 1.1............................................................................9 MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY RŮZNÝCH PROPUSTÍ.....................................10 ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY A JEJICH CHARAKTERISTIKY. ........................11 DOLNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU ......................................................................13 MODULOVÁ CHARAKTERISTIKA DP 2.ŘÁDU PŘI RŮZNÉM NORMOVÁNÍ. ........14 VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKU .............................................15 HORNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU ......................................................................16 PÁSMOVÉ PROPUSTI RLC 2. ŘÁDU. ...............................................................17 PÁSMOVÁ PROPUST 2. ŘÁDU..........................................................................17 VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ PROPUSTI..............18 PÁSMOVÁ ZÁDRŽ 2. ŘÁDU. ........................................................................19 VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ ZÁDRŽE. ...........19 REALIZACE PÁSMOVÉ ZÁDRŽE RLC 2. ŘÁDU. ..........................................20 MODIFIKOVANÁ DOLNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU.........................................20 MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY MODIFIKOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI. ............21 VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ BIKVAD LCR...................................................22 POROVNÁNÍ KMITOČTOVÝCH CHARAKTERISTIK BIKVADŮ. ........................22 TRANSFORMACE TOLERANČNÍCH POLÍ RŮZNÝCH TYPŮ FILTRŮ......................32 KMITOČTOVÉ CHARAKTERISTIKY ZÁKLADNÍCH TYPŮ FILTRŮ........................34 BUTTERWORTHŮV FILTR................................................................................35 ČEBYŠEVŮV FILTR. ........................................................................................36 CAUERŮV FILTR.............................................................................................37 BESSELŮV FILTR. ...........................................................................................38 INVERZNÍ ČEBYŠEVOVA APROXIMACE RŮZNÉHO ŘÁDU ................................39 CHARAKTERISTIKY HP RŮZNÉHO ŘÁDU A TYPU APROXIMACE. .....................39 SROVNÁNÍ CHARAKTERISTIK FILTRŮ 4. ŘÁDU RŮZNÝCH TYPŮ ......................42 NOMOGRAMY K URČENÍ ŘÁDU NDP..........................................................44 GRAFY K PŘEPOČTU PARAMETRŮ. .............................................................45 KAPACITNĚ VÁZANÉ REZONANČNÍ OBVODY ..............................................56 BLOKOVÉ SCHÉMA TRANSKONDUKTIVNÍHO OPERAČNÍ ZESILOVAČE .............59 MODERNÍ TRANSKONDUKTIVNÍ OPERAČNÍ ZESILOVAČE. ...............................60 TRANSIMPEDANČNÍ ZESILOVAČ (A) A NORTONŮV ZESILOVAČ (B).................60 GYRÁTOR. .....................................................................................................61 MODEL REÁLNÉHO GYRÁTORU. .....................................................................61 RIORDANŮV GYRÁTOR S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI. .......................................63 GYRÁTOR JAKO ZÁKAZNICKÝ INTEGROVANÝ OBVOD (SN 15010) ................63 ZOBECNĚNÝ IMPEDANČNÍ KONVERTOR A JEHO POPIS. ...................................63 IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR,...................64 IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ PRVEK FDNR,..........64 NEJPOUŽÍVANĚJŠÍ PROUDOVÉ KONVEJORY. ...............................................65 PLOVOUCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR REALIZOVANÝ DVĚMA ZIKY. .............65 SIMULACE SESKUPENÍ CÍVEK DVĚMA ZIK-Y..............................................66 PRESCOTTŮV SYNTETICKÝ INDUKTOR. ......................................................66 KMITOČTOVÉ ZÁVISLOSTI PARAMETRŮ PRESCOTTOVA SI. ........................66 JEDNODUCHÉ FDNR A JEJICH MODELY. ....................................................67 AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUST RC 1. ŘÁDU – ADP1 .............................................69 OBECNÉ STRUKTURY ARC BIKVADU S JEDNÍM ZESILOVAČEM – SAB...........70 DOLNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM...............................72 PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM OPERAČNÍM ZESILOVAČEM ......78

6 OBRÁZEK 6.5: OBRÁZEK 6.6: OBRÁZEK 6.7: OBRÁZEK 6.8: OBRÁZEK 6.9: OBRÁZEK 6.10: OBRÁZEK 6.11: OBRÁZEK 6.12: OBRÁZEK 6.13: OBRÁZEK 6.14: OBRÁZEK 6.15: OBRÁZEK 6.16: OBRÁZEK 7.1: OBRÁZEK 8.1: OBRÁZEK 8.2: OBRÁZEK 8.3: OBRÁZEK 8.4: OBRÁZEK 8.5: OBRÁZEK 8.6: OBRÁZEK 8.7: OBRÁZEK 8.8: OBRÁZEK 9.1: OBRÁZEK 9.2: OBRÁZEK 9.3: OBRÁZEK 9.4: OBRÁZEK 10.1: OBRÁZEK 10.2: OBRÁZEK 10.3: OBRÁZEK 10.4: OBRÁZEK 10.5: OBRÁZEK 10.6: OBRÁZEK 10.7: OBRÁZEK 10.8: OBRÁZEK 11.1: OBRÁZEK 11.2: OBRÁZEK 11.3: OBRÁZEK 11.4: OBRÁZEK 11.5: OBRÁZEK 12.1: OBRÁZEK 12.2: OBRÁZEK 12.3: OBRÁZEK 12.4:

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně SAB-BP-L S DVOJITÝM T-ČLÁNKEM............................................................ 82 BIKVAD ARC S TRANSADMITANČNÍM ZESILOVAČEM. .................................. 83 AKTIVNÍ PÁSMOVÁ PROPUST S NORTONOVÝMI ZESILOVAČI. ........................ 83 FILTRY 2. ŘÁDU S TRANSIMPEDANČNÍM ZESILOVAČEM ................................. 84 JEDNODUCHÁ PÁSMOVÁ PROPUST S DVCC V PROUDOVÉM MÓDU................ 84 VÍCEÚČELOVÝ ARC BIKVAD SE DVĚMA DVCC. ...................................... 85 ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY S DVOJITÝMI T-ČLÁNKY. ............................ 86 FRIENDOVY ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY................................................. 87 BLOKOVÉ SCHÉMA ODTLUMENÍ BIKVADU ZAVEDENÍM KLADNÉ ZV. ........ 91 DAB-BP-H UMOŽŇUJÍCÍ DOSÁHNOUT VYŠŠÍ HODNOTU Q........................ 92 BIKVAD TAB-KHN. ................................................................................. 93 VYBRANÉ BIKVADY S TŘEMI OA. ............................................................. 94 SYNTÉZA FILTRŮ ARC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ.......................................................... 97 ZÁKLADNÍ OBVODY 2.ŘÁDU S GYRÁTOREM. ............................................... 104 PŘEMOSTĚNÉ STRUKTURY S GYRÁTORY...................................................... 105 FILTR DCR 5. ŘÁDU.................................................................................... 106 STAVEBNÍ FUNKČNÍ BLOK 1.ŘÁDU. A JEHO GRAF. ....................................... 107 GRAF SIGNÁLOVÝCH TOKŮ S PŘENOSEM 2. ŘÁDU. ...................................... 107 GRAF PŘÍMÉ REALIZAČNÍ STRUKTURY K(P) 5. ŘÁDU................................... 107 CAUEROVA DOLNÍ PROPUST 3. ŘÁDU S INTEGRÁTORY................................. 108 UNIVERZÁLNÍ BIKVAD R. ............................................................................ 109 PASIVNÍ VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY 1. ŘÁDU. .......................... 114 AKTIVNÍ VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ DVOJBRAN. ......................................... 116 KMITOČTOVÉ KOREKTORY.......................................................................... 117 KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY. ................................. 118 SPÍNAČE V OBVODECH SC....................................................................... 121 SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM.................................... 123 SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ. ................................. 124 OBR. 9.4 SPÍNANÉ INTEGRÁTORY. .......................................................... 125 SYNTÉZA BIKVADU SC............................................................................ 126 SC DOLNÍ PROPUST, EKVIVALENTNÍ SAB-DP-H. ................................... 127 SYNTÉZA EKVIVALENTU SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR. ....................... 127 FILTR SC 5. ŘÁDU MHF 4413. ............................................................... 129 PIEZOELEKTRICKÝ REZONÁTOR. ............................................................. 130 FILTRY S PER. ........................................................................................ 131 ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY................................................................ 133 FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU............................................................... 134 OBVODY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY. ............................................ 135 SPOJENÍ ZDROJE A ZÁTĚŽE A) PŘES FILTRAČNÍ DVOJBRAN, B) PŘÍMO ...... 137 ZAPOJENÍ DOLNÍ PROPUSTI 5. ŘÁDU. ....................................................... 139 BLOKOVÉ SCHÉMA PRACOVIŠTĚ.............................................................. 140 SCHÉMA ZAPOJENÍ SAB-LP-SK ............................................................. 142

Elektrické filtry

7

Seznam tabulek TABULKA 3.1: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC 1. ŘÁDU ......................................................24 TABULKA 3.2: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC 2. ŘÁDU ......................................................26 TABULKA 3.3: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC 3. ŘÁDU ......................................................29 TABULKA 4.1: ZÁKLADNÍ TYPY PODOBVODŮ PŘÍČKOVÝCH STRUKTUR FILTRŮ LC(R). .........30 TABULKA 4.2: TRANSFORMACE A ODNORMOVÁNÍ NORMOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI. ...............33 TABULKA 4.3: KOEFICIENTY JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ .......40 TABULKA 4.4: ROZKLAD JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ .............41 TABULKA 4.5: PŘÍKLAD USPOŘÁDÁNÍ KATALOGU PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC [ 6 ] ...............46 TABULKA 4.6: JEDNODUCHÝ KATALOG PRO NÁVRH PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC....................47 TABULKA 5.1: VYUŽITÍ GYRÁTORŮ K SIMULACI ČÁSTÍ FILTRŮ. ............................................62 TABULKA 6.1: HODNOTA A PRO RŮZNÉ APROXIMACE V SAB-LP-SK-3. ..............................74 TABULKA 6.2: SROVNÁNÍ NÁVRHOVÝCH VARIANT SAB-LP-SK ..........................................75 TABULKA 7.1: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU POLYNOMINÁLNÍCH FILTRŮ ARC. .........97 TABULKA 7.2: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU ELIPTICKÝCH FILTRŮ ARC. .......................98 TABULKA 8.1: BRUTONOVA TRANSFORMACE .....................................................................105 TABULKA 9.1: NORMOVANÉ PARAMETRY I-TÉHO PODOBVODU VE VPD N-TÉHO ŘÁDU ......113 TABULKA 9.2: REALIZAČNÍ PODMÍNKY VPD OBVODU NA OBRÁZEK 9.2D .........................115

8

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

1 Úvod do předmětu 1.1 Zařazení předmětu ve studijním programu Elektrické filtry je jako volitelný oborový předmět zařazen v 4. semestru bakalářského studia oboru Elektronika a sdělovací technika. Úzce navazuje na povinný předmět Analogové elektronické obvody, který je nutno před ním absolvovat.

1.2 Cíl a obsah předmětu Cílem předmětu je seznámit studenty s různými druhy moderních analogových filtrů. Naučit je navrhnout pasivní a aktivní filtry vyšších řádů. Seznámit je s filosofii počítačem podporovaného optimálního návrhu analogových filtrů, s vhodnou simulací a ověřovací analýzou navržených obvodů. Důraz je kladen na individuální projekty. Studenti se seznámí s moderními metodami návrhu analogových elektrických filtrů. Prohloubí si znalosti z teorie obvodů a naučí se je vhodně aplikovat. Zdokonalí se v práci s programem PSpice a naučí se používat další návrhové programy.

1.3 Stručná anotace Princip kmitočtových filtrů a jejich dělení. Filtry 1., 2. a vyšších řádů různých typů a aproximací. Parametry filtrů a jejich získání. Počítačová podpora návrhu. Kontrolní, citlivostní a toleranční analýza filtrů. Kmitočtové a impedanční normování a transformace. Pasivní RC a RLC filtry vyšších řádů. Aktivní filtry RC s jedním, dvěma a třemi OZ. Filtry s nulovými body přenosu (Cauerovy). Filtry se syntetickými prvky (SI, FDNR) a funkčními bloky. Fázovací všepropustné dvojbrany a pásmové korektory. Filtry v proudovém módu. Filtry se spínanými kapacitory a struktury CCD. Elektromechanické a piezoelektrické filtry. Filtry s povrchovou vlnou. Nastavování a řízené přelaďování filtrů. Optimalizace návrhu filtrů. CAD, software SNAP, PSpice, NAF a Filter design.

1.4 Vstupní test Příklad 1.1: Vstupní test 1.1 Na Obrázek 1.1 je zapojení aktivního obvodu RC s operačním zesilovačem. 1) Jakého řádu je tento obvod? 2) Překreslete obvod tak, že podobvod tvořený operačním zesilovačem a rezistory R2, R3 nahradíte jiným funkčním blokem. 3) Odvoďte přenos napětí. Jakého je řádu? Souhlasí to s vaší odpovědí na první otázku? 4) Co podle vás obvod představuje? 5) Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů. 6) Nakreslete předpokládaný tvar modulové charakteristiky. 7) Nakreslete předpokládaný tvar argumentové charakteristiky.

Elektrické filtry

Obrázek 1.1:

9

Zapojení obvodu k př. 1.1

2 Základní filtrační obvody Cíle kapitoly: Seznámit studenty s účelem, principem, dělením a vlastnostmi základních typů filtrů. Podrobněji rozebrat filtry prvního a druhého řádu, různých propustí a zádrží. Zopakovat a prohloubit znalosti získané v předmětu Elektronické analogové obvody[ 1]. Test předchozích znalostí 1. Jak vypadá obecná obvodová funkce z matematického pohledu a jak se dá rozložit? Co jsou to nulové body a póly? Definujte přenosovou funkci napětí. 2. Jaké druhy kmitočtových charakteristik přenosu napětí znáte, jak jsou definovány, co je to zisk? 3. Na několika příkladech ukažte souvislost mezi průběhem modulové a fázové charakteristiky a polohou pólu resp. nulové bodu. 4. Uveďte vlastnosti a definujte parametry (Q, f0, Z v rezonanci) paralelního rezonančního obvodu. Jaké stavy rozlišujeme v tomto obvodě vzhledem ke tlumení? Nakreslete odpovídající rozložení nulových bodů resp. pólů. Nakreslete rezonanční křivky pro dvě hodnoty Q1 < Q2. Vyznačte šířku propustného pásma.

2.1 Účel a použití filtrů Kmitočtové filtry jsou dvojbrany (převážně lineární), které propustí (bez a nebo jen s malým útlumem) harmonické složky spektra zpracovávaných signálů v určitém pásmu kmitočtů, které nazýváme propustné pásmo. Mimo propustné pásmo jsou harmonické složky naopak silně utlumovány - tzv. nepropustné pásmo. Kmitočtové filtry jsou součástí řady obvodů a systémů, z nichž některé bude dále blíže rozebírat. Například dolní propust se používá v usměrňovačích, kde je třeba oddělit stejnosměrnou složku a potlačit všechny střídavé složky. Pásmová propust má např. uplatnění v přijímačích, kde vybírá signál určitého vysílače. Řadu příkladů lze uvést i z měřící nebo regulační techniky. Poslední dobou se v souvislosti s novými mikroelektronickými technologiemi (novými aktivními prvky a funkčními bloky) rozvíjí aktivní filtry RC, na vyšších kmitočtech pracující v proudovém módu. Induktory v RLC filtrech jsou totiž nejobjemnější, nejdražší a hlavně těžko integrovatelné součástky. Snažíme se je proto s filtrů odstranit resp. nahradit syntetickými ekvivalenty. Zcela novými přístupy jsou charakterizovány filtry se spínanými kapacitory (pracující spojitě v hodnotách a diskrétně v čase) a filtry číslicové (pracující diskrétně v čase i v hodnotách ). Specifickými typy jsou také

10


analogové filtry pracující na zvláštních principech, jako např. filtry s povrchovou vlnou, filtry s piezoelektrickými rezonátory, keramické filtry, elektromechanické filtry a další.

2.2 Typy filtrů Rozdělení filtrů lze provést z různých hledisek, nejdůležitější dělení je však dle přenášeného kmitočtového spektra (Obrázek 2.1): - dolní propust, - horní propust, - pásmová propust, - pásmová zádrž, - všepropustný (fázovací) dvojbran. dle použitých prvků: - pasivní filtry RC (resp. RLC), - pasivní filtry LC, - aktivní filtry RC, se standardními operačními zesilovači, se zvláštními typy OZ, s ideálními zesilovači napětí, - filtry RC s funkčními bloky, s impedančními invertory a gyrátory, s impedančními konvertory, s proudovými konvejory, aktivní filtry R, - filtry se syntetickými prvky, - filtry se spínanými kapacitory, - filtry s povrchovou vlnou, - filtry s piezoelektrickými rezonátory - a další.

Obrázek 2.1:

Modulové charakteristiky různých propustí.

a) dolní propusti, b) horní propusti, c) pásmové propusti, d)pásmové zádrže.

Elektrické filtry

11

2.3 Princip filtrů Základním principielním podobvodem filtrů, nazývaným někdy také půlčlánkem, je kmitočtově závislý dělič (Obrázek 2.2 a), jehož přenos ( 2.1 ) bude kmitočtově závislý, je-li alespoň jedna z impedancí kmitočtově závislá. U Z2 K (ω) = 2 = . ( 2.1 ) U1 Z 1 + Z 2 Příklad 2.1: Jednoduchá dolní propust Příkladem pasivního filtru 1. řádu je dolní propust RC (Obrázek 2.1 b). Odvoďte její přenosovou funkci.

Obrázek 2.2:

Základní filtrační obvody a jejich charakteristiky.

a) kmitočtově závislý dělič napětí, b) dolní propust RC 1. řádu,

c) modulová kmitočtová charakteristika, d) argumentová kmitočtová charakteristika.

Odvozenou přenosovou funkci lze převést do následujícího tvaru 1 − jωC . K (ω ) = Re K + j Im K = K (ω )e jϕ (ω ) = ( 2.2 ) 1 + ω 2 R2C2 Modulová charakteristika tohoto obvodu je pak dána vztahem 1 2 2 K (ω ) = K (ω ) = ( Re K) + (Im K) = . ( 2.3 ) 1 + ω 2 R2C 2 Zisk v decibelech 1 k (ω ) = K dB (ω ) = 20 log K (ω ) = 20 log . ( 2.4 ) 1 + ω 2 R2C 2 Argumentová (fázová) charakteristika Im K ϕ (ω ) = arctg = − arctg ωRC. ( 2.5 ) Re K Obě skutečné kmitočtové charakteristiky často aproximujeme lomenými přímkami asymptotami, které poprvé zavedl Bode. Takto na Obrázek 2.2 c je modulová charakteristika aproximována čárkovaně. U tohoto obvodu, který je 1. řádu má modulová charakteristika sklon (-20) dB/dek., resp. (-6) dB/okt. Argumentová charakteristika má sklon (-45) o /dek. Maximální odchylka aproximace modulu je 3 dB a argumentu 5,7o Obrázek 2.2.

12

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Mezní kmitočet ωm je definován poklesem zisku o -3 dB, (argument je -45o) K KdB(ωm) = K0 dB - 3 , K (ω m ) = 0 , ( zde je K 0 = 1) ( 2.6 ) 2 V tomto obvodě je dán vztahem 1 1 ωm = = . ( 2.7 ) τ RC Pro snazší návrh zavádíme ve filtrech normované kmitočtové proměnné p ω ( s= , Ω= p = s ω ωN ωN 2.8 ) N resp.

Nejčastěji pak normujeme k meznímu kmitočtu ω N = ω m . Nemusí to však být podmínkou, jak se blíže seznámíme v kap. 2.5.2 Obvodové funkce rozebírané dolní propusti 1. řádu jsou pak v normovaném tvaru 1 1 K ( s) = , K ( Ω) = , ϕ (Ω) = − arctg Ω. ( 2.9 ) 1+ s 1 + Ω2

2.4 Přenosová funkce filtru n-tého řádu Předpokládáme, že jste správně odpověděli na otázku 1 testu vašich znalostí. Pak lehce pochopíte, že obecný tvar přenosové funkce filtru n-tého řádu může mít následující tvary m ( m−1) + L + a0 U N ( p ) am p + a(m−1) p = = K ( p ) = out = n ( n −1) + L +b0 U in D( p ) bn p + b(n −1) p = K0

∏(p − n ) = K ∏ K ( p ), ∏ (p − n )

( 2.10 )

i

m

k

0

j

k

n

kde ni jsou nulové body a pj jsou póly přenosové funkce filtru. Ve filtrech s výhodou pracujeme i s tzv. normovaným tvarem ( 2.11 ), definovaným pro normované kmitočtové proměnné zavedené vztahy ( 2.8 ). Pro odlišení zde budeme koeficienty polynomů značit velkými písmeny. m ( m −1) + L + A0 N (s ) Am s + A(m−1) s K ( p) = = ( 2.11 ) n ( n −1) D (s ) + L + B0 Bn s + B(n −1) s Zvláštní, často používaná, skupina dolních propustí má nulové body pouze v nekonečnu. Hovoříme pak o filtrech polynominálních (all-pole filters), které mají následující přenosovou funkci U a0 K0 1 , K ( p ) = out = = = n ( n−1) ( 2.12 ) U in D( p ) bn p + b(n−1) p + L +b0 ∏ ( p − n j ) n

Ve filtrech velmi často používáme relativní přenos, vzhledem k základnímu K0 K ( p) , K r ( p) = k r (ω ) = 20 log K (ω ) − 20 log K 0 . K0 Ve starší literatuře se místo přenosu používá inverzní funkce – útlum filtru U A( p) = in = K ( p) −1 , AdB (ω ) = 20 log A(ω ). U out

( 2.13 )

( 2.14 )

Elektrické filtry

13

Při syntéze filtrů místo přenosu používáme někdy charakteristickou funkci filtrace, danou vztahem ( 2.15 ), která odstraňuje iracionalitu zadání. Tato funkce v normovaném tvaru je dána vztahem D(s )D(− s ) F s2 = . ( 2.15 ) N (s )N (− s )

( )

2.5 Základní filtrační obvody RLC 2. řádu 2.5.1 Dolní propust RLC Strmost modulové charakteristiky se zvýší, nahradíme-li na Obrázek 2.2b rezistor R induktorem L, dostáváme dolní propust RLC 2. řádu na Obrázek 2.3a. Poznamenejme, že rezistor R vyjadřuje ztráty v obvodu.

Obrázek 2.3:

Dolní propust RLC 2. řádu a) zapojení obvodu, b) rozložení pólů a nulových bodů,

c) modulová charakteristika, d) argumentová charakteristika.

Příklad 2.2: Dolní propust RLC 2. řádu Odvoďte přenosovou funkci dolní propusti RLC na Obrázek 2.3a v základním symbolickém tvaru. V Příklad 2.2 odvozený výsledek napěťového přenosu lze upravit a zobecnit do následujících tvarů K 0ω 2p a0 1 K ( p) = = = ωp ( 2.16 ) b2 p 2 + b1 p + b0 1 + pRC + p 2 LC p2 + p + ω 2p Qp Póly (Obrázek 2.3c) jsou komplexně sdružené (Im p1 = -Im p2 ), jejich kmitočet a kvalita jsou dány vztahy:

14


ωp =

1

, Qp =

ωp

=

ω pL

. ( 2.17 ) 2σ p R LC U dolní propusti (DP) definujeme jako základní parametr mezní kmitočet ωm resp. fm, kdy modulová charakteristika poklesne o – 3 dB (Obrázek 2.3c). V případě maximálně ploché DP platí ωm = ωp, blíže viz. kap.2.5.2.

Příklad 2.3: Kmitočtové charakteristiky dolní propusti RLC 2. řádu Navrhněte dolní propusti RLC s parametry fm = 1 kHz, Q = 0,7. Zobrazte modulovou a argumentovou charakteristiku v obvodovém simulátoru Pspice. Příklad 2.4: Kmitočtové charakteristiky dolní propusti RLC 2. řádu pro různé Q Vycházejíc z Příklad 2.3, zobrazte modulové a argumentové charakteristiky dolní propusti RLC 2. řádu pro různé hodnoty činitele jakosti Q = 0,5 1 2 5 10. V obvodovém simulátoru Pspice k tomu využijete parametrickou analýzu. Modulová kmitočtová charakteristika, určená vztahem ( 2.16 ), je na Obrázek 2.3c. Její tvar závisí na hodnotě Q, která je dána ztrátami v obvodu LC (Obrázek 2.4). Běžně u dolních propustí je hodnota Q malá (0,5 až 1). Významná je hodnota Q = 0.707, kdy modulová charakteristika je maximálně plochá (Butterworthova aproximace). Pro větší hodnoty Q se dolní propust chová jako nesymetrická pásmová propust. Hodnota převýšení zisku je 20 log Qp (Obrázek 2.4). Činitel kvality má významný vliv i na další sledované charakteristiky (Obrázek 2.5).

Obrázek 2.4:

Modulová charakteristika DP 2.řádu při různém normování.

a) vzhledem k meznímu kmitočtu,

b) vzhledem ke kmitočtu pólu.

Elektrické filtry

15

Obrázek 2.5: Vliv činitele jakosti na charakteristiku a) skupinového zpoždění, b) fázovou, c) přechodnou. 2.5.2 Normovaná dolní propust RLC Přenos napětí v normovaném tvaru dostaneme dosazením ( 2.8 ) do ( 2.16 ) ω 2p K0 2 K 0 Ω 2p K0 ωm = = K (s ) = 2 2 Ωp B2 s + B1 s + B0 ωp ωp 2 s + Ω 2p s2 + s+ 2 s + Qp ω mQ p ωm kde Ωp je normovaný kmitočet pólů, normovaný k meznímu kmitočtu ωm. Ze vztahu (2-6) vyplývá pro přepočet koeficientů Ωp ω 2p ωp 2 B0 = Ω p = 2 , B1 = = , B2 = 1 Q p ω mQ p ωm nebo pro jinou modifikaci, používanou např. v Tabulka 4.3 ωm ω2 1 B0 = 1, B1 = , B2 = m2 = 2 ω pQp ωp Ωp Pro opačný přepočet pak pro kmitočet pólu platí B0 b ω p = Ω p ω m =ω m = 0, B2 b2 a jeho kvalitu B2 B0 bb = 2 0. Qp = B1 b1

( 2.18 )

( 2.19 )

( 2.20 )

( 2.21 )

( 2.22 )

Ze vztahu ( 2.21 ) lze odvodit souvislost mezi kmitočtem mezním (ωm resp. fm) a pólu (fp) pro různé druhy aproximací. Hodnoty normovaných koeficientů nalezneme v Tabulka 4.3 Snadno odvodíme pro aproximaci (kap. 4.3):

16


Butterworthovu fm = fp, Besselovu fm = 0,786 fp, Čebyševovu (-3 dB) fm = 1,378 fp. V této kapitole jsme použili normování vzhledem k meznímu kmitočtu (ωm) . Normovat však můžeme i vzhledem ke kmitočtu pólu (ωp). Zavedeme normovaný kmitočet ~ ω Ω= ( 2.23 ) ωp jiný než ( 2.8 ). Na Obrázek 2.4 jsou pro porovnání uvedeny modulové charakteristiky normované dolní propusti pro obě možnosti normování, a to jak vzhledem k meznímu kmitočtu, tak i vzhledem ke kmitočtu pólu (rezonančnímu). 2.5.3

Horní propust RLC

Horní propust RLC 2. řádu je duální k dolní propusti RLC, rozebírané v předchozí kap. 2.5.1. Získáme ji záměnou cívky L (R) a kondenzátoru C v zapojení na Obrázek 2.3a. Přenosová funkce napětí má obecný tvar K0 p 2 a2 p 2 = K ( p) = ωp b2 p 2 + b1 p + b0 ( 2.24 ) p2 + p + ω 2p Qp

Obrázek 2.6:

Horní propust RLC 2. řádu a) zapojení obvodu, b) rozložení pólů a nulových bodů,

2.5.4

c) modulová charakteristika, d) argumentová charakteristika.

Pásmová propust RLC

Různé realizace pásmových propustí RLC 2. řádu jsou na Obrázek 2.7. Jejich přenosová funkce je obecně ωp K0 p a1 p Qp K ( p) = = . ( 2.25 ) ωp b2 p 2 + b1 p + b0 2 2 p + p+ω p Qp Parametry pásmové propusti (PP), použité ve vztahu ( 2.25 ) jsou dány následovně

Elektrické filtry

17

ω p = ω rez =

1 LC

,

Qp =

ω pL Rs

=

Rp

( 2.26 )

ω pL

Obrázek 2.7: 2. řádu.

Pásmové propusti RLC

a) se sériovým rezonančním obvodem (s rezistorem Rs), b) s paralelním rezonančním obvodem (s rezistorem Rp), c) s paralelním rezonančním obvodem a proudovým buzením. Vedle dvou komplexně sdružených pólů (Obrázek 2.8a) má PP 2. řádu jednu nulu v počátku souřadnic a druhou v nekonečnu. Modulová charakteristika (Obrázek 2.8b) je souměrná kolem ωp , asymptoty mají sklon (± 20) dB/dek. Vliv činitele jakosti na tvar modulové charakteristiky je patrný z Obrázek 2.9a. Propusti se používají s větším Q, abychom dosáhli potřebnou selektivitu. Šířku přenášeného pásma B = fh – fd určujeme nejčastěji pro pokles – 3 dB. Argumentové charakteristiky (Obrázek 2.9b) mají stejný tvar jako DP nebo HP, jen jsou posunuty (od + 90o do - 90o). Kmitočtová závislost skupinového zpoždění je tedy stejná jako na Obrázek 2.5a - závisí pouze na jmenovateli přenosu a to hlavně na hodnotě parametru Q.

Obrázek 2.8:

Pásmová propust 2. řádu.

a) rozložení pólů a nulových bodů,

b) modulová charakteristika

18


Obrázek 2.9:

Vliv činitele jakosti na charakteristiky pásmové propusti.

Přenosovou funkci pásmové propusti ( 2.25 ) někdy s výhodou modifikujeme do normovaného tvaru K0 s K 0 ∆Ωs Q = , K ( s) = ( 2.27 ) 1 1 + ∆Ωs + s 2 2 1+ s + s Q kde normovaná šířka pásma B ∆Ω = Ω h − Ω d = ( 2.28 ) fp . Činitel kvality určený z tvaru rezonanční křivky (Q ≈ Qp) ωp fp 1 = = Q= B ∆Ω ∆ω

( 2.29 )

2.5.5 Obecný RLC obvod 2. řádu Obecný obvod 2.řádu - bikvad má přenosovou funkci

ωn + ω n2 a2 p + a1 p + a0 Qn ( p − n1 )( p − n2 ) K ( p) = . = K0 =K ( 2.30 ) ( p − p1 )( p − p2 ) 0 p 2 + ω p + ω 2 b2 p 2 + b1 p +b0 p Qp Dva reálné nebo častěji komplexně sdružené póly leží v levé polorovině p a to z důvodu stability. Jejich parametry - kmitočet a kvalitu lze určit z následujících vztahů (i = 1, 2) ω pi 2 2 ω pi = (Im pi ) + ( Re pi ) , Q pi = , ( 2.31 ) 2 Re pi Dva nulové body mohou být obecně umístněné v celé rovině p. Pro ně obdobně platí ω ni 2 2 , ω ni = (Im ni ) + ( Re ni ) , Qni = ( 2.32 ) 2 Re ni 2

p2 +

Elektrické filtry

19

2.5.6 Pásmová zádrž RLC Jsou-li nulové body a póly bikvadu ( 2.30 ) rozloženy na stejné kružnici (Obrázek 2.10a), tedy když mají stejný kmitočet ωn= ωp, pak obvod má symetrickou modulovou charakteristiku (Obrázek 2.10b) s nulovým přenosem (nekonečný útlum) na kmitočtu ωn. Tyto vlastnosti má pásmová zádrž 2. řádu s přenosem K 0 ( p 2 + ω p2 ) a 2 p 2 + a0 = ⇐ ωn = ω p. K ( p) = ωp b2 p 2 + b1 p + b0 ( 2.33 ) 2 2 p + p +ωp Qp s parametry danými vztahy ( 2.26 ).

