Experimentele synchronisatie van Hindmarsh-Rose zenuwcellen I. Dockx DCT 2008.089
Bachelor eindproject Coaches: Ir. E. Steur Ir. L. Kodde Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde Groep Dynamics and Control Eindhoven, 21 mei 2008
2
Samenvatting In de verwerking van informatie in onze hersenen speelt de zenuwcel een belangrijke rol. De hersenen bevatten ongeveer honderd miljard zenuwcellen. Deze zenuwcellen geven informatie aan elkaar door met behulp van elektrische stroomsignalen. Deze signalen worden gerealiseerd door het potentiaal tussen de kern en het membraam van een zenuwcel te veranderen. Verder is er bekend dat groepjes zenuwcellen synchroniseren. Deze synchronisatie vindt plaats om bijvoorbeeld vormen en kleuren aan elkaar te linken. Maar ook bij epilepsie (overdaad van synchronisatie) vindt synchronisatie plaats. Om inzicht te krijgen in het functioneren van een zenuwcel zijn er in de loop der jaren verschillende modellen ontwikkeld. Een van deze modellen is het Hindmarsh-Rose zenuwcel model. Het Hindmarsh-Rose model wordt in dit verslag gebruikt voor de studie naar synchroon gedrag van de zenuwcel. Het doel van deze studie is om de synchronisatie van het Hindmarsh-Rose zenuwcellen op experimentele wijze te onderzoeken. Dit wordt gedaan met behulp van zes elektrische Hindmarsh-Rose systemen. Allereerst wordt het Hindmarsh-Rose model geïntroduceerd. De dynamica van het model wordt beschreven aan de hand van een drietal eerste-orde niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. De oplossingen van deze differentiaalvergelijking worden gekenmerkt door een viertal verschillende fases: resting, bursting, chaotic bursting en spiking. Deze fases blijken afhankelijk te zijn van het ingangssignaal. Vervolgens wordt de synchronisatie van de Hindmarsh-Rose systemen onderzocht. Hierbij zijn de systemen lineair aan elkaar gekoppeld. De synchronisatie vindt plaats indien de koppelingssterkte tussen de systemen voldoende hoog is. Dit betekent dat de synchronisatie pas tot stand komt als een minimale koppelingssterkte is bereikt. De synchronisatie blijkt eveneens afhankelijk te zijn van de topologie van een netwerk. Om de synchronisatie van de Hindmarsh-Rose modellen te onderzoeken, worden er simulaties en experimenten uitgevoerd. Om de experimenten uit te voeren, is een elektronisch equivalent nodig. De gegenereerde signalen van het elektrische systeem verschillen van het theoretische Hindmarsh-Rose model. Deze verschillen worden veroorzaakt door de tolerantie op de componentwaardes in de realisatie van het elektrische equivalent. De experimenten komen overeen met de simulaties. Bij de experimenten is de minimale koppelingssterkte 20% hoger dan bij de simulaties. Dit wordt veroorzaakt doordat de systemen bij de experimenten niet exact hetzelfde zijn, terwijl de systemen bij de simulaties exact hetzelfde zijn.
3
4
Inhoudsopgave Samenvatting Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 Het Hindmarsh-Rose zenuwcel model 2.1 De dynamica van het Hindmarsh-Rose model 2.2 Realisatie 2.2.1 Identificatie 3 Synchronisatie van Hindmarsh-Rose zenuwcellen 3.1 Theorie 3.2 Simulaties 3.3 Synchronisatie in netwerken 3.3.1 Wu-Chua conjecture 3.3.2 Connection Graph Stability methode 3.3.3 Voorbeeld 4 Synchronisatie van Hindmarsh-Rose zenuwcellen: Experimenten 4.1 De koppelingsinterface 4.2 Experimenten 4.2.1 Twee systemen 4.2.2 Drie systemen 4.2.3 Vier systemen 4.2.4 Vijf systemen 4.2.5 Zes systemen 4.3 Samenvatting van de experimenten 5. Conclusie en aanbevelingen 5.1 Conclusie 5.2 Aanbevelingen 6 Bibliografie Appendix Appendix A: Hindmarsh-Rose modelgedrag Appendix B: Identificatie van elektrisch systeem Appendix C: Synchronisatie systemen
3 5 7 9 9 12 16 19 19 21 22 23 23 24 27 27 30 31 32 34 34 36 36 39 39 40 41 43 43 51 55
5
6
1 Inleiding Het is bekend dat een zenuwcel belangrijk is in de hersenen voor het verwerken van informatie. De belangrijkste variabele voor informatieverwerking door een zenuwcel is het membraam potentiaal, omdat het membraam potentiaal snel kan fluctueren in de tijd. Doordat de zenuwcellen aan elkaar gekoppeld zijn, kunnen de elektrische signalen naar elkaar toegestuurd worden. Hierdoor kunnen verschillende zenuwcellen identiek gedrag gaan vertonen; de zenuwcellen synchroniseren. Zenuwcellen synchroniseren in verschillende delen in de hersenen met verschillende redenen. Voorbeelden zijn bij het linken van vormen en kleuren, detectie van geuren of bij epilepsie (Gray, 1994). Sinds de jaren vijftig is het mogelijk om het membraam potentiaal te meten. Hierdoor zijn er verschillende modellen verschenen. Deze modellen beschrijven de dynamische verandering van het membraam potentiaal van een zenuwcel. In de loop der jaren heeft men enkele relatief simpele mathematische modellen gemaakt. Een voorbeeld hiervan is het Hindmarsh-Rose model. Dit model bestaat uit een drietal gekoppelde differentiaalvergelijkingen. Dit model is tevens bruikbaar om synchronisatie tussen zenuwcellen te bestuderen. Het doel van deze studie is om synchronisatie van de Hindmarsh-Rose zenuwcel te onderzoeken aan de hand van een experimentele opstelling. De Hindmarsh-Rose zenuwcel wordt in deze studie gebruikt, omdat dit model voldoet aan de voorwaarde om synchronisatie te realiseren (Oud, 2004), (Steur, 2007). De vergelijkingen van het Hindmarsh-Rose model kunnen worden vertaald naar een elektrisch circuit, zodat het mogelijk is om experimenten uit te voeren met het Hindmarsh-Rose model. Er zijn momenteel vier elektrisch Hindmarsh-Rose systemen gerealiseerd binnen de D&C groep van werktuigbouwkunde op de TU/e (Steur, 2007). Dit aantal wordt uitgebreid tot zes elektrische systemen om grotere netwerken te realiseren. De probleemstelling van dit onderzoek is: Wat is de invloed van meerdere systemen in een netwerk op de synchronisatie? De hoofddoelen van dit onderzoek zijn: • • • •
het realiseren van twee extra elektrische Hindmarsh-Rose systemen; het vergelijken van de experimenten met het theoretische model; het realiseren van synchronisatie in verschillende netwerkstructuren; het valideren van de simulaties door middel van experimenten.
7
Het verslag is als volgt opgebouwd. In hoofdstuk twee wordt het Hindmarsh-Rose model geïntroduceerd. Hierin wordt de dynamica van het model beschreven. Het model wordt numeriek opgelost en de uitkomsten worden beschreven. Daarna wordt een elektrische realisatie van het Hindmarsh-Rose model geïntroduceerd. De trajectories van de realisatie worden vergeleken met de trajectories van het theoretische model. Als laatste wordt het elektrische systeem geïdentificeerd om de kleine verschillen met het theoretische model te verklaren. In hoofdstuk drie wordt de theorie van synchronisatie behandeld. Hierin wordt beschreven dat de synchronisatie wordt bepaald door de koppelingssterkte tussen systemen. Verder worden nog twee methodes besproken waarmee de minimale koppelingssterkte bepaald kan worden, gegeven een netwerk van twee HR modellen. En als laatste wordt een voorbeeld gegeven om de twee methodes te verduidelijken. In hoofdstuk vier wordt uitgelegd hoe de experimentele synchronisatie wordt gerealiseerd. Daarna worden verschillende experimenten uitgevoerd en vergeleken met de simulatieresultaten. Uiteindelijk worden de conclusies gegeven en enkele aanbevelingen voor een toekomstig onderzoek.
