Fakulta elektrotechnická

ˇ ´ vysoke ´ uc ˇen´ı technicke ´ v Praze Cesk e ´ Fakulta elektrotechnicka Katedra elektrotechnologie

ˇ ızen´ı impulsn´ıch syst´ R´ em˚ u pro kompenzaci neaktivn´ı energie s´ıtˇ e Disertaˇ cn´ı pr´ ace

Michal Brejcha

Praha, ˇcerven, 2014

Doktorsk´ y studijn´ı program: Elektrotechnika a informatika Studijn´ı obor: Elektrotechnologie a materi´ aly ˇ Skolitel: doc. Ing. V´ aclav Papeˇ z CSc.

Abstrakt Disertaˇcn´ı práce popisuje realizaci speciáln´ıch algoritm˚ u vyuˇz´ıvan´ ych v ˇr´ıdic´ıch programech aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u nebo v´ ykonov´ ych polovodiˇcov´ ych mˇeniˇc˚ u. Práce navazuje na funkˇcn´ı vzorek aktivn´ıho harmonického filtru, kter´ y byl realizován na katedˇre ˇ seny jsou funkˇcn´ı elektrotechnologie a vˇenuje se ˇreˇsen´ı problém˚ u jeho ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u. Reˇ algoritmy adaptivn´ıch filtr˚ u pro urˇcen´ı stˇredn´ı hodnoty a dalˇs´ıch signál˚ u charakterizuj´ıc´ıch ’ s´ıt ové veliˇciny, vycházej´ıc´ı ze základn´ıch ˇr´ıd´ıc´ıch mechanizm˚ u PQ teorie, na jej´ıˇz v´ yzkum byl p˚ uvodn´ı projekt zamˇeˇren. Velky prostor je vˇenován také chybˇe v´ ystupn´ıho signálu ˇ sen´ı tohoto problému pˇri filtr˚ u, která vzniká v d˚ usledku v´ ypoˇct˚ u v pevné ˇrádové ˇca´rce. Reˇ realizaci ˇr´ıdic´ıho programu aktivn´ıho filtru se ukázalo jako kl´ıˇcové. V´ ysledkem této práce je vyvinut´ y systém adaptivn´ı filtrace sousledné harmonické sloˇzky. Algoritmus je zaloˇzen na známém algoritmu obecného integraˇcn´ıho ˇclenu druhého ˇrádu (SOGI), kter´ y je modifikován algoritmem jeho ladˇen´ı, vyuˇz´ıvaj´ıc´ım i automatické ˇr´ızen´ı zisku (AGC). V´ ysledn´ y algoritmus má v´ yhodnˇejˇs´ı nebo stejné dynamické vlastnosti a jednoduˇsˇs´ı implementaci neˇz bˇeˇznˇe pouˇz´ıvané fázové závˇesy.

Abstract The thesis describes realization of some types of algorithms which are used or can be used in control programs of active harmonic filters or power converters. The work follows the project about active harmonic filters at the department of electrotechnology. The project was focused on realization of prototype of active harmonic filter controlled via algorithms based on PQ theory. Therefore all presented algorithms have tight connection to this research. Especially the digital adaptive filters and signal processing via phase locked loop are studied. An errors between target outputs and algorithm outputs are also widely considered. The error originates from rounding in calculations and it is a key problem of all algorithms. Especially important topic of the thesis is developed system of adaptive filtration of positive sequence component. The algorithm is based on well-known second order general integrator (SOGI) block. The new way of tuning of the block was proposed, which is based on automatic gain control (AGC). Resulting algorithm has better or the same dynamic and simpler solution than the common used phase locked loops.

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 C´ıle disertaˇcn´ı práce . . . . . . . . . . . . . 1.2 Harmonická funkce a Fourierova ˇrada . . . . 1.3 V´ ykony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 V´ ykony pˇri harmonickém napájen´ı . 1.3.2 V´ ykony pˇri neharmonickém napájen´ı 1.4 Sloˇzkové soustavy . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Symetrické sloˇzky . . . . . . . . . . . 1.4.2 Clarkové transformace . . . . . . . . 1.4.3 Parkova transformace . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 2 3 5 5 6 7 7 8 8

2 Zp˚ usoby zajiˇ stˇ en´ı kvalitn´ı dod´ avky elektrick´ e energie 2.1 Kompenzace jalového v´ ykonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Systémy zamezuj´ıc´ı pokles˚ um napˇet´ı a v´ ypadk˚ um napájen´ı . . . . . . . . . 2.3 Kompenzace harmonick´ ych sloˇzek proudu a napˇet´ı . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11 13

3 Funkˇ cn´ı vzorek aktivn´ıho harmonick´ eho filtru 3.1 Zapojen´ı pracoviˇstˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Blokové schéma mˇeniˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Propojen´ı svorkovnice funkˇcn´ıho vzorku a modul˚ u CompactRIO 3.4 V´ yvojové prostˇred´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 16 18 19

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

ˇ ıd´ıc´ı algoritmy aktivn´ıch harmonick´ 4 R´ ych filtr˚ u 22 4.1 Metody ˇr´ızen´ı aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 PQ teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ˇ ıslicov´ 5 C´ e zpracov´ an´ı sign´ al˚ uvˇ r´ıd´ıc´ıch syst´ emech v´ ykonov´ ych mˇ eniˇ c˚ u 5.1 V´ ypoˇcty v pevné ˇra´dové ˇca´rce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Porovnán´ı v´ ypoˇct˚ u v pevné a plovouc´ı ˇra´dové ˇca´rce . . . . . . . . . ˇ 5.1.2 S´ıˇren´ı chyby ve v´ ypoˇctech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Podm´ınky plynouc´ı z kvantizaˇcn´ıch teorém˚ u . . . . . . . . . . . . . ˇ 5.1.4 S´ıˇren´ı chyby v rekurzivn´ıch v´ ypoˇctech . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Chyba v´ ysledku funkce v´ıce kvantovan´ ych signál˚ u . . . . . . . . . . 5.2 V´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Filtry IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Filtry FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Filtry CIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Porovnán´ı filtr˚ u stˇredn´ı hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Fázové závˇesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Fázov´ y závˇes vyuˇz´ıvaj´ıc´ı okamˇzité hodnoty v´ ykonu . . . . . . . . . 5.3.2 SRF-PLL (Synchronous Reference Frame PLL) . . . . . . . . . . . i

30 30 30 33 38 39 41 45 45 48 49 50 53 53 55

5.4

5.5

5.3.3 EPLL (Enhanced PLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaptivn´ı filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Detekce sousledné sloˇzky nesymetrie pomoc´ı PQ teorie 5.4.2 Algoritmus LMS (Least Mean Squares Algorithm) . . . 5.4.3 Adaptivn´ı u ´zkopásmová propus . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Automatická regulace zisku (Automatic Gain Control) 5.4.5 Adaptivn´ı filtr sousledné sloˇzky 3f soustavy . . . . . . ˇ sen´ı kódu algoritm˚ Reˇ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

57 59 59 60 61 65 65 73

6 Z´ avˇ er 76 6.1 Souhrn v´ ysledk˚ u disertaˇcn´ı práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Motivace pro dalˇs´ı v´ yvoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Pˇr´ınos problematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A V´ ysledky simulace f´ azov´ eho z´ avˇ esu vyuˇ z´ıvaj´ıc´ıho PQ A.1 Vliv nesymetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 3, A.1.1 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . ˇ ıslo zkouˇsky 3, A.1.2 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−6 . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, A.1.3 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . A.2 Vliv harmonick´ ych sloˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, A.2.1 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, A.2.2 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−6 . . ˇ ıslo zkouˇsky 2, A.2.3 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . .

teorii 82 . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . . . . . 84 . . . . . . . . . . . 85 . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . 88 . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . 90

B V´ ysledky simulace adaptivn´ıho filtru sousledn´ e symetrick´ e sloˇ zky B.1 Vliv nesymetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 3, B.1.1 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 3, B.1.2 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−6 . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, B.1.3 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . . . . . . . . . B.2 Vliv harmonick´ ych sloˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, B.2.1 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 1, B.2.2 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−6 . . . . . . . . . . ˇ ıslo zkouˇsky 2, B.2.3 C´ konstanta integraˇcn´ıho regulátoru KI = 10−5 . . . . . . . . . .

ii

91 . . . 92 . . . 93 . . . 94 . . . 95 . . . 96 . . . 97 . . . 98 . . . 99

´ zk˚ Seznam obra u 1 2

Rozklad 3f soustavy do symetrick´ ych sloˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . . Fázorové diagramy pro odvozen´ı transformaˇcn´ıch matic (osa 0 nen´ı zakreslena, ta vyˇzaduje prostorové zobrazen´ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9

3 4

Aktivn´ı kompenzace jalového v´ ykonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Velikost napˇet´ı na v´ ystupu veden´ı v závislosti na reaktanci zátˇeˇze . . . . . 12

5 6 7 8 9 10 11

Zapojen´ı v´ ykonové ˇca´sti pracoviˇstˇe v´ yvoje aktivn´ıho harmonického filtru Blokové schéma mˇeniˇce (pˇrevzato z p˚ uvodn´ı dokumentace) . . . . . . . . Uspoˇra´dán´ı mˇeniˇce (pˇrevzato z p˚ uvodn´ı dokumentace) . . . . . . . . . . Propojen´ı svorkovnice, modul˚ u LEM a modul˚ u CompactRIO . . . . . . . Ukázka ˇr´ıd´ıc´ı aplikace harmonického filtru v Labview . . . . . . . . . . . Ukázka implementace PC uˇzivatelské aplikace vytvoˇrené v Labview . . . Ukázka implementace ˇr´ıd´ıc´ı smyˇcky PQ teorie v Labview . . . . . . . . .

12

Jednofázové blokové schéma filtraˇcn´ıho algoritmu pro z´ıskán´ı ˇcinné sloˇzky základn´ı harmonické proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednofázová modifikace metody synchronnˇe rotuj´ıc´ıho rámce . . . . . . . . Schéma funkce aktivn´ıho filtru ˇr´ızeného metodou UCFIC . . . . . . . . . . ˇ ıd´ıc´ı algoritmus aktivn´ıho harmonického filtru zaloˇzen´ R´ y na sledován´ı u ´rovnˇe napˇet´ı ve stejnosmˇerném meziobvodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokové schéma ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu pro paraleln´ı aktivn´ı harmonick´ y filtr .

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28

. . . . . . .

Rovina dvou ˇc´ısel v pevné ˇra´dové ˇca´rce s jednobitovou zlomkovou ˇca´st´ı . . V´ ypoˇcet transformace sloˇzek abc do soustavy αβ s naznaˇcenou bitovou pˇresnost´ı v jednotliv´ ych ˇcástech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecn´ y ekvivalentn´ı rekurzivn´ı v´ ypoˇcet se zdrojem kvantizaˇcn´ıho ˇsumu . . Bitové rozsahy pˇri simulaci rekurzivn´ıho v´ ypoˇctu . . . . . . . . . . . . . . V´ ypoˇcet kompenzaˇcn´ıch proud˚ u z transformovan´ ych napˇet´ı a filtrovan´ ych v´ ykon˚ u s naznaˇcen´ ymi bitov´ ymi rozsahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokové schéma IIR filtru stˇredn´ı hodnoty s decimac´ı . . . . . . . . . . . . Amplitudová frekvenˇcn´ı charakteristika filtru klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u pro N = 10, odpov´ıdá funkci sin(x)/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zapojen´ı CIC filtru pro v´ ypoˇcet plovouc´ıho pr˚ umˇeru z N vzork˚ u . . . . . . Charakteristiky jednotliv´ ych sekc´ı IIR filtru ˇra´du N = 3 na dan´ ych vzorkovac´ıch frekvenc´ıch, mezn´ı frekvence sekce je fmez = 31, 25 Hz pro vzorkovac´ı frekvenc´ı fs = 625 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristika filtru klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u pro N = 400 a vzorkovac´ı frekvenci fs = 20 kHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecné blokové schéma fázového závˇesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fázov´ y závˇes vyuˇz´ıvaj´ıc´ı okamˇzité hodnoty v´ ykonu k z´ıskán´ı základn´ı frekvence vstupn´ıho signálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

15 16 17 18 20 20 21 23 24 25 26 27 32 36 39 40 45 48 49 50

52 52 53 54

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

V´ ystupn´ı signály fázového závˇesu pro vstupn´ı nesymetrii dle tabulky 8, test A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V´ ystupn´ı signály fázového závˇesu pro vstupn´ı nesymetrii dle tabulky 8, test B Blokové schéma fázového závˇesu SRF-PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . Upraven´ y v´ ypoˇcet fázového závˇesu SRF-PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokové schéma fázového závˇesu EPLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokové schéma detektoru sousledné symetrické sloˇzky dle literatury [1] . . Modifikovaná verze LMS prediktoru pro ladˇen´ı u ´zkopásmové propusti . . . Schéma implementovaného principu filtrace základn´ı harmonické sloˇzky . . Vstupn´ı signál x [n], v´ ystup referenˇcn´ıho filtru y [n] a v´ ystup adaptivn´ı pásmové propusti z [n] v závislosti na ˇcase simulace . . . . . . . . . . . . . Pr˚ ubˇeh chyby a ladˇené váhy v závislosti na ˇcase . . . . . . . . . . . . . . . Schéma algoritmu aktivn´ıho ˇr´ızen´ı zisku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schéma algoritmu filtru pro detekci sousledné sloˇzky (SOGI - Second Order Generalized Integrator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frekvenˇcn´ı charakteristiky filtru u v´ ystup˚ u yd a yq v závislosti na parametru k Transformace fázor˚ u soumˇern´ ych sloˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmus detekce sousledné sloˇzky nesymetrie pomoc´ı filtru SOGI . . . . Algoritmus AGC pro porovnáván´ı amplitud dvou signál˚ u . . . . . . . . . . Algoritmus detekce sousledné sloˇzky nesymetrie pomoc´ı filtru SOGI ladˇen´ ym AGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zdrojové signály pro simulaci adaptivn´ıho filtru sousledné symetrické sloˇzky Skuteˇcná sousledná symetrická sloˇzka po transformaci do souˇradnic αβ . . Pr˚ ubˇeh adaptován´ı frekvence v ˇcase - pˇrepoˇcten´ y v´ ystup AGC . . . . . . . Pr˚ ubˇehy na v´ ystupu filtru sousledné symetrické sloˇzky (jiˇz dˇeleno 2) . . . . Rozdˇelené zpracován´ı filtr˚ u FIR a IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdˇelen´ı v´ ypoˇctu filtrovaného v´ ystupu mezi obsluhu pˇreruˇsen´ı a hlavn´ı programovou smyˇcku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

56 56 57 57 58 59 62 63 64 64 65 66 66 67 68 70 70 71 71 72 72 74 74

Seznam tabulek 1 2 3 4 5 6 7 8

ˇ adové mˇr´ıˇzky pro formát ANSI/IEEE Std. 754-1985 . . . . . . . . . . . . R´ Porovnán´ı vlastnost´ı plovouc´ı a pevné ˇra´dové ˇca´rky [19] . . . . . . . . . . . Srovnán´ı vypoˇcteného rozptylu a numericky urˇcené stˇredn´ı kvadratické odchylky ve v´ ypoˇctu Clarkové transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srovnán´ı vypoˇcteného rozptylu a numericky urˇcené stˇredn´ı kvadratické odchylky na v´ ystupu rekurzivn´ıho v´ ypoˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximace rozptyl˚ u nˇekter´ ych funkc´ıch náhodn´ ych promˇenn´ ych, které jsou vyuˇz´ıvány v programu aktivn´ıho filtru a dále popisovan´ ych algoritm˚ u Koeficienty IIR filtru - Butterworthova aproximace, N= 3, pomˇer mezn´ı a vzorkovac´ı frekvence v intervalu h0, 0001; 0, 15i . . . . . . . . . . . . . . . . V´ ysledek pˇrekladu testovan´ ych program˚ u pro hradlové pole . . . . . . . . . Nastaven´ı jednotliv´ ych symetrick´ ych sloˇzek a harmonick´ ych pˇri simulaci fázového závˇesu dle literatury [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 32 36 40 43 47 51 55

9 10

ˇ Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe dle CSN EN 61000-4-27[33] . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe harmonick´ ych sloˇzek pˇri simulaci . . . . . . . . . . . . . . 87

11 12

ˇ Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe dle CSN EN 61000-4-27[33] . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe harmonick´ ych sloˇzek pˇri simulaci . . . . . . . . . . . . . . 96

v

ˇ ´ prohla ´ˇ Cestn e sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem disertaˇcn´ı práci vypracoval samostatnˇe pod veden´ım Doc.Ing. Václava Papeˇze, CSc., s pouˇzit´ım literatury, uvedené na konci mé disertaˇcn´ı práce v seznamu pouˇzité literatury.

V Praze ——————————————– Michal Brejcha

vi

ˇkova ´ n´ı Pode Rád bych na tomto m´ıstˇe podˇekoval svému ˇskoliteli Doc.Ing. Václavu Papeˇzovi, CSc. za jeho veden´ı, trpˇelivost a cenné rady a pomoc pˇri ˇreˇsen´ı ˇrady problém˚ u, které se pˇri mé práci vyskytly. T´ım nemysl´ım jen pomoc s problémy technického charakteru, ale také to, ˇze bdˇel nad term´ıny a upozorˇ noval mˇe na povinnosti, které jsem jako doktorand opomnˇel splnit. Rád bych podˇekoval také Ing. Rudolfu Bayerovi a Ing. Janu Hájkovi za spolupráci na r˚ uzn´ ych projektech. Bez jejich pomoci by ˇrada vˇec´ı nevznikla, nebo vznikla s velk´ ymi obt´ıˇzemi. Dˇekuji také vˇsem, kteˇr´ı v minulosti se mnou spolupracovali nebo mi pomáhali pˇri ˇreˇsen´ı nˇekterého projektu nebo problému. Nechtˇel bych na nˇekoho zapomenout, proto zde zámˇernˇe nep´ıˇsi niˇc´ı jména. Jsem si jist´ y, ˇze kaˇzd´ y v´ı, zda a jak mi pomohl a já jsem rád, ˇze jsem d´ıky nim nebyl na vˇsechno sám. Nakonec bych rád podˇekoval své rodinˇe a hlavnˇe rodiˇc˚ um. Mˇeli se mnou trpˇelivost, maj´ı mˇe rádi a bez jejich spolupráce bych se ani nenarodil, takˇze by tato práce ani nemohla nikdy vzniknout.

vii

Kapitola 1 ´ Uvod Zp˚ usob jak´ ym vyráb´ıme, pˇrenáˇs´ıme a odeb´ıráme elektrickou energii znaˇcnˇe ovlivˇ nuje u ´ˇcinnost jej´ıho vyuˇzit´ı. Nejˇcastˇeji se lze v energetick´ ych s´ıt´ıch setkat se stˇr´ıdav´ ym napˇet´ım v jednofázové nebo tˇr´ıfázové soustavˇe. Tˇemito soustavami se budeme v této práci zab´ yvat. Z pohledu u ´ˇcinnosti je tˇreba zváˇzit, jak´ y v´ ykon pˇrenáˇs´ıme, velikost tzv. jalové sloˇzky v´ ykonu, jaká je pouˇzita napˇet’ová hladina a v neposledn´ı ˇradˇe jaké odchylky od harmonického pr˚ ubˇehu vykazuj´ı pr˚ ubˇehy napˇet´ı a proudu. Zm´ınˇené pojmy lze shrnout do spoleˇcného tématu, kter´ ym je kvalita elektrické energie. Idealizovan´ y proces v´ yroby a spotˇreby elektrické energie pˇredpokládá, ˇze energii, kterou s urˇcitou u ´ˇcinnost´ı vyrob´ıme sn´ıˇzenou o ztráty na veden´ı, s urˇcitou u ´ˇcinnost´ı spotˇrebujeme v c´ılovém zaˇr´ızen´ı. Pˇri návrhu elektrick´ ych zdroj˚ u a pˇrenosov´ ych veden´ı je tˇreba nav´ıc uvaˇzovat i tu ˇca´st energie, která nemˇen´ı sv˚ uj charakter (elektrická energie teplo, elektrická energie - kinetická energie apod.), ale pouze cirkuluje mezi zdrojem a zátˇeˇz´ı. Tato neaktivn´ı energie zvyˇsuje efektivn´ı hodnotu procházej´ıc´ıho proudu, ˇc´ımˇz rostou nároky na dimenzován´ı elektrick´ ych stroj˚ u a veden´ı a také docház´ı k nár˚ ustu u ´bytku napˇet´ı na sériov´ ych impedanc´ıch a t´ım k r˚ ustu ztrát v celém procesu. Je zˇrejmé, ˇze právˇe z tˇechto d˚ uvod˚ u je tˇreba zm´ınˇenou neaktivn´ı ˇca´st energie pokud moˇzno minimalizovat. Neaktivn´ı v´ ykon je v energetick´ ych s´ıt´ıch produkován zpravidla zátˇeˇz´ı (mohou ho produkovat i zdroje - aktivn´ı filtry, kompenzátory apod.). V pˇr´ıpadˇe harmonick´ ych pr˚ ubˇeh˚ u napˇet´ı a proud˚ u docház´ı k jeho vzniku, pokud zátˇeˇz obsahuje akumulaˇcn´ı prvky (kondenzátory, tlumivky), které jsou v rámci jedné periody s´ıt’ového napˇet´ı stˇr´ıdavˇe nab´ıjeny a zase vyb´ıjeny. Zde hovoˇr´ıme o jalovém v´ ykonu. U neharmonick´ ych pr˚ ubˇeh˚ u obvodov´ ych veliˇcin je tento v´ ykon vytvoˇren, kdyˇz jsou rozd´ılné pr˚ ubˇehy napˇet´ı a proudu, tj. maj´ı r˚ uzn´ y tvar nebo fázov´ y posun. V tomto pˇr´ıpadˇe vˇzdy hovoˇr´ıme pouze o neaktivn´ım v´ ykonu a v energetick´ ych s´ıt´ıch je jeho zdrojem nelinearita zátˇeˇze. Tato práce se bude povˇetˇsinou zab´ yvat právˇe zp˚ usoby kompenzace neaktivn´ıho pˇr´ıpadnˇe jalového v´ ykonu a zajiˇstˇen´ım harmonick´ ych pr˚ ubˇeh˚ u obvodov´ ych veliˇcin.

1

1.1

C´ıle disertaˇ cn´ı pr´ ace

Tato práce navazuje na projekt realizace ˇr´ıdic´ıho programu pro funkˇcn´ı vzorek aktivn´ıho harmonického kondicionéru. Jej´ım hlavn´ım c´ılem je zjednoduˇsen´ı programu a zlepˇsen´ı dynamick´ ych vlastnost´ı v´ ysledného ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu. V rámci daného projektu byla implementována metoda okamˇzit´ ych v´ ykon˚ u, tzv. PQ teorie [1]. Ta, jak bude ukázáno n´ıˇze, se skládá z ˇrady funkˇcn´ıch blok˚ u, jako jsou Clarkové transformace, filtry stˇredn´ı hodnoty, matice v´ ypoˇctu okamˇzit´ ych v´ ykon˚ u atd. Blokové schéma v´ ypoˇctu je relativnˇe rozsáhlé. Vzhledem k této sloˇzitosti je zde tˇreba klást velk´ y d˚ uraz na pˇresnost meziv´ ysledk˚ u. Problém je ménˇe markantn´ı u v´ ypoˇct˚ u v pohyblivé ˇra´dové ˇca´rce, nicménˇe v projektu funkˇcn´ıho vzorku bylo nutné, vzhledem k vˇetˇs´ı rychlosti algoritmu, provádˇet v´ ypoˇcty v pevné ˇra´dové ˇca´rce. V takovém pˇr´ıpadˇe lze vyˇsˇs´ı pˇresnosti dosáhnout rozˇs´ıˇren´ım bitov´ ych rozsah˚ u. Stoj´ı zde tak proti sobˇe poˇzadavky velké pˇresnosti v´ ypoˇctu a zachován´ı jednoduchosti programu a n´ızk´ ych pamˇet’ov´ ych nárok˚ u. Dˇr´ıvˇejˇs´ı realizace algoritmu PQ teorie selhávaly právˇe na tomto rozporu. Základn´ım c´ılem práce bylo naj´ıt metodiku, s jakou maj´ı b´ yt v jednotliv´ ych v´ ypoˇctech voleny bitové rozsahy, aby bylo dosaˇzeno rozumného kompromisu mezi nároky v´ ypoˇctu a jeho pˇresnost´ı. S poˇzadavkem zmenˇsen´ı v´ ysledné velikosti celého programu zároveˇ n vyvstal nov´ y c´ıl pro u ´pravu stávaj´ıc´ıch blok˚ u algoritmu za u ´ˇcelem jejich zjednoduˇsen´ı a zlepˇsen´ı jejich dynamick´ ych vlastnost´ı. Zvláˇstn´ı pozornost si v tomto pˇr´ıpadˇe zaslouˇzily pˇredevˇs´ım fázové závˇesy. V PQ teorii se vyuˇz´ıvaj´ı pro filtraci sousledné symetrické sloˇzky s´ıt’ového napˇet´ı. Fázové závˇesy obsahuj´ı relativnˇe sloˇzité funkce, jak´ ymi jsou v´ ypoˇcty goniometrick´ ych funkc´ı a pak jejich dynamické vlastnosti nejv´ıce ovlivˇ nuj´ı dynamiku v´ ysledného ˇr´ıd´ıc´ıho programu. C´ılem práce je tedy naj´ıt takov´ y algoritmus, kter´ y m˚ uˇze nahradit funkci fázového závˇesu v PQ teorii, je jednoduˇsˇs´ı na implementaci a má podobné nebo lepˇs´ı dynamické vlastnosti.

2

1.2

Harmonick´ a funkce a Fourierova ˇ rada

Harmonick´ ym stˇr´ıdav´ ym napˇet´ım a proudem rozum´ıme pˇr´ıpad, kdy pr˚ ubˇehy napˇet´ı a proudu jsou tzv. harmonick´ ymi funkcemi , tj funkcemi sinus nebo cosinus tvaru [2]: u(t) = Um · sin(ω · t + ϕu ), nebo u(t) = Um · cos(ω · t + ψu )

(1)

i(t) = Im · sin(ω · t + ϕi ), nebo i(t) = Im · cos(ω · t + ψi )

(2)

V rovnic´ıch (1) a (2) je Um resp. Im amplituda (maximáln´ı hodnota) napˇet´ı resp. proudu, ω = 2 · π · f je u ´hlová frekvence, t je ˇcas a ϕ resp. ψ je poˇcáteˇcn´ı fáze nebo také fázov´ y posun harmonického pr˚ ubˇehu. Harmonick´ y pr˚ ubˇeh obvodov´ ych veliˇcin je pouze idealizac´ı skuteˇcn´ ych pr˚ ubˇeh˚ u v elektrické s´ıti. Tyto lze pˇredpokládat pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze v elektrickém obvodˇe nejsou zastoupeny prvky s nelineárn´ı závislost´ı mezi svorkov´ ym ’ napˇet´ım a protékaj´ıc´ım proudem. Bˇeˇznˇe lze za sinusové povaˇzovat jen s´ıt ové napˇet´ı. Nejbˇeˇznˇejˇs´ım nelineárn´ım spotˇrebiˇcem v s´ıti je diodov´ y usmˇerˇ novaˇc s vyhlazovac´ım kondenzátorem. Jeho vstupn´ı proud se vyznaˇcuje ˇspiˇckou odbˇeru v bl´ızkosti amplitudy napájec´ıho napˇet´ı a minimáln´ım odbˇerem mimo tuto oblast. Pr˚ ubˇeh proudu je periodick´ y, nikoliv vˇsak sinusov´ y. Jelikoˇz anal´ yza obvod˚ u pˇri harmonick´ ych obvodov´ ych veliˇcinách je velmi snadná, aproximuje se periodick´ y nesinusov´ y odbˇer proudu Fourierovou trigonometrickou ˇradou. Fourierova ˇrada periodické funkce f (t) s u ´hlov´ ym kmitoˇctem ω má tvar [3]: n

a0 X + (ak · cos(kωt) + bk · sin(kωt)) f (t) = 2 k=1 ak a bk jsou koeficienty ˇrady definované vztahy: Z 2 T cos(kωt) ak = T 0 Z 2 T bk = sin(kωt) T 0 ˇ Rada (3) se ˇcasto vyjadˇruje ve fázovém tvaru, tj. pomoc´ı modulu Fk a fáze ϕk :

(3)

(4) (5)

n

f (t) =

F0 X + Fk · cos(kωt + ϕk ) 2 k=1 q Fk = a2k + b2k ϕk = arctan

bk ak

(6) (7) (8)

ˇ Cleny s hodnotou k = 0 odpov´ıdaj´ı stejnosmˇerné sloˇzce periodického pr˚ ubˇehu f (t). Stejnosmˇerná sloˇzka proudu v s´ıti zp˚ usobuje pˇresycen´ı magnetick´ ych obvod˚ u transformátor˚ u, proto je tento ˇclen u pr˚ ubˇehu proudu ménˇe obvykl´ y. Nicménˇe m˚ uˇze se tam objevit ˇ um s k = 1 se ˇr´ıká základn´ı napˇr´ıklad vlivem jednofázového jednopulsn´ıho usmˇernˇen´ı. Clen˚ harmonická sloˇzka. Maj´ı stejnou periodu jako analyzovan´ y pr˚ ubˇeh f (t). O dalˇs´ıch ˇclenech s vyˇsˇs´ımi hodnotami k se hovoˇr´ı vˇzdy jen jako o harmonick´ ych sloˇzkách. Zˇrejmˇe k popisu ˇcasového pr˚ ubˇehu obecného periodického signálu je nutné znát hodnoty amplitud (7) a fáz´ı (8) jednotliv´ ych harmonick´ ych sloˇzek v závislosti na frekvenci. V takovém pˇr´ıpadˇe mluv´ıme o amplitudovém a fázovém spektru signálu. 3

Jednou z d˚ uleˇzit´ ych vlastnost´ı Fourierovy ˇrady je pˇr´ıtomnost urˇcit´ ych sloˇzek ve spektru pro specifické signály [4]: a) U sud´ ych funkc´ı plat´ı: f (−t) = f (t). Graf je soumˇern´ y podle vertikáln´ı osy. V´ ysledná Fourierova ˇrada pak obsahuje pouze ˇcleny s funkc´ı cosinus (ak ). b) U lich´ ych funkc´ı plat´ı: f (−t) = −f (t). Graf funkce je soumˇern´ y v˚ uˇci poˇca´tku. V´ ysledná Fourierova ˇrada pak obsahuje pouze ˇcleny s funkc´ı sinus (bk ). c) V pˇr´ıpadˇe, ˇze je daná funkce atiperiodická, tj. jej´ı pr˚ ubˇeh nad horizontáln´ı osou je zrcadlovˇe stejn´ y jako pr˚ ubˇeh pod touto osou, pak se v aproximaci objevuj´ı jen ty ˇcleny, které maj´ı násobek k lich´ y. Podm´ınku antiperiodické funkce lze vyjádˇrit zápisem: f (t) = −f (t ± T /2). Vlastnost antiperiodicity je velmi typická pro pr˚ ubˇehy s´ıt’ov´ ych veliˇcin. Vˇetˇsina s´ıt’ov´ ych zátˇeˇz´ı, i kdyˇz je uvaˇzujeme nelineárn´ı, má stejn´ y tvar pr˚ ubˇehu odbˇeru proudu v obou polaritách napájec´ıho napˇet´ı. Proto se zde setkáváme takˇrka v´ yhradnˇe s lich´ ymi harmonick´ ymi sloˇzkami. Dále se nˇekteré harmonické sloˇzky nemohou vyskytovat v tˇr´ıvodiˇcov´ ych trojfázov´ ych systémech. Jejich vzájemn´ y fázov´ y posun v jednotliv´ ych vodiˇc´ıch je pro urˇcit´ y aproximovan´ y pr˚ ubˇeh fázov´ ych proud˚ u stejn´ y a tud´ıˇz se chovaj´ı jako netoˇcivá symetrická sloˇzka (viz kapitola 1.4.1). Projev harmonick´ ych z hlediska sledu fáz´ı (symetrie) je dán jejich ˇrádem k: • Harmonické ˇrádu (6k + 1) maj´ı shodn´ y sled fáz´ı se základn´ı harmonickou sloˇzkou. Projevuj´ı se proto jako sousledná symetrická sloˇzka. • Harmonické ˇrádu (6k − 1) maj´ı opaˇcn´ y sled fáz´ı oproti základn´ı harmonické sloˇzce. Ve v´ ysledku pˇrisp´ıvaj´ı ke zpˇetné symetrické sloˇzce. U indukˇcn´ıch motor˚ u vytváˇrej´ı brzdn´ y moment. • Harmonické ˇra´du lich´ ych násobk˚ u 3k maj´ı ve vˇsech fázov´ ych vodiˇc´ıch shodn´ y fázov´ y posun. Pˇrisp´ıvaj´ı k netoˇcivé symetrické sloˇzce a mus´ı se uzav´ırat stˇredn´ım vodiˇcem. Tyto harmonické se nemohou vyskytovat v s´ıt´ıch s nevyveden´ ym uzlem (tˇr´ıvodiˇcové trojfázové s´ıtˇe).

4

1.3

V´ ykony

Jako kvalitativn´ı faktor odbˇeru elektrické energie lze brát hodnotu u ´ˇcin´ıku, která je dána pomˇerem ˇcinného v´ ykonu P a zdánlivého v´ ykonu S: λ=

P S

(9)

ˇ y v´ Cinn´ ykon je dán stˇredn´ı hodnotou souˇcinu okamˇzit´ ych hodnot fázov´ ych napˇet´ı a proud˚ u. Zdánliv´ y v´ ykon je vˇzdy definován jako souˇcin efektivn´ıch hodnot napˇet´ı a proudu. Jelikoˇz harmonické sloˇzky ovlivˇ nuj´ı efektivn´ı hodnotu urˇcité s´ıt’ové veliˇciny, bude j´ı ovlivnˇena i hodnota u ´ˇcin´ıku. V této ˇca´sti budou vysvˇetleny jednotlivé v´ ykony, jejich ’ vzájemn´ y vztah a závislost u ´ˇcin´ıku na urˇcitém pr˚ ubˇehu s´ıt ov´ ych veliˇcin.

1.3.1

V´ ykony pˇ ri harmonick´ em nap´ ajen´ı

V pˇr´ıpadˇe harmonick´ ych s´ıt’ov´ ych veliˇcin lze hodnoty v´ ykon˚ u v jednotliv´ ych fáz´ıch vyjádˇrit následuj´ıc´ımi vztahy: S =U ·I =

p P 2 + Q2

(10)

P = S · cos(ϕ)

(11)

Q = S · sin(ϕ)

(12)

´ V rovnici (10) oznaˇcuj´ı U a I efektivn´ı hodnoty s´ıt’ov´ ych veliˇcin. Uhel ϕ je fázov´ y posun mezi napˇet´ım a proudem. Symbolem Q zde oznaˇcujeme neaktivn´ı v´ ykon, kter´ y se v pˇr´ıpadˇe harmonick´ ych obvodov´ ych veliˇcin naz´ yvá také jalov´ y. Jedná se o fiktivn´ı v´ ykon, kter´ y respektuje ˇca´st energie, která se vymˇen ˇuje mezi zátˇeˇz´ı a zdrojem a pˇritom nekoná ˇzádnou práci. Zdroji této ˇcásti energie jsou pˇredevˇs´ım reaktanˇcn´ı zátˇeˇze. Dále pak se m˚ uˇze vyskytnout i u odporov´ ych zátˇeˇz´ı za pˇr´ıtomnosti harmonick´ ych nebo v pˇr´ıpadˇe tˇr´ıfázov´ ych systém˚ u za pˇr´ıtomnosti nesymetrie. Vzájemn´ y vztah mezi dan´ ymi v´ ykony je dán Pythagorovou vˇetou (viz (10)). To lze snadno odvodit pˇri pouˇzit´ı komplexn´ıho poˇctu, kter´ y je pˇri harmonick´ ych podm´ınkách velmi ˇcast´ y. Zˇrejmˇe dle vztahu (11) je hodnota u ´ˇcin´ıku pˇri tˇechto podm´ınkách rovna cosϕ. Vztah pro ˇcinn´ y v´ ykon je v´ ysledkem v´ ypoˇctu stˇredn´ı hodnoty okamˇzitého v´ ykonu: Z T Z T 1 1 p(t)dt = · u(t) · i(t)dt (13) P = · T T 0 0 V rovnici (13) je p(t) okamˇzit´ y v´ ykon, u(t) a i(t) jsou okamˇzité hodnoty napˇet´ı a proudu a T je perioda harmonického pr˚ ubˇehu napˇet´ı (proudu). Dosazen´ım sinusov´ ych podm´ınek do vztahu pro okamˇzit´ y v´ ykon z´ıskáme následuj´ıc´ı v´ ysledek pro jednu fázi: p(t) = u(t) · i(t) = Um · sin(ωt) · Im · sin(ωt + ϕ) Um · Im = · ((1 − cos(2 · ωt)) · cos(ϕ) + sin(2 · ωt) · sin(ϕ)) 2

(14)

Okamˇzit´ y v´ ykon kmitá s dvojnásobnou frekvenc´ı v porovnán´ı s obvodov´ ymi veliˇcinami. V této práci je velmi d˚ uleˇzité zaj´ımat se, jak vypadá pr˚ ubˇeh okamˇzité hodnoty v´ ykonu, pokud uvaˇzujeme vˇsechny 3 fáze. Pro zjednoduˇsen´ı v´ ypoˇct˚ u pouˇzijeme vztah (14), pˇriˇcemˇz

5

budeme uvaˇzovat m´ısto ˇcasu jako promˇennou fázov´ y u ´hel ωt. Pˇri zaveden´ı aditivn´ıho fázového posunu δ v urˇcitém vodiˇci tak zavád´ıme následuj´ıc´ı rovnost:

p(ωt + δ) =

Um · Im · ((1 − cos(2ωt + 2δ)) · cos(ϕ) + sin(2ωt + 2δ) · sin(ϕ)) 2

(15)

Pro souˇcet okamˇzit´ ych v´ ykon˚ u vˇsech tˇrech fáz´ıch pˇri symetrickém napájen´ı (fáze jsou vzájemnˇe posunuty po 120◦ ) z´ıskáme následuj´ıc´ı d˚ uleˇzit´ y v´ ysledek: 3 · Um · Im · cos(ϕ) (16) 2 Pˇri symetrickém trojfázovém napájen´ı zmizela v hodnotˇe okamˇzitého v´ ykonu ˇcasová závislost a ten je pˇr´ımo roven trojnásobku ˇcinného v´ ykonu (viz vztahy (10) a (11)). To je fakt na kterém jsou zaloˇzeny nˇekteré ˇr´ıd´ıc´ı algoritmy aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u, jelikoˇz pˇri neharmonickém nebo nesymetrickém pr˚ ubˇehu s´ıt’ov´ ych veliˇcin je ˇcasovˇe závislá sloˇzka stále pˇr´ıtomna. p3f = p(ωt) + p(ωt − 2π/3) + p(ωt + 2π/3) =

1.3.2

V´ ykony pˇ ri neharmonick´ em nap´ ajen´ı

Pˇri neharmonickém napájen´ı se vyuˇz´ıvá aproximace pr˚ ubˇehu s´ıt’ov´ ych veliˇcin Fourierovou ˇradou. V´ ysledná efektivn´ı hodnota napˇet´ı nebo proudu je pak dána souˇctem kvadrát˚ u efektivn´ıch hodnot jednotliv´ ych harmonick´ ych sloˇzek. Z nich pak lze zdánliv´ y v´ ykon vypoˇc´ıtat u ´pravou vztahu (10). v v u∞ u∞ uX uX 2 t t Uk · Il2 (17) S =U ·I = k=0

l=0

ˇ y v´ Cinn´ ykon se opˇet urˇc´ı jako stˇredn´ı hodnota souˇcinu napˇet´ı a proudu. Protoˇze stˇredn´ı hodnota souˇcinu harmonick´ ych sloˇzek r˚ uzn´ ych ˇrád˚ u je nulová [4], je ˇcinn´ y v´ ykon urˇcen pouze souˇciny harmonick´ ych sloˇzek napˇet´ı Uh a proudu Ih stejn´ ych ˇra´d˚ u a cosinem fázového posunu ϕh ,kter´ y je mezi nimi: P =

∞ X

Uh · Ih · cos(ϕh )

(18)

h=1

K poklesu u ´ˇcin´ıku docház´ı jednak pˇri fázovém rozd´ılu napˇet´ı a proudu jednotliv´ ych harmonick´ ych a také v pˇr´ıpadech, kdy jednotlivé amplitudy harmonick´ ych proudu neodpov´ıdaj´ı lineárn´ımu násobku amplitud harmonick´ ych sloˇzek napˇet´ı. Zˇrejmˇe, pokud je napˇr´ıklad pr˚ ubˇeh napˇet´ı harmonick´ y, pod´ıl´ı se na tvorbˇe ˇcinného v´ ykonu pouze základn´ı harmonická sloˇzka proudu. Ostatn´ı sloˇzky vytváˇrej´ı neaktivn´ı v´ ykon Q. Jeho velikost lze urˇcit z dˇr´ıve uvedeného vztahu (10). Pr˚ ubˇeh napˇet´ı v napájec´ı s´ıti se velmi bl´ıˇz´ı sinusovce (pˇrinejmenˇs´ım na svorkách generátoru v elektrárnˇe). Z toho d˚ uvodu prakticky vˇsechny harmonické sloˇzky proudu sniˇzuj´ı hodnotu u ´ˇcin´ıku a proto by mˇely b´ yt kompenzovány. Na tvorbˇe neaktivn´ıho v´ ykonu se m˚ uˇze pod´ılet i napˇet’ová nebo proudová nesymetrie. Tento efekt je v´ yznamn´ y u 2f zátˇeˇz´ı a u 3f zátˇeˇz´ı bez vyvedeného uzlu. V tˇechto pˇr´ıpadech totiˇz docház´ı k fázovému posunu fázov´ ych proud˚ u v˚ uˇci napˇet´ım i za podm´ınky, kdy je daná zátˇeˇz odporového charakteru.