Obrázek 2.10:

Pásmová zádrž 2. řádu.

a) rozložení pólů a nulových bodů,

b) modulová charakteristika.

Argumentové charakteristiky (Obrázek 2.11b) mají tvar pro f < fn odpovídající DP, pro f > fn pak HP, s inflexním bodem v fn. Vzhledem k tomu je kmitočtová závislost skupinového zpoždění opět stejná (Obrázek 2.5a). Také i u tohoto typu filtru má na průběh kmitočtových charakteristik značný vliv hodnota činitele jakosti pólu, jak je patrno z Obrázek 2.11. Poznamenejme, že nulové body, ležící na imaginární ose (Obrázek 2.10a) mají nekonečnou kvalitu. V reálném obvodě tomu tak nemusí být a útlum pak nebude nekonečný. Dvě možné realizace pásmové zádrže RLC 2. řádu jsou uvedeny na Obrázek 2.12.

Obrázek 2.11:

Vliv činitele jakosti na charakteristiky pásmové zádrže.

20

Obrázek 2.12:


Realizace pásmové zádrže RLC 2. řádu.

a) se sériovým rezonančním obvodem,

b) s paralelním rezonančním obvodem.

2.5.7 Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu Posuneme-li nulové body na imaginární ose tak, že fn > fp (Obrázek 2.13a), získáme modifikovanou dolní propust s nulovým přenosem na kmitočtu fn, místo v nekonečnu, jak je tomu u klasické DP. Budeme ji také nazývat dolní propustí s nulovým bodem přenosu (DPN) nebo DP s rejekcí na kmitočtu fn. Realizace takovéhoto RLC filtru je na Obrázek 2.13b nebo na Obrázek 2.13c. Rejekce signálu na určitém kmitočtu (fn) je zde realizována buď sériovým nebo paralelním rezonančním obvodem, který signál buď zkratuje nebo nepropustí. Tento typ filtru spojuje vlastnosti DP a PZ. Jeho přenos je obecně dán a 2 p 2 + ω n2 K 0 ( p 2 + ω n2 ) ωn > ω p = K ( p) = , ωp ωp ( 2.34 ) 2 2 2 2 p + p +ω p p + p +ω p Qp Qp Vztah mezi kmitočty fn, fp a počáteční přenos K0 je pro zapojení na Obrázek 2.13c určen velikostí jednotlivých indukčností. To se dá postihnout přes v ( 2.34 ) zavedený parametr a2 následujícím způsobem ω 2p L1 2 , ∈ (0,1). ωn = K 0 = K ( ∞) = a 2 , a2 = ( 2.35 ) a2 L1 + L2 Poznamenejme, že obdobné vztahy platí pro zapojení na Obrázek 2.13b, v tomto případě pro kapacitory. Modulová charakteristika, v normovaném tvaru, pro různé parametry Q a a2, je na Obrázek 2.14. Čím více bude vzdálen nulový bod (nerovnost fn > fp bude větší, parametr a2 menší), tím více se charakteristika bude blížit tvaru klasické DP z Obrázek 2.4.

Obrázek 2.13:

Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu.

a) rozložení pólů a nulových bodů, b) zapojení se sériovým rezonančním obvodem, c) zapojení s paralelním rezonančním obvodem.

Elektrické filtry

21

Obrázek 2.14:

Modulové charakteristiky modifikované dolní propusti.

a) pro konstantní parametr a2 = K(∞) = 0,1 = -20 dB a různé Q, b) pro konstantní Q = 3 a různý parametr a2 2.5.8 Modifikovaná horní propust RLC 2. řádu Duální k DPN je modifikovaná horní propust RLC 2. řádu (HPN). Má obecný přenos p 2 + a 0ω n2 , ω n2 = a 0ω 2p , ω n < ω p , K (0) = a 0 < 1. K ( p) = ω ( 2.36 ) p p2 + p + ω 2p Qp Kmitočtové charakteristiky HPN mají zrcadlový průběh k DPN (Obrázek 2.14). Realizace HPN získáme z DPN (Obrázek 2.13), záměnou L a C. Tyto modifikované propusti 2. řádu HPN a DPN jsou základem složitějších eliptických Cauerových filtrů, vyznačujících se větší strmostí modulové charakteristiky při nižším řádu filtru, blíže viz kap. 4.3.3. 2.5.9

Všepropustný fázovací bikvad RLC

Všepropustný fázovací bikvad (fázovací článek) má nulové body umístěny v pravé polorovině symetricky ku dvěma komplexně sdruženým pólům (Obrázek 2.15a) p1, 2 = − σ p ± jω~ p n1, 2 = σ p ± jω~ p ( 2.37 ) , . Jedná se tedy o obvod s neminimální fází. Jeho přenos lze vyjádřit v obecném tvaru ωp 2 − p p + ω 2p 2 Qp p − b p + b0 = . K ( p) = 2 1 ( 2.38 ) ω p + b1 p + b0 p 2 2 p + p +ω p Qp Čitatel a jmenovatel jsou shodné až na znaménko u druhého členu polynomu. Modul přenosu je konstantní a argument (fáze) se s kmitočtem mění monotónně (kap. 9.1). Realizace takovéhoto fázovacího bikvadu LCR obvodem ve tvaru křížového (X) článku je na Obrázek 2.15b. Jeho návrh můžeme provést z následujících rovnic Rb R b 1 , L2 = 0 , C2 = 1 , L1 = 0 1 , C1 = b0 R0b1 b1 R0b0 ( 2.39 ) 2 2 2 ~ b = 2σ , b = ω = σ + ω . 1

p

0

p

p

p

22


Nevýhodou je značný počet součástek L a C. V kap. 9.1.4 se seznámíme s vhodnějším aktivním obvodem RC s operačním zesilovačem.

Obrázek 2.15:

Všepropustný fázovací bikvad LCR.

a) rozložení pólů a nulových bodů, b) obvodová realizace křížovým článkem. 2.5.10 Porovnání kmitočtových charakteristik základních propustí Na závěr této kapitoly jsou na Obrázek 2.16 porovnány modulové i argumentové charakteristiky nejpoužívanějších základních propustí DP, PP a HP. Všimněte si hlavně průběhu charakteristik argumentových. Všechny mají stejný tvar, jen jsou posunuty. Každý tento obvod 2. řádu natočí maximálně fázi o 180o avšak v jiném rozsahu, např. PP: od + 90o do - 90o. Kmitočtová závislost skupinového zpoždění bude tedy u všech propustí stejná, závisí pouze na jmenovateli přenosu. Připomeňme, že ta to hlavně na hodnotě parametru Q.

Obrázek 2.16:

Porovnání kmitočtových charakteristik bikvadů. a) modulových,

b) argumentových.

2.6 Kontrolní otázky ku kapitole 2 1. Pojednejte o účelu a dělení filtrů. Nakreslete modulové charakteristiky různých propustí. 2. Odvoďte modulovou a argumentovou charakteristiku dolní propusti RC 1. řádu. Nakreslete jejich typický průběh a uveďte důležité parametry. 3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů dolní propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry.

Elektrické filtry

23

4. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů horní propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry. 5. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů napěťově buzené pásmové propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry. 6. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů proudově buzené pásmové propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry. 7. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů pásmové zádrže 2.řádu se sériovým obvodem LC. Uveďte její přenos a parametry. 8. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů pásmové zádrže 2.řádu s paralelním obvodem LC. Uveďte její přenos a parametry. 9. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů modifikované (eliptické) dolní propusti 2.řádu s nulovým přenosem na určitém kmitočtu. Uveďte její přenos a parametry. 10. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů modifikované (eliptické) horní propusti 2.řádu s nulovým přenosem na určitém kmitočtu. Uveďte její přenos a parametry. 11. Jak je definován všepropustný fázovací bikvad? Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů. Nakreslete schéma jeho realizace křížovým LC obvodem.

3 Pasivní filtry RC Cíle kapitoly: Stručnou formou seznámit studenty s účelem, principem, dělením a vlastnostmi základních typů pasivních filtrů RC. Test předchozích znalostí 1. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů dolní propusti RC 1. řádu. 2. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů horní propusti RC 1. řádu.

3.1 Účel a použití pasivních filtrů RC Pasivní filtry RC samostatně vykazují jen slabě selektivní vlastnosti. Můžeme z nich sestavit jen nekvalitní filtry a to všech dříve uvedených typů DP, PP, HP, PZ. Využijeme je však jako vhodných stavebních podobvodů v aktivních filtrech ARC.

3.2 Pasívní filtry RC 1. řádu V Tabulka 3.1 je uveden přehled základních pasivních dolních a horních propustí RC 1. řádu s odvozeným přenosem napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení pólů a nulových bodů a asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik. Příklad 3.1: Dolní propust DP-RC-1B Odvoďte přenos napětí K(p) dolní propusti DP-RC-1B Tabulka 3.1. Příklad 3.2: Horní propust HP-RC-1A Odvoďte přenos napětí K(p) horní propusti HP-RC-1A Tabulka 3.1.

24

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tabulka 3.1:

Přehled pasivních filtrů RC 1. řádu

Elektrické filtry Tab. 3.1. pokračování (část 2)

25

26


3.3 Pasivní filtry RC 2. řádu V Tabulka 3.2 je uveden přehled nejpoužívanějších pasivních filtrů RC 2. řádu s odvozeným přenosem napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení pólů a nulových bodů a asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik. Tabulka 3.2:


Elektrické filtry Tab. 3.2. pokračování (část 2)

27

28

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tab. 3.1. pokračování (část 3)

Příklad 3.3: Pásmová propust PP-RC-2B Odvoďte přenos napětí K(p) pásmové propusti PP-RC-2B Tabulka 3.2. Příklad 3.4: Porovnání různých pásmových propustí Pomocí obvodového simulátoru PSpice porovnejte modulové charakteristiky tří různých pásmových propustí PP-RC-2A, PP-RC-2B a PP-RC-2W Tabulka 3.2, při hodnotách součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , C1 = C2 = 1 nF. Příklad 3.5: Pásmová zádrž PP-RC-2W Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí K(p) (v symbolickém tvaru) pásmové zádrže PP-RC-2W Tabulka 3.2. Zobrazte její modulovou charakteristiku při hodnotách součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , C1 = C2 = 1 nF. Příklad 3.6: Přemostěný T-článek RC Pomocí obvodového simulátoru PSpice a vhodně použité parametrické analýzy prostudujte vliv parametru (a) u progresivního souměrného přemostěného T-článku PZ-RC-PT-A Tabulka 3.2. Příklad 3.7: Dvojitý T-článek RC Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí K(p) (v symbolickém tvaru) souměrného dvojitého T-článku PZ-RC-DT Tabulka 3.2. Zobrazte její modulovou charakteristiku při hodnotách součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , R3 = 500 Ω, C1 = C2 = 1 nF, C3 = 2 nF.

Elektrické filtry

29

3.4 Pasívní filtry RC 3. řádu V Tabulka 3.3 jsou uvedeny dolní a horní propust RC 3. řádu s odvozeným přenosem napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení pólů a nulových bodů a asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik. Tabulka 3.3:


Příklad 3.8: Přemostěný T-článek RC Pomocí obvodového simulátoru PSpice zobrazte (pro porovnání vhodně v jednom grafu) modulové charakteristiky jednoho, dvou a tří kaskádně zařazených shodných DP-RC článků, při hodnotách součástek: R = 1 kΩ , C = 1 nF.

3.5 Kontrolní otázky a příklady ku kapitole 3 1. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů dolní propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu. 2. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů horní propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu. 3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů pásmové propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu. 4. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů Wienovy pásmové propusti RC 2.řádu. 5. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů Wienovy pásmové zádrže RC 2.řádu. 6. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů souměrného přemostěného T-článku RC.

30

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů souměrného dvojitého T-článku RC.

4 Pasivní filtry LC(R) vyšších řádů Cíle kapitoly: Seznámit studenty se zadáváním požadavků a specifikací filtrů vyšších řádů. S používanými aproximacemi, s kmitočtovou transformací a normováním. S pomůckami pro návrh, s katalogy a programy. Naučit studenty navrhnout filtry pasivních příčkových struktur LC(R) a filtry s vázanými rezonančními obvody. Test předchozích znalostí 1. Jak vypadá obecná přenosová funkce filtru vyšších řádů z matematického pohledu? 2. Definujte charakteristickou funkci filtrace. 3. Vysvětlete princip kmitočtového normování. 4. Jak určíme řád obvodu s minimální fází?

4.1 Princip, účel a použití filtrů LC(R) vyšších řádů Zvětšení strmosti přechodu modulové charakteristiky jsme si ukázali na dolní propusti 1. a 2. řádu (kap.2.5.1). Záměnou kmitočtově závislého induktoru L za nezávislý rezistor R jsme získali strmější filtr. Obecně platí, že strmost filtru je dána jeho řádem (n *20 dB/dek). Důraznější oddělení propustného a nepropustného pásma dosáhneme u filtrů LC(R) vyšších řádů, které můžeme získat jednoduše kaskádním nebo složitějším řazením již uvedených obvodů 1. a 2. řádu nebo jiných podobvodů (článků) z Tabulka 4.1. Syntéza není jednoduchá, protože podobvody se vzájemně ovlivňují. Nejčastěji se tyto filtry vyskytují ve formě příčkové struktury, vhodně složené z článků LC (Tabulka 4.1) a zakončené stejnými zatěžovacími rezistory, někdy však tato shodnost není možná nebo požadována. Tabulka 4.1:

Základní typy podobvodů příčkových struktur filtrů LC(R).

Libovolně složitý filtr LC(R) má napěťový přenos v obecném tvaru racionálně lomené funkce ( 2.10 ). Zvláštní skupinu tvoří jednodušší polynominální filtry (all-pole), které mají všechny nulové body v nekonečnu a tedy polynom pouze ve jmenovateli ( 2.12 ), odpadá u nich nastavení konečných hodnot nulových bodů, dosahují však menší strmost pásma

Elektrické filtry

31

přechodu. Často ve filtrech pracujeme s relativním přenosem ( 2.13 ) (vzhledem ku Ko), ziskem vyjádřeným v dB ( 2.13 ), popřípadě útlumem ( 2.14 ), což je inverzní hodnota přenosu. Při návrhu filtrů vycházíme ze zadaného tolerančního schématu (pole). Pro zadané toleranční pole vybereme určitou aproximující funkci, ta musí probíhat ve vymezeném kanálu. Podle způsobu aproximace pak rozlišujeme různé typy filtrů uvedené v kap. 4.3. Butterworthovy filtry (kap.4.3.1) se vyznačují maximálně plochou modulovou charakteristikou v propustném pásmu. Toho se dosahuje na vrub malé strmosti přechodu mezi pásmy a nelineární argumentové charakteristiky. V řadě praktických použití však tyto filtry nacházejí široké uplatnění (patří mezi obvodově nejjednodušší). Větší strmost mají filtry Čebyševovy (kap. 4.3.2), které jsou založeny na izoextremální aproximaci (zvlnění) v propustném pásmu. Cauerovy filtry (kap. 4.3.3) umožňují dosáhnout při stejném řádu největší strmost modulové charakteristiky, zvlnění je jak v propustném tak i nepropustném pásmu. Tyto filtry se nehodí pro přenos impulsů, z důvodu značných překmitů přechodné charakteristiky, také fázová charakteristika je velmi nelineární (skupinové zpoždění je značně zvlněné). Opačné vlastnosti, tedy konstantní skupinové zpoždění, mají filtry Besselovy. Při návrhu filtrů používáme kmitočtové a impedanční normování, jehož výsledkem jsou normované hodnoty součástek (kap. 4.2 ). V katalozích jsou tabelizovány normované dolní propusti (NDP) různého řádu a typu aproximací. Proto zadané toleranční schéma (pole) požadovaného typu filtru (např. PP) transformujeme a normujeme na toleranční pole NDP. K němu v katalogu vybereme obvodovou strukturu NDP. V dalším kroku pak přecházíme, zpětnou kmitočtovou transformací a odnormováním, z NDP na požadovaný typ filtru (např. PP), což podrobně probereme v kap. 4.4.

4.2 Normování a transformace Jak jsme již uvedli v předchozí kap. 4.1, při návrhu pasivních filtrů RLC s výhodou používáme kmitočtové a impedanční normování a transformace různých typů filtrů (DP, PP, HP, PZ) na NDP. Zjednoduší se tím výrazně podklady pro návrh, např. katalogy filtrů. Kmitočtové normování jsme zavedli v kap. 2.3 a je definované vztahy ( 2.8 ). Společné kmitočtové a impedanční normování lze definovat následovně ω L R , l= 0 , c = ω 0 CR0 . r= ( 4.1 ) R0 R0 Zde Ro je normující odpor (např. zatěžovací Rz), ωo je normující (např. mezní) kmitočet. Výsledkem jsou normované hodnoty součástek, označované malými písmeny. V katalozích (např. [ 6] nebo Tabulka 4.6) jsou tabelizovány normované dolní propusti (NDP) různého řádu a typu aproximací. Proto zadané toleranční shéma (pole) požadovaného typu filtru (např. PP) transformujeme a normujeme dle Obrázek 4.1 na toleranční pole NDP (blíže kap. 4.4.1). K němu navrhneme (kap. 4.4.4) obvodovou strukturu NDP. Kmitočtovou transformací a odnormováním, stručně zachyceným v Tabulka 4.2, pak přecházíme z NDP na požadovaný typ filtru, v našem případě na PP ( blíže kap. 4.4.5).

32


Obrázek 4.1:

Transformace tolerančních polí různých typů filtrů. DP, PP, HP a PZ na toleranční pole NDP.

V případě zadání šířky pásma (∆ω) u geometricky souměrných PP nebo PZ lze vypočítat dolní a horní kmitočet ωc resp. ωs dle následujícího vztahu ∆ω 2 ∆ω ( 4.2 ) ) ± ω1,2 = ω 02 + ( 2 2 Poznamenejme, že jen u velmi úzkého pásma lze geometrickou souměrnost nahradit jednodušší souměrností aritmetickou. Příklad 4.1: Transformace tolerančního schématu pásmové zádrže Toleranční schéma pásmové zádrže: fc1= 2 kHz, fc2= 6 kHz, Ac =1 dB, fs1= 3 kHz, fs2= 4 kHz, As =40 dB, transformujte na normovanou dolní propust. Nakreslete obě toleranční schémata.

Elektrické filtry Tabulka 4.2:

33 Transformace a odnormování normované dolní propusti. K získání zapojení požadovaného typu filtru (DP, PP, HP, PZ).

34

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.2: Transformace tolerančního schématu pásmové propusti Toleranční schéma pásmové propusti: ωs1= 100 rad/sec, ωs2= 700 rad/sec, As =30 dB, ωc1= 300 rad/sec, ωc2= 600 rad/sec, Ac =3 dB, transformujte na normovanou dolní propust. Nakreslete obě toleranční schémata. Příklad 4.3: Transformace tolerančního schématu pásmové propusti Toleranční schéma pásmové propusti: fm1=900 Hz, fm2= 1100 Hz, Km =- 3 dB, fp1= 800 Hz, fp2= 1200 Hz, Kp =-40 dB, transformujte na normovanou dolní propust. Nakreslete obě toleranční schémata.

4.3 Typy filtrů dle použité aproximace Pro zadané toleranční pole resp. útlumový plán (Obrázek 4.1) vybíráme určitou aproximující funkci. V kap. 4.1 jsme stručně uvedli ty nejpoužívanější. Teď si je podrobně rozebereme. Poznamenejme, že podle zvolené aproximace pak rozlišujeme a nazýváme i různé typy filtrů. Na Obrázek 4.2 jsou uvedeny typické průběhy kmitočtových charakteristik základních typů filtrů. Typické charakteristické rysy by jste si měli důkladně zapamatovat!

c) Obrázek 4.2:

d)

e)

Kmitočtové charakteristiky základních typů filtrů

a) Butterworthův filtr, b) Čebyševův filtr, c) inverzní Čebyševův filtr, d) Cauerův filtr, e) Besselův filtr a jeho srovnání s Butterworthovým. 4.3.1

Butterworthova aproximace

Charakteristickou funkci filtrace ( 2.15 ) lze vyjádřit ve tvaru polynomu F (Ω 2 ) = β 0 + β 1Ω 2 +... β n Ω 2 n . ( 4.3 ) U Butterworthových (polynominálních) filtrů je tato funkce nahrazena jednodušším vztahem (mocninová aproximace) F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Ω 2 n ( 4.4 ) kde ε je parametr odpovídající šířce kanálu v propustném pásmu ((Obrázek 4.3a)

Elektrické filtry

Obrázek 4.3:

35

Butterworthův filtr.

a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení pólů (nulové body jsou v nekonečnu), c) modulové charakteristiky různých řádů, d) přechodné charakteristiky pro různý řád, d) charakteristiky skupinového zpoždění pro různý řád. ε = 10 0,1 Amax − 1 . Běžně pro Amax = A( f c ) = 3,01 dB ε = 1. Přenosová funkce filtru má pak pro různý řád následující jmenovatele D1 ( s) = 1 + s D2 ( s) = 1 + 2 + s 2

(

D3 ( s) = 1 + 2 s + 2 s + s = (1 + s) 1 + s + s 2

3

2

)

Další koeficienty jsou až do 10-tého řádu uvedeny v Tabulka 4.3 Modulová charakteristika K0 K ( Ω) = 1 + ε 2 Ω 2n je v propustném pásmu maxiálně plochá (Obrázek 4.3)a, c.

( 4.5 ) ( 4.6 )

( 4.7 )

( 4.8 )

36


4.3.2

Čebyševova aproximace

Čebyševova aproximace je izoextremální aproximace, kdy funkce filtrace ( 2.15 ) je vyjádřena vztahem F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Tn2 (Ω) , ( 4.9 ) kde parametr ε (dovoleného zvlnění v propustném pásmu) je dán vztahem ( 4.5 ). Čebyševovy polynomy jsou obecně definovány následovně Tn (Ω) = cos(nar cos Ω), Ω ≤ 1, ( 4.10 )

Tn (Ω) = cosh(n ar cosh Ω) ,

Ω >1 .

( 4.11 )

Absolutní hodnota polynomu Tn (Ω) pro Ω ≤ 1 kmitá mezi nulou a jedničkou ( 4.10 ). Aproximace se proto nazývá izoextremální. Pro Ω > 1 hodnota monotónně narůstá ( 4.11 ).

→Ω Obrázek 4.4:

Čebyševův filtr.

a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení pólů (nulové body jsou v nekonečnu), c) modulové charakteristiky sudých řádů, s dovoleným zvlněním v propustném pásmu 3 dB, d) jejich detail v propustném pásmu. Modulová kmitočtová charakteristika (Obrázek 4.4) je dána vztahem αK 0 K (Ω) = , 1 + ε 2 Tn2 (Ω)

( 4.12 )

Elektrické filtry

37

kde α = 1 , n − liché α = 1 + ε 2 , n − sudé Přesné hodnoty normovaných koeficientů Bi jmenovatele přenosové funkce ( 2.11 ) jsou opět uvedeny v Tabulka 4.3. 4.3.3

Cauerova aproximace

Cauerova aproximace je charakteristická zvlněním v propustném i nepropustném pásmu (obr. 4.6a), nulovým přenosem (nulovými body) na konkrétním kmitočtu (Obrázek 4.5b). Funkce filtrace ( 2.15 ) je aproximována vztahem F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Rn2 (Ω) , ( 4.13 ) Parametr dovoleného zvlnění ε je dán opět vztahem ( 4.5 ). Racionálně lomená funkce Rn(Ω) je dána Jacobiho eliptickým dvojrozměrným sinem sn2 modulu d ( 4.15 ) a argumentu u, který je určen eliptickými integrály K(d),K(k) ( 4.14 ), což je podrobněji rozebráno v [ 11]. K (d ) Rn (Ω) = sn 2 (nu d ) . u= F (arsinΩ d ) ( 4.14 ) K(k ) Útlumový činitel (diskriminační faktor) 0 ,1 A 10 S − 1 d = 0,1 A ( 4.15 ) 10 C − 1 . Činitel selektivity (k) je dán vztahem ( 4.20 ). Modifikovaný činitel selektivity, jako doplňkový faktor, je pak ( 4.16 ) k d = 4 1 − k −2 Modulární činitel (zavedený v teorii eliptických integrálů) q = q 0 + 2q 05 + 15q 09 + 150q 013 kde

q0 =

1 1 − kd 2 1 + kd .

Obrázek 4.5:

Cauerův filtr.

a) Útlumová charakteristika, 4.3.4

( 4.17 )

b) rozložení pólů a nulových bodů

Besselova aproximace

Besselovy (Thomsonovy) filtry mají příznivější průběh přechodové charakteristiky, konstantní skupinové zpoždění a lineární průběh fázové charakteristiky, v širokém kmitočtovém pásmu, jak ještě ukážeme v kap. 4.3.6. Navržen je tak, aby skupinové zpoždění bylo konstantní τ (Ω) = konst . pro Ω ≤ 1 .

38


Normované skupinové zpoždění (vzhledem k meznímu kmitočtu ) ω τ ( Ω) = f m τ ( Ω) = m τ ( Ω) . τ N ( Ω) = ( 4.18 ) 2π Tm V přenosu tohoto polynominálného filtru ( 2.12 ) jsou koeficienty Bi dány Besselovými polynomy [ 11] (2 N − i ) . Bi = N −1 ( 4.19 ) 2 i !( N − 1)! Jejich normované hodnoty (do n = 10) jsou opět uvedeny v Tabulka 4.3

Obrázek 4.6:

Besselův filtr.

a) modulové charakteristiky, b) přechodné charakteristiky, c) charakteristiky skupinového zpoždění. 4.3.5

Další aproximace

Inverzní Čebyševova aproximace má plochou modulovou charakteristiku (Obrázek 4.7a) v propustném pásmu a zvlněnou v pásmu tlumení, s výraznými rejekcemi (nulovými body). Má lepší fázové vlastnosti a přechodnou charakteristiku (Obrázek 4.7b) téměř stejné jako u odpovídající Butterworthovy aproximace a to za cenu větší složitosti filtru. Můžeme ji navrhnout (inverzně) s využitím vztahů pro klasickou Čebyševovu aproximaci. Tranzitivní Besselova-Butterworthova aproximace je kompromisem mezi lepšími vlastnostmi Besselovy a větším útlumem v nepropustném pásmu Butterworthovy aproximace. Míru kompromisu volíme hodnotou tranzitivního parametru. Lepších útlumových vlastností dosáhneme i při lineární fázové charakteristice u tranzitivních aproximací s nulami přenosu, např. s aproximací Feistelovou - Unbehauenovou.

Elektrické filtry

Obrázek 4.7:

39

Inverzní Čebyševova aproximace různého řádu

a) Modulové charakteristiky, 4.3.6

b) přechodné charakteristiky

Srovnání různých aproximací

Na závěr této kapitoly provedeme na dvou příkladech srovnání zavedených aproximací. Na Obrázek 4.8 jsou uvedeny útlumové charakteristiky horních propustí různého řádu a typu aproximace. Z něj je patrné, že Cauerův filtr 3. řádu dosahuje přibližně stejné strmosti jako Čebyševův filtr 4. řádu a Butterworthův filtr 7. řádu.

Obrázek 4.8:

Charakteristiky HP různého řádu a typu aproximace.

Porovnání charakteristik různých typů polynominálních filtrů 4. řádu je na Obrázek 4.9. Nejstmější je zde Čebyševův filtr. Strmější by byl Cauerův filtr (není však polynominální), u něhož modulová charakteristika neklesá monotoně (zvlnění v nepropustném pásmu). Z průběhu skupinového zpoždění (Obrázek 4.9d) je zřejmá výhoda Besselových filtrů. Ze srovnání přechodových charakteristik (Obrázek 4.9b) je zřejmé, že tyto filtry jsou vhodné k přenosu impulsů.

40 Tabulka 4.3:

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Koeficienty jmenovatele normované přenosové funkce filtrů ( 2.11 ), pro různý řád (do n = 10) a při různých druzích aproximace.


41 Rozklad jmenovatele normované přenosové funkce filtrů

vhodný pro kaskádní syntézu, pro různý řád (do n = 10) a při různých druzích aproximace.

42


Obrázek 4.9:

Srovnání charakteristik filtrů 4. řádu různých typů

a) modulové charakteristiky, c) charakteristiky skupinového zpoždění,

b) argumentové charakteristiky d) přechodné charakteristiky

4.4 Návrh příčkových článků LC(R) 4.4.1 Zadání požadavků na filtr Různě formulované požadavky zákazníka na filtr nutno upřesnit na přesně definované toleranční pole modulové charakteristiky filtru Obrázek 4.1. V něm musí být specifikováno: a) propustné pásmo b) nepropustné pásmo c) přechodné pásmo - přípustné zvlnění přenosu ∆K, - minimální zaručený útlum As, - strmost charakteristiky, - kmitočty fc a fs, - požadované potlačení, - dovolený max. útlum AC, - činitel selektivity k. - max. dovolený přenos KS,. - nejmenší přenos KC, - míra dovoleného zvlnění ε.

Elektrické filtry

43

Jen zřídka je zadán požadovaný skutečný průběh modulové charakteristiky, k němuž se má filtr s dovolenou chybou přiblížit. V některých případech jsou zadány i požadavky na fázi resp. skupinové zpoždění. Z takto zadaných požadavků volíme nejprve vhodnou aproximaci a typ filtru (kap. 4.3). Zadané toleranční pole požadovaného typu filtru (např. PZ) transformujeme a normujeme dle Obrázek 4.1 na toleranční pole normované dolní propusti (NDP), čímž se návrh sjednotí a zjednoduší. 4.4.2 Určení řádu NDP Hlavní pomocnou veličinou, kterou nejprve určíme, je činitel selektivity ω ω F Pro NDP: k = s = Ω S , k > 1 , pro DP: k = s pro HP: k = c . ( 4.20 ) Fc ωc ωs Podle zvoleného typu filtru (kap. 4.3) určíme některou z dalších pomocných veličin: - útlumový činitel d ( 4.15 ), - doplňkový činitel selektivity kd ( 4.16 ), - modulární činitel q ( 4.17 ). Z těchto pomocných veličin určíme pro zvolený typ filtru řád NDP. A to nejlépe dle následujících vztahů. Pro Butterworthův filtr log d n≥ ( 4.21 ) 2 log k . Pro Čebyševův filtr arccos h d n≥ arccos h k . Pro Cauerův filtr log 16d n≥ log q −1

( ).

( 4.22 )

( 4.23 )

Jednodušší je použít nomogramy na Obrázek 4.10. Jejich použití je zřejmé z návodu na Obrázek 4.10 d. Řád NDP můžeme také určit z průběhu modulových charakteristik uvedených v kap.4.3. V případě Besselova filtru, pro který neznáme potřebný vzorec, je to jediný způsob (Obrázek 4.6). Řád filtru nám určí i návrhové programy, jako je např. NAF. Příklad 4.4: Transformace PP na NDP Maximálně plochá pásmová propust je dána toleranční polem: fm1=900 Hz, fm2= 1100 Hz, Km =- 3 dB, fp1= 800 Hz, fp2= 1200 Hz, Kp =-40 dB, transformujte ji na normovanou dolní propust a určete řád filtru.

44


Obrázek 4.10:

Nomogramy k určení řádu NDP

a) pro Butterworthovy filtry, c) pro Cauerovy filtry, 4.4.3

b) pro Čebyševovy filtry, d) návod použití nomogramů.

Přepočet na parametry používané v katalogu

Pro některé katalogy je nutno vypočítat další, tam používané, parametry. Pro Saalův katalog [ 6] je to činitel odrazu

ρ=

1 − 10 −0,1 Amax

,

a modulární úhel 180° arcsin k −1 . Θ= π Tyto vztahy jsou graficky zpracovány na Obrázek 4.11.

( 4.24 )

( 4.25 )

Elektrické filtry

Obrázek 4.11:

45

Grafy k přepočtu parametrů. a) činitele odrazu, b) modulárního úhlu.