8
2 Het Hindmarsh-Rose zenuwcel model In dit hoofdstuk wordt de dynamica van het Hindmarsh-Rose (HR) zenuwcel model besproken. De modelvergelijkingen worden geïntroduceerd en beschreven. Daarna worden de verschillende oplossingen van het HR model beschouwd aan de hand van de simulaties. Vervolgens worden de realisatie en identificatie van een elektrische HR model beschreven.
2.1 De dynamica van het Hindmarsh-Rose model Door de jaren heen zijn er verschillende modellen gemaakt van een zenuwcel. In 1984 hebben J.L. Hindmarsh en R.M. Rose een model voor het gedrag van een zenuwcel gedefinieerd (Hindmarsh, Rose,1984). In de loop der jaren is de complexe dynamica van het HR model uitvoerig bestudeerd. Het gebruikte HR model wordt beschreven door de volgende vergelijkingen:
x = Ts (− ax3 + bx 2 + ϕ1 x + ϕ2 + g y y − g z z + αU ), y = Ts (−c − dx 2 − ϕ3 x − β y ), z = Ts (r ( s ( x + x0 ) − z )),
(2.1)
waarin x het membraam potentiaal is, y een interne variabele beschrijft, z een langzame variabele is en U beschrijft de stimulatie van het model. Het uitgangssignaal is de x-state, wat het natuurlijke uitgangssignaal van een zenuwcel is. Verder is Ts de tijdschaalfactor en a, b, c, d , r , s, x0 , α , β , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , g y , g z > 0 zijn de constante parameters. Voor deze parameters worden in de rest van het verslag de volgende waarden gebruikt:
a = 1, b = 0, c = 0.8, d = 1, r = 0.0005, s = 4, g y = 5, Ts = 1000,
α = 1, β = 1, ϕ1 = 3, ϕ2 = 2, ϕ3 = 2, x0 = 2.6180, g z = 1.
(2.2)
De parameters zijn zodanig gekozen om hoge spanningen, die verzadiging van de signalen veroorzaakt in de realisatie (hoofdstuk 2.2) te vermijden en om een uitkomst in dezelfde tijdschaal te genereren als een echte zenuwcel. Door het bovenstaande HR model te simuleren, is gebleken dat het HR model veel verschillende modes heeft die afhankelijk zijn van de gekozen ingangssignaal U . Het ingangssignaal wordt beschouwd in het gebied 0 ≤ U ≤ 5 [V ] . Deze modes zijn onder te brengen in vier fases: resting, bursting, chaotic bursting en spiking (Figuur2.1). Tijdens de simulaties wordt U als constant beschouwd. De simulaties zijn uitgevoerd met behulp van Matlab Simulink.
9
De Het HR model komt in een zogenaamde resting fase wanneer 0 ≤ U ≤ 1.5 [V ] . Dit wordt veroorzaakt doordat de dynamica van het HR-model een uniek stabiel evenwichtspunt heeft voor deze ingangssignalen. Dus voor alle begincondities van x, y en z gaan de states naar het evenwichtspunt xe (U ), ye (U ) en ze (U ) , maar deze evenwichtspunten zijn afhankelijk van het constante ingangssignaal U . Wanneer het ingangssignaal U ≥ 1.5 [V ] is, wordt door de dynamica van het HR model een cyclus beschreven. Deze cyclus wordt telkens doorlopen. Het aantal lussen in deze cyclus bepaalt het aantal pieken in de uitgangssignalen. Bij chaotic bursting zijn de trajectories van het systeem niet meer periodiek. Spiking heeft maar één lus, waardoor de pieken achter elkaar verschijnen. De fase bursting wordt gekarakteriseerd door een aantal pieken, daarna een periode rust en dan weer het aantal pieken (Figuur 2.1 a). Deze fase beschrijft een periodiek signaal. Bij bursting kan het aantal pieken verschillen door afhankelijkheid van ingangssignaal U . De fase chaotic bursting wordt gekenmerkt doordat het aantal pieken per burst telkens veranderd (Figuur 2.1 b). Tussen de periode van de pieken zit nog steeds een periode van rust. Doordat het aantal pieken per burst telkens verandert, ontstaat er een aperiodiek signaal. De fase spiking is te herkennen doordat er geen periode van rust meer in het signaal te zien is (Figuur 2.1 c). Hierdoor bestaat deze fase alleen uit op een volgende pieken.
(a) bursting
10
(b) chaotic bursting
(c) spiking Figuur 2.1: De gesimuleerde uitkomst van een HR model voor verschillende ingangssignalen (a) U = 2.0 [V], (b) U = 3.25 [V] en (c) U = 4.0 [V]. De figuren links zijn de drie states x, y en z. De figuren rechts zijn de drie states tegen elkaar uitgezet.
11
Om de fases aan het ingangssignaal te relateren, is een tabel gemaakt waarin de fases gegeven zijn per ingangssignaal (Tabel 2.1). De getallen in de beschrijving geven aan hoeveel pieken er ontstaan in één periode van de betreffende bursting fase. In Appendix A is het gedrag van een model te zien voor verschillende ingangssignalen. Tabel 2.1: De fases voor verschillende ingangssignalen. beschrijving U [V ] ≤ 1.5 resting 1.5-1.6 bursting (1) 1.6-2.0 bursting (2) 2.0-2.5 bursting (3) 2.5-2.8 bursting (4) 2.8-3.2 bursting (5) 3.2-3.3 chaotic bursting 3.3-3.5 bursting (5) ≥ 3.5 spiking Om de synchronisatie van het HR model te onderzoeken, wordt voortaan gewerkt met U = 3.25 [V ] , dan is het model in de fase chaotic bursting. Omdat alle HR modellen andere trajectories genereren, lijken de HR modellen niet te kunnen synchroniseren. Daarom is het interessant om te onderzoeken of de HR modellen toch gaan synchroniseren.
2.2 Realisatie Het HR model kan worden omgezet naar een elektrisch equivalent (Lee e.a., 2004), (Steur, 2007). Een elektrisch HR systeem bestaat in de basis uit een drietal integratorcircuits, die de desbetreffende states van het HR model integreren, en een multiplier circuit dat de kwadratische en kubische termen genereert. De parameters zijn dusdanig gekozen, dat de operationele versterkers niet verzadigt raken zie (2.2). Het elektrische HR systeem ziet er dan als volgt uit:
x = 1000(− x 3 + 3 x + Vxc + 5 y − z + Vxu ), y = 1000(−V yc − x 2 − 2 x − y ),
(2.3)
z = 5(4( x + Vzc ) − z ), met de constante voltages Vxc = 2 [V ], Vyc = 0.8 [V ], Vzc = 2.618 [V ] en ingangsspanning Vxu . Waarbij Vxu bestaat uit de stimulatie ingang U en de synchronisatie ingang ui . Om ervoor te zorgen dat de data acquisitie apparatuur geen invloed heef op het gedrag van het HR systeem, zijn er Voltage followers in het elektrische circuit ingebouwd. In (Steur, 2007) zijn ook de gebruikte componenten en het complete circuit te vinden. Figuur 2.2 toont de realisatie van het elektrische systeem.