6

1.4

Sloˇ zkov´ e soustavy

Pokud se jedná o symetrickou napˇet’ovou soustavu se symetricky rozloˇzenou zátˇeˇz´ı ve vˇsech fázov´ ych vodiˇc´ıch, je ˇreˇsen´ı obvodov´ ych rovnic trojfázov´ ych systém˚ u velice jednoduché. V´ ysledek je nalezen pro jeden fázov´ y obvod a obvodové veliˇciny v ostatn´ıch fáz´ıch se urˇc´ı pouze správn´ ym posunem fáze o 120◦ respektive o 240◦ . V ostatn´ıch pˇr´ıpadech je tˇreba jednotlivé fázové obvody ˇreˇsit samostatnˇe napˇr´ıklad principem superpozice. Anal´ yzu m˚ uˇze znaˇcnˇe zjednoduˇsit transformace dané soustavy do jiného souˇradnicového systému. Z´ıskáme tak systém s jin´ ym poˇctem a uskupen´ım zdroj˚ u a jinou topologi´ı obvodu, která m˚ uˇze m´ıt vyˇsˇs´ı v´ ypovˇedn´ı schopnost o charakteru p˚ uvodn´ıho systému. V technice ˇr´ıd´ıc´ıch algoritm˚ u trojfázov´ ych mˇeniˇc˚ u se nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvaj´ı transformace souˇradnic, které urˇcit´ ym zp˚ usobem respektuj´ı vznik toˇcivého magnetického pole ze základn´ı harmonické sloˇzky. Pˇredevˇs´ım jde o transformaci do symetrick´ ych sloˇzek“, Clarkové transformaci“ ” ” a Parkovu transformaci“, které jsou dále struˇcnˇe popsány. ”

1.4.1

Symetrick´ e sloˇ zky

Symetrické 3f obvody zjednoduˇsuj´ı anal´ yzu. Proto je vhodné nesymetrická napˇet´ı pˇr´ıpadnˇe proudy pˇrevést vhodnou transformac´ı do symetrické podoby. V praxi se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá rozklad do tˇr´ı symetrick´ ych sloˇzek sousledné (index 1), zpˇetné (index 2) a netoˇcivé (index 0). Jedná se o substituci p˚ uvodn´ıho 3f nesymetrického zdroje soustavou tˇr´ı symetrick´ ych zdroj˚ u. Dalˇs´ı anal´ yza pak prob´ıhá metodou superpozice, kdy se vˇzdy uvaˇzuje p˚ usoben´ı jen jediné soustavy zdroj˚ u a efekty vˇsech tˇr´ı soustav se ve v´ ysledku seˇctou. Sousledná sloˇzka (zdroj) má stejn´ y smˇer otáˇcen´ı (sled fáz´ı) jako p˚ uvodn´ı soustava a fázory jsou vzájemnˇe posunuty po 120◦ . Stejné posunut´ı fázor˚ u je i u zpˇetné sloˇzky, nicménˇe ta má smˇer otáˇcen´ı (sled fáz´ı) opaˇcn´ y neˇz sousledná sloˇzka. Fázory netoˇcivé sloˇzky maj´ı vˇsechny stejn´ y smˇer a proto se tato sloˇzka m˚ uˇze vyskytovat pouze v systémech s vyveden´ ym uzlem. V souladu s obrázkem ˇc´ıslo 1 lze z´ıskat pro p˚ uvodn´ı soustavu transformaˇcn´ı matici: ˆ    ˆ  UA U0 1 1 1 UˆB  = 1 a ˆ2 a ˆ  · Uˆ1  (19) 2 1 a ˆ a ˆ UˆC Uˆ2 Konstanta a ˆ je komplexn´ım ˇc´ıslem zajiˇst’uj´ıc´ım otoˇcen´ı fázoru o 120◦ : √ 3 1 j2π/3 a ˆ=e =− +j 2 2 Inverzn´ı transformaci z´ıskáme pomoc´ı inverzn´ı matice k matici z rovnice (19): ˆ    ˆ  U0 UA 1 1 1 2  ˆ  Uˆ1  = 1 · 1 a ˆ a ˆ · UB 3 2 ˆ 1 a ˆ a ˆ U2 UˆC

(20)

(21)

V transformaci je poˇc´ıtáno vˇzdy s fázory s´ıt’ov´ ych veliˇcin, jelikoˇz v transformaˇcn´ı matici je pˇr´ıtomna komplexn´ı konstanta a. Metoda symetrick´ ych sloˇzek je vyuˇz´ıvána nejˇcastˇeji k anal´ yze poruchov´ ych stav˚ u v s´ıti. Transformaˇcn´ı matice ze vtah˚ u (19) a (21) se pouˇz´ıvaj´ı i pˇri transformaci nesymetrick´ ych zátˇeˇz´ı (impedanc´ı). To vˇsak jiˇz pˇresahuje rámec této práce. D˚ uleˇzitou skuteˇcnost´ı je, ˇze jedinou chtˇenou sloˇzkou v s´ıti je sousledná symetrická sloˇzka. Ostatn´ı sloˇzky maj´ı sp´ıˇse negativn´ı projevy. Netoˇcivá sloˇzka se uzav´ırá v´ yhradnˇe stˇredn´ım vodiˇcem a v zapojen´ı primáru napájec´ıch transformátor˚ u

7

do troj´ uheln´ıka zp˚ usobuje proud vinut´ım, kter´ y se uzav´ırá ve smyˇcce. Jelikoˇz má zpˇetná symetrická sloˇzka opaˇcn´ y sled fáz´ı, p˚ usob´ı negativnˇe napˇr´ıklad pˇri napájen´ı asynchronn´ıch motor˚ u.

Obrázek 1: Rozklad 3f soustavy do symetrick´ ych sloˇzek

1.4.2

Clarkov´ e transformace

Transformace Clarkové rozkládá trojfázovou soustavu do tˇr´ı navzájem kolm´ ych sloˇzek (os) αβ0. Transformaˇcn´ı matice jsou definovány zápisem:      r  1 √1 0 uα uA 2 √  3 1 √1  · u  u B  = 2  (22) − 2 β 2√ 2 3 3 1 1 u0 uC − 2 − 2 √2   r     1 1 − −√21 uα uA 2 √ 3 3   uβ  = 2  0  u − · (23) B 2 3 √1 √21 1 √ u0 uC 2 2 2 p Násobná konstanta 2/3 je zde kv˚ uli zachován´ı rovnosti v´ ykon˚ u transformovan´ ych a p˚ uvodn´ıch obvodov´ ych veliˇcin. Nultá sloˇzka nen´ı pˇr´ıtomna u tˇr´ıvodiˇcov´ ych s´ıt´ı podobnˇe jako tomu bylo u transformace do symetrick´ ych sloˇzek s netoˇcivou sloˇzkou. Odtud plyne hlavn´ı v´ yhoda této soustavy, nebot’ v tˇechto pˇr´ıpadech tˇr´ıfázov´ y systém transformujeme pouze do dvou sloˇzek. Zˇrejmˇe pokud jsou hodnoty napˇet´ı (signál˚ u) uA , uB a uC ˇcasovˇe promˇenné, pak budou ˇcasovˇe promˇenné i v´ ystupy transformace uα a uβ . V pˇr´ıpadˇe harmonick´ ych vstup˚ u a symetrické s´ıtˇe budou sloˇzky αβ také harmonického pr˚ ubˇehu se ◦ vzájemn´ ym fázov´ ym posunem 90 . D˚ uvodem je, ˇze transformace vlastnˇe v urˇcitém smyslu zajiˇst’uje prom´ıtnut´ı fázoru toˇcivého magnetického pole do obou kolm´ ych os.

1.4.3

Parkova transformace

Podobnˇe jako transformace Clarkové zobrazuje Parkova transformace vstupn´ı signály ve tˇrech vzájemnˇe kolm´ ych osách dq0. Rozd´ıl je, ˇze se osy dq otáˇcej´ı synchronnˇe s toˇciv´ ym ’ magnetick´ ycm polem. Pro symetrickou s´ıt s harmonick´ ym pr˚ ubˇehem veliˇcin tak dostaneme transformované veliˇciny konstantn´ı v ˇcase. Nev´ yhodou je, ˇze prvky transformaˇcn´ı matice jsou ˇcasovˇe závislé: √      r  2 cos(ωt) −sin(ωt) ud uA √2  2  2  uB  = (24) cos(ωt − 2π/3) −sin(ωt − 2π/3) √2  · uq  3 2 uC u 0 cos(ωt + 2π/3) −sin(ωt + 2π/3) 2 8

(a) Clarkové transformace

(b) Parkova transformace

Obrázek 2: Fázorové diagramy pro odvozen´ı transformaˇcn´ıch matic (osa 0 nen´ı zakreslena, ta vyˇzaduje prostorové zobrazen´ı)

  r     cos(ωt) cos(ωt − 2π/3) cos(ωt + 2π/3) ud uA uq  = 2 −sin(ωt) −sin(ωt − 2π/3) −sin(ωt + 2π/3) · uB  √ √ √ 3 2 2 2 u0 uC 2 2 2

(25)

V uveden´ ych vztaz´ıch je ω u ´hlová frekvenceptoˇcivého pole a t vyjadˇruje ˇcas. Stejnˇe jako u Clarkové transformace zajiˇst’uje konstanta 2/3 shodu hodnoty v´ ykon˚ u vypoˇcten´ ych z p˚ uvodn´ıch a transformovan´ ych veliˇcin. Tento typ transformace je pouˇz´ıván napˇr´ıklad pˇri popisu toˇciv´ ych stroj˚ u v teorii obecného stroje nebo pˇri vektorovém ˇr´ızen´ı asynchronn´ıch motor˚ u. V této práci ji lze naj´ıt v kapitole 5.3.2, kde je na jej´ıch vlastnostech zaloˇzeno ladˇen´ı fázového závˇesu. V rovnic´ıch (24) a (25) je v goniometrick´ ych funkc´ıch vyjádˇrena ˇcasová závislost jako souˇcin u ´hlové frekvence a ˇcasu. To plat´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze je u ´hlová frekvence konstantn´ı. Správnˇejˇs´ı zápis by byl s dosazen´ım aktuáln´ı fáze θ daného pole v daném ˇcase t, která by byla urˇcena integrálem: Z t θ(t) = ω(τ )dτ (26) 0

9

Kapitola 2 ˇn´ı kvalitn´ı doda ´ vky Zp˚ usoby zajiˇ ste ´ energie elektricke Pouˇzit´ı speciáln´ıch zaˇr´ızen´ı pro ˇr´ızen´ı toku energie v modern´ıch s´ıt´ıch má ˇradu d˚ uvod˚ u. Pˇrednˇe jimi lze sn´ıˇzit ztráty na veden´ı, zv´ yˇsit dynamickou stabilitu s´ıtˇe, rovnomˇernˇe rozloˇzit tok energie mezi paraleln´ı veden´ı (sn´ıˇzit okruhov´ y proud), sn´ıˇzit poklesy nebo eliminovat v´ ypadky napˇet´ı atd. Systémy, které toto umoˇzn ˇuj´ı, pracuj´ı z hlediska ˇr´ızen´ı na podobn´ ych principech a pouˇz´ıvaj´ı podobné ˇr´ıd´ıc´ı bloky. Jelikoˇz tato práce vznikla z projektu zab´ yvaj´ıc´ıho se implementac´ı aktivn´ıho harmonického kondicionéru (filtru) budeme se dále zab´ yvat pˇredevˇs´ım zajiˇstˇen´ım kvality elektrické energie v s´ıt´ıch n´ızkého napˇet´ı a to pˇredevˇs´ım tématy kompenzace jalového v´ ykonu, pokles˚ u napˇet´ı a harmonick´ ych sloˇzek napˇet´ı a proudu. Kompenzaˇcn´ı systémy lze rozdˇelit na pasivn´ı a aktivn´ı. Pasivn´ı systémy zpravidla neobsahuj´ı polovodiˇcové prvky a maj´ı omezenou m´ıru adaptace parametr˚ u na aktuáln´ı pomˇery v s´ıti. Pˇr´ıkladem mohou b´ yt pasivn´ı filtry harmonick´ ych nebo stykaˇci pˇripojované kondenzátorové baterie. Aktivn´ı systémy d´ıky polovodiˇcov´ ym prvk˚ um maj´ı moˇznost plynulé regulace kompenzované energie. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se jeˇstˇe dále dˇel´ı na statické a dynamické. V pˇr´ıpadˇe statick´ ych systém˚ u jde jen o kompenzaci ˇca´sti neaktivn´ı energie v rámci základn´ı harmonické sloˇzky. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nemaj´ı ani tyto systémy sinusové v´ ystupn´ı veliˇciny a samy jsou tak zdrojem harmonick´ ych sloˇzek. Dynamické systémy maj´ı prakticky vˇzdy v´ ystupn´ı obvod uzp˚ usoben´ y pro pulsnˇe ˇs´ıˇrkovou modulaci (PWM). Jejich ˇr´ıd´ıc´ı obvody jsou komplikovanˇejˇs´ı a uzp˚ usobeny pro zpracován´ı obecn´ ych perio’ dick´ ych pr˚ ubˇeh˚ u s´ıt ov´ ych veliˇcin, tj. i harmonick´ ych sloˇzek.

2.1

Kompenzace jalov´ eho v´ ykonu

Nejjednoduˇsˇs´ım typem kompenzace jalového v´ ykonu je pasivn´ı kompenzace pomoc´ı pˇr´ısluˇsné reaktance. V s´ıti jsou nejˇcastˇejˇs´ım pˇr´ıpadem zátˇeˇze induktivn´ıho charakteru (napˇr. motory). Vznikl´ y induktivn´ı proud je kompenzován proudem paralelnˇe pˇripojeného kondenzátoru. Návrh hodnoty kapacity je provádˇen na základˇe velikosti jalového v´ ykonu, kter´ y má b´ yt ze s´ıtˇe odstranˇen. V 3f s´ıti lze kondenzátorovou baterii vytvoˇrit v zapoˇ ejˇs´ım pˇr´ıpadem je zapojen´ı do troj´ jen´ı do hvˇezdy nebo do troj´ uheln´ıka. Castˇ uheln´ıka. Na kaˇzdém kondenzátoru je sdruˇzené napˇet´ı a pro stejn´ y jalov´ y v´ ykon je tak nutná tˇretinová kapacita v porovnán´ı se zapojen´ım do hvˇezdy. Velikost kapacitn´ıho proudu lze ˇr´ıdit postupn´ ym pˇrip´ınán´ım jednotliv´ ych bateri´ı k s´ıti. ˇ Jedná se tedy sp´ıˇse o hrubou regulaci. Casto b´ yvá také problémem v´ yskyt harmonick´ ych sloˇzek v pr˚ ubˇehu s´ıt’ového napˇet´ı nebo proudu. Pro vyˇsˇs´ı frekvence harmonick´ ych klesá kapacitn´ı reaktance, tud´ıˇz hroz´ı proudové pˇret´ıˇzen´ı kondenzátoru. Z toho d˚ uvodu se ˇcasto

10

(a) SVC

(b) STATCOM

Obrázek 3: Aktivn´ı kompenzace jalového v´ ykonu pouˇz´ıvá hrazená kompenzace, která spoˇc´ıvá v zaˇrazen´ı tlumivek pˇred kondenzátorovou baterii. Na druhou stranu je dan´ y kompenzaˇcn´ı systém témˇeˇr bez´ udrˇzbov´ y, relativnˇe levn´ y a nezanáˇs´ı do s´ıtˇe dalˇs´ı harmonické sloˇzky proudu. Sofistikovanˇejˇs´ım zp˚ usobem kompenzace jsou statick´ y kompenzátor jalového v´ ykonu (Static Var Compensator - SVC) nebo statick´ y synchronn´ı kompenzátor (Static Synchronous Compensator - STATCOM)[5]. SVC jsou vlastnˇe tyristorovˇe sp´ınané reaktance. Exisˇ ızen´ı tyristory umoˇzn tuje ˇrada topologi´ı. Jedna z moˇzn´ ych je na obrázku 3a. R´ ˇuje relativnˇe plynulou regulaci jalového v´ ykonu jak v oblasti induktivn´ıch tak v oblasti kapacitn´ıch proud˚ u. Na druhou stranu v pr˚ ubˇehu regulace vznikaj´ı harmonické sloˇzky proudu vlivem jeho skokov´ ych zmˇen nebo pˇreruˇsen´ı. V tomto ohledu je v´ yhodnˇejˇs´ı STATCOM. Jeho v´ ystupem je sinusov´ y proud generovan´ y pomoc´ı PWM, kter´ y pˇredb´ıhá nebo se zpoˇzd’uje ◦ za napˇet´ım o 90 podle charakteru kompenzovaného proudu. Jelikoˇz je zpracovávána jen jalová energie, nen´ı tˇreba zvláˇstn´ıho napájec´ıho zdroje ve stejnosmˇerném obvodˇe. Ten je zde nahrazen pouze kondenzátorem. V rámci jedné periody je vˇzdy odebraná energie rovna té dodané a proto nedocház´ı k jeho vyb´ıjen´ı. Kondenzátor je dob´ıjen jen pˇri dynamick´ ych zmˇenách odbˇeru jalové energie v s´ıti a pˇri hrazen´ı ztrát vlivem svod˚ u. Oba aktivn´ı systémy vyˇzaduj´ı spolehlivou synchronizaci sp´ınán´ı s pr˚ ubˇehy s´ıt’ov´ ych veliˇcin. K tomuto u ´ˇcelu se vyuˇz´ıvaj´ı nejˇcastˇeji fázové závˇesy (Phase Locked Loop - PLL) ’ at uˇz ve své hardwarové nebo softwarové podobˇe. Fázov´ ymi závˇesy se zab´ yvá kapitola 5.3. Pˇr´ıpadnˇe lze pro z´ıskán´ı referenˇcn´ıho pr˚ ubˇehu proudu a napˇet´ı v systému STATCOM pouˇz´ıt i algoritmus popsan´ y v kapitole 5.4.3.

2.2

Syst´ emy zamezuj´ıc´ı pokles˚ um napˇ et´ı a v´ ypadk˚ um nap´ ajen´ı

Nejznámˇejˇs´ım systémem chrán´ıc´ım proti pokles˚ um a v´ ypadk˚ um napájec´ıho napˇet´ı jsou jednotky UPS (Uninterruptible Power Supply). Zpravidla (nejˇcastˇeji) se jedná o AC/DC mˇeniˇce vybavené bateri´ı a pˇripojené mezi s´ıt’ a zátˇeˇz. Existuje ˇrada topologi´ı. Nˇekteré jednotky provádˇej´ı dvojnásobnou konverzi energie, tj. nejdˇr´ıve je napˇet´ı usmˇernˇeno a je j´ım trvale nab´ıjena baterie a následnˇe je stˇr´ıdaˇcem vytvoˇreno napájec´ı napˇet´ı pro zátˇeˇz. Jiné jednotky vyuˇz´ıvaj´ı jen jeden polovodiˇcov´ y mˇeniˇc pro dob´ıjen´ı baterie i zálohován´ı zátˇeˇze. Obecnˇe jsou jednotky UPS urˇceny pouze k ochranˇe zátˇeˇze pˇred u ´pln´ ym v´ ypadkem napájen´ı, nejsou urˇceny k ochranˇe zátˇeˇz´ı, které jsou velmi citlivé na poklesy napˇet´ı. 11

Obrázek 4: Velikost napˇet´ı na v´ ystupu veden´ı v závislosti na reaktanci zátˇeˇze Urˇcité poklesy s´ıt’ového napˇet´ı lze eliminovat pomoc´ı dodávky kapacitn´ıho jalového v´ ykonu a tud´ıˇz je moˇzné k tomu vyuˇz´ıt dˇr´ıve uvedené systémy pro kompenzaci jalového v´ ykonu. Na základn´ı frekvenci s´ıtˇe lze veden´ı a impedanci generátoru nahradit sériovou indukˇcn´ı reaktanc´ı Xd . Odtud plynouc´ı zjednoduˇsené schéma generátoru a veden´ı vˇcetnˇe pˇr´ısluˇsn´ ych fázorov´ ych diagram˚ u je na obrázku 4. Pˇri induktivn´ı zátˇeˇzi je v´ ystupn´ı napˇet´ı vˇzdy niˇzˇs´ı neˇz indukované napˇet´ı generátoru. Naopak pˇri kapacitn´ım zat´ıˇzen´ı mus´ı dle fázorového diagramu b´ yt napˇet´ı na v´ ystupu vyˇsˇs´ı. Zv´ yˇsen´ı v´ ystupn´ıho napˇet´ı lze dosáhnout také sniˇzován´ım podélné impedance veden´ı pomoc´ı sériovˇe sp´ınan´ ych kondenzátor˚ u (TCSC - Thyristor Controlled Series Capacitor). Tohoto systému je vyuˇz´ıváno v chytr´ ych s´ıt´ıch (FACTS - Flexible AC Transmission Systems)[6]. Pro zátˇeˇze, které jsou velmi citlivé na poklesy napˇet´ı, je urˇcen dynamick´ y obnovovaˇc napˇet´ı DVR (Dynamic Voltage Restorer). Jeho pˇripojen´ı do s´ıtˇe i zp˚ usob kompenzace pokles˚ u se velmi podobá sériovému aktivn´ımu harmonickému filtru. DVR vˇsak kompenzuje v´ yhradnˇe pokles efektivn´ı hodnoty napˇet´ı základn´ı harmonické sloˇzky a nen´ı urˇcen pro kompenzaci dalˇs´ıch harmonick´ ych sloˇzek. Princip je jednoduch´ y. Pˇres sériov´ y transformátor zavád´ı DVR do s´ıtˇe dalˇs´ı napˇet’ov´ y zdroj. Souˇcet napˇet´ı s´ıtˇe a tohoto zdroje pak vytváˇr´ı v´ ystupn´ı napˇet´ı na zátˇeˇzi. Existuje nˇekolik strategi´ı ˇr´ızen´ı DVR, které vyˇzaduj´ı znalost vzájemn´ ych fázov´ ych posun˚ u napˇet´ı v daném obvodu, jejich frekvenci. Pro u ´plnost ˇ je zde uvedeme. R´ıd´ıc´ı strategie nemaj´ı ˇceské ekvivalenty, proto jsou dále ponechány jejich p˚ uvodn´ı anglické názvy: • Presag“ - v´ ystupn´ı obnovené napˇet´ı na zátˇeˇzi je ve fázi s p˚ uvodn´ım napˇet´ım pˇred ” jeho poklesem. V tomto pˇr´ıpadˇe je zachován i zatˇeˇzovac´ı u ´hel β mezi napˇetm s´ıtˇe a napˇet´ım na zátˇeˇzi. • Inphase“ - obnovené napˇet´ı je ve fázi s napˇet´ım s´ıtˇe. To v d˚ usledku vede k nejmen” ˇs´ımu potˇrebnému napˇet´ı generovaného pomoc´ı DVR. • Minimal energy“ - fázov´ y posun obnoveného napˇet´ı je takov´ y, aby DVR dodávalo ” co nejniˇzˇs´ı moˇzn´ y ˇcinn´ y v´ ykon. V ideáln´ım pˇr´ıpadˇe je v´ ystupn´ı napˇet´ı DVR o 90◦ pootoˇceno v˚ uˇci proudu tekouc´ıho do zátˇeˇze. Systémy DVR mohou b´ yt vyuˇzity také pro kompenzaci amplitudové i fázové nesymetrie. K tomu je vˇsak tˇreba ˇr´ıd´ıc´ı obvod doplnit o algoritmus, kter´ y umoˇzn´ı sledovat hodnotu sousledné symetrické sloˇzky s´ıtˇe. Velice jednoduché a u ´ˇcinné ˇreˇsen´ı tohoto u ´kolu je uvedeno v kapitole 5.4.5.

12

2.3

Kompenzace harmonick´ ych sloˇ zek proudu a napˇ et´ı

V elektrické s´ıti je poˇzadována pˇredevˇs´ım kompenzace harmonick´ ych sloˇzek proudu. Ty jednak zvyˇsuj´ı efektivn´ı hodnotu proudu a pˇritom se jen minimálnˇe pod´ıl´ı na tvorbˇe ˇcinného v´ ykonu na zátˇeˇzi. D´ıky sériové impedanci s´ıtˇe nav´ıc jejich p˚ usoben´ım vznikaj´ı v bl´ızkosti zátˇeˇze také harmonické sloˇzky napˇet´ı. Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem kompenzace jsou pasivn´ı filtry. Jedná se zpravidla o rezonanˇcn´ı sériov´ y LC ˇclánek, kter´ y je zapojen´ y paralelnˇe v˚ uˇci s´ıti a je naladˇen´ y na urˇcitou frekvenci harmonické. V´ yhodou je jednoduché a bez´ udrˇzbové ˇreˇsen´ı. Nev´ yhodou je, ˇze je t´ımto zp˚ usobem vytvoˇren v s´ıti pro urˇcitou harmonickou uzel s n´ızkou impedanc´ı a proto nelze filtrovat harmonické jen ze zvolené zátˇeˇze, ale stahuj´ı“ se proudy o dané frekvenci z celé s´ıtˇe. Snadno tak m˚ uˇze doj´ıt k v´ ykonovému ” pˇret´ıˇzen´ı souˇcástek daného filtru. Sofistikovanˇejˇs´ım ˇreˇsen´ım je pouˇzit´ı aktivn´ıho harmonického filtru (AHF). Podle zp˚ usobu pˇripojen´ı se AHF dˇel´ı na paraleln´ı a sériové. Ty sériové jsou urˇceny pro kompenzaci harmonick´ ych sloˇzek, pˇr´ıpadnˇe nesymetri´ı a pokles˚ u napájec´ıho napˇet´ı. Paraleln´ı AHF se vyuˇz´ıvaj´ı pro eliminaci harmonick´ ych sloˇzek proudu od specifické zátˇeˇze. Tato práce vznikla právˇe na základˇe implementace ˇr´ıd´ıc´ıho programu paraleln´ıho AHF. Aktivn´ım filtrem rozum´ıme polovodiˇcov´ y mˇeniˇc se stejnosmˇern´ ym meziobvodem. Ten do s´ıtˇe injektuje harmonické sloˇzky (proudu nebo napˇet´ı), které jsou pˇresnˇe v protifázi s harmonick´ ymi sloˇzkami sledovaného zaˇr´ızen´ı. V moˇznostech tˇechto systém˚ u je i kompenzace jalové energie, zv´ yˇsen´ı stability napájen´ı, zlepˇsen´ı u ´ˇcinnosti pasivn´ıch filtr˚ u a ˇr´ızen´ı toku energie do c´ılové zátˇeˇze. Vˇse záleˇz´ı na konkrétn´ım zapojen´ı a zp˚ usobu ˇr´ızen´ı. Jedná se ve své podˇ statˇe o nejuniverzálnˇejˇs´ı kompenzaˇcn´ı jednotku. Casto se vˇsak zapojuje do s´ıtˇe s nˇekter´ ym z dˇr´ıve uveden´ ych jednoduˇsˇs´ıch systém˚ u. Je to hlavnˇe z d˚ uvod˚ u v´ ykonového dimenzován´ı mˇeniˇce. Napˇr´ıklad pˇri kompenzaci neaktivn´ı energie je vhodné pro kompenzaci jalového v´ ykonu vyuˇz´ıt hrazené kondenzátory a v´ ykon AHF vyuˇz´ıt jen pro kompenzaci harmonick´ ych sloˇzek proudu. ˇ R´ıd´ıc´ıch algoritm˚ u AHF existuje velké mnoˇzstv´ı. Nelze s jistotou ˇr´ıci, kter´ y je nejlepˇs´ı. Nˇekter´ ymi z nich se zab´ yvá kapitola 4.1. Nelze s jistotou ˇr´ıci, kter´ y je nejlepˇs´ı. V rámci projektu, na kter´ y tato práce navazuje byl ˇreˇsen algoritmus zaloˇzen´ y na PQ teorii, neboli teorii okamˇzitého v´ ykonu, která je struˇcnˇe popsána v kapitole 4.2. Jedn´ım z nejvˇetˇs´ıch problém˚ u pˇri realizaci byla samotná implementace programu do c´ılové platformy. Algoritmus provádˇel v´ ypoˇcty v tzv. pevné ˇrádové ˇca´rce, coˇz sebou nese ˇradu komplikac´ı s jejich pˇresnost´ı. Tyto nepˇresnosti se neprojevovaly v simulac´ıch, jelikoˇz zde byla pouˇzita plovouc´ı ˇra´dová ˇca´rka, která nav´ıc mˇela i vˇetˇs´ı pˇresnost mantisy. Specifikac´ı problém˚ u s pˇresnost´ı v´ ypoˇct˚ u v pevné ˇrádové ˇca´rce a jejich ˇreˇsen´ı lze naj´ıt v kapitole 5.1. Dále byly ˇreˇseny nˇekteré specifické problémy a vylepˇsen´ı algoritmu AHF, které jsou popsány v ˇcástech 5.2 aˇz 5.5.

13

Kapitola 3 ˇn´ı vzorek aktivn´ıho Funkc ´ho filtru harmonicke Práce se zab´ yvá v´ ysledky projektu implementace ˇr´ıd´ıc´ıho programu pro aktivn´ı harmonick´ y kondicionér. Dále popisované algoritmy jsou z d˚ uvod˚ u názornosti prob´ırány teoreticky a jejich chován´ı je znázorˇ nováno jen pomoc´ı simulac´ı. Nicménˇe vˇetˇsina z nich pracuje nebo byla testována v reáln´ ych podm´ınkách na funkˇcn´ım vzorku aktivn´ıho harmonického filtru. Z toho d˚ uvodu zde bude dále uveden struˇcn´ y popis daného zaˇr´ızen´ı. Funkce kaˇzdého algoritmu v reáln´ ych podm´ınkách je totiˇz vˇzdy ovlivnˇena c´ılovou platformou. Dále uveden´ y popis je upravenou verz´ı nepublikovaného popisu funkˇcn´ıho vzorku v projektové dokumentaci, která byla vypracovávána nejen autorem této práce v rámci intern´ıho grantu SGS2012: S´ıt’ové kondicionéry - funkˇcn´ı vzorek“. Pokud je autorovi ” známo, jiná práce tento popis neobsahuje a je to patrnˇe jediná specifikace daného zaˇr´ızen´ı.

3.1

Zapojen´ı pracoviˇ stˇ e

Zapojen´ı pracoviˇstˇe bylo provedeno dle obrázku 5. Silov´ y obvod byl napájen z 3f transformátoru 3 × 230 V/ 3 × 170 V v zapojen´ı Yn/Y. Transformátor byl napájen z laboratorn´ıho stolu a galvanicky oddˇeloval a sniˇzoval napˇet´ı v mˇeˇr´ıc´ım obvodu. Mˇeˇr´ıc´ı obvod tak tvoˇrila izolovaná IT s´ıt’, v jej´ımˇz pˇr´ıpadˇe se pouˇz´ıvá typ 3f mˇeniˇce bez vyvedeného napˇet’ového stˇredu kondenzátor˚ u ve stejnosmˇerném obvodˇe. Tomuto reˇzimu odpov´ıdalo i navrˇzené ˇr´ızen´ı aktivn´ıho harmonického filtru. Na sekundárn´ı stranˇe transformátoru se obvod dˇelil na dvˇe paraleln´ı vˇetve: 1. Obvod zátˇeˇze • Kaˇzdá fáze obsahovala tlumivku o indukˇcnosti 10,9 mH na jádˇre z transformátorov´ ych plech˚ u se vzduchovou mezerou. Jmenovit´ y jalov´ y v´ ykon tlumivek byl 400 VA. • Za tlumivkami byl um´ıstˇen pˇr´ıpravek s ˇcidly LEM pro mˇeˇren´ı proudu v kaˇzdé fázi. • Samotnou zátˇeˇz tvoˇril ˇsesti-pulsn´ı diodov´ y usmˇerˇ novaˇc, kter´ y byl zat´ıˇzen sériov´ ym spojen´ım dvou potenciometr˚ u a pˇr´ıpravku tlumivky. Maximáln´ı hodnota odporu potenciometr˚ u byla 47 Ω a tlumivku bylo moˇzné pˇrep´ınat ve 4 sekc´ıch s hodnotou indukˇcnosti 4, 25 mH. Jmenovit´ y proud tlumivky byl 4 A, ˇc´ımˇz byl omezen maximáln´ı proud na stejnosmˇerné stranˇe.

14

Obrázek 5: Zapojen´ı v´ ykonové ˇcásti pracoviˇstˇe v´ yvoje aktivn´ıho harmonického filtru 2. Obvod mˇeniˇce • Obvod mˇeniˇce zaˇc´ınal pojistkovou skˇr´ın´ı s hlavn´ım vyp´ınaˇcem. Ta zde byla z bezpeˇcnostn´ıch d˚ uvod˚ u pro pˇr´ıpad chybné ˇcinnosti ˇr´ıd´ıc´ıho programu a nechtˇeného propojen´ı fáz´ı do zkratu. Po zapnut´ı vyp´ınaˇce pojistkové skˇr´ınˇe docházelo nejdˇr´ıve k propojen´ı napájen´ı a obvodu mˇeniˇce pˇres sériov´ y rezistor. Ten se po definovaném ˇcase pˇreklenul kontakty ˇcasového relé. Uvedené opatˇren´ı zde bylo pro omezen´ı nárazového proudu, kter´ y vzniká pˇri nab´ıjen´ı kondenzátoru ve stejnosmˇerném obvodu mˇeniˇce pˇri jeho pˇripojen´ı na s´ıt’. • Ze svorek pojistkové skˇr´ınˇe byly ˇcidly LEM sn´ımány sdruˇzené hodnoty napˇet´ı mezi fázemi L3-L1 a L3-L2. Posledn´ı vstup pˇr´ıpravku napˇet’ov´ ych LEM ˇcidel se pouˇz´ıval pro sledován´ı napˇet´ı ve stejnosmˇerném obvodu mˇeniˇce. Maximáln´ı vstupn´ı napˇet´ı pˇr´ıpravku bylo 1 kV. • Mezi pojistkovou skˇr´ın´ı a vstupem do mˇeniˇce byly um´ıstˇeny filtraˇcn´ı tlumivky. 15

Tlumivky mˇely vyvedeny 4 odboˇcky s maximáln´ı dosaˇzitelnou indukˇcnost´ı 16 mH. ˇ ıselné • Proud na vstupu do mˇeniˇce byl opˇet sledován pˇres proudová LEM. C´ oznaˇcen´ı ˇcidel v poˇrad´ı fáz´ı bylo 1, 4, 5. V´ ystupy vˇsech ˇcidel LEM byly sledovány pomoc´ı AD pˇrevodn´ık˚ u platformy CompactRIO, které jsou, stejnˇe jako v´ ykonová ˇca´st mˇeniˇce, popsány n´ıˇze. Vˇsechny testované algoritmy pracovaly na dané konfiguraci s´ıtˇe, kromˇe algoritmu pro detekci sousledné symetrické sloˇzky v kapitole 5.4.5. Ten byl nav´ıc testován oddˇelenˇe, kdy byla s´ıt’ nahrazena 3f laboratorn´ım elektronick´ ym zdrojem California Instruments Model 3001ix“. To umoˇznilo ” zjiˇstˇen´ı vlivu r˚ uzn´ ych druh˚ u nesymetrie a harmonick´ ych na navrˇzen´ y algoritmus. V´ ysledky algoritmu byly porovnávány s mˇeˇren´ım pˇr´ıstrojem Zimmer LMG310“. S podrobnostmi ” o tomto mˇeˇren´ı se lze seznámit v bakaláˇrské práci [7].