4.4.4 Výběr zapojení a určení hodnot NDP Z určeného řádu NDP (kap. 4.4.2) a dalších pomocných veličin (kap. 4.4.3) vybíráme pro zvolenou aproximaci v katalogu zapojení a určujeme hodnoty součástek (r, l, c) normované dolní propusti. Velmi kvalitní a obsáhlý je Saalův katalog [ 6]. Jeho uspořádání je patrno z Tabulka 4.5. V běžné praxi však vystačíme s jednoduchým katalogem pro návrh příčkových filtrů RLC, uvedeným v Tabulka 4.6. V případě, že vypočtený řád NDP v jednoduchém katalogu pro zvolenou aproximaci není, volíme pochopitelně nejbližší řád vyšší, čímž zaručíme, že filtr požadavky zákazníka určitě splní. 4.4.5

Odnormování a kmitočtová transformace NDP na požadovaný typ filtru

V posledním kroku návrhu filtru provedeme odnormování a kmitočtovou transformaci NDP (nalezené v kap. 4.4.4 ) na požadovaný typ filtru (např. PP). Použijeme k tomu Obrázek 4.1 a Tabulka 4.2. Je zřejmé, že přechodem NDP na PP se změní úplně zapojení filtru, tak jak nám to určí Tabulka 4.2. Postup návrhu si blíže osvětlíme na následujících příkladech. Příklad 4.5: Návrh Butterworthovy dolní propusti. Navrhněte maximálně plochou Butterworthovu dolní propust, zatíženou R1=R2=600 Ω, šířka kanálu v propustném pásmu je Amax =1,25 dB, propustné pásmo je 0 až 10 kHz, na kmitočtu fs = 40 kHz požadujeme minimálně Amin =30 dB. Příklad 4.6: Návrh Cauerovy dolní propusti Navrhněte Cauerovu eliptickou dolní propust, zatíženou R1=R2=1 kΩ, s mezním kmitočtem fm = 1 kHz, dovolené zvlnění v propustném pásmu je ∆A =1,25 dB, v nepropustném pásmu na kmitočtu fs = 2 kHz požadujeme minimální útlum Amin =35 dB. K návrhu použijte a) Saalův katalog [ 6], b) jednoduchý katalog z Tabulka 4.6. Příklad 4.7: Modifikace Cauerovy dolní propusti. Vypočítejte hodnoty součástek v Příklad 4.6 pro R1=R2=100 kΩ. Výsledeky porovnejte z hlediska realizovatelnosti filtru. Příklad 4.8: Parametry Cauerovy dolní propusti. V Příklad 4.6 určete a) přenos napětí K0 pro f→ 0, b) kmitočet nulového bodu, kdy filtr má minimální přenos.

46

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.9: Návrh Cauerovy horní propusti. Navrhněte horní propust s Cauerovou aproximací, zatíženou rezistory R1=R2=75 Ω, s mezním kmitočtem fm = 174 MHz, v propustném pásmu je dovoleno zvlnění ∆K=- 1 dB, v nepropustném pásmu na kmitočtu fs = 122 MHz je dovolen max. přenos pouze Kmax = -35 dB. K návrhu použijte Saalův katalog [ 6].

Tabulka 4.5:

Příklad uspořádání katalogu příčkových filtrů RLC [ 6 ]


47 Jednoduchý katalog pro návrh příčkových filtrů RLC.

48


Tabulka 4.6 Jednoduchý katalog pro návrh příčkových filtrů RLC – pokračování - část 2

Elektrické filtry Tabulka 4.6 Jednoduchý katalog pro návrh příčkových filtrů RLC – pokračování - část 3

49

50




51

52




53

54


Příklad 4.10: Návrh Cauerovy pásmové propusti. Navrhněte eliptickou Cauerovu pásmovou propust, se zatěžovacími rezistory R1=R2=800 Ω, se středním kmitočtem fo = 1,4 kHz, se šířkou pásma B-1dB = 160 Hz, v propustném pásmu je dovoleno zvlnění ∆K=- 1 dB, v nepropustném pásmu na kmitočtu fs1 = 1,1 kHz požadujeme přenos (útlum) Ks1 = -50 dB. Příklad 4.11: Počítačová kontrolní analýza. Pomocí obvodového simulátoru PSpice proveďte kontrolní analýzu navržených filtrů v a) Příklad 4.6, b) Příklad 4.9, c) Příklad 4.10.

4.5 Reálný příčkový filtr LC(R) 4.5.1

Vliv ztrát v reálném filtru

Vliv ztrát cívek a kondenzátorů se dá postihnout velikostí činitelů jakosti (resp. ztrátového úhlu kondenzátoru). Je zřejmé, že určující budou ztráty v cívkách. 1 ω L QC−1 =tgδ = QL = o , QC >> QL. ( 4.26 ) Rs ω oCRP Tímto jevem je bohužel nejvíce ovlivněno přechodné pásmo modulové a argumentové charakteristiky reálného filtru. Daleko náročnější jsou PP a PZ. Modelování ztrát na počítači je možné přidáním ztrátových odporů Rs resp. Rp. Vhodné simulace umožňuje návrhový program NAF. Jev se dá dobře studovat i pomocí obvodového simulátoru PSpice, kde ztrátové odpory zadáme vzorcem ( 4.26 ) a parametrickou analýzou měníme přímo Q. Kontrolujeme zda se vejdeme do zadaného tolerančního pole. Opatřením jsou kvalitní cívky - vf lanka (postříbřená) a dokonalá jádra. Popřípadě zkusíme zvýšit řád filtru nebo místo příčkové struktury použijeme vázané obvody. Příklad 4.12: Určení hodnoty Q cívek v dolní propusti Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete potřebnou hodnotu kvality cívek, ve filtru navrženém v Příklad 4.6 tak, aby zadané toleranční pole bylo dodrženo. Příklad 4.13: Určení hodnoty Q cívek v pásmové propusti Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete potřebnou hodnotu kvality cívek, ve filtru navrženém v Příklad 4.10 tak, aby zadané toleranční pole bylo dodrženo. 4.5.2

Vliv tolerance hodnot použitých součástek

Vliv jednotlivých prvků filtru na přenosovou funkci lze posoudit citlivostní analýzou [ 1].Každá obvodová funkce F(p,x) závisí obecně nejen na komplexním kmitočtu p (resp. kmitočtu ω), ale i na parametrech (x) všech obvodových prvků. Velká změna modulu či argumentu, která je u selektivních obvodů, je tedy vždy doprovázena velkou citlivostí na změny obvodových prvků, přičemž v oblastech, kde se kmitočtové charakteristiky mění rychleji, problémy s vysokými citlivostmi narůstají. Tak je tomu při vyšším řádu filtru, vyšším činiteli jakosti Q, u PP a PZ a zvláště pak v oblasti přechodu mezi propustným a nepropustným kmitočtovým pásmem. Nejčastěji pracujeme s jednoparametrovou relativní citlivostí definovanou vztahem [ 1] Sr ( F , x ) ≡ S xF =

∂ F F ∂ ln F x = = Sa ( F , x ) ∂x x ∂ ln x F

( 4.27 )

Elektrické filtry

55

Pak relativní změna obvodové funkce je dána ∆F x ∂ F  ∆ x  ∆ x =&   = Sr ( F , x )      x  F F ∂x x

( 4.28 )

U jednoduchých obvodů můžeme srovnávat citlivosti v symbolickém tvaru, což nabízí program SNAP. Pokud není výraz příliš složitý můžeme z něj usoudit o vlivu jednotlivých součástek. Tak jako každá obvodová funkce, tak i její relativní citlivost je obecně komplexní funkcí kmitočtu a lze sestrojit odpovídající grafy udávající, v které kmitočtové oblasti je modul (nebo i argument) citlivosti největší. To vše dovoluje opět program SNAP. Čistě numerickou citlivostní a hlavně pak toleranční analýzu nabízí program PSpice. Toleranční analýza - počítačové experimenty, zda charakteristika nevybočí ze zadaného pole. Budeme provádět dva druhy počítačových experimentů: a) zjištění přímého vlivu tolerance hodnot jednotlivých součástek individuálně, vyplyne z toho na které součástce si výroba musí dát nejvíc záležet a zda je výroba filtru vůbec reálná, b) současná změna všech součástek, pro různé ∆L, ∆C, ∆R (dané výrobou), se náhodně mění, použijeme metodu Monte Carlo resp. Worst case v PSpice, význam to má pro sériovou výrobu, pro dodržení požadovaného tolerančního pole. Největší citlivosti vykazují prvky podílející se na tvorbě nulových bodů (u Cauerových filtrů). Citlivosti narůstají s řádem filtru, s činitelem kvality a větší selektivitou (užší pásmo). Vedle citlivostí přenosových funkcí pracujeme i s citlivostmi parametrů filtrů, jako např. citlivost mezního kmitočtu, citlivost činitele jakosti apod. Pro srovnání různých zapojení filtrů používáme také víceparametrové citlivosti [ 1] MSr ( F , x ) =

n

∑

Sr ( F , xi )

i =1

WSr ( F , x ) =

n

∑

Sr ( F , xi )

( 4.29 )

i =1

Blíže o citlivostech viz. Teorie obvodů [ 1]. Příklad 4.14: Symbolická citlivostní analýza filtru. Pomocí programu SNAP proveďte symbolickou citlivostní analýzu filtru navrženého v Příklad 4.6. Prostudujte i kmitočtovou závislost jednotlivých relativních citlivostí. Příklad 4.15: Toleranční analýza dolní propusti. Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete dovolenou hodnotu tolerancí součástek, ve filtru navrženém v Příklad 4.6 tak, aby zadané toleranční pole bylo dodrženo. Příklad 4.16: Toleranční analýza pásmové propusti. Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete dovolenou hodnotu tolerancí součástek, ve filtru navrženém v Příklad 4.10 tak, aby zadané toleranční pole bylo dodrženo.

4.6 Pásmové propusti s vázanými strukturami LC(R) Pro velmi selektivní (úzkopásmové) filtry (PP a PZ) jsou příčkové struktury méně vhodné. A to pro velký rozptyl, popřípadě extremní hodnoty některých součástek. Nebo je požadován velmi vysoký činitel kvality. Obojí způsobuje, že filtr je prakticky nerealizovatelný. V tom případě s výhodou použijeme struktury LC(R) s vázanými rezonanční obvody.

56


Základními stavebními bloky zde jsou paralelní rezonanční obvody Obrázek 4.12. Ty mohou být vázány: - vazebními kapacitory Cv, jsou nejčastěji používané, proto omezíme na ně náš návrh, - vazebními induktory Lv, používané jen zřídka, technologicky je to méně vhodné, - induktivní vazba M, výrobně náročnější, použití v mf zesilovačích. Rezonanční obvody mohou být: - shodně laděné, - různě - rozloženě laděné. Kapacitně vázané rezonanční obvody jsou na Obrázek 4.12. Princip je zřejmý z Obrázek 4.12b. Dvě impedance (Z1, Z2) 2. řádu (LC) jsou vázány vazebním kapacitorem Cv, což v podstatě tvoří horní propust s velkým Q. Ta se zde využívá jako nesymetrická pásmová propust Obrázek 4.12a.

Obrázek 4.12:

Kapacitně vázané rezonanční obvody

a) modulová charakteristika, b) dvě impedance vázané kapacitorem (Cv), c) zapojení filtru 6. řádu Návrh: Zapojení prototypu polynominální normované dolní propusti podle kap.4.4. Transformace na kapacitně vázanou strukturu provedeme tak, že v NDP všechny součástky li, ci uvažujeme jako významově shodné koeficienty ai. Podle následujících vztahů ( 4.30 ) vypočteme hodnoty součástek vázané struktury (Obrázek 4.12c.): 1 ∆fR 1 ( Cv = − mCv Li = Ci = 2 2 2 4.30 ) 2π f o R 2π f o ai 4π f o Li kde m = 1 pro krajní a m = 2 pro vnitřní rezonanční obvody. Je-li potřeba, provedeme impedanční přizpůsobení, připojením zátěže R na odbočku, rozdělením posledního Ci na dva kapacitory.

Elektrické filtry

57

Příklad 4.17: Návrh filtru s vázanými rezonančními obvody Navrhněte pásmovou propust pro FM mf zesilovač, s vázanými rezonančními obvody, se zatěžovacími rezistory R1= R2= 300 Ω, se středním kmitočtem fo = 10,7 MHz, se šířkami pásma: B-3dB = 200 kHz a B-40dB = 200 kHz.

4.7 Kontrolní otázky ku kapitole 4 1. Pojednejte o pasivních filtrech RLC vyšších řádů, používané struktury zapojení, jejich vlastnosti a využití. 2. Popište kmitočtové a impedanční normování používané při návrhu filtrů, uveďte příklady použití. 3. Pojednejte o účelu a způsobu transformace různých propustí a zádrží na normovanou dolní propust, uveďte příklady použití. 4. Nakreslete základní typy příčkových článků používaných v příčkových strukturách filtrů RLC. 5. Pojednejte o typech filtrů podle použité aproximace. Proveďte jejich srovnání v kmitočtové i v časové oblasti Pro uvedené typy nakreslete typické průběhy kmitočtových charakteristik. 6. Pojednejte o Butterworthově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti. 7. Pojednejte o Čebyševově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti. 8. Pojednejte o Cauerově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti. 9. Pojednejte o Besselově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti. 10. Nakreslete příklad Cauerovy (eliptické) dolní propusti RLC 3. řádu. Porovnejte zapojení a vlastnosti se stejným filtrem Butterworthovým. 11. Popište způsob zadávání požadavků na filtr, přepočet na katalogové hodnoty. 12. Popište způsob určování řádu filtru při různých aproximacích. 13. Popište princip práce s katalogem filtrů.

5 Aktivní prvky a funkční bloky ve filtrech Cíle kapitoly: Zopakovat aktivní prvky a funkční bloky, probrané v předmětu Analogové elektronické obvody [ 1 ]. Zvláště se zaměřit na nejvíce používaný operační zesilovač. Tyto znalosti rozšířit o moderní funkční bloky, používané v současných filtrech. Test předchozích znalostí V tomto případě půjde o náročnější a podrobnější zopakování znalostí z [ 1 ]. Veškeré následující informace využijeme dalších kapitolách a budou součástí zkoušky z tohoto předmětu. Než přistoupíte ke studiu další kapitoly měli by jste umět zodpovědět následující otázky: 1. Vyjmenujte aktivní prvky a funkční bloky používané v moderních analogových obvodech, se kterými jste se doposud seznámil. 2. Které řízené zdroje znáte? 3. Definujte zdroj napětí řízený napětím, uveďte jeho značku a model. 4. Definujte zdroj napětí řízený proudem, uveďte jeho značku a model. 5. Definujte zdroj proudu řízený napětím, uveďte jeho značku a model. 6. Definujte zdroj proudu řízený proudem, uveďte jeho uveďte a model. 7. Definujte imitanční invertor, uveďte jeho značku, druhy a kaskádní matici. 8. Definujte imitanční konvertor, uveďte jeho značku, druhy a kaskádní matici.

58


9. Definujte gyrátor, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. Ukažte jeho typické použití. 10. Definujte ideální zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. 11. Definujte ideální diferenční zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. 12. Definujte ideální sumační zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. 13. Definujte ideální zesilovač proudu, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. 14. Definujte ideální operační zesilovač typu DISO, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. 15. Nakreslete způsob stejnosměrného napájení a zemnění standardního operačního zesilovače (DISO). 16. Nakreslete schéma a odvoďte zesílení neinvertujícího zesilovače s OA-DISO. 17. Nakreslete schéma a odvoďte zesílení invertujícího zesilovače s OA-DISO. 18. Definujte ideální operační zesilovač typu SIDO, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. Ukažte jeho základní aplikaci – invertující proudový zesilovač a sledovač. 19. Definujte ideální operační zesilovač typu DIDO, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. Ukažte jeho základní aplikaci – převodník U→I. 20. Pojednejte o současných moderních operačních zesilovačích. 21. Nakreslete a popište blokové schéma klasického (napěťového) operačního zesilovače. 22. Uveďte základní vlastnosti reálného klasického (napěťového) operačního zesilovače. 23. Nakreslete a popište kmitočtovou modulovou charakteristiku klasického (napěťového) operačního zesilovače, standardního a nestandardního průběhu. Jak a proč se provádí její korekce? 24. Nakreslete a popište pracovní (převodní) charakteristiku klasického (napěťového) operačního zesilovače, definujte napěťový offset a drift, možnost a způsoby kompenzace. 25. Pojednejte o klidových a zbytkových vstupních proudech reálného operačního zesilovače a způsobech kompenzace. 26. Popište způsob vyšetřování stability obvodu s reálným operačním zesilovačem. 27. Co jsou to proudové konvejory, uveďte jejich vlastnosti, dělení a základní rozlišovací znaky. 28. Definujte klasický tříbranový proudový konvejor, uveďte jeho značku, popis a vlastnosti. Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 5.4 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1].

5.1 Aktivní prvky filtrů - zesilovače 5.1.1

Operační zesilovače

Operační zesilovače (OA) jsou nejpoužívanějšími prvky v aktivních filtrech. Standardní napěťové OA se však dají použít jen v pásmu nižších kmitočtů. Na vyšších kmitočtech musíme použít rychlé OZ specielních struktur a jiné funkční bloky, o nichž se zmíníme v dalších kapitolách. Podrobnosti v požadovaném rozsahu o reálném napěťovém operačním zesilovači najdete v kapitole 5.4 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1].

Elektrické filtry 5.1.2

59

Zesilovače napětí a proudu

Ideální zesilovač napětí (IZN) s konečnou hodnotou zesílení A je v podstatě řízený zdroj VCVS [ 1].Ve filtrech využíváme jak neinvertující (+A), tak i invertující(-A) typu SISO, popřípadě DISO, což je diferenční IZN, kdy výstupní napětí je dáno zesílením rozdílu dvou vstupních napětí. Tyto IZN často realizujeme pomocí OA. V novějších filtrech se setkáme i s typem DIDO (diferenční je i výstup) a MIDO (s více vstupy), který umožňuje realizovat IZN se sumací více napětí. Duální je ideální zesilovač proudu (IZP), který se používá v moderních filtrech v proudovém módu [ 19]. V podstatě jde o řízený zdroj CCCS [ 1] typu SISO, SIDO nebo i SIMO, v jehož vnitřní struktuře používáme i několik proudových zrcadel [ 1],[ 19]. Podrobnosti v požadovaném rozsahu o těchto základních funkčních blocích najdete v kapitole 5.4 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1]. 5.1.3 Transadmitanční zesilovače Transadmitanční (TYOA) nebo transkonduktivní operační zesilovače jsou v podstatě zdroje proudu řízené diferenčním napětím (VCCS-DISO), popsané vztahem iout = YT (u 2 − u1 ) , ( 5.1 ) s parametrem YT, představujícím přenosovou admitanci, popřípadě v jistém pásmu pouze kmitočtově nezávislou vodivost GT. Průmyslově vyráběné TYOA v integrované podobě mají možnost měnit v určitém širokém rozsahu hodnotu GT pomocným řídícím ss proudem (IQADJ na Obrázek 5.2). To pak dovoluje elektronicky nastavovat parametry nebo přelaďovat navrhované filtry ARC.

Obrázek 5.1:

Blokové schéma transkonduktivního operační zesilovače

Jedním z prvních integrovaných TYOA je RCA 3140. Z obvodového hlediska se tento IO skládá (Obrázek 5.1) ze dvou podobvodů, s možností i odděleného použití. A to ze zdroje proudu řízeného napětím (VCCS-DISO) a napěťového zesilovače resp. sledovače (VCVSSISO), při čemž oba pracují v značně širokém kmitočtovém rozsahu. Proto se také v některé literatuře [ 9 ] RCA 3080 a RCA 3140 označují jako IO se sdruženými zdroji. Příkladem moderních TYOA jsou LM 13700 (Obrázek 5.2a) a OP 660 (Obrázek 5.2b), který se komerčně nazývá „diamantový“ (myslí se ideální) tranzistor. Jedná se o integrované obvody, všestranně použitelné v oblasti video. Dají se však vhodně použít i ke konstrukci vf ARC filtrů, netradičních struktur, z nichž některé ukážeme v kap. 6.6

60


Obrázek 5.2:

a) b) Moderní transkonduktivní operační zesilovače.

5.1.4 Transimpedanční zesilovače Transimpedanční (TZOA) nebo transrezistivní operační zesilovače jsou v podstatě zdroje napětí řízené proudem (CCVS) s přenosovou impedancí ZT resp. rezistencí RT. Svými vlastnostmi předčily klasické napěťové OA. Předně je to podstatně vyšší tranzitní kmitočet fT (kolem 100 MHz) a větší hodnota přenosového parametru RT (až 109Ω). Dále pak větší rychlost přeběhu, větší linearita pracovní charakteristiky a tím i dynamika, menší ztráty a malé napájecí ss (nesymetrické) napětí. Příkladem TZOA je AD 846 (Obrázek 5.3a). Ten má oproti jiným přístupnou kompenzační svorku (Z), kterou budeme ve filtrech vhodně pracovně využívat. Dále má vstupní neinvertrující vysokoohmovou svorku (Y) a nízkoohmovou (proudovou) invertrující svorku (X). Vstupní část (X, Y, Z) představuje tříbranový proudový konvejor (CC II), na který navazuje napěťový sledovač (Z, out). Tento prvek lze také nazvat OA s proudovou zpětnou vazbou, kterou přivádíme do svorky X.

Obrázek 5.3: 5.1.5

a) b) Transimpedanční zesilovač (a) a Nortonův zesilovač (b).

Nortonův zesilovač

U Nortonova zesilovače (Obrázek 5.3b) byl klasický OA doplněn na vstupu proudovým zrcadlem, čímž se získal proudem řízený prvek. Firma National semiconductor je již delší dobu vyrábí ve dvojicích (LM 359) nebo i čtveřicích LM 3900 (s horšími parametry ale výhodnou cenou). Hodí se k realizaci elektricky řízených zesilovačů, popřípadě i filtrů ARC, využívajíc ss buzení do neinvertujícího vstupu.

Elektrické filtry

61

5.2 Funkční bloky 5.2.1

Gyrátory

S gyrátorem (Obrázek 5.4) jsme se seznámili v předmětu Analogové elektronické obvody [ 1]. Je to pozitivní imitanční invertor, který ve filtrech využíváme k simulaci a náhradě klasických cívek. Schématická značka s parametry – gyračními vodivostmi, je na Obrázek 5.4a. Většinou bývá gyrátor symetrický g1 = g2= g. Možná je realizace gyrátoru se dvěma antiparalelně zapojenými řízenými zdroji VCCS (Obrázek 5.4b). Tento obvod použijeme také při simulaci ideálního gyrátoru v obvodovém simulátoru PSpice.

Obrázek 5.4:

Gyrátor.

a) schématická značka s parametry, b) možná realizace (model) s řízenými zdroji. U reálného gyrátoru, jehož model je na Obrázek 5.5, uvažujeme gyrační vodivosti kmitočtově závislé g 1 g (ω ) = , τ= . ( 5.2 ) 1 + pτ ωm

Obrázek 5.5:

Model reálného gyrátoru.

Model doplníme o parazitní ztrátové vodivosti (G1, G2) a zavedeme činitel jakosti gyrátoru 1 g1 g 2 Q= ( 5.3 ) 2 G1G2 Gyrátor můžeme realizovat řízenými zdroji VCCS (Obrázek 5.4b) nebo i s jinými funkčními bloky. Velmi vhodné je Riordanovo zapojení se dvěma operačními zesilovači na Obrázek 5.6. Gyrátor se dá také pořídit jako hotový zákaznický integrovaný obvod (Obrázek 5.7). Komerčně dostupný masově vyráběný IO nám v současnosti není znám. Dostupné gyrátory jsou většinou zemněné, plovoucí jsou zbytečně složité a nákladné. Příklad 5.1: Simulace indukčnosti gyrátorem Gyrátor na Obrázek 5.4a zatižte na výstupní bráně (c, d) kapacitorem (C)a metodou uzlových napětí vypočítejte vstupní impedanci na bráně (a, b).

62 Tabulka 5.1:

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Využití gyrátorů k simulaci částí filtrů.

Elektrické filtry

63

Z Příklad 5.1 vyplývá, že vstupní impedance má ryze induktivní charakter 1 Z inp = p C z = pLek . ( 5.4 ) g1 g 2 U reálného gyrátoru je na vstupu vedle požadované indukčnosti Lek i parazitní kmitočtově závislá vodivost Gp(ω).

Obrázek 5.6:

Riordanův gyrátor s operačními zesilovači.

Obrázek 5.7:

Gyrátor jako zákaznický integrovaný obvod (SN 15010)

Využití gyrátorů k simulaci částí (podobvodů) filtrů je souhrnně uvedeno v Tabulka 5.1. Poznamenejme, že zde velmi záleží na orientaci bran gyrátorů (znázorněnou tečkami). Záměnou obvod nepracuje, jak požadujeme. 5.2.2

Impedanční konvertory

S impedanční konvertory (IK) jste se seznámili v [ 1 ]. Je-li konstantní činitel konverze k nahrazen konverzní funkcí k(p) hovoříme o zobecněném impedančním konvertoru (ZIK). Jeho shématická značka je na Obrázek 5.8. V některé literatuře se ZIK nazývá mutátor. Lze jej popsat kaskádní maticí A (Obrázek 5.8).

Obrázek 5.8:

Zobecněný impedanční konvertor a jeho popis.

64


Na dalších obrázcích si uvedeme dva příklady realizace a využití ZIKů s operačními zesilovači. ZIK na Obrázek 5.9 má konverzní funkci k(p) = pK a zatížený rezistorem (G6) simuluje indukčnost (Lek).

Obrázek 5.9:

Impedanční konvertor realizující syntetický induktor, s dvěma OA a konverzní funkcí k(p) = pK.

Představíme-li si v tomto zapojení (Obrázek 5.9) místo konkrétních prvků R a C obecné admitance se stejnými indexy, můžeme odvodit následující obecné vztahy pro vstupní impedanci a konverzní funkci YY Z inp = 3 5 Z 6 = k ( p ) Z 6 . ( 5.5 ) Y2Y4 Uvažujeme-li reálné operační zesilovače s A(ω) vztah ( 5.5 ) se rozšíří o multiplikativní kmitočtově závislý faktor neideality M(p, A0, ωT). Pro zapojení na Obrázek 5.9, dosazením do vztahu ( 5.5 ), dostaneme ekvivalentní indukčnost CG Lek = 3 5 R6 . ( 5.6 ) G2G4

Obrázek 5.10:

Impedanční konvertor realizující syntetický prvek FDNR, s dvěma OA a konverzní funkcí k(p) = p-1K.

Příklad 5.2: Zobecněný impedanční konvertor realizující FDNR Pomoci programu SNAP vypočítejte vstupní admitanci zapojení ZIK na Obrázek 5.10. Z Příklad 5.2 vyplývá, že . ZIK na Obrázek 5.10 má konverzní funkci k(p) = p-1K a zatížený rezistorem (G6) simuluje syntetický prvek nazývaný FDNR (kap.5.3.3).


65

Proudové konvejory

Také s proudovými konvejory jste se seznámili v [ 1 ]. Tyto funkční mnohobrany mají různě definovány vztahy mezi branovými proudy (konvejování proudů) a jinak a nezávisle definovány vztahy mezi branovými napětími. Na Obrázek 5.11 jsou uvedeny dva nejpoužívanější proudové konvejory – tříbranový a pětibranový. Iy2

Iy

Vy

Ix

CC y

Iz z

x Vx

Obrázek 5.11:

Vz

Iy1

Ix

(y2) (y1)

Vy2 Vy1

(x) Vx

DVCC y-

z-

Vz2

(z2)

y+ z+

(z1)

x

Vz1

a) Nejpoužívanější proudové konvejory. a) tříbranový, b) pětibranový.

Iz2

Iz1

b)

Klasický tříbranový konvejor CC 30111 (Obrázek 5.11a), dříve označovaný CCII+, je popsán následujícími vztahy mezi branovými veličinami u X = uY , iY = 0, iZ = i X . ( 5.7 ) Reálné proudové konvejory mají lepší kmitočtové vlastnosti než běžné operační zesilovače. S výhodou je použijeme v ARC filtrech v proudovém módu (kap. 6.6 ). V poslední době se objevily nové typy vícebranových proudových konvejorů, které dovolují širší využití a netradiční aplikace i v proudovém módu. Pětibranový proudový konvejor s diferenčním napěťovým vstupem a vyváženým proudovým výstupem DVCC na Obrázek 5.11b patří mezi nejvhodnější.

5.3 Syntetické prvky ve filtrech 5.3.1

Syntetické induktory

Kvalitní (bezeztrátové) zemněné syntetické induktory můžeme snadno realizovat gyrátorem nebo ZIKem tak, jak jsme to popsali v předchozích kapitolách (kap. 5.2.1 a 5.2.2). Plovoucí (neuzemněný) syntetický induktor můžeme lehce realizovat plovoucím gyrátorem, který není uzemněn. Bohužel ten je však příliš obvodově náročný a drahý. Vhodnější varianta je se dvěma zemněnými gyrátory, což je uvedeno v Tabulka 5.1. Obdobné zapojení se dvěma zemněnými ZIKy je na Obrázek 5.12.

Obrázek 5.12:

Plovoucí syntetický induktor realizovaný dvěma ZIKy.

S dvěma zemněnými gyrátory nebo ZIKy lze realizovat i seskupení cívek. S gyrátory je to opět uvedeno v Tabulka 5.1. Poznamenejme, že zde dochází i k topologické inverzi (např. T-článku na Π-článek). K ni nedochází použijeme-li dva ZIKy (Obrázek 5.13). Činnost mutátorů (ZIKů) se zde dá interpretovat jako transformace R na L, při zachování jejich topologie.

66


Obrázek 5.13: 5.3.2

Simulace seskupení cívek dvěma ZIK-y.

Jednoduché syntetické induktory

Pro méně náročné aplikace můžeme použít jednoduché ztrátové syntetické induktory, které vedle hlavního parametru – Lek vykazují i jistý ztrátový odpor (Rs resp Rp). U těchto zapojení jsou však často tyto parametry navíc i kmitočtově závislé Lek(ω), Rs(ω).

Obrázek 5.14: Prescottův syntetický induktor. Jednoduchý (a), s dvěma větvemi zpětné vazby (b) a jejich modely – sériový (c), paralelní (d). Na Obrázek 5.14a je jednoduchý Prescottův syntetický induktor, s jednou větví (C) zpětné vazby. Pro zesílení A = 1 je vstupní impedance obvodu Z inp = 2 R + pCR 2 . ( 5.8 ) Obvod tedy představuje značně ztrátový syntetický induktor, s kmitočtově nezávislými parametry Lek, Rs, (pozor odpor Rp(ω) je však kmitočtově závislý). Pro jinou hodnotu zesílení A než jedna, budou všechny parametry kmitočtově závislé Lek(ω), Rs(ω). Tyto závislosti (v normovaném tvaru) jsou pro vaši představu uvedeny na Obrázek 5.15. Příznivější vlastnosti kmitočtového průběhu Lek(ω), Rs(ω) má Prescottův obvod, dvěma větvemi zpětné vazby Obrázek 5.14b.

Obrázek 5.15:

Kmitočtové závislosti parametrů Prescottova SI.


67

Syntetický prvek FDNR

Pro struktury filtrů DCR (kap. 8.3) využijeme syntetický prvek zvaný FDNR (kmitočtově závislý negativní rezistor), se vstupní admitancí a s parametrem D Yinp = p 2 D . ( 5.9 ) V některé literatuře se tento prvek také nazývá bicistor nebo méně vhodně dvojný kapacitor. Jednodušší realizace FDNR vykazují branovou admitanci Yinp = p 2 D + pC p ( 5.10 ) a jsou duální obdobou ztrátových induktorů. S ideálním zemněným FDNR realizovaným ZIKem jsme se seznámili na Obrázek 5.10. Podrobně jsme jej analyzovali v Příklad 5.2 a obdrželi parametr CCG Dek = 2 4 6 . ( 5.11 ) G3G5 Poznamenejme, že obdobně jako u syntetických induktorů, můžeme pomocí dvou ZIKů realizovat plovoucí FDNR nebo jejich skupinu. V méně náročných filtrech použijeme jednoduché zapojení FDNR. Příklad dvou takovýchto zapojení je na Obrázek 5.16. U duálního Prescottova obvodu FDNR na Obrázek 5.16a, při nedodržení podmínky shodných hodnot kapacit nebo nedodržení zesílení A = 1, budou parametry Dek(ω), Cp(ω) kmitočtově závislé.

