Fakulta elektrotechnická

ˇ ´ vysoke ´ uc ˇen´ı technicke ´ v Praze Cesk e ´ Fakulta elektrotechnicka

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A V´ yukov´ e materi´ aly pro modelov´ an´ı dynamick´ ych syst´ em˚ u

Praha, 2009

Autor: Richard Bobek

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou (bakalárskou) práci vypracoval samostatne a použil jsem pouze podklady (literaturu, projekty, SW atd.) uvedené v priloženém seznamu.

V Praze dne Cf.G.

200q

~

podpis

Podˇ ekov´ an´ı Dˇekuji Jiˇr´ımu Roubalovi za veden´ı bakaláˇrské práce a ochotu pomoci a poradit bˇehem vypracováván´ı. Dˇekuji mé rodinˇe a pˇrátel˚ um, kteˇr´ı mˇe podporovali a pomáhali mi bˇehem celého studia.

Kl´ıˇ cov´ a slova bloková algebra, schéma

block algebra, diagram

virtuáln´ı model spojen´ ych pohon˚ u coupled drives in virtual space ˇr´ızen´ı spojen´ ych pohon˚ u

control of coupled drives

virtuáln´ı model helikoptéry

helicopter in virtual space

ˇr´ızen´ı helikoptéry

control of helicopter

Abstrakt Pˇredkládaná bakaláˇrská práce je ˇclenˇena do tˇr´ı ˇcást´ı. Prvn´ı se t´ yká sb´ırky pˇr´ıklad˚ u k v´ yuce pˇredmˇet˚ u Systémy a modely a Systémy a ˇr´ızen´ı. Do této sb´ırky jsem pˇrispˇel kapitolou ”Bloková algebra”. Znalosti blokové algebry jsou potˇrebné k nalezen´ı popisu sloˇzitého systému. Ve druhé ˇcásti jsem vytvoˇril virtuáln´ı model spojen´ ych pohon˚ u. Spojené pohony jsou nelineárn´ım MIMO systémem. Virtuáln´ı model pom˚ uˇze student˚ um seznámit se s problematikou identifikace a ˇr´ızen´ı tohoto systému a vyzkouˇset si práci s n´ım i mimo laboratoˇr. Posledn´ı ˇcást se vˇenuje u ´pravˇe a pˇridán´ı nov´ ych funkc´ı virtuáln´ımu modelu helikoptéry. Helikoptéra je rovnˇeˇz nelineárn´ı MIMO systém, kter´ y nen´ı snadné identifikovat a ˇr´ıdit. Studenti se d´ıky virtuáln´ımu modelu mohou lépe pˇripravit na práci v laboratoˇri.

Abstract This graduation thesis is divided into three parts. The first one is concerned into the Collection of examples for teaching of the subject Systems and models and Systems and control. I added the chapter ”Block algebra” to this collection. Mastering the knowledge of block algebra is necessary for finding description of a complex system. In the second part I created a virtual model of coupled drives. Coupled drives are a non-linear MIMO system. Virtual model will help students getting informed about the problems of identification and control of this system. They may also try to work with the model even outside the laboratory. The last part relates to the modification and adding new functions to the virtual model of helicopter. Helicopter is as well a non-linear MIMO system. This system is hard to identify and control. Students can thanks to the virtual model be better prepared for the work in laboratory.

"'"1',,:"

Ceské vysoké ucení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Katedra rídicí techniky

ZADÁNí BAKALÁRSKÉ PRÁCE Student: Richard Bobek Studijní program: Elektrotechnika a informatika (bakalárský), strukturovaný Obor: Kybernetika a merení Název tématu: Výukové materiály pro modelování dynamických systému

Pokyny pro vypracování: 1. Pripravte sadu rešených a nerešených príkladu, které budou soucástí sbírky príkladu k výuce predmetu Systémy a modely a Systémy a rízení. 2. Namodelujte fyzikální model spojených pohonu v Simulinku. 3. Pripravte k tomuto modelu virtuální realitu. 4. Navrhnete rízení pro tento model. 5. Upravte virtuální model helikoptéry k porovnání chování modelu v laboratori 26.

Seznam odborné literatury: Dodá vedoucí práce

Vedoucf: Ing. Jirí Roubal, Ph.D. Platnost zadání: do konce letního semestru 2008/09

hW

(VT. m-Q~~~

prof. Ing. Michael Šebek, DrSc. vedoucí katedry

doc. Ing. Boris Šimák, CSc. dekan V Praze dne 27.2.2009

Obsah Seznam obr´ azk˚ u

iii

Seznam tabulek

v

´ 1 Uvod

1

2 Blokov´ a algebra

3

2.1

Základn´ı zapojen´ı systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

Pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

3 Virtu´ aln´ı model Spojen´ e pohony DCE 3.1

12 15

Teoretick´ y popis modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.1.1

Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2

Virtuáln´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3

Virtuáln´ı svˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4

Experimenty s virtuáln´ım modelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ızen´ı virtuáln´ıho modelu Spojené pohony . . . . . . . . . . . . . . . . . R´

24

3.5

4 Virtu´ aln´ı model helikopt´ ery 4.1

28 35

Teoretick´ y popis modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.1.1

Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.2

Virtuáln´ı model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.3

Virtuáln´ı svˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.4

Experimenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.4.1

Pracovn´ı bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.4.2 Odezvy na skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ızen´ı modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´

41

4.5

i

45

5 Z´ avˇ er

49

Literatura

51

6 Obsah pˇ riloˇ zen´ eho CD

53

Seznam obr´ azk˚ u 1.1

Virtuáln´ı model k laboratorn´ımu modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.1

Základn´ı zapojen´ı systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Blokové schéma sloˇzeného systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

Dvˇe moˇzné u ´pravy zapojen´ı z obr. 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Odezva systému z obr. 2.4 pro r˚ uzné vstupy a r˚ uzné poˇca´teˇcn´ı podm´ınky

9

2.4

Simulinkové schéma znázorˇ nuj´ıc´ı sériové zpojen´ı systém˚ u z pˇr´ıkladu 2.3 .

9

2.6

Simulinkové schéma systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.7

Blokové schéma systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.8

Blokové schéma systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.9

Simulinková schémata dvou systém˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1

Laboratorn´ı model Spojené pohony DCE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2

Diagram modelu spojen´ ych pohon˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3

Simulinkové schéma modelu spojen´ ych pohon˚ u. . . . . . . . . . . . . . .

18

3.4

Porovnán´ı u ´hl˚ u natoˇcen´ı ϕ1 (t) a ϕ2 (t) obou motor˚ u. . . . . . . . . . . .

20

3.5

Rozd´ıl otáˇcek ω1 (t) a ω2 (t) zp˚ usoben´ y prokluzem . . . . . . . . . . . . .

21

3.6

Skuteˇcn´ y prokluz ˇremene a aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.7

Virtuáln´ı realita Spojen´ ych pohon˚ u DCE . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.8

1. simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.9

2. simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.10 3. simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.11 Simulinkové schéma modelu spojen´ ych pohon˚ u s ˇr´ızen´ım . . . . . . . . .

27

3.12 1. experiment, neˇr´ızen´ y model a ˇr´ızen´ y model . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.13 1. a 2. experiment, porovnán´ı obou model˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . .

30


31


32

3.16 3. experiment, porovnán´ı obou model˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

iii

4.1

Star´ y model helikoptéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.2

Nov´ y model helikoptéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.3

Virtuáln´ı realita pro model helikoptéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.4

Pracovn´ı bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.5

Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, zaaretovaná elevace . . . . . . . . . . .

41

4.6

Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, zaaretovaná elevace . . . . . . . . . . .

41

4.7

Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, zaaretovan´ y azimut . . . . . . . . . . . .

42

4.8

Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, zaaretovan´ y azimut . . . . . . . . . . . .

42

4.9

Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, bez aretac´ı . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.10 Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, bez aretac´ı . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.11 Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, bez aretac´ı . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.12 Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, bez aretac´ı . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.13 Skok napˇet´ı na obou motorech, bez aretac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.14 Odezva virtuáln´ıho modelu v uzavˇrené regulaˇcn´ı smyˇcce . . . . . . . . . .

46

4.15 Odezva virtuáln´ıho modelu v uzavˇrené regulaˇcn´ı smyˇcce . . . . . . . . . .

46

Seznam tabulek 3.1

Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.1

Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

v

Kapitola 1 ´ Uvod C´ılem této práce je podpoˇrit v´ yuku modelován´ı a ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u. Práci tvoˇr´ı tˇri ˇcásti. Prvn´ı je studijn´ı materiál, kter´ y bude zaˇrazen do sb´ırky pˇr´ıklad˚ u postihuj´ıc´ıch tématiku modelován´ı a ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u (Roubal, J. et al., 2009), která je pro studenty volnˇe dostupná na internetu. D´ıky této sb´ırce maj´ı studenti pˇr´ıstup ke komplexn´ımu ˇcesky psanému materiálu vˇenovanému ˇr´ıdic´ı technice. Od ostatn´ıch knih vˇenovan´ ych tomuto tématu (Chen, C. T., 1998; Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; Franklin, G. F. et al., 2005) se liˇs´ı hlavnˇe mnoˇzstv´ım ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u. Druhá ˇcást je vˇenována virtuáln´ı realitˇe laboratorn´ıho modelu Spojené pohony DCE, kter´ y se nacház´ı v Laboratoˇri teorie automatického ˇr´ızen´ı (Roubal, J., 2009). V práci je popsán cel´ y proces, tedy sestaven´ı fyzikáln´ıho popisu, namodelován´ı v Simulinku a vytvoˇren´ı virtuáln´ı reality. Správná funkce virtuáln´ıho modelu je ovˇeˇrena ˇr´ızen´ım. Posledn´ı ˇcást práce popisuje u ´pravu virtuáln´ıho modelu helikoptéry, kter´ y se opˇet nacház´ı v Laboratoˇri teorie automatického ˇr´ızen´ı (Roubal, J., 2009). P˚ uvodn´ı model byl opraven sestaven´ım nového fyzikáln´ıho popisu a odpov´ıdaj´ıc´ı u ´pravou virtuáln´ı reality. C´ılem byla vˇetˇs´ı pouˇzitelnost modelu pˇri v´ yuce. Funkˇcnost byla opˇet ovˇeˇrena ˇr´ızen´ım. Virtuáln´ı model k laboratorn´ımu modelu vycház´ı z reálné pˇredlohy. Je potˇreba pozorován´ım a experimenty nalézt odpov´ıdaj´ıc´ı fyzikáln´ı popis. Tento popis plat´ı s omezen´ım, napˇr´ıklad u helikoptéry, která se nem˚ uˇze otáˇcet volnˇe, ale má zaráˇzky jak pro pohyb v azimutu tak elevaci. U reálného modelu také nastávaj´ı jevy, které fyzikáln´ı model nepopisuje – laboratorn´ı model helikoptéry se samovolnˇe stáˇc´ı do jednoho bodu. Doj´ıt m˚ uˇze i ke sloˇzitˇejˇs´ım komplikac´ım – u spojen´ ych pohon˚ u nefunguj´ı sn´ımaˇce polohy kladek. Tyto jevy je potˇreba vhodnˇe zanést do fyzikáln´ıho popisu. Typick´ ym pˇr´ıkladem byl prokluz ˇremene u modelu spojen´ ych pohon˚ u. Nebylo moˇzné jej popsat diferenciáln´ı rovnic´ı, byl zjiˇstˇen experimentálnˇe. 1

´ KAPITOLA 1. UVOD

2

Z´ıskan´ y popis se pak modeluje pomoc´ı Simulinku, do kterého je potˇreba doplnit neznámé konstanty z fyzikáln´ı ˇcásti. Konstantám se lze pˇrib´ıˇzit pokusy s laboratorn´ım modelem. Lze také vyuˇz´ıt pˇredpoklady o v´ ysledném tvaru poˇzadované veliˇciny, napˇr´ıklad pˇribliˇznou velikost toˇcivého momentu modelu helikoptéry. Simulinkové schéma se pak m˚ uˇze propojit s virtuáln´ı realitou. Virtuáln´ı realita je soubor pˇr´ıkaz˚ u, popisuj´ıc´ıch geometrii objektu a zp˚ usob jejich pohybu. Pro studijn´ı u ´ˇcely vˇetˇsinou staˇc´ı pouˇzit´ı základn´ıch tvar˚ u, nejde nám o vˇernost modelu ale o funkˇcnost. Cel´ y virtuáln´ı model je pak zapouzdˇren, aby byl skryt princip jeho fungován´ı a studenti neztratili motivaci jej hledat. Ze stejn´ ych d˚ uvod˚ u se liˇs´ı konstanty virtuáln´ıho modelu od jeho laboratorn´ı verze. Na obr. 1.1 je porovnán´ı virtuáln´ıho a reálného modelu. Pokud máme správnˇe pˇripraven´ y virtuáln´ı model, m˚ uˇzeme podle nˇej navrhnout ˇr´ızen´ı. Pokud tento regulátor vyzkouˇs´ıme na modelu v laboratoˇri bude fungovat podobnˇe.