3.2

Blokov´ e sch´ ema mˇ eniˇ ce

Obrázek 6: Blokové schéma mˇeniˇce (pˇrevzato z p˚ uvodn´ı dokumentace) Silov´ y obvod funkˇcn´ıho vzorku se skládá ze svorek, modul˚ u LEM pro mˇeˇren´ı proudu, AC/DC mˇeniˇce tvoˇreného trojic´ı v´ ykonov´ ych tranzistorov´ ych modul˚ u um´ıstˇen´ ych na spoleˇcném chladiˇci a stejnosmˇerného obvodu tvoˇreného dvˇema elektrolytick´ ymi kondenzátory o kapacitˇe 4, 7 mF v sérii. Pro zlepˇsen´ı vyrovnán´ı potenciálu na obou kondenzátorech jsou paralelnˇe pˇripojeny dva rezistory. Vzhledem k vysokému zaruˇsen´ı signál˚ u proudov´ ych ˇcidel LEM na funkˇcn´ım vzorku, byly pro mˇeˇren´ı vyuˇz´ıvány pˇr´ıpravky s ˇcidly LEM vnˇe mˇeniˇce. Mˇeniˇc je ˇr´ızen signály z ˇr´ıdic´ı a napájec´ı svorkovnice“. Veˇskeré ˇr´ıdic´ı obvody jsou tud´ıˇz ” vnˇe mˇeniˇce a jsou zajiˇst’ovány pomoc´ı platformy CompactRIO, coˇz je rekonfigurovateln´ y systém pro ˇr´ızen´ı a sbˇer dat firmy National Instruments. Tento systém zároveˇ n naˇc´ıtá data ze vˇsech modul˚ u LEM v celém obvodu. Propojen´ı svorkovnice, v´ ystup˚ u z LEM a jednotliv´ ych modul˚ u CompactRIO, spoleˇcnˇe s v´ yznamy jednotliv´ ych signál˚ u, je schématicky zobrazeno na obrázku 8. Ve spodn´ı ˇca´sti mˇeniˇce pod chladiˇcem (viz obrázek 7) jsou upevnˇeny pomocné zdroje stejnosmˇerného napˇet´ı. Postupnˇe jsou oznaˇceny p´ısmeny A, B a C. Zdroj A má v´ ystupn´ı napˇet´ı 20 V a napáj´ı tranzistorové moduly. Zdroj C je symetrick´ y ±15 V a je urˇcen´ y pro ˇcidla LEM na desce ploˇsného spoje mˇeniˇce. Zdroj B je 15 V a jeho v´ ystup je pˇripojen 16

Obrázek 7: Uspoˇra´dán´ı mˇeniˇce (pˇrevzato z p˚ uvodn´ı dokumentace) na svorkovnici mˇeniˇce v m´ıstˇe oznaˇceném jako Vsup“. Tento zdroj je paralelnˇe spojen´ y ” se zdrojem na DPS mˇeniˇce, kter´ y je urˇcen pro napájen´ı modulu NI9474 v CompactRIO. D˚ uvodem je, ˇze v´ ystupn´ı proud p˚ uvodn´ıho zdroje na DPS mˇeniˇce je pouze 100 mA a nedostaˇcuje pro napájen´ı daného modulu.

17

3.3

Propojen´ı svorkovnice funkˇ cn´ıho vzorku a modul˚ u CompactRIO

Obrázek 8: Propojen´ı svorkovnice, modul˚ u LEM a modul˚ u CompactRIO Pro ˇr´ızen´ı mˇeniˇce byla pouˇzita platforma CompactRIO cRIO-9014 vybavena následuj´ıc´ımi 6 zásuvn´ ymi moduly: • 4x modul NI9215: A/D pˇrevodn´ık, 4 kanály, 100 kS/s, 16 bit˚ u, ±10 V • 1x modul NI9421: logické vstupy, 8 kanál˚ u, 100 µs, maximáln´ı frekvence 10 kHz, logické signály (12 aˇz 24) V

18

• 1x modul NI9474: logické v´ ystupy, 8 kanál˚ u, 1 µs, maximáln´ı frekvence 1 MHz, logické signály (5 aˇz 30) V, maximáln´ı proud v´ ystupu 1 A Moduly NI9215 slouˇzily k pˇrevodu analogov´ ych signál˚ u z v´ ystup˚ u LEM ˇcidel. Jelikoˇz LEM ˇcidla na DPS mˇeniˇce nebylo moˇzné pro mˇeˇren´ı proudu pouˇz´ıt (ruˇsen´ı), byl jeden modul nadbyteˇcn´ y, aˇckoliv po celou dobu v´ yvoje byl stále pˇripojen dle obrázku 8. Logické vstupy NI9421 slouˇzily pro sledován´ı signalizace chyb tranzistorov´ ych modul˚ u a logické v´ ystupy NI9474 slouˇzily pro ˇr´ızen´ı sp´ınán´ı tranzistor˚ u. Na obrázku 8 jsou moduly dle poˇrad´ı fáz´ı oznaˇceny MA, MB a MC a jednotlivé tranzistory podle polohy v m˚ ustku na TOP (horn´ı) a BOT (spodn´ı). Podobné oznaˇcen´ı nesou také pˇr´ısluˇsné chybové signály, které zaˇc´ınaj´ı p´ısmenem F. Ze svorkovnice mˇeniˇce bylo také vyvedeno tlaˇc´ıtko TOTAL STOP“. To bylo napájeno ” z ˇca´sti svorkovnice, kam byl pˇripojen pomocn´ y zdroj B a jeho v´ ystupn´ı signál byl pˇriveden na vstup 7 modulu NI9421. Jednalo se pouze o logick´ y signál, kter´ y byl urˇcen pro reakci ˇr´ıd´ıc´ıho programu mˇeniˇce a nejednalo se proto o skuteˇcné odpojen´ı mˇeniˇce v pˇr´ıpadˇe nebezpeˇc´ı.

3.4

V´ yvojov´ e prostˇ red´ı

Program pro platformu CompactRIO byl vytváˇren v prostˇred´ı Labview 2009. Ukázka vytvoˇrené uˇzivatelské aplikace ˇr´ıdic´ıho programu je uvedena na obrázc´ıch 9 a 11. Uvedené ukázky jsou vyˇ naty z program˚ u, které byly v´ ysledkem prac´ı na aktivn´ım harmonickém kondicionéru. Opˇet je nutné pˇripomenout, ˇze tyto programy nejsou jen autorovu prac´ı, ale jedná se o v´ ysledek spoleˇcného u ´sil´ı s Ing. Janem Hájkem. Starˇs´ı verzi ˇr´ıd´ıc´ı smyˇcky (tj. jej´ı ukázku) a vzhled aplikace lze proto naj´ıt i v diplomové práci [8]. Programován´ı v prostˇred´ı Labview je sv´ ym zp˚ usobem podobné vytváˇren´ı model˚ u v prostˇred´ı SIMULINK. K dispozici je seznam pˇredvolen´ ych blok˚ u, jako napˇr´ıklad sˇc´ıtán´ı, násoben´ı, Fourierova transformace, pamˇet’ typu FIFO apod. Ty pak uˇzivatel pˇresouvá (vyb´ırá) do pracovn´ı plochy a propojuje signály tak, aby vznikl poˇzadovan´ y program. Jedná se tedy o techniku programován´ı drag and drop“. U vˇsech blok˚ u lze nastavit urˇcité ” parametry urˇcuj´ıc´ı jejich chován´ı. U aritmetick´ ych blok˚ u lze napˇr´ıklad urˇcit pˇresnost s jakou maj´ı b´ yt dané poˇcetn´ı operace provádˇeny a jak´ ym zp˚ usobem má b´ yt oˇsetˇreno pˇr´ıpadné pˇreteˇcen´ı. Kv˚ uli tomu i v tomto prostˇred´ı mus´ı m´ıt v´ yvojáˇr povˇedomost o chován´ı dan´ ych operac´ı (v´ ypoˇcty v binárn´ıch ˇc´ıslech apod.), resp. o jejich implementaci na n´ızké u ´rovni (´ uroveˇ n assembleru nebo kódu ve VHDL). Problém je t´ım v´ yznamnˇejˇs´ı, pokud je c´ılem jeho programu platforma s jasnˇe omezen´ ymi prostˇredky, jakou je napˇr´ıklad hradlové pole. V pˇr´ıpadˇe platformy CompactRIO m˚ uˇze b´ yt program aplikován bud’ do hradlového pole nebo signálového procesoru. Vzhledem k tomu, ˇze program aktivn´ıho harmonického filtru mus´ı pracovat v reálném ˇcase s krátkou reakˇcn´ı dobou, byly vˇsechny algoritmy vˇzdy c´ıleny do hradlového pole. Ve vˇsech pˇr´ıpadech byla mˇeˇren´ı provádˇena pro vzorkovac´ı frekvenci 10 kHz.

19

Obrázek 9: Ukázka ˇr´ıd´ıc´ı aplikace harmonického filtru v Labview

Obrázek 10: Ukázka implementace PC uˇzivatelské aplikace vytvoˇrené v Labview

20

Obrázek 11: Ukázka implementace ˇr´ıd´ıc´ı smyˇcky PQ teorie v Labview

21

Kapitola 4 ˇ´ıd´ıc´ı algoritmy aktivn´ıch R ´ ch filtr˚ harmonicky u Ke správnému ˇr´ızen´ı AHF je nutné z´ıskán´ı referenˇcn´ıho pr˚ ubˇehu jeho v´ ystupn´ıho proudu ’ nebo napˇet´ı na základˇe aktuáln´ıch hodnot s´ıt ov´ ych veliˇcin. Dále v textu budeme pˇredpokládat pˇredevˇs´ım pouˇzit´ı paraleln´ıho AHF a t´ım pádem nás bude zaj´ımat referenˇcn´ı pr˚ ubˇeh v´ ystupn´ıho proudu. K tomu u ´ˇcelu byla publikována ˇrada metod, které zde budou pˇribl´ıˇzeny. V ˇradˇe tˇechto systém˚ u se vyuˇz´ıvaj´ı, nebo lze vyuˇz´ıt algoritmy, které jsou popsány v kapitole 5. Zm´ınˇená kapitola prezentuje ˇreˇsen´ı urˇcit´ ych ˇca´st´ı ˇr´ıd´ıc´ıch program˚ u, která byla z´ıskána pˇri implementaci algoritmu paraleln´ıho AHF pomoc´ı PQ teorie. Tato ˇreˇsen´ı jsou v jistém smyslu univerzáln´ımi stavebn´ımi bloky programu a d´ıky tomu m˚ uˇze tato práce slouˇzit i jako referenˇcn´ı dokument pˇri implementaci jin´ ych metod ˇr´ızen´ı. Vysvˇetlen´ım základ˚ u PQ teorie a problém˚ um pˇri implementaci tohoto zp˚ usobu ˇr´ızen´ı se vˇenuje kapitola 4.2.

4.1

Metody ˇ r´ızen´ı aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u

Metod pro ˇr´ızen´ı aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u je celá ˇrada. S nˇekter´ ymi se lze seznámit v diplomové práci [9]. Obecnˇe lze metody rozdˇelit do dvou skupin, na ty které pracuj´ı ve frekvenˇcn´ı oblasti a na ty které pracuj´ı v ˇcasové oblasti. Frekvenˇcnˇe zamˇeˇrené metody vyuˇz´ıvaj´ı Fourierovy transformace. Jejich v´ yhodou je ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy je AHF urˇcen jen pro filtraci harmonick´ ych sloˇzek, nen´ı nutná znalost pr˚ ubˇeh˚ u fázov´ ych napˇet´ı. Ke správné anal´ yze a v´ ypoˇctu referenˇcn´ıho proudu staˇc´ı mˇeˇrit jen pr˚ ubˇehy fázov´ ych proud˚ u. Také je v tomto pˇr´ıpadˇe velmi snadná selektivn´ı filtrace harmonick´ ych, jelikoˇz d´ıky Fourierovˇe transformaci jsou známy amplitudy i fáze vˇsech harmonick´ ych sloˇzek. Problémem m˚ uˇze b´ yt relativn´ı sloˇzitost v´ ypoˇctu transformace a nutnost synchronizace algoritmu na frekvenci s´ıtˇe. Základn´ı frekvence s´ıtˇe se obvykle z´ıskává pomoc´ı fázov´ ych závˇes˚ u (PLL). Ze zkuˇsenosti autora vˇsak právˇe tyto prvky ˇr´ıd´ıc´ıho programu znaˇcnˇe ovlivˇ nuj´ı chod celého mˇeniˇce. Pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadˇe chodu mˇeniˇc˚ u na ostrovn´ı s´ıti, kde se základn´ı frekvence m˚ uˇze se rychle mˇenit s odchylkou nˇekolika Hz, docház´ı ke zpoˇzdˇen´ı detekované frekvence za skuteˇcnou frekvenc´ı. Z toho d˚ uvodu se vyuˇz´ıvaj´ı i jiné algoritmy synchronizace. V této práci je v kapitole 5.4.3 popsán adaptivn´ı zp˚ usob detekce základn´ı harmonické sloˇzky. Pokud nen´ı na závadu pouˇzit´ı cyklometrické funkce, pak po u ´pravˇe m˚ uˇze b´ yt v´ ystupem daného algoritmu také základn´ı frekvence s´ıtˇe. Dalˇs´ı moˇznost synchronizace je popsána v kapitole 5.4.5. Zde je v´ ystupem algoritmu ladˇen´ı pˇr´ımo základn´ı u ´hlová frekvence. Metody pracuj´ıc´ı v ˇcasové oblasti jsou obvykle jednoduˇsˇs´ı na v´ ypoˇcet, nicménˇe zde ˇ m˚ uˇze b´ yt problematická (sloˇzitá) napˇr´ıklad selektivn´ı filtrace harmonick´ ych. Casto je také nutná znalost vˇsech s´ıt’ov´ ych veliˇcin. Nejjednoduˇsˇs´ı metody jsou zaloˇzeny na zpra-

22

cován´ı pr˚ ubˇehu proudu zátˇeˇze digitáln´ımi filtry. Komparaˇcn´ı ˇr´ızen´ı z´ıskává proudovou referenci pomoc´ı adaptivn´ı pásmové propusti. U této metody je pouˇzit´ı adaptivn´ıho filtru kl´ıˇcové, nebot’ algoritmus pˇredpokládá, ˇze v´ ystupn´ı signál filtru je ve shodˇe s fáz´ı a amplitudou základn´ı harmonické sloˇzky vstupn´ıho signálu. To lze pˇredpokládat jen v pˇr´ıpadˇe, kdy je centráln´ı frekvence pásmové propusti rovna základn´ı frekvenci vstupn´ıho signálu. Takto jednoduˇse lze pochopitelnˇe filtrovat pouze harmonické sloˇzky a nikoliv jalov´ y v´ ykon. Hodnotu reference ˇcinné sloˇzky základn´ı harmonické proudu lze z´ıskat s pouˇzit´ım fázovac´ıho bloku s posunem 90◦ . Vzhled ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu pro jednu fázi je na obrázku 12. Fázovac´ı blok slouˇz´ı k posunu základn´ı harmonické sloˇzky napˇet´ı. T´ım je zajiˇstˇeno, ˇze napˇet’ové pr˚ uchody nulou leˇz´ı pˇresnˇe pod amplitudou reálné (ˇcinné) základn´ı harmonické sloˇzky proudu. V tˇechto bodech lze tedy z p˚ uvodn´ıho pr˚ ubˇehu proudu z´ıskat mˇeˇren´ım pˇr´ımo poˇzadovanou amplitudu referenˇcn´ıho signálu proudu. Poˇzadovan´ y pr˚ ubˇeh proudu je následnˇe odvozen z normovaného pr˚ ubˇehu napˇet´ı. K posunu signálu o 90◦ lze vyuˇz´ıt jednak fázovac´ıho ˇclánku nebo fázového závˇesu, proto je jedn´ım ze vstup˚ u blokového schéma na obrázku 12 také u ´hlová frekvence s´ıtˇe.

Obrázek 12: Jednofázové blokové schéma filtraˇcn´ıho algoritmu pro z´ıskán´ı ˇcinné sloˇzky základn´ı harmonické proudu Velice jednoduchá je také metoda synchronnˇe rotuj´ıc´ıho souˇradného systému, která je v urˇcitém smyslu podobná PQ teorii. Vyuˇz´ıvá se Parkovy transformace, tud´ıˇz je opˇet nutná znalost okamˇzité hodnoty základn´ı frekvence s´ıtˇe. S principem této metody se lze seznámit napˇr´ıklad v ˇclánku [10]. Vyuˇz´ıvá se zde faktu, ˇze po provedené transformaci vystupuje základn´ı harmonická sloˇzka signálu ve formˇe stejnosmˇerné hodnoty. Tud´ıˇz ji lze dále snadno filtrac´ı oddˇelit a po proveden´ı zpˇetné Parkovy transformace z´ıskat signály odpov´ıdaj´ıc´ı základn´ı harmonické sloˇzce. U filtrace jalové sloˇzky proudu se fázov´ y posun proudové transformace (viz vztahy (25) a (26)) nastavuje ve shodˇe s fázov´ ym posunem napˇet’ové transformace. K tomu u ´ˇcelu lze v´ yhodnˇe vyuˇz´ıt fázov´ y závˇes v kapitole 5.3.2. Je-li uvedené splnˇeno, pak podélná sloˇzka transformovaného proudu odpov´ıdá ˇcinné sloˇzce proud˚ u a pˇr´ıˇcná sloˇzka reprezentuje jalov´ y proud. Tuto metodu lze také modifikovat pro 1 ˇr´ızen´ı jednofázového aktivn´ıho filtru s ˇc´ımˇz se lze setkat napˇr´ıklad v ˇclánc´ıch [11] a [12]. Schéma u ´pravy je na obrázku 13. Toˇcivé magnetické pole je zde z jednofázového napájen´ı vytvoˇreno pomoc´ı fázového posuvu pr˚ ubˇehu proudu o 90◦ . Vlastnˇe se jedná o urˇcit´ y typ anal´ yzy komplexn´ıho signálu, kde sloˇzka α tvoˇr´ı reálnou ˇcást a sloˇzka β imaginárn´ı. Fázového posunu se pˇri komplexn´ı anal´ yze obvykle dosahuje Hilbertovou transformac´ı. Nicménˇe protoˇze jsou vˇsechny harmonické sloˇzky v obrázku 13 dále filtrovány doln´ı propust´ı, je pro správn´ y chod algoritmu nutn´ y pouze správn´ y fázov´ y posun základn´ı harmo1

uvedenou modifikaci lze pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadˇe PQ teorie

23

nické sloˇzky. To znaˇcnˇe zjednoduˇsuje situaci a na m´ıstˇe bloku fázového posunu lze pouˇz´ıt vhodn´ y laditeln´ y digitáln´ı filtr.

Obrázek 13: Jednofázová modifikace metody synchronnˇe rotuj´ıc´ıho rámce Pro ˇr´ızen´ı aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u lze vyuˇz´ıt i nˇekterou metodu ˇr´ızen´ı urˇcenou pro aktivn´ı PFC (Power Factor Correction - korektor u ´ˇcin´ıku). PFC jsou zp˚ usoby korekce u ´ˇcin´ıku spojené pˇredevˇs´ım s usmˇerˇ novaˇci, tj. s konverz´ı stˇr´ıdavého napˇet´ı na stejnosmˇerné. Vstupn´ı proud diodového usmˇerˇ novaˇce obsahuje velké mnoˇzstv´ı harmonick´ ych sloˇzek a u ´kolem PFC je upravit tento vstupn´ı proud tak, aby odbˇer usmˇerˇ novaˇce byl co moˇzná nejv´ıce podobn´ y sinusovce. Toho lze dosáhnout r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Pasivn´ı PFC vyuˇz´ıvá ke zlepˇsen´ı pr˚ ubˇehu proudu pouze filtr, tlumivku ve stejnosmˇerném obvodu, nebo kondenzátorov´ y m˚ ustek (valley-fill PFC [13]). V pˇr´ıpadˇe, ˇze je odbˇer urˇcit´ ym zp˚ usobem ˇr´ızen aktivn´ımi prvky (tranzistory), mluv´ıme o aktivn´ım PFC. Jednou z metod aktivn´ıho ˇr´ızen´ı m˚ ustkového usmˇerˇ novaˇce je UCFIC (Unified ConstantFrequency Integration Control viz napˇr. [14]). Funkˇcn´ı schéma zapojen´ı aktivn´ıho filtru je na obrázku 14. Za pˇredpokladu, ˇze ze s´ıtˇe bude odeb´ırán proud pr˚ ubˇehem podobn´ y napˇet´ı, m˚ uˇze b´ yt celková zátˇeˇz (nelineárn´ı zátˇeˇz + aktivn´ı filtr) nahrazena ekvivalentn´ım odporem Re . Pˇri zanedbán´ı u ´bytku napˇet´ı na indukˇcnostech mezi s´ıt´ı a filtrem lze pro napˇet´ı jedné fáze napsat následuj´ıc´ı rovnost: ua = Re · ia = UDC · (1 − D) − UDC · D = UDC · (1 − 2 · D)

(27)

V rovnici (27) je D stˇr´ıda sepnut´ı spodn´ıch tranzistor˚ u m˚ ustku. V obrázku 14 jsou proudy sn´ımány pomoc´ı boˇcn´ık˚ u s odporem Rs . Rovnici (27) t´ım pádem lze upravit do c´ılového tvaru: UDC · Rs · (1 − 2 · D) = Um · (1 − 2 · D) (28) Re Zˇrejmˇe pro urˇcen´ı ˇzádané stˇr´ıdy sp´ınán´ı tranzistor˚ u staˇc´ı z´ıskat poˇzadovanou hodnotu napˇet´ı Um . Ta je podobnˇe jako v jin´ ych algoritmech urˇcována na základˇe odchylky napˇet´ı od ˇzádané hodnoty na kondenzátorech ve stejnosmˇerném obvodu filtru (vysvˇetlen´ı viz dále). Velkou v´ yhodou tohoto algoritmu je nutnost znalosti pouze fázov´ ych proud˚ u a napˇet´ı ve stejnosmˇerném obvodu. Na druhou stranu nen´ı moˇzné filtrovat zpˇetnou a netoˇcivou symetrickou sloˇzku a nen´ı moˇzné provádˇet selektivn´ı kompenzaci harmonick´ ych. Tématem, které mˇelo navazovat na tuto práci je v souˇcasné dobˇe velmi modern´ı algoritmus publikovan´ y napˇr´ıklad v [15] nebo v [16]. Princip ˇr´ızen´ı je velice jednoduch´ y a zaloˇzen´ y na dvou základn´ıch bloc´ıch, kter´ ymi jsou PI regulátor a detektor maximáln´ı Rs · ia =

24

Obrázek 14: Schéma funkce aktivn´ıho filtru ˇr´ızeného metodou UCFIC hodnoty. Oba funkˇcn´ı bloky otev´ıraj´ı cestu metodám softcomputingu jako je fuzzy logika nebo neuronové s´ıtˇe. Konkrétnˇe ve zm´ınˇen´ ych ˇclánc´ıch je pouˇzit PI regulátor s fuzzy logikou pro sledován´ı napˇet´ı ve stejnosmˇerném obvodˇe filtru a t´ım stanoven´ı potˇrebné amplitudy referenˇcn´ıho proudu. Principiáln´ı schéma algoritmu je na obrázku 15. Referenˇcn´ı pr˚ ubˇeh s´ıt’ov´ ych proud˚ u ’ je odvozován z pr˚ ubˇeh˚ u s´ıt ov´ ych napˇet´ı. Pomoc´ı detektoru maximáln´ı hodnoty je z´ıskána urˇcitá amplituda s´ıt’ov´ ych napˇet´ı, kter´ ymi jsou jejich pr˚ ubˇehy dále normovány. Daná amplituda m˚ uˇze b´ yt zvolena i jako konstanta, nicménˇe pouˇzit´ı detektoru zajiˇst’uje lepˇs´ı vyuˇzit´ı bitov´ ych rozsah˚ u v´ ystupn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u. Algoritmus lze v tomto m´ıstˇe také modifikovat nahrazen´ım normován´ı nˇekter´ ym z fázov´ ych závˇes˚ u (viz. kapitola 5.3) se tˇremi v´ ystupn´ımi sinusov´ ymi signály vzájemnˇe posunut´ ymi po 120◦ . Takto lze vyuˇz´ıt dan´ y AHF, aby kompenzoval nejen harmonické sloˇzky, ale také proudovou nesymetrii. Nicménˇe v´ yhradnˇe ˇcinn´ y v´ ykon bude ze s´ıtˇe odeb´ırán jen pokud si budou harmonické i symetrické sloˇzky proudu i napˇet´ı pˇr´ımo u ´mˇerné. Normované pr˚ ubˇehy jsou dále násobeny poˇzadovanou amplitudou proudu, ˇc´ımˇz jsou ve v´ ysledku z´ıskány referenˇcn´ı pr˚ ubˇehy s´ıt’ov´ ych proud˚ u. Poˇzadovaná amplituda s´ıt’ov´ ych proud˚ u je z´ıskávána velmi zaj´ımav´ ym zp˚ usobem na základˇe napˇet´ı kondenzátoru ve stejnosmˇerném obvodu AHF. C´ılová hodnota zm´ınˇeného napˇet´ı je vˇzdy vyˇsˇs´ı neˇz je amplituda s´ıt’ového napˇet´ı. Za pˇredpokladu, ˇze AHF reguluje pr˚ ubˇeh s´ıt’ového proudu takov´ ym zp˚ usobem, ˇze je dodáván pˇresnˇe ˇcinn´ y v´ ykon dan´ y souˇctem ˇcinn´ ych v´ ykon˚ u na nelineárn´ı zátˇeˇzi a ztrátám ve v´ ykonové a stejnosmˇerném obvodu AHF, pak nem˚ uˇze docházet k tomu, ˇze by napˇet´ı ve stejnosmˇerném obvodu AHF v ˇcasovém mˇeˇr´ıtku jedné periody s´ıt’ového pr˚ ubˇehu zmˇenilo svou hodnotu (nedocház´ı ˇ k vyb´ıjen´ı ani nab´ıjen´ı kondenzátoru). Cinn´ y v´ ykon zátˇeˇze je dán napájec´ım napˇet´ım, tj. s´ıt’ov´ ym napˇet´ım, které se pˇr´ıliˇs nemˇen´ı. Proto jej lze pˇredpokládat pro danou zátˇeˇz konstantn´ı. Pokud dojde v nˇejakém okamˇziku (vlivem regulace AHF nebo zmˇenou zátˇeˇze) k nenulovému rozd´ılu dodávaného ˇcinného v´ ykonu a ˇcinného v´ ykonu zátˇeˇze zv´ yˇseného o ztráty v AHF, pak je tento rozd´ıl kompenzován z energie nabitého kondenzátoru ve ´ stejnosmˇerném meziobvodˇe. Uroveˇ n napˇet´ı kondenzátoru roste nebo klesá v závislosti na tom, zda je rozd´ıl ˇcinn´ ych v´ ykon˚ u kladn´ y nebo záporn´ y. Odchylka napˇet´ı je v algoritmu vyhodnocována pomoc´ı PI regulátoru, jehoˇz v´ ystupem je poˇzadovaná amplituda s´ıt’ového 25

ˇ ıd´ıc´ı algoritmus aktivn´ıho harmonického filtru zaloˇzen´ Obrázek 15: R´ y na sledován´ı u ´rovnˇe napˇet´ı ve stejnosmˇerném meziobvodˇe proudu. Dynamické chován´ı AHF s t´ımto algoritmem je pˇreváˇznˇe dáno nastaven´ım regulátoru, proto se na tomto m´ıstˇe vyuˇz´ıvá v´ yhod FUZZY logiky. V referenˇcn´ıch ˇclánc´ıch [15] a [16] nen´ı popsán princip detektoru amplitudy napˇet´ı (tj. detektor obálky daného signálu). Lze navrhnout nˇekolik moˇzn´ ych variant algoritm˚ u pln´ıc´ı ’ danou u ´lohu s t´ım, ˇze nˇekteré vyuˇz´ıvaj´ı jednoduchou neuronovou s´ıt . Jedná se o zaj´ımavou oblast ˇc´ıslicové techniky, j´ıˇz by se mohli zab´ yvat pˇr´ıpadn´ı pokraˇcovatelé této práce.

26

4.2

PQ teorie

Princip metody vycház´ı z faktu, ˇze pˇri sinusovém symetrickém s´ıt’ovém napˇet´ı je okamˇzitá hodnota v´ ykonu v ˇcase konstantn´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze fázové proudy jsou symetrické a sinusové. V publikaci [1] autoˇri nepopisuj´ı jen pˇr´ıpad harmonického pr˚ ubˇehu s´ıt’ového napˇet´ı. Ukazuj´ı podrobnˇejˇs´ı chován´ı metody i s ohledem na dalˇs´ı harmonické sloˇzky a nesymetrie, které m˚ uˇze napˇet´ı napájec´ıho systému vykazovat. Metodu lze uplatnit pˇri mnoha konfigurac´ıch kompenzaˇcn´ıho zaˇr´ızen´ı, at’ uˇz se jedná o paraleln´ı, sériov´ y nebo hybridn´ı AHF a pro r˚ uzné u ´ˇcely jako napˇr´ıklad tlumen´ı oscilac´ı napájec´ıho systému. Na tomto m´ıstˇe se budeme zab´ yvat vzhledem algoritmu dle obrázku 16. Ten byl c´ılem implementace paraleln´ıho aktivn´ıho filtru v trojvodiˇcové 3f s´ıti a je uzp˚ usoben jak pro filtraci vˇsech harmonick´ ych sloˇzek proudu, tak pro odstranˇen´ı proudové nesymetrie.

Obrázek 16: Blokové schéma ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu pro paraleln´ı aktivn´ı harmonick´ y filtr V blokovém schématu na obrázku 16 vstupuj´ı zmˇeˇrená s´ıt’ová napˇet´ı nejdˇr´ıve do detektoru sousledné sloˇzky. Na jeho v´ ystupu jsou z´ıskány tˇri signály, které odpov´ıdaj´ı amplitudou a fáz´ı sousledné symetrické sloˇzce vstup˚ u. Autoˇri [1] k tomu u ´ˇcelu vyuˇz´ıvaj´ı fázového závˇesu, jehoˇz popis je v kapitole 5.3.1 a ten je pak souˇcást´ı v´ ypoˇcetn´ı metody v kapitole 5.4.1. Následuje blok zajiˇst’uj´ıc´ı transformaci napˇet´ı do sloˇzek αβ. Protoˇze se implementace algoritmu t´ ykala tˇr´ıvodiˇcové s´ıtˇe, nemˇelo smysl vypoˇc´ıtávat sloˇzku 0“, je” likoˇz ta je vˇzdy nulová. Matice Clarkové transformace pouˇzitá v algoritmu (v blokovém schéma) nab´ yvala tedy tvaru: r 1 1 − 2 1 − 2 √ √2 Tαβ = (29) 3 0 23 − 23  r  1 0 √ 2 1 3  −2 T−1 (30) αβ = 2√ 3 3 1 −2 − 2 27

Z transformovan´ ych veliˇcin je následnˇe urˇcena tzv. komplexn´ı hodnota v´ ykonu. Sloˇzky α a β lze totiˇz chápat také jako reálnou a imaginárn´ı sloˇzku komplexn´ıho ˇc´ısla. Komplexn´ı hodnotu sdruˇzeného v´ ykonu s pak lze z´ıskat jako souˇcin komplexn´ıho napˇet´ı u se sdruˇzenou hodnotou komplexn´ıho proudu i∗ . Po dosazen´ı z´ıskáme: s = u · i∗ = (uα + juβ ) · (iα + jiβ ) = (uα iα + uβ iβ ) + j (uβ iα − uα iβ )

(31)

Reálná ˇca´st okamˇzité hodnoty sdruˇzeného v´ ykonu je dále oznaˇcována p´ısmenem p a imaginárn´ı p´ısmenem q (odtud PQ teorie). Stˇredn´ı hodnota sloˇzky p odpov´ıdá ˇcinnému v´ ykonu, kter´ y vzniká pˇri harmonick´ ych pr˚ ubˇez´ıch s´ıt’ov´ ych napˇet´ı pouze ze základn´ı harmonické sloˇzky proudu. Podobnˇe stˇredn´ı hodnota sloˇzky q je rovna jalovému v´ ykonu. Fluktuace okamˇzit´ ych hodnot obou sloˇzek jsou zp˚ usobeny harmonick´ ymi a pˇr´ıpadnou nesymetri´ı nˇekteré ze s´ıt’ov´ ych veliˇcin. V´ ypoˇcet okamˇzit´ ych hodnot v´ ykon˚ u lze vyjádˇrit následuj´ıc´ı rovnic´ı: p uα uβ i = · α (32) q uβ −uα iβ V algoritmu je následnˇe ze sloˇzky p odstranˇena jej´ı stˇredn´ı hodnota p¯ pomoc´ı filtru typu doln´ı propust. T´ım jsou vlastnˇe z´ıskány sloˇzky okamˇzitého sdruˇzeného v´ ykonu, které se pod´ılej´ı pouze na tvorbˇe neaktivn´ıho v´ ykonu. Jelikoˇz u ´ˇcelem harmonického filtru je tento v´ ykon kompenzovat, mus´ı vytvoˇrit stejné okamˇzité v´ ykony, ale opaˇcného znaménka. Odtud plyne zmˇena znaménka u obou sloˇzek v´ ykonu v obrázku 16, pˇred jejich vstupem do v´ ypoˇctu kompenzaˇcn´ıho proudu. Referenˇcn´ı signály sloˇzek kompenzaˇcn´ıho proudu iαR a iβR lze z´ıskat inverz´ı v´ yˇse uvedeného vztahu (32): 1 uα uβ p iα · (33) = 2 2 q iβ uα + uβ uβ −uα Do vztahu (33) je nutné za p a q dosazovat ty sloˇzky, jeˇz maj´ı b´ yt kompenzovány a hodnoty uα a uβ , které byly pouˇzity pˇri p˚ uvodn´ım v´ ypoˇctu sloˇzek v´ ykon˚ u. Ke kompenzované sloˇzce p se v algoritmu jeˇstˇe pˇriˇc´ıtá urˇcitá stejnosmˇerná hodnota, která je v obrázku 16 oznaˇcena jako pz . Jedná se o vlastn´ı ztráty kondenzátoru ve stejnosmˇerném meziobvodu AHF. Za bˇeˇzn´ ych okolnost´ı v ustáleném stavu AHF nedocház´ı pˇri kompenzaci neaktivn´ıho v´ ykonu v rámci jedné periody s´ıt’ového napˇet´ı k vyb´ıjen´ı nebo pˇreb´ıjen´ı kondenzátoru. Ke kol´ısán´ı jeho napˇet´ı docház´ı vlivem dynamick´ ych pochod˚ u nebo pˇri samotné kompenzaci, kdy porovnáváme dvˇe napˇet´ı, která jsou zmˇeˇrena s jin´ ym ˇcasov´ ym rozestupem neˇz je násobek periody s´ıtˇe. K udrˇzován´ı pˇribliˇznˇe stálé hodnoty napˇet´ı je nutné odeb´ırat konstantn´ı ˇcinn´ y v´ ykon ze s´ıtˇe. Velikost tohoto v´ ykonu je dána stˇredn´ı hodnotou odchylky napˇet´ı kondenzátoru uDC od poˇzadované referenˇcn´ı hodnoty UREF . Pˇrevod odchylky na hodnotu v´ ykonu je v algoritmu zajiˇstˇen P I regulátorem. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je hodnota kapacity kondenzátoru dostateˇcnˇe velká v závislosti na vyb´ıjec´ıch proudech, tj. fluktuace napˇet´ı kondenzátoru jsou malé, je dostateˇcn´ ym ˇreˇsen´ım i pouˇzit´ı pouze proporcionáln´ıho regulátoru. Tak tomu bylo i ve v´ ysledném implementovaném algoritmu v práci [8]. Aˇckoliv je princip algoritmu velice jednoduch´ y, objevila se ˇrada problém˚ u pˇri jeho implementaci. Pro ˇr´ızen´ı jednotky mˇeniˇce byla pouˇzita platforma CompactRio a samotn´ y ˇr´ıd´ıc´ı program byl nahráván do hradlového pole této platformy. Z toho d˚ uvodu vˇsechny v´ ypoˇcty prob´ıhaly v pevné ˇra´dové ˇca´rce. Zásadn´ım problémem pˇri tvorbˇe programu bylo správné navrˇzen´ı bitov´ ych rozsah˚ u v´ ysledk˚ u jednotliv´ ych poˇcetn´ıch operac´ı. Pˇri prvn´ıch pokusech se totiˇz ukázalo, ˇze pˇri nerespektován´ı jisté pˇrijatelné velikosti nejistoty v´ ysledku

28

nen´ı v hradlovém poli dostatek prostˇredk˚ u pro implementaci celého algoritmu. Prvn´ı program, kde byla ponechána plná pˇresnost vˇsech v´ ysledk˚ u odpov´ıdaj´ıc´ım pouˇzit´ ym operac´ım, dokonce pˇresáhla o v´ıce jak 100 % prostˇredky hradlového pole. Naopak pˇri n´ızké pˇresnosti program nepracoval zcela korektnˇe, coˇz se projevilo napˇr´ıklad na v´ ystupn´ıch pr˚ ubˇez´ıch proudu mˇeniˇce, které vykazovaly nepˇrijatelnˇe vysoké ruˇsen´ı zp˚ usobené ˇr´ızen´ım pulsnˇe ˇs´ıˇrkovou modulac´ı. Z tˇechto d˚ uvod˚ u bylo tˇreba se zab´ yvat právˇe ˇs´ıˇren´ım chyby ve v´ ypoˇctech veden´ ych v pevné ˇra´dové ˇca´rce. Toto téma je rozebráno v kapitole 5.1. D˚ uleˇzitou souˇca´st´ı popisovaného algoritmu jsou filtry stejnosmˇerné hodnoty. Ty jsou vyuˇz´ıvány pˇredevˇs´ım v ˇca´sti algoritmu, kde jsou z´ıskávány stejnosmˇerné sloˇzky ˇcinného nebo jalového v´ ykonu. V p˚ uvodn´ı publikaci [1] jsou k tomu u ´ˇcelu pouˇzity filtry s nekoneˇcnou impulsn´ı odezvou (IIR - Infinite Impulse Response) typu doln´ı propust, které byly navrˇzeny pomoc´ı Butterworthovy aproximace (viz napˇr. [17]). Nejedná se o ˇspatné ˇreˇsen´ı, nicménˇe pro velké pomˇery vzorkovac´ı a mezn´ı frekvence u tˇechto filtr˚ u mohou nastat problémy s jejich stabilitou. Problém lze ˇreˇsit vˇetˇs´ı ˇs´ıˇrkou bitového slova, tj. vˇetˇs´ı pˇresnost´ı provádˇen´ ych v´ ypoˇct˚ u. Mezn´ı frekvence navrhovan´ ych filtr˚ u stejnosmˇerné hodnoty se pohybovala v bl´ızkosti 10 Hz a implementovan´ y program mˇel pracovat pˇri vzorkován´ı 20 kHz. Jelikoˇz algoritmus bˇeˇzel v hradlovém poli s omezen´ ym poˇctem logick´ ych bunˇek, nebylo vhodné zvyˇsovat pˇresnost provádˇen´ ych v´ ypoˇct˚ u. Proto byly studovány dalˇs´ı moˇznosti z´ıskáván´ı stejnosmˇerné sloˇzky signál˚ u. Jako velmi v´ yhodná se pro tento u ´ˇcel ukázala struktura CIC filtru, kter´ y zab´ırá minimum pamˇet’ového prostoru a pˇri vhodném návrhu nemá negativn´ı vliv na bˇeh programu filtru. V´ıce se t´ımto tématem zab´ yvá kapitola 5.2. Dalˇs´ı ˇcást práce pˇri implementaci ˇr´ıd´ıc´ıho programu se t´ ykala vylepˇsen´ı a hlavnˇe zjednoduˇsen´ı detektoru sousledné symetrické sloˇzky. Ten, kter´ y je pouˇzit v [1], vypoˇc´ıtává danou sloˇzku pomoc´ı schématu, které je velmi podobné celému ˇr´ıd´ıc´ımu algoritmu na obrázku 16. Z toho d˚ uvodu je, jen kv˚ uli tomuto detektoru, v´ ysledná velikost programu o v´ıce jak polovinu vˇetˇs´ı. Nav´ıc je zde nutn´ y fázov´ y závˇes, kde jsou pouˇzity goniometrické funkce. Implementace tˇechto v´ ypoˇct˚ u v prostˇred´ı Labview neˇcin´ı problémy, nicménˇe bez vhodn´ ych knihovn´ıch prvk˚ u m˚ uˇze b´ yt jejich realizace nesnadná pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadech, kdy je c´ılovou platformou FPGA. Pˇri zkoumán´ı alternativn´ıch v´ ypoˇct˚ u sousledné symetrické sloˇzky bylo nalezeno zaj´ımavé ˇreˇsen´ı v ˇclánku [18]. Toto ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıvá vlastnost´ı pásmové propusti k filtraci základn´ı harmonické sloˇzky z transformovan´ ych pr˚ ubˇeh˚ u napˇet´ı do souˇradnic αβ. Navrˇzen´ y filtr má dva v´ ystupy. Jeden s v´ ystupn´ım fázov´ ym posunem základn´ı harmonické sloˇzky 0◦ a druh´ y s fázov´ ym posunem 90◦ . Pro kaˇzdou transformovanou sloˇzku je pouˇzit jeden filtr a z celkem 4 v´ ystupn´ıch signál˚ u je následnˇe vypoˇc´ıtávána sousledná sloˇzka. Algoritmus je velice jednoduch´ y a nezab´ırá mnoho prostˇredk˚ u hradlového pole. Jeho nev´ yhodou je, ˇze filtr je tˇreba ladit na frekvenci základn´ı harmonické sloˇzky. Autoˇri k tomu vyuˇz´ıvali fázov´ ych závˇes˚ u, jejichˇz vlastnosti byly studovány a simulovány, nicménˇe jako koncepce pro hradlové pole se kv˚ uli nutnosti vyˇc´ıslen´ı goniometrick´ ych funkc´ı zdály nevhodné. Nakonec byl blok fázového závˇesu nahrazen blokem automatické regulace zisku (AGC - Automatic Gain Control). Dynamické vlastnosti v´ ysledného v´ ypoˇctu s AGC jsou ve své podstatˇe stejné, jako ty, které lze pozorovat pˇri pouˇzit´ı fázového závˇesu. Popisem jednotliv´ ych fázov´ ych závˇes˚ u a v´ ysledn´ ym detektorem sousledné sloˇzky se zab´ yvaj´ı kapitoly 5.3 a 5.4.