12
Figuur 2.2: De realisatie van het elektrische systeem Het elektrische systeem zal vergeleken worden met de simulaties. De experimenten worden uitgevoerd met behulp van Siglab. Er wordt een constant ingangssignaal op het elektronische circuit gezet en de drie states worden gemeten. Beide HR systemen voldoen kwalitatief aan het verwachtte gedrag bij de ingangssignalen. Ze vertonen allebei bursting bij U = 2.0 [V ] (Figuur 2.3 a), chaotic bursting bij U = 3.25 [V ] (Figuur 2.3 b) en spiking bij U = 5.0 [V ] (Figuur 2.3 c).
13
(a)
(b)
(c) Figuur 2.3: De uitkomsten van systeem 1 (rechts) en van systeem 2 (links). De ingangssignalen zijn: (a) U = 2.0 [V ] , (b) U = 3.25 [V ] en (c) U = 5.0 [V ] . Voor het onderzoek naar synchronisatie van de elektrische HR systemen, is het belangrijk dat het uitgangssignaal x het verwachte gedrag vertoont (Figuur 2.3). Want synchronisatie zal in de experimenten uitgevoerd worden met uitgangsignaal x. De elektrische systemen blijken af te wijken van de simulaties. Om deze verschillen te analyseren, worden de uitkomsten van het originele model en de elektrische modellen in één figuur geplot (Figuur 2.4).
14
(a)
(b)
(c) Figuur 2.4: De uitkomst van het originele model vergeleken met de experimenten van de twee elektrische systemen. De figuren onder elkaar zijn van één elektrisch systeem, links is systeem 1 en rechts is systeem 2. De ingangssignalen zijn: (a) U = 2.0 [V ] , (b) U = 3.25 [V ] en (c) U = 5.0 [V ] . 15
Uit figuur 2.4 blijkt dat het tweede systeem de verwachte uitkomst geeft, maar de cyclussen liggen allemaal hoger dan het origineel. Dit komt door de afstelling van de parameters van de z-state in het elektrische systeem. De z-state zorgt voor een offset voor het gehele systeem. Systeem één heeft niet de verwachte uitkomst (Figuur 2.4). Het aantal cyclussen van het eerste systeem is afwijkend van het aantal cyclussen van het origineel. Om dit verschil in cyclussen te bepalen, moet nader onderzocht worden wat voor de verkeerde uitkomst zorgt. Dit wordt in de volgende paragraaf gedaan tijdens de identificatie van de elektrische HR systemen.
2.2.1 Identificatie Hoewel het elektrische HR systeem lijkt te voldoen, zijn er toch verschillen met het gesimuleerde gedrag. Deze verschillen worden mogelijk veroorzaakt doordat de waardes van de weerstanden en de condensatoren niet exact zijn. Dit wordt veroorzaakt door de toleranties op de weerstands- en condensatiewaardes. Het is ook mogelijk dat de integratiecircuits niet accuraat werken. Om het verschil te kwantificeren, worden de gerealiseerde systemen geïdentificeerd. Een beschrijving van de identificatie staat in (Steur,2007). De identificatie wordt gedaan met behulp van de predicition error method (Ljung, 1999) en continuousdiscrete extended Kalman filter (Gelb, 1996). De parameters van de gerealiseerde elektrische HR systeem staan in de onderstaande tabel. In Appendix B staan de figuren van de identificatie van systeem 1. Voor systeem 2 gelden dezelfde figuren, alleen met de geconvergeerde waarden die in de tabel zijn gegeven.
Parameters
Tabel 2.2: Geschatte parameters waardes Ontworpen Systeem 1
Systeem 2
a c
1 -0.8
0.96166 -0.74337
1.0125 -0.79501
d
1
0.95652
0.98531
gy
5
4.8084
5.0656
1
0.9642
1.0974
5 4
4.8031 3.9802
4.8379 4.0152
-2.6020
-2.6075
gz r ⋅10 s
3
x0
-2.618
α β ϕ1 ϕ2 ϕ3
1 1 3
0.91555 0.97188 2.8732
0.95972 1.0045 2.9999
2
1.9741
1.9874
2
1.9277
1.9935
16
Uit de identificatie van systeem 2 volgt dat alle parameters weinig verschillen met de ontworpen waardes. Dit verklaart waarom in figuur 2.3 alle uitkomsten van systeem 2 overeenkomen met de verwachte uitkomsten. Maar deze kleine verschillen in parameters zorgen wel voor de offset van de uitkomsten van systeem 2. Voor systeem 1 zijn alle parameters onder de ontworpen waardes. Enkele parameters, zoals c en α , wijken veel af van de ontworpen parameterwaardes. Dit verklaart waarom het gedrag van systeem 1 niet in overeenstemming met het ontworpen HR model. Dus voor systeem 1 moeten de parameters worden getuned, zodat het gedrag beter overeenkomt met het ontworpen HR model. Dit kan gedaan worden door alle componenten te controleren en eventueel vervangen. Tijdens dit onderzoek is deze controle niet uitgevoerd, maar voor een volgend onderzoek is dit aan te raden om te doen.
17
18
3 Synchronisatie van Hindmarsh-Rose zenuwcellen In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe, gegeven een lineaire koppeling van het uitgangssignaal, synchronisatie tussen twee modellen tot stand komt. Er worden tevens twee methodes beschreven, mits aan bepaalde voorwaardes wordt voldaan, om de sterkte van de koppeling te bereken aan de hand van een netwerk en de minimale koppelingssterkte tussen twee modellen. Uiteindelijk worden er enkele simulaties uitgevoerd ter validatie van de experimenten.
3.1 Theorie Om synchronisatie tussen verschillende HR zenuwcellen te realiseren, moeten de HR modellen aan elkaar gekoppeld worden. Een aantal gekoppelde HR modellen kunnen door de onderstaand differentiaalvergelijkingen beschreven worden:
xi = − axi 3 + bxi 2 + ϕ1 xi + ϕ2 + g y yi − g z zi + αU + ui , yi = −c − dxi 2 − ϕ3 xi − β yi , zi = r ( s ( xi + x0 ) − zi ),
(3.1)
met i = 1,… , n voor het aantal HR modellen, U de stimulatie input is en ui de koppeling tussen de HR modellen. De koppeling is een lineaire koppeling van het verschil tussen de uitgangssignalen van de HR modellen. De input ui wordt geschreven als: n
ui = ∑ −γ ij ( xi − x j ),
(3.2)
j =1
Hierin is n het aantal HR modellen in het netwerk, γ ij is de koppelingsterkte tussen HR model i en HR model j en xi , x j is respectievelijk de x-state van HR model i, j. Als wederzijdse koppeling tussen de HR modellen wordt gebruikt, wordt aangenomen dat γ ij = γ ji ≥ 0. Voor enkelzijdige koppeling tussen de HR modellen wordt aangenomen dat γ ij = γ en γ ji = 0 , indien de koppeling van systeem i naar systeem j bestaat. De koppelingsfunctie ui tussen de HR modellen kunnen worden geschreven als: u = −Γ x,
(3.3)
met x = [ x1 … xn ]T een kolom die de uitgangen van het systeem bevat, u = [u1 … un ]T is een kolom met de ingangen van het systeem. Γ is de n × n koppelingsmatrix gegeven als: 19
n ∑ γ 1i i= 2 − γ 21 Γ = −γ n1
− γ 12
n
∑
γ 2i
i = 1, i ≠ 2
−γ n2
− γ 1n −γ 2n , n −1 γ ni ∑ i =1
(3.4)
De matrix Γ bevat dus de informatie van de sterkte van de koppeling en de topologie van het netwerk. Als de koppeling wederzijds is (Figuur 3.1 a), is de koppelingsmatrix symmetrisch. Maar als de koppeling enkelzijdig is (Figuur 3.1 b), is de koppelingsmatrix niet meer symmetrisch. Om synchronisatie te realiseren moet het systeem aan enkele voorwaardes voldoen m.b.t. het begrensde bestaan van oplossingen voor alle t ≥ t0 en de mate van interne stabiliteit. In het geval van HR modellen wordt aan deze voorwaardes voldaan (Steur, 2007). De synchronisatie kan volledig of gedeeltelijk plaatsvinden. Volledige synchronisatie betekent dat alle systemen identiek gedrag vertonen. Gedeeltelijke synchronisatie betekent dat sommige systemen identiek gedrag vertonen, terwijl andere systemen niet synchroniseren. In dit verslag wordt alleen gekeken naar volledige synchronisatie. De synchronisatie is afhankelijk van de koppelingssterkte tussen de HR modellen en het netwerk. Als de koppelingssterkte gegeven een netwerk hoog genoeg is, wordt er synchronisatie gerealiseerd. Er is een minimale koppelingssterkte kmin waarbij de synchronisatie tot stand komt (Pogromsky, 2002). De meest duidelijke synchronisatie is die van twee gekoppelde HR modellen. De twee systemen worden wederzijds gekoppeld (Figuur 3.1 a). De koppeling heeft een koppelingssterkte k .