Obrázek 5.16: 5.3.4

Jednoduché FDNR a jejich modely.

Syntetické dvojpóly vyšších řádů

Pro syntézu aktivních filtrů můžeme vhodně využít i syntetické dvojpóly vyšších řádů, které se objevily v poslední době. Jde o obvody s operačními zesilovači nebo jinými funkčními bloky (proudovými konvejory, TZOA, TYOA), které na vstupní bráně vykazují impedanci Z inp = X 0 + pX 1 + p 2 X 2 + ... + p n X N , ( 5.12 ) nebo obdobnou admitanci. Jednoduchým děličem s těmito prvky můžeme přímo realizovat polynominální filtry vyšších řádů, např. ss přesné dolní propusti pro převodníky. Jiné aktivní obvody přímo realizují požadovanou impedanci, odpovídající kombinaci více základních dvojpólů. Jako příklad uveďme přímou simulaci rezonančních obvodů. Ty pak tvoří stavební bloky (podobvody) složitějších filtrů.

5.4 Kontrolní otázky ku kapitole 5 1. Pojednejte o vícebranovém zesilovači napětí, uveďte jeho popis a vlastnosti. 2. Pojednejte o vícebranovém zesilovači proudu, uveďte jeho popis a vlastnosti. 3. Pojednejte o Nortonůvu zesilovači, uveďte jeho popis a vlastnosti.

68

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4. 5. 6. 7.

Definujte transimpedanční zesilovač, uveďte jeho popis a vlastnosti. Definujte transadmitanční zesilovač, uveďte jeho popis a vlastnosti. Nakreslete blokové schéma transkonduktivního operační zesilovače. Definujte zobecněný imitanční konvertor, uveďte jeho popis, vlastnosti a pojednejte o jeho použití ve filtech. 8. Nakreslete schéma zobecněného imitančního konvertoru se dvěma OA a ukažte, jak se s ním dá simulovat uzemněný syntetický induktor. 9. Nakreslete schéma zobecněného imitančního konvertoru se dvěma OA a ukažte, jak se s ním dá simulovat syntetický prvek FDNR. 10. Definujte gyrátor a ukažte jeho typické použití k simulaci uzemněného a plovoucího syntetického induktoru. 11. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí dvou gyrátorů. 12. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí dvou zobecněných imitančních konvertorů. 13. Pojednejte o jednoduchých zapojeních syntetických induktorů, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 14. Pojednejte o bezeztrátových syntetických induktorech (zemněných i plovoucích), nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 15. Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 16. Pojednejte o realizaci jednoduchých FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 17. Pojednejte o syntetických prvcích vyšších řádů a jejich využití ve filtrech.

6 Aktivní filtry RC 1. a 2. řádu Cíle kapitoly: Zopakovat aktivní filtry RC 1. a 2. řádu, probrané v předmětu Analogové elektronické obvody [ 1].Tyto poznatky doplnit a rozšířit o další používaná zapojení. Zvláště se zaměřit na filtry s jedním zesilovačem. Naučit studenty navrhnout tyto filtry. Seznámit studenty s dalšími typy ARC bikvadů s dvěma i třemi OZ, s eliptickými bikvady, s možnostmi přelaďování a nastavování jejich parametrů. Test předchozích znalostí 1. Nakreslete schéma invertujícího aktivního derivátoru s operačním zesilovačem. Co představuje za filtr? 2. Nakreslete schéma invertujícího aktivního integrátoru s operačním zesilovačem. Co představuje za filtr? Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 12.3 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1].

6.1 Aktivní filtry RC 1. řádu 6.1.1

Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1

ADP1 má obecně přenosovou funkci a0 K0 K ( p) = , K (s) = . b0 + b1 p 1 + B1 s

( 6.1 )

Elektrické filtry

69

Na Obrázek 6.1a je pasivní DP-RC s oddělovacím zesilovačem (ADP1-1) s přenosovou funkcí v normovaném tvaru K R 1 p , ωm = , K ( s) = 0 s= K0 = 1+ 2 . ( 6.2 ) 1+ s RC R3 ωm Invertující integrátor s operačním zesilovačem (ADP1-2) na Obrázek 6.1b (bez R2) má přenosovou funkci 1 1 1 K (s) = − , ωm = . K ( p) = − , ( 6.3 ) pR1C R1C s Jeho modifikace na ztrátový integrátor (ADP1-3) přidáním rezistoru R2 (Obrázek 6.1b) − K0 R 1 p , ωm = , K ( s) = s= K0 = 2 . ( 6.4 ) 1+ s R2 C R1 ωm Požadujeme-li základní přenos K0 s kladným znaménkem, tedy neinvertující integrátor použijeme zapojení na Obrázek 6.1c nebo před invertující integrátor (Obrázek 6.1b) přidáme invertující sledovač napětí s OZ.

Obrázek 6.1:

Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1

a) pasivní DP-RC s oddělovacím zesilovačem (ADP1-1), b) invertující integrátor s operačním zesilovačem (ADP1-2) a jeho modifikace (čárkovaně) na ztrátový integrátor (ADP1-3), c) neinvertující integrátor s operačním zesilovačem (ADP1-4). 6.1.2

Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1

Aktivní horní propusti RC 1. řádu (AHP1) jsou duální k dolním ADP1. Jedno zapojení AHP1-1 (Obrázek 1.1) jsme analyzovali v Příklad 1.1. Druhé zapojení AHP1-2 je derivátor s operačním zesilovačem, který jste nakreslili ve vstupním testu této kapitoly. Příklad 6.1: Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1-2 Odvoďte přenosovou funkci napětí, mezní kmitočet a K(∞) aktivního derivátoru s operačním zesilovačem.

70


Příklad 6.2: Rozložení pólů a nulových bodů ADP1 a AHP1 Snad i průměrný student dokáže nakreslit pro ADP1 a AHP1 rozložení pólů a nulových bodů. Ti slabší si na pomoc mohou vzít Tabulka 3.1.

6.2 Obecné struktury ARC filtrů 2. řádu s jedním zesilovačem Jak jsme již uvedli v kap. 2.5 filtry 2. řádu (bikvady) jsou základním stavebním blokem pro kaskádní i jinou syntézu složitějších filtrů. Můžeme je však použít i přímo v méně selektivních aplikacích. Nejpoužívanějšími aktivními bikvady jsou zapojení s jedním zesilovačem, běžně označované SAB (single amplifier biquad). Existuje nepřeberné množství těchto obvodů. Většinu z nich můžeme zařadit do některé z následujících obvodových struktur, souhrnně uvedených na Obrázek 6.2.

Obrázek 6.2: Obecné struktury ARC bikvadu s jedním zesilovačem – SAB. a) s dvěma dvojbrany SAB-2D, b) s trojbranem SAB-TR, c) Bridgmanova-Brennarova struktura SAB-BB, d) s dvěma T-články SAB-2T.

Elektrické filtry

71

Příklad 6.3: Obecná struktura s dvěma dvojbrany SAB-2D Předpokládejte, že oba pasivní dvojbrany v zapojení na Obrázek 6.2a jsou popsány admitančními parametry. Pomocí programu SNAP vypočítejte přenos napětí. Příklad 6.4: Modifikace zapojení SAB-2D Předchozí Příklad 6.3 modifikujte pro operační zesilovač A →∞. Příklad 6.5: Obecná struktura s trojbranem SAB-TR Předpokládejte, že pasivní dvojbran v zapojení na Obrázek 6.2b je popsán admitančními parametry. Pomocí programu SNAP vypočítejte přenos napětí. Příklad 6.6: Obecná struktura s dvěma T-články SAB-2T Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-2T na Obrázek 6.2d. Příklad 6.7: Obecná Bridgmanova-Brennarova struktura SAB-BB Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-BB na Obrázek 6.2c, a) pro ideální zesilovač napětí (A), b) pro operační zesilovač A →∞. Řada ARC bikvadů vychází z obecné struktury s trojbranem SAB-TR (Obrázek 6.2b). Sem lze zahrnout i nejrozšířenější Bridgmanovu-Brennarovu strukturu SAB-BB se dvěma smyčkami zpětné vazby (Obrázek 6.2c). Výsledek přenosu z Příklad 6.7 lze upravit do následujícího obecného tvaru A ⋅ N ( p) K ( p) = , D1 ( p) − AD2 ( p) N ( p) = Y1Y3 , ( 6.5 ) D1 ( p) = (Y3 + Y4 + Y6 )(Y1 + Y2 + Y5 ) + Y3 (Y4 + Y6 ) , D2 ( p ) = Y6 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) + Y2Y3 Dle znaménka (±) zesílení A rozlišujeme různé modifikace tohoto zapojení. Z hlediska citlivosti je vhodnější SAB-BB(-A) s invertujícím zesilovač (-A), protože jmenovatel v přenosu ( 6.5 ) nebude dán rozdílem. U zapojení SAB-BB(+A) lze však dosáhnout většího Q a zesilovač se lépe realizuje. Pro operační zesilovač (A →∞) dostáváme variantu SABBB(OA) s jednodušším přenosem, který lehce určíme limitou vztahu ( 6.5 ). Na Obrázek 6.2d je obecná struktura s dvěma T-články SAB-2T. Je natolik obecná, že se na ni dají převést všechny známé struktury, např. i SAB-BB. Tato struktura SAB-2T dovoluje realizovat i eliptické bikvady s nulovými body přenosu (kap.6.7). Zapojení má několik variant vyznačených v Obrázek 6.2d.

6.3 Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem SAB-LP mají přenos obecně daný vztahem ( 2.16 ) nebo v normovaném tvaru ( 2.18 ). Existuje celá řada zapojení, z nichž čtyři jsou uvedeny na Obrázek 6.3. Nejpoužívanější jsou zapojení Sallen-Key a Huelsman, které v následujících kapitolách podrobně rozebereme. 6.3.1

Zapojení Sallen-Key SAB-LP-SK

Jde o konkretizaci a modifikaci SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde Y6 = Y5 = 0. Tedy jde o zapojení s jednou smyčkou zpětné vazby (Obrázek 6.3a). Neinvertující zesilovač je často realizován známým obvodem s operačním zesilovačem (OA, RA, RB).

72


Obrázek 6.3: Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem. a) zapojení Sallen – Key SAB-LP-SK, b) zapojení Huelsman SAB-LP-H, c) zapojení se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D, b) zapojení pro ss přenos SAB-LP-DC. Příklad 6.8: Zapojení SAB-LP-SK (Sallen – Key). Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-SK na Obrázek 6.3a. Z výsledků Příklad 6.8 lze pro SAB-LP-SK odvodit následující parametry R 1 , K0 = A = 1+ B , ω p = RA R1C 2 R3C 4

( 6.6 ) R3C 4 R1C 4 R1C 2 d =Q = . + + (1 − A) R1C 2 R3C 2 R3C 4 Pro návrh v praxi používáme různé varianty, které v následujícím blíže rozebereme a srovnáme, včetně citlivostí. −1

6.3.1.1 Návrhová varianta SAB-LP-SK-1 Obecná nezjednodušená varianta SAB-LP-SK-1, má libovolné hodnoty součástek i zesílení. Je výrobně i návrhově nejsložitější. Můžeme s ni však dosáhnout nejvyšší hodnotu Q < 25. Zavedeme poměrové veličiny R R C r= B, n= 3, m= 4. ( 6.7 ) RA R1 C2 Pak pro parametry ( 6.6 )lze psát následující vztahy 1 K0 = A = 1+ r , , ωp = R1C 2 mn ( 6.8 ) m r −1 d = Q = mn + − . n mn

Elektrické filtry

73

Návrh varianty SAB-LP-SK-1: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 25) nejprve volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné. Nemá-li jistou zkušenost a cit, pomůže nám následující empirický vztah 10 −7 C≅ . ( 6.9 ) fp 2. Vypočteme poměrovou veličinu m a hodnoty kapacit 1 C m≤ 2 , C2 = , C4 = C m. Q m Skutečnou hodnotu C1 = C4 = C volíme co nejblíže z vyráběné řady 3. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru 1 1 R n≤ , R= , R1 = , R3 = R n . 2 2π f p C mQ n 4. Vypočteme poměrovou veličinu r a hodnoty odporů zesilovače 1 10 3 ,. r= 2, R A = 10 3 r , RB = Q r

( 6.10 )

( 6.11 )

( 6.12 )

Příklad 6.9: Návrh SAB-LP-SK-1 Navrhněte maximálně plochou (Butterworthovu) aktivní dolní propust 2. řádu, s mezním kmitočtem fm = 100 Hz, s užitím návrhové varianty SAB-LP-SK-1. 6.3.1.2 Návrhová varianta SAB-LP-SK-2 Návrhová varianta SAB-LP-SK-2 má libovolné hodnoty součástek. Zesílení A = 1, což má příznivé vlastnosti na stabilitu a nízké citlivosti obvodu (kap. 6.3.1.5). Můžeme s ni dosáhnout hodnotu Q < 15. V zapojení na Obrázek 6.3a je: RA = 0 a RB = ∞ (zkrat), R1 = R, R3 = nR, C2 = C, C4 = mC. Tato varianta má parametry dány následujícími vztahy 1 m K 0 = A = 1, , d = Q −1 = (n + 1) . ωp = ( 6.13 ) n RC mn Návrh varianty SAB-LP-SK-2: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 15) nejprve volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ). 2. Vypočteme poměrovou veličinu m a hodnoty kapacit 1 m≤ , C2 = C , C 4 = mC. ( 6.14 ) 4Q 2 3. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru 1 1 , R1 = R, R3 = nR. n ≤ k + k 2 − 1, k = − 1, R = ( 6.15 ) 2 2mQ 2π f p C mn Příklad 6.10: Návrh SAB-LP-SK-2 Předchozí Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-2. 6.3.1.3 Návrhová varianta SAB-LP-SK-3 Návrhová varianta SAB-LP-SK-3 má stejné hodnoty součástek R1 = R3 = R, C2 = C4 = C a A < 3. Je velmi citlivá na přesnou hodnotu zesílení A. Při jeho nepatrné změně se mění výrazně Q a typ aproximace, což dokumentuje Tabulka 6.1.

74

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Parametry této varianty jsou dány jednoduchými vztahy 1 1 K0 = A , ωp = , Q= RC 3− A

( 6.16 )

Tabulka 6.1:

Hodnota A pro různé aproximace v SAB-LP-SK-3. Aproximace - Q: zesílení A Kritické tlumení (Q=0,5) A=1 Besselova aproximace A = 1,27 Butterworthova aproximace A = 1,59 Čebyševova aproximace se zvlněním 0,5 dB A = 1,84 Čebyševova aproximace se zvlněním 1 dB A = 1,96 Čebyševova aproximace se zvlněním 0,5 dB A = 2,23 A =3 Nestabilní obvod (Q=∞) Návrh varianty SAB-LP-SK-3: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 10) nejprve volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ). 2. Vypočteme hodnoty kapacit a hodnoty odporů filtru 1 C2 = C4 = C , R= , R1 = R3 = R. ( 6.17 ) 2π f p C 3. Vypočteme zesílení a navrhneme odpory rezistorů zesilovače 1 10 3 1 , r = 2− , RB = R A = 10 3 r . A = 3− , ( 6.18 ) Q Q r Příklad 6.11: Návrh SAB-LP-SK-3 Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-3. 6.3.1.4 Návrhová varianta SAB-LP-SK-4 Návrhová varianta SAB-LP-SK-4 je charakteristická hodnotou zesílení A = 2, , stejnými kapacitory C2 = C4 = C, ale různými rezistory R1 ≠ R3. Tato varianta má parametry dány jednoduchými vztahy R1 1 K0 = A = 2 , ωp = , Q= R3 C R1 R3

( 6.19 )

Návrh varianty SAB-LP-SK-4: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 10) nejprve volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ). 2. Vypočteme hodnoty stavebních prvků filtru R QC C2 = C4 = C , R1 = , R3 = 12 . ( 6.20 ) 2π f p Q Pro zesílení A = 2 navrhneme odpory rezistorů zesilovače RA = RB. Příklad 6.12: Návrh SAB-LP-SK-4 Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-4. 6.3.1.5 Srovnání návrhových variant SAB-LP-SK V Tabulka 6.2 jsou přehledně uvedeny relativní citlivosti všech návrhových variant SAB-LP-SK. Z jejich srovnání vyplývají následující závěry: • Mezní kmitočet resp. kmitočet pólu je u všech zapojení citlivý minimálně.

Elektrické filtry

75

•

Opak však platí pro činitele kvality. Jeho citlivost je přímo úměrná jeho hodnotě. Pro Q > 5 je prakticky již neúnosná. Na štěstí u DP málo kdy požadujeme takovouto hodnotu. • Nejméně citlivá je varianta SAB-LP-SK-2, avšak na úkor většího rozptylu hodnot součástek, což pro výrobu není příliš vhodné. • Opak platí pro variantu SAB-LP-SK-3. • U varianty SAB-LP-SK-1 je optimální volit co nejmenší hodnotu poměrové veličiny m.

Tabulka 6.2:

Srovnání návrhových variant SAB-LP-SK

citlivost S AQ

SAB-LP-SK-1 Q mn

SAB-LP-SK-2 0,5

SAB-LP-SK-3 3Q-1

SAB-LP-SK-4 2Q

S RQ1 = − S RQ3

− 0,5 + Q mn

0

-0,5+2Q

0,5+Q

S CQ2 = − S CQ4

 m  0,5 − 0,5 + Q  + mn   n  ωp S A = 0, S Rω,pC = 0,5

-0,5+2Q

0,5+Q

6.3.2

Zapojení Huelsman SAB-LP-H

Zapojení Huelsman SAB-LP-H je uvedeno na (Obrázek 6.3b). Patří v současnosti mezi nejpoužívanější. Jde modifikaci SAB-BB (Obrázek 6.2c), s rozvětvenou zpětnou vazbou, kde je použit místo IZN operační zesilovač (A = ∞). Příklad 6.13: Zapojení SAB-LP-H (Huelsman). Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-H na Obrázek 6.3b. Z výsledků Příklad 6.13 lze pro SAB-LP-H odvodit následující parametry C6  R2 R3 R3 R2  1 R + + , d = Q −1 = K0 = − 2 , ω p =   . ( 6.21 ) C5  R1 R2 R3  R1 R2 C5 R3C6 Návrh bikvadu SAB-LP-H: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu K0, fp a Q (Q < 10) nejprve volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ). 2. Vypočteme poměrovou veličinu m a hodnoty kapacit 1 m≤ , C5 = C C 6 = mC. ( 6.22 ) 2 4Q (1 − K 0 ) 3. Vypočteme hodnoty odporů

R2 =

1 ± 1 − 4(1 − K 0 )Q 2 m 4π f p QmC

,

R1 =

R2 , − K0

R3 =

1 . 4π f mC 2 R2 2

2 p

( 6.23 )

Příklad 6.14: Návrh SAB-LP-H Navrhněte Butterworthovu aktivní dolní propust 2. řádu, s mezním kmitočtem fm = 100 Hz a přenosem K0 = -10, s užitím bikvadu SAB-LP-H. Návrh porovnejte s Příklad 6.9. Příklad 6.15: Citlivosti bikvadu SAB-LP-H. Pomocí programu SNAP vypočítejte relativní citlivosti přenosu napětí bikvadu SABLP-H na změnu jednotlivých pasivních prvků.

76


V Příklad 6.15 jsme vyšetřili relativní citlivosti přenosu napětí tohoto bikvadu, viděli jsme složitý symbolický tvar a komplexní kmitočtovou závislost těchto funkcí. Pro posouzení citlivosti daného zapojení je u bikvadu vhodnější vypočítat citlivosti jeho parametrů tak, jak jsme to udělali i u SAB-LP-SK (Tabulka 6.2). Relativní citlivosti u tohoto zapojení SAB-LP-H jsou následující: S Rω2p = S Rω3p = S Cω5p = S Cωp6 = −0,5, S Rω1p = 0, S RK1 = − S RK2 = −1, Q Q ( 6.24 ) S CQ6 = − S CQ5 = −0,5, S Rd 2 ( 3) = 0,5 − , S Rd1 = ω p R 2 ( 3) C 5 ω p R1C 5 Z uvedeného vyplývá, že obě zapojení mají přibližně stejné vlastnosti a obě se také nejvíce používají. Bikvad SAB-LP-H je obsahuje méně součástek (o jeden R), je méně citlivý než základní varianta SAB-LP-SK-1, ale více než SAB-LP-SK-2, můžeme s ním dosáhnou hodnotu činitele kvality jen Q < 10, což je méně než u SAB-LP-SK-1 (Q < 25). 6.3.3

Další zapojení SAB-LP

Vedle SAB-LP-SK a SAB-LP-H najdeme v literatuře celou řadu dalších bikvadů SABLP. Při jejich použití doporučujeme udělat si počítačovou analýzu, daného zapojení. Na Obrázek 6.3c je příklad zapojení bikvadu se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D. Příklad 6.16: Bikvad se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D Proveďte počítačovou analýzu bikvadu se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D na Obrázek 6.3c, odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a návrhové vztahy. Na Obrázek 6.3d je zapojení aktivní dolní propusti 2. řádu SAB-LP-SS, přenášející i stejnosměrnou složku, což jiné SAB-LP neumožňují. Vychází ze zvláštní struktury uvedené v [ 22 ]. Dá se použít pro běžnou kaskádní syntézu, ale i pro zvláštní řazení pod sebe, což tvoří vlastně dvojpól vyššího řádu. Zapojení je velmi vhodné např. pro použití v A/D převodnících. Stručně uvedeme jeho návrh. Pro zadaný mezní kmitočet fm a vybranou aproximaci, nebo-li zadané normované koeficienty, vypočteme hodnoty rezistorů 2 B2 B1 , , R2 = R1 = ( 6.25 ) 4π f m C 2π f m B1C . když před tím jsme volili C1 = C2 = C. Počáteční přenos K0 = 1. Příklad 6.17: Bikvad přenášející i ss složku SAB-LP-SS Proveďte počítačovou analýzu bikvadu SAB-LP-SS na Obrázek 6.3d, odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a uvedené návrhové vztahy.

6.4 Horní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem Horní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem (SAB-HP) jsou duální k SAB-LP. Jejich přenos je obecně dán vztahem ( 2.24 ). Tak jako u pasivních filtrů i SAB-HP jednoduše získáme ze stejného typu SAB-LP záměnou R ↔ C. Pro jejich návrh platí obdobné poznatky jako pro SAB-LP. V reálném obvodě SAB-HP se však více uplatňují parazitní kapacity a vnitřní odpor budicího zdroje. 6.4.1

Zapojení Sallen-Key SAB-HP-SK

Bikvad SAB-HP-SK získáme ze SAB-LP-SK na Obrázek 6.3a záměnou R ↔ C. Jde o konkretizaci obecné struktury SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde

Elektrické filtry

77

R 1 1 , Y3 = pC 3 , Y4 = , Y5 = Y6 = 0. A = 1 + B ( 6.26 ) R2 R4 RA Dosazením ( 6.26 ) do ( 6.5 ) získáme pro toto zapojení přenos a odvodíme návrhové vztahy pro parametry SAB-HP-SK. Zavedeme-li poměrové veličiny R R C r= B, n= 4, m= 1. ( 6.27 ) RA R2 C3 pak je lze psát v následující formě 1 ωp = K0 = A = 1+ r , , R4 C1 mn ( 6.28 ) 1 m −1 d =Q = + − r mn n mn . Pro návrh můžeme použít různé varianty, obdobně jako u LP v kap.6.3.1. My se zaměříme pouze na nejvhodnější variantu se stejnými C a různými R. Můžeme s ni dosáhnout hodnotu činitele jakosti Q < 25. Návrh SAB-HP-SK: 1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 25) opět nejprve volíme hodnotu C. Pomohou nám následující vztahy 3,3 ⋅ 10 −7 C≅ , C min > 4 ⋅ 10 −11 Q 2 . ( 6.29 ) fp Y1 = pC1 , Y2 =

Skutečnou hodnotu C1 = C3 = C volíme co nejblíže z vyráběné řady, při tom větší než Cmin. 2. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru 1 R , , R4 = R n . n ≥ Q2 , R = R2 = ( 6.30 ) 2π f p C n 3. Vypočteme poměrovou veličinu r a hodnoty odporů zesilovače 1 10 3 . r= 2, R A = 10 3 r , RB = ( 6.31 ) Q r 4. Vnitřní odpor budicího zdroje signálu musí být menší než Ri <

0,05 . f 0 CQ

( 6.32 )

Příklad 6.18: Návrh SAB-HP-SK Navrhněte Besselovu aktivní horní propust 2. řádu, s mezním kmitočtem fm = 10 Hz, s přenosem K(∞) = 1. 6.4.2

Zapojení Huelsman SAB-HP-H

Bikvad SAB-HP-H získáme ze SAB-LP-H na Obrázek 6.3b záměnou R ↔ C. I zde jde o konkretizaci obecné struktury SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde 1 1 , Y6 = , A = ∞. Y1 = pC1 , Y2 = pC 2 , Y3 = pC3 , Y4 = 0, Y5 = ( 6.33 ) R5 R6 Dosazením ( 6.33 ) do ( 6.5 ) můžeme odvodit koeficienty přenosu ( 2.24 ) v normovaném tvaru C + C 2 + C3 C 1 K 0 = − 1 , B0 = 1, B1 = 1 . , B2 = 2 ( 6.34 ) C2 ω m R6 C 2 C 3 ω m R5 R6 C 2 C 3

78


Návrh SAB-HP-H: 1) Zadaný je mezní kmitočet fm a zvolená je aproximace. Z Tabulka 4.3 určíme normované koeficienty B. 2) U této varianty volíme stejné kapacitory C1 = C2 = C. Jejich hodnotu určíme opět pomocí vztahu ( 6.29 ). 3) Vypočteme hodnoty rezistorů, dle následujících vztahů 3 1 R6 = , R5 = 2 2 . ( 6.35 ) ω m CB1 ω m C R6 B 2 Poznamenejme, že z bodu dva vyplývá, že u této varianty je přenos K0 = 1.

6.5 Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem SAB-BP se charakterizují parametry ekvivalentního rezonančního obvodu tak, jak jsme seznámili v kap. 2.5.4. Jejich přenos je obecně dán vztahem ( 2.25 ). Z celé řady zapojení SAB-BP uvádíme jen některá na Obrázek 6.4 a to s operačním zesilovačem. S jinými funkčními bloky uvedeme ve zvláštní kapitole. Pro větší hodnotu činitele jakosti Q > 25 musíme použít zapojení s více OA.

Obrázek 6.4:

Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním operačním zesilovačem

a) kaskádní zapojení SAB-BP-K, b) zapojení Huelsman SAB-BP-H, c) zapojení Sallen – Key SAB-BP-SK, d) zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W, e) zapojení s dvojitým T-článkem SAB-BP-2T, f) Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D.


79

Kaskádní zapojení SAB-BP-K

Nejjednodušší SAB-BP získáme kaskádním spojením pasivních LP a HP 1. řádu oddělených zesilovačem. Při volbě C1 = C2 = C a R1 = nR, R2 = R/n dostaneme přenos pCnR . K ( p ) = K LP ⋅ K HP = 1 + n 2  ( 6.36 ) 2 pC R + pCR   +1  n  Porovnáním ( 6.36 ) a ( 2.25 ) dostáváme pro činitele jakosti n Q= , pro n = 1: Qmax= 0,5. ( 6.37 ) 1+ n2 Zapojení je spíše ukázkou možností, pro malé Q je prakticky nevyužitelné. 6.5.2

Zapojení Huelsman SAB-BP-H

Zapojení s rozvětvenou zpětnou vazbou SAB-BP-H (Obrázek 6.4b) je opět modifikaci SAB-BB (Obrázek 6.2c). Příklad 6.19: Zapojení Huelsman SAB-BP-H Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-H na Obrázek 6.4b. 6.5.2.1 Návrhová varianta SAB-BP-H-1 Varianta SAB-BP-H-1 uvažuje rezistor R5 (Obrázek 6.4b). Použijeme ji pro větší hodnotu Q (Q < 15). Parametry přenosu ( 2.25 ) jsou dány vztahy 1 + R5 / R1 − R6 / R1 ωp = , , K0 = − R6 C 2 R5 C3 1 + C 2 / C3  R5 C 2 R5 C 3  + d = Q −1 =  . R6 C 2  1 + R5 / R1  R6 C 3 Při návrhu volíme stejné kapacitory, dle vztahu ( 6.29 ) a vypočteme rezistory 2Q Q Q , R6 = , R5 = . R1 = 2 ω pC K 0 ω pC (2Q − K 0 )ω p C 1

( 6.38 )

( 6.39 )

6.5.2.2 Další návrhové varianty SAB-BP-H Varianta SAB-BP-H-2 je bez rezistoru R5 (Obrázek 6.4b) a je vhodná pouze pro malou hodnotu činitele jakosti (Q < 5). Návrhové vztahy ( 6.38 ) se pak výrazně zjednoduší a získáme je limitou pro R5 →∞. Další možná varianta SAB-BP-H-3 vznikne, zaměníme-li v zapojení na Obrázek 6.4b prvky R a C. Tato varianta je také bez rezistoru R5. Příklad 6.20: Návrh SAB-BP-H Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu, na kmitočtu f0 = 10 Hz, s Q = 10 a přenosem K0 = - 10, s užitím bikvadu SAB-BP-H. 6.5.3

Zapojení Sallen – Key SAB-BP-SK

Pásmová propust SAB-BP-SK s konečným kladným zesílením je na Obrázek 6.4c. I v tomto případě je několik návrhových variant. 6.5.3.1 Návrhová varianta SAB-BP-SK-1 Při stejných hodnotách součástek C3 = C5 = C, R1 = R2 = R4= R (Obrázek 6.4c) má tyto parametry přenosu ( 6.28 )

80


K0 =

A , 4− A

ωp =

2 , CR

Q=

2 . 4− A

( 6.40 )

6.5.3.2 Návrhová varianta SAB-BP-SK-2 Je modifikací předchozí varianty, předpokládá C3 = C5 = C, R1 = R2 = R a R4 = 2R. Pak 1 A 1 ωp = , K0 = , Q= . ( 6.41 ) 3− A CR 3− A Při návrhu volíme stejné kapacitory, dle vztahu ( 6.29 ). Vypočteme rezistory a navrhneme zesilovač 1 1 R1 = R2 = , R4 = 2 R1 , A = 3 − . ( 6.42 ) ω pC Q Další modifikace můžeme opět získat záměnou prvků R a C. Příklad 6.21: Návrh SAB-BP-SK Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu, na kmitočtu f0 = 100 Hz, s Q = 1, s užitím bikvadu SAB-BP-SK-2. Příklad 6.22: Návrh SAB-BP-SK Zadání Příklad 6.21 navrhněte pomocí programu NAF. 6.5.4

Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D

Deliyannisův SAB-BP-D (Obrázek 6.4d) patří v současnosti k nejvíce používaným. Jde o zapojení s rozvětvenou zpětnou vazbou a je opět modifikací SAB-BB (Obrázek 6.2c). Vzniklo ze SAB-BP-H-2 (bez rezistoru R5) na Obrázek 6.4b, přidáním kmitočtově nezávislé kladné zpětné vazby do neinvertujícího vstupu OA (RA, RB). Tím lze dosáhnout vyšších požadovaných hodnot činitele jakosti Q. Příklad 6.23: Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-BP-D na Obrázek 6.4f. Z výsledků Příklad 6.23 lze pro SAB-LP-H odvodit následující parametry  R  1 ωp = , K 0 = −1 + A Qω p R6 C 3 , RB  R1C 2 R6 C 3  d =Q

−1

=

C3  R A R1  C 2 +  − R6  C 3 C 2  R B

R6 C 3 . R1C 2

( 6.43 )

6.5.4.1 Návrhová varianta SAB-BP-D-1 Základní variantu SAB-BP-D-1 použijeme pro větší hodnotu Q (Q < 25). V zapojení na Obrázek 6.4f předpokládá stejné kapacitory C2 = C3 = C a různé rezistory. Návrh SAB-BP-D-1: 1. Vstupními parametry návrhu jsou fp a Q (Q < 25). 2. Nejprve volíme hodnotu C, dle vztahu ( 6.29 ) a hodnotu odporu RB. 3. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru R R 1 1 n = 6 = 2Q, R1 = ). , R6 = nR1 , R A = B (1 − R1 Q ω p C 2Q 2Q

( 6.44 )

Elektrické filtry

81

6.5.4.2 Návrhová varianta SAB-BP-D-2 Jde o modifikaci s plnou kmitočtově nezávislou zpětnou vazbou. V zapojení na Obrázek 6.4f je RA = 0 a RB = ∞ (zkrat). Tato varianta je vhodná pouze pro menší hodnotu Q (Q < 5). Předpokládají se opět stejné kapacitory C2 = C3 = C a různé rezistory. Návrh SAB-BP-D-2: 1. Zadáno je fp a Q (Q < 5). 2. Nejprve volíme hodnotu C, dle vztahu ( 6.29 ). 3. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru R 1 n = 6 = 4Q 2 , R1 = , R6 = nR1 . R1 2ω p CQ

( 6.45 )

Příklad 6.24: Návrh SAB-BP-D-2. Zadání Příklad 6.21 navrhněte s bikvadem SAB-BP-D-2. 6.5.5

Další zapojení SAB-BP

V literatuře najdeme celou řadu dalších zapojení. Na Obrázek 6.4 je ještě uvedeno zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W (Obrázek 6.4d) a zapojení s dvojitým T-článkem SAB-BP-2T (Obrázek 6.4e). Příklad 6.25: Zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W Proveďte počítačovou analýzu bikvadu SAB-BP-W na Obrázek 6.4d, odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a návrhové vztahy zvolíme-li variantu C3 = 2C3, R4 =.2R1 a R2 =.R1/3. Příklad 6.26: Zapojení s dvojitým T-článkem SAB-BP-2T Programem SNAP vypočítejte přenos napětí v symbolickém tvaru pro zapojení SABBP-2T na Obrázek 6.4e. S dvojitým T-článkem je také Limovo zapojení aktivní pásmové propusti SAB-BP-L na Obrázek 6.5a. Vzniklo změnou konfigurace obvodu SAB-PZ-DT-3 (Obrázek 6.11b), záměnou vstupní svorky a zemnění. Jeho předností je nezávislé nastavování požadovaných parametrů K0, fp, Q. Tento atraktivní obvod pak můžeme použít v přeladitelných filtrech. Zapojení bylo realizováno v hybridní integrované podobě (Obrázek 6.5b). Na keramickou destičku je sítotiskovou metodou je nanesena vodivostní vrstva (šedé melírované barvy). Tmavší plochy představují uhlíkové napařované rezistory. Jejich hodnota se v závěru výroby dostavuje škrábáním laserovým paprskem. Tři monolitické čipové kondenzátory, ve tvaru malých kvádrů (1*1*2 mm) s kovovými elektrodami, jsou vpájeny do obvodu pomocí pájecí pasty. Čip operačního zesilovače (o ploše 1*1 mm) je kontaktován specielními drátky, pomocí ultrazvukového zařízení. Takovéto obvody se vyrábějí na zakázku. Podobné hybridní IO aktivních filtrů různých typů i vyšších řádů lze získat u známých světových firem.