29

Kapitola 5 ˇ´ıslicove ´ zpracova ´ n´ı signa ´ l˚ C u ˇ´ıd´ıc´ıch syste ´mech vy ´ konovy ´ ch vr ˇnic ˇ˚ me u 5.1

V´ ypoˇ cty v pevn´ eˇ r´ adov´ eˇ c´ arce

ˇ ıslicové systémy pro implementaci ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ C´ u aktivn´ıch filtr˚ u nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaj´ı pro reprezentaci signál˚ u ˇc´ısla v pevné ˇra´dové ˇca´rce. V´ yhodou proti plovouc´ı ˇrádové ˇcárce je rychlost v´ ysledn´ ych poˇcetn´ıch operac´ıch a jednoduchá implementace. Nev´ yhodou je niˇzˇs´ı rozsah zobraziteln´ ych ˇc´ısel. V nˇekter´ ych aplikac´ıch dokonce pˇresnost urˇcit´ ych v´ ysledk˚ u rozhoduje o pouˇzitelnosti a nepouˇzitelnosti urˇcitého algoritmu. Dále v textu budeme vˇzdy pˇredpokládat u ˇc´ısel vyjádˇren´ı znaménka ve dvojkovém doplˇ nku, pokud nebude uvedeno v´ yslovnˇe jinak. Je to nejˇcastˇejˇs´ı forma vyjádˇren´ı znaménka náleˇzej´ıc´ıho ˇc´ıslu, proto se j´ı budeme drˇzet i v této práci.

5.1.1

Porovn´ an´ı v´ ypoˇ ct˚ u v pevn´ e a plovouc´ı ˇ r´ adov´ eˇ c´ arce

Nejjednoduˇsˇs´ı formou reprezentace dat v poˇc´ıtaˇci vyjádˇren´ı ˇc´ısla v pevné ˇrádové ˇcárce. V bitovém slovˇe se pevnˇe urˇc´ı poloha ˇra´dové ˇcárky a mocniny základu nalevo od n´ı rostou a napravo klesaj´ı. Levá ˇca´st pak urˇcuje celoˇc´ıselnou ˇca´st ˇc´ısla a pravá zlomkovou. Pro pˇr´ıklad vezmˇeme 8 bit slovo se 2 bity celoˇc´ıselné ˇca´sti. Hodnota tohoto ˇc´ısla je pak dána souˇctem souˇcin˚ u hodnot pˇr´ısluˇsn´ ych bit˚ u ai s jejich váhami: x = a1 · 21 + a0 · 20

cel´ aˇ ca ´st −2

+ a−1 · 2−1 + a−2 · 2

+

+ a−3 · 2−3 + a−4 · 2−4 + a−5 · 2−5 + a−6 · 2−6

(34)

zlomkov´ aˇ ca ´st

Zˇrejmˇe nejniˇzˇs´ı zobrazitelné ˇc´ıslo je dáno kvantizaˇcn´ım krokem, respektive vahou nejniˇzˇs´ıho bitu. S uvaˇzován´ım znaménka je interval zobraziteln´ ych ˇc´ısel

−2N −F −1 ; 2N −F −1 − 2N −I−1

(35)

V daném intervalu oznaˇcuje N poˇcet bit˚ u slova, I je poˇcet bit˚ u celoˇc´ıselné ˇcásti bez znaménka (se znaménkem by bylo bez -1) a F oznaˇcuje poˇcet bit˚ u zlomkové ˇcásti. Z tohoto intervalu je zobraziteln´ ych vˇzdy jen 2N hodnot s dan´ ym kvantizaˇcn´ım krokem, ˇc´ımˇz je dána i pˇresnost. K velk´ ym chybám docház´ı pˇredevˇs´ım pˇri zobrazován´ı desetinn´ ych ˇc´ısel. Prostor zobraziteln´ ych hodnot se dá vyjádˇrit pomoc´ı s´ıtˇe, jej´ıˇz pˇr´ıklad je na obrázku 17. Jsou zde zakresleny i nˇekteré základn´ı funkce, aby bylo zˇrejmé, jak´ ym zp˚ usobem docház´ı k chybám. Pˇr´ıkladnˇe u funkce y = 0, 5·x nemá hodnota 1, 5 na ose x svou funkˇcn´ı hodnotu 30

na ose y. V´ ysledek bude vˇzdy zaokrouhlen. U lomené funkce je pro velká x situace jeˇstˇe horˇs´ı. Nepˇresnost vyjádˇren´ı mal´ ych rozd´ıl˚ u a zlomkov´ ych hodnot v pevné ˇrádové ˇca´rce je jej´ı hlavn´ı nev´ yhodou a budeme se j´ı dále v textu zab´ yvat. Pˇresto se dá ˇr´ıci, ˇze v aplikac´ıch jako jsou ˇr´ıd´ıc´ı algoritmy mˇeniˇc˚ u je toto vyjádˇren´ı ˇc´ısel nejˇcastˇejˇs´ı. D˚ uvodem je pˇredevˇs´ım rychlost a jednoduchost provádˇen´ ych v´ ypoˇct˚ u, jejichˇz v´ ysledky nepotˇrebuj´ı dalˇs´ı u ´pravy. Na rozd´ıl od v´ ypoˇct˚ u v plovouc´ı ˇrádové ˇca´rce ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı dalˇs´ı operace jako napˇr´ıklad normován´ı a u ´pravu exponentu. Vyjádˇren´ı ˇc´ısel v pohyblivé ˇra´dové ˇcárce je dosti odliˇsné. Zde nemaj´ı jednotlivé bity v pravém slova smyslu pevnˇe urˇcenou váhu. M´ısto toho se bitové slovo skládá ze tˇr´ı ˇca´st´ı: znaménka, exponentu a mantisy. Exponent udává polohu ˇra´dové ˇca´rky a mantisa je vyjádˇren´ı ˇc´ısla v pevné ˇra´dové ˇca´rce s ˇra´dovou ˇcárkou um´ıstˇenou napravo hned vedle nejv´ yznamnˇejˇs´ıho bitu. Je nˇekolik moˇzn´ ych pˇredepsan´ ych formát˚ u tˇechto ˇc´ısel, které jsou definovány normou ANSI/IEEE 754-1985. V ˇr´ıd´ıc´ıch algoritmech je obvykle pouˇz´ıvaná jednoduchá pˇresnost, kde se ˇc´ıslo skládá z 32 bit˚ u. Jeden bit odpov´ıdá znaménku, 8 je vyhrazeno pro exponent a 24 (jeden bit je skryt´ y, jelikoˇz normovan´ y tvar ˇc´ısla vˇzdy zaˇc´ıná 1) bity je vyjádˇrena mantisa. Exponent je zde vyjádˇren v aditivn´ım kódu s konstantou K = 127. Zobrazen´ı urˇcitého ˇc´ısla X pak je tvaru: X = ±M · 2e−127

(36)

V rovnici (36) je M hodnota mantisy a e hodota exponentu, tak jak je zapsána v ˇra´dové mˇr´ıˇzce. Problematika nepˇresnosti v´ ypoˇct˚ u v plovouc´ı ˇra´dové ˇca´rce nen´ı tak v´ yrazná. Formát tohoto typu s dvojitou pˇresnost´ı (viz tabulka 1) byl vyuˇzit pouze pˇri testován´ı algoritm˚ u pomoc´ı simulac´ı softwarem MATLAB. V c´ılov´ ych zaˇr´ızen´ıch (CompactRIO, jednoˇcipové mikroprocesory) byly implementace algoritm˚ u vˇzdy v pevné ˇrádové ˇca´rce. Porovnán´ı vlastnost´ı zobrazen´ı ˇc´ısel a a v´ ypoˇct˚ u provádˇen´ ych v pevné a plovouc´ı ˇra´dové ˇca´rce z nˇekolika hledisek je uvedeno v tabulce 2. pˇ resnost

znam´ enko

exponent mantisa

jednoduchá 32b

1b

8b

23(24)b

dvojitá 64b

1b

11b

52(53)b

ˇ adové mˇr´ıˇzky pro formát ANSI/IEEE Std. 754-1985 Tabulka 1: R´

31

Obrázek 17: Rovina dvou ˇc´ısel v pevné ˇra´dové ˇcárce s jednobitovou zlomkovou ˇca´st´ı Vlastnost

Plovouc´ı ˇ r´ adov´ aˇ c´ arka

Pevn´ aˇ r´ adov´ aˇ c´ arka

Pˇresnost

ˇ V´ yborná - velk´ y rozsah hodnot, Spatn´ a - pˇresnost je závislá d´ıky kterému obvykle nen´ı tˇreba na délce slova. Vyˇsˇs´ı pˇresnost ˇreˇsit vliv pˇreteˇcen´ı. zvyˇsuje poˇzadavky na pamˇet’ a velikost programu.

Rychlost

N´ızká - kv˚ uli sloˇzitosti vyjádˇren´ı Vysoká - jednoduché aritmetické i ˇc´ısla v plovouc´ı ˇcárce. logické operace. Vyvinuto mnoho rychl´ ych metod v´ ypoˇct˚ u, které pracuj´ı pˇr´ımo s t´ımto formátem.

Náklady

Vysoké - potenciálnˇe vysoká cena hardwaru.

N´ızké - bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ y hardware.

Spotˇreba energie

Velká dáno mnoˇzstv´ım provádˇen´ ych operac´ı, které jsou nutné pˇri práci s t´ımto formátem.

R˚ uzná - velk´ y v´ ybˇer zaˇr´ızen´ı r˚ uzn´ ych v´ ykon˚ u. D´ıky jednoduchosti v´ ypoˇct˚ u se formát hod´ı pro n´ızkopˇr´ıkonové aplikace

Zpoˇzdˇen´ı dané v´ ypoˇcty

R˚ uzné - zpoˇzdˇen´ı je závislé Malé - poˇcetn´ı operace jsou jedna pouˇzit´ ych datech. M˚ uˇze b´ yt noduché a rychlé. Obvykle trvaj´ı velké. jen nˇekolik cykl˚ u procesoru.

Doba v´ yvoje

Krátká - nen´ı tˇreba ˇreˇsit ˇradu Dlouhá - je tˇreba se zab´ yvat problém˚ u dan´ ych koneˇcnou koneˇcnou délkou slova (pˇreteˇcen´ı, délkou slova. pˇresnost,...) Tabulka 2: Porovnán´ı vlastnost´ı plovouc´ı a pevné ˇra´dové ˇca´rky [19]

32

5.1.2

ˇ ıˇ S´ ren´ı chyby ve v´ ypoˇ ctech

Vˇsechny v´ ypoˇcty ˇr´ıd´ıc´ıch algoritm˚ u jsou zat´ıˇzeny chybou danou koneˇcnou pˇresnost´ı zobraziteln´ ych hodnot v pevné ˇra´dové ˇca´rce. Zˇrejmˇe vzhledem k moˇznostem programovateln´ ych hradlov´ ych pol´ı nebo urˇcité c´ılové architektuˇre procesoru se vˇzdy snaˇz´ıme volit pro reprezentaci ˇc´ısel co nejmenˇs´ı poˇcet bit˚ u. Nejmenˇs´ı pamˇet’ové nároky i v´ ypoˇcetn´ı ˇcas zab´ıraj´ı ˇc´ısla, s bitovou ˇs´ıˇrkou odpov´ıdaj´ıc´ı c´ılové architektuˇre. Se zvyˇsuj´ıc´ımi se nároky na pˇresnost (napˇr. dvojnásobn´ y poˇcet bit˚ u atd.) tak u ´mˇernˇe rostou i nároky na pamˇet’ a dobu zpracován´ı. Proto je vhodné v urˇcit´ ych ˇcástech algoritm˚ u v´ ysledk˚ um u ´ˇcelnˇe sniˇzovat pˇresnost (tj. zaokrouhlovat na urˇcit´ y poˇcet bit˚ u). Dále v textu nebudeme uvaˇzovat pˇr´ıpadnou dalˇs´ı nepˇresnost zp˚ usobenou mˇeˇren´ım analogovˇe digitáln´ım pˇrevodn´ıkem. Budeme pˇredpokládat, ˇze nejvˇetˇs´ı moˇzná chyba odeˇctené hodnoty signálu bude dána v´ yhradnˇe nejménˇe v´ yznamn´ ym bitem (dále LSB) z´ıskaného v´ ysledku bitového slova. Jin´ ymi slovy se bude jednat o chybu vzniklou pˇri kvantován´ı v´ ysledku. Teori´ı vzniku tzv. kvantizaˇcn´ıho ˇsumu se zab´ yvá napˇr´ıklad publikace [20]. Jedná se o relativnˇe sloˇzitou teorii definuj´ıc´ı urˇcité kvantizaˇcn´ı teorémy, které musej´ı b´ yt splnˇeny. Aˇckoliv rozsah této problematiky je znaˇcn´ y, nen´ı j´ı v literatuˇre, která se zab´ yvá ˇc´ıslicov´ ym zpracován´ım, vˇenováno mnoho prostoru. Tato práce mˇela b´ yt primárnˇe zamˇeˇrena na algoritmy pro polovodiˇcové mˇeniˇce, nicménˇe jak se pozdˇeji ukázalo, tak právˇe pˇresnosti v´ ysledk˚ u v jednotliv´ ych v´ ypoˇcetn´ıch operac´ıch rozhoduj´ı o tom, zda bude urˇcit´ y algoritmus pracovat odpov´ıdaj´ıc´ım zp˚ usobem. Dále prezentované algoritmy totiˇz pracuj´ı bezchybnˇe v simulac´ıch, nicménˇe pˇri programové implementaci v pevné ˇra´dové ˇca´rce uˇz to tak b´ yt nemus´ı. Prvn´ı problémy se správnˇe nastaven´ ym rozsahem bitov´ ych hodnot se objevily jiˇz pˇri tvorbˇe základn´ıho ˇr´ıd´ıc´ıho programu aktivn´ıho harmonického filtru, kter´ y vyuˇz´ıval teorii okamˇzit´ ych v´ ykon˚ u. Autor na tomto programu spolupracoval s ing. Janem Hájkem, pro nˇehoˇz to bylo v té dobˇe jedn´ım z c´ıl˚ u diplomové práce[8]. V publikaci [20] naneˇstˇest´ı nen´ı naprosto jasnˇe ˇreˇceno, jak´ ymi pravidly by se mˇely bitové rozsahy hodnot ˇr´ıdit. Proto se autor tato pravidla pokusil dále navrhnout. Chybu (pˇresnost) v´ ysledku e urˇc´ıme jako odchylku skuteˇcné (ideáln´ı - nekoneˇcná pˇresnost) hodnoty xskut od vypoˇctené tj. zobrazené hodnoty xskut : e = xskut − xvyp

(37)

Rozloˇzen´ı v´ ysledku vztahu (37) závis´ı na zp˚ usobu zaokrouhlován´ı bˇehem v´ ypoˇct˚ u. Pokud jsou nejménˇe v´ yznamné bity pouze oˇrezávány, pak se jedná o zaokrouhlován´ı dol˚ u. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇze chyba v´ ysledku nab´ yvat pouze kladn´ ych hodnot. Aˇckoliv je tento zp˚ usob nejjednoduˇsˇs´ı moˇzn´ y, docház´ı pˇri nˇem v porovnán´ı se zaokrouhlován´ım na obˇe strany k vyˇsˇs´ı stˇredn´ı kvadratické odchylce od skuteˇcné hodnoty. To je dáno pˇredevˇs´ım faktem, ˇze stˇredn´ı hodnota chyby dle (37) nen´ı nulová. Pˇri pouˇzit´ı zaokrouhlován´ı na obˇe strany je tento nedostatek odstranˇen. Symetrické rozloˇzen´ı kolem nuly nav´ıc zaruˇc´ı, ˇze stˇredn´ı kvadratická odchylka od skuteˇcné hodnoty bude shodná s rozptylem náhodné veliˇciny e. Hodnota chyby e je náhodná veliˇcina s rovnomˇern´ ym rozloˇzen´ım. Proto budeme dále pracovat s jej´ımi charakteristikami, kter´ ymi jsou stˇredn´ı hodnota a rozptyl. Stˇredn´ı hodnota diskrétn´ı náhodné veliˇciny X respektive spojitˇe rozloˇzené veliˇciny x je definována vztahy: E(X) =

n X

pi · Xi

(38)

x · f (x)dx

(39)

i=1

Z

∞

E(x) = −∞

33

Ve vztahu (38) oznaˇcuje pi pravdˇepodobnost hodnoty Xi , tedy je to hodnota pravdˇepodobnostn´ı funkce odpov´ıdaj´ıc´ı v´ ysledku Xi . Vztah (39) odpov´ıdá spojitému rozloˇzen´ı náhodné veliˇciny a f (x) zde oznaˇcuje jej´ı hustotu pravdˇepodobnosti. Rozptyl lze z´ıskat pomoc´ı vztah˚ u pro stˇredn´ı hodnotu: D(x) = E(x2 ) − E(x)2

(40)

Rozptylem hodnoty se vlastnˇe rozum´ı pr˚ umˇerná kvadratická odchylka této hodnoty od jej´ı stˇredn´ı hodnoty. Jak jiˇz bylo naznaˇceno, chyba vzniklá kvantován´ım je spojitá, jelikoˇz se vlastnˇe jedná pouze o zaokrouhlován´ı v´ ysledku. Dále budeme uvaˇzovat zaokrouhlován´ı na obˇe strany, ˇc´ımˇz bude stˇredn´ı hodnota chyby rovna nule a jej´ı energie bude ve shodˇe s rozptylem. Hustota pravdˇepodobnosti chyby kvantován´ım je pak dána vztahem:  q  0 pro x < − 2 1 pro − 2q < x < 2q (41) f (x) = q  0 pro x > 2q Symbolem q oznaˇcujeme hodnotu (v´ yznam) LSB. Rozptyl odvozen´ y z hustoty pravdˇepodobnosti (41) pak je: q2 (42) 12 Pˇri kvantován´ı vlastnˇe zvˇetˇsujeme odchylku v´ ysledné hodnoty od jej´ı p˚ uvodn´ı hodnoty. Tato odchylka je náhodná veliˇcina, která nekoreluje s poˇca´teˇcn´ım rozptylem signálu. Nejjednoduˇsˇs´ı a zároveˇ n velmi ˇcastou operac´ı, která se obvykle vyskytuje v ˇr´ıd´ıc´ıch programech tˇr´ıfázov´ ych mˇeniˇc˚ u je transformace do souˇradného systému αβ. Prvky transformaˇcn´ı matice z˚ ustávaj´ı konstantn´ı, proto je transformace sloˇzena pouze z operac´ı souˇctu (resp. rozd´ılu) a násoben´ı konstantou. Pro rozptyl souˇctu (resp. rozd´ılu) dvou nezávisl´ ych náhodn´ ych veliˇcin a rozptyl náhodné veliˇciny vynásobené konstantou k lze odvodit vztahy[21]: D(x) =

D(x + y) = D(x) + D(y)

(43)

D(k · x) = k 2 · D(x)

(44)

Vycházejme z pˇredpokladu, ˇze poˇzadujeme, aby se na v´ ysledném rozptylu pod´ılely vˇsechny náhodné veliˇciny stejnˇe. Odtud plyne, ˇze vˇsechny náhodné veliˇciny vstupuj´ıc´ı do souˇctu maj´ı m´ıt stejn´ y rozptyl. Pro souˇcet n náhodn´ ych veliˇcin kaˇzdá s rozptylem σ 2 pak dostáváme ze vztahu (43) následuj´ıc´ı rovnost: ! n X D xi = n · σ 2 (45) i=1

S uváˇzen´ım vztahu (42) lze pro hodnotu LSB promˇenn´ ych vstupuj´ıc´ıch do souˇctu odvodit nerovnost: qv q≤√ n

(46)

Ve vztahu (46) je qv hodnota urˇcitého bitu v´ ysledku, kter´ y je jiˇz zat´ıˇzen chybou (ˇsumem) a q je tent´ yˇz bit veliˇcin vstupuj´ıc´ıch do souˇctu. Vztah nám dává do souvislosti bitovou pˇresnost v´ ysledku souˇctu s bitovou pˇresnost´ı vstupn´ıch veliˇcin. Zˇrejmˇe pro souˇcet napˇr´ıklad ˇctyˇr nebo menˇs´ıho poˇctu promˇenn´ ych je nutné, aby vˇsechny vstupn´ı promˇenné 34

mˇely o jeden bit vyˇsˇs´ı pˇresnost neˇz v´ ystup. Podobnˇe u násoben´ı vstupn´ı veliˇciny konstantou lze z´ıskat podobnou nerovnost pro vstupn´ı hodnotu: qv (47) k Vztah (47) ani vztah (44) vˇsak neuvaˇzuj´ı kvantován´ı konstanty k, kterou je také tˇreba zaokrouhlit na poˇzadovan´ y poˇcet bit˚ u. Tento stav nastává pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadech, kdy k je desetinné ˇc´ıslo, které nen´ı zobrazitelné koneˇcn´ ym poˇctem bit˚ u binárn´ıho ˇc´ısla za ˇrádovou ˇca´rkou. Hodnota zaokrouhlené konstanty je známá a v ˇcase se nemˇen´ı. Tud´ıˇz známe i chybu, kterou jej´ı nepˇresná hodnota vyvolá. Zaj´ımá nás, jak´ ym zp˚ usobem nám tato nepˇresnost ovlivn´ı v´ yslednou stˇredn´ı kvadratickou odchylku (energii chyby). Skuteˇcnou stˇredn´ı hodnotu v´ ystupu urˇc´ıme s nezaokrouhlenou konstantou: q≤

E ((k + ∆k) · x) = (k + ∆k) · E(x)

(48)

Ve vztahu (48) oznaˇcuje k zaokrouhlenou hodnotu konstanty a ∆k jej´ı odchylku od pˇresné hodnoty. Pro stˇredn´ı kvadratickou odchylku e2 m˚ uˇzeme tedy psát: Z

2

∞

(k · x − (k + ∆k) · E(x))2 · f (x)dx =

e = Z−∞ ∞

(49) 2

2

2

k · x − 2 · (k + ∆k) · k · E(x) · x + (k + ∆k) · E(x)

=

2

· f (x)dx

−∞

Prvn´ı ˇclen souˇctu v závorce rovnice (49) je po integraci roven stˇredn´ı hodnotˇe z kvadrátu souˇcinu zaokrouhlené konstanty a náhodné veliˇciny. V prostˇredn´ım ˇclenu staˇc´ı integrovat pouze souˇcin x · f (x), protoˇze ostatn´ı ˇcleny jsou konstantn´ı a lze je vytknout pˇred integrál. V´ ysledkem integrálu je stˇredn´ı hodnota E(x). Podobnˇe v posledn´ım ˇclenu integrujeme pouze hustotu pravdˇepodobnosti f (x), ˇc´ımˇz z´ıskáme v´ ysledek roven jedné. Vztah tedy uprav´ıme do následuj´ıc´ıho tvaru: e2 = E(k 2 · x2 ) − 2 · (k + ∆k) · k · E(x)2 + (k + ∆k)2 · E(x)2 = E(k 2 · x2 ) − k 2 · E(x)2 + ∆k 2 · E(x)2 = k 2 · σ 2 + ∆k 2 · E(x)2

(50)

V´ ysledná kvadratická odchylka je tedy o proti p˚ uvodn´ı hodnotˇe násobku vstupn´ıho 2 rozptylu σ vyˇsˇs´ı o kvadrát souˇcinu chyby konstanty k a stˇredn´ı hodnoty vstupn´ı veliˇciny. Jelikoˇz je stˇredn´ı hodnota vstup˚ u promˇenná v ˇcase, bude se mˇenit i energie chyby. To je velice nepˇr´ıjemná vˇec. Abychom mohli pro urˇcen´ı bitové pˇresnosti alespoˇ n pˇribliˇznˇe pouˇz´ıt pˇredeˇsl´ y vztah (47), je nutné zajistit zanedbatelnou hodnotu kvadrátu souˇcinu ∆k · E(x) v porovnán´ı se souˇcinem kvadrátu zaokrouhlené konstanty k a hodnoty rozptylu vstupn´ı veliˇciny. Poˇzadované ∆k pak urˇcujeme pro maximáln´ı hodnotu vstupn´ı veliˇciny: k 2 · σ 2 >> ∆k 2 · E(x)2 , pro maximum E(x)

(51)

Velmi ˇcasto nelze ovlivnit pˇresnost vstupn´ı veliˇciny, proto je v´ ystupn´ı chyba definována pˇredevˇs´ım pˇresnost´ı násob´ıc´ı konstanty a následn´ ym kvantován´ım v´ ysledku. Pro pˇr´ıklad zde uvedeme nastaven´ı bitov´ ych ˇs´ıˇrek ve zm´ınˇeném pˇr´ıpadˇe transformaˇcn´ı matice do soustavy souˇradnic αβ. Pro u ´ˇcely snadnˇejˇs´ı práce pˇri zaokrouhlován´ı je v´ yhodné, aby vstupn´ı a t´ım i v´ ystupn´ı signály nab´ yvaly hodnoty z intervalu h−1; 1i. T´ım je urˇcena poloha ˇra´dové ˇca´rky, která bude napravo od nejv´ yznamnˇejˇs´ıho bitu (bitu s nejvyˇsˇs´ı hodnotou - dále MSB). U transformaˇcn´ı matice budeme poˇzadovat ˇsestnáctibitov´ y vstup i 35

Obrázek 18: V´ ypoˇcet transformace sloˇzek abc do soustavy αβ s naznaˇcenou bitovou pˇresnost´ı v jednotliv´ ych ˇcástech Sign´ al xα xβ ya yb yc xα nekvant

Rozptyl 3, 9032 · 10−11 3.8805 · 10−11 1, 2935 · 10−11 3, 3096 · 10−12 3, 3096 · 10−12 1, 9630 · 10−11

Stˇ redn´ı kvadratick´ a odchylka −11 3, 9150 · 10 3, 8822 · 10−11 1, 3015 · 10−11 3, 3280 · 10−12 3, 3255 · 10−12 1, 9659 · 10−11

Tabulka 3: Srovnán´ı vypoˇcteného rozptylu a numericky urˇcené stˇredn´ı kvadratické odchylky ve v´ ypoˇctu Clarkové transformace v´ ystup. Vstupy budou z´ıskávány ze ˇsestnáctibitového analogovˇe digitáln´ıho pˇrevodn´ıku, nicménˇe hodnota vstupn´ıho signálu nikdy nepˇresáhne 12 bit˚ u.1 T´ım bude zajiˇstˇeno, ˇze ˇza´dná hodnota v´ ypoˇctu nepˇresáhne poˇzadovan´ y interval h−1; 1i. Transformace do soustavy souˇradnic αβ (Clarkové transformace) je definována následovnˇe: ! x  q a 2 1 1 xα − √6 − √6 3 ·  xb  = (52) xβ 0 1 −1 xc V´ ysledn´ y v´ ypoˇcet i s naznaˇcen´ ymi bitov´ ymi rozsahy hodnot je uveden na obrázku 18. Zˇrejmˇe pro v´ ypoˇcet souˇradnice β potˇrebujeme pouze rozd´ıl vstup˚ u b a c. Pro rozptyl v´ ysledku plat´ı vztah (43). Pˇresnost vstup˚ u nelze zv´ yˇsit a neprovád´ıme ˇza´dné dalˇs´ı kvantován´ı (zaokrouhlován´ı), proto v´ ysledn´ y rozptyl v´ ystupu oproti vstupu bude dvojnásobn´ y. Podobnou hodnotu rozptylu budeme oˇcekávat i v pˇr´ıpadˇe v´ ystupu α. Zde sˇc´ıtáme tˇri meziv´ ysledky. Ty jsou z´ıskány po vynásoben´ı kaˇzdého vstupn´ıho signálu pˇr´ısluˇsnou hodnotou prvku matice (52). Jelikoˇz tyto prvky nen´ı moˇzné pˇresnˇe vyjádˇrit koneˇcn´ ym poˇctem bit˚ u, je tˇreba definovat jejich maximáln´ı chybu. Dˇr´ıve bylo uvedeno, ˇze pokud má b´ yt minimalizován pˇr´ır˚ ustek chyby vlivem kvantován´ı násob´ıc´ıho koeficientu, tak je nutné splnit ˇ ızen´ı Toto nastaven´ı odpov´ıd´ a implementaci ˇr´ıd´ıc´ıho programu aktivn´ıho harmonického filtru[8]. R´ zde zajiˇst’ovala platforma CompactRIO a program byl vytváˇren v softwaru Labview. Jelikoˇz byl program implementov´ an do hradlového pole, bylo moˇzné nastavit r˚ uzné bitové ˇs´ıˇrky a polohu ˇrádové ˇcárky na v´ ystup jednotliv´ ych poˇcetn´ıch operac´ı. 1

36

podm´ınku (51). Abychom si v´ ypoˇcet co nejv´ıce zjednoduˇsili, dosazujeme za k jeho c´ılovou (pˇresnou) hodnotu. Maximáln´ı hodnota E(x)max je zde 2−3 , jelikoˇz bylo v´ yˇse uvedeno, ˇze hodnota na vstupech abc nem˚ uˇze nikdy pˇresáhnout 12 bit˚ u. V´ ypoˇctem, za pˇredpokladu pouˇzit´ı 16 bitové délky vstupn´ıch ˇc´ısel, z´ıskáme následuj´ıc´ı v´ ysledky: 22·(−16) q2 = = 1, 94 · 10−11 12 12 s s 2 2 2 · 1, 94 · 10−11 ka · σ −6 3 |∆ka | = 1.22 · 10 << = = 2, 88 · 10−5 2 −3·2 E(x)max 2 s s 1 · 1, 94 · 10−11 kb2 · σ 2 6 |∆kbc | << = = 1, 44 · 10−5 E(x)2max 2−3·2 D(x) = σ 2 =

Pro chyby koeficient˚ u, které budou zaokrouhleny na 16 bit˚ u, dostaneme: |∆ka | = 1.22 · 10−6 |∆kbc | = 6.11 · 10−7 V´ ysledné chyby jsou zˇrejmˇe v´ıce neˇz desetkrát menˇs´ı, coˇz m˚ uˇzeme pokládat za splnˇen´ı vztahu (51). Vˇsechny koeficienty je tud´ıˇz tˇreba implementovat s 16 bitovou pˇresnost´ı. Souˇcin dvou 16 bit ˇc´ısel dává 32 bit v´ ysledek. Pˇri implementaci algoritmu v procesoru bychom pravdˇepodobnˇe takto pˇresn´ y v´ ysledek nechali b´ yt, jelikoˇz se jedná o násobek 8 bit. Nicménˇe v jin´ ych pˇr´ıpadech (napˇr´ıklad c´ılem implementace by bylo hradlové pole) bychom chtˇeli dan´ y v´ ysledek co nejv´ıce zaokrouhlit, aniˇz by t´ım v´ yznamnˇe utrpˇela jeho v´ ysledná pˇresnost. Aby uvedené bylo splnˇeno, je nutné aby pˇr´ır˚ ustek rozptylu vlivem kvantován´ı byl zanedbateln´ y v porovnán´ı s rozptylem v´ ysledku pˇred kvantován´ım. Rozptyl v´ ysledku pˇred kvantován´ım urˇc´ıme na základˇe vztahu (44). S uváˇzen´ım vztahu (42) vznikne nerovnost: √ qkvant <

12 · k 2 · σ 2

(53)

Po dosazen´ı z´ıskáme: r qkvanta <

p

12 · ka2 · σ 2 =

12 ·

2 · 1, 94 · 10−11 = 1, 25 · 10−5 ≈ 2−16 3

r q 1 2 qkvantbc < 12 · kbc · σ 2 = 12 · · 1, 94 · 10−11 = 6, 23 · 10−6 ≈ 2−17 6 U vˇsech meziv´ ysledk˚ u zvol´ıme stejné kvantován´ı a jelikoˇz hodnota kvantovac´ıho bitu vystupuje ve vztahu (42) v kvadrátu, bude dostaˇcuj´ıc´ı kvantován´ı na 20 bit. Posledn´ı kvantován´ı, ke kterému dojde, je na samotném v´ ystupu u souˇctu vˇsech tˇr´ı meziv´ ysledk˚ u. Nicménˇe zde je d´ıky násob´ıc´ım konstantám, které sn´ıˇzily i rozptyly chyb, témˇeˇr splnˇen vztah (46). Nekvantovan´ y v´ ystup α má tak rozptyl témˇeˇr shodn´ y s p˚ uvodn´ım rozptylem na vstupu. Zaokrouhlen´ım se tud´ıˇz tato hodnota zhruba zdvojnásob´ı a bude v dobré shodˇe s rozptylem v´ ystupu β. Jelikoˇz nen´ı stále jasné, zda jsou vˇsechny tyto u ´vahy správné, byla provedena simulace v´ ypoˇctu s v´ ysledky, které jsou uvedeny v tabulce 3. Ve sloupci rozptyl“ jsou uve” deny vypoˇc´ıtané rozptyly v´ ystupn´ıch signál˚ u, které jsou srovnávány s v´ ysledkem simulace ve sloupci stˇredn´ı kvadratická odchylka“. Simulace byla provedena tak, ˇze byly gene” rovány náhodné signály v intervalu h−0, 125; 0, 125i a z nich byla vypoˇctena teoreticky 37

správná hodnota v´ ystupu Clarkové transformace xskut . V´ ypoˇcet byl proveden v plovouc´ı ˇra´dové ˇcárce s dvojitou pˇresnost´ı. Následnˇe byly vstupy kvantovány na 16 bitovou hodnotu v pevné ˇrádové ˇcárce a dále zpracovány dle obrázku 18. Z celkem N = 106 trojic vstup˚ u byl vypoˇcten odhad stˇredn´ı kvadratické odchylky jednotliv´ ych v´ ysledk˚ u dle vztahu: N 1 X (x − xskut )2 e = N i=1 2

(54)

Zˇrejmˇe dle dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u jsou teoretické hodnoty velmi bl´ızké tˇem, které jsme z´ıskali pˇri simulaci. Lze tedy uˇcinit závˇer, ˇze dané postupy lze vyuˇz´ıt pro správn´ y návrh bitov´ ych rozsah˚ u pˇri v´ ypoˇctech v pevné ˇra´dové ˇca´rce.