1
2
1
2
u1 = − k ( x1 − x2 )
u1 = 0
u2 = −k ( x2 − x1 )
u2 = − k ( y2 − y1 )
(a)
(b)
Figuur 3.1: Wederzijds (a) en enkelzijdig (b) gekoppelde HR modellen met de daarbij behorende koppelingsfuncties
De koppelingsmatrix van de twee wederzijds gekoppelde systemen wordt aan de 20
hand van (3.4) bepaald als
k Γ= −k
−k . k
Om de minimale koppelingssterkte kmin te bepalen, wordt een simulatie uitgevoerd. De simulaties worden in de volgende paragraaf besproken. Uit de simulatie blijkt dat de minimale koppelingssterkte kmin = 0.5 voor de wederzijdse koppeling van twee systemen. De minimale koppelingssterkte van twee wederzijds gekoppelde systemen wordt voortaan aangeduid als k2 . De koppelingssterkte k2 wordt gebruikt in de WuChua conjecture en de Connection Graph Stability methode in paragraaf 3.3 om condities af te leiden voor synchronisatie in een netwerk met n wederzijds gekoppelde systemen.
3.2 Simulaties Om de koppelingssterkte van verschillende systemen te kunnen berekenen, wordt er gebruik gemaakt van simulaties met behulp van Simulink in Matlab. Door elk systeem een andere startwaarde voor x(0), y (0) en z (0) te geven, worden de uitkomsten van de HR modellen verschillend. In de functieblokken staan de verbindingen die worden gemaakt tussen de wederzijds systemen (Figuur 3.1 a). Via de foutsignalen kan bekeken worden of synchronisatie tot stand is gekomen. -0.5 Koppelingssterkte (u(1)-u(2))
HR_sfunc
Verbindingen HR1
HR1 (u(1)-u(2))
-(u(1)-u(2))
HR_sfunc
Verbindingen HR2
HR2
Fout
Scope1
Figuur 3.2: Een simulatiemodel van de twee wederzijds gekoppelde systemen. De simulaties worden in het volgende hoofdstuk vergeleken met de experimenten van de elektrische HR systemen. Het foutsignaal van de twee wederzijds gekoppelde systemen (Figuur 3.3 a) begint groot, omdat de koppeling nog niet is ingeschakeld. De koppeling begint iets later dan de meting, zodat duidelijk te zien is dat de twee systemen een andere uitkomst geven (Figuur 3.3 b). Na de inschakeling van de koppeling wordt de fout steeds kleiner en na een halve seconde is de synchronisatie gerealiseerd.
21
(a)
(b) Figuur 3.3: Figuren van twee wederzijds gekoppelde systemen bij k2 = 0.50 .(a) het foutsignaal en (b) de x-state van beide systemen bij k2 = 0.50 .
3.3 Synchronisatie in netwerken Met de zes elektrische HR systemen kunnen veel verschillende netwerken gemaakt worden. Deze netwerken bevatten meerdere koppelingen. In dit verslag wordt aangenomen dat elke connectie tussen de systemen koppelingssterkte k heeft. Er is dus geen verschil in koppelingssterkte tussen enkelzijdig of wederzijdse koppeling. Hieronder worden twee methodes beschreven die de minimale koppelingssterkte kmin bepalen voor een gegeven netwerk. Deze methodes kunnen alleen gebruikt worden bij een symmetrische koppelingsmatrix Γ. Dit betekend dat de methodes alleen gebruikt kunnen worden als alle koppelingen wederzijds zijn. Als laatste wordt nog een voorbeeld gegeven om te laten zien hoe beide methodes worden toegepast.
22
3.3.1 Wu-Chua conjecture De Wu-Chua conjecture (Wu, Chua,1996) maakt gebruik van het gegeven dat alle informatie van de koppeling tussen de gekoppelde systemen is opgeslagen in de koppelingsmatrix. Het conjecture luidt: gegeven dat twee systemen synchroniseren; dan synchroniseren alle systemen in een netwerk met koppelingsmatrix Γ1 indien kmin =
µ 2 k2 , µ1
(3.5)
met µ1 de kleinste niet-nul eigenwaarde van de koppelingsmatrix Γ1 voor een netwerk. Verder is µ2 de kleinste niet-nul eigenwaarde van koppelingsmatrix Γ 2 voor twee wederzijds gekoppelde systemen en k2 is de minimale koppelingssterkte om twee wederzijds gekoppelde systemen te synchroniseren. Dit betekent dat de koppelingsterkte tussen alle systemen kan berekend worden aan de hand van de koppelingssterkte tussen twee systemen. Volgens (3.4) wordt Γ 2 beschreven als: −k2 k Γ2 = 2 . − k2 k 2 Hieruit volgt dat µ2 = 2k2 en blijkt k2 = 0.5 te zijn om twee wederzijds gekoppelde systemen te synchroniseren. Het bewijs dat de Wu-Chua conjecture geldt voor de HR modellen is te vinden in (Progromsky, Nijmeijer 2001), zie ook (Steur 2007).
3.3.2 Connection Graph Stability methode De Connection Graph Stability (GCS) methode (Belykh e.a., 2005) is een meer grafische benadering dan de Wu-Chua conjecture. De CGS methode gebruikt de som van de lengtes van de kortste verbindingen op een bepaalde rand om van een systeem naar een ander systeem te komen. De rand kan beschouwd worden als een de verbinding tussen twee systemen. De weglengtes hoeven niet uniek te zijn. Soms kan er ook een andere weg worden gekozen. De verbinding die het meeste wordt belast, in combinatie met het aantal systemen bepaald de minimale koppelingssterkte. De volgende formule wordt beschreven door de CGS methode: kmin =
2k2 bi , n
(3.6)
hierin is k2 = 0.5 wederom de koppelingssterkte voor twee wederzijds gekoppelde systemen, i = 1, , n is het aantal systemen en bi is de som van de kortste wegen over de rand i . Een variant van de CGS methode kan ook gebruik worden voor niet symmetrische koppelingen (Belykh e.a., 2006). Maar in dit onderzoek wordt daar niet verder op ingegaan. 23
3.3.3 Voorbeeld Om de Wu-Chua conjecture en de CGS methode duidelijk te maken is dit voorbeeld met vier systemen gegeven (Steur, 2007). Het netwerk dat wordt gevormd door de vier systemen is te zien in figuur 3.4. In dit voorbeeld wordt wederom k gebruikt als de koppelingssterkte van de koppeling tussen de systemen en k2 als de koppelingssterkte tussen twee wederzijdse gekoppelde systemen. 1
2
4
3
Figuur 3.4: Het voorbeeld van vier gekoppelde systemen.