82

Obrázek 6.5:


SAB-BP-L s dvojitým T-článkem.

6.6 Filtry ARC 2. řádu s netradičními aktivními prvky Klasické aktivní filtry RC se standardními operačními zesilovači se nedají použít v oblasti vyšších kmitočtů (např. video), jelikož to nedovolí vlastnosti dostupného OA [1]. Pro takovéto filtry musíme vybrat jiný vhodný, aktivní prvek s vyšším tranzitním kmitočtem. Moderní technologie přinesly celou řadu nových prvků a funkčních bloků, převážně již v integrované monolitické formě nebo jako zákaznické hybridní obvody. V hodnými typy se ukázaly Nortonovy OA, transadmitanční TYOA, transimpedanční TZOA a proudové konvejory (CC). Ukážeme si několik příkladů jejich aplikace v jednoduchých ARC filtrech. Na Obrázek 6.6 je obecná struktura bikvadu ARC s TYOA definovaným v kap. 5.1.3. Příklad 6.27: Bikvad ARC s transadmitančním zesilovačem Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí obvodu na Obrázek 6.6. Pro dolní propust je vhodné volit [ 9 ] Y1 = G1 + pC1 , Y2 = G2 , Y3 = G3 + pC 3 , Y4 = Y4 = 0, K 0 = g T A.

( 6.46 )

Elektrické filtry

83

Filtry s TYOA přináší větší variabilitu návrhu, mají nižší citlivosti parametrů a menší rozptyl hodnot součástek. Hlavní předností je však jejich možnost pracovat ve vyšších kmitočtových pásmech než filtry s klasickými OA.

Obrázek 6.6:

Bikvad ARC s transadmitančním zesilovačem.

Obrázek 6.7:

Aktivní pásmová propust s Nortonovými zesilovači.

Na Obrázek 6.7 je aktivní pásmová propust s Nortonovými zesilovači (kap. 5.1.5). Jde o zajímavé zapojení s vícesmyčkovou zpětnou vazbou, které umožňuje jednoduchým způsobem měnit činitel jakosti Q, aniž se mění kmitočet fp. Zesilovač NZ-1 tvoří klasickou SAB-BP-H. Rezistor Rf zavádí do ni doplňkovou zpětnou vazbou. Pomocný invertující zesilovač NZ-2 dovoluje změnou jeho zesílení K=Rb/Ra nastavit nezávisle činitel jakosti, což vyplývá z následujících výsledků analýzy tohoto obvodu R5 R5 R5 1 1 1 + + + + R1 R2 R f R1 R2 R f ωp = , Q= . ( 6.47 ) C 3 C 4 R5 C 3  KR5  C4 + + 1− C3 C 4  R f  Pomocí rezistorů Rc a Rd nastavíme požadovanou rovnost vstupních proudů IN = IP a klidovou hodnotu výstupního napětí (UN /2). Ukázka použití transimpedančního zesilovače (kap. 5.1.4) v aktivních filtrech 2. řádu je na Obrázek 6.8. Na Obrázek 6.8a je dolní propust v napěťovém (resp. smíšeném V/C módu) SAB-LP-TZOA. Jde o modifikaci zapojení s OA (SAB-LP-H), kdy dvojpól připojený přímo mezi vstup a výstup OA (C6) se v ekvivalentním obvodu se zapojí ke svorce Z a uzemní se. Při této transformaci mají v ideálním případě oba bikvady shodné vlastnosti. Reálný obvod SAB-LP-TZOA můžeme, na rozdíl SAB-LP-H s klasickým OA, provozovat i ve vyšších kmitočtových pásmech (řádově 10 MHz). Ještě menších parazitních vlivů reálného zesilovače dosáhneme ve filtrech pracujících v proudovém módu (zpracovávají proudové

84


signály, všechny uzly mají nízkou impedanci a tak se méně uplatní parazitní C) [ 19 ]. Příklad horní propusti s TZOA v proudovém módu SAB-HP-TZOA-CM je na Obrázek 6.8a. Obvod jsme získali přidruženou transformací [ 19 ] ze SAB-HP-H. Jeho návrh lze provést proto stejně jako návrh prototypu v kap. 6.3.2.

Obrázek 6.8:

Filtry 2. řádu s transimpedančním zesilovačem

a) dolní propust v napěťovém módu, b) horní propust v proudovém módu Také proudové konvejory jsou velmi vhodnými funkčními bloky pro ARC bikvady, pracující ve vyšších kmitočtových pásmech a v proudovém módu. V kap. 5.2.3 jsme konstatovali, že mezi nejvhodnější patří pětibranový DVCC, proto si ukážeme jeho aplikaci. Jednoduchý obvod, realizující pásmovou propust 2. řádu, pracující v proudovém módu, s jedním DVCC (SAB-BP-DVCC1), je uveden na Obrázek 6.9. Pro přenos proudu byl odvozen následující vztah I out sC 2 R1 = 2 ( 6.48 ) I inp s C1 R1C 2 R2 + s (C1 R1 + C 2 R2 − C 2 R1 ) + 1 Za předpokladu C1 = C2 = C přejde přenos ( 6.48 ) do požadovaného tvaru ( 2.25 ) pro pásmovou propust. Pak lze pro parametry SAB-BP-DVCC1 odvodit jednoduché vztahy R1 1 1 ω0 = Ko = Q= ( 6.49 ) CR2 C R1 R2 R1 R2

Obrázek 6.9:

Jednoduchá pásmová propust s DVCC v proudovém módu.

Se dvěma DVCC lze sestrojit víceúčelový ARC bikvad SAB-2DVCC (Obrázek 6.10), který dovoluje realizovat dolní, horní i pásmovou propust 2. řádu současně.

Elektrické filtry

Obrázek 6.10:

85

Víceúčelový ARC bikvad se dvěma DVCC.

Kontrolní analýzou programem SNAP jsme získali následující přenos napětí s 2 C1C 2Vi1 + sC1G2Vi 2 + sC1G 2Vi 3 Vout = . s 2 C1C 2 + sC1G3 + G1G3 Z něj jsme odvodili návrhové vztahy pro kmitočet pólu a činitel kvality R3 C2 1 , Q= ωp = C1 R1C 2 R2 R1 R2 C1

( 6.50 )

( 6.51 )

Z uvedených vztahů ( 6.51 ) je patrno, že u SAB-2DVCC lze výhodně nastavovat Q změnou odporu R3 a to nezávisle na kmitočtu fp Tato vlastnost a možnost současné realizace různých typů propustí i v oblasti video, jsou velkou předností SAB-2DVCC. Přidruženou transformací [ 19 ], záměnou vstupu a vstupů na Obrázek 6.10, získáme duální bikvad SAB-2DVCC-CM, pracující v proudovém módu.

6.7 Filtry ARC 2. řádu s nulovými body přenosu S eliptickými pasivními filtry LCR 2. řádu, s nulovými body přenosu, jsme se seznámili v kap. 2.5. Zde jsme uvedli jejich definici, dělení, vlastnosti a parametry. Nyní se seznámíme s obdobnými eliptickými bikvady aktivními (SAB-E). Tyto obvody umožňují realizovat nulové body přenosu na určitém kmitočtu (jeho rejekci). Tím mohou být vhodnými stavebními bloky aktivních filtrů vyšších řádů s Cauerovou nebo inverzní Čebyševovou aproximací. Přenosová funkce eliptického bikvadu je obecně dána vztahem a2 p 2 + a0 K 0 ( p 2 + ω n2 ) K ( p) = = . ωp b2 p 2 + b1 p + b0 ( 6.52 ) 2 2 p + p +ωp Qp Podle vzájemné polohy dvou komplexně sdružených pólů (v levé polorovině p) a dvou komplexně sdružených nulových bodů (na imaginární ose) rozlišujeme: • ωn = ωp pásmovou zádrž (BR), s parametry definovanými v kap. 2.5.6, • ωn < ωp eliptickou dolní propust (LPN), s parametry definovanými v kap. 2.5.7, • ωn > ωp eliptickou horní propust (HPN), s parametry definovanými v kap. 2.5.8.

86 6.7.1

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Eliptické aktivní bikvady s dvojitým T-článkem

Z kap. 3.3 je známo, že pasivní RC dvojitý T-článek (BR-RC-DT) pracuje jako BR s malým činitelem jakosti potlačení signálu. Tuto jakost lze zvýšit, zařadíme-li BR-RC-DT do zpětné vazby zesilovače. V kap. 6.2 jsme se seznámili s takovouto obecnou strukturu (Obrázek 6.2) a ukázali jsme si, že obvod má celou řadu variant, které jsou blíže definovány a podrobně rozebrány v [ 9] a [ 8]. Jednodušší zapojení se souměrnými T-články dovolují realizovat pouze BR, s nesouměrnými články pak i DPN nebo HPN. Vybraná dvě zapojení SAB-BR-DT jsou uvedena na Obrázek 6.11. Jednodušší varianta SAB-BR-DT-1 (Obrázek 6.11a) má parametry přenosu ( 2.33 )

a)

b) Obrázek 6.11:

Eliptické aktivní bikvady s dvojitými T-články.

a) aktivní pásmová zádrž SAB-BR-DT-1, b) Limovo zapojení SAB- BR -DT-2. RB 1 1 , ωn = ω p = , Q= ( 6.53 ) RA 2(2 − A) CR Pro zadaný kmitočet rejekce (f0 = fp = fn), při zvoleném C dle vztahu ( 6.29 ), vypočteme R ( 6.53 ). Podle žádané selektivity (Q) určíme dle ( 6.53 ) požadované zesílení A a tím i K0. Ze vztahu pro Q je zřejmé, že potřebné zesílení se mění pouze A = 1 ÷ 2. Další modifikace SAB-DT, používající i nesouměrný DT-RC, najdeme v literatuře [ 9]. K0 = A = 1+

Elektrické filtry

87

Příklad 6.28: Návrh SAB-BR-DT-1 Navrhněte pásmovou zádrž 2. řádu, na kmitočtu f0 = 50 Hz, s Q = 10, s užitím bikvadu SAB-BR-DT-1. Zajímavá je varianta SAB- BR -DT-2 na Obrázek 6.11b, která se také označuje jako Limovo zapojení. Její předností je možnost nastavovat Q nezávisle na nastavení fn a to změnou A. Parametry přenosu ( 2.33 ) u tohoto zapojení jsou R 1 2 1 + 2q 1 K0 = , ωn = ω p = , q= F , d = Q −1 = 4 − A RE . ( 6.54 ) A 1+ q R  q C  + R E   2 1+ q  6.7.2

Eliptické Friendovy aktivní bikvady

K realizaci aktivních eliptických bikvadů můžeme použít vedle DT i jiné struktury. Nejpoužívanější jsou obvody SAB vycházející z obecné Friendovy struktury uvedené v [ 18].

a)

b) Obrázek 6.12: Friendovy eliptické aktivní bikvady. a) modifikovaná dolní propust SAB-DPN-F, b) . modifikovaná horní propust SAB-HPN-F 6.7.2.1 Eliptická dolní propust SAB-LPN-F Takovéto velmi oblíbené zapojení eliptické dolní propusti SAB-LPN-F je na Obrázek 6.12a. Má obecný přenos( 2.34 ) a následující parametry R1 ω n2 R 1 = 2 > 1, K0 = 1+ ωp = , ωn = ω p 1+ 1 . ( 6.55 ) R5 ω p R5 C1 R1C 2 R2 Pro správnou činnost obvodu nutno splnit podmínku 2 R3 2 f p R2 = 2 . R4 f n R1

( 6.56 )

88


Nevýhodou tohoto zapojení je, že počáteční přenos je vždy K0 > 1. Požadujeme-li K0 = 1 zvolíme obdobné zapojení se třemi C, uvedené v [ 17], [ 18]. Návrh SAB-LPN-F: 1. Vstupní údaje navrhovaného bikvadu jsou fp, fn a kvalita pólu Q (Q < 10). 2. U této varianty předpokládáme stejné kapacitory C1 = C2 = C. 3. Nejprve volíme hodnotu C, opět podle vztahů ( 6.29 ). Skutečnou hodnotu volíme co nejblíže z vyráběné řady, při tom větší než Cmin. 4. Vypočteme poměrovou veličinu n a navrhneme hodnoty odporů R1 a R2 R 1 1 R , R= , , n= 2 = R1 = R2 = R n . ( 6.57 ) 2 2π f p C R1 4Q n 5. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru 10 4 ω p R1 ω 2p 10 4 ω n 2 R2 R5 = R1 2 , R3 = , R4 = . ( 6.58 ) R1 2 R2 ω n − ω p2 ωp ωn Příklad 6.29: Návrh SAB-LPN-F Navrhněte eliptickou dolní propust 2. řádu, s kmitočtem pólu f0 = 1 kHz, s Q = 1, s kmitočtem nulového bodu (rejekce) f0 = 10 kHz, s užitím bikvadu SAB-LPN-F. 6.7.2.2 Eliptická pásmová zádž SAB-BR-F Stejným způsobem budeme navrhovat modifikaci tohoto obvodu na pásmovou zádrž SAB-BR-F. Tehdy fp = fn a jak vyplývá ze vztahu pro R5 ( 6.58 ) tento rezistor u pásmové zádrže nebude. Jinak je návrh shodný s kap. 6.7.2.1. 6.7.2.3 Eliptická horní propust SAB-HPN-F Duální eliptickou horní propust dostaneme, zaměníme-li R a C ve smyčkách zpětné vazby (mimo R3 a R4) v zapojení na Obrázek 6.12a. Tím získáme zapojení se třemi kapacitory s K0 > 1, které je podrobně rozebráno v [ 17]. Vhodnější je varianta SAB-HPN-F na Obrázek 6.12b se dvěma C. Obvod má obecný přenos ( 2.36 ) a následující parametry RR 1 K 0 = K (∞) = 1, , ωp = ωn = ω p 1− 1 3 . ( 6.59 ) R 4 R5 C1 R1C 2 R2 Pro správnou činnost obvodu nutno splnit podmínku 2 R3 2 f p R2 = 2 . R4 f n R1

( 6.60 )

Návrh SAB-HPN-F: 1. Vstupní údaje navrhovaného bikvadu jsou fp, fn a kvalita pólu Q (Q < 10). 2. Optimální varianta u tohoto zapojení je stejné rezistory R1 = R2 = R a různé kapacitory C1 a C2. 3. Nejprve volíme hodnotu C, opět podle vztahů ( 6.29 ). 4. Vypočteme poměrovou veličinu m a navrhneme hodnoty kapacitorů C 1 C , , , n= 1 = C2 = C1 = C n . ( 6.61 ) 2 C 2 4Q n 5. Vypočteme hodnoty odporů R1 a R2 1 . R1 = R2 = R = ( 6.62 ) 2π f p C 6. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru

Elektrické filtry

89 ω 2p

10 4 ω n , R5 = 2 R2 2 R = 3 ω p − ω n2 ωp

10 4 ω p 2 R2 , R4 = R1 ωn

R1 . 2 R2

( 6.63 )

6.8 Vliv reálného aktivního prvku na parametry filtru Každý reálný aktivní prvek se k definovaným vlastnostem ideálního jen více či méně přibližuje a vedle základních parametrů se u něj objevují parametry a jevy parazitní. Ty pak ovlivňují vlastnosti s ním navrženého aktivního filtru. Tyto jevy se více projevují při vyšších nárocích na navrhovaný filtr, u filtrů na vyšších kmitočtech, s vyšší hodnotou Q, u pásmových propustí a zádrží. Navrhovanému filtru musíme tedy vhodně vybrat a přizpůsobit aktivní prvek. Blíže se zaměříme na nejvíce používané operační zesilovače. Obdobně se však chovají i další aktivní prvky. U reálného operačního zesilovače se na zkreslení parametrů filtru nejvíce podílí výstupní odpor OA, hodnota zesílení a jeho kmitočtová závislost. To si ukážeme na následujících příkladech. Příklad 6.30: Studium vlivu zesílení a výstupního odporu OA v SAB-LP-SK. V Příklad 6.9 navržené Butterworthově dolní propusti SAB-LP-SK-1, s fm = 1 kHz, simulacemi v PSpice prostudujte vliv zesílení a výstupního odporu. V obvodu budeme modelovat reálný OA prvkem EAMP, s parametrem A = 103. Na výstupu ho doplníme rezistorem R5, který si pro parametrickou analýzu označíme {ROUT } a jeho hodnotu budeme měnit po dekádách od 0,1 do 1000 Ω. V druhém experimentu budeme při R5 = 100 Ω měnit zesílení A = 102 až 105 opět po dekádách. V současné době je snaha využít aktivní filtry i ve vyšších kmitočtových pásmech až do oblasti video, aby se pak tyto mohly vhodně realizovat v integrované formě, což u pasivních filtrů činí potíže. Pro tyto aplikace jsou již dnes dostupné rychlé operační zesilovače nebo jiné aktivní prvky, většinou však cenově náročnější. Proto vybíráme odpovídající typ OA, většinou podle hodnoty tranzitního kmitočtu fT. Pro výběr můžeme orientačně použít v literatuře [ 3 ] uváděný vztah f T ≥ 200 ∗ f m ∗ Q ( 6.64 ) Jak uvidíme z následujících experimentů, pro vyšší kmitočtová pásma filtrů je tento požadavek příliš krutý. Lépe je využít simulace daného filtru ve Spice, kde z knihovny vybíráme vhodné OA a používáme jejich profesionální modely. Poznáme-li vliv A(f) reálného OA na modulovou charakteristiku daného filtru, můžeme filtr navrhnout předzkresleně tak, že v reálu bude mít charakteristika požadovaný tvar. To v jistých mezích umožňuje návrhový program NAF, který nejdříve sdělí požadovanou hodnotu fT a pak umožní najít korigované hodnoty pasivních součástek, pro nám dostupný OA, s menší hodnotou fT. To je pochopitelně možné jen v určitém omezeném rozsahu, který NAF sdělí. Příklad 6.31: Korekce hodnot součástek u reálné ARC dolní propusti. Pomocí programu NAF navrhněte dolní propust ARC s parametry: aproximace Butterworth (Q = 0,707), fm = 1 MHz, Km = -3 dB, fs = 6 MHz, Ks = -30 dB. Zjistěte požadovaný fT a pokuste se najít potřebný operační zesilovač. Proveďte korekci hodnot součástek pro předzkreslení filtru, použijeme-li v zapojení OA s fT = 50 MHz a pak druhý typ s fT = 5 MHz.

90

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 6.32: Simulace reálné ARC dolní propusti s různými OA Pomocí obvodového simulátoru PSpice nakreslete (v jednom grafu) a porovnejte modulovou charakteristiku dolní propusti ARC z předchozího Příklad 6.31 při použití ideálního OA (udělejte si svůj model), LM 741 (fT = 15 MHz), OP 471 (fT = 30 MHz) a AD 844. (fT = 60 MHz). Příklad 6.33: Korekce hodnot součástek u reálné ARC pásmové propusti. Pomocí programu NAF navrhněte pásmovou propust ARC 2. řádu, na středovém kmitočtu f0 = 100 kHz a šířce pásma B-3 dB = 50 kHz. Zjistěte požadovaný fT a pokuste se najít potřebný operační zesilovač. Proveďte korekci hodnot součástek pro předzkreslení filtru, použijeme-li v zapojení OA s fT = 10 MHz. Příklad 6.34: Simulace reálné ARC pásmové propusti s různými OA Pomocí obvodového simulátoru PSpice nakreslete (v jednom grafu) a porovnejte modulovou charakteristiku pásmové propusti ARC z předchozího Příklad 6.33 při použití ideálního OA a OA typu: LM 741 (fT = 1 MHz), OP 471 (fT = 30 MHz) a AD 844. (fT = 60 MHz).

Z předchozích příkladů je patrno, že u pásmové propusti vlivem reálného OA s nízkým fT došlo ke snížení kmitočtu f0 filtru, k rozšíření šířky přenášeného pásma a tedy ke snížení hodnoty Q.

6.9 Filtry ARC 2. řádu s více aktivními prvky Rozvoj technologie integrovaných obvodů odsunul do pozadí snahu po co nejmenším počtu aktivních prvků ve filtrech ARC. Bikvady s několika zesilovači (MAB) mají nižší citlivosti, menší vliv reálných OZ a méně pasívních součástek s menším rozptylem hodnot (výhodné pro integrované výrobní formy). Tyto obvody jsou univerzálnější (více výstupů s různým charakterem). Mají také vyšší Q a možnost nezávislého nastavování parametrů. Na druhé straně větší příkon, rozptyl výkonu (tepla) a větší šum. 6.9.1 Filtry ARC 2. řádu s dvěma aktivními prvky Zatlumování bikvadu SAB-BP, vlivem reálného OA, můžeme eliminovat zavedením kladné zpětné vazby. K tomu je nutno doplnit obvod o další sumační aktivní prvek. Nejčastěji je realizovaný druhým OA. Tak získáme jednu skupinu bikvadů DAB. Tento princip blíže rozebereme v kap. 6.9.2. Jednodušší princip získání DAB tkví v oddělení RC článků, ve smyčce kmitočtově závislé ZV v SAB. A to zařazením napěťového sledovače, realizovaného obvykle dalším OA. Získání DAB ilustrujeme na několika příkladech. Příklad 6.35: Realizace DAB-LP-SK Do klasického bikvadu SAB-LP-SK (Obrázek 6.3a) zařadíme oddělovací napěťový sledovač a to do větve před R3. Obě zapojení symbolicky analyzujte SNAPem, určete přenosy napětí a z nich odvoďte vzorce pro činitele jakosti. Porovnáním v Příklad 6.35 odvozených symbolických vztahů jasně vyplývá, že došlo ku zvýšení Q. Obdobně tak můžeme učinit i u SAB-LP-H. Na vzniklá zapojení DAB můžeme pohlížet jako na dva integrátory ve smyčce, z nichž jeden je ztrátový a druhý bezeztrátový. Zvýšení hodnoty Q budeme dokumentovat i následujícími simulacemi ve PSpice.

Elektrické filtry

91

Příklad 6.36: Realizace DAB-BP-H Do pásmové propusti SAB-BP-H navržené v Příklad 6.33 zařaďte do větve s C3 napěťový sledovač. Obě zapojení SAB i DAB numericky analyzujte v simulátoru PSpice, se standardním OA typu LM741 a sledovačem, modelovaným prvkem EAMP. Porovnejte získané modulové charakteristiky (v jednom grafu). Obdobně lze získat i další bikvady DAB. Vložením oddělovacího zesilovače do SAB-BPSK Obrázek 6.4c získáme DAB-BP-SK. Toto zapojení se v literatuře označuje jako Mitrovo (DAB-BP-M). Jeho návrh najdeme v [ 16 ]. 6.9.2

Zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP

U pásmových propustí často potřebujeme hodnotu Q větší, než dovoluje daný SAB-BP. Tehdy můžeme hodnotu Q navýšit odtlumením obvodu, zavedením kladné ZV. Blokové ) schéma je na Obrázek 6.13. Původní SAB-BP, charakterizovaný přenosem K ( p ) v obecném tvaru ( 2.25 ), je zde doplněn sumačním funkčním blokem, s násobícími koeficienty 1 a β, což je zpětnovazební činitel (0 <β<1).

Obrázek 6.13:

Blokové schéma odtlumení bikvadu zavedením kladné ZV.

Celkový přenos blokové uspořádání se ZV je ωp p ) Qp K ( p) K ( p) = = . ) ( 6.65 ) ωp 1 − β K ( p) 2 2 p + p +ωp Q p (1 − β ) −1 Z čehož vyplývá, že nový (požadovaný) efektivní (celkový) činitel jakosti Qef je dán původním Qp a činitelem ZV (β). Qp Qef = . ( 6.66 ) 1− β Většinou známe původní hodnotu Qp dosažitelnou daným SABem a požadovanou hodnotu Qef a navrhujeme zpětnou vazbu Qp . Předpokládáme, že Qef > Qp. β = 1− ( 6.67 ) Qef Aplikaci ZV si ukážeme u SAB-BP-H. Původní schéma na Obrázek 6.4b doplníme sumačním funkčním blokem, realizovaným druhým OA a dostáváme schéma DAB-BP-H na Obrázek 6.14.

92


Obrázek 6.14:

DAB-BP-H umožňující dosáhnout vyšší hodnotu Q.

Návrh DAB-BP-H: 1. Ze zadaného požadovaného Qef a původního dosažitelného Qp navrhneme dle ( 6.67 ) zpětnou vazbu (β). 2. Není-li požadované Qef přímo zadáno, vypočteme ho jako činitele tvaru modulové charakteristiky, ze známého vztahu f Qef = 0 , kde B−3dB = ∆f −3dB = f m 2 − f m1 . ( 6.68 ) B−3dB 3. Volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, pomůže nám vztah ( 6.29 ). 4. Vypočteme hodnoty odporů jednotlivých rezistorů. Nejprve 2Q p R R1 R3 = , R1 = 3 , R2 = . ( 6.69 ) ω pC 2 2Q p2 − 1 5. Volíme hodnotu R (řádově kΩ) a vypočteme další rezistory dle R R R6 = , R4 = R, R5 = . β (1 − β ) K 0

( 6.70 )

Příklad 6.37: Návrh DAB-BP-H Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu s f0 = 3,6 kHz, B-3dB = 60 Hz, K0 = 3. Jak zjistíte výpočtem požadovaného Q, nutno místo SAB-BP-H použít DAB-BP-H. 6.9.3 Filtry ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky Bikvady se třemi aktivními prvky (TAB) mají univerzálnější využití, díky třem výstupům OA, na které lze připojit libovolnou zátěž, bez vlivu na činnost obvodu. Na výstupech jednotlivých OA dovolují současně realizovat DP, PP a HP. Za použití čtvrtého OA, realizujícího sumační funkční blok, kam svedeme všechny tři předešlé výstupy, lze také současně realizovat i PZ, DPN a HPN. Tyto obvody mají větší možnosti nezávislého nastavování parametrů a přelaďování. Na druhé straně větší příkon, rozptyl výkonu (tepla) a větší šum.V literatuře (např. [ 16 ]) najdeme celou řadu zapojení TAB. My si blíže všimneme nejvíce používaného zapojení TAB-KHN. 6.9.3.1 Bikvad TAB-KHN Na základě popisu obecného bikvadu stavovými proměnnými a realizací těchto rovnic dvěma integrátory ve smyčce (blíže viz. kap. 8.4), navrhli Kervin, Huelsman a Newcomb bikvad TAB-KHN, jehož schéma je na Obrázek 6.15.

Elektrické filtry

Obrázek 6.15:

93

Bikvad TAB-KHN.

Na výstupech tří OA současně získáváme tři různé přenosy a to OA1-HP: a , K HP ( p) = ( 6.71 ) D( p ) OA2-PP: − aC1 R1 K PP ( p) = , ( 6.72 ) D( p) OA3-DP: aC R C R K DP ( p) = 1 1 2 2 , ( 6.73 ) D( p) U všech je stejný jmenovatel D(p) A ( A − 1) A1 − 1 D( p) = p 2 + p 1 2 + , ( 6.74 ) A2 C1 R1 C1 R1C 2 R2 a společné vhodně zavedené koeficienty R R A a= 1, A1 = 1 + 6 , A2 = 1 + 3 . ( 6.75 ) A2 R5 R4 Obecný přenos 2. řádu Jmenovatelem D(p) ( 6.74 ) jsou určeny společné dva základní parametry bikvadu TAB-KHN a to je kmitočet a kvalita pólů A1 − 1 A2 ( A1 − 1) C1 R1 . Q= , ωp = ( 6.76 ) ( A2 − 1)A1 C1 R1C 2 R2 C 2 R2 Z těchto vztahů vyplývá následně uvedený postup návrhu a také úvaha o možnosti nastavování parametrů tohoto bikvadu. Přelaďování (kmitočet pólů) je vhodné realizovat současnou změnou R1 a R2 (tandemovým potenciometrem). Kvalitu pólů pak nastavit změnou rezistoru R4. Návrh TAB-KHN: 1. Vstupními údaji jsou kmitočet fp a kvalita pólu Q (Q < 25), popřípadě zisk K0. 2. Předpokládáme stejné kapacitory C1 = C2 = C. 3. Nejprve volíme hodnotu C, opět s pomocí vztahu ( 6.29 ). 4. Vypočteme hodnoty odporů R1 a R2

94


A1 ( A2 − 1) A2 ( A1 − 1) 1 Q , . R2 = ( 6.77 ) 2π f p CQ A1 ( A2 − 1) 2π f p C A2 5. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru s užitím vztahu ( 6.75 ). Poměrem A1/ A2 lze snížit rozptyl hodnot odporů a dosáhnout požadovaný zisk filtru K0. Úprava úrovně výstupního napětí na jednotlivých OZ a tím snížení nelineárního zkreslení je uvedena v [ 16 ]. R1 =

6.9.3.2 Další bikvady s třemi OA Další dva vybrané bikvady s třemi OA jsou pro ilustraci uvedeny na Obrázek 6.16. Bikvad TAB-TT (Thomas, Tow) na Obrázek 6.16a je jinou, také vhodnou variantou, předchozí struktury dvou integrátorů ve smyčce. V podstatě smyčku zde tvoří dva bloky. První invertující integrátor (OZ1) je tlumený. Tlumící rezistor R1 je připojen paralelně ku kondenzátoru C1. Druhý potřebný neinvertující integrátor je zde řešen kaskádním spojením běžného neinvertujícího integrátoru (OZ2) a invertoru (OZ3). Poznamenejme, že požadované blokové zapojení invertujícího a neinvertujícího integrátoru, tedy dvou bloků ve smyčce je u TAB-KHN modifikován na zapojení tří bloků ve smyčce, dvou standardních invertujících integrátorů a zvláštního invertoru. Bikvad TAB-TG (Tarmy, Ghausi) na Obrázek 6.16b je příkladem moderní varianty, využívající zesilovače s plovoucím výstupem. Jeho výhodou jsou nízké citlivosti a malý vliv reálného přenosu zesilovače a jeho kmitočtové závislosti. Používá se na vyšších kmitočtech a pro vyšší Q. V literatuře [ 16 ] je podrobný rozbor tohoto bikvadu. Najdeme zde i jeho modifikaci, využívající běžné OA-DISO (Moschytz). Obvod je opět možné doplnit sumátorem (čtvrtý aktivní prvek), pro získání obecného přenosu 2. řádu a filtrů s nulovými body přenosu. Řadu dalších zapojení bikvadů s více OA najdeme v [ 16 ], [ 3 ], [ 9 ], [ 22 ] aj. Najdeme tam i duální zapojení s jedním výstupem a třemi vstupy, různého charakteru filtrace (DP, PP a HP).

a)

b) Obrázek 6.16: Vybrané bikvady s třemi OA. a) TAB Thomas-Tow, TAB Tarmy, Ghausi.