5.1.3

Podm´ınky plynouc´ı z kvantizaˇ cn´ıch teor´ em˚ u

Jelikoˇz neznáme pˇresné hodnoty vstupu urˇcitého systému2 , vytváˇr´ıme vstupn´ı hodnoty pomoc´ı generátoru náhodn´ ych ˇc´ısel s urˇcit´ ym rozdˇelen´ım. Tak tomu bylo i v pˇredeˇslém pˇr´ıpadˇe simulace v´ ypoˇctu Clarkové transformace (viz kapitola 5.1.2). Zde je tˇreba upozornit na jednu vˇec. Vstupn´ı rozdˇelen´ı nemus´ı b´ yt kvantován´ım hodnot dostateˇcnˇe popsáno. Na v´ ystupu se v takovém pˇr´ıpadˇe objev´ı jiné rozdˇelen´ı, které se liˇs´ı i nˇekter´ ymi momenty (stˇredn´ı hodnota, rozptyl, atd.). V´ ysledná kvadratická chyba kvantovaného v´ ysledku se pak bude v´ yraznˇe liˇsit od rozptylu, kter´ y bychom z´ıskali pouh´ ym pˇriˇcten´ım hodnoty dle vztahu (42). Pˇredeˇsl´ y pˇr´ıpad vyˇsel správnˇe pˇredevˇs´ım z d˚ uvodu pˇribliˇzného splnˇen´ı kvantizaˇcn´ıho teorému II (QT II v [20]) a hlavnˇe z d˚ uvod˚ u splnˇen´ı kvantizaˇcn´ıho teorému III/A (QT III/A v [20]). Teor´ em 1 QT II - upraven´ y pˇ reklad Pokud je Fourierova transformace φx (u) hustoty pravdˇepodobnosti f (x) vstupn´ı promˇenné frekvenˇcnˇe omezená tak, ˇze plat´ı φx (u) = 0 pro |u| >

2·π q

(55)

pak je moˇzné urˇcit momenty vstupn´ıho rozdˇelen´ı z moment˚ u výstupn´ıho kvantovaného rozdˇelen´ı. Teor´ em 2 QT III/A - upraven´ y pˇ reklad Pokud u Fourierovy transformace hustoty pravdˇepodobnosti náhodné promˇenné plat´ı: 2·π φx l · = 0 pro l = ±1, ±2, ..., (56) q pak Fourierova transformace hustoty pravdˇepodobnosti rozdˇelen´ı kvantizaˇcn´ıho ˇsumu má tvar: q · u φν (u) = sinc (57) 2 2

V´ yjimeˇcnˇe je m˚ uˇzeme zn´ at. Napˇr´ıklad kdyˇz vstupem v´ ypoˇctu bude v´ ystup generátoru periodické funkce s urˇcitou nemˇennou frekvenc´ı a amplitudou. V takovém pˇr´ıpadˇe lze pˇresnˇe urˇcit okamˇzik kdy doch´ az´ı k maxim´ aln´ı chybˇe v´ ypoˇctu a pˇr´ıpadné kvantován´ı je mu podm´ınˇeno. Nemá proto smysl se v tˇechto pˇr´ıpadech zab´ yvat rozptylem, protoˇze stˇredn´ı kvadratická odchylka se od nˇej m˚ uˇze v´ yraznˇe liˇsit. Uvaˇzujme tˇreba sign´ al tvaru obdéln´ıku. Pˇri jeho obou v´ ychylkách známe pˇresnˇe chybu, které se dopouˇst´ıme kvantov´ an´ım a co v´ıc, tato chyba je urˇcitou ˇcást periody nemˇenná a rozhodnˇe se nejedn´ a o n´ ahodnou veliˇcinu.

38

Obrázek 19: Obecn´ y ekvivalentn´ı rekurzivn´ı v´ ypoˇcet se zdrojem kvantizaˇcn´ıho ˇsumu a jeho hustota pravdˇepodobnosti je tud´ıˇz 1 pro |x| ≤ q fν (x) = 0 jinde

q 2

(58)

V obou pˇr´ıpadech se jedná vlastnˇe o obdobu vzorkovac´ıch teorém˚ u. Zˇrejmˇe pokud nebude splnˇen teorém QT III/A, pak po proveden´ı simulace nedostaneme shodu kvadratické chyby s rozptyly, tak jak bylo uvedeno v tabulce 3. Jde vlastnˇe o d˚ usledek toho, ˇze náhodné hodnoty v bl´ızkosti hranic intervalu, nebudou m´ıt chybu s rozdˇelen´ım (41). Nesplnˇen´ı podm´ınky lze vyzkouˇset zmˇenou hranic intervalu pro náhodné hodnoty na neceloˇc´ıselnou zápornou nebo kladnou mocninu dvou. Shodu moment˚ u zajist´ı pro obecné rozdˇelen´ı pˇr´ısnˇejˇs´ı teorém QT II. Jeho splnˇen´ı v bˇeˇzn´ ych pˇr´ıpadech je vˇsak zpravidla pouze pˇribliˇzné. V pˇr´ıpadˇe rovnomˇerného rozdˇelen´ı uvedeného v´ yˇse je pˇribliˇznost jasná, jelikoˇz Fourierovou transformac´ı obdéln´ıkové funkce z´ıskáme funkci sinc(u). Nejedná se tud´ıˇz o pr˚ ubˇeh, kter´ y by byl frekvenˇcnˇe omezen´ y na urˇcitém intervalu. Ze zm´ınˇen´ ych d˚ uvod˚ u, budeme nadále pˇri návrhu pˇredpokládat vˇzdy splnˇen´ı QT III/A respektive QT II. Pokud v c´ılové aplikaci nebudou tyto teorémy ani pˇribliˇznˇe splnˇeny, pak nelze pouˇz´ıt dˇr´ıve uvedené vztahy a postup v´ ypoˇctu kvadratické chyby zaloˇzenou na v´ ypoˇctu rozptylu. Pro obecné signály, kdy nev´ıme o vstupu nic urˇcitého, je vˇsak tato metoda dostateˇcná. Zˇrejmˇe pˇri splnˇen´ı podm´ınek QT II (nebo alespoˇ n QT III/A), lze kvantován´ı nahradit pˇriˇcten´ım zdroje aditivn´ıho ˇsumu, kter´ y má poˇzadované momenty. Toho vyuˇzijeme pˇri ˇreˇsen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch systém˚ u se zpˇetnou vazbou.

5.1.4

ˇ ıˇ S´ ren´ı chyby v rekurzivn´ıch v´ ypoˇ ctech

V kapitole 5.1.2 byl diskutován vliv kvantován´ı a jednotliv´ ych operac´ı sˇc´ıtán´ı a násoben´ı konstantou na v´ yslednou chybu v´ ypoˇctu. V ˇr´ıd´ıc´ıch systémech jsou vˇsak tˇreba i operace, které nov´ y v´ ystup odvozuj´ı z jeho pˇredeˇslé hodnoty. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad implementace filtru IIR nebo integrátoru. Problém je zde o to sloˇzitˇejˇs´ı, ˇze vlivem zpˇetné vazby náhodné veliˇciny vzájemnˇe koreluj´ı. V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech lze pouˇz´ıt urˇcitá zjednoduˇsen´ı. Napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe v´ ypoˇctu klouzavého pr˚ umˇeru pomoc´ı integrátoru je zájem pouze o souˇcet N promˇenn´ ych. Tud´ıˇz pro sledován´ı rozptylu a návrh bitov´ ych rozsah˚ u lze pouˇz´ıt postup popsan´ y v pˇredchoz´ı kapitole. V obecném pˇr´ıpadˇe lze rekurzivn´ı systém zjednoduˇsit do podoby na obrázku 19. Ke kvantován´ı docház´ı zpravidla po násoben´ı v´ ystupu konstantou a, aby bylo opˇet dosaˇzeno dané bitové ˇs´ıˇrky pro v´ ystup. Pokud je splnˇen kvantizaˇcn´ı teorém II, pak lze dokázat, ˇze kvantizaˇcn´ı ˇsum koreluje s v´ ystupn´ım ˇsumem stejnˇe, jako by v daném m´ıstˇe byl zdroj aditivn´ıho nezávislého ˇsumu (viz [20]). V obrázku 19 je signál ˇsumu zaznaˇcen jako ν. Pˇrenos ˇsumového signálu na v´ ystup je: Hν =

1 1 − a · z −1 39

(59)

Obrázek 20: Bitové rozsahy pˇri simulaci rekurzivn´ıho v´ ypoˇctu Podm´ınky ˇsum, a = 0, 125 ˇsum, a = 0, 25 sinus, Am = 3/8, N = 100, a = 0, 125 sinus, Am = 3/8, N = 100, a = 0, 25 sinus, Am = 3/8, N = 50, a = 0, 25

Rozptyl 3, 942 · 10−11 4, 139 · 10−11 3, 942 · 10−11 4, 139 · 10−11 4, 139 · 10−11

Stˇ redn´ı kvadratick´ a odchylka −11 4, 012 · 10 4, 428 · 10−11 4, 592 · 10−11 4, 969 · 10−11 4, 202 · 10−11

Tabulka 4: Srovnán´ı vypoˇcteného rozptylu a numericky urˇcené stˇredn´ı kvadratické odchylky na v´ ystupu rekurzivn´ıho v´ ypoˇctu Jedná se vlastnˇe o pˇrenosovou funkci IIR filtru. Aby byl v´ ystup stabiln´ı, mus´ı platit, ˇze násob´ıc´ı konstanta a je menˇs´ı neˇz 1. Impulsn´ı odezva daného filtru je dána geometrickou posloupnost´ı: pi = ai pro i = 0, 1, 2, ...

(60)

Jelikoˇz je ˇsumov´ y signál generován v kaˇzdém okamˇziku, bude po dostateˇcnˇe dlouhé dobˇe v´ ystup obsahovat vˇsechny jeho násobky dané posloupnost´ı (60). Pˇritom v´ ystupn´ı rozptyl signálu je dán souˇctem souˇcin˚ u kvadrát˚ u ˇclen˚ u posloupnosti s rozptylem vstupn´ıho ˇsumového signálu. Dostáváme se tak k souˇctu nekoneˇcnˇe mnoha násobk˚ u nezávisl´ ych náhodn´ ych hodnot, tj. k souˇctu geometrické ˇrady: ∞ X

a2·i =

i=0

1 1 − a2

(61)

Pro v´ ystupn´ı rozptyl dan´ y pouze signálem n tak plat´ı vztah: D(n) q 2 /12 = (62) 1 − a2 1 − a2 Ke stejnému v´ ysledku dojdeme i pro v´ ystupn´ı rozptyl, kter´ y by pocházel od signálu x. Uvedené u ´vahy nem˚ uˇzeme pouˇz´ıt v pˇr´ıpadˇe ˇcisté integrace, kdy ve zpˇetné vazbˇe nen´ı ˇzádná násobná konstanta. Zde ani nemá kvantován´ı ve zpˇetné vazbˇe smysl. I tak bude v´ ystupn´ı rozptyl r˚ ust k nekoneˇcnu, jelikoˇz je ˇsumem znehodnocen i vstupn´ı signál. Integraci obvykle pouˇz´ıváme v regulátorech, kde se dá oˇcekávat, ˇze pˇr´ıpadná odchylka v´ ystupu regulátoru vlivem ˇsumu vyvolá akˇcn´ı zásah, kter´ y vˇse vrát´ı zpˇet. Pro z´ıskán´ı v´ ystupn´ıho rozptylu by bylo nutné tedy analyzovat cel´ y systém. Nicménˇe ˇcasto m˚ uˇze j´ıt ve v´ ysledku o systém, kter´ y je nelineárn´ı, nebo je natolik sloˇzit´ y, ˇze jeho anal´ yza je v podstatˇe nemoˇzná. V regulátoru budou kaˇzdopádnˇe pˇr´ıpadné odchylky kompenzovány a proto je vhodné uvaˇzovat v´ ystupn´ı ˇsum s rozptylem, kter´ y dá jen bitové rozliˇsen´ı v´ ystupu. D(y) =

40

Popsané závˇery byly opˇet ovˇeˇreny simulac´ı na systému dle blokového schématu na obrázku 20. Z´ıskané v´ ysledky jsou v tabulce 4. Simulace byla provedena pro dva typy vstupn´ıch signál˚ u. Prvn´ım byl ˇsum s rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım v intervalu h−0, 125; 0, 125i. Druh´ ym byl sinusov´ y signál s amplitudou Am a periodou N (poˇcet vzork˚ u). V´ ystupn´ı 6 kvadratická odchylka byla z´ıskána z 10 vzork˚ u. V prostˇredn´ım sloupci tabulky jsou vypoˇcteny teoretické rozptyly v´ ystupu a v krajn´ım pravém sloupci jsou numericky urˇcené stˇredn´ı kvadratické odchylky. Obˇe hodnoty se ˇra´dovˇe shoduj´ı, nicménˇe je zde patrn´ y jejich urˇcit´ y rozd´ıl. Ten je zp˚ usoben volbou konstanty a, která je ve vˇsech pˇr´ıpadech dána mocninou 2. Pˇri násoben´ı tak docház´ı pouze k bitovému posunu v´ ysledku. Pˇri násoben´ı 0, 25 docház´ı k posunu pouze o 2 bity. Po následném kvantován´ı je aproximace v´ ystupn´ı chyby rovnomˇern´ ym rozdˇelen´ım velmi hrubá. Pro jiné konstanty, které rozˇs´ıˇr´ı poˇcet jedniˇcek za ˇra´dovou ˇcárkou jsou v´ ysledky simulace ve vˇetˇs´ı shodˇe. Dalˇs´ı nepˇr´ıjemn´ y jev, ke kterému m˚ uˇze doj´ıt na v´ ystupu rekurzivn´ıho systému jsou tzv. limitn´ı cykly“. Jde o stabiln´ı oscilace, které se objev´ı na v´ ystupu jinak stabiln´ıho systému ” i v pˇr´ıpadˇe nulového buzen´ı. Jejich pˇr´ıˇcinou jsou chyby vzniklé pˇri zaokrouhlován´ı, které se v pr˚ ubˇehu rekurzivn´ıho algoritmu kumuluj´ı. Velikost a charakter limitn´ı cyklu jsou ovlivnˇeny hodnotami koeficient˚ u, délkou slova, zp˚ usobem zaokrouhlován´ı a pˇredchoz´ımi hodnotami vstupu filtru. V pˇr´ıpadˇe systému 1. ˇrádu, kter´ y je na obrázku 19 lze pro amplitudu limitn´ıho cyklu odvodit vztah [22]: 0, 5 · q (63) 1 − |a| Pro hodnoty modulu koeficientu a, které jsou v bl´ızkosti 1, roste amplituda limitn´ıho cyklu. Pˇri pouˇzit´ı rekurze s takov´ ym koeficientem je proto tˇreba jev limitn´ıho cyklu uvaˇzovat a zváˇzit jeho pˇr´ıpadné d˚ usledky. Pro moduly, které maj´ı hodnotu niˇzˇs´ı neˇz 0, 5, limitn´ı cykly nenastávaj´ı. Pokud je to nutné, existuj´ı metody, které mohou limitn´ı cykly zcela eliminovat jako napˇr´ıklad dither“[20]. Zde se do systému se pˇridává dalˇs´ı zdroj ” ˇsumu, kter´ y má stejné rozdˇelen´ı jako kvantizaˇcn´ı ˇsum. D´ıky tomu má chyba skuteˇcnˇe náhodné rozdˇelen´ı a pˇr´ıpadn´ y limitn´ı cyklus je pˇri rekurzi eliminován. |y (n − 1)| ≤

5.1.5

Chyba v´ ysledku funkce v´ıce kvantovan´ ych sign´ al˚ u

V ˇr´ıd´ıc´ım algoritmu aktivn´ıho filtru, kter´ y je zaloˇzen´ y na PQ teorii [1], je nutné vypoˇc´ıtávat okamˇzitou hodnotu v´ ykonu. Hodnota v´ ykonu je dána souˇcinem dvou signál˚ u, kdy jeden odpov´ıdá napˇet´ı a druh´ y proudu. Zˇrejmˇe rozptyl souˇcinu dvou náhodn´ ych hodnot lze urˇcit následuj´ıc´ım vztahem: D(x · y) = E(x2 · y 2 ) − E(x · y)2

(64)

S uváˇzen´ım vztahu pro kovarianci [21] cov(x, y) = E [(x − E(x)) · (y − E(y))] = E(x · y) − E(x) · E(y),

(65)

lze vztah (64) upravit do následuj´ıc´ı podoby: D(x·y) = cov(x2 , y 2 )+ D(x) + E(x)2 · D(y) + E(y)2 −(cov(x, y) + E(x) · E(y))2 (66) Vzhledem k tomu, ˇze pˇredpokládáme, ˇze chyby obou hodnot signál˚ u jsou vzájemnˇe nezávislé, bude v´ ysledná kovariance nulová. Proto pro nezávislé hodnoty signálu dostaneme tento pro nás koneˇcn´ y v´ ysledek: D(x · y) = D(x) · D(y) + D(x) · E(y)2 + D(y) · E(x)2 41

(67)

Mimo souˇcinu stupn´ıch rozptyl˚ u jsou ve v´ ysledném vztahu i souˇciny mezi rozptyly a kvadráty stˇredn´ıch hodnot vstupn´ıch signál˚ u. V naˇsem pˇr´ıpadˇe stˇredn´ı hodnota signálu odpov´ıdá pˇresné hodnotˇe (skuteˇcné hodnotˇe, která nen´ı zat´ıˇzena chybou) daného signálu. Je-li tento signál promˇenn´ y v ˇcase, mˇen´ı se s ˇcasem i velikost rozptylu. Maximáln´ı rozptyl z´ıskáme pro ˇspiˇckovou hodnotu obou signál˚ u. V pˇr´ıpadˇe intervalu vstupn´ıch hodnot h−1; 1i a pˇri zanedbán´ı souˇcinu rozptyl˚ u, kter´ y pro malé rozptyly v porovnán´ı se stˇredn´ımi hodnotami vyjde mal´ y, lze maximáln´ı rozptyl v´ ysledku souˇcinu aproximovat jako souˇcet rozptyl˚ u vstupn´ıch promˇenn´ ych: D(x · y)max ≈ D(x) + D(y), pokud plat´ı x ∈ h−1; 1i ∧ y ∈ h−1; 1i

(68)

Minimáln´ı rozptyl nastane v pˇr´ıpadˇe nulov´ ych hodnot signál˚ u resp. hodnot skuteˇcn´ ych signál˚ u, které budou bl´ızké nule a vlivem kvantován´ı budou vyjádˇreny jako nulové: D(x · y)min = D(x) · D(y)

(69)

Souˇcin náhodn´ ych veliˇcin nen´ı pˇr´ıliˇs vhodné kvantovat. Pˇri n´ızk´ ych hodnotách signál˚ u t´ım m˚ uˇzeme znaˇcnˇe zv´ yˇsit stˇredn´ı kvadratickou chybu. Zˇrejmˇe také plat´ı, ˇze pokud se nˇekde v algoritmu maj´ı násobit dva signály, je to tˇreba udˇelat v m´ıstˇe, kde je jejich rozptyl v porovnán´ı se ˇspiˇckovou hodnotou signálu minimáln´ı. Obvykle to b´ yvá pˇr´ımo na zaˇcátku v´ ypoˇctu. Rozptyly v´ ysledk˚ u jin´ ych funkc´ı nen´ı aˇz tak jednoduché urˇcit jako v pˇr´ıpadˇe souˇcin˚ u. M˚ uˇzeme vˇsak pouˇz´ıt aproximaˇcn´ı vztah, kter´ y je ˇcasto vyuˇz´ıván pˇri urˇcován´ı nejistoty mˇeˇren´ı. Funkci náhodné promˇenné x lze vyjádˇrit Taylorov´ ym polynomem (nebo také Taylorovou ˇradou) v bodˇe jej´ı stˇredn´ı hodnoty E(x): ∞ X 1 di y = g(x) = g(E(x)) + (x − E(x))i · · i g(E(x)) i! dx i=1

(70)

Pokud je odchylka (x−E(x)) dostateˇcnˇe malá v porovnán´ı s v´ ysledkem funkce g(E(x)), je vhodné zanedbat vyˇsˇs´ı mocniny ˇrady a závislost aproximovat pˇr´ımkou: d g(E(x)) (71) dx T´ım dojdeme k d˚ uleˇzit´ ym aproximaˇcn´ım vztah˚ um pro stˇredn´ı hodnotu a rozptyl v´ ysledku: d (72) E(y) = E(g(x)) ≈ E g(E(x)) + (x − E(x)) · g(E(x)) = g(E(x)) dx y = g(x) = g(E(x)) + (x − E(x)) ·

2 d d D(y) = D(g(x)) ≈ D g(E(x)) + (x − E(x)) · g(E(x)) = g(E(x)) · D(x) dx dx (73) Pro funkci v´ıce náhodn´ ych promˇenn´ ych lze za pˇredpokladu jejich vzájemné nezávislosti doj´ıt k podobn´ ym v´ ysledk˚ um s parciáln´ımi derivacemi: E(y) ≈ g(E(x1 ), E(x2 ), ..., E(xn ))

(74)

2 n X ∂ D(y) ≈ g(E(xi )) · D(xi ) ∂xi i=1

(75)

42

Funkce

V´ ysledn´ y rozptyl D(x) D(y) (E(x) · E(y))2 · E(x) + 2 E(y)2 2 E(x) D(x) D(y) · + 2 2 E(y) E(x) E(y)

1

x·y

2

x y

3

1 x

4

x2

4 · E(x)2 · D(x)

5

x2 + y 2

4 · E(x)2 · D(x) + 4 · E(y)2 · D(y)

6

1 x2 +y 2

4·E(x)2 ·D(x)+4·E(y)2 ·D(y) (E(x)2 +E(y)2 )4

7

sin(x)

cos2 (E(x)) · D(x)

8

cos(x)

sin2 (E(x)) · D(x)

1 E(x)2

·

V´ ysledn´ y variaˇ cn´ı koeficient

D(x) E(x)2

p 2 vx + vy2 p 2 vx + vy2 vx 2 · vx

Tabulka 5: Aproximace rozptyl˚ u nˇekter´ ych funkc´ıch náhodn´ ych promˇenn´ ych, které jsou vyuˇz´ıvány v programu aktivn´ıho filtru a dále popisovan´ ych algoritm˚ u D˚ uleˇzité je, ˇze vztahy (72) aˇz (75) lze pouˇz´ıt pouze v pˇr´ıpadech, kdy jsou odchylky náhodn´ ych promˇenn´ ych velmi malé v porovnán´ı se stˇredn´ı hodnotou v´ ysledku. Na to je tˇreba dávat pozor pˇri kaˇzdém pouˇzit´ı tˇechto vztah˚ u. V tabulce 5 jsou odvozené aproximace nˇekter´ ych vztah˚ u, které jsou pouˇz´ıvány dále v algoritmech. Za povˇsimnut´ı stoj´ı dvˇe vˇeci. Pokud srovnáme vztah pro rozptyl souˇcinu na prvn´ım ˇrádku tabulky a vztah pro kvadrát náhodné promˇenné na ˇctvrtém ˇra´dku, zjist´ıme, ˇze si po dosazen´ı E(x) = E(y) a D(x) = D(y) neodpov´ıdaj´ı. D˚ uvodem je, ˇze u souˇcinu pˇredpokládáme nezávislost náhodn´ ych veliˇcin, zat´ımco v pˇr´ıpadˇe kvadrátu je korelace náhodn´ ych veliˇcin vstupuj´ıc´ıch do souˇcinu rovna 1. Druhou vˇec´ı je, ˇze ve vˇsech pˇr´ıpadech je v´ ysledn´ y rozptyl závisl´ y na stˇredn´ı hodnotˇe vstupuj´ıc´ıch veliˇcin. Zˇrejmˇe je v takovém pˇr´ıpadˇe nutné b´ yt velice opatrn´ y pˇri volbˇe bitov´ ych rozsah˚ u a pokud moˇzno provádˇet kvantován´ı jen pokud je to nezbytné. Pro pˇr´ıklad si m˚ uˇzeme vz´ıt implementovan´ y v´ ypoˇcet kompenzaˇcn´ıho proudu v programu paraleln´ıho aktivn´ıho harmonického filtru. Ten je definován následuj´ıc´ım vztahem: 1 uα uβ −˜ p iα · · (76) = 2 2 uβ −uα −q iβ uα + uβ Anal´ yza uvedeného vztahu je relativnˇe obt´ıˇzná. Zde se omez´ıme na speciáln´ı pˇr´ıpad pr˚ ubˇeh˚ u fázov´ ych napˇet´ı a proud˚ u v s´ıti. Pˇredpokládejme, ˇze napˇet´ı v s´ıti jsou sinusová, symetrická a pr˚ ubˇeh proudu obsahuje urˇcité mnoˇzstv´ı harmonick´ ych. Pak hodnota zvlnˇené ˇca´sti aktivn´ıho v´ ykonu p˜ je nulová a souˇcet kvadrát˚ u transformovan´ ych napˇet´ı uα a uβ je konstantn´ı. Zároveˇ n rozptyly obou tˇechto veliˇcin maj´ı stejnou hodnotu, jelikoˇz oba signály jsou pˇrevedeny stejn´ ym A/D pˇrevodn´ıkem. Pro variaˇcn´ı koeficient jmenovatele zlomku ve vztahu (76) tak lze dle v´ ysledku na 5. ˇra´dku tabulky 5 z´ıskat: D(uα ) = D(uβ ) = σ 2

43

(77)

s v(u2α + u2β ) =

s

D(u2α + u2β ) (E(uα )2 + E(uβ

)2 )2

=

4·

σ2 E(uα )2 + E(uβ )2

(78)

Jmenovatel rovnice(78) z˚ ustává za dˇr´ıve uveden´ ych podm´ınek konstantn´ı. Proto se nemˇen´ı ani v´ ysledn´ y variaˇcn´ı koeficient. Pro kompenzaˇcn´ı sloˇzku proudu α tak pˇri nulovém aktivn´ım v´ ykonu z´ıskáváme rovnici: iα =

u2α

uβ · (−q) + u2β

Pokud neprovád´ıme kvantován´ı meziv´ ysledk˚ u, pak dle tabulky 5 m˚ uˇzeme urˇcit hodnotu v´ ysledného varianˇcn´ıho koeficientu: q v(iα ) = v(uβ )2 + v(q)2 + v(u2α + u2β ) Ted’ je jiˇz jasné, ˇze v´ ysledn´ y varianˇcn´ı koeficient bude vˇzdy vyˇsˇs´ı neˇz je varianˇcn´ı koeficient napˇet´ı uβ a ˇze chyba je v kaˇzdém okamˇziku u ´mˇerná stˇredn´ı hodnotˇe. Pokud budeme kvantovat meziv´ ysledky, tak t´ım velmi zv´ yˇs´ıme rozptyl v´ ysledku pˇredevˇs´ım v pˇr´ıpadˇe n´ızk´ ych stˇredn´ıch hodnot. Jedin´ y v´ ysledek, pro kter´ y má kvantován´ı smysl, je v´ ypoˇcet kompenzaˇcn´ıch proud˚ u. Zde bude aditivn´ı pˇr´ır˚ ustek rozptylu nejniˇzˇs´ı. Pochopitelnˇe je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze v´ ysledné vztahy jsou pouze aproximac´ı skuteˇcnosti, která je dostateˇcná jen pro malé odchylky náhodn´ ych veliˇcin od stˇredn´ı hodnoty. Pro vˇetˇs´ı odchylky v porovnán´ı se stˇredn´ı hodnotou bychom museli zvolit mnohem komplikovanˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı.Pˇr´ıkladem by mohly b´ yt vzorky vstupn´ıch signál˚ u (stˇredn´ı hodnoty), které nab´ yvaj´ı hodnot bl´ızk´ ych nule. Zˇrejmˇe vˇsak jiˇz lze vytuˇsit, ˇze tam bude rozptyl v´ ysledku bl´ızk´ y rozptylu, kter´ y je dán pouze kvantován´ım v´ ystupu. Nepˇredpokládáme totiˇz v´ yznamnou zmˇenu hodnoty jmenovatele vztahu (76) a v´ ysledn´ y rozptyl je tedy dán pˇredevˇs´ım rozptylem souˇcinu, kter´ y jsme pˇresnˇe odvodili vztahem (67). Ten se jasnˇe sniˇzuje s klesaj´ıc´ı hodnotou stˇredn´ıch hodnot vstup˚ u. ´ Uspory v bitov´ ych rozsaz´ıch bez v´ yznamného ovlivnˇen´ı v´ ysledku by bylo moˇzné dosáhnout v pˇr´ıpadˇe jmenovatele vztahu (76). Zde se totiˇz dá pˇredpokládat urˇcitá nemˇenná minimáln´ı hodnota rozptylu. Nicménˇe v c´ılové aplikaci [8] nebyl kvantován ani tento meziv´ ysledek. Blokové schéma v´ ypoˇctu i s nastaven´ ymi bitov´ ymi rozsahy je na obrázku 21.

44

Obrázek 21: V´ ypoˇcet kompenzaˇcn´ıch proud˚ u z transformovan´ ych napˇet´ı a filtrovan´ ych v´ ykon˚ u s naznaˇcen´ ymi bitov´ ymi rozsahy

5.2

V´ ypoˇ cet stˇ redn´ı hodnoty

D˚ uleˇzitou souˇcást´ı algoritmu ˇr´ızen´ı harmonického filtru, kter´ y je zaloˇzen na teorii okamˇzitého v´ ykonu, je v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty signál˚ u. V knize [1] ˇreˇs´ı autoˇri tento u ´kol pomoc´ı filtr˚ u s nekoneˇcnou impulsn´ı odezvou (IIR). Jak bude dále ukázáno, m˚ uˇze b´ yt implementace takov´ ych filtr˚ u v pevné ˇrádové ˇcárce dosti komplikovan´ yu ´kol. Proto byly zkouˇseny i alternativn´ı v´ ypoˇcty, které jsou zaloˇzeny na filtrech s koneˇcnou impulsn´ı odezvou (FIR). Jako velmi zaj´ımavá alternativa byl zkoumán také v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty s filtry CIC. V´ ysledky tohoto u ´sil´ı byly prezentovány v práci [23].

5.2.1

Filtry IIR

Filtry s nekoneˇcnou impulsn´ı odezvou (IIR) jsou ˇc´ıslicovou obdobou analogov´ ych filtr˚ u. Jejich pˇrenos je urˇcen racionáln´ı lomenou funkc´ı: H (z) =

aM · z M + ... + a1 · z + a0 , bN · z N + ... + b1 · z + b0

(79)

ˇ Citatel urˇcuje koeficienty nerekurzivn´ı ˇca´sti filtru a jmenovatel pˇredstavuje koeficienty rekurzivn´ı ˇca´sti filtru. M resp. N jsou v rovnici (79) ˇra´dy polynomu ˇcitatele resp. jmenovatele. Obvykle plat´ı, ˇze M ≤ N . Rekurzivn´ı ˇca´st pˇrenosové funkce vytváˇr´ı nekoneˇcnou impulsn´ı odezvu filtru a zároveˇ n umoˇzn ˇuje rychlé zmˇeny pˇrenosu v závislosti na frekvenci. D´ıky n´ı lze dosáhnout i pˇri n´ızk´ ych ˇrádech polynom˚ u pˇrenosové funkce rychlého pˇrechodu mezi propustn´ ym a nepropustn´ ym pásmem. Zároveˇ n vˇsak m˚ uˇze b´ yt zdrojem nestability. 45

Základn´ı podm´ınkou stability ˇc´ıslicov´ ych filtr˚ u je, ˇze koˇreny jmenovatele pˇrenosové funkce (póly) leˇz´ı v z-rovinˇe uvnitˇr jednotkové kruˇznice. Pˇri návrhu filtr˚ u IIR se vyuˇz´ıvá podobnosti jejich pˇrenosov´ ych funkc´ı s analogov´ ymi filtry. Proto je nejdˇr´ıve navrˇzen analogov´ y prototyp pˇrenosové funkce v p-rovinˇe, kter´ y je ˇ následnˇe vhodnou transformac´ı pˇreveden na pˇrenosovou funkci v z-rovinˇe. Casto uˇz´ıvan´ ymi transformaˇcn´ımi metodami jsou invariantn´ı impulsn´ı odezva“ a bilineárn´ı transfor” ” mace“. Prototypy pˇrenosov´ ych funkc´ı se navrhuj´ı obvykl´ ymi postupy aproximace poˇzadované frekvenˇcn´ı charakteristiky. Pro urˇcen´ı stˇredn´ı hodnoty se v´ yhradnˇe pouˇz´ıvá filtr typu doln´ı propust, kter´ y obvykle vycház´ı z pˇrenosové funkce z´ıskané Butterworthovou nebo ˇ Cebyˇ sevovou aproximac´ı. V´ yhodou tˇechto dvou aproximac´ı je neklesaj´ıc´ı u ´tlum v nepropustném pásmu. Podobnˇe jako tomu je u analogov´ ych filtr˚ u, má mezn´ı frekvence v´ yznamn´ y vliv na hodnoty koeficient˚ u pˇrenosové funkce. Koeficienty ˇc´ıslicového filtru IIR jsou ovlivˇ novány pomˇerem mezn´ı a vzorkovac´ı frekvence. Jelikoˇz frekvence s´ıtˇe je 50 Hz a obvyklá vzorkovac´ı frekvence se pohybuje v rozmez´ı jednotky aˇz des´ıtky kHz, vycház´ı tento pomˇer zhruba v intervalu h0, 0001; 0, 01i. Pˇr´ıklad hodnot koeficient˚ u pro Butterworthovu aproximaci a v daném intervalu mezn´ıch frekvenc´ı je uveden v tabulce 6. Dané v´ ysledky byly z´ıskány pomoc´ı softwaru MATLAB. V tabulce jsou uvedeny pouze koeficienty pro filtr 3. ˇra´du. Pro vyˇsˇs´ı ˇrády filtr˚ u, které jiˇz nejsou souˇcást´ı tabulky, vycházej´ı hodnoty koeficient˚ u ˇcitatele jeˇstˇe niˇzˇs´ı a koˇreny jmenovatele se v´ıce pˇribliˇzuj´ı jednotkové kruˇznici. Hlavn´ı nev´ yhoda filtr˚ u IIR je právˇe v jejich koneˇcné implementaci. V projektech souvisej´ıc´ıch s touto prac´ı byla vˇetˇsina program˚ u s v´ ypoˇcty filtr˚ u realizována v pevné ˇrádové ˇca´rce. Zˇrejmˇe realizace IIR filtru stˇredn´ı hodnoty s koeficienty z tabulky 6 je obt´ıˇzná hned z nˇekolika d˚ uvod˚ u. Pˇrednˇe hodnoty koeficient˚ u ˇcitatele pˇrenosové funkce jsou velmi malé. Pro zobrazen´ı ˇc´ısel s ˇrády 10−9 je nutné v´ıce jak 30 bit˚ u vyjadˇruj´ıc´ıch zlomkovou ˇcást ˇc´ısla. Dalˇs´ım problémem jsou koˇreny jmenovatele, které jsou velice bl´ızko jednotkové kruˇznici. Z toho d˚ uvodu je nutné vyjadˇrovat vˇsechny koeficienty s velkou pˇresnost´ı, coˇz pˇrináˇs´ı dalˇs´ı nár˚ ust délky registr˚ u. Nakonec dynamick´ y rozsah registr˚ u mus´ı b´ yt dostateˇcn´ y i pro zobrazen´ı celoˇc´ıselné ˇcásti koeficient˚ u jmenovatele a jejich souˇcinn˚ u se vzorky filtrovaného signálu. Je jasné, ˇze stabiln´ı a spolehlivé filtry s koeficienty z 1. nebo 2. ˇra´dku tabulky 6 jsou pˇri 16bitov´ ych nebo 32bitov´ ych registrech v aritmetice s pevnou ˇra´dovou ˇca´rkou v podstatˇe nerealizovatelné. V pˇr´ıpadˇe aritmetiky s plovouc´ı ˇra´dovou ˇcárkou je situace podobná. Zobrazen´ı ˇc´ısel s ˇrádov´ ymi rozd´ıly zde neˇcin´ı pot´ıˇze. Ty nastávaj´ı, aˇz kdyˇz jsou podobná ˇc´ısla v´ ysledkem urˇcité mezioperace a maj´ı b´ yt ve v´ ypoˇcetn´ım algoritmu IIR filtru seˇctena. V jednoduché pˇresnosti je k dispozici pouze 24 bit˚ u mantisy a do nich se mus´ı vej´ıt v´ ysledek souˇctu. Sˇc´ıtán´ı ˇc´ısel mezi nimiˇz je v´ıce jak 6 ˇra´d˚ u rozd´ıl je uˇz zat´ıˇzeno velkou chybou. V krajn´ım pˇr´ıpadˇe je v´ ysledek roven vˇetˇs´ımu z obou ˇc´ısel. Jednou z moˇznost´ı jak tento problém ˇreˇsit je pouˇzit´ı decimace, tj. sn´ıˇzen´ı frekvence urˇcit´ ym dˇelitelem a ˇrazen´ı nˇekolika filtr˚ u za sebe tak, jak je to na obrázku 22. V tomto pˇr´ıpadˇe je moˇzné pouˇz´ıt filtry, které maj´ı vyˇsˇs´ı pomˇer mezi mezn´ı a vzorkovac´ı frekvenc´ı, kde jiˇz nejsou tak vysoké nároky na pˇresnost koeficient˚ u (viz tabulka 6). Na druhou stranu zde pˇrib´ yvá problém s moˇzn´ ym aliasingem a v´ ysledné uskupen´ı má mnohem vyˇsˇs´ı nároky na pamˇet’ a dobu zpracován´ı. Pochopitelnˇe program aktivn´ıho harmonického kondicionéru vyˇzaduje nedecimovan´ y u ´daj o stˇredn´ı hodnotˇe v´ ykonu. To lze zajistit jednoduchou interpolac´ı decimovaného pr˚ ubˇehu schodovitou funkc´ı. Doposud provedené pokusy naznaˇcuj´ı, ˇze takové ˇreˇsen´ı je pro chod programu dostaˇcuj´ıc´ı.

46

fmez /fs

Koef. ˇ citatele

Koef. jmenovatele

Koˇ reny jm.