Wu-Chua conjecture De koppelingsmatrix wordt aan de hand van (3.4) als volgt gegeven
2k −k Γ= −k 0
−k
−k
3k
−k
−k
3k
−k
−k
0 − k . −k 2k
De koppelingsmatrix van twee wederzijds gekoppelde systemen met koppelingssterkte k2 wordt gegeven door
k Γ2 = 2 − k2
−k2 . k2
De kleinste niet-nul eigenwaarde van Γ 2 is 2k2 en de kleinste niet-nul eigenwaarde van Γ is 2k . Dus volgens formule 3.5 is de minimale koppelingssterkte k m in = k 2 . Volgens de Wu-Chua conjecture vind synchronisatie plaats in dit netwerk als de koppelingssterkte k ≥ 0.50 .
24
CGS methode De kortste verbindingen Pij tussen de HR systemen i en j worden gegeven door:
P12 = a, P13 = d , P14 = cd = ae, P23 = b, P24 = e, P34 = c. De som van de lengtes van de kortste weg door een rand wordt als volgt berekend:
a : ba = P12 + P14 = 1 + 2 = 3, b : bb = P23 = 1, c : bc = P14 + P34 = 2 + 1 = 3, d : bd = P13 + P14 = 1 + 2 = 3, e : be = P24 + P14 = 1 + 2 = 3. 3 k 2 . Volgens de 2 CGS methode komt synchronisatie tot stand als de koppelingssterkte k ≥ 0.75 . De Wu-Chua conjecture en CGS methode hebben beide een andere waarde voor de minimale koppelingssterkte. Dit komt omdat de CGS methode een voldoende voorwaarde voor de koppelingssterkte bepaalt om synchronisatie te realiseren. Volgens de simulaties vindt synchronisatie plaats bij k ≥ 0.50 . Dus volgens formule 3.5 is de minimale koppelingssterkte kmin =
25
26
4 Synchronisatie van Hindmarsh-Rose zenuwcellen: Experimenten In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe de koppeling tussen de elektrische systemen wordt gerealiseerd door middel van analoge en digitale koppeling. En er worden experimenten gedaan met verschillende netwerken om synchronisatie te bestuderen en de simulaties te valideren.
4.1 De koppelingsinterface Om synchronisatie tussen twee HR systemen te realiseren, moeten deze aan elkaar gekoppeld worden. Er wordt maar één ingangsignaal gegeven aan de elektrische HR systemen, dus moet de stimulatie U en de koppeling in één signaal gevat worden. Daarom wordt de koppeling van twee HR systemen gegeven door
u1 = U − k ( x1 − x2 ) , u2 = U − k ( x2 − x1 ) .
(4.1)
Om deze verschillen van de uitgangssignalen te realiseren, wordt er gebruik gemaakt van de Differential Input Amplifier (Figuur 4.1). Dit elektrische schema wordt samengesteld uit vier weerstanden en één operationele versterker. R0
R1 V1 V2
+
R1
V0
R0
Figuur 4.1: De Differential Input Amplifier Dit elektrische schema zorgt voor de volgende relatie V0 =
R0 R (V2 − V1 ) , 0 =: k . R1 R1
(4.2)
Door de weerstanden R0 te veranderen, kan de koppelingssterkte k gevarieerd worden. Wanneer dit schema tussen de HR systemen wordt gekoppeld, blijkt dat de invloed van Siglab in het systeem merkbaar is. Daarom worden er Voltage Followers voor iedere ingang geplaatst (Figuur 4.2). Ook de stimulatie U wordt eerst door een Voltage Follower gestuurd. 27
V0
+ -
V0
Figuur 4.2: De Voltage Follower Om het algemene ingangssignaal bij de verschilsignalen op te tellen wordt gebruik gemaakt van sommatie circuit (Figuur 4.3).
R1 R0
V2
R1 V1
+
V0
Figuur 4.3: Sommatie circuit Dit elektrische schema geeft de relatie V0 = −
R0 (V1 + V2 ) . R1
(4.3)
Wanneer R0 en R1 dezelfde waarde hebben, worden beide ingangen bij elkaar opgeteld. Maar hierdoor krijgt het algemene ingangssignaal een minteken. Om dit te verhelpen moet het algemene ingangssignaal van teken worden veranderd, voordat het bij de verschilsignalen wordt opgeteld. Hiervoor wordt een Inverter gebruikt (Figuur 4.4). R0
R1 V1
+
V0
Figuur 4.4: Inverter Hieruit volgt de relatie: R V0 = − 0 V1. R1
(4.4) 28
Hiermee is de koppelingsfunctie u1 gerealiseerd (4.1). Om koppelingsfunctie u2 te realiseren wordt er nog een Inverter en Sommatie circuit toegevoegd. Door deze elektrische circuits aan elkaar te koppelen, ontstaat de wederzijdse koppeling tussen twee HR systemen. Het uiteindelijke elektrische schema bestaat uit veertien weerstanden en acht operationele versterkers (Figuur 4.5). In de figuur betekent U het algemene ingangssignaal en V1 , V2 zijn de x-state van respectievelijk systeem 1 en systeem 2. V1
V2
+ -
+ -
R2
V1 R1
V2
R2 (V1-V2 ) R1
+
R1
R2
R3
R0 U
+ -
U
R0
-
R3
R3
+
-U
U-
+
R4 R4
R2 (V1-V2 ) R1
R4
R5
-
R5
+
R2 -U- (V1-V2 ) R1
+
U+
R2 (V1-V2) R1
Figuur 4.5: Het complete elektrische schema voor wederzijdse koppeling in theorie.
Figuur 4.6: De complete opstelling voor wederzijdse analoge koppeling in praktijk.
29
In de praktijk zorgt dit voor veel draden om maar 2 systemen aan elkaar te koppelen (Figuur 4.6). Dus om dit te verhelpen wordt er in het vervolg gebruik gemaakt van microcontroller. De microcontroller maakt gebruik van programmatuur die geupload kan worden. Dit betekent dat de microcontroller een digitale koppeling realiseert. Hierdoor wordt de koppeling gerealiseerd met enkele programmeerregels. Waardoor het mogelijk is om sneller experimenten te doen met verschillende netwerken. De beperkingen van de gekozen AD7026 microcontroller is dat er maar 4 signalen uitgestuurd kunnen worden. Hierdoor kan een beperkt aantal topologieën van netwerken met 5/6 systemen gerealiseerd worden. Om met grotere netwerken te experimenteren kan er naast de microcontroller nog de analoge koppeling gebruikt worden. De experimentele opstelling is in figuur 4.7 te zien. Rechts is de microcontroller te zien en de toren links zijn de zes elektrische HR systemen.
