FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurkunde TENTAMEN Vak : Inleiding Optica (146012) Datum : 5 november 2010 Tijd : 8:45 uur – 12.15 uur Indien U een onderdeel van een vraagstuk niet kunt maken en het resultaat van dat onderdeel is nodig voor de vervolgvragen, werk dan verder met een symbool voor dat ontbrekende resultaat. Dringend verzoek: Indien van toepassing: Reken zo veel mogelijk met symbolen. Wacht zo lang mogelijk met het invullen van de getallen. 1. Dit verkleint de kans op (reken)fouten aanzienlijk. 2. Een controle van de dimensies van het antwoord is veel eenvoudiger. 3. Het nakijken en beoordelen van het vraagstuk wordt gemakkelijker en betrouwbaarder.
Opgave 1 (2.0) Beantwoord onderstaande vragen kort en bondig ("ja" of "nee" is onvoldoende!), elk m.b.v. hooguit 5 regels tekst en met zo weinig mogelijk formules: a) Een monochromatische lichtgolf plant zich in een transparant medium voort. Is de frequentie van dat licht groter, kleiner of gelijk aan de frequentie die dat licht in vacuüm zou hebben? Licht je antwoord toe. frequentie blijft gelijk. b) Verklaar waarom een Fabry Perot interferometer in het algemeen veel scherpere ringen heeft dan andere interferometers zoals de Michelson interferometer. Scherpere lijnen i.v.m. multiple-wave interferometrie. (Andere interferometers slechts twee golven) c) Waarom kunnen fringes bij interferometers zoals de Michelson interferometer verdwijnen als het optische weglengte verschil van de beide lichtbundels te groot wordt? Dit komt t.g.v. de eindige coherentielengte van de bron. d) Leg m.b.v. het principe van Huygens uit hoe de spot van Poisson onstaat door belichting van een ronde schijf met een monochromatische vlakke golf. De edge-waves zijn Huygens puntbronnen. De weglengtes van de schijfrand tot de optische as zijn allen gelijk dus constructieve interferentie op de as. e) Wat gebeurd er precies wanneer twee lichtgolven elkaar in de ruimte kruisen: (Kies ten minste één van de volgende antwoorden en geef een korte toelichting) 1) Ze beïnvloeden elkaar want er vindt uitwisseling van energie en impuls plaats net zoals bij een botsing tussen twee bewegende bollen. 2) Tengevolge van interferentie zal de sterkste golf sterker en de andere zwakker worden. 3) Er gebeurt niets en de golven vervolgen ongestoord
hun weg. 4) Er vindt, afhankelijk van de polarisatie van beide golven, uitwisseling van magnetische en electrische energie plaats ten gevolge van overlap van de magnetische- en electrische veld vectoren. Antwoord 3 is juist: Lichtgolven merken niets van elkaar (tenminste in vacuum, bij niet-lineaire effecten in een niet-lineair medium kunnen ze wel interactie met elkaar hebben) De rest van de antwoorden is onzin.
Opgave 2 (2.0) Een helder verlichte kurk drijft in een vat gevuld met water met brekingsindex nw = 1,335. Het wateroppervlak bevindt zich op een afstand d = 5 cm van de bodem van het vat. De bodem is spiegelend. Een positieve, dunne lens met brandpuntsafstand f = 25 cm, bevindt zich in lucht op een afstand s1 = 40 cm boven het wateroppervlak en vormt een scherp beeld van de kurk op een scherm dat boven de lens is geplaatst. Het scherm wordt vervolgens over een zodanige afstand verplaatst dat een scherp beeld van de onderkant van de kurk op het scherm zichtbaar wordt. De afmetingen van de kurk zijn zeer klein ten opzichte van de andere afstanden en kunnen in de berekening verwaarloosd worden.
scherm
s’ = ?
dunne lens, f = 25 cm
s1 = 40 cm
kurk d = 5 cm
nw = 1,335
vat met water
vlakke spiegel a) Bereken de afstand, s’, waarop het scherm moet worden geplaatst voor een scherp beeld van de bovenkant van de kurk. b) Stel het hypothetische geval dat de brekingsindex van het water veranderd kan worden naar nw = 1, bereken dan de de positie van het scherm voor een scherp beeld van de onderkant van de kurk. c) Bereken nu de positie van het scherm opdat er een scherp beeld wordt waargenomen van de onderkant van de kurk, maar nu met de correcte brekingsindex van water: nw = 1,335.