0,0001

a3 = 0

b3 = 1

0, 9997 ± j0, 0005

a2 = 0

b2 = −2, 999

0, 9994

a1 = 0, 124 · 10−9 −9

0,001

a0 = 0, 1239 · 10

b0 = −0, 999

a3 = 0

b3 = 1

0, 9968 ± j0, 0054

b2 = −2, 987

0, 9937

a2 = 0 −6

0,01

a1 = 0, 1235 · 10

b1 = 2, 975

a0 = 0, 123 · 10−6

b0 = −0, 988

a3 = 0

b3 = 1

0, 9676 ± j0, 0527

b2 = −2, 874

0, 9391

a2 = 0 −3

0,05

0,1

0,15

b1 = 2, 998

a1 = 0, 1189 · 10

b1 = 2, 757

a0 = 0, 114 · 10−3

b0 = −0, 882

a3 = 0

b3 = 1

0, 8232 ± j0, 2297

a2 = 0

b2 = −2, 377

0, 7304

a1 = 0, 0125

b1 = 1, 933

a0 = 0, 0101

b0 = −0, 534

a3 = 0

b3 = 1

0, 6249 ± j0, 3781

a2 = 0

b2 = −1, 783

0, 5335

a1 = 0, 0797

b1 = 1, 2

a0 = 0, 0526

b0 = −0, 2846

a3 = 0

b3 = 1

0, 4276 ± j0, 4548

a2 = 0

b2 = −1, 245

0, 3897

a1 = 0, 2117

b1 = 0, 723

a0 = 0, 1138

b0 = −0, 152

Tabulka 6: Koeficienty IIR filtru - Butterworthova aproximace, N= 3, pomˇer mezn´ı a vzorkovac´ı frekvence v intervalu h0, 0001; 0, 15i

47

Obrázek 22: Blokové schéma IIR filtru stˇredn´ı hodnoty s decimac´ı

5.2.2

Filtry FIR

Filtry FIR (Finite Impulse Response) jsou filtry s koneˇcnou impulsn´ı odezvou. Pˇrenosová funkce tˇechto filtr˚ u neobsahuje rekurzivn´ı ˇcást a jej´ı koeficienty jsou rovny hodnotám impulsn´ı odezvy v jednotliv´ ych vzorc´ıch: H (z) = aN −1 · z N −1 + ... + a1 · z + a0

(80)

Tyto filtry maj´ı ˇradu v´ yhod. Filtry se symetrickou nebo antisymetrickou impulsn´ı charakteristikou vykazuj´ı konstantn´ı skupinové zpoˇzdˇen´ı (lineárn´ı fázi). Jelikoˇz neobsahuj´ı rekurzivn´ı ˇca´st, jsou vˇzdy stabiln´ı. Efekt koneˇcné délky slova má menˇs´ı vliv na v´ yslednou frekvenˇcn´ı charakteristiku, neˇz je tomu v pˇr´ıpadˇe IIR filtr˚ u. Na druhou stranu k dosaˇzen´ı t´ ychˇz u ´tlum˚ u a pˇrechodov´ ych pásem filtru je nutn´ y mnohem vyˇsˇs´ı ˇra´d polynomu pˇrenosové funkce neˇz je tomu u filtr˚ u IIR. Nejjednoduˇsˇs´ı strukturou filtr˚ u FIR je filtr klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u. Pˇrenosová funkce je následuj´ıc´ıho tvaru: H (z) =

N −1 1 X −i · z N i=0

(81)

Jak bude uvedeno dále, v´ yhodnost tohoto typu filtru je v jeho relativnˇe snadné implementaci. Jde pˇredevˇs´ım o fakt, ˇze vˇsechny koeficienty jsou stejné a rovné 1/N . V pˇr´ıpadˇe filtru stˇredn´ı hodnoty je ˇzádouc´ı, aby byl pr˚ umˇer vypoˇc´ıtáván pˇresnˇe pˇres celou periodu mˇeˇreného signálu. Pˇri nemˇenném ˇra´du filtru to lze zajistit pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze vzorkovac´ı frekvence bude celoˇc´ıseln´ ym násobkem frekvence mˇeˇreného signálu. T´ım budou zajiˇstˇeny na vˇsech harmonick´ ych frekvenc´ıch mˇeˇreného signálu nuly pˇrenosu. Zároveˇ n se tak zv´ yˇs´ı odolnost ˇc´ıslicového zpracován´ı v˚ uˇci aliasingu, jelikoˇz nuly pˇrenosu se budou opakovat na symetrick´ ych pozic´ıch i za Nyquistovou frekvenc´ı. Harmonické, které se v tomto smyslu nepˇr´ıznivˇe projev´ı, budou jen ty se vzorkovac´ı frekvenc´ı a jej´ımi násobky. Pro lepˇs´ı pˇredstavu je tento efekt ukázán na obrázku 23, kde je pˇr´ıklad filtru klouzavého pr˚ umˇeru pro N = 10. Velkou nev´ yhodou filtru klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u jsou pamˇet’ové nároky. Aby byl zajiˇstˇen v´ ypoˇcet pˇres celou periodu mˇeˇreného signálu, mus´ı b´ yt ˇra´d filtru roven pod´ılu vzorkovac´ı frekvence fs a frekvence mˇeˇreného signálu f : N=

fs f

(82)

V pˇr´ıpadˇe aktivn´ıho harmonického kondicionéru má mˇeˇren´ y signál s´ıt’ov´ y kmitoˇcet3 . 3

Ve skuteˇcnosti je kmitoˇcet okamˇzit´ ych v´ ykon˚ u dvojnásobn´ y. S´ıt’ov´ y kmitoˇcet je uvaˇzován z toho d˚ uvodu, ˇze stejn´ y filtr lze vyuˇz´ıt i k odstranˇen´ı neˇzádouc´ı stejnosmˇerné sloˇzky, která se m˚ uˇze objevit

48

Obrázek 23: Amplitudová frekvenˇcn´ı charakteristika filtru klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u pro N = 10, odpov´ıdá funkci sin(x)/x Za pˇredpokladu vzorkovac´ı frekvence napˇr´ıklad 20 kHz, je nutné v pamˇeti programu uchovávat 399 vzork˚ u minul´ ych hodnot. Dalˇs´ı nepˇr´ıjemnou vlastnost´ı je n´ızké potlaˇcen´ı postrann´ıch lalok˚ u (nepropustné pásmo). Pokud se v napájec´ım systému vyskytuj´ı signály, které maj´ı jinou frekvenci neˇz je frekvence nˇekteré harmonické, nemus´ı b´ yt dostateˇcnˇe potlaˇceny. Vyˇsˇs´ıch u ´tlum˚ u lze dosáhnout kaskádn´ım ˇrazen´ım jednotliv´ ych filtr˚ u klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u. Nicménˇe t´ım také znaˇcnˇe nar˚ ustaj´ı pamˇet’ové nároky.

5.2.3

Filtry CIC

Z hlediska pamˇet’ov´ ych nárok˚ u je pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty nejvhodnˇejˇs´ı filtr, kter´ y je v anglické literatuˇre naz´ yvan´ y Cascaded Integrator-Comb (dále CIC). Název odpov´ıdá faktu, ˇze tento typ filtru se pouˇz´ıvá jako kaskáda integraˇcn´ıch a hˇrebenov´ ych filtr˚ u. Zapojen´ı filtru vycház´ı z rekurentn´ıho v´ ypoˇctu klouzavého pr˚ umˇeru. Pˇrenosová funkce klouzavého pr˚ umˇeru je dána ˇcásteˇcn´ ym souˇctem: N −1 1 X −i 1 1 − z −N y · z = · H(z) = = x N i=0 N 1 − z −1

(83)

V´ ysledek vztahu (83) lze chápat jako souˇcin pˇrenosové funkce integrátoru a hˇrebenového filtru. S t´ımto pˇredpokladem vˇsak narostl poˇcet pamˇet’ov´ ych prvk˚ u z p˚ uvodn´ıch (N −1) ´ na (N + 1). Uspory pamˇeti vˇsak lze dosáhnout pouˇzit´ım tohoto filtru v kombinaci s decimac´ı vzorkovac´ı frekvence faktorem R. Decimace se zaˇrazuje mezi integrátor a hˇrebenov´ y filtr. Pro p˚ uvodn´ı vzorkovac´ı frekvenci se frekvenˇcn´ı charakteristika klouzavého pr˚ umˇeru ˇ ad hˇrebenového filtru lze sn´ıˇzit na hodnotu N/R. Je zˇrejmé, ˇze v´ nezmˇen´ı. R´ ypoˇcet v sign´ alech z mˇeˇric´ıch ˇclen˚ u s´ıt’ov´ ych napˇet´ı a proud˚ u.

49

(a) Filtr s nedecimovanou v´ ystupn´ı vzorkovac´ı frekvenc´ı

(b) Filtr s nedecimovanou v´ ystupn´ı frekvenc´ı a moˇznost´ı zmˇeny ˇs´ıˇrky okna plovouc´ıho pr˚ umˇeru

Obrázek 24: Zapojen´ı CIC filtru pro v´ ypoˇcet plovouc´ıho pr˚ umˇeru z N vzork˚ u v´ ystupn´ı hodnoty se ve v´ ysledné struktuˇre zjednoduˇsil pouze na sˇc´ıtán´ı (odˇc´ıtán´ı) vzork˚ u. Násoben´ı koeficientem 1/N lze provádˇet na v´ ystupu CIC decimátoru, tj. jiˇz na sn´ıˇzené frekvenci. Pro u ´ˇcely programu aktivn´ıho harmonického kondicionéru lze volit N = R. Ve v´ ysledné struktuˇre jsou pak filtry pouze 1. ˇra´du a daná struktura má minimáln´ı pamˇet’ové nároky. Protoˇze je vˇsak hodnota N zároveˇ n rovna poˇctu vzork˚ u v jedné periodˇe vstupn´ıho signálu, je u ´daj o jeho stˇredn´ı hodnotˇe k dispozici jen jednou za dobu této periody. Proto je vhodné v´ ystup interpolovat schodovitou funkc´ı. K tomu lze vyuˇz´ıt podobnou strukturu CIC s prohozen´ım poˇrad´ı blok˚ u hˇrebenového filtru a integraˇcn´ıho ˇclánku (viz obrázek 24a). Pˇri poˇzadavku na vyˇsˇs´ı u ´tlum postrann´ıch lalok˚ u lze opˇet ˇradit jednotlivé sekce filtr˚ u za sebou. V pˇr´ıpadˇe v´ yskytu signál˚ u na jin´ ych neˇz harmonick´ ych frekvenc´ıch je toto ˇreˇsen´ı na m´ıstˇe, protoˇze po zaveden´ı decimace opˇet v´ yznamnˇe hroz´ı vliv aliasingu. Zˇrejmˇe pˇredpokládan´ y v´ ypoˇcet pr˚ umˇeru poˇc´ıtá s t´ım, ˇze nuly pˇrenosu se budou vˇzdy nacházet na frekvenc´ıch harmonick´ ych. Proto je vhodné celé schéma decimace-filtraceinterpolace pˇrizp˚ usobovat aktuáln´ı frekvenci. Pokud je v ˇr´ıd´ıc´ım systému jiˇz pˇr´ıtomen fázov´ y závˇes nebo jin´ y systém, kter´ ym je mˇeˇrena frekvence základn´ı harmonické, pak je tento u ´kol pro programátora velice jednoduch´ y. Zˇrejmˇe takto nelze zajistit vˇzdy pˇresnˇe shodu polohy nul a frekvence harmonick´ ych. K tomu by musela b´ yt vˇzdy splnˇena následuj´ıc´ı podm´ınka: N = R = fs /f1

(84)

V rovnici (84) je f1 základn´ı harmonická frekvence a fs je vzorkovac´ı frekvence. Jelikoˇz N i R jsou celá ˇc´ısla, je splnˇen´ı uvedeného vztahu sp´ıˇse v´ yjimeˇcné. Nicménˇe vzhledem k bˇeˇzn´ ym pomˇer˚ um vzorkovac´ı a základn´ı frekvence b´ yvá odchylka malá a u ´tlum harmonick´ ych z˚ ustává vysok´ y. V´ ysledné schéma, které bylo pouˇzito v programu aktivn´ıho harmonického filtru je na obrázku 24b.

5.2.4

Porovn´ an´ı filtr˚ u stˇ redn´ı hodnoty

Filtry stˇredn´ı hodnoty byly implementovány pomoc´ı programu LabView do hradlového pole platformy CompatRIO. Byly srovnávány pˇredevˇs´ım vlastnosti filtru CIC s filtrem IIR s dvojnásobnou decimac´ı 4. Frekvenˇcn´ı charakteristiky sekc´ı filtru IIR na jednotliv´ ych

50

vzorkovac´ıch kmitoˇctech jsou zobrazeny na obrázku 25. Charakteristika CIC filtru na nedecimované vzorkovac´ı frekvenci pro N = 400 je na obrázku 26. IIR filtr byl navrˇzen a zkouˇsen pro vzorkovac´ı frekvenci 10 kHz, zat´ımco CIC decimátor byl odzkouˇsen pro vzorkovac´ı frekvenci 20 kHz. Vstupn´ı i v´ ystupn´ı délka slova obou filtr˚ u byla 32 bit˚ u. V pˇr´ıpadˇe IIR filtru byly nˇekteré meziv´ ysledky poˇc´ıtány v 64bitové pˇresnosti. V´ ysledky pˇreklad˚ u jsou uvedeny v tabulce 7. Prvn´ı ˇrádek tabulky se t´ yká pˇrekladu pouze základn´ı struktury zkuˇsebn´ıho programu bez filtr˚ u. ´ Sloupce tabulky maj´ı názvy v souladu s v´ ypisem zprávy po pˇrekladu. Udaj Total ” Slices“ odpov´ıdá poˇctu vyuˇzit´ ych programovateln´ ych logick´ ych prvk˚ u, které jsou tvoˇreny generátory logické funkce (LUT - Look-Up Tables) a klopn´ ymi obvody (Flip Flops). Pro porovnán´ı nároˇcnosti obou implementac´ı postaˇcuje sloupec Total Slices“, kter´ y udává ” celkov´ y poˇcet vyuˇzit´ ych logick´ ych bunˇek na hradlovém poli. Program Testovac´ı program IIR filtr s decimac´ı

Total Slices Flip Flops

Total LUT

2, 7%

2, 1%

2, 4%

778 z 28800

599 z 28800

680 z 28800

36, 9%

10, 3%

35, 6%

10629 z 28800 2960 z 28800 10265 z 28800 CIC decimátor

4, 5%

3, 4%

3, 5%

1285 z 28800 987 z 28800 1003 z 28800 Tabulka 7: V´ ysledek pˇrekladu testovan´ ych program˚ u pro hradlové pole Aˇckoliv pouˇzit´ı IIR filtru s decimac´ı m˚ uˇze b´ yt v jistém ohledu v´ yhodnˇejˇs´ı, je z v´ ysledk˚ u pˇreklad˚ u program˚ u patrné, ˇze zab´ırá mnohonásobnˇe v´ıce prostˇredk˚ u FPGA v porovnán´ı s CIC decimátorem. To byl také hlavn´ı d˚ uvod proˇc nebylo moˇzné tento typ filtru v programu aktivn´ıho harmonického kondicionéru pouˇz´ıt. IIR filtr má po decimaci vyˇsˇs´ı vzorkovac´ı kmitoˇcet, tud´ıˇz je stˇredn´ı hodnota aktualizována v kratˇs´ıch intervalech. Nicménˇe skupinové zpoˇzdˇen´ı pro n´ızké hodnoty frekvenc´ı je u obou filtr˚ u zhruba stejné a rovné 0, 01 s, coˇz je teoreticky minimáln´ı doba, za kterou je moˇzné z´ıskat správn´ yu ´daj o stˇredn´ı hodnotˇe v´ ykonu po jej´ı zmˇenˇe. Z hlediska dynamického chován´ı aktivn´ıho filtru je v´ yhodnˇejˇs´ı koneˇcná impulzn´ı odezva. Pˇrechodné dˇeje tak maj´ı vˇzdy definovanou dobu trván´ı. Filtr IIR si zachovává vysok´ y u ´tlum v ˇsirokém pásmu frekvenc´ı. Charakteristika CIC filtru je ve stejném pásmu zvlnˇená a maxima lalok˚ u klesaj´ı mnohem pomaleji. Jak bylo uvedeno dˇr´ıve, je dan´ y filtr z toho d˚ uvodu navrhován tak, aby nuly pˇrenosové funkce odpov´ıdaly základn´ı frekvenci a jej´ım násobk˚ um. Pokud tento pˇredpoklad nebude splnˇen, bude filtrovan´ y signál stˇredn´ı hodnoty v´ ykonu obsahovat stˇr´ıdavou sloˇzku. Jelikoˇz je v´ ystup filtru nav´ıc decimován aˇz na frekvenci 50 Hz, bude m´ıt tato sloˇzka na v´ ystupu filtru kv˚ uli aliasingu n´ızkou frekvenci a hlavnˇe m˚ uˇze dosahovat relativnˇe velké amplitudy.

51

Obrázek 25: Charakteristiky jednotliv´ ych sekc´ı IIR filtru ˇra´du N = 3 na dan´ ych vzorkovac´ıch frekvenc´ıch, mezn´ı frekvence sekce je fmez = 31, 25 Hz pro vzorkovac´ı frekvenc´ı fs = 625 Hz

Obrázek 26: Charakteristika filtru klouzav´ ych pr˚ umˇer˚ u pro N = 400 a vzorkovac´ı frekvenci fs = 20 kHz

52

5.3

F´ azov´ e z´ avˇ esy

Fázové závˇesy se vyuˇz´ıvaj´ı pˇri synchronizaci dvou signál˚ u. Jeden signál je obvykle generovan´ y (m˚ uˇze to b´ yt vˇsak i napˇr´ıklad v´ ystup filtru typu pásmová propust u n´ıˇz lad´ıme centráln´ı frekvenci) a jeho frekvence a fáze se zavˇeˇsuje na frekvenci a fázi vstupn´ıho mˇeˇreného signálu. Obecné schéma fázového závˇesu je na obrázku 27. Oscilátor generuje sinusov´ y signál, jehoˇz frekvence je u ´mˇerná u ´rovni vstupu ω. Pro sinusov´ y vstupn´ı pr˚ ubˇeh: x = Xm · sin(ωref · t + ψ) = Xm · sin(θ)

(85)

vycház´ı pro vstupn´ı odchylku PI regulátoru e vztah: Xm Xm · sin(θ − ϕ) + · sin(θ + ϕ) (86) 2 2 V rovnic´ıch (85) a (86) je Xm amplituda vstupn´ıho pr˚ ubˇehu, θ je fáze vstupu a ϕ je v´ ystupn´ı fáze fázového závˇesu (PLL - Phase Locked Loop). V´ ystupn´ı fáze je v´ ysledkem integrace v´ ystupu regulátoru, kter´ y odpov´ıdá u ´hlové frekvenci, podle ˇcasu: Z ϕ = ωdt (87) e = Xm · sin(θ) · cos(ϕ) =

Prvn´ı ˇclen v´ ysledku rovnice (86) postupnˇe klesá k nule, jak se vzájemnˇe oba signály dostávaj´ı do synchronizace. Frekvence kmitán´ı odchylky, p˚ usobená t´ımto ˇclenem je velmi n´ızká a d´ıky této sloˇzce se cel´ y závˇes lad´ı. Druh´ y ˇclen je pˇr´ıtomen i po naladˇen´ı a v´ ystupn´ı odchylka bude po synchronizaci vˇzdy kmitat s dvojnásobnou frekvenc´ı vstupu a s poloviˇcn´ı amplitudou. Danou sloˇzku v´ ysledku je nutné dostateˇcnˇe filtrovat PI regulátorem, jinak docház´ı ke zkreslován´ı v´ ystupn´ıho sinusového pr˚ ubˇehu. PI regulátor zˇrejmˇe v´ yznamnˇe ovlivˇ nuje i stabilitu a dynamické vlastnosti celého algoritmu. Pro vˇetˇs´ı volnost pˇri návrhu jeho parametr˚ u je proto vhodné zbavit se trvalé kmitavé sloˇzky odchylky. Za cenu vyˇsˇs´ı sloˇzitosti algoritmu toho lze dosáhnout pouˇzit´ım filtru nebo napˇr´ıklad algoritmem EPLL (viz kapitola 5.3.3). Hlavn´ı nev´ yhoda vˇsech fázov´ ych závˇes˚ u spoˇc´ıvá ve faktu, ˇze se v algoritmu objevuj´ı obvykle goniometrické funkce. Ty jsou zde nutnost´ı, jelikoˇz na jejich základˇe je vytváˇren v´ ystupn´ı signál. Jednoduˇsˇs´ı fázové závˇesy, které maj´ı obdéln´ıkov´ y v´ ystupn´ı signál, jsou v ˇr´ıd´ıc´ıch systémech aktivn´ıch filtr˚ u ménˇe ˇcasté. Schéma v´ ypoˇctu je stejné, ale vypoˇctená odchylka obsahuje dalˇs´ı frekvenˇcn´ı sloˇzky, které je nutné filtrovat.

5.3.1

F´ azov´ y z´ avˇ es vyuˇ z´ıvaj´ıc´ı okamˇ zit´ e hodnoty v´ ykonu

V publikaci [1] je fázov´ y závˇes nutn´ y pro detekci sousledné symetrické sloˇzky (viz kapitola 5.4.1). K tomu u ´ˇcelu se vyuˇz´ıvá algoritmus na obrázku 28. Ladˇen´ı frekvence je zaloˇzené na jednoduché u ´vaze o okamˇzité hodnotˇe v´ ykonu v 3f tˇr´ıvodiˇcové s´ıti. Ta je

Obrázek 27: Obecné blokové schéma fázového závˇesu

53

Obrázek 28: Fázov´ y závˇes vyuˇz´ıvaj´ıc´ı okamˇzité hodnoty v´ ykonu k z´ıskán´ı základn´ı frekvence vstupn´ıho signálu definována následuj´ıc´ım v´ ypoˇctem (89), kter´ y lze naj´ıt i v obrázku 28 na vstupu do PI regulátoru: ia + ib + ic = 0

(88)

p3f = ua · ia + ub · ib + uc · ic = (ua − ub ) · ia + (uc − ub ) · ic

(89)

Pr˚ ubˇehy fiktivn´ıch proud˚ u ia a ic jsou sinusové. Tyto signály jsou generovány pˇr´ımo ve struktuˇre fázového závˇesu. Pokud je perioda generovan´ ych sinusovek proud˚ u bl´ızká periodˇe vstupn´ıch napˇet´ı, pak okamˇzitá hodnota v´ ykonu obsahuje pomalu se mˇen´ıc´ı sloˇzku. V pˇr´ıpadˇe, ˇze si jsou periody rovny, pak se jedná o stejnosmˇernou sloˇzku v´ ykonu, která je rovna ˇcinnému v´ ykonu. Jej´ı aktuáln´ı hodnota je dána pˇredevˇs´ım fázov´ ym posuvem mezi základn´ımi harmonick´ ymi napˇet´ı a fiktivn´ımi proudy. V pˇr´ıpadˇe fázového posuvu pˇresnˇe 90◦ je tento stejnosmˇern´ y posun roven nule. Vyˇsˇs´ı harmonické sloˇzky napˇet´ı vytváˇrej´ı pouze superponovanou stˇr´ıdavou sloˇzku v´ ykonu a stejnˇe tak je tomu i v pˇr´ıpadˇe zpˇetné a netoˇcivé symetrické sloˇzky. Stejnosmˇerná sloˇzka v´ ykon se mˇen´ı s fázov´ ym posuvem, kter´ y odpov´ıdá funkci cosinus (odpov´ıdá vztahu pro ˇcinn´ y v´ ykon). Nulová hodnota tohoto v´ ykonu vycház´ı pro u ´hly ◦ ◦ 90 a −90 . Zapojen´ı fázového závˇesu zaruˇcuje, ˇze jedin´ ym stabiln´ım bodem nafázován´ı ◦ je u ´hel 90 . V pˇr´ıpadˇe ˇze fáze vzroste, respektive poklesne, vznikne záporná respektive kladná stejnosmˇerná sloˇzka okamˇzitého v´ ykonu. Hodnota okamˇzitého v´ ykonu vstupuje do PI regulátoru ve formˇe odchylky. Ve v´ ysledku docház´ı ke zmenˇsen´ı, respektive ke zvˇetˇsen´ı u ´hlové frekvence a t´ım ke korekci fáze zpˇet na p˚ uvodn´ı hodnotu. Stejn´ y mechanizmus ◦ vˇsak nefunguje v pˇr´ıpadˇe u ´hlu −90 . Zde s rostouc´ım u ´hlem roste stejnosmˇerná sloˇzka v´ ykonu a naopak. Proto je tento u ´hel nestabiln´ım bodem. Nev´ yhodou tohoto algoritmu je právˇe periodická zmˇena stejnosmˇerné sloˇzky v´ ykonu. Pˇri vˇetˇs´ım rozladˇen´ı nen´ı zaruˇceno naladˇen´ı správné u ´hlové frekvence. Pokud je nesymetrie signál˚ u v´ yrazná, pak je sloˇzka v´ ykonu v´ıce zvlnˇená a nemus´ı b´ yt dostateˇcnˇe tlumena PI regulátorem. V´ ystupn´ı frekvence se tak periodicky mˇen´ı, ˇc´ımˇz docház´ı ke zkreslen´ı pr˚ ubˇeh˚ u obou proud˚ u. V publikaci [1] byl algoritmus odzkouˇsen pro vstupn´ı signály s nastaven´ım dle tabulky 8 pro test A. Podrobnˇejˇs´ı popis chován´ı fázového závˇesu je uveden v pˇr´ıloze A, zde jsou uvedeny pouze na obrázc´ıch 29 a 30 v´ ystupn´ı signály pro vstupy dle testu A a B. Regulátor obsahoval pˇri obou testech pouze integraˇcn´ı ˇca´st se ziskem 54

KI = 10−6 . 2. harmonická sloˇzka je pˇri testu pouˇzita jen z d˚ uvodu ovˇeˇren´ı odolnosti závˇesu v˚ uˇci jin´ ym neˇz základn´ı frekvenci. Jej´ı v´ yskyt nelze v s´ıti vylouˇcit a jej´ı frekvence je nejbl´ıˇze základn´ı frekvenci. U testu A nen´ı pozorováno v´ yraznˇe chybné chován´ı v´ ystupu, jelikoˇz zde nen´ı nesymetrie pˇr´ıliˇs v´ yrazná. Zpˇetná symetrická sloˇzka je u testu B v´ıce jak dvojnásobná v porovnán´ı s testem A. Pˇrestoˇze byl zisk integraˇcn´ıho regulátoru zvolan relativnˇe mal´ y, tak se pˇri testu B zmˇeny okamˇzitého v´ ykonu pˇrenáˇsej´ı nezanedbateln´ ym zp˚ usobem na jeho v´ ystup. T´ım docház´ı ke zkreslen´ı v´ ystupn´ıch sinusovek, které je dobˇre patrné po ustálen´ı fázového závˇesu na obrázku 30. Test Sousledn´ a sloˇ zka Zpˇ etn´ a sloˇ zka 2. harmonick´ a sloˇ zka Amplituda

Fáze

Amplituda Fáze Amplituda

Fáze

A

1

0

0, 3

π/2

0, 3

π/2

B

1

0

0, 7

−π/4

0, 3

π/2

Tabulka 8: Nastaven´ı jednotliv´ ych symetrick´ ych sloˇzek a harmonick´ ych pˇri simulaci fázového závˇesu dle literatury [1]

5.3.2

SRF-PLL (Synchronous Reference Frame PLL)

Algoritmus SRF-PLL je podobnˇe jako fázov´ y závˇes v pˇredeˇslé kapitole urˇcen pro tˇr´ıfázové systémy. P˚ uvodnˇe byl v pr˚ ubˇehu prac´ı na aktivn´ım harmonickém filtru urˇcen jako pˇr´ımá náhrada pˇredeˇslého algoritmu. Pro symetrickou s´ıt’ bez vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych je po naladˇen´ı vstupn´ı odchylka regulátoru nulová, proto je tento typ fázového závˇesu velmi ˇcasto vyuˇz´ıván. Jeho principiáln´ı schéma je na obrázku 31. Vstupn´ı odchylka je z´ıskávána jako v´ ystup podélné d nebo pˇr´ıˇcné q sloˇzky (v obrázku je pouˇzita sloˇzka d) transformované soustavy. Pˇri synchronn´ı frekvenci rotuj´ı obˇe sloˇzky ve fázi s toˇciv´ ym magnetick´ ym polem s´ıtˇe a jejich amplituda se pro symetrickou s´ıt’ bez harmonick´ ych nemˇen´ı. Pokud je za stejn´ ych podm´ınek sloˇzka d pˇresnˇe ve fázi s toˇciv´ ym magnetick´ ym polem, pak je sloˇzka q rovna nule a opaˇcnˇe. Sloˇzková soustava je z´ıskávána pomoc´ı Parkovy transformace:   r x 2π 2π 2 cos(ϕ) cos ϕ − 3 cos ϕ + 3  a  xd · · xb (90) = xq −sin(ϕ) −sin ϕ − 2π −sin ϕ + 2π 3 3 3 xc ´ Uhel ϕ je definován vztahem (87). Zˇrejmˇe pro z´ıskán´ı hodnoty frekvence je nutn´ y pouze jeden ˇrádek matice (90). Pokud tˇr´ıfázov´ y systém nen´ı symetrick´ y, nebo jsou v nˇem pˇr´ıtomné dalˇs´ı harmonické sloˇzky, projev´ı se to ˇcasovou zmˇenou hodnot v´ ystup˚ u d a q. Z toho d˚ uvodu se ˇcasto pˇred vstupem do regulátoru v´ ystupn´ı signál transformace dodateˇcnˇe filtruje doln´ı propust´ı (v obrázku 31 je ˇca´rkovanou ˇcarou). Pokud porovnáme v´ ypoˇcet vstupu regulátoru v algoritmu v kapitole 5.3.1 s právˇe prezentovan´ ym algoritmem, zjist´ıme, ˇze se jedná o stejn´ y v´ ypoˇcet fiktivn´ıho v´ ykonu. Je zvláˇstn´ı, ˇze se oba fázové závˇesy bˇeˇznˇe prezentuj´ı vedle sebe oddˇelenˇe, aˇckoliv se jedná o t´ yˇz v´ ypoˇcet, proveden´ y r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. V´ yhodou oproti p˚ uvodn´ımu ˇreˇsen´ı je, ˇze lze zmenˇsit poˇcet potˇrebn´ ych goniometrick´ ych funkc´ı. Jelikoˇz se jejich vyˇc´ıslen´ı obvykle ˇreˇs´ı pomoc´ı algoritmu CORDIC, je pro stejn´ y u ´hel vˇzdy známa hodnota sinu i cosinu daného u ´hlu. Proto je moˇzné fázov´ y závˇes z kapitoly 5.3.1 realizovat jen se tˇremi bloky daného v´ ypoˇctu. Schéma na obrázku 32 vyˇzaduje urˇcen´ı pouze dvou cosin˚ u r˚ uzn´ ych u ´hl˚ u. Pˇri jeho pouˇzit´ı v ˇr´ıd´ıc´ım programu aktivn´ıho harmonického filtru je nutné jeˇstˇe na v´ ystup um´ıstit Clarkové transformaci. Simulace 55

Obrázek 29: V´ ystupn´ı signály fázového závˇesu pro vstupn´ı nesymetrii dle tabulky 8, test A

Obrázek 30: V´ ystupn´ı signály fázového závˇesu pro vstupn´ı nesymetrii dle tabulky 8, test B

56

Obrázek 31: Blokové schéma fázového závˇesu SRF-PLL

Obrázek 32: Upraven´ y v´ ypoˇcet fázového závˇesu SRF-PLL v´ ypoˇctu ovˇeˇrila shodnost vlastnost´ı dˇr´ıve uvedeného algoritmu a SRF-PLL. Pˇresto SRFPLL nebyl nakonec implementován v c´ılovém ˇr´ıd´ıc´ım programu. Pro stejn´ yu ´ˇcel je totiˇz moˇzné vyuˇz´ıt algoritmus filtru SOGI ladˇen´ y pomoc´ı AGC. Ten má podobné vlastnosti, avˇsak neobsahuje goniometrické funkce.

5.3.3

EPLL (Enhanced PLL)

EPLL je vylepˇsenou verz´ı algoritmu fázového závˇesu, kde je potlaˇcena kmitavá sloˇzka odchylky PI regulátoru a v´ ystupn´ı frekvence má vyˇsˇs´ı stabilitu. Zpˇetná vazba obecného fázového závˇesu je rozˇs´ıˇrena dle obrázku 33. Pro vstupn´ı signál dan´ y rovnic´ı (85) vycház´ı vstupn´ı odchylka: e = Xm · sin(θ) − A · sin(ϕ)

(91)

Horn´ı ˇca´st schématu na obrázku 33 slouˇz´ı pro identifikaci amplitudy vstupu. Pˇred regulátorem je odchylka násobena sinem ladˇené fáze. Po dosazen´ı z´ıskáme pro jej´ı hodnotu: eA = e · sin(ϕ) = (Xm · sin(θ) − A · sin(ϕ)) · sin(ϕ) = A Xm A = · cos(θ − ϕ) − + · [cos(2 · ϕ) − cos(θ + ϕ)] 2 2 2

(92)

Podobnˇe jako ve vztahu (86) má v´ ysledná odchylka pomalu se mˇen´ıc´ı ˇcást a ˇca´st která kmitá pˇribliˇznˇe dvojnásobnou frekvenc´ı vstupu. Nicménˇe po dosaˇzen´ı synchronizace, kdy plat´ı θ = ϕ a Xm = A, jsou obˇe sloˇzky nulové a v´ ystup integraˇcn´ıho regulátoru se tedy dále nemˇen´ı. Podobn´ y v´ ysledek z´ıskáme i pro spodn´ı ˇca´st schématu, která slouˇz´ı pro identifikaci frekvence a fáze vstupu: eP LL = e · cos(ϕ) = (Xm · sin(θ) − A · sin(ϕ)) · cos(ϕ) = Xm Xm A = · sin(θ − ϕ) + · · sin(θ + ϕ) − · sin(2 · ϕ) 2 2 2 57

(93)

Obrázek 33: Blokové schéma fázového závˇesu EPLL Zˇrejmˇe i odchylka eP LL je po dosaˇzen´ı podm´ınek synchronizace nulová. V´ yhodn´ ych vlastnost´ı tohoto fázového závˇesu se vyuˇz´ıvá v ˇradˇe algoritm˚ u. V této práci bylo jeho pouˇzit´ı p˚ uvodnˇe uvaˇzováno pro ladˇen´ı filtru sousledné symetrické sloˇzky (SOGI, viz kapitola 5.4.5). Pozdˇeji vˇsak byla vyvinuta jednoduˇsˇs´ı metoda ladˇen´ı. Ta je zaloˇzená na automatické kontrole zes´ılen´ı (AGC) a má podobné dynamické vlastnosti jako pouˇzit´ı fázového závˇesu.

58

5.4 5.4.1

Adaptivn´ı filtry Detekce sousledn´ e sloˇ zky nesymetrie pomoc´ı PQ teorie

Obrázek 34: Blokové schéma detektoru sousledné symetrické sloˇzky dle literatury [1] Tento typ detekce byl navrˇzen v literatuˇre [1]. Je vhodn´ y v pˇr´ıpadech, ve kter´ ych potˇrebujeme znát skuteˇcnou hodnotu sousledné symetrické sloˇzky v daném mˇeˇr´ıtku. Schéma v´ ypoˇctu je na obrázku 34. Zˇrejmˇe se jedná o stejn´ y v´ ypoˇcet, jako v pˇr´ıpadˇe ˇr´ıd´ıc´ıho algoritmu aktivn´ıho harmonického filtru. Hlavn´ım rozd´ılem je zde pouˇzit´ı fázového závˇesu. Na jeho v´ ystupu mus´ı b´ yt dva sinusové signály stejné amplitudy, které jsou fázovˇe ◦ posunuté o 90 a maj´ı shodnou frekvenci s frekvenc´ı s´ıtˇe (napˇet´ı ua , ub , uc ). Tyto signály reprezentuj´ı symetrické fiktivn´ı proudy ve sloˇzkovém tvaru αβ. Jak bude ukázáno dále, je vhodné, aby dané proudy byly zároveˇ n sfázovány se souslednou symetrickou sloˇzkou vstupn´ıch napˇet´ı. Zˇrejmˇe pro symetrickou s´ıt’ bez harmonick´ ych vyjdou vypoˇctené pr˚ ubˇehy v´ ykon˚ u z fiktivn´ıch proud˚ u a vstupn´ıch napˇet´ı konstantn´ı v ˇcase. To lze ukázat jednoduch´ ym v´ ypoˇctem, kdyˇz vstupn´ı transformovaná napˇet´ı a fiktivn´ı proudy pˇredpokládáme ve tvaru: uα = Umα · sin(ωt + ϕ)

(94)

uβ = −Umβ · cos(ωt + ϕ)

(95)

Um = Umα = Umβ

(96)

iα = Imα · sin(ωt)

(97)

iβ = −Imβ · cos(ωt)

(98)

Im = Imα = Imβ

(99)

59

Pak aktivn´ı a neaktivn´ı v´ ykon vycház´ı za dan´ ych podm´ınek ve znám´ ych tvarech: p = uα · iα + uβ · iβ = Um · Im · sin(ωt + ϕ) · sin(ωt) + Um · Im · cos(ωt + ϕ) · cos(ωt) = Um · Im · cos(ϕ) q = uβ · iα − uα · iβ = −Um · Im · cos(ωt + ϕ) · sin(ωt) + Um · Im · sin(ωt + ϕ) · cos(ωt) = Um · Im · sin(ϕ)

(100)

(101)

Pˇr´ıtomnost nesymetrie pˇr´ıpadnˇe vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych sloˇzek se projev´ı jako superponovaná stˇr´ıdavá sloˇzka u obou v´ ykon˚ u. V algoritmu je tato sloˇzka odstranˇena pomoc´ı filtr˚ u typu doln´ı propust a ze z´ıskan´ ych stejnosmˇern´ ych hodnot v´ ykon˚ u a fiktivn´ıch proud˚ u jsou opˇet z´ıskána napˇet´ı, která jsou nyn´ı symetrická. Za pˇredpokladu, ˇze budou proudy nastaveny pˇresnˇe ve fázi s napˇet´ımi, lze algoritmus zjednoduˇsit. V takovém pˇr´ıpadˇe je stejnosmˇerná sloˇzka neaktivn´ıho v´ ykonu vˇzdy nulová a nen´ı ji tˇreba vypoˇc´ıtávat (viz vztahy (94) aˇz (101)). Odpadne tak ˇrada ˇcást´ı v´ ypoˇctu vˇcetnˇe jedné filtrace. Na druhou stranu bude algoritmus ménˇe robustn´ı. S uvaˇzován´ım obou v´ ykon˚ u dostáváme pˇribliˇznˇe správné v´ ystupn´ı hodnoty napˇet´ı i pˇri urˇcitém rozladˇen´ı fázového závˇesu. Naproti tomu pˇri pouˇzit´ı jen aktivn´ıho v´ ykonu je pro z´ıskán´ı správn´ ych v´ ysledk˚ u nutné m´ıt fázov´ y závˇes naladˇen´ y pˇresnˇe ve fázi.