Figuur 4.7: De experimentele opstelling met microcontroller
4.2 Experimenten De experimenten worden gevalideerd door ze te vergelijken met de simulaties, de Wu-Chua conjecture en de CGS methode. Er wordt onderzocht of de koppelingssterkte afhankelijk is van de netwerken en het aantal HR systemen. Er zijn maximaal zes HR systemen beschikbaar om experiment mee uit te voeren. Bij deze experimenten zullen de metingen worden gedaan met behulp van data acquisitie apparatuur, zoals Siglab.
30
4.2.1 Twee systemen Als eerste wordt de synchronisatie van twee gekoppelde systemen onderzocht. De twee systemen worden enkelzijdig en wederzijds gekoppeld (Figuur 3.1). De koppeling heeft een koppelingssterkte van k . Simulaties van de twee gekoppelde systemen zijn gedaan om een minimale koppelingssterkte kmin te bepalen. Het blijkt dat kmin = 1.0 voor de enkelzijdige koppeling en kmin = 0.5 voor de wederzijdse koppeling. Uit de experimentele opstelling blijkt synchronisatie tot stand te komen bij k ≥ 1.2 in geval van enkelzijdige koppeling en k ≥ 0.6 voor wederzijdse koppeling. Voortaan zal bij de overige experimenten gebruik worden gemaakt van k2 = 0.6 als de minimale koppelingssterkte tussen twee wederzijds gekoppelde systemen waarbij synchronisatie optreedt. De fout van de twee wederzijds gekoppelde systemen is te zien in figuur 4.8 a. In figuur 4.8 b is het uitgangssignaal x te zien van beide systemen. Hieruit blijkt ook dat de systemen synchroniseren, want deze uitgangssignalen zijn bijna identiek aan elkaar. Een figuur van de fout voor twee enkelzijdige gekoppelde systemen is te zien in Appendix C (Figuur a). Maar bij de synchronisatie van de experimentele opstelling blijven kleine fouten zichtbaar. Maar wanneer de koppelingssterkte wordt opgeschroefd, worden de fouten steeds kleiner. De blijvende fouten worden veroorzaakt doordat de systemen niet identiek aan elkaar zijn. De systemen hebben een klein verschil in het dynamische gedrag doordat niet alle componenten van het elektrische HR systeem precies hetzelfde zijn. De systemen zijn praktisch gesynchroniseerd als ze aan onderstaande voorwaarde voldoen.
lim sup xi − x j ≤ ε ,
ε > 0.
(4.5)
t →∞
Hierin zijn xi , x j de x-states van de systemen i, j die synchroniseren en ε is de foutmarge, die klein is. Hier wordt voor een foutmarge ε = 0.5 gekozen om praktische synchronisatie te realiseren. De foutmarge lijkt groot, maar door de pieken in het uitgangssignaal x is de fout tussen twee systemen al snel groot. Dat de systemen ondanks ε = 0.5 synchroniseren is te zien in figuur 4.8.
31
(a)
(b) Figuur 4.8: Figuren van twee wederzijds gekoppelde systemen. (a) de x-states van beide elektrische systemen bij k = 0.6 . (b) de bovenste grafiek is van de simulatie met k = 0.5 en de onderste grafiek is van de experimenten met k = 0.6 .
4.2.2 Drie systemen Nu wordt er een derde systeem aan toegevoegd. Hierdoor zijn meerdere netwerken mogelijk. De netwerken die uitgevoerd zijn als experiment zijn te zien in figuur 4.9. Hierin is te zien dat de drie systemen in een ring of een lijn gekoppeld zijn. De ringen de lijnverbinding zijn zowel enkelzijdig als wederzijds gekoppeld. Hierin hebben alle koppelingen de koppelingssterkte k . 32
1
1
2
2
3 3
(a)
(b) 1
1
2
2
3 3
(c) (d) Figuur 4.9: Netwerken van drie systemen: (a) enkelzijdig lijnverbinding, (b) enkelzijdig ringverbinding, (c) wederzijds lijnverbinding en (d) wederzijds ringverbinding. De minimale koppelingssterkte kmin kan bepaald worden met simulaties, de Wu-Chua conjecture en de CGS methode. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de minimale koppelingssterkte k2 om twee wederzijds gekoppelde systemen te synchroniseren (simulatie: k = 0.5 en experiment: k = 0.6 ). Voor de drie enkelzijdig gekoppelde systemen wordt alleen simulaties gebruikt om de minimale koppelingssterkte te bepalen. De simulaties van de drie enkelzijdig gekoppelde systemen in lijnverbinding (Figuur 4.9 a) laten zien dat k ≥ 1.0 moet zijn. Voor de experimenten moest de koppelingssterkte k ≥ 1.5 zijn om te synchroniseren. Dit komt doordat de systemen niet identiek zijn. Als er een extra koppeling wordt toegevoegd in de lijnverbinding ontstaat de ringverbinding van de drie systemen (Figuur 4.9 b). Volgens de simulaties moet de koppelingssterkte k ≥ 0.67 zijn voor synchronisatie van de drie enkelzijdig gekoppelde systemen in ringverbinding. De experimenten laten zien dat k ≥ 0.80 moet zijn om de elektrische systemen te synchroniseren. Om de koppelingssterkte te verlagen, wordt een wederzijdse koppeling geprobeerd. De drie wederzijds gekoppelde systemen in lijnverbinding (Figuur 4.9 c) zullen synchroniseren als k ≥ 2k2 volgens de Wu-Chua conjecture en CGS. De simulatie bevestigen dat de systemen synchroniseren bij k ≥ 1.0 . De experimentele synchronisatie komt tot stand als k ≥ 1.2 Vervolgens worden alle koppelingen wederzijds. Hierdoor ontstaat de wederzijds gekoppelde ringverbinding (Figuur 4.9 d). Nu kan de koppelingssterkte worden bepaald door de Wu-Chua conjecture en de CGS. Deze methodes bepalen dat de koppelingssterkte k ≥ 0.67 k2 nodig is voor synchronisatie. De simulatie ondersteunen de methodes, want volgens de simulatie is de minimale koppelingssterkte k ≥ 0.33 nodig. De experimentele opstelling laat zien dat de koppelingssterkte k ≥ 0.40 nodig is voor synchronisatie. 33
De verandering van netwerk is dus bepalend voor de minimale koppelingssterkte die nodig is om te synchroniseren. Zo kan de koppelingssterkte kleiner zijn als de systemen een ringvorm maken. Dit komt doordat de som van de weglengte tussen de systemen kleiner wordt, waardoor de minimale koppelingssterkte kleiner wordt (Zie paragraaf 3.3.2). Als de koppelingen tussen de systemen wederzijds worden, hoeft de koppelingssterkte maar de helft te zijn dan bij een enkelzijdige koppeling. Alle figuren van de synchronisatie voor de vier verschillende netwerken staan in Appendix C (Figuur c).
4.2.3 Vier systemen Veel verschillende netwerken voor vier systemen worden gedemonstreerd in (Steur, 2007). Daarom wordt hier alleen de enkelzijdig gekoppelde ringverbinding besproken (Figuur 4.10). Hierin is de koppelingssterkte van alle koppelingen gedefinieerd als k . Volgens de simulaties moet de koppelingssterkte k ≥ 1.0 moet zijn voor synchronisatie. De experimenten laten zien dat een koppelingssterkte k ≥ 1.5 nodig is. De figuren van de synchronisatie van de enkelzijdig gekoppelde ringverbinding zijn te vinden in Appendix C (Figuur d). 1
2
4
3
Figuur 4.10: De enkelzijdige ringverbinding van vier systemen.