(a) skuteˇcn´ y model

(b) virtuáln´ı model

Obrázek 1.1: Virtuáln´ı model k laboratorn´ımu modelu

Kapitola 2 Blokov´ a algebra Tato kapitola byla pouˇzita do sb´ırky pˇr´ıklad˚ u postihuj´ıc´ıch tématiku modelován´ı a ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u (Roubal, J. et al., 2009). Uvedu ji zde ve znˇen´ı, jak byla uvedna ve sb´ırce. V pˇredchoz´ıch kapitolách jsme se dozvˇedˇeli, jak popsat vlastnosti systému vnˇejˇs´ım ˇ ˇci vnitˇrn´ım popisem. Casto se vˇsak setkáme také s pˇr´ıpadem, kdy potˇrebujeme nalézt vlastnosti systému, kter´ y vznikl spojen´ım nˇekolika subsystém˚ u. Stejnˇe tak mus´ıme nˇekdy subsystémy rozpojovat, nebo mˇenit vazby mezi nimi. Souhrn pravidel pro práci s popisem a vlastnostmi sloˇzen´ ych systém˚ u se naz´ yvá blokov´ a algebra (Chen, C. T., 1998; ˇ Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; Stecha, J. a Havlena, V., 1999). V této kapitole si ukáˇzeme, jak vypadá stavov´ y a pˇrenosov´ y popis systému vznikl´ y paraleln´ım, sériov´ ym a zpˇetnovazebn´ım ˇrazen´ım subsystém˚ u. Dále si ukáˇzeme na nˇekolika pˇr´ıkladech, jak´ y vliv na dynamické vlastnosti maj´ı r˚ uzné typy zapojen´ı, které vlastnosti se zachovávaj´ı a které se naopak mohou ztratit. Na konci kapitoly opˇet naleznete nˇekolik neˇreˇsen´ ych u ´loh.

2.1

Z´ akladn´ı zapojen´ı syst´ em˚ u

Uvaˇzujme systémy S1 a S2 , které jsou popsány následuj´ıc´ımi stavov´ ymi rovnicemi a pˇrenosov´ ymi maticemi. Pro systém S1 plat´ı x˙ 1 (t) = A1 x1 (t) + B 1 u1 (t) ,

Y 1 (s) = G1 (s) U1 (s) .

y 1 (t) = C 1 x1 (t) + D 1 u1 (t) , 3

(2.1)

´ ALGEBRA KAPITOLA 2. BLOKOVA

4 Pro systém S2 plat´ı x˙ 2 (t) = A2 x2 (t) + B 2 u2 (t) , y 2 (t) = C 2 x2 (t) + D 2 u2 (t) ,

Y 2 (s) = G2 (s) U2 (s) .

(2.2)

Pro následuj´ıc´ı novˇe vzniklé systémy, které jsou naznaˇceny na obr. 2.1, budeme vˇzdy uvaˇzovat stavov´ y vektor sloˇzen´ y ze stavov´ ych vektor˚ u x1 a x2 ve tvaru " # x1 (t) x(t) = . x2 (t)

(a) paraleln´ı zapojen´ı

(b) sériové zapojen´ı

(2.3)

(c) zpˇetnovazebn´ı zapojen´ı

Obrázek 2.1: Základn´ı zapojen´ı systém˚ u

Paraleln´ı spojen´ı Pro paraleln´ı spojen´ı systém˚ u na obr. 2.1(a) mus´ı m´ıt oba systémy stejn´ y poˇcet vstup˚ u (dim{u1 } = dim{u2 }) a stejn´ y poˇcet v´ ystup˚ u (dim{y 1 } = dim{y 2 }). V´ ystup paraleln´ıho zapojen´ı y(t) je dán souˇctem v´ ystup˚ u y 1 (t) a y 2 (t). Stavové matice nového systému jsou " # " # h i A1 0 B1 A= , B= , C = C1 C2 , 0 A2 B2

D = [D 1 + D 2 ].

(2.4)

Matice A sloˇzeného systému je blokovˇe diagonáln´ı. Je tedy zˇrejmé, ˇze charakteristick´ y polynom ∆(s) sloˇzeného systému bude roven souˇcinu charakteristick´ ych polynom˚ u jednotliv´ ych subsystém˚ u ∆(s) = det(sI − A) = det(sI − A1 ) det(sI − A2 ) = ∆1 (s) ∆2 (s),

(2.5)

kde I jsou jednotkové matice pˇr´ısluˇsn´ ych dimenz´ı. Pˇrenosová matice systému tvoˇreného dvˇema paralelnˇe spojen´ ymi subsystémy je G(s) = G1 (s) + G2 (s) .

(2.6)

´ Í ZAPOJENÍ SYSTEM ´ U ˚ 2.1. ZAKLADN

5

S´ eriov´ e zapojen´ı Pro sériové spojen´ı systém˚ u na obr. 2.1(b) mus´ı b´ yt poˇcet v´ ystup˚ u systému S1 roven poˇctu vstup˚ u systému S2 (dim{y 1 } = dim{u2 }). Stavové matice nového systému pak jsou

A=

"

A1

0

B 2 C 1 A2

#

, B=

"

B1 B 2 D1

#

, C=

h

i

D 2 C 1 C 2 , D = [D 2 D 1 ].

(2.7)

Matice A sloˇzeného systému je blokovˇe doln´ı troj´ uheln´ıková. Je tedy zˇrejmé, ˇze charakteristick´ y polynom sloˇzeného systému bude roven souˇcinu charakteristick´ ych polynom˚ u jednotliv´ ych subsystém˚ u ∆(s) = det(sI − A) = det(sI − A1 ) det(sI − A2 ) = ∆1 (s) ∆2 (s) ,

(2.8)

kde I jsou jednotkové matice pˇr´ısluˇsn´ ych dimenz´ı. Pozn´ amka: Vˇsimnˇeme si, ˇze charakteristick´ y polynom dvou subsystém˚ u je stejn´ y, at’ je spoj´ıme sériovˇe nebo paralelnˇe.

2

Pro v´ ystup y sériového zapojen´ı podle obr. 2.1(b) plat´ı Y (s) = G2 (s) U 2 (s) = G2 (s) G1 (s) U (s) = G(s) U (s) . Pˇrenosová matice systému tvoˇreného dvˇema sériovˇe spojen´ ymi subsystémy tedy je G(s) = G2 (s) G1 (s) .

(2.9)

Pozn´ amka: Pro systémy s v´ıce vstupy a v´ıce v´ ystupy je nutno zachovat poˇrad´ı pˇrenosov´ ych matic G2 (s) G1 (s). Pro systémy s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem na poˇrad´ı v (2.9) nezáleˇz´ı.

2

Zpˇ etnovazebn´ı zapojen´ı Pro zpˇetnovazebné spojen´ı systém˚ u na obr. 2.1(c) plat´ı podobné podm´ınky pro poˇcty vstup˚ u a poˇcty v´ ystup˚ u jednotliv´ ych subsystém˚ u. Napiˇste tyto podm´ınky sami. Stavové


6

matice nového systému pro zápornou zpˇetnou vazbu jsou A=

"

A1 + B 1 D 2 (I + D 1 D 2 )−1 C 1

B 1 C 2 + B 1 D 2 (I + D 1 D 2 )−1 D 1 C 2

B 2 (I + D 1 D 2 )−1 C 1

A2 + B 2 (I + D 1 D 2 )−1 D 1 C 2

B=

"

B 1 + B 1 D 2 (I + D 1 D 2 )−1 D 1

C=

h

B 2 (I + D 1 D 2 )−1 D 1 −1

(I + D 1 D 2 )

C1

#

,

,

−1

(I + D 1 D 2 )

#

i

D1C 2 ,

D = (I + D 1 D 2 )−1 D 1 ,

(2.10)

kde I jsou jednotkové matice pˇr´ısluˇsn´ ych dimenz´ı. Pˇrenosová matice je G(s) = [I + G1 (s)G2 (s)]−1 G1 (s) = G1 (s) [I + G2 (s)G1 (s)]−1 .

(2.11)

Pozn´ amka: Pro zpˇetnovazebné zapojen´ı s kladnou zpˇetnou vazbou, mus´ıme ve stavovém popisu nahradit ˇclen (I + D 1 D 2 )−1 ˇclenem (I − D 1 D 2 )−1 a v pˇrenosovém popisu nahradit znaménko +“ znaménkem −“ (za jednotkovou matic´ı I ). ” ”

2.2

2

Pˇ r´ıklady

Pˇ r´ıklad 2.1: Pro sériové zapojen´ı dvou systém˚ u (2.1) a (2.2) odvod’te tvar stavov´ ych matic sloˇzeného systému a z nich pˇrenosovou matici systému G(s) (poˇcáteˇcn´ı podm´ınky uvaˇzujte nulové). ˇ sen´ı: Pro sériové zapojen´ı dvou systém˚ Reˇ u (2.1) a (2.2) plat´ı rovnice dané vazbami y(t) = y 2 (t) ,

u2 (t) = y 1 (t) ,

u1 (t) = u(t) .

Stavové rovnice pak jsou x˙ 1 (t) = A1 x1 (t) + B 1 u1 (t) = A1 x1 (t) + B 1 u(t) , x˙ 2 (t) = A2 x2 (t) + B 2 u2 (t) = A2 x2 (t) + B 2 (C 1 x1 (t) + D 1 u(t)) , y(t) = y 2 (t) = C 2 x2 (t) + D 2 u2 (t) = C 2 x2 (t) + D 2 C 1 x1 (t) + D 2 D 1 u(t) . Odtud m˚ uˇzeme psát stavové matice sloˇzeného systému (2.7). Z nich spoˇcteme pˇrenosovou

ˇ ÍKLADY 2.2. PR

7

matici sériovˇe zapojen´ ych subsystém˚ u G(s) = C (sI − A)−1 B + D = " h i = D2C 1 C 2 sI − =

h

D2 C 1 C 2

" i

A1

0

B 2 C 1 A2

#!−1 "

B1 B 2D1

(sI −A1 )−1

# 0

+ [D 2 D 1 ] = #"

B1

#

(sI −A2 )−1 B 2 C1 (sI −A1 )−1 (sI −A2 )−1 B 2 D 1 = C 2 (sI − A2 )−1 B 2 + D 2 C 1 (sI − A1 )−1 B 1 + D 1 .

+[D 2 D 1 ] =

Odtud vid´ıme

G(s) = G2 (s) G1 (s) . Dospˇeli jsme ke vztahu, kter´ y je stejn´ y jako (2.9). V´ ysledek je tedy správn´ y. Poznamenejme, ˇze je nutné zachovat poˇrad´ı násoben´ı matic.

X

Pˇ r´ıklad 2.2: Naleznˇete pˇrenos systému sloˇzeného ze subsystém˚ u (kaˇzd´ y s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem) podle následuj´ıc´ıho obrázku.

Obrázek 2.2: Blokové schéma sloˇzeného systému

ˇ sen´ı: Abychom mohli postupnˇe pouˇz´ıvat pravidla (2.6), (2.9) a (2.11), uprav´ıme si Reˇ zadané schéma podle obr. 2.3. Takovéto u ´pravy jsou moˇzné, protoˇze pracujeme pouze s pˇrenosy (ne se stavov´ ymi popisy). Ukáˇzeme si dvˇe moˇzné u ´pravy, viz obr. 2.3.

(a) jedna u ´prava

(b) druh´ au ´prava

Obrázek 2.3: Dvˇe moˇzné u ´pravy zapojen´ı z obr. 2.2


8

V prvn´ım pˇr´ıpadˇe jsme na obr. 2.3(a) posunuli vstupn´ı vˇetev bloku s pˇrenosem G4 (s) aˇz za blok s pˇrenosem G2 (s). Celkov´ y pˇrenos podle tohoto obrázku pak p´ıˇseme G1 (s)G2 (s) G1 (s)G2 (s) 1 + G2 (s)G3 (s) . G(s) = = G1 (s)G2 (s) G4 (s) 1 + G2 (s)G3 (s) + G1 (s)G4 (s) 1+ 1 + G2 (s)G3 (s) G2 (s) Ve druhém pˇr´ıpadˇe jsme na obr. 2.3(b) posunuli vazbu do bloku s pˇrenosem G4 (s) pˇred sˇc´ıtac´ı ˇclen za bloˇckem s pˇrenosem G1 (s). Celkov´ y pˇrenos podle tohoto obrázku pak p´ıˇseme G(s) =

G2 (s) G1 (s) G1 (s)G2 (s) = . G1 (s)G4 (s) 1 + G2 (s)G3 (s) 1 + G2 (s)G3 (s) + G1 (s)G4 (s) 1+ 1 + G2 (s)G3 (s)

Udˇelali jsme dvˇe r˚ uzné u ´pravy blokového schématu a vid´ıme, ˇze nemaj´ı vliv na v´ ysledn´ y pˇrenos.