Oplossing opgave 2: s f 40cm ⋅ 25cm = 66.67cm a) s1′ = 1 = s1 − f 40cm − 25cm s f ( s + 2d ) f (40cm + 2 ⋅ 5cm)25cm b) s2′ = 2 = 1 = = 50cm s2 − f ( s1 + 2d ) − f (40cm + 2 ⋅ 5cm) − 25cm c) s2 is nu gelijk aan s1 plus de schijnbare positie van de onderkant van de kurk onder de waterspiegel:
s 2 = s1 + ∆ 2d 2 ⋅ 5cm = = 7.491cm ⇒ s 2 = 40cm + 7.491cm = 47.491cm nw 1.335 47.491cm ⋅ 25cm s2′ = = 52.789cm 47.491cm − 25cm
∆=
Opgave 3 (2.0) Een puntbron zendt een sferische lichtgolf uit met een golflengte, λ = 1µm. De puntbron is in eerste instantie zeer ver verwijderd van een scherm met daarin een rond gat. Achter het gat staat op een afstand van r0 = 2,5 m een detector die de irradiantie op de optische as detecteert. (zie figuur). De puntbron wordt naar het scherm toegeschoven terwijl de irradiantie voortdurend gemeten wordt. De irradiantie neemt toe en daarna weer af, enz. Afwisselend maxima en minima worden waargenomen tijdens het verschuiven van de puntbron naar het gat toe. Een maximum irradiantie op de optische as wordt voor het eerst waargenomen bij een afstand ρ0 = 4,17 m a) Bereken de diameter van het gat. b) Bereken voor de afstand ρ0 = 4,17 m de factor waarmee de irradiantie veranderd t.o.v. die waarbij het scherm met gat afwezig is. De puntbron wordt vervolgens verder naar het gat toegeschoven en tenslotte gefixeerd op de afstand waarbij voor de derde keer een maximum op de as wordt waargenomen. c) Bereken op welke afstand tot het gat de bron nu staat. Vervolgens worden twee ondoorlaatbare ringen in het gat geplaatst met zodanige afmetingen dat de irradiantie een factor 9 toeneemt t.o.v. de toestand zonder de ringen maar met het gat. d) Bereken de binnen- en buiten diameter van de twee ringen. e) Bereken met welke factor de irradiantie gemeten door de detector verschilt met de irradiantie op de as indien scherm en ringen zouden worden verwijderd. f) De twee ringen worden nu vervangen door twee glazen exemplaren (brekingsindex = 1,5) met een dikte van 1µm en met dezelfde diameters als de niet-doorlatende ringen. Bereken met welke factor de irradiantie gemeten door de detector nu verschilt t.o.v. die bij afwezigheid van scherm en ringen. Scherm met cirkelvormig gat
Detector met zeer klein gevoelig oppervlak meet de irradiantie op de optische as
Puntbron op optische as
ρ0
r0 = 2,5 m
Oplossing opgave 3: Formules: 1 1 λ + =m 2 m = odd : Max in P ρ0 m r0 Rm m = even : Min in P 1 2
mλ Rm = = m R1 1 1 ρ +r 0m 0 −1
mλ 1 ρ 0 m = 2 − Rm r0 a) Eerste maximimum voor m = 1 als ρ0 = ρ01 = 4,17 m: 1
Dgat
2 1 ⋅10 −6 = 2 R1 = 2 = 2,5mm 1 1 4,17 + 2,5 2
I a = 12 =4 b) 1 I u 4 a1 c) Derde keer een maximum dus 5 zones. −1
−1
−6 1 5 ⋅10 1 − = − = 0,357 m 2 2 −3 2 , 5 r0 2,5 ⋅10 2 d) Factor 9 toename dus drie zones dragen bij. Twee ringen, dus zones 2 en 4 worden afgedekt, zodat zones 1, 3, en 5 bijdragen. 5λ ρ 05 = Dgat 2
1
ring 1 : Rbinnen
1
2 2 1 ⋅ λ 1 ⋅10 −6 = R1 = = = 0,571mm 1 1 1 1 ρ + r 0,375 + 2,5 05 0
ring 1 : Rbuiten = R2 = 2 R1 = 0,808mm ring2 : Rbinnen = R3 = 3R1 = 0,989mm ring2 : Rbuiten = R4 = 4 R1 = 1,142mm 2
e)
I 9 a1 = = 36 2 1 Iu a 1 4 2π 10 −6 (1,5 − 1) = π . −6 λ 10 2 I 25a1 Dwz alle 5 zones hebben een positieve bijdrage: = = 100 2 1 Iu 4 a1
f) dglas = 1µm, dus fasesprong bij elke ring:
2π
d glas (n − 1) =