5.4.2

Algoritmus LMS (Least Mean Squares Algorithm)

Algoritmus LMS je pr˚ ubˇeˇzn´ y postup v´ ypoˇctu, kter´ y je vyuˇz´ıván napˇr´ıklad pˇri estimaci parametr˚ u modelu nebo pˇri predikci [24]. Patˇr´ı k nejjednoduˇsˇs´ım a zároveˇ n nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ım algoritm˚ um. V literatuˇre jej lze naj´ıt také pod názvem gradientn´ı stochastick´ y ” algoritmus“. C´ılem tohoto postupu optimalizace je nastavit koeficienty lineárn´ıho modelu tak, aby bylo dosaˇzeno minimáln´ı stˇredn´ı kvadratické odchylky v´ ystupn´ıho signálu od jeho poˇzadovaného tvaru. Pro odchylku v´ ystupu nerekurzivn´ıho modelu lze psát: e [n] = d [n] +

M X

hi · x [n − i]

(102)

i=0

V rovnici (102) je d [n] n. prvek poˇzadovaného signálu, hi jsou váhy modelu a x [n] je n. vzorek vstupn´ıho signálu. Pro zmˇenu stˇredn´ı kvadratické odchylky (prvek gradientu) v závislosti na urˇcité váze hi modelu plat´ı: ∂E e [n]2 ∂e [n] = 2 · E e [n] · = 2 · E (e [n] · x [n − i]) (103) ∂hi ∂hi Algoritmus LMS aproximuje v´ yraz (103) pro ˇcleny gradientu jeho okamˇzitou hodnotou: ∂E e [n]2 ≈ 2 · e [n] · x [n − i] (104) ∂hi Hodnota vah se dále upravuje v protismˇeru gradientu, jelikoˇz je snahou z´ıskat nulovou hodnotu vztahu (103). Vztah pro u ´pravu vah nav´ıc uvaˇzuje konvergenˇcn´ı konstantu β, která rozhoduje o rychlosti adaptace koeficient˚ u a hlavnˇe o stabilitˇe celého algoritmu: hi [n] = hi [n − 1] − β · e [n] · x [n − i] 60

(105)

5.4.3

Adaptivn´ı u ´ zkop´ asmov´ a propus

Tento filtr vznikl na základˇe poˇzadavku z´ıskán´ı základn´ı harmonické sloˇzky z velmi zaruˇsen´ ych nebo zkreslen´ ych signál˚ u. Byl vyuˇzit v detektorech pr˚ uchod˚ u nulou a lze jej vyuˇz´ıt jako zdroj referenˇcn´ıho signálu v aktivn´ıch harmonick´ ych filtrech. Jeho pouˇzit´ı bylo publikováno napˇr´ıklad v prac´ıch [25] a [26]. Velkou v´ yhodou dále popisovaného ˇreˇsen´ı je jeho jednoduchost. Bylo ovˇeˇreno, ˇze jej lze snadno implementovat i v osmibitov´ ych mikroprocesorech. Základn´ı myˇslenka je taková, ˇze vstupn´ı pr˚ ubˇeh je filtrován u ´zkopásmovou propust´ı, jej´ıˇz centráln´ı frekvence je totoˇzná s frekvenc´ı základn´ı harmonické vstupn´ıho pr˚ ubˇehu. Na v´ ystupu takového filtru je signál s potlaˇcen´ ymi vyˇsˇs´ımi harmonick´ ymi. Jeho základn´ı harmonická sloˇzka má stejnou fázi a amplitudu, jako má základn´ı harmonická sloˇzka vstupn´ıho pr˚ ubˇehu. K ladˇen´ı filtru na základn´ı frekvenci jsme spoleˇcnˇe s Ing. Rudolfem Bayerem zvolili pouˇzit´ı upravené verze prediktoru LMS. Pˇrenosová funkce u ´zkopásmové propusti je dána vztahem [22]: HP P (z) =

1 − z −2 1 − k2 · 2 1 + k1 · (1 + k2 ) · z −1 + k2 · z −2

(106)

Zde parametry k1 a k2 jsou dány vztahy: k1 = −cos (ω0 · Ts )

(107)

B·Ts 2 B·Ts 2

(108)

1 − tan k2 = 1 + tan

Ve vztaz´ıch (107) a (108) je ω0 centráln´ı u ´hlová frekvence, B je ˇs´ıˇrka pásma (-3dB) v rad/s a Ts je perioda vzorkován´ı. Zˇrejmˇe centráln´ı frekvenci filtru urˇcuje pouze parametr k1 . V pˇrenosové funkci (106) se tento parametr vyskytuje pouze ve jmenovateli ve druhém ˇclenu polynomu. K ladˇen´ı tohoto filtru je tak nutné mˇenit pouze jedin´ y koeficient pˇrenosové funkce. Parametr k2 nen´ı nutné mˇenit, protoˇze ten souvis´ı se ˇs´ıˇrkou pásma filtru. Jeho velikost vˇsak nen´ı vhodné volit bez rozmyslu, protoˇze ˇc´ım je pˇrenáˇsené pásmo uˇzˇs´ı, t´ım vyˇsˇs´ı je derivace fázové charakteristiky v okol´ı centráln´ı frekvence. S t´ım rostou poˇzadavky na pˇresnost ladˇen´ı hodnoty parametru k1 . M´ırnou komplikac´ı pˇri ladˇen´ı parametru k1 je, ˇze u ´hlová frekvence zde vystupuje ve funkci cosinus. S t´ımto faktem si vˇsak velmi elegantnˇe porad´ı dále popsan´ y algoritmus adaptace zaloˇzen´ y na prediktoru LMS. Pouˇzit´ı prediktoru pro odhad frekvence vstupn´ıho signálu je popsáno napˇr´ıklad v [27]. Tuto metodu dále modifikujeme, jelikoˇz oˇcekáváme jej´ı nasazen´ı speciálnˇe pro u ´ˇcely ladˇen´ı u ´zkopásmové propusti. Nev´ yhodou je, ˇze adaptace korektnˇe pracuje pouze se sinusov´ ym signálem. Pro obecné signály m˚ uˇze docházet k odchylkám od skuteˇcné u ´hlové frekvence. Proto je tˇreba pomoc´ı jakéhokoliv vhodného filtru vytvoˇrit ze vstupn´ıho signálu tzv. referenˇcn´ı sinusov´ y signál o stejné základn´ı frekvenci. Nezáleˇz´ı vˇsak na tom, v jakém vztahu spolu budou amplitudy a fáze referenˇcn´ıho signálu a zm´ınˇené základn´ı harmonické sloˇzky. Modifikovan´ y LMS prediktor 2. ˇrádu je na obrázku 35. Posloupnost x[n] odpov´ıdá referenˇcn´ımu signálu, xp [n] je signál predikovan´ y o 1 vzorek vpˇred, e[n] je odchylka predikce a w1 je adaptovaná váha prediktoru. Pro chybu predikce plat´ı následuj´ıc´ı vztah: e[n] = x[n] + w1 · x[n − 1] + x[n − 2]

61

(109)

Obrázek 35: Modifikovaná verze LMS prediktoru pro ladˇen´ı u ´zkopásmové propusti Zˇrejmˇe vztah odpov´ıdá pˇrenosové funkci filtru FIR 2. ˇra´du: H(z) = z −2 + a1 · z −1 + a2

(110)

Koeficienty a1 a a2 jsou dány koˇreny polynomu pˇrenosové funkce a lze je proto urˇcit dle následuj´ıc´ıch vztah˚ u [28]: a1 = −2 · r · cos(Θ)

(111)

a2 = r 2

(112)

V rovnic´ıch (111) a (112) r pˇredstavuje modul komplexnˇe sdruˇzen´ ych koˇren˚ u a Θ udává u ´hel, kter´ y sv´ırá pr˚ uvodiˇc koˇrene polynomu H(z) s reálnou osou. Θ je také normovanou frekvenc´ı daného filtru 2. ˇra´du, tj. je rovna: Θ = ω · Ts

(113)

Protoˇze je v rovnici (109) koeficient a2 nastaven na 1, bude v pˇr´ıpadˇe sinusového vstupn´ıho signálu v´ ystup e[n] roven nule, právˇe kdyˇz bude pro váhu w1 platit: w1 = −2 · cos(ω0 · Ts )

(114)

Porovnán´ım tohoto v´ ysledku s rovnic´ı (107) zjist´ıme, ˇze si jsou, aˇz na násobek 2, rovny. Takto tedy lze pˇr´ımo z´ıskat parametr k1 u ´zkopásmové propusti bez nutnosti pouˇzit´ı goniometrick´ ych funkc´ı. Ladˇen´ı filtru prob´ıhá dle dˇr´ıve uveden´ ych pravidel algoritmu LMS. Jedin´ y rozd´ıl je v tom, ˇze v protismˇeru gradientu chyby e[n] upravujeme pouze váhu w1 a ostatn´ı váhy prediktoru je nutné nechat rovné 1. Celkem jednoduˇse lze dokázat, ˇze chyba e[n] dosahuje trvale nuly pro konkrétn´ı váhu pouze u sinusov´ ych signál˚ u. D˚ uvodem je, ˇze pˇrenosová funkce FIR filtru 2. ˇra´du m˚ uˇze m´ıt jen jednu nulu ve frekvenˇcn´ı charakteristice. Pokud by vstupn´ı signál obsahoval v´ıce spektráln´ıch sloˇzek, váha w1 by byla naladˇena tak, ˇze nula pˇrenosu by se nacházela nˇekde mezi tˇemito spektráln´ımi sloˇzkami. S nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı by naladˇená frekvence ani neodpov´ıdala ˇza´dné spektráln´ı sloˇzce4 . Chyba e[n] by dosahovala nejvˇetˇs´ıho moˇzného u ´tlumu, nicménˇe by nemohla b´ yt nikdy nulová. Jelikoˇz byl algoritmus urˇcen pro filtraci základn´ı harmonické sloˇzky s´ıtˇe, jej´ıˇz frekvence se mˇen´ı jen velice málo, byl pro z´ıskán´ı referenˇcn´ıho signálu pˇri testován´ı pouˇzit také filtr ˇıˇrka pásma byla zvolena stejná jako u ladˇené propusti 10 Hz. u ´zkopásmové propusti. S´ 4 Nicménˇe by mohla b´ yt velice bl´ızko nˇekteré spektráln´ı sloˇzce. Tohoto faktu lze vyuˇz´ıt právˇe pˇri urˇcov´ an´ı frekvence sign´ alu s dominantn´ı základn´ı harmonickou sloˇzkou - viz. [27]

62

Obrázek 36: Schéma implementovaného principu filtrace základn´ı harmonické sloˇzky V´ ysledné simulované a implementované schéma je na obrázku 36. V obou pˇr´ıpadech byla zvolena vzorkovac´ı frekvence 2, 5 kHz. Implementace byla provedena pro 8 bit procesor Atmel ATmega8. Program mˇel pouze ze s´ıt’ového kmitoˇctu z´ıskat základn´ı harmonickou sloˇzku a na jej´ım základˇe detekovat pr˚ uchody nulou. Bl´ıˇze se o n´ı lze doˇc´ıst v ˇclánku [25]. Na obrázc´ıch 37 a 38 jsou v´ ysledky simulace. Filtr se adaptoval na c´ılovou frekvenci 53 Hz. Vstupn´ı signál simulace obsahuje 3., 5. a 7. harmonickou sloˇzku: x(t) = 1 · sin(ω1 · t) + 0, 2 · sin(3 · ω1 · t − π/2)+ + 0, 1 · sin(5 · ω1 · t − 8 · π/18) + 0, 05 · sin(7 · ω1 · t − π/18) ω1 = 2 · π · 53 rad · s−1

(115)

Poˇcáteˇcn´ı hodnota adaptované váhy byla nastavena na w1 = 0. Z v´ ysledk˚ u simulace je patrné, ˇze se velikost chyby i váhy po urˇcitém ˇcase skuteˇcnˇe ustál´ı na pˇredpokládan´ ych hodnotách. Doba adaptace je závislá na rychlosti algoritmu LMS a na zpoˇzdˇen´ı daném pˇrechodov´ ym dˇejem referenˇcn´ıho filtru. Konvergenˇcn´ı konstanta algoritmu byla v pˇr´ıpadˇe simulace zvolena β = 0, 05. Pˇrestoˇze v´ ysledky simulac´ı vypadaj´ı dobˇre, je nutné upozornit na nˇekteré implementaˇcn´ı problémy. I malé odchylky váhy w1 od jej´ı poˇzadované hodnoty zp˚ usob´ı v´ yznamné rozladˇen´ı filtru. To je vidˇet i z charakteristik z´ıskan´ ych simulac´ı. Chyba e [n] v ˇcase 0, 2 s dosahuje hodnot velmi bl´ızk´ ych nule, nicménˇe v´ ystupn´ı signál z [n] neodpov´ıdá svou fáz´ı ani amplitudou základn´ı harmonické sloˇzce. Z toho d˚ uvodu je nutné urˇcovat hodnoty chyby i váhy s velkou pˇresnost´ı, coˇz velmi znesnadˇ nuje implementaci hlavnˇe v pevné ˇra´dové ˇcárce. Stejn´ y algoritmus lze vyuˇz´ıt také pro z´ıskán´ı hodnoty základn´ı frekvence s´ıtˇe ze známé váhy w1 dle vztahu (114). Jsou zde vˇsak dvˇe hlavn´ı komplikace. Prvn´ı je nutnost pouˇzit´ı cyklometrické funkce arccos. Jelikoˇz se vˇsak základn´ı frekvence mˇen´ı obvykle jen v urˇcitém intervalu, lze uvedené snadno programovˇe ˇreˇsit pomoc´ı pˇrevodn´ı tabulky hodnot pro dan´ y interval, nebo vhodné aproximace této funkce v daném intervalu hodnot. Druhou komplikac´ı je samotná hodnota váhy. Pro velké pomˇery vzorkovac´ı a základn´ı frekvence se totiˇz jen málo liˇs´ı od −2. Ke správné detekci frekvence je tedy nutná relativnˇe vysoká pˇresnost této hodnoty. Vzhledem k tomu, ˇze vstupn´ı signál je oˇsetˇrován ˇc´ıslicov´ ym filtrem typu pásmová propust s centráln´ı frekvenc´ı bl´ızké základn´ı frekvenci, lze okamˇzitˇe provádˇet za t´ımto filtrem decimaci a dostat niˇzˇs´ı pomˇer vzorkovac´ı a základn´ı frekvence. 63

Obrázek 37: Vstupn´ı signál x [n], v´ ystup referenˇcn´ıho filtru y [n] a v´ ystup adaptivn´ı pásmové propusti z [n] v závislosti na ˇcase simulace

Obrázek 38: Pr˚ ubˇeh chyby a ladˇené váhy v závislosti na ˇcase

64

Obrázek 39: Schéma algoritmu aktivn´ıho ˇr´ızen´ı zisku

5.4.4

Automatick´ a regulace zisku (Automatic Gain Control)

Automatická regulace zisku se pˇreváˇznˇe pouˇz´ıvá pro potˇreby zajiˇstˇen´ı konstantn´ı amplitudy urˇcitého vstupn´ıho signálu. Zde se budeme zab´ yvat pouze jeho ˇc´ıslicovou variantou, která je popsaná napˇr´ıklad v [29]. Schématické zapojen´ı je na obrázku 39. Jedná se o typické zapojen´ı zpˇetnovazebn´ı smyˇcky integraˇcn´ıho regulátoru. Vstupn´ı odchylka regulátoru je odvozována z rozd´ılu poˇzadované hodnoty a hodnoty druhé mocniny v´ ystupn´ıho signálu. Druhá mocnina signálu je pˇr´ımo u ´mˇerná v´ ykonu. Z toho d˚ uvodu mus´ı m´ıt parametr R velikost rovnou druhé mocninˇe poˇzadované efektivn´ı hodnoty v´ ystupu. α je pˇrevrácená hodnota ˇcasové konstanty regulátoru. Zde je nutné ˇr´ıci, ˇze zvlnˇen´ı druhé mocniny signálu je filtrováno pouze integraˇcn´ım regulátorem. Proto je tˇreba na to brát ohled i pˇri volbˇe ˇcasové konstanty α. Pro jej´ı vyˇsˇs´ı hodnoty je reakce regulátoru rychlejˇs´ı, avˇsak docház´ı také k vyˇsˇs´ım fluktuac´ım zisku. Z principu v´ ypoˇctu na obrázku 39 je jasné, ˇze se jedná o nelineárn´ı systém. Z toho d˚ uvodu je matematická anal´ yza a návrh parametr˚ u tohoto algoritmu relativnˇe problematická. Obvykle se tedy k jejich návrhu pˇristupuje empiricky. Typicky ˇcasovou konstantu α lze urˇcit pokusnˇe nˇekterou metodou vycházej´ıc´ıch z numerick´ ych metod. Napˇr´ıklad pro stanovenou dobu reakce a zvlnˇen´ı zisku lze nalézt jej´ı vhodnou hodnotu postupn´ ym dˇelen´ım poˇca´teˇcn´ıho intervalu hodnoty ˇcasové konstanty.

5.4.5

Adaptivn´ı filtr sousledn´ e sloˇ zky 3f soustavy

Algoritmus vycház´ı z filtru publikovaného v [18]. Struktura tohoto filtru je zobrazena na obrázku 40. Pro v´ ystupy d a q lze odvodit vztahy: k · ωR · s yd = 2 x s + k · ωR · s + ωR2

(116)

yq k · ωR2 Q(s) = = 2 x s + k · ωR · s + ωR2

(117)

D(s) =

ωR je rezonanˇcn´ı frekvence filtru a k odpov´ıdá pˇrevrácené hodnotˇe jeho ˇcinitele jakosti. Zˇrejmˇe se v obou pˇr´ıpadech jedná o IIR filtr druhého ˇra´du. Pˇrenosová rovnice (116) odpov´ıdá charakteristice pásmové propusti a pˇrenosová rovnice (117), aˇz na ˇclen k v ˇcitateli, ˇıˇrku propustného pásma ovlivˇ reprezentuje charakteristiku doln´ı propusti. S´ nuje hodnota parametru k. Tuto závislost lze snadno vypozorovat z graf˚ u na obrázku 41. Funkce filtru je velice jednoduchá. Základn´ım pˇredpokladem je, ˇze základn´ı frekvence vstupuj´ıc´ıho signálu bude shodná s rezonanˇcn´ı frekvenc´ı filtru. Pak na jeho v´ ystupu jsou dva signály velmi bl´ızké sinusovce (respektive filtrované vstupn´ı signály), kdy jeden je ve fázi se základn´ı harmonickou sloˇzkou vstupu a druh´ y se zpoˇzd’uje o 90◦ . Tyto v´ ystupy by bylo moˇzné jiˇz pouˇz´ıt v algoritmu z kapitoly 5.4.1 na m´ısto fázového závˇesu. Problémem by 65

Obrázek 40: Schéma algoritmu filtru pro detekci sousledné sloˇzky (SOGI - Second Order Generalized Integrator)

Obrázek 41: Frekvenˇcn´ı charakteristiky filtru u v´ ystup˚ u yd a yq v závislosti na parametru k zde bylo urˇcen´ı, z ˇceho maj´ı b´ yt tyto signály filtrovány. Pokud by bylo pouˇzito napˇr´ıklad napˇet´ı nˇekteré fáze, pak se bude amplituda v´ ystupn´ıch signál˚ u mˇenit u ´mˇernˇe s napˇet´ım této fáze. V krajn´ım pˇr´ıpadˇe velké nesymetrie zp˚ usobené jednofázov´ ym zemn´ım zkratem, bude dokonce dané napˇet´ı nulové. Je tedy tˇreba vstupn´ı signál odvodit ze vˇsech tˇr´ı fáz´ı najednou. Autoˇri ˇclánku [18] nab´ızej´ı velice jednoduchou moˇznost jak z´ıskat vstupn´ı signály s informac´ı ze vˇsech tˇr´ı fáz´ı a zároveˇ n po pouˇzit´ı popisovaného filtru pˇr´ımo urˇcit souslednou sloˇzku nesymetrie. Princip algoritmu je zobrazen na obrázku 43. Základem v´ ypoˇctu je matice T+ pro pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet sousledné sloˇzky nesymetrie 3f napˇet´ı. Tuto matici lze z´ıskat napˇr´ıklad pouˇzit´ım transformaˇcn´ıch matic pro soumˇerné sloˇzky, kdyˇz zpˇetnou a netoˇcivou sloˇzku nesymetrie budeme uvaˇzovat nulovou. V´ ysledná matice má tedy tvar       1 1 1 0 0 0 1 a a2 1 1 T+ = · 1 a2 a  · 1 a2 a = · a2 1 a  (118) 3 3 1 a a2 0 0 0 a a2 1 2π

ysledku lze doj´ıt i jednoduchou u ´vahou V rovnici (118) je a = e−j· 3 . Ke stejnému v´ s pouˇzit´ım fázor˚ u. Pˇredpokládejme, ˇze chceme z p˚ uvodn´ıho nesymetrického pr˚ ubˇehu z´ıskat souslednou sloˇzku jako aritmetick´ y pr˚ umˇer jeho fázor˚ u. Zˇrejmˇe je pak tˇreba nechat jeden fázor nesymetrického pr˚ ubˇehu, napˇr´ıklad fázor A (stejn´ y postup i pro jiné fázory), v p˚ uvodn´ım smˇeru a ostatn´ı fázory k nˇemu pootoˇcit tak, aby vˇsechny fázory sousledné 66

Obrázek 42: Transformace fázor˚ u soumˇern´ ych sloˇzek sloˇzky mˇely stejn´ y smˇer. Pootoˇcen´ı dosáhneme násoben´ım vhodnˇe umocnˇen´ ym ˇclenem 2π y postup je ukázán na obrázku 42. V´ ysledkem je transformovaná soustava a = e−j· 3 . Cel´ sousledn´ ych sloˇzek, kde ze sousledné sloˇzky se stává netoˇcivá, ze zpˇetné je sousledná a z netoˇcivé je zpˇetná. Aritmetick´ ym pr˚ umˇerem vˇsech fázor˚ u se nevyruˇs´ı jen fázory p˚ uvodn´ı sousledné sloˇzky. Podobnou u ´vahou bychom mohli sestavit matici i pro z´ıskáván´ı zpˇetné sloˇzky. Matice ze vztahu (118) je pouˇzita pro urˇcen´ı sousledn´ ych sloˇzek v pˇr´ıpadˇe transformovan´ ych veliˇcin v Clarkové soustavˇe αβ. Transformace pˇredpokládá trojvodiˇcovou trojfázovou s´ıt’. Odtud plyne, ˇze dan´ y algoritmus nepoˇc´ıtá s v´ yskytem netoˇcivé sloˇzky (respektive nulové sloˇzky v transformaci αβ0). Clarkové transformace je tedy definována následovnˇe: r 1 1 1 − − 2 √2 √2 · (119) Tαβ = 0 23 − 23 3 Po dosazen´ı Clarkové transformace do vztahu pro v´ ypoˇcet sousledné sloˇzky z´ıskáme následuj´ıc´ı v´ ysledn´ y pˇrepoˇcet: uαβ+ = Tαβ · uabc+ = Tαβ · T+ · T−1 αβ · uabc Tαβ+ = Tαβ · T+ ·

T−1 αβ

π 1 1 1 −e−j 2 1 −q = · −j π2 = · q 1 e 1 2 2

(120) (121)

Z rovnic (120) a (121) je jasné, ˇze pro obdrˇzen´ı sousledné sloˇzky v soustavˇe αβ, je nutné napˇr´ıklad pˇri v´ ypoˇctu sloˇzky α+ odeˇc´ıst od p˚ uvodn´ı sloˇzky α Hilbert˚ uv obraz sloˇzky β. Pˇri v´ ypoˇctu sloˇzky β+ sˇc´ıtáme Hilbert˚ uv obraz sloˇzky α se sloˇzkou β. Hilbertov´ ym obrazem zde mysl´ıme hodnotu p˚ uvodn´ıho reálného signálu, kter´ y je zpoˇzdˇen o π/2. K tomuto

67

Obrázek 43: Algoritmus detekce sousledné sloˇzky nesymetrie pomoc´ı filtru SOGI pojmu docház´ıme na základˇe Hilbertovy transformace, která analytick´ y signál vyjadˇruje v komplexn´ım tvaru: xa = xr + jxim ,

(122)

kde xr je reálná sloˇzka signálu, která je ve fázi s p˚ uvodn´ı sloˇzkou signálu (je vlastnˇe p˚ uvodn´ım signálem) a xim je imaginárn´ı sloˇzka, coˇz je stejn´ y signál, jehoˇz vˇsechny spektráln´ı sloˇzky jsou zpoˇzdˇeny o π/2. Pro u ´plnost zde uvedeme konvoluˇcn´ı vztah pro tuto transformaci: h (t) =

1 π·t

1 H {x (t)} = x (t) ∗ h (t) = · π

(123) Z

∞

−∞

x (τ ) dτ t−τ

(124)

Obdrˇzen´ı signálu s fázov´ ym posunem vˇsech spektráln´ıch sloˇzek 90◦ proti p˚ uvodn´ımu signálu nemus´ı b´ yt zcela jednoduchou záleˇzitost´ı. Obvykle se k tomu nevyuˇz´ıvá v´ yˇse uveden´ y vztah pˇr´ımo, ale vyuˇzije se jednoduˇsˇs´ıho v´ ypoˇctu pomoc´ı Fourierovy transformace. Také lze pouˇz´ıt funkci (123) k z´ıskán´ı koeficient˚ u vhodného transformaˇcn´ıho FIR filtru. V pˇr´ıpadˇe sinusov´ ych signál˚ u (jen jedna spektráln´ı sloˇzka) o známé frekvenci lze k z´ıskán´ı Hilbertova obrazu vyuˇz´ıt operaci derivace nebo integrace a v´ ysledn´ y signál dˇelit nebo násobit u ´hlovou frekvenc´ı. Jelikoˇz i v naˇsem pˇr´ıpadˇe je zájem pouze o souslednou sloˇzku základn´ı harmonické frekvence, lze poslednˇe jmenovan´ y zp˚ usob v´ ypoˇctu pouˇz´ıt. Z obrázku 40 je vidˇet, ˇze fázovˇe posunut´ y signál je z´ıskáván z v´ ystupu integrátoru, kter´ y je souˇca´st´ı algoritmu filtru. V´ ysledn´ y algoritmus detekce sousledné sloˇzky je na obrázku 43. Zˇrejmˇe d˚ uleˇzitou podm´ınkou pro správnou funkci filtru je urˇcen´ı základn´ı frekvence vstupn´ıho signálu a naladit na ni parametr ωR . V opaˇcném pˇr´ıpadˇe totiˇz v´ ystupn´ı signály nebudou správnˇe nafázovány na vstupn´ı základn´ı harmonickou sloˇzku a dojde také k odchylkám v amplitudˇe (viz charakteristiky na obrázku 41). Pˇrirozenˇe by bylo moˇzné z´ıskávat správnou u ´hlovou frekvenci nˇekterou z dˇr´ıve uveden´ ych metod. Autoˇri ˇclánku [18] k ladˇen´ı filtru pouˇz´ıvaj´ı fázov´ y závˇes SRF-PLL (viz kapitola 5.3.2). V této práci dále navrhneme mnohem jednoduˇsˇs´ı metodu ladˇen´ı zaloˇzenou na vlastnostech v´ ystupn´ıch signál˚ u filtru SOGI. V´ ystup, kter´ y má b´ yt ve fázi se základn´ı harmonickou funkc´ı, budeme pokládat za referenˇcn´ı. Z obrázku 40 je vidˇet, ˇze posunut´ y signál se odvozuje pomoc´ı integrace a násoben´ı u ´hlovou frekvenc´ı. Jelikoˇz plat´ı rovnost (uvaˇzujeme funkci sinus jako referenˇcn´ı signál): Z cos (ωt) , (125) sin (ωt) dt = − ω 68

pak lze zjistit správnou hodnotu u ´hlové frekvence porovnáván´ım amplitud obou v´ ystupn´ıch signál˚ u filtru SOGI. Pokud je amplituda referenˇcn´ıho signálu vyˇsˇs´ı neˇz je amplituda posunutého signálu násobeného námi urˇcenou u ´hlovou frekvenc´ı ωR , pak je zˇrejmˇe nutné tento násobek zvˇetˇsit. Pˇri opaˇcné nerovnosti u ´hlovou frekvenci sniˇzujeme. Správné nastaven´ı parametru ωR lze z´ıskat pomoc´ı automatického regulátoru zisku (AGC). V tomto pˇr´ıpadˇe porovnáváme amplitudy dvou signál˚ u a proto je tˇreba tomuto faktu algoritmus pˇrizp˚ usobit. Pro v´ ypoˇcet vzájemné odchylky je tˇreba pouˇz´ıt rozd´ıl druh´ ych mocnin obou signál˚ u. D´ıky druh´ ym mocninám z´ıskaj´ı oba signály stejnosmˇern´ y posun u ´mˇern´ y amplitudˇe, kter´ y pak lze porovnávat klasick´ ym integraˇcn´ım regulátorem. M´ırnou nev´ yhodou je fakt, ˇze oba signály jsou vzájemnˇe posunuty o 90◦ . Z toho d˚ uvodu je ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh vypoˇctené chyby i v pˇr´ıpadˇe naladˇen´ı sinusov´ y s dvojnásobnou frekvenc´ı neˇz je frekvence vstupn´ıch signál˚ u. Pokud nen´ı závadou vyˇsˇs´ı sloˇzitost algoritmu, lze situaci zlepˇsit v´ ypoˇctem odchylky ze vˇsech hodnot signál˚ u obou filtr˚ u dle následuj´ıc´ıho vztahu: e = u2αd + u2βd − u2αq − u2βq

(126)

V´ yhody tohoto v´ ypoˇctu se projev´ı po dosazen´ı pˇredpokládan´ ych v´ ystup˚ u obou filtr˚ u: 2 2 2 2 e = Uαdm · cos2 (ω · t) + Uβdm · sin2 (ω · t) − Uαqm · sin2 (ω · t) − Uβqm · cos2 (ω · t) 1 − cos (2 · ω · t) 1 + cos (2 · ω · t) 2 2 + Uβdm · − = Uαdm · 2 2 (127) 1 − cos (2 · ω · t) 1 + cos (2 · ω · t) 2 2 − Uαqm · − Uβqm · 2 2 = ess + est

V´ ysledek vztahu (127) byl vyjádˇren pomoc´ı stejnosmˇerné a stˇr´ıdavé sloˇzky s následuj´ıc´ımi substitucemi: ess =

2 2 2 2 Uαdm + Uβdm − Uαqm − Uβqm 2

(128)

2 2 2 2 Uαdm − Uβdm + Uαqm − Uβqm est = · cos (2 · ω · t) (129) 2 Pro malé nesymetrie, kdy jsou si amplitudy sloˇzek uα a uβ bl´ızké, vycház´ı stˇr´ıdavá sloˇzka odchylky est velice malá. Vstupn´ı odchylka je tak prakticky dána jen rozd´ılem kvadrát˚ u amplitud v´ ystup˚ u filtr˚ u bez fázového posunu a s fázov´ ym posunem (viz vztah (128)). Vzhledem k tomu, ˇze napˇr´ıklad distribuˇcn´ı s´ıt’ zpravidla vykazuje jen velmi malou fázovou i amplitudovou nesymetrii, má uveden´ y v´ ypoˇcet v´ ychylky velk´ y v´ yznam u ˇrady aplikac´ı. Harmonické sloˇzky vstupn´ı odchylku AGC zpravidla neovlivn´ı, protoˇze se nedostanou na v´ ystup u ´zkopásmové propusti SOGI. Celkové schéma algoritmu pro pouze dvousignálovou AGC je na obrázku 45, upravená verze AGC je na obrázku 44. Viditelnˇe je tento algoritmus mnohem jednoduˇsˇs´ı neˇz dˇr´ıve popisované metody fázov´ ych závˇes˚ u, které ˇcasto vyˇzadovaly pouˇzit´ı goniometrick´ ych funkc´ı. Reálné vlastnosti algoritmu byly ovˇeˇreny po naprogramován´ı do platformy CompactRIO. Zde byl program realizován v softwaru LabVIEW. Jelikoˇz v´ ypoˇcty prob´ıhaly v pevné ˇra´dové ˇcárce, projevily se zde potencionáln´ı nev´ yhody algoritmu. Integraˇcn´ı regulátor mimo jiné filtruje periodické zmˇeny vstupn´ı odchylky, proto je tˇreba konvergenˇcn´ı konstantu volit relativnˇe malou. Tud´ıˇz i v´ ysledky souˇcin˚ u jsou velice malé a mus´ı b´ yt v tomto m´ıstˇe zajiˇstˇena vysoká pˇresnost v´ ypoˇctu. Podobné problémy nastávaj´ı i v pˇr´ıpadˇe

69

Obrázek 44: Algoritmus AGC pro porovnáván´ı amplitud dvou signál˚ u

Obrázek 45: Algoritmus detekce sousledné sloˇzky nesymetrie pomoc´ı filtru SOGI ladˇen´ ym AGC realizace integrac´ı ve filtru SOGI (obrázek 40) a pˇresnosti ladˇené u ´hlové frekvence. Pˇresto je algoritmus moˇzné docela dobˇre realizovat i v jednoduch´ ych procesorech. Ve v´ ysledném kódu byla maximáln´ı délka registr˚ u 32 bit a mˇeˇren´ı prokázala jeho správnou funkci. Zde jsou prezentovány pˇredevˇs´ım v´ ysledky simulac´ı, které d´ıky plovouc´ı ˇrádové ˇcárce, uvedené problémy neˇreˇs´ı. Pˇredstavuj´ı vˇsak chován´ı algoritmu ve vˇetˇs´ıch podrobnostech, neˇz by bylo moˇzné ukázat na v´ ysledc´ıch mˇeˇren´ı. V simulaci byl pouˇzit v´ ypoˇcet vstupn´ı odchylky AGC podle vztahu (126). Nastaven´ı vstupn´ıch signál˚ u odpov´ıdá testu A z tabulky 8. Z filtru jsou z´ıskávány skuteˇcné u ´rovnˇe sousledné sloˇzky. Proto je na obrázku 47 zobrazen jej´ı skuteˇcn´ y pr˚ ubˇeh po transformaci. V´ ysledky simulace pak lze vidˇet na obrázc´ıch 48 a 49. Konvergenˇcn´ı konstanta integraˇcn´ıho regulátoru byla v pr˚ ubˇehu simulace zvolena KI = 10−5 . V porovnán´ı s regulátorem, kter´ y byl pouˇzit ve fázovém závˇesu v kapitole 5.3.1, je jej´ı hodnota desetkrát vyˇsˇs´ı. Pˇresto je v´ ystup filtru nezkreslen a v´ ystupn´ı signály jsou v dobré shodˇe se souslednou symetrickou sloˇzkou. Podrobnˇejˇs´ı v´ ysledky simulace pro r˚ uzné vstupy lze naj´ıt v pˇr´ıloze B.

70

Obrázek 46: Zdrojové signály pro simulaci adaptivn´ıho filtru sousledné symetrické sloˇzky

Obrázek 47: Skuteˇcná sousledná symetrická sloˇzka po transformaci do souˇradnic αβ

71

Obrázek 48: Pr˚ ubˇeh adaptován´ı frekvence v ˇcase - pˇrepoˇcten´ y v´ ystup AGC

Obrázek 49: Pr˚ ubˇehy na v´ ystupu filtru sousledné symetrické sloˇzky (jiˇz dˇeleno 2)

72

5.5

ˇ sen´ı k´ Reˇ odu algoritm˚ u

Jelikoˇz doba v´ ypoˇctu ˇr´ıd´ıc´ıch algoritm˚ u m˚ uˇze b´ yt relativnˇe dlouhá, je dobré zaj´ımat se o metody, které ji mohou zkrátit. V této kapitole nebude prezentován ˇza´dn´ y extrémnˇe rychl´ y v´ ypoˇcet napˇr´ıklad filtr˚ u nebo Fourierovy transformace, sp´ıˇse se zamˇeˇr´ıme na strukturu v´ ysledného kódu. Obvykle je totiˇz poˇzadavkem pouze rychl´ y pˇrepoˇcet (a reakce) algoritmu s nov´ ym vzorkem signálu. Je aˇz paradoxn´ı, ˇze aˇckoliv se vzorkovac´ı frekvence nijak nezmˇen´ı a doba na zpracován´ı celého algoritmu v rámci vzorkovac´ı periody je dostateˇcná, tak pˇresto z uvedeného d˚ uvodu programátoˇri sahaj´ı po rychlejˇs´ıch procesorech nebo rovnou po hradlov´ ych pol´ıch. To je vˇsak za uveden´ ych podm´ınek ˇcasto zbyteˇcné a velice jednoduchou strukturou programu se dá vyˇsˇs´ım investic´ım vyhnout. Vycházejme z následuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: • Algoritmus bude implementován do procesoru. Program procesoru se skládá z hlavn´ı programové smyˇcky (v jazyce C je ve funkci ”main”) a z obsluh pˇreruˇsen´ı. • Vzorkovac´ı perioda je dostateˇcnˇe dlouhá na to, aby algoritmus provedl vˇsechny v´ ypoˇcty. Zároveˇ n je v dobˇe v´ ypoˇctu zahrnuta obsluha i pˇr´ıpadn´ ych periféri´ı jako napˇr´ıklad klávesnice, displej apod. • Reakce v´ ystupu je zpoˇzdˇena proveden´ ymi v´ ypoˇcty s okamˇzit´ ymi a pˇredchoz´ımi hodnotami vzork˚ u vstupn´ıho signálu. Nejvˇetˇs´ı zpoˇzdˇen´ı zp˚ usobuj´ı iteraˇcn´ı v´ ypoˇcty filtr˚ u nebo obecnˇe ˇca´sti algoritmu, které pracuj´ı se vzorky signálu uloˇzen´ ymi v pamˇeti. Je proto vhodné si v´ ysledky tˇechto v´ ypoˇct˚ u pˇripravit dopˇredu a pouˇz´ıt je aˇz ve chv´ıli z´ıskán´ı nového vzorku signálu. To ovˇsem m˚ uˇze b´ yt relativnˇe obt´ıˇzná záleˇzitost, která se neobejde bez alespoˇ n základn´ıch znalost´ı o ˇc´ıslicovém zpracován´ı signál˚ u. Pˇr´ıklad principu bude ukázán na strukturách filtr˚ u FIR a IIR. Pˇrenosovou funkci FIR filtru je moˇzné upravit do následuj´ıc´ı podoby: H(z) =

N −1 X Y (z) = bi · z −i = b0 + z −1 · Hr (z) X(z) i=0

Hr (z) =

N −1 X

bi · z −i+1

(130)

(131)

i=1

V rovnic´ıch (130) a (131) jsou bi koeficienty pˇrenosové funkce FIR filtru a N je jeho ˇra´d. Zˇrejmˇe v´ ystup p˚ uvodn´ıho filtru lze z´ıskat jako souˇcet souˇcinu koeficientu b0 s nov´ ym vzorkem signálu a o jeden vzorek zpoˇzdˇeného v´ ystupu jiného (dále stavov´ y filtr) filtru FIR s pˇrenosovou funkc´ı definovanou dle (131). Upravená struktura filtru je na obrázku 50. Zˇrejmˇe nedocház´ı ke zmˇenˇe v´ ysledného ˇra´du filtru ani ke zmˇenˇe pamˇet’ov´ ych nárok˚ u. V´ ypoˇctem pˇrenosové funkce (131) s aktuáln´ım vzorkem signálu je z´ıskán v´ ysledek, kter´ y má b´ yt pouˇzit pro následuj´ıc´ı vzorek signálu. Tento v´ ysledek lze z´ıskat kdykoliv pˇred následuj´ıc´ım vzorkem signálu, jelikoˇz vˇsechny potˇrebné hodnoty signálu jsou jiˇz uloˇzené v pamˇeti. To dává urˇcitou volnost pˇri tvorbˇe programu. Upraven´ y program filtru by mohl vypadat napˇr´ıklad tak, ˇze bˇehem obsluhy pˇreruˇsen´ı analogovˇe digitáln´ıho pˇrevodn´ıku se okamˇzitˇe vypoˇcte v´ ystup filtru ze znám´ ych hodnot aktuáln´ıho vzorku signálu a posledn´ı hodnoty v´ ystupu stavového filtru Hr . Uvedená operace je vykonána velice rychle, protoˇze se skládá pouze z jednoho souˇctu a násoben´ı konstantou. Doba strávená v obsluze pˇreruˇsen´ı je tak z pohledu v´ ypoˇctu filtrovaného

73

(a) FIR

(b) IIR

Obrázek 50: Rozdˇelené zpracován´ı filtr˚ u FIR a IIR

Obrázek 51: Rozdˇelen´ı v´ ypoˇctu filtrovaného v´ ystupu mezi obsluhu pˇreruˇsen´ı a hlavn´ı programovou smyˇcku v´ ystupu minimáln´ı. Zároveˇ n je t´ım i zaruˇcena velmi rychlá reakce programu na nov´ y vzorek signálu. V´ ypoˇcet dalˇs´ıho v´ ystupu filtru Hr prob´ıhá aˇz v hlavn´ı smyˇcce. Zde jiˇz nezáleˇz´ı na jeho prioritˇe a lze jej provézt kdykoliv do konce vzorkovac´ı periody (do z´ıskán´ı nového vzorku signálu). Stejnou strategii m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadˇe filtr˚ u IIR. Jedin´ y rozd´ıl je v tom, ˇze urˇcen´ y v´ ystup mus´ı b´ yt pouˇzit i pˇri v´ ypoˇctu stavového filtru Hr . Pro realizaci nové struktury se velmi hod´ı transponovaná pˇr´ımá struktura IIR filtru, která je na obrázku 50-(b). Pˇrenosovou funkci lze rozdˇelit na tˇri ˇca´sti: PN −i b0 + z −1 · Hrx (z) Y (z) i=0 bi · z = = (132) H(z) = P −1 · H (z) −i X(z) 1 − z 1− N a · z ry i i=0 Hrx (z) =

N X i=1

74

bi · z −i+1

(133)

Hry (z) =

N X

ai · z −i+1

(134)

i=1

Pˇrenosové funkce (133) a (134) opˇet odpov´ıdaj´ı stavov´ ym FIR filtr˚ um. Prvn´ı má jako vstup aktuáln´ı vzorek signálu a do druhého vstupuje v´ ystupn´ı filtrovaná hodnota v´ ysledného filtru. V rovnici (132) jsou bi koeficienty nerekurzivn´ı ˇca´sti filtru a ai jsou koeficienty rekurzivn´ı ˇca´sti filtru. V´ yhodou je, ˇze je stále ponechána svoboda pˇri volbˇe struktury stavov´ ych filtr˚ u. Ta m˚ uˇze respektovat konkrétn´ı poˇzadavky dané aplikace. Protoˇze je obvykle dost v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu bˇehem hlavn´ı smyˇcky programu, je v´ yhodné vyuˇz´ıvat kˇr´ıˇzové struktury. Jejich v´ yhodou je schopnost zm´ırˇ novat chyby vzniklé pˇri zaokrouhlován´ı koeficient˚ u a podobné vlivy koneˇcné pˇresnosti (koneˇcné délky slova v procesorech)[19]. Nev´ yhodou kˇr´ıˇzové struktury je dvojnásobné mnoˇzstv´ı operac´ı násoben´ı oproti pˇr´ımé struktuˇre. Nicménˇe d´ıky navrˇzenému schéma programu je uvedené mnohem ménˇe v´ yznamné.