X

Pˇ r´ıklad 2.3: Necht’ je systém S tvoˇren dvˇema sériovˇe zapojen´ ymi subsystémy S1 a S2 podle obr. 2.1(b). Matice jednotliv´ ych subsystém˚ u jsou A1 = [−2],

B 1 = [ 1 ],

C 1 = [−3],

A2 = [ 1 ],

B 2 = [ 1 ],

C 2 = [ 1 ],

D 1 = [ 1 ], D 2 = [ 0 ].

Urˇcete stavové matice a pˇrenosovou matici v´ ysledného systému (poˇcáteˇcn´ı podm´ınky uvaˇzujte nulové). Diskutujte jak´ y je ˇrád nového systému a jak´ y je ˇrád jeho pˇrenosu. ˇ sen´ı: Podle vztahu (2.7) nalezneme stavové matice sloˇzeného systému Reˇ " # " # h i −2 0 1 A= , B= , C = 0 1 , D = [ 0 ]. −3 1 1 Z tˇechto matic urˇc´ıme pˇrenos v´ ysledného systému G(s) =

s2

s−1 s−1 1 = = . +s−2 (s − 1)(s + 2) s+2

Pˇrenos spoˇcten´ y ze stavového popisu odpov´ıdá pˇrenosové matici (2.9). Vid´ıme, ˇze aˇckoli jsme sériovˇe spojili dva systémy 1. ˇrádu, z´ıskali jsme pˇrenos sloˇzeného systému opˇet 1. ˇrádu. Pouh´ y pˇrenos tedy nepopisuje systém pˇresnˇe a je niˇzˇs´ıho ˇrádu, neˇz uveden´ y stavov´ y popis, kter´ y je ˇrádu druhého.

ˇ ÍKLADY 2.2. PR

9

V pˇrenosu sloˇzeného systému se totiˇz vykrátil ˇclen (s − 1). Tento ˇclen se naz´ yvá skrytý mód . Skryté módy poznáme porovnán´ım charakteristického polynomu systému a jmenovatele jeho pˇrenosu. V´ıce se o nich dozv´ıte napˇr´ıklad v (Dorf, R. C. a Bisˇ hop, R. H., 2007; Stecha, J. a Havlena, V., 1999). My nyn´ı jen v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe provedeme anal´ yzu chován´ı takto zapojeného systému.

X

Pˇ r´ıklad 2.4: Analyzujte chován´ı sloˇzeného systému z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu v ˇcasové oblasti pro r˚ uzné vstupy u(t) a r˚ uzné poˇcáteˇcn´ı podm´ınky x20 . ˇ sen´ı: V pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe jsme zjistili, ˇze se ve v´ Reˇ ysledném pˇrenosu vykrát´ı skryt´ y mód. Nyn´ı budeme analyzovat, jaké to má d˚ usledky v ˇcasové oblasti. Pro zkoumán´ı systému budeme pouˇz´ıvat simulinkové schéma uvedené na následuj´ıc´ım obrázku.

Obrázek 2.4: Simulinkové schéma zn´ azorˇ nuj´ıc´ı sériové zpojen´ı systém˚ u z pˇr´ıkladu 2.3

Nejprve nastav´ıme nulové poˇcáteˇcn´ı podm´ınky obou podsystém˚ u x10 a x20 a na vstup celého systému u pˇripoj´ıme jednotkové skoky v ˇcase t = 1 s o velikostech u = 1 a u = 2. V´ ysledky tˇechto simulac´ı jsou na obr. 2.5(a). Poté nastav´ıme vstup u na nulu a provedeme simulace pro poˇcáteˇcn´ı podm´ınky x20 = {0; 0,1; 0,5} (stav prvn´ıho subsystému ponecháme nulov´ y x10 = 0). V´ ysledky tˇechto simulac´ı jsou na obr. 2.5(b). Analyzujme nyn´ı v´ ysledky simulac´ı z pˇredchoz´ıch obrázk˚ u. Sloˇzen´ y systém se skládá ze stabiln´ıho subsystému S1 a nestabiln´ıho subsystému S2 G1 (s) =

s−1 , s+2

G2 (s) =

1 . s−1

Novˇe sloˇzen´ y systém je tedy nestabiln´ı. Pokud uvaˇzujeme nulové poˇcáteˇcn´ı podm´ınky, pak odezvy na obr. 2.5(a) konverguj´ı, protoˇze nestabiln´ı mód s pólem systému −1 nem˚ uˇze b´ yt vybuzen vstupem systému u (signál s touto frekvenc´ı neprojde pˇres nulu −1 prvn´ıho subsystému. Takov´ yto mód se naz´ yvá neˇriditelný (Chen, C. T., 1998; Dorf, R. C. a ˇ Bishop, R. H., 2007; Stecha, J. a Havlena, V., 1999).


10

5 1

∞

∞

x20 = 0

4.5

x

= 0.1

x

= 0.5

20

4

20

0.8 3.5 3 y [−]

y [−]

0.6

2.5 2

0.4

1.5 0.2

1 0.5 u=1 u=2

0 0

1

2

3 t [s]

4

5

0 6

(a) odezvy na vstup u

0

1

2

3 t [s]

4

5

6

(b) odezvy na poˇcáteˇcn´ı podm´ınky x0

Obrázek 2.5: Odezva systému z obr. 2.4 pro r˚ uzné vstupy a r˚ uzné poˇcáteˇcn´ı podm´ınky

Naopak pod´ıváme-li se na odezvy na nenulové poˇcáteˇcn´ı podm´ınky x20 na obr. 2.5(b), vid´ıme, ˇze se nestabiln´ı skryt´ y mód uˇz projev´ı. Systém je nestabiln´ı a proto i jeho odezva mus´ı divergovat. Problém je, ˇze nestabiln´ı neˇriditeln´ y mód nejde vstupem u = u1 ˇr´ıdit (ovlivˇ novat). Proto nikdy nesm´ıme krátit nestabiln´ı póly nestabiln´ımi“ nulami, protoˇze ” v reálném svˇetˇe nikdy nebudeme znát pˇresnou hodnotu daného pólu. Kdybychom takkov´ ymto zp˚ usobem chtˇeli nˇejak´ y systém ˇr´ıdit, dostali bychom se do problém˚ u, ale o tom aˇz pozdˇeji.

X

Pˇ r´ıklad 2.5: Uvaˇzujte systém zapojen´ y podle následuj´ıc´ıho obrázku. Naleznˇete k, pro která má systém skryt´ y mód.

Obrázek 2.6: Simulinkové schéma systému

ˇ sen´ı: Schéma zadané pˇrenosy slouˇc´ıme stavovˇe. Nejprve slouˇc´ıme dva paraleln´ı bloky, Reˇ pak pˇridáme integrátor v sérii. Stavové matice jednotliv´ ych subsystém˚ u jsou A1 = [ 0 ] ,

B1 = [ 1 ] ,

C1 = [ 1 ] ,

D1 = [ 0 ] ,

ˇ ÍKLADY 2.2. PR

11

A2 = [−2] ,

B2 = [ 1 ] ,

C2 = [ 1 ] ,

D2 = [ 0 ] ,

A3 = [−3] ,

B3 = [ 1 ] ,

C3 = [ k ] ,

D3 = [ 0 ] .

Nyn´ı zavedeme stavov´ y vektor celého systému x = [x1 , x2 , x3 ]. Stavové matice celého systému pak jsou  0 0 0  A=  1 −2 0 1 0 −3



 , 



1



   B=  0 , 0

C=

h

0 1 k

i

,

D = [ 0 ].

Ze stavového popisu nalezneme pˇrenos G(s) =

s + 3 + k (s + 2) s(1 + k) + 3 + 2k = . (s + 3)(s + 2)s (s + 3)(s + 2)s

Abychom odhalili skryté módy, nalezneme taková k, pro která docház´ı ve v´ yˇse uvedeném pˇrenosu ke krácen´ı. Sloˇzen´ y systém má póly p1,2,3 = {0, −2, −3} a nuly z(k) = {s |s(1 + k) + 3 + 2k = 0}. Nyn´ı mus´ıme nalézt prvky této mnoˇziny. T´ım nalezneme vˇsechny nuly pˇrenosu parametrizované parametrem k. Z tˇechto nul vybereme ty, které se rovnaj´ı pól˚ um systému neboli tˇem, které odpov´ıdaj´ı skryt´ ym mód˚ um systému na obr. 2.6. Uved’me jeˇstˇe jeden postup jak se dobrat k ˇreˇsen´ı tohoto pˇr´ıkladu pomoc´ı pˇrenos˚ u. Nejprve urˇc´ıme pˇrenos dvou paralelnˇe zapojen´ ych blok˚ u na obr. 2.6 Gpar (s) = G2 (s) + G3 (s) =

(s + 3) + k (s + 2) s(1 + k) + 3 + 2k = (s + 2)(s + 3) (s + 2)(s + 3)

a zjist´ıme, pro která k dojde v tomto pˇrenosu ke krácen´ı. V tomto pˇrenosu m˚ uˇze doj´ıt ke krácen´ı pokud by tento pˇrenos mˇel nulu s hodnotou jednoho z pól˚ u {−2, −3}. To nastane pro k = 0, kde se v tomto pˇrenosu vykrát´ı ˇclen (s + 3). Protoˇze je konstanta k v matici C 3 , je tento skryt´ y mód odpov´ıdaj´ıc´ı pólu −3 nepozorovatelný (Chen, C. T., ˇ 1998; Dorf, R. C. a Bishop, R. H., 2007; Stecha, J. a Havlena, V., 1999). Pokud by byla konstanta k v matici B 3 , byl by tento skryt´ y mód odpov´ıdaj´ıc´ı pólu −3 neˇriditelný. Toto je vidˇet na prvn´ı pohled uˇz na obr. 2.6. Dále pˇridáme k pˇrenosu Gpar (s) podle obr. 2.6 integrátor v sérii a dostaneme pˇrenos G(s) = Gpar (s) G1 (s) =

s(1 + k) + 3 + 2k 1 . (s + 2)(s + 3) s

Nyn´ı m˚ uˇze v tomto pˇrenosu doj´ıt jeˇstˇe ke krácen´ı pólu v nule. To nastane pro hodnotu y pól vykrácen nulovou nulou, která vznikne v paraleln´ım bloˇcku k = − 23 , kdy bude nulov´


12

právˇe pro k = − 23 . Protoˇze jsou systémy ˇrazeny v tomto poˇrad´ı je cel´ y systém pro tuto hodnotu k ˇriditeln´ y, ale nepozorovateln´ y (mód odpov´ıdaj´ıc´ı nulovému pólu neprojde na v´ ystup systému na obr. 2.6, protoˇze je nulován nulovou nulou paraleln´ıho bloˇcku). Závˇerem tedy m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze systém má skryt´ y mód pro 3 k ∈ − ,0 . 2 Pro k = − 32 se krát´ı ˇclen (s + 3) a pro k = 0 se krát´ı ˇclen s. Proved’te sami ˇcasové simulace podobnˇe jako v pˇr´ıkladˇe 2.4.

2.3

X

´ Ulohy

Pˇ r´ıklad 2.6: Naleznˇete pˇrenos G(s) systému sloˇzeného ze subsystém˚ u (kaˇzd´ y s jedn´ım vstupem a jedn´ım v´ ystupem) podle následuj´ıc´ıho obrázku.

Obrázek 2.7: Blokové schéma systému

Pˇ r´ıklad 2.7: Pro systémy S1 a S2 odvod’te pˇrenosovou matici G(s). Jsou-li spojeny: a) paralelnˇe, b) zpˇetnovazebnˇe. Pˇ r´ıklad 2.8: Odvod’te tvar stavov´ ych matic a pˇrenosové matice pro sériové spojen´ı systém˚ u z obr. 2.1(b) pro pˇr´ıpad, ˇze poˇrad´ı systém˚ u je opaˇcné neˇz na tomto obrázku. Plat´ı tedy y(t) = y 1 (t) ,

u1 (t) = y 2 (t) ,

u2 (t) = u(t) .

Pˇ r´ıklad 2.9: Pro systém zadan´ y blokov´ ym schématem na obr. 2.8 naleznˇete k, pro která má systém skryt´ y mód. Analyzujte vlastnosti systému.

´ 2.3. ULOHY

13

Obrázek 2.8: Blokové schéma systému

Pˇ r´ıklad 2.10: Systém na obr. 2.9(a) byl nahrazen systémem na obr. 2.9(b). Zjistˇete, zda se pˇrenosy obou systém˚ u liˇs´ı a zda se liˇs´ı jejich vlastnosti.

