Extremální úlohy ve stavitelství

Extremální úlohy ve stavitelství Zadání: Minimálně smáčený sklon příkopu. Jaký musí být sklon příkopu , jehož průřez má tvar rovnoramenného lichoběžníka o daném obsahu S a hloubce příkopu h, aby jeho dno a stěny byly minimálně smáčeny? ab Nápověda: Obsah lichoběžníku S  h. 2

Řešení:  

 3

.

Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

Extremální úlohy ve stavitelství Zadání: Minimální cena barelu pro daný objem. Uvažujme množinu válcových barelů s víkem. Objem barelu je V. Určete rozměry barelu r, v tak, aby cena byla minimální, tj. aby měl minimální povrch.

Řešení: r  3

V 4V , v3 . 2 


Extremální úlohy ve stavitelství Zadání: Minimální cena kontejneru pro daný objem. Kontejner na odpady je ve tvaru kvádru s čtvercovou podstavou (bez víka). Objem kontejneru je V. Určete rozměry kontejneru a, b tak, aby cena byla minimální, tj. aby měl minimální povrch.

Řešení: a  3 2V , b  3

V . 4


Extremální úlohy ve stavitelství Nejméně osvětlený bod. Zadání 1: Vzdálenost mezi dvěma světelnými zdroji je 12 metrů. Jejich intenzity jsou v poměru 8:1. Určete nejméně osvětlený bod na spojnici světelných zdrojů, víte-li, že osvětlení klesá úměrně se čtvercem vzdálenosti od zdroje.

Zadání 2: Vzdálenost mezi dvěma světelnými zdroji je 21 metrů. Jejich intenzity jsou v poměru 125:8. Určete nejméně osvětlený bod na spojnici světelných zdrojů, víte-li, že osvětlení klesá úměrně se čtvercem vzdálenosti od zdroje.


Extremální úlohy ve stavitelství Zadání: Maximální objem prostoru pod stanovou střechou. Ze čtyř tyček délky d se má sestrojit kostra jehlanového tvaru pro čtvercový půdorys. Jaká bude strana čtverce a, aby objem stanu byl maximální?

Řešení: a 

2d 3

.


Extremální úlohy ve stavitelství Zadání: Vytesaný trám s maximální pevností Z kmene tvaru rotačního válce o průměru d má být vytesán trám obdélníkového průřezu. Jaká musí být šířka a výška průřezu, aby měl trám maximální pevnost při podélném tlaku, která je přímo úměrná obsahu průřezu?

[ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 2014.


Extremální úlohy ve stavitelství Při navrhování nosníků určujeme průběhy funkcí popisujících ohybové momenty M(x) a posouvající síly Q(x). Ze statiky je známo, že mezi ohybovými momenty, posouvajícími silami a intenzitou zatížení f(x) platí tzv. Schwedlerovy věty (viz [ŠIB] a [BUB]): M ' ( x)  Q( x) , Q ' ( x)   f ( x ) .

Zadání: Vetknutý nosník. Na nosníku o rozpětí L vetknutém v průřezu x=0 a prostě podepřeném v průřezu x=L s rovnoměrným spojitým zatížením o intenzitě f ( x )  f , x  0, L  jsou ohybové momenty popsány funkcí 1 5 1 M ( x)   f L2  f Lx  f x 2 . 8 8 2 Ověřte, že platí obě Schwedlerovy věty a určete maximální hodnotu ohybového momentu M(x) a hodnotu příslušného průřezu nosníku x.

Řešení: x 

5L 5L 9 ,M( )  f L2 . 8 8 128

[BUB]: Bubeník F.: MATEMATIKA 2, České vysoké učení technické v Praze, 2006. [ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 2014.


Extremální úlohy ve stavitelství Při navrhování nosníků určujeme průběhy funkcí popisujících ohybové momenty M(x) a posouvající síly Q(x). Ze statiky je známo, že mezi ohybovými momenty, posouvajícími silami a intenzitou zatížení f(x) platí tzv. Schwedlerovy věty (viz [ŠIB] a [BUB]): M ' ( x)  Q( x) , Q ' ( x)   f ( x ) .

Zadání: Prostý nosník s konstantním zatížením. Na prostém nosníku o rozpětí L, který je zatížen rovnoměrně spojitým zatížením o intenzitě f ( x )  f , x  0, L  , jsou ohybové momenty popsány funkcí 1 M ( x)  f x( L  x) . 2 Ověřte, že platí obě Schwedlerovy věty a určete maximální hodnotu ohybového momentu M(x) a hodnotu příslušného průřezu nosníku x.

Řešení: x 

L 1 L , M ( )  f L2 . 2 8 2

[BUB]: Bubeník F.: MATEMATIKA 2, České vysoké učení technické v Praze, 2006. [ŠIB]: Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: MATEMATIKA 1. Sbírka příkladů, České vysoké učení technické v Praze, 2014.


Extremální úlohy ve stavitelství

Recommend Documents