Elektrické filtry

95

6.10 Kontrolní otázky ku kapitole 6 1. Pojednejte o aktivních filtrech ARC, popište vlastnosti, dělení, obecná struktura. 2. Nakreslete schéma neinvertující aktivní dolní propusti 1.řádu s operačním zesilovačem. Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů. 3. Nakreslete schéma invertující aktivní dolní propusti 1.řádu s operačním zesilovačem. Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů. 4. Nakreslete schéma invertující aktivní horní propusti 1.řádu s operačním zesilovačem. Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů. 5. Nakreslete schéma a popište alespoň dvě z obecně možných struktur filtru 2. řádu bikvadu ARC s jedním zesilovačem (SAB). 6. Nakreslete schéma aktivní dolní propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou SABDP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti. 7. Pojednejte o návrhových variantách obvodu SAB-DP-SK (Sallen - Key). 8. Nakreslete schéma aktivní horní propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou SABHP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti. 9. Nakreslete schéma aktivní dolní propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou SABDP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti. 10. Nakreslete schéma aktivní horní propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou SABHP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti. 11. Nakreslete schéma aktivní pásmové propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou SAB-PP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti. 12. Nakreslete schéma aktivní pásmové propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou SAB-PP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti. 13. Nakreslete alespoň jedno schéma ARC dolní propusti 2.řádu s moderním aktivním prvkem jiným než operačním zesilovačem. 14. Nakreslete alespoň jedno schéma ARC horní propusti 2.řádu s moderním aktivním prvkem jiným než operačním zesilovačem. 15. Popište princip eliptických (modifikovaných) bikvadů. Jaké typy SAB-E znáte? Uveďte obecný vztah pro jejich přenos napětí. 16. Nakreslete schéma Friendova zapojení eliptické (modifikované) ARC dolní propusti 2.řádu SAB-DPN-F. Uveďte jeho vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů. 17. Nakreslete alespoň jedno schéma aktivní pásmové zádrže SAB-BR. Uveďte jeho vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů. 18. Nakreslete alespoň jedno schéma aktivního bikvadu RC s dvěma operačními zesilovači (DAB). Uveďte jeho vlastnosti. 19. Pojednejte o možnostech zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP. 20. Nakreslete a vysvětlete blokové schéma odtlumení bikvadu zavedením kladné ZV. 21. Nakreslete a vysvětlete schéma DAB-BP-H. 22. Pojednejte o filtrech ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky. Uveďte jejich výhody a nevýhody. 23. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního bikvadu RC s třemi operačními zesilovači TAB-KHN. 24. Pojednejte o vlivu reálného aktivního prvku na parametry filtru ARC 2. řádu.

96


7 Aktivní filtry RC vyšších řádů Cíle kapitoly: Seznámit studenty s principem kaskádní syntézy. S vlastnostmi aktivních RC filtrů vyšších řádů. Se zadáváním požadavků na celé filtry i jejich stavební bloky. S různými pomůckami pro návrh těchto obvodů. Naučit studenty navrhnout aktivní RC filtry vyšších řádů různých typů pomocí zde uvedeného katalogu. Test předchozích znalostí 1. Jak vypadá obecná přenosová funkce filtrů vyšších řádů a jak se dá rozložit? 2. Jak jednoduše získáme celkový přenos napětí jsou–li bloky řazeny kaskádně?. 3. Jak jednoduše získáme celkovou modulovou charakteristiku v dB kaskádně řazených bloků? 4. Co je to bikvad a jaké má parametry a obecnou přenosovou funkci? 5. Jaké kaskádně řazené bloky bude obsahovat filtr 7. řádu?

7.1 Kaskádní syntéza ARC filtrů vyšších řádů Obvody ARC 1. a 2. řádu, uvedené v předchozí kapitole 6, lze využít jako stavební bloky pro syntézu filtrů ARC vyšších řádů. Z různých možností zapojení těchto bloků se omezíme na nejpoužívanější kaskádní řazení. Princip kaskádní syntézy je na Obrázek 7.1. Spočívá v rozložení zadané přenosové funkce ( 2.10 ) na součin několika dílčích funkcí 2. řádu a jedné 1. řádu (pro lichá n) a1 p + a0 n / 2 a 2i p 2 + a1i p + a 0i K ( p) = K 0 ( 7.1 ) ∏ b1 p +b0 i =1 b2i p 2 + b1i p + b0i Rovnici ( 7.1 ) odpovídá obvodová realizace na Obrázek 7.1a. Požadovaná modulová charakteristika (Obrázek 7.1d) se v logaritmických souřadnicích (v dB) získá sečtením charakteristik jednotlivých bloků tak, jak je naznačeno na Obrázek 7.1c. Zde jsou dva bloky 2. řádu s nulami přenosu a jeden blok 1. řádu. Poznamenejme, že na pořadí bloků v kaskádě teoreticky nezáleží. U reálného obvodu však dosáhneme největší dynamiku jsou-li bloky seřazeny podle narůstajícího Q. Z obrázku je zřejmý i vliv parametrů jednotlivých bloků na výsledný tvar charakteristiky a tim i možnosti přesného dostavování celého filtru. Toto oddělené dostavování jednotlivých sekcí je velká výhoda kaskádní realizace. Dají se tak lehce potlačit parazitní jevy, hlavně ztráty, v reálném obvodě. Po přesném jednodušším nastavení jednotlivých sekcí jsou zaručeny požadované vlastnosti celého filtru. Na druhé straně nevýhodou kaskádní realizace jsou vyšší citlivosti výsledných parametrů celého filtru na změnu parametrů dílčích bloků. Nižší citlivosti vykazují nekaskádní struktury uvedené např. v [ 16 ]. Jedna z nich označovaná FLF (follow the leader feedback) je pro ilustraci uvedena na Obrázek 7.1b. Syntéza takovýchto filtrů je však náročnější. V kap. 8 si ukážeme ještě jiné principy a způsoby syntézy ARC filtrů vyšších řádů, využívající syntetické prvky a funkční bloky.

7.2 Návrh ARC filtrů vyšších řádů Při kaskádní syntéze ARC filtrů vyjdeme, stejně jako u pasivních filtrů LC(R), ze zadaného tolerančního pole nebo ze základních parametrů požadovaného filtru (fm resp. fo , fp, Q, B) a typu aproximace. Jako obvykle nejprve určíme řád NDP (n), a to dle kap.4.4.2.

Elektrické filtry

Obrázek 7.1: Syntéza filtrů ARC vyšších řádů. a) kaskádní struktura, b) nekaskádní struktura (FLF), c) modulové charakteristiky jednotlivých bloků, d) modulová charakteristika celého filtru. Tabulka 7.1: Tabulka pro kaskádní syntézu polynominálních filtrů ARC. (bez nulových bodů přenosu). Parametry NDP jsou normované ke kmitočtu pólů.

97

98


Tabulka 7.2: Tabulka pro kaskádní syntézu eliptických filtrů ARC.

Elektrické filtry Tabulka pro kaskádní syntézu eliptických filtrů ARC (s nulovými body přenosu) –část 2.

99

100


7.2.1

Normovaná dolní propust pro kaskádní syntézu

) Parametry jednotlivých bloků NDP pro kaskádní syntézu ( F0 , FN , Q ) najdeme pro určený řád (n) a zvolenou aproximaci v Tabulka 7.1 resp. Tabulka 7.2. Lze také použít koeficienty z Tabulka 4.4, což je však méně praktické. NDP n-tého řádu se může skládat z jednoho bloku NDP 1. řádu (v případě že jde o lichý řad), z několika NDP 2. řádu a v případě eliptických filtrů i z několika NDPN, s nulovými body přenosu. Tyto bloky NDP jsou popsány těmito vztahy a parametry. • NDP 1. řádu Ω0 K ( s) = ( 7.2 ) s + Ω0 , •

NDP 2. řádu Ω 02 K ( s) = Ω ( 7.3 ) s 2 + )0 s + Ω 02 Q , • NDPN 2. řádu Ω2 Ω 02 + s 2 N2 Ω0 K ( s) = ( 7.4 ) , Ω0 2 2 s + ) s + Ω0 Q kde Ω0 resp. ΩN je kmitočet pólů resp. nulových bodů NDP, normovaný k meznímu fc nebo střednímu (rezonančnímu) kmitočtu fo celého filtru. V dalším kroku NDP transformujeme na požadovaný typ filtru dle následujících vztahů. 7.2.2 Transformace NDP na DP Přenosy K(s) ( 7.2 ), ( 7.3 ), ( 7.4 ) se transformují na K (p) stejného tvaru. p = s.ω C

⇒

w ) Q = Q. f 0 = F0 . f C , f N = FN f C , ( 7.5 ) kde s pruhem jsou označené parametry jednotlivých sekcí (odlišně značené od parametrů celého filtru bez pruhu a NDP se střížkou).

7.2.3

Transformace NDP na HP

Přenosy K(s) ( 7.2 ), ( 7.3 ), ( 7.4 ) se transformují na K(p) duálního tvaru, kmitočtově převráceného k fc. p = ωC / s

⇒

f 0 = f C / F0 ,

7.2.4

w f N = f C / FN ,

) Q = Q.

( 7.6 )

Transformace NDP na PP

7.2.4.1 Transformace NDP 1. řádu na PP 2. řádu Přenos ( 7.2 ) se transformuje na w ω p. w0 w ω0 w 2 Q 2 K ( p) = D ( p ) = p + p. w + ω 0 , D( p) Q .

( 7.7 )

Elektrické filtry

101

Parametry sekce jsou w w f f0 = f0 , Q= 0 F0 B

( 7.8 )

7.2.4.2 Transformace NDP 2. řádu na PP 4. řádu = 2*PP 2. řádu Přenos ( 7.3 ) se transformuje na w w ω 01 ω 02 K 01 p. w K 02 p. w Q2 Q1 . , K ( p ) = K 1 ( p ).K 2 ( p ) = D2 ( p ) D1 ( p ) Parametryw dvou různě nwaladěných podsekcí PP jsou f 01 = f 0 .k F , f 02 = f 0 / k F , Q = Q1 = Q2 , K 01 = K 02 = K 0 . Ty vypočteme pomocí ) 2 f0 α2 Q α= , 1 + α 2 + (1 + α 2 ) 2 − ) 2 , Q = F0 B Q 2 2

kF =

 Q  Q ) +  )  − 1, αQ α Q 

 1   + 1. K 0 = Q 2  k F − k F  

( 7.9 )

( 7.10 )

( 7.11 )

7.2.4.3 Transformace NDP 2. řádu na PP 4. řádu = DP 2. řádu + HP 2. řádu Přenos ( 7.3 ) se transformuje na w2 K 01ω 01 K p2 K ( p) = K 1 ( p ).K 2 ( p ) = . 02 , ( 7.12 ) D1 ( p) D2 ( p ) Parametry dvou různých podsekcí DP a HP určujeme stejně jako v předchozí kap. 7.2.4.2až na určení přenosu K0, zde platí K ω 02 . K 01 = K 02 = 0 ( 7.13 ) Q ω 01 7.2.4.4 Transformace NDPN na DPN + HPN U eliptických filtrů nutno realizovat i nulové body. Přenos ( 7.4 ) se transformuje na K ( p 2 + ω N2 1 ) ( p 2 + ω N2 2 ) K ( p) = K 1 ( p).K 2 ( p) = 0 . . ( 7.14 ) D1 ( p ) D2 ( p ) Parametry pólů dvou eliptických podsekcí DPN a HPN určujeme stejně jako v kap. 7.2.4.2. Podobně wurčíme parametry nulových bodů w f N 1 = f 0 .k N , f N 2 = f 0 / k N , ( 7.15 ) a to pomocí 1 + 1 + α N2 2 f0 ( 7.16 ) , . kN = αN = FN B αN Konstanta přenosu je Ω 20 K0 = 2 . ( 7.17 ) ΩN 7.2.5

Transformace NDP na PZ

7.2.5.1 Transformace NDP 1. řádu na PZ 2. řádu Přenos ( 7.2 ) se transformuje na

102


w p 2 + ω 02 ω w , D( p) = p 2 + p w0 + ω 02 . D( p) Q Parametry sekce jsou w w f F f0 = f0 , Q = 0 0 . B K ( p) =

( 7.18 )

( 7.19 )

7.2.5.2 Transformace NDP 2. řádu na DPN + HPN Přenos ( 7.3 ) se transformuje na K ( p 2 + ω N2 1 ) ( p 2 + ω N2 2 ) K ( p) = K 1 ( p).K 2 ( p ) = 0 . . ( 7.20 ) D1 ( p ) D2 ( p ) Parametryw pólů dvou eliptických podsekcí DPN a HPN jsou w f 01 = f 0 / k F , f 02 = f 0 .k F , Q = Q1 = Q2 , K 0 = 1. ( 7.21 ) Určujeme je podobně jako u PP v kap.7.2.4.2, dle vztahů ( 7.11 ), až na jiný vztah pro α α =

2 f 0 F0 . B

( 7.22 )

Nulové body (rejekce) jsou stejné, na kmitočtu f N1 = f N 2 = f 0

( 7.23 )

7.2.5.3 Transformace NDPN na DPN + HPN Přenos ( 7.4 ) se transformuje na ( 7.20 ). Parametry pólů určíme stejně jako v předchozím případě (kap. 7.2.5.2), dle vztahů ( 7.21 ) a ( 7.22 ). Dále vypočteme parametry nulovýchwbodů w f N 1 = f 0 / k N , f N 2 = f 0 .k N . ( 7.24 ) kde αN

2 f 0 FN , = B

kN =

1 + 1 + α N2 αN

.

( 7.25 )

Příklad 7.1: Pasivní pásmovou propust v kaskádním zapojení Navrhněte LCR pásmovou propust s následujícími parametry: fC1 = 0,5 kHz, fC2 = 2 kHz, KC= -3 dB fS1 = 0,1 kHz, , fS2 = 4 kHz, KS = -40 dB, jako kaskádu DP a HP. Příklad 7.2: Aktivní dolní propust Navrhněte ARC ekvivalent k pasivnímu filtru z Příklad 4.5. Příklad 7.3: Aktivní dolní propust Navrhněte ARC dolní propust 3. řádu s přenosovou funkcí aproximovanou dle Bessela pro fmez = 100 Hz a K0= 1. Příklad 7.4: Aktivní dolní propust vyšších řádů Navrhněte ARC dolní propust s Cauerovou aproximací, s kaskádním řazením a s následujícími parametry: fm = 3,4 kHz, : fS = 3,4 kHz, Kzvl = -0,1 dB, KS = -30 dB. Příklad 7.5: Aktivní pásmová propust vyšších řádů Navrhněte ARC pásmovou propust s inverzní Čebyševovou aproximací, s kaskádním řazením a s následujícími parametry: fm1 = 900 Hz, fm2 = 1100 Hz, fS2 = 1100 Hz, Kzvl = 3 dB, KS = -40 dB.

Elektrické filtry

103

Příklad 7.6: Aktivní pásmová zádrž vyšších řádů Navrhněte ARC pásmovou zádrž s Čebyševovou aproximací, s kaskádním řazením a s následujícími parametry: f0 = 50 Hz, Kzvl = - 3 dB, KS = -30 dB, B-3dB = 8 Hz, B-30dB = 2 Hz. Příklad 7.7: Aktivní pásmovou propust Navrhněte ARC ekvivalent k pasivnímu filtru z Příklad 4.10.

7.3 Kontrolní otázky ku kapitole 7 1. 2. 3. 4.

Vysvětlete princip kaskádní syntézy aktivních filtrů RC vyšších řádů. Jak u kaskádní syntézy rozložíme zadanou přenosovou funkci? Pojednejte výhodách a nevýhodách kaskádní syntézy. Na příkladu filtru vyšších řádů s nulovými body přenosu ukažte jak se tvoří modulová charakteristika při kaskádní syntéze. 5. Uveďte příklad nekaskádní syntézy, nakreslete blokové schéma. 6. Porovnejte postupy návrhu pasivních a aktivních filtrů.

8 Filtry se syntetickými prvky a funkčními bloky Cíle kapitoly: Navázat na kap. 5, kde jsme se seznámili s moderními aktivní prvky a různými funkční bloky. Ukázat jejich typické použití ve filtrech. Zvláště se zaměřit na filtry s gyrátory, s integrátory a DCR struktury. Test předchozích znalostí 1. Definujte gyrátor a ukažte jeho typické použití k simulaci uzemněné a plovoucí cívky. 2. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí gyrátorů. 3. Pojednejte o jednoduchých zapojeních syntetických induktorů, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 4. Pojednejte o bezeztrátových syntetických induktorech (zemněných i plovoucích), nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 5. Jak je definován prvek FDNR? 6. Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 7. Pojednejte o realizaci jednoduchých FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 5.

8.1 Filtry se syntetickými induktory V klasických filtrech LC(R) (kap. 4) můžeme nahradit cívku syntetickým induktorem (kap. 5.3.1). Ten může být realizován pomocí zobecněného imitančního konvertoru (kap. 5.2.2) a nebo gyrátoru (kap. 5.2.1). V kap. 5.3 jsme ukázali, jak pomocí dvou funkčních bloků lze efektivně realizovat i celé seskupení cívek.

104


8.2 Filtry s gyrátory Využití gyrátorů k simulaci cívek, jejich seskupení, i celých částí filtrů je přehledně uvedeno v Tabulka 5.1. Tak lze nahradit L v pasivních propustech LC(R) 2.řádu (DP, PP, HP, kap. 2) a získat jejich aktivní ekvivalenty.

Obrázek 8.1:

Základní obvody 2.řádu s gyrátorem. a) dolní propust, b) pásmová propust,

c) horní propust.

Na Obrázek 8.1 je ukázána jiná a to přímá realizace těchto propustí s gyrátorem (s využitím přenosu gyrátoru). Přenosy všech těchto propustí mají stejného jmenovatele  1 1 + R1 R2 g 2 1   p + D( p) = p 2 +  + ( 8.1 ) R1 R2 C1C 2  R1C1 R2 C 2  . Pro jednotlivé obvody jsou pak různí čitatelé přenosů Obrázek 8.1a: g , DDP ( p ) = ( 8.2 ) R1 R2 C 2 Obrázek 8.1b: DPP ( p ) = p

g , C2

( 8.3 )

Obrázek 8.1c: g . ( 8.4 ) C2 Pomocí gyrátorů lze také vhodně realizovat přemostěné struktury vyšších řádů (Obrázek 8.2), kde mezi nesousedními podobvody existují pólotvorné vazby. Při jejich syntéze se využívá kaskáda dvou stejných gyrátorů (ideální transformátor). Přemostěné struktury jsou zvlášť vhodné k realizaci eliptických filtrů. Syntéza vychází z prototypu LC(R). Na Obrázek DHP ( p ) = p 2

Elektrické filtry

105

8.2a je to Cauerova DP 5. řádu s útlumovým plánem na Obrázek 8.2b. Přemostěná gyrátorová struktura je na Obrázek 8.2c. Byla optimalizována tak, aby gyrační vodivosti měly stejnou hodnotu.

Obrázek 8.2: Přemostěné struktury s gyrátory. a) prototyp LC(R) Cauerova filtru 5.řádu, b) útlumový plán filtru, c) ekvivalentní gyrátorová struktura.

8.3 Filtry DCR Filtry DCR využívají syntetický prvek FDNR, definovaný v kap. 5.3.3. K této DCR struktuře jednoduše dospějeme z předem navrženého prototypu LCR, za použití Brutonovy transformace [ 15 ]. Transformační funkcí T(p) se mění impedance Z∧ všech větví prototypu (LCR) na impedanci Z struktury DCR, dle vztahu ( 8.5 ) Jednotlivé prvky se pak transformují tak, jak přehledně uvádí Tabulka 8.1. K , Z = T ( p) Z ^ T ( p) = ( 8.5 ) p kde K je vhodná konstanta. Tabulka 8.1:

Brutonova transformace

Prototyp LCR

Ekvivalent DCR

Vztah

R^

C

C=1/KR^

L^

R

R=KL^

C^ D D=C^/K Poznamenejme, že Brutonova transformace je invariantní pouze vůči přenosu K(p), nikoliv však vůči imitančním funkcím.

106


Obrázek 8.3: Filtr DCR 5. řádu. a) prototyp LCR normované dolní propusti, b) ekvivalentní struktura DCR, c) úplné schéma filtru Příklad filtru DCR, a to dolní propust 5. řádu, je na Obrázek 8.3. Návrh vychází z prototypu DP-LCR na Obrázek 8.3a. Vzhledem k nižšímu počtu FDNR ve finálním obvodě prototyp DP-LCR volíme s T-články. Má totiž menší počet C (po transformaci D), než struktura s Π-články. Navržený prototyp DP-LCR převedeme pomocí Tabulka 8.1 na ekvivalentní obvod DP-DCR na Obrázek 8.3b. Jednotlivé FDNR (D) pak budeme realizovat bezeztrátovým zapojením se dvěma OA, dle Obrázek 5.10. Získáme tak výsledné zapojení na Obrázek 8.3c. Brutonovou transformací prototypů PP-LCR a. HP-LCR se ve finální struktuře DCR, v podélných větvích objeví i FDNR plovoucí. Ty se realizují pomocí dvou ZIK-ů, obdobně jako plovoucí SI na Obrázek 5.12. Stejně můžeme najednou realizovat i seskupení více FDNR (obdoba Obrázek 5.13). V méně náročných filtrech použijeme jednoduché FDNR tzv. ztrátové (Obrázek 5.16).

8.4 Filtry s integrátory Z invertujícího integrátoru s OA vznikl, přidáním dalších vstupů, základní stavební blok 1.řádu (MISO) na Obrázek 8.4a. Jeho graf signálových toků je na Obrázek 8.4b. Ten použijeme pro syntézu těchto filtrů. Ukážeme si to na několika příkladech.

Elektrické filtry

Obrázek 8.4:

107

Stavební funkční blok 1.řádu. a jeho graf.

Nejprve si ukážeme syntézu bikvadu s integrátory. Vycházíme z obecné přenosové funkce 2. řádu ( 2.30 ), kde předpokládáme b2 = 1. Takovýto přenos má graf signálových toků na Obrázek 8.5a. Jeho modifikace pro čtyři výstupy různého charakteru a to HP, PP, DP a obecný bikvad je na Obrázek 8.5b. Graf pak přímo realizujeme odpovídajícím obvodem, větve s přenosem p-1 realizujeme integrátory, ostatní větve zesilovači a sumátory. Takto získané zapojení bikvadu obsahuje větší počet OA, než je obvyklé. Umožňuje však přímo, jednoduše a nezávisle nastavovat jednotlivé koeficienty přenosové funkce ( 2.30 ). Snížení počtu OA můžeme dosáhnout modifikací grafu, na úkor menšího využití obvodu.

Obrázek 8.5:

Graf signálových toků s přenosem 2. řádu.

Přímá realizace přenosové funkce vyšších řádů je možná analogovými strukturami přenesenými z filtrů číslicových [ 9 ]. Na Obrázek 8.6 je graf přímé realizační struktury filtru 5.řádu. Tento graf byl již modifikován, aby se dal realizovat stavebním blokem z Obrázek 8.4a. Přímé realizační struktury se pro vyšší řády, z důvodu složitosti a velkých citlivostí, používají málo.

Obrázek 8.6:

Graf přímé realizační struktury K(p) 5. řádu.

108


Výhodnější jsou filtry s integrátory, odvozené z prototypu LCR a z jeho stavového popisu. Ukážeme si to na příkladu Cauerovy dolní propusti 3. řádu. Výchozí prototyp LCR je na Obrázek 8.7a. V něm zvolíme stavové proměnné (u1, u3, i2) a napíšeme stavové rovnice, popřípadě přímo nakreslíme odpovídající stavový graf na Obrázek 8.7b. Obdobně jako v předchozích případech, pak z grafu sestrojíme filtr s integrátory, který je na Obrázek 8.7c.

Obrázek 8.7:

Cauerova dolní propust 3. řádu s integrátory. a) prototyp LCR, b) stavový graf, c) ekvivalentní filtr s integrátory.

8.5 Aktivní filtry R Aktivní filtry R využívají kmitočtovou závislost zesílení reálného OA. V podstatě jsou zvláštní skupinou filtrů s integrátory (kap.8.4). Ten je zde realizován reálným OA s přenosem A0 ω ≅ T, A( p ) = p p ( 8.6 ) 1+ ω0 kde ωT = A0 ω0 je tranzitní kmitočet a ω0 kmitočet dominantního pólu OA. On určuje parametry filtru R. Kondenzátory se v těchto filtrech vyskytují pouze jako blokovací nebo na úpravu charakteristiky reálného OA (změnu ωT). Pro kmitočet zpracovávaného signálu musí platit f >> f0. Proto se tyto filtry používají v kmitočtových pásmech f > 50 kHz. Mají menší rozměry, jednodušší výrobu stejnou technologii, nižší cenu a menší citlivosti. Na druhé straně jejich vlastnosti závisí na parazitních, jen informativně definovaných, často i individuálních parametrech použitých OA. Proto v současnosti tyto filtry nenašly přílišné uplatnění. Pro ilustraci si ukážeme typickou strukturu bikvadů R. Na Obrázek 8.8 je univerzální bikvad R (Brand – Schaumann). Na označených výstupech lze současně realizovat základní propusti DP, PP, HP. Obvod byl odvozen ze stavového popisu , obdobně jako bikvady RC s integrátory v kap.8.4. Jmenovatel je pro všechny přenosy stejný

Elektrické filtry

109

ω T 1 ω T 1ω T 2 . + ( 8.7 ) A2 A1 Pro jednotlivé výstupy lze odvodit následující čitatele přenosů ω ω ω 1 . N DP ( p) = − T 1 T 2 , N PP ( p) = − p T 1 , N HP ( p) = p 2 ( 8.8 ) A3 A3 A3 Odpory rezistorů určují zavedené proměnné R R R R R R A1 = 1 + 1 + 1 , A2 = 1 + 2 + 2 , A3 = 1 + 3 + 3 . ( 8.9 ) R 2 R3 R1 R3 R1 R2 Základní parametry toho bikvadu R jsou dány vztahy ω T 1ω T 2 ωT 2 , . Q = A2 ωp = ( 8.10 ) A1 A1ω T 1 Z nich vyplývá, že kmitočet pólu budeme nastavovat změnou R1, činitel kvality změnou R2 Obrázek 8.8. V [ 16 ] jsou uvedeny další zapojení filtrů R a jejich modifikace pro nižší kmitočtové pásma a větší dynamiku zpracovávaného signálu. D( p ) = p 2 + p

Obrázek 8.8:

Univerzální bikvad R.

8.6 Aktivní filtry s proudovými konvejory Aktivní filtry s proudovými konvejory využívají aktivní prvek , který se nazývá proudový konvejor. Existují různé varianty těchto obvodů, které se od sebe liší přenosovými vlastnostmi mezi jednotlivými svorkami, popřípadě počtem vstupních a výstupních svorek (viz.Proudové konvejory) 8.6.1

Filtry prvního řádu s konvejory

Při konstrukci filtrů prvního řádu s konvejory je možno tento aktivní prvek použít jako oddělovací stupeň pro impedanční oddělení vstupu a výstupu filtru. V tomto případě jsou vhodnější aktivní filtry s klasickými operačními zesilovači nebo filtry s operačními zesilovači s proudovou zpětnou vazbou. 8.6.2

Filtry druhého řádu s konvejory

Při návrhu a konstrukci aktivních filtrů druhého řádu s konvejory používáme jako aktivní prvek převážně konvejor CC30111 (dříve označován jako CII+), protože je běžně komerčně dostupný jako součást některých průmzslově v yráběných obvodů. Je dostupný například

110


v integrovaných obvodech AD844 (analog devices), OPA660, OPA2662 (Texas Instruments) a MAX435, MAX436 (Maxim). Příklad dolní propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.9. Toto zapojení má přenosovou charakteristiku U a0 − G1G2 = 2 K ( p ) = OUTPUT = ( 8.11 ) 2 U INPUT b2 p + b1 p + b0 p C1C 2 + pC1G3 + G2 G3 ωP =

C1C 2 G2 G3 G 2 ⋅ G3 , QP = C1 ⋅ G3 C1 ⋅ C 2

obrázek 8.9:

( 8.12 )

Dolní propust druhého řádu se dvěma konvejory.

Výhodné zapojení horní propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.10. Toto zapojení má přenosovou charakteristiku H ( p) ; K ( p) = H ( p) = p 2C1C2G , D( p) ( 8.13 ) D( p ) = p 2 (C1C 2 G1 + C1C 2 G2 + C1C 2 G3 ) + p (C 2 G1G2 + C 2 G1G3 + C1G2 G3 − C 2 G1G4 ) + G1G2 G3 ωP =

C1C 2 G1G1G2 G3 (G1 + G2 + G3 ) G1G2 G3 , QP = C 2 G1G2 + C 2 G1G3 + C1G2 G3 − C 2 G1G4 C1C 2 (G1 + G2 + G3 )

obrázek 8.10:

Horní propust druhého řádu se dvěma konvejory.

( 8.14 )

Elektrické filtry

111

Příklad pásmové propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.11. Toto zapojení má přenosovou charakteristiku U a1 p pC1G2 = 2 K ( p ) = OUTPUT = ( 8.15 ) 2 U INPUT b2 p + b1 p + b0 p C1C 2 + pC1G3 + G2 G3 ωP =

C1C 2 G2 G3 G 2 G3 , QP = C1G3 C1C 2

obrázek 8.11:

( 8.16 )

Pásmová propust se dvěma konvejory.

Při konstrukci filtrů vyšších řádů bývají větší problémy při realizaci eliptických funkcí než při realizaci přenosových funkcí bez nuly přenosu (rejekce).Zajímavou variantou je Obvod umožňující realizovat pásmovou zádrž a normovanou dolní a horní propust, kde se charakter filtru mění změnou jediného prvku v obvodu. Schéma zapojení tohoto filtru znázorňuje obrázek 8.12. Přenosová charakteriszika má tvar U OUTPUT p 2 C1C 2 + p(C 2 G1 − C1G1 ) + G1G2 = 2 K ( p) = ( 8.17 ) U INPUT p C1C 2 + p(C1G3 + C 2 G1 ) + G1G3 ωp =

C1C 2 G1G3 C1C 2 G1G2 G1G3 G1G2 , Qp = , ωn = , Qn = C1G3 + C 2 G1 C 2 G1 − C1G1 C1C 2 C1C 2

obrázek 8.12:

Filtr s nulou přenosu se dvěma konvejory.

( 8.18 )

112


Jelikož výstupní impedance je u těchto filtrů vysoká, tak je nutno oddělit výstup filtru nějakým oddělovacím obvodem aby se jeho vlastnosti neměnily s velikostí zátěže. U výše jmenovaných obvodů je většinou oddělovací zesilovač již obsažen.