(a) p˚ uvodn´ı systém

(b) nov´ y systém

Obrázek 2.9: Simulinková schémata dvou systém˚ u

Pˇ r´ıklad 2.11: Vrat’te se k pˇr´ıkladu (2.3). Jak se zmˇen´ı ˇriditelnost a pozorovatelnost sloˇzeného systému, pokud obrát´ıme poˇrad´ı blok˚ u S1 a S2 ? ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh z kapitoly 2 Blokov´ a algebra 2.6: G =

G1 G2 G3 G4 1+G1 G2 G5 +G3 G4 G6 −G2 G3 G7

; 2.7: postup je obdobn´ y jako v pˇr´ıkladˇe 2.1, v´ ysledné

pˇrenosové matice jsou (2.6) 2.8: y vektor (2.3) jsou stavové matice i pro stavov´ i a (2.11); h h B A 1D2 1 B1C 2 , C = [ C 1 D 1 C 2 ], D = [D 1 D 2 ], pˇrenosová ma, B= systému A = B2 0 A2 tice je G(s) = G1 (s) G2 (s); 2.9: systém je ˇriditeln´ y pro k 6= 1. systém je pozorovateln´ y pro k 6= 3; 2.10: pˇrenosy jsou stejné, systém na obr. 2.9(a) je ˇriditeln´ y a pozorovateln´ y, systém na obr. 2.9(b) je ˇriditeln´ y ale nen´ı pozorovateln´ y ; 2.11: systém má stejn´ y skryt´ y mód odpov´ıdaj´ıc´ı pólu p = −1, kter´ y ale tentokrát nebude pozorovateln´ y, bude ˇriditeln´ y;

14


Kapitola 3 Virtu´ aln´ı model Spojen´ e pohony DCE V této kapitole popisuji, jak jsem sestavil fyzikáln´ı model spojen´ ych pohon˚ u v Simulinku a pˇripravil k tomuto modelu virtuáln´ı realitu. Rovnˇeˇz jsem navrhl a vyzkouˇsel ˇr´ızen´ı modelu.

Obrázek 3.1: Laboratorn´ı model Spojené pohony DCE

15

´ Í MODEL SPOJENE ´ POHONY DCE KAPITOLA 3. VIRTUALN

16

Laboratorn´ı model spojen´ ych pohon˚ u slouˇz´ı v laboratoˇri teorie automatického ˇr´ızen´ı K26 (Roubal, J., 2009) k v´ yuce modelován´ı a ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u. Model simuluje pouˇzit´ı dopravn´ıho pásu ˇr´ızeného dvˇema pohony. Takov´ y pás se bˇeˇznˇe vyuˇz´ıvá v pr˚ umyslu. K tomuto laboratorn´ımu modelu vytvoˇr´ım virtuáln´ı model, d´ıky kterému se budou moci studenti pˇripravit na práci v laboratoˇri. Model se skládá ze dvou stejnosmˇern´ ych motor˚ u, které pohánˇej´ı pruˇzn´ y dopravn´ı pás veden´ y pˇres dvˇe dalˇs´ı kladky. Vstupy systému jsou napˇet´ı u1 (t) a u2 (t) na motorech, v´ ystupy systému jsou u ´hly natoˇcen´ı motor˚ u ϕ1 (t) a ϕ2 (t) a polohy kladek x1 (t) a x2 (t) (viz obr. 3.1)

3.1

Teoretick´ y popis modelu

Abych mohl vytvoˇrit virtuáln´ı model, nalezl jsem nejprve fyzikáln´ı popis spojen´ ych pohon˚ u. Model jsem si rozkreslil do diagramu, kde jsem znázornil potˇrebné fyzikáln´ı veliˇciny. Abych vyjádˇril pruˇznost pásu, zaˇradil jsem do nˇej pruˇziny kA , kB , kC a kD . V tabulce 3.1.1 jsem popsal pouˇzité veliˇciny.

Obrázek 3.2: Diagram modelu spojen´ ych pohon˚ u

Fyzikáln´ı popis jsem zaˇcal popisem motor˚ u M1 a M2. Motory pˇrenáˇsej´ı vstupn´ı napˇet´ı u1 (t) a u2 (t) na otáˇcky ω1 (t) a ω2 (t). Na základˇe experiment˚ u na reálném modelu jsem

´ POPIS MODELU 3.1. TEORETICKY

17

zjistil, ˇze kaˇzd´ y z motor˚ u lze popsat pˇrenosem 1. ˇrádu. G1 (s) =

km1 Ω1 (s ) = , U1 (s ) J1 s + bm1

G2 (s) =

Ω2 (s ) km2 = . U2 (s ) J2 s + bm2

(3.1)

Tˇemto pˇrenos˚ um odpov´ıdaj´ı diferenciáln´ı rovnice J1 ω˙ 1 (t) + bm1 ω1 (t) = km1 u1 (t) ,

J2 ω˙ 2 (t) + bm2 ω2 (t) = km2 u2 (t) .

(3.2)

Pro u ´hly natoˇcen´ı motor˚ u ϕ1 (t) a ϕ2 (t) plat´ı ϕ˙ 1 (t) = ω1 (t) ,

ϕ˙ 2 (t) = ω2 (t) .

(3.3)

Kladky motoru pˇrenáˇs´ı otáˇcky ω1 (t) a ω2 (t) na momenty sil M1 (t) a M2 (t). Protoˇze jsou motory spojené ˇremenem, mus´ım rovnice (3.2) upravit. K momentu sil vyvolaném jedn´ım ˇremenem se pˇriˇc´ıtá moment sil vyvolan´ y druh´ ym motorem, zmenˇsen´ y o prokluzy ˇ P1 (ω1 , ω2 ) a P2 (ω1 , ω2 ). Cleny (bm2 ω2 (t) + km2 u2 (t)) a (bm1 ω1 (t) + km1 u1 (t)) v rovnic´ıch (3.4) pˇredstavuj´ı moment vyvolan´ y druh´ ym motorem. Prokluz jsem zjistil experimentálnˇe viz obr. 3.5. J1 ω˙ 1 (t) = −bm1 ω1 (t) + km1 u1 (t) + (−bm2 ω2 (t) + km2 u2 (t)) − P1 (ω1 , ω2 ) , J2 ω˙ 2 (t) = −bm2 ω2 (t) + km2 u2 (t) + (−bm1 ω1 (t) + km1 u1 (t)) − P2 (ω1 , ω2 ) .

(3.4)

Momenty M1 (t) a M2 (t) se rozloˇz´ı na pásu dle vztah˚ u M1 (t) = F8 (t) r1 − F4 (t) r1 ,

M2 (t) = F3 (t) r2 − F7 (t) r2 .

(3.5)

Dále jsem zavedl prodlouˇzen´ı xA (t), xB (t), xC (t) a xD (t), coˇz jsou prodlouˇzen´ı pásu pˇr´ısluˇsná k imaginárn´ım pruˇzinám. Plat´ı F2 (t) = kA xA (t) = F3 (t) , F1 (t) = kB xB (t) = F4 (t) , F6 (t) = kC xC (t) = F7 (t) , F5 (t) = kD xD (t) = F8 (t) ,

(3.6)

kde kA , kB , kC a kD jsou konstanty tuhosti pruˇzin. Pás pˇri rozp´ınán´ı nepˇrekoná mez pruˇznosti a nelze zmˇeˇrit prodlouˇzen´ı x1 (t) a x2 (t) ze kter´ ych by bylo moˇzné tuhosti vyjádˇrit. Diferenciáln´ı rovnice pro jednotlivá prodlouˇzen´ı závis´ı na rozd´ılu otáˇcek ω1 (t) a ω2 (t) a na prokluzu. x˙ A (t) = (ω1 (t) r1 − ω2 (t) r2 ) − kp1 P1 (ω1 , ω2 ) x˙ B (t) = (ω1 (t) r1 − ω2 (t) r2 ) − kp1 P1 (ω1 , ω2 ) x˙ C (t) = (ω2 (t) r2 − ω1 (t) r1 ) − kp2 P2 (ω1 , ω2 ) x˙ D (t) = (ω2 (t) r2 − ω1 (t) r1 ) − kp2 P2 (ω1 , ω2 )

(3.7)

18


Na levou kladku p˚ usob´ı s´ıla Fα (t), na pravou kladku s´ıla Fβ (t). Pro tyto s´ıly plat´ı Fα (t) = (F1 (t) + F2 (t)) cosα,

Fβ (t) = (F5 (t) + F6 (t)) cosβ.

(3.8)

Souˇcasnˇe pro s´ıly Fα (t) a Fβ (t) plat´ı Fα (t) = k1 x1 (t) + bα x˙ 1 (t) + m1 x¨1 (t) ,

Fβ (t) = k2 x2 (t) + bβ x˙ 2 (t) + m2 x¨2 (t) . (3.9)

Z pˇredchoz´ıch rovnic jiˇz mohu vyjádˇrit diferenciáln´ı rovnice prodlouˇzen´ı x1 (t) a x2 (t) x¨1 (t) =

1 m1

[−bα x˙ 1 − k1 x1 + (F1 + F2 ) cos α] (3.10)

x¨2 (t) =

1 m2

[−bβ x˙ 2 − k2 x2 + (F5 + F6 ) cos β]

Obrázek 3.3: Simulinkové schéma modelu spojen´ ych pohon˚ u

´ POPIS MODELU 3.1. TEORETICKY

3.1.1

19

Tabulka pouˇ zit´ ych veliˇ cin Tabulka 3.1: Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin

M1

[N m ]

Toˇciv´ y moment motoru M1

M2

[N m ]

Toˇciv´ y moment motoru M2

2 −1

bm1

[kg m s ]

brzdˇen´ı motoru M1

bm2

[kg m 2 s−1 ]

brzdˇen´ı motoru M2

J1

[kg m 2 ]

moment setrvaˇcnosti motoru M1

J2

[kg m 2 ]

moment setrvaˇcnosti motoru M2

km1 km2

[N m V

−1

]

konstanta motoru M1

[N m V

−1

]

konstanta motoru M2

U1

[V ]

napˇet´ı na motoru M1

U2

[V ]

napˇet´ı na motoru M2

ω1

[s −1 ]

otáˇcky motoru M1

−1

ω2

[s

]

otáˇcky motoru M2

r1

[m ]

polomˇer kladky pohánˇené motorem M1

r2

[m ]

polomˇer kladky pohánˇené motorem M2

h

[m ]

vzdálenost mezi osou soumˇernosti a pohánˇené kladky

x0

[m ]

v´ ychylka kladek v pracovn´ım bodˇe

m1

[kg ]

hmotnost p˚ usob´ıc´ı na pruˇzinu k1

m2

[kg ]

hmotnost p˚ usob´ıc´ı na pruˇzinu k2

bα

[kg s −1 ]

brzdˇen´ı levé kladky

bβ

[kg s −1 ]

brzdˇen´ı pravé kladky

α

[◦ ]

u ´hel mezi osou soumˇernosti a spojnic´ı levé kladky a motoru

β

[◦ ]

u ´hel mezi osou soumˇernosti a spojnic´ı pravé kladky a motoru

k1

[N m −1 ]

tuhost pruˇziny k1

k2

[N m −1 ]

tuhost pruˇziny k2

[N m ]

prokluz pásu

kA , kB , kC , kD

[N m −1 ]

tuhost pruˇzin znázorˇ nuj´ıc´ıch elasticitu pásu

F1 , F2 , F3 , F4 ,

[N ]

s´ıly p˚ usob´ıc´ı po posuvném pásu

P1 , P2

F5 , F6 , F7 , F8


20

3.2

Virtu´ aln´ı model

Podle mého fyzikáln´ıho popisu laboratorn´ıho modelu jsem sestavil model v Simulinku. Schéma je na obr. 3.3. Pop´ıˇsi, jak jsem model sestavoval. Prvn´ı subsystém, Input nonlinearities, upravuje hodnoty vstupn´ıho napˇet´ı. U modelu v laboratoˇri, ovládaném pˇres Matlab, m˚ uˇzeme nastavit vstup −1 aˇz +1 v jedntokách, které Matlab pouˇz´ıvá. U modelu kter´ y jsem vytvoˇril je vstup −10V aˇz +10V. Také jsem zmˇeˇril a nastavil vstupn´ı necitlivost systému. Dalˇs´ı blokem je susystém Motors. V tomto subsystému se vstupn´ı napˇet´ı u1 (t) a u2 (t) pˇrenáˇs´ı dle rovnic (3.4) na otáˇcky ω1 (t) a ω2 (t). Abych tento blok mohl sestavit, musel jsem z reálného modelu identifikovat konstanty J1 , J2 , km1 , km2 , bm1 a bm2 a identifikovat prokluz P1 (ω1 , ω2 ) a P2 (ω1 , ω2 ). Experimetny s modelem jsem zjistil, ˇze motory pouˇzité v modelu spojen´ ych pohon˚ u se od sebe v´ yraznˇe neliˇs´ı. Zároveˇ n nen´ı podstatn´ y rozd´ıl, mezi chody motor˚ u pˇri kladném, ˇci záporném napˇet´ı. Na obr. 3.4 jsem zaznamenal aboslutn´ı hodnotu u ´hl˚ u natoˇcen´ı motor˚ u pro r˚ uzná napˇet´ı. Index p oznaˇcuje kladné napˇet´ı, index n oznaˇcuje záporné napˇet´ı. 4

4

5

x 10

2.5

φ

x 10

φ

1p

1p

φ2p

3.5

2

φ1n

3

φ2p φ1n

φ

φ

2n

2n

|φ| [rad]

|φ| [rad]

2.5 2 1.5

1.5

1

1 0.5 0.5 0 0

1

2

3

4

5

0 0

t [s]

1

2

3

4

5

t [s]

(a) u1p = 0.2, u2p = 0.2,u1n = −0.2, u2n =

(b) u1p = 0.9, u2p = 0.9,u1n = −0.9, u2n =

−0.2

−0.9

Obrázek 3.4: Porovnán´ı u ´hl˚ u natoˇcen´ı ϕ1 (t) a ϕ2 (t) obou motor˚ u

Momenty setrvaˇcnosti J1 a J2 jsem urˇcil jako momenty setrvaˇcnosti plného válce o homtnosti 0,2kg a polomˇeru 0,06m. Konstanty km1 , km2 , bm1 a bm2 jsem identifikoval pomoc´ı pˇrechodov´ ych charakteristik, které jsem namˇeˇril na reálném modelu.