75

Kapitola 6 ´ ve ˇr Za Tato práce navazuje na v´ yzkum v oblasti aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u, kter´ y je provádˇen na katedˇre elektrotechnologie. V rámci tohoto v´ yzkumu byl autor zapojen do realizace ˇr´ıd´ıc´ıho programu pro funkˇcn´ı vzorek aktivn´ıho filtru, jenˇz byl zaloˇzen na metodˇe zvané PQ teorie[1]. Z toho d˚ uvodu jsou v´ ysledky této práce spojovány právˇe s touto oblast´ı. Nicménˇe publikovaná problematika i algoritmy se neomezuj´ı pouze tuto oblast´ı a lze je vztáhnout k vˇetˇsinˇe implementac´ı ˇr´ıdic´ıch algoritm˚ u polovodiˇcov´ ych mˇeniˇc˚ u.

6.1

Souhrn v´ ysledk˚ u disertaˇ cn´ı pr´ ace

Práce shrnuje problematiku implementace ˇc´ıslicov´ ych algoritm˚ u v souvislosti s ˇr´ızen´ım aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u. Zab´ yvá se ˇs´ıˇren´ım chyb ve v´ ypoˇctech v pevné ˇra´dové ˇca´rce, coˇz b´ yvá nejˇcastˇejˇs´ım problémem pouˇzitelnosti jinak funkˇcn´ıch algoritm˚ u. Z dosavadn´ı zkuˇsenosti autora této práce plyne, ˇze nˇekteré algoritmy z hojnˇe publikovan´ ych v zahraniˇcn´ıch ˇclánc´ıch nen´ı moˇzné za bˇeˇzn´ ych (cenovˇe dostupn´ ych pro pr˚ umysl) podm´ınek pouˇz´ıt. Autoˇri tˇechto ˇclánk˚ u vyuˇz´ıvaj´ı simulaˇcn´ıch program˚ u, které provádˇej´ı v´ ypoˇcty s vysokou ˇ pˇresnost´ı a na následnou implementaci v jistém smyslu zapom´ınaj´ı. Casto je opom´ıjen i fakt, ˇze vstupn´ı veliˇciny (napˇr´ıklad fázová napˇet´ı a proudy) maj´ı koneˇcná rozliˇsen´ı. Pro digitalizaci analogového mˇeˇren´ı se v dneˇsn´ı dobˇe obvykle vyuˇz´ıvaj´ı 12b analogovˇe digitáln´ı pˇrevodn´ıky. Pˇri volbˇe maximáln´ıho rozsahu naˇc´ıtan´ ych s´ıt’ov´ ych napˇet´ı, napˇr´ıklad 1000 V, plyne, ˇze nelze mˇeˇrit menˇs´ı rozd´ıly napˇet´ı neˇz pˇribliˇznˇe 0, 25 V. Pokud budeme uvaˇzovat jeˇstˇe vliv ˇsumu, bude rozliˇsen´ı jeˇstˇe niˇzˇs´ı. Pˇresto jsou v simulac´ıch pouˇz´ıvány i hodnoty pod touto mez´ı a sledované algoritmy se tak neprojevuj´ı neˇza´douc´ım zp˚ usobem, jak´ ym m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad vznik systematické chyby na v´ ystupu nebo nestabilita. Proto je tomuto tématu vˇenována velká ˇca´st práce a byla vypracována metodika, kterou lze pouˇz´ıt pˇri návrhu v´ ypoˇcetn´ıch operac´ı v pevné ˇrádové ˇca´rce. S tématem koneˇcné pˇresnosti v´ ypoˇct˚ u velice u ´zce souvis´ı tématika z´ıskáván´ı stˇredn´ı hodnoty sledovan´ ych signál˚ u. Daná problematika byla sledována právˇe proto, ˇze tyto bloky ˇ sen´ı navrhované v p˚ tvoˇr´ı ned´ılnou souˇca´st algoritmu PQ teorie. Reˇ uvodn´ı literatuˇre[1] vyuˇz´ıvaj´ıc´ı filtr˚ u IIR se totiˇz bˇehem implementace algoritmu do FPGA projevilo jako nevyhovuj´ıc´ı. V této práci je navrˇzeno nahrazen´ı tˇechto filtr˚ u filtry CIC a je zde provedeno i jejich porovnán´ı s p˚ uvodn´ım ˇreˇsen´ım jak co do vlastnost´ı, tak do mnoˇzstv´ı vyuˇzit´ ych prostˇredk˚ u FPGA. Dále jsou v práci shrnuty v´ ysledky, kter´ ych autor dosáhl pˇri ˇreˇsen´ı problému synchronizace ˇr´ızen´ı. Nˇekteré metody ˇr´ızen´ı totiˇz pˇr´ımo vyˇzaduj´ı znalost aktuáln´ı frekvence s´ıtˇe, kv˚ uli dosaˇzen´ı definovaného fázového posunu mezi generovan´ ym pr˚ ubˇehy a pr˚ ubˇehy s´ıt’ov´ ych veliˇcin. Za t´ımto u ´ˇcelem byly studovány implementace nˇekter´ ych fázov´ ych závˇes˚ u, jejichˇz porovnán´ı lze naj´ıt v pˇr´ısluˇsné kapitole. V tomto rámci byly navrˇzeny i dva

76

adaptivn´ı algoritmy. Prvn´ı je urˇcen pro z´ıskáván´ı základn´ı harmonické sloˇzky vstupn´ıho pr˚ ubˇehu se správnou amplitudou a fáz´ı. Zde se pro adaptaci vyuˇz´ıvá algoritmu LMS. Druh´ y algoritmus je v jistém smyslu v´ yznamnˇejˇs´ı. Jeho u ´ˇcelem je z´ıskán´ı pr˚ ubˇehu sousledné symetrické sloˇzky trojfázového pr˚ ubˇehu. Zde se oproti p˚ uvodn´ımu ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıvá pro adaptaci u ´hlové frekvence aktivn´ıho ˇr´ızen´ı zisku AGC. Algoritmus byl testován jak simulac´ı tak implementac´ı v platformˇe CompactRIO a vykazoval stabiln´ı a správné v´ ysledky. V porovnán´ı s fázov´ ymi závˇesy bylo dokonce moˇzné dosahovat lepˇs´ı dynamiky ladˇen´ı na ˇza´danou frekvenci s´ıtˇe. C´ıle práce uvedené v u ´vodu byly do znaˇcné m´ıry splnˇeny, jelikoˇz v´ ysledné algoritmy byly zjednoduˇseny a nezhorˇsily dynamiku ˇr´ızen´ı aktivn´ıho harmonického filtru. V pˇr´ıpadˇe bloku filtru sousledné symetrické sloˇzky lze dokonce pˇredpokládat i lepˇs´ı dynamické vlastnosti neˇz u tradiˇcn´ıho fázového závˇesu. I tak je zde otevˇren´ y prostor pro dalˇs´ı v´ yvoj, kter´ y shrnuje následuj´ıc´ı kapitola.

6.2

Motivace pro dalˇ s´ı v´ yvoj

Práce neˇreˇs´ı v´ yhody a nev´ yhody modern´ıch algoritm˚ u zaloˇzen´ ych na soft computingu“. ” Otev´ırá se zde pˇredevˇs´ım oblast pro pouˇzit´ı FUZZY ˇr´ızen´ı nebo neuronov´ ych s´ıt´ı. Jak bylo ukázáno, vˇsechny v´ ypoˇcetn´ı algoritmy jsou vˇzdy zat´ıˇzeny urˇcitou v´ ystupn´ı chybou, která m˚ uˇze znemoˇznit jejich pouˇzit´ı nebo omezuje rozsah nastaviteln´ ych parametr˚ u (napˇr´ıklad kv˚ uli stabilitˇe). Pokud by se nˇekteré v´ ypoˇcetn´ı bloky algoritm˚ u nahradily FUZZY rozhodován´ım, bylo by pravdˇepodobnˇe moˇzné zlepˇsit dynamiku jejich v´ ystup˚ u. Zároveˇ n by bylo jistˇe zaj´ımavé zjistit, jak´ ym zp˚ usobem se zmˇen´ı rozptyl v´ ystupn´ıho signálu. V pˇr´ıpadˇe adaptivn´ıch algoritm˚ u by se pro hledán´ı správn´ ych parametr˚ u hodila implementace neuronov´ ych s´ıt´ı. Situace je jednoduˇsˇs´ı o to, ˇze v pˇr´ıpadˇe aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u ˇcasto známe rozsahy, ve kter´ ych se hledan´ y parametr ˇr´ızen´ı nacház´ı. Pˇr´ıkladem by mohla b´ yt aplikace neuronové s´ıtˇe pro z´ıskáván´ı hodnoty u ´hlové frekvence ze s´ıt’ov´ ych pr˚ ubˇeh˚ u napˇet´ı. Zde je zˇrejmé, ˇze se hledaná frekvence pohybuje v rozmez´ı ˇreknˇeme 45 aˇz 55 Hz a pr˚ ubˇehy napˇet´ı jsou pˇribliˇznˇe sinusové a fázová napˇet´ı jsou v˚ uˇci sobˇe posunuty ◦ po 120 . Naj´ıt trénovac´ı mnoˇzinu“ pro toto zadán´ı nen´ı problém. Jinou moˇznost´ı by bylo ” z´ıskáván´ı pomoc´ı uˇc´ıc´ı se neuronové s´ıtˇe model zátˇeˇze a z nˇej odvodit správnou regulaci proudu mˇeniˇce. V dobˇe psan´ı této práce se objevuje ˇrada ˇclánk˚ u s tématikou softcomputingu u aktivn´ıch harmonick´ ych filtr˚ u. Na katedˇre elektrotechnologie zat´ım neexistuje tomu odpov´ıdaj´ıc´ı v´ yzkumn´ y v´ yvoj. Proto by právˇe tohle mohlo b´ yt tématem pro pˇr´ıpadné pokraˇcovatele. Aˇckoliv je PQ teorie relativnˇe siln´ y nástroj pro ˇr´ızen´ı aktivn´ıch filtr˚ u, nen´ı zdaleka jedin´ y moˇzn´ y. Bylo by vhodné provést implementaci i ostatn´ıch ˇr´ıd´ıc´ıch metod a poˇ rovnat jejich dynamické vlastnosti a nároˇcnost na implementaci. Casto publikované jsou dnes také tzv. aktivn´ı filtry s LCL filtrem. Ty se od p˚ uvodn´ıho ˇreˇsen´ı liˇs´ı t´ım, ˇze mezi jejich v´ ystupem a s´ıt´ı je um´ıstˇen filtr v podobˇe T ˇclánku se dvˇema indukˇcnostmi a kondenzátorem. V´ yhodou je niˇzˇs´ı vysokofrekvenˇcn´ı ruˇsen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se do s´ıtˇe. Nev´ yhodou je moˇznost vzniku rezonance filtru. Existuje nˇekolik ˇreˇsen´ı uvedeného problému, nicménˇe ˇza´dné nen´ı zcela optimáln´ı a toto téma by si zaslouˇzilo pozornost. Zaj´ımav´ ym tématem by jistˇe byla i realizace aktivn´ıho filtru vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho v´ıce´ urovˇ nového v´ ystupu (v´ıce´ urovˇ nov´ y mˇeniˇc). Oproti stávaj´ıc´ım ˇreˇsen´ım je zde niˇzˇs´ı napˇet’ové namáhán´ı souˇca´stek a niˇzˇs´ı m´ıra vysokofrekvenˇcn´ıho ruˇsen´ı.

77

6.3

Pˇ r´ınos problematice

Tato práce navazuje na pˇredchoz´ı pokusy o implementaci ˇr´ızen´ı aktivn´ıho harmonického filtru. Ty byly provádˇeny na daném funkˇcn´ım vzorku mˇeniˇce ˇr´ızeného platformou CompactRIO. Program se v této platformˇe vytváˇr´ı softwarem LabView, jedná se tud´ıˇz o programován´ı technikou drag and drop“. Na prvn´ı pohled se zdá, ˇze pˇreveden´ı znám´ ych ” vztah˚ u z teorie do programu bude velice jednoduchou záleˇzitost´ı. Protoˇze vˇsak byl program v dané platformˇe c´ılen do hradlového pole (FPGA), bylo velice jednoduché pˇresáhnout poˇcet prostˇredk˚ u (logick´ ych bunˇek), které v nˇem byly k dispozici. Pˇredchoz´ı pokusy se pot´ ykaly s problémem vyˇcerpán´ı veˇskerého m´ısta na hradlovém poli. Z toho d˚ uvodu bylo nutné zaj´ımat se i v tomto pˇr´ıpadˇe o zjednoduˇsen´ı implementovan´ ych algoritm˚ u na optimáln´ı mez. Technika zachován´ı maximáln´ı pˇresnosti v´ ysledku v´ ypoˇctu v pevné ˇrádové ˇca´rce postupnˇe vede na rostouc´ı poˇcet bitov´ ych rozsah˚ u ˇc´ısel vstupuj´ıc´ıch do dalˇs´ıch operac´ı. V p˚ uvodn´ıch implementac´ıch nebylo neobvyklé, ˇze vypoˇctená hodnota poˇzadovaného napˇet´ı na v´ ystupu aktivn´ıho harmonického filtru mˇela pˇresnost pˇresahuj´ıc´ı 64 bit. To je obrovské pl´ ytván´ı prostˇredky hradlového pole, pokud uváˇz´ıme ˇze vstupn´ı hodnoty nelze kv˚ uli AD pˇrevodn´ık˚ um zmˇeˇrit s lepˇs´ı pˇresnost´ı neˇz 12 bit. Aˇckoliv je uveden´ y pˇr´ınos ˇcasto podceˇ nován, tak se tato práce zab´ yvá pravidly omezen´ı pˇresnosti v´ ysledk˚ u na optimáln´ı u ´roveˇ n. T´ım lze dosáhnout u ´spory dostupn´ ych prostˇredk˚ u a pokud je c´ılovou platformou procesor, tak d´ıky udrˇzen´ı bitového rozsahu ˇc´ısel v urˇcit´ ych mez´ıch lze dosáhnout i urychlen´ı v´ ypoˇctu. Pˇr´ınos této práce autor spatˇruje i ve studovan´ ych algoritmech. Pro dan´ yu ´ˇcel byla vˇzdy hledána co nejjednoduˇsˇs´ı a zároveˇ n nejoptimálnˇejˇs´ı metoda v´ ypoˇctu. Pˇr´ıkladnˇe v pˇr´ıpadˇe filtr˚ u stˇredn´ı hodnoty lze pro u ´ˇcely aktivn´ıho filtru, kter´ y pracuje s pevn´ ym“ s´ıt’ov´ ym ” kmitoˇctem, pouˇz´ıt CIC filtry. Ty mohou dosahovat vyˇsˇs´ıch u ´tlum˚ u neˇz p˚ uvodn´ı IIR filtry a maj´ı mnohonásobnˇe niˇzˇs´ı nároky na prostˇredky dané platformy. Nejv´ yznamnˇejˇs´ı je vˇsak v této práci algoritmus adaptivn´ıho filtru sousledné sloˇzky 3f soustavy, resp. jeho adaptován´ı pomoc´ı aktivn´ıho ˇr´ızen´ı zisku. V této podobˇe, pokud je autorovi známo, nebyl nikdy publikován. Vlastnosti tohoto algoritmu byly ovˇeˇreny simulac´ı i následnou implementac´ı v platformˇe CompactRIO. V porovnán´ı s p˚ uvodn´ım ˇreˇsen´ım nebo jin´ ymi algoritmy má tento stejné nebo lepˇs´ı dynamické vlastnosti, avˇsak je mnohem jednoduˇsˇs´ı. Pro svou ˇcinnost nevyˇzaduje jiné operace neˇz sˇc´ıtán´ı a násoben´ı a lze jej tak pouˇz´ıt i v jednoduˇsˇs´ıch procesorech. Dan´ y algoritmus lze pouˇz´ıt v ˇradˇe aplikac´ı. Konkrétnˇe v pˇr´ıpadˇe aktivn´ıho harmonického filtru nahrazuje p˚ uvodn´ı blok detektoru, kter´ y pracoval s fázov´ ym závˇesem.

78

Literatura [1] AKAGI, Hirofumi, Edson Hirokazu WATANABE a Maur´ıcio AREDES. Instantaneous power theory and applications to power conditioning. Hoboken, NJ: WileyInterscience/ John Wiley, c2007, xiv, 379 p. ISBN 04-701-0761-8. ˇ ´ a Ivan ZEMANEK. ´ [2] HAVLÍCEK, Václav, Martin POKORNY Elektrické obvody 1. ˇ ˇ Vyd. 1. Praha: Ceská technika - nakladatelstv´ı CVUT, 2005, 289 s. ISBN 80-0103299-X. [3] KOUKAL, Stanislav. Fourierovy trigonometrické ˇrady a metoda koneˇcných prvk˚ uv komplexn´ım oboru. 1. vyd. Praha: Academia, 2002, 237 s. ISBN 80-200-1029-7. ˚ Václav. Vliv polovodiˇcových mˇeniˇc˚ [4] KUS, u na napájec´ı soustavu. 1. vyd. Praha: BEN - technická literatura, 2002, 183 s. ISBN 80-730-0062-8. [5] STRZELECKI, Ryszard a Grzegorz BENYSEK. Power electronics in smart electrical energy networks. London: Springer, c2008, xviii, 414 p. Power systems. ISBN 978-1-84800-318-7. [6] HINGORANI, Narain G a Laszlo GYUGYI. Understanding FACTS: concepts and technology of flexible AC transmission systems. New York: IEEE Press, c2000, xix, 432 p. ISBN 07-803-3455-8. ˇ [7] PRIBYL, Filip. Vliv nesymetrie fázových proud˚ u na kvalitu elektrické energie a ˇ metody jej´ı kompenzace. Praha, 2013. Bakaláˇrská práce. CVUT v Praze. Vedouc´ı práce Michal Brejcha. ´ [8] HAJEK, Jan. Kvalita elektrické energie v inteligentn´ıch budovách. Praha, 2012. ˇ ˇ aˇcek, Diplomová práce. CVUT v Praze, FEL. Vedouc´ı práce doc. Ing. Jaroslav Z´ CSc. ˇ Jiˇr´ı. Aktivn´ı filtry pro zlepˇsen´ı jakosti elektrické energie v napájec´ı s´ıti. [9] MLADIC, ˇ Praha, 2005. Diplomová práce. CVUT v Praze, FEL. Vedouc´ı práce Doc. Ing. Jaroslav ˇ Záˇcek CSc. [10] PRIDAAA, Jeeva S., P TAMIZHARASI a J. BASKARAN. Implementation of synchronous reference frame strategy based Shunt active filter. 2011 3rd International Conference on Electronics Computer Technology. IEEE, 2011, s. 240-244. DOI: 10.1109/ICECTECH.2011.5941693. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=5941693 [11] KHADKIKAR, Vinod, Mukhtiar SINGH, Ambrish CHANDRA a Bhim SINGH. Implementation of single-phase synchronous d-q reference frame controller for shunt active filter under distorted voltage condition. 2010 Joint International Conference on Power Electronics, Drives and Energy Systems. IEEE, 2010, s. 1-6. DOI: 10.1109/PEDES.2010.5712526. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=5712526 79

[12] DA SILVA, Sergio A. Oliveira, Angelo Feracin NETO, Silvia G. S. CERVANTES, Alessandro GOEDTEL a Claudionor F. NASCIMENTO. Synchronous reference frame based controllers applied to shunt active power filters in threephase four-wire systems. 2010 IEEE International Conference on Industrial Technology. IEEE, 2010, s. 832-837. DOI: 10.1109/ICIT.2010.5472605. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=5472605 [13] SUM, K. Kit. BROADBAND TELCOM POWER, Inc. Valley-Fill Power Factor Correction Circuit [patent]. USA. U.S. Patent, 6141230. Udˇeleno 31.10.2000. [14] CHONGMING QIAO a K.M. SMEDLEY. Unified constant-frequency integration control of three-phase standard bridge boost rectifiers with powerfactor correction. IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2003, vol. 50, issue 1, s. 100-107. DOI: 10.1109/TIE.2002.804980. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=1174065 [15] BHENDE, C.N., S. MISHRA a S.K. JAIN. TS-Fuzzy-Controlled Active Power Filter for Load Compensation. IEEE Transactions on Power Delivery. 2006, vol. 21, issue 3, s. 1459-1465. DOI: 10.1109/TPWRD.2005.860263. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=1645189 [16] GUPTA, Nitin, S. P. SINGH a S. P. DUBEY. Fuzzy logic controlled shunt active power filter for reactive power compensation and harmonic elimination. 2011 2nd International Conference on Computer and Communication Technology (ICCCT2011). IEEE, 2011, s. 82-87. DOI: 10.1109/ICCCT.2011.6075180. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=6075180 ˇ AK, ´ Jan, Miloˇs LAIPERT a Miroslav VLCEK. ˇ [17] BIC Lineárn´ı obvody a systémy. Vyd. ˇ ˇ 1. Praha: Ceská technika - nakladatelstv´ı CVUT, 2007, 204 s. ISBN 978-80-01-036495. [18] RODRIGUEZ, P., R. TEODORESCU, I. CANDELA, A.V. TIMBUS, M. LISERRE a F. BLAABJERG. New Positive-sequence Voltage Detector for Grid Synchronization of Power Converters under Faulty Grid Conditions. 37th IEEE Power Electronics Specialists Conference. IEEE, 2006, s. 1-7. DOI: 10.1109/PESC.2006.1712059. Dostupné z: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm?arnumber=1712059 [19] WILLIAMS, Arthur B a Fred J TAYLOR. Electronic filter design handbook.: 4th ed. New York: McGraw-Hill, 2006, 775 s. ISBN 00-714-7171-5. [20] WIDROW, Bernard a István KOLLAR. Quantization noise: roundoff error in digital computation, signal processing, control, and communications. New York: Cambridge University Press, 2008, xxviii, 751 p. ISBN 05-218-8671-6. [21] REKTORYS, Karel. Pˇrehled uˇzité matematiky II 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000, xxxii, 874 s. ISBN 80-7196-181-7. ˇ [22] DAVÍDEK, Vratislav, Miloˇs LAIPERT a Miroslav VLCEK. Analogové a ˇc´ıslicové ˇ filtry. 2. vyd. dotisk. Praha: Vydavatelstv´ı CVUT, 2006, 345 s. ISBN 80-010-3026-1. ´ ˇ ˇ V. - et al.: Stˇredn´ı [23] BREJCHA, M. - HAJEK, J. - CERNEK, P. - PÍGL, J. - PAPEZ, hodnota okamˇzitého v´ ykonu pro ˇr´ızen´ı aktivn´ıch filtr˚ u. In Proceedings of the 13th International Scientific Conference EPE 2012. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı, 2012, s. 323-328. ISBN 978-80214-4514-7. 80

ˇ Jan a Pavel SOVKA. C´ ˇ ıslicové zpracován´ı signál˚ [24] UHLÍR, u. Vyd. 2., pˇreprac. Praha: ˇ Vydavatelstv´ı CVUT, 2002, 327 s. ISBN 80-010-2613-2. [25] BREJCHA, Michal, BAYER, Rudolf: Detekce pr˚ uchod˚ u nulou pomoc´ı adaptivn´ıho filtru pro základn´ı harmonickou frekvenci. In Proceedings of the 12th International Scientific Conference Electric Power Engineering 2011. Ostrava: Vysoká ˇskola bán ˇská - Technická univerzita Ostrava, 2011, s. 1-4. ISBN 978-80-248-2393-5. [26] BAYER, Rudolf, BREJCHA, Michal: Simple Adaptive Control for a Single Phase Shunt Active Filter. In Applied Electronic 2011. Plzeˇ n: University of West Bohemia, 2011, p. 39-42. ISBN 978-80-7043-987-6. ˇ [27] STRUPL, Miroslav; SOVKA, Pavel. Web Server Noel [online]. 12. 12. 2006 [cit. 2013-05-31]. Cviˇcen´ı k pˇredmˇetu ADA. Dostupné z WWW: ¡http://noel.feld.cvut.cz/vyu/ada/adacv/adacv.html¿. ´ ˇ ıslicového zpracován´ı sign´ [28] SOVKA, Pavel, POLLAK, Petr. Vybrané metody C´ al˚ u. ˇ Praha: Vydavatelstv´ı CVUT, 2003. 258 s. ISBN 80-01-02821-6. [29] LYONS, Richard G. Understanding digital signal processing. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2011, xxiii, 954 s. ISBN 978-0-13-702741-5. ¨ [30] MEYER-BASE, Uwe. Digital signal processing with field programmable gate arrays. 3rd ed. Berlin: Springer, c2007, 774 s. ISBN 978-3-540-72612-8. [31] SHENOI, Belle A. Introduction to digital signal processing and filter design. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, c2006, 423 s. ISBN 9780471654421 (HBK.). [32] SMITH, W. Digital signal processing: scientist and engineer´s guide. Vyd. 1. California: California Technical Publishing, 1997, 626 s. ISBN 09-660-1763-3. ˇ ˇ ast 4-27: Zkuˇsebn´ı [33] CSN EN 61000-4-27. Elektromagnetická kompatibilita (EMC) - C´ ˇ a mˇeˇr´ıc´ı technika - Nesymetrie - Zkouˇska odolnosti. Praha: CNI, 2001. [34] REKTORYS, Karel. Pˇrehled uˇzité matematiky I 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000, xxxii, 720 s. ISBN 978-80-7196-180-2.

81

ˇ´ıloha A Pr ´ sledky simulace fa ´ zove ´ho Vy ´ ve ˇsu vyuˇ za z´ıvaj´ıc´ıho PQ teorii Simulace je zamˇeˇrena na schopnost algoritmu správnˇe detekovat souslednou symetrickou sloˇzku. V tomto pˇr´ıpadˇe se jedná o detekci sousledné sloˇzky proudu ve shodˇe s obrázkem 28. Poˇca´teˇcn´ı hodnota u ´hlové frekvence byla v algoritmu nastavena na ω0 = 2 · π · f0 = 2 · π · 50 = 314, 2 rad/s Frekvence vstupn´ıch signál˚ u byla nastavena na 52 Hz, tj. c´ılová u ´hlová frekvence byla: ω = 2 · π · f = 2 · π · 57 = 326, 7 rad/s Oddˇelenˇe byl sledován vliv nesymetrie a harmonick´ ych sloˇzek na schopnost algoritmu naladit se na c´ılovou frekvenci a produkovat poˇzadované sinusové signály s odpov´ıdaj´ıc´ı fáz´ı. Pro moˇznost porovnán´ı jsou nastaven´ı vstup˚ u shodná s nastaven´ım vstup˚ u simulac´ı algoritmu uvedeného v pˇr´ıloze B.

82

A.1

Vliv nesymetrie

ˇ Velikost nesymetrie vstupn´ıch signál˚ u byla nastavena ve shodˇe s normou CSN EN 610004-27[33]. Zaˇr´ızen´ı se v této normˇe dˇel´ı do 3 tˇr´ıd. Nejpˇr´ısnˇejˇs´ı kritéria jsou urˇcena pro tˇr´ıdu 3, která je doporuˇcena pro test zkouˇseného zaˇr´ızen´ı, pˇredevˇs´ım pokud plat´ı nˇekterá z následuj´ıc´ıch podm´ınek: • pˇreváˇzná ˇcást zátˇeˇze je napájena pˇres mˇeniˇce; • jsou-li pˇr´ıtomny sváˇreˇcky; • jsou-li velké motory ˇcasto spouˇstˇeny; • zátˇeˇze se rychle mˇen´ı. ˇ Cinnost algoritmu v zaˇr´ızen´ıch, které pracuj´ı za pˇredeˇsl´ ych podm´ınek nelze vylouˇcit, proto byly zvoleny u ´rovnˇe nesymetrie pro tuto tˇr´ıdu. Nastaven´ı vstupn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u napˇet´ı jsou uvedena v tabulce 9. ˇ ıslo zkouˇ ´ C´ sky F´ aze Amplituda Uhel

1

2

3

(%UN )

(◦ )

Ua

100

0

Ub

93, 5

127

Uc

87

240

Ua

100

0

Ub

87

134

Uc

74

238

Ua

110

0

Ub

66

139

Uc

71

235

ˇ Tabulka 9: Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe dle CSN EN 61000-4-27[33]

83

A.1.1

ˇ ıslo zkouˇ C´ sky 3, konstanta integraˇ cn´ıho regul´ atoru KI = 10−5

84

A.1.2


85

A.1.3


86

A.2

Vliv harmonick´ ych sloˇ zek

Algoritmus je pˇredpokládán pro trojvodiˇcovou napájec´ı s´ıt’, kde se nevyskytuj´ı liché harmonické sloˇzky násobk˚ u 3. Sudé harmonické sloˇzky jsou obvykle v energetick´ ych s´ıt´ı zanedbatelné a proto nejsou uvaˇzovány ani pˇri simulaci. Byl testován vliv 5. a 7. harmonické. Pr˚ ubˇehy na základn´ı harmonické frekvenci byly nastaveny symetrické a stejnˇe tak pˇridané harmonické sloˇzky mˇely ve vˇsech fáz´ıch shodné amplitudy a odpov´ıdaj´ıc´ı fázové posuny. Tabulka 10 uvád´ı zvolené nastaven´ı harmonick´ ych sloˇzek pro jednotlivé zkouˇsky. ˇ ıslo zkouˇ ´ C´ sky Harmonick´ a Amplituda Uhel 1 2

(%UN )

(◦ )

5.

30

30

7.

10

−50

5.

10

30

7.

5

−50

Tabulka 10: Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe harmonick´ ych sloˇzek pˇri simulaci

87

A.2.1


88

A.2.2


89

A.2.3


90

ˇ´ıloha B Pr ´ sledky simulace adaptivn´ıho Vy ´ symetricke ´ sloˇ filtru sousledne zky Simulace je zamˇeˇrena na schopnost algoritmu správnˇe detekovat souslednou symetrickou sloˇzku. V tomto pˇr´ıpadˇe se jedná o detekci sousledné sloˇzky napˇet´ı ve shodˇe s obrázkem 45. Poˇcáteˇcn´ı hodnota u ´hlové frekvence byla v algoritmu nastavena na ω0 = 2 · π · f0 = 2 · π · 50 = 314, 2 rad/s Frekvence vstupn´ıch signál˚ u byla nastavena na 52 Hz, tj. c´ılová u ´hlová frekvence byla: ω = 2 · π · f = 2 · π · 57 = 326, 7 rad/s Oddˇelenˇe byl sledován vliv nesymetrie a harmonick´ ych sloˇzek na schopnost algoritmu naladit se na c´ılovou frekvenci a produkovat poˇzadované sinusové signály s odpov´ıdaj´ıc´ı fáz´ı. Pro moˇznost porovnán´ı jsou nastaven´ı vstup˚ u shodná s nastaven´ım vstup˚ u simulac´ı algoritmu uvedeného v pˇr´ıloze A. Parametr K definuj´ıc´ı ˇs´ıˇrku pásma filtru SOGI mˇel pˇri vˇsech simulac´ıch hodnotu 0, 1.

91

B.1

Vliv nesymetrie

ˇ Velikost nesymetrie vstupn´ıch signál˚ u byla nastavena ve shodˇe s normou CSN EN 610004-27[33]. Zaˇr´ızen´ı se v této normˇe dˇel´ı do 3 tˇr´ıd. Nejpˇr´ısnˇejˇs´ı kritéria jsou urˇcena pro tˇr´ıdu 3, která je doporuˇcena pro test zkouˇseného zaˇr´ızen´ı, pˇredevˇs´ım pokud plat´ı nˇekterá z následuj´ıc´ıch podm´ınek: • pˇreváˇzná ˇcást zátˇeˇze je napájena pˇres mˇeniˇce; • jsou-li pˇr´ıtomny sváˇreˇcky; • jsou-li velké motory ˇcasto spouˇstˇeny; • zátˇeˇze se rychle mˇen´ı. ˇ Cinnost algoritmu v zaˇr´ızen´ıch, které pracuj´ı za pˇredeˇsl´ ych podm´ınek nelze vylouˇcit, proto byly zvoleny u ´rovnˇe nesymetrie pro tuto tˇr´ıdu. Nastaven´ı vstupn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u napˇet´ı jsou uvedena v tabulce 11. ˇ ıslo zkouˇ ´ C´ sky F´ aze Amplituda Uhel

1

2

3

(%UN )

(◦ )

Ua

100

0

Ub

93, 5

127

Uc

87

240

Ua

100

0

Ub

87

134

Uc

74

238

Ua

110

0

Ub

66

139

Uc

71

235

ˇ Tabulka 11: Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe dle CSN EN 61000-4-27[33]

92

B.1.1


93

B.1.2


94

B.1.3


95

B.2

Vliv harmonick´ ych sloˇ zek

Algoritmus je pˇredpokládán pro trojvodiˇcovou napájec´ı s´ıt’, kde se nevyskytuj´ı liché harmonické sloˇzky násobk˚ u 3. Sudé harmonické sloˇzky jsou obvykle v energetick´ ych s´ıt´ı zanedbatelné a proto nejsou uvaˇzovány ani pˇri simulaci. Byl testován vliv 5. a 7. harmonické. Pr˚ ubˇehy na základn´ı harmonické frekvenci byly nastaveny symetrické a stejnˇe tak pˇridané harmonické sloˇzky mˇely ve vˇsech fáz´ıch shodné amplitudy a odpov´ıdaj´ıc´ı fázové posuny. Tabulka 12 uvád´ı zvolené nastaven´ı harmonick´ ych sloˇzek pro jednotliv´ e zkouˇsky. Amp uli zachován´ı plituda základn´ı harmonické sloˇzky byla nastavena na hodnotu 2/3, kv˚ jednotkov´ ych amplitud po Clarkové transformaci. ˇ ıslo zkouˇ ´ C´ sky Harmonick´ a Amplituda Uhel 1 2

(%UN )

(◦ )

5.

30

30

7.

10

−50

5.

10

30

7.

5

−50

Tabulka 12: Zkuˇsebn´ı u ´rovnˇe harmonick´ ych sloˇzek pˇri simulaci

96

B.2.1


97

B.2.2


98

B.2.3


99

ˇ´ık Rejstr ˇra´dová ˇca´rka pevná, 30 pohyblivá, 31 ˇrada Fourierova, 3 Taylorova, 42

metoda ˇr´ızen´ı FUZZY, 25 PQ teorie, 27, 59 SRF, 23 UCFIC, 24 MSB, 35

adaptivn´ı u ´zkopásmová propust, 61 filtr, 59 filtr sousledné sloˇzky, 65 AGC, 65 AHF, 13

náhodná veliˇcina rozptyl, 34 stˇredn´ı hodnota, 33

CompactRIO, 18 decimace, 46 dither, 41 DVR, 12 fázov´ y posun, 3 závˇes, 53 závˇes EPLL, 57 závˇes SRF-PLL, 55 filtr CIC, 45, 49 FIR, 45, 48 IIR, 45 harmonick´ y(á) funkce, 3 pr˚ ubˇeh, 3 sloˇzka, 3

PFC, 24 polynom Taylor˚ uv, 42 rekurzivn´ı v´ ypoˇcet, 39 SOGI, 65 STATCOM, 11 SVC, 11 transformace Clarkové, 8, 36, 67 Hilbertova, 67 Parkova, 8, 55 symetrick´ ych sloˇzek, 7 UPS, 11 v´ ykon ˇcinn´ y, 5 jalov´ y, 5 neaktivn´ı, 5 okamˇzit´ y, 5

kvantizaˇcn´ı ˇsum, 33 chyba, 33 krok, 30 teorém, 33, 38 limitn´ı cyklus, 41 LMS, 60 LSB, 33 100

Fakulta elektrotechnická

Recommend Documents