8.7 Kontrolní otázky ku kapitole 8 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Nakreslete a popište schéma dolní propusti s gyrátorem. Nakreslete a popište schéma horní propusti s gyrátorem. Nakreslete a popište schéma pásmové propusti s gyrátorem. Nakreslete schéma a vysvětlete princip přemostěných struktur s gyrátory. Popište princip DCR struktur a jejich získání pomocí Brutonovy transformace. Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu. 7. Pojednejte o přímé syntéze filtrů s integrátory. 8. Vysvětlete princip a uveďte příklad zapojení aktivních R filtrů.

9 Zvláštní typy filtrů Cíle kapitoly: V přenosové technice se setkáváme s problémy, které nelze řešit běžnými typy filtrů, uvedenými v předchozích kapitolách. Problémy jsou to různorodé a nutno k nim přistupovat individuálně. Seznámíme se s některými z nich, a to s fázovacími dvojbrany, s kmitočtovými korektory, s rozdělovacími a slučovacími obvody a s filtry s nastavitelnými parametry. Test předchozích znalostí 1. Jaký je účel všepropustných fázovacích obvodů? 2. Jak je definován všepropustný fázovací obvod 2. řádu? Uveďte přenos napětí. 3. Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku všepropustného fázovacího obvodu. 4. Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů všepropustného fázovacího obvodu. 5. Nakreslete schéma pasivního RLC všepropustného fázovacího obvodu 2. řádu.

9.1 Všepropustné fázovací dvojbrany Všepropustné fázovací dvojbrany (VPD) umožňují korigovat průběh argumentové charakteristiky určité soustavy a to beze změny charakteristiky modulové. Používají se v syntéze zpožďovacích článků (vedení), fázovacích korektorů (vyrovnávačů), ale i ve filtrech, místo integrátorů (kap.8.4), což umožnilo zlepšit jejich stabilitu a rozšířit přenášené pásmo kmitočtů. 9.1.1

Všepropustné dvojbrany n-tého řádu

VPD vyššího řádu lze realizovat jako kaskádu VPD 1. a 2. řádu. Jeho přenos je dán obecně resp. normovaně následujícími vztahy N

K ( p) = K 0

∏ ( p 2 − b1n p + b0n ) n =1 N

∏( p n =1

2

+ b1n p + b0 n )

N

, K (s) = K 0

∏ (B

2n

s 2 − B1n s + 1)

2n

s + B1n s + 1)

n =1 N

∏ (B n =1

. 2

( 9.1 )

Elektrické filtry

113

Modulová charakteristika je konstantní. Fázová charakteristika je dána příspěvky natočení fáze od jednotlivých pólů a nulových bodů N B1n Ω ϕ (Ω) = ∑ ϕ n = −2∑ arctg K(Ω) = K0 , ( 9.2 ) . 1 − B2 n Ω 2 n n Nulové body přenosu ( 9.1 ) leží v pravé polorovině zrcadlově k pólům (Obrázek 9.2b). VPD se často využívají ke zpožďování signálů, kdy požadujeme konstantní skupinové zpoždění dϕ (ω ) τ (ω ) = − =konst., ( 9.3 ) dω pro celé kmitočtové spektrum zpožďovaného signálu. Pro VPD n-tého řádu lze normované skupinové zpoždění ( 4.18 ) obecně určit z koeficientů přenosu ( 9.1 ) B1n (1 + B2 n Ω 2 ) 1 N τ N (Ω) = ∑ ( 9.4 ) π n 1 + ( B1n 2 − 2 B2 n )Ω 2 + B2 n 2 Ω 4 V použitém pásmu nižších kmitočtů je skupinové zpoždění konstantní (Obrázek 9.1c), s počáteční hodnotou 1 N τ N (0) = ∑ B1n . ( 9.5 ) π n V Tabulka 3.1 jsou uvedeny pro různý řád VPD (do n = 5) požadované normované parametry kaskádně zapojených podobvodů, koeficienty B1i a B2i, hodnota činitele jakosti Qi, normovaný kmitočet Fi při kterém dílčí podobvod natočí fázi o -90o resp.-180o a počáteční hodnota normovaného skupinového zpoždění τN(0). Tabulka 9.1: n 1 2 3 4 5

9.1.2

Normované parametry i-tého podobvodu ve VPD n-tého řádu i 1 2 1 2 1 2 1 2 3

B1i 0,6436 1,6278 1,1415 1,5092 2,3370 1,3506 1,2974 2,2224 1,2116

B2i 0,0000 0,8832 0,0000 1,0877 1,4878 1,1837 0,0000 1,5685 1,2330

Fi= fi/fm 1,554 1,064 0,876 0,959 0,820 0,919 0,771 0,798 0,901

Qi 0,58 0,69 0,52 0,81

τN(0) 0,2049 0,5181 0,8437 1,1738 1,5060

0,56 0,92

Všepropustné dvojbrany 1. řádu

Jednoduchý všepropustný dvojbran 1. řádu RC je na Obrázek 9.1a. Složitější křížový LC článek na Obrázek 9.1b je pozoruhodně také VPD pouze 1. řádu. Oba obvody mají následující jednoduchý přenos v obecném nebo normovaném tvaru 1 − B1 s ω p − b0 , , K ( p) = K 0 K ( s) = K 0 B1 = m . ( 9.6 ) 1 + B1 s p + b0 B0 Nulový bod a pól leží symetricky na reálné ose. Argumentová charakteristika je pak ω ϕ (ω ) = −2 arctg , ϕ (Ω) = −2 arctg ΩB1 , ( 9.7 ) b0 a počáteční hodnota skupinového zpoždění

114


B1 ( 9.8 ) π Nyní si blíže rozebereme oba pasivní VPD 1.řádu. Jednoduchý VPD-RC - můstek RC (Obrázek 9.1a) má plovoucí výstup, což může být někdy nevýhodné. Přenos napětí na tento výstup naprázdno je dán vztahem ( 9.6 ), s následujícími konkrétními parametry 1 1 K0 = −0,5 , b0 = p1 = −n1 = , ( 9.9 ) RC RC Přenos má jeden záporný reálný pól (p1) v levé polorovině a jeden nulový bod (n1) zrcadlově sdružený v pravé polorovině. Jeho kmitočtové charakteristiky a průběh skupinového zpoždění jsou, pro R = 1kΩ, C = 100nF, na Obrázek 9.1c. Maximální fázové natočení je (-180o). To je možné díky tomu, že obvod není obvodem s minimální fází. Hodnota skupinového zpoždění v oblasti nízkých kmitočtů (Obrázek 9.1c) je konstantní a dána je vztahem ( 9.8 ). τ N (0) =

Příklad 9.1: VPD-LC - křížový článek LCR Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru VPD-LC na Obrázek 9.1b. a) při výstupu naprázdno, b) při zatížení obecnou rezistivní zátěží R, c) při zatížení obrazovými impedancemi R0.

Obrázek 9.1: Pasivní všepropustné fázovací dvojbrany 1. řádu. a) můstek RC (VPD-RC),b) křížový článek LCR (VPD-LC), c) charakteristiky VPD-1. Na základě výsledků z Příklad 9.1 lze konstatovat, že křížový článek LCR (VPD-LC), (Obrázek 9.1b) má potřebné vlastnosti pouze při zatížení obrazovými impedancemi R0. Tehdy jeho přenos a parametry jsou p −ω p L 1 R 0 = Z0 = . , , ωp = K ( p) = − ( 9.10 ) C p +ωp LC Pouze tehdy vykazuje obvod vlastnosti fázovacího článku 1. řádu, což někoho překvapí. Poznamenejme, že vliv dalších nulových bodů a pólů se vyruší. Nevýhodou je značný počet součástek a hlavně ty dvě potřebné cívky. Pro stejný mezní kmitočet (L = 0,1 H, C = 100 nF)

Elektrické filtry

115

má tento obvod shodné charakteristiky s obvodem předchozím, pro oba obvody dostáváme kmitočtové charakteristiky na (Obrázek 9.1c). 9.1.3

Všepropustný dvojbran 2. řádu

Seznámili jsme se s ním v kap. 2.5.9. VPD 2. řádu ve tvaru křížového LCR článku je na Obrázek 2.15b. Má přenosovou funkci v obecném tvaru ( 2.38 ) nebo normovaně p 2 − b1 p + b0 B s 2 − B1 s + 1 , , K ( p) = K 0 2 K ( s) = K 0 2 2 ( 9.11 ) p + b1 p + b0 B2 s + B1 s + 1 a fázovou charakteristiku ΩB1 bω , ϕ (Ω) = −2 arctg ϕ (ω ) = −2 arctg 1 2 , ( 9.12 ) 1 − Ω 2 B2 b0 − ω Počáteční hodnota skupinového zpoždění je opět dána vztahem ( 9.8 ). Rozložení pólů a nulových bodů přenosu je na Obrázek 2.15. 9.1.4

Aktivní všepropustný dvojbran

K realizaci VPD-ARC 1. a 2. řádu nejčastěji používáme zapojení na Obrázek 9.2d s operačním zesilovačem a pasivním dvojbranem RC. Ten je tvořen některým z podobvodů RC z Tabulka 3.1 nebo Tabulka 3.2, kde je uveden i jeho přenos K(p)∧. Celkový přenos K(p) VPD-ARC lze pak vyjádřit vztahem ) R M= b kde K ( p) = − M + (M + 1)K ( p) , ( 9.13 ) Ra .

[

]

Obvod na obr. 8.1d bude vykazovat vlastnosti všepropustného dvojbranu pouze při splnění určité podmínky, uvedené v tab. 8.2. Tabulka 9.2:

Realizační podmínky VPD obvodu na Obrázek 9.2d Pasivní RC dvojbran Podmínka aby obvod byl VPD Tabulka 3.1 a R M= b Tabulka 3.2 Ra DP-RC-1, M=1 HP-RC-1 PP-RC-2A R  C  M −1 = 1 + 2 1 1 + 1  R2  C 2  PP-RC-2B PP-RC-2W PZ-RC-PT-A PZ-RC-PT-B PZ-RC-2W

 R  M −1 = 1 + 21 + 2  R1   R C  M −1 = 1 + 2 1 + 2   R2 C1  R  C  M = 1 + 2 1 1 + 1  R2  C 2   R  1 + 1   R2  C R  M = 1 + 2 1 + 2   C 2 R1  M = 1+ 2

C1 C2

116


a) b) Obrázek 9.2: Aktivní všepropustný fázovací dvojbran. a) obecné schéma zapojení s jedním OA, b) rozložení pólů a nulových bodů přenosu. Příklad 9.2: Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-DP-RC-1 Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.1 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-DP-RC-1. Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a určete podmínku, aby obvod byl VPD. Výsledek porovnejte s Tabulka 9.2. Příklad 9.3: Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-PP-RC-2A Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.2 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-PP-RC-2A. Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a určete podmínku, aby obvod byl VPD. Výsledek porovnejte s Tabulka 9.2. Příklad 9.4: Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-PZ-RC-2W Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.2 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-PZ-RC-2W. Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a určete podmínku, aby obvod byl VPD. Výsledek porovnejte s Tabulka 9.2.

9.2 Kmitočtové korektory Úkolem kmitočtových korektorů je změna přenosu dané přenosové soustavy, v závislosti na kmitočtu. Korigují určitou nežádoucí kmitočtovou závislost reálné přenosové cesty K1(ω). Do řetězce bloků zařadíme korektor s přenosem K2(ω), pro který platí K1 (ω ) ⋅ K2 (ω ) = K0 = konst . ( 9.14 ) Jednoduché korekce lze dosáhnout pomocí pasivních RC obvodů s využitím aproximovaných (Bodeho) charakteristik z Tabulka 3.2. Náročnější korektory pro individuální a měnící se požadavky jsou složité aktivní obvody, jejichž návrh je značně náročný. V elektroakustice se korektory používají na zdůraznění (potlačení) určitého kmitočtového pásma. Jednoduché 1. řádu jsou jen dvoupásmové. Z nich nejpoužívanější jsou korektory hloubek a výšek se směrnicí modulové charakteristiky 20 db/dek. Pro lepší korekci modulové charakteristiky se používají vícepásmové korektory. Pro akustické aplikace se ustálil počet pásem (5, 7, 10, 31) a jejich vymezení (korekční kmitočty), vycházející z logaritmického dělení oktáv. Pro přesnou korekci se používají parametrické korektory, umožňující nastavit libovolné hodnoty modulu přenosu, rezonančního či mezního kmitočtu a šířky pásma. Na Obrázek 9.3a je korektor s invertujícím zesilovačem, realizující více pásmový filtr prezence a absence. Kmitočtově závislé impedance (Zn) bývají realizovány sériovým obvodem LCR. Podle polohy potenciometrů (Pn) se impedance Zn různě zařazují do zpětné vazby (paralelně k R1 a R2), čímž dochází k potlačení nebo zvýraznění odpovídajícího

Elektrické filtry

117

rezonančního kmitočtu. Modifikací tohoto zapojení je Baxandalův sdružený korektor hloubek a výšek na Obrázek 9.3b. Korektor s neinvertujícím zesilovačem , tzv. rozdílový typ, je na Obrázek 9.3c. Když je běžec potenciometru Pn v horní (dolní) polovině, zapojení realizuje filtr absence (prezence) určitého kmitočtového pásma, daného impedancí Zn. Ta je tvořena pro PP sériovou kombinací LCR, pro DP pouze RL a pro HP sériovým obvodem RC. V horní krajní poloze potenciometru, obvod představuje kmitočtově závislý dělič R1 a Zn, zakončený sledovačem (A=1). V dolní poloze se Zn spolu s R2 uplatní ve zpětné vazbě zesilovače s přenosem R K (ω ) = 1 + 2 . ( 9.15 ) Zn Ve střední poloze potenciometru je přenos obvodu kmitočtově nezávislý (K = 1). Na Obrázek 9.3d je zapojení pásmového korektoru se dvěma invertujícími zesilovači, které je výhodné z hlediska nízkého šumu a konstantní (kmitočtově nezávislé) vstupní impedance. Pasivní selektivní blok K^(p) může být opět realizován sériovým rezonančním obvodem nebo selektivním obvodem RC z Tabulka 3.2. Podrobný návrh korektorů se vymyká z rozsahu těchto skript. Doporučujeme použít některá osvědčená zapojení z literatury, např. [ 3 ] aj.

Obrázek 9.3: Kmitočtové korektory. a) korektor s invertujícím zesilovačem, c) korektor s neinvertujícím zesilovačem,

b) Baxandelovo zapojení, d) pásmový korektor se dvěma zesilovači.

9.3 Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody jsou kmitočtové filtry , které dovolují signály rozdělit do různých tras, nebo naopak z různých tras sloučit. Na Obrázek 9.4a je kmitočtová dvoupásmová výhybka (rozdělovací obvod) s filtry LC 3. řádu. Můžeme ji použít jako reproduktorovou výhybku, aby se zbytečně neztrácel výkon,

118


který hloubkový (výškový) reproduktor nepřemnění na výkon akustický. Pasivní obvody používáme při přenosu větších výkonů. S aktivními filtry tento problém můžeme vyřešit dvěma samostatnými zesilovači. Místo článků T můžeme použít i články Π. Pro jednodušší aplikace vynecháme L3 a C3 nebo dokonce i L2 a C2. Výhybku na Obrázek 9.4a navrhneme při zadaném společném mezním kmitočtu fm a stejných odporech reproduktorů R, dle následujících vztahů 3R 3R R , L3 = , L2 = , L1 = 4π f m 4π f m 8π f m ( 9.16 ) 1 1 2 , C3 = , C2 = , C1 = 3π f m R 3π f m R π fmR Třípásmová reproduktorová výhybka (pro hloubkový, středotónový a výškový reproduktor) je na Obrázek 9.4d. Obdobný třípásmový rozdělovací obvod pro uzemněné zátěže je na obr. 8.3c. Slučovací obvody se používají např. v anténních svodech. Příklad zapojení je na obr. 8.3b. Při slučování blízkých úzkopásmových signálů použijeme v těchto filtrech pásmové propusti. Při návrhu takovýchto obvodů s výhodou využíváme teorii Zobelových filtrů.

Obrázek 9.4: Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody. a) dvoupásmmová výhybka, b) dvoupásmmový slučovací obvod, c) třípásmmová výhybka, d) třípásmmový sériový rozdělovací obvod.

9.4 Filtry s nastavitelnými parametry Dovolují snadnou (elektronicky řízenou) změnu parametrů a přelaďování filtrů. U aktivních filtrů složených z bikvadů to budou základní parametry fm resp. fo a Q. Pro jejich realizaci použijeme raději bikvady MAB (kap.6.9.3) s více OZ, které dovolují toto nezávislé nastavování parametrů. Filtry ARC je vhodnější přelaďovat změnou odporu rezistorů, u

Elektrické filtry

119

některých zapojení (např. SAB-DP-SK-1) současně i dvou naráz (tandemovým potenciometrem se zaručeným souběhem). K elektronickému ladění se využívají optočleny s fotoodpory nebo spínané odpory. Výhodné také je nahradit R spínanými ekvivalenty R-SC (kap.10.5), kde lze přelaďovat změnou spínacího kmitočtu. Ladění filtrů vyšších řádů je obtížnější. Nutný je přesný souběh více ladících prvků. To lze přijatelně vyřešit u filtrů SC (změnou spínacího kmitočtu). Nebo se tento problém obchází směšováním se signálem z přelaďovaného oscilátoru a při tom selektivitu zabezpečíme pevným filtrem.

9.5 Kontrolní otázky ku kapitole 9 1. Jak je definován všepropustný fázovací dvojbran n-tého řádu? Uveďte přenos napětí. 2. K čemu se používají všepropustné fázovací obvody? 3. Jsou to obvody s minimálním nebo neminimálním fázovým posuvem a jaké důsledky z toho vyplývají? 4. Uveďte definici skupinového zpoždění a jeho souvislost s fázovou charakteristikou. 5. Nakreslete schéma jednoduchého RC všepropustného fázovacího obvodu 1. řádu. 6. Nakreslete schéma fázovacího obvodu 1. řádu, ve tvaru RLC X-článku. 7. fázovacího obvodu 2. řádu, ve tvaru RLC X-článku. 8. Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku fázovacího dvojbranu 1.řádu. 9. Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů fázovacího dvojbranu 1. a 2. řádu. 10. Nakreslete blokové schéma aktivního RC všepropustného fázovacího obvodu s operačním zesilovačem. 11. Co je účelem kmitočtových korektorů a jaké druhy se používají? 12. Nakreslete a vysvětlete schéma korektoru s invertujícím zesilovačem. 13. Nakreslete a vysvětlete schéma korektoru s neinvertujícím zesilovačem. 14. Nakreslete a vysvětlete schéma Baxandelova zapojení korektoru. 15. Co je účelem kmitočtových rozdělovacích a slučovacích obvodů a jaké druhy se používají? 16. Nakreslete a vysvětlete schéma dvoupásmového slučovacího obvodu. Uveďte příklad jeho využití. 17. Nakreslete a vysvětlete schéma třípásmového rozdělovacího obvodu. Uveďte příklad jeho využití.

10 Filtry se spínanými kapacitory Cíle kapitoly: Seznámit studenty s principem filtrů se spínanými kapacitory (SC), jejich popisem v oblasti z, se spínanými ekvivalenty základních dvojpólů R-SC, L-SC, FDNR-SC a se spínanými integrátory. Ukázat jim, jak se pomocí těchto stavebních bloků získají filtry SC vyšších řádů. Naznačit některé problémy reálných obvodů SC a technologie výroby těchto filtrů jako IO. Test předchozích znalostí 1. Nakreslete schéma invertujícího aktivního integrátoru s operačním zesilovačem. Co představuje za filtr? Napište jeho přenosovou funkci. 2. Vysvětlete pojmy: signál vzorkovaný, kvantovaný a diskrétní. 3. Vysvětlete princip číslicových filtrů. Jaké jsou jejich základní stavební bloky? 4. Jak je definována z-transformace a k čemu se používá? 5. Jaké druhy aproximujících z-transformací znáte?

120

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 6. Uveďte vlastnosti bilineární z-transformace.

10.1 Princip obvodů SC Filtry se spínanými kapacitory (SC) nahradily v některých nf aplikacích klasické filtry ARC. Jejich hlavní výhodou je snadná integrovatelnost s jednotnou technologii [ 16 ] (kapacitní čipy, OA i spínače jsou CMOS), vysoká přesnost požadovaných parametrů a snadná přeladitelnost (změnou spínacího kmitočtu fs). Vyrábí se v hybridní nebo plně integrované (IO) monolitické podobě. Pracovní kapacity u IO jsou velmi malé (řádově pF), čipy mají malý rozptyl hodnot a dobrou teplotní stabilitu. Jejich výrobní tolerance i teplotní závislost se navíc jen málo projeví na přenosové funkci , protože koeficienty jsou určeny poměrem kapacit. Ten lze udržet s přesností větší než 0,1 %, což je až o 2 řády lepší než u IOARC. IO-SC jsou navíc daleko menší než obdobné IO-ARC (asi 400 x). Při hromadné výrobě jsou IO-SC také lacinější.

10.2 Spínače Elektronické spínače (Obrázek 10.1a) jsou realizovány MOS FET-y na Obrázek 10.1c. 12 2 Hodnoty odporů v sepnutém a rozepnutém stavu zde jsou řádově ROFF 10 Ω a RON 10 Ω. Parazitní kapacity (Obrázek 10.1d) dosahují až 20% hodnot kapacit pracovních. Přes Cgs a Cgd proniká do kanálu zpracovávaného signálu rušivé řídící napětí, které kompenzujeme přivedením stejného napětí v opačné fázi, přes další (třeba i nefunkční) tranzistor. Přepínače (obr. 9.1e) proto také obsahují více tranzistorů (Obrázek 10.1g).

Elektrické filtry

121

Obrázek 10.1: Spínače v obvodech SC. a) obecný spínač sepnutý v sudé fázi, b) vhodnější značka spínače, c) FET jako spínač, d) parazitní vlastnosti FET-u, e) obecný řízený přepínač, f) jeho vhodnější značka, g) elektronický přepínač s více FET-y.

10.3 Popis obvodů SC Obvody SC pracují diskrétně v čase, ale spojitě v hodnotě. U ideálních dochází při sepnutí k mžikovému nabití C, nábojovými vzorky. Náboj se na C udrží beze změny až do dalšího přepnutí. Vztah mezi vzorky nábojů a napětí lze popsat diferenčními rovnicemi nebo vhodněji rovnicemi algebraickými v oblasti proměnné z. Požadovanou přenosovou funkci U ( z ) a m z − m +......+ a 2 z −2 + a1 z −1 + a 0 , = K ( z) = 0 ( 10.1 ) U i ( z) bn z − n +......+b2 z −2 + b1 z −1 + b0 můžeme odvodit z analogového přenosu ( 2.10 ), pomocí transformace p-z. Připomeňme si její definiční vztah a souvislost mezi oběma proměnnými 1 z = e p T , p = ln z , ( 10.2 ) T kde T = 1/fv je perioda vzorkování. Druhý vztah v ( 10.2 ) nelze přímo použít, protože bychom dostali transcendentní výraz nevhodný k dalšímu zpracování. Z tohoto důvodu nahrazujeme logaritmus v ( 10.2 ) řadou. Podle typu a počtu členů této řady rozlišujeme různé tzv. aproximující transformace [ 14 ]. Nejpoužívanější je transformace BD (backward difference) 1 1 , p = 1 − z −1 , z = ( 10.3 ) 1 − pT T

(

)

122


a transformace BL (bilinear) 2 z −1 2 + pT p= , z= . ( 10.4 ) T z +1 2 − pT Používají se i transformace FD, LDI a další tzv. parametrické, podrobně rozebrané v [ 14 ]. Aproximující transformace způsobují kmitočtovou deformaci modulových charakteristik. Transformace BD stlačí a BL roztáhne kmitočtové měřítko [ 14 ]. Vedle deformace ve směru osy jω existuje i deformace ve směru osy σ [ 14 ], což představuje změnu kvality pólů a tím i tvaru modulových a zvláště pak fázových charakteristik. Pro transformaci BL, mezi kmitočtem signálu analogového prototypu (ωA) a diskrétně pracujícím ekvivalentem SC (ωD) lze odvodit následující vztah 1 2 ω T fv . ω AT < 1 , f < ω D = tg A , ( 10.5 ) 2π 2 T Zborcení charakteristik bude malé, při platnosti nerovností ve vztahu ( 10.5 ). To však z technologických důvodů nelze vždy splnit.

10.4 Předzkreslení charakteristik prototypu Kmitočtová deformace, způsobená zvolenou aproximující transformací p-z, se dá odstranit metodou předzkreslení (prewarping technic) průběhu modulové charakteristiky prototypu [ 16 ]. Postup si ukážeme na návrhu ekvivalentu SC pásmové propusti 2.řádu s parametry fP = 1633 Hz, Q = 16, K0 = 10 dB. Prototyp můžeme popsat přenosovou funkcí 2,027 ⋅ 10 2 p . ( 10.6 ) p 2 + 6,4128 ⋅ 10 2 p + 1,0528 ⋅ 108 Předpokládáme, že kmitočet vzorkování v obvodě SC je fv = 8 kHz. Podle vztahu ( 10.5 ) přepočteme rezonanční a mezní kmitočty: fp^ = 1902,2 Hz, fd^ = 1822,7 Hz, fh^ = 1981,7 Hz. Z těchto hodnot pak určíme předzkreslenou přenosovou funkci ) 3,1592⋅10 3 . K ( p) = 2 ( 10.7 ) p + 9,9903 p + 1,4285⋅10 4 Substitucí definičního vztahu ( 10.4 ), použité transformace BL, dostaneme přenosovou funkci ekvivalentního obvodu SC 0,1219 1 − z −1 1 + z −1 , K ( z) = ( 10.8 ) 1 − 0,5455 z −1 + 0,9229 z − 2 která bude základem pro jeho syntézu. K ( p) =

(

)(

)

10.5 Simulace rezistoru spínaným kapacitorem

(R-SC)

V analogovém obvodě je rezistor ztrátový prvek (nevratná přeměna elektrické energie v teplo). Má-li kapacitor, jako bezeztrátový akumulační prvek toto simulovat, musí se někde (ve fázi L) vybít (předat náboj), když se předem (ve fázi S) nabil na pracovní bráně. Tento nejjednodušší způsob simulace zemněného R-SC-BD je na Obrázek 10.2a. Ekvivalentní odpor je nepřímo úměrný kapacitě a kmitočtu spínání fs T 1 Re k = = s. ( 10.9 ) f sC C Vybíjení C, resp. předávání náboje, může být provedeno i jiným způsobem. Některé z nich jsou uvedeny na Obrázek 10.2. Syntézu R-SC lze provést z ekvivalentních nábojových

Elektrické filtry

123

rovnic [ 14 ], které se transformují do oblasti proměnné z. Podle zvolené transformace pak rozlišujeme daný typ R-SC.

Obrázek 10.2:

Simulace rezistoru spínaným kapacitorem.

a) spínaný ekvivalent zemněného rezistoru R-SC-BD, b) spínaný ekvivalent plovoucího rezistoru R-SC-FD, c) spínaný ekvivalent R-SC-BD, d) spínaný ekvivalent R-SC-BL.

10.6 Spínané ekvivalenty induktorů a bicistorů (L-SC, D-SC) Postupnou realizací nábojových vzorků v odvozených rovnicích [ 14 ], byla provedena i syntéza ekvivalentů L-SC a D-SC. Na Obrázek 10.3 je uvedeno několik takovýchto příkladů. Ekvivalent SC plovoucího induktoru L-SC-LDI je Obrázek 10.3a. Na dalších dvou obrázcích jsou uvedeny spínané ekvivalenty zemněného bezeztrátového a ztrátového bicistoru D-SC.

10.7 Spínané integrátory (I-SC) Získáme je náhradou rezistoru (R) ve známém analogovém invertujícím integrátoru s OA (Obrázek 6.1a), jistým ekvivalentem R-SC z Obrázek 10.2. Na Obrázek 10.4a je invertující spínaný integrátor II-SC-FD (realizující transformaci FD) s přenosem v liché fázi (sudé vzorky se nepřenášejí)

124


Obrázek 10.3:

Spínané ekvivalenty induktorů a bicistorů.

a) ekvivalent SC plovoucího induktoru L-SC-LDI, c) jednoduchý D-SC-BD. b) ekvivalent SC zemněného bezeztrátového bicistoru D-SC-BL, C1 z −1 , K ioSL = K ioSS = 0 . K = L =− ( 10.10 ) −1 C2 1 − z Ui Integrátor na Obrázek 10.4b má stejné přenosové funkce, ale s kladným znaménkem, je tedy neinvertující (NI-SC-FD). Další otočení fáze zajišťuje komutace C1. U tohoto zapojení se navíc neprojeví parazitní kapacity [ 16 ]. Změnou sledu spínání (údaje v závorce) získáme IISC-BD. Při výběru lichých vzorků má totiž přenos C 1 . KioLL = − 1 ( 10.11 ) C2 1 − z −1 Když na výstupu budeme vybírat sudé vzorky dostaneme C 1 KioLS = 1 1/ 2 ( 10.12 ) C2 z − z −1/ 2 a integrátor realizuje transformaci LDI [ 14 ]. Nahradíme-li R ekvivalentem R-SC-BL (Obrázek 10.2d) dostaneme velice atraktivní integrátor II-SC-BL, a to vzhledem k příznivým vlastnostem transformace BL. U tohoto obvodu je stejný přenos sudých i lichých vzorků C 1 + z −1 . KioSS = KioSS = − 1 ( 10.13 ) C2 1 − z −1 Nahradíme-li v Obrázek 6.1b i R2 ekvivalentem R-SC, dostaneme spínaný integrátor ztrátový (Obrázek 10.4d). Spínaný integrátor lze lehce modifikovat na diferenční (Obrázek LL io

U oL

Elektrické filtry

125

10.4e). Další podrobnosti, včetně rozboru parazitních vlivů a kmitočtových vlastností reálných spínaných integrátorů, lze nalézt v [ 14 ].

Obrázek 10.4:

Obr. 9.4 Spínané integrátory.

a) realizující transformaci FD, b) zapojení necitlivé na parazitní kapacity, c) realizující transformaci BL, d) ztrátový integrátor, e) diferenční integrátor.

10.8 Bikvad SC s integrátory Je ekvivalentem analogového bikvadu s obecným přenosem ( 2.30 ). Tento přenos má graf na Obrázek 10.5a, který jsme odvodili dle kap. 8.4. Z realizačních důvodů v něm u prvního integrátoru zaměníme znaménka větví (-1). Transformací BD ( 10.4 ) převedeme graf do podoby na Obrázek 10.5b. Z tohoto grafu pak již snadno sestrojíme zapojení bikvadu na Obrázek 10.5c. Provedena byla kontrolní analýza tohoto obvodu, programem COCO-SC, při buzení v obou fázích a výběru sudých vzorků na výstupu je přenos dán vztahem C6 z −2 + z −1 (C1C4 − C2 − 2C6 ) + C2 + C6 KioOS = ( 10.14 ) z −2 + z −1 (C3 C4 − 2C5 ) + C5 + 1 V literatuře [ 14 ] a [ 16 ] najdeme celou řadu modifikací tohoto a dalších zapojení.

10.9 Bikvady SC odvození z obvodů ARC Nahradíme-li v zapojení SAB-DP-H na Obrázek 6.3b rezistory spínanými ekvivalenty R-SC-BL (Obrázek 10.2d), dostaneme zapojení na Obrázek 10.6. Přenosová funkce tohoto obvodu v sudé fázi je KioSS =

(

K 1 + z −1

)

2

1 − z −1 B1 + z −2 B2

.

( 10.15 )

126


Obrázek 10.5:

Syntéza bikvadu SC.

a) graf analogového bikvadu, b) graf ekvivalentního bikvadu SC,

c) zapojení bikvadu SC.

Při transformaci BL ( 10.4 ), odpovídá ( 10.15 ) přenosu ( 2.16 ). Koeficienty v ( 10.15 ) jsou dány poněkud složitějšími vztahy (poměrů kapacit α, zavedenými v Obrázek 10.6) 4α 2α 3 , K= 1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3

b1 = b2 =

2(1 − 4α 2α 3 )

1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3

,

1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3

.

1 − 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3

( 10.16 )

Elektrické filtry

127

Obdobným způsobem můžeme získat spínané ekvivalenty PP-SC, HP-SC nebo i obecné bikvady s více OA. Tato zapojení získaná přímou náhradou všech R, jsou však složitější než předchozí (včetně návrhových vztahů).