´ Í MODEL 3.2. VIRTUALN

21

Prokluz ˇremene jsem identifikoval tak, ˇze na prvn´ım motoru jsem nastavoval po skoc´ıch vstup 0 aˇz 1M U a na druhém motoru jsem nechal nulové napˇet´ı. Prokluz ˇremene zp˚ usobil rozd´ıl mezi otáˇckami prvn´ıho a druhého motoru. 12

45

ω

1

ω

1

40

ω

ω

2

10

2

35 30 −1

ω [s ]

−1

ω [s ]

8

6

4

25 20 15 10

2 5 0 0

2

4

6

8

0 0

10

2

4

t [s]

6

8

10

t [s]

(a) u1 = 0.4, u2 = 0

(b) u1 = 1, u2 = 0

Obrázek 3.5: Rozd´ıl ot´ aˇcek ω1 (t) a ω2 (t) zp˚ usoben´ y prokluzem

Zaznamenal jsem rozd´ıly mezi otáˇckami ω1 (t) a ω2 (t) pro jednotlivé rozd´ıly napˇet´ı u1 (t) a u2 (t) a zjistil jsem, ˇze prokluz ˇremene pˇri tomto experimentu se dá aproximovat vztahem |ω1 (t) − ω2 (t)| = 0.02157e6.96025(|u1 (t)−u2 (t)|) .

(3.11)

Závislost prokluzu na rozd´ılu napˇet´ı se dá s dostateˇcnou pˇresnost´ı aproximovat exponenciálou. Na obrázku obr. 3.6 je prokluz otáˇcek pro u1 = 0. 25

|ω − ω | 1

2

aproximace

15

1

2

|ω − ω | [s−1]

20

10

5

0 −1

−0.5

0 u − u [V] 1

0.5

1

2

Obrázek 3.6: Skuteˇcn´ y prokluz ˇremene a aproximace


22

Protoˇze v modelu uvaˇzuji motory za podobné, je stejn´ y rozd´ıl mezi otáˇckami pokud je napˇet´ı na druhém motoru vyˇsˇs´ı, neˇz napˇet´ı na prvn´ım motoru. Schéma jsem dále upravil, aby prokluz pˇri nulov´ ych napˇet´ı na obou motorech nezp˚ usobil otáˇcen´ı kladek. Dalˇs´ım blokem v modelu je subsystém Belt, otáˇcky ω1 (t) a ω2 (t) se pˇrenáˇs´ı dle rovnic (3.7) na s´ıly F1 (t), F2 (t), F5 (t) a F7 (t). Do vzorce (3.8) potˇrebuji vyjádˇrit cos α a cos β. h i h −1 cos α = cos tan , x0 +x1 h

cos β = cos tan−1

h x0 +x2

i

(3.12)

.

ystupy systému x1 (t) V subsystémech F alpha1 a F beta1 jsem dle rovnice (3.9) vyjádˇril v´ a x2 (t) a nalezl konstanty k1 , b1 a k2 , b2 tak, aby se virtuáln´ı model podobal reálnému. Pomoc´ı subsystém˚ u To VR world a To VR world1 jsem upravil v´ ystupy virtuáln´ıho modelu, aby odpov´ıdaly virtuáln´ımu svˇetu. V´ ystupy x1 (t) a x2 (t) jsem vynásobil konstantou 100, aby pohyb ve virtuáln´ım svˇetˇe odpov´ıdal realitˇe.

3.3

Virtu´ aln´ı svˇ et

M´ ym u ´kolem bylo vytvoˇrit virtuáln´ı realitu pro v´ yˇse fyzikálnˇe popsan´ y laboratorn´ı model. Pˇri u ´pravˇe virtuáln´ıho modelu helikoptéry jsem pouˇz´ıval pouze editor V-Realm Builder, kter´ y je souˇcást´ı Matlabu. Pro tvorbu celého modelu bylo v´ yhodnˇejˇs´ı psát kód v textovém editoru. Psan´ı kódu v textovém editoru bylo pohodlnˇejˇs´ı a pˇrehlednˇejˇs´ı, neˇz ´ , M., 2005; práce s VRML editorem. Popis tˇeles ve VRML je napˇr´ıklad v (Serbusova ˇ ´ , D. et al., 1997). Cernohorsk y Pro model jsem pouˇzil univerzáln´ı uzel Background, kter´ y je stejn´ y u vˇsech virtuáln´ıch model˚ u z laboratoˇre K26. Dále jsem vytvoˇril tˇri uzly Viewpoint, pro pohled zepˇredu, z dálky a ze strany. Uzel CoupledEngines je box s texturou laboratorn´ıho modelu, ze které jsem vymazal kladky, rotory a pás, které jsem modeloval pomoc´ı samostatn´ ych uzl˚ u. Pro kladky a rotory jsem pouˇzil vˇzdy stejn´ y postup. Jako pˇr´ıklad uvedu vytvoˇren´ı virtuáln´ı reality pro horn´ı rotor. Nejprve jsem vytvoˇril uzel Top drive, kter´ y definuje stˇred a rovinu otáˇcen´ı rotoru. Protoˇze ve VRML jsou implicitnˇe podstavy válc˚ u vodorovné, rovinu jsem otoˇcil vektorem rotation [1 0 0 1.5708], tedy ve smˇeru kolmém na osu

´ Í SVET ˇ 3.3. VIRTUALN

23

y popisuje samotnou x o 90◦ . Children uzlem tohoto uzlu je uzel Top drive rot, kter´ geometrii válce a jeho texturu. Vektor Top drive rot.rotation otáˇc´ı rotorem. Popis rotac´ı je napˇr´ıklad v (Perrett, G., 2000-2009). Uvedl jsem zde ˇcást kódu, která popisuje uzel Top drive. DEF Top_drive Transform{ rotation

1 0 0

translation

1.5708

0.2 15 11

children DEF Top_drive_rot Transform { scale

1 1 1

children Shape { appearance

Appearance {

material

Material { transparency

0

} texture

ImageTexture { url

"texture/rotor.jpg"

} } geometry

Cylinder { height

2

radius

1.4

} } } }

Obrázek 3.7: Virtuáln´ı realita Spojen´ ych pohon˚ u DCE


24

Ve virtuáln´ı realitˇe jsem pás neudˇelal pohybliv´ y. Vytvoˇrit pás, kter´ y by ob´ıhal kolem jednotliv´ ych kladek a rotor˚ u by bylo pˇr´ıliˇs sloˇzité a pro studijn´ı u ´ˇcely je to nepotˇrebné. Pás jsem rozdˇelil na ˇctyˇri ˇcásti, které vˇzdy spojuj´ı kladku s motorem. Aby se virtuáln´ı model podobal realitˇe, sleduj´ı ˇcásti pásu pohyb kladek. y pˇredstavuje horn´ı levou ˇctvrtinu pásu. Jako pˇr´ıklad uvedu uzel Top left belt, kter´ Rozmˇery, natoˇcen´ı a materiál pásu popisuje jeho children uzel Top left belt.rot. Pouˇzil jsem standartn´ı materiál Yellow plastic. Vektorem Top left belt.scale se sleduje pohyb kladky. DEF Top_left_belt Transform{ translation

1 17 11

scale 1 1 1 children DEF Top_left_belt_rot Transform { scale

1 1 1

translation -8.5 -6.5 0 rotation 0 0 1 -2.45 children Shape { appearance

Appearance {

material

Material { ambientIntensity

0.1

diffuseColor

0.8 0.789856 0.00200167

emissiveColor shininess

0 0 0 0.2

specularColor transparency

1 1 1 0

} } geometry

Box { size 18 0.7 0.7 }

} } }

3.4

Experimenty s virtu´ aln´ım modelem

U virtuáln´ıho modelu jsem zámˇernˇe zmˇenil tuhosti pruˇzin k1 , k2 a tlumen´ı b1 , b2 tak, aby odpov´ıdaly pˇribliˇznˇe polovinˇe hodnot reálného modelu. Udˇelal jsem to proto, ˇze u reálného modelu nedocház´ı k v´ yrazn´ ym posun˚ um kladek. Pokud by si student chtˇel tedy napˇr´ıklad navrhnout ˇr´ızen´ı virtuáln´ıho modelu, bude m´ıt jeho regulátor znatelnˇejˇs´ı u ´ˇcinek, neˇz u reálného modelu.

´ ÍM MODELEM 3.4. EXPERIMENTY S VIRTUALN

25

Na nˇekolika simulac´ıch jsem pak vyzkouˇsel chován´ı virtuáln´ıho modelu a porovnal jej s chován´ım reálného modelu. U simulac´ı jsem zaznamenal i otáˇcky ω1 (t) a ω2 (t), abych mohl chován´ı virtuáln´ıho modelu lépe popsat. U modelu dostupného student˚ um budou v´ ystupy modelu pouze x1 (t), x2 (t) a ϕ1 (t), ϕ2 (t). 0.06

9

x

u1

8

1

u

x

0.05

2

2

7

0.04 výchylka [m]

U [V]

6 5 4

0.03 0.02

3

0.01 2

0

1 0 0

5

10

15 t [s]

20

25

30

−0.01 0

(a) Pr˚ ubˇeh napˇet´ı na vstupech modelu

5

10

15 t [s]

20

25

(b) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t) 35

900

ω

φ1

800

30

1

φ2

ω

30

2

700

ω [s ]

500

−1

pocet otacek

25 600

400 300

20 15 10

200

5

100 0 0

5

10

15 t [s]

20

25

30

0 0

´ (c) Uhly natoˇcen´ı ϕ1 (t) a ϕ2 (t)

5

10

15 t [s]

20

25

30

(d) Otáˇcky motor˚ u

Obrázek 3.8: 1. simulace

Vid´ıme, ˇze na zaˇcátku simulace (obr. 3.8) se kladka posune smˇerem doprava, protoˇze motor M1 má v´ yraznˇe vˇetˇs´ı vstupn´ı napˇet´ı, neˇz druh´ y motor. Docház´ı k prokluzu pásu a otáˇcky obou motor˚ u jsou r˚ uzné. Po skoku napˇet´ı u2 (t) se vstupn´ı napˇet´ı obou motor˚ u liˇs´ı jen o 1V, kladky se vrát´ı do své p˚ uvodn´ı polohy. Otáˇcky motoru 1, se zv´ yˇs´ı, d´ıky zv´ yˇsen´ı toˇcivého momentu druhého motoru. Nedocház´ı témˇeˇr k ˇzádnému prokluzován´ı pásu, oba motory se otáˇcej´ı stejnou rychlost´ı. Chován´ı odpov´ıdá chován´ı skuteˇcného modelu.


26

−3

10

2

u

x 10

x1

1

u2

x

0

8

2

výchylka [m]

−2

U [V]

6

4

−4 −6 −8

2 −10

0 0

5

10

15 t [s]

20

25

−12 0

30


5

10

15 t [s]

20

25


600

ω

φ

1

1

φ2

ω

2

25

20

400 −1

ω [s ]

pocet otacek

500

30

300

15

200

10

100

5

0 0

5

10

15 t [s]

20

25

30

0 0


5

10

15 t [s]

20

25

30

(d) Otáˇcky motor˚ u


Provedl jsem dalˇs´ı simulaci (obr. 3.9), pˇri které se kladky nejprve m´ırnˇe posunou doprava, protoˇze vstupn´ı napˇet´ı na motoru 1 je vyˇsˇs´ı, neˇz na druhém motoru. Po skoku napˇet´ı u2 (t) se kladky vych´ yl´ı na druhou stranu. Pás zaˇcne prokluzovat, protoˇze mezi napˇet´ımi na motorech je velk´ y rozd´ıl. I pˇri této simulaci odpov´ıdá chován´ı modelu skuteˇcnosti. U tˇret´ı simulace (obr. 3.10) je nejprve napˇet´ı na motorech stejné. Po prvn´ım skoku napˇet´ı u1 (t) se kladky vych´ yl´ı doleva, protoˇze druh´ y motor má vyˇsˇs´ı vstupn´ı napˇet´ı. Po druhém skoku napˇet´ı u1 (t), je jeho absolutn´ı hodnota vyˇsˇs´ı, neˇz napˇet´ı u2 (t) a motory se zaˇcnou toˇcit na druhou stranu. U vˇsech simulac´ı, které jsem provedl se virtuáln´ı model choval podobnˇe jako skuteˇcn´ y model a lze jej tedy pouˇz´ıt pro potˇreby v´ yuky.