4.2.4 Vijf systemen Voor de netwerken van de vijf systemen wordt vooral gekeken of één aansturend systemen invloed heeft op de koppelingssterkte. Daardoor zijn de volgende drie netwerken tot stand gekomen (Figuur 4.11). Het eerste netwerk bestaat uit een ring van vier systemen met één systeem die het aanstuurt. Voor dit netwerk is gebruik gemaakt van de microcontroller in combinatie met de analoge koppeling. Want de microcontroller kan maximaal naar vier systemen een signaal sturen, terwijl in dit netwerk naar vijf systemen een signaal wordt gestuurd. Daarom is de koppeling tussen systeem 2 en systeem 5 gerealiseerd door de analoge koppeling. Veder bestaan de netwerken uit een ster, waarin het middelste systeem de andere vier systemen aanstuurt en één systeem die twee takken van twee systemen aanstuurt. In alle netwerken is de koppelingssterkte k gedefinieerd voor alle koppelingen.
34
Voor de ring met één aansturing kan de koppelingssterkte bepaald worden door de Wu-Chua conjecture en de CGS methode. Want in deze configuratie zijn alleen wederzijdse koppelingen gebruikt. Beide methodes geven dat een koppelingssterkte k ≥ 1.2k 2 nodig is voor synchronisatie. De simulaties laten zien dat de koppelingssterkte k ≥ 1.2 voldoende is voor synchronisatie. Uit de experimenten volgt dan de koppelingssterkte k ≥ 1.5 nodig blijkt te zijn. 5
1
2
5 3
1
2
1
2
3
4
5
4
3
4
Figuur 4.11: Links is de ring van vier systemen met één verstoring. In het midden is de sterconfiguratie en rechts is het netwerk, waarin één systeem twee takken van twee systemen aanstuurt. Voor de sterconfiguratie wordt de minimale koppelingsterkte voor synchronisatie, alleen bepaald worden door simulaties. Volgens de simulaties moet de koppelingssterkte k ≥ 1.0 zijn om synchronisatie te realiseren. Bij de experimenten blijkt dat k ≥ 1.4 is, voordat er synchronisatie optreed. De koppelingssterkte van de laatste configuratie wordt wederom bepaald door simulaties. De simulaties laten zien dat de koppelingssterkte k ≥ 2.66 moet zijn voor synchronisatie. Volgens de experimenten moet de minimale koppelingssterkte k ≥ 3.2 zijn, wil men synchronisatie realiseren. Duidelijk is dat de aparte aansturing invloed heeft op de minimale koppelingssterkte. De verstoringen zorgen ervoor dat de koppelingssterkte omhoog moet om synchronisatie te realiseren. Alle figuren van de synchronisatie van de verschillende netwerken zijn te vinden in Appendix C (Figuur e).
35
4.2.5 Zes systemen Als laatste wordt er nog een zesde systeem toegevoegd. Dit systeem wordt als een extra aansturing aangebracht. Het netwerk (Figuur 4.12) dat dan ontstaat, bestaat uit een ring van vier systemen die volledig aan elkaar zijn gekoppeld. Hierop worden het vijfde en zesde systeem als aansturing aan gebracht. Alle koppelingen in deze configuratie hebben de koppelingssterkte k . 1
2
4
3
5
6
Figuur 4.12: Het netwerk, waarin vier systemen een volledig gekoppelde ring maken met daarop twee verstoringsystemen. De simulaties laten zien dat de koppelingssterkte k ≥ 9.0 moet zijn voordat er synchronisatie wordt gerealiseerd. Om experimenten uit te voeren met deze configuratie moet er gebruik worden gemaakt van de microcontroller en de analoge koppeling. De analoge koppeling is noodzakelijk, omdat de microcontroller te weinig signalen kan uitsturen naar de systemen. Uit de experimenten blijkt dat k ≥ 11.0 nodig is. Dus een extra aansturing zorgt ervoor dat de koppelingssterkte weer omhoog moet om synchronisatie te waarborgen. Alle figuren van de synchronisatie van deze topologie zijn te zien in Appendix C (Figuur f).
4.3 Samenvatting van de experimenten In de experimenten zijn de systemen gesynchroniseerd als ze aan onderstaande voorwaarde voldoen.
lim sup xi − x j ≤ 0.5, t →∞
Een beperking van de experimentele opstelling is dat de microcontroller vier signalen kan uitsturen. Dit beperkt het aantal experimenteel mogelijke topologieën van netwerken met 5/6 systemen. Alle experimenten zijn vergeleken met de simulaties. Deze kwamen vaak goed overeen, maar de koppelingssterkte in de experimenten is altijd ongeveer twintig procent hoger dan de koppelingssterkte van de simulaties. Dit is te verklaren doordat in de simulaties alle systemen exact hetzelfde zijn, terwijl bij de experimenten dit niet het geval is. Bij de experimenten zijn de systemen verschillende doordat de weerstanden en condensatoren toleranties bevatten. De koppelingssterktes bepaald met behulp van Wu-Chua conjecture en de CGS methode kwamen overeen met de simulaties. 36
Er is ook gekeken naar de invloed van de netwerken op de koppelingssterkte. Zo blijkt dat synchronisatie bij enkelzijdige netwerken pas wordt gerealiseerd als de koppelingssterkte twee keer zo groot is dan bij wederzijdse netwerken in ringvorm. Als de topologie een ringvorm is, kan de koppelingssterkte veel lager zijn dan de koppelingssterkte van een lijnvorm. Dit komt omdat de weglengte tussen de systemen kleiner wordt. Als alle systemen volledig met elkaar verbonden zijn, is de koppelingssterkte benodigd voor synchronisatie het laagst omdat de weglengte dan het kortste is. Wanneer er een apart systeem in de topologie aanwezig is, , moet de koppelingssterke omhoog om synchronisatie te realiseren. Een apart systeem betekent dat één systeem een ander systeem aanstuurt welke deel uit maakt van een groep systemen. Dus is het niet wenselijk om een apart systeem aan een groep systemen te hangen. Voor een apart systeem is het moeilijker om de overige systemen aan te sturen, waardoor synchronisatie lastiger te realiseren is. In de onderstaande tabel 4.1 zijn alle netwerken die behandeld zijn te zien met daarbij de minimale koppelingssterkte volgens de experimenten en de simulaties. In (Steur, 2007) staat een vergelijkbare tabel, maar met enkele andere netwerken
37
Tabel 4.1: De minimale koppelingssterkte voor synchronisatie per topologie topologie kmin experiment kmin simulatie 1.2
1.0
0.6
0.5
1.5
1.0
1.2
1.0
0.8
0.67
0.4
0.33
1.5
1.0
1.5
1.2
1.4
1.0
3.2
2.66
11.0
9.0
38
5. Conclusie en aanbevelingen Als laatste worden alle conclusies en resultaten uit het onderzoek beschreven. En tot slot worden nog enkele aanbevelingen gedaan voor eventuele volgende onderzoeken.