Opgave 4 (2.0) Het objectief van een fototoestel bestaat uit een ‘Cooke triplet’, dat is ontworpen om diverse aberraties zo veel mogelijk te minimaliseren. Het objectief bestaat uit twee positieve lenzen (a en c) van SK16 glas met kromtestralen r1 en r2, dikte t1, voor de voorste lens (a) en met r5 en r6, dikte t3 voor de laatste lens (c). Tussen de twee positieve lenzen staat een negatieve lens (b) met kromtestralen r3 en r4 en dikte t2 van F2 glas. Het geheel staat in lucht met index 1. Onderstaand figuur is een schets van een typisch Cooke triplet met geoptimaliseerde eigenschappen van lenzen en afstanden (de getallen bij de figuur zijn illustratief en niet nodig bij dit vraagstuk). Kromtestralen (mm):
CCD
1 2
d1
34 5 6 d2
r 1 := 22.013593
t 1 := 3.258956
r 2 := − 435.760436
t 2 := 0.999975
r 3 := − 22.213277
t 3 := 2.952076
D
r 4 := 20.291924
Lens brekingsindices (550 nm):
r 5 := 79.683603
a b c Cooke triplet
Lens diktes (mm):
r 6 := − 18.395333
ruimtes tussen lenzen (mm):
n 1 := 1.62260769
SK16
n 2 := 1.62365512
F2
n 3 := 1.62260769
SK16
d 1 := 6.007551
(Voorste en negatieve lens)
d 2 := 4.750409
(Negatieve en achterste lens)
a) Schrijf (in de juiste volgorde !) de systeemmatrix (d.i. van oppervlak 1 t/m oppervlak 6) als produkt van elementaire matrices. (N.B.: in symboolvorm, dus geen getallen invullen en vooral de matrixvermenigvuldigingen niet uitvoeren, het juiste antwoord staat hieronder. Helaas hanteren Pedrotti en Hecht (vorig boek) verschillende definities voor de straal-vectoren en matrices waardoor vector- en matrix elementen van plaats verwisselen. Zowel de methode van Hecht als die van Pedrotti kunnen gevolgd worden in dit vraagstuk). Het resultaat van de matrix vermenigvuldigingen (getallen van de figuur ingevuld en met de computer berekend !) is: A B 0.8483 18.31942 Volgens Pedrotti: M syst = = (maten in mm’s) C D - 0.02 0.74692 Volgens Hecht:
A B 0.74692 - 0.02 M syst = = (maten in mm’s) C D 18.31942 0.8483
b) Het objectief wordt gebruikt om een voorwerp op een afstand v = 1 m voor oppervlak 1 van de voorste lens scherp af te beelden op de CCD camera. Het kriterium voor een scherp beeld is dat alle stralen van een willekeurig punt op het voorwerp, ongeacht de hoeken van de stralen, samenkomen in een overenkomstig punt in het beeldvlak. De plaats van dat punt moet evenredig met de plaats van het voorwerpspunt zijn. Stel met de gegeven systeem matrix dat kriterium in
formulevorm op en bereken de afstand, b, van het laatste oppervlak (6) tot de CCD camera die nodig is voor het scherpstellen van het objectief bij de gegeven afstand. c) Bereken de vergroting van het objectief bij deze afstand. d) Het objectief bevat naast de lenzen nog een diafragma (met instelbare diameter) dat het mogelijk maakt de hoeveelheid licht die door de lenzen gaat te beperken. Met het objectief wordt een serie foto’s gemaakt met verschillende diafragma instellingen (van kleine diameter tot een grote diameter). Het blijkt dat bij kleine diafragma diameters de foto’s minder scherp worden. Leg uit hoe dit komt (Hint: niet door lens fouten!) e) De CCD chip van de camera heeft pixels van 10 × 10 µm2. Bereken bij welke diameter van het diafragma de optische resolutie van het objectief begrensd wordt door de pixel afmetingen van de CCD chip. Ga uit van licht met een golflengte van 500 nm.