´ ÍM MODELEM 3.4. EXPERIMENTY S VIRTUALN

27 −3

5 4

u1

0.5

u2

0

x 10

x

1

x2

3 −0.5 výchylka [m]

U [V]

2 1 0 −1

−1 −1.5 −2

−2

−2.5

−3

−3

−4 0

5

10

15 t [s]

20

25

−3.5 0

30

(a) Pr˚ ubˇeh napˇet´ı na vstupech model˚ u

10

15 t [s]

20

25

ω

φ1

1

ω

φ

300

30


350

2

2

15

250 200

−1

ω [s ]

pocet otacek

5

150 100

10

5

50 0 0

5

10

15 t [s]

20

25


30

0 0

5

10

15 t [s]

20

25

(d) Otáˇcky motor˚ u u obou model˚ u


Obrázek 3.11: Simulinkové schéma modelu spojen´ ych pohon˚ u s ˇr´ızen´ım

30


28

3.5

ˇ ızen´ı virtu´ R´ aln´ıho modelu Spojen´ e pohony

U virtuáln´ıho modelu spojen´ ych pohon˚ u budu ˇr´ıdit napˇet´ı u1 (t) tak, aby v´ ychylka x1 (t) byla nulová. Tedy aby se kladka k1 neh´ ybala, pokud se zmˇen´ı napˇet´ı na motoru M1. Abych mohl ˇr´ızen´ı navrhnout, nalezl jsem pˇrenos G(s) =

x1 (s) u1 (s)

a pro pracovn´ı bod

x0 = [ u1 (t) u2 (t) ] = [ 5 5 ] ⇒ [ ω1 (t) ω2 (t) ] = [ 18ot/s 18ot/s ], [ x10 x20 ] = [ 0 0 ] G(s) =

x1 (s) u1 (s)

=

r1 −r2 s

h r1 (km1 +5km2 ) − sJ1 +bm1 √

r2 (km1 +5km2 ) sJ2 +bm2

2

2(s2 m1 +sb1 +k1 )

i

(3.13)

Pro návrh ˇr´ızen´ı jsem vyuˇzil prostˇred´ı Control and Estimation Tool Manager v Matlabu, kde jsem navrhl PIDf regulátor s pˇrenosem C(s) = 274.4

2.3s2 + 3.25 + 6.1 . s(0.033s + 1)

(3.14)

Regulátor jsem zapojil podle obr. 3.11. Provedl jsem nˇekolik experiment˚ u, ve kter´ ych jsem porovnal virtuáln´ı model bez a s regulac´ı. Vˇsechny experimenty jsem provádˇel z pracovn´ıho bodu. Zaznamenával jsem vstupn´ı napˇet´ı do modelu u1 (t) a u2 (t) a v´ ychlky kladek x1 (t) a x2 (t). Namˇeˇrené v´ ychylky kladek u obou model˚ u jsem porovnal mezi sebou. Zaznamenal jsem také otáˇcky motor˚ u. Ty vˇsak nebudou student˚ um pˇr´ıstupné jako v´ ystup modelu (nebudou mˇeˇritelné).

1. experiment V prvn´ım experimentu jsem simuloval zmˇenu napˇet´ı u2 (t) z pracovn´ıho bodu. V ˇcase t = 10s se na napˇet´ı u2 (t) objevila porucha ve tvaru 2V vysokého pulsu. Chován´ı modelu bez ˇr´ızen´ı popisuje obr. 3.12, lev´ y sloupec. Kladky neˇr´ızeného modelu se nejprve vych´ yl´ı d´ıky zv´ yˇsen´ı momentu motoru M2 a ustál´ı se v této poloze. Po skonˇcen´ı poruchy se kladky opˇet vrát´ı do p˚ uvodn´ı polohy. U modelu s ˇr´ızen´ım (obr. 3.12, prav´ y sloupec) se kladky zaˇcnou vychylovat ve stejném smˇeru jako u neˇr´ızeného modelu. V´ ychylky jsou vˇsak menˇs´ı a regulátor ustál´ı polohu kladek v p˚ uvodn´ı poloze. Po skonˇcen´ı pulsu se kladky znovu vych´ yl´ı a regulátor je znovu vrát´ı do pracovn´ıho bodu. Na obr. 3.13 jsem zaznamenal porovnán´ı v´ ychylek u obou model˚ u.

ˇ ÍZENÍ VIRTUALN ´ ÍHO MODELU SPOJENE ´ POHONY 3.5. R

7

29

7.5 u1

u1

u2

u2 7

6.5

U [V]

U [V]

6.5 6

6 5.5 5.5

5 0

10

20

30

40

5 0

50

10

20

t [s]

30

40

50

t [s]


(b) Pr˚ ubˇeh napˇet´ı na vstupech modelu

−4

4

x 10

−4

0.5

x1

x1

x

3

2

2

−0.5 výchylka [m]

výchylka [m]

x

0

2 1 0

−1 −1.5

−1

−2

−2

−2.5

−3 0

x 10

10

20

30

40

−3 0

50

10

20

t [s]

30

40

50

t [s]

(c) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t) 25

(d) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t) 30

ω

ω

1

1

ω

2

20

ω

2

25

−1

ω [s ]

−1

ω [s ]

20 15

15

10 10 5

0 0

5

10

20

30

40

t [s]

(e) Otáˇcky motor˚ u ω1 (t) a ω2 (t)

50

0 0

10

20

30

40

t [s]

(f) Otáˇcky motor˚ u ω1 (t) a ω2 (t)

Obrázek 3.12: 1. experiment, neˇr´ızen´ y model a ˇr´ızen´ y model

50


30 2. experiment

U druhého experimentu se na napˇet´ı u2 (t) objevila porucha v podobˇe dvou skok˚ u o velikostech −1V a −2V. Chován´ı modelu bez ˇr´ızen´ı jsem zaznamenal na obr. 3.14, levém sloupci. U tohoto modelu se kladky pˇri zmˇenˇe napˇet´ı vych´ yl´ı a ustál´ı v nové poloze. Po odeznˇen´ı poruchy se kladky vrát´ı do své poˇcáteˇcn´ı polohy. U modelu s regulátorem se kladky po prvn´ım skoku napˇet´ı vrát´ı zpˇet do své p˚ uvodn´ı polohy. Po pˇr´ıchodu druhého skoku kladky zakmitaj´ı a opˇet se vrát´ı zpˇet. Po odeznˇen´ı vˇsech skok˚ u dojde k nejvˇetˇs´ımu zákmitu, protoˇze zmˇena napˇet´ı u2 (t) je nejvˇetˇs´ı. Na obr. 3.13 jsem zaznamenal porovnán´ı v´ ychylek u obou model˚ u.

3. experiment U tˇret´ıho experimentu je nejlépe vidˇet rozd´ıl mezi systém s a bez regulátoru. Pˇri tomto experimentu dojde ke skokové zmˇenˇe napˇet´ı u2 (t). Chován´ı modelu bez ˇr´ızen´ı je na obr. 3.14, levém sloupci. Kladky se vych´ yl´ı a protoˇze se napˇet´ı jiˇz nezmˇen´ı, z˚ ustanou ve vych´ yleném stavu. Naproti tomu u modelu s regulátorem se kladky vrát´ı do poˇca´teˇcn´ı polohy a setrvaj´ı v n´ı. Model s regulátorem je na obr. 3.15, pravém sloupci. Na obr. 3.16 jsem zaznamenal porovnán´ı v´ ychylek u obou model˚ u. −4

8

−4

x 10

4

x 10

x1riz

x1riz

x2riz

6

x2riz

3

x1neriz

x1neriz 2

x2neriz výchylka [m]

výchylka [m]

4 2 0

1 0

−2

−1

−4

−2

−6 0

10

20

30

40

t [s]

(a) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t)

50

x2neriz

−3 0

10

20

30

40

t [s]

(b) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t)

Obrázek 3.13: 1. a 2. experiment, porovnán´ı obou model˚ u

50

ˇ ÍZENÍ VIRTUALN ´ ÍHO MODELU SPOJENE ´ POHONY 3.5. R

5

31

6 u1

4.5

u1

5.5

u2

u2

5 4.5 U [V]

U [V]

4

3.5

3

4 3.5 3 2.5

2.5 2 2 0

10

20

30

40

1.5 0

50

10

20

t [s]


40

−4

x 10

4 x1

x 10

x1

3

x

x

2

2

6

2 výchylka [m]

výchylka [m]

50


−4

8

30 t [s]

4

2

1 0 −1 −2 −3

0

−4 −2 0

10

20

30

40

−5 0

50

10

20

t [s]

30

40

50

t [s]



ω

ω

1

1

ω

ω

2

2

20

15

−1

ω [s ]

−1

ω [s ]

15

10

10 5 5

0 0

10

20

30

40

t [s]


50

0 0

10

20

30

40

t [s]



50


32

8

9 u1

u1 8.5

u2

7.5

u2

8 7.5 U [V]

U [V]

7

6.5

7 6.5

6

6 5.5

5.5

5 0

10

20 t [s]

30

5 0

40


20 t [s]

30

40


−4

1

10

−4

x 10

2

x 10

x1 0

x1

x

2

x

2

1

výchylka [m]

výchylka [m]

−1 −2 −3 −4

0

−1

−2

−5 −3

−6 −7 0

10

20 t [s]

30

−4 0

40


10

20 t [s]

30


ω

ω

1

1

ω

ω

30

2

20

40

2

−1

ω [s ]

15

−1

ω [s ]

25

10

20 15 10

5 5 0 0

10

20 t [s]

30


40

0 0

10

20 t [s]

30



40

ˇ ÍZENÍ VIRTUALN ´ ÍHO MODELU SPOJENE ´ POHONY 3.5. R −4

2

x 10

x1riz

1

x2riz x1neriz

výchylka [m]

0

x

2neriz

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 0

10

20 t [s]

30

40

(a) V´ ychylky x1 (t) a x2 (t)

Obrázek 3.16: 3. experiment, porovnán´ı obou model˚ u

33

34


Kapitola 4 Virtu´ aln´ı model helikopt´ ery V této kapitole jsem popsal u ´prav´ y, které jsem provedl na jiˇz existuj´ıc´ım virtuáln´ım modelu. P˚ uvodn´ı virtuáln´ı model k laboratorn´ımu modelu helikoptéry v laboratoˇri K26 (Roubal, J., 2009) byl vytvoˇren pro názorné porovnán´ı identifikovaného modelu se skuteˇcn´ ym. Skládal se z pˇrenos˚ u napˇet´ı na otáˇcky ocasn´ıho a hlavn´ıho motoru, které student sám zadával a mohl tak porovnat, jak jeho identifikace odpov´ıdá skuteˇcnému modelu.

Obrázek 4.1: Star´ y model helikoptéry

Pro pˇrizp˚ usoben´ı laboratoˇre zmˇenám studijn´ıch plán˚ u, jsem upravil model tak, aby si na nˇem mohli studenti vyzkouˇset identifikaci systému doma a mohli se tak pˇripravit na 35

´ Í MODEL HELIKOPTERY ´ KAPITOLA 4. VIRTUALN

36 práci s laboratorn´ım modelem.

Pˇri identifikaci nového virtuáln´ıho modelu budou muset studenti postupovat stejnˇe jako u reálného modelu v laboratoˇri a respektovat stejná omezen´ı. Virtuáln´ı model se bude zámˇernˇe m´ırnˇe odliˇsovat od skuteˇcného, aby studenti neztratili motivaci pracovat se skuteˇcn´ ym modelem. Ze stejného d˚ uvodu nebudu v této práci uvádˇet vˇsechny pouˇzité konstanty a stavové rovnice, ˇreˇsen´ı jen nast´ın´ım.