Obrázek 10.6:

SC dolní propust, ekvivalentní SAB-DP-H.

Obrázek 10.7:

Syntéza ekvivalentu SC příčkového článku LCR.

a) stavový graf v proměnné z, b) eliptický filtr SC (ekvivalent LCR filtru C O35O).

128


10.10

Ekvivalent SC příčkového článku LCR

Syntéza filtru SC může výhodně vycházet ze známého prototypu LCR ve tvaru příčkového článku. Využijeme při tom spínané integrátory (kap. 10.7), signálové grafy a bohatě rozpracovanou metodiku návrhu z kap. 4.4 a kap. 8.4. Na Obrázek 8.7a je prototyp příčkového článku LCR Cauerova filtru 3. řádu (C O35O). V kap. 8.4 jsme pro něj odvodili stavový graf na Obrázek 8.7b. Odbobně jako v předchozích návrzích (v kap. 10.8), tento graf prototypu převedeme, vybranou transformací p-z (zvolili jsme BD), na graf diskrétně pracujícího SC ekvivalentu na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.a. Z něj pak, pomocí spínaných integrátorů z Obrázek 10.4b, sestrojíme zapojení filtru SC na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.b.

10.11

Filtru SC vyššího řádu

Obdobným způsobem byl navržen monolitický integrovaný filtr SC pro koncovou účastnickou připojovací jednotku (SLIC), sdělovacího telefonního systému PCM. Pro výběr hovorového signálu jsou na filtr kladeny dost náročné požadavky. Zvlnění v propustném pásmu 0,2 dB, útlum v nepropustném pásmu 32 dB (Obrázek 10.8b). Útlumový plán na Obrázek 10.8b splňuje Cauerův filtr LCR 5. řádu (C 0520 54 [4]) na Obrázek 10.8a. Z tohoto prototypu byl navržen dle kap. 10.10 ekvivalent SC na Obrázek 10.8c, kde veškeré součástky jsou normovány vzhledem k Ro = 10 MΩ, fm = 3,4 kHz a fs = 128 kHz. V integrovaném obvodě MHF 4413 (resp. MOTOROLA MC 14413) se nachází dva tyto filtry (přijímací a vysílací), spolu s dvěma volnými OZ a pomocnými obslužnými obvody.

10.12

Kontrolní otázky ku kapitole 10

1. Vysvětlete princip, jak ztrátový prvek - rezistor může být simulován bezeztrátovým akumulačním prvkem – kapacitorem. 2. Jak je realizován spínač v obvodech SC a jaké má v reálném obvodě vlastnosti? 3. Do jaké skupiny obvodů by jste zařadil filtry SC? Proč a jak je popisujeme v oblasti proměnné z? 4. Jaké druhy aproximujících z-transformací používáme při popisu obvodů SC? Alespoň u dvou uveďte definiční vztahy a ukažte vliv použité transformace na vlastnosti obvodu SC. 5. Vysvětlete princip a účel metody předzkreslení charakteristik při návrhu filtrů SC. 6. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci FD. 7. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci BL. 8. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci LDI. 9. Nakreslete a vysvětlete schéma ztrátového spínaného integrátoru. 10. Nakreslete a vysvětlete schéma diferenčního spínaného integrátoru. 11. Nakreslete a vysvětlete schéma neinvertujícího spínaného integrátoru. 12. Vysvětlete princip získání filtrů SC vyšších řádů, při použití spínaných integrátorů.

Elektrické filtry

Obrázek 10.8:

129

Filtr SC 5. řádu MHF 4413.

a) prototyp LCR, b) toleranční schéma, c) zapojení obvodu.

130


11 Filtry pracující na jiných fyzikálních principech Cíle kapitoly: Do této kapitoly jsme zahrnuly filtry, které pracují na odlišných fyzikálních principech a do předchozích kapitol se tématicky nevešly. Stručně si vysvětlíme princip filtrů s piezoelektrickými rezonátory, jak klasických, tak monolitických. Dále pak keramických filtrů, elektromechanických filtrů, filtrů s povrchovou vlnou a filtrů s rozprostřenými parametry.

11.1 Filtry s piezoelektrickými rezonátory Mají výbornou selektivitu (vysoké Q), malé ztráty,malou teplotní závislost parametrů, dobrou kmitočtovou stabilitu a malé rozměry (umožňující miniaturizaci). Jejich návrh i výroba jsou však náročné. 11.1.1 Piezoelektrický rezonátor Piezoelektrický rezonátor (PER) je na Obrázek 11.1. K jeho výrobě se převážně používají syntetické křemenné krystaly (SiO2). Krystal je elektricky aktivní při stlačení v jakémkoliv směru, kromě optické osy (z). Používají se destičky, vyříznuté z krystalu pod 0 0 určitým úhlem (γ) (Obrázek 11.1d). Nejpoužívanější je řez BT (γ = 139 ) nebo AT (γ = 55 ). Volbou úhlu řezu (γ) se dá dosáhnout výborné teplotní stability. Vedle malých ztrát je také snaha potlačit nežádoucí parazitní rezonance (PER mechanicky kmitá nejednoznačným způsobem). Většinou se používají PER ve tvaru kruhové destičky, opatřené elektrodami a upevněné v kovovém nebo skleněném držáku. Rezonanční kmitočet závisí nepřímo úměrně na tloušťce výbrusu (a) a použitém materiálu (pro AT: fs = 1675/a). Pro správný návrh filtru je třeba znát parametry náhradního elektrického zapojení (Obrázek 11.1b). PER má dva výrazné kmitočty sériové (fs) a paralelní (fp) rezonance a řadu dalších parazitních. Kmitočty fs a fp jsou poměrně blízko sebe a jsou určeny následujícími vztahy 1 1 1 , ωp = . ωs = + ( 11.1 ) LCs LC p LCs

Obrázek 11.1:

Piezoelektrický rezonátor.

a) značka, b) náhradní schéma, c) kmitočtová závislost reaktance, d) volba řezu.

Elektrické filtry

131

Činitel jakosti PER (dosahuje hodnoty až 106) je dán ω l 1 . Q= s = Rs ω s Cs Rs Při velkém Q platí mezi rezonančními kmitočty vztah  C  f p = f s  1 + s  . 2C p  

Obrázek 11.2:

( 11.2 )

( 11.3 )

Filtry s PER.

a) Π-článek s PER, b) X-článek s PER, c) úzkopásmový filtr s PER, d) pásmová propust s PER, e) základní monolitický filtr f) monolitický filtr s inverzí Uvýst , g) monolitický filtr s více systémy, h) monolitický filtr s různými elektrodami, i) trilitický filtr, j) aktivní filtr s PER

132


11.1.2 Klasické filtry s PER Jednoduchá příčková struktura, s jedním PER, je na Obrázek 11.2a. Obvod realizuje kvalitní PP. Obdobně lze navrhnout článek T (X v příčné větvi). Základním v praxi používaným obvodem s PER je křížový článek na Obrázek 11.2b (souměrnost a lepší stabilita). Příkladem zapojení s více PER je úzkopásmový ryze krystalový filtr na Obrázek 11.2c. Ten má vynikající selektivní vlastnosti, jeho návrh a pak i realizace jsou však velmi náročné. Zapojení na Obrázek 11.2d je nejpoužívanější pásmová propust s PER (s potlačením až 90 dB). 11.1.3 Monolitické filtry s PER Monolitické filtry s PER jsou vícerezonátorové systémy realizované na jedné destičce z piezoelektrického materiálu (na bázi křemene nebo keramiky). Základní uspořádání je na Obrázek 11.2e. Systémy elektrod představují rezonanční obvody, které jsou propojeny vazební oblastí (činitel vazby je určen vlastnostmi materiálu destičky a vzdáleností elektrod). Při různém zatížení obvodu budou i elektrody mít různé rozměry (větší Rz menší plocha). Monolitický filtr může mít i více rezonančních systémů (více párů elektrod) (Obrázek 11.2g). Vnitřní systémy mohou být i elektricky zkratovány (Obrázek 11.2g). Jednoduché monolitické filtry se spojují do kaskády ve filtry bilitické, trilitické (Obrázek 11.2i) etc. 11.1.4 Keramické filtry Jsou sestaveny z keramických PER, které mají obdobné vlastnosrti jako krystaly křemenné, tedy i stejné náhradní schéma (Obrázek 11.1b). Značně větší je však hodnota Cp. Své elektrické vlastnosti získávají až dodatečně, vytvořením orientovaných domén polarizací. Proti krystalům mají větší ztráty, horší teplotní i časovou stabilitu a větší výrobní rozptyl parametrů. Na druhé straně větší činitel elektromechanické vazby a výrazně nižší výrobní cenu. Na trhu jsou keramické mf pásmové propusti (f0 = 450 kHz s B = 9 kHz a pro f0 = 10,7 MHz s B = 250 kHz) a keramické filtry pro nf aplikace (1 až 20 kHz). 11.1.5 Monolitické filtry s PER Na Obrázek 11.2j je příklad aktivní PP 2.řádu s PER. Krystal má náhradní schéma na (Obrázek 11.1b a tedy admitanci 1 p L , Yx = pC p + ωs 2 2 p + p+ωs Qs kde činitel kvality a rezonanční kmitočet jsou ω L 1 , ω s4 = . Qs = s Rs LCs Přenosová funkce tohoto filtru je dána vztahem U K ( p) = 0 = R( A2 Yx − A1 pC ) Ui .

( 11.4 )

( 11.5 )

( 11.6 )

Při dodržení podmínky A2 C p = A1C a dosazení ( 11.4 )do přenosové funkce ( 11.6 ) dostaneme hledaný přenos napětí, který potvrzuje, že se jedná o aktivní PP 2.řádu

Elektrické filtry

133

A2 R L K ( p) = ω p 2 + s p + ω 2s Qs . p

( 11.7 )

11.2 Elektromechanické filtry 3

Velká selektivita těchto filtrů (Q až 10 ) je určena mechanickým rezonátorem (MR) nebo mechanickou rezonanční soustavou. Tato soustava (Obrázek 11.3e) obsahuje rezonanční (MR) a vazební (VP) prvky resp. oblasti. Realizace EMF však vyžaduje další části (Obrázek 11.3a). Jsou to měniče (M), zajišťující vazbu mezi MR a elektrickým obvodem (EO), tedy přeměnu kmitů z elektrických na mechanické a naopak (Obrázek 11.3a). Používají se magnetostrikční nebo piezoelektrické měniče. Piezoelektrický měnič na Obrázek 11.3b se skládá z piezoelektrické destičky (2) a dvou kovových válečků (1 a 3), tvořících MR. Ty se vyrábějí z legovaných (Mo, Cr, Ti, Al, Be) feromagnetických elivarových slitin (Fe-Ni). Složením slitin a jejich teplotním zpracováním (precipitačním vytvrzením) lze dosáhnout vysoké Q, stálost f0 a nízký teplotní koeficient TKf0. Mechanické kmity v MR a VP mohou mít různé módy (často i jejich kombinace). Základní jsou podélné (Obrázek 11.3c), torzní (Obrázek 11.3d) a příčné. Návrh EMF přesahuje rámec těchto skript. K získání zapojení požadovaného typu filtru (DP, PP, HP, PZ).

Obrázek 11.3: Elektromechanické filtry. a) blokové schéma, b) piezoelektrický měnič, c) podélné kmity ve dvou MR, d) torzní kmity v MR, e) pásmová propust z MR.

11.3 Filtry s povrchovou vlnou Jsou založeny na akustickém elastickém vlnění na povrchu keramické destičky (D) (Obrázek 11.4a). Mechanické kmity jsou buzeny interdigitálním měničem (M), pomocí piezoelektrického efektu. Měnič je tvořen systémem páskových kovových (ZnO) elektrod (prstů = digit), nanešených litografem. V podstatě by stačily jen dvě. Jejich větší počet však

134


zvyšuje účinnost buzení a variace délky prstů (apoidizace) (Obrázek 11.4c) vede k lepšímu plošnému rozložení PAV (snížení ztrát, možnost realizace vhodné přenosové funkce).Sousední elektrody mají odlišnou polaritu napětí. Mezi nimi vzniká nehomogenní, časově proměnné elektrické pole. To vytváří místní mechanické napětí, které se šíří jako PAV. Měniče jsou bilaterální a mohou tedy sloužit na druhé straně filtru k detekci PAV (M2). Pro změnu směru PAV se používají páskové vazební členy (Obrázek 11.4d). Nežádoucím odrazům PAV zamezují absorbční členy nebo tlumící natěry (Obrázek 11.4a). Filtry s PAV se používají v mf zesilovačích přijímačů TV (PP, f0 = 30 MHz, Q = 105), jehož schéma je na (Obrázek 11.4e) a při kompresi signálů v radiolokátorech. Modulová charakteristika mf filtru s PAV je na Obrázek 11.4b.

Obrázek 11.4:

Filtry s povrchovou vlnou.

a) základní uspořádání, b) modulová charakteristika, c) tvar elektrod apoidizovaného měniče, d) vázaná struktura PAV, e) zapojení filtru s PAV.

11.4 Filtry s rozprostřenými parametry Ve vyšších kmitočtových pásmech, s omezením nefunkčních částí obvodů (převážně integrovaných IO), přestávají mít pasivní prvky R a C charakter soustředěných prvků a mluvíme o filtrech s rozprostřenými parametry (RP). Tyto filtry RP mohou být jak čistě pasivní, nejčastěji RC, tak i aktivní ARC. Vyrábějí se v tenko i v tlustovrstvé technologii IO. Jednoduchý obvod RC-RP dostaneme (Obrázek 11.5a) nanesením vodivé vrstvy (1) na jednu stranu a odporové vrstvy (3) na druhou stranu dielektrické destičky (2). Schematická značka RC-RP je na Obrázek 11.5b, náhradní obvod na Obrázek 11.5c. Homogenní obvod RC-RP, u něhož platí (x, y udávají rozměr obvodu) r ( x ) = r0 = konst . , c( x , y ) = c0 = konst . , ( 11.8 )

Elektrické filtry

135

lze popsat admitanční matici (kde x je délka obvodu) −1   cot gh Θ  Θ sinh Θ  Y= ,  x ro  −1 cot gh Θ    sinh Θ kde

( 11.9 )

Θ = x 2 c0 r0 jω . Z matice ( 11.9 ) určíme, pomocí algebraických doplňků, přenos napětí [1]. Modulová charakteristika je pak na Obrázek 11.5f. Nanesením druhé odporové vrstvy (NR) na dielektrickou podložku, dostaneme složitější strukturu RC-RP-NR (Obrázek 11.5e). Duální struktura je RC-RP-NC na Obrázek 11.5d. Pasívní filtr RC-RP dostaneme připojíme-li na Obrázek 11.5b, mezi (c) a zem, impedanci Z. Bude-li to sériová kombinace R1 a C1, přenos bude mít charakter PZ. Jednoduchý (sériový nebo paralelní) RC obvod můžeme připojit i mezi svorky a,b. Vhodnější je použít RC-RP v aktivním filtru. Na Obrázek 11.5g je prototyp pásmové propusti ARC, z něhož lehce přejdeme na aktivní filtr PP s rozloženými parametry na Obrázek 11.5h. Obdobná dolní propust s RC-RP je na Obrázek 11.5i.

Obrázek 11.5:

Obvody s rozprostřenými parametry.

a) konstrukce jednouchého RC-RP, b) schematická značka, c) náhradní obvod, d) obvod RCRP-NC, e) obvod RC-RP-NR, f) modulová charakteristika RC-RP(obr. 11.5b), g) prototyp PP-ARC, h) ekvivalent PP-RP, i) aktivní DP-RP

136


11.5 Kontrolní otázky ku kapitole 11 1. Vysvětlete princip filtrů s piezoelektrickými rezonátory. 2. Nakreslete náhradní schéma piezoelektrického rezonátoru. Diskutujte jeho parametry. 3. Nakreslete a vysvětlete alespoň dva příklady klasických filtrů s piezoelektrickými rezonátory. 4. Nakreslete schéma a vysvětlete princip monolitických filtrů s piezoelektrickými rezonátory. 5. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního filtru s piezoelektrickým rezonátorem. 6. Vysvětlete princip keramických filtrů. 7. Nakreslete blokové schéma a vysvětlete princip elektromechnických filtrů. 8. Nakreslete principielní schéma a vysvětlete princip filtrů s povrchovou vlnou. 9. Pojednejte o měničích ve filtrech PAV. 10. Vysvětlete princip filtrů s rozprostřenými parametry. 11. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního filtru s rozprostřenými parametry.

12 Dodatky 12.1 Návod na laboratorní a počítačové cvičení č. 1 Název: Klasické pasivní filtry LC (R) 12.1.1 Doplnění poznatků z teorie Jednu třídu elektrických filtrů tvoří pasivní filtry sestavené ze setrvačných prvků L, C a zatěžovacích R (kap. 4). Vlastnosti takového reaktančního dvojbranu lze popsat pomocí provozní míry přenosu [ 2 ] 1 U I 1 2 0 0 , g = ln ( 12.1 ) 2 1 U2I2 2 kde v čitateli je výkon, který by zdroj dodal přímo do zátěže (Obrázek 12.1b) impedančně přizpůsobené vnitřnímu odporu zdroje (RZ = R1) a ve jmenovateli je výkon dodaný do zátěže přes dvojbran (Obrázek 12.1a). Úpravou vztahu ( 12.1 ) dostaneme U R2 g = ln V = b + ja . ( 12.2 ) 2U 2 R1 Provozní míra přenosu ( 12.2 ) má reálnou část (b), což je provozní míra útlumu, která vyjadřuje útlum filtru a část imaginární (a), vyjadřující posun výstupního napětí filtru vůči vstupnímu napětí (provozní míra posunu) [ 2 ]. Vyjádříme-li provozní útlum filtru v dB dostaneme U R2 . b = 20 log V ( 12.3 ) 2U 2 R1 Při impedančním přizpůsobení R1 = R2 platí U U b = 20 log V = 20 log V − 6,0206 [dB ] . ( 12.4 ) 2U 2 U2 Přenos napětí Ku v dB

Elektrické filtry

137

K dB = 20 log

Obrázek 12.1:

U2 = 20 log U 2 − 20 log U V = U 2 dB − U VdB . UV

( 12.5 )

Spojení zdroje a zátěže a) přes filtrační dvojbran, b) přímo

12.1.2 Opakování teorie Zopakujte si podkapitoly 2.3, 2.4, 2.5 a celou kapitolu 4. Hlavně typy filtrů, způsob zadávání požadavků na filtr, toleranční schéma a jeho parametry, druhy používaných aproximací a jejich vlastnosti. Butterworthovy filtry se vyznačují maximálně plochou útlumovou charakteristikou, která má však ve srovnání a jinými filtry stejného řádu nejmenší strmost. Čím větší bude zvlnění útlumové charakteristiky v propustném pásmu (Čebyševovy filtry), tím větší bude její strmost. Největší strmosti dosahují filtry Cauerovy ovšem za cenu konečné hodnoty útlumu v potlačovaném pásmu. Výhodná realizace filtrů se provádí pomocí příčkových článků (Obrázek 12.2). Podle typu filtru a dané aproximace se v podélných a přímých větvích vyskytují samotné induktory a kapacitory nebo sériové a paralelní kmitavé okruhy. Nekonečné hodnoty útlumu se dosahuje u dolní propusti Cauerova typu zařazením paralelního kmitavého okruhu do podélné větve nebo sériového kmitavého okruhu do přímé větve. 12.1.3 Schéma zapojení přípravku V přípravku se nacházejí tři pasivní dolní propusti a to: a) Butterworthova typu (Obrázek 12.2a), b) Čebyševova typu (Obrázek 12.2b), c) Cauerova typu (Obrázek 12.2c), všechny jsou pátého řádu, s mezním kmitočtem fm = 1 kHz a přizpůsobovacími impedancemi R1 = R2 = 1 kΩ. Zapojení přípravku a hodnoty jednotlivých prvků jsou uvedeny na Obrázek 12.2. 12.1.4 Počítačové simulace 12.1.4.1 Počítačové simulace Cauerovy dolní propusti 5.řádu 1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2c s nominálními hodnotami součástek. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete hodnoty významných a inflexních bodů.

138


2. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při výstupu naprázdno, R2 = ∞. 3. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při silně nepřizpůsobeném vstupu nakrátko, R1 = 0. 4. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při nepřizpůsobeném zatížení filtru na vstupu i výstupu. Prostudujte vliv změny hodnot odporů obou zatěžovacích rezistorů R1 a R2 o 30%. 5. Prostudujte vliv změny hodnot kapacitoru C1 o 30% na tvar modulové charakteristiky filtru. 6. Prostudujte vliv změny kapacitoru hodnot C3 o 30% na tvar modulové charakteristiky filtru. 7. Prostudujte vliv změny cívky hodnot L2 o 20% na tvar modulové charakteristiky filtru. 8. Prostudujte vliv změny cívky hodnot L4 o 20% na tvar modulové charakteristiky filtru. 9. Prostudujte vliv změny kapacitoru hodnot C5 o 30% na tvar modulové charakteristiky filtru. 10. Určete toleranční kanál modulové charakteristiky při toleranci všech součástek ∆ = ± 10%. 11. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru. 12. Prostudujte vliv kvality Q jednotlivých cívek, simulací ztrát rezistorem Rs. Jak velké Q bude zapotřebí, aby modulová charakteristika nevybočila z tolerančního kanálu 3 dB.

Elektrické filtry

139

Obrázek 12.2: Zapojení dolní propusti 5. řádu. a) Butterworthova filtru, b) Čebyševova filtru, c) Cauerova filtru. 12.1.4.2 Počítačové simulace Butterworthovy dolní propusti 5.řádu 1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2a s nominálními hodnotami součástek. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete hodnoty významných bodů. 2. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při výstupu naprázdno, R2 = ∞.

140


3. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při silně nepřizpůsobeném vstupu nakrátko, R1 = 0. 4. Určete toleranční kanál modulové charakteristiky při toleranci všech součástek ∆ = ± 10%. 5. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru, při různém Q. 12.1.4.3 Počítačové simulace Čebyševovy dolní propusti 5.řádu 1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2b s nominálními hodnotami součástek. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete hodnoty významných a inflexních bodů. 2. Určete toleranční kanál modulové charakteristiky při toleranci všech součástek ∆ = ± 10%. 3. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru, při různém Q. 12.1.5 Laboratorní měření 1. Zapojte pracoviště dle blokového schématu na Obrázek 12.3. Zde označené bloky jsou: G – generátor, V – milivoltmetr, OSC – osciloskop.

Obrázek 12.3:

Blokové schéma pracoviště.

2. Změřte modulovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2a), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 3. Změřte modulovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2a), při výstupu naprázdno R2 = ∞. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 4. Změřte modulovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2a), při vstupu nakrátko, R1 = 0. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 5. Změřte modulovou charakteristiku pro část obvodu na Obrázek 12.2a, realizující filtr 3. řádu. Určete strmost charakteristiky v nepropustném pásmu a porovnejte s výsledky bodu 2. 6. Změřte modulovou charakteristiku Čebyševovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2b), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 7. Změřte modulovou charakteristiku Cauerovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2c), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 8. Změřte modulovou charakteristiku Cauerovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2c), při výstupu naprázdno R2 = ∞. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací.

Elektrické filtry

141

9. Vypočítejte rezonanční kmitočet paralelních kmitavých okruhů, zařazených v podélných větvích Cauerova filtru (Obrázek 12.2c). Porovnejte je s kmitočtem maximálního útlumu a počítačovou simulací. 10. Změřte fázovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu (Obrázek 12.2a), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 11. V Cauerově dolní propusti 5.řádu přidejte postupně k jednomu příčnému a k jednomu podélnému kapacitoru paralelně další kapacitor o hodnotě 47 nF a změřte modulovou charakteristiku. Porovnejte ji s výsledky měření nominálního filtru (bod 7). 12.1.6 Pokyny k měření Při měření modulových charakteristik udržujte konstantní vstupní napětí Uv (Obrázek 1.1), a to s dostatečně velkou úrovní (např. +10 dB), aby kate mohli dostatečně přesně proměřit útlumovou charakteristiku v nepropustném (potlačeném) pásmu. S výhodou můžete použít decibelových stupnic milivoltmetrů a místo hodnoty napětí ve voltech odečítat přímo úrovně napětí v dB (UVdB, U2dB ), které pak dosadíte do vztahu ( 12.5 ). Kmitočet generátoru nastavujte s ohledem na použitou logaritmickou stupnici, jako desetinásobek hodnot: 1, 2, 5 a 10, v rozsahu 10 Hz až 100 kHz. Mimo to změřte body, kdy dochází k prudkým změnám útlumu. Zejména zachyťte extrémy útlumové charakteristiky.

12.2 Návod na laboratorní a počítačové cvičení č. 2 Název: Aktivní filtry RC 2. řádu 12.2.1 Poznatky z teorie Aktivní filtry RC umožňují realizovat v oblasti nízkých kmitočtů (do 100 kHz) vysoce efektivní filtry bez induktorů. Nejrozšířenější skupinou těchto filtrů jsou ARC filtry se zesilovači. Na Obrázek 12.4 je oblíbené zapojení aktivní dolní propusti 2. řádu SAB-LP-SK (Sallen – Key) s přenosem napětí obecně daným vztahem ( 2.16 ), která je podrobně rozebrána v kap. 6.3.1. Neinvertující zesilovač napětí je realizován OZ a rezistory Ra, Rb. Jeho zesílení výrazně určuje druh použité aproximace, resp. hodnotu činitele jakosti bikvadu (Tabulka 6.1). Pro návrh můžeme použít čtyři různé varianty: Návrhová varianta SAB-LP-SK-1 A > 1, C2 ≠ C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 25. Postup návrhu kap. 6.3.1.1. Návrhová varianta SAB-LP-SK-2 A = 1, C2 ≠ C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 15. Postup návrhu kap. 6.3.1.2. Návrhová varianta SAB-LP-SK-3 A < 3, C2 = C4, R1 = R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 10. Postup návrhu kap.6.3.1.3. Návrhová varianta SAB-LP-SK-4 A = 2, C2 = C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 10.

142

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Postup návrhu kap. 6.3.1.4.

Obrázek 12.4:

Schéma zapojení SAB-LP-SK

12.2.2 Individuální zadání filtru Navrhněte aktivní dolní propust 2. řádu SAB-LP-SK variantu: s počátečním přenosem K0:

,

s mezním kmitočtem fm:

,

,

s hodnotou činitele jakosti Q nebo zadanou aproximací: Pro dosažení požadované hodnoty K0 a vyloučení vlivu vnitřního odporu zdroje zpracovávaného signálu, předřaďte filtru další oddělovací zesilovač (druhý OZ). Použijte operační zesilovače typu:

12.2.3 Realizace filtru Navržené zapojení realizujte na nepájivém poli. Použité součástky si předem proměřte. Požadovanou hodnotu se snažte získat co nejpřesněji kombinací více prvků. 12.2.4 Počítačové simulace 1. Programem SNAP odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-SK na Obrázek 12.4. 2. Programem PSpice proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.4s navrženými nominálními hodnotami součástek a se zadaným typem OZ. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete hodnoty významných bodů a strmost charakteristiky v přechodném pásmu. 3. Bod 2 zopakujte s ideálním operačním zesilovačem a do jednoho grafu zobrazte obě modulové charakteristiky. 4. Udělejte si v PSpice jednopólový model reálného OZ, s možností měnit zesílení A0, výstupní odpor Rout a polohu pólu resp. tranzitní kmitočet (fT). 5. S použitím modelu z předchozího bodu a parametrické analýzy v PSpice, prostudujte vliv A0 na parametry filtru.

Elektrické filtry

143

6. S použitím modelu z předchozího bodu a parametrické analýzy v PSpice, prostudujte vliv fT na parametry filtru. 7. S použitím modelu z předchozího bodu a parametrické analýzy v PSpice, prostudujte vliv Rout na parametry filtru. 8. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot odporu R1 o ± 50% z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky. 9. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot odporu R3 o ± 50% z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky. 10. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot kapacitoru C2 o ± 50% z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky. 11. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot kapacitoru C2 o ± 50% z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky. 12. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot zesílení A o ± 50% z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky. 13. Metodou Monte Carlo proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál, při C ± 5% a R ± 1%. 14. Metodou Monte Carlo proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál, při C ± 20% a R ± 5%. 15. Metodou Worst Case proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál, při C ± 1% a R ± 1%. 16. Navrhněte pasivní filtr RLC se stejnými parametry, jako je váš ARC bikvad (dle individuálního zadání) a bod 15 zopakujte pro tento filtr. Nakreslete odchylku nejhoršího případu od nominálního průběhu modulové charakteristiky. Oba filtry, pasivní a aktivní, takto porovnejte. Vyslovte závěr o tom, který z filtrů je citlivější a ten prokazatelně kvantitativně doložte. 12.2.5 Laboratorní měření 1. Před vlastním laboratorním cvičením jednoduchým testem ověřte, že váš filtr pracuje (např. OZ není saturován). 2. Změřte modulovou charakteristiku navrženého filtru, bod po bodu, obdobně jako v LC 1 (kap. 12.1.5). Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 3. Změřte fázovou charakteristiku navrženého filtru. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 4. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku navrženého filtru, s nominálními hodnotami součástek na pracovišti automatizovaného měření. 5. Změňte hodnotu odporu R1 o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 6. Změňte hodnotu odporu C2 o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací. 7. Změňte hodnotu zesílení A o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací.

144


Seznam použité literatury [1]

Dostál, T.: Analogové elektronické obvody. Učební elektronické texty FEKT VUT, Brno, 2002.

[2]

Pospíšil, J., Dostál, T.: Teorie elektronických obvodů. Skripta FEI VUT Brno, VUTIUM, 2002.

[3]

Wai-Kai Chen: The circuits and filters hand book. Florida, CRC Press, 1995.

[4]

Williams, A.B., Taylor, F.J.: Electronic filter design handbook. New York, McGrawHill, Inc., 1995.

[5]

Kendall, L.S.: Analog filters. London, Chapman Hall, 1996.

[6]

Saal, R.: Handbuch zum Filterentwurf. Berlin, AEG-Telefunken, l979.

[7]

Moschytz, G.S. - Horn, P.: Active filter design handbook. New York, J.Wiley & sons, 1981.

[8]

Huelsman, L.P., Alen, P.E.: Introduction to the theory and design of active filters. New York, McGraw-Hill, 1980.

[9]

Bowron, P., Stephenson F.W.: Active filters for communications and instrumentation. New York, McGraw-Hill, 1979.

[ 10 ] Graeme, J.G., Tobey, G.E., Huelsman, L.P.: Operational amplifiers - design and applications. New York, McGraw-Hill, 1971. [ 11 ] Antoniou, .A.: Digital filters - analysis and design. New York, McGraw-Hill, 1988. [ 12 ] Lanne, A.A. a kol.: Spravočnik po rasčjotu i proektirovaniju ARC-schem. Moskva, Radio i svjaz, l984. [ 13 ] Dostál, J.: Operační zesilovače. Praha, SNTL, 1981. [ 14 ] Dostál, T.: Analýza a syntéza obvodů se spínanými kapacitory. In: Knižnice spisů VUT Brno, sv. A-37, 1988. [ 15 ] Bruton, L.T.: RC-active circuits. Theory and design. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1980. [ 16 ] Ghausi, M. S. - Laker K.R.: Active filter design - Active RC and switched capacitor. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1981. [ 17 ] Hájek, J. - Sedláček, J.: Praktický návrh kmitočtových filtrů. Skriptum VA Brno, ES VA, 1991. [ 18 ] Huelsman, P.L.: Active and passive analog filter design. New York, MC Graw-Hill. 1993. [ 19 ] Toumazou,C. etc.: Analogue IC design - The current mode approach. London, Peregrinus, 1990. [ 20 ] Ellis, M. G.: Electronic filter analysis and synthesis. London, Artech House, 1994. [ 21 ] Paarmann, L.D.: Design and analysis of analog filters. Boston, Kluwer academ. pub., 2001. [ 22 ] Herpy, M. Berka, J.C.: Aktive RC-filter. Munchen, Franzis, 1984.

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Elektrické filtry. Garant předmětu: Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc

Recommend Documents