Oplossing opgave 4: a) 0 1 M 1 := 1 − n1 1 n 1⋅ r1 n 1
1 t1 M 2 := 0 1
0 1 M 3 := n 1 − 1 r2 n1
1 d1 0 1
M 4 := 0 1 M 5 := 1 − n2 1 n 2⋅ r3 n 2
1 t2 M 6 := 0 1
0 1 M 7 := n 2 − 1 r4 n2
1 d2 0 1
M 8 := 0 1 M 9 := 1 − n3 1 n 3⋅ r5 n 3
1 t3 M 10 := 0 1
0 1 M 11 := n 3 − 1 r6 n 3
M syst := M 11⋅ M 10⋅ M 9⋅ M 8⋅ M 7⋅ M 6⋅ M 5⋅ M 4⋅ M 3⋅ M 2⋅ M 1 =
0.8483 18.31942 −0.02 0.74692
b) y f 1 b A B 1 v yv α = f 0 1 C D 0 1 α v y f A + bC Av + bD + bvC + B yv α = α Cv + D v f C y f = ( A + bC ) yv + ( Av + bD + bvC + B )α v
α f = Cyv + (Cv + D )α v Er wordt een scherp beeld gevormd als: Av + bD + bvC + B = 0 , dus: Av + B b=− = 45.012mm Cv + D c) De vergroting is: A + bC = −0.052 d) De optische resolutie wordt beperkt door diffractie. De afmeting van de diffractie fλ gelimiteerde spot is gegeven door: xmin = 1.22 ( Pedrotti 11.4). Bij kleinere waarden van D D (diameter diafragma) neemt de resolutie dus af (maw onscherper beeld) fλ f ⋅ 5 ⋅10 −7 f = 1.22 ≈ . −5 xmin 10 16 (Dus bij grotere waarden voor het f-getal wordt de scherpte bepaalt door diffractie, bij kleinere door de afmetingen van de CCD pixels). e) De diameter D is gegeven door: D = 1.22
De brandpuntsafstand f is gegeven door: f = − Hieruit volgt: D =
50 = 3.1mm . 16
1 1 =− = 50mm . − 0.02 C
Opgave 5 (2.0)
Een instrument voor het bestuderen van de ringen van Newton maakt gebruik van de afgebeelde opstelling, waarin als lichtbron gebruikt worden een Neodynium-YttriumAluminium Garnet (Nd:YAG) laser bij een golflengte van 1064 nm en een Titaan Saffier (TiSa) laser die afgestemd kan worden op golflengtes tussen 700 en 1000 nm. Heldere ringen worden met behulp van een microscoop waargenomen. Het blijkt dat, bij een zekere golflengte van de TiSa laser, de vierde heldere ring afkomstig van de Nd:YAG laser precies samenvalt met de vijfde heldere ring voor het geval dat de afgestemde TiSa laser gebruikt wordt als bron. De kromtestraal van de plano-convexe lens die op de vlakke glasplaat ligt is gelijk aan R = 1 m, de lens en de vlakke glasplaat bevinden zich in lucht met brekingsindex 1. De dikte van de lucht-film tussen de lens en de vlakke glasplaat is zeer klein. a) Bereken de golflengte waarop de TiSa laser moet worden afgestemd om de genoemde overlap te verkrijgen. b) Bereken de straal, r = r4,Nd:YAG = r5,TiSa, van de twee overlappende ringen. c) Bereken de dikte van de lucht-film ter plaatse van de overlappende ringen.
Oplossing: 2 2 2 rm = R 2 − (R − t m ) = tm + 2 Rtm ≈ 2 Rt m Voor heldere ringen is er een extra fasesprong van λ/2. De interferentievoorwaarde is dan: 2t m +
rNd:YAG , 4 = 2 Rt Nd:YAG , 4 = 2 R(4 − 12 ) 2
rTiSa ,5 = 2 RtTiSa ,5 = 2 R(5 − 12 ) 2
λ 2
= mλ (Pedrotti 7-38), dus: t m = (m − 12 )
λNd:YAG 2
λTiSa 2
a) 4,5λTiSa = 3,5λNd:YAG ⇒ λTisa =
3,5 ⋅1064nm = 827,56nm 4,5
b) r = R(4 − 12 )λNd:YAG = 1m ⋅ 3,5 ⋅1064 × 10−9 m = 1,930mm c) t = (4 − 12 )
λNd:YAG 2
= 3,5 ⋅
1064nm = 1,862 µm 2
λ 2