4.1

Teoretick´ y popis modelu

Nejprve jsem popsal fyzikálnˇe laboratorn´ı model. Zaˇcal jsem se dvˇema motory, které pˇrenáˇsej´ı napˇet´ı na otáˇcky (´ uhlovou rychlost). Gm (s) =

km Ωm (s) = , Um (s) Tm s + 1

Gt (s) =

Ωt (s) kt = . Ut (s) Tt s + 1

(4.1)

Pˇrenos˚ um odpov´ıdaj´ı diferenciáln´ı rovnice Jm ω˙ m (t) + Bm ωm (t) = km um (t) ,

Jt ω˙ t (t) + Bt ωt (t) = kt ut (t) .

(4.2)

Druhou ˇcást´ı modelu jsou hlavn´ı a ocasn´ı vrtule, které pˇrenáˇsej´ı otáˇcky na moment s´ıly. Charakteristika vrtul´ı je pˇribliˇznˇe parabolická 2 Mm (t) = km2 ωm (t) + kt1 ωm (t) ,

Mt (t) = kt2 ωt2 (t) + kt1 ωt (t) .

(4.3)

Tyto momenty jsem rozdˇelil na horizontáln´ı p˚ usoben´ı 2 Mmh (t) = k2mh ωm (t) + k3mh ωm (t) ,

Mth (t) = k2th ωt2 (t) + k3th ωt (t)

(4.4)

Mtv (t) = k2tv ωt2 (t) + k3tv ωt (t) .

(4.5)

a vertikáln´ı p˚ usoben´ı 2 Mmv (t) = k2mv ωm (t) + k3mv ωm (t) ,

Pro celkov´ y moment sil modelu helikoptéry rozloˇzen´ y na vertikáln´ı a horizontáln´ı sloˇzku pak plat´ı Mv (t) = Mmv (t) + Mtv (t) ,

Mh (t) = Mmh (t) + Mth (t) .

(4.6)

Momenty vyjádˇr´ım pomoc´ı vertikáln´ı a horizontáln´ı u ´hlové rychlosti tˇelesa helikoptéry. Mh (t) = Jh ω˙ h (t) + Bh ωh (t) ,

Mv (t) = Jv ω˙ v (t) + Bv ωv (t) .

Nyn´ı lze napsat stavové rovnice celého systému, které zde vˇsak zámˇernˇe neuvedu.

(4.7)

´ Í MODEL 4.2. VIRTUALN

4.1.1

37

Tabulka pouˇ zit´ ych veliˇ cin Tabulka 4.1: Tabulka pouˇzit´ ych veliˇcin

km kt

[N m V

−1

konstanta hlavn´ıho motoru

]

konstanta ocasn´ıho motoru

Tm

[s ]

ˇcasová konstanta hlavn´ıho motoru

Tt

[s ]

ˇcasová konstanta ocasn´ıho motoru

Um

[V ]

napˇet´ı na hlavn´ım motoru

Ut

[V ]

napˇet´ı na ocasn´ım motoru

2 −1

Bm

[kg m s ]

brzdˇen´ı hlavn´ıho motoru

Bt

[kg m 2 s−1 ]

brzdˇen´ı ocasn´ıho motoru

Bh

[kg m 2 s−1 ]

brzdˇen´ı helikoptéry v azimutu

Bv

[kg m 2 s−1 ]

brzdˇen´ı helikoptéry v elevaci

[s

−1

]

otáˇcky hlavn´ıho motoru

ωt

[s

−1

]

otáˇcky ocasn´ıho motoru

ωh

[s −1 ]

otáˇcky helikoptéry v azimutu

ωv

[s −1 ]

otáˇcky helikoptéry v elevaci

Jm

[kg m 2 ]

moment setrvaˇcnosti hlavn´ıho motoru

ωm

Jt

2

moment setrvaˇcnosti ocasn´ıho motoru

2

[kg m ]

Jh

[kg m ]

moment setrvaˇcnosti helikoptéry v azimutu

Jv

[kg m 2 ]

moment setrvaˇcnosti helikoptéry v elevaci

Mm

[N m ]

toˇciv´ y moment hlavn´ıho motoru

Mt

[N m ]

toˇciv´ y moment ocasn´ıho motoru

Mmh

[N m ]

horizontáln´ı toˇciv´ y moment hlavn´ıho motoru

Mmv

[N m ]

vertikáln´ı toˇciv´ y moment hlavn´ıho motoru

Mth

[N m ]

horizontáln´ı toˇciv´ y moment ocasn´ıho motoru

Mtv

[N m ]

vertikáln´ı toˇciv´ y moment ocasn´ıho motoru

[N m s −4 ]

konstanty pro toˇciv´ y moment v azimutu

k2tv , k2mv k3tv , k3mv

4.2

[N m V −1 ]

[N m s

−3

]

konstanty pro toˇciv´ y moment v azimutu

Virtu´ aln´ı model

Model jsem popsal fyzikálnˇe, dále jsem podle tohoto popisu sestavil model v Simulinku, kter´ y je na následuj´ıc´ım obrázku.

38


Obrázek 4.2: Nov´ y model helikoptéry

Postupnˇe jsem identifikoval jednotlivé ˇcásti modelu tak, aby virtuáln´ı model odpov´ıdal reálnému. Identifikaci jsem provedl na modelu helikoptéry H3 v laboratoˇri K26. Studenti si vˇsak na virtuáln´ım modelu vyzkouˇs´ı obecn´ y postup, kter´ y pak mohou pouˇz´ıt i na laboratorn´ı modely H1 a H2, které se m´ırnˇe liˇs´ı. Identifikaci jsem zaˇcal popisem obou motor˚ u. Pouˇzil jsem pˇrenos z projektu, kter´ y ˇ, M., 2008). Dále jsem zmˇeˇril vstupn´ı nelinearity provedli Michal Hoˇc s ing.Vaˇ nkem (Hoc motor˚ u, tedy rozmez´ı napˇet´ı, pro které plat´ı diferenciáln´ı rovnice popisuj´ıc´ı motory (4.2). T´ım se napˇr. odliˇsuje model H3 od model˚ u H1 a H2, kde napˇet´ı na hlavn´ım motoru helikoptéry H3 m˚ uˇze b´ yt kladné i záporné, u model˚ u H1 a H2 pouze kladné. Momenty setrvaˇcnosti pro pohyb helikoptéry v elevaci a azimutu jsem odhadl. Brzdˇen´ı jsem znal opˇet z práce Michala Hoˇce. Konstanty pro toˇciv´ y moment v elevaci a azimutu jsem nastavil tak, aby pohyb ve virtuáln´ım svˇetˇe pˇribliˇznˇe odpov´ıdal reálnému modelu a zároveˇ n tak, aby tyto souˇcty toˇciv´ ych moment˚ u ocasn´ıho a hlavn´ıho motoru nebyly pˇri maximáln´ım napˇet´ı na vstupu vˇetˇs´ı neˇz 2N m . Dále jsem pˇridal blok Moment of gravity, kter´ y pˇredstavuje gravitaˇcn´ı moment p˚ usob´ıc´ı na pohyb helikoptéry v elevaci. Mezi souˇcty toˇciv´ ych moment˚ u od jednotliv´ ych

´ Í SVET ˇ 4.3. VIRTUALN

39

motor˚ u a ˇcást pˇredstavuj´ıc´ı pˇrenos momentu na elevaci nebo azimut jsem um´ıstil bloky Dead Zone. Pokud by zde tyto bloky nebyly, bylo by nutné nalézt pracovn´ı bod helikoptéry velmi pˇresnˇe. D´ıky Dead Zone staˇc´ı pˇresnost v ˇrádu setin voltu. Jednotky SI se pak v subsystému To VR World pˇrevád´ı na jednotky pro virtuáln´ı realitu. Virtuáln´ı model nab´ız´ı moˇznosti aretace pohybu v elevaci a azimutu tak, jak to umoˇzn ˇuj´ı i laboratorn´ı modely a nastaven´ı poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek elevace a azimutu

4.3

Virtu´ aln´ı svˇ et

P˚ uvodn´ı virtuáln´ı model helikoptéry se pohyboval pouze v azimutu. Upravil jsem jej tak, aby bylo moˇzné pozorovat otáˇcen´ı vrtul´ı a pohyb i v elevaci.

Obrázek 4.3: Virtuáln´ı realita pro model helikoptéry

P˚ uvodn´ı vrtule jsem nahradil dvˇema hranoly. Jejich otáˇcky ˇr´ıd´ım vektory transform uzl˚ u MainMotor a TailMotor. Problémem bylo nastaven´ı pohybu virtuáln´ıho modelu souˇcasnˇe v elevaci i azimutu. Pro rotaˇcn´ı pohyb se pouˇz´ıvá vektor transform, kter´ y má


40

tvar [ x y z r ], kde x, y, z pˇredstavuj´ı osy a r rotaci. Pˇri komunikaci mezi Simulinkem a .wrl souborem vˇsak x, y, z mohou ovlivnit pouze kladn´ y nebo záporn´ y smˇer rotace v dané ose a r je jediné reálné ˇc´ıslo vektoru. Nemohl jsem proto souˇcasnˇe mˇenit elevaci a azimut. Tento problém jsem vyˇreˇsil tak, ˇze jsme pˇridal nov´ y uzel Helicopter el, jehoˇz children uˇzeme pomoc´ı Helicopter el.transform uzlem je p˚ uvodn´ı uzel Helicopter az. Takto m˚ ˇr´ıdit elevaci a Helicopter az.transform ˇr´ıdit azimut.

4.4

Experimenty

Na nˇekolika experimentech s virtuáln´ım modelem jsem ovˇeˇril, zda se chová podobnˇe jako model v laboratoˇri. Uvedu simulace nalezen´ı pracovn´ıho bodu a skok˚ u napˇet´ı pˇri i bez zaaretován´ı pohybu v elevaci nebo azimutu.

4.4.1

Pracovn´ı bod

Pro nastaven´ı, kdy se helikoptéra mohla volnˇe pohybovat v elevaci i azimutu jsem nalezl pracovn´ı bod napˇet´ı na motorech. V pracon´ım bodˇe se vyrovnaj´ı horizontáln´ı i vertikáln´ı momenty sil (4.6) a helikoptéra se neotáˇc´ı.

0

7

elevace azimut

6

−1

5

−2 výchylka [°]

U [V]

um ut

4

−3

3

−4

2

−5

1 0

5

10

15

−6 0

5

10 t [s]

t [s]

(a) napˇet´ı

(b) azimut a elevace

Obrázek 4.4: Pracovn´ı bod

15

41

4.4. EXPERIMENTY

4.4.2

Odezvy na skok

Dále jsem namˇeˇril odezvy virtuáln´ıho modelu na skok vstupn´ıch veliˇcin za r˚ uzn´ ych podm´ınek, tedy za zaaretovaného pohybu v elevaci nebo azimutu a bez aretace. Volil jsem skoky jak z pracovn´ıho bodu, tak z nulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. Nejprve jsem odsimuloval skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru za zaaretovaného pohybu v elevaci. 7

120

um ut

azimut 100

6

80 výchylka [°]

U [V]

5

4

60 40

3 20

2

1 0

0

5

10

−20 0

15

5

t [s]

10

15

t [s]

(a) napˇet´ı

(b) azimut

Obrázek 4.5: Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, zaaretovan´ a elevace

7

0

um ut

6

azimut −20

5 −40 výchylka [°]

U [V]

4 3 2

−60

−80

1 −100

0 −1 0

5

10 t [s]

(a) napˇet´ı

15

−120 0

5

10 t [s]

(b) azimut

Obrázek 4.6: Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, zaaretovan´ a elevace

15


42

Skok vych´ yl´ı helikoptéru z ustáleného stavu a dle znaménka skoku se helikoptéra otoˇc´ı do jednoho nebo druhého dorazu azimutu. Pˇri vˇetˇs´ım skoku se helikoptéra otáˇc´ı rychleji. Virtuáln´ı model se tedy chová stejnˇe jako laboratorn´ı model. Dále jsem m´ısto elevace zaaretoval azimut a simuloval skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru. Vycházel jsem opˇet z pracovn´ıho bodu. 9

50

um ut

8

elevace 40

7 30 výchylka [°]

U [V]

6 5 4

20

10

3 0

2 1 0

5

10

−10 0

15

5

t [s]

10

15

t [s]

(a) napˇet´ı

(b) elevace

Obrázek 4.7: Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, zaaretovan´ y azimut

7

0

um ut

elevace −5

6

−10 −15 výchylka [°]

U [V]

5

4

3

−20 −25 −30 −35

2 −40

1 0

5

10 t [s]

(a) napˇet´ı

15

−45 0

5

10

15

t [s]

(b) elevace

Obrázek 4.8: Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, zaaretovan´ y azimut

Stejnˇe jako u azimutu, skok vych´ yl´ı helikoptéru z rovnováˇzné polohy a ta dojde na

43

4.4. EXPERIMENTY

jeden nebo druh´ y doraz dle znaménka skoku s rychlost´ı odpov´ıdaj´ıc´ı velikosti skoku. Model se tedy i pro tento experiment chová reálnˇe. Vˇsechny experimenty, které jsem provedl s aretc´ı jsem dále provedl bez aretace. Volil jsem skoky o stejn´ ych velikostech a znaménkách, abych mohl porovnat pˇrechodové charakteristiky modelu. 7