5.1 Conclusie Er zijn twee elektrische systemen gemaakt van het Hindmarsh-Rose model. Dit model bevat integratorcircuits, die de vergelijkingen integreren, en multiplier circuits, die de kubische en kwadratische termen berekenen. De uitkomsten van de elektrische Hindmarsh-Rose systemen zijn vergeleken met de numerieke verkregen uitkomsten. Er blijkt een klein verschil te bestaan tussen de elektrische systemen en het theoretische model. Om dit verschil te verklaren zijn de elektrische systemen geïdentificeerd. Hieruit blijkt dat het verschil veroorzaakt wordt door afwijkingen van de parameterwaardes. Deze afwijkingen worden veroorzaakt door de tolerantie op de gebruikte componenten van de elektrische systemen. In totaal zijn er zes elektrische Hindmarsh-Rose systemen gemaakt (vier al bestaande systemen en twee systemen gemaakt gedurende dit onderzoek). De synchronisatie tussen de Hindmarsh-Rose systemen is onderzocht. Ieder systeem in gekoppeld door een lineaire koppeling van de x-state. De koppelingen kunnen zowel enkelzijdig als wederzijds zijn. De synchronisatie is zoals verwacht afhankelijk van de koppelingssterkte tussen de systemen. Dus als de koppelingssterkte groot genoeg is, zullen de systemen gaan synchroniseren. Eerst is de minimale koppelingssterkte bepaald om twee wederzijds gekoppelde systemen te synchroniseren. Deze minimale koppelingssterkte wordt gebruikt in twee methodes, namelijk de Wu-Chua conjecture en de CGS methode in geval van wederzijdse koppeling. Deze methodes worden gebruikt om de minimale koppelingssterkte van verschillende netwerken te bepalen. Uiteindelijk zijn enkele simulaties en experimenten uitgevoerd en laten de synchronisatie zien voor verschillende netwerken tot zes systemen. De experimenten bevestigen de resultaten verkregen uit de simulaties. Alleen de minimale koppelingssterkte van de experimenten zijn ongeveer twintig procent hoger dan de minimale koppelingssterkte van de simulaties. Dit wordt veroorzaakt, doordat de elektrische systemen niet exact hetzelfde zijn. Bij de simulaties zijn de systemen wel allemaal hetzelfde, waardoor synchronisatie eerder is te realiseren.
39
5.2 Aanbevelingen Het systeem 1 van dit verslag heeft een afwijkende uitkomst, zoals in paragraaf 2.3 is geconcludeerd. Dit is nadelig als het systeem moet worden gesynchroniseerd. Voor volgend onderzoek moet er van dit systeem eerst de weerstanden en condensatoren gecontroleerd of eventueel vervangen worden. In dit onderzoek wordt gebruik gemaakt van zes elektrische systemen. Dit zou uitgebreid kunnen worden met nog enkele elektrische systemen. Om onderzoek te doen naar synchronisatie voor grotere netwerken. De microcontroller die voor de experimenten wordt gebruikt, heeft maar vier kanalen die signalen uit kunnen zenden. Hierdoor is het niet mogelijk om alle netwerken te maken met de zes elektrische systemen. Daarom is het voor een volgend onderzoek beter om een andere microcontroller te gebruiken, die meer kanalen heeft om signalen uit te zenden.
40
6 Bibliografie Belykh, Igor, Vladimir N., V. Belykh en Martin Hasler (2004). Connection graph stability method for synchronized coupled chaotic systems. Physica D 195, 159-187. Belykh, Igor, Enno de Lange en Martin Hasler (2005). Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology. Physical Review Letters 94, 1881011-188101-4. I. Belykh, V. Belykh, M. Hassler (2006). Physica D 224. # 1-2. Gelb, Arthur, Ed. (1996). Applied optimal estimation. 14ed.. The M.I.T press. Gray, Charles M. (1994). Synchronous Oscillations in Neuronal Systems: Mechanisms and Functions. Journ. Comp. Neuroscience I, 11-38. Hindmarsh, J.L. en R.M. Rose (1984) A model for neuronal bursting using three coupled differential equations. Proc. R. Soc. Lond. B 221, 87-102. Lee, Young Jun, Jihyun Lee, Y. B. Kim, J. Ayers, A. Volkovskii, A. Selverston, H. Abarbanel en M. Rabinovisch (2004). Low power real time electronic neuron VLSI design using subthreshold technique. Proc. Of the 2004 International Symposium om Circuits and Systems 4, 744-747. Ljung, L. (1999). System Identification: Theory for the User. Prentice-Hall. Oud, W. T., I. Yu. Tyukin en H. Nijmeijer (2004). Sufficient conditions for synchronization in an ensemble of hindmarsh and rose neurons: passivity-based approach. 6th IFAC-Symposium on Nonlinear Control Systems, Stuttgart. Progromsky, A. Yu. en H. Nijmeijer (2001). Cooperative Oscillatory Behavior of Mutually Coupled Dynamical Systems. IEEE Trans. Circuits Syst. I 48, 152-162 Pogromsky, A. Yu., G. Santoboni en H. Nijmeijer (2002). Partial synchronization: from symmetry towards stability. Physica D 172, 65-87. Steur, Erik (2007). On synchronization of electromechanical Hindmarsh-Rose oscillators. Wu, Chai Wah en Leon O. Chua (1996). On a conjecture regarding the synchronization in an array of linearly coupled dynamical systems. IEEE Trans. Circuits Syst. I 43, 161-165.
41
42
Appendix Appendix A: Hindmarsh-Rose modelgedrag Extra figuren van de uitkomst van een enkele Hindmarsh-Rose model bij een constant ingangssignaal u .
(a) u = 1.0 V
(b) u = 1.5 V 43
(c) u = 1.75 V
(d) u = 2.0 V
44
(e) u = 2.25 V
(f) u = 2.5 V
45
(g) u = 2.75 V
(h) u = 3.0 V
46
(i) u = 3.25 V
(j) u = 3.5 V
47
(k) u = 3.75 V
(l) u = 4.0 V
48
(m) u = 4.25 V
(n) u = 4.5 V
49
(o) u = 4.75 V
(p) u = 5.0 V
50
Appendix B: Identificatie van elektrisch systeem Deze figuren tonen de schatting van de parameterwaarden en de fout tussen de geschatte states en de theoretische states van een elektrisch systeem, zoals wordt gerealiseerd tijdens de identificatie van een elektrisch systeem
51
(a) De parameter schattingen van systeem 1
52
(b) De fout tussen de states en de geschatte states van systeem 1.
53
54
Appendix C: Synchronisatie systemen In de tabel achteraan in deze appendix staan de verschillende netwerken waarmee experimenten voor synchronisatie zijn uitgevoerd (Zie hoofdstuk 4). De fouten tussen de systemen in die netwerken zijn te zien in de figuren.
(a) Twee systemen enkelzijdig ( k = 1.2 )
(b) Twee systemen wederzijds ( k = 0.6 )
(c.1) Drie systemen enkelzijdig in lijn ( k = 1.5 )
55
(c.2) Drie systemen wederzijds in lijn ( k = 1.2 )
(c.3) Drie systemen enkelzijdig in ring ( k = 0.8 ) 56
(c.4) Drie systemen wederzijds in ring ( k = 0.4 )
(d) Vier systemen enkelzijdig in ring ( k = 1.4 )
57
(e.1) Vijf systemen in ring met één aansturend systeem ( k = 1.5 )
58
(e.2) Vijf systemen in ster configuratie ( k = 1.4 )
59
(e.3) Vijf systemen in 1 aansturing met 2 takken ( k = 3.2 )
60
61
(f) Zes systemen in ring met twee verstoringen ( k = 9.0 )
62
Tabel C.1: Alle netwerken met de benodigde koppelingssterktes voor synchronisatie topologie figuur kmin experiment kmin simulatie 1.2
1.0
a
0.6
0.5
b
1.5
1.0
c.1
1.2
1.0
c.2
0.8
0.67
0.4
0.33
c.3
c.4
d 1.5
1.0
1.5
1.2
e.1
e.2
1.4
1.0
e.3 3.2
2.66 f
11.0
9.0
63