120

um ut

100

6

80 výchylka [°]

5 U [V]

elevace azimut

4

60 40

3 20

2

0

1 0

5

10

−20 0

15

5

t [s]

10

15

t [s]

(a) napˇet´ı


Obrázek 4.9: Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, bez aretac´ı

7

40

um ut

6

0 výchylka [°]

5

U [V]

elevace azimut

20

4 3

−20 −40 −60

2 −80

1 0 0

−100

5

10

15 t [s]

(a) napˇet´ı

20

25

30

−120 0

5

10

15 t [s]

20

25

30


Obrázek 4.10: Skok napˇet´ı na ocasn´ım motoru, bez aretac´ı

V prvn´ım pˇr´ıpadˇe, tedy skoku o +1V je zmˇena vertikáln´ıho momentu pˇr´ıliˇs malá na to, aby vyvedla helikoptéru z rovnováˇzné elevace, v druhém pˇr´ıpadˇe se zaˇcne elevace


44

pomalu mˇenit. Znamená to, ˇze ocasn´ı motor nemá pˇr´ıliˇs velk´ y vliv na celkov´ y vertikáln´ı toˇciv´ y moment. 7

120

um ut

elevace azimut

100

6

80 60 výchylka [°]

U [V]

5

4

3

40 20 0 −20

2 −40

1 0

5

10

−60 0

15

5

t [s]

10

15

t [s]

(a) napˇet´ı


Obrázek 4.11: Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, bez aretac´ı

9

60

um ut

8

20

7

0 výchylka [°]

6 U [V]

elevace azimut

40

5 4

−20 −40 −60

3

−80

2 1 0

−100

5

10 t [s]

(a) napˇet´ı

15

−120 0

5

10

15

t [s]


Obrázek 4.12: Skok napˇet´ı na hlavn´ım motoru, bez aretac´ı

V obou pˇr´ıpadech skok˚ u bez zaaretovaného azimutu doˇsel azimut helikoptéry na jeden z doraz˚ u. Znamená to, ˇze hlavn´ı motor má podstatn´ y vliv na celkov´ y horizontáln´ı toˇciv´ y moment Na skoc´ıch bez aretace je patrné, ˇze vrtule maj´ı vˇzdy na pohyb v jedné ose opaˇcn´ y u ´ˇcinek, neˇz na pohyb v druhé ose. Napˇr´ıklad pokud se vertikáln´ı toˇciv´ y moment p˚ usoben´ y

ˇ ÍZENÍ MODELU 4.5. R

45

hlavn´ım motorem pˇriˇc´ıtá do celkového vertikáln´ıho toˇcivého momentu, horizontáln´ı toˇciv´ y moment p˚ usoben´ y hlavn´ım motorem se od celkového horizontáln´ıho toˇcivého momentu odˇc´ıtá. Stejnˇe tak je tomu u laboratorn´ıho modelu helikoptéry H3. Jako posledn´ı simulaci jsem vyzkouˇsel skok napˇet´ı na obou motorech souˇcasnˇe, bez aretace ˇzádného pohybu. Vycházel jsem z nulov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek. 9

50

um ut

8

elevace azimut

7 0 výchylka [°]

U [V]

6 5 4 3

−50

2 1 0 0

5

10

15

−100 0

5

t [s]

10

15

t [s]

(a) napˇet´ı


Obrázek 4.13: Skok napˇet´ı na obou motorech, bez aretac´ı

Na zaˇcátku této simulace spadne helikoptéra vlastn´ı vahou na doln´ı doraz elevace. V ˇcase 5s se skokem zmˇen´ı napˇet´ı na hlavn´ım motoru, coˇz helikoptéru vytáhne na horn´ı doraz elevace. U azimutu zp˚ usób´ı skok napˇet´ı rovnˇeˇz zmˇenu smˇeru otáˇcen´ı helikoptéry, p˚ usoben´ı hlavn´ıho motoru na azimut nen´ı vˇsak tak podstatné jako na elevaci, takˇze se azimut mˇen´ı pomaleji.

4.5

ˇ ızen´ı modelu R´

Abych ovˇeˇril funkˇcnost virtuáln´ıho modelu, ˇr´ıdil jsem jsem pˇrenos napˇet´ı na ocasn´ım motoru na azimut za zaaretovaného pohybu v elevaci. Zpˇetnovazebn´ı regulátor pro takové ˇr´ızen´ı jsem navrhl v ˇr´ızen´ı laboratorn´ıho modelu helikoptéry H3 v pˇredmˇetu SRI. Pouˇziji PIDf regulátor, kter´ y jsem navrhl frekvenˇcn´ı metodou podle identifikace modelu z pˇredmˇetu SAM. Pˇrenos regulátoru je 0.514s2 + 0.546s + 0.05 C(s) = . 0.038s2 + s


46

35

60 azimut reference

50

azimut reference

30 25 výchylka [°]

výchylka [°]

40 30 20 10

15 10 5

0 −10 0

20

0 5

10

15 t [s]

20

25

−5 0

30

5

(a) skok +50◦

10

15 t [s]

20

25

30

(b) skok +30◦

Obrázek 4.14: Odezva virtuáln´ıho modelu v uzavˇrené regulaˇcn´ı smyˇcce

Simuloval jsem skok o 50 a 30 stupˇ n˚ u z pracovn´ıho bodu v ˇcase 10s. Regulátor jsem navrhoval tak, aby nedoˇslo k pˇrekmitu vˇetˇs´ımu, neˇz 20%. Tato vlastnost z˚ ustala zachována i pro virtuáln´ı model. 10

5 azimut reference

0

−5 výchylka [°]

výchylka [°]

−10 −20 −30 −40

−10 −15 −20 −25

−50 −60 0

azimut reference

0

−30 5

10

15 t [s]

(a) skok -50◦

20

25

30

−35 0

5

10

15 t [s]

20

25

30

(b) skok -30◦

Obrázek 4.15: Odezva virtuáln´ıho modelu v uzavˇrené regulaˇcn´ı smyˇcce

Vyzkouˇsel jsem rovnˇeˇz záporné hodnoty skok˚ u z pˇrechoz´ı simulace. Odezvy virtuáln´ıho modelu pro skoky o stejné velikosti ale opaˇcném znaménku jsou symetrické dle ˇcasové osy. V tomto se virtuáln´ı model liˇs´ı od laboratorn´ıho modelu, jehoˇz brzdˇen´ı je pro pohyb do r˚ uzn´ ych smˇer˚ u m´ırnˇe odliˇsné. Odezvy virtuáln´ıho modelu na skoky stejného znaménka

ˇ ÍZENÍ MODELU 4.5. R

47

ale r˚ uzné velikosti jsou podobné. U laboratorn´ıho modelu se pr˚ ubˇehy v´ıce liˇs´ı, protoˇze u virtuáln´ıho modelu jsem zanedbal tvar vrtul´ı. Regulátor, kter´ y jse navrhl v pˇredmˇetu SRI byl pouˇziteln´ y i pro virtuáln´ı model, kter´ y jsem vytvoˇril.

48


Kapitola 5 Z´ avˇ er V prvn´ı ˇcásti mé práce jsem vytvoˇril studijn´ı materiál, kter´ y byl zaˇrazen do sb´ırky pˇr´ıklad˚ u postihuj´ıc´ıch tématiku modelován´ı a ˇr´ızen´ı dynamick´ ych systém˚ u (Roubal, J. et al., 2009). Popsal jsem základn´ı pravidla blokové algebry a sestavil jsem nˇekolik typ˚ u pˇr´ıklad˚ u, které jsem vzorovˇe vyˇreˇsil a dále pˇridal nˇekolik typovˇe podobn´ ych neˇreˇsen´ ych u ´loh. Pˇri tvorbˇe pˇr´ıklad˚ u jsem se snaˇzil obsáhnout d˚ uleˇzitou ˇcást problematiky blokové algebry a upozornit na nejˇcastˇejˇs´ı problémy a ukázat jejich ˇreˇsen´ı. Dodrˇzel jsem myˇslenku sb´ırky vysvˇetlovat dané téma na konkrétn´ıch aplikac´ıch potˇrebn´ ych znalost´ı. Vytvoˇril jsem virtuáln´ı model laboratorn´ıho modelu Spojené pohony. Na nˇekolika experimentech jsem ovˇeˇril, ˇze se virtuáln´ı model chová stejnˇe jako laboratorn´ı a lze jej tedy vyuˇz´ıt k v´ yuce modelován´ı dynamick´ ych systém˚ u. K modelu jsem sestavil virtuáln´ı svˇet, kter´ y slouˇz´ı k názorné ukázce funkˇcnosti modelu. Navrhl jsem ˇr´ızen´ı a provedl nˇekolik experiment˚ u, na kter´ ych jsem pˇredvedl chován´ı modelu se zpˇetnovazebn´ ym regulátorem. V souˇcasné dobˇe je jiˇz model um´ıstnˇen na webov´ ych stránkách Laboratoˇre teorie automatického ˇr´ızen´ı K26 (Roubal, J., 2009), kde je pro studenty volnˇe dostupn´ y. Nakonec jsem upravil p˚ uvodn´ı virtuáln´ı model helikoptéry, aby odpov´ıdal poˇzadavk˚ um na virtuáln´ı modely k podpoˇre v´ yuky dynamick´ ych systému. Sestavil jsem pro model nov´ y fyzikáln´ı popis a idintifikoval jej, aby pˇribliˇznˇe odpov´ıdal laboratorn´ımu modelu. Pˇridal jsem nové funkce do virtuáln´ıho svˇeta p˚ uvodn´ıho modelu. Svoj´ı práci jsem ovˇeˇril na nˇekolika experimentech. Na závˇer jsem zkusil virtuáln´ı model ˇr´ıdit zpˇetnovazebn´ ym regulátorem, kter´ y jsem navrhl v pˇredmˇetu SRI – Systémy a ˇr´ızen´ı. Regulátor fungoval správnˇe a poˇzadavky, dle kter´ ych jsem jej navrhoval pro ˇr´ızen´ı modelu identifikovaného v pˇredmˇetu SAM – Systémy a modely, splˇ noval i pro ˇr´ızen´ı virtuáln´ıho modelu. Virtuáln´ı model je také dostupn´ y na webov´ ych stránkách Laboratoˇre teorie automatického ˇr´ızen´ı K26 (Roubal, J., 2009). 49

50

´ ER ˇ KAPITOLA 5. ZAV

Literatura Chen, C. T. (1998), Linear System Theory and Design, 3rd edn, Oxford University Press. ISBN 0-195-11777-8. Dorf, R. C. a Bishop, R. H. (2007), Modern Control Systems, 11th edn, Prentice-Hall. ISBN 0132270285. ˇ ´, Cernohorsk y V´ yukové

D., pásmo

Kubec, VRML

M. [online].

a

ˇa ´ ra, Z [cit.

J.

(1997), 2009-06-09],

hhttp://www.cgg.cvut.cz/members/zara/vyuka/vrml/tutorial/pasmo/vrml97.htmli. Franklin, G. F., Powell, J. D. a Emami-Naeini, A. (2005), Feedback Control of Dynamic Systems, 5th edn, Prentice-Hall. ISBN 0-13-149930-0. ˇ, M. (2008), Helicopter in Virtual Space, PhD thesis, Lulea University of Technology. Hoc Perrett, G. (2000-2009), Understanding VRML rotations [online]. [cit. 2009-06-09], hhttp://www.seamless3d.com/tut/vrml rotations/index.html/i. Roubal, J. (2009), Laboratoˇr teorie automatického ˇr´ızen´ı [online]. [cit. 2009-06-09], hhttp://support.dce.felk.cvut.cz/lab26/i. Roubal, J., Huˇ sek, P. a spol. (2009), Základy regulaˇcn´ı techniky v pˇr´ıkladech. hhttp://support.dce.felk.cvut.cz/pub/roubalj/i. ´ , M. (2005), Jazyk VRML 2.0, (Bakaláˇrská práce), Jihoˇceská Univerzita v Serbusova ˇ ych Budˇejovic´ıch. Cesk´ ˇ Stecha, J. a Havlena, V. (1999), Teorie dynamických systém˚ u, Praha: Vydavatelstv´ı ˇ CVUT. ISBN 80-01-01971-3.

51

52

LITERATURA

Kapitola 6 Obsah pˇ riloˇ zen´ eho CD K této práci je pˇriloˇzeno CD, na kterém jsou uloˇzeny zdrojové kódy.

• Adresáˇr BP2009: Vlastn´ı text bakaláˇrské práce ve formátu pdf ych pohon˚ u • Adresáˇr Coupled drives DCE: Virtuáln´ı model spojen´ • Adresáˇr Helicopter: Virtuáln´ı model helikoptéry

53

Fakulta elektrotechnická

Recommend Documents